tanÁri kÉzikÖnyv a matematika - gov.hu · c m y k tex 2014. június 2. –20:48 (4. lap/4. old.)...

C M Y KTEX 2014. június 2. –20:48 (1. lap/1. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (K8-01)

El�sz�

Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné –

Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva

TANÁRI KÉZIKÖNYVa MATEMATIKA

8. évfolyam

I. kötetéhez


El�sz�

Kovács Csongornéa Tankönyvesek Országos Szövetségétől2008-ban elnyerte az„Érdemes tankönyvíró”kitüntető címet

AlkotószerkesztőCSATÁR KATALIN

Felelős szerkesztőBALASSA ÉVA

IllusztráltaKATONA KATA és SZALÓKI DEZSŐ

FotóFABÓ KATALIN

AP–080831

ISBN 978-963-464-748-5

A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféleformában nem sokszorosítható.

c© Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Kovács Csongorné,Morvai Éva, Széplaki Györgyné, Szeredi Éva, 2009

Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft.9500 Celldömölk, Széchenyi u. 18.Tel.: 95/525-000; fax: 95/525-014E-mail: [email protected]: www.apaczai.huFelelős kiadó: Esztergályos Jenő ügyvezető igazgató

Nyomdai előkészítés: Könyv Művek Bt.

Terjedelem: 30,39 A/5 ívTömeg: 626 g


El�sz�

ELŐSZÓ

„Ne vágd el azt,

amit kibogozhatsz”

(Joubert XIX. századi filozófus)

Kedves Kollégák!Matematikatankönyv-sorozatunk minden kötetét Joubert szellemében írtuk. Azt szeretnénk, hogy atanulók gondolkodva tanulással, problémamegoldással jussanak el a valódi teljesítőképes tudáshoz,és az ehhez vezető úton ne adják fel a „küzdelmet”. Mi, szerzők több mint 20 éve tanítjukezt a korosztályt (is), és azt tapasztaltuk, hogy a játékos módszerek alkalmazásával, a valóságadta feladatok elemzésével nagyobb élmény a megoldás útjának felfedezése, hatékonyabb azismeretátadás.Nagy hangsúlyt fektetünk a matematikai fogalmak pontos kialakítására, a szövegértelmezésre.A mindennapi életből vett szöveges feladatok, a tankönyv egyéb szöveges részei (pl.: a matema-tikatörténeti leírások) ehhez kívánnak segítséget nyújtani.

A tankönyv szerkezete

Minden fejezet 1–3 órás kis egységekből áll, amelyeket feladatanyag követ. Itt a legfontosabbfeladattípusokból írunk néhányat. A kevesebb gondolkodást igénylő feladatokból legalább kettővan, amelyekből az egyiket házi feladatnak adhatjuk. A feladatsor végén kicsit nehezebb feladatokkövetkeznek, amelyek a gyorsabban haladó, jobb képességű osztályok számára alkalmasak, illetvevegyes összetételű osztályoknál a differenciálást segítik. A fejtörőket a legügyesebb gyerekeknekajánljuk.Ezt a feladatsort bővíti a könyv végén található feladatgyűjtemény.

A feladatgyűjtemény szerkezete

A feladatgyűjtemény felépítése, címei pontosan követik a tankönyvét, feladatait nem kell – nem islehet – végig feldolgozni.Sokaknak nem lesz szüksége a legegyszerűbb gyakorló feladatokra, másoknak pedig a nehezebb,összetettebb feladatokat nem kell megoldaniuk.

A kézikönyv szerkezete

A kézikönyvben órabeosztás, didaktikai útmutató található és a tankönyv, valamint a feladat-gyűjtemény feladatainak megoldásai – remélve, hogy ezzel időt takarítunk meg az órákra valófelkészüléskor.A tankönyv fejezeteit Tájékozódó felmérők zárják (megoldásuk a kézikönyvben).Amennyiben könyvünkkel kapcsolatban bármilyen észrevétele van, kérjük, azt juttassa el az ApáczaiKiadónak.

3


El�sz�

Kiegészítő segédletek

A tankönyvcsaládhoz készült tanterv letölthető a kiadó honlapjáról: www.apaczai.hu.A Matematika felmérőfüzet 8. évfolyam (AP–080840) című kiadvány minden témához röpdolgoza-tokat (A és B csoport), valamint értékelő felmérőket tartalmaz (A és B csoport a kétféle óraszámbantanulók részére). Az egyes fejezeteket TSZAM (továbbhaladáshoz szükséges alapismeretek mérése)előzi meg. Minden felmérő megoldása és pontozási útmutatója megtalálható a tanári példányban.

Eredményes munkát kívánunk: a Szerzők

4


Kerettanterv

KERETTANTERV2007.

BEVEZETŐ

A matematika kerettanterv az Oktatási és Kulturális Minisztérium által kiadott hivatalos Nemzetialaptanterv (NAT) 2007. alapelvei szerint készült.A kerettanterv a hagyományosan igényes oktatáson kívül nagy hangsúlyt fektet az alapozó szakasz(1–6. évfolyam) keretén belül az 5–6. évfolyamon a nem szakrendszerű oktatás keretében afelzárkóztatásra, amely hozzájárul az esélyegyenlőtlenség csökkentéséhez. Továbbá a kerettantervlehetőséget biztosít a tehetséggondozásra is mind a négy évfolyamon. Így jobban biztosítható atanulók egyéni képességeinek fejlesztése. Ezért olyan iskolák számára ajánlott, amelyek az oktatásminőségét és hatékonyságát fontosnak tartják.Az óraszámok az Oktatási Törvényben meghatározott lehetséges számokhoz igazodnak.

Évfolyam 5. 6. 7. 8.Heti óraszám 4 3 3 3

Éves óraszám 148 111 111 111

Évfolyam 5. 6. 7. 8.Heti óraszám 4 3 3 3

Éves óraszám 148 111 111 111

Célok és feladatok

Az általános iskola 5–8. évfolyamán a matematikaoktatás megismerteti a tanulókat az őket körülvevővilág konkrét mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozza a korszerű, alkalmazásra képes mate-matikai műveltségüket, és az életkoruknak megfelelő szinten biztosítja a többi tantárgy tanulásáhozszükséges matematikai ismereteket és eszközöket. Alapvető célunk a gondolkodás képességénekfolyamatos fejlesztése és a kompetenciák kialakítása.Az általános iskola 5–8. évfolyama egységes rendszert alkot, de – igazodva a gyermeki gondolkodásfejlődéséhez, az életkori sajátosságokhoz – két, pedagógiailag elkülöníthető periódusra tagolódik. Azalapozó szakasz utolsó két évében a tanulók gondolkodása erősen kötődik az érzékelés útján szerzetttapasztalatokhoz, ezért itt az integratív-képi gondolkodás fejlesztése a cél. A 7–8. évfolyamonelkezdődik az elvont fogalmi és elemző gondolkodás kialakítása is.Ez a tanterv a NAT 2007-ben megfogalmazott fejlesztési célokhoz és a kijelölt legfőbb kompe-tenciaterületekhez kapcsolódó tananyagrendszert tartalmazza a fejlesztésközpontúságot szem előtttartva. A fejlesztő munkát a matematikai tevékenységek rendszerébe kell beépíteni. Ezért alapvetőfontosságú, hogy az alapozó szakaszban a tevékenységek részletesen legyenek kifejtve, így példáula mérések, a fogalomalkotást előkészítő játékok, az alapszerkesztések és a geometriai transzformá-ciók tulajdonságainak megtapasztalása. Ezeket kiegészítik a tananyag feldolgozásában megjelenőmunkaformák: a pár-, illetve csoportmunka, valamint a projektfeladatok. Természetesen az önállófeladatmegoldást, a differenciált munkaformát továbbra is alkalmazzuk.A tevékenységek tárházába tartozik az eszközök használata, különös tekintettel az elektronikuseszközökre, azon belül az oktatási célú weblapokra az interneten.Fejlesztendő a tanulók kommunikációs képessége, saját gondolataik szabatos megfogalmazása szó-ban és írásban; mások gondolatainak megértése, a vitákban érvek és ellenérvek logikus használata.

5


Kerettanterv

Az általános iskola felső tagozatán egyre nagyobb szerepet kap az elemző gondolkodás fejlesztése,a problémamegoldások mellett a felvetett kérdések igazságának vagy hamisságának eldöntése, adöntések igazolása. A tanulók legnagyobb része ebben a korban jut el a konkrét gondolkodástólaz absztrahálásig. Ezért a legfontosabb cél a konstruktív gondolkodás kialakítása, amelyet atanulók életkorának megfelelően manipulatív tevékenységek elvégeztetésével, az összefüggésekönálló felfedeztetésével érhetünk el. Az önellenőrzéssel növeljük a tanulók önbizalmát, a változatosmódszerekkel, a korosztálynak megfelelő játékos formákkal, kis lépéseken keresztül, természetesmódon hangoljuk őket a matematika tudományának befogadására.Fontos, hogy a valóságban előforduló problémákra a tanulók meg tudják találni a megfelelő mate-matikai modellt, azokat helyesen tudják alkalmazni. Ezért nagy hangsúlyt kell fektetni a szövegértő,elemző olvasásra. Ugyanakkor azt is el kell érni, hogy a matematikában tanult ismereteket a tanulókalkalmazni tudják más műveltségi területeken is.Fokozatosan kell kialakítani a matematika szaknyelvének pontos használatát és jelölésrendszerénekalkalmazását.Az általános iskolai matematikaoktatás alapvető célja, hogy a megszerzett tudás az élet mindenterületén, a gyakorlati problémák megoldásában is alkalmazható legyen.

A fejlesztési célok és kompetenciák megjelenésének formái a matematika művelt-ségterületen

1. Tájékozódás• Tájékozódás a térben• Tájékozódás az időben• Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban

2. Megismerés• Tapasztalatszerzés• Képzelet• Emlékezés• Gondolkodás• Ismeretek rendszerezése• Ismerethordozók használata

3. Ismeretek alkalmazása4. Problémakezelés és -megoldás5. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek

megfelelően; átstrukturálás6. Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek

• Kommunikáció• Együttműködés• Motiváltság• Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás

7. A matematika épülésének elvei

6


Kerettanterv

Az általános iskola 5–8. évfolyamán a matematika műveltségterület feladata

• A matematikai kulcskompetenciák folyamatos fejlesztése:– számlálás, számolás– mennyiségi következtetés, valószínűségi következtetés– becslés, mérés– problémamegoldás, metakogníció– rendszerezés, kombinativitás– deduktív és induktív következtetés

• A tanulók értelmi képességeinek – logikai készségek, problémamegoldó, helyzetfelismerőképességek – folyamatos fejlesztése

• A tanulók képzelőerejének, ötletességének fejlesztése• A tanulók önellenőrzésének fejlesztése• A gyors és helyes döntés képességének kialakítása• A problémák egyértelmű és egzakt megfogalmazása, megoldása• A tervszerű és célirányos feladatmegoldási készség fejlesztése• A kreatív gondolkodás fejlesztése• A világról alkotott egyre pontosabb kép kialakítása• A tanult ismeretek alkotó alkalmazása más tudományokban, a mindennapi életben

A helyes tanulási szokások, attitűdök kialakítása

A tanulók– a számítások, mérések előtt becsléseket végezzenek,– a feladatmegoldások helyességét ellenőrizzék,– a feladatok megoldása előtt megoldási tervet készítsenek,– a geometriai szerkesztések elkészítése előtt vázlatrajzot készítsenek,– a szöveges feladatok megoldásánál a szöveget pontosan értelmezzék, és a választ, valamint

az ellenőrzést szabatosan írják le!

A tanulók– gondolataikat pontosan, életkoruknak megfelelően a szaknyelv használatával tudják elmon-

dani,– a számolási készség kialakulása után használják a zsebszámológépet,– szakirodalomból, internetről, egyéb ismerethordozókból önállóan is gyarapítsák tudásukat,– tájékozódjanak a korosztálynak megfelelő újságok, folyóiratok és szaklapok körében,– ismerjék a tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességeket!

A négy év során tudatosan kell fejleszteni a tanulók lényegkiemelő képességét, analizáló ésdiszkussziós készségét, átfogó, nagyobb összefüggések felfedezésére is képes gondolkodását. Erreirányul a matematikaoktatásban a sokféle logikai feladat, a felfedeztető tanítás, az ismétlés,a rendszerezés, a szövegelemzés, a megoldások vizsgálata, a matematikai tartalmú játékok, ésa tanár egyéniségétől, igényeitől függő, változatos módszertani megoldás. Kiemelt cél a matema-tikai kompetenciák megszerzése, amelyeket új módszerek bevezetésével lehet elősegíteni. Ilyenekpéldául a csoport-, illetve a projektmunkák. A közösen, csoportban (vagy párban) végzett munka

7


Kerettanterv

során ki kell alakítani a tanulók közötti együttműködést, a helyes munkamegosztást, az egyéni ésa közösségi felelősségvállalást. A közös eredmény érdekében előtérbe kerül egymás személyénektiszteletben tartása, a szolidaritás, a tolerancia, a segítőkészség. Ebben a szocializációs folyamatbankönnyebben fejleszthetők a tanulók egyéni képességei, könnyebben kialakul az intenzív érdeklődésés a kíváncsiság, ami elősegíti a hatékonyabb tanulást.

„A matematikai kompetencia: az alapműveletek és arányképzés alkalmazásának képessége amindennapok problémáinak megoldása érdekében, a fejben és papíron végzett számítások során.A hangsúly a folyamaton és a tevékenységen, valamint a tudáson van. A matematikai kompeten-cia felöleli – eltérő fokban – a matematikai gondolkodásmód alkalmazásának képességét és azerre irányuló hajlamot (logikus és térbeli gondolkodás), valamint az ilyen jellegű megjelenítést(képletek, modellek, szerkezetek, grafikonok, táblázatok).A matematikai kompetenciához szükséges tudás magában foglalja a számok, a mértékek ésszerkezetek, az alapműveletek, alapvető matematikai fogalmak, koncepciók és azon kérdésekmegértését, amelyekre a matematika válasszal szolgálhat.Az egyénnek rendelkeznie kell azzal a készséggel, hogy alkalmazni tudja az alapvető matema-tikai elveket és folyamatokat a mindennapok során, otthon és a munkahelyen, valamint hogykövetni és értékelni tudja az érvek láncolatát. Képesnek kell lennie arra, hogy matematikaiúton indokoljon, megértse a matematikai bizonyítást és a matematika nyelvén kommunikáljon,valamint hogy megfelelő segédeszközöket is alkalmazzon.A matematika terén a pozitív hozzáállás az igazság tiszteletén és azon a törekvésen alapszik,hogy a dolgok okát és azok érvényességét keressük.”

(Kulcskompetenciák az élethosszig tartó tanuláshoz – Európai referenciakeret anyagából)

8


Kerettanterv

8. ÉVFOLYAMÉves óraszám: 111 – Heti óraszám: 3

A szabadon hagyott órák száma: 16, amely felhasználható a középiskolára való felkészítésre

Témakör Témakör feldolgozására javasolt óraszámGondolkodási módszerek Folyamatosan fejlesztendő

Számtan, algebra 29 = 18 + 11

Összefüggések, függvények, sorozatok 18

Geometria, mérés 38 = 12 + 13 + 13Valószínűség, statisztika 10

Témakör Témakör feldolgozására javasolt óraszámGondolkodási módszerek Folyamatosan fejlesztendő

Számtan, algebra 29 = 18 + 11

Összefüggések, függvények, sorozatok 18

Geometria, mérés 38 = 12 + 13 + 13Valószínűség, statisztika 10

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK

Fejlesztési célok Tananyag Ajánlotttevékenységformák

Módszertani javaslatok

A tovább-haladásfeltételei




A matematika tanulásáhozszükséges nyelvi-logikaiszerkezetek fokozatos meg-ismerése. Állítások taga-dásának megfogalmazása,A „ha. . . , akkor”, „csakakkor. . . , ha”; helyes hasz-nálata. A köznyelv és amatematikai nyelv tudatosmegkülönböztetése. Másokgondolatainak megértéséretörekvés (példák és ellenpél-dák keresése, kérdések meg-fogalmazása érvek ellenér-vek mentén.) Mások gon-dolataival való vitába szál-lás és a kulturált vitatkozáselsajátítása.

Állítások megfogalma-zása és a megfogalmazottállítások cáfolata. Cso-portmunkában elvégzettfeladatmegoldások ismer-tetése az osztály előtt.

Az egyes téma-körökben konk-retizálódnak.

Saját gondolatok kifejezése,rögzítése matematikai szö-veg írása, értelmezése, jegy-zet készítése.

Kiselőadások megtartása.A matematikai jelölésektudatos alkalmazása.

A matematika tanulásáhozszükséges nyelvi-logikaiszerkezetek fokozatos meg-ismerése. Állítások taga-dásának megfogalmazása,A „ha. . . , akkor”, „csakakkor. . . , ha”; helyes hasz-nálata. A köznyelv és amatematikai nyelv tudatosmegkülönböztetése. Másokgondolatainak megértéséretörekvés (példák és ellenpél-dák keresése, kérdések meg-fogalmazása érvek ellenér-vek mentén.) Mások gon-dolataival való vitába szál-lás és a kulturált vitatkozáselsajátítása.

Állítások megfogalma-zása és a megfogalmazottállítások cáfolata. Cso-portmunkában elvégzettfeladatmegoldások ismer-tetése az osztály előtt.

Az egyes téma-körökben konk-retizálódnak.

Saját gondolatok kifejezése,rögzítése matematikai szö-veg írása, értelmezése, jegy-zet készítése.

Kiselőadások megtartása.A matematikai jelölésektudatos alkalmazása.

9


Kerettanterv







Szövegelemzés, értelme-zés, lefordítás a matematikanyelvére. Az önellenőrzésigényének fejlesztése.

Szöveges feladatokértelmezése, megoldásiterv készítése, megol-dása és a szöveg alap-ján történő ellenőrzése.

Könyvtár és informatikaieszközök használata.

Szöveges fel-adatok megol-dása.

Rendszerszemlélet fejlesz-tése. A tanult ismeretekközötti összefüggések fel-ismerése, azok értő alkalma-zása.

A geometriai transzfor-mációk között fennállókapcsolatok. Skatulya-elv.

Különböző sorrendbenelvégzett többféle transz-formáció eredményénekelemzése pármunkában.

A halmazmű-veletek alkal-mazása két hal-mazra a mate-matika különféleterületein.

Kombinatorikus gondolko-dás fejlesztése.

Egyszerű kombinato-rikai feladatok megol-dása változatos mód-szerekkel.

Fadiagram készítése.Különböző szövegekkiolvasási lehetőségeinekösszeszámlálása külön-böző módszerekkel cso-portmunkában.

Sorbarendezés,kiválasztásnéhány elemesetén.

Szövegelemzés, értelme-zés, lefordítás a matematikanyelvére. Az önellenőrzésigényének fejlesztése.

Szöveges feladatokértelmezése, megoldásiterv készítése, megol-dása és a szöveg alap-ján történő ellenőrzése.

Könyvtár és informatikaieszközök használata.

Szöveges fel-adatok megol-dása.

Rendszerszemlélet fejlesz-tése. A tanult ismeretekközötti összefüggések fel-ismerése, azok értő alkalma-zása.

A geometriai transzfor-mációk között fennállókapcsolatok. Skatulya-elv.

Különböző sorrendbenelvégzett többféle transz-formáció eredményénekelemzése pármunkában.

A halmazmű-veletek alkal-mazása két hal-mazra a mate-matika különféleterületein.

Kombinatorikus gondolko-dás fejlesztése.

Egyszerű kombinato-rikai feladatok megol-dása változatos mód-szerekkel.

Fadiagram készítése.Különböző szövegekkiolvasási lehetőségeinekösszeszámlálása külön-böző módszerekkel cso-portmunkában.

Sorbarendezés,kiválasztásnéhány elemesetén.

2. SZÁMTAN, ALGEBRA







Eljárásokra, módszerekrevaló emlékezés: a tanultalgoritmusok felidézése,használata, analógiák alap-ján való műveletvégzések.Induktív, deduktív gondol-kodás fejlesztése.

Műveleti azonosságokrendszerező áttekin-tése. Algebrai egészkifejezések, képletekátalakításai (nevezetesazonosságok). Szor-zattá alakítás kiemelés-sel egyszerű esetekben.Algebrai egész kifeje-zések szorzása, osztása.A hatványozás azonos-ságainak előkészítése.

Az egyszerű azonosságokfelfedezése számolásifeladatok és geometriaiábrák segítségével. Esz-köz: memóriajáték, pár-keresés, dominók. Fela-datlapok önálló kitöltése,ellenőrzés páros munká-val.

Egyszerű algeb-rai egész kife-jezések (képle-tek) átalakítása,helyettesítésiértékek kiszámí-tása.

Eljárásokra, módszerekrevaló emlékezés: a tanultalgoritmusok felidézése,használata, analógiák alap-ján való műveletvégzések.Induktív, deduktív gondol-kodás fejlesztése.

Műveleti azonosságokrendszerező áttekin-tése. Algebrai egészkifejezések, képletekátalakításai (nevezetesazonosságok). Szor-zattá alakítás kiemelés-sel egyszerű esetekben.Algebrai egész kifeje-zések szorzása, osztása.A hatványozás azonos-ságainak előkészítése.

Az egyszerű azonosságokfelfedezése számolásifeladatok és geometriaiábrák segítségével. Esz-köz: memóriajáték, pár-keresés, dominók. Fela-datlapok önálló kitöltése,ellenőrzés páros munká-val.

Egyszerű algeb-rai egész kife-jezések (képle-tek) átalakítása,helyettesítésiértékek kiszámí-tása.

10


Kerettanterv







Gondolatmenet kiépítése:„megoldási terv” szövegesfeladathoz. Megértett prob-léma részletproblémákrabontása modell nélkül vagymodell segítségével; a rész-letproblémák sorrendbe állí-tása, tervkészítés. Az elter-vezett megoldás lépéseinekvégrehajtása; a részeredmé-nyek értelmezése, a vég-eredmény vonatkoztatásaaz eredeti problémára, vá-laszadás diszkusszió nélkül,illetve diszkusszióval.

Elsőfokú egyenle-tek, egyenlőtlenségekalgebrai és grafikusmegoldása. Alaphal-maz, megoldáshalmaz.Szövegértelmezés,lefordítás a matema-tika nyelvére. Külön-féle szöveges feladatokmegoldása.

Változatos szövegű éstémájú, a gyakorlati élet-ből merített szövegesfeladatok feldolgozásacsoportmunkában. A fel-adatok megoldásánakismertetése az osztályelőtt az előadókészségfejlesztése érdekében.

Egyszerű szö-veges felada-tok megoldásakövetkeztetés-sel, egyenlettelés a megoldásszöveg szerintiellenőrzése.

A zsebszámológép haszná-lata. A becslés képességé-nek fejlesztése és gyakorol-tatása.

A racionális számfogalma: véges, vég-telen tizedes törtek.Példák nem racioná-lis számra: végtelen,nem szakaszos tizedestörtek. A négyzetgyökfogalma.

Feladatlapok becslésre,pontos számításra. Zseb-számológéppel való szá-molás gyakorlása.

Az alapművele-teket helyes sor-rendben elvégzia racionálisszámkörben.

A rendszerezőképesség fej-lesztése.

A természetes, az egészés a racionális számokhalmazának kapcsolata.Kitekintés a racionálisszámkörből.

Műveletekkel mega-dott számok csoporto-sítása, elhelyezése Venn-diagramon, pármunká-ban. A számok többfélealakjának tudatosításaszámdominóval.

A racionális szá-mok tulajdon-ságait ismeri,velük való szá-molási készségemegvan.

Gondolatmenet kiépítése:„megoldási terv” szövegesfeladathoz. Megértett prob-léma részletproblémákrabontása modell nélkül vagymodell segítségével; a rész-letproblémák sorrendbe állí-tása, tervkészítés. Az elter-vezett megoldás lépéseinekvégrehajtása; a részeredmé-nyek értelmezése, a vég-eredmény vonatkoztatásaaz eredeti problémára, vá-laszadás diszkusszió nélkül,illetve diszkusszióval.

Elsőfokú egyenle-tek, egyenlőtlenségekalgebrai és grafikusmegoldása. Alaphal-maz, megoldáshalmaz.Szövegértelmezés,lefordítás a matema-tika nyelvére. Külön-féle szöveges feladatokmegoldása.

Változatos szövegű éstémájú, a gyakorlati élet-ből merített szövegesfeladatok feldolgozásacsoportmunkában. A fel-adatok megoldásánakismertetése az osztályelőtt az előadókészségfejlesztése érdekében.

Egyszerű szö-veges felada-tok megoldásakövetkeztetés-sel, egyenlettelés a megoldásszöveg szerintiellenőrzése.

A zsebszámológép haszná-lata. A becslés képességé-nek fejlesztése és gyakorol-tatása.

A racionális számfogalma: véges, vég-telen tizedes törtek.Példák nem racioná-lis számra: végtelen,nem szakaszos tizedestörtek. A négyzetgyökfogalma.

Feladatlapok becslésre,pontos számításra. Zseb-számológéppel való szá-molás gyakorlása.

Az alapművele-teket helyes sor-rendben elvégzia racionálisszámkörben.

A rendszerezőképesség fej-lesztése.

A természetes, az egészés a racionális számokhalmazának kapcsolata.Kitekintés a racionálisszámkörből.

Műveletekkel mega-dott számok csoporto-sítása, elhelyezése Venn-diagramon, pármunká-ban. A számok többfélealakjának tudatosításaszámdominóval.

A racionális szá-mok tulajdon-ságait ismeri,velük való szá-molási készségemegvan.

11


Kerettanterv

3. ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK







Célirányos, akaratlagosfigyelem fejlesztése. Tuda-tos megfigyelés adott tulaj-donságok szerint, és a tulaj-donságok közötti kapcso-latteremtés képességénekfejlesztése.

Lineáris függvények:elsőfokú és konstansfüggvények, az egye-nes arányosság és gra-fikonjaik. Az x �→ |x|,x �→ x2 és az x �→ 1

xfüggvények tulajdon-ságai és grafikonjainakábrázolása. Egyisme-retlenes egyenletek gra-fikus megoldása.

Egy adott összefüggés-ben az összetartozó ele-mek értéktáblázatánakelkészítése. A számpá-roknak megfelelő pontokábrázolása a koordináta-rendszerben. Poszterekkészítése különbözőfüggvénykapcsolatokgrafikonjairól, projekt-munkában. Számítógépesprogramok alkalmazása afüggvényábrázolásnál.

Az x �→ ax + b

függvény grafi-konját ábrázoljakonkrét racioná-lis együtthatókesetén.

Együttváltozó mennyiségekösszetartozó adatpárjainaklejegyzése, sorozatok alko-tása, értelmezése matemati-kai modell keresése változá-sok leírására. A szabályos-ság felismerése.

Sorozatok vizsgálata,mértani sorozat.

Adatok, elemek, szá-mok sorba rendezése.A mértani sorozat kép-zési szabályának felfede-zése, szöveges feladatokértelmezése és megol-dása. Számtani, mértaniés egyéb sorozatok szét-válogatása csoportmun-kában.

Sorozatokatfolytat adott sza-bály szerint.

Célirányos, akaratlagosfigyelem fejlesztése. Tuda-tos megfigyelés adott tulaj-donságok szerint, és a tulaj-donságok közötti kapcso-latteremtés képességénekfejlesztése.

Lineáris függvények:elsőfokú és konstansfüggvények, az egye-nes arányosság és gra-fikonjaik. Az x �→ |x|,x �→ x2 és az x �→ 1

xfüggvények tulajdon-ságai és grafikonjainakábrázolása. Egyisme-retlenes egyenletek gra-fikus megoldása.

Egy adott összefüggés-ben az összetartozó ele-mek értéktáblázatánakelkészítése. A számpá-roknak megfelelő pontokábrázolása a koordináta-rendszerben. Poszterekkészítése különbözőfüggvénykapcsolatokgrafikonjairól, projekt-munkában. Számítógépesprogramok alkalmazása afüggvényábrázolásnál.

Az x �→ ax + b

függvény grafi-konját ábrázoljakonkrét racioná-lis együtthatókesetén.

Együttváltozó mennyiségekösszetartozó adatpárjainaklejegyzése, sorozatok alko-tása, értelmezése matemati-kai modell keresése változá-sok leírására. A szabályos-ság felismerése.

Sorozatok vizsgálata,mértani sorozat.

Adatok, elemek, szá-mok sorba rendezése.A mértani sorozat kép-zési szabályának felfede-zése, szöveges feladatokértelmezése és megol-dása. Számtani, mértaniés egyéb sorozatok szét-válogatása csoportmun-kában.

Sorozatokatfolytat adott sza-bály szerint.

12


Kerettanterv

4. GEOMETRIA







Állítások, kérdések megfo-galmazása képről, helyzet-ről. Saját gondolatok meg-fogalmazása; elképzelések,definíciók és tételek alko-tása, kimondása, leírása.

Pitagorasz-tétel.Háromszögek neve-zetes vonalai és körei.A háromszög körül-írt köre, beírt köre.Sokszögekre vonat-kozó ismeretek. Kör ésrészei (ív, húr, átmérő,körcikk, körszelet, kör-gyűrű). A kör érintőjeés szelő egyenesei.

A Pitagorasz-tétel felfe-dezése tapasztalati útoncsoportmunkában. Érve-lés, cáfolás, bizonyításimódszerekkel való ismer-kedés. Korábbi ismere-tek új helyzetekben valóalkalmazása a három-szögek és négyszögekesetén. Számolási felada-tok megoldása, ellenőrzéspárban.

A Pitagorasz-tételt felhasz-nálja számításifeladatokban.Négyszögeket,sokszögeketcsoportosít.

A hozzárendelés fogalmá-nak elmélyítése. Geometriaitranszformációkban meg-figyelt megmaradó és vál-tozó tulajdonságok tudato-sítása. A transzformációsszemlélet továbbfejlesztése.Diszkusszió. A lehetőségekszámbavétele. A feltételek-kel való összevetés soránannak tudatosítása, hogymiben és hogyan befolyásol-ják a feltételek a végered-ményt.

A vektor fogalma,két vektor összege éskülönbsége. Eltolássíkban. Párhuzamosszárú szögek. A tanultegybevágósági transz-formációk rendsze-rezése. Középpontoshasonlóság és tulajdon-ságai.

Adott alakzat eltolt képé-nek megszerkesztése.Transzformációk vég-rehajtása a sík mozga-tásával. Másolópapírralvaló rajzolás. Hasonlóságalkalmazása a környeze-tünkben. Gyűjtőmunkacsoportokban. Önállóanelvégzett szerkesztésifeladatok, és azok disz-kussziójának megvitatásaosztály előtt.

Tud adott alak-zatot eltolniadott vektorral.A kicsinyítéstés nagyítást fel-ismeri a való-ság tárgyain ésalkalmazza mástantárgyakban.

A térszemlélet fejlesztése.A térfogat és a felszín fogal-mának elmélyítése. Algeb-rai műveletek alkalmazásageometriai feladatokban.Zsebszámológép használata.Együttműködés, önállóságfejlesztése.

A forgáskúp, a gúla, agömb. A tanult testekrendszerezése. Szá-mításos geometriaifeladatok a geometriakülönböző területeiről.

Testek építése. A síkbakiteríthető testek hálójá-nak elkészítése. Testekkülönböző nézeteineklerajzolása, a nézetekbőla test kitalálása csoport-munkában Activity-játéka testek tulajdonságai-ról. Geometriai feladatok(kerület, terület, felszín,térfogat számítás) megol-dása páros munkában.

A hasábokat,hengereket,gúlákat, kúpo-kat felismeri.Háromszög ésnégyszög alapúegyenes hasábokfelszínét és tér-fogatát ki tudjaszámítani.

Állítások, kérdések megfo-galmazása képről, helyzet-ről. Saját gondolatok meg-fogalmazása; elképzelések,definíciók és tételek alko-tása, kimondása, leírása.

Pitagorasz-tétel.Háromszögek neve-zetes vonalai és körei.A háromszög körül-írt köre, beírt köre.Sokszögekre vonat-kozó ismeretek. Kör ésrészei (ív, húr, átmérő,körcikk, körszelet, kör-gyűrű). A kör érintőjeés szelő egyenesei.

A Pitagorasz-tétel felfe-dezése tapasztalati útoncsoportmunkában. Érve-lés, cáfolás, bizonyításimódszerekkel való ismer-kedés. Korábbi ismere-tek új helyzetekben valóalkalmazása a három-szögek és négyszögekesetén. Számolási felada-tok megoldása, ellenőrzéspárban.

A Pitagorasz-tételt felhasz-nálja számításifeladatokban.Négyszögeket,sokszögeketcsoportosít.

A hozzárendelés fogalmá-nak elmélyítése. Geometriaitranszformációkban meg-figyelt megmaradó és vál-tozó tulajdonságok tudato-sítása. A transzformációsszemlélet továbbfejlesztése.Diszkusszió. A lehetőségekszámbavétele. A feltételek-kel való összevetés soránannak tudatosítása, hogymiben és hogyan befolyásol-ják a feltételek a végered-ményt.

A vektor fogalma,két vektor összege éskülönbsége. Eltolássíkban. Párhuzamosszárú szögek. A tanultegybevágósági transz-formációk rendsze-rezése. Középpontoshasonlóság és tulajdon-ságai.

Adott alakzat eltolt képé-nek megszerkesztése.Transzformációk vég-rehajtása a sík mozga-tásával. Másolópapírralvaló rajzolás. Hasonlóságalkalmazása a környeze-tünkben. Gyűjtőmunkacsoportokban. Önállóanelvégzett szerkesztésifeladatok, és azok disz-kussziójának megvitatásaosztály előtt.

Tud adott alak-zatot eltolniadott vektorral.A kicsinyítéstés nagyítást fel-ismeri a való-ság tárgyain ésalkalmazza mástantárgyakban.

A térszemlélet fejlesztése.A térfogat és a felszín fogal-mának elmélyítése. Algeb-rai műveletek alkalmazásageometriai feladatokban.Zsebszámológép használata.Együttműködés, önállóságfejlesztése.

A forgáskúp, a gúla, agömb. A tanult testekrendszerezése. Szá-mításos geometriaifeladatok a geometriakülönböző területeiről.

Testek építése. A síkbakiteríthető testek hálójá-nak elkészítése. Testekkülönböző nézeteineklerajzolása, a nézetekbőla test kitalálása csoport-munkában Activity-játéka testek tulajdonságai-ról. Geometriai feladatok(kerület, terület, felszín,térfogat számítás) megol-dása páros munkában.

A hasábokat,hengereket,gúlákat, kúpo-kat felismeri.Háromszög ésnégyszög alapúegyenes hasábokfelszínét és tér-fogatát ki tudjaszámítani.

13


Kerettanterv

5. VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA







Önálló eljárások keresése,megoldási kísérletek, tippe-lések szabad végzése, össze-vetése a kapott információk-kal, valósággal. Valószínű-ségi szemlélet fejlesztése.

Valószínűségi kísér-letek megfigyelése,lejegyzése. Biztos,lehetetlen események.A valószínűség előze-tes becslése, szemléle-tes fogalma.

Különféle valószínűségikísérletek elvégzése cso-portmunkában.

A relatív gya-koriságot kiszá-mítja.

Táblázatok készítése. Meg-figyelésben, számlálásban,kísérletben gyűjtött adatpá-rok, rendezése, kapcsola-tok vizsgálata. A statisztikaiszemlélet fejlesztése.

Adatsokaságok elem-zése. Középértékek:átlag, medián, móduszfogalma. Diagramokfajtái.

Adatok gyűjtése, azokértékelése csoportmunká-ban. Poszterek készítéseés azok bemutatása azosztály előtt. Grafikonokés diagramok készítéseönállóan adott adatsoka-ság alapján. Hétköznapiéletből (újságokból, inter-netről) vett grafikonokelemző olvasása.

A leggyakoribbés a középsőadatot megha-tározza konkrétadathalmazban.Tud grafikono-kat készíteni,olvasni egyszerűesetekben.

Önálló eljárások keresése,megoldási kísérletek, tippe-lések szabad végzése, össze-vetése a kapott információk-kal, valósággal. Valószínű-ségi szemlélet fejlesztése.

Valószínűségi kísér-letek megfigyelése,lejegyzése. Biztos,lehetetlen események.A valószínűség előze-tes becslése, szemléle-tes fogalma.

Különféle valószínűségikísérletek elvégzése cso-portmunkában.

A relatív gya-koriságot kiszá-mítja.

Táblázatok készítése. Meg-figyelésben, számlálásban,kísérletben gyűjtött adatpá-rok, rendezése, kapcsola-tok vizsgálata. A statisztikaiszemlélet fejlesztése.

Adatsokaságok elem-zése. Középértékek:átlag, medián, móduszfogalma. Diagramokfajtái.

Adatok gyűjtése, azokértékelése csoportmunká-ban. Poszterek készítéseés azok bemutatása azosztály előtt. Grafikonokés diagramok készítéseönállóan adott adatsoka-ság alapján. Hétköznapiéletből (újságokból, inter-netről) vett grafikonokelemző olvasása.

A leggyakoribbés a középsőadatot megha-tározza konkrétadathalmazban.Tud grafikono-kat készíteni,olvasni egyszerűesetekben.

14


Kerettanterv

AJÁNLOTT SZEMPONTOK A TANULÓI TELJESÍTMÉNYEKÉRTÉKELÉSÉHEZ

A matematikában az értékelésnek különösen fontos szerepe van. A diagnosztizáló felmérők segít-ségével felmérhető, hogy a tanulók eljutottak-e arra a szintre, ahonnan tanulmányaikat tovább foly-tathatják. A mérés elvégzése után célszerű az adott anyagrészben a továbbiakban differenciáltanfoglalkozni a tanulókkal.Az ellenőrzés, értékelés típusa függ az értékelni kívánt anyagrész tartalmától és nagyságától. Kisebbanyagrészek lezárásakor célszerű röpdolgozatot íratni, amelyet nem kell feltétlenül osztályozni.Visszacsatolást adhat a tanárnak és a diákoknak egyaránt a hiányosságok meglétéről, azok pótlásafolyamatosan végezhető, vagy egy másik anyagrész tanítása után a nehéznek tűnő anyagrésszel valófoglalkozást „pihentetve” később lehet rá visszatérni.A jelentősebb fejezetek lezárásakor témazáró felmérő íratása javasolt. Az egyes feladatok megoldásátpontozással kell értékelni, ügyelve a helyes részeredmények pozitív értékelésére is. Az osztályza-tot egyértelműen, a gyerekek, a szülők számára is érthető százalékos eredmények határozzák meg.A felmérő a továbbhaladáshoz szükséges ismereteket kérje számon!Célszerű külön foglalkozni azokkal a tanulókkal, akiknek a középiskolai felvételét a matematikaírásbeli dolgozat határozza meg.Korábbi évek felvételi feladatsorai közül minél többet oldjanak meg a tanulók, nem feltétlenül érté-kelés céljából, hanem hiányosságaik kiderítése és azok pótlása miatt.Ennél a korosztálynál a szóbeli feleltetés nem jellemző matematikából. A tanulók kommunikációsképességét folyamatosan kell fejleszteni, részben a csoportmunkák folyamán a társakkal való vitákkapcsán, részben a frontális óravezetésnél. A tanulók verbális megnyilvánulásait korrigáljuk, haszükséges; dicsérjük őket, ha megérdemlik; de ne feleltessünk!Szóbeli megnyilvánulás a projektmunkák bemutatása, amely a tanári gyakorlatnak megfelelően érté-kelhető: jó pont, képecske, kisötös vagy hagyományos osztályzat. Itt fontos, hogy a csoport mindentagja ugyanazt az osztályzatot kapja.

15


Gondolkodjunk egy�tt�

Tk.: 4. oldal

GONDOLKODJUNK EGYÜTT!

1. óra: Logikai feladatok2. óra: Halmazokkal kapcsolatos feladatok (logikai szita)3. óra: Skatulyaelv4. óra: Hányféleképpen? (kombinatorika)5. óra: Játékok, híres fejtörők

Mire építünk?

Az ilyen típusú feladatok többnyire már előfordultak a hét év során különböző témakörök anyagábabeépítve vagy önálló anyagként (kombinatorika, halmazok).

Meddig jutunk el?

A mintapéldákban felvetett problémák megoldásához a már tanult módszereket átismételjük, aholszükséges, ott új módszereket mutatunk.Ennek a résznek az anyagát nem kérjük számon. A feladatanyag öt óra alatt nem dolgozható fel.A gazdag választékból tanulóink képességeihez mérten válogathatunk. A témakör feldolgozására acsoportos munkaformát ajánljuk.

1. óra

Logikai feladatok

Tk.: 4–5. oldalon 1–9. feladatok

Az óra célja: A gyerekek rávezetése arra, hogy a feladatok egy részének megoldásához a kulcsotaz egymásnak ellentmondó állítások megtalálása, és az azokból adódó következtetések levonásaadja.

Feladatok

1. Julinak, Marinak, Norbinak és Ferinek is van egy-egy állatkája: egy cica, egy kutya, egyaranyhal és egy kanári.Mari állata szőrös, Ferié pedig négylábú. Norbi madarat tart. Juli és Mari nem tart cicát.Az alábbi állítások közül melyik nem igaz?a) Ferié a kutya. b) Norbié a kanári. c) Julié az aranyhal.

d) Ferié a cica. e) Marié a kutya.A cica és a kutya is szőrös és négylábú. Ezért a két állat Marié és Ferié. A cicának fiú a gazdája, ez csak Feriélehet, így a kutya Marié. Norbié a kanári, ezért az aranyhal csak Julié lehet. Az a) állítás hamis.

16


Tk.: 4–5. oldal


2. Négy testvér közül az egyik az esti „párnacsatában” eltörte a nagymama kedvenc padlóvázáját.Édesanyjuk megkérdezte tőlük, ki törte el. A fiúk ezeket a válaszokat adták:

ANDRÁS: Nem én voltam.BÉLA: Én sem.DANI: Ervin törte össze.ERVIN: Béla volt.

Kiderült, hogy az egyikük füllentett, a többiek igazat mondtak. Ki törte el a vázát?(Nemzetközi Kenguru verseny, 7–8. osztály)

Béla és Ervin állítása egymásnak ellentmondó, így közülük az egyik nem mondott igazat. Dani állítása alapjánErvin törte el a vázát, és csak ő füllentett.

3. Feri, Gyula, Jancsi és Karcsi meglátogatták egy barátjukat. A négy fiú családi neve – valamilyensorrendben: Kiss, Nagy, Szabó és Molnár. Elsőnek Molnár érkezett, másodiknak Jancsi, ezutánKiss és végül Gyula. Mindenki hozott egy ajándékot: Molnár bűvös kockát, Feri golyóstollat,Gyula csokit, Szabó pedig könyvet.Mi a négy fiú teljes neve?

(Imrecze Zoltánné, Reiman István, Urbán János: Fejtörő feladatok felsősöknek)

Készítsünk táblázatot! A táblázatban a „–” jel azt jelenti, hogy a sorához és oszlopához tartozó nevek nem tartoznakössze.

Kiss Nagy Szabó Molnár

Feri – – –

Gyula – + – –

Jancsi – – –

Karcsi – – – +

A táblázatból kiderül, hogy Molnár csak Karcsi lehet, Nagy csak Gyula. A táblázatból most kihúzzuk a Karcsit,és Nagy oszlopából a Ferit és a Jancsit. Az üresen maradó helyekből következtethetünk arra, hogy Kiss Feri ésSzabó Jancsi a másik két fiú teljes neve.

4. Öt gyerek a következőt állítja egymásról:András: – A fiútestvérem teniszezik.Bea: – Pontosan két fiútestvérem van.Csaba: – Nincs fiútestvérem.Dóra: – A fiútestvérem hegedül.Erik: – A leánytestvérem szereti a matematikát.Ki lehet Csaba testvére, ha mindenki igazat mond?

(Zrínyi Ilona Matematikaverseny 1994, 8. osztályosok versenye, megyei döntő)Csabának – állítása szerint – nincs fiútestvére, ezért csak Bea és Dóra jöhet szóba. Beának két fiútestvére van, amiazt jelentené, hogy Csabának mégiscsak van fiútestvére. Így a fentiek közül csak Dóra lehet a testvére.

5. Négy embert gyanúsítanak rablással. Tudjuk, hogy négyük közül az egyik rabló, három pedigártatlan. Ezt vallják:A: C nem rabló.B: C vagy D rabló.C: D ártatlan.D: A vagy B rabló.Azt is tudjuk, hogy az ártatlanok mind igazat mondanak. Melyikük a rabló?B a rabló, mert csak így teljesül, hogy három állítás igaz, egy hamis.

17



Tk.: 5. oldal

6. Nóra és Sári ikertestvérek, külsejük alapján nem tudják őket megkülönböztetni. Az a különösszokásuk, hogy egyikük minden hétfőn, kedden és szerdán, a másikuk pedig minden csütörtö-kön, pénteken és szombaton hazudik, s a hét többi napján igazat mond. Egyik nap egyikük eztállította: szombaton hazudok, vasárnap hazudok. Másikuk ezt állította: holnap hazudni fogok.Melyik nap állították ezt?Szerdán állíthatták ezt és máskor nem. Aki szombaton hazudik és vasárnap igazat mond, ugyanazon a napon nemmondhatja, hogy minkét napon hazudik. Ő ezért azt mondja, hogy holnap hazudni fogok. Ezt csak szerdán ésszombaton mondhatja. Aki hétfőn, kedden és szerdán hazudik, az mondhatja csak azt, hogy szombaton és vasárnapis hazudik, de azt csak hazudós napján mondhatja. Így a szerda az egyetlen olyan nap, amikor ezt állíthatták.

7. Tizenöt fős társaság ül egy kerek asztalnál, és mindenki azt állítja, hogy IHH

I

H

HI

H HI

H

H

I

HH

mindkét szomszédja hazudós. Azt is tudjuk, hogy a hazudósok mindighazudnak, az igazmondók mindig igazat mondanak. A társaság mindentagja tudja mindkét szomszédjáról, hogy igazmondó vagy hazudós.Legalább hány igazmondó ül az asztal körül?Két igazmondó, illetve három hazudós nem kerülhet egymás mellé. Legalább öt igaz-mondó ül az asztalnál.

8. Seholsincs-szigeten kétféle ember él: igazmondók, akik mindig igazat mon-danak, és hazudósak, akik mindig hazudnak. Egy alkalommal meglátogattamezt a szigetet. A tengerparton álldogált két szigetlakó: Alfa és Béta. „Teigazmondó vagy?” – kérdeztem Alfát.Alfa válaszát sajnos nem értettem az erős tengerzúgás miatt. Megkérdeztem

Bétát, hogy mit válaszolt Alfa. Ő így válaszolt: Alfa azt mondta, hogy ő hazudós.Mi lehet Alfa, illetve Béta? A „Te igazmondó vagy?” kérdésre csak „igen” lehet a válasz. Ezért Bétahazudós. Alfáról nem lehet eldönteni, hogy milyen.

9. Egy teremben a falra 3 izzólámpát szereltek. Kapcsolójuk a termen kívüli folyosón van,de nem tudjuk, hogy melyik kapcsoló melyik lámpához tartozik. A terembe csak egyszerléphetünk be, de mielőtt bemegyünk, a kapcsolókat tetszés szerint kapcsolgathatjuk. Miutánbelépünk, meg kell állapítani, hogy melyik kapcsoló melyik izzóhoz tartozik. Hogyancsináljuk? Az első két kapcsolót felkapcsoljuk, rövidebb várakozás után az elsőt lekapcsoljuk. Ezután

bemegyünk a terembe. A világító izzóhoz a második, a nem világító izzók közül a hideghez a harmadik, a

meleghez az első kapcsoló tartozik.

2. óra

Halmazokkal kapcsolatos feladatok


Az óra célja: A 7. osztályban tanított módszereket ismételjük át, és három halmazra is alkal-mazzuk az eljárást. A feladatok a százalékszámítás és számelmélet alapfogalmainak ismétlését isszolgálják.

18


Tk.: 7–8. oldal


Feladatok

1. Kanada kétnyelvű ország. Az emberek 85%-a beszél angolul, 75%-a pedig franciául.Az emberek hány %-a beszéli mindkét hivatalos nyelvet, ha legalább az egyiket minden lakosbeszéli? Ha összeadjuk az angolul és a franciául beszélők százalékos arányát, 160%-ot kapunk. Ez azzalmagyarázható, hogy az emberek 60%-át kétszer számoltuk. Ezért a lakosok 60%-a beszéli mindkét hivatalosnyelvet.

2. Egy osztályban 40 tanuló van. 14 tanuló kézilabdázik, 36 kosárlabdázik. Minden tanulólegalább az egyik sportágat űzi. Az osztály hány százalékát teszik ki azok a tanulók, akik csakkézilabdáznak?Ha a kézilabdázók és a kosarasok létszámát összeadjuk, akkor 10-zel nagyobb számot kapunk, mint az osztálylétszáma. Ennek oka, hogy kétszer számoltuk azokat, akik mindkét sportágat űzik. Csak kézilabdázik 14 − 10 == 4 fő, ők a tanulók 10%-át teszik ki.

3. Az iskolának foci- és kosárlabdacsapata van. Az egyik osztályban 7 fiú jár az iskolai foci-meccsekre, 10 jár a kosárlabdameccsekre, 3 mind a két sportág meccseit látogatja, de 4 fiúegyáltalán nem jár meccsekre. Hány fiú jár az osztályba? 18 fiú jár az osztályba.

Ff

k

43

7

4

4. Egy nyolcadikos osztály 35 tanulója közül 20 lány van, és12 olyan gyerek, aki tud keringőzni. Az osztályba járó fiúk kö-zül 7 tud keringőzni. Hány olyan lány van, aki tud keringőzni?Hány fiú nem tud keringőzni?

Halmazábra segítségével old-OL K

15

5

7

8juk meg a feladatot. 5 lánytud keringőzni. 8 fiú nem tudkeringőzni.

5. Egy versenyen az iskola tanulóinak 20%-a indult. Az indulók két feladatot kaptak.Az elsőt a versenyzők 60%-a, a másodikat 65%-a oldotta meg. Minden induló legalább egyfeladatot megoldott. Csak a másodikat 80-an oldották meg. Hányan járnak az iskolába?

(Varga Tamás Matematika Verseny, 7. osztály)

Mindkét feladatot a versenyzők 25%-a oldotta meg. A versenyzők 40%-a 80 fő. Az összes versenyző 200 fő. Aziskola tanulóinak 200 gyerek a 20%-a. Az iskolába 1000 gyerek jár.

6. Hány olyan kétjegyű szám van, amelyben az egyik számjegy nagyobb, mint a másik?Csak azok a számok nem jók, amelyekben megegyeznek a számjegyek. A 90 kétjegyű számból levonva a 9 olyat,amelyben megegyeznek a jegyek, 81-et kapunk. 81 olyan szám van, amelyben az egyik jegy nagyobb, mint amásik.

Ez a feladat készíti elő a 10. feladatot.

19



Tk.: 8. oldal

7. A 40-nél nagyobb, de 60-nál kisebb számok közül hány olyan van, amelyik 3-mal vagy 4-gyelosztható? Kilenc: 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 57, 56.

8. Hány olyan kétjegyű szám van, amely

a) osztható 3-mal és 4-gyel, b) osztható 3-mal vagy 4-gyel,c) nem osztható sem 3-mal, sem 4-gyel?

A 90 kétjegyűből 30 osztható 3-mal, 22 osztható 4-gyel, 8 osztható 10 � x � 99

A

B

30 − 8 = 22 8

22 − 8 = 14

90 − 44 = 46

12-vel (3-mal és 4-gyel is).a) Nyolc szám osztható 12-vel: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96.b) 30 + 22 − 8 = 44 szám osztható 3-mal vagy 4-gyel.c) 90 − 44 = 46 szám nem osztható sem 3-mal, sem 4-gyel.

Halmazábrával így oldhatjuk meg a feladatot:

A: {3-mal osztható számok}B: {4-gyel osztható számok}

9. Hány olyan pozitív egész van, amely 1000-nél kisebb és sem 5-tel, sem 7-tel nem osztható?

Az 1000-nél kisebb pozitív egészek száma 999.1 � x � 999

A

B28

114

171

686 Ezek közül (999 : 5 =) 199 osztható 5-tel, (999 : 7 =) 142 osztható 7-tel,

(999 : 35 =) 28 osztható 35-tel (vagyis 7-tel és 5-tel).

(999 − 199 − 142 + 28 =) 686 szám nem osztható sem 5-tel, sem 7-tel.

Halmazábrával így oldhatjuk meg a feladatot:

A : {5-tel osztható számok}B : {7-tel osztható számok}

10. Egy verseny után Pista örömmel újságolta barátainak, hogy megoldotta afeladatokat.Az egyik feladat így szólt: Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben van3-as számjegy?

Pista megoldása:A 3-as számjegy lehet bármelyik helyen.Ha az első helyen van: 3 , a másik két helyre 10–10 számjegy kerülhet, tehát ilyenszámból 10 · 10 = 100 van.Ha a második vagy a harmadik helyen van a 3-as számjegy: 3 vagy 3,akkor az első helyre 0 nem kerülhet, ezért 2 · 9 · 10 = 180 ilyen szám van. Tehát az összesmegoldás: 100 + 180 = 280.

Sajnos Pista erre a megoldásra nem kapott pontot.Magyarázd meg, hol hibázott, és add meg a helyes választ!Pista így bizonyos számokat többször is megkapott, például a 333-at háromszor kapta meg, a 330-at kétszer stb.

Célszerű az ilyen esetekben azokat a számokat megszámlálni, amelyekben nincsen 3-as számjegy, ezek száma

(8 · 9 · 9 =) 648. Ezek számát levonva a 900 háromjegyűből, 252-t kapunk. 252 olyan háromjegyű szám van,

amelyben nem szerepel a 3-as számjegy.

20


Tk.: 8. és 9. oldal


11. Hány olyan legfeljebb 3 jegyű pozitív egész szám van, amely nem osztható sem 2-vel, sem3-mal, sem 5-tel?

266 olyan egész szám van 1–999-ig, amely nem1 � x � 999

2-vel

osztható

3-mal

osztható

5-tel osztható

66267

33

133

33

134

266

osztható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 5-tel.999 legfeljebb háromjegyű szám van, ebből:

2-vel osztható: 499 szám,

3-mal osztható: 333 szám,

5-tel osztható: 199 szám,

6-tal osztható: 166 szám,

15-tel osztható: 66 szám,

10-zel osztható: 99 szám,

30-cal osztható: 33 szám.

12. Egy versenyen két feladatot kellett megoldani. Hatan voltak, akik mindkét feladatot megol-dották, és hatan, akik az egyiket sem tudták megcsinálni. A legalább egy feladatot megoldók75%-a oldotta meg az elsőt, 50%-a a másodikat. Hányan vettek részt a versenyen, és hányanvoltak, akik az első feladatot megoldották, de a másodikat nem?Harmincan vettek részt a versenyen, tizenketten oldották meg csak az első feladatot.

Ha a legalább egy feladatot megoldók számát tekintjük 100%-nak,V

E

M

126 6

6 akkor a legalább egy feladatot megoldók 25%-át adja a mindkétfeladatot megoldó 6 fő. Ebből a legalább egy feladatot megoldókszámára 24-et kapunk. Ha ehhez hozzáadjuk azok számát, akikegy feladatot sem oldottak meg, megkapjuk az összes versenyzőszámát, azaz 30-at. A legfeljebb l feladatot megoldók számábóllevonva a második feladatot megoldók számát, 12-t kapunk a csakaz első feladatot megoldók számára.

3. óra

Skatulyaelv


Az óra célja: A 7. osztályban elindított gondolkodási módok elmélyítése. A feladatok közöttegyszerűbb számelméleti bizonyítások is szerepelnek.

Feladatok

1. A 24 fős osztályunkban az a szokás, hogy a hónap elején felköszöntjük az összes olyan gyereket,aki abban a hónapban született.a) Biztosan lesz-e olyan hónap, amikor legalább 2 gyereket köszöntünk fel? Igen. Tizenkét

gyereknek lehet különböző hónapban a születésnapja, a tizenharmadik már az előzőek egyikével megegyező

hónapban született.

21



Tk.: 9–10. oldal

b) Lehet-e olyan hónap, hogy nincs kit felköszönteni? Igen, hiszen még az is előfordulhat, hogy mind

a 24 gyerek ugyanabban a hónapban született.

2. Egy zacskóban 10 zselés és 10 mogyorós drazsé van, szemre egyformáknak látszanak. Hánydarabot kell kivennie Áronnak, hogy biztosan legyen köztük egy mogyorós és egy zselés is?11-et. Kiveheti az egyik fajtából mind a 10-et, a tizenegyedik drazsé már csak a másik fajta lehet.

3. Egy borosgazda pincéjében 13 palack édes, 9 palack félédes és 5 palack száraz tokaji bor van.A feleség, aki nem tud különbséget tenni a palackok között, hányat vigyen fel a vendégeknek,ha azok azt szeretnék, hogy biztosan legyen köztüka) édes, b) három palack édes, c) mindegyik fajtából legalább egy palack,d) az összes száraz, e) édes és félédes, f) valamelyik fajtából három palack?a) 9 félédes + 5 száraz + 1 édes = 15 palackb) 9 félédes + 5 száraz + 3 édes = 17 palackc) 13 édes + 9 félédes + 1 száraz = 23 palackd) Az összeset, hiszen kiválaszthatja az édeseket, illetve a félédeseket és csak azután a szárazakat.e) 19 palack. Kiválaszthat 5 palack száraz és 13 palack édes palackot. A 19. palack biztosan félédes bor lesz.f) 7 palack. Mindegyikből kiválaszt 2-t, a hetedik már csak olyan lehet, amilyenből már volt kettő.

4. Egy fedett kosárban 10 barna, 15 szürke és 20 fehér galamb van. Egyesével engedjük ki őket.Legalább hány galambnak kell kirepülnie, hogy biztosan legyen köztüka) barna vagy fehér, 15 szürke + 1 barna vagy fehér = 16 galamb

b) barna és fehér, 15 szürke + 20 fehér + 1 barna = 36 galamb

c) legalább 12 egyforma színű? 11 szürke + 11 fehér + 10 barna + 1 szürke vagy fehér = 33 galamb

5. Egy meglehetősen rendetlen műlovarnő az öltözőszekré-nyének fiókjában tartja kesztyűit igen nagy összevissza-ságban: 3 pár sárgát, 3 pár kéket és 3 pár pirosat. Előadáselőtt kialszik a villany az öltözőjében. Legalább hány da-rab kesztyűt kell találomra kivennie ahhoz, hogy biztosanlegyen köztük egy pár ugyanolyan színű, ha a jobbosés balos kesztyű nem egyforma? Tízet. Legrosszabb esetben

kiveszi minden színből, mondjuk a balkezeseket, ebből 9 van, a 10. kesztyű már csak a 9 kesztyű valamelyikének

a jobbos párja lehet.

6. Egy tálon meggyes, lekváros és túrós bukta illatozik. Legkevesebb 6-ot kell venni ahhoz, hogybiztosan legyen köztük meggyes. Legkevesebb 7-et kell kivenni ahhoz, hogy biztosan legyenköztük lekváros, és 8-at, hogy biztosan legyen köztük túrós. Hány bukta van a tálon?Kilenc bukta van a tálon. A lekváros és túrós buktából 5 van, meggyesből és túrósból 6, meggyesből és

lekvárosból 7. (lekváros + túrós) + (meggyes + túrós) + (meggyes + lekváros) = 5 + 6 + 7 = 18. Mindenfajta buktát

kétszer számoltunk, ezért 9 bukta van a tálon.

7. Felírtunk a táblára hét különböző négyzetszámot. Igaz-e, hogy van közöttük két olyan, amelyikugyanolyan számjegyre végződik?Igaz. A négyzetszámok utolsó jegye csak 0, 1, 4, 5, 6 és 9 lehet. Így a hét szám között lesz kettő, amelyik ugyanarra

a számjegyre végződik.

8. Igaz-e, hogy hét négyzetszám között mindig van kettő olyan, melyek különbsége osztható 10-zel?Igaz. A négyzetszámok utolsó jegye csak 0, 1, 4, 5, 6 és 9 lehet. Így a hét szám között lesz kettő, amelyik ugyanarra

a számjegyre végződik, ezek különbsége pedig nullára.

22


Tk.: 10. oldal


9. Bizonyítsuk be, hogya) 3 egész szám között mindig van kettő, melyek összege osztható 2-vel, 3 egész szám között

biztosan van vagy két páratlan, vagy két páros szám, melyek összege páros.

b) 5 egész szám között mindig van három, melyek összege osztható 3-mal, 3-mal osztva a számok

0, 1 vagy 2 maradékot adhatnak.

Két eset lehetséges:

– ha az öt szám között háromnak ugyanaz a maradéka, akkor ezek összege osztható 3-mal,

– ha nincs ilyen három szám, akkor az öt közül kiválasztható három olyan, melyek maradéka különböző,

ezek összege osztható 3-mal.

c) 7 egész szám között mindig van négy, melyek összege osztható 4-gyel! Három szám közül

biztosan kiválasztható kettő olyan, melyek összege osztható 2-vel. A maradék öt közül is biztosan van két ilyen.

Végül az így megmaradó három közül is kiválasztható két ilyen szám. Az így kapott három összeg páros, ezért

mindegyik fele egész. Így ismét három egész számot kapunk, melyek közül kiválasztható kettő úgy, hogy azok

összege is páros legyen. Ennek az összegnek a fele egész szám, amely megegyezik a hét számból kiválasztott

négy összegének a negyedével. Mivel ez egész, ezért a négy szám összege osztható 4-gyel.

10. Legfeljebb hány számot lehet kiválasztani az 1, 2, 3, . . . , 25 számok közülúgy, hogy semelyik kettőnek az összege ne legyen osztható 3-mal? Tízet. Két

3-mal osztható szám nem lehet a számok között. Egy 1 maradékú és egy 2 maradékú sem.

Az összes 1 maradékút beválogathatjuk, és ezekhez még egy nulla maradékút. Vagy az összes

2 maradékút és ezekhez még egy nulla maradékút. Az első esetben 10, a második esetben

9 számot választhatunk ki.

11. Igaz-e, ha az 1, 2, 3, . . . , 100 számokból kiválasztunk találomra 27 számot, akkor biztosanlesz ezek között kettő olyan, melyek nem relatív prímek? Igaz. 100-ig 25 prím van. Legjobb

esetben a 25 prímet húzzuk ki és melléjük még az 1-et. Az 1-hez semmit sem választhatunk a többi számból.

A 27 szám, amit kiválasztunk, már biztosan összetett szám, ezért valamelyik már szereplő két prím szorzata.

4. óra

Hányféleképpen?


Az óra célja: Az eddig tanult módszerek, eljárások ismétlése, elmélyítése.A feladatok egy részében (például a 2. és a 3. feladat) egyszerű sorba állítások számát kellmeghatározni. Jó lenne addig eljutni, hogy a gyerekek az összes eset felsorolása nélkül is megtudják oldani az ilyen típusú feladatokat. Ehhez azt kell felismerniük, hogy például 5 fiú 5-szörannyi sorrendben állhat fel a sortánchoz, mint négy. Az n! képletet nem szükséges bevezetni, apermutáció elnevezést nem kell használnunk.A feladatok másik részében ciklikus permutációk számát kell meghatározni. Itt arra kell rávezetnia gyerekeket, hogy például 5 elem ciklikus permutációinak a száma megegyezik az 5 elembőlképzett permutációk számának ötödrészével. Azaz 5 elem egyféle ciklikus permutációjából éppen5 „sima” permutáció képezhető.

23



Tk.: 14. oldal

Például ebből az 12345 egyféle ciklikus permutációból1234523451345124512351234

1

2

34

5

éppen öt „sima” permutáció képezhető:Hangsúlyozzuk, hogy két ciklikus permutációt akkor te-kintünk különbözőnek, ha van legalább egy olyan elem,amelynek a két permutációban vagy a bal, vagy a jobboldali szomszédja különböző!

Feladatok

1. A mi iskolánkban belső használatra ilyen telefonkészülékeket gyár-tottak. Hány különböző legfeljebb négyjegyű telefonszám hívható, haa) a számjegyek nem ismétlődhetnek, 4 + 4 · 3 + 4 · 3 · 2 + 4 · 3 · 2 · 1 = 64

b) a számjegyek ismétlődhetnek? 4 + 42 + 43 + 44 = 340

2. a) Hányféle gyöngysor fűzhető ezekből a gyöngyökből? 6! = 720

b) Hányféle lesz a gyöngysorok száma, ha körbefuthatnak a szálon a gyöngy-szemek? 5! = 120A lerajzolt esetek nem tükrözik pontosan a valóságot, mert a rajzokat nem tudjuk átfordítani, legfeljebb csak

akkor, ha celofánpapírra vagy fóliára rajzoljuk. A valóságos gyöngysorok igazából nem különböztethetők meg

azoktól, amelyeket átfordításukkal (tükrözéssel) kapunk. Ezért kell osztani az esetek számát 2-vel. A valósághű

eredmény 360, illetve 60. (Célszerű az órán nagy fagyöngyöket felfűzni, és azon megmutatni az átfordítással

kapott megegyező gyöngysorokat.)

3. Milyen autórendszámból lehet több Magyarországon?Az olyanból, amelynek mind a három számjegye különböző, vagy az olyanból, amelynekszámjegyei között vannak egyenlők is?Az olyan rendszámokból van több, amelyeknek mind a három számjegye különböző. A 000 rendszámot is

megengedve 1000 rendszám van. Ebből olyan rendszám, amelyeknek jegyei mind különböznek, 10 · 9 · 8 = 720,

ami a lehetségesnek több mint a felét teszi ki.

4. Gyermekkorunkban azt játszottuk, hogy a „Szép az icipici női cipő, női cipő. Benne takarosanlépked a nő, a nő” együgyű szövegű dalocskát énekeltük ugyanolyan magánhangzókkal. Példáulcsupa ú-val:„Szúp uz ucupucu núu cupú. . . ”A C P „szó” hiányzó magánhangzói helyére a magyar abc magánhangzóit beírva, hánykülönböző „szót” kapunk? Ezek közül hány lesz értelmes?Mivel a magyar ábécében 14 magánhangzó van, ezért összesen 142 = 196 „szó” képezhető, ezek közül három

értelmes: cápa, cipó, cipő.

24


Tk.: 14–15. oldal


5. Ismert magyar költők híres sorait adtuk meg magánhangzók, illetve mássalhangzók nélkül.Melyik esetben könnyebb kitalálni a verssorokat? (A kettős mássalhangzókat is egy -teljelöljük.)

a) T L P R M G Y R, H H Z Talpra magyar, hí a haza (Petőfi: Nemzeti dal)

b) T Z S N S T L N Y R N P S G R Tüzesen süt le a nyári

nap sugára (Petőfi: János vitéz)

c) Ú A É I O Á , E I E A A A Zúg az éji bogár,

nekimegy a falnak (Arany: Családi kör)

d) É Í A A Ö E A E I I Á O Még nyílnak

a völgyben a kerti virágok (Petőfi: Szeptember végén)

A magánhangzók nélküli szövegeket általában könnyebb megfejteni.

6. A nyári hegymászótáborban húsz fiú vett részt. A tábor végén mindenki címet cserélt atöbbiekkel. Az állomáson mindenki kézfogással búcsúzott el a többiektől. Összesen hány címetírtak le a fiúk? Összesen hányszor fogtak kezet? Mindenki 19 címet írt le, összesen 20 · 19 = 380 címet

írtak le a fiúk. Mindenki 19 társával fogott kezet, de csak 10 · 19 = 190-szer fogtak kezet, mert itt egy kézfogásnak

számít az, ha például András kezet fog Bélával, illetve Béla kezet fog Andrással.

7. Az iskolánk kosárlabdacsapatának leányai a meccsek végén pacsit adnak egymásnak. Hányjátékos vett részt a mi iskolánkból azon a mérkőzésen, ahol 105 pacsi csattant? Tizenöt játékos

vett részt. Jelöljük a játékosok számát j -vel! Mindenki 1-gyel kevesebb pacsit ad, mint amennyi játékostársa van,

és ezt még el kell osztani 2-vel, azaz j (j − 1) : 2 = 105. Ebből j (j − 1) = 210. Melyik az a két egymást követő

szám, amelynek szorzata 210? A 210-et kéttényezős szorzatokra bontva megkapjuk, hogy ez a két szám a 15 és a

14; j = 15. Behelyettesítve a kapott számot a szövegbe, azt jónak találjuk.

8. Egy szabályos hatszög egyik csúcsát pirosra, a többit kék színűre színeztük. A hatszögcsúcsaiból hármat kiválasztva háromszögeket kaptunk. Melyik fajta háromszögből van több:amelyiknek van piros csúcsa, vagy amelyiknek nincs? Rajzot is készíthetünk és megállapíthatjuk, hogy

ugyanannyi van a kétfajta háromszögből. Úgy is ugyanerre az eredményre jutunk, ha észrevesszük, hogy minden

piros csúcsú háromszög kiválasztásánál kimarad egy olyan háromszög, amelynek minden csúcsa kék.

9. Az ötödikesek olyan lottóval játszottak, amelyben az 1, 2, 3, 4, 5 számokból két számra kelltippelni.a) Hány szelvényt kell ahhoz kitölteniük, hogy biztosan legyen telitalálatuk (azaz 2 találatuk)

ezen a lottón? Tízet. (5 · 4 : 2 = 10)

b) Hány szelvény kitöltése esetén lesz biztosan 1 találatuk? Három. (Például: 1, 2; 3, 4; 5, bármi)

10. Régen az autóbuszjegyeket úgy érvényesítették az utasok,hogy egy készülékbe belehelyezték, és az néhány számotkilyukasztott a jegyen.a) Egy ilyen autóbuszjegyen hányféleképpen lehet 2 lyu-

kat lyukasztani? 36 lyukasztás lehetséges. Az első lyuk

9 helyen lehet, a másodikat már azon a helyen nem lyukaszthatjuk, ahol az elsőt lyukasztottuk, ezért minden

előző lyukasztáshoz még 8 lehetőség tartozik. De például az (1, 9) és a (9, 1) esetek között nem teszünk

különbséget, ezért az összes esetek száma: (9 · 8) : 2 = 36.b) Egy ilyen autóbuszjegyen 2 vagy 7 lyuk lyukasztásával lehet többféle lyukasztást elérni?

Ugyanannyi lyukasztást lehet elérni mindkét esetben. Kilencből két lyukat lyukasztani ugyanannyiféleképpen

lehet, mint kilencből két lyukat nem lyukasztani, azaz hetet kilyukasztani.

25



Tk.: 15–16. oldal

11. Hány különböző útvonalon juthatunk el A városból E városba, ha csak kelet felé haladhatunk?

a) A EB C Db) A EB C D

a) 4 · 5 · 2 · 1 = 40 b) 4 · 5 · 2 · 1 + 4 · 1 · 1 = 44

12. Hányféleképpen olvasható le az ábráról az ODA, BUDA, illetve a BUDAPEST szó?Csak az összekötő vonalak mentén, jobbra vagy lefelé szabad haladni.

a) O D A

D A

A

1 1 1

1 2

11 + 2 + 1 = 22 = 4

b) B U D A

U D A

D A

A

1 1 1 1

12

3

1 3

11 + 3 + 3 + 1 = 23 = 8

c) O D

D A

1 1

1 22

d) B U

U D

D A

1 1

1 2

1 33

e) B U D A P E S T

U D A P E S T

D A P E S T

A P E S T

P E S T

E S T

S T

T

1 1 1 1 1 1 1 1

12 3 4 5 6 7

13 6 10 15 21

14 10 20 36

15 15 35

16 21

17

1 1 + 7 + 21 + 35 + 36 + 21 + 7 + 1 = 27 = 128

f) B U D A

U D A P

D A P E

A P E S

P E S T

1 1 1 1

12 3 4

13 6 10

14 10 20

15 15 35

35

13. Melyek azok a feladatok az alábbiak közül, amelyek mögött ugyanaz a matematikai problémarejlik? Az f) és a d), illetve a c) és az e) feladatok mögött rejlik ugyanaz a matematikai probléma.

a) Egy fogadáson hat diplomata találkozott. Mindegyik mindegyikkel kezet fogott. Hánykézfogás történt? 6 · 5 : 2 = 15

b) Hat számkártyánk van: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Hány kétjegyű számot lehet ezekből kirakni?6 · 5 = 30

c) Hat számkártyánk van: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Hány hatjegyű számot lehet ezekből kirakni?6! = 720

d) Elfelejtettem egy szentendrei telefonszá-mot. Csak arra emlékszem, hogy 4-nél kisebb számjegy nem fordult előbenne. Hány telefonszám jöhet szóba?(A szentendrei telefonszámok hatjegyűek.)66 = 46 656

e) Karácsonykor egy kisváros főterén hatugyanolyan faházikót állítottak fel. A bölcspolgármester sorsolással döntötte el, hogymelyik házikóban ki árulhasson. Hatan pá-lyáztak a házakra: a halas, a könyvárus,a bábos, a fazekas, a pecsenyesütő és akürtőskalácsos.Hányféleképpen lehet a 6 faházat a hat árus között kisorsolni? 6! = 720

26


Tk.: 16. oldal


f) Egy nagy fa törzséből hat nagyon vastag ág nő ki, mindegyikből hat vastag ág, ezekmindegyikéből hat vékony ág, ezek mindegyikéből hat görbe ág, ezek mindegyikéből hatgöcsörtös ág nő ki. Ezek mindegyikén hat szép sárga virág van. Hány virág van a fán?66 = 46 656

14. Melyek azok a feladatok az alábbiak közül, melyek mögött ugyanaz a matematikai problémarejlik? Az a)-nak és a d)-nek, illetve az e)-nek és az f)-nek megegyezik a matematikai tartalma. A c)-ben és a

d)-ben is ugyanaz a matematikai gondolat van, annak ellenére, hogy az eredmények különbözőek.

a) Egy körön megjelölünk 77 pontot. Hány olyan szakasz húzható, amelynek végpontjai csakmegjelölt pontok lehetnek? 77 · 76 : 2 = 2926

b) Egy szabályos 77-szögnek hány átlója van? 77 · 74 : 2 = 2849

c) Összeadjuk a természetes számokat 1-től 77-ig. Mennyi az összeg? (1 + 77) · 77 : 2 = 3003

d) Összeadjuk a természetes számokat 1-től 76-ig. Mennyi az összeg? (1 + 76) · 76 : 2 = 2926

e) Egy szekrénysor polcaira nyolc helyen lehet vá-lasztófalat rakni. Az egyik polcon két választó-falat akarunk elhelyezni. Hányféle lehetőségünkvan? A következőképpen is okoskodhatunk: ha az elsőválasztófalat az 1. beosztásra teszem, akkor a másodikatmég 7-féleképpen helyezhetem el, ha az első választófalat

a 2. beosztásra teszem, akkor a másodikat még 6-féleképpen helyezhetem el, ha az első választófalat a harmadikbeosztásra teszem, akkor a másodikat még 5-féleképpen helyezhetem el stb.Ezért az összes lehetőségek száma: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28

Másik megoldás:Nyolc helyre helyezhető el a két választófal. Annyi lehetőség van, ahányféleképpen8-ból 2-t ki lehet választani. Ez éppen 28-féleképpen tehető meg.

f) Ilyen léceink vannak, mindegyikből 10 darab. Közülüka leghosszabb lécet hányféleképpen lehet három darabbólösszeragasztani? A feladat matematikai tartalma ugyanaz, mint az

előző feladaté, hiszen 9-et kell 3 részre osztani. (Az előző feladatban

a választófalak 3 részre osztották a polcot.) Ha a tagok sorrendje számít,

akkor a megoldások száma itt is 28.

