tartaglia - la nueva ciencia

7/21/2019 Tartaglia - La Nueva Ciencia

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Nicolo Tartaglia

La Nueva Ciencia

MATHEMA



Colección MATHEMA

Títulos publicados:

Las Paadojas del Infiito

Beard Bolzano

Método Axiomático y Formalismo

ean Cavaills

Fundamentos de las Matemticas

Daid Hilbert

E Juego de las Eseras

Nicolás de Cusa

Oas Matemáticas

Blaise Pascal

Cuso de Análisis

Augustin Louis Cauchy

De la Pintua

en Battista Alberti

Análisis de los Innitamente

Pequeños para e Estudio

de las Lneas Cuvas

Marqués de l' Hospital

Volúmenes en prepaación:

El Peacio Matemtco a los

Elementos de Eucides

John Dee

El Método de as Fluxiones

y Seies ninitasIsaac Newton

Fundamentos paa una

Teora Geneal de los Countos

George Cantor



Colección MATHEMA

Con el patrocinio d:

Facultad de Ciencas, UNAM

Drcción Geneal e Astos de Pesnal Académico !NAM

Aluanbrt

iblintca igital



Nicolo Trtgl

La Nuev Cienc



Nicolo Fonta, Trglia

Portada de Quesiti e Invenioni DivrseMDLIJI



MATHE

Coción digda po:

aros varez - Rafal artíne

Nicolo Tartagla

La Nueva Cienia

Etudio Inodutoio,

tducción dic del ilno notsJ. Rafa Maríz- y J Céa Gvara Brav



Tulo La ueva Ciencia

Tíulo origina: a Noa Sintia

Auor coo Taglia

Esdo introduoro, raduccón y noa

J. Rafael Marez-E. y J Csar Gevara Bravo

Primera dicón en epaño 1998

Impresn Tpográfica: Ediciones S G S de CV

© Primera Ediión en españo

Sevico Edioiae de la aculad de Ciencas, UNA

Ciudad iveriaria, 045 O, Méxco D. F

SBN 96836-6620

SB 9686-887-l (Coección MAHEMA)



Agradecimientos

Los d rctos d la colección MA THA dsan psars agadciminto a la Drcción Gnra Asuntos l P-sona Académico d a UNAM por l apoyo bindao paala publcación d st tto, La Nueva Cienca, a tavés dproycto IN400495.

Asmsmo manfistan un rconointo a l poyo pstadopor Antonita Fgoso ianda n la captua d lo s txtosd Euclids y a Antonio Lazano n la obtnión d atrialbibliográfico



Indice

sudio prelimar

Nota sobre esa ediión

Epístoa

Lbro pieo .

Lbo egdo

Libo ecero

Apéndie

. 1

50

57

67

87

7

1 59



Génesis de una nueva ciencia

Parecan bellota metálica, despedida por una llamaradaacompañada de un horríono trueno.. no era ufciente que hata

ahora el encolerizado Dio envia u rayo dede el cielo no: elhombrecillo debe tronar también dede l tierra Su ira impura imita

el rao el horror que hata ahoa e abata dede la nubedivinamente obre el hombre tembloroo lo lana ahora el guerrero

mmo a travé de un tubo hacia otro guerrero Eta pete erahat hace poco tan rara que e la mirba como un prodigio; pero

ahora parece habere generaliado tanto habere hecho tancorriente como culquier ota clae de arma.

Pctrara

E 53 7 aparece pub icada La Nova Scientia y, coo lo idica

su íuo, uie o escribe preede uciar a iveció de

ua ueva cieca: l a balísica. Iscra e e l seo de la s d iscip ias maeáicas, la balís ica se propoe coo area

respoder a las uevas i errogaes preocupacioes ue sur-

gía e los círculos de uiees era ls resposables de ae

jar as piezas de arillería ue servirí para lazar proyeciles

a grades di sacias N icoo Foana ( 499/50 1 5 57), detto

Tartagl ia,1

auor deLa uea Cienca,

recooce e pariculara exisecia de u probema fudameal ue, soslayado por

a radció flosóca, reuiere de ua proa solució la de

ermació de a forma que adopa l a rayecoria d ua ba la

de cañó

l. Trtlea en el orgial, que tealmee sgfca tudo.



2 Estudio preimina

Educado en los talleres de dode surgían os aristas que

cho teían de cientícos y de artesaos Taraglia parcipóde esa cltra en la que el ideal se alcanza e la gura de Ar

qíedes para quien la teoría y la práctica el coocmiento y

s aplcación son oentos de n aán qe es el conocieto

cientíco Así araglia encarna la iage isma del igeiero-

matemático qe aparece en talia en el Cinquecento, y que ligado

a lo s arsenales ene coo razó de ser resolver l os probleas

de s profesió y de cltivar el arte de invetar 2 co e inde asegrar. s gloria" (oscovici Esai sur . . )

El nterés por el oviiento de proyectiles no era nuevo.

Había estado presente desde qe Ar istóteles lo it rodujo coo

parte de sus argentos acerca de ovmiento o el cabio

en general (Fíica ibros V y VI; De caelo Lbo II). Estas

discusioes uron oduladas y eniquecidas drante los siglos

subsiguientes en paticular e las postrieras de la Edad Media

donde se ntegraron al cuerpo de la escolástica y de sus royec

ciones acia el Renacimiento. Comprender y valorar los trabajos

de la ciecia qe se despliega en el sglo XV requiere por con

siuiente considerar el clima intelectal en el que se educaron s

autores y frente al cal debieron éstos erentar sus argumentos.

Presetar un panorama competo de los esquemas explicativos so-re el moviento desde Aristóteles hasta la aparición de La Nueva

Ciencia e inserar en dcha trama el problema de lanzaiento

de proyectiles, es algo qe rebasa nestras intenciones Sn e-

bargo lo que sí os proponeos es recuperar algnas de las o

tivacoes y dcltades qe acopa1aron a quienes a través de

la obseración y el análs is o descomposicón del ovimeto bus-

caron arrancar de la naturaeza ese rosro o imagen de la trayectorade una bala qe con teora o sin ella ya sembraba el terror

en los capos de batalla del Renaciento.

2. S area era gener nuevs y más podeross máqinas d ur y, pdjicame,

mbién la de disñr s friccins que nuarían e deempñ d qs y

de ors máqas diseñads cn e msmo propósio.



La uev nci

La nueva imagen de las disciplinas

matemáicas

3

E fotispicio e La Nueva Ciencia lusta las ambicioes e

cote humista e geeos qe al gal ue Taagla as-

piaba a ecibi la msma clase d hooes otogaa a os

lsoos que navegaba sobe las veeabes aguas e la

taició clásica (fg. 1 ). Ispiao e a alegora plóica

el gabado muestra os satuaios: o e más alto pesio

po Filosofía, la ea de las ares libeales uie a s ez

Figura 1 Frontispici de La Nueva Cncia



4 Estdo prelimina

está fanqeada por Platón y Aristótees aestros indsctbes

de los dos princpaes i ones del saber de os antiguos El espa

cio inferior corresponde a otro sanuaro donde se despazana selecta core que ncuye a as daas de cuadrivium -

Mú sca, Aritétca Geoetra y Astronoía y j unto a el las

para cerrar e l c írclo, aparece a Perspecva de recente acep

tacón e tan seeto grupo. En e centro aparece nada mnos

qe Tartaga, fngiendo como aestro de cereonas en un

escenario donde se presentan, a a i sta de todos os pr ncipos

de la cenca qe constityen la balística.

Quenes deseen entrar en este sanca sactorum de cono

cento deben cruzar la puerta cyo paso está resgarddo

por Eucldes. Aqélos que sin toparse con uclides busquen

ngresar a los espacos donde se ueen las señoras de la

sabdría estarán condenados al fracaso como o istra el g-

orante qe a la zquierda ntenta saltar la uralla apoyándoseen a escalera tan coa que ni siquera alcanzará a atisbar

o que ocrre en el interior

Para el Cinquecento los Elmtos consttuían no sólo e un

dameto, sno el paradig o fora de acceso de toda sapienci

certa, característica que separaba a as laadas discplinas

ateátcas de caquer otro tipo de conocimento. Educado

bajo estos spuesos aag ia pb l icó para sus colegas enosinstruidos sobre todo q nes no leían en lan a rimera

raduccón a enga vernácula de los Elemenw?

(1543) . Con

coentarios de propio Taraglia esta edición pretendía que

"cualq er te gencia ediocre pdiera entedera aun s in

e l conoceto de alguna otra ciencia. La razón de e lo radi

caba en qe las disciplnas ateáticas, en paricular a

Geoetría y la Aritéca, que son las puras,

por s mismas se sostiene, po sí mismas s vrifca por sí mismass apuba y o po el [peso] de la auoidd o la opinió de los hom-

3. Pubicdo en Veec.



La neva ceca

bres coo ocre con otr ciencias, ino or deostració eicinde 1565

La cestió de cáes discplinas era matemáticas y pr tat dgs de tda cnaza e cat a sus restads ea pr

etces mtv de debate. E el reaci a su edici de s El-

mentos, artaglia resme qe a su eteder parece edent:

Las iecias Are o Dicipnas atemátia so muchas, sú elu lgo . . Arimética eomtría sica Asoomía, Asrloa Cos

mografa Corograa

4

rpectva Especlara la ciencia de p-sos, Arqitectura y mchas má Sin embargo a Bovetio evrno yGiorgio Vala tomado as oinioes de anos grieos iitn en a dscpas atca ea o cao AétcaGomería ca Aroomía y que la demás sean sualtera, dcr dpendients de la sodichas catro. eo Fra uca da orgoan epchro

quier qu la mencionada disciplinas ma�mtcas

sn cio (agrgado a Prpectiva a a cuatro aterior) o r ex-cluynd a la ica.. y Pitro Cardal d Aiaco qui

rmea stin sobe a d acroboso concluy qu la Mic laromí igualmee la erspectiv o aemti pas(cmo crto) sio inermdias er la Matemáica y l ccianaua .ocluimo noncs que o a Atmética y la mera, e asu cupa peculatiamne nustro clid o las discpinasMatemticas pas (Tartaia Euclid Mgarens, f 56r

e aterir se desprende a imprtacia que haívnd adquiried as discipinas ateáicas p sí ismaspr sus us práctcs pr s a prpedéutic en estds

ta apreteene je c pdra parecer a ega

y e Derech As, más más discipnas se nscriieo ete

las qe gardaan a estrcta dependecia de as aemáticspras Ta fue e cas de varias áreas de esudi que i-

caente se enseñan en as bothegue esceas de cis

4. Tpgaía

uca Pac i ( 144- 1 5 1 4 c) l ms célebe aemátc de s tempo, ator deua Summa d artmétca y gemetría teóca y páctca plcada en Venea en

_144, y de La Divina Propocó (109 a a qe debe s fama



6 Estudio preimin

dde se apreda Tpografa Gnomónca Geograa Óptica

y erspectiva. Las divisines o subdiisiones a las que diougar a prfusin de aciidades que se apyaba en as

atemátcas l lev a que getes de a tal a de aragl ia Federigo

Cmandio ( 509 575) a que aagla cal iicara e

' peritisim atheatico y Cr istfro Clai (o Claviu)

(5236 1 0)

apraran razones poderosas para efeder una

tro aleaia de casicaci. Es e caso, po ejempl qe

Cmmandio icluyera actiidades cuyo desarroll toavía noera especacuar pero que ya peritan esabecer difrencias:

Hh otr división, dems qe s udes memáa se upd l cs iegibl de l sensile: de l iils l is d ul conidrcones e m p sí mim see exidsjds d l ' mteis de ese én mi ds epees pies.. Geetí y Aiti. En

u oto géneo, qe e fsió de pse de a os uec s senids se divid n seis pes e te de mun s-lí Ót desi C Mú y ll e se d e ents (Prlegmen s 1-mntos)

Si s pasa a ls subiisions s tie que la Astroa

a su v s subivie Gnmói, Mroscpica,Dióp-

trca8 Ópica o Prspca que a su z s die n Ópia

e ' . E' . 9 f 10atoptca "spcu aa y scegra ·¡aEst t ipo subiisnes es cptabe par Clavi qu ien sól

ustituye el arte de las máquinas po la Mchaica. A esta

última la subdiide sgú su actiidad en áreas qu se ocupa

6. Hombr av n a dución cinfa d lo ios juits, par os clssibió x b a drn disias mamúa ptos imi-

t o-�dógico d a rd7. "S oupa d a drnias nr a lvaion y < dtanis d a stra

y na oto torms qu rtncn a Arooí

8 Por mdio d instrumnto invia ls ditania d ol y d ln y d ottra.

9 Estudi as y d refión d a z obr j.

O. Propoio gs ptis p engaña oj spto o a isiód idimnionadad n l dcorado d n taro



La nuev cinci 7

ya sea de a consruccón de ' ngenos o máqunas o de a

construccón de eemenos écos, de autómaas y abénde estudos sore el movmento y e equro de os pesos.

Un problea edie de movimiento

Desde medados e sgo XIII a póvoa ea coocda e

Europa pero fue sólo hasa ben entrado e Renacmeno que

a ecnoogía mar pudo uzara de manera que resuaraás pegrosa para e enemgo que para e propo artero. Pre

vo a eso e uso de omardas, moreros y cañones no había

jugado un pap decsvo en e resutado de as guerras

srvendo más para nfundr pánco entre los hatanes

d ua cudad ajo so que para efectvamente derrbar mu

ra as y d spersar ejércos La crecente mpotanca que fueron

adqudo as amas de uego a aumear su pode desuc-

tv y su prsón para dar n e banco se pued consaar

n a orma como son presenadas n grabados i' pnuras de

a poca, sendo usua que a medados dl sgo XV aparecean

como eentos decoravos en panos poserores o a os

cotados de as usracones g 2) en ano que cncuena

año más arde earon a ocupar poscones cenraes en oscuadros donde se ceerabn as grandes aalas (fig. 3

Conforme se vanzó en e conocmento de odo aquéo

qu cundaba a uso de a aera as dscusoes sobre

a yecoa de as baas saero del ámbto unverso y

de a escoásca y pasaro a sr parte de una cuesón con

úpes faceas: práccas estraégcas maemácas físcas

y osócas Lo que se dscutía era ago de a profunddady queza neecual que e probema de movmeno o rayec-

tora d un proyec pasó a se una de as cuesones de-noras de a ransc ón que ocurró en a mena dad de a

época.



8 Estudo prelminar

Figur 2 Aloía l G y la Paz. Gaa de autor

anóimo, 1459.

El pnpal poblema que se pesnaba a analza el

oveno de una bala de cañón es que aún pessan ideas

basane confsas speco de lo que ocua una vez que la

baa esaba en el ae Paa nena esove esa pobleáca

y aclaa e panoama dos cégos ancese, Jean Buidan

y Ncole Ose haban nrouc en la dcusón la noón

de ímpeu enacándola en las docnas asoél cas con-ene acepadas en el sglo XVI. S embago esas deas sóo

apunaban a esolve cuesoes del oden cualavo y poco

aydaban a esponde las pegunas báscas de un aleo:

¿qué ano hay que evana sobe el hoonte n cañón paa

que la bala acete sobe un b lanco colocado a una eenada



F i g u a

3

A l b r e c h t A t d o r f r . B

a t a l a c o n t r a l o h u n o e n l a

a f u e a s d e R e g e n s b u g

, 1 5 1 8 .

N r e m b e r

r ": � "n ¡ · n � ·

'



10 Etudio prlmna

disancia?, ¿con é inclinación se debe dspara una baa aae s acane sea máxmo Ésas y oas pregntas semejanes

ían en as cabezas de os neneros miares e saían epode e acanaran os eércos e oseyeran esos conocmienos. Era evdene que as docinas e se ocaban emovmento deeían dar e siene aso y responer caniaivamene a sas dmandas

Cosa cuiosa as meras respesas a dhas neroganesvieon e os castros niverstaros y eron emiidas pre

samen or Taaa pofeso de maemicas e a unversiad e Vneia peo e siempre mostr un an neréso os asnos de oen pácco omo ya se mencion osreao ncas os sen en La Nucva Ciena ( 1537).

n úna s ennan dos cosas o han hecho asara a oa Una s a aman de e e mámo aanc

aa ao e na aa e oa ncinano e can a45"

o a ron ano a oa e ago e imaa los ao y ioos de a éoa pes afrmaba aaya sa a aa en e ai inca a ae cvaon ca aa hacndo caso omso e no d os tosrae a dona arisoéica movimieno Sen seaon movmno e ra se a aa a sa e

añn era a o ao na rca aí se manena haaacanar s múma aua. Aco sedo a aa caea améneno na aoia rectinea en ieccn e nto dea irra (. 4). Ea mpib o ano e e oienoo e habaa aaa oera a e a iera; dio movimeno esaa resrvado ncamene aa os ojeoscess es deir auo u se men ms a de a esea

ar y e s omtn o osien a eyes iets de!a rea es.

La soia de a ransn e o moos pnsar vaes a os osyn !os nos e a amaa ncamoea -·a re e so XV[ y aaa s ima



L nueva cia

Figura 4 Danil Stbech. 'ohel Astonmcom,

Bsl, 56.

1

e el XVII co gura de la al la d Decar Newo y L

muy ampla y co múple v1e or elo e l ía

que ige ólo e ebozará alga d la cueos r-vae y qe a u vez icid drecame obre marco d

rabajo que defi Tarag ia el eo d a Nuea Cieca.

o aecede eórico qe e om a dicó

La ueva ienia e remoa a la da aroéica obre

movmieo qe había aravado e Medevo lao gaado

en ocació y propiciado la acmulaió y ilacó

de evo cocepo qe bcaba maeer la praca de

o veo equema expcavo de mdo fíco.

Para enender mer la mportaca del trabao de Taaga

e eceao preea alguo apeco de lo qe era la ceca

del movmieo e vo a evouconar, iiciado por aaar



12 Estudo prelmina

l que aparenteente en nuestrs días es fáci ntuir y, ás

fáci l aun, describ ir y cntrlar per que tdavía en ls tieps

cernicans estaba dead de ncins difíciles de entender

y aneja prier que hay que tar en cuenta es que

paa el Mediev el viient era alg que pda currir en

una de as siguenes cuato categrías: en la de ugar y se

e llaaba entnces 'lcción viient lcal; en la

de cualidad, y se aaba alteración, c cuand un cuerp

s enra se caienta en la de cantidad y crrespnda a ade aumnt dsmnucón c sucede en e cas de un cuep

que crce disinuye de taañ y, pr últi en la de sus

tancia reriéndse a cuand cure generación crrupcin

de una prcón de ateria.

Las d iscus ines sbre aspects reacinads cn vim ent

alcanzarn alts niveles de cmplejidad en casines pr ra

nes tan sutiles c la distinción ene cambi ymvint, l primer sind alg que un deduce dinte

l racici cuand se cparan las sensacines ex

pementadas en ds stantes dierentes y dándse un cuena

qu sn ls misas se dice que currió n cambi-, en

tant que el segund el vient, es en esencia alg qu

se uestra ante ls sentds sind alg fenénic Perci

is el mvimient cuand está curriend per deducims

ue ag ha cambiad só después de crrid el hech Se

pdra decir que e cambi es la diferenca entre estads

sucesivs, cm pr ejep el cabi de psicines de -

guien que de estar dentr de una haitación pasa a estar fuera

Es evidente que cualquie bet en mviient lcal sufre

un cai en su psición Pr ell se dice que cambi ymvimint parecen er csas distntas si ien curren de

anera cnjunta. guiend un análisis que presenta dith

Sylla dres que el viient es un fenóen sensrial

clarante detrinad y que crrespnde a un cncept

idea bien determnad Pr su pate el cabi uede parece



La nueva ccia 13

indetermindo pr os sentidos peo corresponde un ide

menta uy cara Lo usu entonces es que se busque estabe-

ce una imgen menta del ovimiento en términos de cmbio(Sy Oxford Calculaors, 25-7.

Desde esta perspectiv es común señaar que e nálisis de

movi miento en os prieros s igos de este m i leni o in terprea

un movimiento competo coo un cbio, considerndo uni

tarimente primero en trinos de móvi y de os punos

correspondienes inicio y e érino de moviiento (o cua

port un especie de imgen de moviiento) si bien co

tando que de hecho e óvi o se encuent jo n reposo

sino que está reaizando rnsicin entre os dos puntos ex-

treos sta interpretación concibe oviieno coo un

ujo y no corresponde por tnto a a misma categoría de

os eementos que consituen os exremos de movimiento

ugares) es decir e ovimiento consiste n e pase o tránito de un ago hacia otro ago en a categoría de lugar y no

es por sí mismo eeento de esa ctegora. De estas eoas

o maners de concbir e movimiento se dice que son plaóni

cs y que únicmente consideran dos formas disinguibes

e principio y e n de ovimiento y sólo permitn que

los puntos intermedios correspondan vagmente a prefigura

ciones de eemento n de movmiento Según ea visiónexise primero un estdo de egar ser ujo y uego el

punto n o término de moviiento e proucum ssfa

um esse, mou sse para seguir terminoogía utiizada por

Snto Toás en quasne 3 aícuo 2 de su Qodlibt)Según otr trdic ión que se desrro a hacia e crepúscuo

de Medievo hb que ocuparse no sóo de principio y

de fin os extremos de mvimiento sino de todos os pun

tos intemedios Es un hecho que ya desde mediados del sigo

XIV quienes se ocupbn de estos probems considerabn al

movimiento en érinos de os ugares y magnitudes de as

cuiddes y s escuels de Oxford y e París hbín



14 Estudio prelimna

mostrado grandes y suerentes avances en estos estudios

ocpadas adquirdas o ranstadas or e mvi en cada instante

de momiento. A ese enoque se l a caficado de ars-

otico en anto que se ocupa de las ormas que de eco

cosidera inerenes al mv y no de aproxiacions o som-

ras imperfectas de los etrmos Para quienes se enconraban

inmersos en esa corrente e moimieno esaba conormado

po e ml y una serie de luares cuaidades y cantidades

ien di erencadas que dico mi posía en cada instan de'reorrido stas ormas ran conoidas n o genera como

fora u y n aso del movimento loca como ubi

.u Murdoc The Sic o Mo, 2 1 5; Wa ace au-

alty 5558)

nender n qu onsisía moento proocaba mú

pls debat y nt a t arco de rerencia los sudores

Gu i rm d Occam (c 30c. 49) sosenan qu lan d mmino s rra única y clusan al

mvil y a los luares rados d cualidad o cantidads ue

aq adu ira d manera sucsiva sa opin in era dndida

por un rupo bastante ampio de los Cauatr (rad

wardin Hytsbury y Richard Swineead). Pero tambin

abía quenes sostenían que tal manera de concbir l

oimiento era inadecuada y que debería aber algo más qu

tomar en cuenta si s quería realmen apreender su esenca

Ese ago resul ser amado el y uo de s deensores

más connotados u Waltr Burey otr miembro de grupo

de os aator de Oord (Maer Studien 1 06 1 1 7) .

Burley presenta na teoría del cambio cuaitatio en té-

mios de lo que él llam la scesión d las orma y medianelas cuales concebía al movimiento en orma gobal y no so

en términos de los puntos de inicio y de n del proceso Según

esa teora no eise un pnto nal o termnus del movimiento

sino un número innito de ésos, orrespondiendo cada uno

a aa insane del movimieno Lo anerior ondca a qe



La nueva cina 15

no se uviera un sólo moviieno o puno nal alcanzado sino

ue ahora se endría un número innio de ransformaciones

o cambios seguidos de un infnio de punos naes alcanzados

Con eso Burley lograba una descripción más dealada de lo

u3 sera el movimieno n ebargo el problema d a on

iudad segu vigee. i os ateeos a lo exprsado por

urley resul ue nunca ocurre ue dos oras adquiridas

sean inmediaas una de a ora y i bien en nmero son in-

fnias eso no permie concuir qu l rayecoria forme uncontiuo. Sóo s se era agregar la nocón de flujo a esta

visión era posble sosenr a idea de coninuidad co algo

susanvo para el movimieno Es vdene que las aniguas

di scusiones sobre a naraea dl coninuo haban ransm iido

su fala de claridad al bio d la concpuliación de

movieoDe cualuir manra e hcho d habr anado

una rormulación del prblea de la nala dmovi ino y d as vas mús aduadas par s dipión

n las ue se pona especia nfasis n ls ures ls que

as d iversas eoras aan co as macas e ar

icuar por e hecho d u uchas de las dicusions rmian

a imgenes d cor geoérico era un paso ms n la di

rección que resuara hegemónica en el sigo XVII. ra, ni

ás ni menos sosener que las maeicas y l mundo a

esaban niamene enlaados lo cual a fines d a dad M

d ia todava era algo extraño para el senido comn y osnib e

sólo en el undo paónico de lo u siempre es y ue por

ende nunca sufre del door acompaña a llegr a sr.

Quien penere en auelos mundos an ljnos no dear de

noar ue el poder de las aeáicas coo lenguaje qu hibeo expl ica al undo xeo di saba odava de alcanar la c ari-

dad ue cuaro siglos e riunfos sucesivos nos han hecho acep

ar como evidene



1 6 Estudo prelimna

De la causa cuantifcació del movimiento

as ideas que de anera expoiva irrpieron en a ctra

euopea de mediados del siglo XIV, y que en forma natural

l levaron a vs al movimiento con os eos de las temáticas,

prnto se perdieron en los laberintos e as viejas discusones

sore el contnuo atetco y os desordes imaginativos de

la teoía de las latitdes debndo esperar otros tiempos para

su resrgimieno Lo ue siguió siendo discutido en los círcuosi nelecuales fe l a idea d movimiento y de sus causas y como

era de esperarse Ar stóteles era el pnto de partda que gaba

toda d iscsión (indberg, Westr Scinc, 290307; Mrdoch

Th cnc of Motion 206264)

n cano a la modelacón de mund había algo peclia

en el enfoqe aristotélic y es qe enía n muy ala esa

a a razón hana y no confiaba mco en los datos que p-deran sugir de edcones pues en éstas patcpaban los

cico sentidos y había uchos arguentos qe demstraban

s falta de objeividad Sobe est hecho Patón decía qe

cando el ala depend de os sentidos para obtener infor-

mación "es arrasrada haca el reino d o variable, y con-

fundida y maeada piede e camino Dialogues 62)

istóeles po su pare afirmaba qe el matemático realiza

medicones sólo despés de "haber despojado [a objeto] de

toda cal idad sensile tal como peso ureza . calor, frío y

otros contrarios que se aprecian con los sentids (Works, 8,

061 a.. Heredera d estas deas l Edad edia consideraba

a la descripc ón y al an is is más útil en los asntos cal itativos

que en los cantitativos No sorprende ntonces, que el anl is ismedieval del movimiento se ocupara más de cestones cuali

ativas que de las cuantitativas qe en e sigo X se pondran

a la vanguardia de la d iscsión Haba también c ierta reticenc a

pra ocuparse de las cestiones cuantitativas dado que, segn

Guillero de Occam, nomnalista or celencia éstas sim



La nueva cica 17

p leente no etían La únca eal dade extente ean l a

res abolute, a abe la ancia- atea y la cal

dade olo, calo, foa y peantez, toda ella coa abolta con capacdd de et de manea independente.

a paaba cantdad ea condeada po Occam coo n

nobe abtact, ya qe n ete po ima Pede aen-

ta o dini y hata deapaece i Dio a lo desea y todo

ell in afect la tancia o caldade Et e evdente

en el fenóeno de la condenación, done el volen cpad

po n cepo caba n qe ello cnlleve n cambio en la

cantdad de atea a ancial o calqea d e la cal

dad ablta Llevado al eteo, io pede cndena

tod el nveo elmnando toda extenión, e deci edclo

a n_pnto en el epacio Segn Occam algo emejante oce

con el miteo de la caía donde la ditinta parte qe

integan el cep la ange y la foma de Cito, e mantienna pea de n pee eenón epacial Et modo d d icui

l llevó a edci odo l poblema vnclado con canti

dade fíica a poblema de lógica de gaátca

Refiiéndoe al ovimento, Occa conclye qe témno

como ovento cabio cecento, condenacón y ot

elacionado con éto, coeponen a ficione qe deignan

no ota coa ino la ateia indivdal la oma o la calidadSegún él el concepto de oviiento e contye de do ele

ento n poitivo y oto negativo El pieo e el cepo

o caldad al qe e efee Aitótele al habla del cepo

en acto El eleento negatvo coponde a la negación del

epoo y etá implcito cando e habla del cepo en po

tencia' Eto lt io no pede eti fea de la mente, ya

qe ól el cep coo ndvdo ya acabado y en epoo

pede e condeado como eal De ah qe po ovimiento

e ntnda a n cepo del qe e dice no eta en epoo.

Aceptado eto bataba n pao paa qe Occa condeaa

peo hablar de la caa del ovimiento, pe nada po



1 & Estudio pclmn

dr estr por enci del cuerpo en tanto que ente físico es

dcr dotdo de existenc egir est líne de pensento

obvente leva n clejón sn salida. Aortunadaente

el occso no gozó de c on entre los ilósoos

nturales y que en dco contexto ndi er l necesidd

d proponer teoría algun p explicr oviento de un

poyect 1 por s éste na cción que po consig iente no re

queí una epición causa

Siguindo Aristótels cuando se disctía cerca deloviinto s usc dentic sus auss sus oas de ac

tur y as relaciones qe se podían estblcer en la e otriz

e peso de óvil disncia ecoTida y e tepo tnscwdo.

itótls disingue dos pos sicos d oviint: l naura

y l vioento o orzado En abos csos se eqería a o lr

dl oviento que a ste lo ntuvier un gente que au

de nra ntinu. Si se trat de ovinto ntura l agntera la ppia natualza del cuerpo sí ocua n el uno s

prlunar en l e los stros y los plntas esán niado pr

u n ovi ento nrl y cc la l rededr del centro la ier.

