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<p>1</p> <p>CAPITULO 4</p> <p>Razones de Cambio RelacionadasM.Sc. Sharay Meneses R.</p> <p>Instituto Tecnolgico de Costa Rica o Escuela de Matemtica a</p> <p>Revista digital Matemtica, educacin e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o</p> <p>2Crditos e</p> <p>Primera edicin (MS Word) o Edicin LaTeX: o</p> <p>M. Sc. Sharay Meneses R., 2005. M.Sc. Walter Mora F.</p> <p>Contenido4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Problemas de Razones Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Respuestas de los ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prctica adicional de razones relacionadas (M.Sc. Luis Carrera R., M.Sc. Sharay Meneses R.) a 4.4.1 Respuestas a la prctica adicional de razones relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . a Bibliograf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 9 11 12 15 16</p> <p>4.1</p> <p>Introduccin o</p> <p>dy Se ha estudiado la regla de la cadena para obtener, impl citamente, de una funcin y = f (t). As por ejemplo, o , dt d dy ( y n) = n y n 1 . dt dt Otra aplicacin importante de lo anterior es el clculo de razones de cambio de dos o ms variables que cambian con el o a a tiempo; o sea, qu tan rpido var una cantidad en el tiempo? e a a Por ejemplo, suponga que se tiene un recipiente cnico con agua, como el que se muestra en la gura. Cuando el agua sale o del recipiente, el volumen V, el radio r y la altura h del nivel del agua son, las tres, funciones que dependen del tiempo t.</p> <p>Recipiente lleno</p> <p>Recipiente vacindose a</p> <p>Estas tres variables estn relacionadas entre s por la ecuacin del volumen del cono; a saber: a , o 2 r h 3 3</p> <p>V =</p> <p>()</p> <p>4 Por otra parte, derivando impl citamente ambos lados de (*) respecto del tiempo t, se obtiene la siguiente ecuacin o de razones relacionadas: dV = dt 3 dr dh + r2 dt dt</p> <p>2rh</p> <p>Se puede observar que la razn de cambio del volumen, est ligada a las razones de cambio de la altura y del radio, en donde: o a dV es la razn o rapidez a la cual var el volumen con respecto al tiempo o a dt dr es la razn o rapidez a la cual var el radio con respecto al tiempo o a dt dh es la razn o rapidez a la cual var la altura con respecto al tiempo o a dt dV As por ejemplo, , = 10 m3 /seg signica que el volumen est aumentando 10 m3 cada segundo; mientras que, a dt dV = 10 m3 /seg signica que el volumen est disminuyendo 10 m3 cada segundo. a dt</p> <p>4.2</p> <p>Problemas de Razones Relacionadas</p> <p>De acuerdo con lo expuesto anteriormente, en todo problema de razones relacionadas (o tasas relacionadas), se calcula la rapidez con que cambia una cantidad en trminos de la razn de cambio de otra(s) cantidad(es). e o</p> <p>Estrategia para resolver problemas de razones relacionadas o (1) De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situacin planteada. (2) Designar con s mbolos todas las cantidades dadas y las cantidades por determinar que var con el tiempo. an (3) Analizar el enunciado del problema y distinguir cules razones de cambio se conocen y cul es la razn de cambio a a o que se requiere. (4) Plantear una ecuacin que relacione las variables cuyas razones de cambio estn dadas o han de determinarse. o a (5) Usando la regla de la cadena, derivar impl citamente ambos miembros de la ecuacin obtenida en (4), con respecto o al tiempo t, con el n de obtener la ecuacin de razones relacionadas. o o (6) Sustituir en la ecuacin resultante del punto (5), todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cambio, a n de deducir (despejar) la razn de cambio requerida. (Nota: Es hasta en este momento, que se hacen las o sustituciones de acuerdo con los datos del problema)</p> <p>5 Ejemplo 1</p> <p>Un recipiente cnico (con el vrtice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de hondo. Si el agua uye o e hacia el recipiente a razn de 3 metros cbicos por minuto, encuentre la razn de cambio de la altura del agua cuando o u o tal altura es de 2 metros.