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INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES
Lic. Helga Kelly Quiroz Chavil
Probabilidades
El término Probabilidad se refiere al estudio del azar y la incertidumbre, en
aquellas situaciones en las cuáles se puede producir uno de varios
resultados posibles, la Teoría de la Probabilidad provee métodos para
cuantificar la chance de ocurrencia de cada uno de ellos.
Definiciones:
1. Experimento
Es cualquier proceso o acción que genera observaciones y que puede ser
repetible.
Por ejemplo:
a) Arrojar un dado
b) Seleccionar un individuo, registrar su peso y su altura
c) Seleccionar una muestra de productos elaborados por una empresa
para hacer un control de calidad.
d) Seleccionar un día al azar y registrar el número de veces que se satura
un servidor.
Definiciones:
Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. A cada
elemento del espacio muestral se denomina punto muestral. El espacio
muestral se describe por :
S=w/w es un punto muestral
Los Espacios Muestrales con un número grande o infinito de puntos
muestrales se describen mediante un enunciado o regla.
Ejemplo:
1. El experimento aleatorio de lanzar un dado y observar el resultado
obtenido en la cara superior , es de una sola prueba, cuyo espacio
muestral es:
2. Si el experimento aleatorio es lanzar una moneda y un dado a la vez , y
observar ambos resultados, el espacio muestral es :
Ejemplo
3. Si los resultados posibles de un experimento son el conjunto de sitios
web en internet con más de un millón de visitas, nuestro EM se escribe:
=x/x es un sitio web con más de un millón de visitas diarias
Ejercicio:
Dados los siguientes experimentos, indicar su espacio muestral:
a) E1: Lanzar una moneda y observar la cara superior.
b) E2: Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara
superior.
c) E3: Extraer una bola de una urna que contiene bolas rojas “R” y bolas
verdes “V”.
d) E4: Designar un delegado de un grupo de 50 personas a través de un
sorteo.
Eventos o Sucesos:
Se denomina suceso o evento a cualquier subconjunto del espacio
muestral. Se puede hacer una lista de muchos eventos asociados con un
experimento, algunos con más posibilidad de ocurrir que otros. Tenemos:
El evento imposible no tiene puntos muestrales, en consecuencia no
ocurre nunca .
Los eventos unitarios o elementales , contienen un solo punto
muestral .
Eventos o Sucesos: Los eventos compuestos, consisten de dos o más eventos
elementales.El evento seguro o cierto, contiene a todos los eventos
elementales posibles.
Ejemplo:
a) Sea el espacio muestral:
E1: Lanzar una moneda y observar la cara superior, entonces un evento
seria:
A = ”sale cara”
A = cara
A = 1
Ejemplo:
b) Se el espacio muestral:
E2: Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior,
entonces un evento seria:
B = “se lanza el dado y sale un numero par
B = 2, 4, 6.
Conteo de Puntos Muestrales
Número de Puntos Muestrales
El número de elementos de un evento arbitrario A se denotará
por n(A). Es decir:
n()=0 y n(A) , para todo evento A.
Regla de la multiplicación
Si A y B son dos eventos finitos, entonces, el número de
elementos del evento producto cartesiano AxB es igual al
número de elementos de A multiplicado por le número de
elementos de B. Esto es :
n(AxB)=n(A)xn(B)
Ejemplo:
Cuántos puntos muestrales tiene el espacio muestral que
resulta de lanzar dos dados a la vez?
Solución
A es el evento “resultados del dado 1” entonces n(A)=6
B es el evento “resultados del dado 2” entonces n(B)=6
Luego:
n(E)= n(A)xn(B)=6x6=36
Las variaciones sin repetición de “m” elementos tomados de “n en n” (m ≥ n) se definen como las distintas agrupaciones formados con “n” elementos distintos, eligiendo entre los m elementos que disponemos , considerando una variación distinta a otra de manera que estos arreglos difieran en algún elemento o en el orden de la colocación .
Variaciones Simples
Variaciones Simples
También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:Ejemplo:
Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con
las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Solución
Elementos disponibles: 9 cifras Elementos por grupo: 3 cifras Influye el orden de colocación de los elementos?