5. óra

Játékok, híres fejtörők


Az óra célja: Ízelítőt adni a matematika népszerűbb fejezeteiből (gráfok, játékok, stratégiásjátékok, híres sakkfeladványok).Egy óra alatt nem dolgozható fel, érdemes később is bele-bele kóstolgatni.

27



Tk.: 16–17. oldal

Feladatok

1. Két rejtvényt tartalmaz ez a rajz, melyet időszámításunk előtt 1500évvel egy Ahmed nevű egyiptomi pap eszelt ki.a) Hogyan lehet egy vonallal megrajzolni anélkül, hogy a rajz

bármelyik kis részén kétszer haladnánk át?b) Hány háromszög van az ábrán?

Összesen 27 db háromszög van az ábrán.

Ilyen három-szögből

Ennyi darab 10 6 6 1 3 1

c) Te is találj ki a rajzhoz kapcsolódó feladatokat!

2. Társaddal játszhatod a következő, „Irány a másik sarok” nevű játékot.Egy nyolcszor nyolcas négyzeten, például egy sakktáblán helyezze-

START

tek el a bal alsó sarokban egy figurát, például egy gyalogot! Ezzelléphettek felváltva: egyszerre egy négyzettel arrébb: jobbra, vagyfölfelé, vagy rézsútosan jobbra, fölfelé. Az nyer, aki a jobb felsősarokba viszi a figurát. Üres karikával az első játékos húzását, telekarikával a második játékos húzását jelöltük. Ezen a rajzon az elsőjátékos kezdett, és a második játékos nyert.Kinek van nyerő stratégiája? A kezdőnek van nyerő stratégiája, elsőnek azx-szel jelölt mezőre kell lépnie, majd a továbbiakban is a megjelölt mezőkre kelllépnie. Így az ellenfele biztosan nem fogja tudni elfoglalni a megjelölt (nyerő)mezők egyikét sem.A stratégia így is megfogalmazható: a helyes kezdő lépés után bármit lép isaz ellenfél, én ugyanolyan irányban lépek a következő lépésemben. Így éppena megjelölt mezők valamelyikét tudom elérni, tehát nyerő helyzetben maradok.

3. Társaddal játszhatod a következő, „Két kupac gyufa” nevű játékot.Tegyetek ki két halomba gyufát, akárhány szál lehet mindkét halomban. Az is lehet, hogyugyanannyi szálból, de az is, hogy nem ugyanannyi szálból áll a két halom. Felváltvavegyetek el gyufákat a halmokból, egyszer egyikőtök, azután a másik. Egy húzásra egy gyufátmindenképpen el kell venni, de akármilyen sokat is szabad, egy húzáskor azonban csak az egyikhalomból szabad húzni. Az nyer, aki az utolsó szál gyufát húzza.Belátjuk, hogy azok a nyerő helyzetek a kezdő játékos számára, amikor az egyik kupacban több gyufa van. Ezekben

a helyzetekben úgy lehet nyerni, hogy a húzással egyenlővé tesszük a két kupacban lévő gyufák számát.

Ha a két kupacban egyenlő a gyufák száma, akkor a kezdő veszít, a második nyer, mert ő tudja egyenlővé tenni a

kupacokban lévő gyufák számát.

4. a) Lefedhető-e a sakktábla ilyen , 2 × 1-es lapocskákkal? (Az egész sakktáblát pontosanlefedjük, azaz egy mező sem marad fedetlen, de nem fedünk be egyet sem két papírral, és apapír nem kerül kívül a táblán.) Igen, lefedhető.

b) Vágjuk le kétféleképpen a tábla két sarkát!

28


Tk.: 17–18. oldal


a b c d e f g h

a b c d e f g h

12345678

12345678

a b c d e f g h

a b c d e f g h

12345678

12345678

Az a1-es és az a8-as mezőket vágjuk le. A h1-es és az a8-as mezőket vágjuk le.

Melyik „csonkított” táblát nem lehet pontosan lefedni a 2 × 1-es téglalapokkal?Egy lapocskával egy fehér és egy sötét mezőt fedünk le. Az első esetben ezért lefedhető lesz a sakktábla arajzon látható módon. A második esetben nem, mert a hiányos sakktáblán nem egyenlő a fekete és a fehérmezők száma, és a lapocskák ugyanannyi fehér és fekete mezőt fednek le.

5. a) Társaddal játszhatod a következő, „Nyolcból négyet” nevű játékot.Egyikőtök felír egy négyjegyű számot, a másiknak ezt kell majd kitalálnia. A négyjegyűszámban csak az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyek fordulhatnak elő, de egy számjegy legfeljebbcsak egyszer szerepelhet. A játékról sokat olvashatunk Berger György: Fejtörő játékok, játékos fejtörők

c. könyvének 120–150. oldalán (Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár-Napoca, 1975).

Aki ki akarja találni a számot, szintén ilyen típusú négyjegyű számot kérdez, partneremegmondja, hogy hány számot talált el, és hogy közülük hány van a saját helyén. Legyenpéldául a gondolt szám 3472! Legyen az első kérdés 2785! A válasz 2/0, mert két számot,a 2-t és a 7-et eltalálta, de ebből egyik sincs a helyén. A következő tipp: 2475. Erre a válasz3/2, mert három számot eltalált, a 2-est, a 4-est és a 7-est, és ezek közül kettő, a 4-es és a7-es a helyén van. A cél: minél kevesebb találgatással kitalálni a gondolt számot.

b) „Nyolcból négyet” játékokról készültek az alábbi feljegy- 1. játék 2. játék

7652 2/0 2816 2/28721 2/0 5817 3/24237 2/2 5876 2/04587 0/0

zések. Próbáld meg kitalálni, hogy mi lehetett a gondoltszám a két esetben!1. játék: A feladott szám 1236.A (0/0) tippválasz azt jelenti, hogy a 4, 5, 7, 8 számok egyike semszerepel a feladott számban. Ezért a maradék négy szám (1, 2, 3, 6)mind jó. A 2 és a 3 jó helyen áll a 3. tippben. A második tipp szerint az 1 rossz helyen áll, ezért csak az elsőhelyre kerülhet, a 6-os csak az utolsó helyre kerülhet.

2. játék: A feladott szám 2517.

Az első és a 3. tippben az a közös, hogy mindkettőben két számjegy jó, és mindkettőben szerepel a 8 és a

6. A harmadik tipp eredménye miatt (2/0) sem a 8, sem a 6 nincs a helyén, emiatt az első tippben sincsenek

a helyükön. Az első tipp (2/2) eredménye miatt ezek a számok kiesnek, ezért az első tippben jó helyen álló

számjegyek az 1 és a 2. A harmadik tippből következtethetünk a két újabb jó számjegyre, ezek az 5 és a 7.

A második tippből kiderül, hogy a 7-es csak az utolsó helyen állhat. Az 5-ös így csak a második helyen állhat.

6. Egy kalifa kertjébe három lépcső vezet a palotából. Melyiken induljon el, és merre menjen, hogya kert minden útján csak egyszer menjen végig, és visszatérjen a palotába? (A kert a lépcsőkalján kezdődik. Ha egy lépcsőhöz ér, még visszafordulhat a kertbe.)A 2. lépcsőtől indul, az elsőhöz érkezik.

29



Tk.: 18. oldal

első lépcső második lépcső harmadik lépcső

(1)

(2)

(3)

(4)(5)(6)(7)

(8) (9)(10)

(11)(12)

A B

A probléma egyszerűbben is megfogalmazható: megrajzolható-e az utak alkotta ábra oly módon, hogy az íróeszközt

ne emeljük fel a papírról, és egy-egy vonalat csak egyszer rajzoljunk meg? Ezzel visszatértünk az 1. feladat egyik

gondolatköréhez. Milyen esetben rajzolható meg valamilyen ábra ilyen feltételekkel?

Minden metszésponthoz oda is kell húzni a vonalat és onnan el is kell vezetni. Ezt az ábrát is meg lehet rajzolni,

de nem lehet akárhol kezdeni. A és B pontnál 3-3 egyenes találkozik. Ezért ha a B-ből elindulunk, akkor egyszer

vissza kell jönnünk és még egyszer el kell mennünk. Viszont az A-ba egyszer mehetünk, és el is jöhetünk, de

másodszor odaérve, ott is kell maradnunk. Az első lépcsőn indulhatunk el, s ekkor a másodikra érkezünk meg,

vagy a másodikról indulunk, s akkor az elsőre érkezünk meg. Nem lenne megrajzolható az ábra, ha a vonalak

páratlan találkozási pontjainak száma 2-nél több lenne.

7. 1850-ben egy újság sakkrovatában a következő feladat je-

H

a b c d e f g h

a b c d e f g h

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8lent meg: „Állítsunk fel a sakktáblára 8 vezért úgy, hogyezek ne üssék egymást!” A feladat nagy érdeklődést keltett.Gauss, a világ egyik legnagyobb matematikusa (princepsmatematicorum – a matematikusok fejedelme – néven em-legeti az utókor) is megemlékezett róla egy levelében, ésmindjárt 72 megoldást is adott rá, de megjegyezte, hogymég több is lehetséges. A feladat megoldásához természe-tesen tudni kell, hogy a sakkjátékban a vezér a saját sorábanés az oszlopában álló bábukat ütheti ki, azonkívül a rézsútvele egy sorban állókat is. Például az ábrán álló vezér asaját mezőjén kívül a megjelölt 27 mezőre üthet. Ha a nyolcvezér feladvány túl nehéz, próbáljatok 4×4-es, 5×5-ös sakktáblán 4, illetve 5 vezért elhelyezniúgy, hogy ne üssék egymást!

(dr. Mosonyi Kálmán: Játékos matematika)

Nyilvánvaló, hogy minden sorban és minden oszlopban pontosan egy vezér állhat. Ezeket úgy kell elhelyezni, hogy

átlósan se üssék egymást. A feladat nem könnyű. A feladatnak 92 megoldását ismeri a szakirodalom.

Egy-egy példát mutatunk 4, 5, illetve 8 vezér elhelyezésére.

30


Tk.: 18. oldal


8. Euler svájci matematikustól egyszer megkérdezték: hogyan lehet egy lóvala sakkjátékból ismert lépésmóddal végigugrálni a sakktábla 64 mezőjét úgy,hogy minden mezőre pontosan egyszer lépjen a ló? Úgy látszik, Euler számáraúj volt akkor ez a feladat, bár Párizsban van egy XIV. századbeli kódex, amelyemlíti. Mindenesetre Eulert érdekelte a feladat, és kidolgozta a megoldást.Próbáld meg te is!

Tudnunk kell, hogy a sakkjátékban a ló úgy

L

1. ábraL

2. ábra

ugrik, hogy vagy kettőt vízszintes iránybanhalad, egyet függőlegesen; vagy megfordít-va, kettőt függőlegesen, egyet vízszintesen (Lalakban). Ha tehát a ló a középső mezőn áll,akkor 8 mezőre ugorhat (1. ábra). Ha a táb-la szélén áll, akkor kevesebb mezőre mehet.A tábla sarkából pedig csak 2 mező lehet akövetkező (2. ábra).

(dr. Mosonyi Kálmán: Játékos matematika)

Sok gyerek napokig töri a fejét ezen a szép feladványon és rettentően boldog, ha sikerül megoldania. Más

gyereknek is van haszna belőle, megtanulja a figurák lépési szabályait, és jó esetben kedvet kap a sakkozáshoz.

Két megoldás a sok közül:

a b c d e f g h

a b c d e f g h

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

3 58 5 46 31 56 43 18

6 47 2 57 44 19 30 55

59 4 45 8 53 32 17 42

48 7 60 1 20 41 54 29

61 22 9 52 33 28 39 16

10 49 64 21 40 13 36 27

23 62 51 12 25 34 15 38

50 11 24 63 14 37 26 35

a b c d e f g h

a b c d e f g h

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

18 9 28 3 24 11 30 5

27 2 17 10 29 4 23 12

16 19 8 25 14 21 6 31

1 26 15 20 7 32 13 22

54 45 64 39 52 47 58 33

63 38 53 46 57 40 51 48

44 55 36 61 42 49 34 59

37 62 43 56 35 60 41 50

A második megoldásban Euler a táblát középen egy egyenessel kettéosztotta, és előbb az egyik felét, aztán a

másikat ugrálta végig.

31


Algebrai kifejez�sek

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK

Algebrai kifejezések fajtái I.

1. óra: Algebrai kifejezések a nagyító alatt, behelyettesítés, összegés szorzat

2. óra: Egytagú és többtagú algebrai kifejezések, összevonás3–4. óra: Azonos átalakítások, egyenletek5–6. óra: A hatványozás azonosságai

Algebrai kifejezések fajtái II.

7. óra: Egész és törtkifejezések, oszthatóság8. óra: Szorzatból összeg, beszorzás

9–10. óra: Összegből szorzat, kiemelés

Szöveges feladatok

11. óra: Szöveges feladatok megoldása egyenlettel vagy anélkül12. óra: Mozgásos feladatok

13–14. óra: Munkavégzéssel kapcsolatos feladatok15. óra: Százalékszámítással kapcsolatos feladatok16. óra: Keveréses feladatok

Mire építünk?

A gyerekek már az alsó tagozattól kezdve ismerkednek az alapműveletek tulajdonságaival. A betűkhasználata is korán elkezdődött az alsóbb osztályokban. 7. osztályban megismerkedtek az algebraikifejezés fogalmával, tudnak behelyettesíteni, egynemű algebrai kifejezéseket összevonni. Ismerikaz azonosság fogalmát, ismernek és alkalmaznak egy sor azonosságot, amelyek az alapműveletektulajdonságairól szólnak, tudnak összeget kivonni, összeget egytagú kifejezéssel szorozni, összetettkifejezéseket egyszerűbb alakra hozni. Mérlegelvvel képesek egyszerű törtes, zárójeles egyenleteketis megoldani. Ismerik a pozitív egész kitevős hatvány fogalmát, konkrét példákban találkoztak ahatványozás azonosságaival is.

Meddig jutunk el?

Átismételjük, gyakoroljuk és elmélyítjük az algebrai kifejezésekről tanultakat, továbbfejlesztjükezeket az ismereteket.– „Nagyító alá vesszük” az algebrai kifejezéseket, megfigyeljük a felépítésüket, bevezetjük az

egytagú és a többtagú kifejezés fogalmát.– Szisztematikusan áttekintjük az algebrai kifejezések eddig megismert átalakítási lehetőségeit

(zárójelfelbontás, bővítés, egyszerűsítés, összevonás). Bonyolultabb egyenletek megoldásábanalkalmazzuk a tanultakat.

– Megtanítjuk és algebrailag is megfogalmazzuk a hatványozás azonosságait.– Területszámítással, téglalapok szétvágásával szemléltetjük a szorzatok összeggé alakítását, több-

tagú kifejezésnek többtagú kifejezéssel való szorzásának szabályát. Téglalapok összeépítésévelszemléltetjük az összeg szorzattá alakítását, a kiemelést.

32


Tk.: 20. oldal


– Kidolgozott példákon keresztül mutatjuk be a legalapvetőbb módszereket szöveges feladatokmegoldására. Ezen belül a legerősebb hangsúly azon van, hogyan fordíthatunk le egy problémát amatematika nyelvére. Néhány feladattípust külön is tárgyalunk, ilyenek a mozgásos, munkavég-zéssel kapcsolatos, százalékszámításos, illetve keveréses feladatok.

1. óra


Tk.: 20–22. oldalon 1–9. feladatokFgy.: 1–10.

Algebrai kifejezések nagyító alatt, helyettesítés, összeg és szorzat

Az óra célja: Ismétlés, melynek során a legegyszerűbb tudnivalókat is újra szemügyre vesszük,nehogy valami fogalomzavar akadályozza a későbbiek megértését. Ezért térünk ki részletesen a„láthatatlan szorzásjelek” kérdésére, a szorzat és összeg fogalmakra. A legfontosabb megértenivalóaz, hogy az algebrai kifejezésekben a betűk számokat takarnak.Egy másik nagyon fontos feladata ennek az anyagrésznek az, hogy a gyerekek képesek legyenekarra, hogy szövegek alapján algebrai kifejezéseket készítsenek, vagyis gyakoroltassuk a „fordításta matematika nyelvére”.

Feladatok

Az 1., 2. és 7., továbbá a feladatgyűjtemény 1., 2. és 3. feladatai egyszerű feladatok, segítsé-gükkel azt ellenőrizhetjük, hogy a gyerekek megértették-e az algebrai kifejezésekhez kapcsolódólegegyszerűbb fogalmakat, mint például: összeg, szorzat, behelyettesítés. . .A 3–6., illetve a fgy. 4–9. feladatai a matematika nyelvére történő fordítást gyakoroltatják.A tk. 3., illetve a fgy. 5–7. feladatai nagyon fontosak, ezekben a szöveggel megadott műveleteketkell algebrai formába öltöztetni. Sokat segíthetnek az összeg, szorzat fogalmak megértésében.Könnyen, gyorsan megoldhatók, közös megbeszélésre és otthoni munkára is alkalmasak. A többifeladatok a szöveges feladatok egyenletté való átírásának tanítását készítik elő. A szövegesfeladatokkal szemben, ahol két algebrai kifejezést kell felírni és egy egyenlőségjellel vagyegyenlőtlenségjellel összekötni őket, ezekben a feladatokban csak egyetlen képlet felírása a cél,ami természetesen sokkal egyszerűbb. Ha nincs időnk arra, hogy mindegyiket megoldassuk, akkorérdemes a későbbiekben – óra elején vagy végén – egy-egy rövid időre visszatérni rájuk.Jó osztályokban ne hagyjuk ki a fgy. 10. feladatát!

1. Írd le a műveletsorokat úgy, hogy tedd ki pirossal a láthatatlan szorzásjeleket!

a) 3 · (a + 2 · b) b) 4 · a + 8 · a · b c)3 · e

4 · f · gd) (a + 5 · x) · (x − a · y)

33



Tk.: 20–21. oldal

2. Számítsd ki a kifejezés helyettesítési értékét x megadott értékeinél!

a) 8 − 3x x = 2, x =4

32, 4

b)3x + 15

5 − xx = −4, x = 0,1

1

3,

15,3

4,9=

153

49

c) (x − 5) · (x + 6) x = −10, x = −106 60, 11 100

d) 2 ·(

3

8x + 4 · 3

16− 1

16

)+ x x = −24, x = 2,5 −325

8, 5,75

3. Írd fel az algebra nyelvén! A kapott kifejezésről döntsd el, hogy melyik összeg, melyik szorzat!a) a és b összegének a 3-szorosa. (a + b) · 3; szorzat

b) a háromszorosának és b-nek az összege. 3a + b; összeg

c) a és b szorzatának a hatszorosa. 6ab; szorzat

d) a és b összegének a2

5-öd része.

2

5(a + b); szorzat

e) a2

5-öd részének és b-nek a szorzata.

2

5ab; szorzat

f) a és b szorzatának a2

5-öd része.

2

5ab; szorzat

g) a és b különbségének az abszolút értéke. |a − b|; összeg abszolút értéke

h) b és a különbségének az abszolút értéke. |b − a|; összeg abszolút értéke

i) a és b összegének és különbségének a szorzata. (a + b) · (a − b); szorzat

j) a háromszorosának és b háromszorosának az összege. 3a + 3b; összeg

k) a háromszorosának és b kétszeresének a szorzata. 3a · 2b; szorzat

l) a kétszeresének és b háromszorosának a szorzata. 2a · 3b; szorzat

m) a és b összegének 40%-a. (a + b) · 0,4; szorzat

n) a2

5-részének és b 40%-ának összege. a · 2

5+ b · 0,4; összeg

4. Írd fel az algebra nyelvén! Európa lakosainak számát jelöljük e-vel, területét t-vel! A 2000-es adatok szerint Ázsiának megközelítőleg háromszor annyi lakosa és közel négyszer akkora

területe volt, mint Európának.a) Hány lakosa volt Ázsiának? 3e

b) Mennyivel több lakosa volt Ázsiának, mint Európá-nak? 2e

c) Hány lakosa volt Európának és Ázsiának összesen? 4e

d) Mennyivel kevesebb lakosa volt Európának, mintÁzsiának? 2e

e) Mekkora Ázsia területe? 4t

f) Mekkora Európa népsűrűsége?e

t

g) Mekkora Ázsia népsűrűsége?3e

4t

h) Melyik földrésznek nagyobb a népsűrűsége? Európának

i) Körülbelül hányszorosa Ázsia népsűrűsége Európáénak?3

4-szerese

34


Tk.: 21–22. oldal


5. Riska tehén c liter tejet ad naponta. A tej2

5részéből túrót csináltak, a többit eladták. Írj képletet,

amely megadja a következőket!

a) Hány liter tejet értékesítettek?3

5c

b) Hány forint bevételük volt, ha 1 liter tej ára b

forint?3

5c · b

c) Hány kg túrót csinált a gazda, ha 1 l tejből1

4kg

túró készült?2

5· c · 1

4=

1

10c

d) Hány forintot kapott a gazda a túróért, ha a túró

kilója d forintba került?1

10c · d

e) Hány forint bevételt hoz a gazdának Riska tehén naponta?3

5cb +

1

10c · d

6. Minden kérdésre egy képlettel válaszolj! Milyen értékeket vehetnek fel a képletben szereplőbetűk?a) Egyik zsebemben valahány dió van. A másikban ennek a kétszeresénél öttel több. Mennyi

dió van a két zsebemben együttvéve? Valahány = x x + 2 · x + 5 = 3x + 5, x pozitív egész szám

lehet.

b) Februárban háromszor annyi ötöst kaptam, mint januárban. Márciusban feleannyit, mintjanuárban és februárban összesen. Áprilisban háromszor annyit, mint márciusban. Hány ötöstkaptam az év első négy hónapjában? x jelenti januárban az ötösök számát. Ez összesen 12x (x pozitív

egész szám lehet).

c) A téglalap egyik oldala a, a másik oldala ennek a2

3része. Mennyi a téglalap kerülete?

Mennyi a téglalap területe? K =10

3a, T =

2

3a2, a tetszőleges pozitív szám lehet.

d) A háromszög egyik szöge 5◦-kal több a másik szög felénél. Mekkorák a háromszög szögei?Nevezzük a hászömszög szöveg szerinti „második szögét” α-nak.

Ekkor az „egyik” szög:α

2+ 5◦, a harmadik szög pedig 180◦ − (α +

α

2+ 5◦) = 175◦ − 3

2α. α bármilyen pozitív

szám lehet.

e) Egy kétjegyű szám első jegye 6, a második x. Mennyi a kétjegyű szám értéke? 6 · 10 + x =

= 60 + x, x minimum 1 és maximum 9 egész szám lehet.

f) Egy kétjegyű szám első jegye a, a második ennél 2-vel kevesebb. Mennyi a szám értéke?10a + (a − 2) = 11a − 2, a minimum 1 és maximum 9 egész szám lehet.

g) Kati x éves most. Anyukája 31 éves volt, amikor Kati született. Hány éves lesz Katianyukája, amikor Kati a 18 éves születésnapját ünnepli? Hány éves lesz Kati anyukájának

a 60 éves szülinapján? Hányszor annyi idős Kati anyukája most, mint Kati? 49, 29,31 + x

x,

x pozitív egész szám lehet.

7. Melyik összeg, melyik szorzat?

2a + 3b összeg 6nv szorzat (x − 1)(x + 2) szorzat a + b2 összeg

12

5ab szorzat f 4 szorzat (a + b)2 szorzat x(2 − y) − x összeg

6a + b(c + 2) összeg a(a − b)(a + b) szorzat efg − 2e − f összeg 5ab + 7ab összeg

35



Tk.: 22. oldal

8. Színezd a számegyenest!

Válassz egy számot! Helyettesítsd be a 2x − 7 + 3x kifejezésbe! Legyen a szám helye aszámegyenesen

piros, ha a helyettesítési érték pozitív!

kék, ha a helyettesítési érték negatív!

fekete, ha a helyettesítési érték 0!

A számegyenesen néhány pontot bejelöltünk, néhányat ki is színeztünk! Színezd a többipontot is!

−10 −5 0 2 5 10

piroskék7

5fekete

Milyen színű az x = 1223,5, piros x = −1,002, kék x =8

5, piros x = −10 000? kék

9. Színezz ki egy-egy számegyenest az alábbi kifejezésekhez! Aszerint színezda pontokat pirosra, kékre vagy feketére, hogy a hozzájuk tartozó helyettesítésiérték pozitív, negatív vagy 0! Annál a számnál, amelyre a kifejezésnek nincsértelme, lyukaszd ki a számegyenest (rajzolj egy üres karikát)!

a) 2x − 11,3 + 7x + 1,3 b) (x − 2)(x + 10) c) 3(x − 2) d)2

x

e)5

x + 1f) 3x − 3000 g)

x − 2

x + 10h)

−2

x + 1i) (500 − x)(500 + x)

a)

10

9

fekete piroskék

−1 0 1 2

b) feketefekete pirospiros kék

−10 0 2

c)fekete piroskék

0 2

d)piroskék

0

e)piroskék

−1

f)piroskék

0 1000

fekete

g)pirospiros kék

0 2

fekete

h)piros kék

−1

i) piros kékkék

500−500

36


Tk.: 24. oldal


2. óra

Egytagú és többtagú algebrai kifejezések, összevonás


Az egytagú kifejezések felismerése nem nehéz, tulajdonképpen könnyen tanítható, mégis, amikorhasználni kell ezt az ismeretet, nagyon nagy a hibalehetőség. Középiskolások is gyakran bizony-talankodnak ezen a területen. Éppen ezért úgy érezzük, nem szabad ennek az anyagnak a tanításátelsietni, és a gyors sikerekkel megelégedni.A tartósabb és alaposabb megértést szolgálja az atomokkal, molekulákkal vont párhuzam atankönyvben. A kémiai példákkal szemléletessé tehetjük a változókat tartalmazó rész és azegyüttható közötti különbséget. A változókat tartalmazó rész határozza meg a kifejezés fajtáját,típusát, az együttható pedig csak a mennyiségről szól. A képek segíthetnek a gyerekek képzeletétis bevonni a tanulásba.

Feladatok

Az 1., 2. és 4. (fgy. 11. és 15.) alapvető gyakorló feladatok. Végezzük el őket!A 3., 5. és 6. (fgy. 12., 13.) feladatok kicsit több gondolkodást kívánnak, de nem nehezek.Az egynemű kifejezés definícióját „fordított irányban” kell alkalmazni, nem pusztán felismerni,de megépíteni kell őket. Az ilyen fordított feladatok sokat segíthetnek a mélyebb és tartósabbmegértésben.

10. Írd le az alábbi kifejezések mindegyikének együtthatóját! Válaszd ki az egynemű kifejezéseket!

a) 2a 2 b)a2

31

3c) −a −1 d)

ab

21

2

e) ab 1 f) a2 · 3 3 g) 5a2 5 h)2a

52

5egyneműek: a)–c)–h); b)–f)–g); d)–e)

11. Írd le az alábbi kifejezések mindegyikének együtthatóját! Válaszd ki az egynemű kifejezéseket!

a) −2,5xy −2,5 b)−10xy

4−10

4c) x2y · 3

43

4d) 3x · 4y 12

e)yx2

21

2f)

5x · 2y

310

3g) 2x · 3xy 6 h) −x2y2 −1

Egyneműek: a)–b)–d)–f); c)–e)–g)

12. Építsünk egynemű kifejezéseket!Minden feladatban egynemű kifejezéseket adtunk meg többféle alakban. A kifejezések egyrészét letakartuk egy színes folttal. Mi állhat a folt alatt?

a) 3x2y2, 5xy xy , 2x 2 · y2, y · x2y

b) −10xy, 5x y , x · y · 3,7,x · y

5

37



Tk.: 24–25. oldal

c) 5x2 · y 3 ,1

2x2y2 y, 3x2y3, −1

5x xy3

Amikor nem a kitevő hiányzik, akkor szorzótényezőnek tetszőleges számot írhatunk. Mi csak a hiányzó ismeret-

leneket adtuk meg.

13. Végezd el a lehetséges összevonásokat! Mindegyik esetben állapítsd meg, hány tagú volt azeredeti kifejezés és hány tagú lett az összevonás után!a) 5x + 3 − 2x − 5 = 3x − 2 4 → 2

b) 2a − b + 1 − 11a + 3 = −9a − b + 4 5 → 3

c) 2x2 + 3x − 5x + x2 = 3x2 − 2x 4 → 2

d) −9a + 7bc − 18b − 21a − 9bc + 3b = −30a − 15b − 2bc 6 → 3

e)1

2x2 +

5

3y2 − 9

2x2 − 2

3y2 +

y2

3+ 3 = −4x2 +

4

3y2 + 3 6 → 3

f) k − k2 − 1

2k2 − 4k = 3k − 3

2k2 4 → 2

g) ab + 2ab2 + 3ba = 4ab + 2ab2 3 → 2

h) 2,5x − x2 − 3

2x + x2 − x + 3 = 3 6 → 1

i) 5ab2 − 7ab2 + 10ab2 = 8ab2 3 → 1

j) 7abc + 4ab − 9abc − 11ab +3ab

2− 23

2ab = −2abc − 17ab 6 → 2

k) k2l2 − k2 + l2 − k · l2 − k · l2 · k = −k2 + l2 − k2l2 5 → 3

l) bc − b2 + 3bc − 2b2 − 5bc = −bc − 3b2 5 → 2

14. Pótold a hiányzó tagot!

a) 5x + −7x = −2x b) 3ab − −2ab = 5ab c) 5y + −2y − 2z = 3y − 2z

d) 6b − 5

2b +

1

2b = 4b e) 2a2b + 6a2b = 8a2b f) −5x3 + y2 + −y2 = −5x3

15. TOTÓA és B kifejezésekben egy-egy részletet letakartunk, ezért nem mindig lehet biztosan eldönteni,hogy a két kifejezés egynemű-e vagy sem.Írj a totóba 1-est, ha abban a sorban A és B biztosan egyneműek.2-est, ha abban a sorban A és B biztosan nem egyneműek.x-et, ha abban a sorban A és B lehet, hogy egynemű, de nem biztos.

A B Tipp

1. 2ab −b

3· a 1

2. a 5a3 x

3. abc −2a2b2c2 2

4. 3x2y2 xy · x

5. ab · bc · x

A B Tipp

1. 2ab −b

3· a 1

2. a 5a3 x

3. abc −2a2b2c2 2

4. 3x2y2 xy · x

5. ab · bc · x

38


Tk.: 25. oldal


A B Tipp

6. 2x2 x · y 2

7. 6c2d3 2,5c d 2

8. 3y3 y · · 2 x

9. a2b2 ab x

10.xy ·

2z · · 3 x

11.y

2· x

32

12. 5a · 10a2 x

13. 5b 7b2 · 2

13 + 1. aba2 b · x

A B Tipp

6. 2x2 x · y 2

7. 6c2d3 2,5c d 2

8. 3y3 y · · 2 x

9. a2b2 ab x

10.xy ·

2z · · 3 x

11.y

2· x

32

12. 5a · 10a2 x

13. 5b 7b2 · 2

13 + 1. aba2 b · x

3–4. óra

Azonos átalakítások, egyenletek


Az azonosság fogalma jól ismert mostanra már, a fontossága miatt ismételjük ilyen részletesen át.A régi szlogen előszedése – minden számnak sok neve van – azt hivatott szolgálni, hogy lássák agyerekek, hogy az azonos kifejezések különböző alakjait szabadon kicserélhetjük egymásra.Összeg, különbség kivonása elvben nem igazán okozhat már gondot, miután ötödik osztálytólkezdve újra és újra megfogalmaztuk. Gyakorlatban azonban a zárójelfelbontás mínusz jel utánegy nagyon gyakori hibaforrás, nem árt újra tudatosítanunk.Törtvonalas kifejezések átalakítása címszó alatt ismét csupa ismert átalakítást vettünk nagyító alá.Olyan átalakításokat, melyek ismeretét kimondatlanul szoktuk elvárni tanítványainktól, amelyeketnem igazán szoktunk megfogalmazni, természetesnek vesszük, hogy tudják őket. Azt reméljük,hogy ezeknek a szabályoknak a tudatosítása segít a megértésben és a sikeres alkalmazásban.A megismert átalakítások gyakorlását összekötjük összetettebb egyenletek megoldásával.Eszközök: a 2. és a 3. feladatban szereplő kifejezések írólapra vagy keményebb, de hasonló méretűlapra felírva, gyurmaragasztó.

39



Tk.: 28–29. oldal

Feladatok

A 4–7. feladatok a frissen átismételt azonosságokat gyakoroltatják. A 7. a legnehezebb, gyengegyerekeknél ne erőltessük! Oldjuk végig őket!Az 1–3. feladatok szintén könnyűek, de igényelnek egy kis gondolkodást, elsősorban a megértést,szemléletfejlesztést szolgálják. Ilyenek a feladatgyűjtemény 20. és 21. feladatai.A 8–12. egyre nehezedő egyenletek. Középiskolai felvételire készülő gyerekeinkkel érdemesmindegyiket feldolgoztatni.

1. Melyik azonos az elsővel?

a)14xy

5

2

5· 7xy 3xy · x 12xy + 10xy 7 · x

5· 2y

b)3x + 2

11

3x

11+ 2 3x +

2

11

3x

11+

2

11

x + 3 + 2

11

3

11(x + 2)

3

11x + 2

c) x − x + 2

2x − x

2+

2

2x − x

2− 1

x

2− 1

x

2+ 1

d)a

3+

b

5

a + b

15

3a

15+

5b

15

5a

15+

3b

155a +

3b

15

5a + 3b

15

2. Válaszd ki az azonosakat!

1

2· ab 13a · 2b

26

1

22· 4ab 2a · 11

44

2a

6· 3b 22a · b

11

5

7· 14a · b

10

ab

2

a

6· 3b

6ab

3

4b

2· a

2b

44· 4a 26ab · 1

13

3. Válaszd ki az azonosakat!

5xy

3

5x + 5y

35 · x

3· y

1

3xy · 5

5x + y

3

5 · (x + y)

3

30xy − 15xy

9

x + 5y

310y · x

6

5

3x +

y

3

A 2. és a 3. példák a törtvonalas kifejezések sokféle lehetséges alakjáról szólnak. Ezeket érdemesközösen feldolgozni, az egyes kifejezéseket írólapra felírni és a táblára kiragasztani. Az a gyerek,aki talál azonos párt, kimehet, és egymás mellé mozgathatja őket. Ha „be is tudja bizonyítani”,hogy a talált kifejezések valóban azonosak, kaphat egy pontot. Lehet versenyezni, ki tud többpontot összegyűjteni.

40


Tk.: 29. oldal


4. Írj a kifejezéssel azonosat zárójelek nélkül, és végezd el az összevonásokat!a) a + (2a − b) = a + 2a − b = 3a − b b) a − (2a − b) = a − 2a + b = −a + b

c) (a + 3) · 2 = a · 2 + 3 · 2 = 2a + 6 d) 8a2 −(2a2 + 3a

)= 8a2 − 2a2 − 3a = 6a2 − 3a

e) e · f − (e · f − 3) = ef − ef + 3 = 3 f)2g

3− (g + 1) =

2g

3− g − 1 = −1

3g − 1

g) 5a + b − (3a + 2a + b) = 5a + b − 3a − 2a − b = 0

h) a · b

2−

(a +

1

2· ab

)= a · b

2− a − 1

2a · b = −a

i) (2x + y) − (2x − y) = 2x + y − 2x + y = 2y

5. Mi van a színes folt alatt?

a) 2x − x + 17x = 18x b)2x

3− −2x

3+

4x

3=

8x

3c)

2x + 1

2− 1

2= x

6. Végezd el az összevonásokat!

a)2x

3− x

3+

4x

3=

5x

3b)

3a

5− a

5+

3

5=

2a + 3

5c)

2x + 1

2− 3x

2=

−x + 1

2

d)2x + 1

5+

4 + 3x

5= x + 1 e)

2x

5+

x

10=

x

2f)

5a

2− 3a

4+ 1 =

7a + 4

4

g)2x

3+

5x + 1

6=

9x + 1

6h) 0,3a − 1

5a + 0,25a = 0,35a

7. Végezd el az összevonásokat!

a) x − x + 1

3=

2x − 1

3b)

2x + 1

3− (x − 1) =

−x + 4

3

c) x − 4x + 6

2=

−2x − 6

2= −x − 3 d)

2x + 3

4− 5 − 3x

4=

5x − 2

4

e)3x

2− x − 3

2=

2x + 3

2f)

x

3− 2x + 7

3=

−x − 7

3

8. Írd fel a bevonalkázott síkidom területét többféleképpen is!a) b) c) d)

x

x

x

x x x x

x

x

x

x x x

x

x x

2x

x

x

3x · 3x − x2 = 8x2 x · x + x · 2x + x · 3x =3x · 4x

2= 6x2 2x · 2x +

2x · x

2= 5x2 1

2· x · x

2· 4 = x2

9. Oldd meg az egyenleteket!

a) 2x − x + 8 = 18 x = 10 b) 2x − x − 8 = 18 x = 26

c) 2x − (x + 8) = 18 x = 26 d) 2x − (x − 8) = 18 x = 10

e) 3 − (8 − 2x) = −13 x = −4 f) 13x − (8x + 1) + (2x − 19) = 22 x = 6

g) 2x − (x − 3) = 5x + 7 x = −1 h) 3x − (6x + 2) − (2x + 1) = x + 1 x = −2

5

41



Tk.: 29–30. oldal


a) 0,1x − (5 − 2,32x) = 6,42x − 9 x = 1 b) 3,8x − (2 − 1,2x + 5x) = −2 x = −5

c) 3 − (0,25x + 0,5) = 1 − 0,1x x = 10 d) 0,12x − (3 − 0,08x) = −0,3x + 6 x = 18

e) 0,02x − (3,44x − 6,42x) = 3x x = 1 f) 10,5x − (2,1 + 0,5x) = 4,9 x =9

10


a)x

2= 3 + x x = −6 b)

7x

6= 25 − 3x x = 6 c)

x

2+ 1 = x − 4 x = 10

d)x

2+

2x

3= 35 x = 30 e)

x + 1

3+

2x

9=

4x

9+

2

3x = 3 f)

2x

5+

3x

10=

x

2+ 5 x = 25

g) 30 − 3x = 33 − 12 · (x + 1)

4x bármilyen szám lehet

h) 2 · (3x + 8) = 2x + 4 · (x + 4) x bármilyen szám lehet

i) 2 · (x − 3) = 3x −(x +

21

7

)− 3 x bármilyen szám lehet


a)5 − 2x

3− (1 − 3x) = −3 x = −11

7b)

3x − 5

4− (x − 2) = 2 x = −5

c)3x + 2 − 5x

−2− (1 + 2x) = −1 x = −1 d)

5 − 7x − x

5− (2 − x) = x x = −5

8

e)5x + 3

7− (3 − x) = 4 x =

23

6f)

10x + 2x + 1

7− (x − 1) = 0 x = −8

5

g)5

3x =

24

9x − 4x +

15

5x x = 0

h)2

7x − 3 = x −

(5

7x +

18

6

)x bármilyen szám lehet

i) (x − 11) · 3 − 6 · (x − 11)

2+ 5 =

15

3x bármilyen szám lehet

13. Oldd meg az egyenleteket, ha az alaphalmaz az egész számok halmaza!

a) 2 − x − 1

2= 2x x = 1 b) 2 +

x − 1

2= 2x x = 1 c) 3 − x + 2

2= 5 − x x = 6

d) 3 +x + 2

2= 5 − x x =

2

3e) 2x − 3 − x

4=

15

4x = 2 f) 2x +

3 − x

4=

15

4x =

12

7

g) 3x − 1 − 1 − x

5= 0 x =

3

8h)

5x

4− 3 − 3x

4=

1

2x =

5

8i)

x + 1

2− x − 1

6= 2 x = 4

14. Oldd meg az egyenleteket, ha az alaphalmaz a természetes számok halmaza!

a)4x − 2

7+ 18 = 5x x = 4 b)

4x + 2

7− 18 = 5x x = −4 c)

4x − 2

7− 18 = 5x x ≈ 4,13

42


Tk.: 30. oldal


15. Adj meg alaphalmazt úgy, hogy az5x + 3

4− 2

7x = x + 1 egyenletnek

a) ne legyen megoldása, b) legyen megoldása!a) Az alaphalmaz a természetes számok halmaza.

b) Az alaphalmaz az egész számok halmaza.

16. A következő sorozatok mindegyikében két szomszédos elem különbsége ugyanannyi, vagyismindegyik számtani sorozat. Folytasd a sorozatokat!Mi lehet a 6. elem? Mi lehet a 15. elem? Mennyi a sorozat különbsége?

a) x + 2 2x + 4 3x + 6 4x + 8 . . . 6. elem: 6x + 12, 15. elem: 15x + 30, különbség: x + 2

b) x − 100 2x − 99 3x − 98 4x − 97 . . . 6. elem: 6x− 95, 15. elem: 15x− 86, különbség: x+1

5. óra

A hatványozás azonosságai


Már az előző évben a hatványozás fogalmának bevezetésekor sok olyan feladattal találkoztaka gyerekek, amelyekben felfedezhették a hatványozás műveleti tulajdonságait. Itt ezeket azészrevételeket általánosítjuk, vagyis algebrai formába öntjük őket.Az egyes szabályok kimondásánál nagyjából ugyanazt az utat követjük:– konkrét feladat a megfelelő azonosság alkalmazására,– az azonosság igazolása tetszőleges alapra, de konkrét kitevőre,– a szabály kimondása tetszőleges alapra és tetszőleges kitevőre.Ez a gondolatmenet szép példa az „általánosítható példa (generic example)” alapján történőbizonyításra. Ez a bizonyítástípus azt jelenti, hogy a feladat állítását egy konkrét esetre igazoljuk,de a bizonyításban nem használjuk ki a konkrét adatok egyetlen tulajdonságát sem. Tehát, hogy agondolatmenet tetszőleges konkrét értékek esetén ugyanúgy megismételhető.Sem a szabályok, sem a bizonyításukhoz szükséges gondolatmenetek nem nehezek, mégis – mintaz algebrában több más területen is – az alkalmazásnál nagyon sokat hibáznak a gyerekek.A nehézség egyik forrása, hogy a tanulók megértés helyett a szabályok mechanikus alkalmazásávalpróbálnak boldogulni. Amíg kevés szabály van, addig ez a stratégia többé-kevésbé még működikis, de összetettebb feladatokkal csak akkor boldogulnak, ha a szabályok mögött szemlélet áll,vagyis a diákjaink a hatvány alakban (egész kitevős esetben) mindig ott látják a szorzat alakot is.Ahogyan már a prímfelbontás esetében is hasznos volt, hogy a számokat nem csak felbontották,de meg is építették, itt is segít a szemléletfejlesztésben, ha építkezünk. Erre szolgálnak a 4.és 5. feladatok, ahol betűkártyákból, szorzójeles kártyákból és kitevőkártyákból kell különbözőfeltételeknek megfelelően hatványkitevős kifejezéseket építeni. A hagyományos gyakorlófeladatokmegoldásához elegendő az anyag „passzív megértése”, ezek a feladatok „aktivizálják” a hatványo-zásról szerzett ismereteiket.A nehézség másik forrása ebben az anyagrészben nyelvi természetű. Nem könnyűek a meg-fogalmazások, és könnyű összekeverni a bennük szereplő szavakat. Éppen ezen a nehézségen

43



Tk.: 33–34. oldal

próbálnak a „szörnyikék” segíteni. A céljuk az, hogy segítségükkel felhívjuk a gyerekek figyelmétaz „azonos alap” és az „azonos kitevő” fogalmakra, és hogy hangsúlyozzuk ezeknek a szavaknaka fontosságát. Érdemes a kapott képletek és a tréfás ábrák közötti analógiát végig elemeztetni atanítványainkkal.Eszközök: számkártyák, szorzójeles kártyák, betűkártyák „a” és „b” betűkkel.

Feladatok

1. Írd fel hatvány alakban!

a) 5 · 5 · 5 · 5 = 54 b)1

4· 1

4· 1

4· 1

4· 1

4=

(1

4

)5

c) 3 · 3 · 2 · 2 = 32 · 22 = 62 d) 5 · 2 · 5 · 5 · 5 · 2 · 2 · 2 = 54 · 24 = 104

e)3

2· 9

4=

33

23=

(3

2

)3

f) 10 · 10 · 10 · 10 = 104

g) (−4) · (−4) · (−4) = (−4)3 h) a · a · a · a · a · a = a6

i) aaabbb = a3 · b3 = (a · b)3 j) 3xx · 3 = 32 · x2 = (3x)2

k) 2 · 2a · 2 · 2aaa = 24 · a4 = (2a)4 l) (x − 1)(x − 1)(x − 1) = (x − 1)3

2. Írd fel hatvány nélkül! Vannak-e közöttük egyenlők?

a) x3 = x · x · x b)

(1

5

)3

=1

5· 1

5· 1

5c)

(3

2

)4

=3

2· 3

2· 3

2· 3

2

d)(x

5

)2=

x

5· x

5e)

15a3

3=

15a · a · a

3f)

(15a

3

)3

=15a

3· 15a

3· 15a

3

g) (5a)3 = 5a · 5a · 5a h) (2y)2 = 2y · 2y i)1

53=

1

5 · 5 · 5

j)13

53=

1 · 1 · 1

5 · 5 · 5k)

(15a)3

3=

15a · 15a · 15a

3l)

(ab)2

2=

ab · ab

2

m) (−2)2 = (−2) · (−2) n)∣∣∣−25

∣∣∣ = |2 · 2 · 2 · 2 · 2|o) (−2)5 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) p) (−a)4 = (−a) · (−a) · (−a) · (−a)

q) a4 = a · a · a · a r) −22 = −2 · 2f) = g), b) = i) = j), p) = q)

3. a8 = a · a · a · a · a · a · a · a

Helyezz el zárójelpárokat a műveletsorban! A zárójelben levő szorzatokat írd hatvány alakba!Például így: a8 = (a · a) · (a · a · a · a · a) · a = a2 · a5 · a1

Keress minél többféle megoldást!Például: a8 = (a · a · a) · (a · a · a · a) · a = a3 · a4 · a = (a · a) · (a · a · a) · (a · a) · a = a2 · a3 · a2 · a

4. Ilyen kártyáink vannak, mindegyikből több.

a – ez az alap, ez egy 0-tól különböző szám.

3 , 4 , 5 , 7 – ezek kitevőkártyák, ezeket csak kitevőként használhatod.

· – szorzójelkártya.

44


Tk.: 34. oldal


Rakd ki az a12 -t ezekből a kártyákból úgy, hogy

a) csak az a és · kártyákat használhatod, a · a · a · a · a · a · a · a · a · a · a · a = a12

b) csak az a , 3 és · kártyákat használhatod, a3 · a3 · a3 · a3 = a · a · a · a3 · a3 · a · a · a = . . .

c) csak az a , 4 és · kártyákat használhatod, a4 · a4 · a4 = a · a · a4 · a · a4 · a = . . .

d) pontosan egyszer használhatod a · kártyát! a5 · a7

5. Rakd ki az a7 -t! Megadjuk, milyen kártyákat használhatsz. Mindegyikből több van, de legalábbegyet mindegyik fajtából fel kell használnod!

a) a · a · a · a · a · a · a · a b) a 2 · a2 · a2 · a2 · a; a2 · a · a · a · a2

c) a 3 · a3 · a3 · a; a · a · a3 · a · a d) a 2 3 · a2 · a2 · a3; a · a2 · a · a3

e) a 2 5 · a2 · a5

6. Egymással azonos kifejezéseket gyűjtöttünk, de van közöttük egy kakukktojás. Keresd meg!

a)(a2

)3, a3a3,

(a3

)2, a6, 2a3, aaaaaa

b) b3b2 + b3b2, 2b5, b5 · b5 , b3 ·(b2 + b2

), b3 · 2b2

c) 25c2, (5c)2, 5c · 5c, 52c2, 5c + 5c,52c4

c2,

(5c)4

25c2

Ezek a kifejezések csak c�0 esetén azonosak.


a) 63 · 6 = 64 32 · 37 = 39 9 · 35 = 37 a3a5 = a8 xx8 = x9 p3p2 = p5 z4z3 · z = z8 c100c5 = c105

b) 37 : 32 = 35 63

6= 62 a5 : a3 = a2 x8 : x = x7 p3 : p2 = p

p5

p= p4 c100

c5= c95

c) 23 · 53 = 103 46

26= 26 a3b3 = (a · b)3 16b4 = (2b)4 x6y6 = (xy)6 p5

q5=

(p

q

)5 m2

n2=

(m

n

)2

8. Rakj kártyákat az üres helyekre úgy, hogy igaz legyen! Ezekből a kártyákból válogathatsz:

a , b , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 .

a7 = a1 · a

6= a2 · a5 = a3 · a4 = . . .

a3 = a4

: a1

= a5 : a2 = a6 : a3 = a7 : a4

(ab)5 = a5 · b

5

(ab)5 = a2 · a

3 · b5

= b1 · a5 · b4 = b2 · b3 · a5 . . .

9. a , · , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 kártyákból építsd meg az a3 · a5 -t

a) a lehető legkevesebb kártya felhasználásával, a8

b) a lehető legtöbb kártya felhasználásával, a · a · a · a · a · a · a · a

c) pontosan 4 db kártyával, a · a7

d) pontosan 5 db kártyával! a2 · a6

45



Tk.: 35. oldal

10. Készíts szorzáscsaládokat! Három vagy több szám szorzáscsaládot alkot, haközülük valamelyik a többinek a szorzata. Például 32, 37, 34 és 3 szorzáscsa-ládot alkotnak, mert 3 · 32 · 34 = 37.a) Ezekből az azonos alapú hatványokból válogathatsz: 54, 52, 53, 56, 5,

57, 59. Pl.: 54 · 53 = 57, 52 · 57 = 59, 5 · 52 · 53 = 56, 56 · 53 = 59

b) Ezekből az azonos kitevőjű hatványokból válogathatsz:

25, 85, 55, 65, 35,

(1

2

)5

, 105,

(1

10

)5

, 45,

(1

5

)5

.

Például:

(1

2

)5

,

(1

5

) 15

=

(1

10

)5

,

(1

2

)5

· 105 = 55, 25 · 55 = 105, 25 · 35 = 65, 25 · 45 = 85,

55 · 65 = 35 · 105, . . .

c) Ezekből a hatványokból válogathatsz: 23, 93, 42, 52, 53, 102, 22, 34, 32, 65,33, 63, 187, 153, 25, 272, 105.23 ·52 ·53 ·22 = 105, 42 ·52 = 102 ·22, 22 ·25 ·93 ·272 ·32 = 187, 272 = 93, 53 ·23 ·93 = 153 · 63, . . .

Ezt a feladatot órán is kitűzhetjük. Lehet versenyt is csinálni belőle. Írjuk rá kártyákra ahatványokat! Aki talál egy családot, az kirakja a megfelelő kártyákból az egyenlőséget. Minden„család” egy bónuszpont!Jól lehet csapatban játszani, több szem többet lát alapon.

6. óra

Szorzat és hányados hatványozása


A szorzat és a hányados hatványozásáról szóló azonosságok valójában az azonos kitevőjű hat-ványok szorzásáról, illetve osztásáról szóló azonosságok fordítottjai. Nem jelentenek új anyagot,csak a korábbi anyag alaposabb megértését.A hatvány hatványozásáról szóló azonosság nehezebb, célszerű a hangsúlyt a megértésre, aszorzattá átírásra, kirakosgatásra helyezni.A 3. példa kapcsán beszélhetünk arról, hogy a hatványozás a szorzáshoz és az osztáshoz „állközel”, azzal lehet jól átalakítgatni, az összeadással, kivonással azonban „nincsen jóban”, az ilyenhelyzetekben nagyon óvatosnak kell lenni az átalakításokkal.Jó osztályokban, elegendő óraszám esetén elvégezhetjük a kitekintés anyagát, ami jó alap lehettanítványainknak a középiskolai tanulmányaikhoz. Itt a negatív kitevős hatványokat a pozitívkitevős hatványok általánosításaként, ismételt osztásként vezetjük be. Ez az anyagrész szépenkiteljesíti mindazt, amit a korábbi években a szorzás és osztás analógiájáról megértettek atanítványaink.

46


Tk.: 37–38. oldal


Feladatok

Az 1., 3., 4. feladatok egyszerűek, órai gyakoroltatásra, illetve házi feladatnak egyaránt alkalmasak.A 2. feladat az előző rész megfelelő feladataihoz hasonlóan szemléletfejlesztő feladat, közös óraimunkára való.Az 5–7. feladatok gyengébb osztályokban, alacsony óraszám mellett elhagyhatóak. Az 5. feladategy picit nehezebb, fordított irányú gondolkodást kíván, de megéri a fáradságot, mivel alaposabbmegértéshez vezet. A 7. feladat az azonosságok gyakoroltatása mellett a számelméleti ismereteiketis feleleveníti.

1. Írd le csupa szorzással, majd írd le zárójel nélkül hatvány alakban!

Pl.:(a4

)2= a4 · a4 = (a · a · a · a) · (a · a · a · a) = a8

a)(253

)4= 253 · 253 · 253 · 253 = 2512 b)

(42

)2= 42 · 42 = 4 · 4 · 4 · 4 = 44

c)(x2

)3= x2 · x2 · x2 = x · x · x · x · x · x = x6 d)

(y3

)5= y3 · y3 · y3 · y3 · y3 = y15

e)(z4

)3= z4 · z4 · z4 = z12 f)

(2x2

)5= 25 · x10

2. Ezek a kártyáink vannak, mindegyikből több. a , 2 , 3 , 4 , 5 , · , ( , )

Rakd ki az(a3

)4-t a következő feltételek esetén!

a) Csak ilyen kártyákat használhatsz: a , · a · a · a · a · a · a · a · a · a · a · a · ab) Csak ezeket a kártyákat használhatod: a , 3 , · a3 · a3 · a3 · a3

c) Csak ezeket használhatod: a , 4 , · Például: a4 · a4 · a4

d) Csak ezeket használhatod, de a pirosból csak egyet: a , 5 , 2 , ·Például:

(a5

)2 · a2 = a5 · a2 · a2 · a2 · a

e) Csak ezeket használhatod, de a pirosból csak egyet: a , 2 , 3

Például:[(

a3)2

]2

=(a2 · a2

)3= a3 ·

[(a2

)2]2

· a

3. Írj a kifejezéssel azonosat, zárójelek nélkül!a) (5a · 2b)7 = 57 · a7 · 27 · b7 = 107 · a7 · b7 b) 7 · 102 = 700 c) (5 · 3)3 · 23 = 103 · 33

d) (ab)4 = a4 · b4 e) (xyz)3 = x3 · y3 · z3 f)

(2x · 5

2y

)6

= 56 · x6 · y6

g)

(10

2

)4

= 54 h) (p · 3q)4 = 34 · p4 · q4 i)

(2

a

)5

=25

a5j)

(1

pq

)3

=1

p3 · q3

4. Írj a kifejezéssel azonosat, zárójelek nélkül!a) a(a2)3 = a7 b) (32)5 : 32 = 38 c) (5 · 2)3 : 22 = 53 · 2 d) (x2 · y)3 = x6 · y3

e) (x5)2 : x3 = x7 f) x2 · (y3)5 : y10 : x = x · y5 g)

(x5

y

)2

=x10

y2h)

(32 · 1

15

)3

=33

53

i) (x3)4 · (x2)2 = x16 j) x · (x2 · y)3 = x7 · y3 k) 75 : (72)3 =1

7l) (a3)7 : (2a)10 =

a11

210

47



Tk.: 38. oldal

5. Az alábbi kifejezésekben egyes részleteket színes folttal letakartunk. Pótold a hiányzó részlete-ket úgy, hogy egy-egy feladatban egymással azonos kifejezések álljanak!

a) x6y4 x2y x4y3(x3y

)2y2

(xy2

)2x4 (xy)3x x2y (xy) 4

x2(

x3yy)2

b)(2a4

)38a4a

8 8a6(a3

)2

a9 (2a) 3 2a2

a10 · 4 8(a3

) 4

aa2a3(2a2)3

6. A kifejezések mindegyike azonos egymással, kivéve egyet. Keresd meg a kakukktojást!(2x2y3

)2

x24x2 · y6

(2xy3

)2 (2xy2

)3: 2x 2x2y6 + 2x2y6 2x2y6 · 2x2y6

7. A betűk pozitív egész számokat jelentenek.Csoportosítsd a kifejezéseket aszerint, hogy az adott kifejezés biztosan négyzetszám-e; lehethogy négyzetszám, de nem biztosan az; lehetetlen, hogy négyzetszám legyen.

33 · 6 · a4 · 23 biztos b3 · 33 · 23 lehet c5 lehet 2a2 lehetetlen 3e3 lehet 3a4 lehetetlen

2a2b lehet 12a2b5 lehet k3 · 52 · k5 · 24 biztos c3 ·(3b2c

)3 · 3 biztos

7. óra

Algebrai kifejezések fajtái II.

Egész és törtkifejezések, oszthatóság

Minden kifejezésnek sok neve van


A kiemelés az általános iskolai algebraanyag legnehezebb részei közé tartozik. A kiemeléstanításában nagy segítséget jelenthet, ha a gyerekek képesek egy egytagú kifejezést minéltöbbféleképpen szorzattá bontani. Ezt a képességet kívánjuk fejleszteni ennek az órának azanyagával.Az egész kifejezés, törtkifejezés fogalmak meghatározását nem kell visszakérdeznünk a gyere-kektől. Elég, ha felismerik őket. A tankönyv sem ad teljes meghatározásokat, inkább példákkalvilágítja meg ezeket a fogalmakat. A cél inkább az, hogy képesek legyenek „atomjaira szedni”egy-egy algebrai kifejezést. Ahogyan a számelméletben a prímtéglákból való építkezés segítettsokféle feladat megoldásában, a kifejezések világában is érdemes kialakítanunk azt a szemléletet,hogy hogyan lehet szorzással építkezni.A legnehezebb gondolat itt az lehet, hogy a gyerekek az egész és tört fogalmakat eddig aszámokhoz kötötték és itt meg kiderül, hogy az egész kifejezésben nyugodtan szerepelhetnektörtszámok. Jobb osztályokban érdemes lehet alaposabban is körbejárni ezt a gondolatot, ittazonban nem ez az elsődleges cél. Ezért a feladatanyagban nem is ennek a kérdésnek a tisztázásárahelyeztük a hangsúlyt.

48


Tk.: 39–40. oldal


Feladatok

Az 1–5. feladatok arra valók, hogy a számok mintájára egyszerű kifejezéseket is szorzattáalakítsanak, osztókat, közös osztókat keressenek hozzájuk. Azt gondoljuk, hogy a kiemeléstanításában nagyon sokat segíthet, ha ezeket a feladatokat feldolgozzuk a gyerekekkel.A 6. és 7. feladatok számelméleti csemegék. Nem nehezek, mégis nagyon alkalmasak a gondol-kodás fejlesztésére. Ha van időnk, érdemes foglalkozni velük, de nem okoz gondot, ha kihagyjukőket.

1. Melyik egész kifejezés, melyik törtkifejezés?

a) 5ab egész b)3

2x egész c)

3x

2+ y egész d) x + y egész e) a +

2

btört

f) x4y · 1

3egész g) 5x + y +

1

2egész h)

5

2atört i)

x + 3

ytört j)

y

x + 3tört

2. Osztója-e az A számnak a B szám, a C kifejezésnek a D kifejezés? Ha igen, hányszorosa?

A B

2 · 52 · 3 3 · 2 igen, A 52-szerese B-nek

23 · 11 22 · 3 · 11 nem

35 · 7 · 61 33 · 7 igen, A 32 · 61-szerese B-nek

5 · 5 · 3 · 7 57 · 5 nem

A B

2 · 52 · 3 3 · 2 igen, A 52-szerese B-nek

23 · 11 22 · 3 · 11 nem

35 · 7 · 61 33 · 7 igen, A 32 · 61-szerese B-nek

5 · 5 · 3 · 7 57 · 5 nem

C D

53 · 7 · 2 70 igen, C 52-szerese D-nek


25 · 8 · 9 5 · 2 · 3 igen, C 5 · 4 · 3-szorosa D-nek

35 · 63 49 igen, C 5 · 9-szerese D-nek

C D



25 · 8 · 9 5 · 2 · 3 igen, C 5 · 4 · 3-szorosa D-nek

35 · 63 49 igen, C 5 · 9-szerese D-nek

A B

3aac2 2ac2 igen, A3

2-szerese B-nek

6ab 2a igen, A 3b-szerese B-nek

20xy 40x igen, A1

2y-szerese B-nek

35h3j 7h2 igen, A 3549-szerese B-nek

A B

3aac2 2ac2 igen, A3

2-szerese B-nek

6ab 2a igen, A 3b-szerese B-nek

20xy 40x igen, A1

2y-szerese B-nek

35h3j 7h2 igen, A 3549-szerese B-nek

C D

28p4 2p igen, C 14p3-szöröse D-nek

100x3y3 25y4 nem

xy 3x igen, C1

3y-szorosa D-nek

k5l3m k2l2m2 nem

C D

28p4 2p igen, C 14p3-szöröse D-nek

100x3y3 25y4 nem

xy 3x igen, C1

3y-szorosa D-nek

k5l3m k2l2m2 nem

3. Add meg a hiányzó kifejezést úgy, hogy A · B = C igaz legyen!

A a bc3 pu 6r 2xy2 5ef

B 2ab 3ab 5t 2rs2 3x2 7f 2

C 2a2b 3ab2c3 5ptu 12r2s2 6x3y2 35ef 3

A a bc3 pu 6r 2xy2 5ef

B 2ab 3ab 5t 2rs2 3x2 7f 2

C 2a2b 3ab2c3 5ptu 12r2s2 6x3y2 35ef 3

4. Keress közös osztókat a számpárokhoz! Dolgozz prímtényezős alakkal!a) 32 · 5 3 · 53 3; 5; 3 · 5 b) 113 · 24 35 · 113 11; 112; 113

c) 22 · 3 · 72 2 · 7 · 5 2; 7; 2 · 7 d) 5 · 32 · 2 53 · 3 5; 3; 5 · 3

e) 10 · 4 7 · 8 2; 22; 23 f) 32 · 16 9 · 20 3; 32; 2; 22; 2 · 3; 22 · 3; 2 · 32; 22 · 32

g) 103 · 77 33 · 25 11; 5; 52; 5 · 11; 52 · 11 h) 6 · 28 49 · 15 7; 3; 3 · 7

5. Keress közös osztókat a kifejezéspárokhoz!a) 3ab2 21a3b a; b; 3ab b) 6ab 212bc b; 2b c) b2 25ab b

d) 30x3 2xy2x; 2x e) 120kl3 100k2l k; l; k · l f) 17x2 19y –

g) 6mn2 8m2n3m; n; n2; m · n2 h) 15 · bt 18tb t; b; 3b i) 21xy −35x2

x; 7x

49



Tk.: 40. oldal

6. Páros vagy páratlan? A betűk természetes számokat jelentenek.

Írd alá: ps, ha páros szám! Írd alá: pt, ha páratlan szám!a)

123 53 52 · 32 1011 1110 63 · 57 35 + 53 72 + 27 413 − 28

ps pt pt ps pt ps ps pt ps

b)25

(53 + 37

)(3 · 5)8 143 · 73 56 · 63 (5a + 3a)7 (10a)3 : 22 (2x)5 : 42+1

ps pt ps ps ps ps pt

7. Osztható 3-mal? Válaszolj I vagy N betűkkel!a)

35 62 67 53 124 103 36 · 22 36 + 22 1 + 23 + 3 103 −1 107 −1

I I I N I N I N I I I

b) 5 · 107 − 2 33 · 172 − 1 (9 · 13)5 + a · 3 12a : 4 12a : 3

N I I ∗

8. óra

Szorzatból összeg, beszorzás


Az algebra nehéz. Elsősorban az elvontsága miatt. Annál könnyebb, minél több tartalmat tud egygyerek társítani egy kifejezéshez. A képek sokat segíthetnek itt, érdemes ezt a lehetőséget mindkétirányban kihasználni: képekről kifejezéseket leolvasni, illetve kifejezésekhez ábrákat tervezni.Az olyan algebrai kifejezéseket, melyek legfeljebb másodfokú polinomok (azaz olyan összegek,melyek tagjaiban vagy két első hatványon szereplő változó szorzata szerepel, vagy egy változólegfeljebb a második hatványon), jól szemléltethetjük téglalapok segítségével. A változók atéglalapok oldalai, szorzatuk a téglalap területe, az egész kifejezés a téglalapok területének azösszege.Szorzat összeggé alakításának, illetve az összeg szorzattá alakításának a tanításakor sokat segít-hetnek az olyan téglalapok, amelyek kisebb téglalapokból épülnek fel. Ilyenkor a nagy téglalapoldalai összegek. Egy ilyen téglalap területe felírható összegként is és szorzatként is; az oldalakszorzataként vagy a kis téglalapok területének összegeként.Szorzatok összeggé alakításához régóta használatos ez a szemléltetés. Itt annyival lépünk tovább,hogy majd az összeg szorzattá alakításához is igénybe vesszük a téglalapokat.A 3. példában összeg szorzását összeggel úgy is próbáljuk szemléletesebbé tenni, hogy az egyesösszegek tagjait színes kártyákra írtuk. Az egyik összeg tagjait piros, a másikat kék kártyákra.Ezzel a módszerrel a gyerekek vizuálisan is képet kapnak a „minden tagot minden taggal”szabályról.

50


Tk.: 43. oldal


Feladatok

Az 1–3. szemléletfejlesztő feladatok, gyorsan megbeszélhetők, órai feldolgozásra és házi feladat-nak egyaránt alkalmasak.A 4., 6., 9–11. és a 14. gyakorló feladatok. A 4. feladatot érdemes az órán közösen elkezdeni, eza feladat előkészíti a kiemelés tanítását is. A 6. feladatot is érdemes megoldani, ez a feladat azt iskéri, hogy az átalakítás helyességét ellenőrizzék egy-egy adott érték behelyettesítésével. A 9–11.feladatokban a beszorzásról tanultakat egyenletmegoldásban kell alkalmazni.A 15. feladat is a beszorzást gyakoroltatja, de egy nevezetes szorzatra „kihegyezve”. A feladatotkövető számolási trükk is ezen a nevezetes szorzaton alapul.A számelméleti részben a maradékokkal való műveletvégzésről szerzett ismereteiket segítenekalgebrai formába önteni a 12. és 13. feladatok. Nagyon fontos és hasznos, ha a frissen szerzettalgebrai ismereteket fel tudjuk használni korábbi ismereteink igazolására. Sajnos, az idő rövidségemiatt ez a fontos feladat nem biztos, hogy belefér az időnkbe.

1. Melyik kifejezés melyik rajzhoz tartozhat? Mindegyik esetben állapítsd meg, mi a jelentése azismeretleneknek!1

2

3

45

67

8

9

10

11

4a, 1 hossza, 4 kerülete 9 hossza a2, 4 területe 2x + 2, 10 kerülete

x, 10 területe 2x + a, 7 kerületea · x

2, 3 és 8 területe, 5 térfogata a3, 2 térfogata, 11 területe

2(a2 + a), 11 kerülete a · 12, 6 területe 6a2. 2 felszíne

2. Írd fel a téglalapok területét többféleképpen!

a)

x

3

2 y

(3 + x)(2 + y) == 6 + 2x + 3y + xy

b)

y

2

3

y · x = 2 · 2y ++3(x − 4) ++(x − 4)(y − 3)

︸︷︷︸x

c)

︸︷︷︸x

︸︷︷

︸

x

d)

7

x

x 7e)

2

2

︸︷︷︸y

︸︷︷

︸

x

c) x2 =2

3x · 2

3x +

2

3x · 1

3x + 3 · 1

3x · 1

3x d) (x + 2)2 = x2 + 3 · 7x + 72

e) x · y = 2(y − 2) + 2 · 2 + (x − 2)(y − 2) + (x − 2) · 2

51



Tk.: 44. oldal

3. Írd fel a síkidom területét többféleképpen! Számítsd ki a meg- u v

x

y

z

adott értékek esetén!

u =2

3, v =

4

3, x =

1

5, y =

1

2, z = 0,3.

(u + v)(x + y + z) = u · x + v · x + u · y + v · y + u · z + v · z T = 2

4. A következő feladat megoldásakor először készíts rajzot a szorzathoz! A rajz segítségévelalakítsd a szorzatot összeggé!

a) e · (f + g) b) a · (b + 3) c) (a + 3) · (b + 1) d) c · (x + y + z)

e) (k + l) · (k + m) f) (x + y) · (x + z) g) (x + 1) · (x + 1) h) (a + b + c) · (d + 3)

a)

e

g

f

e(f + g) = ef + eg

b)

a

3

b

a(b + 3) = ab + a3

c)

a3

1

b

(a + 3)(b + 1) = a · b + a · 1 + 3b + 3

d)

z

c

x y

c · (x + y + z) = cx + cy + cz

e)

mk

l

k

(k + l)(k + m) = k2 + km + kl + lm

f)

x

y

x

z

(x + y) · (x + z) = x2 + xz + xy + zy

g)

x1

x

1

(x + 1)(x + 1) = x2 + x + x + 1

h)

c

3

ba

d

(a + b + c)(d + 3) = ad + bd + cd + 3a + 3b + 3c

52


Tk.: 44. oldal


5. Írd fel a szorzatot összeg alakban!

a) (3a + 1) · (a + 2) = 3a2 + 6a + a + 2 b) (3a − 1) · (a + 2) = 3a2 + 6a − a − 2

c) (b + 5a) · (2b + 3) = 2b2 + 3b + 10ab + 15a d) (x − 2y) · (5 − x) = 5x − 10y + 2xy − x2

6. Írd fel a szorzatot összeg alakban! Számítsd ki mindkét alakból a kifejezés értékét a megadotthelyettesítési érték mellett!

a) (x + 1) · (2x + 3) 3 x = 0 2x2 + 2x + 3x + 3

b) (x − 1) · (2x + 3) −3 x = 0 2x2 − 2x + 3x − 3

c) (2a + 5) · (a + 2) 3 a = −1 2a2 + 5a + 4a + 10

d) (2a − 5) · (a − 2) 21 a = −1 2a2 − 5a − 4a + 10

7. A téglalap alakú virágágy oldalainak hossza x, illetve y méter. x

yx + 2

y + 2

A virágágyat 1 méter szélességben körbevették füves sávval.Fejezd ki x-szel és y-nal a füves sáv területét!

T = (x + 2)(y + 2) − xy =

= 2x + 2y + 4

8. Párosítsd össze az azonosakat!

I. 5x − 5 II. 5xy − 25x III. 25xy − 5x IV. 5y − 25xy V. xy − 5x VI. x − 5xy

A x(y − 5) B 5x(5xy − 1) C x(1 − 5y) D 5(x − 5) E 5x(y − 5) F 5y(1 − 5x)

A–V. C–VI. E–II. F–IV.


a) x(3 − x) + x2 + 2 = 5 x = 1 b) (x − 11)x + 3 = 31 + (3 + x)x x = −2

c) (2x − 3) · (x + 1) + x + 3 = 32 x = 4, x = −4 d) (x + 3) · (x + 5) − x2 = 31 x = 2

e) (2x + 1) · (2x − 2) = 6 − 2x x ≈ 1,4, x ≈ −1,4 f) x · (x − 3) + 6 = x2 − 7x x = −3

2


a) (x − 1) · (x + 1) = x2 + 1 nincs megoldás b) (x − 4) · (x + 4) + 16 = 100 x = 10, x = −10

c) x · (2x − 5) + 8x = x · (3 + x) x = 0

d) (2x − 1) · (x + 4) + 4 = x · (7 + x) − 1 nincs megoldás


a) (x + 3)(x − 5) = 0 x = −3, x = 5 b) x · (x − 1) = 0 x = 0, x = 1

c) x(x + 2)(x − 7) = 0 x = 0, x = −2, x = 7 d) (2x − 3)(5 − x)(x − 1) = 0 x =3

2, x = 5, x = 1

12. Két szám közül az egyik 15-tel osztva 3 maradékot ad, a másik 15-tel osztva 10 maradékot ad.Írd fel az algebra nyelvén a két szám szorzatát és az összegét is! Egyik szám: 15k + 3, másik szám:15k + 10, összegük: 15k + 15l + 13, Szorzatuk: 225 · kl + 150k + 45l + 30.

13. a és b számok közül az a szám 12-vel osztva 4 maradékot ad. Találd ki, milyen maradékot ada b szám 12-vel osztva, ha eláruljuk, hogya) a + b 12-es maradéka nulla, 8 b) a · b 12-es maradéka nulla, 0, 3, 6, 9 lehet

c) a + b 12-es maradéka 4, 0 d) a · b 12-es maradéka 4! 1, 4, 7, 10 lehet

53



Tk.: 45. oldal

14. Töltsd ki a szorzótáblák üres mezőit!

a) b)

3

2b

a + 2b 3a2b a − b

3a + 6b 9a2b 3a − 3b

2ab + 4b2 6a2b2 2ab − 2b2

1

2b

a2 − 2a

a + 2b a2 + b a − 2

1

2ab + b2 1

2a2b +

1

2b2 1

2ab − b

a a2 + 2ab a3 + ab

15. A szorzások mindegyikében két tag összegét szoroztuk meg ugyanannak a két tagnak akülönbségével. Végezd el a szorzásokat, majd vond össze az egynemű tagokat! Figyeld megaz eredményeket! Mit veszel észre?

a) (a + b) · (a − b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2 b) (2x + 1) · (2x − 1) = 4x2 − 1

c) (x + 3) · (x − 3) = x2 − 9 d) (2 + b) · (2 − b) = 4 − b2

e) (2a − 1) · (2a + 1) = 4a2 − 1 f) (5 + x) · (5 − x) = 25 − x2

g) (2a + 3b) · (2a − 3b) = 4a2 − 9b2 h) (5x + 10) · (5x − 10) = 25x2 − 100

Számolási trükkFigyeld meg a következő számolásokat!

52 · 48 = 502 − 22 = 2500 − 4 = 2496

401 · 399 = 4002 − 12 = 160 000 − 1 = 159 999

403 · 397 = 4002 − 32 = 160 000 − 9 = 159 991

305 · 295 = 3002 − 52 = 90 000 − 25 = 89 975

Ugyanezzel a trükkel számold ki fejben az alábbi szor-zatokat is!102 · 98 201 · 199 63 · 57 81 · 79 72 · 68Fogalmazd meg az algebra nyelvén, mi a közös az előzőszorzatokban! (a + b)(a − b) = a2 − b2

Készíts magad is ilyen trükkös szorzatokat!

16. A 26 ·93 egy különleges szorzat. Ha a szorzótényezőkön belül a számjegyeketfelcseréljük, akkor a 62·39 szorzatot kapjuk, ami meglepő módon megegyezikaz eredetivel.