Pr l conio dntro de l eser de a una los oeto tiendn

no hacia l centro de l tea los qe se denona grves

y otros n drcción opest onocdos coo lgeos si-

p hacia lo que srí su ug ntua Así, l cíd de cepos

grves o esados es natul n vist de qe el gar nturl qe

l coresponde a os graves es e centro de undo en tanto que

el de los ligeros es l sperce nte de l esea sore

la qe se ueve l lun Se tení por cierto que conor

se acercb el cerpo grve s lr ntul myor sr

su velocdd; esto por l legrí que le provoc poxi-rse l sio qe s nturalez le reervb coo popo

El oto cso, el del oviiento violento está típicaente

representdo po el lnziento de n poyecti l donde l cus

del oviiento es tnto l no o nstuento que l lnz

coo l ae qe lo emp y qe por consiguente sostiene



La nuev ienca 1 9

e oi ento s evdente ue en esta tuacn a causa de

oiento era una causa extea a mói Según Duhe

(Elud s Léonard, 3) Aristóteles pesentaba dos posbes

expicaciones a de avnrEpt cl, ue sosena ue e ae

desplazado al fente por el proyctl se oa haca a parte

posteor de miso para llenar o e podía ueda acío

si nada o ocupara. La otra posbliad era a a que apostaba

Aristótes para uien era l popio edo en este caso el

aire e ue poseía la cpacidad o podr de moer y anspoael poyctl asta ue dcha capacda era agoada. so con

leaba una especie de contadcción pues planteaba ue l aire

acuaa tanto coo otor del oi ento coo de aene ue

genera sstenca a so Asu la contadcción o buscar ua

souión atea a oto e debat y namene ue a segunda

posicin la ue preaeci en las torías de petu ue a me-

dados d sio XIV suiran (Taton Histoie Vol )Otro ento ue ntrno n la discusón ue a ega

de paralelograo para coponr oviienos utiada por

Aristótls a arma ue si un óil se despaza on dos

moientos siutános tales ue las dstancias recorrdas en

un m so iepo uadn una lacn invaabe, d cho ói l

se despaa siguieno la daona de un paaeloao ue

tine por lados dos neas uyas longtudes guardan a sarelación n contexto de Renaciento esta rela pa

pocas posibidades para e desarrolo de una ía d esudio

cantitatva de oveto de proyctes ya que etrañaba

la posbildad asta enonces no jutifcada de coponer un

oiento natural con uno ioeno

Una anera de resolver una cuestión entre toras o puntos

de ista ue no acanan a conencer ni tapoco a dstui

o ue se es opone es proponer una teoría nuea ue expl iue

todo o ue comprendan las anterioes y ue as supere en

auélo ue no oraban soeter de anera coherente a su

ssea En este caso tal toría ue a de ípetu presentada



20 Estudio prelmina

aror 1340 por Jan Brian (c 300-c. 358), qin

fra rctor la Univrsia París (Clagtt Mechaics, 2

2, y q aparnmnt sgia poco ans por Francso arhia ( 3 9 (Wishipl Motion 3 y ya s sigoVI C por Jan ilopón (Sorabji Moion 227248. Anqs cas náni la opinión q los tabaos t úimon pasaron al Occnt mival (air Zwi Grundproblme

7 33 lo cio s q ss argmnos paa rf la oral oviminto ristóts n lo q conci a agnt qmantin a móvil n moviinto vionto son my smjans

a os prsnaos po Brian Orsm y l rso ss sgors

lopón ssn qu l mio no p sr la casa dmovim ino a pira o poycti ya q s i así fra ¿por

é aía lta q la mano tocara a pra? no pgopar o splazr al are on vigor y no por llo s mová

la pira ambién ocrr a pira rativamnt psap sr anaa ms os na más ligra lo cal bíaocrrr a conrario s l air fra l rsponsabl l

movmino Ms an oo mo nco air orc r-sitnca al moviminto mana q n ga sr na

casa rsa sr n mpimnto. Too so o lva a conc i

q la orí arisél ica no p xp icar l movimnto io-

lto: " . . por l conraro s ncsaro q n cito pormoriz ncorpóro sa transmitio al proyctil miant l acto

anzamno (C ao por Wishp , Motion 29 Espor o svspysw. sóo s tomao como algo prsta y crc

como consnca as nncas natrals obto y la rsistncia mio

Cano Duhm scbró la toría l mp n los scritos

an Brian y ss sgiors pnsó q por n haíancontrao a los prcrsors parisinos a os q Gallo hizorrnci n ss primros scritos a los q A Favao batizó

como Juvlia (Gailo Or Vol . Dhm sosvo q prncipio inrcia l pocto natal la rota q s



La uv cencia 2 1

fr a dstc arsoca etre oet atura y

oveto vet de ans de a tera de ípetu Esta

pnn no es cpda pr uchos Aeese aer entrees a cnsderar que Duhe exaer a nca de ccetde t deás de cobr nee e pbema hstr SeúnMaer, a ra del petu sure c u desar o aura de a

dctrna arstéca y resu un tant ajena a prncp de neaque a en e so XVI (aer Zwi Grndpobleme 1 3- 1 4)

La nuea cieci del movimieno. Vias

paraleas: teoría y pácica

E rbema de mven cpuesto xt ue retadcn · seedad pr eard da Vnc Hede de una araadcn que eraba !s cncents d neners arsasy atesans, tdos os usuarios de saberes a sc de cuestns práccas Lenard aprende a pensar y a trabaja cn e-

gnes, pas, uedas baanzs ns, bacs y pansnc nas Se ure de a tradc aquedana y de s trab�sercs de Swehead y de Brdan psbeete a trvés deAbe de Saja y de Ncoás e Cusa (Duas Histore d

a canique 4782) por o que e estudo de s enóenst y coo curre e la aturaea o reaza rene sta y

n a tés de os tratados de a escoástca. st e eva a anazae vet de u cuerp rav que se desza sbre n panncnad y a eucar coo resuad de sus experens quetodo cuerp rave desea caer haca e cer de a tra y a

pscn que e resulta ás bcua e prduce a en de as

resstencas A l reerrse a a ncn de petu de a que cooe ha enconad ya se haba ocupad rdan, a trata cuna v tud ceada p e vet y trastda por e

a v (Bab Mathéatiqus Ar, 53) .Con respect a a cada de s aves cncuye que ve

cdad que aduere l cuerp que cae es prprcoa a epo



22 Estdo pelimn

ue a tanscuido duate la ada (Notebks, 67) Esos

planteaientos uesran el afán de absae de la reaidad los

cmportaietos reulare y de encuadraros en enunciadosue ci 1m ene pueden ser aduc dos coo proposic iones

mateátcas covecido de ue o xste ceridbre agua

ahí donde no pneran as ci encias atáicas o aué l las cuyo

susento reite a as maemáticas (Notebooks, 7).

in ayores reicencias en cuano a considerar siuaciones e

apareeene escapan a aisoeismo edieval Leonado se

atrevi a o desdeñar la posibilidad de ue exisiera u cieo

ipo de ovimiento cmpuesto por un movimien naura y oto

violento, dado ugar a lo ue sería ovto mxto. Si

dud sus preoupcios eórics se eaan co e valor pr

ico d rcaar cieros coociios sobr e movieo rea

d ojos q el marco órico de a época podran on-

sidrarse soeidos a ciras etas de movmnto aura ya oras d movimieno viono. us ilusraciones se dis-

paros de bobaas o d une d aua mustran un fuer

setdo crío y su iesa capaidad d rpresetar eln

lo ue se mostraba ate sus ojos (. 5 y 6). En ambas lus

tracioes d ci lete oda o recooce semeaza agua

:. �-

;.·• �.) i" :

Fgura 5 Leoado Códce Atlántio, fo. 9 vA Bibloteca

Ambrosiana



La nuev cenci

Lo s p á etas aías d ag pseemao pia o pde dep1có pra move uae Aunando qu se balan ! l ode pcun y d 'po delaua, ocly q toda

la im onca.

/

r " " - • J-t·�.:

6 Leoard . Códice Madr l , 1 34v.

23

con diaama conemporános e cómo e comportaba

o objto lnzado al ae n racor oicua.M á impactane aun s la i lutac in donde a a maera d

uridor aua Leoardo mra la aycoia de balas di-

aadas por o1ro (fg 7) Eto itúa a eoardo a lado de

Figura 7 Leonard Cuato m lanzando pidas sob pato

d na foraa. Windsor, , 15.



24 Estudio prelimna

mchosas que superon

obse1ar que la t seuda

por u objeto lazdo en d

rcó oblcua es ua curva

(g 8)

o que hay de que

ae e el análss que

ace eordo sobre ese

de tors es que lsconc omo movmtos

que se pueden descom-

poer e tres pares: ua

pmera en la que el

movmeto es esrc

amene v oeo' bajo

el eeco solaro de ím-

u ncal ua tercera

eapa en la que el

movmento es sólo natu

Figura 8 Miatura de auo anóimo

(ca. 1 7- 200) Ms. Harley 15,

Museo Británico.

ral fectado úcamee por aquél lo qe o hace dr grse hca

e cetro de la terra. Y coo algo ovedoso la etapa n

termeda del movmo qe laza a los oros os, y qe

es teda por eoardo como someda a u ímpetu com-

puesto o cual hace que esa eapa sea cosderada un

movmeto mxto Ese nuevo po de ímpetu requere u

comenaro e cuano a su sgnfcado Para eoado mpet

compusto es aquél en el que patpa tano el mpetu el

moor como el ímpeu del móvl y de ah que ovmeto

m to sea el que se sosene graas a a partcpacón de amosímpetussas deas parecían pegurar los abajos de Taragla

pero a pesar de la ama de Leoardo sus escrtos sobre

mecáca o recbero ua apla dusió, por lo que los

estudos sobre el laameo de precles de la prmera m



La nuva ciei 25

tad de sigo XV paeon na vez más de n eseo por

anal iza di cho moviento en tém ios aristoté icos Esta ínea

de agmentacin generó dos casos qe tv ieon a ga tras-

cendencia e de opéico a econocer qe a piea qe

cae se ve afectada po n movimieto recti neo y oo c ic a

y el de Taga a esda el gran pobema de os aeos:

a bala qe al se lanzada cosidea someida a los dos

movimientos señaados po Copéico

El empirismo del artlero

Las efeecias de Peraca a las nevas amas qe coezaba

a invadi os campos de bataa de mdiados del sigo XIV

es testimon io conable de lo extedido qu ea u manejo.

Si ebago, a pesa de l especacla qe podía paece

el estallido de n cañón lo cieto es q s so ea aúprobemático Mchos ean os facoes qe se sumaban para

hacer que las amas de fego no fuean l ecuso maaviloso

qe eportaa victoias iediaas (g 9). A pesa d qe

Roge Bacon ya conocera el seceo de cmo provocar ese

efecto 'más fuerte qe una tempetd qe se obtie de

Figura 9 Konad yeser. Beliorts a 1 400- 1 05) Ed. de G

Quarg, Düsseldorf 967



26 Estudio prelmna

meza azufe saie y n teea ueza' uya identidad

omita menona aa eseva a a hmanidad peo qe

eveaba medante en igmas en oma de anagamas en u Epis-lae de scrt is opribus is nata t d utate

maKia ( 260) es n eho que inamene os eeos de

a óvoa ean oo onroabes (Fshe Amas

ProdKa, 2 1 6) . ambén estaba e obema de a fata de

editbiidad en anto a ómo y ándo se rodia e

saido de a óvoa o deende éste en ae de a veo-dad on qe egaa e oxgno a eeálo qe a a

maenaba Po s ate e oedim ento aa eeta e

disao qea de dos hombes aa maneja el añón no

u naa y que debía aahase nsegd enomen

dando su ama a Dios y oto qe aaa a ha a a

óvoa. Éstos y otos obemas esentaban obstuos que

imsaon a nmeosos hombes de geno a oase denvas y vaiadas amas énias nas eaonadas on a

mea ua y oas on e d iseño y a oduión en se e anto

de as amas como de as baas e omo se ha d son

se eqeía de na eisión asi matmtia aa q ente

diámeo d oyeti y añón e ama ubie e auste

de a deenda a erza de disao

Lgando a a mitad de este mienio os oyeties eanfabados on heo ojado y aibados según sus esos ui

dando además que su foma uea a más eana a a de una

esfea stuaón a a que Tartagia se eee en L Nuva

Cca ando haba de eos iguamene gaves

Aumena a otenia destutiva ea uno de os oósios de

qu enes abiaban oyei es y a inio esto deenda de

tamaño y eso de a baa as omo de a exosón qe o

oonaba e met on que ésta ea disaada En 1452 d-

ane e sitio de Bodea (Babin, Mthmatiqus, Art, 55)

aaee o qe sea no de os gandes adeanos béios: a

bomba es dei n poyeti agado on póvoa qe exo



La uva encia 27

aba en el momeno del paco rovocando un eeco qe

ba muco más alá de l qe roduca e mero íme qe oseía

la bala.Con odo, abía n elemeno al qe se e haba dado oca

mporancia, y se era el cómo aunar haca un obeivo sobre

el qe se deseara ace baco Drane e rimer par de sigos

de uso del cañón la idea era lanar los royeciles e ir aus

ando or ensayo y error la osición del cañón, las ás de

lasveces lmándose a realzar dsaros con n ánlo aenas

or encima de la horizonal Si embargo los avances en

cuano a la posbilidad de corolar a oencia de disaro,

de acer má coniable a supesa reación enre a siación

incal eso de la bla nclnación del ubo de añón can-

idad de vora ec y el siio donde aía el proyc l

ceron qe adqrera sendo el sdio de las rayecoras

de los royecles Que ése no era asno sencilo qeda demanieso en L 'ar de j ls bombes ( 1 699) donde su aor

Blondel criica a los lósoos de anaño orqe a sar de

ano aber d iscrrido sobre l a esenca del movimen naural

y del violeno, "no dicen absoamene nada sobr lo que ti-

nalmene es el eco de se movmeno, [rerindose con

elo a] la rayecoria del royecil Según Bondel

n xiía nciin agno n d l mamáica i d gata cnc u uda nña [ l arll nurz mviin d a ma d la lína rva éa dcran l air.. , d a difrncia n u alcac dndind de l drn-c a laión d u dl añó] . y ll q�j lp q as b q ns n s a laa aaand o

y feran a maar a qienes de ss ropios ejércios esaban

en as rnceras del oro ado de la oricacón (Barbn,

Mahémtiques, Ar 4-5).

Exraer de enre toda esa maraña de idas e conuno de

experencias daos y rnciios qe ieran cero a una eoría



28 Estudio prelimnar

dl movimito qu plicra dscriira la forma d la

trayctoia d un poycti l co ovim into ol icuo no a tara

sncil la. Ta s así qu todavía n 1 63 s publ ica un Tratdo

de Arilí n u su auto Digo Ufano, capitán spaño

con fama d xpro arillro sigu cosidando qu son trs

los movimitos qu paticipa la dtmiació d la uta

suida po ua ala:

.sto tios se producín pmeramn m un mvmn no

c, lug m un mmn mzad n qu a baa dnad a nea a n a qu aió d m y gu un a ínaura; inalmcnt, uand a pd da u fua sig mmno naua buando e no (de a a] de ariba haab�jo, omo p n la 1ga tg. O) (Brbin, Mathémques!rt. ) .

Sgú sto u ca' coocado sobr ua to· ti mao alcanc

u l situado n a as d dicha to E a ua corspondnta cra pa d la acoia stá mu crcaa a la d cc in

vetica dfind l txto (i 1 ) . Lo qu rsu lta

Figura 1 O Gaultheru Rivus, Acteht . . Mathematshen .. .

Kust, 547.



L nueva nci 29

]igura 1 1 Diego Ufano. Tatado arillrí. Buses, 1 6 3 .

evidente es que aún a principos d siglo XVI I no eisía cari-dad en canto a la orma ni a los eemenos participantes en

a raycora de na bala dispaada obcamene.

Pareciera como si toda la cincia todas as búqdas de

conocimiento se hbieran ocpado tan solo de aqellos as

pectos en los q ue patic ipaba la mano del hombre abricación

del cañón y abrcación de la póvora o de ss efctos de

primera nsancia a exposón djando qe la natraza

se encargara de gobear todo o q ocrría desps Hasta

entonces sólo se habían emprendido accions de carcer em

pírico para 'conocer e comportamiento d n cañón bom-

barda o caqier arma de ego en canto a su acanc con

reacón a as derenes inclnacones con las qe se ectaba

el disparo. sta probemática corresponda a otra visión deproblema na qe se habría vendo incbando en otros ámbios

y qe tena sus races en a pintra la óptica, as técnicas de

epresentacón (Edgerton Sciene; Cardano Líbr primu,

394) y el aán de canicar qe sge a nes de Medievo(rosby, Masre 29 1 37 . Es rente a na necesidad y con



30 Estudo prelimnar

una nueva paorámica que el atilero se preguta sobre a re-

lación que existe ente el alcace e un isparo y e ángu

de tio y sobre a forma y las meias e la tayectoria e

proyectil El méito e Tartagl ia raica en aber s ido e prieo

en buscar respuestas a estas deaas del espíitu práctico

si bie sus ogos no acanzan iicialmente a comar sus am-

bi cioes. Es evidete que a ciencia que pretene estar inaugu

rado sóo está emitieo sus pimeros balbuceos.

La baístca de Nicolo Tartagia

L Nueva Ciea es un tratao de oviieno en e sentido

edival es deci no discute la natuaeza de moviiento.

Se ocupa excusivamente l ovimieto e os cuerpos que

laa igualte graves' que so aquélos que por su fora

esfrica y su materia o encuentran una oposición sesi bl epo pare el aire Y la anea d ocupase el oviieno

es e modo geométrico: siguieno el odelo euciiao

priero pesenta efiniciones seguias de suposiciones y no-

ciones counes para l uego pasar a deuci os que ra n o s

teoreas e s u ueva ci encia . Y tan era una cie nci a en

constucció y po ene aún en búsquea e respuestas para

mucas e as cuestiones más ineiatas que Taraglia o

llega a establecer a pesar e haberlo prometio al Duque e

U bino en su prefacio a relació etre el águo e tio y

e acane de los isparos.

Po otra parte, el teto de Tartagia tampoco se acooda

a los anuaes proucios por los costructoes e cañones

onde sóo apaecen recetas y esfuerzos tempranos por esabe-ce pricipios que gobiee su are. Dicos principios istan

muco de foma pate de ua concepció ás geera de lo

real Más abicioso que os rilleros y os constructores de

cañones aagia s preene esbozar una teoa que sustene

que La Nueva Cenca sea precisaete eso ua cencia.



L uea iecia 3

Dadas las cicnstancias, esta ciencia no alcana a despen-

dese del dscuso que tadiconalmente se había_ocpado de

pobema de movimiento Con todo Taraga está nto-

ducendo nevos modes qe evenualmente sevran paa

ansfoma a identdad de a natuaeza qe expesaban

s evidente que en las deinciones que pesenta Tatalia

no bca intoduci nnuna novedad en el cepo aistotélico

de ideas qe se ocupan de movimento. Po elo cando dice

enLa Nueva Cencia

qe se ocpaá de estdia el movmientode n poyectl disaado po un cañón, se efiee a qe es-

tdiaá el movimiento povocado po una potencia denida

ésta como calqie ipo de "máquina aticial o matia qe

sea apta paa empja o anza n cepo alente ave

volntamente po ae (ein icin X I I I) . ste hecho

meece po sí mismo ao de atención pues impone un io

a la foma en que la escoástica enmacaba n poblma demovimeno Paa q in dscu ía dsde st aco d

efe encia l a acción de na máquina no seía sino n emento

ncidenta en n ejempo donde se anaza el moviment no

pdiendo de manea alna foma pte constttiva de la

teoía En oposición a este panteamiento Tartaia adpta na

actitd más acode con e fenómeno qe estdia e ncluye a

la máqina arifcia cmo pate de maco teóic súndos

con e l o a qu ienes habían mantendo v ia a tad ic ión aque

diana1 1

en el estudio de mundo natl sta conte hbía

ven ido adqui indo uea dsde mediados de l s i lo XV s

adheentes ean inenieos y qienes se habían od en los.

1 . Tatgli a un nuata uid d J zonamn huc d A-

químd. En 1 543 publcó n tín taad d qud b l cmtintd cu sumid n gu y q incluy la an�t dl i · ¡ uk l

rlvnte se c e qu u tor mta m d la ci:�

caacttica d umd en div d cid nidd

mdibl cm n pun d uilib, l l br d palaa tc t

anba a q dan xlca l fmn land a la mnt d

ip gmétic y lvida d l agumnt qu cín cnct tn ambgu

cm l d la cuaidad cul



32 Estudio prelmna

aleres e aresanos el norte e Ialia y en siios simiares

e Alemania y e la enonces poerosa iga Hanseáca. ra

ésa la época e surgimieno e la máqina y e ss arificios

como va para invesigar el mno Pora ecirse que La

Nueva Cca es na e las obras clave para el reemplao

el ilósoo naual po el ósoo mecanicisa

Como ya se ijo anes aunque se raa esiar e

movimeno e proyecles lanaos por un cañón Taaglia

no bsca penerar en a esencia e lo que es e movimieno.Las eniciones que orece o son sino ua punualiación

para el caso que le ineresa e o ya esablecio por a iosoa

naural y ni siqiera inena isnguir el movmeno naural

e voleno en érmnos e las casas eleológicas e uno y

e oro. o qe preene al expliciar cieros concepos es pan

ear un lenguaje en e que resue claro lo que se esá cino

y que circnscria a noción e movimieno naral a a caíae cerpos graves y la e movimieno violeno al resulao

e proyecar los cerpos meiane una máquina cuy e lemeno

represenaivo es un cañón Esa úlma ssiuye o hace las

veces e la poencia arisoélica ue provocaba el ovimieno

violeno.

Después e señaar inspirao sin a en el oelo eu-

cliiano e los Elemntos- lo que enene por "cerposigualmene graves y por insane, hace explco que una

meia el movimieno se puee esabece en érinos el

iempo Finalmene en la Deinción V y sn ovidar q

Arisóeles ya hablaba en a Fíica e hasa ses clases e

movimienos se qea con sólo na e ellas al efinir a

movimieno como aqéll a ransmuación que se real ia e un gar a oro . . omano como casos paricu ares al

movimieno aral y al violeno. Al raar al primero como

el "que se reaiza e un lgar superior a oro inferor per-

pen icularmene y s n vio lenc ia alguna reuce el momieno

naural a caso excusivo e a caía libre e cuepos graves.



La nuv iea

Igualmene la dención que da de movimieno vi o leno l i ia

ée al cao de proyecie lanzado por un cañón.

Depué de planear varia upoicone y enencia comu-

ne obre lo eeco que producen lo móve dependiendo

de u velocdade, aa a la prooicione donde eablece

una imera en el comporamieno de cualquier móvil gual

ene grave egún e ueve éte con un movimieno naua

o con uno violeno ara el rmer cao rooición 1- ar-

gumena que e óvi l va má ráido conforme e aleja de iniciodel moimieno o conome e acerca al uto de detino Aco

eguido en la Prooición l eablece que i do cuero igual-

mene grave aen con movimieno naurae a la mima velo-

cidad, el que recorree una mayor diancia ira má velo in

que llo ignificae una roporconalidad enre a veocidad y

el eacio recorrido Lo que ara el igo XV ería la preguna

nmediaa, a aber, i el aumeno en velocidad del cuero quecae proporcional a la diancia recorrida o al iemo

ancurrido ue eran la uoicione á áce de

manejar matemáicamene no e panteada or Tartaglia

Aparenemene lo que logra con la rooición J e darle un

rodeo a la preguna a ravé de eablecer la comparación enre

o movimieno relaivo enre do cuerp Habría que eera

cai un iglo para que Galileo 1 2 diera !a reuea correcta eableciendo que al delzarse en caída l ibre un cuero aumena

u velocidad en proporción del iemo rancrido (Cen El

descubrmeno, 95- 1 09; rake, Poee Senit, 93 ) .

Como corolario de l a rooición m ima que eablece

que en un movi eno vo leno el móvi l e dep aza á l en-

amene conore e aleja del prnciio o e acerca alina l d e l mov i ieno, Taragl i a conc l uye que no exie una

aceleración en la primera pate del moviieno violeno y lo

rearma con el hecho de que no aumena en ee cao la po

12 Lo esritos d Gll sobre ovmeno abarca l podo 1 602- 637, d

l De Motu hs o Discursos b as Do Neva Cenias.



34 Estudio prelminar

tencia del choque con el alejamiento del móil de su punto

de anzamiento. Con base en los mimos argumentos concluye

que un proyecl ue se desplaza con movmieno iolenoestá impeddo de tener una msma elocdad en dos momen

tos difeentes. Además como o señala Koyré de lo dicho po

Taagla se sigue que "todos los cuepos igualmente gavessemejantes e guaes, [anzados con movimieno olento] ián

al nal e su moimieno con gual eocidad cualuiea que

haya sido la ue tenan al prncpo (Estudio de Histra,1 07 1 08) Esto iene una consecunca muy eesane en

cuanto a a oma de as trayectorias de los poyectiles pues

sn aber stabecido cules sean dichas fomas con aPropos c ión I V enrenta a l lector a d ib uj o de as trayec

torias que si bien es a lgo eminentemente cual tat s

se apaa de lo es bl eci do por e pesam ento rsoé co

al inclui una seccó cua en a pate ntermedia d l tayectora (g. 12).

E

A F

Figura 2 Tartaglia. La Nuev Cienca, 1 58

La Poposición V juega n papel crucia como mpedimento

aa la compensión de cómo se podría congar a tayec-

toa curvinea e un proyeci lanado a ar en drección



La nuev ci 35

oblicu Al negr l posibilidd de que un móvil pudier re-

correr lgn espcio de tiempo o de l ur co movimiento

nturl y ovimieo violnto en form smuláne" cn-

celb l posibilidd de que se dier un movimiento mxto

o compuesto so se podí entender en el mrco de referenci

ristotél ico en el que se bsurdo pensr qe un cuerpo l esr

somedo los dos tpos de oviieno y mencondos, esu-

vier disinuyendo y umenndo su velocidd simulánemente

Es ner de cocebir el feóeno segn cu ls cussse debín sumr y su efeco mniestre en co no correspon

derí culttivmene l gención de u efecto que se producirí

como resultado e l coposición de dos despmienos En est

úlim situción sí e evidente que se podr hbr de un des-

plinto rsule que er equvlene composición

d oros mvimientos

l heco de susttur por or un sucón como lp lnted e n l párrfo ne rior n o er lgo del todo nuvo

eniendo cmo necedene inmedio el llmdo teorem del

Colio Meon mismo que se ocupb del cso en que un móvi l

s despla con celerción constnte y pr el cul se demuesr

que un desplzmiento con ests crcerístics es equivlnt

n cunto distnci ecorrid uno que se reliz durnte

e mismo inerlo emporl con un elocidd igul l md

rimétic de ls velocidds inci y n de moviieno

celerdo (Lindber Wester Sienc, 300)

o que sugiere l lóic es que l Proposició llevr

qu l tryectori de proyecil lndo por un cñón estr

compus por dos prtes un rect inclind u oblicu que

se mntiene hs que se go o ces el moviieno violentoy uego un rct vericl que corespoder l movimiento

turl . S n embrgo, lo que plnte Trtgli en l d iscusión

que sigue l Propoición V es que l tryectori en cuestión

se compone de tres ptes: un recilíne que corresponde

l ep e qe el movimeno violeno se mniee puo; le



36 Estudo pel minar

sigue ua segua secció ode ocurre que se desvanece el

movmiento violeto y "etra e coficto co e movimieto

natural, pues "ua parte es e movimieto violeto puro y a

otra e movimieto atural puro. No lo ice, pero el movim ieto

e esta eapa es circular, ya que así lo iustra e e exto (o

sera ésa ua pequeña liberad que se tomó el ilusrador?).

Más adelante, e el Libro 1, aparece las deinicioes y

suposicioes que eriquece e formato cietífico de la obra.

E particular, a Suposicón I especica que el trásito eovimieto violeo a atural se reaiza al faliar la curva

de maera cotgente -co lo cual quere cir tagee

es ecir e maera cotinua y si brusqueda e el cambio

de la cura a a recta verical que orrespoe al movimeto

atural y que costituye la tercera de las tres pares a las que

se hace meció leas atrás

stas cosideracioes le permiten a Tartaglia ejar e laola posibilidad e una trayectora que cambie e oreació

de maera abrupta y cociir así co los testimonios de los

arileros A pesar e ello la rayectoria que se integra co

os segmetos rectos y uo curvilíeo ua sección e crculo

argumetará artaglia e e ibro U) que los ue plaea u

problema origen: ¿e qué mometo y por qué razones icia

la etapa curva de la rayectoia? La respuesa que oece

artaglia como Suposció I Lbo I) e certo modo co

raice lo expresado e la Proposició V el Lbro 1 pero lo

suaviza iciedo que la trayectoria e cuestó o posee i

guna parte perfectamete recta ebio a la "gravea que se

ecuetra e tal cuerpo la cua coiuamee o va ..

dirgieo e direccó el centro de muno. Pero como encirta etapa la trayectora es insesiblemete curva cabe e

toces supoerla recta, y lo m ismo se ace co a porció curva

a la cual se supoe como pare de a circuerencia de u cír

culo por o apartarse sesibemete e ea.



La nueva cenia 37

Lo curioso de la últia aseveració es que el rotispicio

de La Nueva Ciencia uesta ua bombada azado poyec

l e ua trayectoria que evidetemete es curva y que diíci-mete podra se toada como cercaa a ua circunerecia.

Si se observa el otro cañó la bala que dspara sigue ua

ayectoria ás cecaa a la horizoal as o horizotal de

dode se cocluye que Taaglia o cosidera que haya u des

lazaieto rectileo e gua porció de las trayecorias (ig.

1 3) Co todo o oece gua eideca de precupació po

coocer co ceea la ora goétrica a la que se costriñe

l a trayectoria del obús Esto podra ser u idicio de que la poca

difusió del coocimieto geomérico de las curvas costruibles

sistemáticamete o permita vislumbrar la posiblidad de que

la aturalea llevase a cao sus actos de maera que siepre

se acoodara a las absraccioes studiadas por Euclides,

Apooo Poco y demás geóetas giegos.

