Tarefa de Mecanica Estatıstica

Yosdan Martınez Camejo

sexta feira

Capıtulo 11.4

Introducao ao red dinamica.

Neste capıtulo se calcula a distribucao de frecuencias de dois tipos deredes unidimencionais

• quando todas as massas sao iguais (cristal unidimencionais Zn)

• quando tem dois diferentes massas alternadas (cristal unidimencionaisNaCl)

Para o caso de primer item a hamiltoniana fica:

H =N∑j=1

m

2ξ2j +

N∑j=2

f

2(ξj − ξj−1)2 (1)

Onde os ξj sao as posicoes dos atoms no equilibrio. Aplicando la equacao deLagrange:

d

dt(dL

dξ)− dL

dξ= 0 (2)

mξ = f(ξj+1 + ξj−1 + 2ξj) (3)

onde se propone a solucao do tipo:

ξj(t) = exp[i(ωt+ jφ)] (4)

−mω2 exp[i(ωt+jφ)] = f(exp[i(ωt+[j+1]φ)]+exp[i(ωt+[j−1]φ)]−2 exp[i(ωt+jφ)])(5)

1

−mω2 exp[i(ωt+jφ)] = f(exp[i(ωt+jφ)] exp(iφ)+exp[i(ωt+jφ)] exp(−iφ)−2 exp[i(ωt+jφ)])(6)

−mω2 = f [exp(iφ) + exp(−iφ)− 2] (7)

−mω2 = 2f [cosφ− 1] (8)

ω2 =2f

m[1− cosφ] (9)

ω2 =4f

m[sin2 (

φ

2)] (10)

ω = ωmax| sin (φ

2)| (11)

Onde ωmax =√

4fm

. Alem disso pode ver-se que a solucao proposta ξj(t) =

exp[i(ωt + jφ)] e repetido quando 4j = 2πφ

. Entao a longitude de onda ficacomo:

λ = a4j =2πa

φλ =

2πa

φφ =

2πa

λ= ~ka (12)

Onde a e a distancia media entre atoms da red.

ξj(t) = exp[i(ωt+ j~ka)] (13)

ω = ωmax| sin (~ka

2)| (14)

Quando as oscilacoes sao pequenas sin (~ka2

) =~ka2

e :

ω = ωmax(~ka

2)

ω

k=ωmaxa

2= λv = velocidade constante (15)

onda v e a velocidade dela onda.Quando λv(ω

k) nao e constante:

ω

k=ωmaxk| sin (

~ka

2)| = C(k) (16)

Se fazemos k → kn = k + 2πna

com n = ±1,±2,±3.....

2

sin (~ka

2) = sin (

a

2[k +

2πn

a]) = sin (

ka

2+ nπ) (17)

Pode ver-se que o vector de onda tem que ficar:

−aπ≤ k ≤ a

π(18)

Quando calcula-se a energia media do cristal (no libro o autor esquese ounao tem em quenta a energia de ligacao),tendo em conta Apendice[1] , entao:

E =N∑j=1

hωjexp[βhωj]− 1

(19)

E = N∫ π

a

0

hω(k)

exp[βhω(k)]− 1g(k,4k)dk (20)

E =Na

π

∫ πa

0

hω(k)

exp[βhω(k)]− 1dk (21)

Trocamdo a integral para as frecuencias, lembre-se que:

ω = ωmax| sin (~ka

2)| k =

2

aarcsin(

ω

ωmax) (22)

dk =dk

dωdω dk =

2

a

dω√(ω2

max − ω2)(23)

E =2N

π

∫ ωmax

0

hωdω

(exp[βhω]− 1)√

(ω2max − ω2)

(24)

g(ω,4ω)dω =2N

π

dω√(ω2

max − ω2)(25)

g(v,4v)dv =2N

π

dv√(v2max − v2)

(26)

Para o caso de segundo item a hamiltoniana fica:

H =N∑j=1

(m1

2ξ22j +

m2

2ξ22j−1) +

N∑j=2

f

2[(ξ2j − ξ2j−1)2 + (ξ2j+1 − ξ2j)2] (27)

Quando aplicamos a ecuacao de Lagrange ficam dois ecuacoes uma paracada uma das massas.

3

N∑j=1

m1ξ22j = f

N∑j=2

[ξ2j+1 + ξ2j−1 − 2ξ2j] (28)

N∑j=1

m2ξ22j+1 = f

N∑j=2

[ξ2j+2 + ξ2j − 2ξ2j+1] (29)

ω2 = ω20[1±

√√√√1− 4m1m2 sin2 φ

(m1 +m2)2] ω2

0 =f

µ(30)

Onde µ e a massa reducida.falta abrir esto ...

Capıtulo 12.1

Equacao de virial para a grande funcao de particao.

Ξ(V, T,N) =∞∑N=0

exp[βµN ]∞∑j=0

exp[−βEj] =∞∑N=0

QN(V, T,N)λN (31)

Onde λ = exp[βµ] e QN(V, T,N) =∑∞j=0 exp[−βEj]

Quando N = 0 o sistema so pode estar no estado E = 0;

Ξ(V, T,N) = 1 +∞∑N=1

QN(V, T,N)λN (32)

Sao conhecidas as seguintes equacoes:

PV = kT ln Ξ N = kT∂

∂µ(ln Ξ) = λ

∂

∂λ(ln Ξ) (33)

Capıtulo 12.2

Coeficentes de virial no limite classico .

Apendice I

calculo dela densidade de estados em uma, dois e tres dimencoes.Quandoo o sitema fica em 3D:

k2 = (π

L)2(n2

x + n2y + n2

z) R2 = (n2x + n2

y + n2z) (34)

4

R2 =L2k2

π2R =

Lk

π(35)

φ(k) =1

8

4

3πR3 φ(k) =

1

6

L3k3

π2=

1

6

V k3

π2(36)

g(k,4k)dk = φ′(k)dk g(k,4k)dk =1

2

V k2

π2dk (37)

Quando o sistema e 2D:

φ(k) =1

4πR2 φ(k) =

1

4

L2k2

π=

1

4

Ak2

π(38)

g(k,4k)dk = φ′(k)dk g(k,4k)dk =1

2

Ak

πdk (39)

Quando o sistema e 1D:

φ(k) = R φ(k) =Lk

π(40)

g(k,4k)dk = φ′(k)dk g(k,4k)dk =L

πdk (41)

5