tc2 algebra 36

7/23/2019 TC2 Algebra 36

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 2

ALGEBRA LINEAL

JORGE LUIS GUZMAN

Cdigo. 1.11.!"#.!$

JUAN ESTEBAN TA%IASCdigo. 1.11.!!2.!"

RAFAEL RICARDO VILLA

Cdigo.

TUTOR

OSCAR IVAN VALDERRAMA

ALGEBRA LINEAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA &UNAD'
http://66.165.175.209/campus17_20151/user/view.php?id=1191&course=14http://66.165.175.209/campus17_20151/user/view.php?id=1191&course=14

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21!

INTRODUCCI(N

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OBJETIVOS

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%ROBLEMA NO.1

1. U)i*i+ * -)odo d *i-i/0+i/ d G0 Jo3d0/ 4030 /+o/)303 )od0 *0o*+io/, i 5i)/, 4030 *o i)-0 d0do.

0. x+2y+z=3 4x+y5z=5 2x2y+3z=0

Usaremos, eliminacin Gaussiana

Ponemos en matriz los coeficientes de las ecuaciones, en matriz amliada!

|1 2 1

4 1 52 2 3|

3

5

0

Alicamos diferentes oeraciones ara lle"arla a su forma escalonada!

|1 2 1

4 1 52 2 3|

3

5

0

( f22 f3 ) |1 2 1

0 5 112 2 3|

3

5

0

(f32 f1 )|1 2 1

0 5 110 6 1|

3

5

6

(f3+ 65

f2 )

|1 2 10 5 110 0 61/5|

35

0

#a en forma escalonada, escri$imos las dem%s ecuaciones como &uedaron 'entonces nos fi(amos &ue en la tercera fila, est% toda en ceros, a e)cecin de la

casilla ** +-./01 la cual e&ui"ale a z2 Por tal razn odemos entonces 3allar 4

como si5ue!

x+2y+z=3 5y11z=5 61 /5z=0 61

5z=0 z=0

Lue5o 3allamos las dem%s

5y11 (0 )=5 5y=5 y=1

x+2(1 )+0=3 x=1

Entonces las soluciones de la ecuacin ser6an!

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78., #8., 489

A3ora, si &ueremos usar m:todo Gauss;ord%n, ues el enunciado de(a ococlaro, cu%l de los dos, entonces ser6a de lle5ar 3asta con"ertir la matriz en

escalonada reducida, si5%mosla en escalonada donde est%$amos '

con"irt%mosla en reducida!

|1 2 1

0 5 110 0 61/5|

3

5

0( f125 f2)|

1 0 17/50 5 110 0 61/5|

1

5

0(15 f2)|

1 0 17/50 1 11/50 0 61/5|

1

1

0

( f 3561 )|1 0 17 /50 1 11/50 0 1

|1

1

0( f 1+175 f3 )|

1 0 0

0 1 11/50 0 1

|1

1

0

( f 2+115 f3 )|1 0 0

0 1 0

0 0 1|

1

1

0

A3ora, 5racias a la matriz escalonada reducida, tenemos en la amliada, el

resultado de 78., #8., 489, confirmando lo antes encontrado2

+Usando la calculadora online la %5ina "adenumeros2es1

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$2 x 1+2x 25x 3=4 3x 12x 212x 3=7

A3ora resol"amos or Gauss ;ord%n, ara esto, lle"amos la matriz amliada a

escalonada reducida!

|1 2 53 2 12|47 (f23 f1 )|1 2 50 8 3| 45

(1

8f2)|1 2 50 1 3

8|45

8

( f12 f2)|1 0 17/ 40 1 3 /8 |11/45/8 A3ora escri$imos las ecuaciones como &uedar6an!

x 1174 x 3=114 x 238 x 3=58

Dese(amos 7. ' 7< ara de(arlas en funcin de )* &ue se reite en am$asecuaciones!

x 1=11

4+

17

4x 3

x 2=5

8+

3

8x 3

A3ora, sa$remos &ue las soluciones ser%n infinitas, si le damos "alores

ar$itrarios a 7*2 Demostremos con un e(emlo2 =uon5amos &ue 7*892

Entonces!

x 1=11

4+

17

4(0 ) x 1=

11

4x 2=

5

8+

3

8(0 ) x 2=

5

8

x 3=0

Reemlazando en la rimera ecuacin!

11

4+2( 58 )+0=4 4=4

Con lo &ue &ueda demostrado entonces &ue el con(unto solucin ser6a infinito '

deender6a del "alor &ue se le asi5ne a 7*2

Co/+*i/6 El con(unto solucin es infinito2

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+. x2yz=4

4xy+5z=5

3x6y3z=3

Anotamos la matriz amliada ' la lle"amos a su forma escalonada!

|1 2 14 1 53 6 3|

44

3

(f24 f1 )|1 2 10 7 9

3 6 3|420

3

(f33 f1 )|1 2 10 7 9

0 0 0|420

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A&u6 se lle5a a una inconsistencia, ues si nos fi(amos en la Fila *,9>.0, or tal razn, odemos afirmar &ue es un sistema de ecuaciones

sin solucin2

Co/+*i/6 / i)-0 i/ o*+i/

+=e uede "er en el antallazo el mensa(e de error1

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%ROBLEMA NO.2

E/+/)30 *0 +0+io/ 4030-)3i+0 7 *0 i-)3i+0 d *0 3+)0 i/di+0d06

a.contienea (2,5,4 )y (2,0,4 )

Definamos

P (2,5,4 ) Q(2,0,4)