Figura 13 Trtgli. La Nueva Cenca, 558



38 Estudio prelminar

sta fata de conoimiento o de consistencia en e discrso

visa no sorprende En n grabado qe ilstra e intento de

os moros por reconquistar a cidad de Ceta primera mitadde sigo XV, as trayectorias de os disparos efectados por

os tres cañones de a zqierda son muy semejantes no así a

de cañon sitado en e extremo derecho. La d erencia no obe-

dece a na mera cestión de perspectiva y caramente se ve

una trayectoria circuar despés de n de na recta (. 4)

Figura 14 Grabado de Ceuta (s XV). Ofcina Potuguesa de

Comecio Londres

Si retomamos e desarroo de as ideas de bresciano en-contraos qe neve años más tarde a sitación sería otra

pes en os Queiti et inventioni diverse ( 1 546) demestra

aora s que a trayectoria de na baa disparada horizonta



L uev cencia 39

mnt no pos nngn sgmnto ctíno. Sgn o rva

n os Quesit (¿habría qu crrl?) no Jo planó as n L

Nuev Ciencia n un aán por sr comprnsbl paa vgoE sgunt punto q a ataga porta tocar n

Lbro l i d su prmr raado d balísica s l acanc d

sparo. Por razons obvas ést conss n a dsanca hor-

E

Figura 1 Traglia. La Nueva Cincia, 5 5 8

zontal qu xst ntr l puno A d partda y l punto B

dond s agota' movmno vono y dond por nd

su vlocdad s mínma (Suposcón 1 ) (fg 1 5 l punto

B s prcsamnt dond nca l movmnto naura s

dcr movmno vrca d caída de proyct. E acancmáxo l llamado "cto ás ljano (Suposcón V [para

un dsparo hcho con un ángulo dado sobr a horzonta] s

md por a dsanca nt puno d parda y punto d

nco d la caída vrca proyctado st útmo sobr un

plano scogdo arbtraramnt a y como s obsrva n a

g 6 n d cho caso y toando como na d rrnca a

qu va d a a e, pasando por , s drá qu n d ocurr l ctomás ljano para a trayctora adb. y qu n g s producrá

corspondnt cto ás lano d la rayctora agb

Ahora hando Jos contndos d las Proposcons IV, V

y VI Tartagla dduc q



40 Estudio prel im na

B B

Figura 1 6 Trgl i. La Nueva Cnca, 558

. d mvm vl d urp gulm gv q

tan als lvc n la ne el y c n-cu pro mr l dit tr ll(Pó VI, Lb 1 1)

Con eo concuye que as reaciones entre as distancias re

corridas no depende mas que de as poporcones ente as

veocidades iniciaes

Los esutados anteores o evan a cuminar e Libo 1 1concuyendo que e acance mayo coresponde a una tayec-

toia que inicia con un ánguo de 45° sobe a hoizonta y

que e acance de este dispao es diez veces a pate ecta de

tiro orizonta. Paa os aieros este resutado era un tanto

maravioso y a a vez sopresivo, pues discrepaba de o que

po ago tiempo habían tendo como cierto a saber que os

dspaos efectuados con una inclinacón sobre a hoizonta inferor a 45 acanzarían distancias mayores que e efectuado

a 5 a a m itad enre e tiro horizonta y e veica B onde

en su ibro de atiería, concede a Tatagia e méito de se

e pimeo en anuncia tan úti resutado



L nuev ecia 4 1

Con todo el peso que est reelción puier tener qued l

sensción de que Tgli tení ás que ofrecer l y coo o

hí menciondo en l epístol one presume her eloroun eor que permití clcur el lcnce e os ispros e cñón

en funcón e los ánguos que forn con l ireccón horiontl

ich teorí nunc fue pulic y o que nos res supone es

qe ésa er mter e los cpos IV y e La Nuva ieia

que nqu menciondos, no ueron mpresosEn ciero sentio y pesr e sus deciencis L ua

Cincia cnzó un éxito consiere r 1 5 83 e teto enel itino e Trtgli h lcnzo siete eiciones y h

sio trcido tods s lengs importntes. Pero su utor

no se ngb con respeco fortez de ss tesis y sguió

ocpándose e proem de moiento e n proyecti 1 , en

grn · medid orzdo por los prolems conceptues que

emnn e recurrir un curv que se conectb con ls

rects correspondientes l principio y nl e movimiento

omo y se h icho éste ser no e los tems e los Q�·ti.

Con l histor como testigo precer ue Trtgli se h

dentdo su tiempo l tcr e probem e l tryetori

e un proyect N ss dersrios como mtemtico ni sus

sucesores irectos o inirectos -. B. Benedetti rno

li miembros e un supest escel itin' niquienes trjn en otrs tierrs -Domi ngo e Soto se

reocupron por cuestión e l form geotri trzd

en el ire por un cuerpo en oiminto recier ser ue e

bgje mtemático y l práctics experimentes de poc

no hín cnzo e gro e esrroo que permitir pn

ter serimente l pregunt. No se puee clpr quienes en

ugr e ocuprse de est cestión e no psr e serun inquietu intelectl preminte sóo pr los rtilero

y m i l ic i en gener e concentrron en i scir s no

cones de ímpetu en bog meios el siglo XV



42 Estudo prelimnar

Qe la sensación de que no biendo oado s ies

más anzads e sobe el tem pesentó Tataglia en os

Qusii, los fósofos naurales los illeros y los aiss oigl bran acetado or un iemo e or invesiga

as ones pces e ieon lg ic scón

cl ipit e yecoi e n poyec con-

omes on ell ejon asar cs cincen ños p some

tea una ve más a esrinio de aón e l eienci.

l eso fsco-mtemtico del moimento ení su roio

"encmento en l mism 1 tli en e mco e nmecánic de coe memáico insp en l tción

imen e ti a inoc en op con

ccón a aino de os Elmnto e Ec ies ( 1 5

de Crp n l aga Amees ( 1 55 1 ). L

cntl es enocón e mecánic lileo in

om n eDe

M (c 1 590) ln ls peocpcions e sobe e moiminto bn o nconcss

en pensmino bcscno p o es s cl

mncón en os Dc y acin b v

cnia pb icos en 638 (Gi leo T Nw Sn; D-

mow PlaiaL hani 126268)

Las trampas de la mecánica

Seún Cl io ( 1 57 6 1 2) Mcánic s la iscp in en l

ue la aeáica enra n conaco co a aeria (Opa a-

aia Vo 1 , 4) onsie ee s iscipls memátics

se tene sobe oo como cenci e s máins es ec

s oco s en pm insancia el estudo ométco e

s popiees e os nstruenos onsridos or e hobr

l éxo cnzado po es empes ebsó l ámbio d ss

popósios, cnno no s mpo e se elconb con

a osblidd de esblece nclos ms esrecos ente e s

be memátco e conocmieno el mno sco



La neva ciencia 43

Durante esta etapa del Renacimiento en el que las artes

plásticas y las umaniades ya abían alcanzado el esplenor

tocaba ahora a las ciencias que se ocupaban de muno naturalacelerar el paso y reclamar un nuevo imperio regio por unanuea forma e entener el muno y sus orenamientos y el

lenguaje en q ue éstos se expresaban En este proceso se p uedenidenticar, grso modo, os erientes una que ligaa al aristotel i so conciee a la posibi l ida de mateatizar los fenómenos

contingentes propos e la materia, es ecir, la utabiliad contin-

gente e irreucible e la materia misma que por su natualezadesalentaba cualquier eseo por establecer un vnculo sistemático

y eptible entre los pocesos sicos y los cálculos mateáticos.La otra vetiente se sustentaba sobre una clase muy amplia e apli-caciones a la mecánica la óptica la caogra c, en las calesocurría una concorancia entre teoría' y práctica' y entre e-mostracones y epriencia que contribua a fortalecer el op-timismo en el poer el razonamiento matemático

Quiens optaban por la segunda opción en el siglo XVI fueron

los pones en sembrar esa seguria ntima que esembocóen la estrategia galileana e conocer y scribir los fenómenos

naturales a través del lenguae matmático en paticular delgeométrico Para ello, la tarea del nueo lósofo natural era

escubrir o inividualiar tanto los entes fscos susceptiblese se cuanticaos como la estrctua matemática que se aecuabaa los fenómenos

a primera opción suponía en la práctica la existeca e

un ab ismo entre las "razones y argumentos nauraes y las

razones y argumentos Mateaticos (Tataglia, Quesit, f78r) De esta oposició sur�en esfueros como el de Federico

Commanino ( 1 509 575 ) para distinguir entre cantidadesmeibles cuanticables y cantidades no meibles :

13. Ente otas coas, la mporanca de Comandino reside n habee ocpdo detadc y anota algnas de as principales obras matemátias de la antiüedad clásica

formado pae en el teeno matemátco del lón uanístico que dio p a A. hatel calicara a la ciudad de Ubino -sede de la época más pociva



Eud pma

Aqls css q s ncntn n un curpo natral, q d él nos dn r son d ds ts: n q n n la prcc nn l pnsaminto s pden para dl urpo c s o cnl r l so css q l upo rn n s o s ntl.Os u d ho n s pud spr sí mns se d nru án prds p sá n los curos o omo d u

nurlzs so om ccds como lo rvo lo rco l srdblo Y s l ud l Maheaio s nnr la cnddo n l fr, spránls l mr o l psmno dl ls f dn ons sn u p l l mr (Bali IJi

1:·oe Alessandrino, Prolgómnos)

Para entender esta propuesa se puede tomar el polema

e la baanza ya basane esdada desde los tempos de Ar

u medes y en parcuar la cuestión de la sensi b i l dd de d cho

nsrumeno Taralia parcpe al gual que Commandino de

esa renoación en el pensameno matemátco disngue etre

aanza eal y balanza deal Esa últma provene de aeometacin de la baanza real (los bazos pasan a ser línas

y el eje de otacón se coner n un puno gomérco) y

s consideada po el Mahematico" según los prncpos

y demosracones de la cenca Las balanas reales peden

er peqeñas como as zadas por banqeos oyeros y or-

ebres o grande como las qe se requrn para pesar speces

zúcar, canea y cosas simlas y enen a ser onsideradascomo entes naturales manejables po la fuerza y a auodad

del sentido de a ista". Por su pae las baanzas deales

poyaan el discurso d los arstoélicos. Frene a esta dsyuna

planeada por l question arsoélca, Taraga busca medar

consdeando a las deales como cass me de las eales:

Conno como l pnc oo dl "hmasmo mmúco n I tl a

(hal, 1 centri del Rinamnto, 41 y 46-50) S vrión l Ents E-ci, Cóni Aonio e texto qímes se conrn bines

e l ncis mtmáta l Rncimento.



La nuev cecia 45

"Y porque a parte o membro de la biln que utl-

zan banquero y joyero e aproman má . . a la pare o

membro de u deazacone, que como o hacen la parte

o m embro de la bal anza mayore que uan qu ene e

ocupan de la epece ya que lo brazo de a bilnt

on muy degado . y e aemejan a a l ína . o de la

baanza mayore on grueo y corpulento . . y éta e la prn-

cpal razón de que la baanza equeña o br e m uetren

ante lo entdo con má recón que la mayore coa to-almente conrara a lo que propone la qson artoélca.

Ca 60 año depué a mma queion e tomada por

Govann Batta Benede ( 53 0 590), qun al ablar de

matea la depoa de u conngenca (Benedtt Divrm

Spcaion, 1 53) Aparenemente lo que ae e borrar la

dtncón entre el cao mamco y el cao maeral re

ducendo la conngenca a a rcón la cual e preentadacomo una 'renca mdbl qu Bnedctt upone e iga

para amba baanza

Posrormente la mecnca precaría m u nocone y

lo que n cero conteo e enmarcaba como contngenca paó

a r dnda, egún el cao omo ·ón o como momento

de nerca. ta potura geomtrzan frente a o fenómeno

naturale paradójcamente mpdó durante crto tempo en-

tendr plenamente a manera como ocurrían o fenómeno

endo el prncpal obtáculo para ello el no dentcar por

cu lpa de una epece de reduconmo exagrado pena-

mente lo factore que modulaban lo proceo mecánco En

partcular eto e muy certo en el cao de una mecánca que

a medado del glo XVI no alcanzaba a dentfcar atfac-toamente la propedade nercale de a matera y lo modo

de actuar de la frccón No orprnde que al referre a eta

etapa de a evolucón de la mecánca aguno toradore

ablen de etar frente a una mecánca matemáca o de unpunto de vta cnemátco ante que de uno dnámco Sobre



46 Estudio prel im na

esto el propo Benedett hablaba de ergr una losoía

aeáica de la natuaeza Koyr Etudios de HiÓ�

ia, 125 )Un ejeplo que lustra los pedentos epsteológcos

a los que conducía esta vsón es la falta de coprensón plena

de la poranca del barcentro al cual considera coo punto

geomérco doado de ceas propedades estáticas de equl-

bro y se olvda de toarlo taén coo un punto dotado

de asa guaente lustrativo resuta el caso del tropo en

rotacón dl cual se dce que no posee un ovento naturalporqu s lo uera seuría grando eteaent por se

de oacón un ovno curvo y porque las parícuas

qu coponen al topo están olgadas a seur la curva en

conra de su tendnca natual a segur su ovento en línea

reca Seún Benedett esto explcara porqu entre ayor es

l d iáo del tropo ayor es e ípetu de las parícu as

qu o neran ya qu a auenar el diáetro de a crcunreca dsnuye su cvaua y as parcuas se aproan

s a sur a trayctora rectlínea Por consiiente esta

lína d pensaeno conduce a que un hecho eotrco

curvata oculte un aspcto fsco a asa y a que se

are que as propdades ecánicas de las partículas esn

deternadas ecusvaente por a curvatura de sus trayec-toras Esta poscón preguraba el cosos reducdo a

geoetría que se ponía a nes del siglo XVI .

En anto que cenca en construccón a ecánca requera

aún uchas aclaracones antes de legar a la stuacón en que

a encuentra Galeo y uchas de ellas se centran en dscuso-

nes sobre la capacdad de las ateátcas para descrbr los

nóenos de undo ateral En esta eapa el unverso dedcho dcurso es uy aplo y salpcado de últpes incon

sistencas abgüedades y propuesas ngenosas Coo eje

plo de esto últio está la obra de Guidobado del Mone

( 545 1 607) quen en busca de la segurdad que ofrecen las

ateátcas, pero conscente de las dcultades propas de



La nueva cienc 47

tratar con la materia o con máqunas e moveno s no

se mueve ¿de qué srve? se pregunaría uno lo cual co- leva el problema de a cotngenca, opta por ocuparse de

cuesones de estáca es decr de máqunas en equibro con

lo que de paso muestra su visió de que el movmeto de

sstemas mecácos se debe eede como ruptua de equli-

ro de las partes ue los ntegra.Bajo la restrccón de ocuparse úcamee del caso estátco

Gudobado es capaz de armar que es muy cero que l prácca y la teoría van sempre de la mano. Cuado se rata de

a materia en movmeno a suación camba y coicde con

Gal leo e que "cuando se comieza a conocer a materia,

or su coingeca se comeza a alerar las proposicoes

stracas de geómetra De a cosas así pertubadas no esosible nseñar cenca cierta y por elo de estas cosdera-

cones queda absuelo el matemáco (Cara de Gal i leo a Gudobaldo de Monte, Nov. 1602).

a mecánca de Ciquecnto se puede calcar como uncenca d ls máquas. Durante ese perodo el iterés por

el estud o aál s s eórco de uncoamento de las m qui as

y d ls fecos que éstas produce doma sobre oros tmasde nvestgacón en el campo de la mecáca. La rzón es sm-

pe y descasa en la aclidad co que se puede utilzar ageometría para realzar estos estudios y a la posbiidad de ii

car l análss a partr de la stuacón en ue os componentes

de la máu na están en eu ro. Cae aclaar ue las máu -

nas de las que se está hablado en ete caso so las secllas

y no alguas más compcadas que as ulzadas desde haca

sglo y medo prcpalmene en el ramo de la costruccóncomo la baaza, la palanca la polea el borrquee y algunos

elementos auxlares como el tornlo la cuña y sobre todo

el plano nclnado. Gran parte de Jos arteacos en uso en la

época podían ser reducidos a montaes de los elemenos quese han mencoado y en ocasones dichos aeactos partc



48 Esudio prelimina

paban en la discusión de los probemas que según una amplia

mayora de los historiadores de la ciencia dominaban -y quepor cosiguiente deermnaran- la atmósfera cientca de a

fsica del sgo, siendo éstos como ya se dijo la cada de os

cuerpos pesados y el anzamento de proyectiles

Sin embargo no se debe perder de vista que es en e erreno

de as máquinas dond se logra una teora físiomaemática

que exp ica y concuerda con la prácca Estos resul tados eran

tendos n tan ata esima que no resultaba exraño que segeneraran visiones maquinistas de funcionamento de mundo

y hasta de reino anmal Para citar un ejemplo basta leer a

B Bald quien en as primeras páginas de su obra sobre Herón

se refer a los an imaes " . cuya alma doa de movimiento

a los miembros a la manera como ocurre en las Máquinas

Sovnes en las qe "el erro el lo y la cuerda

[pseen en cierto modo a msa funión] como la qu enos animales desempeñan los hesos y os nerv os ad i

inspirándose en dos tetos aristotéicos el De Mund y el De

ncsu nimaliu, señala que esos animales se mueven en

un mundo mecánco en el que "Dios estando n el cielo

mueve as partes del universo como lo hace el Maestro con

los autómatas (Ba ldi Erone Aleandrin f 6r, 7r)

Retomando el asunto de la utilidad de las máqunas para

ana izar el probema del movimiento, enconramos que en el

De otu Galileo recurre a la balanza para mostrar que el as

censo y descenso de cuerpos en movimiento no se debe a una

d d 4

¡ · .

1 d

grave a o gereza propas y en partcu ar pone e man

festo la fasedad de la armación risotélica de que móvles

del m ismo género caen con velocdades proporcionales a sus pesos De manera semeane Guidobado aproxima el movimeno

del péndulo al de un móvi que se desplaza sobre un plano

1 4 . Propedad que hae -en el esquema arstotél o- que la endena de un uerpo

que se desplaza con moimiento natual que a su sustania le orespondesea a de moverse haca abajo, es decir acia el centro de la tierra



La nueva cni 49

nclnado curvo. En ete cao era poible noa que a veocidad

de deceno a o argo de pano incinad era ndependiente

de peo del móvi , y que conforme e aumentaba la incl inación

de plano má e aproximaba la ituación a cao de la caía

libre, dando la pauta para que e etudiaran lo proceo naturae

como cao límie del funcionamento de máquina mple

Lo efuerzo encaminado a la contrucción de bae eóri

ca maematización en ete cao para el entendimiento de

lo principio que gobeaban el funcionaento de la máqu-na uveron mútiple repercuione en lo que e riere a a

reolución de probema eórico que e venían arratrando

dede el siglo XIV en pa1cular lo relacionado con e an-

zaminto de proyectile. Entre elo cabe mencionar a di-

cuione obre a noción de momeno eático (Galuz

Momento), la aceptación de que la frcción e un acor

eiminabl en lo que e eere a conideracione eórica, aaparición de nocione que levarín al concepo de trabajo

ecánico la creciene ceeza de qe era impoible conrir

máq ina qe incementaan la cantidad de 'tajo d iponib le

ozo de o que era a ley de conervación de la energía

mecánica y, en lo que conciee al trabajo de Tartal ia el

anáii de la rayecoria de proyecie pueto en

movimiento por una poencia

1. Rafael Matínez E.

J César Guevara Bavo



50 Estudio preliminar

Nota sobre esta edición

a pmea edcón de L ueva iecia fue publicada en

1 53 7 en Veneca. Paa esa taduccón usamos a de 1 55 8, am

bién pubicada en Venecia y que diee poco de a pimea

edición Dico texto se encuenta en e Fondo Resevado de

la Biioeca Nacional en a Univesidad Nacional Auónoma

de éxico Po las macas de fuego se sae que el io llegó

a Mxco durante los pmeos años del sgo XVI paa se

ncopoado a la bibloteca de la Oden de la eced

En lo posble se ha pocuad manene e eso ngüsico

d aagla uien se diga a un pblico poco peocupado

po os afanes leraos de os humanistas

as parcuadades del exo oigna nos han obligado a

i nseta cocetes con intepolaciones paa hace más compen-s b e la lectua Hemos espetado la notación que Taagl ia usó

en las guas donde ecue a letas mayúscuas mientas que

en e exto usa las mismas peo en minúsculas

admos al nal del bo un apndce con las efeencias

e consanemene hac artagia a ucdes consevando la

foma en que se eme a los Elemenos. El uso poco eegane

ue hace de enguaje da pe a ue e fomao utzado ena constucción de as efeencias no sea consstene. E

apéndice se integó con base en la edición de los Elementos

de Luis Vega y Maía Luisa ertas



La nuva cecia 5

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Invención de Nicolo Tartagia, Brescino, titulada Nueva

Cinca, dividida en cinco libros, en e primero de elos se

demuestra teóricamente la naturaeza y e efecto que

pueden tener os cuerpos iguamente graves durante sus dos

movimientos y efectos ontrarios.

En el segundo (geométcamente) se prueba y demestra la cuadad

de semejanza y proporcionadad de los tránsitos según os diferentes

modos en e pueden ser lanzados o proyectados vioentamente por

el aire; de mnera semeante [se hace para] ss distancias

n e ercero se enseña una práctca nuva para medr, en a que se

usa sólo el aspecto; [con esta práctica se encentran] as alturas, dstancis

hpotenusaes y horzones de as cosas visbes, y esto se aprende] jntocon l a teoría es decr, cn la rzón y a casa de tal orma de operr

n e curo se dará a ncinacón e debe tener cada peza de

rtlera en tro, alándoa o baándoa obre e pano de or

zonte, smiarmente [para todo mortero También se enseñará el

modo de encntrar, medante os datos de n soo tiro todas as

vardades o cantdades de tros en cada pieza de artiera o mortero

También se mostrará e modo como se debe condcr un bombarderocando decida atacar o perctr en agún ugar visbe.

Además se enseñará el modo como se debe condcr dcho bom-

bardero cuando habiendo realzado n disparo rente a sto dond

mpacta, desea golpear e m smo pnto desde otro ur o eevación

desde e ca no pede observar dicho ugar

También se enseñará e modo de perctir contiamente en a os-

cua noche apostado en n gar desde e da anterior

n el nto ibro se manifestará (según a autora de mchos

Exceentsmos [lósofos] natrales) a naturaeza y orgen de diver-

sas especies de gomas acetes y agas dest i das, as como de

dierentes mneraes simples y de [cosas] no mnerles producidas

por a natraeza, y mediante e arte abrcadas También se mostrarán

agnas de sus propdades partcuares úties en a arte de los egos

De manera semejante se dicidará cáes materaes se decidió eran

convenientes y cáes no eran convenientes para arder juntos Legose presentará el modo de crear varas y dversas especes de egos

no solamente útles para a deensa de cauier mrala sino tambén

para muchas otras ocrrencas para las qe resuten apropadas.



Al Iustre e Invicto Señor Francescomaria

Fetrense dala Rovere, Du que Exceentísimo

de Urbno y de Sora, Conde de Montefeltro y

de Durante. Señor de Senegagia y de Pesaro.

Prefecto de Roma y de ncito Senado

Veneciano Digno Capitán General.

Epístola

Seño Duque viviendo en Veona en el año de M DXXXI I me

fue encagado po mi ntimo y codia amigo expeto bombadeo

(hombe aempeado y poseedo de muchas viudes) en Castell

vecchio el modo de da oientación a una pieza de atillea paa

que el tio fuea el mejo Y si bien en este ate no posea yo

expeiencia alguna (poque en vedad excelente uque jamás

hice una descaga de ariea acabuz bombada ni fsil) sin

embago (deseoso de sevi al amigo) pomet dale en beve

una espuesta con a solución. Después de que tuve bien es-

tudiada y compendida tal mateia deteminé que necesitaba de

mosta con azones nauales y geométicas poqué ea necesaioque la boca de cañón estviese elevada de manea que guadase

una inclinación de 45 gados sobe el hoizonte y paa ealiza

tal popósito de manea ecente necesiaba una escuada de algún

metal o madea me e tuviese acoplado un cuadante con

su pependículo, como apaece en el dseo de abajo Se po



58 Nicolo Taragi

cedía así: se pone una pate del ado mayo de aqéla [la es-

cuada es deci a pate ab) en el anima o boca del cañón

extendiéndola ectamente a lo lago de la oquedad en el tubo.Después se alza e cañón de tal foma que e pependcuo .hd.

cote el lado cuvo eg (del cuadante) en dos pates iguales

(es deci en el punto .g) Enonces se diá que el menconado

cañón esaá a 45 gados sobe el hoizonte Y eso se sigue (emi

nete Seño) de que el lado cuvo .eg el cuadante (según los

astónomos) se divde en 90 pates iguales, y a cada una de ellas

se le llama gado y la mtad d aquél lado curvo] (es decig) estaía a 45 gados Peo con el fin de que concuede con

aquélo que ya se ha dcho lo dividimos en 12 pates iguales

y paa que vuesta Ilustísima D S. vea en a igua aquélo que

anes habamos ilusado co palabas abajo se dbua e cañó

co la escuada en la boca, según el compomiso estableido con

nueso amigo Ta cocusión paece guada ceta coheencia.

Sn embago sobe este punto nuesto amigo abegaba cieta

duda paecindoe que el cañón se coocaba demasiado alto Lo

que no se ea capaz de cooboa po medio de nueso a-

zonamento i de los que sugen de la matemátca mediante



L nuev cica 59

Figura Cñón lvdo 45 grdos obre e horizote

algunos expermentos particulars se vericó totamnt quea n de cuntas as ocuría o que tal era el caso.

Pero en el año de MDXXXI siendo Preecto en Veronael agníco i Sñor eonardo l us in iano, jee de om-barderos y muy amo de nustro susodicho amgo, vino ése

a reunirse con e otro (entonces efe de omarderos en Padua) Y un día sucedi que enre ellos se propuso [resover] lo

mismo que a nosotrs propuso nuestro amigo aqél es decircon qué orentación debía usarse un cañón de arillería paraque ograse e iro ás lejano posibe sobre un plano. Aque

amigo de nuestro aigo determin con una escadra en lasmanos lo mismo qu ue propuesto por nosotros esto es lo

q ue ya se do preiaete y que se presentó en la guraY para eso ue spuesta una cierta cantidad de dinero, ynamente se recurr a l a experiencia y se transporó una cu le-brina de .20. al cao en Santa Lucía y cada uno de elos

tró de acuero co l propuesta sn ventaa alguna en cuanto

a póvora o a as alas qué que dsparó segú uestra de



60 Niclo Ta ia

Fgur El otro dice e trará mucho s [lejo] co dos puto mnos

cra (a cual aba vidda n . 1 2 parts), al y como aqí aparec .

teminación alcanzó una distancia (según nos fue efeido) de

1 97 1 pétigas a 6 pies po péga veonesa; el oo que ió

con dos puntos más abao sobe la escuada alcanzó una dis

ancia de solamente 1 872 péigas En vista de ello todos los

bombadeos y demás [pesentes veifcaon nuesta detemi-nación siendo que antes de esa expeiencia se manenía cieta

ambigüedad al especo y que la mayo pae de ellos sostenían

una opinión contraia paecéndoles que al cañón esba de

masiado alto Con la mayo vehemencia deseo que nuesta Pre-

clarissima Señoa sepa que con moivo del dispao] de tes cosas

ozosamente una debe ocuri: o que quienes midieon comeieonun ero al medi o que no me fue comunicado el esulado vedadeo

o que el segundo se cagó con m diigencia que e pimeo. Poque

la azón demuesta que el segundo (es deci, aquel que se ealizó

con dos punos más abajo) tio alcanzó una disancia mayo de

la que coespondía según la propoción del pimero o que el



La nuev cienci 61

primer tiro se uedó algo coo respecto de lo ue debería a-

canzar según la proporción del segundo como en el cuarto

l bro1 (donde trataremos la proporcón de los tros) se podrá

en beve conocer y ver Y sepa vuestra magnanmdad ue

por haber discutdo esta cuestión con mucha precisión sería

un placer intentarlo una vez ásY comienzo (y no sin razones) a nvestgar la clase de

movimientos que puderan ocurr en un cuerpo grave, donde

encontré ue éstos eran dos es decir natural y violento, yse encuentra ue en tanto ue accdentes son contrarios a través

de ue sus efectos son contrarios. De manera semeante en-

cuentro con argumentos evidentes para el ntelecto ue es m-

posibe ue e movmiento de un cuepo grave sea natural y

v onto a a vez2

Dspués investigo con argumentos demostra

tivos bsados en azones geométricas la cualdad de los tránstos

o movmentos volentos de cuerpos graves según los dversosmodos con ue pueden ser proyectados o anzados voentamente

por el are. Además de esto conrmo ue [se puede] demostrar

con argumentos demostratvos de caácter geométrco de ué

manera todos los tiros de cada tpo de arillería, sea grande o

peueña y con la misma eevación sobre el plano de horizonte

o igualmente obcua o [el tro a o largo del plano del horizonte

son entre ellos semejantes y consecuentemente proporconalesy por ello tambén semeantes as distancas entre elos Después

a través de razonamentos naturaes comprend de ué manera

la distanca del menconado tro elevado a 45 grados sobre el

horzonte era aproxmadamente diez veces el tránsito recto de

un tro hecho a lo largo de horzonte3

o ue para los bom

l . El cul no parc n nnguna d la ediciones de La nueva cieni. . Ce lposibilidd de qu nunca fur escrito o u su utor no cosda qu stistrminado

2 Según esto, no eiste tl cos como un movimino mixto compuesto por l cción

conjnta y simutánea de un moviminto nturl y uno violento

3. Ver página 1 2 más delane



62 Nicolo artagia

badeos se dice es tia de ponto in bianco.4

Con tal evidencia

Magnánimo Duque encuento po medio de aonamientos

geométicos y algebaicos a manea en que una bala lanzadacon diección de 45 gados sobe el hozonte ecoe

apoximadamente cuao veces más en l ínea ecta que aquél la

que ue lanada siguiendo el plano de hoionte lo cual paa

los bombadeos es conocido como tia de pnt n bianco.

Po lo [anteio se manifesta que una baa lanada desde

una misma piea de arilleía ecoe más a lo lago de una

ínea ecta es deci, su movimiento ecto] en una diección

que en oa, y consecuentemente tiene un mayo eeco. En-

tones Ilusísimo Seño, haciendo los cálculos enconté la

popoción del cecimiento y dececimieno que tiene todo

cañón de atileía (en sus tios) según se le levante o se le

bae en su inclinación sobe el plano del hoionte y se-

mejantemene enconté el modo de sabe enconta la vaiedadde los mencionados ios en cada uno de los cañones sean

éstos gandes o pequeños mediante el conocimiento de lo que

ocue en] un solo tio (siempe que sea igualmente cagado).

espués investigué la popoción y el oden de los ios del

morteo y de igual manea encontaé el modo de sabe in

vestiga con apidez la divesidad de dichos ios po medio

de un solo tio Además de eso, con elementos muy evidentesconocí de qué manea un cañón de atilleía puede po dos

vías difeentes (o elvaciones) pecuti en un mismo luga, y

enconté el modo de hace que al cosa se lleaa a la pácica

(cosa no escuchada ni pensada po ninguno de los antiguos

ni de los modeos) Peo después consideé (Magnífco Seño)

que todas estas cosas ean de poco poveco paa un bom

badeo cuando la distancia al luga donde se quiee dispaa

4. Tirar horizonalmente Esta frma de reerirs al tiro en direccón pralela al suelo

podría tenr su orien en qe al colocar a escuadra en la boc del cañón el per-

pendículo estaría sobre no de los lados de a escuada, es decir sin ocar ninuna

de las marcas de eevación quedando sobre la seccón anteior a la primera marca

o pno.



La neva ciencia 63

no le uese conocida Por eempo esé que s se qusiera

disparar sobre un lgar visible cuya distca o le uese cono

cida etoces e serviría (Magánimo Duque) en este caso queé e l bombardero] suiese que su cañón alcaza a tal elevación

1 35 6. asos, a otra . 468 pasos, y a tal otra . 1 5 7. asos

y así ir recorriendo de grado en grado lo cierto es que de

ada le serviría porqe si no se conoce o que falta de di stancia

tamoco sabrá con qué orietació o elevación debería autar

su cañó de arilería para que percutera en el ugar deseado.