26 · 93 = 62 · 39

Keress más ilyen szorzatokat! Próbáld meg megfejteni a „titkát” ennek a furcsa viselke-désnek! Segíthet a „titok” megfejtésében, ha átírod a feladatot az algebra nyelvére, és aszorzatokat összeggé alakítod!A 26 ·93 = 62 ·39 egyenlőségben szereplő számok így írhatók fel: ab ·cd = ba ·dc. Az itt álló kétjegyű számok

értékeit felírva kapjuk:

54



(10a + b) · (10c + d) = (10b + a) · (19d + c)

100ac + 10ad + 10bc + bd = 100bd + 10bc + 10ad + ac

99ac = 99bd

a · c = b · d

Tehát az egyenlőséget igazzá tevő számokra (a, b, c, d egyjegyűek!) működik ez a különleges szorzás.Például: a = 1 b = 2 c = 4 d = 2 12 · 42 = 21 · 24

a = 1 b = 2 c = 6 d = 3 12 · 63 = 21 · 36 és 13 · 62 = 31 · 26a = 1 b = 2 c = 8 d = 4 12 · 84 = 21 · 48 és 14 · 82 = 41 · 28a = 1 b = 3 c = 9 d = 3 13 · 93 = 31 · 39a = 2 b = 4 c = 8 d = 4 24 · 84 = 42 · 48

9–10. óra

Összegből szorzat, kiemelés


A szorzattá alakítás nehéz, még a legegyszerűbb esete, a kiemelés is sok gyereknek okoznehézséget. Nem igen lehet mechanikus szabályokat adni rá. Itt nem lehet a gondolkodást, akombinatorikus képességet kikerülni, gépies gyakorlással helyettesíteni. Ezért igyekeztünk minéltöbb olyan eszközt adni ennek a résznek a tanításához, amelyek segíthetnek a megértésben. Egyikilyen eszköz az osztók keresése, a másik a geometriai szemléltetés.A kiemelés tanítását külön nehezíti az, hogy sok gyerek számára a formulák tartalmatlanabsztrakciók. Ez növeli a bizonytalanságérzésüket és ezáltal megnehezíti számukra a gondol-kodást. A geometriai szemléltetés azért nagyon hasznos itt, mert maga is fejleszti a gyerekekgondolkodását, és ugyanakkor egy kevésbé absztrakt fokozatot jelent a szorzattá alakítási feladatokmegoldásában.Téglalapokat rakosgatni – akár képzeletben is – könnyebb, mint elvont formulákról gondolkodni.Még könnyebb, ha egy kezdeti fázisban nem csak képzeletben, hanem fizikailag is rakosgathatnaka tanítványaink. Ezért érdemes a tankönyv kidolgozott példáiban szereplő téglalapkészleteket(vagy azokhoz hasonlóan tervezett téglalapkészleteket) táblára erősíthető méretben elkészíteni ésazokat nagyobb téglalappá összeépíteni.Az 1. példában elég a téglalapokat ügyesen összerakni, és az eredményről leolvasni a szorzatalakot és az összeg alakot is. A 2. példában még egy logikai lépésre szükség van, az összeg alakbanadott kifejezéshez a kis téglalapokat magukat is el kell készíteni úgy, hogy belőlük nagyobbtéglalapot lehessen összerakni. Ez nem egyszerű feladat, semmivel sem egyszerűbb magánál akiemelésnél. Az előnye az, hogy egyrészt szemléletesebb, másrészt megkönnyíthető azzal, hogyadunk egy téglalapkészletet, amiből a gyerekek válogathatnak.Ilyen téglalapkészletet magunk is összeállíthatunk, de meg is adtunk egyet a mellékletben. Ezeketaz elemeket nagyon sokféleképpen felhasználhatjuk ennek a résznek a tanításakor.Eszközök: a mellékletben megadott téglalapkészlet, lehetőleg demonstrációs változatban is.

55



Tk.: 48. oldal

Feladatok

Az 1–3. feladatokban a téglalapos szemléltetésre alapozva gyakoroltatjuk a kiemelést.A 4. feladatban a közös osztók keresésével végeztetjük a kiemelést.Az 5. és 7–9. gyakorló feladatok, melyek megoldásában mindenki maga választhatja meg aneki leginkább megfelelő módszert. A 8. és 9. feladatban a szorzattá alakítás segítségévelegyszerűsíthetünk, ami a 9. feladatban nagyon megkönnyíti a számolást.A 6. egy kicsit nehezebb a többinél.

1.

1 2 3 4

5 6 7

8 9 10 11

12 13

14 15 16 17

a2

ab

(a + 7)b

3a 21

7a

7b

3b

(b − a)b

a2a·(b

−a)

b2

ab

(a + b)2

a(a + b)

(b − a)(b + a)

3(a + b)

a 7 b a + b

a

b

b

3

a

a

b−a

Írd be az ábrán látható téglalapokba a területüket!Az ábrán látható tég-lalapokat megtaláloda tankönyv mellékle-tei között. Vágd ki amellékletből a tégla-lapokat! A következőösszegekben mindentag valamelyik tégla-lap területe. Mindenösszeghez keresd mega tagoknak megfelelőtéglalapokat, és építsbelőlük nagyobb tég-lalapot! Ha sikerült,olvasd le a kifejezésszorzat alakját!

Például: a2 + ab + 3a

Ez a kifejezés az 1 , 3 és 14 téglalapok területének összege. Ezekből nagyobb téglalapépíthető például így:

1 3 14

a

a b 3

Tehát: a2 + ab + 3a = a · (a + b + 3)

a) 7b + ab + b2 + 3b

c) 3b + ab + a · 7 + 21e) ab + a2 + (a + b)2

g) ab + 7b + 3b + b2 + 3b

b) (a + 7) · b + ab + b2

d) (a + b) · a + (a + b)2

f) 7a + 7b + 21h) ba + 7b + a(a + b) + (b − a)(a + b)

a) 6 5 7 16 7b + ab + b2 + 3b = b(7 + a + b + 3) b) 8 5 7 (a + 7)b + ab + b2 = b(2a + 7 + b)

c) 16 3 2 15 3b + ab + a · 7 + 21 = (7 + b) · (3 + a) d) 11 4 (a + b) · a + (a + b)2 = (a + b)(2a + b)

e) 5 1 4 ab + a2 + (a + b)2 = (a + b)(2a + b) f) 2 6 15 7a + 7b + 21 = 7(a + b + 3)

g) 3 6 16 7 16 ab + 7b + 3b + b2 + 3b = b(a + 7 + 3 + b + 3) = b · (a + b + 13)

h) 5 6 11 13 ba + 7b + a(a + b) + (b − a)(a + b) = b(a + 7) + b(a + b) = b(2a + b + 7)

56


Tk.: 49. oldal


2. Írd fel az egyforma színű téglalapok területének összegét! Építs belőlük nagyobb téglalapot!Olvass le a nagy téglalapról szorzat alakot!

a) b) c)

0,8

3

x

3b

a

c

a

x

x

x

7

d) e) f)

a

a

k

a

p

q

q

q 2q

m

m

m

lk

m

g) h)

x

x

7

x

y

x

7

y

a

a

b

a

b

a

b

b

a) 3 · 0,8 + 3 · x = 3(0,8 + x) b) a · b + a · c = a(b + c) c) x2 + x · 7 = x(x + 7)

d) a2 + a · k = a · (a + k) e) pq + q2 + q · 2 = q(p + q + 2) f) m2 + m · l + m · k = m(m + l + k)

g) x2 + x · 7 + x · y + y · 7 = (x + 7)(x + y) h) a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = (a + b)2

3. Készíts téglalapokat az összeg tagjaihoz úgy, hogy egy nagy téglalappá lehessen összeépíteniőket! Olvass le szorzat alakot a nagy téglalapról!

a) 3a + 3b b) 7x + 14 c) 2a + 10a

d) 5ab + 3ab e) ab + a2 f) xy + x · 3

g) 5x + 20xy + 25x2 h) x + xy i) k2 + k − kl

a)

a b

3

3

3

a b

3a + 3b = 3(a + b)

b)

7

7

x 2

x 2

7x + 14 = 7(x + 2)

c) 2a

10

a

a

10

2

2a + 10a = 12a

57



Tk.: 49. oldal

d)5a

b

3a

b

5a

3a b5ab + 3ab = 8ab

e)a

b

a

a

a

a b

ab + a2 = a(b + a)

f)

x

y

3

x

xy + x · 3 = x(y + 3)

g) x x

5x 5x

x

5 20y 25x

5x

5x 4y 1 5x + 20xy + 25x2 = x(5 + 20y + 25x)

25x2 + 20xy + 5x = 5x(5x + 4y + 1)

h)

xx

1 y

x + xy = x(1 + y)

i) k2 + k − kl = k(k − l + 1) Ezt lefedéssel tudjuk megoldani. A k2 területű téglalap egy részét letakarjuk a k · l

területűvel.

k

k

1

k k

lk2

k

kl

k

k

l

1

︸︷︷︸

k − lk − l + 1

4. Keress közös tényezőket a tagokban! Alakítsd az összeget szorzattá a közös tényező kiemelé-sével! Dolgozz a példa szerint!

11 · 11 + 11 · 9 = 11 · (11 + 9)

121 99+

b · a + b · 3c = b · (a + 3c)

ab 3bc+

a) 48 + 60 A) x · x · y · y + 2 · y · x

b) 25 · 7 + 14 · 15 B) 15ab + 55c) 600 + 250 · 9 C) 2 · x · y · y + 8 · x · y · y · y

d) 126 + 420 D) a2b + ab2

e) 40 · 28 + 35 · 6 + 21 · 60 E) 8bc + 6ab

f) 540 + 1076 + 924 F) 2xy − 14 · x2y

g) 2 · 2 · 7 · 11 · 3 + 2 · 3 · 23 · 11 + 3 · 7 · 11 · 41 G) a2b − a2

h) 84 + 666 + 34 · 33 H) 6xy + 2x2y + 10xy2

58


Tk.: 49–50. oldal


a)

12 · 4 + 12 · 5 = 12 · (4 + 5)

48 60+

b)

5 · 5 · 7 + 2 · 7 · 3 · 5 = 5 · 7 · (5 + 2 · 3) = 35 · (5 + 6)

25 · 7 + 14 · 15

c)

2 · 3 · 2 · 5 · 2 · 5 + 5 · 5 · 2 · 5 · 3 · 3 = 2 · 3 · 5 · 5(2 · 2 + 5 · 3)

600 + 250 · 9

d)

2 · 7 · 3 · 3 + 7 · 2 · 3 · 2 · 5 = 2 · 7 · 3(3 + 2 · 5)

126 + 420

e)

2 · 2 · 2 · 5 · 2 · 2 · 7 + 7 · 5 · 2 · 3 + 7 · 3 · 2 · 3 · 2 · 5 = 2 · 5 · 7(24 + 3 + 32 · 2)

40 · 28 + 35 · 6 + 21 · 60

f)

4 · 135 + 4 · 269 + 4 · 231 = 4 · (135 + 269 + 231)

540 + 1076 + 924

g)

2 · 2 · 7 · 11 · 3 + 2 · 3 · 2 · 3 · 11 + 3 · 7 · 11 · 41 = 3 · 11(22 · 7 + 22 · 3 + 7 · 41)

924 + 396 + 9471

h)

2 · 3 · 2 · 7 + 2 · 3 · 3 · 37 + 2 · 17 · 3 · 11 = 2 · 3(2 · 7 + 3 · 37 + 17 · 11)

84 + 666 + 34 · 33

Ezt a feladatot érdemes osztálymunkában feldolgoznunk. A megoldás során felelevenítjük a prím-felbontást, és bizonyára sok gyerek rájön, hogy a közös osztókat lehet kiemelni. Mi a megoldásbanmindenütt a legnagyobb közös osztót emeltük ki, de ehhez nem kell az ábrához ragaszkodnunk.

A) x · x · y · y + 2 · y · x = x · y · (xy + 2)

B) 3 · 5 · a · b + 5 · 11 = 5 · (3ab + 11)

C) 2 · 1 · x · y · y + 2 · 2 · 2 · x · y · y · y = 2xy2(1 + 22 · y)

D) a · a · b + a · b · b = ab · (a + b)

E) 2 · 2 · 2 · b · c + 2 · 3 · a · b = 2b(4c + 3a)

F) 2 · 1 · x · y − 2 · 7 · x · x · y = 2xy(1 − 7x)

G) a · a · b − 1 · a · a = a2 · (b − 1)

H) 2 · 3 · x · y + 2 · x · x · y + 2 · 5 · x · y · y = 3xy(3 + x + 5y)

5. Írd fel az összeget szorzat alakban!a) 5a + 10 = 5(a + 2) b) 2x + x2 = x(2 + x) c) 3x + 5xy = x(3 + 5y)

d) a + ab = a(1 + b) e) x + xy + xz = x(1 + y + z) f)2

x+

3

x+

5

x=

1

x(2 + 3 + 5) =

10

x

59



Tk.: 50. oldal

6. Írd fel az összeget szorzat alakban!

a) 3(x + y) + 5(x + y) = (x + y)(3 + 5) b) a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

c) ab + 2b + 3a + 6 = b(a + 2) + 3(a + 2) = (a + 2)(b + 3) d) 2xy + 2xz + 4xy2 = 2x(y + z + 2y2)

7. Írd fel az összeget szorzat alakban!

a) 6x − 3 = 3(2x − 1) b) x2 − 3x = x(x − 3) c) 4ab − 8b = 4b(a − 2)

d) 2xy − y = y(2x − 1) e) a + ab − ac = a(1 + b − c) f) x4 − x3 = x3(x − 1)

8. Egyszerűsítsd a kifejezéseket!

a)5a

10ab=

1

2bb)

2a + 4

2=

2(a + 2)

2c)

b(a + b)

3b2=

a + b

3b

d)8a + 4a2

4a(2 + a)=

4a(2 + a)

4a(2 + a)e)

a + b

3a + 3b=

a + b

3(a + b)=

1

3f)

5b2 + b

2b=

b(5b + 1)

2b=

5b + 1

2

g)5(a − 1)

(5a − 5) · 2=

5(a − 1)

5 · 2(a − 1)=

1

2h)

a + a2

5a(1 + a2)=

a(1 + a)

5a(1 + a2)=

1 + a

5(1 + a2)

9. Többet ésszel, mint erővel!Számítsd ki a helyettesítési értékeket, legyen: a = −1,42, b = 3, c = −10!

a)5a

10ab=

1

2b

1

6b)

2a + 6a

4abc=

8a

4abc=

2

b · c −1

5c)

2ab

b− 2a + c = 2a − 2a + c = c −10

d)

(3ab

a+ b

)c = (3b + b) · c = 4bc −120 e)

2a + 4

a + 2− c =

2(a + 2)

a + 2− c = 2 − c 12

10. Párosítsd a kifejezéseket a szövegekkel!

I. Két szám összegének és különbségének a szorzata. c) M

II. Két szám összege szorozva a két szám szorzatával. f) O

III. Két szám összegének a négyzete. e) R

IV. Két szám szorzatának és hányadosának az összege. a) Z

V. Egy szám és a rákövetkező szám szorzata. b) S

VI. Két szám reciprokának a különbsége szorozva a két szám összegével. d) A

a)r

s+ r · s Z b) x2 + x S

c) a2 − b2 M d)f

g− g

fA

e) p2 + 2pq + q2 R f) x2 · y + xy2 O

A megfejtés egy Petőfi vers hőse. Mi a vers címe?Anyám tyúkja

60



11. óra

Szöveges feladatok megoldása egyenlettel vagy anélkül


Ahogyan a mintapéldák is mutatják, a hangsúly itt a szövegnek a matematika nyelvére történőfordításán van. Érdemes rászoktatni a tanítványainkat arra, hogy ne csak a kész egyenletet írjákle, de az egyes részletek fordításait is. Különösen fontos, hogy a változó jelentését szöveggel ismegfogalmazzák az egyenlet felállítása előtt. Ehhez külön segítséget is adnak a feladatgyűjteménybizonyos feladatai, amelyekben kiemeltük a szöveg lényeges elemeit, megneveztük a változókat,és a gyerekeknek csak ki kell egészíteni a sorokat a megfelelő algebrai formulával. Volt, aholelőre elkészített táblázatot adtunk a szövegekhez. Ezek a feladatok a kidolgozott példákkal együttmintát is adnak egy-egy feladattípus megoldásához. Minden feladattípusnál szerepel legalább egyilyen „előfőzött” feladat.Jó módszer lehet a „fordítás” megkönnyítésére, hogy egy önkényesen kiválasztott értékre kipró-bálják, hogy teljesíti-e a szövegben előírt feltételeket, és ennek a számolásnak a menetét követveírják fel az egyenletet, mint a 4. példa mutatja. Sokszor segít a táblázatkészítés is.Nagyon fontos, hogy az ellenőrzés a szöveg alapján történjen.A szöveg megértése nagyon sokat jelent abban, hogy sikerül-e a feladatot egyenletté átfogalmazni.A megértést segítheti, ha előzetesen megbecsülik a választ a szöveges feladat kérdésére. Eztnem nagyon kedvelik a gyerekek. A becslés népszerűségét növelhetjük a „becsülő játékkal”. Ezmindössze annyit jelent, hogy amikor belekezdünk egy feladat megoldásába – még mielőtt bárkibármit elkezdene írni –, mindenki megpróbálja „megsaccolni” a választ a feladat kérdésére. Tehátkitalál egy számot, ezt leírja a füzetébe, majd leírja egy kis, névvel ellátott cetlire is, amelyetösszegyűjtünk. Megoldjuk a feladatot, majd kiválasztjuk azt a néhány gyereket – ez az osztályképességeitől függően lehet 1, 2 vagy akár 5 gyerek is –, akinek a tippje a legközelebb volt avalóságos eredményhez. Ezek a gyerekek jutalmat (pl. piros pontot, cukorkát) kapnak. A procedúraigényel egy kis időt, de a gyerekek becslési színvonala már néhány feladat megoldása után ismeglepő mértékben javul.

Feladatok

A fejezethez sokkal több feladatot közöltünk, mint amennyit a javasolt időkeretben el lehetnevégezni. Mivel azonban kiemelten fontos témáról van szó, úgy gondoltuk, hogy jó, ha van elégfeladat. Ezek felhasználhatók szorgalmi feladatnak, szakkörre, felvételi előkészítőre, vagy akár óraeleji bemelegítőnek más anyagrészek tanításakor.A feladatgyűjteménynek az ehhez a részhez tartozó segítő feladatai a 91., 96., 110. és a 119.feladatok.Az 1–23. feladatok nagyon elemi „fordítási gyakorlatok” könnyű számolásokkal, egyszerű egyen-letekkel. Nagyon sok hasonló jellegű feladat van közöttük. A 4. és 5. feladatokban 3-3 egyenletazonos, csak a szöveg különbözik.

61



Tk.: 53–54. oldal

A 24. feladat is erre a hasonlóságra utal. Ki kell választani a feladatok közül azokat, amelyekbena szöveg alapján két szám összegét, illetve különbségét ismerjük, és ennek alapján kell kitalálnia keresett értéket. Ez egy nehezebb feladat, kiadhatjuk nem kötelező kutatómunkának, és mindenmegtalált esetet jutalmazhatunk.A 29–37. feladatok váltakozó nehézségű, számjegyekkel kapcsolatos, a 25–28. pedig életkorokrólszóló feladatok. Ilyenek a 38. és a 39. is, csak kicsit nehezebbek.A 40. feladat nehéz. Jó képességű osztályban vagy szakkörön nagyon alkalmas arra, hogy tanáriirányítással közösen rakják össze a megoldást a tanulók.

1. Melyik az a szám, amelynek a2

3része 3-mal több, mint 19? 33

2. Péter gondolt egy számot, hozzáadott 2,1-et, majd az összeg 5-szörösét vette. Eredményül 24,5-et kapott. Melyik számra gondolt Péter? 2,8

3. Melyik az a szám, amelynek

a)1

2része,

1

3része és

1

4része összesen 65, 60 b) az

1

4része 2-vel kisebb az

1

3-ánál, 24

c) az1

4-e 2-vel nagyobb az

1

3-ánál, −24 d) az

1

4része és az

1

3része megegyezik? 0

4. a) Gondoltam egy számot. Megszoroztam7

8-dal, majd hozzáadtam 1,5-et, és így az eredeti

számnál 4-gyel kisebb számot kaptam. Melyik számra gondoltam? A 44-re.

b) – Hány lovad van? – kérdezték a gazdát.

– Ha a lovaim számát megszorzod7

8-dal, és hozzáteszel 1,5-et, akkor a lovaim számánál

4-gyel kevesebbet kapsz – válaszolta a gazda.Hány lova van a gazdának? 44 lova van.

c) Béla új munkahelyre ment. Amikor megkérdezték a kollégái, hogy hány éves, így válaszolt:

– Ha éveim számát megszorzod7

8-dal, és az eredményhez hozzáadsz 1,5-et, akkor a

koromnál 4-gyel kisebb számot kapsz.Hány éves Béla? 44 éves.

5. a) Gondoltam két számra. Az egyik 15-tel nagyobb, mint a másik. Összegük 124. Melyik ez akét szám? Egyik szám 69,5, másik 54,5.

b) Kelekótya Karcsi nyáron vízitúrán volt. Ezt mesélte: A túrán 15-tel több fiú volt, mint lány.

Összesen 124-en voltunk. Hány fiú és hány lány vett részt a túrán? Mivel1

2gyerek nem túrázik,

nincs megoldás.

c) Egy pékségben 124 kg lisztet két részre osztottak. Egyik részből kiflit, a másikból kenyeretsütöttek. A kenyérhez 15 kg-mal több lisztet használtak fel. Hány kilogram lisztből sütöttekkiflit? 54,5 kg-ból kenyeret, 69,5 kg-ból kiflit.

62


Tk.: 54–55. oldal


6. A borítékban két szám van elrejtve. A boríték külsején látod azösszegüket és a különbségüket is.a) Melyik ez a két szám? Egyik szám 14, a másik szám 16.

b) Készíts te is ilyen rejtvényt a társadnak!

7. Az osztályunkban 30-an vagyunk. Kettővel több a lány, mint a fiú.Hány fiú, hány lány jár az osztályunkba? 14 fiú, 16 lány.

8. a) Két borítékban korongok vannak, összesen 98 darab. Ha az egyik-ből áttennénk 7-et a másikba, ugyanannyi lenne bennük. Hánykorong van a borítékokban? 42 és 56.

b) Két polcon összesen 98 könyvünk van. Ha az egyik polcról 7 darabot áttennénk a másikra,akkor a két polcon ugyanannyi lenne a könyvek száma. Hány könyv van külön-külön a kétpolcon? 42 és 56.

Hány könyv lenne külön-külön a két polcon, ha összesen 97 könyvünk volna a 98 helyett?Ez nem lehet, hacsak nem fél könyvek vannak a polcokon.

9. Az illatszerbolt három láda szappant kapott, összesen 414 darabot. Sárga szappan 20 darabbal,fehér szappan 34 darabbal volt több, mint rózsaszín. Hány darab szappan volt az egyesfajtákból? 120 db rózsaszín, 140 db sárga és 154 db fehér szappan.

10. Egy 2 m 60 cm-es szövetből szoknyát és blúzt varrnak. A blúzhoz 40 cm-rel több anyag kell,mint a szoknyához. Mennyi anyagra van szükség a blúzhoz, mennyire a szoknyához?1 m 50 cm-re a blúzhoz, 1 m 10 cm-re a szoknyához.

11. Három könyvespolcon összesen 720 könyv van. Ha a harmadik polcról 35 darabot áttennénk azelsőre, akkor mindhárom polcon ugyanannyi könyv lenne. Hány könyv van az egyes polcokon?Első polcon 205 db, a másodikon 240 db, a harmadikon 275 db.

12. Az osztály kirándulni ment. Tíz perc híján 3 óráig tartott a kirándulás, 50 perccel többet mentekgyalog, mint villamossal, más járműre nem szálltak. Mennyi ideig gyalogoltak? 1 óra 50 percet.

13. Két krumpliföldön összesen 320 tonna burgonya termett. A két föld területe összesen 40 hektár,az egyik 6 hektárral nagyobb, mint a másik. Mennyi burgonya termett az egyik földön, mennyia másikon, ha tudjuk, hogy a két területen a termésátlag azonos? Egy hektáron 320 : 40 = 8 t termettátlagosan. Egyik földdarab 17 ha, a másik 23 ha. Az egyik földön 8 ·17 = 136 t , a másikon 23 ·8 = 164 t termett.

14. Amikor én 5 éves voltam, a bátyám 9 éves volt. Most összesen 36 évesek vagyunk. Hány évesvagyok most? 16 éves.

15. Két szám összege 2, az egyik szám 1-gyel nagyobb a másiknál. Melyik ez a két szám? 1,5 és

0,5.

16. A szörppel telt üveg 220 forintba kerül. A szörp 200 forinttal ér többet, mint az üveg. Hányforint az üres üveg? 10 Ft.

17. Egy 25 méter hosszú, 4 kg tömegű dróttekercset kétfelé vágtunk. Az egyik rész 800 grammallett több, mint a másik. Milyen hosszú a két rész külön-külön? 1 kg drót (ha egyenletesen vastag)25

4m = 625 cm. Egyik darab 1,6 kg, a másik 2,4 kg. Az egyik darab hossza 1,6 · 25

4= 10 m, a másiké 2,4 · 25

4=

= 15 m hosszú.

18. Szerkeszd meg a téglalapot, ha kerülete 23 cm, és egyik oldala 1,5 cm-rel hosszabb a másiknál!A téglalap oldalai 5 cm és 6,5 cm.

63



Tk.: 55–56. oldal

19. Gergőnek és Zsuzsinak összesen 137 Ft-ja van. Ha Zsuzsi kapna még 23 Ft-ot, akkor mindket-tőnek ugyanannyi pénze lenne. Hány forintja van Gergőnek, hány forintja van Zsuzsinak?Gergőnek 80 Ft-ja, Zsuzsinak 57 Ft-ja van.

20. Dininek, Marcinak és Panninak összesen 120 Ft-ja van. Ha Marci 10 Ft-ot, Dini pedig kétszerannyit adna Panninak, akkor mindhármuknak ugyanannyi pénzük lenne. Hány forintjuk vanmost a gyerekeknek? Dininek 60 Ft-ja, Marcinak 50 Ft-ja, Panninak 10 Ft-ja van.

21. Két raktárban összesen 385 500 tégla volt. Amikor az első raktárba még 26 400 tégla érkezett,a másikból pedig 85 700 téglát elszállítottak, akkor a két raktárban ugyanannyi tégla maradt.Hány tégla volt eredetileg a raktárakban? 136 700 db és 248 800 db volt.

22. Iskolánkban általános iskola és gimnázium is működik. A beiratkozáskor összesen 764 tanulótvettek fel. Később az általános iskolába még 26-an, a gimnáziumba 18-an iratkoztak be. Ezzelugyanannyi lett az általános iskolások és a gimnazisták létszáma. Hány általános iskolás és hánygimnazista iratkozott be eredetileg hozzánk? 378 általános iskolás, 386 gimnazista.

23. Két könyvszekrényben együtt 1660 könyv volt. Amikor az egyik szekrényből kivettek 45 köny-vet, és a másikból háromszor annyit, akkor mindegyik szekrényben ugyanannyi könyv maradt.Hány könyv volt eredetileg az egyes szekrényekben? 785 és 875 könyv.

24. Az előző feladatok között több olyan is van, amelyben két szám összegét és különbségét áruljael a szöveg, és ezek ismeretében lehet a kérdést megválaszolni. Mintha 2 borítékban elrejtenénkegy-egy számot, és elárulnánk az összegüket és a különbségüket is.Keresd meg, melyek ezek a feladatok! 5., 6., 7., 8., 10., 12., 13., 14., 15., 16., 17., 19.

Amit nem ismerünk:a b

amit ismerünk:

a + ba − b

25. Viola és anyukája a mai napon együtt ünnepelték a születésnapjukat. Az anya éppen 31-szer annyi idős, mint Viola. Két év múlva ugyanezen a napon az anya kora 11-szerese leszVioláénak. Viola hányadik születésnapján lesz az anya 3-szor annyi idős, mint a lánya?A 15. szülinapján.

26. Bence 4 éves volt, amikor Máté született. Hány éves korukban lesznek ketten együttvéve50 évesek? Máté 23, Bence 27 éves korában.

27. Egy 35 éves apának 10 és 6 évesek a fiai. Hány év múlva lesz a fiúk életkora együtt

a) ugyanannyi, mint az apjuké, 19 év múlva b) feleannyi, mint az apjuké? 1 év múlva

28. Viola, Boglárka és Kata együtt 24 évesek. Azt is eláruljuk, hogy egyenlő időközökben születtek.a) Hány évesek lehetnek a gyerekek?

Lehetnek 7, 8, 9; 6, 8, 10; 5, 8, 11; 4, 8, 12; 3, 8, 13; 2, 8, 14; 1, 8, 15; 0, 8, 16 évesek.

b) Találd ki, hogy a három lány közül a középső lány óvodás, alsó tagozatos, felső tagozatosvagy gimnazista! A középső lány mindenképpen 8 éves, tehát alsó tagozatos.

c) Lehet-e a legidősebb gyerek óvodás, alsó tagozatos, felső tagozatos vagy gimnazista?A legidősebb nem lehet óvodás, de bármi más lehet.

29. A szövegek és a képletek is kétjegyű egész számokról szólnak. A kártyákon a szám számjegyeiállnak. A képletek a számértékét adják meg, az a egyjegyű egész számot jelent ezekben aképletekben. Párosítsd össze az összetartozó szövegeket és képleteket!

64


Tk.: 56. oldal


a) A kétjegyű szám első jegye a, a második jegye 2. a 2 A) 10a + a + 2

b) A kétjegyű szám első jegye a, a második 2-vel több. a B) 10a + 2

c) A kétjegyű szám második jegye kétszer akkora, mint azelső.

a C) 10a + 2a

d) A kétjegyű számban 2-vel több tízes van, mint egyes. a D) 10 · 2 + a

e) A kétjegyű számban kétszer annyi tízes van, mint egyes. a E) 10 · (a + 2) +a

f) A kétjegyű szám első jegye 2, a második jegye a. F) 10 · 2a + a

A párosok: a)–B), b)–A), c)–C), d)–E), e)–F), f)–D).

30. Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 12. Ha a jegyeit felcseréljük, 18-cal nagyobb számotkapunk. Melyik az eredeti szám? 57

31. Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 10. Ha a számjegyeket felcseréljük, az új szám kétszereseaz eredeti számnál 1-gyel nagyobb lesz. Melyik ez a szám? 73

32. Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 9. Ha a számjegyeket felcseréljük, az új szám az eredetiháromszorosánál 27-tel nagyobb lesz. Melyik ez a szám? 18

33. Egy kétjegyű szám egyik jegye kettővel kisebb, mint a másik. Ha a jegyeit felcseréljük, akétszeresénél 6-tal kisebb számot kapunk. Melyik az eredeti kétjegyű szám? 24

34. Egy kétjegyű szám egyik jegye kétszer akkora, mint a másik. Ha a számból kivonjuk a jegyeifelcserélésével keletkezett számot, 27-et kapunk. Melyik az eredeti szám? 63

35. Egy kétjegyű szám egyik jegye 3-szor akkora, mint a másik. Ha a jegyeket felcseréljük, az újszám az eredeti kétszeresénél 15-tel nagyobb lesz. Melyik ez a szám? 39

36. Egy kétjegyű szám egyik jegye kétszerese a másik jegynek. Ha a jegyeket felcseréljük, az újszám az eredeti felénél 3-mal nagyobb. Melyik ez a szám? 42

37. Egy kétjegyű szám jegyeinek az aránya 2 : 3. Ha a jegyeket felcseréljük, az így kapott szám fele14-gyel kisebb az eredeti számnál. Melyik az eredeti szám? 46

38. Ádám születésekor édesanyja 30 éves volt. Ádám egy idő óta minden szüle-tésnapján kiszámolja, hogy anyukája életkora éppen hányszorosa az övének.Ha ez egész szám, akkor ezt külön megünnepelik. Hány ilyen születésnapotünnepelhet meg Ádám?

Ádám életkora 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 15 . . . 30

Anya életkora 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 60

Az arány 31 16 1134

47 6

37

7

38

8

39

94 3 2

Ha Ádám kora x, akkor anya életkora 30 + x.30 + x

x=

30

x+ 1 ez akkor egész, ha Ádám életkora 30-nak osztója.

39. Most kétszer olyan idős vagyok, mint te voltál akkor, amikor én annyi idős voltam, mintte most. Amikor pedig te leszel annyi, mint én most, akkor ketten együtt éppen 63 évesekleszünk. Hány éves vagyok?A feladat nehézsége a megértésben van. Ezt egyszerűsíti, ha táblázatot készítünk:

65



Tk.: 57. oldal

ÉN TE

régen, amikor annyi idősvoltam, mint te most

most

majd, amikor annyi idősleszel, mint én most

Ha a gyerekeket megkérjük, hogy tetszőlegesen választott ÉNmost és TE most értékekkel töltsék ki a táblázatot, észre-vehetik, hogy a szomszédos rubrikák különbsége mindenüttugyanannyi, éppen a két életkor különbsége. ÉN most – TEmost.

Válasszuk ezt x-nek.

Így ÉN most és TE régen között 2x a különbség.

De ÉN most az a TE régen 2-szerese, tehát éppen 4x. Ennek alapján a táblázat így tölthető ki:

ÉN TE

régen 3x 2x

most 4x 3x

majd 5x 4x

Az ÉN majd és TE majd összegéről tudjuk, hogy 63. Tehát

5x + 4x = 63 x = 7

ÉN most = 28, TE most = 21.

Ellenőrzés:Mikor ÉN 21 éves voltam TE 14 éves voltál. Ennek 28 valóban kétszerese.Mikor TE 28 éves leszel, ÉN 35 leszek, ezek összege pedig 63.

40. Görögországi nyaraláskor egy 86 fős turistacsoportkét részre oszlott aszerint, hogy ki melyik programotválasztotta. Az egyik csoport meglátogatta a híresMeteora kolostorokat, a másik csoport a tengerpartifürdőzést választotta. A Meteorákhoz ment a társaságnagyobbik fele.Az a)–g) állítások mindegyike igaz, de nem áruljukel, hogy a fürdőzőkről vagy a kirándulókról szól-e.Írj melléjük F vagy K betűt aszerint, hogy melyikszól a fürdőzős csoportról, és melyik a kirándulóstársaságról!a) Az ebben a társaságban lévő emberek negyedrésze

több, mint a másik társaság létszáma. K

b) Ebben a társaságban 6-szor annyi nő van, mint férfi. F

c) Ebben a társaságban csak házaspárok vannak. K

d) Ennek a csoportnak a létszáma osztható 4-gyel. K

e) Ennek a társaságnak a létszáma 9-cel osztható szám. K

f) Az ebben a társaságban lévők száma 7 többszöröse. F

g) Ebben a társaságban 8-szor annyian vannak az 50 év alattiak, mint az 50 évnél idősebbek. K

Tudod-e, hogy melyik társaságban hányan vannak? K = 72 F = 14

Tudjuk, hogy a kirándulók vannak többen. Ezért a) nyilván a kirándulókról szól.

Mivel összesen 86-an vannak, a) feltételből az is következik, hogy a másik társaságban nem lehet 86

ötödrészénél több ember. Tehát F �86

5. Ebből következik, hogy (mivel emberekről van szó): F � 17, és

akkor persze az is, hogy: K � 69.

c) feltételből következik, hogy az egyik társaságban páros számú ember van, de mivel együtt 86-an vannak, ez

igaz a másik társaságra is.

66



f) szerint az egyik társaság létszáma 7-tel osztható. Mivel páros is, ez azt jelenti, hogy 14-gyel is osztható. Ez

csak háromféleképpen lehetséges:

vagy F = 14, akkor K = 72

vagy K = 90, akkor F = 16

vagy K = 84, akkor F = 2

e) feltétel szerint az egyik társaságban 9-cel osztható az emberek száma, ennek alapján csak az F = 14 K = 72

eset marad. Ebből következik, hogy b) és f) a fürdőzőkről szól és 12 nő, illetve 2 férfi tartozik ide.

c) a kirándulókról szól, mert csak itt lehetnek csupa házaspárok, 36 nő és 36 férfi.

d), e) és g) a kirándulókról szól, akik között 64 ember 50 év alatti és 8 ember 50 év feletti.

12. óra

Mozgásos feladatok


A feladatok megoldásához elengedhetetlen, hogy a gyerekek biztonságosan értsék az egyenletesenmozgó test által megtett út, a mozgás ideje és a test sebessége közötti összefüggést. Azt, hogyaz út és az idő, az út és a sebesség egyenesen, a sebesség és az idő pedig fordítottan arányosak.Gyengébb képességű osztályban inkább maradjunk a legegyszerűbb feladatoknál, de ne mondjunkle arról, hogy ezeket az alapvető összefüggéseket valóban megértsék a tanítványaink.Ennél a feladattípusnál jó segítség a táblázat. Egy jó ábra vagy egy grafikon is nagyon hasznoslehet. Ezek azonban eszközök itt és nem célok, ha a grafikus ábrázolás a tanítványainknak többnehézséget okoz, mint amennyi segítséget jelent, akkor nem érdemes erőltetni. A feladatgyűjte-ményben van néhány munkalap jellegű feladat, ami segítheti a megértést és mintát adhat arra,hogyan készíthetünk magunknak matematikai ábrát egy-egy ilyen feladathoz.

Feladatok

Az 1. feladat az s = v · t összefüggést hivatott megvilágítani szemléletes és érdekes adatokonkeresztül. Ne hagyjuk ki ezt a feladatot! A mértékegység-átváltások és a törtekkel való számolásis gyakoroltatható vele. A számok általában „jóindulatúak”. Elkezdhetjük közösen, órai munkában.A szöveg elképzelését, rajzos követését segítik a feladatgyűjtemény 123. és 124. feladatai. Gyengeosztályokban mindenképp oldjuk meg őket!A 2–8. szokványos feladatok. Felvételire készülő gyerekekkel végeztessük el mindegyiket!A 9. és a 10. nem igazán mozgásos feladatok, azért kerültek ide, mert ezekben is megjelenik asebesség fogalma, méghozzá igen szemléletes formában. Gyengébb képességű gyerekek szemléle-tének fejlesztésére is alkalmasak ezek a problémák, és talán segíthetik őket a mozgásos feladatokmegértésében is.

67



Tk.: 60. oldal

1. Az adatok egy-egy állat, illetve az ember csúcsteljesítményeiről szólnak.Futóversenyen vagy menekülés közben mért adatokat találsz a táblázatban. Töltsd ki a hiányzóadatokat!

Kerti HáziZsiráf csiga sertés Oroszlán Kenguru Egér Zebra Mókus

Távolság 102 km 2 m 3 km 60 km 4 km 2160 m 8 km 5 km

Idő [perc] 2h = 120′ 31

6

h= 10′ 45 5 10 7,5′ 15

Sebesség[

km

h

]51 0,04 18 80 48 12,96 64 20

ÓriásFajta Sólyom Elefánt Ember Nyúl Csirke teknős

Távolság 158 km 10 km 25 m 7 km 4,5 km 90 m

Idő 34 perc1

4óra 2 s 7,5 perc 20 perc 20 perc

Sebesség[

km

h

]280 40 45 56 13,5 0,27

Állítsd sorba az élőlényeket sebességük szerint! kerti csiga < óriás teknős < egér < csirke <

< házi sertés < mókus < elefánt < ember < kenguru < zsiráf < nyúl < zebra < oroszlán < sólyom

Látsz-e összefüggést az állatok sebessége és mérete között? Nincs összefüggés.

2. Kati és Éva 800 méterre laknak egymástól. Kati átlag 45 métert, Éva 55 métert tesz megpercenként. Hány perc múlva találkoznak, ha egyszerre indulnak el egymás felé? 8 perc múlva.

3. Két, egymástól 14 km távolságra fekvő faluból egy időben indul el egymással szemben két

gyerek, az egyik gyalog 4,5km

h, a másik kerékpáron 16,5

km

hsebességgel haladt. Az indulásuk

után hány perc múlva találkoztak, és ekkor mekkora távolságra voltak a két falutól? 40 perc

múlva találkoztak, 3 km és 11 km távolságra a két falutól.

4. Egy faluból két gyalogos ment a városba. Az egyik egy órával előbb indult, és egy órávalkésőbb érkezett a városba, mint a másik. Az első óránként 4 km-t, a másik pedig óránként6 km-t haladt. Milyen messze van a falu a várostól? 24 km-re.

5. Egy állomásról egymás után két óra különbséggel két vonat indul. Az első óránként 48, amásodik óránként 60 km-t halad. Hány óra múlva éri utol a második vonat az elsőt? 8 óra

múlva.

6. A Sopron és Tatabánya közötti utat 72km

hsebességgel 20 perccel több idő alatt lehet megtenni,

mint 84km

hsebességgel. Milyen hosszú a két város közötti út? 168 km.

7. Egy gyalogos és egy kerékpáros 8 órakor ugyanarról a helyről indult a 12 km-re fekvő városba:

a gyalogos 6km

h, a kerékpáros 18

km

hsebességgel haladt. A kerékpáros húsz percet időzött a

városban, azután visszafordult, és ugyanazon az útvonalon haladt hazafelé, mialatt a gyalogos– megállás nélkül – a város felé közeledett. A várostól milyen távol, és mikor találkozott akerékpáros a gyalogossal? 1h 15′ múlva, az indulástól 7,5 km távolságban.

68


Tk.: 61. oldal


8. A motoroshajó távoli, tengeri útra indult. Amikor a parttól 180 mérföldre távolodott, sürgőspostával utánaküldtek egy hidroplánt. A hidroplán sebessége tízszer akkora volt, mint a hajóé.A parttól milyen távol érte utol a hajót? 200 mérföldre.

9. Egy fél cm átmérőjű gyertya égését figyeltük. A megfigyelést akkor kezdtük, amikor egy 6 cm-es darab volt a gyertyából. A gyertya egyenletesen, 12 perc alatt égett le.Percenként hány milliméterrel lett rövidebb?

Készíts a füzetedben rajzot a gyertya hosszának változásáról!a) Mikorra lett feleakkora a gyertya, mint a megfigyelés kezdetén (0 perckor) volt? 6 perc múlva.

b) Mikorra lett a gyertyacsonk 2 cm-es? 8 perc múlva.

c) Milyen magas volt a gyertya a megfigyelés előtt 5 perccel? 8 és fél cm-es.

d) Mekkora lehetett eredetileg a gyertya, ha a megfigyelés előtt 10 perccel gyújtottuk meg?11 cm-es.

10. Két gyertyánk van. Ha meggyújtjuk őket, egyenletes sebességgel fogynak.

Az egyik 15 cm hosszú és 21

2óra alatt ég le.

A másik 25 cm hosszú és 50 perc alatt ég le.a) Mikor lesznek egyenlő hosszúak, ha egyszerre gyújtjuk meg a két gyertyát? 25 perc múlva.

b) Mikor lesznek egyenlő hosszúak, ha a hosszabb gyertyát 1 órával később gyújtjuk meg? 100

perc múlva.

c) Mikor gyújtsuk meg a hosszabb gyertyát, ha azt akarjuk, hogy egyszerre égjenek le? Amikor

a rövidebbik már 100 perce ég.

11. Két tengeri kikötőből – nevezzük azokat A-nak és B-nek – egy időben indultel egy-egy hajó. Az A-ból induló a B-be, a B-ből induló az A-ba tartott. Azegyik hajó 4 óra, a másik 6 óra múlva ért a céljához, miközben találkoztak.Amikor elindultak, felszállt egy helikopter is az A kikötőből, és ellenőriztea két hajót. Ide-oda röpködött a két hajó között, óránként 300 kilométert tettmeg.

Az indulás után hány óra múlva találkozott a két hajó, és ezalatt mekkora utat tett meg ahelikopter?Készítsünk táblázatot!

69



Tk.: 62. oldal

Mivel ugyanazt a távolságot teszik meg s t v

A-ból induló hajó AB tA = 4 h vA

B-ből induló hajó BA tB = 6 h vB

tA · vA = tB · vB , azaz vA : vB = tB : tA = 6 : 4.Ebből következik, hogy a találkozási pont az AB távol-ságot 6 : 4 arányban osztja, tehát az út 0,6-énél van A-tólszámítva. Ezt az A-ból induló hajó a 4h 0,6-része alattteszi meg, tehát 2,4h múlva találkoznak.

Ezalatt a helikopter 2,4 · 300 = 720 km-t tesz meg.

12. Két motorkerékpáros egy időben indult el kirándulni. Egyenlő távolságot tettek meg, és egyidőben is érkeztek haza. Az úton mindketten megpihentek. Annyit tudunk, hogy az egyikkétszer annyi ideig volt úton, mint amennyit a másik pihent, a másik pedig háromszor annyitvolt úton, mint amennyit az első pihent.Melyik haladt gyorsabban?

(Korgyemszkij: Matematikai fejtörők)

A következő szakaszok az egyes motorosok kiinduló idejét, az úton töltött időt, és a pihenőidőt ábrázolják.

x

pihenő y y

x x x y

pihenő

úton töltött idő︷︸︸︷

︸︷︷︸úton

1. motoros

2. motoros

x + 2y = 3x + y

y = 2x

Az ábrából leolvasható, hogy a második motoros pihenőideje kétszerese az első motoros pihenőidejének. Tehát

a második motoros kevesebb idő alatt teszi meg ugyanazt az utat, azaz ő a gyorsabb.

13–14. óra

Munkavégzéssel kapcsolatos feladatok


Ebben a részben az egyik nehézség a gyerekek számára, hogy az elvégzendő munka mennyiségét1 egységnek érdemes választanunk. Jobb osztályokban megmutathatjuk, hogy ez nem szükségsze-rű, tetszőleges más mennyiség is ugyanolyan jó.A feladatok megoldása annál könnyebb, minél jobban értik a tanítványaink az arányosságokat.Segíthet nekik, ha hangsúlyozzuk, hogy az mindig segít, ha az egy időegység (óra, perc stb.)alatt elvégzett munkával okoskodnak. Ez valójában a teljesítmény, aminek a fogalmát fizikábólismerhetik, és sok szempontból analóg a mozgásos feladatok sebességfogalmával.

70


Tk.: 64. oldal


Feladatok

Az 1. és a 2., valamint a feladatgyűjteményben a 137. bevezető feladatok. A 2. feladat többrészkérdésen át vezeti el a gyerekeket az összetett feladat megoldásához. Az 1. feladat közel van agyerekek képzeletvilágához, azonkívül nagyon természetesen adódik benne a teljesítmény kiszá-mításának szükségessége. A feladatgyűjteményben szereplő 137. feladat grafikonnal szemléltetia feladat szövegét. Ezeket a feladatokat érdemes alaposan megbeszélni az osztályban. A közösmegbeszélés jó alapot adhat a további feladatmegoldáshoz.

1. A mindenízű drazsét gyártó vállalkozás kezdetben egyetlen géppel dolgozott. A termék annyiranépszerű lett, hogy hamarosan egy második, modernebb, majd rövid idő múlva egy harmadik,csúcsszuper gépet is beindítottak. Mindegyik gépről közlünk egy-egy adatot. Találd ki, hogymelyik gép dolgozott először, melyik a modernebb, és melyik a csúcsszuper!

11 óra alatt363 db-ot gyárt



csúcsszuper gép1 óra alatt 33 db

első gép1 óra alatt 28 db

modernebb gép1 óra alatt 30 db

A három gép naponta 13 óra hosszat együtt dolgozik. Egy nap alatt hány szem drazsé készül?1 óra alatt 33 + 30 + 28 = 91 db, 13 óra alatt 91 · 13 = 1183 db készül.

2. Gondos Géza, Ügyes Béla, Belevaló Józsi és Szorgos Ádám jó barátok. Ugyanakkora földetművelnek mind a négyen. Április 12-én is kinn voltak mindannyian a határban.

Gondos Géza 6 órát töltött munkával a földjén és így a föld1

5-én végezte el a tavaszi talaj-

előkészítést. Ügyes Béla 5 órát töltött kinn és a földje1

4-ével végzett. Belevaló Józsi 4 óra alatt

földje1

5-ével készült el, Szorgos Ádám 8 órát dolgozott és a földje

1

3-át művelte meg ezalatt.

a) Melyikük művelte meg 1 óra alatt a legnagyobb földterületet?b) Hány óra alatt végeznek az egyes gazdák a földjükkel?c) Egy földdarabot a négy ember együtt mennyi idő alatt művelne meg?

Gondos Géza 6 óra alatt1

5részt, 1 óra alatt

1

30részt

Ügyes Béla 5 óra alatt1


1

20részt művelt meg.

71



Tk.: 64–65. oldal

Belevaló Józsi 4 óra alatt1


1

20részt.

Szorgos Ádám 8 óra alatt1


1

24részt.

a) Béla és Józsi voltak a leggyorsabbak, ők egyforma tempóban dolgoztak.b) Gondos Géza 30 óra alatt, Ügyes Béla 20 óra alatt, Belevaló Józsi 20 óra alatt, Szorgos Ádám 24 óra alatt

végez.

c) Négyen együtt 1 óra alatt1

30+

1

20+

1

20+

1

24=

4 + 6 + 6 + 5

120=

21

120≈ 1

6-részt művelnek meg.

Ezért egy egész földdarabot közel 6 óra alatt(

120

21óra

)művelnek meg.

3. Két munkás üvegkancsókat fúj. Az első három óra alatt 8 kancsót készít, míg a másik 6 óraalatt végez ugyanennyivel. Hány óra alatt készítenek el 8 kancsót ketten együtt? 2 óra alatt.

4. A gazdaság gabonáját a nagyobb teljesítményű gép 32 nap alatt aratja le, a kisebbik 40 nap

alatt. Hány nap alatt lesz készen az aratás a két géppel?160

9= 17,7 nap alatt.

5. A talpfákat három fűrésztelep szállítja. Az egyik 5, a másik 6, a harmadik 7 nap alatt tudná az

összes talpfát leszállítani. Mennyi idő alatt szállítják le a talpfákat együtt? x =210

107≈ 2 nap alatt.

6. Egy víztartályt két csövön át lehet megtölteni vízzel. Az egyik csövön négy óra alatt, a másikcsövön öt óra alatt telik meg. Mennyi ideig kell nyitva tartani a két csövet, ha egyszerre

mindkettőből folyik a víz?20

9= 2

2

9h ≈ 2h 13′-ig.

7. A medencét az egyik cső 54 perc alatt, a másik 1 óra 48 perc alatt tölti meg. Mennyi idő alatt

telik meg a medence, ha mind a két cső nyitva van?108

3= 36 perc alatt.

8. Egy lakás parkettázásával az egyik munkás 40 óra alatt, a másik 48 óra alatt, a harmadik 60 óraalatt lenne készen. Hány óra alatt lesznek készen a munkával együtt? 16 óra alatt.

9. Egy tartályba 3 csapon át folyhat a víz. Ha egy-egy csap van nyitva, a tartály 1 óra, 2 óra, illetve

3 óra alatt telik meg. Mi történik, ha mindhárom csapot kinyitjuk?16

11≈ 1

2óra alatt megtelik a

tartály.

10. Feri a kertjüket 8 óra alatt tudja felásni, míg a bátyja 6 óra alatt végezugyanezzel a munkával. Egy alkalommal ketten fogtak az ásáshoz, s két órátdolgoztak együtt, majd Feri egyedül folytatta a munkát, és be is fejezte. Hányórát ásott Feri?

Feri 2 óra alatt a kert1

4-ét ássa fel. Bátyja 2 óra alatt a kert

1

3-át ássa fel.

Ketten együtt1

3+

1

4=

7

12, azaz a kert

7

12részét ássák fel, megmarad

5

12része. Feri egyedül 1 óra alatt

1

8

résszel végez, a maradék felásásához tehát5

12:

1

8=

10

3órára van szüksége.

10

3= 2h 20′. Tehát Feri 4h 20′-et ásott.

72


Tk.: 65. és 66. oldal


11. Egy tartályba egy kék, egy piros és egy zöld csapon át engedhetünk vizet.

A piros csap egyedül 3 óra alatt tölti meg a tartályt.

A piros és kék csap együtt 2 óra alatt, a három csap együttesen pedig 1 óra alatt tölti meg atartályt.

Külön-külön hány óra alatt töltik meg ezek a csapok a tartályt?

A piros csap egyedül 1 óra alatt1

3tartályt tölt meg. A piros és kék csap együtt 1 óra alatt

1

2tartályt tölt meg,

tehát a kék csap egyedül 1 óra alatt1

6tartályt tölt meg. A piros, a kék és a zöld együtt 1 óra alatt tölti meg a

tartályt, tehát a zöld 1 óra alatt1

2tartályt tölt meg.

Külön-külön: piros 3 órakék 6 órazöld 2 óra alatt tölti meg.

15. óra

Százalékszámítással kapcsolatos feladatok


A százalékszámítással foglalkozó feladatok nem igazán tartalmaznak új gondolatokat. A szá-zalékszámítás kezdettől fogva gyakorlati problémák megoldásához kötődött, ez a fejezet tehátteljes egészében ismétlés, összefoglalás. Új gondolatot csak a százalékszámításnak a keverésesfeladatokban való alkalmazása jelent.

Feladatok

Az 1–4. feladatok a százalékszámítás legfontosabb gondolatait felelevenítő ismétlésként szolgál-hatnak.– Az 1. feladatban meg kell keresni a 100%-ot jelentő mennyiséget a feladatok szövegében.

Gyakori probléma a százalékszámítással kapcsolatban, hogy a nehézségekkel küszködő tanulónem ismeri fel a százalékszámítás alapját, vagyis a 100%-ot.

– A 2–4. feladatokban egy-egy szöveghez kell a megfelelő megoldásterveket kiválasztani. A 2.feladatban a keresett százalék értéke, a 3. feladatban a százalékláb, a 4. feladatban a százalékalapja az ismeretlen.

1. Melyik feladatban adták meg a 100%-ot, és melyikben kell azt neked kiszámítanod?

a) Mennyi 225 -nek a 15 százaléka?225

100· 15 = x x ≈ 34

b) Melyik számnak a 15%-a a 34,15?x

100· 15 = 34,15 x ≈ 228

73



Tk.: 66–67. oldal

c) Hány százaléka 125 -nek a 213?125

100· x = 213 x ≈ 170%

d) Hány százaléka 52 a 130 -nak?130

100· x = 52 x = 40%

e) A 13 hány százaléka a 85 -nek?85

100· x = 13 x ≈ 63%

f) A 22 a 100 -nak hány százaléka? x =22

100= 22%

g) A 22 -nek hány százaléka a 100?22

100· x = 800 x ≈ 455%

h) Melyik számnak a 22%-a a 100?x

100· 22 = 100 x ≈ 455

Az a)–e) feladatok mindegyikében jelöld x-szel az ismeretlent! Írj a feladatokról egy-egyegyenletet!Nem kell megoldanod, elég ha megbecsülöd!

2. Csizmás Kandúr csizmát vásárol szezonvégi kiárusításban, az eredeti árnál 42%-kal olcsóbban.Melyek azok az egyenletek, amelyek megadják, hogy mennyit kell fizetni a csizmáért? a) és e)

Az eredeti ár 14 000 Ft volt.

a) 14 000 · 58

100= x jó b) 14 000 − 42

100= x nem jó

c) 14 000 · 0,42 = x nem jó d) 14 000 : 100 · 42 = x nem jó

e) 14 000 − 14 000 · 0,42 = x jó f) 14 000 − 14 000 · 0,58 = x nem jó

3. Hány százalékos volt az árleszállítás, ha 680 Ft helyett 430 Ft-ért vettünk 1 labdát?Válaszd ki azt az egyenletet, amelyben x a kérdésre válaszol! b) és f)

a) 680 − x · 680 = 430 nem jó b) 680 − x

100· 680 = 430 jó c) 680 · x

100= 430 nem jó

d) 430 · x

100= 680 nem jó e) 430 :

680

100= x nem jó f) 680

(100 − x

100

)= 430 jó

g) x =430 · 100

680nem jó

4. Mennyi volt Nóra fizetése januárban, ha a februári 30%-os fizetésemelés után 169 000 Ft lett?Válaszd ki azokat az egyenleteket, amelyek megadják Nóra januári fizetését! b), c), d), f)

a) 169 000 · 130

100= x nem jó b)

x · 130

100= 169 000 jó c) 169 000 : 1,3 = x jó

d) x + 0,3x = 169 000 jó e) x + 1,3x = 169 000 nem jó f) x · 1,3 = 169 000 jó

g) x · 30

100= 169 000 nem jó

5. A Semmiresejó Bt. háromféle terméket forgalmaz: kütyüt, ketyerét és mütyürt, 100, 200, illetve300 petákért darabjukat. Gyereknap előtt minden termék árát 30%-kal felemelték.Egy hónap múlva minden cikket kiárusítottak 40%-kal olcsóbban. Az eredeti árhoz képest

áremelést vagy árleszállítást jelentett ez? Hány százalékot? A · 130

100· 60

100= A · 78

10022%-os az

árleszállítás.

74


Tk.: 67. oldal


6. Egy árucikk árán kétszer változtattak.Döntsd el, hogy ez végül áremelést vagy árcsökkentést eredményezett-e, és hány százalékost!

Első árváltoztatás Második árváltoztatás Ennyi %-kal emelkedett vagy csökkent az eredeti ár

30%-os emelés 10%-os emelés 43%-os emelés 13 · 11 = 1,43

50%-os emelés 20%-os emelés 80%-os emelés 1,5 · 1,2 = 1,8

10%-os csökkentés 10%-os emelés 1%-os csökkentés 0,9 · 1,1 = 0,99

40%-os emelés 50%-os csökkentés 30%-os csökkentés 1,4 · 0,5 = 0,7


Első árváltoztatás Második árváltoztatás Ennyi %-kal emelkedett vagy csökkent az eredeti ár

30%-os emelés 10%-os emelés 43%-os emelés 13 · 11 = 1,43

50%-os emelés 20%-os emelés 80%-os emelés 1,5 · 1,2 = 1,8

10%-os csökkentés 10%-os emelés 1%-os csökkentés 0,9 · 1,1 = 0,99



7. A téli vásár alkalmával egy család kétféle ingből összesen 8 darabot vásárolt. Az egyik fajtából40%-os, a másik fajtából 28%-os volt az árkedvezmény. Az utóbbiból egy ingért 2592 Ft-ot, amásik fajta ing darabjáért 2040 Ft-ot, összesen 19 080 Ft-ot fizettek.Mennyit takarított meg a család azzal, hogy a téli vásárkor vette meg az ingeket?2592 · x + 2040 · (8 − x) = 19 080 Az elsőből 3-at, a másodikból 5-öt vettek.

Eredeti ár Új ár

Első ing a a · 0,6 = 2040 a =2040

0,6= 3400 Ft

Második ing b b · 0,72 = 2592 b =2592

0,72= 3600 Ft

3 · 3400 + 5 · 3600 − 19 080 = 9120 Ft a megtakarítás.

8. Egy textilüzem két műhelyében együttesen egy hónap alatt 12 400 m2 vásznat szőttek. A munkajobb megszervezésével az első műhelyben 12%-kal, a másikban 8%-kal növelték a termelésüket.Így a következő hónapban az első műhely dolgozói 798 m2-rel több vásznat szőttek, mint amásik műhely dolgozói.Hány négyzetméter vásznat termelt ebben a hónapban a két műhely együtt és külön-külön?Legyen x az első műhely eredeti termelése. Így a második műhelyé 12 400 − x.

Első műhely új termelése: 1,12x

Második műhely új termelése: (12 400 − x) · 1,08

1,12x = 1,08 · (12 400 − x) + 798

x = 6450

12 400 − x = 5950

Az új termelés az első műhelyben 7224 m2, a másodikban 6426 m2, együtt 13 650 m2 vásznat termelt.

9. Egy gyár az egyik évben 50%-kal, a következő évben 20%-kal növelte a termelését. Így amásodik évben 15 300 darabot állított elő termékéből. Hány darab volt a termelés eredetileg, éshány darab a harmadik évben?Első évi termelés: 10 200

Harmadik évi termelés: 18 360

75



Tk.: 69. oldal

16. óra

Keveréses feladatok

Tk.: 69. oldalon 1–9. feladatok

Feladatok

1. Kétféle kávéból 240 kg-ot kevernek össze: a jobb minőségűből 2330 Ft 1 kg ára, a másik fajtából

1270 Ft. A keveréket 1800Ft

kg-os áron akarják eladni. Hány kilogramm kávét használjanak fel

a keverékhez az egyik, és mennyit a másik fajtából?

Tömeg [kg] Egységár [Ft/kg] Ár [Ft]

Jobbik kávé x 2330 x · 2330

Gyengébb kávé 240 − x 1270 (240 − x) · 1270

Keverék 240 1800 240 · 1800

x · 2330 + (240 − x) · 1270 = 240 · 1800 x = 120

A jobbik kávéból 120 kg, a gyengébb minőségűből is 120 kg-ot kell tenni a keverékbe.

2. Mennyi vizet kell öntenünk 30 liter 80◦-os erősségű alkoholhoz, hogy 50◦ erősségű alkoholtkapjunk?

Teljes térfogat [l] Töménység [%] Tömény anyag [l]

Alkohol 30 80 30 · 80

100= 24

Víz x 0 0

Keverék (30 + x) 50 24(30 + x) · 1

2= 24 x = 18 l.

3. Mennyi vizet kell a 320 gramm 10%-os rézgálicoldathoz tölteni, hogy a keverék 4,5%-oslegyen? 391,1 gramm vizet.

4. 110 gramm 80%-os alkoholhoz 90 gramm vizet adunk. Hány százalékos alkoholt kapunk?

110 g 80%-os alkoholban 110 · 80

100= 88 g tiszta alkohol van.

Ehhez 90 g vizet adunk, így 200 g x%-os alkoholt kapunk, amiben 88 g tiszta alkohol van.

200 · x

100= 88

x = 44, tehát a keverék 44%-os lett.

Keveréses feladatoknál célszerű az adatokat táblázatba foglalni. Vigyázni kell arra, hogy a tömegek (térfogatok)

összeadódnak, de a százalékok nem!

Teljes tömeg [g] Töménység %-ban Tömény anyag tömege [g]

Eredeti anyag 110 80% 110 · 80

100= 88

Hozzáadott anyag 90 0% 0

Keverék anyag 200 x% 88

200 · x

100= 88 x = 44 Tehát a keverék 44%-os.

76


Tk.: 69. oldal


5. 220 gramm 12%-os cukoroldathoz 80 gramm vizet öntünk. Hány százalékos oldatot kapunk?Teljes tömeg [g] Töménység [%] Tömény anyag tömege [g]

Eredeti anyag 220 12 220 · 12

100− 26,4

Hozzáadott anyag 80 0 0

Keverék 300 x 26,4

300 · x

100= 26,4 x = 8,8 Tehát az oldat 8,8%-os.

6. Fél liter 70%-os gyümölcsszörpöt vásároltunk.a) Mennyi valódi gyümölcslét tartalmaz ez?b) Felhígítottuk vízzel úgy, hogy 20%-os töménységű legyen. Mennyi vizet töltöttünk hozzá?

Teljes térfogat [l] Töménység [%] Gyümölcstartalom [l]

Eredeti szörp 0,5 70 0,5 · 0,7 = 0,35

Víz x 0 0

Hígított szörp 0,5 + x 20 0,35

(0,5 + x) · 20

100=

35

100x = 1,25 1,25 l vizet kell hozzáöntenünk.

7. Hány kilogramm vizet kell elpárologtatni ahhoz, hogy 8 kg 30% sót tartalmazó oldatból 50%-osoldatot kapjunk?

Teljes tömeg [kg] Töménység [%] Só tömege [kg]

Eredeti oldat 8 30 8 · 0,3 = 2,4

Víz x 0 0

Sűrített oldat 8 − x 50 2,4

8 − x

2= 2,4 x = 3,2 3,2 kg vizet kell elpárologtatni.

8. 100 gramm 15%-os töménységű oldathoz 25 gramm vizet öntünk. Hány százalékos oldatotkapunk?

Teljes tömeg [g] Töménység [%] Tömény anyag [g]

Oldat 100 15 100 · 15

100= 15

Víz 25 0 0

Hígított oldat 125 x 15

125 · x

100= 15 x = 12 12%-os lett az oldat.

9. Ugyanannak a savnak 8 liter 45%-os és 4 liter 60%-os oldatát összekeverjük, hány százalékosoldatot kapunk?

Teljes térfogat [l] Töménység [%] Tömény anyag [l]

Egyik savas oldat 8 45 8 · 45

100= 3,6

Másik savas oldat 4 60 4 · 0,6 = 2,4

Keverék 12 x 6

x = 50 Tehát 50%-os a keverék.

77



Tk.: 70. oldal

TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ

1. 3 kg almát x Ft-ért vásárolunk. A körte kilója 20 Ft-tal drágább, mint az almáé.Írj képletet, ami megadja, hogy:

a) mennyibe kerül 10 kg alma,x

3· 10 Ft

b) mennyibe kerül 10 kg körte,(x

3+ 20

)· 10 Ft

c) mennyit kell fizetni, ha 12 kg almát és 9 kg körtét veszünk,x

3· 12 +

(x

3+ 20

)· 9 Ft-ot.

d) 6 kg körtét és valamennyi almát vásároltunk! Összesen 1200 Ft-ot fizettünk. Írj képletet, ami

megmondja azt, hogy hány kg almát vettünk! a kg almát vettünk, akkorx

3· a +

(x

3+ 20

)· 6 = 1200

2. Végezd el a lehetséges összevonásokat!

a) a + a2 − 5,5a = −4,5a + a2

b) ab2 − 2ab + 5,1ab2 + a2b = 6,1ab2 − 2ab + a2b

c)1

2x − 5

3y +

2x

3+

y

6+ 2 =

7

6x − 9

6y + 2 =

7

6x − 3

2y + 2

3. Bontsd fel a zárójeleket, és végezd el az összevonásokat!

a) 5(2a − 3b) − (8a − b) = 2a − 14b

b) 3x(x − y) − 2xy + (xy − y2) = 3x2 − 4xy − y2

c)2x

3+

x − 2

2+

3x + 1

6=

5

3x − 5

6


a) 3(x − 4) − (5 − 2x) = 5(2x − 1) − 27 x = 3 b) −2x +x − 5

4= x +

3

2x = −1

c) 3x − 3x − 9

4= 9 x = 3


a2 · a7 = a9 b · b3 = b4 23 · a3 = (2a)3 (x2)3 = x6

x8

x4= x4 a4

16=

(a

2

)4 x7 · x2

x3= x6 a8 · 8

a5= (2a)3

6. Írj a kifejezéssel azonosat, zárójelek nélkül!

(ab)3 = a3 · b3 (2xy)2 = 4x2y2

(1

x

)6

=1

x6(b

3

)2

=b2

9

(3x

y

z

)3= 27x3 y3

z3


(x − 3)(x + 5) = x2 + 2x − 15 (a − b)(2a + 3) = 2a2 + 3a − 3b − 2ab(x

2− 1

) (y

3+ 2

)=

xy

6+ x − y

3− 2

78


Tk.: 70. oldal


8. Írd fel az összegeket szorzat alakban!

2ab + 3b = b(2a + 3) 5x2y − 15xy = 5xy(x − 3) 12ab − 3b2 = 3b(a − b)

9. Egy áruházban egy kiárusítás alkalmával minden ruházati cikk árát 50%-kal leszállították. Kéthét elteltével az árakat 50%-kal felemelték.a) Hogyan változott a hátizsák ára, ami eredetileg 5200 Ft-ba került? Először 2600 Ft lett, azután

3900 Ft lett.

b) A kétszeres árváltoztatás emelést vagy csökkentést jelent az eredeti árhoz képest? Hányszázalékkal változott az eredeti ár? Csökkentést (A · 0,5 · 1,5 = A · 0,75) 25%-kal.

c) A 40%-os árleszállítás után hány százalékos emelés lenne szükséges ahhoz, hogy visszakap-

juk az eredeti árakat? A · 60

100· x

100= A x =

10 000

60≈ 166 ≈ 66%-os emelés.

10. Egy külföldi gyár Magyarországról műszereket rendelt. Ezek elkészítését az egyik gyár 4 hó-napra, a másik 6 hónapra vállalta. A megrendelő kérésére a két gyár együttesen készítette el aműszereket. Hány hónap múlva készültek el így a munkával? 1 hónap alatt a két gyár együtt a munka1

4+

1

6=

5

12részével készül el. Az egész munkához 1 :

5

12=

12

5≈ 2,4 hónapra van szükség.

79


N�gyzetgy�k

NÉGYZETGYÖK, PITAGORASZ-TÉTEL

1–2. óra: A négyzetgyök3. óra: Hosszúság és terület meghatározása rácson

4–5. óra: Pitagorasz-tétel6–9. óra: A Pitagorasz-tétel alkalmazása10. óra: Tájékozódó felmérő

Mire építünk?

Az előző fejezetben átismételték a gyerekek a racionális számkörben tanult összes műveletet, a mű-veletek sorrendjét, a hatványozás azonosságait. Az algebrai kifejezések tárgyalása során gyakorlatotszereztek összeg és különbség szorzásában. Téglalapok területét felírták algebrai kifejezésekkel.Az előző években rácson megadott síkidomok területét meghatározták méréssel és anélkül is(átdarabolással, kiegészítéssel).

Meddig jutunk el a 8. osztályban?

Bevezetjük a négyzetgyök fogalmát:√

a, az a területű négyzet oldala. Számok négyzetgyökétvagy azok közelítő értékét meghatározhatjuk a négyzettáblázat segítségével, szerkesztéssel, grafikonsegítségével, zsebszámológéppel. Megismerkedünk a nem szakaszos végtelen tizedes törtekkel,ezekkel a nem racionális számokkal bővítve a racionális számok halmazát eljutunk a valós számokhalmazáig.A Pitagorasz-tétel bizonyítását előkészítendő, területet és hosszúságot határozunk meg rácson, mérésnélkül.Kimondjuk a Pitagorasz-tételt, és bizonyítjuk azt. Megemlítjük a megfordítását is. Meghatározzukalakzatok (derékszögű háromszög, egyenlő szárú háromszög, négyzet, téglalap, kocka, téglatest)egyes hiányzó adatait a tanult összefüggések alapján.

Hogyan folytatjuk?

A geometria fejezetben alkalmazniuk kell a gyerekeknek az itt tanultakat az ebben a fejezetben nemtárgyalt alakzatok hiányzó adatainak a meghatározásában.

Minimális követelmény

A négyzetgyök fogalmának ismerete, számok négyzetének, számok négyzetgyökének meghatározásazsebszámológép segítségével. A Pitagorasz-tétel ismerete (bizonyítás nélkül).

80


N�gyzetgy�k

1–2. óra

A négyzetgyök

Tk.: 74–75. oldalon az 1–17. feladatokFgy.: 156–169.

Megállapítjuk a nem teljes négyzet négyzetgyökét is. Tervszerű próbálgatással, táblázatból,illetve zsebszámológéppel állapíttatjuk meg a keresett négyzetgyököt. Megállapítjuk, hogy anégyzetgyökvonás eredményeképpen kaphatunk nem szakaszos végtelen tizedes törteket is (nemracionális, azaz irracionális számokat), melyekkel bővítve a racionális számok halmazát a valósszámokhoz jutunk.Eszközök: négyzettáblázat fólián, milliméterpapír, zsebszámológép.

A bevezető példában arra a kérdésre keressük a választ, hogy mekkora az oldala annak anégyzetnek, amelynek területe a rácsról leolvasható. Felvetődik a kérdés, hogy mekkora a négyzetoldala, ha a területe 2 területegység. Ezen a konkrét példán keresztül vezetjük be a négyzetgyökfogalmát. Megszerkesztjük az oldalt, és megmérjük. Majd egyre jobb közelítéssel adjuk meg.A tizedes tört alakból jól látják a gyerekek, hogy egyre közeledünk egy számhoz. Fontosállomáshoz érkeztünk a számfogalom kialakításának útján. Miközben azt a számot keressük,amelynek a négyzete 2, felfedezhetik a gyerekek, hogy ez a szám más, mint amilyeneket eddigmegismertünk. Az eljárás során rájöhetnek, hogy ezt a számot szakaszos végtelen tizedes törtalakban nem tudjuk megadni. Megszerkeszthető, akármilyen pontosan megadható, de nem írhatófel két egész szám hányadosaként. Talán úgy képzeltethető el a gyerekekkel legszemléletesebben,ha elmondjuk nekik, hogy ennek a négyzetnek az oldalát akárhányszor mérjük fel egymásután, az így kapott szakaszok hossza sohasem lesz egész szám. Ellenpéldaként vegyünk egytetszőleges szakaszos tizedes törtet! Írjuk fel tört alakban! Ha ezt megszorozzuk a nevezőjénektöbbszöröseivel, mindig egész számhoz jutunk. Annak belátása, hogy csak a racionális számoktizedes tört alakja szakaszos, nem várható el a gyerekektől, de talán az igen, hogy mindenracionálisé az.Pálfalvi Józsefné Matematika didaktikusan c. könyvében (Typotex, 2000) részletesen foglalkozikezzel a kérdéssel. Ebből idézünk részleteket. „Bármely racionális szám végtelen tizedes tört alakjaszakaszos. Ha elosztunk egy n egész számot k (k�0) egész számmal, akkor előfordulhat, hogyaz osztás befejeződik (ha nem osztható k-val, akkor csak egy vagy több tizedesjegy után): ekkora szakasz 0, az ismétlődik a végtelenségig. A racionális számok között az egész számok és avéges tizedes törtek szakasza csupa 0-ból áll, és az egész számoké mindjárt a tizedesvessző utánkezdődik. Minden egész számnak ilyen a szakasza és csak ezeké ilyen. Az is előfordulhat, hogya szokásos osztási eljárás nem fejeződik be, vagyis az osztandóban túljutottunk az egész számvégén, és ezután sohasem lesz a maradék 0, mindig valami 0-tól különböző egész szám: 1 vagy2, vagy 3, vagy . . . , vagy (k − 1).Ettől kezdve, ha egy maradék ismétlődik, akkor a hányados következő jegye is az, ami már volt,tehát a következő maradék is ugyanaz, ami egyszer már volt, és így tovább: az egész osztásifolyamat ismétlődik változatlanul a végtelenségig. Így nemcsak azt tudjuk, hogy az n/k racionálisszám végtelen tizedes tört alakja mindig szakaszos, hanem azt is, hogy a szakasz legfeljebb (k−1)jegyből áll.”

81


N�gyzetgy�k

Tk.: 74. oldal

Mondjuk el, hogy az irracionális számokkal bővítve a racionális számok halmazát, a valósszámokat kapjuk! (Nem tantervi követelmény, de a felvételi feladatokban előfordul az elnevezés.)A négyzetgyök fogalmát így vezetjük be:

√a, az a területű négyzet oldala. Ez a bevezetés azért

is célszerű, mert így természetes, hogy a � 0, és így√

a � 0.A 2. példa az x2 = a típusú nyitott mondat megoldását kívánja, eközben rögtön kérdésessé válika

√a egyértelműsége.

Ne kívánjuk meg a gyerekektől, hogy ezeket az egyenleteket egyedül megoldják! A közösmegoldás során tisztázzuk, hogy az x2 = a egyenlet csak a � 0-ra oldható meg, és ilyen a

értékekre ennek x =√

a az egyik, x = −√a a másik megoldása.