Si, al tratarse de números el orden importa Cogemos todos los elementos disponibles?
No, solo 3 de ellos Se puede repetir los elementos?
No, dice tres cifras distintas
Solución
Variaciones sin repetición de 9 elementos tomados de 3 en 3 =504 números de 3 cifras
Variaciones con repetición
Las variaciones con repetición de m elementos tomados de “n en n” se definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos que pueden repetirse, eligiéndose de entre los m elementos que disponemos, considerando una variación distinta a otras si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden
Ejemplo:
El sistema de matriculas de vehículos consiste en un numero
de 4 dígitos seguido de un bloque de 3 letras consonantes.
Cuantas placas hay con un determinado bloque de letras?
Solución
Disponemos de 22 consonantes m =22
Formamos grupos de 3 letras n= 3
Luego:
Se llama permutaciones de m elementos a las diferentes
agrupaciones de esos m elementos de forma que:
• Sí entran todos los elementos.
• Sí importa el orden.
• No se repiten los elementos.
Permutaciones
Ejemplo:
Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con
los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
Solución
Número de elementos: 5 m=5
Cifras : 5 n = 5
Permutaciones Circulares
Las permutaciones circulares son un caso particular de las permutaciones. Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.
Ejemplo:
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas
alrededor de una mesa redonda?
Solución:
Tenemos n=8, luego:
7!=5 040
Combinaciones
Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n
(m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse
con los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
=
Ejemplo:
En una clase de 20 alumnos se quiere elegir un comité
formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se
pueden formar?
Solución:• No entran todos los elementos.• No importa el orden: Juan, Ana.• No se repiten los elementos.
Solución:Luego m=20 , n=3 entonces:=
= =
===20x19x3=1 140
5!=5.4.3.2.1=120
6!=6.5.4.3.2.1=720
Combinaciones con Repetición
Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:No entran todos los elementos.No importa el orden.Sí se repiten los elementos.
=
Ejemplo:
En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas
formas se pueden elegir cuatro botellas?
Solución:
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de
aceite, o que 2 de aceite y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del
mismo tipo.
Solución:
Luego m=5 y n= 4
=
=
===
= 70
Probabilidades
Sea un suceso A, de un total de “n” posibles casos, todos
igualmente factibles, puede presentarse en “h” de los casos.
Entonces la probabilidad de aparición del suceso viene dada
por:
La probabilidad de no aparición del suceso viene dad por :
= 1-
Probabilidades
Así pues, tenemos:
Ejemplo
Cuál es la probabilidad que aparezcan 3 ó 4 en una sola tirada
de una dado?
Solución:
Sabemos que n= 6
Puesto que A puede presentarse en dos casos 3 ó 4 , se tiene:
Solución
La probabilidad de no tener un 3 ó 4 ( es decir podemos obtener:
1,2,5,6) es :
Axiomas y Teoremas de Probabilidad
Dado un experimento aleatorio y un espacio muestral asociado, a cada
evento A se le asociará un número que notaremos P(A) y que llamaremos
probabilidad del evento A. Esta asignación debe satisfacer los siguientes
axiomas:
a) La probabilidad de un evento cualquiera A está comprendido entre 0 y 1,
es decir: 0
Axiomas y Teoremas de Probabilidad
b) Si siendo cada uno de los sucesos igualmente probables,
entonces se tiene:
Luego si A es un evento de S tal que entonces
c) P(A)= 1 si A es un evento seguro
d) P(A)=0 si A es un evento imposible
Ejemplo:
Sea un experimento aleatorio que consiste en lanzar al aire
dos dados, y se considera espacio muestral el resultado de la
suma de los valores obtenidos, calcular:
a) Espacio muestral S:
b) La probabilidad del suceso A=2
c) La probabilidad del suceso B=par
Ejemplo:
d) La probabilidad del suceso C=10, 11, 12
e) La probabilidad del suceso D=4, 5, 6, 7
f) P(AUB)
Solución
a) Espacio muestral, entonces la suma = 2
89
Solución
Luego:
E= 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
n(E)= 11 elementos
Solución
b) La probabilidad del suceso A=2
El suceso A, tiene 1 elemento, entonces:
P(A)=
c) La probabilidad del suceso B=parEl suceso B= 2, 4, 6, 8, 10, 12 entonces n(B)=6Luego:
P(B)=
Solución
d) La probabilidad del suceso C=10, 11, 12
El suceso C, tiene 3 elementos, entonces
P(C)=
e) La probabilidad del suceso D=4, 5, 6, 7
El suceso D tiene 4 elementos, entonces
P(D)=
Solución
d) P(AUB)
Sabemos que el suceso A = 2 y el suceso B=2,4, 6, 8, 10, 12
Entonces:
A U B= 2 U 2,4, 6, 8, 10, 12 = 2,4, 6, 8, 10, 12=B
Luego: n(A U B) = 6 elementos
P(A U B)=
Probabilidad Condicionada
Sean A y B dos eventos , la probabilidad condicional del evento
A dado el evento B es:
Propiedades
a) ⊂A, B=A entonces =1
b)
Ejemplo:
Un club consiste de ciento cincuenta miembros. Del total, 3/5 son hombres y
2/3 son profesionales. Además, 1/3 de las mujeres no son profesionales.