De esto se sigue que son dos las prcipales partes que ne-

cesta conocer un verdadero bombardero (que desea trar

co base en razones y o discrecionalmete) de las cuales

a si la otra casi de nada servirían (reriéndome a los tiros

leaos) La primera es que a grosso modo sepa conocer e i-

vestigar (co o que se observa) a distanca de lugar sobre

el que se desea tirar a seguda es que coozca as cantidadesasociadas a os tiros

de su artillería según sus diversas ee-

vaciones; coocendo tal cosa o errará mucho en sus disaros

pero altado ua de el as no se puede ti rar (atndiendo a a gún

cálculo) segú como lo nd ica a razó quedando como recurso

soamene la propa discreció

y si acaso percute el prmer

disparo en el lugar [deseado o cerca de ugar decddo, es

más por suerte que por ciecia (me refiero sobre todo a lostiros lejanos). Pero aquél que (Iustrísimo Señor) ecuentre u

nuevo modo de investigar con rapidez las aturas, proundi

dades longitudes distacis hipotenusaes o diametrales ytambién las horizontales d las cosas visibes no está hacendo

algo de todo uevo Porque ciertamete Euclides e su

Perspetiva, e un asaje breve l plantea tóricamente. E

orma semejante Govane Stosterio Orontio Pedro om

5 Se rc1lre al alanc dl dispao, es decir a la medida de a distaia t l

stio donde se nunta el añón y el lugar dode golpea la bala.

6. Es decir dependiendo de la subjetvidad del bombardero



64 Nolo Tartaglia

bardo y muchos más enuncaon eglas soe d icho tema; [el los

lo hacan ecurriendo a Sol, al espeo al cuadante, al as-

tolabio, a egletas, a basón (llamado báculo de Jacob) y a

muchos otros elementos. Peo le nfomo (Emnente Se'or) que

enconté un nuevo modo útil, ápdo y fácil de compender

(y sujeto a menos eores que cualquier oo) y de investigar

las susodchas dstancias Este modo popociona lo que no

se obtiene medante ningún oo, como son la distancia hpo-

tenusa! o diametal y también la hoizontal, las cuales en vedad son de ente odas as oas fomas de odas as demás

dimensiones las más necesaias paa el bombardeo De las

oas su conocimiento no es muy necesaio como es el caso

de la altua de una cosa perpendicularmente elevada sobe el

horizone, ni tampoco la profundidad de una cosa sumergida

apoco la dimensión de una cosa exensa Sólo las men

cionadas distancias hipotenusales y horizontales vienen a serelevantes paa el propsito pincipal, como le esultaá ev

dente (a vuesta I uste Señoía) en el cuarto l ib.

Además de esto, po cuiosdad me puse a revisar los

diferentes modos obsevados po nuestos antiguos [los lóso

fos naurales, y tambén por los modenos en cuanto a las

composiciones de fuegos7y ente los [lósofos natuales in

vestigué la naturaleza de aquellas gomas alquitranes, gasas

aceites, sales, aguas dest i ladas y otros minerales s imples y [ele

menos no mineales poducidos po la natualeza, así como

los fabricados mediane el ae [humano] y como consecuenca

enconé el modo de fabica muchas otas difeentes clases

de fuegos, no solamente paa la defensa de cada mualla sno

también paa muchas otas situaciones que vienen al casoPor tales cosas haba pensado en norma [o regular] el arte

de los bombarderos y eliminar aquellas cosas delcadas que

7. Las sustancias que se mezclan para provocar las explosions qe implsan los

poyectes.



La nueva cienca 65

fuese posible eimiar (a través de algunas experiencias par-

tculares), pues en verdad (como dice Aristótees en el [ibro]

séptimo de la Física), de a experiencia de [casos] particulares

surge a Ciencia Uiversal Posteriormete, un día ensé que

me parecía una cosa criticabe, vituperable, crue y digna de

castigo no pequeño si os remitimos a Dios y a os hombres,

querer estudiar cómo instruir en tal ejercicio, dañino para el

prójimo y tambié destructor de a especie humana, máxime

para os Cristianos en sus continuas guerras. Por esto no so-lamete pospuse totalmente el estudio de dicha materia y me

dediqué a estudiar otra cosa, sino que además destru y quemé

todos los cálculos y escritos mportates que se ocuaban del

tema. Y mucho me duele y me avergüenza e l tiempo dedicado

a suodicha actividad y aquellas articularidades que me

quedaron en la memoria (contra mi voluntad) y que nunca quise

revelar a aguie n por amistad ni por recompensa (sn importarqué tanto m hubiesen sido requeridas por muchos), orque en-

señarlas me parece que hubiera dado ugar a un gran error.

Pero viendo al obo deseoso de entrar en nuestro rebaño, y

estando os pastores de acuerdo para deenderse, no me arece

bueo tener ocutas dichas cosas, y entonces decidí hacerlas

públicas, una parte por escrito y a otra de viva voz a todos

los c ri stianos, p ues cada uno está suj eto a ser atacado y debe

ser capaz de defenderse de aquélo.

Y mucho me duele ver o necesario que son los estudos

que abandoné, porque estoy seguro que de haberos seguido

habra encontrado cosas de mayor valor, como espero en breve

todavía encontrar. Pero como e presente es cierto (y breve

en el tiemo) y el futuro es dudoso, quiero presentar primeroaquéllo que ya se encuentra en el presente y para que tal cosa

se pueda mostrar madé i mpr imir la presente obra. Y así como

todo río e forma atura busca acercarse y uirse con el mar,

de igual manera conociedo que vuestra Ilustre D S es la

cúspide etre los mortales co virtudes bélcas, etonces éstos



66 Nicolo Tartaglia

buscarán acercarse y unrse a al randeza Pero así como el

abundane mar no necesia de aua y no por e llo rehúsa reci bi r

un pequeño río, así espero que vuesra D S. no se rehúse aaceparl a para que los experos bombarderos de nuesro lus-

rísimo Dominio sujeo a vuesra Subimidad, además de [con-

ar con] su ópimo y prácico inenio esén mejor insruidos

con bse e la razón y apos para seuir los mandaos de

aquélla Y si con esos res ibros no saisfao plenamene a

vuesra lusrís ima Señora y a sus ya mencionados experos

bombarderos enonces esero que en breve lo aré con la prác

ca del cuao y quino libro que aún no esá en prensa (por

respeo) pero que prono o estrá o de v iva voz para saisfacer

a vuesra Sublimdad juno con aquéllos a cuya grcia como el

más pequeño y humilde servidor devoamene m encomiendo

Fechado en Venecia en la casa nueve de San Salvadora los XX e diciembre MDXXXVI.

D vuesra Ilusrísima D. S el ínfimo de sus servdores

Nicolo Taralia Brescano



Inica el primer lbro de La Nueva

Cienciade Nicolo TartagliaBresciano, de las defnicione o

descrpciones de los principios

conocidos de las cosas maniestas.

Defnición Primera

Un ueo igualmente grave es aquél que según la aveda

e la matria, la forma e lla [la maeria] n es susceptibl

e experimentar una oposiión sensible el aie en su

mimient.

Todo cuerpo (si se le considea como a los natules) o essimp le o es compuesto Los si mp les son cin co y son t erra

agua, ae fuego y cielo. Todos los demás se dce que son

composicón de los anterores y son los hombres los anmales

l as p lantas las pedras los s iete metales y cuaquer ota espe-

cie de cuerpo De los mencionados cinco cuerpos smpes

cuatro se dce que son elementales es decr la tera el agua

e l aire y el fuego; el otro es l lamado qu intaesencia esto es el c e lo

De los menconado cuato e lementos (como seña la A vcena

en la Segunda doctina de la prmera sentencia de su prmer

lbro) dos son livanos y ds son graves Los vanos son el

fuego y el aire los gaves son la terra y e l agua A veroes



68 Ncolo Tartagi a

en Sopa il quarto [libo] de celo & mundo (texto 29)1 señaa

que todos os cuerpos en ss ugaes [qe ocupan tenen a-

guna gravedad excepto e fego y también agna iviandad

excepto a tierra. De esto se sigue que e aire dentro de s propio

ga paicpa de gravedad De aquí se sge qe todo cepo com-

pesto de catro eementos y sitado en e aie pacipa de

gavedad Es así que en esta sitacón se eniende po cerpo igua

mente gave soamente aqé que según a gravedad de a mateia

a forma de ea [a matera no es susceptib e de expeimentarna oposicón sensibe de aire en agno de ss movimientos

Según a mateia esto es que sea de feo de pomo de

p ieda o de ota mateia s im amente gave según a forma

es deci qe sea a n ión de taes ca dades [qe sté fomada

de no de estos mateiaes] seá apto [e cuerpo a no paticipa

sensibemente (po vigo de a foma) de a oposicón de ae

en aguno de ss movimientos De ente as fgas o formasde cepos a qe trmina n cña [amada también] piami

da sería de entre caquea ota de as formas qe se qea

a más apta en canto a tene na menor oposción de aie

de manera que con e fn de conseva esta caida e vétice

o agdeza de aqéa [piámide] tendría siempre qe mantenerse

por delante en contra de ímpet de aie Peo si no fese con

servada [a menor oposición conta e aie entonces no se

cmpría con e popósito y esto po no se igamente gave

Po eo, de ente todas as formas a fgua o foma esférica

s in más condición es a más apta a padecer menos a oposición

de aire drante cuaquer case de movimiento es más ági

en caqier gar que se mueva de entre cuaqie ota

gua es iguamente gave

. Se efee a os comentarios de Averroes a De Cae/o de Arsótee,



La nuva ciecia 69

Denición .11

Se dice que los cuerpos igulmente graves son similarese iguales cuando en aquéllos no hay alguna dferencia sus-

tancial ni accidental en sus propiedade!j.

Dención .11.

El instante es aquéllo que no tiene partes.

U istat e el tiempo y e e movimieto es como elputo geométrico e as magitudes esto es, aquélo que o

tiee paes y que es idivisible y cosecuetemete, e el

tiempo y tambié e el movimieto el istate es pricipio

y fi de todo tiempo y de cada movimieto cocuido

Y es propio [caracteístico que e último fi del tiempo

pretérito o es parte del tiempo futuro y el pr icipio del tiempo

futuro o es parte del tiempo pretérito, aquéllo que Aristótelese e libo 6 de la Física (texto 24 os manifiesta

Defincón 1111

El tiempo es una medida del movimiento y del reposo, los

términos [extremos] del cual son dos instntes.

Para los cietfcos el tiempo fue defiido e diversos mo-dos esto es, aguos dice (como dijimos ateriormete) que

es ua medida del movimieto y del reposo. Otros determia

que es iducido por el movimieto de la cosa variable que

camb ia de posic ió o de costitució] A lguos cocluye que

es la vicisitud de las cosas: las cuales e muchos modos se

cooce por medio de ua cuidadosa idagació. Y alguos

dice que es ua edad voluble que proto pasaDe dichas deicioes tomamos la primera por ser la que

más se usta a uestro propósito a que dice que el tiempo

es ua medida de movimieto y del reposo. Porque si por

medio de ua medida mateia l (sobe tierra es l l amada péiga



70 Nicol Taragli

y se divide en (.6.) pies y cada p ie en . 1 2 . (onzas)) se tiene

el conocimiento de la anchua largo y altua de cuepos ma

teiales s imi laente po medio de una medida del t iempo ( l l a

mada año dividido en 2 meses y cada mes comunmente en

30 días cada día en 4 horas cada hora en 60 minutos)

se conoce la d iferencia de movi mi enos de d ichos cuerpos, esto

es la velocidad y la tardanza [lenitud de elos

¿Cómo se conoció en las siete estellas erantes que una

posee un movimiento más veloz que ota si no es por lamedida de ese movimiento llamado año y de ss pates (esto

es meses días hoas minutos) como paece clao en las de-

teminaciones astonómicas? Y los términos extemos] de este

año es deci el principio y el fn de aquél son dos instantes,

y lo mismo se debe entender con cualquiea ora de sus paes

y paa cualquier oto intevalo de] t iempo conc lu ido

Definicón .V.

El movimento d un curp ualmente grave es aquella

transmutación que e realiza d un lugar a otro, qu tin

como xtrmo [prncipio fn] dos ntantes.

El movimiento para todos los cienícos y máxime para

Aristóteles en el libo] quinto de la Fsica (texo 9) fue denido como un mutación o transmuación Las clases de

movimiento o transmuación algunos querán que fuesen 6

eso es geneación coupción, aumentación, disminción,

alteración mutación cambio de luga Pero istóteles en

el pealegato establece ue las mutaciones sean tres y no más

eso es mutación de cantidad de cual iad de luga. De di chas

clases tomamos solamente la última (porque las otas no seelacionan con el propósito) diciendo que el movimiento de

un cuerpo igualmente gave es aquella transmutación que a

la vez hace de un lugar a oro; seía como ecir que va de

aia a abajo de abajo a arriba de aquí hacia allá del lado



L nuv cinca 7 1

deecho a izqierdo a la iversa Y [a eso se agegan] losémios de aes movieos (esto es, e pinciio y e f

os cuale so dos istes).

Denición .VI.

l ono natul de uro iualnte ras saqué qu nauramn reaizan d un uar surior a orinfrior d un ugar s ao a uno ás ajo] rndiu

arent sin vioen aguna.

finición .V.

E ovimino viol1o d uers igualmnt ras aqué u ralizan sfozadan d abajo haia arria darriba haia aajo d u haia a or causa d una o

ncia oviliadora lo uj}

finición VUI

Los oviinos d uros iuan rs s diniuaes uando dihos uros son siilars van a voidads iguals st s, u n tios iguas ransian [r

orrn] inrvalos is

enición IX.

Rsisn se lam a uaquir uro rann3 upor ofrer resisncia un uro iguamne grav n a-guno d sus ovimies [srá] iaado or ése.

2. Por estente e al bjto onde ellaá la ala; ét pue r un

muo, l pio .

3 . Qu enuntr fjo



72 Ncolo Tartagli

Defnición X

Rsisns similrs son aqullos curpos prmann\]qu rsuln igulmn impacados por curpos smans

igualn grvs y con movimins iguls y inn]

moviminos dsiguals si son dsialn ipacaos [los

rsisn5, so s quél que ofrc rsisncia al más

vloz queda más afcado

Definición XI

El fco d un curpo igualn grav s dic que es el

dño4 o prcusión o el guro que cda movimieno ausa

n un rsisn

Defnición XII

Y cuando las prcusions o guros d curpos iualmente

rvs son iguals s dic qu los efcos on iuales

undo son dsigules se dic qu los efecos son desiuales

Denición .XII

Poncia movilizadora s cualquir máquina rcial o ma-

ia qu sa pa para mpur o lanzar un curpo igualne

grav violnmn por l ir.

Denición XIIII

Ls poncias movilizdor s dicn similres e igals

cundo n aqullas no xis sancia alguna ni drncia n

cuno ccidn para l mpuj d curpos igualn rs

iguals pro cuando n aqulls ocurr alguna dncia

n cuano a accidn s dicn disímils y dsiguls

4. Daño por el choqu.



La eva iecia 73

uposición primera

Se supon que un cuerpo igualmente grave (n tmoimiento) a más elo hacia donde produciría ÚOr en-. '

5

l ¡

.tencw c mun e mayor f¡ect en un ressten.

Suposción

Se supone que dos cuerpos igualmente graes, seante

e iguales, transitan o recorren en tieos iguals spaciiguales, y que terminan [ recorrid] en dos instant n

dichs cue1os pasan con igual elocida

uposición .1

supn que donde cuerpos igalente ae a

e iguaes produn or sentencia n efectos i

resistencia semejantes pasarían por tales instant fjwr

tl\ lugares cn igual elocida

uposición .un.

Pro donde produjesen ectos desiguas se upn

aquéllos pasarían con elocidades desiguals y que aq

produjese mayor ecto pasara más eozente.

uposición V.

Los efectos de cuerpos igualmente graes, siiar

iguales producidos en los últimos instantes [al onto

impactoJ de sus moimientos iolentos n resistncias i

lares se supon que son iguales.

5 . o que Elids lama oión omú.



74 Ncoo Tartaglia

Sentencias Comunes. Primera

Para un cuepo igualente grae cuanto e má5 alturaviene con un movimiento natural, tanto mayor efecto roucirá

en un resistente.

Segunda

Cuerpos igualmente graves semeantes e iguales al venir

e iguales alturas con movimientos naturales proucirán

efectos iguales sobre resistencias similares.

Tercera

Pero si rovienen e alturas erentes tenrán en quéllos

efectos esiguals, y aquél que provenga e mayor atura pro-

ucirá un efecto mayor

Pero se necesita señaar que dichas aluras se deben entenderco reseco a os ressenes

Cuarta

Si un uerpo igualmente grave en el movimiento iolento

encontrara algún resistente cuanto más próximo sté dico

resistente al principio e tal movimiento, tanto mayor efectoroucirá icho cuero en é

Proposición Primera

Too cuero igualmente grave con movimiento natural,

cuanto más se va alejano e su rincipio y aproximano a

su n tanto más veloz irá.Por ejemplo si se omaran as tres diferentes altras .a

.b . y .c . en ínea recta como aparece abao, y qe de a aura



La nuev cieci 75

.a. cayese un cuepo igualente gave sin duda s ta cueo

no uviese esistencia encontaía entonces con ovientonatual su n en a tiea ealando su viaje a seeana de

la l ínea .d . e . y g .

O d igo que e ovi ieno d e d ico cueo seía de tal con-

dción que cuanto ás se fuese aeando de su ncipio (esto

es del instante o unto d.) y aoxiándose a su fin (eso

es, al instante o el unto .g) tano ás eloz andaía. Poqu

dicho cuero con ta oiiento po a ea sntencacomn) roduciía ayo efeco en un esstene que stuviese

·_.-�

.

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F

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- �

e:

:

en l a atura c. que s i estuie a la alua . b.. Se seguiápo consiguiene que dico cueo (o la ea suosición)

tansiaía ás eloz po el esacio e. que o el esacio

.de .. De gual anea d ico cuepo (o la iea sentenca

coún) poduciía ayo efecto en un esstente que estuv ese

en el punto . g que si estuviese en la altua c . .



76 Nicol Tartag ia

Por cnsiguiente se seguiría (pr la misma pimera suposi

ción) que dico cuerp pasara más veloz pr el espacio gque por el espacio .e, y si pudese pasar al punto g, est

es que la tierra pudiese ceder lugar com lo ace el aire, en

tonces andaría aumentand continuamente su velcidad, hasta

el centr del mund pues en dilo centro repsara por sen

tencia cmún de ilosía) Cuando el cuerpo se fuese aproxi

mando a dc cento tendeía a tene un mviment más

velcísimo que en cualquier tro espaci anterir en el queuiese estado l cual era el propósit Est mism se verica

tamén en cada un [cada persona] que vaya en diección de un

lugar deseado, y que cuanto más se va aprximando a dich lugar,

tanto más se va algand y más se esueza al camna Así sucede

cn un peregrino que viene de un lugar lejano y ya que es cercano

a su país se esuerza nauralmente más al caminar es es

cuno más lean esá del país [del que ven

l cuerpo grave ac lo mism yendo en dirción a u

nido que es el centr del mundo y cuant de más leos viene

aca dicho cen tant más legand a éste ve ía

Aunque la opinión de muchos sea que si se tuviese un agu-

ero que pnetase diametralmente toda la tierra, y que por

quél uese djado caer un cuerp igualmente grave, como anteriormente s dijo, tal cuerpo que fuese al centro del mundo

inmdiatamente allí s detendría Tal opinión dig que n es

verdad es decir que en ora inmediata se detenga Esto se

dee a la gran velciad que en él se encuentra, l cual l

faría a pasa [del cet cn mvimento vlento much

más l lá de d icho centro, desplaándose haca el cielo de nues

tr hemiseri subterráneo; después retaría cn movimientnatural en direccón del mism cenr y yend haca aquél lo

pasaría nuevamente por las mismas regiones, con mvimiento

vilento hacia nstros, y de nuevo retaría con mvmient

natural haa el mismo centr y de nuevo lo pasara con

mvimiento violento para después retar cn mvimient



La nuev ci 77

natural y así andaría un tiempo pasando con movimiento violeno

y retoando con movimeno naural disminuyéndose en éste con

tinuamente la velocidad y, namente se detendría en dico cntoEl hecho ue se manete qe de movmeno naural se

uede causar el movm ieno violento no il ca que am én

ocurra a la inversa es decir del movi iento v iolento jam

se puede causar e naura Éste se causa or sí soo

Corolario PrmeroDonde se anesta ue nones too u1po igamnte

grave en el prinipio e su oiiento atural va í ln-

ísio en su n ús veocso que en cualquier or lgar.

anto ás largo sea el espao reoido ao m

veísimo andarfa en el na

Corolario 1

Entones es maniesto que ourre qe un uerpo igua-

ente grae on movimiento natal no pede pasr po do

dieentes instantes on igual veloida

Proposición 1 1Todos los uerpos igualente raves, siilares ig

en el prinipio de ss moviiento naturales si parten o iga

eloidad, al alanzar s destino on tales moimienos -

rale.\j entones e qe hubiese pasado por el espaio mús go

andara ús veloz

Sean las cuatro difrentes auras a .b . , .c y d usas

de dos en dos en línea recta como aparece aajo donde aaua .a. está tan di stante de la altura b como lo es a a tura

c de la altura .d . . Tómese el caso en que de la alua . d

cae un cuero igualmente grave y otro en el que cae de la

altura c., ambos miares e iguale. Noto que taes cuero



78 Nco Tartaglia

llgaa co momeos auales a iea y los ecoidosde los seían ecos y pependiculaes a la iea eso es

s imi laes a las dos l íneas ecas g e ie .. Digo que ales cupos

paián de su pincipio (es dec uno e l insae coespon-

diene al puno g. y e oo en el insane coespondene al

puo . co gual velocdad alcaado el n de ales

movimieos en los dos nsaes e. y .f Aqué que iniese

de la alua .a andaía más eloz que el oo, ya que aquéliajaía po un espacio más ago eso es, el espacio af La

alua b es á an leana de la alura a como l o esá a aua

d. de la altua c. como se había supueso). Po consiguiene

el cuepo que cayese de la alua a pecuiendo en un e



L nueva ienc 79

sistente que estuvese a la atura .b. no tndra un efeto mayor

(por la segunda sentenia omún) que el de aqué qu ayese

desde la altura .. sobe oto simlar [oto esstnt qu es-tuviese a a atura .d.; de aqu que los dos uerpos qu vinen

ayendo (por a tra suposiión) andarían uno por la aura

.b. en l punto h y el otro po la atura .d. n el punto .k

on igua vloidad (por a segunda sup os i i ón por o q u

dihos erpos transitarían, uno por el espaio gh y oto

por l spaio . k. n tiempos iguaes. En onsuenia os

dos uerpos patirían del prinipio de sus movimintos (sto

es uno en el instante .g. y e otro en el nsat ..) on vo

idades iguas lo ual ra el primr propósito E urpo qu

vniese d la atua .a. produa un mayor fto sobr un rsistnt

en inste . (I la tr sentnia omún) qu aqué qu vn

d la altu . sobr un símil que stuvise en e punto .

ntons (por la primra suposiin) el urpo qu vind la atura a. a alanar l n de su movimnto (to s l

instante orrpondint al punto .f) andara más vlo qu au

qu vinis d a alura .c y que alanzara su fin n l intant

orrspondient al punto .. o ual l sgundo popsito.

P dmosr l mismo sundo propito d ot nra

hae lo siguint]: de toda la línea sob mayor trnito .g

tomaremos (por a trra dl pro d udes) a pa gmque es igual al tránsto ie d la línea enor y porque todos los

uepos igualmente graves similares e iguales en el prinipo el

movimiento natura paen on igual veloidad (omo s dmostró

más arrba entons el uerpo qu partó de a altura a. andaría

tan vlo por l spaio .gm. omo o haría aquél que par

d la altura .. reorrendo el espaio .e es dir ambos tran

sitarían en tiempos iuas. Y omo el urpo que partó d la

atura .a. (por a proposiión predente) andaía más vlo po el

espaio m qu por e espaio .gm. (por sntna omún) ntones

andaría má velo por el espao .mf que omo lo ha e otro

por e espaio e., lo ual s el mismo segudo propósito



80 Nicolo Tartagla

Proposición .111.

En l cso dl moviinto iolento nto más n rpiualent gra s fs ljndo d s princiio y proxi-

mando a su n, tanto más przoso y lnto ndará.

Por ejemo si ubese una oencia mo l izadora en e un

a. que anara o arroara ioentamente al aire un cuero iua

mene gae, y que odo tiro que udiese realzar dicha poencia

con el susodico cuero corresondiera a toda la ínea ab 6

di

qu al curo uan más se esuviese alejand de su rincipiso s del insane .a.) y aroximándose a su n eso es al

inante/ b) tano más se reducría su elocidad o cual se de-

mostrará de modo siuene Diidiremos toda a nea del re-

corrido ab.7

en más esacios; esos son b, cd de e f

g y .a Dco cuero or la cuara sentenca común) ro

duiría mayor ecto sobre un resistene que se encontrara ene uno . qu sobre uno olocado en el unto .b. ya que

(or la rmera suosición) dico uero andaría más eloz

n l unto que en e unto b y si m i !armente andaría

E

6. S rfe a a máxma dsanca hozona q se pd alcanar dd

l punt .a

7 . Por codo ab s nnd oda a tayctoa dl movmnto volno



a eva ciencia

[más eloz por el espacio d8 que por e l espacio cb . Así

por la msma razón dcho cerpo andaía más eoz por el espa-

co ed que por el espaco d, más veoz por e espaco feque por el espacio , r el espacio g que por e espacio fe

y r el espacio hg que po el espacio g y por e espaco abYqe por el espcio hg. Y si el prncipo de al moimiento iolento

fuee ms adeante tanto más eoz aen los siguientes espacios,

deosrando lo que ea el popósito Esto mismo se erica en ca

uno [de Jos ombs] que e iolenmene nducido en dición

de un lugr p é iado: que cunto más a aproximdo a dicho

luga ms s a ensiendo en la men ms t en lle

Corolario Primero

Dónd s manifsta la manra en que un curpo iualmnt

rav en l inicio d todo movimiento violento va má elocísimo.' d d'

.

1 0/ 1 [

. •

• 7 l . as a ISo a �m

ue su m vmznto, que en ua qwr

otro lugar uanto m tuvira que sr espacio por rorrr

más elocísimo andaría al prinio d su moviinto

Corolario U

También s manifsto mo un urpo igualnt rav

on movimient violento no pued pasar por dos d?ernts

instantes on igual vloida

Proposición .1111

Todos los curpos igualmente gravs, semejants e iguales

al llegar al fnal de sus movimientos violentos 1 irán on igual

8. Dia di d , a q d opod u puno y lo qu bu p

e o l tv c

9 Segú l zomieto debi der h . .

10. Lo.

1 1 El tin de dicos ovimito violtos s l pto od d violeto elmovimto ps a se aul.



82 Nicolo Tartaglia

eocidad, pero al prcipio d ta mov1m1ento aqué ue

uvese ue reorrer u espao más largo parrá más veloz.

o ejeplo s se toan dos potencias ovlizadoasfeentes y desguales una en el punto a y la ota en e puno

c que ebiesen lnza violenaente o e aie dos cuepos

que sean iguales y de gavedad seejante y que de las tayec-

oi 1 2 coletas que geneen las dos otencias con ichos

cueos una coresonde a l a l nea ab y la ota a la l ínea cd ..

Dgo que estos dos cueos al llega al nal de sus oviietos

volentos, esto es uno a instante coresondiente al unto b

y el oto al instante coespondiente a unto d andaan con

gual velocidad Peo a incipio de cada uno d os oviien

B

D

tos, esto es, uno en e instante a y el oto en el instante c.

s i patean con velocidades desiguales, entonces aquél que de

biea pasa po el tayecto del esacio ab. (po se ás ago

que e oto) paria ás veloz dsde el nstante .a. lo cua no

aá [tene la isa veocdad] el oto que pate del instante

c, y esto se deostaá de la siguiente anea Si los dos cueos

encontasen algún esistente en los dos instantes .d. y .b., los

cuales uesen smlaes e guales en esstenca, oducían sobe

1 2. Se refee exclusvamente a la parte de la trayecoria correpondente al movimiento

violeto



L nuva cieci 83

ellos efectos (po la quinta suposición) iguaes donde (por la

tecera suposición) se moiesen con igua eocidad demostrar

lo cual es el primer propósito Para demostrar el caso correspondiente al recorido de a l nea mayor ab. [mayor que la nea

cd cortaemos con la imaginación a parte bk que esultó [en

magnitud] igual al recorrido de la lnea cd menor y cuando

los dos cuerpos leguen a os dos instantes .d y b. andarn con

gua veocidad (como aneomene fue demosado) habiendo

recorido con igual eocidad espacios iguamente distantes

donde os pedichos dos lugares coesponden a los instantes

.b. y .d por a segunda suposición)

Es as que los dos cuerpos transitaran con gual eocidad

uno po e espacio parcial .b. y el otro po el espaco tota

.cd. esto es recoreran éstos en tiempos iguales Y ya que

entre más un cuerpo grae (en el moimiento iolento) se es

tuiera alejando de su principio (por a ercera suposición)tanto más lento y retardado andara En consecuencia, el cuerpo

que in iese del instante a. andara más eloz a traés del espa-

cio ak que por cualqu ier otro lugar del espacio parcia l k .

Se sigue entonces (de razones por todos aceptadas) que el

cuerpo que iene de l i nstante a andara más eloz por e l espa-

co ak que como andaía e oo cerpo en cuaque oo

l ugar de espacio ota cd Entonces e cuerpo que in iesedel punto o instante a patira más eloz por ese instante

a que aquél que pariese del instante c que es e segundo

popósito

Proposición .V.

Ningún cuerp igualmente grave puede recorrer algún epa-io de tiempo de lugar con movimiento naturaly mviient

violeno en forma siultánea.

Por ejemplo si tuiese una potencia moiizadoa en el

punto .a a cual debiese lanzar un cuerpo grae ioentamente



84 Nicolo Tartaglia

D

E

A

po el aie, y todo el recoido que debiea efecua dico

cuepo debido a dico lanzaieno fuese la ínea abcde, digo

qu dicho cuepo no pasaá pae alguna de su coido

siultáneaente coo oviiento violento y coo oviientonatual. Sin ebago, pasaá po aquél que es de oviiento o

talene vioento puo a oto con pae de oviieno violento

puo y pae de oviiento naual puo; n aque instante en que

teinaa el oviiento violento, dico instante seá pincipio del

oviiento natual Y si fuese posible que poseyea siulánaente

alguna pae de oviieno violento y de oviiento natual, en

tonces supongaos ue ésta sea la pae cd Se tendía entoncesque el dicho cuepo al pasa del punto .c. al punto d. auentaía

su velocidad debido a aque a pae que paticipaba del oviiento

natual (po la piea suposición), y siilaente disinuiía su

velocidad en aque la pae que paticipaba de ovimiento violento

(po la tecea suposición), lo cual seía una cosa absuda [esto

es] que al cuepo en un iso tiepo debiese auenta y

disinui su velocidad, con lo que desuida la oposición pe-

anece o popuesto



La uva cienci 85

ProposiciónVI.

Todo rsistnt s verá mnos aftado pr un curpo iual-

mn grav, lanzado violntamnt por air n l intant

qu diinga l moviminto violnto dl oviminto natural.