A 3. példában táblázat segítségével határozzuk meg számok négyzetgyökét. Az eljárás megtanításamellett szólnak a következő érvek:– nincs minden gyereknek zsebszámológépe,– nagyon jó alkalom nyílik a hatványozás azonosságainak alkalmazására,– fejleszti a logikus gondolkodást,– kultúrtörténeti érdekesség is egyben.A 4. példa ennek kiterjesztése 100-nál nagyobb és 1-nél kisebb számokra.Az 5. példában az x2 és a

√a függvény kapcsolatára hívjuk fel a figyelmet. Olvasunk a grafikonról,

és a leolvasást a táblázat vagy a zsebszámológép segítségével ellenőrizzük.

Feladatok

1. Hány 100-nál kisebb négyzetszám van? 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, azaz tíz száznál kisebb

négyzetszám van.

2. a) Természetes számok néhány első jegyét letakartuk. Melyik lehet ezek közül négyzetszám?

3, 4, 10, 600, 21, 5 000, 0 000A négyzetszámok utolsó jegye csak 0, 1, 4, 5, 6 és 9 lehet. Ha nullára végződik, akkor csak páros számú nulla

lehet a végén. A 3, a 10, 5 000 számok nem lehetnek négyzetszámok.

b) Prímtényezős alakban adtuk meg a számokat. Melyik nem négyzetszám?

24 · 54, 22 · 32, 54 · 74, 22 · 36, 28, 2 · 34 · 52 nem négyzetszám, (2 · 5)4 · 32

3. Számítsd ki!a) 9 · 102 900 b) 0,09 · 102 9 c) 89,3 · 103 89 300 d) 0,54 · 104 5400

e) 0,042 · 105 4200 f) 3 : 102 0,03 g) 0,04 : 102 0,0004 h) 9608 : 103 9,608

i) 465 : 104 0,0465 j) 0,065 : 104 0,000 006 5

4. Add meg az ismeretlen számokat!

a) a · 102 = 6,25 0,0625 b) b · 104 = 13 0,0013 c) c · 102 = 12,4 0,124

d) d · 106 = 5 0,000 005 e) e : 102 = 35 3500 f) f : 104 = 4,1 41 000

g) g : 102 = 7,14 714 h) h : 106 = 8 8 000 000

5. Írd fel a számokat kéttényezős szorzatként úgy, hogy az egyik tényező 1 és 100 közé essen, amásik 10 páros kitevőjű hatványa legyen!a) 400, 4 · 102 1600, 16 · 102 16 900, 1,69 · 104 196 000, 19,6 · 104 722 500 72,25 · 104

b) 0,9, 90 : 102 0,04, 4 : 102 0,225, 22,5 : 102 0,0169, 1,69 : 102 0,003 025 30,25 : 104

82


Tk.: 74–75. oldal

N�gyzetgy�k

6. a) Határozd meg a négyzetek területét! A területmérés egysége: 1 .A területek rendre: 8, 10, 13, 16, 18, 25.

b) A területükből 1 tizedesjegy pontossággal határozd meg a négyzetek oldalainak hosszát!Az oldalak hosszának kiszámítására szerkesztést vagy közelítést javasolunk, az alábbi módon.

„Melyik az a szám, amelynek négyzete 8?” A 2 kicsi, a 3 nagy. A 2,5 kicsi, mert 2,52 = 6,25. A 2,8 a jó, mert

a 2,9 négyzete nagyobb, mint 8. A „túl kicsi, túl nagy” módszerrel egy tizedesjegy pontossággal 2,8-et, két

tizedesjegy pontossággal 2,83-ot kapunk.

Az oldalak rendre 2,8; 3,1; 3,6; 4; 4,2; 5. (1 tizedesjegy pontossággal)

c) Milyen szabály szerint színezhettük a négyzeteket? A sárga négyzetek oldalának mérőszáma egész

szám, mert területük mérőszáma négyzetszám.

d) Számegyenesen jelöld a négyzetek oldalainak hosszát! Szakaszmásolással oldjuk meg a feladatot.

1

A BC

DE

F

7. Számítsd ki!a)

√32 3 b)

√252 25 c)

√81 9 d)

(√9)2

9

e)(√

26)2

26 f)√

(−4)2 4 g)√

−42 nincs értelmezve h)√

0 0

8. Melyik igaz, melyik nem? A g), h), i) állítások hamisak, a többi igaz.

a)√

9 ·√

4 =√

9 · 4 b)√

25 ·√

16 =√

25 · 16 c)√

10 ·√

10 =√

10 · 10

d)√

100 ·√

100 =√

100 · 100 e)

√4√64

=

√4

64f)

√125 :

√25 =

√125 : 25

g)√

16 +√

9 =√

16 + 9 h)√

100 −√

64 =√

100 − 64 i)√

125 − 25 =√

125 −√

25

9. Számítsd ki!a) 1,72 2,890 b) 3,012 9,060 c) 4,252 18,06 d) 5,092 25,91 e) 9,992 99,80

f) 172 289 g) 1702 28 900 h) 0,172 0,0289 i) 4252 180 625 j) 0,00992 0,000 098 01

10. a) Keresd meg az egyenlőket! 4,9 · 103, 4900 : 102, 49 · 102, 0,49 · 102, 49 000 : 103

4,9 · 103 = 49 · 102 = 4900; 4900 : 102 = 0,49 · 102 = 49000 : 103 = 49

b) Melyiknek tudod könnyen kiszámítani a négyzetgyökét? 9 · 100, 16 · 10, 25 · 10 000,64 · 1000, 2,25 · 102, 81 : 102, 36 : 103, 6,25 : 104, 81 : 105, 1,44 : 106√

9 · 100 =√

9 ·√

100 = 3 · 10 = 30;√

25 · 10000 =√

25 ·√

10000 = 5 · 100 = 500;√2,25 · 102 =

√2,25 ·

√102 = 1,5 · 10 = 15;

√81 : 102 =

√81 :

√102 = 9 : 10 = 0,9;√

6,25 : 104 =√

6,25 :√

104 = 2,5 : 102 = 0,025;√

1,44 : 106 =√

1,44 :√

106 = 1,2 : 103 = 0,0012.

11. Számítsd ki!a)

√2,56 1,6 b)

√3,349 1,83 c)

√9,303 3,05 d)

√12,67 3,56 e)

√82,63 9,09

f)√

361 19 g)√

28 900 170 h)√

0,1050 0,324 i)√

942,5 30,7 j)√

0,0121 0,11

83


N�gyzetgy�k

Tk.: 75. oldal

12. Mennyi a négyzet területe, ha az oldala

a) 1,45 m, 2,1025 b) 14,5 m, 210,25 c) 0,145 m, 0,021 025 d) 0,0145 m? 0,000 210 25

A mértékegység mindenütt m2.

13. Mennyi a négyzet oldala, ha a területe

a) 225 cm2, 15 cm b) 22,5 cm2, 4,74 cm c) 2,25 cm2, 1,5 cm d) 0,225 cm2? 0,47 cmItt is érdemes beszélni a pontos és közelítő értékekről. A 15 és az 1,5 pontos értékek, a 4,74, illetve a 0,47 közelítőértékek. A két utóbbinak a kerekített értékét célszerű megadni, hiszen ilyen pontosságú adatokkal a valóságbannem számolunk.

14. Mennyi a kocka felszíne, ha az éle

a) 5,8 dm, 201,84 b) 58 dm, 20 184 c) 580 dm, 2 018 400 d) 0,58 dm? 2,0184

A mértékegység mindenütt dm2.

15. Mekkora a kocka éle, ha a felszíne

a) 150 cm2, 5 cm b) 1500 cm2, közel 15,8 cm c) 15 000 cm2, 50 cm d) 1,5 cm2? 0,5 cm


a) x2 = 16 4; −4 b) x2 − 12 = 24 6; −6 c) (x − 2)2 = 0 2 d) (x − 3)2 = 9 6; 0

17. Helyezd el a halmazábrában a számokat!√2

5

3 4

9−2 0√

4

6

3

0,1̇

9,23̇

√1,41

√5

5

3, −2, 0,

√2,

√4, 0,1̇,

√5, −6

3, 9,2̇3̇,√

4

9,

√1,41

3. óra

Hosszúság és terület meghatározása rácson


A Pitagorasz-tétel tárgyalása előtt célszerű rácsnégyszögek területét meghatározni. (Rácssokszö-gön olyan sokszöget értünk, amelynek csúcsai egy négyzetrács pontjai.)Két megoldást elevenítünk fel a kidolgozott példában, az átdarabolást, valamint a rácssokszögnekegy olyan nagyobb idommá való kiegészítését, amelynek már könnyű kiszámítani a területét és akiegészítő idomok területét is.A 2. példában szakaszok hosszát hasonlítjuk össze, mérés nélkül. A „Melyik szakasz hosszabb?”,„Egyenlő szárú-e a háromszög?” típusú kérdések nem a négyzetek területére kérdeznek rá, de aszakaszokra állított négyzetek területének meghatározása segít a megoldásban. A gyerekeknek átkell látniuk: ha két négyzet területe egyenlő, akkor az oldaluk is az; ha viszont valamelyikneknagyobb a területe, akkor az oldalának hossza is az. Ennek alapján tudjuk eldönteni két, arácsvonalakhoz képest ferde szakaszról, hogy melyik hosszabb. Ehhez nem kell sem Pitagorasztételét tudni, sem a négyzetgyökvonást.

84


Tk.: 76–77. oldal

N�gyzetgy�k

Sok gyerek számára okoz gondot a rács vonalaihoz képest ferde szakaszra merőlegest állítani.Ennek a tudásnak a birtokában számlálással el lehet dönteni egy szögről, hogy derékszög-evagy sem. (Ez a gyakorlat a 90◦-os forgatást a koordináta-rendszerben és a koordinátageometriaiismereteket készíti elő.)

Feladatok

E feladatok megoldásában ne használj vonalzót mérésre!

1. Mekkora a rácssokszögek terü-1

16

m = 2

433

33

16 + 4 · 2,5 = 26 4 + 12 = 16

lete? A területmérés egysége 1 .(A rácssokszögek csúcsai a négy-zetrács pontjai.)Az első alakzat területét számlálással, a

másodikét átdarabolással, a harmadikét

kiegészítéssel vagy számítással célszerű

meghatározni. A területek: 35, 26, 16

területegység.

2. A megadott szakaszok négyzetek oldalai. Mekkora a négyzetek területe?A területmérés egysége 1 . Melyik négyzet oldala a legnagyobb? A területek rendre: 16; 18; 17; 20;

26. Az e) területe a legnagyobb, így az oldala is a leghosszabb.

1 a) b) c) d) e)

t = 16t = 18

t = 17 t = 20t = 26

3. A piros vagy a kék négyzet oldala a hosszabb? a) A kéké (25; 26) b) A kéké (50; 52).

1 a) b)

t = 1 + 4 · 6 = 25 t = 16 + 4 · 2,5 = 26t = 36 + 4 · 3,5 = 50 t = 4 + 4 · 12 = 52

85


N�gyzetgy�k

Tk.: 77. oldal

4. Melyik háromszög nem tükrös? B és C.

1

AB

C

5. Hány fokos a rácsháromszög α szöge?

α

A kérdezett szög 135◦. C-ben állítsunk merőlegest AC szakaszra, és erre mérjük

A

A′

B

Cfel AC szakasz hosszát! AA′C háromszög és A′BC háromszög is egyenlő szárú.ACA′ szög és CA′B szögek derékszögek. BCA′ ezért 45 fokos.ACB� = 90◦ + 45◦ = 135◦.

6.

A

B

C

D

Egy hebehurgya, de agyafúrt inasnak egy 13 × 5-ös deszkát kellett volna lefűrészelnie egydrága fából. E helyett egynégyzet alakú deszkát vá-gott le. Rájött a tévedésére,s a négyzet alakú deszkát azábrán látható módon szétfű-részelte, és a kért téglalapalakú deszkává ragasztottaössze a rajzon látható mó-don.Az asztalosmester gyakorlott szeme azonban hamar észrevette a turpisságot. Mi a hiba?

(Ignatyev: A találékonyság birodalmában)

A négyzet területe 64 egység, a téglalapé 65. A keletkezett alakzat nem téglalap. Ennek oka, hogy A, B, C és D

pontok nem esnek egy egyenesbe. AB szakasz meredeksége nem egyezik meg az AD szakasz meredekségével,ezért keletkezik egy pici „rés”, melynek területe éppen 1 területegység.

86


Pitagorasz�t�tel

4–5. óra

Pitagorasz-tétel

Tk.: 83–84. oldalon 1–4. feladatokFgy.: 173.

Az óra célja: a Pitagorasz-tétel felfedeztetése, bizonyítása, alkalmazása, derékszögű háromszögekismeretlen oldalának kiszámítása (síkban és térben).

Miért tanítjuk már az általános iskolában e tételt?

Több érv szól e tétel kiválasztása mellett, ezek közül csak néhányat sorolunk fel:– egy eléggé egyszerű bizonyításra látnak példát a gyerekek,– a tétel felhasználásával mérés nélkül is meg tudnak határozni hosszúságokat,– újabb példát látnak a képlet alkotására, illetve a megalkotott képlet használatának hasznossá-

gára,– a számítások során becsléseket végeznek, megismerik a zsebszámológép eddig nem használt

funkcióit, alkalmazniuk kell a műveleti azonosságokat.A tankönyvben leírt hindu bizonyítást nem kell kötelezően számon kérni. Elmesélhetjük, hogy aPitagorasz-tételre sok bizonyítás született, emelt óraszámban dolgozó osztályban, illetve szakkörönérdemes egy-egy szép bizonyítást megbeszélni. Szakköri füzet foglalkozik a tétellel, abbantalálhatunk más bizonyításokat is.Ha a tételt a tankönyv 3., 4. vagy a feladatgyűjtemény 173. feladatán keresztül fedeztetjük fel,akkor az előző órán ellenőriznünk kell, hogy tudnak-e a gyerekek a rácshoz képest ferde szakaszranégyzetet emelni. Ez legalább olyan fontos képesség, mint körzővel és vonalzóval szerkeszteninégyzetet. A merőleges egyenesek rajzolása közben a gyerekeknek nagy segítség, ha mondják is,hogy mit csinálnak, például így: „itt 3 előre, 4 fölfelé, ott pedig 3 előre és 4 visszafelé”.

A tankönyv 3., 4. és a feladatgyűjtemény 173. feladatainak feldolgozása közben a gyerekek atétellel együtt egyszerre ismerhetik fel azt is, ha a két oldal által bezárt szög hegyesszög, akkora szöggel szemközti oldal négyzete kisebb, mint a szöget bezáró két oldal négyzetének összege,tompaszög esetén pedig nagyobb. Ez a felismerés nagyon fontos, mert azt mutatja meg, hogya Pitagorasz-tétel egy speciális eset, átmenet a másik két eset között. Ezt a folyamatosságotigyekszik sugallni a tankönyvi „körzős” rajz is. Másrészt ebből egyszerre következik a tételmegfordítása is. A gyerekeknek ezt a három összefüggést kell látniuk és tudniuk, és ezt nagyonbiztosan.Ezért került a tankönyvi feladatok közé olyan feladat, amelyben az oldalak adottak, és ebből kellmegállapítani a gyerekeknek, hogy szögei szerint milyen fajta a háromszög.

87



Tk.: 83–84. oldal

Feladatok

1. Igaz-e, hogy bármely négyzet átdarabolható két egybevágónégyzetté? Igaz. A feladattal a 2. feladatot készítjük elő, ami ennek

a gondolatnak a megfordítása.

2. Egy négyzet alakú halastó területét úgy szeretnék megkétsze-rezni, hogy négyzet alakú maradjon és a sarkain álló nyárfákatne kelljen kivágni. Hogyan lehetséges ezt megvalósítani?

3. Igaz-e minden egyenlő szárú háromszögre, hogy az alapraemelt négyzet területe egyenlő a két szárra emelt négyzet te-rületeinek összegével? Az alábbi háromszögeken vizsgálódj!

A B C D E F

az alapra emelt négyzet területe 20 4 32 26 16 50

a szárakra emelt négyzetek területeinekösszege

20 20 20 26 26 26

A B C D E F

az alapra emelt négyzet területe 20 4 32 26 16 50

a szárakra emelt négyzetek területeinekösszege

20 20 20 26 26 26

4. Mennyi a háromszögek oldalaira rajzolt négyzetek területe?Mely háromszögekre igaz, hogy a leghosszabb oldalukra állított négyzet területe egyenlő amásik két oldalukra állított négyzetek területeinek összegével?Csoportmunkára javasoljuk!

a b c d e f g

I. 1 2 2 4 5 9 8

II. 1 9 8 4 8 9 8

III. 2 17 10 8 9 18 16

igaz hamis igaz igaz hamis igaz igaz

88


Tk.: 84. oldal


Ha a háromszög derékszögű, akkor a befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt

négyzet területével.

Ez az a), c), d), f), g) háromszögekre igaz.

6–10. óra

A Pitagorasz-tétel alkalmazása


Az óra célja: a Pitagorasz-tétel alkalmazása egyenlő szárú háromszög, kocka ismeretlen adatainakmeghatározásában. Kerület, terület, felszín kiszámítása a Pitagorasz-tétel felhasználásával. Gya-korlati példák megoldása a tétel felhasználásával. A tétel megfordításának felhasználása annakeldöntésére, hogy szögei szerint milyen fajta egy háromszög.A Pitagorasz-tétel alkalmazására sokféle példát hoztunk. Ezekben eleinte olyan számhármasokkaltalálkoznak a gyerekek, amelyek mindegyike egész, azaz pitagoraszi számhármas. Kitekintőbenbeszélünk arról is, hogy ezeket pontos derékszögek kitűzésére használták az egyiptomiak.A Pitagorasz-tétel megfordítását kevés feladatban használjuk fel. Történeti érdekessége is van,hiszen a derékszög kitűzése a tétel megfordításán alapszik. Az egyiptomiak 3, 4, 5 egységnyioldalú háromszöggel, a hinduk 5, 12, 15 egységnyi oldalú háromszöggel tűzték ki a derékszögűháromszöget.A megfordítás bizonyítását emelt szintű osztályban, illetve szakkörön megnézhetjük. A feltétel: a,b, c egy háromszög három oldala és a2 + b2 = c2. Ebből következik a tétel: a c-vel szemközti szögderékszög. Bizonyítás: a és b befogókkal szerkesszünk derékszögű háromszöget; ennek átfogójanégyzetre emelve a két befogó négyzetének összegét adja. De a megadott háromszög harmadikoldalának négyzete: c2 is egyenlő a feltétel szerint a2 + b2-tel. A két háromszög egyezik háromoldalban, tehát egybevágók.

5. Milyen messze vannak a koordináta-rendszer kezdőpontjától az alábbi pontok?A(3; 4) 5 B(−5; 12) 13 C(−6; −8) 10 D(12; −5) 13

89



Tk.: 84–85. oldal

6. Milyen messze van a koordináta-rendszer kezdőpontjától az a pont, amelynek az egyiktengelytől való távolsága 3, a másiktól pedig 4 hosszúságegység? Hány ilyen pont van?5 egységnyire vannak az ilyen tulajdonságú pontok, 8 ilyen pont van.

7. Számítsd ki az átfogók hosszúságát!

a) b) c)

a) c = 10 cm b) c =√

78,88 cm ≈ 8,9 cm c) c =√

2,8125 dm ≈ 1,68 dm

8. Számítsd ki a befogók hosszúságát!

a) b) c)

a) a =√

400 cm = 20 cm b) a =√

1,48 dm ≈ 1,22 dm c) b =√

2800 cm ≈ 52,9 cm

9. Milyen messze van egymástól az A és a B pont?

a) A(3; 6), B(3; 11) 5 b) A(4; 9), B(11; 9) 7 c) A(2; 1), B(6; 4) 5

d) A(−1; −1), B(3; 2) 5 e) A(−3; −2), B(9; 3) 13 f) A(−5; −2), B(1; 4)√

72 ≈ 8,5

10. Számítsd ki a tükrös háromszögek kérdezett hosszúságait!

a) b) c)

a) b = 5 cm b) m =√

843,75 cm ≈ 29 cm c) a = 4 dm

90


Tk.: 85–86. oldal


11. Milyen hosszú utat kell megtennie

h

1,2 m

az emelkedőn a tolókocsis férfi-nak, hogy eljusson a bankautoma-táig?h2 = 142 + 1,22 = 196 + 1,44 = 197,44

h =√

197,44 m ≈ 14,05 m

Az út hossza:√

197,44 ≈ 14,05 [m].

12. Milyen magasan repül a sárkány, ha 12 mhosszú a zsineg?

0,7

m

8 m︷︸︸

︷

x

x2 = 122 − 82 = 144 − 64 = 80

x =√

80 m ≈ 8,9 m

A teljes magasság 0,7 m + 8,9 m = 9,6 m.

Közel 9,6 m magasan száll a sárkány.

13. Milyen hosszú a ház homlokzatán láthatódeszka, ha a tető 45◦-os szöget zár be avízszintessel?

d

45◦

45◦ d2 = 2 · 3,52 = 24,5

d =√

24,5 m ≈ 4,95 m

Közel 4,95 m egy deszka.

14. Az Andrássy úton kifeszítünk egy 2 km hosszúságú kötelet. Majd a kötél hosszát 1 m-relnöveljük. Az út közepén olyan magasra emeljük ezt a kötelet, amennyire csak lehet. Átfér-ea kifeszített kötél alatt egy egér, egy kutya, egy ember, egy zsiráf? Becsülj! Számolj!

?

2 km

1000,5 m1000,5 mm

1000 m 1000 m

m2 = 1000,52 − 10002 m =√

1000,2 ≈ 31,63 [m]

Átfér alatta minden állat, hiszen körülbelül 31,63 m magasra emeljük fel a kötél közepét. Egy zsiráf is csak kb.

5 méter magas. (A kötél megemelése is problémát okozna.)

15. Egy 15 cm sugarú körbe egy 18 cm-es húrt rajzolunk! Milyen távolságravan ez a húr a kör középpontjától?

t2 = 152 − 92 = 225 − 81 = 144

t

9 cm

15 cm

t =√

144 cm = 12 cmA húr 12 cm-re van a kör középpontjától.

91



Tk.: 86. oldal

16. Milyen hosszú az a húr, amely a 8 cm átmérőjű kör középpontjától 2 cmtávolságra van?

2

h

2

4

(h

2

)2

= 42 − 22 = 16 − 4 = 12h

2=

√12 cm ≈ 3,5 cm

A húr hossza közel 7 cm.

17. Két egymást metsző kör közös húrja 24 cm. Mekkora a két kör középpontjának távolsága, hasugaruk 13, illetve 18 cm?

k1

1213k2

1218

k1 =√

132 − 122 k1 = 5 cm

k2 =√

182 − 122 k2 =√

180 ≈ 13,4 [cm]

K1K2 ≈ 5 cm + 13,4 cm = 18,4 cm

A két kör középpontjának távolsága közel 18,4 cm.

18. Mekkora a velencei Rialto hídhoz hasonló híd két lábának távolsága,amelynek adatait a vázlatrajzon megadtuk?

Velence, Rialto

12 m

6 m

6 m60◦

60◦

30◦30◦

t2 = 122 − 62

t =√

108 m ≈ 10,4 m 2t ≈ 20,8 m

A híd két lábának távolsága közel 20,8 m.

19. Mekkora a területe az 1 dm élű kockába helyezett derékszögű háromszög-nek?

t =a · m

2=

1 · √2

2≈ 0,705 [dm2]

A derékszögű háromszög területe t =

√2

2dm2 ≈ 0,705 dm2.

20. Döntsd el, hogy az a, b, illetve c oldalakkal megadott háromszögek közülmelyek derékszögűek, melyek hegyesszögűek, melyek tompaszögűek!

a 12 60 10 13 7 33 11 21 14b 35 175 22 84 23 56 6 20 16c 37 185 24 85 25 65 12 28 35

a 12 60 10 13 7 33 11 21 14b 35 175 22 84 23 56 6 20 16c 37 185 24 85 25 65 12 28 35

a2 144 3600 100 169 49 1089 121 441

b2 1225 30 625 484 7056 529 3136 36 400

c2 1369 34 225 576 7225 625 4225 144 784dsz dsz hsz dsz tsz dsz hsz hsz nincs

ilyen

92


Tk.: 87. oldal


21. Hány olyan rácspont van, amelynek az origótól való távolsága 1, 2, 3, 4, 5,illetve 6 egység?

1 2 3 4 5 6 7 8

1;0 2;0 3;0 4;0 5;0 6;0 7;0 8;0

0;1 0;2 0;3 0;4 4;3 0;6 0;7 0;8

−1;0 −2;0 −3;0 −4;0 3;4 −6;0 0;−7 0;−8

0;−1 0;−2 0;−3 0;−4 −5;0 0;−6 −7;0 −8;0

0;5

−3;4

−4;3

−4;−3

−3;−4

0;−5

3;−4

4;−3

Az origótól ennyiegységre levő

A rácspontokat jel-ző számpárok

20. Atsarja Bháskara XII. századi hindu matematikus Li Lavati (Elbűvölő) című feladatgyűjte-ményéből való ez a feladat, amit a legenda szerint pártában maradt lánya szórakoztatásáraírt. „A szél letörte a 32 láb magas bambusznádat. A törés fölötti rész lehajlott, és a vége atalajt a nád tövétől 16 láb távolságra éri.” Milyen magasan tört el a nád?

(32 − x)2 − x2 = 162

322 − 64x + x2 − x2 = 162

322 − 162 = 64x

x = 768 : 64 = 12Tizenkét láb magasan tört le a nád.

16

x

32 −x

93



Tk.: 87. oldal


1. Számítsd ki a kérdezett hosszúságokat!

a) b) c)

15 cm

8 cmc =?

2,1 m

a =?2,9 m

33,6 m

19,3 m19,3 m

m =?

a) c2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289, c = 17 cm

b) a2 = 2,92 − 2,12 = 8,41 − 4,41 = 4, a = 2 m

c) m2 = 19,32 − 16,82 = 372,49 − 282,24 = 90,25, m = 9,5 m

2. Számítsd ki az egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogóját, ha befogói 8 cm hosszúak!

c2 = 82 + 82 = 128

c =√

128 cm ≈ 11,3 cm

8

8c

3. Mekkora a területe annak az egyenlő szárú háromszögnek, amelynek alapja 10 cm, szárai 13 cmhosszúak?

m =√

132 − 52 =√

169 − 25 = 12

m

︸︷︷︸5

13 13

m = 12 cm

t = a · m : 2 = 10 · 12 : 2 = 60 [cm2]

4. Milyen messze van az origótól a P (−2; 10) pont?

y

x

−2 0

10P

(PO)2 = 22 + 102 = 104, PO =√

104 ≈ 10,2

5. Egy 3,4 m hosszú létrát úgy támasztanak a falhoz, hogy a létra alja 1,6 m-re van a faltól. Milyenmagasan van a létra teteje?

m2 = 3,42 − 1,62 = 11,56 − 2,56

1,6 m

m3,4m =

√9 m = 3 m

3 méter magasan van a létra teteje.

94


Tk.: 87. oldal


6. Milyen háromszöget határoznak meg legnagyobb szögük szerint a következő számhármasok?

a) (11; 12; 13) 169 = 132 < 112 + 122 = 265, a háromszög hegyesszögű.

b) (10; 20; 30) 10 + 20 = 30, ez nem háromszög.

c) (21; 28; 35) 352 = 212 + 282 = 1225, a háromszög derékszögű.

7. Egy háromszög két oldala 5 és 12 cm. Mekkora lehet a harmadik oldal, ha a mérőszáma annakis egész? Mely esetben lesz a háromszög hegyes-, derék-, illetve tompaszögű?A c lehetséges értékei: 8 � c � 16.

a 5

b 12

c 8 9 10 11 12 13 14 15 16

tompa-szögű

tompa-szögű

tompa-szögű

hegyes-szögű

hegyes-szögű

derék-szögű

tompa-szögű

tompa-szögű

tompa-szögű

95


Geometriai ism�tl� feladatok

Tk.: 90. oldal

GEOMETRIAI ISMÉTLŐ FELADATOK

1. óra (+1 óra): Háromszögek2–3. óra: Négyszögek

4. óra (+1 óra): Sokszögek5. óra: Körök

6–7. óra: Síkgeometriai számítások8–9. óra: Térgeometriai számítások

A fejezet célja: a geometriai ismeretek rendszerezése, számítási feladatok elvégzése a pozitív valósszámok körében, Pitagorasz-tétel alkalmazása minél többféle probléma megoldásában.Ha hetedikben nem volt tananyag a kör kerületének és területének meghatározása, akkor itt sorkerülhet rá további órák beiktatása mellett. Ebben az esetben a hengerre vonatkozó feladatok isújak lesznek.Szükséges eszközök: szerkesztőeszközök, színes ceruza, négyzethálós papír (alkalmanként mm-papír is), „Számok négyzete” táblázat, zsebszámológép (a műveletek gyors elvégzéséhez), mértanitestek modelljei (bemutatáshoz).

1. óra

Háromszögek

Tk.: 90–91. oldalon 1–13. feladatokFgy.: 195–206. és 207–220.

A bevezető feladatok ponthalmazokra vonatkoznak, megoldásukhoz szükséges a +1 óra felhasz-nálása.

Feladatok

1. Egy háromszög egyik szöge a másiknak kétszerese, a harmadik szöge a másodiknál 20◦-kalnagyobb. Hány fokosak a háromszög szögei?2β + β + (β + 20◦) = 180◦ ⇒ β = 40◦ A háromszög szögei 80◦, 40◦, 60◦.

2. Az ABC háromszögben a B csúcsnál levő külső szög háromszor akkora, mint az A csúcsnállevő belső szög. Ugyanakkor a B csúcsnál levő külső szög 40◦-kal nagyobb, mint a C csúcsnállevő belső szög. Mekkorák a háromszög belső szögei?α + (3α − 40◦) = 3α ⇒ α = 40◦ A háromszög szögei 40◦, 60◦, 80◦.

3. Mekkora lehet egy háromszög legnagyobb szögének legkisebb értéke? 60◦

4. Hány olyan különböző háromszög van, amelynek két oldala 21 cm és 27 cm, a harmadik oldalapedig centiméterben mérve hárommal osztható egész szám?A háromszög oldalaira fennálló egyenlőtlenségek: c < 21 + 27 és 21 < c + 27 és 27 < c + 21 ⇒ 6 < c < 48

c ∈ {9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45}. Tizenhárom különböző háromszög a megoldás.

96


Tk.: 90–91. oldal


5. A következő számhármasok szakaszok hosszát adják meg azonos egységgel mérve. Melyikszámhármas lehet hegyesszögű, derékszögű, illetve tompaszögű háromszög oldalainak mérő-száma?

a) A: 8, 15, 16

C: 7, 8, 15

E: 15, 15, 28

B: 13, 84, 85

D: 9, 40, 43

F : 11, 60, 60

b) G: 24, 48, 73

I : 7, 20, 25

K: 33, 56, 65

H : 16, 63, 65

J : 65, 72, 97

L: 13, 13, 20Hegyesszögű háromszög: A; F . Derékszögű háromszög: B; H ; J ; K .Derékszögű háromszög: B. Tompaszögű háromszög: I ; L.Tompaszögű háromszög: D; E. Nincs ilyen háromszög: G.Nincs ilyen háromszög: C.

6. Az ABC háromszög kerülete 102 m. Az AB oldal hossza az AC oldal hosszának3

5része, a

BC oldal pedig az AC-nek4

5része.

Hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű-e a háromszög? Hány cm2 a háromszög területe?

x +3

5x +

4

5x = 102 ⇒ AC = x = 42,5 m; AB = 25,5 m; BC = 34 m.

Derékszögű a háromszög, mert 25,52 + 342 = 42,52. T =25,5 · 34

2= 433,5 m2 = 4 335 000 cm2

7. Az alábbi állítások közül melyek igazak?Igaz-e az állítások megfordítása?A: Ha két háromszög területe egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó.

Hamis Példa Megfordítása: Igaz

B: Ha két háromszög szögei és legrövidebb oldala egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó.Igaz Megfordítása: Igaz

C: Ha két háromszög két oldala és a hosszabbikhoz tartozó magassága egyenlő, akkor a kétháromszög egybevágó.Hamis Példa Megfordítása: Igaz

D: Ha két háromszög egybevágó, akkor szögeik és egy oldaluk egyenlő.

Igaz Megfordítása: Hamis

8. Szerkeszd meg a hegyesszögű háromszög köré írható kört, a derékszögű háromszög beírt körét,a tompaszögű háromszög magasságait és magasságpontját!

A háromszögek oldalai 56 mm, 90 mm, 106 mm vagy 3 cm, 5 cm, 7 cm, illetve 4,4 cm, 5,5 cm,6,8 cm.

Az első háromszög derékszögű: 562 + 902 = 1062

A második háromszög tompaszögű: 32 + 52 < 72

A harmadik háromszög hegyesszögű: 4,42 + 5,52 > 6,82

97



Tk.: 91. oldal

9. Egy háromszög 21 cm-es oldalát a hozzá tartozó 12 cm-es magasság 3 : 4 arányú szakaszokraosztja. Számítsd ki a háromszög kerületét!

a2 = 122 + 122 ⇒ a =√

288 ≈ 16,97 cm

b2 = 92 + 122 ⇒ b = 15 cm

K = 21 + 15 +√

288 ≈ 52,97 cm

10. Egy kör középpontja O, a körvonal pontjai A, B, C.Határozd meg az ABC háromszög szögeit, ha az AOB szög 120◦és a BOC szög 150◦!

BAC� = 30◦ + 45◦ = 75◦

ABC� = 30◦ + 15◦ = 45◦

BCA� = 15◦ + 45◦ = 60◦

11. Egy szabályos háromszög magassága 7 cm. Számítsd ki a középvonalainakhosszát!

A középvonal hossza x.

x2 + 72 = (2x)2 ⇒ x =7√3

≈ 4,04 cm

12. Egy derékszögű háromszög kerülete 140 cm, befogóinak aránya 20 : 21. Számítsd ki a há-romszög területét!

A Pitagorasz-tétel szerint: (20x)2 + (21x)2 = c2

841x2 = c2

29x = c

A kerület adott: 20x + 21x + 29x = 140

x = 2 cm

A háromszög oldalai 40 cm, 42 cm, 58 cm. T =40 · 42

2= 840 cm2

Másik megoldás: a 20, 21 befogójú derékszögű háromszög átfogója 29, ennek a háromszögnek a kerülete 70.

A keresett háromszög kerülete 140 cm, ezért az oldalai is kétszer ekkorák: 40 cm, 42 cm, 58 cm.

13. Egy derékszögű háromszög befogói 15 cm és 112 cm.Számítsd ki a súlyvonalainak hosszát!A Pitagorasz-tétel szerint:

ABC�-ben: c2 = 152 + 1122 ⇒ c = 113 cm

FBC�-ben: s2b = 7,52 + 1122 ⇒ sb =

√12 600,25 ≈ 112,25 cm

ECA�-ben: s2a = 562 + 152 ⇒ sa =

√3361 ≈ 58 cm

Thalész-tétel szerint: sc =c

2= 56,5 cm

98


Tk.: 93–94. oldal


2–3. óra

Négyszögek


A kidolgozott példához szükséges a kör kerületének ismerete.E fejezet a négyszögek tulajdonságainak ismétléséről, valamint kerületük és területük bonyolul-tabb esetekben történő kiszámításáról szól.

Feladatok

1. Az A, B, . . . , G halmazok közül melyiket határozza meg az a, b, . . . tulajdonság?

A = {négyzetek}B = {téglalapok}C = {rombuszok}D = {deltoidok}E = {paralelogrammák}F = {trapézok}G = {húrtrapézok}

a: A négyszögnek van két párhuzamos oldala.b: A négyszög 2-2 szomszédos oldala egyenlő.c: A négyszög oldalai egyenlők.d: A négyszög szögei egyenlők.e: A négyszög szemközti oldalai egyenlők.f : A négyszög oldalai és szögei egyenlők.g: A négyszög két-két szemközti oldala párhuzamos.h: A négyszög egyik átlója merőlegesen felezi a másik átlóját.i: A négyszögnek van a csúcsokon át nem menő szimmetriatengelye.

a ⇒ F b ⇒ D c ⇒ C d ⇒ B e ⇒ E f ⇒ A g ⇒ E h ⇒ D i ⇒ G

Megbeszélhetjük azt is, hogy az a, b, . . . tulajdonságok az A, B, . . . halmazok melyikére igazak.A ⇒ a, b, c, d, e, f , g, h, i B ⇒ a, d, e, g, i C ⇒ a, b, c, e, g, h D ⇒ b, h

E ⇒ a, e, g F ⇒ a G ⇒ a, i

2. Egy konvex négyszög belső szögeinek aránya 3 : 4 : 5 : 6. Mekkorák a belső és a külső szögei?3x + 4x + 5x + 6x = 360◦ ⇒ x = 20◦

A belső szögek: 60◦; 80◦; 100◦; 120◦.

A külső szögek: 120◦; 100◦; 80◦; 60◦.

További kérdések és válaszok:Lehet-e a négyszög paralelogramma? – Nem.Lehet-e a négyszög trapéz? – Igen.Biztosan trapéz-e? – Nem.

3. a) Hányféle négyszög szerkeszthető két 3 cm-es és két 4 cm-es szakaszból?Végtelen sokféle konvex vagy konkáv deltoid és végtelen sokféle paralelogramma szerkeszthető.

99



Tk.: 94. oldal

b) Szerkessz olyan négyszöget, amelynek két 3 cm-es, két 4 cm-es oldala van, s az egyikszöge 45◦!Például:

4. Egy rombusz kerülete 36 cm, az egyik átlója két 28 cm kerületű háromszögre bontja. Számítsdki a rombusz területét!

K = 36 cm ⇒ a = 9 cm

9 + 9 + e = 28 ⇒ e = 10 cm

52 + m2 = 92 ⇒ m =√

56 ≈ 7,48 cm

T = 2 · 10 · m

2= 10

√56 ≈ 74,8 cm2

5. Egy paralelogrammát az egyik átlója két derékszögű háromszögre bontja. Számítsd ki a parale-logramma területét, ha oldalai 220 és 221 cm hosszúak!

m2 + 2202 = 2212 ⇒ m = 21 cm

T = 220 · 21 = 4620 cm2

6. Számítsd ki a húrtrapéz területét, haa) alapjai 28 cm és 13 cm, szárai 23 cm hosszúak,b) három oldala 6 cm, a negyedik oldala pedig 8 cm,c) alapjai 6 cm és 16 cm hosszúak, és kör írható bele!

a) b) c)

m2 + 7,52 = 233 m2 + 12 = 62 m2 + 52 = 112

m =√

472,75 ≈ 21,7 cm m =√

35 ≈ 5,92 cm m =√

96 ≈ 9,8 cm

T =(28 + 13) · 21,7

2= 444,85 cm2 T =

(8 + 6) · 5,92

2≈ 41,44 cm2 T =

(16 + 6) · 9,8

2≈ 107,8 cm2

7. Bizonyítsd be, hogy ha egy trapéznak pontosan két derékszöge van, akkor nem lehet húrtrapéz!Ha húrtrapéz lenne, akkor szemközti szögei kiegészítő szögek lennének, és szomszédos szögei közül 2-2 egyenlő

lenne.

Vagyis, ha α = γ = 90◦, akkor β = δ = 90◦, azaz 4 derékszöge lenne. Ha α = β = 90◦, akkor is γ = 180◦ − β =

= δ = 90◦, azaz 4 derékszöge lenne, ami ellentmond a feltételnek. Tehát igaz a feladat állítása.

100


Tk.: 94. oldal


8. Számítsd ki a trapézok kerületét és területét!

a) b) c)

x2 + 62 = 18,52 a + c = 2 · 24 = 48 m x2 + 112 = 202 ⇒ x =√

279 ≈ 16,7 dm

x = 17,5 m K = 801

12m y = 19 − x ≈ 2,3 dm

K = 47 m T = 24 · 7 = 168 m2 z = 9 − y ≈ 6,7 dm

T = 67,5 m 6,72 + 112 = b2 ⇒ b ≈ 12,9 dm

K ≈ 60,9 dm

T =(19 + 9) · 11

2= 154 dm2

9. Számítsd ki a deltoidok kerületét és területét!

a) b) c)

K = 2(65 + 72) = 274 mm

T = 2 · 65 · 72

2= 4680 mm2

x2 + x2 = 32 ⇒ x ≈ 2,12 cm

x2 + (x + 8,5)2 = a2 ⇒ a ≈ 10,8 cm

K ≈ 27,6 cm

T =4,24 · 8,5

2= 18,02 cm2

K = 2(7 + 5,2) = 24,4 cm

x2 + m2 = 5,22

(10 − x)2 + m2 = 72

}x ≈ 3,9 cm

m ≈ 3,44 cm

T =10 · 2m

2≈ 34,4 cm2

10. Egy 12 elemű halmaz csak háromszögeket és négyszögeket tartalmaz. Ezensokszögeknek összesen 41 csúcsa van. Az elemek hány százaléka háromszög?A tizenkét sokszögnek biztosan van 12 · 3 = 36 csúcsa. A fennmaradó 5 csúcs 1-1 négyszög

további csúcsa.

5 négyszög és 7 háromszög van a halmazban. Az elemek7

12része, azaz 58

1

3százaléka háromszög.

11. Egy deltoid átlói 24 cm és 40 cm hosszúak. A rövidebb átló a hosszabbat annak nyolcadolópontjában metszi. Számítsd ki a deltoid kerületét és területét!A nyolcadoló pont úgy osztja a 40-et, mint 35 : 5, a 24-et pedig felezi.

Az oldalak hossza:√

122 + 52 =√

169 = 13, illetve√

352 + 122 =√

1369 = 37.

A kerület: 2 · 13 + 2 · 37 = 100, a terület például 12 · 40 = 480

101



Tk.: 94–95. oldal

12. Igaz-e az állítás? Válaszodat indokold!

A

P

B

Q

C

R

D

S

A: Egy trapéz egyik szárának végpontjaiból induló belsőszögfelezők merőlegesek egymásra.

B: Ha egy húrtrapézba kör írható, akkor a szárának és aközépvonalának hossza egyenlő.

C: Ha egy paralelogramma oldalaira kifelé szabályos há-romszögeket szerkesztünk az ábra szerint, akkor akeletkező új csúcsok is paralelogrammát határoznakmeg.

A: Igaz 2 + 2� = 180◦

+� = 90◦

ϕ = 90◦

A belső szögfelezők merőlegesek egymásra.

B: Igaz

Egy külső pontból a körhöz húzott érintő szakaszok egyenlők,

ezért a húrtrapéz száraa

2+

c

2hosszú, ami egyenlő a középvonal

hosszával.

C: Igaz Ha a paralelogramma szögei 60◦ és 120◦, akor SA + AP = SP = RQ = RC + CQ.Egyébként SAP� ∼= QCR�, mert két oldaluk és azok közrezárt szöge egyenlő, így harmadikoldaluk is egyenlő. Tehát SP = RQ ekkor is.Hasonlóan SDR� ∼= QBP� ⇒ SR = QP .Mivel PQRS négyszög szemközti oldalai egyenlők, a négyszög paralelogramma.

13. Milyen hosszú pánt szükséges az r sugarú csövek átkötéséhez?

2rπ + 4r 2rπ + 6r 2rπ + 8r 2rπ + 8r 2rπ + 8r

4. óra

Sokszögek


A feladatok megoldásához háromszögek és négyszögek területét kell kiszámítani.

102


Tk.: 97–98. oldal


Feladatok

1. Számítsd ki a 8 cm sugarú körbe írt szabályos sokszög kerületét és területét, ha a sokszög

a) négy oldalú, b) hat oldalú!

a2 = 82 + 82 ⇒ a =√

128 ≈ 11,3 cmK = 4a ≈ 45,2 cm

T =e · f

2=

16 · 16

2= 128 cm2

a = 8 cm m2 + 42 = 82 ⇒ m =√

48 ≈ 6,93 cmK = 6a = 48 cm

T = 6 · a · m

2= 6 · 8 · √48

2≈ 166,32 cm2

2. Számítsd ki a 6 cm sugarú kör köré írt szabályos nyolcszög központi szögét, belső szögét,átlóinak számát, kerületét és területét!

ϕ =360◦

8= 45◦ a középponti szöge, α = 180◦ − ϕ = 135◦ a belső szöge,

8 · 5

2= 20 átlója van.

Mérés alapján a ≈ 5 cm egy oldala, K = 8a ≈ 40 cm a kerülete.

T = 8 · a · m2

≈ 8 · 5 · 6

2= 120 cm2 a területe.

3. Az ábrán szereplő adatok segítségével számítsd ki a sokszög területét! Az adatokat méterbenmértük.

a) b) c)

a) T =2 · 6

2+

(8 + 6) · 6

2+

8 · 3

2= 60 m2

b) T =(8 + 5) · 4

2+ 8 · 5 +

(8 + 5) · 2

2+ 5 · 3 +

5 · 4

2= 104 m2

c) T =11 · 2

2+

11 · 10

2= 66 m2

4. Számítsd ki a sokszög kerületét és területét, ha az adatok cm-ben értendők! A vázlatrajzon aszakaszhosszak nem arányosak.

a) b) c)

103



Tk.: 98. oldal

a2 = 2642 + 232 ⇒ a = 265

K = 4 · (23 + 265) = 1152 cm

T = 2 · (69 + 23) · 264

2+69 ·23 =

= 25 875 cm2

m2+162 = 322 ⇒ m =√

768

K = 8 · 32 = 256 cm

T = 4 · 32 · √768

2+ 322 ≈

≈ 2796,8 cm2

152 + 362 = a2 ⇒ a = 39

352 + 842 = b2 ⇒ b = 91

132 + 842 = c2 ⇒ c = 85

122 + 352 = d2 ⇒ d = 37

K = 39 + 91 + 85 + 37 + 20 = 272 cm

T =36 · 15

2+

35 · 84

2+

13 · 84

2+

12 · 35

2+

+ 36 · 20 = 3216 cm2

5. A szabályos sokszög területének hány százalékát jelöltük színessel az ábrán?

a) b) c)

x2 + 62 = 122 ⇒ x =√

108

Tszínes = 122 − 4 · 6 · √108

2≈ 19,3

Tegész = 12 · 12 = 144

Tszínes : Tegész ≈ 0,134

13,4%-a színes.

x2 + x2 = 92 ⇒ x =

√81

2

Tegész = 92 + 4 · 9 · x + 4x · x

2=

= 162 + 36

√81

2≈ 391

Tszínes = 162 + 36

√81

2− 8 · 9 · 9

2=

= 36

√81

2− 162 ≈ 67

Tszínes : Tegész ≈ 0,171

17,1%-a színes.

Tszínes : Tegész = 6 : 18 = 1 : 3

331

3%-a színes.

6. Az ábrán látható szabályos nyolcszög területe hányszorosa a négyzetterületének?(A budai Várban feltárt majolikacsempék között is látható ilyen min-tázat.)x2 = 102 + 102 ⇒ x =

√200

Tnégyzet = 202 = 400 cm2

Tnyolcszög = 202 + 4 · 20 · x + 4x · x

2= 800 + 80

√200 ≈ 1931,4 cm2

Tnyolcszög : Tnégyzet ≈ 4,8. A nyolcszög területe 4,8-szerese a négyzet területének.

104


Tk.: 100. oldal


5. óra

KörökTk.: 100–101. oldalon 1–10. feladatokFgy.: 244–252.

Amennyiben új tananyag ez a rész, használjunk föl még néhány órát! (A kör kerülete, területe ahetedikes könyv II. kötetében található a 65–70. oldalon.)Eszközök: hengerkerék, szíjáttétes tárcsák.

Feladatok

1. Az AB szakasz hossza 8 cm. Szerkessz az A és B ponton áthaladó 5 cm sugarú kört! Mekkoraa kör középpontjának távolsága az AB húrtól?

Két kör van.

42 + d2 = 52 ⇒ d = 3 cm a távolság.

2. a) Mekkora annak a körnek a sugara, amelybe beírható négyzet területe 3 cm2?2r · 2r

2= 3 ⇒ r ≈ 1,22 cm

b) Mekkora annak a körnek a területe, amelybe beírható négyzet kerülete 12 cm?r2 + r2 = 32 ⇒ r ≈ 2,12 cm

T = r2 · π = 4,5 · π ≈ 14,13 cm2

c) Mekkora területen találhatók azok a pontok, amelyek egy adott3 cm-es szakasztól legfeljebb 2 cm-re vannak?T = 22 · π + 4 · 3 ≈ 24,56 cm2

3. Az alábbi körcikkeket 11 cm sugarú körből vágtuk ki.a) Milyen hosszú körív határolja a körcikket?b) Mekkora a körcikk területe?

A: B: C: D: E:

A :1

3kör B :

3

4kör C :

1

2kör D :

1

20kör E :

3

5kör

a) i ≈ 23 cm 51,8 cm 34,5 cm 3,45 cm 41,47 cm

b) T ≈ 126,7 cm2 285 cm2 190 cm2 19 cm2 228 cm2

105



Tk.: 100. oldal

4. Milyen magasra emelkedik fel a teher, ha a másfél méter átmérőjű kerékelfordulásaa) 120◦, b) 225◦, c) 540◦, d) 2880◦?

a) b) c) d)

elfordulás1

3kör

5

8kör

3

2kör 8 kör

emelkedés 1,57 m 2,95 m 7,07 m 37,7 m

5. A toronyóra nagymutatója 80 cm hosszú. Mekkora területet söpör

a) negyedóra alatt, b) 25 perc alatt, c) két és fél óra alatt?

1

4kör, T = 5024 cm2 5

12kör, T = 8373 cm2 5

2kör, T = 50 240 cm2

Megjegyzés: Ugyanazt a területet söpri többször.

6. A toronyóra kismutatója 65 cm hosszú. Mekkora ívet jár be a mutató végpontja

a) 6 óra alatt, b) 18 óra alatt, c) 2 óra alatt, d) fél óra alatt?

1

2körív, l ≈ 204,1 cm

3

2körív, l ≈ 612,3 cm

1

6körív, l ≈ 68 cm

1

24körív, l ≈ 17 cm

7. Mekkora a körgyűrű vastagsága, ha a belső kör kerülete 10 cm-rel kisebba külső kör kerületénél? Számítsd ki a körgyűrű területét is!

Kbelső = 2 · 25 · π = 50 · π

Kkülső = 50 · π + 10 = 2Rπ ⇒ R = 25 +5

π≈ 26,6 cm

A gyűrű vastagsága R − r = 1,6 cm, területe 26,62π − 252π ≈ 259,24 cm2.

8. a) Számítsd ki a PE érintőszakasz hosszát, ha a P pont265 mm-re van a 23 mm sugarú kör középpontjától!

b) Mekkora a kör sugara, ha a középpontjától 41 cm-re levőpontból 9 cm-es érintőszakasz húzható a körhöz?

a) b)

e2 + 232 = 2652 ⇒ e = 264 mm r2 + 92 = 412 ⇒ r = 40 cm

106


Tk.: 101. oldal


9. Számítsd ki a körszeletek területét!

a) b)

T =1

4· 102π − 10 · 10

2≈ 28,5 cm2 x2 + 22 = 42 ⇒ x =

√12

T =2

3· 42π +

2 · 2x

2≈ 40,4 cm2

10. Két henger alakú csövet támasztottak a falhoz a keresztmetszetenlátható módon. Az egyiknek 80 cm, a másiknak 20 cm az átmérője.Mekkora a felső cső legmagasabb pontjának távolsága a talajtólmérve?

x2 + 302 = 502 ⇒ x = 40h = 40 + 40 + 10 = 90 cm a távolság.Megjegyzés: Ezekkel az adatokkal a kiskör középpontját a nagy kör legmaga-sabb pontjával összekötő egyenes párhu-zamos a talajjal. Nincs mindig így.

6–7. óra

Síkgeometriai számítások


Feladatok

1. A 80 cm széles, 190 cm magas kamraajtót az alsó és felső szélétől 10 cm-re kereszt-ben és átlósan is megerősítették. Hány méter léc kellett a Z alakú merevítéshez?

802 + 1702 = x2 ⇒ x =√

35 300 ≈ 188 cm

2 · 80 +√

35 300 ≈ 348 cm ≈ 3,5 m léc kell.

107



Tk.: 101–102. oldal

2. Milyen magas az a fa, amelynek 32 m hosszú az árnyéka akkor, amikor egy 1,5 mmagas oszlop árnyéka 2 m?

x : 32 = 1,5 : 2

x = 24 m magas a fa.

3. Milyen magas sátortető alatt fér el az ábrán látható módon egy 120×200-asszekrény, ha a födém 6 m széles? h : 3 = 2 : 2,4

h = 25 m magas legalább a tető.

4. Az ábrán látható létra a vízszintes talajon 1 m-rel kijjebb csúszik. Mennyi-vel kerül alacsonyabbra a teteje?

52 + 22 = l2 ⇒ l =√

29 ≈ 5,39 m

x2 + 32 = l2 ⇒ x =√

20 ≈ 4,47 m a létra teteje

0,53 m-rel kerül alacsonyabbra.

5. A folyómederhez 7 m hosszú lánccal rögzítettek egy bóját. Mennyivelcsökkent a víz szintje, ha a bóját 4 m-rel odébb sodorta a víz, bár arögzítése nem változott?

x2 + 42 = 72 ⇒ x =√

33

y = 7 −√

33 ≈ 1,26 m-t csökkent a vízszint.

6. Milyen messzire láthatunk el egyenletes terepen 30 m magasságból, ha aFöld sugara körülbelül 6370 km?

d2 + 63702 = 6370,032

d =√

382,2009 ≈ 19,5 km.

Megjegyzés: Használjunk zsebszámológépet!

7. a) Két 10 cm átmérőjű henger tengelye egymástól 20 cm távol-ságra van, közöttük az ábra szerint egy feszes szíj biztosítja azáttételt. Milyen hosszú a szíj?x2 + 52 = 102 ⇒ x =

√75

A hossza 2 · 2

3· 52π + 4

√75 ≈ 139,3 cm.

b) Két fél méter átmérőjű henger palástja egymástól 3 m távol-ságra van. Milyen hosszú a színessel jelölt feszes szíj?A hossza 2 · 0,5π + 2 · 4 ≈ 11,14 m.

108


Tk.: 102. és 104. oldal


8. a) Derékszögű koordináta-rendszerben a P (−1; 1), Q(7; −5), R(7; 7) pontok mekkora területűháromszöget alkotnak? Hány egység a háromszög kerülete?PQ = PR = 10 QR = 12 K = 32 e T = 48 e2

b) Mekkora az ABC háromszög területe, ha csúcsai az A(−3; 8), B(2; −4), C(2; 0) pontok?AB = 13 BC = 4 AC =

√89 ≈ 9,43 K ≈ 26,43 e T = 10 e2

9. A színessel jelölt területek közül melyik a na-gyobb?

T1 =1

2· 62π − 2 · 1

2· 32π = 9π T2 = 32π = 9π

A két terület egyenlő.

10. Derékszögű háromszög oldalaira mint alapokra egyenlőszárú derékszögű háromszögeket rajzolunk.Bizonyítsd be, hogy a két kisebb alakzat területeinekösszege egyenlő az átfogó fölé rajzolt háromszög terü-letével!

T1 + T2 = T3?

T1 =a · a

22

=a2

4T2 =

b · b2

2=

b2

4T3 =

c · c2

2=

c2

4

T1 + T2 =a2 + b2

4=

c2

4A Pitagorasz-tétel szerint. T1 + T2 = T3 állítás igaz.

11. A „kalózhajó” nevű szerkezet 16 m hosszú rúdon leng a Vidám-parkban. Hány métert emelkedik, mialatt a rúd vége tíz méterreeltávolodik a kiinduló helyzettől?x2 + 102 = 162 ⇒ x =

√156 h = 16 −

√156 ≈ 3,5 m

8–9. óra

Térgeometriai számítások


Eszközök: testek és hálójuk; kocka és síkmetszetei (modellek).

Feladatok

1. Számítsd ki a téglatest testátlóinak hosszát, ha élei

a) 2 m, 2 m, 5 m, t =√

33 ≈ 5,7 m b) 3 m, 17 dm, 20 dm, t =√

698 ≈ 26,4 dm

c) 24 dm, 45 dm, 68 dm, t = 85 dm d) 11 m, 11 m, 11 m! t =√

363 ≈ 19 m

109



Tk.: 104. oldal

2. a) Rendezd térfogat szerint növekvő sorrendbe a hengereket!b) Rendezd felszín szerint csökkenő sorrendbe a hengereket!

A) B) C) D)

A B C D

felszín: A ≈ 135,6 cm2 150,7 cm2 244,9 cm2 338,5 cm2

térfogat: V ≈ 110 cm3 100,48 cm3 84,6 cm3 107,6 cm3

a) C < B < D < A b) D > C > B > A

3. Hány m3 víz fér egy 1,2 m átmérőjű,6 m magas henger alakú csatornába?

V = 0,62π · 6 ≈ 6,78 m3 víz

4. Hány liter víz fér egy 12 m hosszú, 11 cmsugarú félhenger alakú csatornába?

V =1

2· 112π · 120 ≈

≈ 22 796,4 cm3 ≈ 22,8 l víz

5. Az erdei táborban, a mosogatósátorban a ké-pen látható módon rögzítettek egy viharlám-pát. Ha azt szeretnék, hogy a lámpa 10 cm-rel magasabbra kerüljön, mennyivel kell rövi-debbre venni a 8,4 m hosszú függesztő kötélhosszát? Becsülj! Számolj!

A 0,5 m B 28 cm C 2 cm

(l′)2 = 2002 + 252 ⇒ l′ =√

40 625 ≈ 201,6 cm2l′ ≈ 403,2 cmMegjegyzés: A ferde rögzítőkötelek hossza (840 − 403,2) : 2 = 218,4 cm. Ezért azábrán megadott magasság ennél kevesebb (pl.: 2 m).

l2 = 2002 + 152 ⇒ l =√

40 225 ≈ 200,6 cm2l ≈ 401,2 cm2 cm-rel rövidebb kötél kell.

6. Mekkora a területe az 1 dm élű kockába helyezett síklapoknak?

t = 1 ·√

2 =√

2 ≈ 1,41 dm2 t = 10 ·√

125 ≈ 111,8 cm2 t = 10√

50 ≈ 70,71 cm2

110


Tk.: 104–105. oldal


7. Egy kocka lapátlója 6 dm hosszú. Mekkora az éle? a2 + a2 = 62 ⇒ a =√

18 ≈ 4,2 dm a kocka éle.

8. Egy kocka testátlója 9 cm. Mekkorák az élei? a2 + a2 + a2 = 92 ⇒ a =√

27 ≈ 5,2 cm a kocka éle.

9. Egy téglatest élei 5 cm, 7 cm és 9 cm hosszúak.a) Mekkora a területe a téglatestbe helyezett téglalapoknak?b) Melyik téglalap átlója a leghosszabb? Számítsd ki az átlók hosszát!

a) t = 5 ·√

130 ≈ 57 cm2 t = 9 ·√

74 ≈ 77,4 cm2 t = 7 ·√

106 ≈ 72,1 cm2

b) t2 = 92 + 72 + 52 ⇒ t =√

155 ≈ 12,45 cm, ami mindhárom téglalapnak átlója, tehát nincs köztükleghosszabb.

10. Egy téglatest egymásra merőleges élei 10 cm, 12 cm és 15 cm hosszúak. Mekkora a testátlója?t2 = 102 + 122 + 152 ⇒ t =

√370 ≈ 19,2 cm a testátló hossza.

11. Milyen magas a 25 literes tank, ha azábrán jelölt adatok r = 12 cm, l = 30 cm?

12. Hány m3 földet kell kiásni egy húrtrapézkeresztmetszetű egyenes árok készítésekor?

(122π + 24 · 30) · h = 25 000 ⇒ h ≈ 21,3 cm.A hőtágulás miatt nem jó csordultig tölteni.

m2 + 352 = 512 ⇒ m = 37 cm = 0,37 m

V =(1,3 + 0,6) · 0,37

2· 8 ≈ 2,812 m3 föld.

13. Mekkora a rombusz alapú egyenes hasáb felszíne, ha a rombusz átlói 6 cm és 8 cm, a hasáb

magassága 10 cm? A rombusz oldala√

32 + 42 = 5 cm. A = 2 · 6 · 8

2+ 4 · 5 · 10 = 248 cm2

14. Egy egyenes hasáb alapja az ábrán látható derékszögű trapéz.Hány liter a térfogata a 2,3 m magasságú hasábnak?

V =(3 + 1) · 2

2· 2,3 = 9,2 m3 = 9200 dm3 = 9200 l a térfogata.

111



Tk.: 105. oldal

15. Milyen átmérőjű „gömbfát” kell venni, ha a kivágandó gerenda metszete35 cm × 20 cm oldalú téglalap?A forgáshenger alakú fát a szakemberek gömbfának is nevezik.

d2 = 202 + 352 ⇒ d =√

1625 ≈ 40,3 cm.

Legalább 40,3 cm átmérőjű gömbfa kell.

16. Egy négyzetes oszlop térfogata 112 dm3, az oldallapok területösszege 112 dm2.Mekkora a testátló?

a2 · b = 112

4ab = 112

}⇒ a · (a · b) = 112

a · b = 28

}⇒ a · 28 = 112 ⇒ a = 4 dm

b = 7 dm

t2 = 42 + 42 + 72 ⇒ t = 9 dm a testátló hossza.

17. A kristályoktaéder hat darab 15 cm oldalú négyzetből készülhet.

a) Mekkora a test egy éle? a2 = 7,52 + 7,52

a =√

112,5 ≈ 10,6 cm a test éle.b) Mekkora a két legtávolabbi csúcsának távolsága?

7,5 + 7,5 = 15 cm a két szemközti csúcs távolsága.

c) Mekkora a test felszíne? A felszínt 24 db háromszög alkotja.

A = 24 · 7,5 · 7,5

2= 675 cm2.

Megjegyzés: Ha az éleken át beburkoljuk a testet, akkor a keletkezett szabályos oktaéder felszíne nyolc darabszabályos háromszög területének összegével egyenlő.

A = 8 · a2 · √3

4= 2 · 112,5 ·

√3 = 225

√3 ≈ 389,7 cm2.

112


Tk.: 106. oldal


10. óra


1. a) Egy rombusz átlóinak hossza 10 cm és 16 cm. Számítsd ki akerületét és a területét!

a2 = 82 + 52 ⇒ a =√

89 ≈ 9,4 cm

K = 4a = 4√

89 ≈ 37,6 cm a kerület.

T =e · f

2=

16 · 10

2= 80 cm2 a terület.

b) Egy húrtrapéz alapjai 10 cm és 18 cm hosszúak, magassága 3 cm.Számítsd ki a kerületét és a területét!

b2 = 32 + 42 ⇒ b = 5 cm

K = 18 + 2 · 5 + 10 = 38 cm a kerület.

T =(18 + 10) · 3

2= 42 cm2 a terület.

2. Egy konvex négyszög két szemközti szögét az átlója 30◦-os és 80◦-os, illetve 60◦-os és 100◦-osszögekre bontja. Mekkorák a négyszög belső és külső szögei?

α = 180◦ − (100◦ + 30◦) = 50◦

γ = 180◦ − (80◦ + 60◦) = 40◦

Lehetetlen, mert α = 0◦ lenne. A négyszög belső szögei: 50◦; 110◦; 40◦; 160◦

A négyszög külső szögei: 130◦; 70◦; 140◦; 20◦

3. a) Milyen hosszú körív határolja a 14 cm átmérőjű félkört?

l =2rπ

2= 7π ≈ 21,98 cm a félkörív hossza.

b) Mekkora a területe a 7 cm sugarú 40◦-os középponti szögű körcikknek?

T = r2π · 40◦

360◦ =49π

9≈ 17,1 cm2 a körcikk területe.

4. Az 1 m magas egyenes hasáb alaplapja egyenlő szárú háromszög. A háromszög alapja 12 dmés az alaphoz tartozó magassága 7 dm. Hány liter a hasáb térfogata?

V =12 · 7

2· 10 = 420 dm3 = 420 l a térfogat.

5. Befér-e egy 1 dm élű kockába egy 18 cm hosszú pálca?

t2 = 102 + 102 + 102 ⇒ t =√

300 ≈ 17,32 cm a kocka testátlójának hossza. Mivel√

300 < 18 cm, a pálcakilóg a kockából.

6. A téglatest három éle 2 cm, 3 cm és 6 cm. Milyen hosszú a testátlója?t2 = 22 + 32 + 62 ⇒ t = 7 cm a testátló hossza.

113



Tk.: 106. oldal

7. Igaz vagy hamis állítások-e az alábbiak?

A : Ha egy paralelogramma egyik szöge derékszög, akkor az négyzet.Hamis. Például a téglalap derékszögű paralelogramma, mégsem négyzet.

B : Van tengelyesen szimmetrikus konkáv négyszög. Igaz. Például a konkáv deltoid.

C : Minden körszelet konvex alakzat. Igaz.

D : A tízoldalú konvex sokszög átlóinak száma tízszerese az egy csúcsból induló átlók számának.Hamis. Egy csúcsból 10 − 3 = 7 átló húzható.

Az átlók száma összesen10 · 7

2= 35.

Az összes átlóinak száma 5-szöröse az egy csúcsból induló átlók számának.

Konvex húszszög esetén igaz az állítás, mert egy csúcsból 17 átló húzható, és összesen20 · 17

2= 170 átlója

van.

114


Tk.: 107. oldal

K�z�piskol�ba k�sz�l�nk

KÖZÉPISKOLÁBA KÉSZÜLÜNK

1–2. óra: Számok3–4. óra: Algebra5–6. óra: Függvények, sorozatok7–8. óra: Alakzatok

9–10. óra: Transzformációk

A tanult ismereteket öt témára osztva feladatokon keresztül ismételjük át. A feladatok elméletikérdéseket is tartalmaznak. Az egyes témakörökhöz tartozó feladatanyag párja a feladatgyűjte-ményben található. A fejezet jól használható a középiskolai felvételire készülőknek, valamintazoknak a 8. és 6. osztályos tanulóknak, akiknek a nyolcadik osztályban vizsgázniuk kellmatematikából.Önálló, otthoni munkára javasoljuk a 2005–2008. központi felvételi feladatsorok, valamintkülönböző középiskolák felvételi feladatsorainak megoldását. A tematikus ismétlő feladatokmindegyikét nem lehet, és nem is kell 10 órában megoldani, a széles kínálattal a differenciáláslehetőségét szeretnénk biztosítani.

Számok

1. 6948

a) Írd le betűkkel! hatezer-kilencszáznegyvennyolc

b) Írd le római számokkal! MMMMMMCMXLVIII

c) Kerekítsd egyesekre, tízesekre, százasokra és ezresekre!egyesekre: 6948; tízesekre: 6950; százasokra: 6900; ezresekre: 7000.

d) Írd le a legnagyobb helyi értéken lévő számjegy ellentettjét! −6

e) Írd le a legkisebb alaki értékű számjegy reciprokát!1

4f) Melyik számnál kevesebb 1355-tel? 8303

g) Melyik számnak a 12-szerese? 579

h) Osztható-e 9-cel, 18-cal, 36-tal, 72-vel? 9-cel, 18-cal, 36-tal osztható, de 72-vel nem.

2. Helyezd el a számoknak megfelelő betűket a számegyenesre! Olvasd ki, hogy mit kaptál!

U = 25% =1

4T = 3

1

4+

1

7=

95

28N = 1,2-nek a reciproka =

5

6Á =

∣∣∣∣∣−2

3:

4

15

∣∣∣∣∣ =5

2

K = 3-nak a2

5része =

6

5Ó = (−0,2)2 = 0,04 J = −0,22 = −0,04 M =

1

33· 11

5=

1

15

J ÓM U N K Á T

−0,5 0 1 2 3

3. Hasonlítsd össze! Tedd ki a <, > vagy = jelet!

a) 2 és 3 aránya =26

392

3=

26

39

b) 12-nek a3

4része = 0,75-nak a 12-szerese 12 · 3

4= 0,75 · 12 = (9)

115



Tk.: 107–108. oldal

c)3

7· 16

5· 14

5> 2

1

3:

7

696

25>

7

3· 6

7= 2 d)

(2

5

)2

< 2 · 2

54

25<

4

5

e)3

8-nak a 20%-a <

3

8-nak az

1

4része

3

8· 1

5=

3

40<

3

8· 1

4=

3

32

f) −13

7reciproka <

(−2

7

)·(

3

4

)− 7

10= −49

70< − 3

14= −15

70

A b) és a d) feladatokat az ügyesebb tanulók számolás nélkül is megválaszolják.

4. „Többet ésszel, mint erővel!”

a)13

24· 12

65=

1

10b) 3

1

2:

49

4· 7

8=

7

2· 4

49· 7

8=

1

4

c)2

3: 17 · 7

8· 4

14· 17 =

2

3· 1

17· 7

8· 4

14· 17 =

1

6d) (−8) ·

(−3

4

)+

11

19· 0 · 5

7= 6

e) 32

5:

34

35− 35

34· 17

5=

17

5· 35

34− 35

34· 17

5= 0 f) 5 ·

(2

3

)2

− 4 ·(

2

3

)2

= 5 · 4

9− 4 · 4

9=

4

9

5. Keresd meg az egyenlőket!

A

24 · 74

B

(−1)5 + 15C

6,28 · 102D

103 − 372E

(2 · 7)4

F

24 + 74

G

0,14 − 0,0001H(

−2

3

)6

I

43

9

J(4

9

)3

K

−(

2

3

)6

A = E, B = G, C = D, H = J

6. Végezd el a műveleteket! Minden eredménynek egy-egy betű felel meg. Ha jól számoltál, akkoregy közmondás első részét kapod, amelyet bizonyára be tudsz fejezni.

A = 18 Á =8

29D = −90 G = −13

15I = 74 J = 0 K =

8

9O = 1

19

28Ó = 12 R = −17

10

S = −13

20T = 0,0009 Ú = 2

(−60) · (−3) : 20 · 2 A

180 felének az ellentettje D

−328 + 476 : 2 D

(−328 + 476) : 2 I

1

3+

4

5:

(−2

3

)G

(−60) · (−3) : 20 · 2 A

180 felének az ellentettje D

−328 + 476 : 2 D

(−328 + 476) : 2 I

1

3+

4

5:

(−2

3

)G

(2

3

)2

− 22

9J

35

8reciproka Á

−10

17reciproka R

(2

3

)2

− 22

9J

35

8reciproka Á

−10

17reciproka R

(−60) · (−3) : (20 : 2) A(−60) · (−3) : (20 : 2) A(2

3

)2

+(−2)2

9K

3

7+

5

4O(

1

3+

4

5

):

(−2

3

)R

(7

4− 3

5

)ellentettje S

14

3· 10

7· 9

5Ó

(2

3

)2

+(−2)2

9K

3

7+

5

4O(

1

3+

4

5

):

(−2

3

)R

(7

4− 3

5

)ellentettje S

14

3· 10

7· 9

5Ó

(−60) · (−3) : (20 : 2) A(−60) · (−3) : (20 : 2) A

7

3: 2

5

8K

(4

3

)2

· 18

16Ú

(0,03)2 T

−41

5+ 2,5 R

30-nak a3

5része A

7

3: 2

5

8K

(4

3

)2

· 18

16Ú

(0,03)2 T

−41

5+ 2,5 R

30-nak a3

5része A

Addig jár a korsó a kútra, amíg el nem törik.

116


Tk.: 108–109. oldal


7. Írd le matematikai jelekkel, és számítsd ki

a) (−820) és 450 összegének az abszolút értékét, |(−820) + 450| = 370

b) (−820) és 450 abszolút értékeinek összegét, |(−820)| + |450| = 1270

c) 2705

9részének a felét,

(270 · 5

9

): 2 = 75

d)3

4és

4

5különbségének a reciprokát,

134 − 4

5

=1

− 120

= −20

e)3

4és

4

5reciprokának a különbségét,

4

3− 5

4=

1

12

f)3

5négyzetének százalékban kifejezett értékét,

(3

5

)2

=9

25=

36

100= 36%

g) 20-nak a 120%-át, 20 · 1,2 = 24

h) 120-nak a 20%-át, 120 · 0,2 = 24

i) 0,14%-nak a tizedes tört és a tört értékét, 0,14% =0,14

100= 0,0014 =

7

5000

j)5

16tizedes tört és százalékos alakját,

5

16= 0,3125 = 31,25%

k) három és négy arányát, 3 : 4 =3

4

l) 240-nek felosztását 2 és 3 arányában! 2 · 240

2 + 3= 96, illetve 3 · 240

2 + 3= 144

8. Válassz az alábbi halmaz elemei közül!

5065

33 + 37

35 · 53

51

1,8 · 104

25 · 35

210 + 316 25 + 35

18 · 103

a) Páros szám 18 · 103 = 1,8 · 104; 25 · 35; 65

b) Öttel osztható szám 18 · 103 = 1,8 · 104; 51;

35 · 53; 210 + 316 (a végződések egyes hatványoknál

4-es periódussal ismétlődnek, jelenleg 4 + 1 = 5); 25 +

+ 35 = 275 (most egyszerűbb kiszámolni)

c) Prímszám 51

d) Se nem prímszám, se nem összetett szám50 = 1

e) Normál alakban felírt szám 1,8 · 104

f) Két egymással egyenlő szám 18 ·103 = 1,8 ·104;

65 = 25 · 35

g) A 18 pontosan 1000-szer van meg benne 18 · 103 = 1,8 · 104

h) Osztható 33-nal 65; 35 · 53; 25 · 35

9. Hány darab háromjegyű számot tudsz készíteni a 0 , 2 , 3 , 9 számkártyákból?Mi a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen kirakott háromjegyű szám osztható lesza) 2-vel, b) 4-gyel, c) 3-mal, d) 9-cel, e) 12-vel?a) A szám páros, ha 0-ra végződik, ez 3 · 2 = 6 lehetőség, vagy 2-re végződik, ekkor 2 · 2 = 4 lehetőség van.

Összesen 10 páros számot készíthetünk, így a valószínűség10

18=

5

9.

b) A háromjegyű szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegye a 20, így 2 szám készíthető. Ha az

utolsó két számjegy a 32, akkor csak egy ilyen szám van. Ezért a valószínűség2 + 1

18=

1

6.

117



Tk.: 109. oldal

c)–d) A kiválasztott számkártyán levő számok összegét kell a 3-nak, illetve a 9-nek osztania. A lehetséges kártyaválasztások: 0–2–3; 0–3–9; 2–3–9. Ezek közül csak a 0–3–9 jó. Ekkor 2 · 2 = 4 darab 3-mal osztható számot

készíthetünk, ennek valószínűsége4

18=

2

9. 9-cel osztható szám nem készíthető, ezért ennek valószínűsége 0.

e) Egy szám akkor osztható 12-vel, ha 3-mal és 4-gyel is osztható. A kiválasztandó számkártyák között nincsilyen lehetőség, hiszen a b) miatt szerepelnie kell a 2-es számkártyának, de ez nem szerepelhet a c) miatt.A valószínűség 0.

10. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek kétszerese négyzetszám, háromszorosapedig köbszám? Ha a szám kétszerese négyzetszám és háromszorosa köbszám, akkor az eredeti számtöbbszöröse a 2-nek és a 3-nak is, azaz 6-nak a többszöröse. Így 6 többszörösét sorba felírva hamarosan eljutnaka gyerekek a legkisebb ilyen számhoz, a 72-höz. Ellenőrizve: 2 · 72 = 122 és 3 · 72 = 63.

Erősebb csoportban érdemes megbeszélni az általánosításra is alkalmas megoldást. Jelöljük x-szel a keresett

számot! 2 · x = n2 és 3 · x = k3

Így x prímtényezős felbontásában a 2-nek páratlan kitevőjű hatványon kell szerepelnie, hiszen 2-vel szorozva

páros kitevőjű lesz. Ugyanakkor a második összefüggés miatt a 2 kitevője többszöröse a 3-nak is. A legkisebb

ilyen szám a 23.

A második összefüggésből egy köbszám osztható 3-mal, akkor x prímtényezős felbontásában 3-nak (3k − 1)-dik

hatványa kell, hogy szerepeljen, de az első összefüggés miatt a 3 prímtényezőnek páros kitevőjű hatványára van

szükség. A két feltételnek a 2 felel meg először, így 32 van a keresett szám prímtényezős felbontásában.

A keresett szám: 23 · 32 = 72. Ellenőrzés: (23 · 32) · 2 = 24 · 32 valóban négyzetszám és (23 · 32) · 3 = 23 · 33 valóban

köbszám.

Algebra

1. Keresd a párját!

A 8a − 7a + 12a + 3a B 8a − (7a + 12a + 3a) C 8a − (7a − 12a) + 3a

D 8 − 7a + 12a + 3a E 8a − 7 + 12a + 3a F 12a − (7a − 3a) + 8

a 16a b 23a − 7 c −14a d 8(a + 1)

a = A = C b = E c = B d = D = F

2. Milyen számok kerülnek az üresen hagyott helyekre?

a)

13

6x − 5

−3

0

4−23

−5

193

b) 1

5

2

7 27

5

1,2

03 · (2 −x)

36

71,6

2

118


Tk.: 109–110. oldal


3. Írd le algebrai kifejezésekkel a mondatokat!a) Egy családban a férj 8 évvel idősebb a feleségénél. Ha a férj életkora f , akkor mennyi a

feleségé és mennyi kettőjük életkorának az összege? Feleség: f − 8; összeg: 2f − 8.

b) Öt szomszédos egész szám közül a középső k. Írd le a másik négy egészet is, és írd fel azösszegüket! A számok: k − 2; k − 1; k; k + 1; k + 2; összeg: 5k.

c) Két szám különbsége 4. A kisebbet k-val jelöljük. Írd fel a nagyobb számot és a két számszámtani közepét! A nagyobb szám: k + 4; számtani közép: k + 2.

d) Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 14. A tizesek helyén t áll. Mi áll az egyesekhelyén? Milyen értéket vehet fel a t? Egyesek helyén: 14 − t; t ∈ {5; 6; 7; 8; 9}.

4. Az 1, 2, 3, 4, 5 számok közül melyikre kapsz az alábbi három állítás mindegyikére igaz,pontosan egy hamis, pontosan két hamis vagy csak hamis választ?

a) x egész szám b) x +1

xegész szám c) x2 − 3x negatív egész szám

Az a) állítás mindegyik számra igaz; a b) csak az 1-re igaz; a c) pedig az 1-re és a 2-re igaz.

Tehát mindegyikre igaz az 1. A 2 pontosan egyszer hamis (b-nél).

Pontosan kétszer hamis a 3, a 4 és az 5 (b-nél és c-nél). Csak hamis választ egyik számra se kapunk.

5. Melyik nem ugyanakkora részét adja a p-nek, mint az A?

A p-nek a 125%-a

a p-nek az5

4része b

5p

4c

4p

5d p :

4

5

ep · 125

100f p +

1

4g 2p − 3

4p h

p · 100

125

A c), f) és h) nem ugyanakkora része a p-nek, a), b), d), e) és g) az A-val megegyező részét adja p-nek.

6. Oldd meg az alábbi egyenleteket!

a) 7x − 9 + 4x = 3x − 3 + 12 + 9x x = −18 b)x

4+

2x

3− 5 =

x

3− 3x

2+

1

2x =

66

25= 2,64

c)3x − 4

5+ 8 = 12 x = 8 d) 3x − 7(x − 1) = 7 − 4x azonosság

e) 8 − 3x − 4

5= 12 x = −16

3f)

1

3(x − 6) − 2(x + 5) = 6(x − 2) x = 0

7. Euler (1707–1783) svájci matematikus feladata:Egy apa 1600 koronát hagyott három fiára. A végrendeletében meghagyta, hogy a legidősebbfiú jussa 200 koronával több legyen a középsőénél, a középsőé pedig 100 koronával több, minta legkisebbé. Számítsd ki a fiúk örökségét!Ha a legkisebb fiú öröksége x korona, akkor a középső fiú (x + 100) koronát kapott, míg a legidősebb(x + 100) + 200 = x + 300 koronát.

x + (x + 100) + (x + 300) = 1600

egyenlet megoldása: x = 400A fiúk örökségei: 700; 500; 400 korona. Ha a legidősebb fiú öröksége x korona, akkor az egyenlet:

x + (x − 200) + (x − 300) = 1600.

Innen x = 700.

119



Tk.: 110–111. oldal

8. Meg tudja-e venni Pista az 500 Ft-os telefonkártyát, ha pénzétösszeszámolva ezt mondta barátjának:„Ha még két és félszer annyi pénzem lenne, mint most van, akkor900 forintnál annyival lenne több pénzem, mint amennyivel mostkevesebb van nálam.”Jelöljük x-szel Pista pénzét. A felírható egyenlet: x + 2,5x − 900 = 900 − x.Innen x = 400, azaz Pista nem veheti meg a telefonkártyát.

9. Egy üzletben hétfőn és kedden pontosan ugyanannyi narancsotadtak el.

Szerdán a hétfői mennyiség 125%-át, csütörtökön csak3

5-szere-

sét a hétfőinek, és pénteken a hétfői mennyiség8

5részét sikerült

eladni. A hét öt napján eladott narancs mennyisége hány %-a a hétfőn eladott narancsnak?Ha szerdán 10 kg híján 100 kg narancsot adtak el, akkor mennyit adtak el a hét első napján?Először az első kérdésre adjuk meg a választ, ne vegyük figyelembe a szerdán eladott 90 kg-ra való ismeretünket,hiszen ez egy független kérdés az elsőtől. Ha a hétfőn eladott narancs tömegét kg-ban mérve x-szel jelöljük, akkorhétfőn: x; kedden: x; szerdán: 1,25x; csütörtökön: 0,6x; pénteken: 1,6x narancsot adtak el. A héten eladott narancstömegének összege: 5,45x. Ez 545%-a a hétfőinek. Ha 90 = 1,25x, akkor x = 72, azaz hétfőn 72 kg-t adtak el.

10. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket!

a) 5x + 3 � 4x − 8 x � −11 b) 8(x − 2) + 4 < 3x − 9 x <3

5

c)x + 3

4− 2 < 3(4 − x) x <

53

13d)

x

3− 2 · x + 1

5� 4 x � −66

Függvények, sorozatok

1. Az erdők fontosságával mindnyájan tisztában vagyunk.

Az Állami Erdészeti Szolgálat 2001-ben készült felméréseszerint gyarapodtak erdeink az előző évhez képest.Olvass ki minél több információt a diagramokról! Azelső diagramon található adatokból készíts függvényt,azaz add meg az A alaphalmazt, a K képhalmazt és ahozzárendelési utasítást!

120


Tk.: 111–112. oldal


Az ország erdőterülete megközelítőleg 1,8 millió hektár. Mekkora területen található a legelter-jedtebb akác és a legkevésbé elterjedt bükk?Az élőfakészletünk 326,4 millió köbméter volt. Mennyit tett ki ebből a fenyő?A = {bükk, nyár, cser, fenyő, tölgy, akác, egyéb fajok}. K = {6,2; 9,7; 11,4; 14,2; 21; 21,6; 15,9}. Az egyes

fajokhoz a százalékban kifejezett területeket rendeljük hozzá.

Az akác 1,8 · 0,216 = 0,3888 millió hektáron, míg a bükk 1,8 · 0,062 = 0,1116 millió hektáron található. A fenyő

326,4 · 0,142 = 46,3488 millió köbméter.

2. Ábrázold koordináta-rendszerben az A(1; −3), B(5; 2) és a C(1; 2) pontokat és kösd összeazokat!a) A pontokat tükrözd az y tengelyre – pirossal rajzolj!b) Az a) feladatban kapott pontokhoz hozzárendeljük azoknak az x tengelyre tükrözött képét –

kékkel rajzolj!c) Tetszőleges P (x; y) ponttal hajtjuk végre a két transzformációt! Van-e helyben maradó pont

az egyes transzformációknál?Töltsd ki a táblázatot a füzetedben! Tudsz-e mondani olyan hozzárendelési utasítást, amely azeredeti pontokhoz a kék színűeket rendeli hozzá?

Eredeti A(1; −3) B(5; 2) C(1; 2) P (x; y)

a) A( ; ) B( ; ) C( ; ) P ( ; ) Az y tengely pontjai maradnak helyben.

b) A( ; ) B( ; ) C( ; ) P ( ; ) Az x tengely pontjai maradnak helyben.

−1−3 −5 2 −1 2 −x y

−1 3 −5−2 −1−2 −x−y

Az origóra való tükrözés a két egymás után végrehajtott tükrözés eredménye.

3. Édesanya rakott krumplit főz ebédre. A krumpli főzésénekmelyik szakaszát látod az egyes grafikonokon?a) Feltette a krumplit főni.b) Egyenletesen forr a víz.c) Vízcsap alá teszi a főtt krumplit, hogy hűljön.d) Elkezdte hámozni.

121



Tk.: 112–113. oldal

4. Keresd a párját!a) x �→ 4x + 3 b) x �→ 3x + 4 c) x �→ 3d) x �→ 4 + 3x e) x �→ 2 + x + 2 + 2x f) x �→ 4 − 3x

c

x

y

123456

1 2 3 4

a

x

y

123456

1 2 3 4

b, d , e

x

y

123456

1 2 3 4 x

y

123456

1 2 3 4

5. Ábrázold az x �→ 2x − 3 függvény grafikonját!Határozd meg az A(1; ), B(−4; ), C(12; ), D( ; −3), E( ; 5), F ( ; 101) pontokhiányzó jelzőszámait úgy, hogy a pontoka) a grafikonon legyenek, b) a grafikon felett legyenek, c) a grafikon alatt legyenek!

−2−1

1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3y

x

a A(1; −1 ) B(−4; −11 ) C(12; 21 ) D( 0 ; −3) E( 4 ; 5) F ( 52 ; 101)

b y > −1 y > −11 y > 21 x < 0 x < 4 x < 52

c y < −1 y < −11 y < 21 x > 0 x > 4 x > 52

6. Melyik a kakukktojás? Azaz az alábbi egyenesek egyenleteiközül egy nem párhuzamos a többivel, készítsd el annak agrafikonját!a) x − 2y = 0 b) 5x = 10y + 7 c) −3x + 18 + 6y = 0

d) y = 2x − 5 e) 3y = 1,5x − 2 f) −4y = 6 − 2x

A d) y = 2x − 5 nem párhuzamos a többivel.

7. Írj fel függvénykapcsolatot a derékszögű háromszög kéthegyesszöge között! Készítsd el a grafikonját ennek a függvénynek!

Ha az egyik hegyesszög x, akkor a másik szög 90◦ − x, azaz a függvénykapcsolat

20 40 60 80 100

20

40

60

80

100

x

y

x �−→ 90 − x, ahol 0 < x < 90A grafikon egy mindkét végén nyílt szakasz.

8. Írd fel a számtani sorozatok első öt elemét és készítsd el ahozzájuk tartozó grafikonokat!a) −4, − 1, 2, . . .

A sorozat differenciája 3. A sorozat elemei −4, −1, 2, 5, 8.

b) a1 = 7 d = −2 7, 5, 3, 1, −1 c) cn = −3 minden elem −3 d) a1 = 3 a2 =7

33,

7

3,

5

3,

3

3= 1,

1

3A grafikonok csak pontokból állnak.

9. Mennyi a számtani sorozat első nyolc elemének az összege, haa) első eleme (−5) és differenciája 2, A sorozat elemei: −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, összegük: 16.

122


Tk.: 113. oldal


b) első eleme 4 és harmadik eleme 12, a1 = 4 és a3 = 12. Innen d = 4, így a sorozat elemei 4, 8, 12, 16,

20, 24, 28, 32. Összegük4 + 32

2· 8 = 144.

c) első három elemének számtani közepe 21 és a negyedik eleme 7, Ha az első három elem számtani

közepe 21, akkor a sorozat második eleme éppen 21. Mivel a4 = 7, a sorozat differenciája −7. A sorozat elemei:

28, 21, 14, 7, 0, −7, −14, −21. Összegük 28.

d) az ötödik és a második elemének különbsége (−9) és ugyanezen elemek összege (−14)?Mivel a5 −a2 = −9, ezért a sorozat differenciája −3. Ezen elemek összege: a5 +a2 = −14. Ebben az összegben

kétszer szerepel az a1 és ötször a sorozat differenciája, ami 5 · (−3) = (−15). Innen 2 · a1 − 15 = −14, azaz:

a1 = 0,5. A sorozat elemei: 0,5, −2,5, −5,5, −8,5, −11,5, −14,5, −17,5, −20,5. Összegük:0,5 − 20,5

2· 8 =

= −80.

10. Zsolti ímmel-ámmal elkezdte olvasni a köte-lező olvasmányt. Első nap 12 oldalon rágtaát magát. Mivel nagyon érdekesnek találta,minden nap 3 oldallal növelte az előző napiadagját. Hány nap alatt olvasta el a 441 olda-las könyvet?A Zsolti által elolvasott oldalak száma számtani soro-

zatot alkot: a1 = 12 d = 3.

Innen: 12 + 15 + 18 + . . . + 12 + (n − 1) · 3 = 441, azaz12 + 12 + (n − 1) · 3

2· n = 441

(21 + 3n) · n = 882

A lehetséges megoldásokat felsorolva az egyenletet próbálgatással tudják megoldani a gyerekek. Felhasználjuk,

hogy 882 = 2 · 32 · 72

n 2 3 6 7 9 14 18 21 1

21 + 3n 27 30 39 42 48 63 75 84 24

n · (21 + 3n) 54 90 234 294 432 882 1350 1764 24

n 2 3 6 7 9 14 18 21 1

21 + 3n 27 30 39 42 48 63 75 84 24

n · (21 + 3n) 54 90 234 294 432 882 1350 1764 24

Tehát 14 nap alatt olvassa el Zsolti a könyvet.

Természetesen egyéb próbálgatással is megoldható a feladat.

Például behatároljuk a napok számát. Ha 10 napig olvas, akkor a10 = 39, így összesen12 + 39

2· 10 = 255 oldalt

olvas el, ez kevés.

Ha 20 napig olvas, akkor a20 = 69, így összesen12 + 69

2· 20 = 810 oldalt olvas el, ami már sok.

Érdemes a középső értéket megnézni, azaz 15 napi olvasás után az utolsó napon a15 = 54 oldalt olvas, és összesen12 + 54

2· 15 = 495 oldalt, ami éppen 54-gyel több a 441-nél, ezért 14 nap kell Zsoltinak.

Alakzatok

1. Melyik nagyobb?

a) 10 km 5%-a vagy 3 000 000 mm1

6része,

Egyenlő, mert 10 km 5%-a 0,5 km; 3 000 000 mm1

6része 500 000 mm.

0,5 km = 500 m = 500 000 mm.

123



Tk.: 113–114. oldal

b) 3,5 · 104 cm vagy 3,5 km, 3,5 km > 3,5 · 104 cm = 0,35 km

c) 88 dm másfélszerese vagy 10 m4

3-szorosa? 10 m · 4

3=

400 dm

3= 133,3̇ dm > 88 dm · 3

2= 132 dm

2. Hány fokos szöget zár be két metsző egyenes, ha az általuk meghatározott négy szög közüla) két szög összege 130◦, 65◦

b) három szög összege 237◦, 57◦

c) az egyik szög háromszor akkora, mint a másik? 45◦

3. Adj meg a lehető legkevesebb számú különböző fajta négyszögekből álló halmazt a feltételek-nek megfelelően!a) Az elemek között pontosan egy négyzet van,

az elemek kétharmad része téglalap,az elemek között van három paralelogramma.Például: {1 négyzet; 1 nem egyenlő oldalú téglalap; 1 nem derékszögű trapéz}

b) A halmaznak legalább két eleme van,az elemek mindegyikének van párhuzamos oldalpárja,az elemek tengelyesen szimmetrikusak.Például: {1 húrtrapéz, ami nem téglalap; 1 rombusz, ami nem négyzet}

4. a) Egy derékszögű háromszögnek van egy 32◦-os szöge. Hányfokos szögekre bontja az átfogóhoz tartozó magasság aderékszöget?ϕ = 90◦ − 32◦ = 48◦ ε = 90◦ − ϕ = 32◦

b) Egy derékszögű háromszög kerülete 180 cm, befogóinakaránya 12 : 5. Számítsd ki a háromszög területét!I. megoldás: Az 5; 12; 13 egy pitagoraszi számhármas.

K = 5x + 12x + 13x = 180 ⇒ x = 6, a befogók 30 cm és 72 cm.

T =30 · 72

2= 1080 cm2 a háromszög területe.

II. megoldás: (12x)2 + (5x)2 = z2 ⇒ z = 13x

12x + 5x + z = 180 ⇒ x = 6. Innen lásd az I. megoldást.

5. Az ABCD négyzetet az AF és az EB szakasz az ábra szerint háromrészre bontja. Az EAB szög 55◦, az EB szakasz pedig a négyzet B

csúcsnál levő szögét 2 : 7 arányban osztja.a) Mekkorák lehetnek az EBCF négyszög szögei?b) Igaz-e, hogy az A, E és C pont a B-től egyenlő távolságra van?

vagy

a) ε1 = 75◦ vagy ε2 = 125◦

b) ϕ1 = 105◦, AB = CB�E1B. Az állítás tehát hamis. ϕ1 = 55◦, AB = CB = E2B. Az állítás igaz.

124


Tk.: 114. oldal


6. Egy húrtrapéz alapjainak aránya 1 : 2. Szárának hossza az alapok hosszának számtani közepévelegyenlő, kerülete 4,2 m.

a) Mekkora a rövidebb alap? b) Mekkora a trapéz területe?

K = 6x = 4,2 ⇒ x = 0,7 m m2 + 0,352 = 1,052 ⇒ m ≈ 0,99 m

A rövidebb alap 0,7 m. T =(1,4 + 0,7) · 0,99

2= 1,0395 m2 a terület.

7. Számítsd ki a színessel jelölt sokszög és az ABCD négyszög területének arányát!

8. a) Egy szabályos hatszög egyik átlója 7 cm2 területű háromszöget metsz le a hatszögből. Hánydm2 a hatszög területe?

T =1

6Thatszög Thatszög = 6 · 7 = 42 cm2 = 0,42 dm2.

b) Egy szabályos sokszög szomszédos csúcsai A, B és C, szimmetriaközéppontja O. Az AOC

háromszögben az egyik szög 30◦-kal nagyobb a másiknál. Hány oldalú a sokszög? Igaz-e,hogy háromszor annyi átlója van, mint oldala?

vagy

3x + 30◦ = 180◦

x = 50◦

AOB� = 40◦

3x + 60◦ = 180◦

x = 40◦

AOB� = 20◦

Kilencszög; 27 átló, 27 = 3 · 9 vagy tizennyolcszög; 135 átló, 135�3 · 18

Csak a szabályos kilencszög a megoldás.

125



Tk.: 114–115. oldal

9. A kör sugara 82 m. Mekkora a színessel jelölt útvonalak hossza?

a) b) c) d)

4r = 328 m 4r = 328 m 4r = 328 m 4r = 328 m

10. Mekkora a fehér alakzat területe, ha az ábrában levő körívek középpontjai a szabályos sokszög,illetve a paralelogramma csúcsai? Az eredményt mm2 pontossággal add meg!

a) b) c) d)

Tkörök =1

2· 62π +

+1

2· 32π =

45

2π

Tfehér = 92 − 45

2π

Tfehér ≈ 1035 mm2

R2 + 62 = 122 ⇒⇒ R =

√108

Tfehér =1

6R2π =

= 18π


Tkörök = 6·1

3·42π = 32π

m2 + 42 = 82 ⇒⇒ m =

√48

Thatszög = 6 · 8 · √48

2=

= 24 ·√

48Tfehér = 24 ·

√48 − 32π


Tparalelogramma = 9 · 4 = 36

Tkörök =3

8· 32π +

3

8· 22π =

=39

8π

Tfehér = 36 − 39

8π

Tfehér = 2069 mm2

11. A három hálózatból elkészítjük ahárom kockát, majd egymás te-tejére rakva négyzetes oszlopotállítunk össze. Az oszlop négyoldalán felülről lefelé olvasva aszámokat négy darab háromje-

gyű számot kapunk, majd a négy darab háromjegyű számot összeadjuk. Milyen sorrendben,hogyan helyezzük egymásra a három kockát úgy, hogy az előbbi összeg a lehető legnagyobblegyen? Mekkora ez az összeg?A legfelső kocka függőleges lapjaira írt számok kerülnek a százas helyi értékre, ezek összegét kell a legnagyobbnak

választani. Az egyes kockákon elérhető összegek a következők.I. 5 + 2 + 6 + 4 = 17 1 + 6 + 3 + 5 = 15 1 + 2 + 3 + 4 = 10 egyesek lesznek

II. 8 + 9 + 7 + 5 = 29 8 + 1 + 7 + 2 = 18 2 + 9 + 1 + 5 = 17 százasok lesznek

III. 7 + 8 + 6 + 4 = 25 9 + 6 + 2 + 7 = 24 9 + 8 + 2 + 4 = 23 tízesek lesznek

A felső kocka a II., az alsó az I. jelű, középen van a III. jelű.

Függőleges lapjaik: 8, 9, 7, 5, illetve 7, 8, 6, 4, illetve 5, 2, 6, 4.

Egymáshoz képest függőleges tengely körül elforgathatók, az összeg mindenképpen 29 ·100+25 ·10+17 ·1 = 3167.

Megjegyzés: Jó, ha megállapodunk abban, hogy a 6-os szám megfordítva sem olvasható 9-esnek.

126


Tk.: 115. oldal


12. Egy négyzetes oszlop magasságát felére csökkentve 27 cm3 térfogatú kockát kapunk.a) Milyen magas az oszlop? A kocka éle 3 cm, ezért az oszlop 6 cm magas.

b) Hány cm2 az oszlop felszíne? A = 32 · 2 + 4 · 3 · 6 = 90 cm2

c) Hány liter a négyzetes oszlop térfogata? V = 3 · 3 · 6 = 54 cm3 = 0,054 dm3 = 0,054 l

13. Egy téglatest egyik lapjának területe 160 cm2, e téglalap szomszédos oldalai hosszának aránya5 : 8. A téglatest harmadik éle a rövidebb él 60%-a.Mekkora a téglatest felszíne?5x · 8x = 160 ⇒ x2 = 4 x = 2 A téglatest élei 10 cm, 16 cm, és 6 cm.

A = 2 · (10 · 16 + 16 · 6 + 10 · 6) = 632 cm2

14. Egy vasból készült négyzet alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm, a magassága 20 cm.Ebből a testből a lehető legnagyobb térfogatú hengert esztergálják.a) Hány dm3 a hulladék?

Vhasáb = 8 · 8 · 20 = 1280 cm3 Vhenger = 42 · π · 20 = 320π ≈ 1004,8 cm3

Vhulladék = 1280 − 320π ≈ 275,2 cm3 = 0,2752 dm3

b) Hány kg a henger tömege, ha a vas sűrűsége � = 7,6kg

dm3 ?

Vhenger = 1,0048 dm3 mhenger = Vhenger · � ≈ 1,0048 · 7,6 ≈ 7,64 kg a tömege.

15. Négy függvény grafikonját ábrázoltuk. Melyik függvény adja meg helyesen az ABCD parale-logramma kerületét az AB oldal függvényében, ha a paralelogrammaBC oldala 1 egységgel hosszabb, mint az AB oldal hosszának kétsze-rese?K = 2(2x + 1 + x) = 2(3x + 1) = 6x + 2, ha x > 0.

A helyes függvény: x �→ 6x + 2 és x > 0.

Az f függvény tekinthető a kerület-függvénynek.

x �→ 6x + 2 x �→ 2x + 1 x �→ 6x − 12 x �→ 2x + 1

x > 0 x � 0 x > 2 x > 0

127



Tk.: 115–116. oldal

Transzformációk

16. A képen egy kaput ábrázoltunk, ahogy az utca felől látszik.Rajzold le a kaput a kert felől nézve!

17. Legyen egy ABCD négyzet oldala 7 cm, BC oldalának felezőpontja F !a) Szerkeszd meg a négyzetet, majd tükrözd az AF egyenesre!b) Számítsd ki az eredeti és a tükörkép négyzet közös részének területét!

a) b) ABFB′ közös rész deltoid, a szimmetriaten-gelye két derékszögű háromszögre bontja.

T = 2 · 1

2· 7 · 3,5 = 24,5 cm2 a terület.

18. Az ABCD deltoid átlói 8 cm és 4 cm hosszúak. A rövidebb átló 1 : 3 arányban osztja ahosszabb átlót.a) Szerkeszd meg a deltoidot, majd tükrözd az átlók metszéspontjára!

A deltoid konvex, mert átlószakaszai metszik egymást.

b) Milyen alakzat az eredeti deltoid és a tükörkép egyesítése, illetvemilyen alakzat az eredeti deltoid és a tükörkép közös része? AzABCD deltoid területének hányszorosa az egyesítés, illetve aközös rész területe?Az egyesítés rombusz, a közös rész négyzet.

TABCD =8 · 4

2= 16 cm2 Tegyesítés =

12 · 4

2= 24 cm2

Tközös rész =4 · 4

2= 8 cm2 Tegyesítés =

3

2TABCD Tközös rész =

1

2· TABCD

c) Számítsd ki mm pontossággal az ABCD deltoid kerületét!22 + 22 = a2 ⇒ a =

√8

22 + 62 = b2 ⇒ b =√

40

K = 2(a + b) = 2(√

8 +√

40) ≈ 18,30 cm ≈ 183 mm

128


Tk.: 116. oldal


19. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogója 13 cm, BC befogója 5 cm hosszú. Az A csúcsáttükrözzük a C csúcsra, C-t a B-re, végül B-t az A-ra, a tükörképeket rendre C1, B1, A1 jelöli.a) Számítsd ki az ABC és az A1B1C1

háromszögek területének arányát!TABC = TAA1C = TBB1A = TCC1B

= = =

TCC1A1 TAA1B1 TBB1C1

TABC : TA1B1C1 = 1 : 7Bármely háromszög esetén ez az arány 1 : 7.

b) Számítsd ki az ABC háromszög kerü-letét és területét!

b2 + 52 = 132 ⇒ b = 12 cmKABC = 5 + 12 + 13 = 30 cm

TABC =12 · 5

2= 30 cm2

20. Döntsd el, hogy igaz vagy hamis állítások-e az alábbiak!A: A rombusz két szabályos háromszögből áll. Hamis. Például a négyzet nem ilyen.

B: Minden deltoid tengelyesen szimmetrikus. Igaz. Ez a definíció.

C: A paralelogramma átlói felezik a paralelogramma belső szögeit. Hamis. Például a téglalap átlói

nem szögfelezők, ha nem egyenlők az oldalai.

D: A paralelogramma átlói felezik egymást. Igaz. A középpontos szimmetria miatt.

E: Van olyan paralelogramma, ami deltoid. Igaz. Például a rombusz.

F : Van olyan deltoid, aminek az átlói egyenlő hosszúak. Igaz. Például

A négyzet is olyan deltoid, amelynek átlói egyenlő hosszúak.G: A paralelogramma tengelyesen szimmetrikus. Hamis. A nem derékszögű és

nem egyenlő oldalú paralelogrammának nincs szimmetriatengelye.

H : Ha egy trapéz szárai egyenlők, akkor a trapéz húrtrapéz. Hamis. Például

a paralelogramma szárai is egyenlők, de nem húrtrapéz, ha szárai nem merőlegesek

az alapra.

I : Van olyan négyzet, ami rombusz is. Igaz. Minden négyzet egyenlő oldalú négyszög.

J : Nincs olyan négyzet, aminek a területe pontosan 2 cm2. Hamis. Az a =√

2 oldalú négyzet területe

2 cm2.

K: Ha egy négyszögnek van szimmetriatengelye, akkor van két egyenlő szöge. Igaz. A tengelyesen

szimmetrikus négyszög vagy deltoid, vagy húrtrapéz, amiknek van két egyenlő szöge.

129



Tk.: 117. oldal

FELVÉTELI FELADATOK

OM írásbeli felvételi, 2005–2008

1. feladatsor (2005)

(Zsebszámológép nem használható!) 45 perc

1. Leírtunk egymás mellé hét racionális számot úgy, hogy a két szélső kivételével mindegyikeggyel nagyobb a két szomszédja szorzatánál. Keresd meg a hiányzó öt számot!

−1 0 1 3 21

3−1

3

2. Egy műszaki áruház raktárában 120 darab televízió van. A készlet 15%-a 36 cm képátlójúkészülék, 48 darab 72 cm képátlójú, a többi 55 cm képátlójú.a) A legkisebb képátlójú készülékből hány darab van a raktárban? 18

b) Az 55 cm képátlójú készülékből hány darab van a raktárban? 54 (= 120 − 18 − 48)

c) Hány százalékkal változik a teljes raktárkészlet, ha 21 készüléket eladnak?

17,5%-kal(

=21

120· 100

)

3. Az ábrákon látható táblázatokban többféle módon olvasható el a LOGIKA Például: L O G

O G I

G I K

I K A

szó. A bal felső sarokból indulva csak jobbra vagy lefelé haladhatunk.Rajzold be a táblázatokba az összes olyan különböző lehetőséget, amely-ben nem lépünk kétszer közvetlenül egymás után jobbra! (Több ábra van,mint ahány lehetőség.)

L O G

O G I

G I K

I K A

L O G

O G I

G I K

I K A

L O G

O G I

G I K

I K A

L O G

O G I

G I K

I K A

L O G

O G I

G I K

I K A

4. A következő ábra köreibe úgy kell beírni az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számokat,

1

5

2

7

6

4

3

hogy a nyilak a kisebb számra mutassanak.Pótold a hiányzó számokat!

5. Tegyél ∗ jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosanigaz

Lehet,hogy igaz

Lehetetlen

a)Ha egy természetes szám osztható néggyel is és tízzel is,akkor osztható negyvennel.

∗

b) Az első tíz darab prímszám összege páratlan. ∗c) Egy paralelogramma átlói felezik a belső szögeket. ∗

d)3

100km < 25 m + 5000 cm. ∗

e) 0,25 óra = 30 perc − 300 másodperc. ∗

Biztosanigaz

Lehet,hogy igaz

Lehetetlen

a)Ha egy természetes szám osztható néggyel is és tízzel is,akkor osztható negyvennel.

∗

b) Az első tíz darab prímszám összege páratlan. ∗c) Egy paralelogramma átlói felezik a belső szögeket. ∗

d)3

100km < 25 m + 5000 cm. ∗

e) 0,25 óra = 30 perc − 300 másodperc. ∗

130


Tk.: 118. oldal


6. Egy cég vezetése az éves jutalomalapot legeredményesebb dolgozói között akarta szétosztani.A javaslat szerint Andrea, Béla, Csaba és Dénes kapott volna jutalmat, az egyes jutalmak arányaaz előbbi sorrendnek megfelelően 1 : 2 : 3 : 4.Közben kiderült, hogy akinek a teljes jutalomalap ötödét szánták, súlyos hibát követett el.A vezetés úgy döntött, hogy a 16 000 forintot is szétosztják a másik három dolgozó közöttúgy, hogy az ő jutalmaik aránya ne változzon.a) Hány forint a jutalomalap? 80 000

b) Név szerint ki nem kap jutalmat a négy dolgozó közül? Béla

c) A kiosztott jutalmak közül mennyi volt a legkevesebb? 10 000 Ft

d) Mennyi volt a legnagyobb kiosztott jutalom? 40 000 Ft

7. Péter szeptember első hetében megmérte a levegő hőmérsékletét az erkélyen reggel 7 órakor ésdélután 2 órakor. Az eredményekről a következő grafikonokat készítette:

0 5 10 15 20 25

H.

K.

Sze.

Cs.

P.

Szo.

hőmérséklet [◦C]

napok reggel 7 óra

0 5 10 15 20 25

H.

K.

Sze.

Cs.

P.

Szo.

hőmérséklet [◦C]

napok délután 2 óra

a) Mekkora volt a legnagyobb különbség a reggeli hőmérsékletek között? 5 ◦C

b) Hány ◦C volt a hat nap átlaghőmérséklete délután kettőkor? 24

c) Hétfőn mennyit emelkedett a hőmérséklet reggel hét óra és délután két óra között? 12 ◦C-ot

d) Mekkora volt a legnagyobb napi hőmérséklet-különbség a két mérési időpont között? 15 ◦C

131



Tk.: 119. oldal

8. A birkózóverseny eredményhirdetéséhez három darab egyforma tömör fakockából az alábbimódon készítettünk dobogót:– két kocka egy-egy lapját összeragasztottuk,– a harmadik kockát az egyik lapjával párhuzamosan pontosan félbevágtuk,– a két félkockát a rajz szerint hozzáragasztottuk a két kockához.

a dobogó elölről a dobogó alulról

a) A dobogó aljának (a földdel érintkező részének) a területe 108 dm2. Hány dm élhosszúságúvolt egy kocka? 6

b) A dobogó alját feketére, a többi részét fehérre festettük. Összesen hány négyzetlapnyifelületet festettünk fehérre? 12-t

c) Hány dm2 a fehérre festett felület? 432

9. Egy desszertes dobozban háromfajta csokoládé van:– barna csomagolású, amiben két darab mogyoró van,– fehér csomagolású, amiben egy darab mogyoró van,– drapp csomagolású, amiben nincs mogyoró.A dobozban lévő 33 darab csokoládéban összesen 32 mogyoró van. A barna és a fehércsokoládék számának összege kétszerese a drapp csokoládék számának.a) Hány darab drapp csomagolású csokoládé van? 11

b) Hány darab barna csokoládé van? 10

c) Hány darab fehér csokoládé van? 12 ( = 22 − 10)

Jegyezd le a megoldás gondolatmenetét!

10. Egy derékszögű háromszög derékszögű csúcsából induló magas-

15◦

α

β

ca

bC A

B

ság és szögfelező 15◦-os szöget zár be egymással.Készíts ábrát! Jelöld az ismert szögeket!Mekkorák ennek a derékszögű háromszögnek a hegyesszö-gei? α = 30◦, β = 60◦

A háromszög hosszabb befogójára négyzetet rajzolunk. (c = 4 cm)

Hány cm2 ennek a négyzetnek a területe, ha a rövidebb befogóhossza 2 cm? 12 cm2



1. Határozd meg x, y, z értékét, ha

x =11

7:

(1

2+

2

7

)x = 2 y = a legnagyobb egyjegyű prímszám y = 7 z = −3 − (5 − 11) z = 3

Számítsd ki a három szám átlagát! 4

132


Tk.: 120. oldal


2. Erika (E), Gabi (G), Hilda (H) és Ibolya (I) népi táncot tanul. Az egyik táncban négyüknekegymás kezét fogva körtáncot kell járniuk. Két ilyen kör csak akkor különböző, ha forgatássalnem vihetők egymásba. Például az alábbi két kör nem különböző:

Keresd meg a megadott példától különböző összes lehetségesHE

G I

H

E G

Ifelállást! Írd be a táncosok betűjelét az alábbi ábrákba! (Többábra van, mint ahány lehetőség.)

GE

I H

GE

H I

HE

I G

IE

H G

IE

G H

3. Az alábbi szabály alapján töltsd ki a táblázat hiányzó adatait!= 2 · − 1

3,5 −5 4,5 −4

6 −11 8 −9

4. A 8. osztályosok két felmérőt írtak, mindkettőt 20 tanuló írta meg. Az eredményeket az alábbidiagramok mutatják.tanulókszáma

0123456789

1011

jelesjó

közepes

elégséges

elégséges 10% jeles 15%

jó 20%

közepes 55%

Első felmérő Második felmérő

a) Hány közepes volt a második felmérőben? 11

b) Az első felmérőben hány százalék volt a jó osztályzatú? 25

c) Melyik felmérőben volt több jeles? az elsőben

d) A második felmérőben hánnyal volt több közepes osztályzat, mint jeles? 8-cal

5. Tegyél ∗ jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Igaz Hamis

a) A tompaszögű háromszögnek van két hegyesszöge. ∗b) A háromszög külső szögeinek összege 180 fok. ∗c) Az egyenlő oldalú háromszög középpontosan szimmetrikus alakzat. ∗d) A háromszög mindegyik magasságvonala felezi a szemközti oldalt. ∗

e)Van olyan egyenlő szárú háromszög, amelyiknek három szimmetria-tengelye van.

∗

f)Van olyan egyenlő szárú háromszög, melynek egyik szöge háromszorakkora, mint a másik.

∗

Igaz Hamis

a) A tompaszögű háromszögnek van két hegyesszöge. ∗b) A háromszög külső szögeinek összege 180 fok. ∗c) Az egyenlő oldalú háromszög középpontosan szimmetrikus alakzat. ∗d) A háromszög mindegyik magasságvonala felezi a szemközti oldalt. ∗

e)Van olyan egyenlő szárú háromszög, amelyiknek három szimmetria-tengelye van.

∗

f)Van olyan egyenlő szárú háromszög, melynek egyik szöge háromszorakkora, mint a másik.

∗

133



Tk.: 121. oldal

6. Egy paralelogramma két belső szögének aránya 1 : 2.

α β

Hány fokosak a paralelogramma belső szögei? α = 60◦, β = 120◦

Egy rombusz átlóinak hossza 6 és 8 egy-

ség. Mekkora a rombusz kerülete? Írd le aszámolás menetét!a = 5 (egység), K = 20 (egység)

7. Éva az egyik 60 lapos füzetének mind a 120 oldalát megszámozta.a) Hány darab egyjegyű számot kellett leírnia? 9-et

b) Hány darab kétjegyű számot kellett leírnia? 90-et

c) Hány darab háromjegyű számot kellett leírnia? 21-et

d) Összesen hány darab számjegyet kellett leírnia? 252-t

8. A szerelők 155 méter hosszú útvonalon vízvezetékcsövet fektettek le nyolc méteres és ötméteres darabokból. Összesen 25 darab csövet használtak fel.Hány db 8 m-es és hány db 5 m-es cső kellett? Írd le a megoldás gondolatmenetét!Pl.: A nyolc méteres csövek száma: x, az öt méteres csövek száma: 25 − x. 8x + 5 · (25 − x) = 155 x = 10

A nyolc méteres csövek száma 10 db, az öt méteres csövek száma 15 db.

9. Egy négyzetes oszlop éleinek mérete 3, 3 és 4 egység. Az oszlopot

33

4

befestettük barnára. Ezután a lapokkal párhuzamos vágásokkal egység-kockákra daraboltuk.Hány darab olyan kiskockát kaptunk, amelyneka) pontosan három lapja barna, 8-at

b) pontosan két lapja barna, 16-ot

c) pontosan egy lapja barna, 10-et

d) nincs barna lapja? 2-t

10. Mama pogácsát sütött, és egy üzenő levélben kérte gyermekeit, hogy igazságosan osztozzanakrajta. Anna elsőként ért haza, megette a pogácsák harmadát, majd szakkörre ment. Bélamásodikként hazaérve megette a tálcán lévő pogácsák harmadát, és edzésre sietett. Ezutánérkezett Cecil, aki szintén csak a tálcán lévő pogácsák egyharmadát fogyasztotta el, így 8darabot hagyott.a) Hány pogácsát evett meg Cecil? 4-et

b) Hány pogácsát evett meg Béla? 6-ot

c) Hány pogácsát sütött a mama? 27-et

d) Az összes pogácsának hányad részét ette meg Béla?6

27

(=

2

9

)részét



1. Határozd meg a p, q és r értékét, hap = a legkisebb kétjegyű négyzetszám p = 16 q = −2 − (−3) − (−4) q = 5

r =

(4

5− 5

2

): 0,17 r = −10

Számítsd ki az s értékét, ha s =2q + r

p! s = 0

134


Tk.: 122. oldal


2. Két háromszög határvonalának különböző számú közös pontja lehet. Minden lehetséges esetetszemléltess egy-egy ábrával! A megadott három példához hasonlóan egészítsd ki az ábrákat amegfelelően elhelyezett háromszögekkel!

0 közös pont 1 közös pont 2 közös pont 3 közös pont

4 közös pont 5 közös pont 6 közös pont végtelen sok közös pont

3. Az 1 : 500 000 méretarányú térképen Kecskemét és Szeged távolsága 15 cm hosszú szakasz.Hány kilométerre van a két város egymástól légvonalban? Írd le a megoldás menetét is!Legyen a valódi távolság x, akkor 16 · x = 1 : 500 000. x = 75 km

Ugyanezen a térképen hány cm-nek mérhető a Győr–Budapest közötti 105 km-es távolság?21-nek

4. Egy levelező matematikaverseny első fordu-

feladat

a beküldők száma

0

10

20

30

40

1. 2. 3. 4. 5. 6.

lóján 50 diák vett részt. Összesen hat fela-datot kellett megoldaniuk. Az egyes felada-tokra érkezett megoldások számát az alábbigrafikon mutatja.a) Melyik feladatra érkezett a harmadik leg-

több megoldás? a 6.-ra

b) Az 1. feladatra hányan nem küldtek meg-oldást a résztvevők közül? 12 fő

c) Mennyivel többen küldtek megoldást a 2.feladatra, mint az 5. feladatra? 16-tal

d) Mennyi az utolsó három feladatra bekül-dött megoldások számának átlaga? 24

5. Zsófi gondolt egy számot. Levont belőle 22-t, és az eredményt leírta egy lapra, amit átadottGábornak. Gábor elosztotta a lapon lévő számot hárommal, és az eredményt leírta egy új lapra,amit odaadott Líviának. Lívia hozzáadott a lapon lévő számhoz 15-öt, és az eredményt leírtaegy újabb lapra, amit átadott Júliának. Júlia a kapott számot megszorozta kettővel, és éppen100-at kapott eredményül.a) Lívia melyik számot írta a lapra? 50-et

b) Gábor melyik számot írta a lapra? 35-öt

c) Melyik számra gondolt Zsófi? 127-re

135



Tk.: 123. oldal

6. Az ábrán látható ABCD derékszögű trapézban a hosszabb szár és a

γ β

B

CD

A 8 cm

8 cm30◦

hosszabb alap egyaránt 8 cm hosszú, a DAC szög 30◦-os. Írd be azismert adatokat az ábrába!Határozd meg a γ és a β szög nagyságát, valamint a DC oldal hosszát!γ = 60◦, β = 60◦, DC = 4 cm

7. Leírtuk egymás mellé a számjegyeket úgy, hogy minden számjegyetéppen annyiszor írtunk le, amennyi a számjegy értéke: 122333 88 . . . 8︸︷︷︸

8 darab

99 . . . 9︸︷︷︸9 darab

.

a) Hány számjegyet írtunk le összesen? 45-öt

b) Melyik számjegy áll balról a 25. helyen? 7

c) Ha az összes leírt számjegyet összeszoroznánk, akkor a szorzat hány darab 0-ra végződne? 5

8. Tegyél ∗ jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Igaz Hamis

a) Minden deltoid rombusz. ∗b) A tíz legkisebb pozitív prímszám szorzata páros. ∗c) Minden háromszögnek van olyan szöge, amelyik legfeljebb 60◦-os. ∗

d)Bármely két természetes számra teljesül, hogy ha az összegük páros,akkor a szorzatuk is páros.

∗

e)Nincs olyan háromszög, amelyben a háromszög köré írható körközéppontja egyenlő távolságra van a háromszög oldalaitól.

∗

Igaz Hamis

a) Minden deltoid rombusz. ∗b) A tíz legkisebb pozitív prímszám szorzata páros. ∗c) Minden háromszögnek van olyan szöge, amelyik legfeljebb 60◦-os. ∗

d)Bármely két természetes számra teljesül, hogy ha az összegük páros,akkor a szorzatuk is páros.

∗

e)Nincs olyan háromszög, amelyben a háromszög köré írható körközéppontja egyenlő távolságra van a háromszög oldalaitól.

∗

9. Egy 2 cm élhosszúságú tömör kockának az egyik sarkából kivágtunkegy 1 cm élhosszúságú kockát.a) A keletkezett testnek hány éle van? 21

b) A keletkezett testnek hány lapja van? 9

c) Hány cm3 a keletkezett test térfogata? 7

d) Hány cm2 a keletkezett test felszíne? 24

10. A festéküzletben színskála alapján keverik a festékeket. Egy alkalom-mal 40% fehér, 25% kék és 35% sárga festékből zöld színű festéket állítottak elő.

a) Hány liter kék festék szükséges 16 liter zöld festék elkészítéséhez? 4

b) Hány liter zöld festék keverhető 8 liter fehér festék felhasználásával? 20

Egy másik alkalommal a fehér, a kék és a sárga festéket 9 : 6 : 5 arányban keverték.c) Hány százalék kék festéket tartalmaz ez a keverék? 30%

d) Hány liter sárga festék van 32 liter ilyen arányú keverékben? 8



1. Határozd meg a p, q és r értékét, hap = a legkisebb kétjegyű prímszám, p = 11 q = 5 − (−1,5) + (−4) · (−2), q = 14,5

r =

(2

3− 1

4

):

5

6. r =

1

2Számítsd ki az s =

3r + q − p

5értékét! s = 1

136


Tk.: 124. oldal


2. Sorold fel az összes olyan háromjegyű pozitív egész számot, amelyekben a tízesek helyéneggyel nagyobb számjegy van, mint az egyesek helyén, és a százasok helyén álló számjegya másik két számjegy összege! 110 321 532 743 954

3. Egészítsd ki az alábbi egyenlőségeket!

a) 6 kg 15 dkg = 615 dkg b) 4,2 liter + 3,7 dm3 = 7,9 liter

c)1

4óra + 50 perc = 1 óra 5 perc d) 5800 cm2 − 17 dm2 = 41 dm2

e) 1,3 km + 485 m = 1785 m

4. Pisti tüdőgyulladást kapott, és kórház-

A mérések ideje [óra]

Testhőmérséklet [◦C]

35

36

37

38

39

40

6 9 12 15 18 21 24

ba került. A lázát reggel hat órátóléjfélig három óránként mérték, és azalábbi lázlapon ábrázolták. Válaszolj agrafikon alapján az alábbi kérdésekre:a) Pistinek mekkora volt a legmaga-

sabb láza? (A választ egy tizedes-jegy pontossággal add meg!) 39,3 ◦C

b) Melyik mérési időpontokban voltlegalább 38,1 ◦C Pisti láza? (Min-den ilyen időpontot sorolj fel!) 12,

18, 21c) Hány ◦C volt a legkisebb eltérés

két egymást követő mérés között?(A választ egy tizedesjegy pontos-sággal add meg!) 0,3 ◦C

d) Melyik két egymást követő mérésközött változott Pisti láza 0,9 ◦C-ot? A 18 órai és a 21 órai mérés között.

5. Gabi három nap alatt olvasott el egy könyvet. Hétfőn elolvasta a könyv negyed részét, kedden49 oldalt, szerdán olvasta el a könyv megmaradt részét, ami a teljes könyv 40%-a.a) Hány oldalas volt a Gabi által elolvasott könyv? Írd le a megoldás menetét!

I. megoldás:1

4x + 49 + 0,4x = x x = 140 (oldal)

II. megoldás: Hétfőn és szerdán a könyv 65%-át (vagy13

20részét) olvasta el. A keddi 49 oldal a 35%-a (

7

20része) a könyvnek. A könyv 140 oldalas.

b) Hányszorosa a szerdán elolvasott oldalak száma a hétfőn elolvasott oldalak számának?8

5

(=

40

25= 1,6

)-szerese.

137



Tk.: 124–125. oldal

6. Az ábrán látható ABCD szimmetrikus trapézban a szárak

30◦

γεδ

16

16

16

A B

CD

és a rövidebbik alap egyaránt 16 egység hosszú. A trapézátlója a hosszabb alappal 30◦-os szöget zár be.Határozd meg az ábrán látható ε, δ és γ szög nagyságát, va-lamint az AB oldal hosszát! (Az alábbi ábra csak segítségülszolgál, nem feltétlenül tükrözi a valódi méreteket!) ε = 30◦,

δ = 120◦, γ = 90◦, AB = 32

7. Az alábbi számsorozatot úgy képezzük, hogy a harmadik tagjától kezdve a sorozat minden tagjaaz előtte lévő két tag szorzatának utolsó számjegye.a) Folytasd a sorozatot, írd fel a következő tíz tagját!

1; 2; 2; 4; 8; 2; 6; 2; 2; 4; 8; 2; 6; 2; 2

b) Keress szabályosságot a sorozat tagjai között! Írd le a szabályt! A második elemtől kezdve a 2;

2; 4; 8; 2; 6 számcsoport ismétlődik.

c) Melyik számjegy áll a sorozatban balról a 2008. helyen? (Írd le a megoldás menetét!)A keresett számjegy a 4. 2008 = 1 + 334 · 6 + 3, tehát az ismétlődő szakasz 3. tagja a keresett számjegy.

8. Az alábbi táblázatban négy állítást fogalmaztunk meg. Döntsd el minden állításról, hogy igaz-e,vagy hamis, és tegyél ∗ jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Igaz Hamis

a) Minden paralelogramma trapéz. ∗b) A konvex ötszög belső szögeinek összege 540◦. ∗

c)Bármely két természetes számra teljesül, hogy ha az összegük párat-lan, akkor a szorzatuk páros.

∗

d) Nincs olyan háromszög, amelynek a magasságpontja a háromszögönkívülre esik.

∗

Igaz Hamis

a) Minden paralelogramma trapéz. ∗b) A konvex ötszög belső szögeinek összege 540◦. ∗

c)Bármely két természetes számra teljesül, hogy ha az összegük párat-lan, akkor a szorzatuk páros.

∗

d) Nincs olyan háromszög, amelynek a magasságpontja a háromszögönkívülre esik.

∗

9. Egy üzem téglatest alakú beton falazóblokkokat gyárt. Az alábbi

50 cm35 cm

40 cm

10 cm15 cmábrán látható a falazóblokk külső méretezése. A jobb hőszige-telés érdekében a blokkok közepén két téglalap keresztmetszetűlyuk van. A blokk minden falának vastagsága 10 cm. Válaszoljaz alábbi kérdésekre, és írd le a számolás menetét is! (Az alábbiábra csak segítségül szolgál, nem feltétlenül tükrözi a valódiméreteket!)a) Hány dm2 a szürkével jelölt felső lap területe? 14,5

b) Hány dm3 beton szükséges egy ilyen falazóblokk elkészítéséhez? 58

10. A nekeresdi iskola 8. évfolyamára összesen 60 diák jár. Közülük a szőke, a fekete, a barna ésa vörös hajúak számának aránya ebben a sorrendben 4 : 2 : 5 : 1. (Más hajszín nem fordul elő

közöttük.) A nyolcadikosok 45%-a barnaszemű, a barnaszeműek5

9részének a haja is barna.

Válaszolj az alábbi kérdésekre, és írd le a számolás menetét is!

a) Hány diáknak van barna haja a nyolcadikosok között?5

12rész = 25 diák

b) Hány diáknak van barna szeme a nyolcadikosok között? 60 · 0,45 = 27 fő

c) Hány olyan diák van a barnaszemű nyolcadikosok között, akinek nem barna a haja?4

9rész = 12 diák barnaszemű, de nem barna hajú.

138


Tk.: 125. oldal


Korábbi felvételi feladatok

1. feladatsor

ELTE Apáczai Csere János Gyakorlógimnázium, Budapest 45 perc

1. Oldd meg a következő egyenletet!4

5− x − 1

6=

x + 3

10+

2 − x

448 − 10 · (x − 1) = 6 · (x + 3) + 15 · (2 − x)

58 − 10x = 48 − 9x

x = 10

2. Péter pénzének 16%-a ugyanannyi, mint Lali pénzének 24%-a. Mennyi pénzük van külön-külön,ha összesen 1250 forintjuk van?Ha Péternek p Ft-ja van, akkor Lalinak (1250 − p).

0,16p = 0,24 · (1250 − p)

Innen p = 750. Tehát Péternek 750 Ft-ja, Lalinak 500 Ft-ja van. Ellenőrizzük a megoldást!

3.

f

e

A B

Hogyan szerkesztheted meg egy olyan szög szögfelezőjét, amelynek csúcsa leszakadt a papírról?Eljárásod írd le, és indokold!A szögfelező pontjai egyenlő távolságra vannak a szögszártól. A szögfelező

két pontját megszerkezthetjük a fenti tulajdonságok alapján. Pl.: A pont

mindkét egyenestől 0,5 cm távolságra van, míg a B pont 1 cm-re. A és

B egyenes a szögfelező.

4. Egy autó útjának harmadát 54km

hsebességgel haladva 48 perc alatt tette meg. A hátralévő

részen 72km

hsebességgel haladt. Mekkora volt a teljes útra számított átlagsebesség?

︸︷︷︸︸︷︷︸1

3út

2

3út

54km

h72

km

h

48 perc = 0,8 h

Az út harmadának hossza: s1 = v1 · t1 = 54 · 0,8 = 43,2 km.

A második2

3-rész hossza: s2 = 2 · 43,2 = 86,4 km.

A második részen a menetidő: t2 =s2

v2=

86,4 km

72 kmh

= 1,2 h

Az átlagsebesség =teljes út

teljes menetidő=

3 · 43,2

0,8 + 1,2= 64,8

km

h

A matematika iránt fogékonyabb tanulók így is számolhatnak: t =3 s

s54 + 2s

72

=324

5= 64,8

139



Tk.: 126. oldal

2. feladatsor

Eötvös József Gimnázium, Tata 60 perc

1. Számold ki a következő kifejezések helyettesítési értékét!

a) x =1

2, y = 2 esetén

1

2x − 1

2y2 =

1

2· 1

2− 1

2· 22 =

1

4− 2 = −7

4

b) a = −2, b = 6 esetén

∣∣∣∣∣3a +1

2b

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣3 · (−2) +

1

2· 6

∣∣∣∣ = |−6 + 3| = 3

c) a = 5, b = −2 esetén 0,5a − (2b)2 = 0,5 · 5 − (−4)2 = 2,5 − 16 = −13,5

2. Add meg a következő számokat! Ahol kell, tüntesd fel a mértékegységet is!

a) Hány cm 60 m4

3része? 60 · 4

3m = 80 m = 8000 cm

b) Hány gramm 50 kg 120%-ának a 20%-a? 50 000 · 1,2 · 0,2 g = 12 000 g

c) Melyik szám aránylik úgy a 6-hoz, mint a 19 a 36-hoz? x : 6 = 19 : 36 innen x =19

6

d) Minek lehet az abszolút értéke 2,4? 2,4 és (−2,4)

3. Oldd meg az egyenletet az egész számok halmazán!10 − (x − 6)

3= 2 − x − 6

216 − x

3=

10 − x

232 − 2x = 30 − 3x

x = −2 a kapott gyök egész szám.

4. Gimnáziumunk három épületében összesen 38 tanterem van. A régi épületben 16-tal több, mintaz új épületben. A kis épület termeinek száma az új épületben levők ötödrésze. Hány tanteremvan az egyes épületekben?Az új épületben lévő tantermek száma: x

A régi épületben lévő tantermek száma: x + 16

A kis épületben lévő tantermek száma:x

5

x + (x + 16) +x

5= 38 Innen: x = 10.

Az új épületben 10, a régiben 26, a kis épületben 2 tanterem van. Ezek összege valóban 38.

5.

a

b

c

d

A B

CD

C′︸︷︷︸4

a = 7 cmc = 3 cmb = 4 cm

Egy derékszögű trapéz alapjai 7 cm, valamint 3 cm hosszúak. Rövidebb szára 4 cm. Mekkoraa trapéz területe, illetve a rövidebb átlója? Mekkorák a szögei?

T =a + c

2· m =

7 + 3

2· 4 = 20 cm2

Rövidebb átló: AC

ACD háromszögben felírható a Pitagorasz-tétel:

AC2 = AD2 + DC2

Innen AC = 5 cm, CC′B derékszögű háromszög befogói 4 cm-esek,

ezért β = 45◦, γ = 135◦, α = δ = 90◦.

6. Két helység közötti távolságot egy személygépkocsi 60km

hátlagsebességgel 2 óra alatt teszi

meg. 30 km út megtétele után motorhiba miatt fél órára megszakítja az útját. Mekkora

140


Tk.: 126–127. oldal


átlagsebességgel kell a gépkocsinak az út hátralevő részén haladnia, hogy a tervezett időbenérkezzen meg?

︸︷︷︸︸︷︷︸30 km 90 km

1

2óra

A teljes út 60 · 2 = 120 km.

30 km megtételéhez 60km

hsebességnél

1

2óra kell. Még

1

2órát állt

motorhiba miatt, ezért 1 óra alatt kell megtennie a hátralévő 90 km-t.

A szükséges átlagsebesség: 90km

h.

7. Egy négyzetes oszlop magasságát 20%-kal csökkentve olyan kockát kapunk, amelynek térfogata64 cm3. Mekkorák a négyzetes oszlop élei, a felszíne és a térfogata?

a

b ︸︷︷︸

0,8b

A kocka élhossza 4 cm.Mivel a = 0,8b, innen b = 5 cm.A négyzetes oszlop élei: 4 cm; 4 cm; 5 cmA = 2a2 + 4ab = 112 cm2

V = a2 · b = 80 cm3

3. feladatsor

Árpád Gimnázium, Tatabánya(Zsebszámológép nem használható!)

1. Végezd el a kijelölt műveleteket!

a)

(−3

5

)·(−2

3

)+

(−2

5

):

3

7−

(− 8

15

)=

6

15− 14

15+

8

15= 0

b)

(7,12 − 3

25

)·(

12

3− 6

7

)= 7 ·

(5

3− 6

7

)= 7 · 17

21=

17

3= 5

2

3

2. Melyik az a szám,

a) amelyet2

7-del osztva 7-et kapunk? x :

2

7= 7 x = 2

b) amelyet17

3-hoz adva −3-at kapunk?

17

3+ x = −3 x = −26

3

c) amelynek1

5része −12? x · 1

5= −12 x = −60

3. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!3x − 5

7− 2(x − 2)

3= 2

3 · (3x − 5) − 14 · (x − 2) = 42

−5x + 13 = 42

x = −29

5= −5,8

4. A piripócsi faluházán polgármestert választanak. A falu lakóinak 63%-a ment el szavazni, és

közülük 336-an, a szavazók2

3-a választotta Bokor Benőt. Hányan laknak Piripócson? Visszafelé

okoskodva: a 336 fő a szavazók2

3része, tehát 504-en szavaztak. Az 504 fő a falu lakosságának a 63%-a, innen

800-an laknak Piripócson.

Egyenlettel is megoldható a feladat. A faluban lakók számát jelöljük x-szel. x · 0,63 · 2

3= 336

141



Tk.: 127. oldal

5. A négyzet alakú üvegablak díszítésében a satírozott részhez színes üveget használnak. Mekkoraa színes üvegfelület nagysága, ha a kis kör sugara 2 dm?1. megoldás: A kis kör átmérője a négyzet oldalának felével egyenlő hosszúságú.

A négyzet oldala 8 dm.Tvonalkás = Tnégyzet − Tfélkör − Tkiskör

Tnégyzet = a2 = 64 [dm2]

Tfélkör =R2 · π

2=

42 · π2

= 25,13 [cm2]

Tkiskör = r2 · π = 22 · π = 12,57 [cm2]

Tvonalkás = 64 − (25,13 + 12,57) = 26,3 [cm2]

2. megoldás: Ha „érzik” a gyerekek a hasonlóság fogalmát, akkor könnyen meggondolható, hogy a félkör területe

kétszerese a kiskör területének. Így Tvonalkás = 64 − 3 · T0 = 64 − 12 · π = 26,3 [cm2]

6. Számítsd ki annak az egyenes hasábnak a térfogatát, amelynek alapja szimmetrikus trapéz(húrtrapéz), a trapéz párhuzamos oldalai 20, illetve 12 cm hosszúak, hegyesszögei 45◦-osak,és a test magassága 10 cm!

c

a

m

αA

D′ B

CD

a = 20 cm

c = 12 cm

α = 45◦

m = 10 cm

V = T · m

Az ADD′ derékszögű háromszög egyenlő szárú,mert α = 45◦. Ezért a trapéz magassága megegyezikaz AD′ szakasz hosszával.Mivel a trapéz szimmetrikus, így AD′ =

a − c

2=

= 4 cm

T =a + c

2· mt =

20 + 12

2· 4 = 64 [cm2]

V = T · m = 64 · 10 = 640 [cm3]

4. feladatsor

Jedlik Ányos Gimnázium, Csepel 45 perc

1. Oldd meg az alábbi egyenletet a racionális számok halmazán!3x + 1

14− x − 5

6=

2x − 11

7+

x

213 · (3x + 1) − 7 · (x − 5) = 6 · (2x − 11) + 2x

2x + 38 = 14x − 66

x =26

3= 8

2

3

2. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a negatív valós számok halmazán!3x − 2(3x − 5) � 3(x + 5) − 2(2x − 1)

−3x + 10 � −x + 17

−7 � 2x

−3,5 � x

A negatív valós számok halmazán a megoldás: −3,5 � x < 0

3. Az előírt munka 120%-áért 3456 Ft-ot kapott egy dolgozó. Hány forintot kapott volna, ha 110%-ra teljesítette volna az előírást? Következtetéssel érdemes megoldani a feladatot.3456

120· 110 = 31 68 Ft-ot kapott volna a dolgozó.

142


Tk.: 127. oldal


4. Egy gyalogos és egy kerékpáros egyszerre indul egymással szembe egy 40 km-es út két vég-pontjából, és 2 és fél óra múlva találkoznak. Mekkora a gyalogos sebessége, ha a kerékpárosé

8km

h-val nagyobb, mint a gyalogosé? Hány km-t tett meg a kerékpáros a találkozásig?

1. megoldás: Jelölje x a gyalogos sebességét, ekkor a Gy. K.

Tal. 2,5 órakerékpárosé x + 8. Ketten együtt 2,5 óra alatt megtettéka 40 km-t: 2,5x + 2,5(x + 8) = 40

x = 4

Tehát a gyalogos sebessége 4km

h, a kerékpárosé pedig 12

km

h. A kerékpáros a találkozásig 12 · 2,5 = 30 km-t tett

meg.

2. megoldás: A kerékpáros 2,5 óra alatt 2,5 · 8 = 20 km-rel hosszabb utat tesz meg.

Ezért a maradék 20 km-ből a felét, azaz 10 km-t tesz meg a gyalogos 2,5 óra alatt, azaz a sebessége 10 : 2,5 =

= 4km

h, míg a kerékpáros sebessége 12

km

h, és ő 30 km-t tesz meg. Az ő menetideje 30 : 12 = 2,5 óra valóban.

5. Mely függvények grafikonját adtuk meg az ábrán?

−2 −1 1 2

1

2

3

x

y

f

g

Add meg a hozzárendelés szabályát!

f : x �→ −3

2x + 3 g : x �→ |x + 2|

6. A táblázat egy valós számokon értelmezett lineáris függvény néhány x −3 −1 2 3

y −5 −1 5 7

x −3 −1 2 3

y −5 −1 5 7értékpárját tartalmazza. Add meg a hozzárendelés szabályát, és ábrá-zold a függvény grafikonját!A lineáris függvény grafikonja áthalad például a (2; 5) és (3; 7) pontokon, azaz 1-et

−6−4−2 2 4 6 8

−6

−4

−2

2

4

6

8

x

y

jobbra menve az x tengely mentén 2-t emelkedik a grafikon, így a meredeksége: 2.A tengelymetszet pontját megkapjuk, ha a (−1; −1) ponttól 1-t jobbra megyünk azx tengely mentén és 2-t emelkedünk. Ez a (0; 1) pont lesz. x �→ 2x + 1 a hozzáren-delési utasítás, melyet a (−3; −5) eddig fel nem használt ponttal ellenőrizhetünk is.

7. Egy 4 cm oldalú négyzetet 3 egyenlő területű részre osztottunk az

B C

A

4 cm

a = 4 cm

alábbi ábra szerint. Milyen hosszú az ABC törött vonal? Szimmetriamiatt ARQ ∼= CPQ és a területük harmada a négyzet területének:

TARQ =16

3cm2 =

AR · RQ

2, innen AR =

8

3cm

AB = BC = 4 − 8

3=

4

3cm

Tehát az ABC törtvonal hossza: AB + BC =8

3cm.

143



Tk.: 128. oldal

5. feladatsor

Veres Péter Gimnázium, Budapest 60 perc

1. Egy iskolából a nyári tiszai táborba 60-nal többen jelentkeztek, mint a balatoniba. Senkisem volt, aki mindkettőbe elment volna. Ha a tiszai tábort választók közül 20-an inkább aBalatonhoz mentek volna, akkor a tiszai tábor létszáma a balatoninak 120%-a lett volna. Hányanjelentkeztek eredetileg a táborokba? Eredetileg a balatoni táborra jelentkezők száma B volt, akkor a tiszaitáborba jelentkezőké B + 60. A második esetben B + 20, illetve B + 40 a táborozók létszáma.

(B + 20) · 1,2 = B + 40

B = 80Eredetileg 80-an jelentkeztek a balatoni, és 140-en a tiszai táborba.

2. Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! (Ellenőrzést nem kérünk.)

a) 3(8x − 4) − (3 − 2x) = 5(3x − 4) − 2(x + 3) 24x − 12 − 3 + 2x = 15x − 20 − 2x − 6 Innen x = −11

13.

b)3x − 1

5− 2 − 7x

3= 5 − 4x − 9

153(3x − 1) − 5(2 − 7x) = 75 − (4x − 9)

9x − 3 − 10 + 35x = 75 − 4x + 9 Innen x =97

48.

3. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igazak vagy hamisak! Röviden indokolj is!a) Egy konvex 10-szög összes átlóinak a száma tízszerese az egy csúcsból induló átlók

számának. (A konvex sokszög minden belső szöge kisebb 180◦-nál.) Hamis, mert az egy

csúcsból induló átlók számát ha megszorozzuk a csúcsok számával, a 10-zel, akkor minden átlót kétszer

számolnánk.

b) Az első 100 prímszám szorzata páros. Igaz, mert 2 szerepel a szorzatban.

c) Van olyan szám, amelyik ellentettje nem kisebb az abszolút értékénél. Igaz, Pl. a −3 ilyen

szám, hiszen az ellentettje megeggyezik az abszolút értékével, ezért nem kisebb nála.

4. Egy négyzet alapú egyenes hasáb (más néven négyzetes oszlop) éleinek hossza cm-ben mérveegész szám. Egyik lapjának területe 36 cm2, egy másiké 81 cm2. Mekkora lehet a felszíne?Két ilyen test lehet.

1. A négyzet területe a 36 cm2 és az oldallapok területe 81 cm2. A = 2 · 36 + 4 · 81 = 396 cm2.

2. A négyzet területe a 81 cm2 és az oldallapok területe 36 cm2. A = 2 · 81 + 4 · 36 = 306 cm2.

5.

α

B C

AT

P

Egy derékszögű háromszög egyik szöge 65◦. Mekkora szöget zár be az átfogóhoz tartozómagasság a derékszögű csúcsból induló szögfelezővel?α = 65◦

AT C derékszögű és α = 65◦, innen ACT� = 25◦

ACP� = 45◦, mert a szögfelező felezi a 90◦-t.

Tehát a keresett T CP� = ACP�− ACT� = 45◦ − 25◦ = 20◦.

6. Adott két természetes szám: k = 495, m = 1275. Készítsd el k és m prímtényezős felbontását!Mit kapunk eredményül, ha a k számot elosztjuk k és m legnagyobb közös osztójával?

k = 495 = 32 · 5 · 11

m = 1275 = 3 · 52 · 17

(k; m) = (495; 1275) = 3 · 5 = 15

k

(k; m)=

32 · 5 · 11

3 · 5= 3 · 11 = 33

144


Tk.: 128–129. oldal


7. Hány számjegyből áll az a legkisebb természetes szám, amelyikben a számjegyek összege 105?A keresett szám 12 számjegyű.

Akkor kapjuk a legkisebb természetes számot, ha a szám minél kevesebb számjegyből áll. Így az összegből a lehető

legtöbb 9-est kell leválasztani. 105 = 11 · 9 + 6, tehát a keresett számban 11 db 9-es és 1 db 6-os van. A legkisebb

számot akkor kapjuk, ha a 6-os áll elöl.

Tehát a keresett szám 699 999 999 999.

6. feladatsor

Zrínyi Miklós Gimnázium, Zalaegerszeg 90 perc(Számológép használható!)

1. Határozzuk meg A és B legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét!

A =

(25 − 4

25

5 − 25

)2

−(

25 − 425

5 + 25

)2

és B =3

(31

2 − 213

)− 3

2

(1 − 2

3

)16

.

A =

(621

25· 5

23

)2

−(

621

25· 5

27

)2

=

(27

5

)2

−(

23

5

)2

=27 + 23

5· 27 − 23

5= 10 · 4

5= 8

B =[

3 ·(

7

2− 7

3

)− 3

2· 1

3

]· 6 =

[3 · 7

6− 1

2

]· 6 = 18

(A; B) = (8; 18) = 2 [A; B] = [8; 18] = 72

2. Egy téglalap átlója a téglalap szögét 1 : 2 arányban osztja.

a

b

αβ

ε

A B

CD

K

a) Mekkora az átlók hajlásszöge?α : β = 1 : 2

90◦-t kell felosztani 1 : 2 arányban. α = 30◦ és β = 60◦

Szimmetria miatt AKB háromszög egyenlő szárú. ε = 2α = 60◦.

b) Mekkora a téglalap hosszabbik oldala, ha a rövidebbik3 cm?ABC „fél szabályos” háromszög, ezért AC = 2BC = 6 cm. Pitagorasz-tétel: AB2 = AC2 −BC2 = 36−9 = 27,innen AB =

√27 ∼= 5,2 cm.

3. Oldjuk meg az |x − 4| =x

3egyenletet! Ha x � 4, akkor x − 4 =

x

3. Innen x = 6, ami megfelel a

feltételnek. Ha x < 4, akkor −x + 4 =x

3. Innen x = 3, ami szintén megfelel a feltételnek.

4. Az abc háromjegyű számot kétszer leírjuk egymás mellé, így kapjuk az abcabc alakú hatjegyűszámot. Mutassuk meg, hogy ha abc páros szám, akkor abcabc-nek legalább 4 különbözőprímosztója van!Ha n-nel jelöljük az abc páros háromjegyű számot, akkor abcabc = 1001 · n = 7 · 11 · 13 · n, így az n párossága

miatt a kapott hatjegyű szám biztos prím osztói: 2; 7; 11 és 13.

5. Egy ruha árának ötöde a kereskedő haszna. Ha megemelné az árat 200 Ft-tal, akkor már az árharmada lenne a haszna. Mennyi a ruha ára? Jelöljük x-szel a ruha első eladási árát. Ekkor a tényleges

ár4x

5és a haszon

x

5. A második eladási ár (x + 200), amelyben a tényleges ár

2

3· (x + 200) és a haszon

x + 200

3.

A tényleges árak egyenlők egymással:4x

5=

2 · (x + 200)

3. Innen x = 1000. A ruha első eladási ára 1000 Ft,

amelyből a tényleges ár 800 Ft. Második esetben 1200 Ft-ért árusítja a ruhát, a tényleges ár továbbra is 800 Ft.

145



Tk.: 129. oldal

6. Az n oldalú szabályos sokszög O középpontja és két csúcsa (K és L) olyan OKL háromszögethatároz meg, amelynek egyik szöge kétszerese a másiknak. Hány oldalú a sokszög, ha

a) K és L szomszédos csúcsok,

b) K és L nem feltétlenül szomszédos csúcsok?

k-val jelöljük, hogy hányadik szomszéd a K és az L csúcs (1 � k < n)

ββ

L

K

O

α

A sokszög n oldalú. α =360◦

n· k β =

180◦ − α

2= 90◦ − 180◦

n· k

Két eset lehet: α = 2β vagy 2α = β

Ha α = 2β, akkor360k

n= 180 − 360k

n

720k = 180n

4k = n

Ha k = 1, akkor n = 4.

Ha 2α = β, akkor720k

n= 90 − 180k

n

900k = 90n

10k = n

Ha k = 1, akkor n = 10.Nem szomszédos csúcsokra végtelen sok megoldás adódik, míg szomszédosokra csak a négyzet (90◦; 45◦; 45◦)

és a szabályos tízszög (36◦; 72◦; 72◦) a megoldás.

7. feladatsor

Városmajori Gimnázium, Budapest 120 perc

I. Tesztlap

A megadott 5 válasz közül pontosan egy helyes. Az általad jónak vélt választ karikázd be!

1. Mennyi az [a − (b − c)] − [(a − b) − c] kifejezés értéke, ha a =1

2, b = −1

3és c =

1

6?

A: −2

3B: 0 C: −1

3D:

1

3E:

1

2

2. Az alábbi négy egyenletet a), b), c) és d) megoldottuk a valós számok halmazán. Azttapasztaltuk, hogy pontosan két egyenletnek azonos a megoldáshalmaza. Melyik ez a kétegyenlet?

a) 3x − 5 = 7 − 3x b) 2 −{

2 − [2x − (x − 2)

]+

x

2

}=

x

2

c)1

x=

3

x+ 1 d)

x + 1

3− 4 − 3x

2= x

A: a) és b) B: a) és c) C: a) és d) D: b) és c) E: b) és d)Az egyenletek gyökei: a) x = 2 b) nincs megoldás. c) x = −2 d) x = 2

3. Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 5,3 m. Az alapja 0,5 m-rel hosszabb a száránál. Mekkoraa szár deciméterekben kifejezett mérőszámában a számjegyek összege?

A: 9 B: 12 C: 15 D: 6 E: 7Legyen a szár hossza: x dm 2x + (x + 5) = 53 A szár 16 dm, így 1 + 6 = 7.

146


Tk.: 129–130. oldal


4. Hány állítás igaz a következők közül?

210 + 210 = 211 210 − 210 = 010 210 · 210 = 220 210 : 210 = 100

A: 0 B: 1 C: 2 D: 3 E: 4

5. Egy téglatest térfogata 30 cm3, és minden élének hossza centiméterben mérve egész szám. Hányilyen különböző téglatest van?

A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 E: 5

30 = a · b · c = 1 · 1 · 30 = 1 · 2 · 15 = 1 · 3 · 10 = 1 · 5 · 6 = 2 · 3 · 5.