</p> <p>Solucin. Sea V el volumen del recipiente, r el radio de la supercie variable en el instante t y h el nivel del agua en el o instante t.</p> <p>Recipiente llenndose a</p> <p>Relacin de Thales o</p> <p>3,5</p> <p>Dato: Rapidez con que aumenta el volumen del agua; o sea,</p> <p>dV = 3 m3 /min. dt dh dt</p> <p>Encontrar: Rapidez con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 metros; es decir, La ecuacin que relaciona las variables es el volumen del cono: V = o 3</p> <p>h=2 m</p> <p>r2 h</p> <p>(*)</p> <p>Ahora bien, como el volumen consta de dos variables ( r y h ), conviene, en este caso, expresarlo unicamente en trminos e 3 de la altura h, para lo cual se usar la relacin que existe entre las variables citadas (Thales); a saber, r = a o h. 7 Sustituyendo en (*) se tiene que: V = 3 3 h 72</p> <p>h</p> <p>=</p> <p>V =</p> <p>3 3 h 49</p> <p>La ecuacin de razones relacionadas se obtiene derivando impl o citamente, respecto del tiempo, a ambos lados de la 3 3 ecuacin V = o h , lo cual nos conduce a: 49 dV 9 2 dh = h dt 49 dt ()</p> <p>Finalmente, como se desea encontrar la variacin de la profundidad del agua en el instante en que h = 2, y dado que o dV = 3, sustituimos estos valores en (**) para obtener que: dt 3 = 9 dh (2)2 49 dt dh 3 49 49 = = dt 4 9 12 dh = 1, 2998 dt</p> <p>6</p> <p>Por lo tanto, el nivel del agua aumenta a una razn aproximada de 1, 3 m/min. o</p> <p>Ejemplo 2</p> <p>Un hombre se aleja de un edicio de 18 metros de altura, a una velocidad de 1,8 metros por segundo. Una persona en la azotea del edicio observa al hombre alejarse. A qu velocidad var el ngulo de depresin de la persona en la azotea e a a o hacia el hombre, cuando ste dista 24 metros de la base de la torre? e</p> <p>Solucin. Sea x la distancia recorrida por el hombre en el instante t. Sea la medida, en radianes, del ngulo de o a depresin en el instante t. o</p> <p>Representacin del problema o</p> <p>Situacin cuando x = 24 o</p> <p>Dato: Rapidez con que el hombre se aleja del edicio; o sea,</p> <p>dx = 1 , 8m/seg. dt</p> <p>Encontrar: Variacin del ngulo de depresin cuando el hombre se encuentra a 24 metros de distancia del edicio; es o a o d decir, dt x = 24 m La ecuacin que relaciona las variables est dada por la razn: tan = o a o 18 x (*)</p> <p>La ecuacin de razones relacionadas se obtiene derivando impl o citamente a ambos lados de (*), con respecto del tiempo, lo cual nos conduce a:</p> <p>sec2 </p> <p>d = dt</p> <p>18 x2</p> <p>dx dt</p> <p>d = dt</p> <p>18 cos2 x2</p> <p>dx dt</p> <p>()</p> <p>Finalmente, para determinar la variacin del ngulo de depresin en el instante en que x = 24, primero se debe o a o calcular el valor para el cos en ese mismo instante. Ahora bien, dado que: tan = 18 x = tan = 18 3 = 24 4 = cos = 4 5</p> <p>7 Por lo tanto, sustituyendo cos = d = dt 4 dx 9 y = 1, 8 = en (**) se obtiene que: 5 dt 5 d = dt 9 250 d = 0, 036. dt</p> <p>18 16 9 242 25 5</p> <p>Se concluye que, el ngulo de depresin disminuye a una velocidad de 0,036 radianes cada segundo. a o</p> <p>Ejemplo 3 La altura de un tringulo disminuye a razn de 2 cm/min mientras que el rea del mismo disminuye a razn de 3 cm2 /min. a o a o A qu ritmo cambia la base del tringulo cuando la altura es igual a 20 cm y el rea es de 150 cm2 ? e a a Solucin. Sea A el rea , b la base y h la altura del tringulo, en el instante t. o a a Representacin del problema o Situacin cuando h = 20, A = 150 o</p> <p>Datos: Rapidez con que disminuye tanto la altura, como el rea del