OPTIQUEIISectiondePhysiqueProfesseur:R.HoudréExercices:K.Roux

Série825Avril2017

Introductionàl’optiquequantique

1

Ex1:DétectionhomodyneOnconsidèreunmontagededétectionhomodyne.Cemontageestconstituéd’unelameséparatricedefaisceaux.Lesdeuxportsd’entréesontnotés1et2etlesdeuxportsdesortie 3 et 4. Dans chaque port de sortie se trouve un détecteur dont l’efficacitéquantiqueestde100%.Dans leportd’entrée1,on injecteunchampscohérentconnu

,aussiappeléoscillateurlocal.Onyassociel’opérateurannihilationâ1.Dansleport2est injecté un état du champ monomode inconnu auquel on associe l’opérateurannihilationâ2.Onsouhaiteanalyser lesquadraturesduchamp .LesignalmesuréestI=I3-I4avecI3l’intensitédétectéedansleport3etI4cellemesuréedansleport4.

a) Ecrire lamatricede transfertà travers la lamepourdeschampsclassiques(on

noterarett lescoefficientsderéflexionettransmissionenamplitude).Onpeutmontrer que la même matrice de transfert s’applique aux opérateursd’annihilationassociéàchaqueportdelalame.Endéduirelarelationentre , et etlarelationentre , et .

b) Ecrire l’opérateur associé à la différence des courants en fonction desopérateursannihilationetcréationdanslesportsdesortie3et4.

c) Enutilisantlaquestionsa)réécrire enfonctiondesopérateursannihilationetcréationdanslesportsd’entrée1et2.Onsupposera .

d) En utilisant la relation: a α =α α , avecα = α eiθ , déterminer la valeurmoyennede .Montrerqu’avecunchoixjudicieuxde𝜃onpeutfaireapparaîtrelesquadraturesduchamp et associéesà .Conclure.

e) Déterminer la variance . En supposant ,montrer que la

mesuredubruitsurIpermetdemesurerlesvariancedesquadraturesde

€

α

€

ψ

€

ψ

€

ˆ a 3

€

ˆ a 1

€

ˆ a 2

€

ˆ a 4

€

ˆ a 1

€

ˆ a 2

€

ˆ M

€

ˆ M

€

t = r = 12

€

M

€

ˆ M

€

ˆ E q

€

ˆ E p

€

ψ

€

(ΔM)2

€

ˆ M α >> ψ E ψ

€

ψ

2

Ex2:Etuded’und'étatdelalumière:lesétatsnombresOnconsidèreunétatnombre

€

n .

a. Montrerque

€

n ˆ n n 2= n ˆ n 2 n .Endéduirel’incertitudesurlenombredephoton

∆n.(rappel:

€

ΔX = φ ˆ X 2 φ − φ ˆ X φ 2 )b. On introduit l’opérateur de phase

€

ˆ φ pour lequel on donne les définitionssuivantes:

€

ei ˆ φ = ˆ n +1( )−1

2 ˆ a e− i ˆ φ = ˆ a † ˆ n +1( )−

12

$ % &

' & e±iφ est-ilHermitien?Qu'enconcluez-vous?

Calculerles états

€

ei ˆ φ n et

€

e−i ˆ φ n .Trouvertouslesélémentsdematricenon-nulspourlesopérateurs

€

ei ˆ φ

et

€

e−i ˆ φ .c. Calculer les états

€

cos( ˆ φ ) n et

€

sin( ˆ φ ) n . Trouver tous les éléments de matricenon-nulspourlesopérateurs

€

cos( ˆ φ )et

€

sin( ˆ φ ).d. Calculer

€

n cos2( ˆ φ ) n et

€

n sin2( ˆ φ ) n etcomparercesélémentsdematriceàceuxde

€

n cos( ˆ φ ) n 2 et

€

n sin( ˆ φ ) n 2 respectivement.Quelleconclusionentirervous?e. Calculer

€

n cos2( ˆ φ ) n + n sin2( ˆ φ ) n .

3

CorrectionEx1:Détectionhomodyne

a) Afindedémonter larelation,nousallonsutiliserdescoefficientsderéflexionetdetransmissionenamplitudequidépendentdesfaisceauxconsidérés:

E3 = R31E1 +T32E2E4 = T41E1 + R42E2

!"#

$#⇒

E3E4

&

'

((

)

*

++=

R31 T32T41 R42

&

'

((

)

*

++

E1E2

&

'

((

)

*

++

Ainsi,R31estlecoefficientderéflexiondufaisceau1verslefaisceau3.Larelationdeconservationdel’énergies’écritàpartirdelaconservationdel’intensité: E1

2+ E2

2= E3

2+ E4

2 Endéveloppant,ontrouvelarelationsuivante:

E12+ E2

2= R31

2+ T41

2( )E12 + R422+ T32

2( )E22 + 2 R31T32* + R42

* T41( )E1E2

Paridentification,onendéduitqueR31

2+ T41

2= R41

2+ T32

2=1

R31T32* + R42

* T41 = 0

!