Por ejemplo s hubese una poenca ozadora en e

punto .a la cual debe lanzar un cuerpo grae olentamente

por e are y que odo e recorrdo que realza el cuerpo uese

E

A F

la línea abcdef, y que e punto d. uese el ugar de insanedonde se separa el moeno oento del naural, dgo que

odo resisene se verá enos aecado por el cuerpo en el

puno d que en calquier otro ugar de recorrdo Esto se

debe a que el cuerpo ranstaría más entamente por e nsane

d que por uaquier otro lugar de recorrdo olento abcd

(por e l p rmer corolaro de la ercera proposcón) y consecuen-

temente endría menos efeco sobre é Smarmene [ocurrría

con a pae complementara] ya que dco cuerpo transtaría

más enamente por el insane d (por el prer corolaro de

a prmera proposcón) que por cualuer otro ugar de re

corrdo naural de, y en consecuencia tendría menos efectos



86 N ico Taraglia

sobre él Y si dicho resisente fuese gopeo por e cuerpo

en el punto c. o el punto .e entonces serí myr e gopeque s i fuese golpedo en el puno d , y qe e cuero srí

con myor veloc po e punto c (con movimeno vio-

eno) y por el punto .e con movimiento ntrl, que por e

puno d. demostrar lo cul es el propósito

Fin del pimer ibo



Inicia el segundo ibro de L v

C de Nicoo Tatagia,

Bresciano

Denición prmera

E ovino rco d curpo gualnt grav aquél

qu ralizan [lo urpo] de un lugar a otro reant, etos a o largo d una ía rea.

Sea como un oveno de pno a. al puno .b. segú

se pesenta l l ínea .ab . .

A

Definición .11El movimino urvo d uro igualn grave aquél

que realizan d un lugar a oro urvaen to iguindo

una líea urva.

Sería coo un oviento del punt .c. a pnt .d., así

coo se uesta en la lnea .cd .

D



88 Nicolo Tartaglia

Defnición 1.

El movimiento parcialmente recto y parcialmente curvo decuerpos igualmente graves es aquél que realizan de un lugar

a otro, rectamente en una parte y curvamente en otra parte,

e decir, que por la línea [donde se desarrolla el movimiento]

una parte e recta y la otra es curva

Sería como estarse moviendo del punto .e a punto .g ., coo

se muestra en la ínea .efg. he intentando que ambas partes,

esto es a parte recta .ef. y a parte curva .fg. se unan di-rectamente de tal maneras que no se forme un ángulo en e l punto

. ya que s i se formara un ángulo entonces no se podría decir

ue el movmiento es continuo pues haría dos movimentos

y por tal razón no sería posble decir que toda la cantidad efg.

fuese una sola ínea, esto es serían dos 1 íneas, una recta y

la otra curva. Esto necestaba ser diucidado

Defnición ..

Horizonte es aquél plano circular que divide (no olamente)

al hemisferio inferior del superior, sino también a todo cuerpo

igualmente grave que está por er lanzado o proyectado vio-

lentamente al aire, para dividirlo [al cuerpo] en do parte

iguale y siendo concéntrico con dicho cuerpo.



La nueva cinia 89

Denición V

Semidiámetro del horionte es aqula líea qu part del

ntro se dirig en lnea rcta aia la circunfrcia qu

es el] sitio dond termia. Este lugar es aia dond s db

tirar violetamnt por air u uro i�ualmt �rave

Defnición V.

Prpendiular al horizot s di d aqulla la qu

pare del polo del oriont (conocido como eit) y qu ca

prpndiularente sobre l cntro d ést [el orit] y

si s prolonga llega a su n n l cntro dl undo

enición .VII

Pro aquella part qu se encuentra entre el cnto [l

oriont l polo s llaada perpendicular sob l oi

ont a la otra qu va dl cntro [del oriot] asta l

cnto dl undo s l llaa prpdiular bajo l ont

Denición VIII

l tránsito o oviinto violto d un cuerpo iualt

grave se di qu ocurre en l plano del oriont uand

n su iniio l trásito] s xtinde en part a lo largo dl

smidiámetro del horionte

Denición IX

El tránsito o movimiento violento d u curpo iualnt

grav se dic que está elvado sobre l orot cundo

u principio se extiende [el tránsitoJ d tal fora que la tra

toria genera parcialment un áulo agudo o l

emidiámetro del orionte, el cual se ncuetra sobr l ori-



90 Nco Tragli

zot Y se dic que cuato más s leva toces el áuloagudo que frma es ayor pero uado eera áulo

rcto se dice que [l trásito} s recto obr l horizot

enición X

El trásit o oviito iolnt de u curpo iualmntrav s dice que está elvado 45 rados sobre l horizotcuado al pricipio [dl trásito} se xtid de tal ara

qu divd dos artes iuals al áuo rcto u s óraco la perpndicular sor el orizote l sidiámtro dloriot.

enición X.

l tránsito o oviito ionto d u curo iualmt

rav s dic u s obicuo or dbao d orizot cuanoal ricio d su oiito s tid or bo dl[lano dl] orizot d tal aa u /a u áuloudo co l sidiámro d orizot s dic u smás oblicuo cuato aor s l áulo audo u ra,ro cuado roduc u áulo rcto s dic ntocs us rcto bajo orizot

Definicón XII.

Los trásitos o ovimitos violntos d cuerpos ualmtravs se dice qu tie iual laci sobre l horizotcuado al pinciio los s tid d talora qu eraor a dl miso horionte áuos audos iuals co

el semidiátro del horizot so satmnt oblicuoscuando al riciio [del ovimito} era or dbao dlhorizote ánulos audos iuale co dico smidiámtro



La nueva cia 9 1

Defnicón XII.

El tránito o moviminto violnto d un urpo igualmntgrav di qu prpndiular al horizon uando al rin

ipio al n [dl moviminto] nuntra n la a mnionada ppndiular dir uando aqul rct obr

o bajo l horizont.

Defnición XliiiLa distania dl tránito d un urpo igualmnt grav

on oviminto violnto qul intrvalo gnrado por

la lína rta qu a dl prinipio al fin dl mominto

violnto

Suposición primeraToo lo rorrido o moviminto natural de urpo

igualnt gra on quiditant ntr llo, y tmbién on

r:pt a la p1ndiular dl horizontPero dos recoridos o moimientos naturaes de cuerpos

gualmente graves nnca podrían ser perfectaente equidistan-tes entre ellos y tampoco con respecto a la perpendicular del

horizonte. Porque s la tierra e estviese cediendo ugar ascom¿· l hace el aire si duda concrrían conjnamente enel centro del undo donde (po la últma denición a 23]del primero de Euclides) , como se d ijo no sean equdi stantesSin embago po ser n eror insensibe en un espaciopequeño entonces los sponemos totalmente equidistantes ytambién [sucede lo msmo] con especto de la perpendiclaral orizone

Sposición 11

Todo tánito o moviminto violnto d u urpo igual-

mnt gav qu nuntr fura d la prpndiular al



92 Nicoo Taragia

horizonte será siempre un recorrido en parte recto en partecurvo, donde la parte curva será una sección de la circun-

ferencia del círculoEs así que n ingún tránsito de cuaquier cuerpo igualmente grave

con movimiento vioento que se encuentre fuea de la perpendicula

del hozonte puede tener alguna arte que sea perectamente rect,

y esto se dee a la gravedad qu se encuentra en tal cuerpo, la

cua continuamente lo va estimulando y drigiendo en dirección

del centro del mundo Sin ebargo, aquella pae que es n

sensiemente curva la suponemos ecta, y aquélla que es evi-

dentemente curva la suponemos arte de a circunferencia de

un círcuo porque no se aparta de ella de manera sensile.

Suposición 111.

Todo uero igualmente ave que esté en el n de alúnmovimiento violent que se encuentre juera d la perpndiular on l horizonte se moverá con moviminto natural,l ual se interará sin brusqueda con la arte urva delmovimiento violento.

Po ejemplo en un cuerpo igualmente gave que uera an

zado vioentamente por e aire fuera de la perpendicular con

l . Se eee a que en e l paso del movimiento violeno a natual no se ' foma unángulo en el punto de cambio, es deci no ocue una discontinuidad en a cuvatua



La uva iecia 93

el horione digo qe al fnal de al movmeno vioeno (si

no encuenra resisencia que lo deenga) se moverá con

movimieno naral, el cal será coningene con la pare crva

de movieo vioento a semejana de oda ínea abcd.

de la cual oda a pare ab corresponde a recorrido con

movimieno vioeno y la parte .cd será el recorrdo realizdo

con movimieno naral mismo qe será conno y se incor

pora sin brsqedad a a crva .be en el pno .c . . Eso es

lo qe queremos nferr

Suposición .IIII

El efeto más lejan} que puede tener un uerpo iualent

grave lanado on moiiento violento sobre cualquier pan

o sobre ualquir línea recta, es aquél [el efecto] qu termina

precisamente en dicho plano o en esa línea (siendo lanadoo proyecado por una misma poencia movilizadora).

Por eempo sea na poenca moviliadora en el puno a

la cal proyecó o lanó n cerpo igalmen grv b vo-

lenamene por l aire, y cyo ránso s íne .edb. y u

B B

2. Se retr a o má ejos que puede legar un cuepo.



94 Nolo Trgli

pongamos que e punto d es el instante en e que se disngueel ecorrdo o movimiento vioento aed del recorrido o

movmento natural d; s del punto a al puto d se traaa línea adc dgo que e punto d es e luga de efecto másejano [medido desde el punto a ue pueda tener el d cho cuerpob. sobre la l ínea adc o sobre aquel plano donde se asena dcaínea adc y cua eevacón corresponde a estas condicones

S dicha potenca en a tuvese al mismo cuepo más

elevado sobre el hoionte aquél produciría su efecto

3

demovimiento natural sore la msma línea adc en el punto .gtal como lo ndica la lnea o tránsto afg y digo que dhoefecto en g. estaría más cecano al punto a es decr al prin-cipio de tal movimento que aqué que tendría l eecto end . Como e mencionado cuerpo no esaía termnando elmovmiento violento en la dicha lnea adc ya que terminaría

en el punto .f, cuanto más elevadamente fuese lanado tantomás se acercaría su efecto a dstanca recorrda] al dchopuno a sobe la línea ac entonces e movimeno violentode aquél tano más se estaría acercando en su término a lalínea adc es decir, termnaría a mayor altura

De gual manera si la misma potencia proyectase al mismocuerpo b pero a menor atura respecto del recorrdo o nea

.aed esto es a semejana dl recorrido de la línea aihk éstetendría su efecto de movimento voento sobre a dicha líneaadc a semejana del punto h cuyo efeco h digo que seríamás cecano al punto .a que aquél alcanzado en el punto dya que el n de ta movimento violento estarí teminandopo debajo de la susodicha línea adc en el punto k y cuantomás dismnuyera a susodcha potencia a paa lanar e dichocuepo tanto más el cuerpo b producra su efecto máscercano al puto a po encima de a l ínea adc porque cuantomás dsmnuyera [la potencia] tanto más termnaría elmovmiento v oento por deajo de la susodicha lnea adc

3 Su mayor distanci.



La nueva icia 95

Lo m smo se ee entender para cualqu er otro t iro por ejm-plo trazando el punto .a al punto f térno del oviento

vio lento .af) a l ínea .af . igo que el d ico cuerpo .b lanzadode cuaquer otra maner co a msa potencia nunca podráalcanzar al dcho punto f , coo se maniesta en el recorro

ae., e l cual corta a la d cha ne .al en el punto .m . E

encionado punto .. está mucho ás cercano a punto a

que coo l está el punto .

De anera semejante trzano entonces una lnea del i

cho punto a al punto k (que es lugar one termina el

movimiento violento aik) cuando sea akn digo que el men-

cona cuerp b, lanzado e cualquier otra anea con l

misma potncia, nunca pora alcanzar e susodicho punto k.

Por �jemplo coo sucee con os tros dos tiros superores

done cada uno corta a a mencionaa lnea akn. con

ovimiento natural en los os puntos .o. y p. donde caalü e elos está ás cercao al punto a e co1o lo está

el punto .k . Esto es aquélo que quereos nerir

Poposición Primera

Los cuatro ángulos d todo cuadrilátro rctilíneo son

uals a [la suma d} uatro ánguls rctos.Sea e cuariátero .abcd .. Digo que sus cuatro ángu os jun

tos son iguales a cuatro ángulos recos. sto es porque trazandol iáetro d [ uarilátero] será vio en dos trián-

gulos, y los tres ángulos de cada uno de los mencionados rán

B

e

D



96 Nicolo Tartaglia

guos (o a seguna arte e a roos1c1on 32 e bro

de Eucdes) son iguaes a os ngulos rectos; de esto se tiene

ue os seis ánguos generaos or os triánulos son iguales

a uato ángulos retos oque os ssoicos seis ánguos

de os dos triánglos son igales a os catro ángulos de iho

uadiátero Por ejemo el ánguo ab. de triángo .ab

unido on [el ánguo db de triángo b. resuta igal

a too e ánguo ab de uadrilátero y lo miso ocurre ara

os otros dos [ángulos] que onuren en e unto .d [quea unirs iguaan a too e ángulo .c. e dio uadrilátero.

Para [ caso de os otros os, esto es aa os ángos .a.

y c sos son ustamente os misos e uarilátero con

o que e propósito quea manifesto

Proposición .11

Si del ntro un u fuan azaas os ía hauna rw?nca, la prprión qu ná oa la iun-

nia l culo on rpto al a qu intrtan l lína es la misa qu nán cuao ángo t rpt al ángulo ontni nt las os ea paanp el ntr.

1

e

Sea e crcuo ab uyo centro es e unto . Del centro

d se trazan as dos íneas a y db D igo ue l a roorc ión



La nuva cieci 97

ue guarda toda a ci cun erenci a de menc ionado crcuo

respecto de arco a qe intersectan dichas neas, es a

[misma] que guardan catro ánguos rectos respecto de ánguo

.adb . Eso es proongando una de di chas neas hasa a c ir-

cunferencia, sea [en este caso .ad. tocando a a c ircunferencia]

en .e. de esto se tiene ue (por a útima [proposición 33]

de sexo de Eucdes) a proporcón de arco e respeco a

arco .a es como a de ánguo .ed a ánguo da. y (po

a 1 8 de i ro 5 de Euc ides) a proporción de a unión delos mencionados dos arcos e y a. (es deir todo e arco

ea) respecto de arco a será como a proporción entre

e conjunto de os dos ángos ed y da respecto de

ánguo .da

Y omo e arco ea. es a mtad de a circunferencia de

todo e crcuo y e conjuno de os dos ánguos ed y .da.

(por a déc ima ecera de 1 de Ec ides) es iga a dos ánguosrectos entonces se sigue e as como es a tad de a cir

cunerenca de dcho ccuo especto de arco a as serán

dos ánguos rctos con respeco al ángu o da . Y as como

toda a ci rcunerencia de todo e c írcuo es a a m tad de aé a

(es decir a arco ea) así serán cuatro ánguos recos a dos

ánguos rectos. Y (por a vigésima segunda de 5 de ucides)

as como toda a c ircnferencia de dicho crco es a arco a

as serán cuatro ángos ecos respecto de ángo da Éste

es e propósito

Proposición .I

Sean dos lneas rectas que se unen angularmente tocando

[tangencia/menteJ a un círculo, sea prolongada una de aquéllas[de las dos líneas] en dirección del ángulo [el ángulo en B],

la proporción que tendrá la circunferencia del círculo re!ect

del arco que intersectron [las dos rectas] será la misma qu



98 Nioo Taraga

nrán uaro ángulos cos rto l ánlo xtrior[ánulo abh.] genrado or la lína prolona.

Sean dos neas .ab. .b. que concren angaente en

el pnto .b., las cales abacan al cclo .deg tocándolo en

los dos pntos .d f, sea poongada na de aqéllas en

dección de .b. de ta foma qe . se proong hasta el

pnto .h Dgo qe a popocón q e tendá la cicneencia

del cco especto del aco def. es a misma qe tenen

catro ánglos ectos respecto de ángo dbh. .

Del centro del mencionado crclo (al cal nombo .k) tzo

las dos íneas .kd. y .k, donde (po la pimea poposicón de

este [segndo lbo]) los cato ánglos del cadiltero .bdk son

gales a catro ánglos ectos. Ya qe cada no de los ánglos

kdb. .kb (po el corolao de la dcma qinta del II de E-cldes)4 es ecto, entonces juntndo los otos dos (es de e l ánglo

En l a dicó d lo Elmentos qu amo pa hcr l apéndice sto copod

a la popoición XVI.

Eta modiación db posilmnt a a ineón d una popoició d Hón

para pobar la popoición X l Lio .



L nuva cei 99

d el ángul .d resa que sn guales a ds ágls rects

y (pr a décma tercera prpscó del br 1 de Ecldes) s

ds águls db y bh sn smlrente gaes a ds ágsrects nde (pr la prmera nción de prmer e Eldes)

ls s ángls df dbh sn guales a ls ds ángos d

y dk Qta qe es cmún pa na y ra pe est

es el ángu db, quedá (pr la tercera ccepcón5 del prmer

de Ecles) el gl h qe sl ga a ngl k D es

se tene (pr la séptma prpscó del qt de Eucles) que prprcó qe tee cuatr águs ects respect e caa

un de els [db dk] será la m sma tal prprón que

�ste ene cuatr gls ts y el gul k es la qe exst

ent la cunereca del círcu y el a .de

Entnces (pr la segda del lbr V e Eces) la pr-

prcón que tendrá a crereca el círc respect del

arc def es aqélla que tenrá s catr ángus rectsrespect e águl exterr h Éste es e prpóst

Proposición .IIII

S el tránso o movmiento volento d un cuerpo gualnte

gave se desarrolla por el plano del horizonte, entons la

e

E H D-

G

5. Noción omún



10 Nicol Tartaga

pate curva de aqué ser a cuara parte de a circunferencia

qu se deria del crcuo

Se el semidieto del no del hoizonte la l íne .ab. la

eendicua de hoizonte a nea cad. el ecoido violento

de un cueo igualmene gve l línea e la ae cuva de

cul es el aco ef y la e fg coesonde al ecoido eaizado

po el movimiento natal Digo que dicha ae cua .e es la

cuaa are de la ccunfeenci que se deiva del cículo.

Eso es oque oongando el ecoido natu g en d-ección del semidámeto de hozonte de oa tal que concua

co aquél en e unto .h como e ecoido .gh es equidstante

[alelo] (o la me suosición de este segundo libo]) a

a eendicula .cad, entonces e ángo . (o imea

arte de la vigésima novena del 1 de c ides seá igul al ángulo

.hac el cul es ecto; o consiguiente el ngulo .1b. exteo

(o la décimtecea de imeo de Eucides seá ecto dondecuato ánguos ectos vienen a s l cuádue de dich ngulo

exteio o lo que a cicunfeencia del cíclo donde deiva

la mencionda ate cu e (o la tecea oosición de

quinto viene se e cuádule del dicho co e de esto se

tiene que dicho aco .e viene a se n cuaro de la cicunfeenci

del cículo del cual se deiv Esto es e oósito

Proposición .V

Si el tránsito o moviient vioent de un cuepo igualnte

gave estuviese eevado sobre e hrizonte entonces l parte

curva de aquél [trnsito} ser mayor que la cuarta parte de

a circunferencia que se deriva de círcuo, y cuanto s ele-

vado estuviese tant mayor ser de a cuarta parte de dichacirunferencia y, sin embargo nunca podr llegar a er

miad de dicha circunferencia.

Se l lnea .ab e semidiámeto de lano de hoizone

la íne .cad la eendicua al hoizonte, y a línea ae e



La ueva cinci 1 0 1

K

1

o

G

tránsto olento de un cuerpo gualente grae; la pre cu

de tránsto] es el arco ef y la parte fg es el rcorrdo

realzado por el ovento natural Dgo qe el arco .e es

ayor que a cuara pare de la crcunferenca qe se derv

de círculo

Prolongo el tránsto natural .g y [tabién] a parte r

ae de manera qe concurran en l punto h despés prolong

. hasta .k . , orándose el ángulo exteror ehk .. Y como l

ángulo e es gal (por la prera parte de a vgésa o

vena del prmero de Eucl des) al ángulo eac y como el ángulo

.eac (por a últa nocón del prero de ucldes) es menor

que un ángulo recto en consecuenca el ánguo hf (por sen-

tenca coún) srá enor qe n ángulo recto de aqu qu

el ángulo exteror ehk (por la trece del prro de Eucldes)

será ayor que un ángulo recto Entonces (por la segunda

parte de la octava del qunto de ucdes) la proporcón quetenen cuatro ángulos rectos y el dcho ángulo exteror será

enor que cuatro y, en fora seejante, la proporcón entre

la crcunferenca de crclo del que se derva el arco .ef. (por

la tercera proposcón de este segundo lro) y dcho arco será

enor que cuatro Enonces (por la segunda parte de la déca



1 02 Nicolo Trtagli

del quinto de Euclides) el aco .e será mayo que la cuata

parte de la circunerenca de cculo de que se derva. Éste

es el prme popósitoY cuano más se estuviese elevando sobe e horizonte la

parte reta ae. meno ánu lo genera a l ínea .ae con la l ínea

ac, y por consuente la ínea eh. con la línea fh produce

un ánuo menor; y entonces el ánulo .eh. consanemene

se estará incrementando y la proporcón entre los cuato án-

uos rectos y aquél [ánulo .ehk] dsminurá a menos de

cuao y de manera semejante la propocón enre la circun

erencia del círcuo del que se deva el arco .e y el men

cionado arco .e será cada ve menor que cuatro po o que

dcho aco ef (por la dicha seunda pae de la écima de

qinto de Euclides) estará crecendo contnuamente hasta se

una pare mayor que un cuarto de cicunerenca. Éste e el

seundo propósto.Como el ánulo exterior .ehk. nunca se puede igualar (por

la primera parte de la tigésima segunda del pmeo de Eu

c l ides aux l iada con a 1 7 del mmo) a dos ánulos ecos

entones la poporcón de uatro ánulos ectos con especto

a dcho ánuo exterior nuca puede ser el dobe De aquí e

sue que a proporción de la cicunerencia del círculo del

que se deva cualquie arco que coresponde a la pate cuade un movimiento ioento nunca puede e el doble de dicho

arco o parte curva y consecuentement dcho aco o parte

cura nunca podra alcanza a ser a mitad de la crcunerenia

que se derva del círculo Éste es el tercer propósito

Proposción . VI.Si l ránito o ovimiento violento de un uerpo igualment

grav fues obliuo bajo el horizont, ntons la ar urva

erá enor que la uarta art de la cirunfrnia qu se



La nueva cinci 1 03

e

F

G

driv del círculo, y será mucho menor cuanto más oblcuo

{el recorrido].

Sea e semd ámetro del horzonte l a l ínea ab, l a perpen-

dclar del horzonte a línea cad, el tránsto o movmento

volento de n cerpo gualmente grave la línea ae, cuya parte

crva del tránsito es el arco e, y la parte fg corresponde al

tránsto hecho con movmento naral Dgo que el men-

cionado aco e es menor que a carta parte de la crcn

ferenca qe se derva del círclo

Prolongo el tránsto natral .fg y tambén a parte recta .aede manera qe concrran en el pnto .h. después prolongo

. hasta k. generándose as el ángo externo .ehk.; y como

e ángo .1e. es igual (po la prmera parte de la proposcón

29 de lbro 1 de E cldes) al ánglo .eac, y a su vez el áng lo

eac. (por a últma concepción del bro 1 de Ecldes) es

mayor qe n ánglo recto (es decr a la parte correspondente

del ánglo bac) entonces el ángl o ehf. será mayor'qe

n ánglo recto y e l ánglo externo .ehk. (por la décmo

tercera proposcón del lbro 1 de Eucldes) será menor qe

n ánglo recto Entonces (por la segunda parte de la octava

proposcón del l bro V de Eucl ides) la proporcón qe gardan

catro ánglos rectos con respecto al [ángo] externo, será



1 04 Niclo Tagi

mayor que cuato y de gual manea la propoón ene la

c cunfeenca ue se derva de l c ícu o d el cual se deva e l

ao e y d cho aco e seá mayor que cuato (por a eceapposcón de este bo) y por a segunda pare de la décma

pposcón del lbo V de ucldes) po consguente el aco

e seá meno ue la cuata pate de la ccunferenca que

se deiva del cculo lo cua es el prme popósto

Y cuanto más bao estuvese epecto del hoonte6

mayor

ángulo fomará la lnea .ea con la lnea ca y semejantemente

a nea fh con la lnea eh; en consecuencia el ánguo exteo

ek estaá dismnuyendo nonces a popocón que existe

ente cuato ángulos ectos y auél [e ánguo exteno ehk]

va aumentando a más del cuáduple y, en foma semejante

la propocón ente la menconada ccunfeenca del ccuo

(del cual se deva el aco ef) y dcho arco e estaá auen-

ando más del cuádruple po lo ue dcho aco e (po asegunda pate de la décma poposicón del lbo V de Eu-

cl des) esaría cosantemene d smnuyendo a una part menor

de un cuato de la ccunfernca de crculo del que s dva.Éste s el segundo popósto

Proposicón .VII

Todos os tránsitos o moimientos vioentos de uepsialmente raves que tenan iuales elevaiones -san randes o pequeñas sobre el horionte o ue tenan gual oblicuda o que se encuentren en el plano del horizonte, son

siilares entre ellos coo consecuencia son proporcionlesy ilares las distancias entre ellos.

Sea la nea ab e semdameto del plano del hoizontea l nea cad la pepend cu a al hozonte; las neas aefg

y ahk los tánstos de dos cuepos gualmente gaves e gual-

ment elevados sobe el hozonte de los cuales las dos paes

6. E mvmet in r.



La nuev ciecia 105

e y h son s tránstos realzados con movmien vi

entos y las dos pes .g e k son s ránsitos hechos nmov menos nres; ls dos secciones e y h sn las

paes rects las cles por tener aqéls gal eevcón

formn conjntmente na sol rectd es decir un sol

l ínea c es .eh Por pnto sea traad l lne qe s se pln

necesrmente psará por el pno esto se debe qucndo as prtes rectas de los tránsos o movmns v-

lentos se)nn entoncs ss dstancis se tomarán d nconjnta (pensr ora cos reslt my inconvenente

Armo qe e recorrdo ae (realzado con movimento vento es semente recorrdo aehi (pr e hech de s

movmento voento) y consecentemente dstnc f y

la dstnc i son proporconales y semejntes.Polongo [ahor los trásos nrs s como l prte

recta .eh, de mnera qe se jnte en los dos pntos .1. y

m s msmo proongo os movmientos ntraes hast los

7. Se sumarán



1 06 Niolo Tragli

puntos n. y o. (omándose os dos ánguos exteoes en

y mo) y después tazo as dos cuedas e y h . uni endo

os puntos8 Como os dos tánstos natuaes gn y .ko (poa pmea suposicón de este [segundo bo]) son equidstan

9tes entonces e ánguo .n . (po a segunda pate de a po

pocon 29 de ibo I de Eucdes) seá igua a ánguo mo

y se tene que po a segunda pae de a poposcn 7 debo 5 de Eucdes) cuato ánguos ecos guadaán a msma

popocón con cada uno de eos os ánguos y seman-temnte a popoción ente las cunfeencas de cada unode os dos cículos de donde se devan os dos acos ef y

.h y los enconados dos acos (cada uno con especto a

a suya la ccunfeenca) seá a msma (po a teca po

poscón de éste segundo bo) o o anteo e aco evi ene a se semejante a l aco .h Y o m so ocue s se

compaa a pae .p con a pare q, donde en cada uno dlo os aco se foman os ánguos .ep y .hqi. espec-

vaene os cuaes po e ecípoco de as dos útmas d-

n c ones [9 y 1 0] de b 3 de Eucdes) son guaes enesí Po o anteo e ángulo ea (po a 3 I de 1 de Eucdes)seá gua al ánguo he donde (po a vgsma octava d1 de Euc des a c ueda .ef seá equd stane de a cueda h

y po ta azón e ánguo efa seá gua po a segunda patede a poposicón vgésma novena de pime libo de Euc des) a ángul o .h . . Entonces e tánguo ae seá equiánguo [semeante] con ánguo a y po o ano semeane

De aqu í que a popocón ente a pae ecta .ae con especto

a la pate ecta ah. es ga a a que guada la cueda .e conespecto a a cueda h. y ente a dstanca a con especto

a a dstancia a. y ente e aco e y e aco h o cuaes e popósto.

8 Uno dnd tmin moviminto cto y el oto donde inc el moviminto ntul

d l ur.

9. Pllos



La uva ceni 1 07

r l mm prcedmens e demtrará la smiiud

enre trnsit mviients ilents que fuesen guamente bcus pr debaj del hrizn sbre e pan del

hriznte. Et se ebe a que s d nguls terres sern

iempre iguale, y l arc paes curas de aquls ls trn

sits] ern iepre emeantes debid a qu la pares extra das

de a cunerencia dl crcul n seeans y deduciendc e hiz anteriente se prbar que a rprcón nr

la pae recta de un repect de a pare recta del r es guala la pprción ntre la disancia de un repec de a di

nc de r e igualmente ucede cn l respecti arcs Y

tmand a prprcindad peada e demr que la oprción enr la pare reca cn respec a a dsncia que cur

a pare cuva de un de rnt, es gual a la prrin

de la pae recta cn rspect a la dsancia que cubre

cuva [de r rcrrid cual e e propóst

Proposición .VII .

Si una ima ponia moviizdoa pyaa o a:

viontmnt ai upos igu as, sii

igual aquél qu raic u nsio a .5 gdos b

hoion prduirá también un fto ás ejno [}dsd su inici br e lno d oione que m pr-

duiría anado on uquir or evión.

Para demtrar esta prpición utilzarem una argun

tacó naural que e a siguente: aquella csa ncgna

que tranita entre un mn y un mi as cm pr d

l intermdi enre abs etres], necesariaene transa

pr la igualdad pr cuaquier tr punt Dnde curre qu

al encnrar el mim y tabién el mín m de cualquier csa

sucede que también e encuentra a gualdad. Cier e que

eas argumentacine n sn lida ni aceptadas ni cnce-bida pr e geómetra, cm cn tda clida demuetra



108 Nico1o Tatgi

el coeador a reeise a a déciouia poposco del

3 de ucldes y tabé a a igésia del smo libo Si

ebago sucede que ales coclusioes s e veca e as cosasicógias que so realee uívocas pero e aquél las e las

ue ese abigüedades lega a sucede que so asas poreeplo si se diese ue se ecuea ua porció de cculo

cuyo águlo cosruido e el aco es eor ue u águlo

eco y ue e ese caso ésa es la porcó ayor que el

secírculo por la ecioada igésia del eceo de ul .d ) 1 o d .1

.

[.