tringulo; es decir, a a dh dA = 2 cm/min y = 3 cm2 /min. dt dt Determinar: La variacin de la base del tringulo cuando la altura mide 20 cm y el rea es de 150 cm2 ; o sea, o a a db dth = 20 cm A = 150 cm2</p> <p>bh (*) Ecuacin que relaciona las variables: Area del tringulo; por lo que: A = o a 2 dA = dt 1 2 dh db + h dt dt</p> <p>respecto del tiempo, a ambos lados de (*) , se obtiene que:</p> <p>b</p> <p>(**)</p> <p>De la ecuacin anterior, de acuerdo con los datos que se tienen, se puede observar que para poder encontrar la o variacin de la base del tringulo en el instante en que h = 20 y A = 150, falta calcular el valor de b, en ese mismo o a</p> <p>8 instante, el cual lo podemos obtener de la ecuacin dada en (*). o bh , entonces 150 = 10 b b = 15 cm. 2 dA dh La sustitucin de o = 3, = 2, h = 20 y b = 15 en (**) , nos conduce a: dt dt Por lo tanto, como A = 3 = 1 2 15 (2) + 20 db dt 6 = 30 + 20 db dt db 24 6 = = dt 20 5</p> <p>En conclusin, la base del tringulo aumenta a razn de 1, 2 cm/min. o a o</p> <p>Ejemplo 4 Un controlador areo sita dos aviones (A y B) en la misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia un mismo punto en e u ngulo recto. El controlador detecta que el avin A viaja a 450 kilmetros por hora y el avin B, a 600 kilmetros por hora. a o o o o a. A qu ritmo var la distancia entre los dos aviones, cuando A y B estn a 150 kilmetros y 200 kilmetros, e a a o o respectivamente, del punto de convergencia? b. De cunto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias distintas? a</p> <p>Solucin. Sea x la distancia recorrida por el avin A, y la distancia recorrida por el avin B y z la distancia entre los o o o dos aviones, en cualquier instante t. Representacin del problema o Situacin cuando x = 150, y = 200 o</p> <p>dx = 450 km/hr y Datos: Velocidad con que los dos aviones se dirigen al punto de convergencia; a saber, dt dy = 600 km/hr. (Nota: Las velocidades son ambas negativas ya que la distancia de los aviones al punto de dt convergencia disminuye)</p> <p>Determinar:</p> <p>9 (a) La variacin de la distancia entre los dos aviones cuando el avin A est a 150 km del punto de convergencia o o a x = 150 km dz y el avin B est a 200 km de dicho punto; o sea , o a . dt y = 200 km (b) El tiempo requerido por el controlador para cambiar la trayectoria de los aviones, con el n de evitar que stos e colapsen. Ecuacin que relaciona las variables: Por Pitgoras, se tiene: z 2 = x2 + y 2 (*) o a Ecuacin de razones relacionadas: Derivando impl o citamente a ambos lados de (*), respecto del tiempo, obtenemos que: dz dt dx dy + y dt dt</p> <p>z</p> <p>= x</p> <p>()</p> <p>Con base en los datos que se tienen, de la ecuacin anterior se puede observar que para poder encontrar la variacin o o de la distancia entre los dos aviones, en el instante en que x = 150 y y = 200, falta calcular, en ese mismo instante, el valor de z, el cual se puede obtener de la ecuacin dada en (*). o Dado que z 2 = x2 + y 2 , entonces z 2 = (150)2 + (200)2 = 62 500 z = 250 km.</p> <p>La sustitucin de o</p> <p>dx dy = 450, = 600, x = 150, y = 200 y z = 250 en (**), nos conduce a: dt dt dz = 750. dt</p> <p>dz 150 ( 450) + 200 ( 600) = dt 250</p> <p>Respuesta (a): La distancia entre los dos aviones disminuye a razn de 750km/hr. o</p> <p>Respuesta (b): El controlador dispone de 20 minutos para cambiar la trayectoria de los aviones puesto que, en ese tiempo, los dos aviones estar llegando al mismo punto y colapsar an an. Justicacin: Usando la relacin d = v t, se tiene que: o o Para el avin A: 150 = 450 t o Para el avin B: 200 = 600 t o t = 1/3 hr (20 minutos) t = 1/3 hr (20 minutos</p> <p>4.3</p> <p>Ejercicios Complementarios</p> <p>Plantear y resolver los siguientes problemas.