"#

$#

Enécrivantlescoefficientsderéflexionetdetransmissionaveclestermesd’amplitudeetdephase:R = R eiφ ,onobtientlarelationentrelesamplitudes:

R31T41

=R42T32

Larelationentrelesphasesdonne:φ31 +φ42 −φ32 −φ41 = ±π Onveutquelescoefficientssoientréels.Onvaalorsfixerφ31 = φ32 = φ42 = 0 etφ41 = π (choisidefaçonarbitraire)EnposantqueR31 = R42 = r etT41 = T32 = t ,onretrouvelamatricedetransfert

recherché:E3E4

!

"

##

$

%

&&=

r t−t r

!

"#

$

%&

E1E2

!

"

##

$

%

&&

b) On suppose que l’efficacité quantique des détecteurs est de 100%. L’opérateurassociéàlamesuredel’intensitéparlesdétecteursestdoncl’opérateurassociéaunombredephotons n = a+a .Ainsi:

c) M = a3+a3 − a4

+a4 = r*a1+ + t*a2

+( ) ra1 + ta2( )− −t*a1+ + r*a2

+( ) −ta1 + ra2( ) Enprenant cetteexpressioncesimplifieen:𝑀 = 𝑎!!𝑎! 𝑟∗𝑟 − 𝑡∗𝑡 + 𝑎!!𝑎! 𝑡∗𝑡 − 𝑟∗𝑟 + 𝑎!!𝑎! 𝑟∗𝑡 + 𝑡∗𝑟 + 𝑎!!𝑎!(𝑡𝑟 + 𝑡∗𝑟)

Lesdeuxpremierstermess’annulentcar𝑟 = 𝑡 = !

!

Aufinal, M = a1+a2 + a2

+a1

M = I3 − I4 = n3 − n4 = a3+a3 − a4

+a4

€

t = r = 12

4

d) Lesystèmeestdansl’état

car

Sil’onchoisitθ=0,onobtient etpourθ=π/2,

où et sont les quadratures associées au champquiagitsurl’état En changeant la phase on peut donc mesurer les quadratures moyennes duchampassociéàl’état

e)

Avecl’hypothèse

Doncsionchoisitθ=0,onobtient

Etpourθ=π/2,

avec et Enchangeantlaphaseetenmesurantlebruitsurladifférencedescourants,onobtientlavariancedesquadraturesduchampassociéàl’état Onpourraremarquerquelebruitdel’oscillateurlocaln’intervientpas,cequiestunepropriétéintéressante.

Ex2:Etuded’und'étatdelalumière:lesétatsnombres

a) Comme

€

ˆ n n = n n , on trouve que

€

n ˆ n n = n et que

€

n ˆ n 2 n = n2 , on a donc

€

n ˆ n n 2= n ˆ n 2 n . L’incertitude d’une observable correspondant à l’opérateur

€

ˆ X est

€

ΔX = φ ˆ X 2 φ − φ ˆ X φ 2 . Dans ce cas précis, l’incertitude sur le nombre dephotonestnulle,c’estlaraisonpourlaquellecesétatssontappelés“étatsnombres”.

b) Lesdéfinitionsnousdonnent:eiφ = (n+1)−1/2 a et e−iφ = a+(n+1)−1/2

Onpeutvérifiersi𝑒!!estHermitienencalculantdirectement 𝑒!!!

:𝑒!!

!= 𝑛 + 1 !! !𝑎

!= 𝑎 ! 𝑛 + 1 !! ! !

= 𝑎! 𝑛! + 1 !! ! = 𝑎! 𝑛 + 1!! !

=𝑒!!!

€

ψ α

M = α ψ a1+a2 + a2

+a1 ψ α = ψ α*a2 + a2+α ψ = α ψ e−iθ a2 + a2

+eiθ ψ

a α =α α

M =α

ξ0Eq M =

α

ξ0Ep

Eq = ξ0 (a2 + a2+ ) Ep = −iξ0 (a2 − a2

+ )