=olucin

Ec2 Param:tricas Ec2 =im:tricas

x=x1+at

xx1

a

=yy

1

b

=zz

1

c

y=y1+bt

z=z1+ct

A3ora definimos un "ector resultante

V=PQ=QP=(2(2 ))i+ (05 ) j+(44) k

V=

PQ=4^i5

^

j8^k

Por tanto

a=4 b=5 c=8

?omemos P(2,5,4 )

Ec2 Param:tricas

x=2+4 t

y=55 t

z=48t

Ec2 =im:tricas

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x+24

=y55

=z48

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%ROBLEMA NO.8

Encuentre las ecuaciones arasim:tricas ' sim:tricas de la recta indicada!

a (1,1,2 )y es paralelax7

8

=y3

4=

z2

4

Lo rimero es sa$er, &ue si la recta &ue contiene al unto a es aralela a la recta&ue nos dan, entonces de$en tener el mismo "ector direccin, &ue es lo &ue

necesitamos ara 3allar la ecuacin "ectorial ' de a36 deri"ar las sim:tricas '

arasim:tricas &ue nos e)i5e el e(ercicio2 Entonces, el "ector director de la recta

&ue nos dan, son los denominadores de la fraccin, or lo tanto!

A=(8,4,4)

A3ora, como tenemos un unto, ' el "ector director, odemos construir la ecuacin"ectorial!

(x , y , z )=(1,1,2 )+(8,4,4) De a36, construimos las 4030-)3i+0, &ue ser6an!

x=1+8

y=14 z=2+4

# las sim:tricas dese(ando el ar%metro, ser6an!

=x1

8

=y14

=z+2

4

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%ROBLEMA NO."

E/+/)3 *0 +0+i/ * 4*0/o 96

0. P=(1,3,3 ) ; n=2 i+3j+k

Como nos dan un unto ' un "ector, entonces se de$e cumlir la condicin de

&ue! PQn=0

Deri"ado de esto, o$tenemos se o$tiene el modelo de ecuacin 5eneral ararectas en un lano dado un "ector ' un unto &ue es!

a (xx 0 )+b (yy 0 )+c(zz 0 )=0

A3ora slo sustituimos en la ecuacin ' resol"emos ara lle5ar a la ecuacin dellano!

2 (x+1 )+3 (y3 )+ (z3)=0

2x+2+3y9+z3=0

E+0+i/ d* 4*0/o 2x+3y+z= 1

:. Co/)i/ 0 (4,1,2 ) , (2,1,3 ) ,(3,1,5)

Como nos dan * untos, la situacin es m%s comlicada &ue la anterior,

ues ara &ue se satisfa5a PQn=0 de$emos encontrar el "ector n

Denominamos!r=(4,1,2) s=(2,1,3 )

t=(3,1,5) Entonces, "amos a tomar de los tres untos, < "ectores,

realizando la diferencia, como si5ue!

rs=(2,2,5) rt=(1,0,3)

A3ora 3allamos el roducto cruz de estos dos "ectores ara 3alla el "ector

resultante es decir n , lo 3acemos or el m:todo de los cofactores!

|+i j +k2 2 51 0 3|i (6+0 )j (6+5)+k(0+2 ) n=6 i11j+2 k

A3ora, i5ual &ue el caso anterior, sustituimos en la ecuacin modelo,usaremos el unto r2

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6 (x+4 )11 (y1 )+2 (z2 )=0

6x2411y+11+2z4=0 6x11y+2z=17

So*+i/, *0 +0+i/ d* 4*0/o 6 6x11y+2z=17

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%ROBLEMA NO.!

;0**03 )odo *o 4/)o d i/)3++i/ d *o 4*0/o6

+. 1=5x+yz=13 ; 2=4x+3y7z=5

Lo rimero a 3acer, es determinar si son aralelos los lanos, ues si lo son,entonces no tendr%n interseccin2 Para ello de$emos sacarle a cada uno sus

"ectores directores, ' lue5o "er si se cumle la condicin ara ser aralelos!

n 1n 2=0 n 1=(5,1,1 ) ; n 2=(4,37)

n 1n 2

| i j k

5 1 14 3 7

| i (7+3 )j ( 354 )+k(15+4 ) (4,31,11)

Como el resultado o$tenido de la multilicacin de am$os "ectores directores, noes cero, entonces sa$emos &ue no son aralelos2 A3ora, de$emos 3allar los

untos donde se intersectan, &ue es la re5unta, entonces ara ello de$emos

resol"er las ecuaciones2 # lo 3aremos or el m:todo de Gauss ;ord%n, como

si5ue!

||5 1 14 3 7|135 |(15 f1 )|| 1 1/5 1/54 3 7|13/55 |

(f2+4 f1 )||1 1 /5 1/50 11/5 7|13 /55 |( 511 f2)|1 1/5 1/50 1 35/11|13/525 /11

( f1+ 15 f2)|1 0 24/550 1 35 /11|13/588/55 A3ora reescri$imos las ecuaciones como &uedar6an!

x2455

z=135

; y3511

z=8855

De$ido a &ue 4 se reite en am$as ecuaciones, entonces es la "aria$le li$re ' ladesi5naremos como el ar%metro del "ector director +conocida como t o landa,

etc12 # as6 dese(amos 7 ' #, ara encontrar las ecuaciones aram:tricas de la

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recta en la &ue se cruzan o intersectan los untos de los lanos!

x=13

5+

24

55z ; y=

8855

+35

11z

Las anteriores son las ecuaciones aram:tricas de la solucin de las ecuacionesori5inales, lo &ue &uiere decir &ue son las ecuaciones de la recta en &ue se intersectan los

dos lanos2 @emos encontrado entonces los untos de interseccin de am$os lanos2

Para comro$ar, slo necesitar6amos encontrar los untos 7, #, asi5n%ndole un "alor a la

4 &ue es nuestra "aria$le $andera2

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CONCLUSIONES

BIBLIOGRA

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