6. A valós számok halmazán értelmezett x �→ 2x + 3 függvény grafikonját elforgatjuk 90◦-kala koordináta-rendszer origója körül az óramutató járásával megegyező irányban. Így melyikhozzárendelést kapjuk?

A: x �→ −0,5x + 1,5 B: x �→ −0,5x − 1,5 C: x �→ 2x − 1,5

D: x �→ −0,5x + 3 E: x �→ 2x + 1,5A: x �→ −0,5x + 1,5

7. Egy négyzet oldalát megnöveljük a 25%-ával. Ezek után a kapott négyzet oldalát csökkentjüka 10%-ával. Az így kapott négyzet területe hány százaléka az eredeti négyzet területének?

A: 112,5% B: 126,5625% C: 155,25% D: 132,25%

E: Egyik eddigi válasz sem helyes.Az új négyzet oldala: 1,25 · 0,9a = 1,125a, így területe T = 1,265 625a2, azaz 126,5625%.

8. Az A és B pontok 6 egység távolságra vannak egymástól. Egy, az A és B pontokat tartalmazósíkban hány olyan egyenes van, amely A-tól 2 és B-től 4 egységnyi távolságra van?

A: 0 B: 1 C: 2 D: 3 E: Több, mint 3.

Az A középpontú 2 és a B középpontú 4 sugarú körök közös érintői.

A B

II. Kidolgozandó feladatok

1.

ε

CA

B

P

α

2

β

2

Bizonyítsd be, hogy bármilyen derékszögű háromszögben, ha megrajzoljuk a két hegyesszögszögfelezőjét, akkor keletkezik a rajzon olyan szög, amelyik 45◦-os!APB háromszög külső szöge: ε

ε =α

2+

β

2=

α + β

2=

90◦

2= 45◦

α + β = 90◦, mert a háromszög derékszögű.

147



Tk.: 130–131. oldal

2. Mennyibe kerül a negyedik csokor virág?

400 Ft 340 Ft 480 Ft ? FtA rövidség kedvéért a virágokat t (tulipán), g (gerbera) és sz (szirmosnak) nevezve:

A harmadik csokorból t + g = 240 Ft.

A második csokorból 2sz = 340 − 240, innen sz = 50 Ft. Az első csokorból: sz + t + g︸︷︷︸240

+g = 400 Ft.

50 + 240 + g = 400, innen g = 110 Ft és t = 130 Ft.

A negyedik csokor: t + 3sz + 2g = 130 + 150 + 220 = 500 Ft.

3. Egy néptáncegyüttesben háromszor annyi a fiú, mint a lány. Egy előadáson közülük nyolc párlép fel. A fel nem lépők között ötször annyi a fiú, mint a lány. Hány fiú és hány leány tagja vanaz együttesnek? A lányok száma L, a fiúk száma 3L. Nem lépett fel (L − 8) lány és (3L − 8) fiú.

3L − 8 = 5 · (L − 8). Innen L = 16.

Az együttesnek 16 lány és 48 fiú tagja van. Ellenőrzés: ha 8 pár táncol, akkor 8 lány és 40 fiú nem táncol, és

40 = 5 · 8.

4. Három csövet az ábra szerint szeretnénk összekötni egy 72 cmA

B

C

O1

60◦O2

hosszú madzaggal. Minden cső sugara 5 cm, s a csomózáshoz10 cm-t számolunk. Sikerülhet-e az összekötés?Szimmetria miatt elég meghatározni az AB és BC körív hosszúságait, mert

ezek háromszorosára és még 10 cm-re van szükség.

AB = 2r = 10 cm (O1ABO2 négyszög téglalap az érintés miatt)

BCkörív =2rπ

3(az ábrán jelölt szögek miatt)

Madzagszükséglet: 3AB + 2rπ + 10 = 30 + 31,42 + 10 = 71,42 cm.

A 72 cm-es madzaggal sikerülhet az összekötés.

8. feladatsorFöldes Ferenc Gimnázium, Miskolc 90 perc

1. A 0,8 hány százaléka a4

3-nak?

(4

5:

4

3

)· 100 =

3

5· 100 = 60%

2. Mennyi a pozitív B szám értéke, ha B2 =453 · 204 · 182

1805?

B2 =(32 · 5)3 · (22 · 5)4 · (2 · 32)2

(22 · 32 · 5)5=

36 · 53 · 28 · 54 · 22 · 34

210 · 310 · 55= 52, innen B = 5

3. Oldd meg az alábbi egyenletet:x + 1

4+

3 − 2x

2=

1

4− x − 2

3!

3(x + 1) + 6(3 − 2x) = 3 − 4(x − 2)

21 − 9x = 11 − 4x

x = 2

148


Tk.: 131. oldal


4. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget:x + 2

5�

4

3− 5 − x

6!

6(x + 2) � 40 − 5(5 − x)

6x + 12 � 15 + 5x

x � 3

5. Milyen maradékot kapunk, ha az 1 + 2 + . . . + 2000 + 2001 összeget 2001-gyel elosztjuk?Az összeadandók egy számtani sorozat tagjai, ahol a1 = 1; d = 1; n = 2001, így az összeg:

S =1 + 2001

2· 2001 = 1001 · 2001, azaz az összeg osztható 2001-gyel, a maradék 0.

6. Tíz egymást követő páros egész szám összege 50. Az összeadott számok közül melyik alegkisebb? A legkisebb páros számot jelöljük x-szel! A páros számok 2 differenciájú számtani sorozat tagjai.

x + (x + 2) + (x + 4) + . . . + (x + 18) = 50

10x +2 + 18

2· 9 = 50

x = −4A legkisebb szám a −4. Ellenőrzés: (−4) + (−2) + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50

7. Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van, amelynek mindhárom számjegye különböző?Összesen 9 · 9 · 8 = 648 ilyen háromjegyű szám van, mert a százasok helyére 9 számjegy bármelyike választható(a 0 nem), a tizesek helyére is 9 számjegy kerülhet, mert ide már tehető a 0, de nem tehető az a számjegy, amita százasoknál elhasználtunk. Az egyesekre a maradék 8 fel nem használt számjegy közül választhatunk. Az egyeshelyi értékekre egymástól függetlenül választhatunk, ezért szorzunk.

8. Egy konvex sokszög belső és külső szögeinek összege 1800◦. Hány átlója van ennek asokszögnek?

1. megoldás: Minden konvex sokszög külső szögeinek összege 360◦, ezért a belső szögek összege: 1800◦−360◦ =

= 1440◦.

A belső szögek összege: 1440◦ = (n − 2) · 180◦. Innen n = 10. Az átlók száma:7 · 10

2= 35.

2. megoldás: A belső és külső szög összege egy csúcsnál 180◦. Így 10 csúcsnál 1800◦, azaz a sokszög tízszög.

9. Egy rombusz két átlója 10 és 24 cm hosszú. Mekkora a rombusz oldala?

aA B

CD

M A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. Az ABM derékszögű háromszögre felírjuk

a Pitagorasz-tételt: AB2 = AM2 + MB2 a =√

52 + 122 = 13 cm.

10. Az ABCD négyzet belsejében úgy vettünk fel egy P pontot, hogy a BCP háromszög szabályoslegyen. Az AP egyenes a DC-t Q-ban metszi. Hány fokos a PQC szög?

A BPC szabályos, ezért szögei 60◦-ak, ezért PBA� = 30◦.ε

30◦60◦

60◦

60◦

C

A B

D

P

Q

A BPC szabályos, ezért PB = BC = AB a négyzet oldala, így az ABPegyenlő szárú, és az AP alapon fekvő szögei

180◦ − 30◦

2= 75◦-osak.

A BAP� = AQD�, mert váltószögek, így AQC� = 180◦ − 75◦ = 105◦, ami

megegyezik a keresett PQC�-gel.

149



Tk.: 131–132. oldal

9. feladatsor

Béri Balogh Ádám Gimnázium, Szakközépiskola és Szakiskola, Zalaszentgrót

1. Rendezd növekvő sorrendbe a következő valós számokat!

−1;2

3; 1;

√2; −5

2; 0,6̇;

4

5−5

2< −1 <

2

3= 0,6̇ <

4

5< 1 <

√2

2. Egy autó tankjában 45 liter benzin volt. Az első napi utazás után megmaradt a8

9része.

A második napon elfogyott a maradék 35%-a. Hány liter benzin maradt a tartályban a második

nap végén? Első napi utazás után 45 · 8

9= 40 l maradt.

A második napon 35% fogyott, ezért 65%-a maradt meg a 40 l-nek: 40 · 0,65 = 26 l.

3. Oldd meg a következő egyenleteket, illetve egyenlőtlenséget!21 + 7x

2= x − 3 + 24 − 2(3 − x)

7(2x + 1) − 1 = 12(x + 2) + 2

12x + 0,5 � 13x − 1

a)21 + 7x

2= x + 21 − 6 + 2x

21 + 7x = 6x + 30.

Innen x = 9.

b) 14x + 6 = 12x + 26

Innen x = 10.

c) x � 1,5

4. Igaz – hamis?a) A deltoid összeállítható két egyenlő szárú háromszögből. Hamis a konkáv deltoidra.b) Van olyan trapéz, amelyik egyenlő szárú, de tengelyesen nem szimmetrikus. Igaz. A nem

derékszögű paralelogramma ilyen.c) Van olyan paralelogramma, amelynek minden szöge tompaszög. Hamis. A négyszög belső

szögeinek összege több lenne 360◦-nál, ha mind a négy szöge nagyobb a 90◦-nál.d) A rombusz átlói felezik a szögeket. Igaz. A rombusz átlói ugyanis szimmetriatengelyek is.

5. Táblázat készítése segítségével ábrázold az x �→ −x + 1 függvényt!

−1 1 2 3−1

1

2

3

x

y

x 0 1

x �→ −x + 1 1 0

10. feladatsor

III. Béla Gimnázium, Baja 50 perc

1. Hozd a lehető legegyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!

a)2 · 441

4 · 280=

2 · 282

22 · 280=

283

282= 2 b)

2

1123− 3

1132=

2 · 119 − 3

1132

150


Tk.: 132. oldal


2. Lehet-e egyszerűsíteni a következő törtet?1122334400550044332211

180A tört nevezője 180, amit 2-vel, 3-mal és 5-tel lehetne egyszerűsíteni a prímek köréből. A számláló 1-re végződik,

így se 2-vel, se 5-tel nem osztható.

3-mal sem osztható a számláló. Ezt vagy a számjegyek összeadásával (50), vagy azok ügyes csoportosításával

indokolhatjuk. Tehát a tört nem egyszerűsíthető.

3. Döntsd el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! (Röviden indokold isválasztásodat!)a) Van olyan négyzet, amelyik paralelogramma. Igaz. Minden négyzet paralelogramma, hiszen van két

párhuzamos oldalpárja.b) Minden prímszám páratlan. Hamis. A legkisebb prím a 2, ami páros szám.c) Nem minden téglalap rombusz. Igaz. Az általános téglalap szomszédos oldalai különböző hosszúak.

4. A következőkben Matematikaország bizonyos lakóiról lesz szó. Tudjuk, hogy minden LÜegyben LE is, és minden LE egyben LI is. Ezek ismeretében másold át a következő állításokközül az igaz állításokat a négyzetrácsos lapra! (Kivételesen nem kell indokolnod!)a) Minden LÜ egyben LI is.b) Nem biztos, hogy minden LE egyben LÜ is.c) Lehet, hogy van olyan LI, amelyik nem LÜ.

Érdemes elkészíteni a feladat halmazábráját:

LI

LE

LÜ

a) Igazb) Igazc) Igaz

5. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán!2x + 10

6− 2 · x − 2

5= 3

2x + 10

6− 2x − 4

5= 3

5(2x + 10) − 6(2x − 4) = 90

10x + 50 − 12x + 24 = 90

x = −8

6. Egy 3 dm élű, tömör fakockán – két szemközti lapra merőlegesen – átfúrunk egy vájatot. A vájatkeresztmetszete egy 1 dm2 területű négyzet. Mennyi festékre van szükség a maradék üreges testteljes felületének befestéséhez, ha 1 kg festék 3,2 m2 felületre elegendő?

A befestendő lapok területe:

négy eredeti négyzet 4 · 32 = 36 dm2

két kilyukasztott négyzet 2 · (32 − 12) = 16 dm2

négy belső téglalap 4 · 1 · 3 = 12 dm2

A festendő felület 64 dm2 = 0,64 m2

A festékszükséglet1 · 0,64

3,2= 0,2 kg.

151

Feladatgyűjtemény

C M Y KTEX 2014. június 3. –18:57 (1. lap/154. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (K8-F2)


ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK


1. Írd le a kifejezéseket úgy, hogy tedd ki pirossal a láthatatlan szorzásjeleket!a) z · (3 · x + 4 · y) b) 2 · x2 + 5 · y2 + 10 · x · y c) (5 · a − 2 · b) · (5 · a + 2 · b)d) e · f · g2 − 2 · g e) (8 · a2 · b2 − 10 · a) · (a − b) f) (a + b) · (2 · a − 1)

2. Mennyi a kifejezés értéke, ha a = 3, és mennyi, ha a = −3?a) 2a + a2 15; 3 b) a3 · a2 · a7 312 c) 10a3 − a2 261; −279

d)2a4

4a2

9

2e) (3a2)3 27 · 36 = 39 f)

4a3 · a5

a2 − a

4 · 38

6= 2 · 37;

4 · 38

12= 37

3. Melyik összeg, melyik szorzat?a) 7xy − 8xz összeg b) 5a2b + 2 összeg c) (2x − 3)(5x + 4) szorzat

d) 56 · l2 szorzat e) (a + b)3 szorzat f) 5x(2xy − 1) + 6 összeg

g) 5x + 3(4xy + 6) összeg h) fg(f + g) szorzat i) 3pr + 7pr összeg

4. Károly fizetése f forint. Péter, Károly öccse, ennek 80%-át keresi. Írj képletet, ami megadjaazt, hogya) mennyi Péter fizetése, 0,8f

b) mennyivel több Károly fizetése, mint Péteré, 0,2f

c) hányszorosa Károly fizetése Péterének, 1 : 0,8 = 1,25

d) mennyi az együttes fizetésük, 1,8f

e) hány százaléka Károly fizetése Péterének!1

0,8· 100 = 125%

5. A feladat kérdéseire egy-egy képlettel válaszolj! A 8. a osz- fiúk lányok

8. a1

3p

2

3p

8. b1

3p + c q −

(1

3p + c

)fiúk lányok

8. a1

3p

2

3p

8. b1

3p + c q −

(1

3p + c

)tályba p gyerek jár. A tanulók

2

3része lány. A 8. b osztály

létszáma q. A b osztályba c-vel több fiú jár, mint az a osztályba.Hány fiú és hány lány jár ezekbe az osztályokba?

6. Az x és az y tetszőleges racionális számok. Írd fel:a) négyzetük összegét, x2 + y2 b) összegük négyzetét, (x + y)2

c) az x négyzetének a reciprokát,1

x2d) hányadosuk négyzetét,

(x

y

)2

e) négyzetük hányadosát!x2

y2

7. Az a és a b tetszőleges racionális számok. Írd fel:

a) négyzetük különbségének a harmadrészét,a2 − b2

3

b) reciprok értékük négyzetének az összegét,(

1

a

)2

+(

1

b

)2

c) az összegük reciprok értékének a négyzetét,(

1

a + b

)2

d) négyzetük ellentettjének az összegét, −a2 + (−b2) = −a2 − b2

e) az a négyzete reciprokának és a b ellentettje négyzetének összegét!1

a2+ (−b)2 =

1

a2+ b2

154



8. Minden kérdésre egy képlettel válaszolj!

a) Múlt héten Éva x kg-ot fogyott. Ezen a héten 10 dkg-mal többet. Mennyit fogyott két hét alatt összesen?2x + 0,1 kilogrammot.

b) Éva a fogyókúra kezdetekor e kilogramm volt. A zöld-ségkúra végére 12%-kal könnyebb lett. Mennyit mutata mérleg a kúra végén? 0,88 · e

c) Andinak híznia kellett. Minden héten a dkg-ot sikerültfelszednie. Hány hét alatt hízott 8 kg-ot?800 dkg

a dkg=

800

ahét alatt hízott 8 kg-ot.

9. Ha egy háromjegyű szám jegyei a, b és c, akkor a szám értékét így írhatjuk fel:abc = 100a + 10b + c.Fordítsd le az algebra nyelvére a következő szöveget, vagyis írd fel képlettel a szövegekbenszereplő háromjegyű számok értékét!a) A háromjegyű számban az egyesek és a százasok helyén álló számjegyek összege éppen a

tízesek számát adja. a + c = b. A szám értéke: 100a + 10(a + c) + c = 110a + 11c

b) Ebben a háromjegyű számban a tízesek száma kétszerese a százasok számának, és 7-tel többaz egyesek számánál. b = 2 · a és b = 7 + c, tehát c = 2a − 7. A szám értéke: 100a + 20a + (2a − 7) =

= 122a − 7.

c) Egy háromjegyű szám középső jegye 5 és az első jegye éppen annyival több a középsőnél,mint amennyivel az utolsó jegye kevesebb a középsőnél. a −5 = 5−c; a = 10−c. A szám értéke:

100 · (10 − c) + 50 + c = 1050 − 99c.

d) A háromjegyű szám első jegye a, a második jegye 8, a jegyeinek összege pedig összesen 2a.c = 2a − (a + 8) = a − 8, így a szám a8c = 100a + 80 + a − 8 = 101a + 72.

10. A rendszer egyensúlyban van. A csigákra felfüggesztett testek töme-gét jelölik a betűk.a) Eláruljuk, hogy d = 5 kg. Hány kilogramm a többi test? a = 20 kg,

b = 10 kg, c = 40 kg, e = 10 kg, f = 20 kg, g = 40 kg.

b) Írd a tömegeket növekedő sorba! d < b = e < a = f < c = g

c) Igazak-e az alábbi állítások:

c = 4be

2= d f = 4d a = 4d 2b = 2d + e 2d = b

igazak

d) Gyűjts igaz egyenlőségeket! pl.: a + 2b = c, a = 2b, g = 8d .

e) Határozd meg egy-egy tömegről, mi a kapcsolata a többivel!

Például: a = 2b, b =a

2, c = g, c = 4b.

Pótold a keretekből hiányzó számokat, és írj magad is újabb egyen-lőségeket!

b =1

2· f , b =

1

4· g, b = 1 · e

155



Egytagú és többtagú algebrai kifejezések

11. Írd le az alábbi kifejezések mindegyikének az együtthatóját! Válaszd ki az egynemű kifejezéseket!

ab

51

5−a2b −1

a · 108

0,11080 5a · 2b · a 10

7ab

27

20,6a

b

30,2

−a2

3−1

3

(−a)(−2b)

21 5a · b

75

7

b

2· a

3· 6a 1

(3a

2

)29

4

12. Egynemű tagok összevonásával kaptuk az eredményt. A munkánkra sajnos tintapacák estek.Fejtsd meg, mi állhat a foltok alatt! A feladatnak többféle megoldása van.

a) 6pq2 − 8 + 2pq2 + 10

10

= 8pq2

pq2

+ 2 b) 5(x + 1)

(x +

1

5

)− 3

3

(x + 1) = 2(x − 1)

c) 2x

−3x

y + 3

8

x − 5xy

x

− x

2= −3xy + 2,5x d) 3a2

3a2

b2+ 2ab− a2b2

b2

+ a2b + 7a

7a

b = 2a2b2+ a2b

a2b

+ 9ab

13. Az azonosság mindkét oldalán egy vagy több tagot elrejtettünk. Pótold a hiányzó tagokat!Többféle megoldás is lehetséges.

a) 2bc + 2b2c2 + 3b2c2 − 7bc = 5b2c2 − 5bc

b) 0,25tus2 − 2tu + 0,25tus2 + 4,1tu = 0,5tus2 + 2,1tu

c) 2a−3b+5a2 + −12a −2,8a2 +6,1b = 3,1b + 2,2a2 −10a (Ez az egyik lehetséges megoldás.)

d) 12ab − a2 + 2a2 = 6ab + a2 + 6ab

14. Színezd egyformán az azonos kifejezéseket!

O 6 + 3a

6 − 3

2· (−2a)

Á 6 + 3a

(−3) · (−2 − a)

E

3a − 6

B 3a − 6

9a − 6(a + 1)

J

−2a + 2b

É 2a − 2b

2(a − b)

T 2b − 2a

3(b − a) − (b − a)

L −6 + 3a

−3 · (2 − a)

T 3a + 6

−(2a − 8 + 2a) − (a + 2) + 8a

Ö 2b − 2a

2(b − a)

B 3a − 6

4a − (a + 6)N

3a + 6

N

2a − 2b

T −2a + 2b

a + b − (3a − b)

Ő 3a − 6

7a + 2 − (4a + 8)

A 3a + 6

3(a + 2)

B 3a + 6

7a − 2b − (4a − b − 6) + b

E −2a + 2b

−2b + 2a − 4(a − b)

M 2b − 2a

8b − (3b + a) · 2

C 6 + 3a

10a − (−6 + 7a)

S 6 + 3a

3 · (2a + 2) − 3a

Az egyforma színeket jelekkel jelöltük.

156



Plusz egy vicc

Kinyilik a szülőszoba ajtaja és a nővérodaszól egy izgatottan várakozó férfinak.– Megszületett a fia! Három és fél kiló.Erre egy szintén ott ülő férfi idegesen fel-ugrik.– BOCSÁNAT, ÉN JÖTTEM ELŐBB!A vicc poénját kitalálhatod, ha az azonoskifejezéseket egyformán színezed, majd azegyforma színű betűkből értelmes szavakatkészítesz.

15. Végezd el a lehetséges összevonásokat!

a) ab + 3 + a2b − ab − 8 = a2b − 5

b) xy2 − y2 + 5y2x + 2y2 + 2xyx = 6xy2 + y2 + 2x2y

c) 6(x + 3) − 8(x + 3) − 3(x + 3) = −5(x + 3)

d)x2

2− x2

3+ x2 − 5x2

6=

2x2

6=

x2

3

e) xy + x + y +xy

5− 4x − y

3=

6xy

5− 3x +

2

3y

f) 5abc + 4ab + 2ac − 7abc − ac − 5db = −2abc + 4ab + ac − 5db

g) 2 − b

2+

b2

2+ 2 +

b

4− 3b2

2+

3

4b = 4 +

b

2− b2

h) a2 − b2 +a2

4− a

2a+

3b2

2+

5a

2=

5a2

4+

b2

2+

5

2a − 1

2

i) −3k · l3 + 6l · 2k · 2l2 − 3k · l2 + 2k · 5l2 = 21kl3 + 7kl2

j) −6m3 + 4n2 +nm

5− n · 4n + 12m2 · m

2=

nm

5

k) e4 − 2e3 + e2 − 3e4 − 10e2 + 2e3 = −2e4 − 9e2

l) −1

2cd +

1

2cdc + c2d + 0,5cd =

3

2c2d

16. Indulj ki aza

bszámból! Színezd egyformán azokat a műveletsorokat, amelyek ugyanarra az

eredményre vezetnek!

a

b· 2

3

a : 2

b : 2

a

b· 3

2

a

b:

3

2

a

2:

3

b

a

b:

2

3

a · 2

b · 3

a

b· 3 : 2 a · 3

b · 2

a · b

6a : 3

b : 2

a

b· 2 : 3 a

2· 3

b

a

2:

3

b

piros kék sárga piros zöld sárga piros

sárga sárga zöld piros piros sárga zöld

157



17. Kösd össze a bekeretezett kifejezéssel azokat, amelyek egyenlők vele!

a

b· 15

4

15 · a

b-nek a 25%-a

a

4:

b

15

a

b-nek a

15

4része

a

15· 4

b

a

b-nek a 375%-a

a : b : 4 · 15 1b

a· 4

15

18. Hozd egyszerűbb alakra!

a) x2 + (2 − 3x − 5x2) − (x2 − 7) = −5x2 − 3x + 9 b) a − b − (a − b) − (2a − b) = b − 2a

c) −(8 + 7x) − (−3 + 5x) = −5 − 12x d) 5(x − 3) − (5x − 15) = 0


a)

(−1

2x +

1

3

)−

(1

3x − 1

4

)− 1

4x = −13

12x +

7

12b) −0,5x −

(x − 5

2+

3

4+ 1,5x − x

)= −2x +

7

4

c) 3 − (x − 1) + (−4 + 3 − 2x) = −3x + 3 d) (x + 2)2 − x(x + 4) = x2 + 4x + 4 − x2 − 4x = 4

20. A törteket egyszerűsítettük. A számlálót és a nevezőt is ugyanazzal az értékkel osztottuk.Eközben az itt felsorolt azonosságokat alkalmaztuk.

(1) (a + b) : c = a : c + b : c

Összeget úgy osztunk, hogy mindentagját elosztjuk.

(2) (a · b) : c = (a : c) · b = (b : c) · aSzorzatot úgy osztunk, hogy valame-lyik tényezőjét osztjuk el.

Mindegyik esetben írd oda, melyik azonosságot alkalmaztuk!

2a + 3ab

a2=

2 + 3b

a(1)

12x2y3

3x= 4xy3 (2)

3 · 5abb

25b=

3ab

5(2)

3a2 + 15a2b + 6a4b

3a2b=

1 + 5b + 2a2b

b(1)

3a3 · 15a2b

3a2b= 3a3 · 5 (2)

21. A matematikadolgozatban a törtek egyszerűsítésekor a gyerekek sokszor hibáztak. Keresd mega hibákat a dolgozatrészletekben, és javítsd is ki azokat!

x

2+ y

5 +7

3

1 +b

a(ha a�0)

24aa2 · 5

b(ha b�0)

158



4 · 8 · 12

2 · 4 · 12

a · 6b · 9c

22. a és b pozitív számok. Műveleteket végeztünk velük. A dominókon levő, sokfélének látszó mű-velet mindössze négy különböző eredményre vezethet. A hagyományos dominóhoz hasonlóankészíts láncot! Azokat illesztheted össze, amelyek biztosan egyenlő értékűek!

15

ab· 4

a

b· 4

15

11a 1b

a

b:

4

15

ab

60

2

a

15:

4

b

a · 15

b · 4

3

a

4:

15

b

15

a:b

4

4

3 · 2

a· 10

b

a

15· b

4

5

a

2· 15

2b

a · 15

b · 4

6

3

b:

a

5 · 4

1

30· b · a

2

7

3

b· 20

aa · 15

4· 1

b

8

4a

15b· 15

4:

4

15

2a

15· 2

9

20 :ab

3

5

b · 4· 3a

10

a :60

b

1

b:

1

a· 4

15

11

4a

b: 15

a

b· b

60· b

12

A feladat akkor érdekes a gyerekeknek, ha a 12 dominólapocskát maguk is elkészítik. Elég persze páronkéntegy készlet. Többféle kirakás lehet, példát mutatunk egy hosszú láncra. A követhetőség érdekében 1–12-ig sorrabeszámoztuk a dominólapokat, és a két oldalukat a, b jelöléssel különböztettük meg. Egy hosszú lánc: 5b–5a–7a–7b–4a–4b–1a–1b–12a–12b–11a–11b–8b–8a–10a–10b–3b–3a–2b–2a–6a–6b–9a–9b.

159



23. A következő egyenlőségek között vannak olyanok, amelyek biztosan igazak a változó tetsző-leges értéke mellett. Vannak olyan egyenlőségek is közöttük, amelyek lehet, hogy igazak, deáltalában nem teljesülnek. Tegyél + jelet a megfelelő oszlopba!

biztos lehet, de nem biztos

a) (a + b) − (c − d) = a + b − c − d +

b) (a + b) − (c − d) = a + b − c + d +

c) a + bc = (a + b)c +

d) (a + b)c = ac + bc +

e) 2x2 + 3x2 = 5x2 +

f) 2x2 · 3x2 = 6x2 +

24. Színezd azonos színűre az egyenlőket!

15 + a

3 (15 + a) :1

3

(15 + a) · 1

3

15 · 3 + a · 3 3 :1

5+ a :

1

3

15

3+

a

33 :

1

5+ 3 : a

(15 + a) : 3

15 + a · 35 +

a

3

15 + a : 3

15 : 3 + a : 3

5 + a : 345 +a

3

15 · 1

3+ a · 1

3

15 :1

3+ a · 3

piros zöldpiros

zöld kék

piroslila

piros

kék

piros sárga

pirospiros

barna

piros

fekete

25. Oldd meg az egyenletet!a) −(6x + 22 − 8x) = −90 x = −34 b) (8 − 3x) − (3x + 20) = 12 x = −4

26. Mi az egyenlet gyöke?a) (8 + 7x) − (3 + 5x) = −15 x = −10 b) −(−66 + 4x) − (−88 − 2x) = −46 x = 100

27. Határozd meg a és b összegét és különbségét!a = 5x2 − 2x − 1 és b = 3x2 − 7x + 5 a + b = 8x2 − 9x + 4 a − b = 2x2 + 5x − 6

28. Írd fel −2a2 + ab − 2,5 és −4a2 − 5b + 7 összegét és különbségét!összeg: −6a2 + ab − 5b + 4,5 különbség: 2a2 + ab + 5b − 9,5

29. Az alábbi kifejezések közül melyek azok, amelyek a, b és c bármely 0-tól különböző értékére

a) pozitívok, b) negatívok, c) 0-val egyenlők is lehetnek?

A) a2 + b2 a) B) a2 − b2 c) C) −a2b2 b)

D) a2 + 1 a) E) a3 + 1 c) F) −a2 − 1 b)

G) a2 + b2 + c2 a) H) a2 − a4 c) I) 2a2 − 3a2 b)

30. Egy négyszög kerülete 5a +b. Egyik oldala 6, a második ennél (6−a)-val nagyobb, a harmadika másodiknál 3a-val kisebb. Határozd meg a negyedik oldalt!6 + (6 + 6 − a) + (6 + 6 − a − 3a) + x = 5a + b x = 10a + b − 30

160




a)x

2+ 25 = 3x − 12,5 x = 15 b)

2x

3− 12 · x

4− 4x

12= 3 − 2x x = −9

2

c)2x

3− x

6=

x

4+ 1 x = 4 d)

2x

3− x

6=

x

2+ 1 nincs megoldás

e) 5 · x

3− 12 · x

4− 4x

12= 3 − 2x x = 9 f)

4x

3− 1

15· 3x +

7x

20= x + 2 x = 4

4

29

g) 3x −(

1

2x − 5

)= 5 −

(1

2x − 5

)x =

5

3h)

3

4x +

1

8x +

1

2x = x − 2 x = −16

3

i) 2x + 2 −(

3 +x

3

)= x + 1 +

(3 − x

3

)x = 5 j)

x

2−

(1 − x

2

)= 2x + 3 x = −4


a)x − 2

3= x + 1 x = −5

2b)

x

2= 5x − 3 x =

2

3

c)2x + 1

2= 2x − 6 x = 6,5 d)

3x − 7

5= x − 3 x = 4

e) 5 +2x + 1

3= 2x x = 4 f) −6 +

3 − x

5= 2x − 3 x = −12

11

g) −x +x − 3

4= 2 x = −11

3h) 3 +

5 − x

6= x + 1 x =

17

7


a) 12 − 2x − 1

5= x + 1 x = 8 b) 2x − 1 + 2x

2= 6x − 5

2x =

2

5

c)5x − 4

3+

9 − 2x

3− x − 7

3= 8 x = 6 d)

11x

2− x − 1

3− x + 2

6= 5 x = 1

34. A négyzet oldalait n egyenlő részre osztottuk. A négyzet területének mekkora része a színesháromszög területe? Folytasd! Keress szabályt!

n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

. . .

Az a oldalú négyzet területéből le kell vonni aza

noldalú négyzet területének a felét, továbbá a két leeső egybevágó

derékszögű háromszög területét. Ennek a befogói a, illetve (n−1)a

nhosszúságúak. Adott n érték esetén a gyerekek

sorra kiszámíthatják a színes háromszög területét, így

n = 2 esetén3

8részt,

n = 3 esetén5

18részt,

161



n = 4 esetén7

32részt,

n = 5 esetén9

50részt kapnak.

Az n = 2 esetet mindenkitől elvárhatjuk, de a feladat általánosítását már csak a legjobbaktól: ha az a oldalú négyzetoldalát n részre osztottuk, akkor a színezett terület

T = a2 − 2 · 1

2· a · a

n(n − 1) − 1

2

(a

n

)2= a2

(1 − n − 1

n− 1

2n2

)= a2 2n − 1

2n2

A2n − 1

2n2hányados jelenti azt, hogy a négyzetnek mekkora része a színezett.


a)x − 2

3= x + 1 x = −5

2b) 3 +

x + 1

5=

2x

5+ 2 x = 6

c)2x + 2

3− 5 = 3x x = −13

7d) 2 − x − 1

2= x x =

5

3

e) 3 − x + 2

2= 5 − x x = 6 f)

2x + 1

5− (x + 3) = 2 x = −8

36. Oldd meg a következő egyenleteket!

a)x

2+

x

3− x

4= 7 x = 12 b)

x

5+

3x

7− x

35= 21 x = 35

c)3x

2+

x

6− 2x

9= 13 x = 9 d) x +

2x

3− 3x

4= 11 x = 12


a)x − 2

6= 8 x = 50 b)

2x + 5

3= 7 x = 8

c)3x + 5

7= 5 x = 10 d)

4x − 3

5= 13 x = 17


a)x − 2

3+

5 + 4x

5= 6 x = 5 b)

5x + 3

2− 4 =

8 − 3x

4x =

18

13

c) y + 1 =5 − y

2y = 1 d) 2 − 1 − 3y

4= y y = 7

39. Egy szám 12-vel nagyobb a másiknál. Ha a kisebbiket elosztjuk 3-mal, a nagyobbikat pedig6-tal, akkor az első hányados a másodiknál 2-vel nagyobb lesz. Melyek ezek a számok?

Legyen a kisebb szám x.x

3=

x + 12

6+ 2 x = 24. Tehát a kisebb szám 24, a nagyobb 36.

40. Két szám összege 112. Ha a kisebbiket elosztjuk 4-gyel, a nagyobbikat pedig 12-vel,a hányadosok összege 16 lesz. Melyik ez a két szám?

A kisebb szám x, a nagyobb 112 − x.x

4+

112 − x

12= 16 x = 40. A keresett számok 40 és 72.

162



A hatványozás azonosságai


a) b2 · b3b5 28 · 25 213 a4 · a7

a11 x · x2 · x3x6 8 · 25 28 27 · 34 37 x10 · x90

x100

b)b5

b2b3 c8 : c2

c6 420 : 4 419 210

428 = 44 = 162 x2 · x5 : x6

x3105

310035 a71

a70a

c) a4 · b4 (ab)4 25 · p5 (2p)5 64 · x3 (4x)3 81k4 (3k)4 81 · 25 · x2 (9 · 5 · x)2 (2k)3 · 53 (10k)3

125 · 64 · 27 (5 · 4 · 3)3

d)107

5727 a8

b8

(a

b

)8 16

c4 · d4

(2

c · d

)4 (100a)3

103 · a3103 100 000

2555 1 000 000 · a6

(2 · a)656

a100 · b100 : 3100(

a · b

3

)100

42. Írd fel minél többféleképpen hatványok szorzataként vagy hányadosaként az adott kifejezést!

Például: a9 = a3 · a · a5 = a · a8 =a18

a9= a10 : a = . . .

a5 a3b4 a10 x2 (x − 5)2 4x2 (4x)2

Mindegyik feladathoz sokféle felírást várunk.

Lehet versenyben dolgozni. Aki tud újabb alakot, az felírja a táblára.

Néhány megoldás: a5 = a2 · a3 =a7

a2= a · a4 =

a8

a3= . . .

a3 · b4 =(a · b)4

a= b · (a · b)3 = . . .

4x2 =(2x)3

2x=

(4x)4

(23 · x)2= . . .

Dolgozhatunk úgy is, hogy az adott kifejezéshez mi írunk fel egy másikat, és megmondjuk, hogy az például a

hányados számlálója, és a gyerekeknek kell megadni a nevezőt. Vagy megmondjuk a szorzat egyik tényezőjét, és

a gyerekek mondják a többit.

Például: a10 =?

a5= a3 · ? =

(a · b)10

?= . . .


a) 9 · 35 37 8 · 162 · 27 218 25 · 125 55 a4 · 16 · 81 (2 · 3 · a)4 a4 · b4 · 10 000 (10 ab)4

b) 10 · 23 · 53 104 4 · 4 · 7 · 7 282 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 (2 · 3 · 5)2 a · 3 · a2 · 9 (3a)3

c)1010

59 · 2910

3 · 15 · 5

a · (3 · 5)15

a

(7x)2

49x2 16a · a3

(2a)24a2 = (2a)2 125x3

5x25x2 = (5x)2

44. Írj pozitív egész számokat a betűk helyére úgy, hogy igaz egyenlőségeket kapj!

a) 105 = a5 · 25a = 5 a9 = ak · al

k + l = 9 teljesüljön 7100 = 7x · 7yx + y = 100 teljesüljön

248 = 28 · a8 · b8a = 3, b = 4 65 = 35 · a5 · b5

a = 2, b = 1 603 = a3 · b3 · c3 pl.: a = 3, b = 4, c = 5

b) 79 = a9 : 39a = 21 2110 =

6310

aba = 3, b = 10 49 = 29 · 69 : x9

x = 3

c) 85 = 8a · 8ba = 2, b = 3 610 = 6x · 6y

x + y = 10 teljesüljön 1230 = 12a · 12ba + b = 30 teljesüljön

163



1520 = 159 · 311 · 5bb = 11 726 = a4 · b2 · c4

a = 9, b = 72, c = 8

10011 = a5 · b6 · c6a = 10, b = 10, c = 1

45. Készíts szorzáscsaládokat! Három vagy több szám szorzáscsaládot alkot, ha közülük valamelyika többinek a szorzata.a) Ezekből az azonos alapú hatványokból válogass: a, a5, a6, a20, a9, a7, a21, a40, a22, a83

Sokféle szorzáscsalád készíthető, pl.: a5 · a6 · a9 = a20

Szorzáscsaládot alkotnak: a5, a6, a9, a20

a, a20, a21

a40, a22, a20, a, a83

a, a6, a7

a9, a7, a6, a22, stb.

Ezt a feladatot is érdemes versenyszerűen feldolgozni.

b) Ezekből az azonos kitevőjű hatványokból válogass: 2x , 7x , 35x , 14x , 5x ,

(1

5

)x

, 1x , 70x , 10x

Szorzáscsaládot alkotnak például: 2x , 7x , 14x

2x ,(

1

5

)x

, 10x

2x , 5x , 7x , 70x

c) Ezekből a hatványokból válogass: 25, 1012, 23, 55, 24, 52, 105, 205, 1005, 107

Néhány szorzócsalád: 25, 55, 105

25, 55, 105, 1005

25, 105, 205

46. Mely szám négyzete:a) 4a2 = (2a)2 b) 9a4b2 = (3a2b)2 c) 81a2b2 = (9ab)2

d)4

9x4y2 =

(2

3x2y

)2

e) 36x6y4 = (6x3y2)2 f) 100x8y2 = (10x4y)2

g) 0,01a10 = (0,1 · a5)2 h)1

4a6b4 =

(1

2a3b2

)2

i) 0,0001x2y2 = (0,01xy)2

47. Építs egynemű kifejezéseket!Minden feladatban egynemű kifejezéseket gyűjtöttünk össze, különféle alakokban. A kifejezé-sek egy-egy részét letakartuk. Mi állhat a foltok alatt?

a) 2p 3 q 4 3pq · p2q3 2 · p3 · q4 0,5 · p3q · q3

b)1

2bc2 bc · c

2b · c 2 bc2

2

c) l2 · k5l5 −12 · k 4 · l7 · k 3,1 · k3 · l 7 · k2k4 · l6 · kl

d) 2a2b5c 2 · a a3b 5 c2 2abc

3a2b4c a 3 b5c 2

e) 3x2y 2x 2 y 8x · xy

164



48. Írj a kifejezéssel azonosat úgy, hogy ne használj zárójeleket!

(3a)3 = 33 · a3

(b2

2

)2

=b2

2· b2

2(c3)2 = c6 (2d)3 = 23 · d3 (2x2)3 = 23 · x6

(e

5

)5=

e5

55

(2f

g

)4

=24 · f 4

g4

(2f )4

g=

24 · f 4

g

(3h)5

(3h)3= 32 · h2

[(5i + 3i) · 3

24

]5

= i5

(j 5

j 2

)3

= j9 (klm)3 = k3 · l3 · m3 (2no2)2 = 4 · n2 · o4 (pq)2

q2= p2

49. Pótold a hiányzó számokat, vagy betűket úgy, hogy csupa azonos kifejezés álljon egy feladatban!

a) x6y4 x2y x4y3 (x3y)2 · y2 (xy2)2 · x4 (xy)3 · x x2y (xy) 4 · x2 ( x3y · y)2

b) (2a4)3 8a4 · a8 8a11 · a 8(a3) 4 2 · (2a)2 · a10 2a2 · 4a10

50. Egészítsd ki a szorzótáblákat! A betűk egyike sem nulla.

a)

52 · 3

23

53 22 32·

1000 32 72

9375 300 675

b)

b

a3

a2 ab b3·

a5 a4b a3b3

a2b ab2 b4

c)

5b

2b2

5a 32 3ab·

10ab2 18b2 6ab3

25ab 45b 15ab2

d)

−5z

3x2y

15 2xy2 −z·

45x2y 6x3y3 −3x2yz

−75z −10xy2x 5z2

e)

xy

6

1

15

3

2x2 30y −6xy·

1

10x2 2y −2

5xy

1

4x3y 5xy2 −x2y2

f)

1

3x2

−5

3z

−18z3

5x3 3xy·

30z2 −x3z −5xyz

−6x2z1

5x5 x3y

g)

5c

bc

a2bc2 1

·

a2c

1

a2c

5bc2 5

a2

h)

−x

1

xy

−x2

y

0

· x

y

0 0 0

−1

y

tetszőlegesenkitölthető

165



51. Fűzd láncba az egyenlőket! Mindegyik láncból megadtunk egy láncszemet. A többit a felsoroltszámokból válaszd ki! Folytasd!

1000, 24 · 57 : 53, 1 000 000, 23 · 53,13

23, 64,

(1

2

)3

, 22 · 53 · 2,

10 000, 25 · 2,1

22 · 2,

1

32, 27,

(103

)2,

28

2, (2 · 5)6,

104

106,

(1

2

)5

, 2 · 24, 25 · 4,22

27,

1

100, (0,1)2

103 23 · 53 23 · 53 · 2 10001

8

(1

2

)3 1

22 · 213

23 106 1 000 000 (103)2 (2 · 5)6

26 64 25 · 21

25

(1

2

)5 1

3222

27128 28

227 25 · 4

104 10 000 24 · 57 : 531

1020,12 104

106

1

100

Egyetlen kifejezés nem illik be semelyik láncba, a 2 · 24.

Oszthatóság

52. A nyíl a többszörösre mutat. Írd a nyíl mellé, hogy hányszorosa a nyíl végén álló kifejezés aközépsőnek!

53. Add meg a hiányzó kifejezést úgy, hogy A = B · C igaz legyen!

B y 10k2 pq 0,1x3 2xy 6b2 7

3m5n 0,1aa3

C 5xy 2,3k3 q2r 100y4 3

2x

5a3b2

3

3n4

7100a5b

A 5xy2 23k5pq3r 10x3y4 3x2y 10a3b4

m5n5 10a8b

54. Színezd ki a cédulákat!

30ab3c3

piros

15a3c5

sárga

12a4b2

kék

166



A vaktérképen Magyarország megyéit látod. A megyékbe a színes cédulákon levő kifejezésekosztóját írtuk.

Színezd az osztót (a megyét) azzal a cédulával azonos színűre, amelyiknek osztója. Ha kettőnekis osztója, akkor keverék színeket használj így: piros + kék = lila, piros + sárga = narancs, kék ++ sárga = zöld, piros + sárga + kék = fehér. Írd a megyék neve mellé, milyen színű lett!

Megyék nevei: Bács-Kiskun piros

Baranya zöld

Békés kék

Borsod-Abaúj-Zemplén lila

Budapest (megyei jogú város) narancs

Csongrád lila

Fejér lila

Győr-Moson-Sopron piros

Hajdú-Bihar piros

Heves narancs

Jász-Nagykun-Szolnok sárga

Komárom-Esztergom zöld

Nógrád sárga

Pest kék

Somogy narancs

Szabolcs-Szatmár-Bereg kék

Tolna fehér

Vas kék

Veszprém sárga

Zala zöld

55. Írd fel a felsorolt számok közös osztóit!

a) 22 · 32 és 2 · 3, 1, 2, 3, 2 · 3 b) 3 · 52 és 2 · 3 · 5, 1, 3, 5, 3 · 5

c) 2 · 32 · 5 és 22 · 32, 1, 2, 3, 2 · 3, 32, 2 · 32 d) 2 · 52 · 11 és 3 · 5 · 7, 1, 5

e) 72 · 11 · 13 és 32 · 5 · 7, 1, 7 f) 22 · 73 · 13 és 33 · 52 · 11. 1

56. Ha lehet, egyszerűsítsd, majd számítsd ki!

a)22 − (33 + 5)

2 · 3=

22 − 25

2 · 3=

2 − 24

3= −14

3b)

484

244= 24 = 16 c)

24 + 53

(2 · 5)2=

141

100

167



57. Egyszerűsíts, majd végezd el a műveleteket!

a)24 · 32 · 53

3 · 52= 24 · 3 · 5 = 240 b)

33

3 · 52=

32

52=

(3

5

)2

=9

25c)

363

483=

(36

48

)3

=(

3

4

)3

=27

64

Beszorzás, kiemelés

58. Válaszd ki az azonosságokat! (Az alaphalmazba minden ismert szám beletartozik.)

a) (a + 3) · 2 + 1 = 2a + 7 azonosság b)10a + 7

2= 5a + 7 nem

c)8x − 6

2= 4x − 3 azonosság d) (a + 2a) · a = 3a2 azonosság

e)x

2+

x

3=

5x

6azonosság f) a − (5 − a) = −5 nem

59. Kinek mi a kedvenc állata? Megtudod, ha a fiúk nevéből kiindulva mindig az ott álló kifejezésselazonos mezőre lépsz. a és b egyike sem nulla. Jelöld a helyes útvonalat!

TOMI PALI MIKLÓS

(a2b + ba2)b

4a3b2

2a4b4

(ab)2

(ab2 + 3ab2)a2

12(ab)3

3b

a2b2a · 22

(3ab + ab)a2b

(ab + ab)2 · 0,5

2(ab)3

ab

a(2ab)2

4a2b3

a2bab2

b· 4

(a2b + 3a2b)b2

(2ab)2

2

(2ab)2b

(2ab)2b

(3ab + ab)ab2

16(ab)3

4a

2a2b2

60. Írd fel a (2x + 1) · (x − 3) szorzatot összeg alakban! Számítsd ki az értékét, ha

a) x = 3, b) x = −1

2, c) x = 0,8!

(2x + 1)(x − 3) = 2x2 − 5x − 3

a) ha x = 3, az érték 0 b) ha x = −1

2, az érték 0 c) ha x = 0,8, az érték −5,72

168



61. Add meg a téglalap területét a lehetőlegrövidebb alakban!

T = (x + y)(x − y) = x2 − y2

62. Fejezd ki a színes sokszög területét!

T = a2 − b2

63. Mekkora a színes sokszög területe?

T = x2 − 4y2

64.

T = (a − b)2

65. Alakítsd összeggé!

a) (x + y)(d − b) = dx − bx + dy − by b) (x − y)(c + d) = cx + dx − cy − dy

c) (5a − 10)(6a + 3) = 30a2 + 15a − 60a − 30 = 30a2 − 45a − 30

d) (2x − 1)(3x − 2) = 6x2 − 4x − 3x + 2 = 6x2 − 7x + 2

e) (x − 1)(−x − y) = −x2 − xy + x + y f) (−5x2 + 2)(2x − 3) = −10x3 + 15x2 + 4x − 6


a) (x − 2)(x + 5) = x2 + 3x − 10 b) (a + 3)(a − 2) = a2 + a − 6

c) (4x + y)(−x − y) = −4x2 − 5xy − y2 d) (7a − 6)(−2a + 5) = −14a2 + 47a − 30

e) (x − y)(2x + 2y) = 2x2 − 2y2 f) (a − 15)

(a − 1

5

)= a2 − 15,2a + 3

67. Egy sportünnepélyen a sportolók téglalap alakba rendeződtek el szabályos sorokban. A sorokszáma 5-tel osztva 4 maradékot adott, az oszlopok száma pedig 1 maradékot. Az ünnepek végéna sportolók 5-ös oszlopba fejlődve vonultak le a pályáról. Hányan álltak ekkor a legutolsósorban?k sor és l oszlop volt. (5k + 4) · (5l + 1) = 25kl + 5k + 20l + 4 ennyien álltak az utolsó sorban.

68. Gondoltam két számra. Az egyik 25-tel osztva 7 maradékot ad, a másik 5-tel osztva 3 maradékotad. Mennyi maradékot adhat 5-tel osztva

a) az összegük, 0 maradékot b) a különbségük, 4 vagy 1 c) a szorzatuk? 1

d) a hányadosuk (ha egyik éppen osztója a másiknak)? 4, pl.: 32 : 8 = 4

69. Gondoltam két számra, az egyik 13-mal osztva 12 maradékot ad, a másik 13-mal osztva5 maradékot ad. Írd fel az algebra nyelvén a szorzatukat és az összegüket is, és olvasd le,mennyi maradékot adnak ezek 13-mal osztva!(13a + 12)(13b + 5) = 132ab + 12 · 13b + 5 · 13a + 60, tehát 8 a maradék.

13a + 12 + 13b + 5 = 13a + 13b + 17, tehát 4 a maradék.

169




a) (a + 3)(a + 3) = a2 + 6a + 9 b) (x − 1)(x − 1) = x2 − 2x + 1

c) (2x − 1)(2x − 1) = 4x2 − 4x + 1 d)

(1

2a + 2

)2

=1

4a2 + 2a + 4

71. Az egyik oszlopba összegeket írtunk, a másikba a szorzat alakjukat. Válaszd ki az összetarto-zókat!

a) (2a + 1)2 A) 4a2 + 4a + 1

b) (a + 2)2 B) a2 + 4a + 4

c) (a + 2)(a − 2) C) a2 + a − 2

d) (a − 1)(a − 2) D) a2 − 4

e) (a − 1)(a + 2) E) a2 − 3a + 2


a)

(2

x + y− 3

x + y

)(x + y) = −1 b)

(3

a + 2b+

1

a + 2b

)(a + 2b) = 4


a) (2x − 5)(3 − x) + 2x2 = 9x + 1 x = 8 b) 5(x − 1)(7 + x) = 5x2 + 25x + 5 x = 8

c) x(x + 3) + x(5 − x) = −32 x = −4 d) 5(x + 3) + 2(x + 3) = 7x + 21 azonosság

e) (2 − x)(4x + 5) = (2 − x) · 4x + 7 − 2x x = 1 f) x(x + 5) + 7 = x2 + 2x − 2 x = −3

74. Töltsd ki a szorzótáblák üres mezőit!

a + b a − b

a − b

1

a

·

a2 − b2 a2 − 2ab + b2

1 +b

a1 − b

a

a(a − 2b) b(a − 2b)

−1

· a b

a − 2b

−1

a−b

a

x + 2y x − 1

x2

2x

·

x3 + 2x2y x3 − x2

2x2 + 4xy 2x2 − 2x

2y − 1

2

x2 − 1

· 4

y − 1

4(x2 − 1)

y − 1

tetszőlegesen kitölthető

170



75. Alakítsd összeggé!

a) (−2a + 3)2 = 4a2 − 12a + 9 b) (−4x + 5y)2 = 16x2 − 40xy + 25y2

c) (−0,5a + 2b)2 = 0,25a2 − 2ab + 4b2

76. Írd fel összeg alakban!

a) (x − y)(x + y) = x2 − y2 b) (2x + y)(2x − y) = 4x2 − y2

c) (a + 1)(a − 1) = a2 − 1 d) (0,5a2 − 2b)(0,5a2 + 2b) =1

4a4 − 4b2

77. Mindegyik kifejezés a felette lévő téglalap területét adja meg. A téglalap oldalairól azonbanrészben vagy teljesen lemaradtak a megfelelő betűk, illetve számok.Pótold azokat! Írd az összegeket szorzat alakba!

x 8

y

2

x

5 3 x

y

x x 5

xy + 8y = (x + 8) · y 5x + 3x + 2x = 10x 2xy + 5y + xy = y(3x + 5)

y

x

53

3

2

x

xy

3

4

x

x ·3+y ·3+(x+y)·5 = (x + y) · 8 x2 + 5x + 6 = (x + 2) · (x + 3) xy + 3y + 4x + 12 = (y + 4) · (x + 3)

78. Mindegyik kifejezés egy téglalap területét adja meg. Készíts mindegyik kifejezéshez a példáhozhasonló módon téglalapot, és annak segítségével az összeget írd fel szorzat alakban, a szorzatotpedig összeg alakban!

Például így: T = x(x + 3) → x

x 3

x2 3x T = x2 + 3x

vagy T = xy + 2y → y

x 2

xy 2y T = y(x + 2)

a) T = (3a + b) · 2c = 6ac + 2bc b) T = 3xy + 6x = 3x(y + 2)

c

c

a a a b

2

y

x x x

171



c) T = 4x2 + 2x = 2x(2x + 1) d) T = 5x(2y + 1) = 10xy + 5x

2x

2x 1

1

2y

5x

e) T = 15k2 + 3k = (5k + 1) · 3k f) T = 5pq + 2p2 + 3p = p(5q + 2p + 3)

3k

5k 1

p 5q 2p 3

g) T = 25xy + 5x + 15xz = 5x(5y + 1 + 3z) h) T = 7pq + 2p2 + 3p = p(7q + 2p + 3)

x

x

x

x

x

y y y y y 1 z z z

p

q q q q q q q p p 3

79. Mindegyik kifejezés egy téglalap területét adja meg. Készíts mindegyik kifejezéshez téglalapot(ahogy az előző feladatban láttad), és annak segítségével az összeget írd fel szorzat alakba, aszorzatot pedig összeg alakba!a) T = (x + 3)(y + 3) = xy + 3x + 3y + 9

b) T = ab + 5a + 3b + 15 = (a + 3)(b + 5)

c) T = (2c + d)(a + 2b) = 2ac + 4cb + ad + 2db

d) T = mn + 7m + 3n + 21 = (m + 3)(n + 7)

e) T = 3x2 + 6x + y(x + 2) = 3x(x + 2) + y(x + 2) = (x + 2)(3x + y)

f) T = ab + 6a + c(b + 6) = (a + c)(b + 6)

g) T = (b + 3)(b + 4) = b2 + 7b + 12

h) T = a2 + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3)

i) T = (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy

j) T = c2 + 2cd + d2 = (c + d)2

80. Írd fel az összegeket szorzat alakban!

a) 2a + a2 = a(2 + a) b) 33b2 + 22ab = 11b(3b + 2a) c) 4a + 12ab = 4a(1 + 3b)

d) xy − y2 = y(x − y) e) xy + y = y(x + 1) f) 15x + 6xy + 12x2y2 = 3x(5 + 2y + 4xy2)

g) −a + 8ab = a(−1 + 8b) h) −18l − l = −l(18 + 1) i) 3x2 − x

2= x

(3x − 1

2

)

81. Írd fel szorzat alakban!

a) 2a + 2b = 2(a + b) b) 5x − 5y = 5(x − y) c) xy + x = x(y + 1)

d) 7x + 14y = 7(x + 2y) e) 8a − 16b = 8(a − 2b) f) 15x2 − 5x = 5x(3x − 1)

172



82. Írd fel szorzat alakban!

a) ab − ac = a(b − c) b) a5 − a4 = a4(a − 1) c) 5ab − 10ac = 5a(b − 2c)

d) 3xya − 3xyb = 3xy(a − b) e) 7x2 + 3x3 = x2(7 + 3x) f) 5ab − 10a2b2 = 5ab(1 − 2ab)

83. Összegből szorzatok, szorzatból összegek!

a) (x + 2)(x2 − 1) = x3 + 2x2 − x − 2

b) a

(2a − b

2

)= 2a2 − ab

2

c) ab2c + a2b2 + b3c2 = b2(ac + a2 + bc2)

d) 5(x + y) − 3(x + y) = 2(x + y)

e) (2a + 1)(2a − 1) = 4a2 − 1

f) (a + 3)2 = a2 + 6a + 9

g) 2xy − 10y + 3(x − 5) = 2y(x − 5) + 3(x − 5) = (x − 5)(2y + 3)

h) 3 − 3x + 2(1 − x) = 3(1 − x) + 2(1 − x) = 5(1 − x)

i) 5x + 10y + 4x + 8y = 5(x + 2y) + 4(x + 2y) = (x + 2y)(5 + 4) = 9(x + 2y)

84. Egyszerűsítsd a kifejezéseket!

a)a2 + ab

a= a + b b)

2x + 4

6y=

x + 2

3yc)

x + 3xy

5(1 + 3y)=

x

5

d)6b − 15

3= 2b − 5 e)

9a + 6 + 12b

3ab=

3a + 2 + 4b

abf)

5x + 10xy

2x2=

5 + 10y

2x

g)2x2 + 18xy

5(x + 9y)=

2x

5h)

3(a + 2b)

4a + 8b=

3

4i)

7(x + x2)

3x + 3=

7x

3

85. Írd fel a lehető legkevesebb tag összegeként!

a) (a2 − 4)(a2 + 4) = a4 − 16 b) (4x + 2y)(4x − 2y) = 16x2 − 4y2

c)

(a − 1

2

) (a +

1

2

)= a2 − 1

4d) (a2 − 2b)(a2 + 2b) = a4 − 4b2

86. Két szám összegét szoroztuk ugyanazon két szám különbségével, és az összevonás után azalábbi kifejezéseket kaptuk. Írd fel, mi volt az eredeti szorzat!

a) x2 − y2 = (x + y)(x − y) b) 4x2 − y2 = (2x + y)(2x − y)

c) a2 − 1

4=

(a +

1

2

)(a − 1

2

)d)

9

4x2 − 4y2 =

(3

2x − 2y

)(3

2x + 2y

)

e) b2 − 25 = (b + 5)(b − 5) f) 1 − b2 = (1 − b)(1 + b)

87. Töltsd ki a kereteket úgy, hogy azonosságot kapj!

a) (6 + x )(6 − x ) = 36 − x2 b) ( 4x + y)( 4x − y) = 16x2 − y2

173



88. A szomszédos mezők közül arra gurítsd a labdát, amelyikben megtalálod az adott egyenletgyökét!

INDULÁS

1

x

5= 1

6

−3

x= 1

0

1

x − 1=

1

4

5

1

x − 1=

1

x − 1

−1

1

2= x − 1

x

2= 3

3

3

x=

−1

2

−3

6

x− 1 =

4

x− 1

2

−2

x + 4

x − 4= 1

4

1

x − 1=

1

4

−6

2

x − 1+ 3 = 5

1

3x

3 − x= 3

4

x − 1

x= 2

2

1

x − 1=

1

x + 1

7

7

x + 2= 2

12

8

x − 3= 2

−1

2

x+

3

x+

4

x= 18

0

1

x+

3

x=

1

x

112

x + 1

x= 2

−2

x

x − 2= 1

13

3

x + 1= 1

9

x

x − 2= 0

23

1

x+ 2 = 4

−1

2

x − 2= 1

1

1

x+

1

6=

1

3

−6

2

x− 2 = 0

nincsen gyöke

x

x − 2= 0

6

1

x + 1+ 2 = 0

−23

1

x+

1

x= 1

5

2

x+

1

2=

5

2x

0

x − 1

x + 3=

1

3

4

1

x− 1

x−1=

x−2

x(x−1)

−112

x + 1

2x= 1

−2

2

x= 3

10

6

x − 2= 2

3

2

x − 1− 3 = −1

8

1

2− 1

x=

1

x

1

3 − x

x= 2

7

1

2x − 1− 2 = 0

2

GÓL

−6

x

x − 1− x − 1

x=

1

x

1

9 − x

x − 7= 1

−1

5

x− 1 =

1

x

45

3

x= 9

174



Szöveges feladatok megoldása egyenlettel vagy anélkül

89. Egy hegedű tokkal együtt 60 000 Ft. Mennyi ebből a hegedű ára, ha a hegedű 48 000 Ft-taldrágább, mint a tokja? 54 000 Ft a hegedű.

90. Egy istállóban annyi ló van, hogy a fele 5-tel több, mint a negyedrésze. Hány ló van azistállóban? 20

91. Nagyanyó vendégségbe várta unokáit. Sütött nekik süteményt. Megszámlálta és ezt gondolta:ha mindegyik unokámnak öt süteményt adok, akkor hárommal kevesebb van, ha azonban csaknégyet adok, akkor három darab megmarad. Hány unokája volt, és hány süteményt sütöttnagyanyó?Segítséget adunk az egyenlet felállításához.Kövesd a lépéseket!

Nagyanyónak ennyi unokája van: x

5-ösével kiosztva: 5x − 3A sütik darabszámát kétféleképpen is felírhatjuk:

4-esével kiosztva: 4x + 3Az egyenlet: 5x − 3 = 4x + 3 x = 6

Nagyanyónak 6 unokája van, akiknek 27 süteményt sütött.

92. A ballagó nyolcadikosoktól a hetedikesek virággal búcsúztak. A nagy csokor margarétát előszörhatosával akarták szétosztani, de akkor egy valakinek 4-gyel kevesebb szál virág jutott volna.Ezért ötösével kötötték csokorba a virágokat, és így 14 szál megmaradt. Ebből az osztályfő-nöknek kötöttek egy szép csokrot. Hány nyolcadikos ballagott, és hány szál margaréta volt?A nyolcadikosok száma: x 6(x − 1) + 2 = 5x + 14

x = 18A virágok száma: 5x + 14 = 104.

93. Ildi egy számot maradékosan osztott először 7-tel, majd 9-cel. Az első esetben 4-et, másodszor8-at kapott maradékul. A két hányados különbsége 8 volt. Melyik számot osztotta el Ildi kétszer?A szám 7k + 4 alakú, hiszen 7-tel osztva 4 maradékot ad.

Másrészt 9l + 8 alakú, hiszen 9-cel osztva 8 maradékot ad.

Ha kisebb az osztó, akkor nagyobb a hányados, tehát k > l, az adott feltétel szerint k = l +8. Így 7(l +8)+4 = 9l +8

l = 26, a szám 9l + 8 = 242

k = 26 + 8 = 34, a szám 7k + 4 = 242, ezzel az ellenőrzést is elvégeztük.

94. A Zrínyi Ilona Matematika Versenyre az ötödikesek háromszor annyian jelentkeztek, mint anyolcadikosok.A hatodik és a hetedik osztályból összesen annyian indultak, mint az ötödikesek.A felső tagozatból így összesen 80-nál több, de 90-nél kevesebb tanuló jelentkezett. Hánynyolcadikos indult a Zrínyi versenyen?5. oszt. 6. oszt. 7. oszt.︸︷︷︸ 8. oszt.

3x + 3x + x = 7x

80 < 7x < 90, x = 12

95. Egy osztályban kétszer annyi lány van, mint fiú.Ha a lányok számából is, meg a fiúk számából is elveszünk ötöt, akkor háromszor annyi lánylesz, mint fiú. Hány lány, és hány fiú jár az osztályba? 20 lány, 10 fiú.

175



96. Két ládában krumpli van. A másodikban 65 kg-mal több, mint az elsőben. Miután a másodikládából átraktunk valamennyit az elsőbe, már csak 25 kg-mal több krumpli volt a másodikban.Mennyi krumplit raktunk át?Jelöljük így a ládák tartalmát:

x kg-ot átraktunk a másik ládába. Ekkor ennyi lett az első ládában: L + x

Ennyi lett a második ládában: L + 65 − x

Írj egyenletet! L + x + 25 = L + 65 − x

2x = 40

x = 20 20 dkg-ot raktunk át.

97. A könyvállványon 65-tel több könyv volt, mint a szekrényben. Hány könyvet kell áttennünkaz állványról a szekrénybe, ha azt akarjuk, hogy a szekrényben 15-tel több könyv legyen, mintaz állványon?

Könyvek áttétele előtt Könyvek áttétele után

Állványon (k darab) k k − x

Szekrényben k − 65 k − 65 + x

k − 65 + x 15 k − x

k − 65 + x − 15 = k − x

2x = 80

x = 40 40 könyvet kell áttenni.

98. Három ládában összesen 205 kilogramm cukor volt. Ha az első ládából áttesznek a másodikládába 20 kilogrammot, a harmadikba pedig 15 kilogrammot, akkor mindhárom ládábanugyanannyi cukor lesz. Mennyi cukor volt eredetileg egy-egy ládában?A ládákban a, b, c kg cukor volt.

áttétel előtt: a b c

áttétel után: a − 35 = b + 20 = c + 15

b = a − 55, c = a − 50

A három láda összege nem változott, továbbra is 205 kg.

a − 35 + a − 55 + 20 + a − 50 + 15 = 205

3a − 105 = 205

3a = 310

a = 103 +1

3b = 48 +

1

3c = 53 +

1

3

99. Egy turistaház két emeletén összesen 160 kirándulót helyeztek el. Amikor az első emeletrőlfölment a másodikra 36 ember, akkor a második emeleten háromszor annyian lettek, mint azelsőn. Hány kiránduló volt eredetileg egy-egy emeleten?1. emeleten x, 2. emeleten 160 − x

3(x − 36) = 160 − x + 36

3x − 108 = 196 − x

x = 7676-an az első emeleten, 84-en a második emeleten.

176



100. Gábor és Jutka a tanév folyamán összesen 12 000 Ft-ot gyűjtött. Miután Gábor kapott még3400 Ft-ot, és Jutka elköltött 2500 Ft-ot, akkor Gábornak kétszer annyi pénze lett, mintJutkának. Mennyi pénzt gyűjtött Gábor, mennyit Jutka? Gábor 5200 Ft-ot, Jutka 6800 Ft-ot.

101. Két pénztárgépben összesen 36 616 Ft van.Amikor az első gépből áttettek a másikba 615 Ft-ot, akkor az elsőben még mindig 384 Ft-taltöbb maradt, mint a másodikban. Az elsőben eredetileg 19 115 Ft, a másodikban 17 501 Ft volt.

102. Katinak 1900 Ft-ja van, Évának 300 Ft-ja. Édesanyjuk ugyanannyi pénzt adott mindkettőnek,így Katinak háromszor annyi pénze lett, mint Évának. Hány forintot kaptak édesanyjuktól agyerekek? 500 forintot kaptak.

103. Egy kisebb és egy nagyobb vagon együttes teherbíró képessége 21 tonna. A 16 kisebb és22 nagyobb vagonból álló szerelvény együttes teherbíró képessége 408 tonna.Hány tonna áru fér a kisebb, és mennyi a nagyobb vagonba? 12 t a nagyobba, 9 t a kisebbe.

104. Egy párnahuzathoz és egy dunyhahuzathoz összesen 8,2 méter vászonra van szükség. 56 métervászonból 6 párna és 7 dunyhahuzatot varrtak. Mennyi vásznat használtak fel egy párnahuzat-hoz? 1,4 m vásznat.

105. Két kosár körte ugyanolyan tömegű, mint három kosár alma. Hat kosár körte 27 kg. Mennyi atömege egy kosár almának? 3 kg

106. 15 zsák dió és 25 zsák cukor együttesen 812,5 kg. Egy zsák dió tömege feleannyi, mint egyzsák cukoré. Melyik hány kilogramm? dió: 12,5 kg, cukor: 25 kg

107. Egy ketrecben nyulak és fácánok vannak. Hány nyúl és hány fácán van a ketrecben; ha azállatoknak összesen

a) 53 fejük és 168 lábuk van, 31 nyúl, 22 fácán b) 31 fejük és 124 lábuk van, 31 nyúl, 0 fácán

c) 12 fejük és 158 lábuk van? lehetetlen

108. Egy játéküzlet polcán játékautók és motorkerékpárok vannak. A játékoknak összesen 69 kor-mányuk és 186 kerekük van. Hány kisautó és hány motorkerékpár van a polcokon? 24 autó,

45 motor

109. András, Béla, Csaba és Dénes leültek kártyázni. Négy játszmát játszottak, minden játszmavégén a vesztes megduplázta a többiek pénzét.Az első játszmában András, a másodikban Béla, a harmadikban Csaba, a negyedikben Dénesvesztett. A végén mindannyian egyformán 240 forinttal a zsebükben álltak fel az asztaltól.Kinek mennyi pénze volt a játék kezdetekor?

A B C D

A végén 240 240 240 240 forint volt a vagyonuk.

ez előtt 120 120 120 600

ez előtt 60 60 540 300

ez előtt 30 510 270 150

ez előtt 495 255 135 75 forint volt a kezdő vagyonuk.

177



110. Egy kétjegyű számban a jegyek összege 9. Ha a számjegyeket felcseréljük, az eredetinél 9-celnagyobb számot kapunk.Mi az eredeti szám?

Első jegy Második jegy Értéke

Az eredeti szám: x 9 − x 10x + (9 − x)

Új szám: 9 − x x 90 − 10x + x

Első jegy Második jegy Értéke

Az eredeti szám: x 9 − x 10x + (9 − x)

Új szám: 9 − x x 90 − 10x + x

Az új szám 9-cel nagyobb, mint az eredeti szám: 90 − 9x = 9x + 18, x = 4 Eredeti szám 45.

111. Egy kétjegyű szám jegyeinek aránya 3 : 4. Ha a jegyeket felcseréljük, az új szám az eredeti3

2-szeresénél 8-cal kisebb lesz. Melyik ez a szám?

Jegyei 3x, illetve 4x, értéke 30x + 4x = 34x

Felcserélve: 40x + 3x = 43x

43x =3

2· 34x − 8 x = 1. A szám: 34.

112. Mónika felírt egy kétjegyű számot, majd a számjegyeket felcserélte, így egy 45-tel kisebbszámot kapott, amelyben a számjegyek összege 9 volt. Melyik számot írta fel előszörMónika? 72

113. Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 7. Ha a számjegyeket fölcseréljük, 27-tel nagyobb számotkapunk. Melyik az eredeti kétjegyű szám? 25

114. Egy kétjegyű szám egyik jegye 5-tel nagyobb a másiknál. Ha a jegyeket felcseréljük, az újszám az eredeti háromszorosánál 9-cel kisebb lesz. Melyik ez a szám? 24

115. Egy kétjegyű szám egyik jegye 5-tel nagyobb a másiknál. Ha a jegyeket felcseréljük, az új

szám az eredetinek8

3-szorosa lesz. Melyik ez a szám? 27

116. Két szám összege 53,515. Ha a nagyobbik számban a tizedesvesszőt egy hellyel balra visszük,a kisebbik számot kapjuk. Melyik ez a két szám? 4,865 és 48,65

117. Két szám különbsége 3,87. Ha a kisebbik számban a tizedesvesszőt egy hellyel jobbra visszük,a nagyobbik számot kapjuk. Melyik ez a két szám? 0,43 és 4,3

118. Egy háromjegyű szám jegyeinek az összege 21, a tízesek helyén álló számjegy a másik kétszámjegy számtani közepe. Ha a két szélső jegyet fölcseréljük, 198-cal nagyobb számot kapunk.Melyik volt az eredeti háromjegyű szám? 678

119. – Hány éves vagy bácsikám? – kérdezte Luca.

A bácsi így válaszolt:

– A te éveid száma most2

5-e az én éveim számának. 4 évvel ezelőtt viszont a te éveid száma

1

3-a volt az én mostani koromnak.

Hány éves Luca és mennyi a bácsikája?

Segíthet az egyenlet felállításában, ha kitöltöd a táblázatot:

178



Luca bácsi

most2

5x x

4 évvel ezelőttx

3

Luca bácsi

most2

5x x

4 évvel ezelőttx

32

5x =

x

3+ 4 x = 60

120. – Hány éves a fiad? – kérdezte egy ember a barátját. Az meg így válaszolt:

– Ha a fiam korához hozzáadod az évei számát és még a felét, akkor 10-et kapsz.

Hány éves a fiú? 4 éves

121. Péter 12 éves, édesanyja háromszor annyi. Hány év múlva lesz Péter feleannyi idős, mintédesanyja?

Péter MamájaMost 12 36x év múlva 12 + x 36 + x

24 + 2x = 36 + x x = 12

122. Három fiútestvér közül a középső két évvel idősebb a legfiatalabbnál, a legidősebb fiú életkorapedig néggyel kevesebb, mint a másik kettő életkorának az összege.Hány évesek külön-külön, ha hármójuk életkora együtt 96 év? 46, 26, 24 évesek

Mozgásos feladatok

123. Péter a közeli boltba ment vásárolni. Mozgását az alábbi grafikon szemlélteti. Mit lehetleolvasni a grafikonról?

eltelt idő[perc]

Péterelmozdulása

[m]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100

200

300

a) Milyen távol van a bolt Péterék lakásától?

b) Hány perc alatt ért el Péter a boltba?

c) Hány percig volt a boltban?

d) Mennyi idő alatt járta meg az egész utat?

e) Átlagosan hány métert tett meg percenként?

179



f) Péter mozgását ezen a rajzon is ábrázold!

idő[perc]

bolt[m]

Péterék lakása

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

100 200 300

124. Péterék lakása és a bolt egy út mentén van. Az úton megjelölt helyekre írd fel, hány perc alattért oda Péter! Használd az előző feladat grafikonját!

Péter lakása

0 perc

100 m 200 m 300 mbolt

4

3perc

8

3perc 4 perc

125. Déli 12 órakor A városból a tőle 300 km távolságra levő B városba indul egy autós, ahol őt

délután 5 órakor várják. Két órán keresztül 60km

hsebességgel haladt, amikor motorhiba miatt

egy órát állnia kellett. Milyen sebességgel kell haladnia, hogy a megadott időre B városbaérjen? Az első két óra alatt 120 km-t tett meg. Öt órából két órája maradt a maradék 180 km megtételére.

Sebessége:180 km

2 óra= 90

km

óra.

126. A faluból a tőle 12,5 km távolságra levő B falu felé elindult egy gyalogos, egy órával későbbpedig egy háromszor akkora sebességgel haladó kerékpáros. A kerékpáros 40 perccel előbb értB-be, mint a gyalogos. Mekkora sebességgel haladtak?v: gyalogos sebessége,

3v: kerékpáros sebessége,

12,5

v=

12,5

3v+

5

3

v = 5km

ó, 3v = 15

km

ó(a kerékpáros sebessége).

127. A Balaton két partjáról egy időben indul el egymással szemben egy csónak és egy vitorlás.Azonos útvonalon a csónak három óra, a vitorlás két óra alatt ér el az egyik parttól a szembenfekvő partra, miközben találkoznak. Indulásuk után hány perc múlva találkozik egymással acsónak és a vitorlás?v: a csónak sebessége,

3

2v: a vitorlás sebessége,

t óra múlva találkoznakv · t +

3

2v · t = 3v

(3v: össztávolság)5

2v · t = 3v, t =

6

5h = 72 perc

128. Imre reggel 8 órakor kerékpáron elindult a szomszédos faluba, és 16km

hátlagsebességgel

haladt. Fél órával később motorkerékpárral utánament Béla, aki 40km

hátlagsebességgel követte

Imrét. Mikor érte utol Imrét a motoros? Ekkor hány kilométerre voltak a falujuktól?