</p> <p>10 1. Un nio usa una pajilla para beber agua de un vaso cnico (con el vrtice hacia abajo) a razn de 3 cm3 /seg. Si la n o e o altura del vaso es de 10 cm y si el dimetro de la parte superior es de 6 cm, con qu rapidez baja el nivel del agua a e cuando la profundidad es de 5 cm? Cul es la variacin del radio en ese mismo instante? a o a o o 2. La longitud del largo de un rectngulo disminuye a razn de 2 cm/seg, mientras que el ancho aumenta a razn de 2 cm/seg. Cuando el largo es de 12 cm y el ancho de 5 cm, hallar: a. la variacin del rea del rectngulo o a a b. la variacin del per o metro del rectngulo a c. la variacin de las longitudes de las diagonales del rectngulo o a 3. Dos lados de un tringulo miden 4 m y 5 m y el ngulo entre ellos aumenta con una rapidez de 0,06 rad/seg. Calcule a a la rapidez con que el rea y la altura del tringulo se incrementan cuando el ngulo entre los lados es de /3. a a a 4. Una luz est en el suelo a 45 metros de un edicio. Un hombre de 2 metros de estatura camina desde la luz hacia el a edicio a razn constante de 2 metros por segundo. A qu velocidad est disminuyendo su sombra sobre el edicio o e a en el instante en que el hombre est a 25 metros del edicio? a a o o 5. Un globo est a 100 metros sobre el suelo y se eleva verticalmente a una razn constante de 4 m/seg. Un automvil pasa por debajo viajando por una carretera recta a razn constante de 60 m/seg. Con qu rapidez cambia la o e distancia entre el globo y el automvil 1/2 segundo despus? o e 6. Considere un depsito de agua en forma de cono invertido. Cuando el depsito se descarga, su volumen disminuye o o a razn de 50 m3 /min. Si la altura del cono es el triple del radio de su parte superior, con qu rapidez var el o e a nivel del agua cuando est a 5 m del fondo del depsito? a o 7. Un globo asciende a 5 m/seg desde un punto en el suelo que dista 30 m de un observador. Calcular el ritmo de cambio del ngulo de elevacin cuando el globo est a una altura de 17,32 metros. a o a 8. Considere un tringulo rectngulo de catetos a y b. Si el cateto a decrece a razn de 0,5 cm/min y el cateto b crece a a o a razn de 2 cm/min, determine la variacin del rea del tringulo cuando a mide 16 cm y b mide 12 cm. o o a a 9. Dos lados paralelos de un rectngulo se alargan a razn de 2 cm/seg, mientras que los otros dos lados se acortan a o de tal manera que la gura permanece como rectngulo de rea constante igual a 50 cm2 . Cul es la variacin del a a a o lado que se acorta y la del per metro cuando la longitud del lado que aumenta es de 5 cm? 10. Un tanque cnico invertido de 10 m de altura y 3 m de radio en la parte superior, se est llenando con agua a razn o a o constante. A qu velocidad se incrementa el volumen del agua si se sabe que cuando el tanque se ha llenado hasta e la mitad de su capacidad, la profundidad del agua est aumentando a razn de un metro por minuto? Cunto a o a tiempo tardar el tanque en llenarse? a o 11. Se vierte arena en el suelo a razn de 0,4 m3 por segundo. La arena forma en el suelo una pila en la forma de un cono cuya altura es igual al radio de la base. A qu velocidad aumenta la altura de la pila 10 segundos despus de e e que se empez a vertir la arena? o</p> <p>11 12. Un rectngulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su vrtice opuesto al origen est sobre la a e a curva de ecuacin y = 2x , segn se muestra en la gura adjunta. En este vrtice, la coordenada y aumenta a razn o u e o de una unidad por segundo. Cul es la variacin del rea del rectngulo cuando x = 2? a o a a</p> <p>4.3.1</p> <p>Respuestas de los ejercicios complementarios</p> <p>1. El nivel del agua disminuye a razn de 4/3 cm/seg y el radio disminuye a razn de 2/5 cm/seg. o o a o 2. (a) El rea aumenta a razn de 14 cm2 /seg. (b) El per metro no var a. (c) Las diagonales dismi...</p>