Si se elige al azar un socio del club, calcule la probabilidad de que:
a) Sea hombre y profesional.
b) Sea hombre dado que es profesional.
c) Sea mujer y profesional
d) Sea mujer dado que no es profesional
Solución
Ω= 150 total
Hombres:Hombres: = 3(30)=90Hombres-Profesionales:
Mujeres: Mujeres: 150-90 = 60Mujeres – No profesionales:
Solución
Género/ Ocupación Profesional (P) No profesional(N) Total
Hombre(H)Mujer (M)
6040
3020
9060
Total 100 50 150
Solución
Calcule la probabilidad de que:
a) Sea hombre y profesional
La probabilidad de que sea hombre y profesional es el 40%.
Solución
Calcule la probabilidad de que:
b) Sea hombre dado que es profesional.
La probabilidad de que sea hombre dado que es profesional es del 60 %
Solución
Calcule la probabilidad de que:
c) Sea mujer y profesional
La probabilidad de que sea mujer y profesional es el del 26.7%.
Solución
Calcule la probabilidad de que:
a) Sea mujer dado que no es profesional
La probabilidad de que sea mujer dado que no es profesional es del 40 %
Teorema de Bayes
Sean , n eventos pertenecientes al espacio muestral “S” y sea B
un evento cualquiera, con P(B) > 0, entonces se cumple que :
Ejemplos:
Sólo el 60% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de
calidad excepcional, mientras que el 90% de la mercadería que recibe del
fabricante B es de calidad excepcional. Sin embargo la capacidad de
producción del fabricante B es limitada, y por esta razón sólo el 30 % de la
mercadería le es permitido adquirir del fabricante B, mientras que el resto lo
adquiere de A. Si se inspecciona un embarque que acaba de llegar y si resulta
que es de calidad excepcional, ¿ cuál es la probabilidad de que provenga del
fabricante A?
Solución
Sea:
A = fabricante A
B = fabricante B
C= calidad excepcional
NC = no es de calidad excepcional
Solución
C 0.6 0.7 A 0.4 NC C 0.3 B 0.9 0.1 NC
Solución
P(A /C) =
P(A /C) = = = 0.609
P(A /C)= 60.9%
Ejemplos:
Una máquina produce un tipo de objeto en distintos periodos. Si la máquina
está bien ajustada en un periodo, el 80 % de los objetos producidos pasan el
control de calidad, de otro modo sólo pasan el 60 % . Se ha determinado que
el 90 % de los periodos la máquina está bien ajustada. Si se inspecciona los
objetos y resulta que no pasan por el control de calidad, cuál es la
probabilidad que provenga de la máquina mal ajustada?
Solución
Sea
BA= máquina bien ajustada
MA = máquina mal ajustada
CC= pasan al control de calidad
NC= no pasan al control de calidad
Solución
CC 0.8 BA 0.9 0.2 NC CC 0.6 0.1 MA
0.4 NC
Solución
P(MA /NC) =
P(MA /NC) = = = 0.182
P(MA /NC)= 18.2%