16t = 40

(t − 1

2

)t =

5

6h = 50 perc, azaz 8 : 50-kor érte utol Imrét. Ekkor

80

6km-re voltak a falutól.

180



129. Két szomszédos falu közti utat Gábor gyalog 1,2 óra alatt, Dénes kerékpárral 24 perc alatt

tette meg. Dénes 8km

h-val nagyobb átlagsebességgel haladt, mint Gábor. Milyen messze van

egymástól a két falu?

4,8 km-re van a két falu egymástól. (Gábor 4km

h-val, Dénes 12

km

h-val haladt.)

130. Két város, A és B, 120 kilométerre fekszik egymástól. Reggel 8 órakor az A városbólmotorkerékpáros indult a B-be, fél órával később egy autó B-ből az A-ba. A két jármű 9 óra30 perckor találkozott. Mekkora volt a sebességük, ha az autó óránként 15 km-rel többet tettmeg, mint a motorkerékpáros?

v = 42km

ha motorkerékpáros, 57

km

haz autó sebessége. A motoros 42 · 1,5 = 63; az autós 57 km-t tett meg.

131. Kör alakú versenypályán két kerékpáros versenyez. Azegyik másodpercenként 12 méter, a másik 12,5 méterutat tesz meg. Az indításuk után hány perc múlvakörözi le a második versenyző az elsőt, ha a pályahossza 220 méter? Hány kört tett meg ezalatt a kétversenyző? t idő múlva körözi le,

12t + 220 = 12,5t , t = 440 sec = 7 perc 20 sec

Ezalatt 440 · 12 = 5280 és 440 · 12,5 = 5500 métert tesznek meg,

azaz 24, illetve 25 kört.

132. Két falu, A és B, 20 kilométernyire van egymástól. Péter az A faluból indul a B felé, Pál a B

faluból indul az A felé. Mindketten óránként 4 kilométert tesznek meg. Hány órával induljonkésőbb Pál, mint Péter, ha az A falutól 8 km-re akarnak találkozni?Péternek 12 kilométert kell megtennie, ezt 3 óra alatt teszi meg.

Pál 8 kilométert 2 óra alatt tesz meg, azaz ráér 1 órával később indulni.

133. Egy kör alakú pálya 156 méter hosszú. Péter 6,5 métert tesz meg másodpercenként, Pál pedig5,5 métert, és a pálya egy helyéről egyszerre indulnak el ellenkező irányban. Hány másodpercmúlva találkoznak? 6,5t + 5,5t = 156 (t sec múlva talalkoznak), ebből t = 13 sec a találkozás ideje.

134. Egy gyalogos és egy kerékpáros 8 órakor ugyanarról a helyről elindultak a 12 km-re fekvő

városba. A gyalogos 6km

h, a kerékpáros 18

km

hsebességgel haladt. A kerékpáros húsz percet

időzött a városban, aztán visszafordult, és ugyanazon az úton indult hazafelé, mialatt a gyalogosmegállás nélkül a város felé haladt. A várostól milyen távol és mikor találkoztak? 915-kor

találkoztak a várostól 4,5 km-re.

135. Péter 8 órakor indult útnak gyalog, Pál 10 órakor indult utána kerékpáron. Pál 11 órakor érteutol Pétert. Milyen sebességgel ment Péter és milyen sebességgel ment Pál, ha Pál sebessége

8km

h-val volt több Péterénél? Péter 4

km

h, Pál 12

km

hsebességgel ment.

136. Egy utazó útjából hátra van még 252 km. Eddigi tapasztalatai alapján naponta legalább12 km-t, legfeljebb 18 km-t tesz meg. Hány napot tervezzen ennek alapján a hátralevő 252 kmmegtételéhez? Legalább 14 és legfeljebb 21 napot.

181



Munkavégzéssel kapcsolatos feladatok

137. Egy medencében cserélik a vizet. Az egyik oldalon mérőbeosztás van. 10 percenként nézzükmeg a víz szintjét! Miután a víz kifolyik, tiszta vizet engednek a medencébe. Ekkor is10 percenként nézzük meg a víz állását! A víz szintje mindkét esetben egyenletesen változik.Fejezd be a rajzot!

idő[perc]

A víz magassága [m]

0 10 20 30 40 50 60 70

1

2

3

4

idő[perc]

A víz magassága [m]

0 10 20 30 40 50 60 70

1

2

3

4

Mennyi idő alatt lett üres a medence? 40 perc Mennyi idő alatt telt meg a medence? 53 +1

3perc

Állapítsd meg a rajz alapján, hogy leeresztéskor vagy feltöltéskor változik-e gyorsabban avízszint! Leeresztéskor.

138. A gazdaság kertjét 2 motoros szivattyúval öntözik. Ha csak a nagyobb szivattyú működik, 4 óraalatt lesznek készen, ha csak a kisebbik, 9 óra alatt. Mennyi idő alatt lennének készen, ha minda két szivattyút használnák?

Az egyik szivattyú 1 óra alatt a kert1

4-ét, a másik

1

9-ét, a kettő együtt összesen

13

36-át öntözi. A kettővel együtt

így36

13óra alatt végzünk.

139. Egy munkát az első brigád 12 nap alatt, a második brigád 15 nap alatt végezne el.A két brigád együtt fogott hozzá ehhez a munkához, de néhány nap múlva az első brigád másmunkát kapott, így a munka hátralevő részét a második brigád 6 nap alatt fejezte be. Hánynapig tartott az egész munka elvégzése?

n: napok száma. Első brigád: a munkan − 6

12része, második brigád: a munka

n

15része.

n − 6

12+

n

15= 1

n = 10 10 napig tartott a munka.

140. A fürdőmedencébe három csapon át tudunk vizet tölteni. Az első csap egyedül 10 óra alatt töltimeg a medencét. A második csap egyedül 6, a harmadik pedig 5 óra alatt tölti meg.Mennyi idő alatt telik meg a medence, haa) mindhárom csapból együtt töltjük,b) kezdetben mindhárom csap nyitva van, de 1 óra múlva az elsőt elzárjuk? t idő alatt telik meg.

a)t

10+

t

6+

t

5= 1

3t + 5t + 6t = 30

t =30

14[óra]

b)1

10+

t

6+

t

5= 1

11t = 27

t =27

11[óra]

182



141. Ímhol egy sakál, egy kutya és egy farkas. Megesznek együtt egy birkát. A sakál egyedül 1 óraalatt falná fel a birkát. A farkas 3 óra alatt. A kutya 6 óra alatt. Most az a kérdés, hogy ha minda hárman együtt eszik a birkát, mennyi idő alatt falják fel azt?

(Régi matematikakönyvből, 1489-ből)

t óra alattt

1 óra+

t

3 óra+

t

6 óra= 1

6t + 2t + t = 6 óra

9t = 6 óra

t =2

3óra = 40 perc

142. János a kertet 8 óra alatt ássa fel. Béla gyorsabban dolgozik, ő 6 óra alatt végez ugyanezzel

a munkával. Idén tavasszal együtt láttak munkához. Hány óra alatt végeztek vele? 3 +3

7óra ≈

≈ 3 óra 26 perc

143. Edisonnak – a szénszálas izzó feltalálójának – jó érzéke volt a szellemes megoldásokhoz.Nagyszámú vendégserege egyszer szóvá tette, hogy túl nehéz a ház előtti kertajtót kinyitni.Egyik barátja így szólt:– Egy ilyen technikai zseni, mint te, igazán megcsinálhatná a kertajtót, hogy rendesen

működjön.Edison mosolyogva válaszolt:– Elhihetitek, hogy a kapumat értelmesen terveztem meg. Rákötöttem a ciszternára, és

mindenki, aki hozzám jön, egy ajtónyitással 20 l vizet pumpál a víztárolómba.Amikor Edison 20 literes edényről 25 literes edényre tért át, 12 látogatóval kevesebb kellett aciszterna megtöltéséhez. Hány liter víz fért a ciszternába?1 nyitás 20 l víz. x nyitással megtelik a tartály. 1 nyitás 25 l víz. x − 12 nyitással telik meg a tartály. Mindkét

esetben ugyanakkora a ciszterna térfogata 20x = 25(x − 12) x = 60 A ciszterna 60 · 20 = 1200 l térfogatú.

144. Két gyertyát gyújtunk meg egyszerre. Az egyik 10 cm magas. Ez percenként 5 mm-rel leszrövidebb. A másik 8 cm magas. Ez 16 perc alatt ég le. Ábrázold, mikor milyen magasak agyertyák! A második gyertya 80 mm leégéséhez 16 perc, 5 mm leégéséhez 1 perc, tehát azonos sebességgel

égnek el, ezért párhuzamos a két grafikon.

183



Olvasd le a rajzróla) mikor lesz ugyanolyan magas a két gyertya! Soha.

b) mikor lesz a második gyertya kétszer olyan magas, mint az első! Soha.

c) mikor lesz az első gyertya kétszer olyan magas, mint a második! A meggyújtás után 12 perccel.

145. Két gyertyánk van. Hosszuk és vastagságuk különböző. A hosszabbik 3,5 óra alatt ég csonkig,a rövidebbik 5 óra alatt.Egyszerre gyújtottuk meg őket és most, 2 óra múlva egyenlő hosszúak. Eredetileg hányszorakkora volt az egyik gyertya, mint a másik?Hosszabbik x, rövidebbik y cm.

3,5 óra alatt x cm ég le, 2 óra alatt2

3,5x =

4

7x cm ég le. Jelenlegi magassága: x − 4

7x =

3

7x cm.

A másik gyertya 5 óra alatt y cm-t fogy, 2 óra alatt2

5y cm-t fogy. Jelenlegi magassága: y − 2

5y =

3

5y cm.

Most egyenlő magasak:3

7x =

3

5y

x

7=

y

5

x =7

5y, tehát eredetileg a hosszabbik gyertya

7

5-szöröse volt a rövidebbiknek.

Százalékszámítással kapcsolatos feladatok

146. A matematikaverseny járási fordulóján kiesett a tanulók 95%-a. A döntőbe a megyei fordulóbanrészt vevők 2%-a jutott be. A döntőn 23 tanuló volt jelen. Hányan indultak a járási és a megyeifordulón?

x tanuló indult. A járási versenyről továbbjutott x · 5

100, a megyei fordulóról x · 5

100· 2

100jutott a döntőbe.

x · 5

100· 2

100= 23

x = 23 000 ennyien indultak a járási fordulóban.

A megyei fordulóban 23 000 · 5

100= 1150-en versenyeztek.

147. Egy könyv ára kötve 2400 Ft. A kötés ára a kötetlen könyvek árának 20%-a. Mennyibe kerül

a kötetlen könyv? x + x · 20

100= 2400 x = 2000 Ft

148. Egy város lakóinak száma az év végén 78 000. A szaporulat az év folyamán 4% volt. Hány

lakosa volt a városnak az év elején? x · 104

100= 78 000 x = 75 000

149. Háromnapos kerékpártúránk első napján megtettük a teljes útvonal 30%-át és még 5 kilométert.A második napon a hátralevő út 60%-át tettük meg. A harmadik napra 45 km maradt. Hánykilométeres volt a kerékpártúra?A teljes út x km.

megtett út maradék út

1. nap 0,3x + 5 0,7x − 5

2. nap (0,7x − 5) · 0,6 (0,7x − 5) · 0,4

megtett út maradék út

1. nap 0,3x + 5 0,7x − 5

2. nap (0,7x − 5) · 0,6 (0,7x − 5) · 0,4

184



3. nap: (0,7x − 5) · 0,4 = 45

0,28x − 2 = 45

0,28x = 47

x ≈ 167,8A kerékpártúra 167,8 km-es volt.

150. Két szám összege 2490. Az egyik szám 13%-a egyenlő a másik szám 17%-ával. Melyik ez akét szám?a + b = 2490

b = 2490 − aa · 13

100= (2490 − a) · 17

100a = 1411, b = 1079

151. Két szám különbsége 420. Az egyik szám 3%-a egyenlő a másik szám 8%-ával. Melyik ez a

két szám? a = b + 420, a · 3

100= b · 8

100(b + 420) · 3 = 8b a = 672, b = 252

152. Egy kaszásokból álló brigád az első napon lekaszálta egy rét felét és még két hektárt, a másodiknapon a megmaradt terület 25%-át és a még hátralevő 6 hektárt. Mekkora volt a rét területe?(

t

2− 2

)· 0,75 = 6

t

2= 10, t = 20 20 hektár volt a rét területe.

153. Két fiú sakkot szeretne venni. Az egyiknek hiányzik a pénzéből a sakk árának 10%-a, a

másiknak az ár1

6része. Megveszik a sakkot közösen, kiderül, hogy a pénzük 44 Ft-tal volt

több, mint a sakk ára. Mennyibe kerül a sakk?

x a sakk ára. x · 100 − 10

100+ x ·

(1 − 1

6

)= x + 44

x · 9

10+ x · 5

6= x + 44

x · 11

15= 44

x = 60 Ft

154. Két kannában összesen 16 liter benzin volt. Mindegyikből kivettek egy litert, és így az első

kannában maradt benzin 25%-a a második kannában maradt benzin1

3részével lett egyenlő.

Hány liter benzin volt eredetileg az egyes kannákban?

Eredetileg a liter és b liter volt az egyes kannákban. b = 16 − a

(a − 1) · 25

100= (b − 1) · 1

3

(a − 1) · 1

4= (15 − a) · 1

3a = 9 liter, b = 7 liter

155. Egy város lakóinak száma 1950-től a következő népszámlálásig – 1960-ig – 8%-kal növekedett,és a következő 10 év elteltével 10%-kal növekedett a város lakóinak száma az előző népszám-láláskor tapasztalt létszámhoz képest. 1970-ben a város lakóinak a száma 52 272 volt. Mennyivolt a város lakóinak száma 1950-ben?

x: a lakosok száma 1950-ben. x · 108

100· 110

100= 52 272

x = 44 000

185


N�gyzetgy�k

NÉGYZETGYÖK, PITAGORASZ-TÉTEL

156. Sorold fel az összes háromjegyű négyzetszámot!100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961

157. Melyik szám négyzete?1369 37 3136 56 6889 83 6561 81 35 721 189 94 864 308

158. Normálalakban adtuk meg a számokat. Melyik nem négyzetszám? Válaszodat indokold!

1,44 · 102 4 · 103 6,25 · 102 9 · 105 9,61 · 104 1,296 · 103

A 4 · 103 és a 9 · 105 végén páratlan sok nulla van, ezért egyik sem lehet négyzetszám. A többi szorzat felírható

egy-egy pozitív egész szám négyzeteként.

159. Melyik állítás hamis?

a) 1,232 = 1,512 b)√

3 < 1,8 c)√

2 > 1,415

1,232 > 1,512√

3 > 1,7√

2 −∣∣∣√2

∣∣∣ = 0

1,232 − 0,5 > 0,012√

3 − 2 > 0√

2 +√

2 = 2

1,232 − 1,23 = 1,23 2 −√

3 > 0(√

2)2

= 2

a) 1,232�1,512 b)

√3 − 2 �> 0 c)

√2 �> 1,415

1,232 − 1,23�1,23√

2 +√

2�2.

A felsorolt állítások hamisak, a többi igaz.

160. Melyik hamis?

a)√

121 ·√

144 =√

121 · 144 b)√

25 ·√

25 = 52 c)

√400√900

=2

3

d)√

625 :√

125 =√

625 : 125 e)√

64 −√

16 =√

64 − 16 f)√

256 +√

324 =√

580Az e), f) állítások hamisak.

161. Határozd meg a számok négyzetét!

a) 4,26 �→ 18,15; 8,75 �→ 75,56; 2,9 �→ 8,410; 6,01 �→ 36,12; 5,99 �→ 35,88; 7,08 �→ 50,13;8,4 �→ 70,56

b) 42,6 �→ 1815; 875 �→ 765 600; 0,29 �→ 0,0841; 60,1 �→ 3612; 599 �→ 358 800;0,00708 �→ 0,000 050 13; 8400 �→ 70 560 000.

162. Határozd meg a számok négyzetgyökét!a) 0 0 b) −196 nincs értelmezve c) 4,41 2,1 d) 4,0804 2,02

e) 43,56 6,6 f) 70 ≈ 8,37 g) 50,27 ≈ 7,09 h) 81,18 ≈ 9,01

i) 89,11 ≈ 9,44 j) 99,80 ≈ 9,99

163. Határozd meg a számok négyzetgyökét!a) 12,25 b) 122,5 c) 1225 d) 1,225 e) 0,1225

3,5 ≈ 11,07 35 ≈ 1,107 0,35

f) 65,61 g) 656 100 h) 0,6561 i) 6,561 j) 656,18,1 810 0,81 ≈ 2,56 ≈ 25,6

186


N�gyzetgy�k

164. Mennyi a négyzet területe, ha oldala

a) 1,51 m, b) 15,1 m, c) 0,151 m, d) 0,0151 m, e) 1510 m?

2,2801 m2 228,01 m2 0,022 801 m2 0,000 228 m2 2 280 100 m2

165. Mennyi a négyzet oldala, ha területe

a) 1296 cm2, b) 129,6 cm2, c) 12,96 cm2, d) 1,296 cm2, e) 0,1296 cm2?

36 cm ≈ 11,4 cm 3,6 cm ≈ 1,14 cm ≈ 0,36 cm

166. Mennyi a kocka felszíne, ha éle

a) 6,3 m, b) 63 dm, c) 630 dm, d) 630 m, e) 0,63 m?

238,14 m2 23 814 dm2 2 381 400 dm2 2 381 400 m2 2,3814 m2

167. Mekkora a kocka éle, ha felszíne

a) 384 cm2, b) 38,4 cm2, c) 3,84 cm2, d) 0,384 cm2, e) 3840 cm2?

8 cm ≈ 2,5 cm 0,8 cm ≈ 0,25 cm ≈ 25,3 cm


a) x2 = 81 b) x2 = 0,64 c) x2 + 12 = 156 d) x2 − 0,09 = 0,07

9; −9 0,8; −0,8 12; −12 0,4; −0,4

e) (x − 4)2 = 0 f) x2 − 4 = 0 g) (x + 5)2 = 16 h) (x − 2)2 = −4

4 2; −2 −1; −9 nincs megoldás,

mert negatív szám négyzetgyökét nem értelmezzük

169. Az eljárást folytatva akármilyen pozitív egész szám négyzet-gyökét meg lehetne szerkeszteni. Igazold az eljárás helyességét!

Szerkeszd meg a√

13 hosszúságú szakaszt!Mindig derékszögű háromszöget rajzolunk, melynek egyik befogója 1.

Általában: 12 +(√

a)2 = 1 + a = a következő átfogó négyzete ⇒ következő

átfogó =√

1 + a

A√

13-at egyszerűbben megkaphatjuk egy 2, illetve 3 egység befogójú

derékszögű háromszög átfogójaként.

Hosszúság és terület meghatározása rácson

170. a) Mekkora az A, illetve a B négyzet területe? A területmérés egysége: 1 .tA = 18 területegység; tB = 20 területegység.

b) Mekkora része a nagy négyzet területének az A, illetvea B négyzet területe?

tA a nagy négyzet18

36=

1

2része, tB a nagy négyzet

20

36=

5

9része.

c) Add meg az A, illetve a B négyzet oldalának hosszát egy tizedesjegy pontossággal!

Az A négyzet oldala:

3

3a a2 = 2 · 32 = 18

a =√

18 ≈ 4,2

A B négyzet oldala:

2

4 bb2 = 22 + 42 = 20

b =√

20 ≈ 4,5

187


N�gyzetgy�k

d) Melyik színezett terület egyezik meg az A, illetve a B négyzet területével?C) D) E) F)

G) H) I) J)

tA = C, D, F , G tB = E, H , I , J

171. Melyik állítás igaz?

B

b

a) A piros és a szürke négy-zet egybevágó. Hamis, mert

a piros négyzet területe 90 egy-

ség, a másiké kisebb, 85 egy-

ség.

b) A b szakasz hossza ugyan-akkora, mint a B négy-zet oldala. Hamis, mert a b

szakaszra állított négyzet terü-

lete 41 egység, kisebb, mint a

B négyzet területe.

172. Melyik sokszög nem egyenlő oldalú? Mérésedet számítással ellenőrizd! A, B, C, E, G

A

B

C

D

E

F

G

188



Pitagorasz-tétel

173. Mennyi a háromszögek oldalaira rajzolt négyzetek területe? Írd be a táblázatba! Melyikháromszögekre igaz, hogy tI. + tII. = tIII.?

a) b) c) d) e) f) g) h)

I. 1 2 4 5 4 1 8 2

II. 4 5 9 5 5 2 10 8

III. 5 5 13 10 5 5 10 10

a) b) c) d) e) f) g) h)

I. 1 2 4 5 4 1 8 2

II. 4 5 9 5 5 2 10 8

III. 5 5 13 10 5 5 10 10

A Pitagorasz-tétel alkalmazása

174. a) Milyen messze vannak a koordináta-rendszer kezdőpontjától az alábbi tükrös négyszögekcsúcsai?

b) Milyen hosszú az átlójuk?

c) Mekkora a kerületük, illetve a területük? A hosszúságmérés egysége: 1 .

189



1. (húrtrapéz) 2. (deltoid) 3. (téglalap)

a) A 2 4√

29 ≈ 5,4

B 7√

32 ≈ 5,6√

17 ≈ 4,1

C√

45 ≈ 6,7 4√

8 ≈ 2,8

D√

18 ≈ 4,2√

18 ≈ 4,2√

20 ≈ 4,5

b) az átlók hossza 5√

32 ≈ 5,6√

65 ≈ 8,06√

98 ≈ 9,9

c) kerület 14,4 2(√

58 + 4) ≈ 23,2 2(√

20 +√

45) ≈ 22,4

terület 12√

32 ·√

98/2 = 28√

20 ·√

45=√

900 = 30

175. Számítsd ki a kérdezett hosszúságokat! Számítsd ki a háromszögek területét!

a) b) c)

a) c =√

324 + 900 =√

1224 ≈ 35 [cm] T = 270 cm2

b) b =√

1225 − 576 =√

649 ≈ 255 [cm] = 25,5 dm T ≈ 306 dm2

c) c =√

50 ≈ 7,1 [cm] T = 12,5 cm2

176. A derékszögű háromszögek befogóit a-val, b-vel, átfogóját c-vel jelöltük. Számítsd ki aderékszögű háromszögek két oldalából a harmadikat!

a 14 60 8 27 390 72 0,28 3,2 7,2 11

b 48 25 15 120 800 65 0,45 12,6 15,4 9,6

c 50 65 17 123 890 97 0,53 13 17 14,6

a 14 60 8 27 390 72 0,28 3,2 7,2 11

b 48 25 15 120 800 65 0,45 12,6 15,4 9,6

c 50 65 17 123 890 97 0,53 13 17 14,6

177. Határozd meg a derékszögű háromszögek hiányzó oldalát! Egy tizedesjegy pontossággalszámolj! A derékszögű háromszögek befogóit a-val, b-vel, átfogóját c-vel jelöltük.

a 4,7 14 224,4 0,4 3,6 1,7

b 5,2 28,7 205 0,9 7,1 1,0

c 7 32 304 1 8,0 2,0

a 4,7 14 224,4 0,4 3,6 1,7

b 5,2 28,7 205 0,9 7,1 1,0

c 7 32 304 1 8,0 2,0

178. Számítsd ki a kérdezett hosszúságokat!a) b) c)

190



a) a =√

242 − 122 =√

432 ≈ 20,8 [cm]

b) b =√

6,882 − 3,442 =√

35,5008 ≈ 5,958 [m]

c) 2a2 = 502

a2 =502

2

a =

√502

2=

√2500

2=

√1250 ≈ 35,36 [m]

179. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszögek kérdezett hosszúságait!

a)

m = 12 cm

a = 10 cm

b =? b

b)

m =?a = 96 cm

5 dm 5 dm

c)

2 m

a =?

5,2 m

b2 = 122 + 52 = 169

b =√

169 = 13 [cm]

m2 = 502 − 482 = 196

m =√

196 = 14 [cm]

(a : 2)2 = 5,22 − 22 = 23,04

a : 2 =√

23,04 = 4,8 [m]

a = 9,6 m

180. Egy szabályos háromszög kerülete 19,2 cm. Mekkora a területe?

3,2 cm

m6,4 cm

a = 19,2 : 3 = 6,4 [cm]

m2 = 6,42 − 3,22 = 30,72

m =√

30,72 ≈ 5,5 [cm]

t = a · m : 2 = 6,4 · 5,5 : 2 = 17,6 [cm2]

181. Egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai pitagoraszi számhár-

a = 30 cm

b = 40 cm50 cm

mast alkotnak. Mekkora a háromszög területe, ha a kerülete 120 cm?

a = 30 cm, b = 40 cm, c = 50 cm

t =ab

2=

30 · 40

2= 600 [cm2]

182. Számítsd ki egy 28 cm oldalú négyzet átlójának hosszát!

e

28 cm

28 cm

e2 = 2 · 282 = 1568

e =√

1568 ≈ 39,6 [cm]

191



183.

e

b = 15 cm

a = 9 cm

Egy téglalap kerülete 48 cm, oldalainak aránya 3 : 5. Mekkora a téglalap területe? Mekkora azátlója?

a + b = 24 cm

a = 3 · 3 cm = 9 cm

b = 5 · 3 cm = 15 cm

t = ab = 135 cm2

e =√

92 + 152 =√

306 ≈ 17,5 [cm]

184. Milyen hosszú neoncsőből készültek az egyes betűk, ha a téglalap oldalai 12 cm és 24 cmhosszúak?

V = 2 ·√

612 ≈ 49,5 [cm]

A = 55,5 cm

N = 2 · 24 +√

122 + 242 ≈ 48 + 26,8 = 74,8 [cm]

E = 2 · 12 + 24 + 6 = 54 [cm]

K = 24 + 6 +√

720 ≈ 30 + 26,8 = 56,8 [cm]

185. Egy téglalap oldalainak aránya 1 : 3, az átlója 14,40 m. Mekkora a kerülete?

x

3x 14,40 m

(3x)2 + x2 = 14,40

9x2 + x2 = 207,36

10x2 = 207,36

x =√

20,736 ≈ 4,55 [m]

a ≈ 4,55 m, b ≈ 13,65 m, k ≈ 32,6 m

186. Mekkora a 14,4 dm sugarú körbe írt négyzet oldala? a

aa √2

2a2 = 28,82

a =√

829,44 : 2 ≈√

414,72 ≈ 20,4 [dm]

187. Lehet-e egy 28 cm átmérőjű körbe 20 cm oldalú négyzetet szerkeszteni?Nem lehet, mert a négyzet átlója közel 28,3 cm, ami nagyobb, mint 28 cm.

188. Milyen távol van a 4 cm sugarú kör középpontjától az a húr, amelynek hossza 6 cm

4 cm d6 cm?

d2 = 42 − 32 = 7

d =√

7 ≈ 2,6 [cm]

189. Milyen hosszú az a húr, amely egy 3 cm sugarú körben a középponttól 2 cmh

3 cm2 cm távolságban halad?

(h : 2)2 = 32 − 22 = 5

h = 2 ·√

5 ≈ 4,5 [cm]

192



190. A Libegőt 1971. augusztus 20-án nyitották meg.A szintkülönbség 262 m, a vízszintesen mért hossza1040 m.

a) Milyen hosszú a pálya?

1040 m

262 mh

h2 = 10402 + 2622 = 1 150 244

h =√

1 150 244 ≈ 1072,5 [m] = 1,075 [km]

Körülbelül 1,075 km hosszú a pálya.

b) Mennyi idő alatt érünk fel a pálya tetejére, ha az ülések sebessége 5,4km

h?

menetidő =út

sebesség= 1,0725 : 5,4 ≈ 0,2 [h]. A menetidő körülbelül 12 perc.

191. Maximum milyen hosszú a lámpát tartó kifeszített huzal, ha alámpa 8 m-nél lejjebb nem kerülhet?

2 m

9 m

h

h2 = 92 + 22 = 85

h =√

85 ≈ 9,22 [m]

A kötél hossza legfeljebb 18,44 m (cm-re kerekítve) és legalább 18 méter.

192. Milyen hosszú a szívószál, ha 5 cm hosszú része lóg ki a pohárból?

A szívószál hossza körülbelül 16,2 cm.

x

5

5

10

x2 = 102 + 52 = 100 + 25 = 125

x =√

125 cm ≈ 11,2 cm

193. Az a, b, c egy-egy háromszög oldalait jelölik. Döntsd el, hogy az alábbi adatokkal meghatáro-zott háromszögek közül melyek hegyes-, derék-, illetve tompaszögűek!

a 5 6 7 7 10 10 11 14b 12 12 24 23 24 24 59 48c 13 13 25 25 26 28 62 50

dsz hsz dsz tsz dsz tsz tsz dsz

a 5 6 7 7 10 10 11 14b 12 12 24 23 24 24 59 48c 13 13 25 25 26 28 62 50

dsz hsz dsz tsz dsz tsz tsz dsz

193



194. Milyen hosszú drótból készíthető el az ábrán látható gúla élváza, ha a gúla beírható egy 15 cmélű kockába?

a)

15 cmAB

CD

E

HG

F

b)

15 cmAB

CD

E

HG

F

c)

15 cmAB

CD

EK

d)

15 cmAB

CD

E

HG

I

a) A testnek 8 éle van. AB = BC = CD = DA = CG = 15 cm, mert a kocka oldalélei;

BG = DG =√

152 + 152 =√

450 cm, mert a kocka lapátlói;

AG =√

152 + 152 + 152 =√

675 cm, mert a kocka testátlója.Az élváz 5 · 15 + 2 ·

√450 +

√675 ≈ 143,41 cm hosszú.

b) A testnek 6 éle van. BF = FG = FE = 15 cm, mert a kocka oldalélei;

BE = BG = EG =√

152 + 152 =√

450 cm, mert a kocka lapátlói.Az élváz 3 · 15 + 3 ·

√450 ≈ 108,64 cm hosszú.

c) A testnek 8 éle van. AB = BC = CD = DA = 15 cm, mert a kocka oldalélei. Az

A

15

E

√450

2KAK szakasz az AEK derékszögű háromszög átfogója, a Pitagorasz-tétel alapján AK =

=

√152 +

450

4=

√1350

4cm = BK = CK = DK .

Az élváz 4 · 15 + 4 ·√

1350

4≈ 133,48 cm hosszú.

d) A testnek 8 oldaléle van. AB = BC = CD = DA = 15 cm, mert a kocka oldalélei.A többi él hossza derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétel alkalmazásával kiszámítható az alábbiak szerint:

D

15

H 5I

C

15

G10I

A

√450

H 5I

B

I

√325

15C

DI =√

152 + 52 =

=√

250 cm

CI =√

152 + 102 =

=√

325 cm

AI =√

450 + 52 =

=√

475 cm

BI =√

325 + 152 =

=√

550 cm

Az élváz 4 · 15 +√

250 +√

325 +√

475 +√

550 ≈ 139,09 cm hosszú.

194



GEOMETRIAI ISMÉTLŐ FELADATOK

195. A távolság egységeiTöltsd ki a táblázatot!

mm cm dm m km μm

1 mm = 1 0,1 0,01 0,001 0,000 001 1000

1 cm = 10 1 0,1 0,01 0,000 01 10 000

1 dm = 100 10 1 0,1 0,0001 100 000

1 m = 1000 100 10 1 0,001 1 000 000

1 km = 1 000 000 100 000 10 000 1000 1 109

1 μm = 0,001 0,0001 0,000 01 0,000 001 10−9 1

mm cm dm m km μm

1 mm = 1 0,1 0,01 0,001 0,000 001 1000

1 cm = 10 1 0,1 0,01 0,000 01 10 000

1 dm = 100 10 1 0,1 0,0001 100 000

1 m = 1000 100 10 1 0,001 1 000 000

1 km = 1 000 000 100 000 10 000 1000 1 109

1 μm = 0,001 0,0001 0,000 01 0,000 001 10−9 1

196. A terület egységeiTöltsd ki a táblázatot! Normálalakban is írhatod a mérőszámokat.

mm2 cm2 dm2 m2 km2

1 mm2 = 1 0,01 0,0001 0,000 001 10−12

1 cm2 = 100 1 0,01 0,0001 10−10

1 dm2 = 10 000 100 1 0,01 10−8

1 m2 = 1 000 000 10 000 100 1 0,000 001

1 km2 = 1012 1010 108 1 000 000 1

mm2 cm2 dm2 m2 km2

1 mm2 = 1 0,01 0,0001 0,000 001 10−12

1 cm2 = 100 1 0,01 0,0001 10−10

1 dm2 = 10 000 100 1 0,01 10−8

1 m2 = 1 000 000 10 000 100 1 0,000 001

1 km2 = 1012 1010 108 1 000 000 1

197. A térfogat egységeiTöltsd ki a táblázatot! Normálalakban is írhatod a mérőszámokat.

mm3 cm3, ml cl dl dm3, l m3

1 mm3 = 1 0,001 0,0001 0,000 01 0,000 001 10−9

1 cm3 = 1 ml = 1000 1 0,1 0,01 0,001 0,000 001

1 cl = 10 000 10 1 0,1 0,01 0,000 01

1 dl = 100 000 100 10 1 0,1 0,0001

1 dm3 = 1 l = 1 000 000 1000 100 10 1 0,001

1 m3 = 109 1 000 000 100 000 10 000 1000 1

mm3 cm3, ml cl dl dm3, l m3

1 mm3 = 1 0,001 0,0001 0,000 01 0,000 001 10−9

1 cm3 = 1 ml = 1000 1 0,1 0,01 0,001 0,000 001

1 cl = 10 000 10 1 0,1 0,01 0,000 01

1 dl = 100 000 100 10 1 0,1 0,0001

1 dm3 = 1 l = 1 000 000 1000 100 10 1 0,001

1 m3 = 109 1 000 000 100 000 10 000 1000 1

198. A szög egységei, szögek fajtáiTöltsd ki a táblázatot!

nullszög hegyesszög derékszög tompaszög egyenesszög homorúszög teljesszög

0◦ 0◦ < α < 90◦ 90◦ 90◦ < α < 180◦ 180◦ 180◦ < α < 360◦ 360◦

0 0 < α <π

2π

2

π

2< α < π π π < α < 2π 2π

nullszög hegyesszög derékszög tompaszög egyenesszög homorúszög teljesszög

0◦ 0◦ < α < 90◦ 90◦ 90◦ < α < 180◦ 180◦ 180◦ < α < 360◦ 360◦

0 0 < α <π

2π

2

π

2< α < π π π < α < 2π 2π

195



199. a) Hány egyenest határozhat meg négy kü-lönböző pont? 1, 4, 6

b) Hány egyenest határozhat meg öt különböző pont? 1, 5, 6, 8, 10

200. a) Hány háromszöget határozhat meg négy különböző pont? 0, 3, 4

b) Hány háromszöget határozhat meg öt különböző pont? 0, 6, 8, 9, 10

201. Egy konvex szögtartományban jelölj ki nyolc olyan félegyenest,amelyeknek kezdőpontja a szög csúcsa!

a) Hány szögtartományt határoznak meg a félegyenesek?10 · 9

2= 45

b) Hány „tiszta szögtartományt” határoz meg a nyolc félegyenes? 9

(A „tiszta szögtartomány” nem tartalmaz belsejében egyetlenmegjelölt félegyenest sem.)

202. Az alábbi hosszúságok közül melyikre illik az A, B, C, D, E, F , G állítás?A: A várhegyi alagút hosszának közelítőleg tízszerese. A millenniumi földalatti vasút pályahossza.

B: 1 mm-nek látszik az 1 : 2 400 000 léptékű térképen. A Kheopsz-piramis alapéle.

C: 109 dm nagyságrendű. A Föld–Hold távolság, 105 km = 109 dm nagyságrendű.

D: 17 m-rel kevesebb, mint az 1 km kerületű négyzet oldala. A Kheopsz-piramis alapéle.

E: Egy 900 m oldalú négyzet kerülete is ekkora. A millenniumi földalatti vasút pályahossza.

F : Ha 25-szörösre nagyítanánk, a Kaszpi-tenger kerületét kapnánk. A Balaton kerülete.

G: Ez a hosszúság úgy aránylik az Országház kupolacsarnokának magasságához, mint a Dunamagyarországi szakaszának a hossza kétmillió egymásra helyezett papírlap vastagságához.A Tisza hossza

x : 96 m = 400 km : 40 000 000 μm = 400 000 : 40 ⇒ x = 960 000 m

1 μm: gömbbaktérium 2,4 km: az Andrássy út hossza

7 μm: vörösvértest 3,6 km: a millenniumi földalatti vasútpályahossza

20 μm: papírlap vastagsága 28,8 km: a Velencei-tó kerülete

20–60 μm: egy szem virágpor 240 km: a Balaton kerülete

500 μm: amőba 400 km: a Duna magyar szakasza

10 mm: záporcsepp 960 km: a Tisza hossza8–10 m: vagon hossza 2850 km: a Duna teljes hossza

1 μm: gömbbaktérium 2,4 km: az Andrássy út hossza

7 μm: vörösvértest 3,6 km: a millenniumi földalatti vasútpályahossza

20 μm: papírlap vastagsága 28,8 km: a Velencei-tó kerülete

20–60 μm: egy szem virágpor 240 km: a Balaton kerülete

500 μm: amőba 400 km: a Duna magyar szakasza

10 mm: záporcsepp 960 km: a Tisza hossza8–10 m: vagon hossza 2850 km: a Duna teljes hossza

196



96 m: az Országház kupolacsarno-kának magassága

6000 km: a Kaszpi-tenger kerülete

233 m: a Kheopsz-piramis alapéle 363 500 km: Föld–Hold távolság

350 m: a várhegyi alagút hossza 150 millió km: Föld–Nap távolság

96 m: az Országház kupolacsarno-kának magassága

6000 km: a Kaszpi-tenger kerülete

233 m: a Kheopsz-piramis alapéle 363 500 km: Föld–Hold távolság

350 m: a várhegyi alagút hossza 150 millió km: Föld–Nap távolság

203. Adott egy K középpontú 4 cm sugarú körlap és a kör AB

átmérője. Szerkeszd meg a körlap azon pontjait, amelyek A-tól ésB-től egyenlő távolságra, a K-tól pedig legalább 2 cm-re vannak!

204. Adott egy AB szakasz, hossza 5 cm.Szerkeszd meg azokat a pontokat, ame-lyek az A ponthoz közelebb vannak,mint B-hez, ugyanakkor a szakasztóllegfeljebb 1,5 cm-re helyezkednek el!

205. Az AB szakaszt a C pont 3 : 8 arányban, a D pont pedig 5 : 6 arányban osztja. A CD szakaszhossza 18 egység. Hány egység az AB szakasz hossza?

A C =3

11AB és AD =

5

11AB CD = AD − AC =

2

11AB = 18 ⇒ AB = 99 egység.

Ellenőrzés:

206. A PS szakaszt a Q pont 1 : 3 arányban, az R pont pedig 17 : 11 arányban osztja. A QR szakaszhossza 12 cm. Mekkora a PS szakasz?

PQ =1

4PS és PR =

17

28PS QR = PR − PQ =

5

14PS = 12 cm ⇒ PS = 33,6 cm

Ellenőrzés:

Háromszögek

207. Töltsd ki a táblázatot! Írj fel igaz állításokat a táblázat alapján!Például: Ha a háromszögnek pontosan két oldala egyenlő, akkor a háromszög külső szögeiközül kettő egyenlő tompaszög.

A háromszög 3 oldala egyenlő pontosan 2 oldala egyenlő 3 oldala különböző

belső szögei 60◦-osak közül két hegyesszög egyenlő különbözők, közülüklegalább kettő hegyesszög

külső szögei 120◦-osak közül kettő egyenlő tompa-szög

különbözők, közülük legalábbkettő tompaszög

A háromszög 3 oldala egyenlő pontosan 2 oldala egyenlő 3 oldala különböző

belső szögei 60◦-osak közül két hegyesszög egyenlő különbözők, közülüklegalább kettő hegyesszög

külső szögei 120◦-osak közül kettő egyenlő tompa-szög

különbözők, közülük legalábbkettő tompaszög

208. Töltsd ki a táblázatot! Írj fel igaz állításokat a táblázat alapján!

A háromszög szögei hegyesszögek egyik szöge derékszög egyik szöge tompaszög

külső szögei tompaszögek 1 derékszög, 2 tompaszög 1 hegyesszög, 2 tompaszög

a, b < c esetén c2 < a2 + b2 c2 = a2 + b2 c2 > a2 + b2

A háromszög szögei hegyesszögek egyik szöge derékszög egyik szöge tompaszög

külső szögei tompaszögek 1 derékszög, 2 tompaszög 1 hegyesszög, 2 tompaszög

a, b < c esetén c2 < a2 + b2 c2 = a2 + b2 c2 > a2 + b2

197



209. Egy háromszög első szöge a másodiknak kétszerese, a harmadik szöge pedig a második felénél40◦-kal nagyobb. Hány fokosak a szögek?

x + 2x +x

2+ 40◦ = 180◦ ⇒ x = 40◦

A háromszög szögei 80◦, 40◦, 60◦.

210. Egy háromszög egyik csúcsánál levő belső szöge1

6derékszög. A másik két csúcsnál levő külső

szög aránya 4 : 9.a) Számítsd ki a háromszög szögeinek nagyságát! 4x +9x =

= 360◦ − 165◦ ⇒ x = 15◦, a külső szögek 60◦, 135◦

A háromszög szögei 120◦, 45◦, 15◦.b) Szerkeszd meg a háromszöget, ha leghosszabb oldala

7 cm! A 7 cm-es oldalon van a 45◦-os és a 15◦-os szög.

211. Hány különböző olyan háromszög van, amelynek kerülete 10 cm és oldalai centiméterbenmérve egész számok? Két háromszög van.

Számítsd ki e háromszögek területét!10 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3

I. oldalai: 4 cm, 4 cm, 2 cm

m1 ≈ 3,87 cm

T1 =2 · m1

2≈ 3,87 cm2

II. oldalai: 4 cm, 3 cm, 3 cm

m2 ≈ 2,24 cm

T2 =4 · m2

2≈ 4,48 cm2

212. Hány különböző olyan egyenlő szárú háromszög van, amelynek területe 5 cm2 és az alapja is,az alaphoz tartozó magassága is centiméterben mérve egész szám? Négy háromszög van.

Számítsd ki e háromszögek kerületét!

T =a · m

2és T = 5 ⇒ a · m = 10 = 1 · 10 = 2 · 5 = 5 · 2 = 10 · 1

a [cm] 1 2 5 10

m [cm] 10 5 2 1

b2 = m2 +(a

2

)2 ⇒ b[cm] ≈ 10,01 5,1 3,2 5,1

K = a + 2b ⇒ K[cm] ≈ 21,02 12,2 11,4 20,2

213. Egy háromszög két oldala 8 cm és 15 cm.a) Mekkora lehet a háromszög leghosszabb harmadik oldala, ha a háromszög tompaszögű?b) Mekkora lehet a háromszög leghosszabb harmadik oldala, ha a háromszög hegyesszögű?

a) c1 = 17 cm

c2 = 23 cm

17 cm < c < 23 cm

b) c1 = 17 cm

c3 = 15 cm

15 cm < c < 17 cm214. Egy háromszög két oldala 53 cm és 45 cm.

a) Mekkora lehet a háromszög legrövidebb harmadik oldala, ha a háromszög tompaszögű?b) Mekkora lehet a háromszög legrövidebb harmadik oldala, ha a háromszög derékszögű?

198



c) Mekkora lehet a háromszög legrövidebb harmadik oldala, ha a háromszög hegyesszögű?

c1 = 28 cm

c2 = 8 cm

a) Tompaszögű háromszög esetén: 8 cm < c < 28 cm

b) Derékszögű háromszög esetén: c = 28 cm

c) Hegyesszögű háromszög esetén: 28 cm < c < 45 cm

215. Szerkeszd meg a hegyesszögű háromszög beírt körét, a derékszögű háromszög súlyvonalait éssúlypontját, a tompaszögű háromszög köré írt kört! A háromszögek oldalai:6,6 cm, 11,2 cm, 13 cm vagy 4 cm, 5 cm, 7 cm vagy 5,5 cm, 6 cm, 7 cm.

Az első háromszög derékszögű, mert 6,62 + 11,22 = 132.

A második háromszög tompaszögű, mert 42 + 52 < 72.

A harmadik háromszög hegyesszögű, mert 5,52 + 62 > 72

216. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög legrövidebb magassága 7 cm. Számítsd ki aháromszög területét!

T =14 · 7

2= 49 cm2

217. Határozd meg, hogy a háromszög köré írt kör középpontja a háromszögnek belső pontja-e, vagya háromszög valamelyik oldalán van, vagy a háromszögön kívül levő pont, ha a háromszögoldalainak hossza

a) 3 cm,3 cm,5 cm,

b) 4 cm,7 cm,7 cm,

c) 40 mm,72 mm,75 mm,

d) 30 mm,72 mm,78 mm,

e) 4 cm,7,5 cm,8,5 cm,

f) 4 cm,8 cm,9 cm!

Szerkesztéssel ellenőrizd a válaszodat!A köré írt kör középpontja

– belső pont b, c hegyesszögű háromszög esetén,

– az egyik oldalon van d , e derékszögű háromszög esetén,

– külső pont a, f tompaszögű háromszög esetén.

218. Egy 10 cm kerületű egyenlő szárú háromszög alapjának és alaphoz tartozó magasságánakaránya 16 : 15.Számítsd ki a háromszög területét!Pitagorasz-tétel ⇒ b2 = (8x)2 + (15x)2 = 289x2

b = 17x

K = 16x + 2 · 17x = 10 cm ⇒ x = 2 mm

a = 16x = 32 mm és m = 15x = 30 mm

T =32 · 30

2= 480 mm2

219. Egy derékszögű háromszög két befogója 288 cm-rel, illetve 1 cm-rel rövidebb az átfogójánál,a két befogó összege 337 cm. Mekkora a háromszög kerülete és területe?

199



A befogók összege adott: (c − 1) + (c − 228) = 337 ⇒ c = 313 cmc − 1 = 312 cm c − 228 = 25 cmK = 25 + 312 + 313 = 650 cm

T =25 · 312

2= 3900 cm2

Megjegyzés: az átfogó hossza a Pitagorasz-tétel alapján is kiszámítható.(c − 1)2 + (c − 288)2 = c2 ⇒ c = 313 cm.

220. Az ábrákon néhány hagyományos öltözék és azok szabásmintája látható.

a) Melyik ruhához melyik szabásminta tartozik?

b) Írj a szabásminták egyes részeihez méreteket, ha az öltözék hossza a vállvonaltól mérve160 cm, az ujja kerülete 48 cm!

A: B: C: D:

bronzkori öltözéki. e. 1000

inka poncsó egyiptomi dzsellaba török kaftán

I. II. III. IV.

a) A: III. B: I. C: IV. D: II.

Négyszögek

221. Egy konvex négyszög külső szögeinek aránya 2 : 5 : 6 : 7. Mekkorák a négyszög belső szögei?2x + 5x + 6x + 7x = 360◦ ⇒ x = 18◦

A külső szögek: 36◦, 90◦, 108◦, 126◦.

A belső szögek: 144◦, 90◦, 72◦, 54◦.

200



222. Egy négyszög első szögénél 19◦-kal kisebb a második szöge, és az első szög kétszeresénél73◦-kal kisebb a harmadik szöge. A negyedik szög feleakkora, mint az első szögnél 23◦-kalkisebb szög. Mekkorák a négyszög szögei?

x + (x − 19◦) + (2x − 73◦) +x − 23◦

2= 360◦ ⇒ x = 103◦

A belső szögek: 103◦, 84◦, 133◦, 40◦.

223. Válassz ki négy pontot úgy, hogy

A B

CD

P Q

R

S

TU

V

Z

a) egy négyzet csúcsai legyenek!b) nem egyenlő oldalú téglalap csúcsai legyenek!c) nem derékszögű paralelogramma csúcsai legyenek!d) nem egyenlő oldalú deltoid csúcsai legyenek!Például a) QSUZ b) QRUV c) ARSZ d) BUDV

224. Számítsd ki a paralelogramma szögeit!

a)ε

ε = 27◦41′26′′α β

α b)

45◦35◦

100◦

80◦100

◦ c)

23◦23◦

134◦

46◦134

◦

α = 62◦18′34′′ β = 117◦41′26′′

225. Egy ABCD paralelogramma kerülete 42 cm, AC átlója 11 cm hosszú. Számítsd ki az ABC

háromszög kerületét!

KABC =42

2+ 11 = 32 cm

226. A 8 cm oldalú ABCD négyzet AB oldalához az ABE szabályos háromszöget rajzoljuk.a) Számítsd ki az ED szakasz hosszát!b) Számítsd ki az AED háromszög területét!

vagy

Mindkét esetben x2 + 42 = 82 ⇒ x ≈ 6,93 cm

TAED =8 · 4

2= 16 cm2

FE = 8 + x = 14,93 cm vagy FE = 8 − x = 1,07 cm

DE2 = 14,932 + 42 DE2 = 1,072 + 42

DE ≈ 15,5 cm vagy DE ≈ 4,14 cm

201



227. a) Számítsd ki a húrtrapéz alapjainak hosszát!b) Számítsd ki a húrtrapéz kerületét, ha magassága 24 mm!

a)

Az alapok hossza 37 mm és 73 mm.

b)

242 + 182 = b2 ⇒ b = 30 cmK = 73 + 2 · 30 + 37 = 170 mm

228. Igazold a következő állításokat!A: Ha egy konvex négyszög két szomszédos oldala egyenlő és átlói merőlegesek egymásra,

akkor a négyszög másik két oldala is egyenlő.Az egyik átló egy egyenlő szárú háromszög alapja, a másik erre merőleges, tehát felezi az alapot. Így a másik

háromszög is egyenlő szárú. Konkáv négyszögre is igaz az állítás.

B: Ha egy konvex négyszög két szemközti oldala egyenlő és átlóiis egyenlők, akkor a négyszög másik két oldala párhuzamos.ACD� oldalai és BCD� oldalai páronként egyenlők, a két háromszög

egybevágó. Tehát DC-hez tartozó magasságuk is egyenlő ⇒ DC ‖ AB.Igazak-e az állítások nem konvex négyszögekre is?Konkáv négyszögre nem igaz az állítás, mert nem lehetnek párhuzamos oldalai.

229. Egy rombusz átlói 40 cm és 42 cm hosszúak. Számítsd ki a rombuszkerületét és területét!

a2 = 202 + 212 ⇒ a = 29 cm

K = 4 · 29 = 116 cm T =4 · 42

2= 840 cm2

230. Mekkora a területe annak a téglalapnak, amelynek egyik oldala 24 cm, azátlója ennél 2 cm-rel hosszabb?

242 + b2 = 262 ⇒ b = 10 T = 24 · 10 = 240 cm2

231. Ha egy téglalap rövidebb oldalát 2 cm-rel meghosszabbítjuk, olyan négyzetetkapunk, aminek területe 14 cm2-rel nagyobb a téglalap területénél. Mekkora anégyzet oldala?a · 2 = 14 ⇒ a = 7 cm a négyzet oldala.

232. Számítsd ki a paralelogramma területét!a) b) c) d)

a) T = 2 · 8 = 16 cm2 b) 62 + x2 = 72 ⇒x ≈ 3,61 m

T ≈ 6,61 · 6 = 39,66 m2

c) T = 100 cm2 d) 242 + m2 = 1452 ⇒m = 143 mm

T = 24 · 143 = 3432 mm2

202



233. Számítsd ki a húrtrapéz kerületét és területét!a) b) c)

62 + 82 = b2 ⇒ b = 10 dm 52 + m2 = 132 ⇒ m = 12 m 72 + m2 = 142 ⇒ m ≈ 12,12 m

K = 41 + 2 · 10 + 29 = 90 dm K = 17 + 2 · 13 + 7 = 50 m K = 28 + 3 · 14 = 70 m

T =(41 + 29) · 8

2= 280 dm2 T =

(17 + 7) · 12

2= 144 m2 T ≈ (28 + 14) · 12,12

2= 254,52 m2

234. Számítsd ki a trapéz kerületét és területét!a) b) c)

a) 72 + m2 = 13,252 ⇒ m = 11,25 cm

K = 11 + 11,25 + 4 + 13,25 = 39,5 cm

T =(11 + 4) · 11,25

2= 84,375 cm2

b) x2 + 82 = 172 ⇒ x = 15 m

y2 + 82 = 102 ⇒ y = 6 m ⇒ c = 11 m

K = 32 + 17 + 11 + 10 = 70 m

T =(32 + 11) · 8

2= 172 m2

c) A kerület kiszámításához kevés az adat. (Ha az ábráról leolvasható adatokat is felhasználjuk, akkorm = 8,6 cm; c = 2 · 6,7 − a; c2 + m2 = b2; a2 + m2 = d2 alapján a = 8,6 cm; c = 4,8 cm; b ≈ 9,85 cm;d ≈ 12,2 cm; K ≈ 35,45 cm.)

T =6,7 · 8,6

2= 28,81 cm2

235. Számítsd ki a deltoid kerületét és területét!a) b) c)

202 + 202 = a2 ⇒ a = 28,3 cm

202 + m21 = 402 ⇒ m1 ≈ 34,6 cm

K = 2(a + b) ≈ 136,6 cm

T =e · f

2≈ 54,6 · 40

2= 1092 cm2

a2 + a2 = 8,62 ⇒ a ≈ 6,08 cm

4,32 + x2 = 8,62 ⇒ x ≈ 7,45 cm

e = x−4,3 ≈ 7,45−4,3 = 3,15 cm

K ≈ 29,36 cm

T ≈ 13,545 cm2

22 + x2 = 112 ⇒ x ≈ 10,8 m

22 + y2 = 62 ⇒ y ≈ 5,66 m

f = x + y ≈ 16,46 m

K = 34 m T ≈ 32,92 m2

203



236. Mekkora a színes négyszögek területe az ötödik lépés után? Általánosítsd a megoldást!

T1 = 2, T2 = 5, T3 = 10, . . . Tn = (n + 1)2 − 4 · 1

2· 1 · n = (n + 1)2 − 2n = n2 + 1.

Sokszögek

237. Egy 28 elemű halmaz csak konvex négyszögeket és konvex ötszögeket tartalmaz. Ezensokszögeknek összesen 71 átlójuk van. A halmaz elemei között hány ötszög van?A négyszögnek 2, az ötszögnek 5 átlója van. A 28 konvex sokszögnek legalább 56 átlója van. A maradék 15 átló

5 darab ötszög további három-három átlója. Tehát 5 db konvex ötszög és 23 konvex négyszög alkotja a halmazt.

Ellenőrzés: 5 + 23 = 28 és 5 · 5 + 23 · 2 = 71

238. Egy 20 elemű halmaz csak háromszögeket, konvex négyszögeket és konvex ötszögekettartalmaz. Ezen sokszögeknek összesen 51 átlójuk van. Melyik fajta sokszögből hány darabvan a halmazban?Több lehetőség van: Konvex ötszög Konvex négyszög Háromszög

I. 5 db 13 db 2 db

II. 7 db 8 db 5 db

III. 9 db 3 db 8 db

239. Hány egyenest határoznak meg

a) egy konvex hétszög csúcsai,7 · 6

2 · 1= 21 b) egy szabályos kilencszög csúcsai?

9 · 8

2 · 1= 36

240. Hány háromszöget határoznak meg

a) egy konvex hatszög csúcsai,6 · 5 · 4

3 · 2 · 1= 20

b) egy szabályos nyolcszög csúcsai?8 · 7 · 6

3 · 2 · 1= 56

241. A szabályos hatszög csúcsai közül válassz ki négyet úgy, hogya) egy deltoid csúcsai legyenek, Például: ACDE

b) húrtrapéz csúcsai legyenek! Például: ABCD

242. Adj meg egy-egy olyan sokszöget, amelynek területe egyenlő az alábbi területekkel!400 m2: a visegrádi lakótorony alapterülete Például: 16 m és 25 m oldalú téglalap.

10 000 m2 = 1 ha: egy sportpálya területe Például: 50 m és 200 m oldalú téglalap.

86 ha: a budapesti Margitsziget területe Például: 500 m és 1720 m oldalú téglalap.

588 km2: a Balaton vízfelülete Például: 21 km és 28 km oldalú téglalap.

2160 ezer km2: Grönland területe Például: 864 km magasságú 5000 km oldalú háromszög.

510,22 millió km2: a Föld felszíne Például: egy közelítőleg 22,6 millió km oldalú négyzet.

204



243. Számítsd ki a sokszög területét!

a) b) c) d)

az átlók hossza 13 m

a) T =(8 + 4) · 4

2+

(4 + 6) · 2

2+ 6 · 4 +

6 · 3

2= 67 m2

b) 512 + 682 = e2 ⇒ e = 85 dm T =51 · 68

2+

85 · 60

2+

80 · 3

2= 4404 dm2

c) T =13 · x

2+

13 · (13 − x)

2=

13 · 13

2= 84,5 m2

d) x2 + 152 = 172 ⇒ x = 8 cm T =8 · 15

2+ 20 · 15 − 9 · 12

2= 306 cm2

Körök

244. Legyen az O1 középpontú kör sugara 7 cm, az O2 középpontú kör sugara 11 cm! Mekkoralehet az O1O2 távolság, haa) az egyik kör a másik kör belső tartományában van, 0 cm � O1O2 < 4 cm

b) a két kör belülről érinti egymást, O1O2 = 4 cm

c) a két kör metszi egymást, 4 cm < O1O2 < 18 cm

d) a két kör kívülről érinti egymást, O1O2 = 18 cm

e) az egyik kör a másik kör külső tartományában van? O1O2 > 18 cm

245. Mekkora a kerülete és a területe annak a körcikknek, amelynek sugara 8 cm és középpontiszöge

a) 45◦, b) 225◦, c) 144◦, d) 90◦, e) α?

a) K = 2r +1

8Kkör = 2r +

1

8· 2rπ ≈ 22,28 cm T =

1

8Tkör =

1

8· r2π ≈ 25,12 cm2

b) K = 2r +5

8Kkör = 2r +

5

8· 2rπ ≈ 47,4 cm T =

5

8r2π ≈ 125,6 cm2

c) K = 2r +2

5Kkör = 2r +

2

5· 2rπ ≈ 36,096 cm T =

2

5· r2π ≈ 80,384 cm2

d) K = 2r +1

4Kkör = 2r +

1

4· 2rπ ≈ 28,56 cm T =

1

4· r2π ≈ 50,24 cm2

e) K = 2r +α

360· 2rπ T =

α

360· r2π

246. Milyen távolságra van egy 6 cm sugarú kör középpontjától az a húr, amelynek hossza

a) 11 cm, b) 10 cm, c) 8 cm, d) 6 cm, e) 4 cm, f) 3 cm?

205



(h

2

)2

+ d2 = 62 ⇒ d =

√36 −

(h

2

)2

a) 2,4 cm b) 3,32 cm c) 4,47 cm

d) 5,2 cm e) 5,66 cm f) 5,81 cm

247. Milyen távolságra van egymástól egy 7 cm sugarú körben az a két húr, amelyeknek hossza

a) 12 cm és 8 cm, b) 10 cm és 6 cm, c) 10 cm és 3 cm?

(h

2

)2

+ d2 = 72 ⇒ d =

√49 −

(h

2

)2

(k

2

)2

+ e2 = 72 ⇒ e =

√49 −

(k

2

)2

A két húr távolsága d + e vagy |d − e|.

a) d ≈ 3,61 cm e ≈ 5,74 cm A távolság 9,35 cm vagy 2,13 cm.

b) d ≈ 4,9 cm e ≈ 6,32 cm A távolság 11,22 cm vagy 1,42 cm.

c) d ≈ 4,9 cm e ≈ 6,84 cm A távolság 11,74 cm vagy 1,94 cm.

248. Egy kör középpontja O, a körvonal pontjai A, B, C.Az AOB szög 90◦, a BOC szög 120◦. Húzz érintőketa körhöz az A, B, C pontokban! Mekkorák a szögeiaz érintők által meghatározott háromszögnek?ADB� = 90◦ BEC� = 60◦ CFA� = 30◦

249. Mekkora a két metsző kör középpontjának távolsága, haa) a körök sugara 7 cm és 13 cm, a közös húr hossza 6 cm,b) a körök sugara 31 cm és 42 mm, a közös húr hossza 28 m?

x2 + m2 = r2

y2 + m2 = R2

O1O2 = x + y vagy O1O2 = |x − y|

a) x2 + 32 = 72 ⇒ x ≈ 6,32 cm y2 + 32 = 132 ⇒ y ≈ 12,6 cm O1O2 = 18,92 cm vagy 6,28 cm

b) x2 + 142 = 312 ⇒ x ≈ 27,7 cm y2 + 142 = 422 ⇒ y ≈ 39,6 cm O1O2 = 67,3 cm vagy 11,9 cm

250. a) Számítsd ki a körgyűrű területét, ha sugarai 65 cm és 97 cm!b) Számítsd ki a belső kört érintő húr hosszát!

a) Tgyűrű = 972π − 652π ≈ 16 277,76 cm2

b) x2 + 652 = 972 ⇒ x = 72. A húr hossza 144 cm.

206



251. Két kör kívülről érinti egymást. Mekkora a közös érintőszaka-szuk hossza, ha a körök sugara 7 cm és 17 cm?(E1E2)2 + 102 = 242 ⇒ E1E2 ≈ 21,8 cm

252. Derékszögű háromszög oldalaira mint átmérőkre félköröketrajzolunk.Bizonyítsd be, hogy a két kisebb félkör területének összegeegyenlő a harmadik félkör területével!

t1 =(a

2

)2π =

a2π

4

t2 =

(b

2

)2

π =b2π

4

t3 =(c

2

)2π =

c2π

4

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

a2 + b2 = c2 a Pitagorasz-tétel szerint, így t1 + t2 = t3 igaz.

Síkgeometriai számítások

253. a) Mekkora az ABC egyenlő szárú háromszög kerülete?

h 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 mb ≈ 4,12 m 4,47 m 5 m 5,66 m 6,4 m 7,21 m 8,06 m 8,94 m

K 16,24 m 16,94 m 18 m 19,32 m 20,8 m 22,42 m 24,12 m 25,88 m

h 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 mb ≈ 4,12 m 4,47 m 5 m 5,66 m 6,4 m 7,21 m 8,06 m 8,94 m

K 16,24 m 16,94 m 18 m 19,32 m 20,8 m 22,42 m 24,12 m 25,88 m

b) Ábrázold mm-papíron a kerületet a magasság függvényében! K = 8 + 2√

16 + h2

254. a) Az AB szakasz hossza 10 cm, az ACB szög derékszög. Számítsd ki az AC befogóhosszát! (AC)2 + (BC)2 = 102

BC 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m

AC ≈ 9,54 m 9,16 m 8,66 m 8 m 7,14 m 6 m

BC 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m

AC ≈ 9,54 m 9,16 m 8,66 m 8 m 7,14 m 6 m

b) Szerkeszd meg a fenti C pontokat adott AB szakasz esetén!Az AB átmérőjű körön helyezkednek el a C pontok.

255. Az AB távolságnál 2 cm-rel hosszabb zsinórt rögzítünk A és B pont-ban, majd a felezőpontjánál megemelve kifeszítjük. Milyen magasanlesz a C pont az AB szakasz felett, haa) AB = 168 cm? b) AB = 48 cm?

c) AB = 80 cm? d) AB = 120 cm?

e) AB = 24 cm? f) AB = 288 cm? g) AB = 528 cm?

Számításaidat méréssel ellenőrizd!AC + CB = AB + 2 ⇒ AC = CB =

AB

2+ 1

(AB

2

)2

+ h2 = (BC)2 ⇒ h =

√(BC)2 −

(AB

2

)2

207



a) h =√

852 − 842 = 13 cm b) h =√

252 − 242 = 7 cm c) h =√

412 − 402 = 9 cm

d) h =√

612 − 602 = 11 cm e) h =√

132 − 122 = 5 cm f) h =√

1452 − 1442 = 17 cm

g) h =√

2652 − 2642 = 23 cm

256. Milyen hosszú lámpafüzérrel lehet megoldani a híd világítását a színessel jelölt vonal mentén?

52 + 11,52 = a2 ⇒ a ≈ 12,5 m

52 + 142 = b2 ⇒ b ≈ 14,9 m

82 + 172 = c2 ⇒ c ≈ 18,8 m

A hossz: 2 · (12,5 + 11,5 + 14,9 + 14 + 18,8) ≈ 143,4 m

257. Elvileg milyen messziről lenne látható egy 1000 m magas hegy teteje, hakörülötte sehol nincs a felszínről kiemelkedő tárgy? A Föld sugara körülbelül6370 km.x2 + R2 = (R + 1)2

x2 + 63702 = 63712 ⇒ x ≈ 113 km

258. Mennyivel nő meg a kör kerülete, ha sugarát 1 m-rel megnöveljük?

a) r = 10 cm b) r = 50 cm c) r = 1 cm d) r = 10 m e) r = 1 km

K2 − K1 = 2(r + 1)π − 2rπ = 2π

Minden esetben 6,28 m-rel nő a kerület.

259. a) Mekkora a két kör középpontjának távolsága?b) Mekkora a színessel jelölt vonal hossza?c) Mekkora területet zár közre a színes vonal?

Mivel a belső érintők derékszöget zárnak be, ezért O1EME′ és O2GMG′ is négyzet,

azaz EM = 6 cm, GM = 4 cm. Így EG = O2N = 10 cm.

a) (O1O2)2 = 102 + 102 ⇒ O1O2 ≈ 14,1 cm b)3

4· 2 · 6π +

3

4· 2 · 4π + 2 · 6 ≈ 67,1 cm

c) T =3

4· 62π +

3

4· 42π + 62 + 42 ≈ 174,46 cm2

260. Számítsd ki a két pont távolságát!

a) A(8; 3) b) P (6; 4) c) K(−5; 0) d) U

(7

3; 2

)

B(5; 7) Q(−3; 6) L(7; −1) V

(1

2; 0

)

AB = 5 e PQ =√

85 ≈ 9,2 e KL =√

145 ≈ 12 e UV =

√265

36≈ 2,71 e

261. Számítsd ki a háromszög kerületét és területét!

a) A(0; 5) b) A(−3; 2) c) A(−6; −4) d) A(9; 7)

B(7; 0) B(7; 2) B(−2; 1) B(−11; 5)

C(0; 0) C(5; 9) C(−6; 8) C(3; −8)

208



a) AB =√

75 AC = 5 BC = 7 K ≈ 20,6 e T = 17,5 e2

b) AB = 10 AC =√

113 BC =√

53 K ≈ 27,88 e T = 35 e2

c) AB =√

41 AC = 12 BC =√

65 K ≈ 26,46 e T = 24 e2

d) AB =√

404 AC =√

261 BC =√

365 K ≈ 55,4 e T = 144 e2

262. Az ABC derékszögű háromszög oldalai az ábrán látható félkörökátmérői. Bizonyítsd be, hogy a színessel jelölt részek együttes területeegyenlő a háromszög területével! (Hippokratész holdacskái) A feladatmegoldása előtt bizonyítsd be a 252. feladat állítását!Lásd a 252. feladat ábráját is.x + y = t1 + t2 − (t4 + t5)

t� = t3 − (t4 + t5)

t3 = t1 + t2

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ Tehát x + y = t�, igaz az állítás.

263. Egy háromszög szögfelezőinek metszéspontját kösd össze aháromszög csúcsaival!Bizonyítsd be, hogy az így keletkezett három háromszögterületének mérőszáma és a háromszög oldalainak hosszaközött egyenes arányosság van! Mi az állandó?

A szokásos jelölésekkel TABK =c · r

2TBCK =

a · r2

TCAK =b · r

2TABK : TBCK : TCAK = c : a : b. Tehát igaz az állítás.

264. a) Mekkora annak a körnek a sugara, amelyben egy 8 cm és egy 6 cm hosszú húr egymástól7 cm-re párhuzamosan helyezkedik el úgy, hogy a kör középpontja a két húr közé esik?

b) Mekkora annak a körnek a sugara, amelyben egy 30 cm és egy 16 cm hosszú húr egymástól7 cm-re párhuzamosan helyezkedik el úgy, hogy a kör középpontja nincs a két húr között?

a)

x + y = 7

x2 + 42 = r2

y2 + 32 = r2

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

⇒

x = 3

y = 4

r = 5 cm

b)

y − x = 7

x2 + 152 = r2

y2 + 82 = r2

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭ ⇒

x = 8

y = 15

r = 17 cm

265. Milyen messze van a kocka A csúcsa a színessel rajzolt testátlótól?A kocka éle 1 dm.

(AH )2 = 12 + 12 ⇒ AH =√

2 dm

BH 2 = 12 + (√

2)2 ⇒ BH =√

3 dm

TABH =1 · √2

2=

√3 · m

2⇒

m =

√2

3≈ 0,816 dm a távolság.

209



266. Számítsd ki a PQ szakasz hosszát! Ellenőrizz szerkesz-téssel!O1O2 = R + r = 11 cm

(PO2)2 + 92 = 112 ⇒ PO2 =√

40 ≈ 6,32 cm

(PQ)2 + 22 = (PO2)2 ⇒ PQ = 6 cm

Térgeometriai számítások

267. Hány m3 víz fér egy 80 cm átmérőjű, 110 cm magas körhenger alakú hordóba?

r = 0,4 m m = 1,1 m V = r2πm = 0,42π · 1,1 ≈ 0,553 m3

268. Hány liter víz fér egy 3 m hosszú, 40 cm átmérőjű félhenger alakú itatóvályúba?r = 2 dm m = 30 dm V = r2πm = 22π · 30 = 376,8 dm3 = 376,8 l

269. Egy 80 cm magas henger alakú vízmelegítő tartály űrtartalma 300 liter. Mekkora a tartályátmérője?m = 8 dm V = 300 l = 300 dm3 300 = r2π · 8 ⇒ r ≈ 3,46 dm. Az átmérő körülbelül 6,92 dm.

270. Egy téglatest három élének aránya 4 : 7 : 11, tizenkét éle hosszának összege 264 cm. Számítsdki a téglatest felszínét és térfogatát!

(4x + 7x + 11x) · 4 = 264 ⇒ x = 3 ⇒ a = 12 cm b = 21 cm c = 33 cm

A = 2(ab + ac + bc) = 2682 cm2 V = abc = 8316 cm3

271. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb magassága 35 cm, oldallapjának átlója 37 cm.Mekkora a hasáb felszíne és térfogata?

a2 + 352 = 372 ⇒ a = 12 cm

m2a + 62 = 122 ⇒ ma ≈ 10,4 cm

A = 2 · a · ma

2+ 3a · m ≈ 2 · 12 · 10,4

2+ 3 · 12 · 35 = 1384,8 cm2

V =a · ma

2· m ≈ 12 · 10,4

2· 35 = 2184 cm3

272. Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm, magassága ennek másfélszerese.Mekkora a hasáb felszíne és térfogata?

a = 8 cm m = 12 cm

m2a + 42 = 82 ⇒ ma ≈ 6,93 cm

A = 2 · 6 · a · ma

2+ 3 · a · m ≈ 620,64 cm2

V = 6 · a · ma

2· m ≈ 1995,84 cm3

210



273. Egy háromszög alapú egyenes hasáb magassága egyenlő az alaplap leghosszabb magasságával.Az alaplap oldalai 11 dm, 6 m, 61 dm. Milyen háromszög az alaplap? Számítsd ki a hasábfelszínét és térfogatát!

Az alaplap derékszögű háromszög, mert 112 + 602 = 612, ezért leghosszabb magassága a hosszabbik befogó, azaz

60 dm.

A = 2 · 11 · 60

2+ (11 + 60 + 61) · 60 = 8580 dm2 V =

11 · 60

2· 60 = 19 800 dm3

274. Egy rombusz alapú egyenes hasáb két legtávolabbi csúcsának távolsága 145 cm. A rombuszátlói 10 cm és 24 cm hosszúak. Számítsd ki a hasáb felszínét és térfogatát!

242 + m2 = 1452 ⇒ m = 143 cm

52 + 122 = a2 ⇒ a = 13 cm

A = 2 · 10 · 24

2+ 4 · 13 · 143 = 7676 cm2

V =10 · 24

2· 143 = 17 160 cm3

275. 3 mm vastag alumíniumlemezből deltoid keresztmetszetű hasábokat vágnak ki, amelyekbőljelvények készülnek. A deltoid átlói 1 cm és 2 cm hosszúak. Mennyi a tömege 1000 darab

jelvénynek, ha az alumínium sűrűsége 2700kg

m3, és az alumíniumból készült kitűző rész tömege

10%-a a jelvény tömegének?

A deltoid átlói 10 mm és 20 mm hosszúak. V =e · f

2· m =

10 · 20

2· 3 = 300 mm3 egy deltoid alapú hasáb

térfogata. 300 cm3 az 1000 hasáb térfogata.

� = 2700kg

m3= 2700

g

dm3m = V · � = 0,3 · 2700 = 810 g az 1000 hasáb tömege, ami 90%-a a jelvény

tömegének.

Tehát az 1000 jelvény tömege 900 g.

276. a) Milyen hosszúak a téglalap alapú egyenes hasáb lapátlói?

10 cm

5cm

5 cm15 cm

10 cm

5 cm

b) Milyen hosszú a hasáb testátlója?