' ]e es ; e •gua aera s1 se ecuera ora porc10 u

corespoda a u águlo ayor que el eco y ésa es ua

poció eo ue el seicrculo por la susodcha igésia

del 3 de Eucldes) eoces sea posible po a susodiha a-gueació ecorar ua [poció] que corespodea alsusodico águlo igual a u águlo reco Afro que e es

caso esa poposicó o argueació o sería alsa es decres posble ecora ua seccó de cículo e el ue el águlo

cosuido sobre el aco [sea igual a u águo reco y eso sucedeporue o exise igua abigedad respeco de los ángulos

Pero si se dijese que se ecuea ua secció de círulo

co el águlo corespodiee a dca poció eo que

u águlo eco y ésa es la porció meor del seicrculo)

po la ya ecioada rigésia del 3 de uclides) gualeesi se ecoase co ora porcó cuyo águlo fuera ayorque el águo reco (y ése es a pocó ayo de se ic ícu lo)po la susodcha rigés ia del 3 de ucli des) eoces co

base e susodicha argueació) sería posible ecorar uaporció cuyo águlo fuese igual al águlo eco Afro que

e ese caso la poposicó o agueació seía falsa yaue el águlo de la porció de crculo o es realee uívoco

co el águlo reco ya ue el gulo reco esá coeido ere

dos líeas recas, y el águlo de la porcó esá coeido ere

ua líea eca y ua cuva, es decir ere la cueda y el arco

O. En nuestro apédie apar como l Ppsción XXI.



La nuva ieni 09

de ella. A esa de elo dgo que esta oosció o argue-

ac la cua es cea se veca see e e vel de los

seidos y en el de itelecto en aquela cualdad interedia

ere aquelas dos dvesidades o cuadades cotaias es

decr entre la orción menor y la oció ayor del secír

cuo; tal cualdad eda coresponde oaete al secír-

culo (coo se deues ediae la trgésia de 3 de Eucl ides)

eo aquélla que falsea sere se verifica en cuanto a seido

eo e los susodchos téios o cualdades edas es decire el secírcuo, orque e su fasedad o está a acance de

algú sendo que sea ao para coocerlo e [foma] aeia

so que solaene es capado por el ntelecto, y que l sea e

que verdaderaene sea que el ángulo conedo etre la cerda

y el arco del seicírculo está tan cercao al ángulo recto que

no le s osble forar un águo agudo de líeas recas qu

sea ás cercano al águlo recto que él n aoco tan cercanocoo él (coo se ruea e la 1 5 del 3 de Eucldes)

1 de donde

se sigue que aes roporcioes o aguetacioes sere se

erican E cuano al setido que se otorga a los téinos o

cualdades edas que se encuetran enre dos cualdades on

oedades corras o efecos coaos] ése cosse e que

atician igualente de cada una d ellas1 2

Y paa no qudar

con un sólo ejelo toeos oto

1 En nust pénice es la poposic XVI.

12. st razonmino nnd mjr andin a la crcin q obr l Pr-

sición XXXI hc R Simsn n su dición 1827 e ls Eleme Dpé docuprs d ica rsicin comenta:

. s maniso que l circnfncia l

semno mayor ABC quda fuera l án-

guo recto CAB; pro l circnfrncid

gmn mnr AC ca do l án-gu recto CAF. "Y esto es todo l qu

quiso ecir cud en text en giegcomo en sus raduccines se ice que el n

gulo l segmno mayor es may y que

l ángul el segmt menr es menr uu ángulo reco".



1 0 Nicoo Tartagli

Con l coninuo girar del Sol a ravés de zodiaco, algunas

veces los da serán mayores que las noches, y algunas oras

serán menores [que los días] De dichas suposiciones o arguenaciones se sigue que en algún iempo o lugar deiesen

ocurrir das iguales a las noches al suceso será verdad si du

ane ese impo se verifica ane los senidos y el ineleco;

o en el lugar enre los dos iepos o nre los lugares mái-

mamene conrarios para ales efeos (de los dos lugares men·

conados que son áimmene conrarios uno esá en el

prie grado d Cánce y el oro esá en el primer grado de

Capricoio y cuando el Sol ra n el primer grado de

Cáncer da lgar al da más largo en comparación con l noche

qu en n ingún oro l ugar o iempo y cuando enra en el prier

grado d Capricoio d l ugar al da más coro, en comparación

con la noch, que en ningún oro lugar. Pero el puno medio

enr esos dos exremos con efeo conrario sería, para unol prir rado de ris y para oo el prier grado de Li

) 1 I. 1 . ' ¡·

.ra · ero S n se caso ( IC Hl argumenac1on ura me ra

noncs digo que siilarmn se verifcará ambién (n

cuano al senido) en los mncionados lugares medios, como

coninuamene veremos, ya qu cuano el Sol enra en uno d

los dos mencionados lugares e da se iguaará con la noche, y

si no s prcamene igua (lo demuesra) de cualquir manera(l rvndo Cardnal sñor Piero de A liaco en la sexa cuesión

d la E\fera d Sacro Bosco) al diferencia es insensible

Regresando ahora a nuesro propóso, videnemene sae-

mos que si un cuepo igualmene gave fuera lanzado o irado

violenamene por el plano del hoizonte irá a erminar su

movimieno violeno más abajo del orizone que con cualquie

ora elevación pero si lo fuésmos elevando lmene sobre elpano del horizone, enoncs esara erminando su movimieno

violeno por deajo del horizone, pro coninuando al ele

13. Pr este ejemplo e inspiró en el Libro 2 De lo írculo y u nombre de

la sfera e Saoboco [Thodk, Sphere, 126]



La nuev cnci 1 1

vación evidentemente sabemos que en un tempo terinará so

be dicho hoizonte cuanto más se fuese elevando tanto

más ejos terminaría es decr ms leano de dcho horizonte)y fnamete acercándose a a perpendicuar sobr e horizone

(es decir, su movmiento o tránsito es recto sobre el horizonte)

termnará ms alto o ms lejos sobre dicho plano del hoionte

qe elevado de calqier oo modo. Se siue po as proposi-

cioes o aruentaciones ateriores, que sea una eevación

condicionada que debiese teiar precsamente en e popo

plano de horizonte d icha arumenacón ser verdad si se ver

ca realmente por los sentidos también por e ntelecto para

auella elevación que es la media entre as dos máxmament

contraras en su término (es decir ente aquéa qu stá n

el plano del horizonte aquélla que es recta sobre hoizont

porque en una irá a trmnar dicho cuerpo con moimint

violeto ms abajo n la ota por encim del horizonte quecon cuaquie oa eevac ión, esa eeacn intermd ia curr

cuando l trnsito o movmiento voento de un cuero igua

mnte grave es elevado a 45 rados sobre el horionte (es d r

cuado la par recta de aquél e trnito divide a ánu

recto hcho entre la perpendicular al horonte el

semidiámetro del horizonte en dos parts iuales) pero i

mencionada aumentación fuese menta por el advrsarieomético) también se vericará en cuato al setdo) en l

dica elevación media es decr a los 45 rados sobr hori

zonte. Si e cuerpo fuese entonces lanzado o tirado d tal form

qu realice su recorrido elevado a 5 rados sobr el horizonte

termina su movimiento violento e el mismo plao del hori

zonte e efecto que tendrá sobre dcho pano será el más

leano, meddo desde s principio (por la cuara suposcó)

que pueda lorar sobre el plano del hoizonte [ms leano]

qe en calquer otro modo que fese eevad o anzado o

t iado con l a misma potecia demostra lo cual es el popósito



2 Nicoo Tragli

Corolario

De eta propoii y de la últia del priero iro a-terior] e aneta que en el curo del oiento iolento

elevao a grdo ore el horzonte cualquier cuerpo gual-

ente grae provocará un menor efecto ore el plano del

horonte qu con cualquie otra eleacón

Proposición IX.Sea a a potencia moilzadora la que proyecta o lanza

do uerpos ualente grae ilare e guale uno ele-

a a 4 grado sore el horizonte, y el oto [tranitando}

po l lano el horionte. La parte recta del tránto de

aquél qu tuvee elevado a 5 grado obre el horzonte

crr.\podrá aproxadamente a cuatro �ece la parte recta

el t

Pa dostr est poposició daeos por u heco

aqéllo que e pricipio qeraos ecoa es dec que

l dstacia del tásito o oviieto violeto eevado a 45

gdos soe el ozote es apoxadee de veces el

ecodo ecto eco sobe el plo del ozote [del oto

cepo] lo cl el vugo cooce coo lz de ponto in ianco.Tl popoció se veá e el crto lo 14 dode se dá e

úeos el ode y la popoció de ceciieto y dececieo

de tios reiados po oda sete de áquias.

Sea eoces la líea a. el seidiáeto del oizote

y la líea .d la pepedicla a dicho hoizote l lea

efg. el tásto de u cueo igualete gave tavés del

p lo del horizoe l a l íe ae. es la pare ect de l trásito,l le .e es la pate cuva y l le g es el tásito

o oviieto atua El ecoido de oto cuepo seejte

e igul a pieo y lazdo co la misa potenca ov-

14 . Es arto libro nna fue rito.



L nuv cienca 1 1 3

e

D

K

zadora, peo con na eleacón de 45 gados sobe el ho-

zone es a ínea a cya pae eca es a ínea a y

la [pate] cura la línea .; e recorrdo con movmeno nau

ral es la línea k y la disanca es a ínea ae msma que

esá sore el semdámero del orzone. Dgo qe la paereca ah es apoxmadamene cuaro veces la pare reca ae

Eso es ya qe polongo el recodo naral .ik. así como

la parte eca ah de al foma qe concuran en e pno . 1 . ,

y como e sdámeo a cora otogonalmene el ecordo

naral k en el pno (po a décma ocava poposcón



1 1 4 Nicoo Trglia

del libo de cides, 5 etoces aquél pasa po e ceto

de cco del qe se deiva la pae cva . h i Aoa se toma

(po a poposició 24 del libo II de uclides) 6 el m-cionado cclo himn del qe se deiva la dicha pae cua

.h i y desde el puto a (po la poposició diecisis de ibo

I I de Eclides)1 7

tazo ua ea qe toca a d icho cco,

y la l ao am ; sta la oogo a de e coca co

e coido atral ik. e el pto .o co lo ue qedaá

fomado el tágulo a lo .. Desde los dos ptos . h y m tao

acia el ceto del cículo (sea .p.) as dos leas hp. y .mp

las caes serán iguaes etre e las (por l a dfi iió de crcl o

dada po Eclides e e ibo 1) . De ga maea la ea ah

(p la poposició 35 de l bo de ucl ides) 8

seá igua

a la ea am, y e ángo pha seá gal al glo .pa

Esto se debe a qe tato el uo como e otro so ects (po

a poosici 17 del libo III de Ecies) 1 9 ami se ieqe l base ap es coú a uo y otro de os dos tiáglos

ahp y amp [po as caractesticas de la costcc ió]

toces (po a proposic ió 8 de l ibro d Ec ids)

d ichos t iáglos seá equiáglos y como l á o

.hap es la mitad de u ágo ect (po se la mitad

del águlo cap spesto) etocs e águo .aph. (po

la seda pte de a popoic ió 32 de i bo l d Euc ides)tambi seá la mitad de u águlo recto. seguida se tiee

qe e ául o map. del oto tiáglo seá tambi la m itad

de águo ecto y e cosececia todo el áglo .am.

de tiágulo ao seá ecto. Como el águo alo es la mi

tad de águlo ecto debdo a que es igual al áglo a

teo lac. (po la poposició 9 del l ibo 1 de Eucide),

eoces (po la segda parte de la poposició 32 de l bo

1 5 . E uestro apéndice es a propoición XX

16. dem, propocón XXV

17. iem proposición XVI

8 . idem proposició XXXVI.

19. dm proosicón XVI



La nueva iia 1 1 5

1 d e c ides) e otro ángo a e s abién a itad de

un ánguo recto de aquí se tiene (por a proposición 6 de

l io [ de Eucides) que e lado a seá igua a ado aoo mp lia ue e triánguo ao . es la ita de un cuadrdo

y a distancia .a resulta ser a perpendcua de mencionado

tiángulo ao, que a su ve es gual a a itad de a ae

.o es decir a J i , y coo a enconada ditancia ai es

supues taente décpa de a recta ea es decir, [ .ai . es]

d iez vces a recta ae entnces el área de tr iángu o .a o .

(po r a cuadragési priea proposición de l iro I de u

c l ides) vendía a ser 1 00 es eci r 00 qadrados [cuyo ado

es] a recta ae. (a cua en este oento adotamos coo

medida de o que se ha dcho) y e ado a sea a raíz

uadrada de 200 (po la penúltia proposcó [a 47 de

l ibo 1 de Eucl ides e iguaene on e oto ado ao Ahora

para conocer con números a cantidad [de a ongitud] dela rcta .ah preraene se taan desde e! cento .p las

do lías .p y .po, y proediendo po álgebra suponemos

1 ' d 1 1

d ' 1que e sem eto e crc o es na a, y c 10

sedimeto es a perpendcar de tringuo .po. (con

as . l .) e iguamente lo es de triánguo .ap . (con base

.a y ntonces tabién o es de triáguo apo. (con base

.ao); las mencionadas perpendicares son pi. , ph y pm Acto seguido encontraremos e área d e cada uno de os en-

cionaos tres triánguos (uti izando la regla) ultiplicando

a perpendcuar por a tad de a base o a mitad de aperpendicul ar por toda a ase, donde u tip l icando p i. (ue

se supone es una osa por a itad de o que es 1 O, daá

O veces a co ara e áea de tángo o. a cua pon

dreos de ado por un momento después utipicaremosa perpendcular ph (ue es taién una osa) por a mitad

de .a. ue será a raz de 50 de o que se otene que a

2. Cosa l nob qu lo algbrita dl Renaminto daban a o e hoy la-

aos la ncógnita.



1 1 6 N Taa a

raí e 50 ensP correspone al rea el rngulo ap re-

sulao que ejareos e lao uno con e previaene ob-

enio esues enconrareos e anera semeane el áreael otro riángulo ao a cual ser amién la raz e 0 eni

igua ue como ocurrió previaene (ebo a ue las basesson iguales, es ecir en caa uno es raí e 200). Ahora su-maremo las tres reas obenieno que la suma es raí e 200

ensi s e veces la cosa, y esa sua ser igual al rea

e o el rángulo .aJo la cal es 00;

aora elevanola raí e 2903ensi resano las pares y silifcano los

[coecienes el censo

enreos un enso ás 20 ose gual

a 100

y sgueno el caíulo enconaos que la osa valeríz de 200 enos 0 cania] ue e el seáero e cr

culo es ecir, e la línea h o pi o p, y coo la línea

ah. es igual a la línea coo e eosrao) se sigue en-

tonces que la encionaa lnea ah. es la ra e 200 menos 1 Ocuyo resiuo s aromaene el e 4 /7 De eso [se eneque la reca ah venría a ser aproxiaaene 4 veces y unsépio e la recta .ae lo cual es el propósio

Corolario

De sto s anfesta que ualuier uerpo gualmente

rave proyetado o irado olentaene al aire por ua

isma poencia [oiizadora] uano más recorra en lína

re ar ser el fcto ue rodua

Fin del segundo libro

2 1 . Ceni e la palaba utizada para efeise a uadrado de la cosa, s dcr, x2Po llo raí d SO cens signa -, es dc Vx

22. - 0x'

I Ox = 100.23. Dee de 20

24 (E)2 = 100 - 1 0xf

25. x + 2x = 0



Inicia e tercer ibro de L uv

C de Nicolo Tartagia

Bresciano

Defnición. Primera

Hrizonte (en esta ocasión) se considera es el lano circular

qu divid (no solamente) al hemisferio inferior del superior

sino también al ojo que obsera aluna cosa isible, en dosartes iguale y es concénrico con aquél.

Defnicó .

Se llaa lano eecto a cualquier espacio terráceo que se

ncuntra o e extiende aneniendo la misma distancia re\ecto

del plano dl horionte or debajo de dicho horionte

Defnición 1.

La alura de las cosas isibles es la perpendicular obser-

vada desde el vrtice de cada una de ellas hasta la base o

plano terráceo donde ellas reosan

Defnición .IIII.

Distancia hiotenusa! o diametral es aquélla que se mide

en línea recta dede el oo que oberva hasta el vértie deculquier altura visible



1 1 8 Nicolo Taraglia

Defón V.

Ditancia oiontl es aquélla que e mide en lnea rectaded el ojo que observa hata alguna coa que aarece n

el lano del orizonte.

roposcón. Pimera

Dee certifcar en conceto i ua Regla1

(l insrumeno

u o�eto) material que e utiliza paa trazar línea recta sxata

Sea dada una ega a.2

ue deseo erfar si es exa

(adeuada)3

para traza o dbuar acialene líneas ectas

e uaqu e supee p aa Maro dos pnos y tan

peueños oo sea pose a separados uno del oro oo

aproxdaene sea la longud de a Regla dada oo

apaee en e pme ejepo Lego aoodo o ajuso dhaegla on los dos puno dados, oloado e l uerpo de d ih

B YO ES e. •

B 1"' MPl 1 e�

G

B 3,

:I

A

Bf

4

l S dinc al istrmno u objo u s usa ara dir. La aara italiaa s

Rega y Rega.2 En l orginal usa n l xto una 'a y en l diagrama una A. Igual ocur cn

las dmás ltras q: s tliza n los diagraas

3. Si satisfac los ritros d acuación ara rspondr a su uso



La nueva inca 1 9

Rega rente a í coo se ve en e segundo eepo; enseguida

trazo con lgereza una sutlísia4 lnea de punto a l punto

b siguendo la poscón de a Rega Hecho esto doy ueltaa la Regla y ahoa me ocupo del oto cotado de la línea

trazada ajustándoa con cuidado a los os puntos marados

como se muestra en e tercer ejemplo, y trazo on ligereza

ota ínea sut sma de l punto a. al punto .b Rea izao esto

levnto la susodcha Rega y obsero con cuidado si la línea

trazada en esta segunda ocasón concde perfectamente con

la trazada preiamente cuando es coocada sobre ésta es dei

que ésta y aqué la sean guales y s endo as las coas digo

que dicha Regla es exactísa

Pero si al ser colocadas una encia de la otra a línea

trazada en la segunda ocasión no concde pefetamente con

la tazada preiamente es decr que ente una ota eista

agún espacio como ocurre en el cuarto ejeplo entonces digoque dca Rega no es exacta en oo alguo, y que las líneas

trazadas seún la dsposcón de aquéa [la Regla) no son ec

tas ya que dos lneas rectas no pueden admitir entre ellas unasuperfce (por el últo ostulado del me ibo d Eu-

cl des \ o cual es el caso.

Proposición .1.

Deseo cert?fcar en concreto si una escuadra matrial

propuesa es exacta.

Sea a susodca escuadra a Digo que deseo certcar s

ésta es exacta y si los ángulos defndos según su disposiión

o dseño] son perfectamente rectos Sgo este pocedmiento:

d ibujo e ángulo bd segú la dsposón de la ssodcaescuadra. Lugo uso un copás y tono coo centro e pto

.c y sobe él escrbo el círculo efg ás grande que sea os

4. Delgada.

5. En rlidad es l axioma X



1 20 Ncolo Tartglia

ble pero evtado ue se pase ás allá de las dos leas .cb

y cd, de aera que corte a cada una de ellas e los dos

puntos e Hecho esto too copás y co cudado observos e arco .e y f es precsaene la cuarta pare de la cir-

cunfereca de todo el susodcho círculo y s ése es el caso

digo ue dcho ángulo e c es perfectaete recto (por la

proposc ón . 2 de l 2 de Euc l des]) y por cosguente ue

la escuadra a es exacta (por a octava Nocón coún del

Prer lbro de Eucldes) ero s el susodcho arco e. fuera

ayor o enor ue a cuarta pare de a c rcunfereca de dchocírculo dré ue el ángulo c o es de maera algua recto

y por ende ue la susodcha escuadra a no es exacta.

B

Proposición .111

Deseo cerfcar en concre de otra manera (ara etar

más seguro) si la escuadra dada es exaca [reca}.

Sea a escuadra dada a. Dgo que para tener ayor segur-

dad deseo cerfcar de otra aera s auél la es exacta. [ara

ello] Dbuo el ángulo bcd segú a dsposcó de ella; después trazo del puto b. al puno d la línea bd., y a ésta la

dvdo e dos pares guales co e punto e ago ceto en el

punto .e y alrededor de é dibujo un seicírculo aedendo



La nueva cenca 1 2 1

a la canta6

e la l nea eb o e cuaquiera que sea bg .

Heco eo obsero cuiaosamente i la uoca c ircuneren-

cia bfg aa or el unto .c. y si aí ocurrera ré que

co ángulo en c or la rooscón .30 . [3 1 en e aénice

el ercer libro e Eucle) e erectamente recto y or con

guene que la ecuara a. en cuestón e exaca. Pero ia circunferencia e aara o no alcanara aunque fuera or

oco al usoico uno .c. iré claraene que ninguna

manera el águo en c es recto y que or lo ano la ecuara

a no es exaca ue e e propóio

Proposición .I.

Una vez más deseo de una otra anera eifar en on-creo que la esuada dada es exaca.

Sea la ecuara aa .a. Digo una vez más (ara ener

mayor seguria) que eeo vericar e una otra manera s

ésa e exaca Trao [ara ello] el ángulo bc. según la coo-

cación e aquélla [la ecuara] Realiao eto omo mi com-

á, lo abro e manea que u aertura uea tener cabia

aproxmaamente re vece en la lnea c y con bae esta aertura marco las res artes cef y g. y ocuano a

m ima aerura e comá marco en l a ora l nea cb. las cuatro

pare o meias chiikkl. A coninuacón done el unto

6. Logitud.



12 Niolo Taragla

e

o

l l puo .g trazo la líea g. y acto segudo y co cudado

rv la susodcha ea .lg cosste recsaet de

mdidas o aperturas d i copás S tal cosa ocure

é q l sodicho águlo .c . (por la útima roposici [a

481 d per libro de Euclides) s erfctamne reco y que

por igu a escuadra a es exacta Peo si la e

a ía g fea más lrga o ás corta que co per-t d i coás dré qu e susodicho águo c. o es

de a alua recto y qu coo cosecueca la escuadra

o es acta, lo cua s el oósto

Proposición . V.

Ds cifar en reto si un uángul eqilo un dro peJo.

Sa cudrágulo equilátero abc e decir [ uadrá-

] uyos uatro lados .ab.bccd da. o iguales Ioro



La nuva ciecia 123

que deseo certifcar s dicho cuadránguo es un cuadrado per-

fecto Para eo Trzo e é los dos diámetros .c. y .bd

os cues se intersecan en e puno e A continuacón tomo

mi compás y haciendo del puno e. e cenro rzo un círco

con base en canidd7 ea. o eb cto seguido y con cu

dado observo s a circunferenc de dicho crcuo pas pre-

cisamene po as cao esquinas de os cuatro ánguos .abcd.

de dicho cuadánguo, si a enconda circunferencia pasa

punto por punto por s ssodchas esqunas dir que tcudránguo (por a poposicin 30. [3 1 en e apénice] de tercer

libro de Euclides) es un rectángulo por consiuiente uncuddo perfecto Pero si ocuera ue dicha circunerenci no

psar punto por puno por s curo esquinas n cueión

digo ·que el susodicho cudránguo no es de manera agun

un rectánguo y por consiguiente no es un cuadrado perecto

o cua es e propósito.

Proposción .VI

Do fabriar u itrueto qu irva para iaru plao y abié para ooerlo uato al aspo -ura anhura profudidad ditania hipoteua! horiotal

d la coa viibl, y u tabién lo pueda acoodar ofaciidad para ietigar la vaidad d dipao de aa izade artillera ialmete de cada ortero.

Tomo una ámin de !gún meta que sea mu plana que

pose un buen groso o una bi de agun era rme

y bien sec con menos un dedo de grosor. Con una reg un escud exraigo de d ich ám na o tab i a un escud

simiar la infrascrt abc.def que tiene encerado un cuadro

p1:[tíio semejnte cuadro .ehi y de éste se pega un

ori rcuadro cerca de os dos ados gh y .h trzo

re íneas separadas una de a otra por [e equivalente a] un

7. Con radi .e .



124 Nicolo Tataglia

B

dedo ueso, y casi edstante a os y menconados ados

h. y i; y a cada una de aquas qe estn canas a os

dos lados .hg y hi. as dvdo en 12 pates guaes y, desdel nulo en e. tazo hacia cada una de as susodchas . 2

y 2 d i siones o puntos las l ínes que d ivden los espacos

qe enceran as res y trs8

nea eqidistanes de los do

ados gh y hi. en . 1 2 . espacios iguaes Con esto queda

teminada la gua gnómca hl div dida en 1 y 2 paes

guales figua que os antiguos lamaban escala altimética.

La pendiente h l es concida como somba ecta omba.9

ecta y la pendiente .hk. como somba ateal [omba vesa]

y a ínea be (es deci el d ámeto de cuado) es l lamada

somba media :nea de 'omba media. a divsió . l de a

somba ecta se lama pime punto de a somba ecta, la di-

visión 2 el seundo puno, y d igua manea se posigue

ecorendo las demás dviones de a somba ecta En omasimla a la pimea divisón de la somba latea se le dce

pmer punto de a somba lateal y así a a seunda divisón

8. as tres horizontae y a re verial

9 En l orginal la paabra ue e utilia rmite a la reión en ue ae algo que

e rrama o vierte Lo vertial remte a 1� mima idea y raíz



L nu c 1 2 5

se le die segndo punto de a soa lateal, azonando de

gual manea se ontinúa con las otas divsiones Paa com-

peta nuesto instuento se olocan soe a pata b dosamnillas peoadas mn de modo que los dos agueosqueden aineados

0y equid istantes del p ano b Los suso-

dihos agujeos son peoaciones pequeñas que apenas dejan

pasa el ao visual mediante e ual se puede ve la totaldad

de as cosas visiles Luego se ja pependicuamente en elpuno e. un punzón de hieo a l se le cuega el -pendíulo, o plomada eo on ello queda teinado el insu-

mento lo ual ea el popósio

Correcciones del autr

Eú adelante si ada cosa qe a ha s ido hea se e u s ea

hae [d nuevo] mucho mejo se aía y po consiguiente

dgo que en luga de esas dos laminillas peoadas m y nmucho más ápdo seá y seviá s s hae un caalit con

na lmat a n de que heho esto po a pate ini

de a paa . pas en ínea reta del puno .f. al punto p .

Y esto se dee eal iza antes de que se haa jado la susod iha

pata f soe l cuadado gh e Despus de hae e a men-

onado canalito ha que ja la pata en su luga y luegoen a pata i se pega ua intia delgada hecha de la misma

madea; esto on e l in de ub la pate de canal to que estaá

ah í y que vendá a pasa en lnea eta en dieción del ento

[de a ea] 1

Y ahí donde va colgado el pependícuo o

plomada serviá de manea muho más exacta en nuestasopeaones de como o haán las dos laminillas menionadas

como se dijo aia más aún cuando hae ata tanspotael instumento de un sitio a oto omo ocure en la décmapoposiión de este [libo] Todavía hace alta señala que SI

l O L lrgo de l vl

l l . De la tierr



126 Nico1o Ttg1ia

se quere fabricar esta escuadra con madera se debe hacer con

madera de ciprés, a cua resula más adecuada pues he en-

contrado que no muestra cabios sensibles ni por humedadni por separación. Luego se debe marcar la escuadra en papel

para después ser ado sobr la de madera

Además de esto hace falta resaltar que tanto más grande

se fabrique este insrumento ano más fáci l será constru r lo

con exactitud Y ciertamete el cuadrado .ghie no debería ser

de menos de un palo por lado, de manera que cada uno de

los ya mencionado 2 y 2 puntos de la sobra recta y

de la lateral [respecivamente] se pudieran dividir en oras . 1 2

y 1 2 pares según e l m iso procedieno seguido pre

cisamene] y estas pates se laarían minutos, de manera que

el susodicho cuadro vendría a tener 44 mi nutos por cint l la

os cuales serán de mucho mayor utilidad y nura que coo

resultaría con solamente las primeras. 2 .

dvisiones

Proposición. VII.D

1 ' b '

eseo mve ar un e,paczo terraeo y a er sz ste s un

plano erfeco.

Sea la línea ab la porción de terreno Digo que deseo nvelar

dicho espacio y certicar si es un plano perfecto Para ello localizo un punto sobre cualquer cosa eevada perpendcularente

sobre el plano del horizonte y sea éste el punto c A con

tnuación omo mi instrumeno y lo cloco o asiento de suerte

que quede jo sobre cualquier cosa que lo estabilice en fora

tal que la perpendicular eo caiga precsaente sobre el lado

.eg del cuadrado del nstrumento que aparece en la proposición

VI es decr sobre la línea egd y después lo alzo o lo bajode manera que por las perforaciones mn se vea el punto c

Realizado esto mido con cuidado cuáno ide desd m ojo,

o desde la perforacón n. la perpendula a la ierra (eso es

2. Poró de terrno



La nuev cie 1 27

cuánto mide la línea .na) y de igual manea md cuáno e

dede e l punto c. pependculamente haa la tiea (e dec cuánt mide a línea cb) y ecuno que la mencionada

línea cb e gual a la línea na., y que el uodch plano

e extiende dede el lado deecho y dede el quied eún

la poción de la lnea ab dié que el udch plan ab eá

un plano pefect, ya que la línea .ab qu paae po aquél (p

a tgéma tecea popocón de pme bo de uc de)

eá equiditante a la línea .nc que paa p el plano dl h-ne, y po cniguente el plan en cueón po dnde pae

la línea ab. eá equiditante p la decimocuaa ppicón

del l b 1 1 de Euc ide) al plano del hoiznte Pe l línea

.cb eula mayo que la línea na, dé que la udcha pcón

de teen eá má baja en la deccón de .b que en la d

.a., y p lo conai i la línea .cb. eulta meno que la

l ínea na, dié que la udicha pocón de teeno eá máalta haca b que haci a a , y co el m i m den pcedeé

haca el lado deeh y haca el iquiedo deeand cfca

i aleded del cículo e extiende egn lo que coeponde

a la lnea ab. lo cual es el prpóit



128 Nicol Tartg

Proposición VII.

Dso invstigar la alura d ua cosa isibl, a la calse pud [uno] acrcar al nil d la bas al mismo tio

dso conor la distancia a lo largo d la hipotnusa o

diámtro d tal altura.

Sea la altura ab de a cosa visibe .a elevada y ja sobre

a porción de teeno bd de manera que se pueda observar

a base (es deci el puto b.) Digo que deseo investigar la

susodicha atura ab y que a ismo tiempo deseo conocela dstancia hipoenusa! o diámetro de ta atua Tomo mi

instrmento y o o sobre aguna cosa estabe, n ive lo e pano

.bd. y veo si es un pano perfecto (procedo coo se hizo an-

terioente) si resulta ser un pao perfecto escojo un punto

en e obeto visibe, ta coo o sería e vétice a., busco

bsevaro po os dos agujeros .nm de mi instrumento y me

uevo hacia atás y hacia adeante hasta que e pependícuocaiga sobre a ínea de la sombra media, es deci, sobre l

diáeto de cuadro como ás adeante aparece en a figua

Hecho eso do e espaco que se enuentra entre e puno

dode cae a pependicuar desde mi ojo hasta a base de ta

atura (es deci cuáto es desde e punto c hasta e punto

b) A dicha cantidad e añado la perpendicuar que va desde

mi ojo hasta a tierra (a saber la cantidad ec) y tanto cuanto

sea esta suma tanto más será a atura ab Por eempo si

el espacio fues de 353 pasos, que de mi ojo hasta la tierra

es deci, e punto e. a punto c) uesen dos pasos, concura

que a atura ab. sería de 355 pasos. Porque desde mi ojo

(desde e punto e) extiendo a línea e. equidistante del pano

o nea cb, proongo e perpendcuo de insmento osucinte para que concura on a nea visua .ea. en e punto

h de igua manera extiendo el lado de la sombra ecta

es deci la línea gi (ado del cuadrado) hasta que concura

con a misma línea visual ea en e punto .k produciendo



L nueva cencia 1 29

l rángulo .gkh . Y dado qu l ángulo gkh s gua (po

l trcr postulado dl prmr libro d Euclds al ángulo fa.