€

ψ

€

ψ

(ΔM )2 = M 2 = α ψ (a1+a2 + a2

+a1)2 ψ α

€

M2 = ψα*2ˆ a 22 + 2α 2 ˆ a 2

+ˆ a 2 + α2

+ α2ˆ a 2+2

+ ˆ a 2+ˆ a 2 ψ

€

M2 = ψα*2ˆ a 22 + 2α 2 ˆ a 2

+ˆ a 2 + α2

+ α2ˆ a 2+2ψ + ψ ˆ a 2

+ˆ a 2 ψ

€

M2 = α2ψ e− i2θˆ a 2

2 + 2ˆ a 2+ˆ a 2 +1+ ei2θˆ a 2

+2ψ + ψ ˆ a 2

+ˆ a 2 ψ

€

α2

>> ψ ˆ a 2+ˆ a 2 ψ

€

M2 ≈ α2ψ e− i2θˆ a 2

2 + 2ˆ a 2+ˆ a 2 +1+ ei2θˆ a 2

+2ψ

€

ΔM2 =α2

ξ02 ΔEq

2

€

ΔM2 =α2

ξ02 ΔEp

2

€

Eq2 = ξ0

2 ψ ˆ a 2 + 2ˆ a +ˆ a +1+ ˆ a +2ψ

€

Eq2 = ξ0

2 ψ − ˆ a 2 + 2ˆ a +ˆ a +1− ˆ a +2ψ

€

ψ

5

Comme 𝑒!!!≠ 𝑒!! l’opérateur n’est pas Hermitien. 𝑒!! et 𝑒!!! ne

correspondentdoncpasàdesobservablesphysiques.Enutilisant

𝑛|𝑛 = 𝑛|𝑛 𝑎|𝑛 = 𝑛! !|𝑛

𝑎!|𝑛 = 𝑛 + 1 !!|𝑛

Ona 𝑒!" 𝑛 = 𝑛 + 1 !! !𝑎 𝑛 = 𝑛 + 1 !! !𝑛! ! 𝑛 − 1 = 𝑛 − 1 + 1

!! !𝑛! ! 𝑛 − 1

= |𝑛 − 1 𝑒!!" 𝑛 = 𝑎! 𝑛 + 1 !! ! 𝑛 = 𝑎! 𝑛 + 1 !! ! 𝑛 = 𝑛 + 1 ! ! 𝑛 + 1 !! ! 𝑛 + 1

= |𝑛 + 1

Lesseulsélémentsdematricenonnulssont:n−1 eiφ n =1,∀n ∈ N *

n+1 e−iφ n =1,∀n ∈ N

Enutilisantlesdéfinitionsona:

cos(φ) = 12eiφ + e−iφ( )

sin(φ) = 12i

eiφ − e−iφ( )

Ainsi,

cos(φ) n =12n−1 + 1

2n+1

sin(φ) n =12in−1 − 1

2in+1

Onobtientalors:

n−1 cos(φ) n = n cos(φ) n−1 =12

n−1 sin(φ) n = − n sin(φ) n−1 =12i

c) De la question précédente nous avons que

€

n cos ˆ φ n = n sin ˆ φ n = 0 . En utilisantlesrésultatsobtenusjusteavant,ontire:

Pourn>1:cos2(φ) n = cos(φ) 1

2n−1 + 1

2n+1

"

#$

%

&'=14n− 2 +

12n +

14n+ 2

sin2(φ) n = sin(φ) 12in−1 − 1

2in+1

"

#$

%

&'= −

14n− 2 +

12n −

14n+ 2

(

)**

+**

Pourn=1:cos2(φ) 1 = cos(φ) 1

20 +

122

!

"#

$

%&=121 + 1

43

sin2(φ) 1 = sin(φ) 12i0 −

12i2

!

"#

$

%&=121 − 1

43

(

)**

+**

6

Pourn=0:cos2(φ) 0 = cos(φ) 1

21

!

"#

$

%&=120 +

142

sin2(φ) 0 = sin(φ) − 12i1

!

"#

$

%&=120 −

142

(

)**

+**

Ils’ensuitque:

n cos2(φ) n = n sin2(φ) n =

12,n ≠ 0

14,n = 0

"

#$$

%$$

Decefait,l’incertitudesurlaphaseest

€

Δ cos ˆ φ = n cos2 ˆ φ n − n cos ˆ φ n 2

Δcos(φ) = Δsin(φ) =

12,n ≠ 0

12,n = 0

#

$%%

&%%

La phase est donc complètement indéterminée. On peut s’en apercevoir encomparant les résultatspour

€

n ≠ 0 avec le résultat classiquepourunedistributionuniformedephase(c’estàdirequandlaphaseestcomplètementindéterminée).La

densitédeprobabilitépourlaphase

€

φ estuniforme:

€

ρ(φ) =12π

,d’où

cosφ = cosφ ⋅ρ(φ)dφ = 00

2π

∫

cos2φ = cos2φ ⋅ρ(φ)dφ = 120

2π

∫

#

$

%%

&

%%

⇒ Δcosφ = cos2φ − cosφ 2=12

De la même manière on trouve que

€

Δ sinφ =12, ce qui correspond avec les

résultatsobtenuspourl’étatquantique

€

n .d) De c) on tire que :

n cos2 φ n + n sin2 φ n =1,n ≠ 012,n = 0

"

#$

%$