I. test a) l1 =√

52 + 52 =√

50 ≈ 7,07 cm

l2 =√

102 + 52 =√

125 ≈ 11,2 cm

b) t =√

102 + 52 + 52 =√

150 ≈ 12,2 cm

II. test a) l1 =√

102 + 152 =√

325 ≈ 18 cm

l2 =√

52 + 152 =√

250 ≈ 15,8 cm

l3 =√

102 + 52 =√

125 ≈ 11,2 cm

b) t =√

152 + 102 + 52 =√

350 ≈ 18,7 cm

211



277. A téglatest 2 éle és 2 lapátlója határozza meg a téglatest átlósmetszetét. Számítsd ki a háromféle átlós metszet területét, ha atéglatest élei

a) 2 m, 5 m, 7 m, b) 7 cm, 17 cm, 27 cm,c) 1,6 dm, 2,3 dm, 5 dm!

a) T1 = 2√

74 ≈ 17,2 m2 T2 = 5√

53 ≈ 36,4 m2 T3 = 7√

29 ≈ 37,73 m2

b) T1 = 7√

1018 ≈ 223,3 cm2 T2 = 17√

778 ≈ 474,3 cm2 T3 = 27√

338 ≈ 496,8 cm2

c) T1 = 16√

3029 ≈ 880 cm2 T2 = 23√

2756 ≈ 1207,5 cm2 T3 = 50√

785 ≈ 1400 cm2

278. A kocka éle 12 cm.a) Mekkora térfogatú részekre bontja a kockát az alappal 30◦-os

szöget bezáró síkmetszete?b) Számítsd ki a keletkezett derékszögű háromszög alapú hasáb

felszínét!BCK derékszögű háromszögben BK = 2KC = 2x

(2x)2 = 122 + x2 ⇒ x =√

48 ≈ 6,93 cm

a) VABCDKL = TBCK · AB ≈ 6,93 · 12

2· 12 = 498,96 cm3

VABKLEFGH = Vkocka − VABCDKL = 123 − 498,96 ≈ 1229,04 cm3

b) VABCDKL = 122 + 2 · 6,93 · 12

2+ 12 · 6,93 + 12 · 13,86 = 476,64 cm3

279. Számítsd ki a 8 cm élű kocka alábbi síkmetszeteinek kerületét! P , Q, R a megfelelő oldalfelezőpontja.a) b) c)

a) QG2 = 82 + 42 ⇒ QG =√

80 ≈ 8,94 m

KPQGH = 2 · 8 + 2 ·√

80 ≈ 33,88 cm TPQGH = 8 ·√

80 ≈ 71,52 cm2

b) PE2 = 82 + 42 ⇒ PE =√

80 ≈ 8,94 cm m2 +(

PQ

2

)2

= PE2 ⇒ m =√

72 ≈ 8,49 cm

PQ2 = 42 + 42 ⇒ PQ =√

32 ≈ 5,66 cm

KPQE = 2 ·√

80 +√

32 ≈ 23,54 cm TPQE =

√32 · √72

2≈ 24 cm2

c) PQ2 = 42 + 42 ⇒ PQ = QR = PR =√

32 ≈ 5,66 cm

m2 +

(PQ

2

)2

= PR2 ⇒ m =√

24 ≈ 4,9 cm

KPQR = 3 ·√

32 ≈ 16,98 cm TPQR =

√32 · √24

2=

√192 ≈ 13,86 cm2

212



280. Számítsd ki a 14 cm élű kocka alábbi síkmetszeteinek területét!

a) b) c) d)

P , Q felezőpontok P felezőpont

a) PQ2 = 72 + 72 ⇒ PQ =√

98 ≈ 9,9 cm

AC2 = 142 + 142 ⇒ AC =√

392 ≈ 19,8 cm

AP 2 = 142 + 72 ⇒ AP =√

245 ≈ 15,65 cm

m2 +

(√98

2

)2

= (√

245)2 ⇒ m =

√882

2≈ 14,85 cm

TACPQ =(√

392 +√

98) ·√

8822

2≈ 220,5 cm2

b) BG2 = 142 + 142 ⇒ BG = GE = BE =√

392 ≈ 19,8 cm

m2 +

(√392

2

)2

= (√

392)2 ⇒ m =√

294 ≈ 17,15 cm

TBGE =

√392 · √294

2≈ 169,74 cm2

c) PG2 = 142 + 72 ⇒ PG = PE =√

245 ≈ 15,65 cm

m2 +

(√392

2

)2

=√

245 ⇒ m =√

147 ≈ 12,12 cm

TPGE =

√392 · √147

2≈ 120 cm2

d) A sík a kocka felső lapját metszi az ábra szerint.

x2 + 142 = (2x)2 ⇒ x =14√

3

BP =28√

3≈ 16,17 cm TABPQ = 14 · 28√

3=

392√3

≈ 226,3 cm3

281. Egy kétajtós, akasztós ruhásszekrény szélessége 110 cm, mélysége 55 cm, magassága 165 cm.a) Mekkora a szekrény térfogata? V = a · b · c = 110 · 55 · 165 = 998 250 cm3 ≈ 1 m3

b) Elfér-e benne egy 2 m-es rúd? A testátló: e2 = 1102 + 552 + 1652 ⇒ e ≈ 206 cm. Elfér a rúd.

282. Egy 4 m átmérőjű henger alakú tartály 1,8 m magasságig van kőolajjal töltve. A feldolgozáselőtt átszállítják a kőolajat egy 4 m alapélű négyzet alapú egyenes hasáb alakú tartályba. Milyenmagasan lesz a kőolaj szintje a második tartályban?

V = r2π · m1 = 22 · π · 1,8 ≈ 22,608 m3 az olaj térfogata a hengerben,

V = a2 · m2, azaz 22,608 = 42 · m2 a hasábban.

m2 ≈ 1,4 m a kőolaj szintje a második tartályban.

213



283. Add meg egy téglatest és egy egyenes körhenger méreteit úgy, hogy térfogata egyenlő legyenaz adottakkal!50 mm3: a méh mézgyomra 2205 m3: a vár lakótornya Nagyvázsonyban

8 m3: egy közepes olajtartály térfogata 40 000 m3: a tihanyi Belső-tó térfogata60 m3: lakószoba 240 000 m3: az Országház fűthető része

200 m3: osztályterem 2 km3: a Balaton vizének térfogata

Sokféle megoldást várhatunk. Téglatestet keresve például a megadott mérőszám háromtényezősszorzat alakja alapján választhatjuk az élek hosszát. 50 mm3 egy 1; 5; 10 mm vagy 1; 2; 25 mmvagy 5; 5; 2 mm élű téglatest térfogata is.

Egyenes körhengert keresve például a sugarat tetszőlegesen megadva aV

r2 · πkifejezés megadja

a magasságot. 50 mm3 közelítőleg egy 1 mm sugarú, 15,9 mm magasságú henger térfogata vagyegy 2 mm sugarú, 11,9 mm magasságú hengeré.

284. Egy kockát két síkkal metszettünk négy egyforma részre. Melyik esetben nagyobb a kapottnégy test együttes felszíne?

Legyen a kocka éle 2x. Az első esetbenA = 4 · (2 · x2 + 4 · x · 2x) = 40x2.A második esetben

A = 4 · (2 · 2x · x

2+ 2x · 2x + 2 ·

√2x2 · 2x) =

= 4 · (6 + 4√

2) · x2 = (24 + 16√

2) · x2 ≈ 46,63x2

A második esetben körülbelül 6,63x2 területegységgel na-gyobb a négy rész együttes felszíne. Másképpen: az elsőesetben a kocka felszínéhez 4 négyzet területe adódik, a második esetben pedig 4 átlós metszet területe, aminagyobb a négyzet területénél. Tehát a második esetben nagyobb a felszín.

285. A pók és a légy problémája Dudeney egyik leghíresebb rejtvénye. 1905-ben figyeltek fel rá,miután a Daily Mail-ben megjelent. Egy téglatestalakú terem 30 láb hosszú, 12 láb széles és 12 lábmagas. A pók a mennyezettől lefelé 1 lábnyira ülközépen. A légy a szemközti lapon ül, a padló felett1 lábnyira középen, a rémülettől kővé dermedve,mozdulatlanul. Mekkora a legrövidebb út, amit apók a falon megtesz, hogy elkapja a legyet?

LP = 42 láb LP =√

372 + 172 ≈ 41,1 láb

214



LP =√

322 + 242 = 40 láb. LP =√

372 + 312 ≈ 48,3 láb

Ez a legrövidebb út.

286. A kocka felületén haladva induljunk el AB él felezőpontjából! A kocka minden lapjánáthaladva vissza kell érnünk a kiindulási pontba, de a legrövidebb úton.

a) Betűzd meg a megadott háló csúcsait!A K és K ′ a háló összeillesztése után a kocka felületén egybeesik.

b) Rajzold meg a legrövidebb utat!c) Számítsd ki, milyen hosszú ez az út, ha a kocka éle 5 cm!

KK ′ =√

152 + 152 =√

450 ≈ 21,2 cm

287. Három doboz testátlója ugyanolyan hosszú: 42 cm.

Melyik doboz elkészítéséhez kell a legtöbb papír?

t2 = 3a2 t2 = b2 + b2 + (2b)2 = 6b2 t2 = c2 + (2c)2 + (3c)2 = 14c2

422 = 3a2 422 = 6b2 422 = 14c2

A = 6a2 = 3528 cm2 A = 10b2 =10

6· 422 = 2940 cm2 A = 22c2 =

22

14· 422 = 2772 cm2

A kocka elkészítéséhez kell a legtöbb papír.

215



KÖZÉPISKOLÁBA KÉSZÜLÜNK

Számok

288. Töltsd ki a keresztrejtvényt a vízszintes sorokra adott informá-1 2 3 4 5 6

7 8 9

10 11 12 13

14 15

16 17 18

19 20 21 22

23 24 25

1 8 0 1 4 8

0 0 2 7 4

0 3 5 7 6

3 6 2 3 7

2 0 0 0 2

9 8 0 1 0

9 9 7 1 4 8

ciókkal és a függőlegesekkel ellenőrizd megoldásodat!Vízszintes:1. A háromszög belső szögeinek összege.4. Az 1848 számjegyeiből képzett halmaz elemei növekvő

sorrendben.7. A 100-zal osztható számok végződései.8. A legkisebb prímszám.9. A 7104-nek a 96-od része.

10. Megegyezik saját maga ellentettjével.11. Egymást követő három páratlan szám.13. 5,5 egészekre kerekítve.14. A 141 és a 257 szorzata.16. Ennyi osztója van a prímeknek.17. Az ezerrel osztható számok végződései.18. A legkisebb alapszámú számrendszer alapszáma.19. A 14 és a 49 legkisebb közös többszöröse.21. Egy szám és ellentettjének összege.22. Ennyi osztója van az 59-nek.23. Az 1000-hez legközelebb levő prímszám.25. Egy háromszögben a 32◦-os külső szöghöz tartozó belső szög nagysága.Függőleges:1. A legkisebb háromjegyű szám.

2. A 240-nek az1

3része.

3. A legkisebb természetes szám.4. A legkisebb pozitív egész szám.5. A (−47) ellentettje.6. (−47) · (−18)8. A legkisebb olyan számnak a tízszerese, amely osztható az összes egyjegyű számmal.

11. A konvex négyszög külső szögeinek összege.12. A 10 és a 73 legkisebb közös többszöröse.14. A legkisebb páratlan prímszám.15. A legnagyobb egyjegyű prímszám.16. A legkisebb olyan háromjegyű szám, amelyben a számjegyek összege 20.18. A legkisebb olyan háromjegyű szám, amelynek minden számjegye páros, és a számjegye-

inek összege 10.20. Eggyel kevesebb a derékszög nagyságának mértékszámánál.22. A 192 osztóinak száma.24. A 6742-ben a legnagyobb alaki értékű számjegy.25. Az a szám, amelynek pontosan egy osztója van.

216



289. Töltsd ki a táblázatot!

a −6 0 281

37

2

9

b −12 19 51

45

2

3

a − b 6 −19 231

122 −4

9

a

b

1

20

28

5= 5,6

4

3

7

5

1

3

290. Hasonlítsd össze! Tedd ki a <, > vagy = jelet!

a) a 2 és az 5 aránya > 25% b) 35-nek a3

5része = 35-nek a 60%-a

c)

(−2

3

)2

<(−2)2

3d) −2

1

3reciproka >

(−7

5

):

21

10

e) az a legkisebb négyjegyű természetes szám, amelyben a számjegyek szorzata 100 <

a legkisebb természetes szám, amelyben a számjegyek összege 100. 2255 < 1 9 . . .9︸︷︷︸11 db

291. „Többet ésszel, mint erővel!”

a) 47,3 − (−68,4) − 28,4 + 52,7 = 140 b) (−23,8) + 104,6 + 53,4 − 46,2 = 88

c)19

3+

25

3− 1

3−

(−2

3

)= 15 d) 0,5 − 47

6− 1

6+

5

2= −15

e)

(− 5

12

)· 6

25− 2

1

3:

14

5= − 1

10− 5

6= −14

15f) 9 ·

(2

5

)2

− 7 ·(

2

5

)2

= 2 · 4

25=

8

25

292. Színezd ki pirossal azt a kifejezést, amelynek értéke megegyezik a2

3:

4

5-del, és kékre azt,

amelyik nagyobb nála!

2

3-nak a

4

5része

2

3-nak az

5

4része p

2

3· 5

4p

2

3+

(1

1

4

)k

(2

3· 5

): 4 p

(2

3: 4

)· 5 p

5

3· 1

2p

3

2· 4

5k

1

2·(

3 · 4

5

)k

293. Írd le matematikai jelekkel és számítsd kia) (−360) és (−240) különbségének az ellentettjét, −[(−360) − (−240)] = 120

b) (−360) és (−240) ellentettjének a különbségét, (−360) − [−(−240)] = (−360) − (240) = −600

c) 180-nak a2

3részét, 180 · 2

3= 120

d) 11

3és a

4

5hányadosának a reciprokát,

143 : 4

5

=153

=3

5

e) 11

3és

4

5reciprokának a hányadosát,

4

3:

145

=4

3:

5

4=

16

15

217



f)

(−1

3

)harmadik hatványának abszolút értékét,

∣∣∣∣∣(

−1

3

)3∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣− 1

27

∣∣∣∣ =1

27

g) 68-nak a 30%-át, 68 · 0,3 = 20,4

h) 30-nak a 68%-át, 30 · 0,68 = 20,4

i)3

8tizedestört és százalék alakját! 0,375 = 37,5%

j) 22%-nak a tizedestört és a tört értékét! 22% = 0,22 =11

50

294. „Villámkérdések”

a) Mennyi 26 · 56? = 106

b) Mondj az1

3és az

1

2között számot!

5

12;

9

24;

10

24;

11

24. . .

c) Mennyi két prímszám legnagyobb közös osztója? 1

d) Mennyi két prímszám legkisebb közös többszöröse? a két prímszám szorzata

e) Mennyi egy szám és az ellentettjének az összege? 0

f) Mennyi egy szám és az ellentettjének a különbsége? a szám kétszerese: x − (−x) = 2x

g) Melyik az a két szám, amelyek aránya 1 : 2 és összegük 3,6? 1,2 és 2,4

h) Melyik az a két szám, amelyek aránya 1 : 2 és különbsége 3,6? −3,6 és −7,2

i) Növeld a 640-et a 25%-ával, majd a kapott számot csökkentsd a 20%-ával! Melyik számot

kaptad? 640 · 1,25 = 800, majd 800 · 0,8 = 640. Minden esetben a · 5

4· 4

5= a.

j) Az 1 és 1000 közötti páratlan számok szorzata milyen számjegyre végződik? 5-re, mert aszorzótényezők között van 5, de csak páratlan számmal szorozzuk.

295. a) Egészítsd ki a hiányzó számjegyeket úgy, hogyA) 2-vel, B) 4-gyel, C) 3-mal, D) 6-tal, E) 9-cel osztható számot kapjál!

354 53 4 3 54 5 34a 2-vel 4-gyel 3-mal 6-tal 9-cel

354 0, 2, 4, 6, 8 0, 4, 8 0, 3, 6, 9 0, 6 6

53 4 0, 1, 2, . . . , 8, 9 0, 2, 4, 6, 8 0, 3, 6, 9 0, 3, 6, 9 6

3 54 0, 1, 2, . . . , 8, 9 − 0, 3, 6, 9 0, 3, 6, 9 6

5 34 0, 1, 2, . . . , 8, 9 − 0, 3, 6, 9 0, 3, 6, 9 6

b) Írd be a legkisebb pozitív egész számot úgy, hogy a kapott szám osztható legyenA) 2-vel, B) 3-mal, C) 6-tal, D) 18-cal, E) 45-tel!Az így kapott számnak hány osztója van?

3 · 5 · 4 · 2 · 7 · 2 · 32 · 3 · 5 · 11 ·b 2-vel 3-mal 6-tal 18-cal 45-tel

3 · 5 · 4 · 1 1 1 3 3

2 · 7 · 1 3 3 9 45

2 · 32 · 1 1 1 1 5

3 · 5 · 11 · 2 1 2 6 3

12 12 12 18 18

4 8 8 12 24

6 6 6 6 12

16 8 16 24 12

218



Az osztók számát a prímtényezős felbontásból lehet leolvasni.

Pl.: 3 · 5 · 4 · 1 esetén. 3 · 5 · 4 = 3 · 5 · 22, így 2 · 2 · 3 = 12 osztója van a számnak, ezt a táblázatban a sarokba írt

számok mutatják.

296. Melyek azok a számok, amelyekről a következőket tudjuk:a) Tizenkétszeresük és ötszörösük különbsége 105. 12x − 5x = 105, innen x = 15b) Arányuk 1 : 3 és összegük 88. x + 3x = 88, innen x = 22. A számok a 22 és 66.

c)3

7és

1

7részének összege 3.

3

7x +

1

7x = 3, innen x =

21

4d) Háromjegyűek, az egyesek helyén fele akkora szám van, mint a százasok helyén és a tizesek

helyén levő számjegy 1-gyel több az egyesek helyén lévő számnál. A számnak nincsenazonos alaki értékű számjegye. A keresett háromjegyű szám 2e e + 1 e .

Az egyesek helyén álló számjegy 1, 2, 3 és 4 lehet.

A kapott számok közül a 221 nem jó, mert van azonos alaki értékű számjegye.

A többi szám eleget tesz a feladat feltételeinek: 432, 643, 854.

297. Felsorakoztak a négyfejű és a hétfejű sárkányok.Az ügyeletes tiszt azt jelentette a parancsnoknak,hogy mind a 83 fej harcra kész, és többen jöttekel a hétfejűekből, mint a négyfejűekből. A bölcsparancsnok meg tudja-e mondani ebből a jelentés-ből, hogy melyik fajta sárkányból hány áll előtte?Legyen n négyfejű és h hétfejű sárkány. Ekkor a fejek

számára felírható egyenlet 4n+7h = 83, innen 4n = 83−7h,

ahol 0 � h < 11.

Meg kell nézni, hogy a 83 − 7h kifejezés mikor ad 4-gyel

osztható értéket.h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

83 − 7h 76 69 62 55 48 41 34 27 20 13 6n 19 − − − 12 − − − 5 − −

A bölcs parancsnok nem lehet biztos a hadsereg összetételében.Lehetőségek: 1 hétfejű és 19 négyfejű sárkány,

5 hétfejű és 12 négyfejű sárkány,9 hétfejű és 5 négyfejű sárkány az egyenlet megoldása.

Algebra

298. Színezd pirosra azokat a képleteket, amelyek az ötszög területére, és kékre azokat, amelyek anyolcszögére vonatkoznak!

a

a a a

a

2

a

2a a

a

a

2a

2a

2

a

2

Az ötszög terülte:9a2

4(p). A nyolcszög területe:

3a2

2(k).

219



2a · a − a · a

2k 3a · a −

(a · a

2+

a · a2

2

)p 2a2 − a2

2k

3a2

2k

3a2 − a2

2+

a2

411a2

43a2 − a2

2− a2

4p

9a2

4p 2 ·

[a2 −

(a

2

)2]

k

299. Az egynemű tagok összevonásával írd egyszerűbb alakba!

a) 3a − 8a + 4,7a + 47a − 22,7a = 24a b)1

3a − 2(5 − 3a) +

5

3a = 8a − 10

c) 7,5b2 − 4b + (2b)2 + 3b = 11,5b2 − b d) 0,8b − 3(0,4b − 2) + 6 = −0,4b + 12

e)7

5c − 2c(5 − 32c) − 1,4c = −10c + 18c2 f)

(2

3+

1

7

)c + 0,3c −

(−25

21c

)= 2,3c

300. Keresd az azonosságokat! Az azonosságokban szereplő betűkből egy értelmes szót állíthatszössze! CITROM

a)a + b

b= b b)

12i + 6

3= 4i + 2 c)

−4p · 2p

2= −2p · p

d) 7c − 3(c − 2) = 4c + 6 e) (5k − 4) · 2 = 10k − 4 f)m

5+

m

7=

12

35m

g) 3(t − 4) + 12 = 3t h)3f · 3f

6=

1

2f · 1

2f i)

3r · 3r

6=

3

2r2

j)7o + 3o

2= 5o k)

4l + 10l

2= 2l + 10l l)

4s · 10s

2= 2s · 5s

301. Milyen számok kerülhetnek az üresen hagyott helyekre?

a)

96

9

−11

−40

2 − 7x

−1 −61

79

b)

8

2

9

−31

3

18

2 · x22

−213

−13

2

9

Ügyeljünk, hogy a negatív eredményről se feledkezzenek meg a tanulók!

302. Írj egyenletet a feladatokhoz és oldd is meg azokat!a) Melyik számhoz kell hozzáadni a 3,24-ot, hogy (−5,72)-ot kapjunk? x+3,24 = −5,72 x = −8,96

b) Melyik számot kell elosztani 1,2-del, hogy7

3legyen a hányados? x : 1,2 =

7

3x = 2,8

c) Egy szám a másik szám hatszorosa. Különbségük 19. Melyik ez a két szám? 6x − x = 19

x =19

5és 6x =

114

5

d) Két szám aránya 7 : 5, összegük 273

5. Mennyi a számok szorzata? 7x + 5x = 27

3

5x = 2,3

szorzatuk: 185,15.

e) Melyik számot szoroztam meg önmagával, majd 3-mal, ha a szorzat 432? x ·x ·3 = 432 x = 12vagy x = −12

220



f) Melyik számot szoroztam meg hárommal, majd a szorzatot önmagával, ha 225-öt kaptam?(3x) · (3x) = 225 x = 5 vagy x = −5

303. Oldd meg a következő egyenleteket!a) 8x − 13 − 5x = 4x + 28 − 3x − 15 x = 13

b) 5 − 2(3 − 4x) = 8x − 1 Azonosság, minden tanult szám megoldás.

c)x

3+

2x

5− 7 =

3x

2− 3 x = −120

23d)

4x − 7

3− 5 =

10

3x = 8

e) 3 − 2x − 4

5= x − 3 x =

34

7f) 4 − 3(x − 5) = 1 − 4(x − 6) + x − 8 Ellentmondásra vezet, nincs megoldása az egyenletnek.

304. Azonos márkájú karóráért, ébresztőóráért és stopperóráért összesen 18 600 Ft-ot kell fizetni.Az ébresztőóra 600 Ft-tal drágább a stoppernél, és éppen hatodrésze az ára, mint a karórának.Mennyibe kerülnek az egyes órák külön-külön?Jelöljük a stopper árát x-szel.

Az ébresztőóra ára: x + 600, a karóra ára 6 · (x + 600).

x + x + 600 + 6 · (x + 600) = 18 600

Innen x = 1800. A karóra 14 400 Ft, az ébresztőóra 2400 Ft és a stopperóra

1800 Ft. Ellenőrizzük a szövegbe visszaírva a kapott értékeket!

305. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket!

a) 7,5x − 3 < 4,3x + 0,2 x < 1 b) 4(12 − x) � 5x − 108,6 x � 17,4

c)x + 2

3− 1 < 4(x − 5) x >

59

11d)

x

4− 3 · x − 1

2< 5 x > −14

5= −2,8

306. Melyik az a két szám, amelyekről a következőket tudjuk:a) Összegük 100. Ha a nagyobb számot elosztjuk a kisebbel, a hányados 2 és a maradék 1.

A számok: x és 100 − x.

Legyen a nagyobb szám a 100 − x, ekkor kivonva belőle az 1 maradékot, a kisebb szám éppen 2-szer lesz

meg benne: 100 − x − 1 = 2x. Innen x = 33.

A számok 33 és 67. Ellenőrzés: 67 = 33 · 2 + 1.

b) Összegük 3927. Ha a kisebbik szám végére (az egyesek után) egy 0-t írunk, megkapjuk anagyobb számot. Ha a kisebb szám egyese után 0-t írunk, akkor ez 10-zel való szorzást jelent.

Ha a kisebb számot x-szel jelöljük, akkor a nagyobb szám 10x. Az egyenlet: x + 10x = 3927. Innen x = 357.

A két szám 357 és 3570. Összegük valóban 3927.

307. A p = {0, 1, 2, 3, 4, 5} számok közül melyikre igaz, hogy a(p + 2) · x = 8 + x és (p − 2)x = p − 1

egyenleteknek a megoldása ugyanaz? Az adott p értékekre meg kell oldani az egyes egyenleteket.

p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5

(p + 2) · x = 8 + x 2x = 8 + x 3x = 8 + x 4x = 8 + x 5x = 8 + x 6x = 8 + x 7x = 8 + x

x = 8 x = 4 x =8

3x = 2 x =

8

5x =

4

3

(p − 2)x = p − 1 −2x = −1 −x = 0 0 · x = 1 x = 2 2x = 3 3x = 4

x =1

2x = 0 nincs megoldás x =

3

2x =

4

3

Tehát p = {3; 5} esetén ugyanaz az egyenletek megoldása.

221



Függvények, sorozatok

308. Magyarországon 1976 óta kötelező a biztonsági öv használata az első üléseken, lakott területenkívül 1994-től a hátul ülőknek is be kell csatolniukmagukat. A hazai arány elöl 54 százalékos, hátul6 százalékos. A németeknél a felnőttek 92 százaléka,a gyerekek 70 százaléka bekapcsolja magát. A biz-tonsági eszközök általános használata számos ember-életet menthetne meg évente. Ugye a te családodbanmindenki használja a biztonsági övet?A vonalgrafikonon található adatokból készíts függ-vényt, azaz add meg az A alaphalmazt, a K kép-halmazt és a hozzárendelési utasítást! Mely évekfolyamán nőtt a biztonsági övet használók száma?

309. Olvasd le a négyszög csúcspontjainak koordinátáit!a) Tükrözd a négyszöget az x tengelyre!b) Minden ponthoz azt a pontot rendeld hozzá, amelyik az x

tengely másik oldalán van, de csak fele olyan távolságra azx tengelytől, mint az eredeti pont volt!

Töltsd ki a táblázatot!

Azalakzatneve

Kerület Terület

Eredetipontok A(2; −4) B(5; 3) C(2; 6) D(−1; 3) Deltoid 2(

√18 +

√58) ≈

≈ 23,72 e10 · 6

2= 30 e2

a transz-formáció A′(2; 4) B ′(5; −3) C′(2; −6) D′(−1; −3) Deltoid 23,72 e 30 e2

b transz-formáció A′′(2; 2) B ′′(5; −2

3

)C′′(2; −3) D′′(−1; −3

2

)Deltoid

2(√

58

2+

√45

2

)≈

≈ 15,93 e

5 · 6

2= 15 e2

310. Keresd a párját! x �→ 5 képe egy az x tengellyel párhuzamos egyenes, ami nem szerepel az ábrán.

a : y = 5 + x

d : 3y = −2x + 9 a : x �→ x + 5

b : x �→ 5x b : y = 5x

c : x = 5 x �→ 5

d : x �→ −2

3x + 3

222



311. Ábrázold az x �→ 3 − 2x függvény grafikonját! Határozd meg az A(0;

), B

(1;

),

C(−7;

), D

(; 1

), E

(; 9

), F

(; −47

)pontok hiányzó jelzőszámait úgy, hogy a

pontok

a) a grafikonon; b) a grafikon felett; c) a grafikon alatt legyenek!

x �→3−

2x

−2−1 1 2 3 4

−2

−1

1

2

3

4

x

y

a A(

0; 3)

B(

1; 1)

C(−7; 17

)D

(1 ; 1

)E(−3 ; 9) F ( 25 ; −47)

b y > 3 y > 1 y > 17 x > 1 x > −3 x > 25

c y < 3 y < 1 y < 17 x < 1 x < −3 x < 25

312. A városi autóbuszon egy vonaljegy ára 250 Ft. Julcsinéni a piacra ment őszibarackért, mindkét irány-ban autóbuszon utazott. Egy kg barack ára 300 Ft.Mariska néni közel lakik a piachoz, ő gyalog jároda. Számítsd ki, hogy mennyit fizet Julcsi, illetveMariska néni a vásárolt barack mennyiségétől füg-gően! Írj fel függvénykapcsolatot, és rajzold megaz egyes függvények grafikonjait! Melyik határozmeg egyenes arányosságot a két függvénykapcsolatközül?

A vásárolt barack x kg. Julcsi néni által fizetett pénz:

1 2 3 4 5 x [kg]

Pénz [Ft]

250

500

750

1000

1250

1500

1750

x �→ 250 + 300x.

Mariska néni által fizetett pénz: x �→ 300x, ez egyenes arányosság.

313. Melyik esetben lesz a legnagyobb a két koordináta-tengely és a lineáris függvény grafikonjaáltal bezárt háromszög területe?

a) x �→ 5 − x b) x �→ 3

2x + 6 c) x �→ 3x − 8

A lineáris függvények tengelymetszeteit kell meghatározni. A kevésbé jó matematikusoknál elégedjünk meg a

grafikonról való leolvasással, a jobbak pedig számolják ki a keresett metszéspontokat!

Az x tengelynél a függvény értéke 0, míg az y tengelyen vett metszéspontnál az x = 0.

a) x �→ 5 − x; A(5; 0) B(0; 5) T =25

2e2 = 12,5 e2.

b) x �→ 3

2x + 6; A(−4; 0) B(0; 6) T = 12 e2.

c) x �→ 3x − 8; A

(8

3; 0

)B(0; −8) T =

64

6e2 =

32

3e2.

Az a) esetben lesz legnagyobb a terület.

223



314. Az alsó sorban megadtuk egy sorozat különbségsorozatát. (A különbségsorozatot úgy kapjuk,hogy minden elemből – a másodiktól kezdve – kivonjuk a megelőzőt.) Írd be a sorozatokhiányzó elemeit! Találkoztál-e ismerős sorozattal?a)

0,5 0,8 2,3 7 1,6

0,3 1,5 4,7 −5,4

b)1

4

3

5

32

7

3

1

3

1

3

1

3

1

3

számtanisorozat

c)1 4 9 16 25

3 5 7 9

négyzet-számoksorozata

d)4 2 1

1

2

1

4

−2 −1 −1

2−1

4

315. Töltsd ki a számtani sorozatra vonatkozó táblázatot!

a1 d a2 a6 Az első hat elem összege

−3 7 4 32 87

1

2−1

4

1

4−3

4−3

4

20

3

1

37 8

1

345

8 −2 6 −2 18

a1 d a2 a6 Az első hat elem összege

−3 7 4 32 87

1

2−1

4

1

4−3

4−3

4

20

3

1

37 8

1

345

8 −2 6 −2 18

316. Egy sorozat általános tagja 3(n − 1) + 2 képlettel írható le.a) Sorold fel a sorozat első tíz elemét és ábrázold azokat koordináta-rendszerben! Hogyan

helyezkednek el a pontok? 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29b) Mit mondhatsz róluk 3-mal való oszthatóság szempontjából? A sorozat elemei 3-mal osztva 2-t

adnak maradékul.

224



c) A sorozat hány tetszőleges elemét kell összeadni, hogy 3-mal osztható összeget kapjál?Próbálkozzanak a gyerekek, míg rájönnek, hogy 3 tetszőleges elem összege többszöröse a 3-nak, hiszen 3-szor lesz 2 a maradék.

d) Tagja-e ennek a sorozatnak a 17; 117; 217; 317? A sorozat elemei 3-mal osztva 2-t adnak maradékul,és 2-től kezdve minden ilyen szám szerepel a sorozatban. Így a 17 eleme a sorozatnak, a6 = 17 és a 317 = a106.A 117 osztható 3-mal, míg a 217 3k + 1 alakú szám, így ezek nem tartozhatnak a sorozathoz.

e) Hányadik tagja a sorozatnak az 1541? 3(n − 1) + 2 = 1541 egyenletből n = 514, azaz a514 = 1541.

317. Az egytől kezdve hány egymás utáni pozitív egész számot kell összeadni, hogy az összeg olyanháromjegyű szám legyen, amelynek számjegyei egyenlőek?

Az összeadandó számok: 1 + 2 + . . . + n =n(n + 1)

2.

Első megoldás:

A kapott háromjegyű szám a a a alakú, amelynek értéke 111 · a, ahol 1 � a � 9.

Innen(n + 1)n

2= 111 · a

n(n + 1) = 2 · 3 · 37 · a.

n és n + 1 egymás után következő számok, ezért olyan a-t kell keresni, hogy a 2 · 3 · 37 · a is két szomszédos szám

szorzata legyen. Az a-ra adott feltétel miatt a 36 a keresett szomszédja a 37-nek, és más megoldás nem is jöhet

szóba az a � 9 miatt, ezt behelyettesítéssel is megkaphatják a gyerekek.

Így n(n + 1) = 36 · 37, azaz a = 6.

Tehát 36 számot adtunk össze.

Ellenőrzés: 1 + 2 + . . . + 36 = 666.

Második megoldás:

Az n(n + 1) = 2 · 3 · 37 · a = 37 · 6 · a kifejezésben vagy n, vagy n + 1 többszöröse 37-nek.

Ha már 2-szerese lenne akár n, akár n+1, akkor az legalább 2 ·37−1 = 73 lenne. A másik szám viszont legfeljebb

a · 3, azaz legfeljebb 27 lehetne, ami ellentmond annak, hogy n és n + 1 szomszédos számok.

Eszerint vagy n, vagy n + 1 egyenlő 37-tel. Mivel n = 37 esetén n + 1 = 38 nem osztható 6-tal, csakis n + 1 = 37

jön szóba. Így n = 36 = 6 · 6 = 6 · a, vagyis a = 6.

Megjegyzés: Ha nem kötjük ki, hogy a számjegy, akkor akárhány megoldás lehet.

Csak egy példa: 74 · 75 = 2 · 37 · 3 · 25, a = 25.

Alakzatok

318. Melyik hibás?A: 2,8 · 105 m = 28 km D: 3 m3 71 dm3 ≈ 3,1 millió cm3

B: 24 cm2 = 2,4 · 103 mm2 E: 2645 l = 2,645 m3

C: 634 dm2 = 6,34 m2 F : Az A, B, C, D, E mindegyike helyes.Helyes a B, C, D, E, hibás az A és az F .

A : 2,8 · 105 m�28 km = 2,8 · 104 m B : 24 cm2 = 2,4 · 103 mm2 = 2400 mm2

D : 3 m3 71 dm3 = 3 071 000 cm3 ≈ 3,1 millió cm3 E : 2645 l = 2,645 m32645 dm3

319. a) Milyen hosszú és milyen széles papírra fér el az ábra szerintegymás után rajzolt tíz szabályos háromszög?

x2 + 102 = (2x)2

3x2 = 100

x ≈ 5,77 cm

A papír szélessége2x ≈ 11,54 cm < 11,6 cm

225



b) Milyen hosszú és milyen széles papírra fér el az ábra szerint egymásmellé rajzolt tíz kör?A papír hossza 6 + 12 + 18 + . . . + 60 = 330 cm.

A papír szélessége 60 cm.

c) Az AD szakasz hossza 27 cm. Az AB és CD szakasz hosszánakA B C D

x y z

átlaga éppen a BC szakasz hossza. Az AC szakasz pedig kétszer olyanhosszú, mint a BD szakasz. Mekkora az AB, a BC és a CD szakasz hossza?

I. x + y + z = 27

II. x + z = 2y

III. x + y = 2(y + z)

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

I.,II. 3y = 27

y = 9

II. x + z = 18

III. x − 2z = 9

}z = 3 x = 15

AB = 15 cm, BC = 9 cm, CD = 3 cm

Ellenőrzés: 15 + 9 + 3 = 27; 15 + 3 = 2 · 9;15 + 9

2= 9 + 3

320. Egy háromszög két belső szögének aránya 3 : 4. A harmadik belső szöge1

18egyenesszöggel

nagyobb az elsőnél. Mekkorák a háromszög szögei?

3x + 4x + 3x + 10 = 180

x = 17

A háromszög szögei 51◦, 68◦ és 61◦.

321. Egy téglalap átlója 2 : 3 arányban osztja a téglalap szögét. a)

a) Mekkora szöget zár be a két átló?b) Mekkora a hosszabb oldal, ha az átló hossza 10 cm, a rövidebb oldal

hossza pedig 6 cm?a) Az átlók szöge ε = 2 · 36◦ = 72◦.

b) Pitagorasz-tétel alapján a másik oldal 8 cm hosszú. Ellenőrizni kell a szögeket. Megmutatható, hogy ez nemlehet az a) részben megadott téglalap, mert a 6 cm és 8 cm oldalú téglalap szögét az átló 36,87◦-os és 53,13◦-os szögre bontja. Ha az a) és a b) feladatban szereplő téglalapok rajzát négyzetrácson elkészítjük, és azokategymásra csúsztatjuk (pl. írásvetítőn vagy aktív táblán), szemléltethetjük, hogy a két téglalap nem egybevágó.

a)

36◦54◦

b)

36,87◦53,13◦

a), b)

322. a) Egy négyzetet az egyik oldalával párhuzamos egyenesekkel három egybe-vágó, 24 cm kerületű téglalapra bontunk. Számítsd ki a négyzet kerületét,területét!

8

3a = 24 a = 9

Knégyzet = 36 cm Tnégyzet = 81 cm2

226



b) Egy négyzet oldalait 10%-kal növelték, majd az így kapott négyzet oldalait azok ötödévelcsökkentették. A két változtatás után keletke-zett négyzet területe hány százaléka az eredetinégyzet területének?

77,44%-a a terület.

323. Egy derékszögű trapéz alapjai 8 cm és 4 cm hosszúak, a hosszabbik szára pedig 5 cm. Mekkoraa trapéz rövidebb átlója és a területe?

m2 + 42 = 52 ⇒ m = 3 42 + 32 = e2 ⇒ e = 5

A rövidebb átló 5 cm. T =(8 + 4) · 3

2= 18 cm2

324. Egy 6 cm oldalú négyzet oldalain az ábra szerint megjelöltünknégy harmadoló pontot, az F pont pedig legyen az RS szakaszfelezőpontja.a) Milyen fajta sokszög az SCR, a PQRS, az AQFP , a QFSP ?

SCR: egyenlő szárú derékszögű háromszög PQRS : húrtrapéz

AQFP : deltoid QFSP : paralelogramma

b) Számítsd ki az SCR, a PQRS, az AQFP és a QFSP sokszögkerületét és területét!

TSCR = 8 cm2 TPQRS = 18 cm2 TAQFP = 8 cm2 TQFSP = 12 cm2

c) Számítsd ki a PQ és RS szakaszok távolságát mm pontossággal!x2 + x2 = 22

x2 = 2

x ≈ 1,41 cm

PQ és RS távolsága 3x ≈ 4,23 cm ≈ 42 mm

325. Egy konvex sokszög külső és belső szögeinek összege 1260◦. Hány oldalú a sokszög?Megrajzolható-e egy vonallal, a ceruza felemelése nélkül a sokszög összes oldala és átlójaúgy, hogy semelyik szakaszt sem rajzoljuk meg kétszer?A sokszög 7 oldalú, mert (n − 2) · 180◦ = 1260◦ − 360◦ 7 · 180◦ = 1260◦.

Egy vonallal megrajzolható, mert minden csúcsban páros számú szakasz fut össze (2 oldal és 4 átló).

326. Egy szabályos sokszög szomszédos csúcsai A, B és C, középpontja pedig O. Az ABCO

deltoid egyik szöge 45◦-kal nagyobb a másiknál. Hány oldalú a sokszög?

x = 63◦

AOB� = 85,5◦

lehetetlen

vagy

x = 36◦

AOB� = 18◦

20 oldalú

vagy

x = 45◦

AOB� = 90◦

4 oldalú

227



x = 90◦

AOB� = 45◦

9 oldalú

lehetetlen x = 105◦

AOB� = 75◦

lehetetlen

lehetetlen

327. Mekkora a színessel jelölt rész területe, ha az ábrán egyenlő oldalú sokszög és körívek láthatók?

a) b) c)

a) T = 62 − 2 · 1

2· 32π + 2 · 1,52π ≈ 21,87 cm2

b) Pitagorasz-tétel alapján: x2 + 62 = 72; x ≈ 3,61 cm; AB ≈ 14,22 cm

T = 2 · (AB + 7) · 6

2− 2,52π ≈ 107,7 cm2

Megjegyzés: A hatszög egyenlő oldalú, de nem szabályos hatszög.

c)

m

10

2060◦ Pitagorasz-tétel alapján: m2 + 102 = 202; m ≈ 17,3 cm

T = 2 · 20 · m

2− 2

3· 72π ≈ 243,43 cm2

328. A kocka éle 1 cm.a) Számítsd ki a színessel jelölt hatszög kerületét, ha

az élek felezőpontjai a hatszög csúcsai!

b) Rajzold be a kocka hálójába a hatszög oldalait!

a) A hatszög éle 5√

2 mm ≈ 7,05 mm, K = 6 · 5√

2 ≈ 42,3 mm

b) Más hálózattal is megadhatjuk. Pl.:

228



329. a) Egy téglatest élei méterben mérve egészek, térfogata 28 m3. Mekkora lehet a téglatestfelszíne?

V = a · b · c = 28 1 · 1 · 28 1 · 2 · 14 1 · 4 · 7 2 · 2 · 7

A = 2(a · b + a · c + b · c) 114 m2 88 m2 78 m2 64 m2

b) Egy téglatest élei centiméterben mérve egészek, két lapjának területe 7 cm2, illetve 9 cm2.Mekkora lehet a téglatest felszíne?

a · b = 7 1 · 7 1 · 7

a · c = 9 1 · 9 3 · 3

A = 2 · (a · b + a · c + b · c) 158 cm2 lehetetlen

330. Egy négyzetes oszlop alakú csomagot az ábrán látható módon átkötöttek. Ehhez210 cm szalagot használnak, amiből 10 cm kellett a csomózáshoz. A testmagassága háromszor akkora, mint az alapéle. Hány centiméter az oszlop egycsúcsában összefutó három éle hosszának az összege?

12a = 200 cm; a =50

3cm

A három él hossza 5a = 5 · 50

3=

250

3cm = 83

1

3cm

331. a) Számítsd ki a testek térfogatát!

b) Hány kilogramm festék kell a testek befestéséhez, ha 1,3 kg festék elegendő 1 m2 felülethez?

I. húrtrapéz alapú egyenes hasáb II. egyenes henger, amelynek az alaplapjaegy félkör és egy téglalap

x2 = 12 + 0,52

x ≈ 1,12 m

a) V =(3 + 2) · 1

2· 5 = 12,5 m3

b) A = 2 · (3 + 2) · 1

2+ (3 + 2 · 1,12 + 2) · 5 = 41,2 m2

m = 41,2 · 1,3 = 53,56 kg ≈ 54 kg festék kell

a) V =

(1

2· 12 · π + 2 · 2,5

)· 1 ≈ 6,57 m3

b) A = 2 ·(

1

2· 12 · π + 2 · 2,5

)+

+(

1

2· 2 · 1 · π + 2 + 2 · 2,5

)· 1 ≈ 23,28 m2

m = 23,28 · 1,3 = 30,264 kg ≈ 31 kg festék kell

229



III. kockából készült IV. a téglatestben henger alakú furat van

a) V = 213 − 7 · 7 · 21 = 8232 m3

b) A = 4 · 212 + 2 · (212 − 72) = 2548 m2

m = 2548 · 1,3 = 3312,4 kg ≈ 3313 kg

a) V = 2 · 4 · 9 − 12 · π · 2 ≈ 65,72 m3

b) A = 2(2·4+2·9+4·9−12·π)+2·2·1·π ≈ 130,28 m2

m = 130,28 · 1,3 = 169,364 kg ≈ 170 kg festék kell(A furat belül is festékes.)

332. Az ABC egyenlő szárú háromszög egyik szárának végpontjai A és B. Melyik pont nem leheta háromszög harmadik csúcsa?

a) b)C(3; 8)

D(−3; 0)

E(4; 5)

F (−1; 3)

G(−5; 4)

C(8; −6)

D(0; 10)

E(−5; 9)

F (−10; 0)

G(8; −2)

a) Csak az E nem lehet, mert AC = AD = AG = AB = BF = 5 egység.

b) Az E és G nem lehet, mert AC = AD = AF = AB = 10 egység.

Transzformációk

333. Egy gombfoci pályán a hagyományos WM-rendszer szerint helyezték el az egyik csapatjátékosait.Rajzold meg az ellenfél figuráit, ha mindegyik a közép-vonalra szimmetrikusan ugyanilyen rendszerben helyez-kedik el!

230



334. Legyen az ABCD téglalap AB oldala 6 cm, BC oldala 4 cm, CD oldalának felezőpontja E!a) Szerkeszd meg a téglalapot, majd tükrözd

az AE egyenesre!b) Milyen négyszög az ABCD téglalap és

a tükörkép közös része? Számítsd ki enégyszög átlóinak hosszát!A közös rész az ADED′ deltoid.

Pitagorasz-tétel alapján AE = 5 cm.

TADED′ =AE · DD′

2= 2 · 4 · 3

2⇒

⇒ DD′ = 4,8 cm

c) Hány mm2 az ABCD téglalap és a tükör-képének egyesítésével kapott sokszög te-rülete, illetve hány dm2 az ABCD téglalapés a tükörkép közös részének területe?

Az egyesítés az AB′C′ECB hatszög.

TADED′ = 2 · 4 · 3

2= 12 cm2 = 0,12 dm2 a közös rész területe.

TAB′C′ECB = 2 · TABCD − TADED′ = 2 · 6 · 4 − 12 = 36 cm2 = 3600 mm2 az egyesítés területe.

335. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapja 9 cm, az alaphoz tartozó magassága 6 cm hosszú.a) Szerkeszd meg a háromszöget, majd tükrözd a 6 cm-es

magasság felezőpontjára!b) Számítsd ki az ABC háromszög és a tükörkép háromszög

közös részének területét!c) Hány százaléka a közös rész kerülete az ABC háromszög

kerületének?a) EF középvonal hossza 4,5 cm.

A közös rész rombusz.

b) TCEC′F =4,5 · 6

2= 13,5 cm2

c) 2,252 + 32 = x2

x ≈ 3,75 cmKCEC′F = 4x ≈ 15 cm KABC = 4x + 9 ≈ 24 cm

A közös rész kerülete15

24· 100 = 62,5%-a a háromszög kerületének.

336. Számítsd ki a szabályos sokszög belső szögeinek összegét, haa) ugyanannyi szimmetriatengelye van, mint ahány átlója,

n =n · (n − 3)

2; n = 5; (n − 2) · 180◦ = 540◦ a belső szögek összege.

b) középpontosan szimmetrikus, és a középponti szöge 30◦-nak egész számú többszöröse!Középpontosan szimmetrikus ⇒ n páros.

Középponti szöge 30◦; 60◦; 90◦; 120◦ (ennél több nem lehet)

n = 12 ; 6 ; 4 ; 3

Belső szögek összege 1800◦; 720◦; 360◦; 180◦ lehet.

231



337. Döntsd el, hogy igazak vagy hamisak-e az alábbi állítások!A: Nem minden rombusz deltoid. Hamis.

B: Ha a derékszögű trapéz középpontosan szimmetrikus, akkor négyzet. Hamis. Lehet nem egyenlő

oldalú téglalap is.

C: Ha egy négyszög középpontosan szimmetrikus és átlói merőlegesek, akkor a négyszögtéglalap. Hamis. A négyszög rombusz.

D: Van olyan húrtrapéz, ami paralelogramma. Igaz. Ilyen pl.: a téglalap.

E: A téglalap átlói szimmetriatengelyek. Hamis. Pl.: nem egyenlő oldalú téglalap.

F : Ha egy húrtrapéz középpontosan szimmetrikus, akkor téglalap. Igaz.

G: Minden rombusz középpontosan szimmetrikus. Igaz.

H : A szabályos hatszög átlói szimmetriatengelyek. Hamis. Pl.:

I : A szabályos sokszög szimmetriatengelyei átlók. Hamis. Pl.:

J : A szabályos háromszög középpontosan szimmetrikus. Hamis.

K: Ha egy négyszögnek van két egyenlő szöge, akkor van szimmetriatengelye. Hamis. Pl.: nem

derékszögű, nem egyenlő oldalú paralelogramma.

232


Kerettanterv

TA

NM

EN

ET

JAV

AS

LA

TH

eti

3ór

aes

etén

,37

taní

tási

hétr

eös

szes

en11

1ór

aál

lre

ndel

kezé

sre.

Ata

nmen

et99

óra

beos

ztás

átta

rtal

maz

za.

Afe

nnm

arad

ó12

óra

szab

adon

hasz

nálh

ató

fel

ata

nár,

ille

tve

ata

nuló

kig

énye

szer

int.

Het

i4

óra

eset

énös

szes

en37

-tel

több

óráb

ando

lgoz

hatu

nk.

Ezt

azeg

yes

tém

akör

ökné

lkü

lön

meg

jelö

ljük.

(+x

óra)

Ata

nkön

yvel

sőfe

jeze

téne

khe

ti3

óra

eset

énni

ncs

külö

nór

aszá

ma.

Eze

ket

afe

lada

toka

thá

zife

lada

tkén

t,ve

rsen

yre

kész

ülés

kor

vagy

szak

köri

fogl

alko

záso

kon

adha

tjuk

fel.

A20

03-b

anér

vény

belé

pett

tant

ervm

ódos

ítás

taz

egye

sté

mak

örök

meg

fele

lőso

raib

anje

lezz

ükdő

ltbe

tűve

l.

Tém

aÓ

rasz

ámT

anan

yag

Fog

alm

akÖ

ssze

függ

ések

Esz

közö

kK

iteki

ntés

GO

ND

OL

KO

D-

JUN

KE

GY

ÜT

T!

+5

Tém

aÓ

rasz

ámT

anan

yag

Fog

alm

akÖ

ssze

függ

ések

Esz

közö

kK

iteki

ntés

GO

ND

OL

KO

D-

JUN

KE

GY

ÜT

T!

+5

AL

GE

BR

AA

tém

akör

végé

n2

óra

felm

érő

dol-

goza

t

16+

5A

kere

ttan

terv

2003

-as

csök

kent

ett

vált

ozat

ában

nem

szer

epel

azal

gebr

aiki

feje

zése

kos

ztás

a.A

LG

EB

RA

Até

mak

örvé

gén

2ór

afe

lmér

ődo

l-go

zat

16+

5A

kere

ttan

terv

2003

-as

csök

kent

ett

vált

ozat

ában

nem

szer

epel

azal

gebr

aiki

feje

zése

kos

ztás

a.

szep

tem

ber–

októ

ber

1A

lgeb

rai

kife

jezé

-se

kös

szeg

e,sz

or-

zata

Abe

tűki

feje

zés

érte

lmez

ése

Műv

elet

itu

lajd

on-

ságo

k(f

elcs

erél

he-

tősé

g,cs

opor

tosí

t-ha

tósá

g)

Tan

köny

v,m

ág-

nest

ábla

kárt

yák-

kal

Egy

enle

tek

meg

ol-

dásá

nak

elők

észí

-té

se

2E

gyta

gú,t

öbbt

agú

alge

brai

kife

jezé

-se

k

Egy

nem

ű,ne

meg

ynem

űki

feje

zés

Öss

zevo

nás,

szor

-zá

ssz

ámok

kal

ésbe

tűkk

el

Tan

köny

v,m

ág-

nest

ábla

kárt

yák-

kal

Egy

enle

tek

meg

ol-

dásá

nak

elők

észí

-té

se

3–4

Azo

nos

átal

akítá

-so

k,eg

yenl

etek

Az

azon

ossá

gfo

galm

aZ

árój

elfe

lbon

tás

Tan

köny

v,m

ág-

nest

ábla

kárt

yák-

kal

Azo

noss

ágra

veze

tőeg

yenl

etek

233


Kerettanterv

Tém

aÓ

rasz

ámT

anan

yag

Fog

alm

akÖ

ssze

függ

ések

Esz

közö

kK

iteki

ntés

Tém

aÓ

rasz

ámT

anan

yag

Fog

alm

akÖ

ssze

függ

ések

Esz

közö

kK

iteki

ntés

5–6

Hat

vány

ozás

azo-

noss

ágai

Hat

vány

alap

,ha

tván

ykite

vő,

hatv

ányé

rték

Aha

tván

yozá

saz

onos

sága

i,a

szor

zás

ésa

hat-

vány

ozás

Tan

köny

v,m

ág-

nest

ábla

kárt

yák-

kal

Szor

zato

keg

y-sz

erűb

bal

akba

nva

lófe

lírá

sa,t

ör-

tek

egys

zerű

síté

se

7E

gész

éstö

rtki

fe-

jezé

sek,

oszt

ható

-sá

g

Ahe

lyet

tesí

tési

érté

kfo

galm

a,al

gebr

aieg

ész,

alge

brai

tört

foga

lma

Szá

mol

ási

fela

-da

tok,

műv

elet

ekso

rren

dje

Tan

köny

v,m

ág-

nest

ábla

kárt

yák-

kal

Függ

vény

érté

kek

meg

adás

a

8S

zorz

atbó

lös

szeg

,be

szor

zás

Zár

ójel

felb

ontá

s,ös

szeg

,szo

rzat

foga

lma

Az

össz

egés

asz

orza

tka

pcso

-la

ta,a

disz

trib

utív

műv

elet

itu

lajd

on-

ság

Tan

köny

v,m

ág-

nest

ábla

kárt

yák-

kal

Töb

btén

yező

ski

feje

zése

kát

a-la

kítá

sa,t

örtk

i-fe

jezé

sek

közö

sne

vező

je

9–10

Öss

zegb

őlsz

orza

t,ki

emel

ésK

iem

elés

Azo

noss

ágok

alka

lmaz

ása

Tan

köny

vA

zel

lenő

rzés

sze-

repe

11Sz

öveg

esfe

lada

-to

kA

való

ságb

ólve

ttpr

oblé

mák

mat

e-m

atik

aile

írás

a

Szöv

egér

tés

Tan

köny

vE

gyen

lete

kgr

afi-

kus

meg

oldá

sa

12M

ozgá

sos

fela

da-

tok

Út,

idő,

sebe

sség

Az

egye

nesv

onal

úeg

yenl

etes

moz

gás

Tan

köny

vA

becs

lés

ésaz

elle

nőrz

és

13–1

4M

unka

végz

ésse

lka

pcso

lato

sfe

lada

-to

k

Mun

ka,t

elje

sít-

mén

yE

gyen

esés

ford

í-to

ttar

ányo

sság

Tan

köny

vK

amat

oska

mat

-sz

ámít

ás

15–1

6S

záza

léks

zám

ítás

tta

rtal

maz

óés

keve

rése

sfe

lada

-to

k

Asz

ázal

éksz

ámí-

tás

alap

foga

lmai

Ará

nyos

köve

tkez

-te

tése

kT

ankö

nyv,

bank

isz

ámla

kivo

nato

k,ár

uház

ipr

ospe

ktu-

sok

Kam

atos

kam

at-

szám

ítás

234


Kerettanterv

Tém

aÓ

rasz

ámT

anan

yag

Fog

alm

akÖ

ssze

függ

ések

Esz

közö

kK

iteki

ntés

Tém

aÓ

rasz

ámT

anan

yag

Fog

alm

akÖ

ssze

függ

ések

Esz

közö

kK

iteki

ntés

17–1

8I.

felm

érő

NÉ

GY

ZE

TG

YÖ

KF

OG

AL

MA

PIT

AG

OR

AS

Z-

TÉ

TE

L

10+

3N

ÉG

YZ

ET

GY

ÖK

FO

GA

LM

AP

ITA

GO

RA

SZ

-T

ÉT

EL

10+

3

októ

ber–

nove

mbe

r19

–20

Nég

yzet

gyök

voná

sN

égyz

etgy

ökfo

galm

aA

négy

zetr

eem

e-lé

sés

agy

ökvo

nás

Mil

lim

éter

papí

r,zs

ebsz

ámol

ógép

,sz

ámok

négy

zeté

-ne

ktá

bláz

ata

Az

x�→

√ xfü

gg-

vény

grafi

konj

a

21H

ossz

úság

éste

rü-

let

meg

hatá

rozá

sará

cson

Síki

dom

okát

dara

-bo

lása

Tég

lala

pés

háro

msz

ögte

rüle

teN

égyz

ethá

lós

papí

r,sz

erke

sz-

tőes

zköz

ök

Am

érté

kegy

ség

önké

nyes

meg

vá-

lasz

tása

22–2

3Pi

tago

rasz

-tét

elT

étel

ésan

nak

meg

ford

ítása

Öss

zefü

ggés

ahá

rom

szög

olda

lai

közö

tt

Zse

bszá

mol

ógép

,sz

ámok

négy

zeté

-ne

ktá

bláz

ata

Pit

agor

aszi

szám

-há

rmas

ok

24–2

5Pi

tago

rasz

-tét

elal

kalm

azás

aH

árom

szög

eksz

ö-ge

ksz

erin

tios

ztá-

lyoz

ása

Old

alak

éssz

ö-ge

kka

pcso

lata

ahá

rom

szög

ekbe

n

Zse

bszá

mol

ógép

,sz

erke

sztő

eszk

ö-zö

k

Agö

rög

mat

ema-

tika

szer

epe

26–2

7Sí

kgeo

met

riai

fela

-da

tok

Geo

met

riai

prob

lé-

mák

leír

ása

alge

b-ra

ies

zköz

ökke

l

Der

éksz

ögű

háro

msz

ögek

akö

rnye

zetü

nkbe

nés

age

omet

riáb

an

Zse

bszá

mol

ógép

Hos

szús

ágok

meg

-ha

táro

zása

való

sá-

gos

tárg

yako

n

28Sz

ámon

kéré

s

235


Kerettanterv

Tém

aÓ

rasz

ámT

anan

yag

Fog

alm

akÖ

ssze

függ

ések

Esz

közö

kK

iteki

ntés

Tém

aÓ

rasz

ámT

anan

yag

Fog

alm

akÖ

ssze

függ

ések

Esz

közö

kK

iteki

ntés

SÍK

GE

OM

ET

RIA

Até

mak

örvé

gén

2ór

afe

lmér

ődo

l-go

zat

9+

4A

kere

ttan

terv

2003

-as

csök

kent

ett

vált

ozat

ában

nem

szer

epel

eza

tém

akör

.S

ÍKG

EO

ME

TR

IAA

tém

akör

végé

n2

óra

felm

érő

dol-

goza

t

9+

4A

kere

ttan

terv

2003

-as

csök

kent

ett

vált

ozat

ában

nem

szer

epel

eza

tém

akör

.

nove

mbe

r29

Hár

omsz

ögek

Ahá

rom

szög

ekne

veze

tes

vona

lai,

köre

i

Ado

tttu

lajd

onsá

gúpo

ntok

halm

aza

Sze

rkes

ztőe

szkö

-zö

kT

halé

sz-t

étel

elő-

kész

ítés

e

30–3

1N

égys

zöge

kS

peci

ális

négy

-sz

ögek

kerü

lete

,te

rüle

te

Ané

gysz

ögek

Ven

n-di

agra

mja

Sze

rkes

ztőe

szkö

-zö

kH

úrné

gysz

ög,

érin

-tő

négy

szög

32So

kszö

gek

Kon

vex,

konk

ávso

kszö

gek

Asz

ögek

fajt

áiS

zerk

eszt

őesz

kö-

zök

Húr

soks

zöge

k,ér

intő

soks

zöge

k

33A

kör

ésré

szei

Kör

cikk

,kör

szel

et,

körg

yűrű

Aso

kszö

gek

ésa

kör

Sze

rkes

ztőe

szkö

-zö

kA

kör

rész

eine

kte

rüle

te

34–3

5Sí

kgeo

met

riai

fela

-da

tok

Geo

met

riai

fela

-da

tok

meg

oldá

saal

gebr

aies

zköz

ök-

kel

Así

kgeo

met

riai

alak

zato

król

tanu

l-ta

kös

szeg

ezés

e

Sze

rkes

ztőe

szkö

-zö

k,zs

ebsz

ámol

ó-gé

p

Pit

agor

asz-

téte

lal

kalm

azás

a

36–3

7T

érge

omet

riai

fel-

adat

okT

ávol

ságo

kté

rbel

ial

akza

toko

nH

asáb

okél

ei,á

tlói

Sze

rkes

ztőe

szkö

-zö

k,zs

ebsz

ámol

ó-gé

p

Pit

agor

asz-

téte

lal

kalm

azás

a

38–3

9II

.fe

lmér

ő

236


Kerettanterv

Tém

aÓ

rasz

ámT

anan

yag

Fog

alm

akÖ

ssze

függ

ések

Esz

közö

kK

iteki

ntés

Tém

aÓ

rasz

ámT

anan

yag

Fog

alm

akÖ

ssze

függ

ések

Esz

közö

kK

iteki

ntés

KÖ

ZÉ

PIS

KO

LÁ

-B

AK

ÉS

ZÜ

LÜ

NK

10+

4K

ÖZ

ÉP

ISK

OL

Á-

BA

KÉ

SZ

ÜL

ÜN

K10

+4

dece

mbe

r–ja

nuár

40–4

1M

űvel

etek

raci

o-ná

lissz

ámok

kal

Hel

yi,a

laki

érté

k,el

lent

ett,

absz

olút

érté

k

Műv

elet

ekso

r-re

ndje

,prí

mté

nye-

zős

felb

ontá

s

Tan

köny

v,pr

ím-

szám

tábl

ázat

Alg

oritm

usok

hely

esha

szná

lata

42–4

3A

lgeb

rai

kife

jezé

-se

kát

alak

ítás

aA

lgeb

rai

alap

fo-

galm

akK

éple

tés

hely

et-

tesí

tési

érté

ke.

Egy

enle

tek,

egye

n-lő

tlen

sége

k

Tan

köny

vK

éple

tek

hely

esha

szná

lata

afi

ziká

-ba

nés

aké

miá

ban

44–4

5Fü

ggvé

nyek

,sor

o-za

tok

Függ

vény

ek,s

oro-

zato

kje

llem

zőad

atai

Függ

vény

ésgr

afi-

konj

akö

zötti

kap-

csol

at

Tan

köny

v,ír

ásve

-tí

tő,f

üggv

énye

kgr

afiko

njai

fóliá

n

Afü

ggvé

nyek

alka

lmaz

ása:

fizi

ka,s

tati

szti

kast

b.

46–4

7G

eom

etri

aial

akza

-to

kSí

kgeo

met

riai

alap

foga

lmak

Geo

met

riai

alap

is-

mer

etek

ahá

rom

-sz

ögek

ben.

Ter

ü-le

tszá

mít

ás

Tan

köny

v,sz

er-

kesz

tőes

zköz

ökG

eom

etri

aisz

ámí-

táso

kva

lósá

ghoz

kötő

dősz

öveg

esfe

lada

tokb

an

48–4

9G

eom

etri

aisz

ámí-

táso

k,sz

erke

szté

-se

k

Egy

bevá

gósá

gitr

ansz

form

áció

kA

tran

szfo

rmác

iók

ésa

síkm

ozgá

sok

kapc

sola

ta

Tan

köny

v,sz

er-

kesz

tőes

zköz

ökPo

ntos

,átt

ekin

t-he

tőra

jzol

ásfo

n-to

sság

a

237


Kerettanterv

Tartalomjegyzék

TK. FGY.KERETTANTERV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5GONDOLKODJUNK EGYÜTT! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Logikai feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Halmazokkal kapcsolatos feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Skatulyaelv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Hányféleképpen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Játékok, híres fejtörők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 . . . . . . . . . 154Algebrai kifejezések fajtái I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . 154Egytagú és többtagú algebrai kifejezések, összevonás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 . . . . . . . . . 156Azonos átalakítások, egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39A hatványozás azonosságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 . . . . . . . . . 163Szorzat és hányados hatványozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Algebrai kifejezések fajtái II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Szorzatból összeg, beszorzás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Összegből szorzat, kiemelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Szöveges feladatok megoldása egyenlettel vagy anélkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 . . . . . . . . . 175Mozgásos feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 . . . . . . . . . 179Munkavégzéssel kapcsolatos feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 . . . . . . . . . 182Százalékszámítással kapcsolatos feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 . . . . . . . . . 184Keveréses feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78NÉGYZETGYÖK, PITAGORASZ-TÉTEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 . . . . . . . . . 186

A négyzetgyök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Hosszúság és terület meghatározása rácson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 . . . . . . . . . 187Pitagorasz-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 . . . . . . . . . 189A Pitagorasz-tétel alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 . . . . . . . . . 189

TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94GEOMETRIAI ISMÉTLŐ FELADATOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 . . . . . . . . . 195

Háromszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 . . . . . . . . . 197Négyszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 . . . . . . . . . 200Sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 . . . . . . . . . 204Körök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . 205Síkgeometriai számítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 . . . . . . . . . 207Térgeometriai számítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 . . . . . . . . . 210

TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113KÖZÉPISKOLÁBA KÉSZÜLÜNK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 . . . . . . . . . 216

Számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 . . . . . . . . . 216Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 . . . . . . . . . 219Függvények, sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 . . . . . . . . . 222Alakzatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 . . . . . . . . . 225Transzformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 . . . . . . . . . 230

FELVÉTELI FELADATOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130TANMENETJAVASLAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

238


Kerettanterv

a b b 3

a b 3

a b a b − a 3

a + b a b − a 3

a

7

b

a + b

a

7

b

a + 7

a

b − a

b

a + b

a

7

b

a + b


Kerettanterv

Szám

okné

gyze

te(5

,50

→9,

99)

Sz.

01

23

45

67

89

5,5

30,2

530

,36

30,4

730

,58

30,6

930

,80

30,9

131

,02

31,1

431

,25

5,6

31,3

631

,47

31,5

831

,70

31,8

131

,92

32,0

432

,15

32,2

632

,38

5,7

32,4

932

,60

32,7

232

,83

32,9

533

,06

33,1

833

,29

33,4

133

,52

5,8

33,6

433

,76

33,8

733

,99

34,1

134

,22

34,3

434

,46

34,5

734

,69

5,9

34,8

134

,93

35,0

535

,16

35,2

835

,40

35,5

235

,64

35,7

635

,88

6,0

36,0

036

,12

36,2

436

,36

36,4

836

,60

36,7

236

,84

36,9

737

,09

6,1

37,2

137

,33

37,4

537

,58

37,7

037

,82

37,9

538

,07

38,1

938

,32

6,2

38,4

438

,56

38,6

938

,81

38,9

439

,06

39,1

939

,31

39,4

439

,56

6,3

39,6

939

,82

39,9

440

,07

40,2

040

,32

40,4

540

,58

40,7

040

,83

6,4

40,9

641

,09

41,2

241

,34

41,4

741

,60

41,7

341

,86

41,9

942

,12

6,5

42,2

542

,38

42,5

142

,64

42,7

742

,90

43,0

343

,16

43,3

043

,43

6,6

43,5

643

,69

43,8

243

,96

44,0

944

,22

44,3

644

,49

44,6

244

,76

6,7

44,8

945

,02

45,1

645

,29

45,4

345

,56

45,7

045

,83

45,9

746

,10

6,8

46,2

446

,38

46,5

146

,65

46,7

946

,92

47,0

647

,20

47,3

347

,47

6,9

47,6

147

,75

47,8

948

,02

48,1

648

,30

48,4

448

,58

48,7

248

,86

7,0

49,0

049

,14

49,2

849

,42

49,5

649

,70

49,8

449

,98

50,1

350

,27

7,1

50,4

150

,55

50,6

950

,84

50,9

851

,12

51,2

751

,41

51,5

551

,70

7,2

51,8

451

,98

52,1

352

,27

52,4

252

,56

52,7

152

,85

53,0

053

,14

7,3

53,2

953

,44

53,5

853

,73

53,8

854

,02

54,1

754

,32

54,4

654

,61

7,4

54,7

654

,91

55,0

655

,20

55,3

555

,50

55,6

555

,80

55,9

556

,10

7,5

56,2

556

,40

56,5

556

,70

56,8

557

,00

57,1

557

,30

57,4

657

,61

7,6

57,7

657

,91

58,0

658

,22

58,3

758

,52

58,6

858

,83

58,9

859

,14

7,7

59,2

959

,44

59,6

059

,75

59,9

160

,06

60,2

260

,37

60,5

360

,68

7,8

60,8

461

,00

61,1

561

,31

61,4

761

,62

61,7

861

,94

62,0

962

,25

7,9

62,4

162

,57

62,7

362

,88

63,0

463

,20

63,3

663

,52

63,6

863

,84

8,0

64,0

064

,16

64,3

264

,48

64,6

464

,80

64,9

665

,12

65,2

965

,45

8,1

65,6

165

,77

65,9

366

,10

66,2

666

,42

66,5

966

,75

66,9

167

,08

8,2

67,2

467

,40

67,5

767

,73

67,9

068

,06

68,2

368

,39

68,5

668

,72

8,3

68,8

969

,06

69,2

269

,39

69,5

669

,72

69,8

970

,06

70,2

270

,39

8,4

70,5

670

,73

70,9

071

,06

71,2

371

,40

71,5

771

,74

71,9

172

,08

8,5

72,2

572

,42

72,5

972

,76

72,9

373

,10

73,2

773

,44

73,6

273

,79

8,6

73,9

674

,13

74,3

074

,48

74,6

574

,82

75,0

075

,17

75,3

475

,52

8,7

75,6

975

,86

76,0

476

,21

76,3

976

,56

76,7

476

,91

77,0

977

,26

8,8

77,4

477

,62

77,7

977

,97

78,1

578

,32

78,5

078

,68

78,8

579

,03

8,9

79,2

179

,39

79,5

779

,74

79,9

280

,10

80,2

880

,46

80,6

480

,82

9,0

81,0

081

,18

81,3

681

,54

81,7

281

,90

82,0

882

,26

82,4

582

,63

9,1

82,8

182

,99

83,1

783

,36

83,5

483

,72

83,9

184

,09

84,2

784

,46

9,2

84,6

484

,82

85,0

185

,19

85,3

885

,56

85,7

585

,93

86,1

286

,30

9,3

86,4

986

,68

86,8

687

,05

87,2

487

,42

87,6

187

,80

87,9

888

,17

9,4

88,3

688

,55

88,7

488

,92

89,1

189

,30

89,4

989

,68

89,8

790

,06

9,5

90,2

590

,44

90,6

390

,82

91,0

191

,20

91,3

991

,58

91,7

891

,97

9,6

92,1

692

,35

92,5

492

,74

92,9

393

,12

93,3

293

,51

93,7

093

,90

9,7

94,0

994

,28

94,4

894

,67

94,8

795

,06

95,2

695

,45

95,6

595

,84

9,8

96,0

496

,24

96,4

396

,63

96,8

397

,02

97,2

297

,42

97,6

197

,81

9,9

98,0

198

,21

98,4

198

,60

98,8

099

,00

99,2

099

,40

99,6

099

,80

Sz.

01

23

45

67

89

Szám

okné

gyze

te(1

,00

→5,

49)

Sz.

01

23

45

67

89

1,0

1,00

01,

020

1,04

01,

061

1,08

21,

102

1,12

41,

145

1,16

61,

188

1,1

1,21

01,

232

1,25

41,

277

1,30

01,

322

1,34

61,

369

1,39

21,

416

1,2

1,44

01,

464

1,48

81,

513

1,53

81,

563

1,58

81,

613

1,63

81,

664

1,3

1,69

01,

716

1,74

21,

769

1,79

61,

823

1,85

01,

877

1,90

41,

932

1,4

1,96

01,

988

2,01

62,

045

2,07

42,

103

2,13

22,

161

2,19

02,

220

1,5

2,25

02,

280

2,31

02,

341

2,37

22,

403

2,43

42,

465

2,49

62,

528

1,6

2,56

02,

592

2,62

42,

657

2,69

02,

723

2,75

62,

789

2,82

22,

856

1,7

2,89

02,

924

2,95

82,

993

3,02

83,

063

3,09

83,

133

3,16

83,

204

1,8

3,24

03,

276

3,31

23,

349

3,38

63,

423

3,46

03,

497

3,53

43,

572

1,9

3,61

03,

648

3,68

63,

725

3,76

43,

803

3,84

23,

881

3,92

03,

960

2,0

4,00

04,

040

4,08

04,

121

4,16

24,

203

4,24

44,

285

4,32

64,

368

2,1

4,41

04,

452

4,49

44,

537

4,58

04,

623

4,66

64,

709

4,75

24,

796

2,2

4,84

04,

884

4,92

84,

973

5,01

85,

063

5,10

85,

153

5,19

85,

244

2,3

5,29

05,

336

5,38

25,

429

5,47

65,

522

5,57

05,

617

5,66

45,

712

2,4

5,76

05,

808

5,85

65,

905

5,95

46,

002

6,05

26,

101

6,15

06,

200

2,5

6,25

06,

300

6,35

06,

401

6,45

26,

502

6,55

46,

605

6,65

66,

708

2,6

6,76

06,

812

6,86

46,

917

6,97

07,

022

7,07

67,

129

7,18

27,

236

2,7

7,29

07,

344

7,39

87,

453

7,50

87,

562

7,61

87,

673

7,72

87,

784

2,8

7,84

07,

896

7,95

28,

009

8,06

68,

122

8,18

08,

237

8,29

48,

352

2,9

8,41

08,

468

8,52

68,

585

8,64

48,

702

8,76

28,

821

8,88

08,

940

3,0

9,00

09,

060

9,12

09,

181

9,24

29,

302

9,36

49,

425

9,48

69,

548

3,1

9,61

09,

672

9,73

49,

797

9,86

09,

922

9,98

610

,05

10,1

110

,18

3,2

10,2

410

,30

10,3

710

,43

10,5

010

,56

10,6

310

,69

10,7

610

,82

3,3

10,8

910

,96

11,0

211

,09

11,1

611

,22

11,2

911

,36

11,4

211

,49

3,4

11,5

611

,63

11,7

011

,76

11,8

311

,90

11,9

712

,04

12,1

112

,18

3,5

12,2

512

,32

12,3

912

,46

12,5

312

,60

12,6

712

,74

12,8

212

,89

3,6

12,9

613

,03

13,1

013

,18

13,2

513

,32

13,4

013

,47

13,5

413

,62

3,7

13,6

913

,76

13,8

413

,91

13,9

914

,06

14,1

414

,21

14,2

914

,36

3,8

14,4

414

,52

14,5

914

,67

14,7

514

,82

14,9

014

,98

15,0

515

,13

3,9

15,2

115

,29

15,3

715

,44

15,5

215

,60

15,6

815

,76

15,8

415

,92

4,0

16,0

016

,08

16,1

616

,24

16,3

216

,40

16,4

816

,56

16,6

516

,73

4,1

16,8

116

,89

16,9

717

,06

17,1

417

,22

17,3

117

,39

17,4

717

,56

4,2

17,6

417

,72

17,8

117

,89

17,9

818

,06

18,1

518

,23

18,3

218

,40

4,3

18,4

918

,58

18,6

618

,75

18,8

418

,92

19,0

119

,10

19,1

819

,27

4,4

19,3

619

,45

19,5

419

,62

19,7

119

,80

19,8

919

,98

20,0

720

,16

4,5

20,2

520

,34

20,4

320

,52

20,6

120

,70

20,7

920

,88

20,9

821

,07

4,6

21,1

621

,25

21,3

421

,44

21,5

321

,62

21,7

221

,81

21,9

022

,00

4,7

22,0

922

,18

22,2

822

,37

22,4

722

,56

22,6

622

,75

22,8

522

,94

4,8

23,0

423

,14

23,2

323

,33

23,4

323

,52

23,6

223

,72

23,8

123

,91

4,9

24,0

124

,11

24,2

124

,30

24,4

024

,50

24,6

024

,70

24,8

024

,90

5,0

25,0

025

,10

25,2

025

,30

25,4

025

,50

25,6

025

,70

25,8

125

,91

5,1

26,0

126

,11

26,2

126

,32

26,4

226

,52

26,6

326

,73

26,8

326

,94

5,2

27,0

427

,14

27,2

527

,35

27,4

627

,56

27,6

727

,77

27,8

827

,98

5,3

28,0

928

,20

28,3

028

,41

28,5

228

,62

28,7

328

,84

28,9

429

,05

5,4

29,1

629

,27

29,3

829

,48

29,5

929

,70

29,8

129

,92

30,0

330

,14

Sz.

01

23

45

67

89

Melléklet

tanÁri kÉzikÖnyv a matematika - gov.hu · c m y k tex 2014. június 2. –20:48 (4. lap/4. old.)...

Documents