(dado qu un y oto son ctos y d ana s ar águo

khg s igual (por la sgunda part d la .29 dl prm [ l bro]d Euclds al ángulo .a., dond (por a sgud part d

la trgésma d . l d Euclds l ángulo kg vndría a

qudar gua a ngulo a. por lo qu l trángulo gk. sía

equangular con l trángulo a y como conscunca s

smlar y d ados proporconals (por la sgunda poposcón

dl sxto lbro d Euclds), y tambén l trángulo a. (por

a vgésa dl sxto [bro] d Euclds vndría a sr slaral ya nc onado r ánguo . g y d lados proprc on al s

y p o r con s g u nt la proporcn nr l ado . f y

l ado fa . s l a sa qu la dl l ado g rspco d l lado

ya qu l lado .J s gua al lado g (por sr ada o



130 Nicolo Tartagl ia

ado d cadrado y por ee el ado a será iga a lado

e y porque e espaco o líea c. (por a trigésma cuarta

de primero de Eucldes) es iga a msmo ado e se sgue(por a Primera Nocó de pr imero de Ec des) que a atua

pacia af sea gua a a disacia o ea c., y porque

el resuo fb (de tal altura es igual (por la ya mecioada

trigsmacuarta de pmero de Eucids a la ea ec

sguédose eces (por a Seguda Noc Coú de

prmero de Ecdes) que catdad . juto co a ca-

tida ce da ugar a a suma gua a a aura a, o ca

era e prmer propósto

Y porqe s como e lado g es al lado gh (diámetro de

cuaro as es e ado e (o c respeto de ado ea y

porue e ado g es icoeale (por a séptima del

décio de Eucides) co el diámetro g, eoces e ado .e

(o .c.) (por a décma de dcio de Ecde) será ico-esae co el ado ea y porque e dámetro gh es e

do e e potecia (por l a peúma [proposci ] de primero

de Ecides respeco de ado gi etoes e ado ea será

el de e poteca del lado e (o c) elevado a cuadrado

y por cosguiete e ado e (o c) (e ca he dco que

es de 353 pasos será de 24609 y e doe de eso da

2 9 2 8 Y de esta dupcacó omo la correspodient racarada a ca se:á de aproxmadamet .992/9 1 /8 7/9 ,

y por e o d ir que 499 2/9 /8 7/9 paso será a d istacia

h poesa! o daera ea que es e segdo propsto ero

s acaso sucede qe e pao terráceo d o era pao

pereco (como ocrre a mayor parte e a veces tomo [e-

toces] e pto dode ierseca el pao del horizote a

dcha atura a, y veado co m strmeo como se

hzo e a propesta atero se fa e uto f Luego pro-

cro med r co cu dado la l ea e o ua íea equ di state

a ea, y a esta catidad o e añado a catidd ec so qe

e gar de ela e agrego la catidad ., y tao cuato sea



La nuva cecia 1 3

tal suma tanto d ré qe es la altua de .ab Verbigaca, s i

a ínea e fuese (como se suso reviamente) de 35 3 asos

y qe a línea f fese de 3 /2 asos yo agregaría lossusodicos 3 12 asos con los 353 asos ara tener 356

/2. asos. Y diré que la susodica altra .ab. es de 356 /2asos y así procedera cuando la línea fese menor qe

la ínea .ec. es decir, si ésta fuera de sólo n aso se agregaría

un aso a los ya mecoados 353 asos y eso dara 354

asos y tanto sería o qe dira que es la ssodicha altura

.ab. orque e tal caso e ado ef es gual a la ara arcia

a como ya se demosró más arrba y agregando la cantidad

f me dará la altra total ab, lo cuál es el roósito

Proposición IX

Sin delaare del lugar donde m enuentro, deeo medirla altura de un bjeto viible al que uno e puede acercar

por l hriztal e dei haia la bae de éte y al is

tiep de ineiga la ditania hpotenua! diaetral

de tal altra.Sea la altura ab del objeto visible a. elevado y situado

sobre el terreno ano bd de manera que se ueda uno

trasladar (como en a roosición anterior) asta e nivel inferor o base de objeto (es decir el nto b) Digo que deseo

edir la alra ab (sin moverme de stio en que me encen-

tro) y a m ismo ieo deseo i nvestigar la d istanca otensa!

o diametral de ta altra

Tomo rimero mi instrumento en la mano y o jo sobre

cualqu e cosa estble; n iveo el l an bd y veo si es un lano

erfecto (rocedo como se izo en la sétima rooscón)y si lo encuenro erfeco escojo un uno en e ssodicho

objeto vi s b le qu sea el vér ice a y busco observaro a través

de los dos ageos nm de i istrument, sin mover de

sito donde me encuentro girando o volteando e ya men



1 32 Nlo Targ!

cionado instruento tanto coo se pueda hasta que se vea el

susodicho vértice a a través de las dos perforaciones. Reaizado

esto oservo cuidadosaente donde cae e perpendculo de insruento, y si por eeplo éste cayera coo en el caso an

terior, (a saber) sore a línea de la sobra edia, con ello

habría terinado (coo ocurrió en el caso anterior), pero si

aquél cayera sore el lado de la sora reca e señalará que

a altura a es ayor que el espacio que va desde is pies

hasta a base o raíz de la susodicha altura es decir hasa e

punto b , en ta proporción coo la de . 1 2 . (e lado del

cuadrado) respecto el núero de puntos de la sobra recta

donde ae el perpendícuo, y se le sua la perpendicuar a

tierra que parte de oo (coo ya se hizo en la proposició

precedente), y en térios uéricos esta cuestón concuye

así: se u ltipl ica por . 1 2 . el núero de pasos (o de cualquier

otra edida) que existen entre is pes y el punto .b y estau lt ip icación se d vidi rá por el núero de pntos de l sobra

recta donde cae e perpendícuo de i instrento, y de lo

que resu lte d dicha divi sión se agregará la cantidad de la per

pendicular de i ojo a tierr Po eeplo, supongaos qu

e perpend culo de in struento caiga sre el noveno punto

de la sobra recta, coo aparece en la ura de ás abajo

y supongaos que [desde b] hasta el punto c. sean .236 pasos y que de oo a a tierra, es decr, desde el puno

e hasta el punto c., sean 2 pasos Se uipcan los suso-

dichos . 25 6 pasos por 1 2 (es decir por los dce puntos o

divisiones del lado del cuadrado, o de cada sobr), lo cual

resulta .3072 y a est 3072 lo divido entre 9 (a saber e

núero de puntos de la sora recta donde cae la plomada

o perpendículo de i instruento) y da .34 . /3 y a este .34 1 . /3 . le agrego 2. pasos (es decir la edida de .ec.) y esto

dará .343 . /3 . y concluyo entonces que .343 . 1 /3 pasos será

1 3 . Así aparece en l ex. En ímció e l que sigue ete númer debe r

.256 .



La nueva cienc ia 1 3

a susodicha altura .ab Porqe desde ojo (es decir , desde

e pnto .e.) xiendo (igua qe e a proposicó precednte)

a línea .ef. equidistate a pao, o íea cb., y proongo el

prpedícuo de i nstrueto tato coo para ue concurra

con a íea viua .ea e e puto .h y pronga de aera

siir el ado de la sobra recta (a sabe a ea par-

ia gi.) hasta qe abién ea cocurra con a ya men

cionada ínea vsal a e e pnto k. dando gar altriáguo .gkh., y coo e ágo gkh. es igual (por e tercer

xoa de pr ier [ bo] de Euc ides) a ágo efa. (porque no

y otro son rectos) y de igua ea e ánguo .kg. es igua (por

a segda parte de a Proposcón .26. de prero de Ecides)

a ángo eaf dode (por a segda parte de a trgési



1 34 Nicol Trtagli

mosgund dl primro d Euclids l ángulo kgh vndr

di s in ui r n lo iso l ngulo . f. cn lo cul l trin

gulo gh vndrí sr quingur con l ringuo

y coo conscunci si i lr y d l dos p roporcionls (por

l proposicin cutro dl sto d Euclids) y porq

riángulo gil (por l sgund roposicin d sto d Eu

c l is vin sr si milr l iso tringu o gkh Por con

siguint l susodich tringulo gil (por l vigési

proposición dl sxto d Euclids vin sr smjnt con mio tringo y por nd d ldos proporcionl

or lo qu l proporcin ntr los ldos y .f. s coo

l d do gi. l ldo i., y porqu l ldo gi. s l ado

li como 9 s 1 2 (s dcir como son los puntos o di-

vision d prt gi ( l sombr rct todo l ado

i l dl cadrdo y d icho do . i l . vin sr tno cno

coo ls 2 d visions o puntos d tod l sobr rt)Per dsndo nontrr l cntidad d f (dsconoid) me-

dint l inorción sobr . (qu s supon sr d 256.

psos por l vinci d l vigési proposicin d séptio

d Eucl ids ultip l ico los nciondos 256 psos por . 2

y sto d 3072 y st 3072 lo diido ntre 9 y rsul

34 1 /3 (coo n prinipio y s h izo un v y por lo

tnto digo u s l ltur prcil y porqu l rsiguo

Jb. d tl lur s igl (por l trigésmcurt proposición

dl prio d Euclids) l lín c (l cul s supon s

d .2 psos ñdo los ssodichos 2 psos los y n

ciondos . 34 1 /3 y dr 343 /3 psos y por lo tnto con

cluyo qu ést s tod l lur b sí co l princpio

fu rlido lo cul r l propsito principlY sí coo l ldo gi s ldo o hipotenus gh sí

s l do . rspcto d ldo o h ipotnus Y poqu

l do gi s l ldo o hipotnus gh cmo l ldo s

do o hipotnus (por l pnúlim [proposicin] dl



La uva na 135

priero e Euclies\ así es . respecto e la raz cuaraa

e 225 que e 15 ara encotrar el ao o hipoeusa ea

(escoocio) (pr l a ev iecia e a v igésia el sépio de

Ecles) ltipco 5 por la eia e ef (la cual se s-

poe es e 256 pasos) lo cual a coo resultao 3 80 . Y

este 840. lo vo ete 9 y el resao es 426 2/3 y

go que es la istancia hpotenusa! o iaeral ae. lo cual

es el seguo propósio

Ahora por la penúlt ia [proposció 47] e l l ibro 1 e -ces, yo poa ecotrar la ya ecoaa hpotesa e

ultiplicao el lao e que sera 65536 y el lao a que

sera 1 650 8 /9 y esto os cuaaos j utos ara 8204

/ y si se oa la raíz cuaraa e esta sua resultaía .426

2/3 a gual que por la ota vía se calcuó y eso iría que

fJe la ya eionaa sacia hipotenusa ea qe seiría

para l iso seguo popósitoPro s fuer e caso que el plao ráceo b no fuese

un p lao perfcto (coo curre en la ayora e las ocasioes)

poceeé coo en el caso ateior velao y eno con

cuao la l nea e. y o haré coo se h io ás ariba excepto

q e lugar a líea ec le agregaré la caia , es

ecir ás o enos 2 pasos y con eo aré por terinao

con lo que ea e propósito

Y si ocurriera que e perpeículo e i instruet no

cayera sobe punto o ivisió vebgracia si cayea etre

el noveno y el écio puno es ecir sobre los puo 9 2 1

o 9 1 /3 . proceería coo se h izo ates u ip li cano la

ssoicha i stacia e 256 paso por 1 2 . y iviieno l a

ul p l icac ión ee /2 o . /3 . y a l o que fuera e l resu lao le agregara la perpenicular ese i ojo o l a cantia

.fb y tanto cuato ese la sua tato cocluiría que es la altura

ab y así me couciría con cuaquier oto puto o ivisión

1 4 Ppsó XVI, mj cd m Tma de tágoa.

15. Dbia sr .9 l/2.



136 Nicolo Tartgia

que correspoda a un úmero fraccionario y resolver esto era

e roósito

Para evitar los números raccioarios debo di vi di r cada no

de los 2 y 2 untos e otros 2 putos (como se düo

durante a constrcci de dico instrueto) los cuales so

llamados minutos, y co elo cada sombra quedaría dvidida

e 1 44 minutos

Pero si el peredculo de mi instrumeto cayera sobre el

ado de la sombra lateral etoces me señaará que el espacoqe habría entre mi oo y la base de la altura o etre a er-

pedicular desde mi ojo y la líea t , es mayor que a alta

de objeto i si ble en tal proporc como a que hay entre 2 .

y el úmero de untos de la sombra lateral donde cae e per-

pedcu lo de i istrueto Y esto tradcido a úmeros, e

leva a ccluir que multplicando el úmero de pasos (o de

cualquier otra edida) que existe e lea recta desde mispies hasta la base de ta altura (o desde mi oo al punto dond

se ecuetra el plao de horzote según aquélla), por los un

tos o miutos de sombra latera (donde cae la plomada de mi

istrumeto), y a esta mult ip l icaci a di vido etre 2. o

44 y a lo que resute le agrego l a cantidad [coresondiente]

a la perpedicular dsde mi ojo a tierra (siedo ésta u plao

ereco) o la cantidad que esue del corte de aquélla co

el plao del orizonte y tato cuanto sea tal suma tanto con

cl iré que es la mencionada atra or ejemplo supogamos

que el perpedículo de mi istrumeo cae sobre el décimo

uto de la sombra lateral como aparece ms abajo e a

gura y que del puto c a l uto b o del puto e al puto

.f, sa 350 pasos, y que desde mi ojo o del puto . atierra sea 2 pasos mu ltipl icaré etoces los susodicos

350 pasos por O (a aber, por los puntos de la sombra lateral

dode cae el perpedcul o) y dará 3 500 A estos 3 500 los

divido etre 2 (es decir or las 1 2 . dvisioes o putos

de cada sombra o lado del cuadrado) y esto da 29 2/3 . A



L uva cienc 137

estos .291 2/3 e agrego .2 (a saber, os pasos que habamos

speso qe aa ee e p e y e po c de pun

a punto b ) y resuta 293 2/3 Y cocy que 293 2/3.

son s pass de a susdica atura ab porque desde mi joes deci desde e punto e.) proog tambié (como en e

caso anterir) a nea ef equidistae de pan, o íea .cb

siendo e espacio terráceo cb u pao pereco) o a ex-

tiendo siguiend a orientació del pan de hrizonte es

decir, perpendicuarmene a a íea ab en e puto ; ueg

proong e ad de a smbra recta (es decir a ea io)

hasta qe toque a perpedcu en e pnto g generando asíe triág g e cua (pr as mismas razones y demosta

cioes de caso aterior) viene a ser simiar a triánguo eaf

ya qe e iagui gop (pr a piea pae de a sgda

de sext de Eucides) viene a se semejae a triágo eaf



138 Nico Taragl a

y poque el ngul pq (del iángul lpq) es igual (p a

1 5 dl de Euc ides) a ánguo pg (de aulo opg),

y ángul lqp del susodich iángu lqp s igual (pe ce axioma de l de uclides) e ángulo pg (de ya

encinado rianguito pog) ya que uno y oto sn ecos

dnde (po la segnda pa de a tigésima segunda del

pime de Eucides) l o ángulo plq (dl iángulo pq)

venda a s igua al o ángul gp d susdich tr-

Jlto gp p lo que el iángul pq sea igual al o

ngu l gp del iangul i gp p lo que l susodich ián

gulo pq vendía a se quiángulo y cnsecueneene se

eane y de lados popcinales con el ya encinad

iaulto opg y ya que el tiánguo efa es de igua ma

semejne al susodicho trianglo pg sucede (po la

vigsima de sxo de uclides) que el iángulo pq es se-

mjane al iángulo ea y cm cnsecuencia de lados (ineioes ánguls iguales cespndienes) ppcionals

(po la cuaa del sx d ulids) po l que la ppción

ne el ad lq y el lad p es igual a la del lado c spec

de lao a y c la popción del ad lq al ldo qp

es c la de 2 a 1 O (ya que e lad lq viene a s ano

cuan es od el lad e cada una de las sombas es deci

2 punos divi siones de las cuales el lado pq es de . 1 0(de lo pesupueso) donde paa encona la canidad de a f

(incógnia ediane infmación acca de e (l cua se su

pne ide .350. pass) y cn la ceeza [pvenien] de la

vigésima del spi de Euclides mulipi 35 pass p

1 O. (a sae, p e lado pq) l cual da .3500 y a ese 35

o div id ene 1 2 (c se hizo al pincip io) (es deci p

e ad lq ) y se biene 29 . 2/3 (co anes) y p ende

digo que dada la alua pacia a y co el esidu .f. se

supone es de .2 pass agego ls susodichs 2 pass a a

cantidad a. (a sabe a 29 2/3 y esto da 293 2/3 y cn



La nueva cina 39

cluyo que .293 2/3 de pasos es a alura oa a. igu que

como se ouvo a prncpo y que era el prmer propósio.

Puedo ambén enconrar de ora manera dica alura aapoyndome en el riánguo .lg., e cual sé que es seejane

al rángulo ae y que la proporción que guarda e lado i g. 6

con respeco al lado l 1 7 coincde con la proporcón enre el

ado .ef con especo al ado .af. Pero como el lado ig me

es desconocdo (es decr los punos de a somra rea .ig)

busco prmero saber cáo mde el susodcho lado g y lo

encuro de este modo: ya que s que e ringulo lpq es

semeane al ya nenconao rángu o l ig y que la proporción

enr l lado . l . y e lado .g es gual a la del lado .pq rspecto

del lado q . (es decr como de . 1 O a 2) por e l o se mu-

ipl ic el ado .lg (con ase en la evidenca que apor l

vigima dl sépimo de Eucldes) por el lado .J a abr

. 2 . por 1 . o cual dará 44 Y a ese 44 . o di vido nrl ldo pq que es 1 0. y eso da 4 2/5 y di ré que 4 /5

8

s la sombra reca ig Realzado eso procedo co h a

prncpio mulipcand el lado . (que es de .) por l lado

e (que es de . 30 .) lo cua resula en .400 y a esos 40

los ddo enre los pnos de la sombra reca a saber pr

el lado ig que es 4 . /3 o cual resul en 3 pr

el do af (gual que como se ouvo de ora manera) y ueoagrego la canidad f., es decr los pasos lo cua da .3

/3 cuya obencón era el prmer propóso

Y como es el lado q. al lado (o hpoenusa) lp. igual s

el lado .e al lado (o hpoenusa) ea y como es el lado a

lado o hpoenusa lp (por la penúlma de 1 de Eucids sí

es 2. respec de la raíz cuadrada de 244 donde para enconrar

el ado o hipoenusa ea (desconocda) (como se deduce de l 0.

de .7 de Eucldes) mulpco el lado .ef (es decir 35 psos)

16 Db ser ig .17. Dbe r i l .18. De ser 1 4 2/5 .



1 40 N icol Tatagl a

por r cuadrd d .244., y so rsut n l rí cudrd

d 980000 l cul divido ntr 1 y obngo como rsutdo

a a cudrad d 0756 4/, l cu s proximdamnt455 /3 y diré ntoncs qu 455. /3 pasos s l distanc

hoenus o damtrl a lo cu s l sgundo propósto

Una vz más por la pnúim dl I d Euclids podr

norar la susodch hiotnus . mutlicndo l ldo

.ef r s mismo lo cul dr 5 0 0 D igul nr ml

t p c l lado . a por s mismo dr506 4

qu sumán- ' 2dlo a 1 5 0 0 daa 056 4/ y l rz d 056 4/

la ual ra <�roximdmnt) d 455 4� _ ntoncs dir

u 4 5 5 213- s l vlo d l susodcha hpotnus .a.

a mo ya aba sido dtrmndo por ota v, lo cual s

prpt. Y n caso d qu p ano trráco no us pano

qu l rndculo cys sobr guna raccón d punto

d diió, prdra igual qu n l ocasón ntio yara ono mjor la usodich fcción divdiré cad punto

o diiión tanto d la sombra rct como d l latal (coo

ya do rvamnt) n oras do s y cada una da la llam mnuto: sa dvión m srá muy cómoda paaalur la susodica alua y adms ls distanias hpotnusa!

y oona sn dplaam d sito dond m ncunto

Proposición X.Deso mr art!ialmn a atua d n objto vsble

haGa cua 10 pdo d.�paza ni vr o

1 9 .

arala mdiú un en sa :;a. El ela e e 97)6<.

20 Fl 70: 41 e e, qeie habe a el esla aei que vi tp e 075(9, 1 759 4/9 l qe aíz aaa eaaxaaee 4.4X

2 1 C l a na anei e ela e 444 1

2 Que e ij en a na anei n e e ea e fés eieae 4



L nu i�c 1 4

. 23 d . . ' ¡ · asnto, y a sw epo o gar a ( zstam:w

hipotenua! o diaetra d ta atura y tabién a distanca

horizonta dcir [a distancia qu a] dsd mi j hta

punto dond pano d horiont orta a diha ara

aun cuando ta punto no sa viibe o a q a hortal-

ent dsd is pis hasta a bas o l i de ta ar au

cuando ta ba o pi est ocuta.

Sea el obeto visible a cuya alura (por a rcra denicin

de ése [ercer1br] es a prpndcular qu va dsde r-ice a hasta a base plano erráce dnd d ca a ra rps

pan que se supone es un pano Reco que se xind s

no en aco al mens en a mene)24 desd s dnd encuenro mantniénds equidisane de pan del hn; ·

y de aquel plano supngo que una par es e spac dnd

se inde la línea dr y supngo ambién] qu par d a

susdicha aura es a lnea a y el pe de ca a vndra quda dnro d la gobsidad eresr

2 , s dcr dnd

se unen las ds neas d y a., y con la mne pnrand

a ravés de la esfera t propngo que dicha unión cm n

l cas aneior) sea puno b pun qu n vi sib le did

a a ya mncionada globosidd eese t , y digo qu ds

medir aicalmne a ravs de observacions a susdcha

alura .ab (aun cuando no sea psible dspaas aca] niapoimars a a base o pie de aquél a s dc i a punb) y al mismo iempo dse calcula a dsancia ipnus!

o diameal d al altua y de igual manra la disancia hri

znal, a sabr la que v& dsde m jo asa pun dnd

23. E punto dod o l hoizoa desd d k d radr n \Tri

q xind dde a pide dl objo24 Pútia my om n la Edd Mdi mdint la ua se emie a lo que ra

un atdente del obto y a la ituaió t y omo a btra l mente r ilao qu popoe omo relvte.

25. Po gloosidd trrtr e etiede a la ea d l tia os promotoriL1S

o adete de teeo oe la uperie teet que podía dr lu q un

eo puto fea ieibe e la pátia



1 42 Nicol Trtagl

el pao de horionte corta tal altra anqe dico punto no

ea sible por caa de a obodd t o a qe a dede

mi pies en lnea recta hata la base de tal altura e decir

a punto b en tanto qe el pnto esté oculto por caa de

la oboidad Tomo mi intrmento en ano o lo fijo obre

auna coa etabe de manera que pueda rar de abajo hacia

arrib: lugo m iúo en aún luar que sea el plao má

prcto pobl y procedo con mi instrumento de iual manera

qu l cao precedente e decr localizo un punto en lod obeto ible hao qe éte ea mi értice, y buco

obrarlo a tra de la do perforacion de m in trmento.

! cho eto ana io con cu idado obre qu lado o ombra de

m ntrmnto cae el pependclo del suodcho intrmento

y i c mo frecentemente ocrre en tal tpo d medción)

b l ldo d la ombra laera eo cánto pnto marca

l mn ndo prpndíco y dido al 1 2 ntre dichon r y m dant util io l nmero cocnt Por em

pl i l uodho prpndícul e obre el puto 2 l

nro ointe viene a r 6 , e cal utio n otro mo

mnto. M adente marco l lar en el que he etao y

luego m dplao n poo (n ína recta a frent decr

m n poco m adlante dl sodicho uar Y na

vez m n a nda poición bsco de neo obrar

uodiha mbr o rtice a por la ya menconada pr

Jran d mi inrmnto y acto euido obero con eu -

dado ob unt punos d la ombra lateral cae e l uod icho

prpd y por et nmero d pnto d no dvido

a l 1 ; nmro cociente qe obteno o rto dl prer

oct qu fue calclado ( el [undo] fe menor) o alcontraro el ndo mayor uardo el exco Por eem

en la enda poición e perpendcuo cayee obre

el puto 6 de dcha ombra diido a 1 2 por e odicho

6. y reta el nmero cocente 2 y a ete .2 . o reto de

otro mro cocente cacuado qe fe .6 , y el exceo de



L nuv ini 14

ta sustacción es 4 excso qu cooco aparte. Luego mido

e espacio qe hay ete a pimea y a segda posició (con

a medida qe me paezca coveiente y a mro que

te de ta medición o divdo por e númro correspondnte

a xceso qu obtv arriba a sab por .4 y a o q s

obtenga e agego a prpendcuar qe va desd mi ojo a terra

y ta suma conc uyo qe s a atura de susodico objeto vis ib e .

Por ejmpo s e número corespondiente a a mdición d sso

dico espacio fues d

1 6

pasos divido est 56 ente .4y se obene 39 pasos Y a estos 39 agrego a prpedicua

que va desde mi ojo a tia (qe supongo s d 2 pasos) o

ca resuta ser 4 y esto cocuyo que es a atra ab Sin

mbargo, para hacr d sta proposición ago un tano m diíci

que as otras deseo repantara d ota mana, y n gar d

ejempo pesntado arriba supogamos ahora qu n m prma

posición (que a sitúo donde se ecuenra pnto .c) e perpendícuo de mi instrmeto caiga sobre e décimo punt a

sombra atera (como más abajo aparece en a gura) y q n

a segunda posición (qe a cosidero dond se encen el pno

. caiga sobe e octavo punto d a susodica sombra ata

(como apaece en a gua d abajo y que de pnto c. a

punto u haya .285. pies y que de ojo mío a tierra (s dcir

d punto .e. a pnto .c) o d unto .x a pno . haya O

pis. Divddo 1 2 . (a sabe as 2 . d ivis iones d cada sombra)

entre . 1 0, es dcir por os x

pntos dond coa e pe

pndco en a primea posición o ca da . 5 . A con-

tnación divido d gua manra msmo . 1 2 . ente .8 . (s dcir

po e punto donde corta e ssodicho prpendcuo cocado

en a segunda posición) y esa . 1 /2

. D st 1 / rsto l 1 /5 qu f obtenido y e esado es in

7 y n et O

26 Dbe ser . 1 0

27. Aparece �o , siendo que derí peer ?o pr signifar / O qth' t'.s d \'Ur

corrto, y no el 30, que es un or tipográo de origin.



1 4 Nicol Tarag

divido 285 (es decir la canidad de ps que exisen ene

el puno c y e puno u y resa 95 . . Y a esos

e sumo 4 (a saber, os pies que habíamos supueso exsan

enre e puno e y l puno c. o del puno 0 .8 al puno

u ) y da como suma 954 pis Y concluyo que 954. es la

atura e objeo obsado a es deci a mea e] la nea

que a del puno a . al puno b (oculo denro de la globosdad

. [de la ierra])

para demosrar eso desde e oo n a poscón 2 (s

decr desde e puno x. hasa l ojo n la posición 1 .

(esdeci el puno .e. raz la lnea ye. y la exiendo con la

mene asa que core a la nea .a den de a gloosidad

. en e puno f (así como en el caso anerior puno que,

28. Dbe ser .x.

9 be ser .xc



L nueva ci 45

po esa oculo al ojo copoal lo consdeaé con el oo de

a mene y como el ángulo .aef (po las azones señaadas

en l caso peceene) es semean al ánguo lp. (e lapimea poscón), y como a popocón que exse ene la

línea o lado a. con especo a la línea o lao .e es a msma

que la del lao pq especo del lado ql donde (po las dencones ecmoecea y la vgésmapmea del 7 e Eucldes) anas veces cuano ma o quepa el lao pq en el

lado .ql anas veces meá o cabá e lado a en e ladoe y coo el lado p mde O ptos y el lado lq mde (como se supuso), enonces e l lao p . enaá l t /5 [veces

en el lado lq Se educe enonces que el lao .a cabe 1

1 /5 en el lado ef y que s ben no engo nnguna nfomacón

sobe cuáno me el lado .af. n ampoco e lao e. al menoseno la ceeza de e el susodco lado a cabe como e

dco /50

veces en el susocho lado e. y eso o pongoapae y me ocupo de la segunda poscón Con base en los

mismos ezonamenos encueno ue el ánguo .xa es se-

meante al ngulo lpq de dcha segunda poscón y que

nas veces cuanas uepa l lado p. (ue mde 8 punos)en el ado .l (que mde 2 punos) anas cabá el lado .a

en el lao xf y como el lado p. (e 8 punos cabe 1

12 veces en el lado .l (e 2 punos) enonces el lado.af cabá po semeanza 1 [veces] en e lado .x doneal sustae e lado e del lado .. (es dec / 5 de

1/2 . ) esulaá .3/1 O. mulplcado po la deenca .ex. ya ue

la susocha dfeenca ex venía a se los 3/1 O e la yamenconad línea a y como la susodca feenca ex es

tano cuano la línea c (po la tgésma cuara e pmeoe Euces) y la susocha línea uc. se supone qe mde 285

pes, se sgue enonces ue esos .285 pes son los 3/ O de

esa línea .a. po o ue oda la línea .af venía a med

3 0 . Debe ser . 1 15



146 N icolo Tartagla

50 (como y tes ue deterdo), y utdo ho los

4 pies (que he spuesto mde l le ec. o xu) drá 54

pies y dir que 54 pies es tr totl de b, y que

.f. vee medr de or semee .4 . pes, lo cul er

el prmer propósto

Y porqe como es e ldo .pq (de l prier posció)

respeto de ldo o hoes . Jo es e ldo respecto

del ldo o hipoteus .e y y que e do .pq es ldo

o hipoteus lp (por l peúltim del pmero de Euclides)como es . 1 O . respecto de l rz cudrd de 244, l mul-

tplicr 50 pies por l ssodch rz de .244 y est mul-

t pl icció dividirl etre 0 me reslt poco meos de . 1484 .

Cocyo que 484 pies (o poco eos) es [l medid] e

l le o hipoteus .e. lo cl es el segudo propósito.

Y ddo qe e ldo .e es como el ldo . y u quito

más como se probó previmete) por ello tom u quitodel do .f (es dcir de .950 p es) que es de 90 pes

y lo smo co los ssodchos 50 pes, o cul d 1 1 40.

pies y tl cocluyo qe es l distc hoizotl, es dcir

l le e. o l ln cb que es el tercer propósito. Y de

gul mer se proceder pr el cso de l seud posiciócdo se desee coocer l medid de hipoteus x o

de l distci horizotl .x Cieto es que trvés de vs

ltes más fáciles [de usr podrí ecotrr l susodich

distc hipotes! y e fom simlr l de tod ls demás

medoes vs qe es my cercs os opósitos de

quiees o se h rrigdo co el uso de los meros pero

siedo dcil plters por escrito preero dejrls de do

Hce ft resltr pr est sere de opercioes dodese trb co dos poscoes, que l perpedicur que v

desde mi ojo hst l tierr e l psició más cec será

u tto meor que quél de posicó más lej, y

máxme estdo el susodicho istrumeto o sobre culquieobeto estble; y si bie tl dierecia es poc cos u s



La nueva ciencia 147

puede sucede que en ocasones llegue a povocar no pocos

eroe por consguente aconsejo acomodase sore la per-

pendcula que sale de aquella clavjlla donde está sujeta lapomada que apunta a tera tanto en una como en la otra pos-

cón esta clavja vene a ser e cento del nsumento Su-

jetando el susodcho nstrumento giale sore alguna cosa que

esté en pie al como un candl se dee sujeta de oto lado

de tal nsrumento ua clavja fente a la cavija de la

plomada, de manea que el nstrumento pueda ga soe sucento ya que giando alrededor de oto sto dará luga a la

aparción de algún error en la conclusión.Ahoa para egresar a lo que era nuestro propsito s po

suerte me encontara un tanto ceca de la susodcha altura que

el pepedícuo cayera sore la somba recta igualmente veré

cuátos puntos maca el perpendícuo sore la ya menconada

somra recta y pocedeé en deccón opuesta a lo que sehzo prvamnte es decr dvdé Jos puntos cotados por

el susodcho erpendcuo entre 2 , y de dca divsión ne-

csaamnte esultaá sempe un querado y ste se guardaá

Luego se señalaá el sitio en el cual se locaa y a con-

tinuacón me deplazaré un poco en lna recta es deci m

mové aca adeante del susodico stio (como se hzo n

el pocedimiento ya eferdo) una vez más en a segundaposició uscaé oseva a antedcha cumre o vértice a

a trvés de a perforacones del ya menconado nstrumentoA contnación oservaré con cudado sore cuántos puntos

de la soma cta aeá el susodcho perpendícuo puntos que

de nuevo dvdié entre . 1 2 y de cuya dvisión necesaramente

resultará un queado y este querado lo restaé de aquelpimo que fue puesto apare (sendo menor que aquél) o

restaré aquel prmero de este segundo s éste es mayo, y a

este resto lo guardo aparte uego medré el espaco que exsteete la prmera y a segnda posón con la medda que m

parezca conveniente y el númo que se otenga de esta



148 Niclo Tartaglia

medida o diviiré enre el reso que había separado) y a o

que resule e agrego la perpendicular que sale dese el cenro

e mi insrumeno hacia ierra (es ecir de puno one se

ha fado el perpenícuo) y a a suma la considero como

la alua del ya mencionado objeo visibe.

Por eempo si en la primera posición o ugar el er-

pendclo o plomada cayese sobre el ercer puno de la sombra

reca d iv ido los 3 punos enre 2 (el ado de l cuadrao)

y eso me daría /4 Ese 1 /4 lo pongo apare y 1 u ego marcoe gar done me encuenro es decir pongo una seña en

e susodicho lano direcamene bajo el siio onde cae la

pomada del insrumeno A coninuación me desplazo un poco

hacia aeane y una vez más en ese segundo lugar busco

a ya mencionada cumbre o vérice .a. a través de a mirila

de dico insumeno y luego observo sobre cnos punos

e la susoicha sombra rca cae mi plomada, y si uera easo de qu aqul cayese sobre e puno 4 , d ivio 4 . enr

y esla 1 /3 y as de es /3 reso el 1 /4 . que pre

viamene ue salvado y me qudaría /2. Luego mio con

uidado el espacio que exise enre a primera y la sguda

posición es decir enre aqel puno marcado sobre el plano

en el siio esde donde se observaba el puno en la primea

orac ión hasa aquél desde donde se e observa en la seguna

espacio que a anera e ejemplo supongamos que fuese e

8 . pass . A esos . 8 pasos los d iv ido enre aquel . 1 / 1 2 y

me resla .96. A los 96 le agego cuao resule que se mida

desde la clavijia de mi insrumeno hasa [la superficie de]

la iera que supongo es e l paso Sumo a los susodichos

.96. pasos ese 1 paso y me a 97 pasos. Concluyo que 97 pasos corresponden a la aura .ab y la verda que guarda

esa proposición se demuesra a ravés de los mismos pro-

cedimienos y vías que fueron uiliados en la primera parte

es eci a ravés de a semeanza enre riángulos y e la pro-

pr ioal ida e sus ados.



La nueva cin 149

En e uee de medicione en l ue e fl b

con do poicione o en do ep e necerio er muy ci

ddoo 'en lo igiene: que donde e colocdo nuero inu-meno giroio ée e comode n perpendiculrmene en

el egundo iio como o e en e pimeo porque i no

e conev l peciión no poco erroe e cuín y eo

e pede conoce con l mi m plomd de netro inrumnto

o con or co colocd en al oeo.

Proposición .XI

Deso onsui ot insu que iva cómoda-n pa ieigar a pai dl apeo la dinia o

zonal y amhié l ipoeua! d lo objeo iile.

To un lmin de coe muy pn y de ncu cercn

l d un omo de cuc i lo y de el l co el cudro [cuddo

má eco ue poible (i iendo lo procedi mieno pndo en l qun popoicón de ee ecio) y o

cuddo dio oro lgo meno que el pimeo de n

que lo cuo do de ee eundo cuddo en iulmn

ditn d lo ldo del pimero; eto o go pr d uninvlo pqueño que permi pone lo númro d l di

viion d cd ldo de dic cuddo o inumeno y enee eundo cuddo diujo n erceo qu un nmeno que e egundo de modo que o ldo de ee ereé igulmente dinte de o do del egndo proxi

mdmene co lomo de cuchilo, y más, y no

gún qué n grnde o qué n cico e el pime cuddo

y a e egudo inervlo lo grdúo pr inoducir s d

viione de lo do del uodico inumeno, y eco eodivido cd do de eo e cddo en do pre igualesy dede cenro de l cddo exendo ci cd n de

d iv iione un l ne rec p er meo compendido [ecoro expícimene el procedimieno]: e .cd. e rime



!50 Nicolo Tartagla

cuado [cuaado] los otros os cuadrados quedan inscrtos

como apaece en la sigu iente gura y las l íneas que van ese

el centro .k del susodcho cuadrado hasta la itad de caauno de los lados son las dos lneas .ef y .gh. que venen a

dvidir cada uno de os lados de estos tres cuadrados en dos

ates guales Digo que este nstruento no odía medir

menos de un palo por lado. Y ya que cada itad del lo

del segundo cuadrado debe ser dvdda en 2 pares iguas

[a estas] . 1 2 . artes les amaos puntos e manera que cada

ado del trc cuadrado end ía a sta v id ido en .2 untos

es dcr . 2 en una tad y . 2 . n la otra tad, y a todos

estos 1 2 y . 2 . untos coenzamos a numearlos dese la

mita de cada uno de los laos y eslazándonos hacia e án

gulo tanto l una orila coo e la ota y aa numrar más

ronto los susodichos untos n intevao qu xste nt

los lados del priero y l sgundo cuadrado se one núro a cada unto, es decr 1 . 2 3 5 .6 7 89 O . l l y 2 .

y l mr unto en una y otra itad ncia a la tad dl

ado (es eci donde las dos línas .gh y e cotan los lados

d susodicho segundo cuadrado) y los untos 2 una y

ota mita vienen a teminar en los cuato ngulos del suso-

dcho terc cuadado y ocasionan que tales . 2 y 2 . divi-

sones d cada lado hagan más evident qu dividn too eespacio ntr los lados del segundo y el terc cuadrado con

equeñas líneas qe van desde el cento de cuadrado a

cada una de aquélas . 1 2 y 1 2 dvsiones ya hechas en cada

lado del segundo cuadao. Y adeás de esto cada uno de

estos ! 2 y 1 2 untos de cada ado se deben dividi una vez

más en otras 2 artes guales a las que llamaos nutos

y hacerlas vsibles con pequeñas líneas trazadas desde e cento

.k . , coo se djo respecto de los puntos y se hzo con caa

uno de los lados del susodicho segundo cuadrado que vene

a quedar d v d do en 288 . m nutos es deci r 4 en una m tad

del lao y 1 4 en a ota mitad.



La nueva cinci 5 1

Pero como dicha división tan peqeña no se pede ejecuar

en un cuadrado an peqe'o a pesar de elo y para que se

entienda mejo pongo e a igua de abajo e cuadrito en ecua cada mitad de ado del segndo [cuadrado] esá dividida

sóamene en seis pates pero con e in de coincidir on o

qe se ha de decir supondremos que cada una de éstas pasa

po dos punos3

Por o estrecho de espacio e número de

d ichos punos no se pede acomodar pero basa con sabe qe

E

�

K

�

:

.

e

F

D

donde ermina e primer punto de e hacia b. se pone i?

y donde ermina e segndo se pone .. y se sigue así hasa

e 2. pno que iene a erminar en e ánguo b de segundocadrado Lo mismo se debe hacer con a ora mitad en d-

rección de .a es decir, desde el n de primer puno desde

e. en dirección de a. se pone l , y a fina de segundo se

pone] 2. y as se sige hasa egar a ; ese 1 2 v iene

a erminar en el ánguo .a. de segundo cuadrado

Y odo eso que se ha dicho de ado ab del ssodicho

segundo adrado se debe entender y realizar sobre os otros

tres ados accd y db. de ya mencioado segudo cuadado,

3 1 . Con l ual ur dcir qu cad na d stas divisions corrspond a dos.

32 Deb ser . l .



1 52 Nicol Trtagli

a saber comenzar a umerar en os puntos medios es decr

.g1 como se dijo arriba y poner los susodchos números de

los puntos en aquelos inervaos que se encuetran entre losados del prmer cuadrado y los correspodientes del segudo.

demás de o anteror se desea construr ua diopra33

o

mirila] para lo cual s se quiere hacer de una sola piezas

se debe tomar una lámna plana de latón o de cobre y trazar

sobre ela (co una regla muy fia) ua lnea reca ta arga

cuao corresponda al dámetro del cuadrado del istrumeto

qu es caso dría cuáno mide desde a hasa d o desde

.b. hasta .c , y a esa l ínea a supongo como !a recta .lm .. A

dcha lía s l dvide en dos pares iguales en el puto .

y s supo q u forma ánguos recos con otra l nea recta gua

a la aeror y a la que tomo como a lía .op. y sobre e

puno n trazo un pequeño círcuo y uno simlar gua s

coloa n cada remdad d esas dos lneas s decr sobrelos puntos .l.m.o.p. y de esa gura se exraen cuaro brazos

mado ua cru perfecta pro de al maera que e curpo

d cada uo de stos cuaro brazos sé e dreccó coraa

le su s mérico a y como s obsrva n la gura d abao .

Pro hac faa cuidar que aquellos ados qu pasan por

cnro sa corados siguendo una reca sindo ésos los

corrspond is a las primeras dos l íneas razadas al pric pios dc r as l ías . lm . y . op .. Hecho eso ace falta colocar

cnro de cada uo de os cuaro círculos .l .m.o.p. ua

ruda a smaza d la rueda .q. o cramee unas lamineas

con una bisagra smjae a a aminea r qu [si se coloca]

en a frnt se opan al observar os obos. Y dspués de

eso es ecsario usar un peo para troduco a ravés de

cer . de la diopra o mir il la sobre el cetro .k de uestrosrumeno, de maera que a susodca diopra g re arededor

33. La traicón emite a l l pao (s. d C.) l a ve úe la d ioa ueto

aU o qu hoy es eoto, qe se sab aa 'me ámeo d lneas

y etas ja [Saemii La visone 20-24[



L uv ienca 1 53

del susodcho cenro .k., donde s odo esá ben echo y colo

cdo sus eecos serán les que cd vuel que gre íne

de l diopr quéll cerá precsmene sobre l líne ef delnsrumeno y necesrmene l or l ne op. de l susod c

dopr cerá precsmene sobre l líne g del y men

condo nsrumeno Además cun cos se dir l diop

r, és reposrá en l íne con nuesro insumeno y de mner

semejne se drí que repos lned sobr nuesro nsru

meno cundo l íne lm de dopr cyese precsmene

sobre l líne gh del nsrumeno y que l or líne op

de susodc diopr vnese cer sobre l ne e del

y mencondo nsrumeno Por or pe, pr ulir ese

nsrumeno hce fl ensmblrlo de mner que se pued

comodr encm de un bsón o plo de lgunos pes, y dico

bsón, p ser usdo en el bosque, neces que en el oro

exremo ng colocdo un erro pungudo pr poderoplnr en l ierr. S n embrgo, pr u lzrlo en sos

donde no se pudiese plnr se pod comodr l bsón

un pe [bse] semejne quellos cndles que se ulzn pr

sosener ls vels

Y con el deseo de que l insrumeno srv cómodmene

no sólo pr vergur [l medd de un dsnc horizon,

sno ambén poenus! o damerl es decr pr hcero m-rndo dmerlmene desde bjo o hpoenuslmene de arrb

hc bjo hce fl monr l nsrumeno en l pun de

dcho bsón, como [por ejemplo con dos plos de mner

que levnándolo de l pre fronl l pe de rás se be

hc err y por o conrro, l elevrlo por l pte de rás,

que l pre de delne se bje hc err con lo cul se

podrá observr (medr) no solmene en el plno del horonesno mbén de bjo hc rrb y de rrb hc bjo

Además de eso es convenene señlr que dcho cudrdo

se podrí d bujr sobre un ppel grueso y l so y pegrlo des

p ués sobre un cudro de mder de menos un dedo de



1 54 Nicolo Taraglia

grueso. Depués de dealo eca3

e conruye una diopa

de madea guiendo e método poporcionado en la preguna

.7 del quino i bro de nuestras preguntas3 donde e d ice cómo

consrui r la dioptra mediane un d iuo C iero es q ue se podra

hacer e susodicho insrumeno con madera pape, como ya

die y luego conruir la ya mencionada dopra de laón lo

cual lo ara má dgno y más duable.

Proposición XII.E psl nestgr y conoc l stn d un objeto

vl e ést l horzontl o l hotenu! o l quer

aí laar, la dimtr.Prieo sea el punto .a. siuado en el plano de horizone. Digo

que es posible considerar o conocer qué an disn esá de m

Paa invtiga esto tomo el intrumento que he fabricado. oplanto deecho es decr pependicular con repecto a la tera

Acoodo la diopra o i l a de manea que esé derecha sobr

dcho insmeno (es decir egún lo que se denió en la pro-

posición anerior). Luego gro giro ano dicho nrumeno

qu a ravé de dos de aquél los punto o agua de la usod cha

dopra vea el puno .a. una ve que o haa observado (u

pongamo que por los dos punos o agua b. de la mirllarca como aparece en la siguene igua rao ora línea p

pendcula (es decr que forme una escuadra sobe la línea

bca paa hacelo sin mover el susodcho insrumento

raslado diecamene la diopra reca o mirla hacia lo oros

dos punos o aguja .de y a o eos hago planar en la iea

dos varias muy derechas disanes enre sí a menos 4 o

.5. paos pero de manera que aba caigan bao la mirilaes decr bao la lnea ecta .de; en este cao upongo que

una de a vari llas esá en el puno .g y la ora en el usodicho

34. El pegamnto

5 S rcir a Questi el inveone dier. Quiesio ettmo. f 62



G

J

La nueva cincia !5

punto f Las hago enterrar donde puedan permanecer y

mostrar [la orientación de] a ssodicha línea defg Reaizdoesto quio mi instrumento (sin mover a dioptra d s orien-

tacin) y me aejo del primer ugar cantos pasos me parezca

conveniente; y este desplzamiento o puedo reaiar hacia

cuaier ado ue me pazca, sea hacia as dos varias ya

pantadas o en direccin opuesta Sin embargo, en este momento deseo aejarme moviéndome hacia as dos vrias, es

decir hacia os dos pntos gf. y ta alejmiento supongo esea de . 1 5 . pass y n dicho sitio panto de nuevo mi istru

mento de manera e est sobre a misma línea misma e

estará marcada por as do varilas y ue fácimente se iden-

ticará mirand y encontrando as dos varilas o a agua .de

de a dioptra dirigida hacia as dos varias como se hizo en

e primer sitio

Una ve heho esto ueda caro e estando a susodicha

dioptra sore e ya mencionado instrumento (en ese segundo

ugar y observando a o argo de os dos puntos o aga b

no se podrá er e pnto .a, y por eo será foroso deseando

mirar e pnto .a. a o argo de os ssodichos dos puntos o



1 56 Nicolo Tartagli a

agua) inclinar o torcer la dioptra (sin moer el istrumento)

con a puta o agua c en direcció del punto a como

aparece e la figura del segundo lugar Realizado esto observoco cuidado cuánto se ha aleado la líea b de la doptra

de su rectitud

es decr, de 1� direcció a la que se ecuentra

el puto h y esto lo sabré en térmi nos de os putos y mi utos

ya descritos e el lado del segudo cuadrado es decir éstos

será descub iertos entre h e i Supongamos a continuació

que desde h hsta haya .. putos es decir de aquéllos

de os que resultaron de di id ir entre . 2. ua m itad del

segundo cuadrado Armo que por la regla vu lgarmente coo-

cida como de 3

si se toma . de los 2 . puntos de la

mitad de l l ado que me dará aquel los 5 pasos que habamos

supuesto existían entre el lugar dode se plantó primeramente

el instrumeto hasta el lugar donde se plató en la segunda

ocasión por eo se multiplican aquellos . 5 pasos por . 2.lo cua da como resultado 1 8 A esto lo d ido por 4. y

obtego .45 . con lo que cocl uyo que 5 pasos es la d is-

tancia que hay etre el sitio donde se plantó prmeramente el

istrumeto y el puto a; y así si por suerte cada punto fuera

diiddo e 2 minutos y que sucediera que del punto h

al puto i hubiere supogamos 8 mutos yo diría si 8

m nutos correponden a 44 . m inutos (es decr l a m itad dellado de l cuadrado) ¿qué correspoderá a 5 pasos? [Para

responder a esto] multiplicara los 1 5 pasos por los susodichos

4 m iutos lo cual resulta en 2 60 y a esto lo di id iría

entre 8 . m iutos para obtener .270 pasos Coc uyo que 270

pasos es lo que mide la di stanc ia entre el lugar donde se p lantó

primeramente uestro istrumeto y el susodicho puto a y

as procedería co las demás situacioes semejates

36. De su oentación básica.

37 Regla de oro, regla de tes o egla del mecade so nomres con los qe se

coocía la ega e proporcoalidad más sencilla ere res téros coocidos y

a incogta



La ueva incia 1 57

Ahoa para demosar el raonamieno derás de nuesras

operaciones y con el fn de abreviar diré que en e ceno

del insrumeno en la prmea posicón se supondrá un [puno

.. y en el cenro del corespondiene a la segunda poscón

se supondrá un [puno n, y argumenaré de la sguene

manera: ya que a línea lh es equidisane de la lnea ka,

el ángulo hni del triangulio !. seá igual (por la 29 de

. l de Eucl ides) a ángulo .a de iánguo nak . (po ser án-

gulos] aleos) y de manea smiar el ánguo k de riángulonak e igual al ángo en h de ianglito nh por se

uno y oro [ángulos] recos de donde se sigue por la 3 del

1 de Euclides que os susodichos dos ángulos kan. y .hn

serán equiángulos y (como consecuenca de la . 4 . del 6 de

ucldes) con lados proporcionales, y donde la popocn de

lado hi respeco del lado nh será como aquéla del lado .kn.

respeco del lado ka y como al pincpio se supuso que elado .hi. fuese de 4. punos y e lado hn de 2 punos (po

ser igual a la miad de lado del cuadado y el ado .k. se

supuso que eda 1 5 pasos para obene e valo del ado

a mismo que se desconoce con base en la evdenc que

aporta la proposc ón 1 6 del .6 de ucdes mulpl ico el

lado kn (es decr 5 pasos) por e lado !m ( sabe po

1 2 . punos) lo cual resula ser 80 . Y a ese resuado lo

dvdo enre e lado h es dec r, por los 4 punos que me

señala la dopra (lo ya supueso y eso me resula ser .45 .

y diré que 45 pasos es la medida de lado ka l y como

se deerminó al prnpo.

De gual manera se pocedería cuando e l puno 4 euvese

más arrba o más abajo del horione zando o bando lpare de enrene del nsrumeno y manenendo sempre el

basón o vara que se hundió en la deccón pependcular

con el hoizone sea en e mone o sobre una suerfici pana

Igualmene, las dos varillas que se planaron se deberán hundir

perpendcu larmene y ales var l as deberán esar muy derechas



! 58 Ncolo Trtaglia

y con reacón al despaaento que se eace del prero

a segundo ugar con e nstruento es necesaio que se eve

a cabo de anea que se antenga a la sa dstanca depano del horzonte.

Además d o anero hace fata consdera con mucho cu-

dado y mnucosaente los puntos nutos y partes de -

nutos que pertá descbrr a doptra es decr, a catdad

de [ntevaos] h. ya que cada pequeño eror que se cometa

con os nutos causaría erores uy evdentes en as con-

cusones Esto se debe a que taes puntos o mnutos venen

a se dsores38

y cuaquer mno ero que se pesente

en as dvsones produce una varacón no pequeña en el re-

sutado

IN VENEGA MDLVI

38. De n magnitud.



10 Nicolo Trtaga

Popió 3

Dadas ds rcas dsguas, quar d a mayor una rct gua a

a mno.

Proposcón

S dos ánglos d un trángulo son guals entre sí, tambén os ados

qu subndn a os ánguos guas srn guas nr s

Proposcón 8

S dos trángulos tenen dos ados de uo guales respectvametea dos lados del otro y tenen tambn guales ss bases respectvas

amén endrán gaes os ángu os comprnddos por as rcas

guales

Proposcón 1 3

S una recta levantada sobre otra recta foma ángulos o ben formará

dos rectos o ben (ángulos) gales a dos rectos

Proposcón 1 5

S dos recta se cortan hacen los ángulos del vtce ales entre s

Propoón 1 7

En odo ránguo dos ánguos omados junos de cuaqur manra

son meres que dos rectas

oposicn 6

S dos trángulo teen dos ánglos del uno guaes respectvamenea dos ános de oto y un ado d uno gua a n ado de otro:

ya a e corespodente a los ánglos guales o el que subtede

o d los ánglos gales tendán tambén los lados restantes guals

a los lados restates y el áglo restante (gual) a ángo restant.

Proposcón 2 8

S a recta icdr sobre os ecas hace el ánglo exteo gual

inrno y opeso del smo lado o los dos nernos del msmo

lao gaes a do etos las rectas será aralelas etre s.



La uev cni 1 6 1

Poposicón 29

La recta que ncde sobre recas paraeas hace os ánguos alternos

guales enre sí, y el (águo) exerno gual al nerno y opueso,y os (ángulos neos del msmo lado guales a dos recos.

roposcón 30

Las paralelas a una sa reca son aén paralelas enre s

roposcón 3 l

or un puno dado razar una lnea reca paralela a una eca dada

roposcón 32En todo trángulo s se proonga uno de los lados, el ánguo externo

es gual a os dos ánguos nernos y opuestos os tres águosnternos de rángo son guaes a dos rectos.

roposcón 33as recas que unen por (os exreos que esán en el msmo ladoa recas guales paraelas son ambén las sas guaes y

paraleas

roposcón 34En las áreas de paraeogramos los ados os ánguos opuestos songuales enre s la dagonal ls dvde en dos paes guales

roposcón 41S un paraleogramo ene la sa ase que un rángulo y esá

entre las smas paraeas e paraeograo es e doe de rángulo

oposcón 47n os tránguos rectánguos e cuadrado de lado que subende e

ánguo recto es gua a los cuadrados de os lados que coprendenel ángulo recto

roposcn 48S en un trángulo e cuadrado de uno de os ados es gua a loscuadrados de os dos lados resantes del tránguo e ángulo co-renddo por esos ados resanes del rágulo es reco



1 62 Nicolo Tartagl

Libro 11

Proposcn 2

S se coa al azar una lnea ecta el recángulo compenddo po

la recta) entea y caa na e los segmenos es igal al cuaao

de la ect) entea

Proposicn 1 4

Constir un cuadrao gual a na gua ectlnea daa.

Libro 11

Dencón 9

Cuano las ectas que coprenen el ánglo coan una cicnfeencia

se ce que el ánglo está sobe ella

Den có n 1 O

Un secto e n cculo es la gua que cano se constuye u

ánglo e el cento el crculo, esá compendda po las ecas qu

coprendn el ánglo y la ccuneencia coaa po ellas

Poposcn 6

La (eca) trazada po el exemo el iámetro e un cclo forano

ánglos ectos con el msmo) caeá fea el cculo y no se n-

eponá oa eca en el espaco ente la ecta y la ccuneencia;

y el ángulo del secculo es ayo y el estante eno e

cualqe ángulo ectiíneo agudo.

Coolao de la poposcón 1 6

A pai de esto qea clao que l a ecta razaa po e l exemo el

dáeo de cíco oano ángulos ectos con el so) tocael cíclo

Proposicn 17

Desde u n puno ao azar na l ne reca tangee a n ccuo

dado



La nueva iecia 163

roosón 8

S na reca oa n co y se raza na rea desde e cenro

hasa e uno de ontao a (rea) razada srá erendr ala angene

Proosión 1 9S na reca oca n íro y desde e no de onao se raa

una ínea rea formando ángulos reos on a angene e enrode rlo esará en la reta raada.

Proposón 24

Los segmenos ruares seejanes e esán sore reas gaeson guales enre s.

Proposón 25

Dado·un segmeno de írulo ompletar e traado del ruo de

que es segeno

Proposón 3 1

En un írcuo e ángulo en el semruo es reo e (ánglo) en

el segeno ayor es menor que un reco, e (ángulo) en e segmentoenor es ayor qe un reto; y adeás e ángo del segenoayor es maor e n reo y e ángo de segmeno menor es

enor ue un reto

Proposón 36

S se oma un puno era de un írcuo y de él a crlo aen dosrecas y una de eas co e rco y a ora o oa e (reángoorenddo) or la seane enera y a (are) exteror tomada enreel unto y a crunferena onvexa es gual a uadrado de laangente.

Libro V

Proosón 3

S una rera (agnud) es e smo múlo de una segunda queuna terera de una uara, y se toan equmtps de a prera

y a erera tambén por gualdad ada una de las dos (agnudes)



1 64 Ncol o Taraglia

tods sern eiúltios respectvaente, una de a segunda y

a otr de la crta

roosicn 2

Si na riea (mgntd) es el mismo mú tio de una segunda e

n tecea de na carta y n unta es mn e so mtio

de la segnda que na sexta de la cat l sa de a mea

y qita seá e miso mto de l segnda qe a suma de

la tece y a sexta de a uat

ropsicin 5

Si na magnitd es e ismo útipo de ot e n (agnitud)

quitada (a piera) o es de ota qtad (a a segunda) a (ag-

nitd) restante (de a rea) seá tbén el iso mltio de

l (agnitud) restante (de a segnda) qe la (magnitud) entea de

a (agnitud) entera

roosicn 7

Las (magntudes) ig:les guardan a m sa ran con una isma

(magnitud) y la misma (agntud) gada msa azón con as

(magntes) gaes.

oosicn 8

De agntdes desgales la ay gada con na msa (g

ntud) n azn myo ue l menor, y misa (agntud) gardacon la meno una ran mayo ue con yor

Proosicin 1 O

De las (gnitudes) qe guardan ran con na isa (mgnitd)

a e gada na n myo es mayo Y aqela con la qe

sma (mgntd) guda na ran mo es enor

Prooscin 18

S unas agntudes son ooconaes po seaacn tabén o

comosn sern roocionaes



La nuev cie 165

Proposició 22

Si hay u úmero cualquiera de agudes y oras iguales a ellas

en úmero que madas de dos e dos, guarda a misa razópor igualdad guardará aién la isa raón

Libro VI

Proposició

Si se traza una rec paralea a u de s lados de u triágu

c1ará proporciaee los lads del tránguo Y si se crta pr-porcoalete los lados de u riágulo, a reca qe ue os puos

de sección será paraea a ado restate del triág

Prpsición 4

E ls riángulos equiáguos, os ados que cprede os águos

iguaes s proporciaes y os lados que subtiede ls águs

iguaes so crrespodietes

Poposció 1 6

S cuatro ecas son popocoales e ecáguo compedd p

extreas es igual a rectágulo copredido por las edias; y

si e recángu compredido por as extreas es igul a recágulcmprendido por las edias, as cuatro rectas será proprciales.

Proposició 0

Los pgoos seejates se dividen e riágulos semeantes eiguaes e núero y óogos a os (polígoos)

Propsició 33E os crculos iguaes los águlos guardn la mism razón que ascircuferecias sore as que esá tanto s está e e cero c

si está e las circuferencias



166 Nicolo Taragla

Libo VII

Poosón 20

Los núeos menoes de aquos que guadan a msma azón que

eos mden a los que guadan la msma azón e msmo númeode vees e mayo a mayo y e meno a meno

Lbro X

Poosón 7

Las agntudes nomensuables no guadan ente sí a azón que

un númeo guada on un númeo

Poposón 1 O

Hala dos etas inonmensuables una sóo en ongtud otra tam-

bén en cuadado, on una eta detenada.



En 1537 apece publicada La Nova Scientia y en ella s

autor pretende nunciar a invención de una cencia: a baístca.

Escrita por Nicoo Fontna dtto Tgia, dcha oba se popon

responder a as nuevas nteoges de quienes se ocupabn d

mnej s piezas de riea cuys descgas sembab el eoen os campos de bataa de Renacimiento Inscra en el sen

de s dscipinas matemátcas, a baísica reconoca la exsenc

de n probea ndmena a determinación de la foa adop-

tada por a trayectoria de una baa de cónE nterés por e movmiento de proyecies no era nuevo

Está pesente desde que Aristóteles o inodujo en la Física y

e De Cae/o como pe de sus gmentos sobre e movimenoPor su pe La Nuea Ciencia no es n aado de ovmen

en e sentido medieva, es decir, no discue la natae demovimiento Se ocupa excusivamente del movimento de lo

cuerpos que lama "iguamente aves y lo hace sgendo e"modo geoméico, el que dicta e modeo eucdno: deco

nes, suposiciones, nociones comunes y teoems En sus págna

tartaglia - la nueva ciencia

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