tampereen teknillinen yliopisto teknisen suunnittelun laitos

Tampereen teknillinen yliopisto

Teknisen suunnittelun laitos

EDE-21100 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 8 Syksy 2013.

Now we divide the structure to two beam elements with two nodal degrees of freedom. The nodes,

elements and global degrees of freedom are drawn in the figure below

The active degrees of freedom are presented by the ID-table below

Node dof1 dof2 1 0 0 2 const. 1 3 0 2

Element Node1 Node2 1 1 2 2 2 3

The element stiffness matrices are formed next.

The model stiffness matrix is scattered with the element stiffness matrix components. The constrained

displacement is in the first row and column of the stiffness matrix K

32 2 2 2

13 31 2 2 2 2

2

24 0 6 24 0 6

0 8 2 0 8 2 0

6 2 4 6 2 4 0i

i

L L FEI EI

L L L L QL L

L L L L L L Q

∆

=

∆ = = ⇒ =

∑K k

1 3 51 2

2 4 61 2 3

2 2

2 3

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

L L

L L L LEI

L LL

L L L L

− − = − − − −

k

const. 1 0 2

2

0

1

c.2 2

1 3

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

L L

L L L LEI

L LL

L L L L

− − = − − − −

k

0 0 const. 1

1

c.

0

0




We solve first the second and third equations

1 1

2 22

1

2

0 08 2 4 1

32 4 1 26

02 1 31

31 4 127 7

Q QEIEI

Q QLL L

Q

Q LL

= ⇔ = ⇒∆ − ∆ −

− ∆ = =∆ − −−

Finally we solve the support reaction in the direction of ∆.

11 12 1 13 2 3 3

9624 6 12

7 7

EI EIF K K Q K Q L

L L L∆∆ = ∆ + + = ∆ − = ∆

Ele 1

Kimmokerroin E [Pa] 2E+11

Pinta-ala A [m2] 0.01

Neliömomentti [m4] 0.00001

x1 [mm] 0

x2 [mm] 4

y1 [mm] 0

y2 [mm] 3

x21 [mm] 4

y21 [mm] 3

le [mm] 5

Suuntakosinit

l = x21 / le 0.8

m = y21 / le 0.6

E*A/Le 400000000

E*Iz/Le3

16000

Solmu n1 1

Solmu n2 2

k lokaali 400000000 0 0 -400000000 0 0

0 192000 480000 0 -192000 480000

tai ke' 0 480000 1600000 0 -480000 800000

-400000000 0 0 400000000 0 0

0 -192000 -480000 0 192000 -480000

0 480000 800000 0 -480000 1600000

L 0.8 0.6 0 0 0 0

-0.6 0.8 0 0 0 0

(kannan vaihtomatriisi) 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0.8 0.6 0

0 0 0 -0.6 0.8 0

0 0 0 0 0 1

k XY 256069120 191907840 -288000 -256069120 -1.92E+08 -288000

191907840 144122880 384000 -191907840 -1.44E+08 384000

-288000 384000 1600000 288000 -384000 800000

-256069120 -191907840 288000 256069120 191907840 288000

-191907840 -144122880 -384000 191907840 144122880 -384000

-288000 384000 800000 288000 -384000 1600000

2 2'

2 2

0 0 0 0

0 12 6 0 12 6

0 6 4 0 6 2

0 0 0 0

0 12 6 0 12 6

0 6 2 0 6 4

e

k k

L L

L L L L

k k

L L

L L L L

κ κ κ κκ κ κ κ

κ κ κ κκ κ κ κ

− − −

= − − − −

−

k

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

l m

m l

l m

m l

−

= −

L

T 'e e=k L k L

K 256069120 191907840 288000 Globaali jäykkyysmatriisi

191907840 144122880 -384000 K

288000 -384000 1600000

Gravitaatiokuormitus globaalikoordinaatistossa

rx 0 N/m

ry -100 N/m Pituuskoordinaatin funktio

Gravitaatiokuormitus lokaalikoordinaatistossa

rxp -60 N/m sauvaosuus

ryp (tämä on q alla) -80 N/m palkkiosuus

Ekvivalenttinen solmukuormitus sauvaosuudelle

-150 N lokaali vapausaste 1 (-60N/m * 5m / 2)

-150 N lokaali vapausaste 4 (rxp * le / 2)

Ekvivalenttinen solmukuormitus palkkiosuudelle

q le / 2 -200 N lokaali vapausaste 2 (-80N/m * 5m / 2)

q le^2 / 12 -166.666667 Nm lokaali vapausaste 3

q le / 2 -200 N lokaali vapausaste 5 (ryp * le / 2)

-q le^2 / 12 166.666667 Nm lokaali vapausaste 6

Lokaali ekvivalenttinen solmukuormitusvektori

f_ekv_l -150 N Alaindeksi l viittaa lokaaliin mittaukseen

-200 N (pilkkumittaukseen)

-166.666667 Nm

-150 N

-200 N

166.666667 Nm

Globaali ekvivalenttinen solmukuormitusvektori

0 N

-250 N

-166.666667 Nm

0 N

-250 N

166.666667 Nm

Globaali solmukuormitusvektori F

0 N

-750 N

166.666667 Nm

K-1

7.5016E-06 -9.999E-06 -3.75E-06

-9.9988E-06 1.333E-05 5E-06

-3.75E-06 5E-06 2.5E-06

Siirtymä Q 0.0068741 m 6.874 mm Q1

-0.00916734 m -9.167 mm Q2

-0.00333333 rad -0.191 ast Q3

'l m

m l

= − r r

Vlf

TV Vxy l=f L f

" " Vxy

e

= + ∑F P f

Elementin siirtymä qXY 0 m q1

0 m q2

0 rad q3

0.0068741 m q4

-0.00916734 m q5

-0.00333333 rad q6

Elementin solmuvoimavektori

f1x 0.00 N

f1y 1000 N

m1 3000 Nm

f2x 0.00 N

f2y -500 N

m2 0.00 Nm

Lokaali solmuvoimavektori fl = L fxy

f1x 600.00 N

f1y 800 N

m1 3000 Nm

f2x -300.00 N

f2y -400 N

m2 0.00 Nm

1

X

Y

Z

Normaalivoima

-600-566.667

-533.333-500

-466.667-433.333

-400-366.667

-333.333-300

OCT 25 201120:53:33

LINE STRESS

STEP=1SUB =1TIME=1N1 N2MIN =-600ELEM=1MAX =-300ELEM=10

UROTFACEL

1

X

Y

Z

Taivutusmomentti

-3000-2667

-2333-2000

-1667-1333

-1000-666.667

-333.333-.227E-11

OCT 25 201120:50:22

LINE STRESS

STEP=1SUB =1TIME=1SMIS6 SMIS12MIN =-3000ELEM=1MAX =-.243E-11ELEM=10

UROTFACEL

Vxy xy xy xy= −f k q f




3. Pisteen P kohdalla CST-kolmioelementin muotofunktioiden N1 ja N2 arvot ovat 0.15 ja 0.25.

Määritä pisteen P koordinaatit.

1 2 3 1N N Nξ η ξ η= = = − −

( )1 1 2 2 3 3( , ) 1 4 3 1 3 2x N x N x N xξ η ξ η ξ η ξ η= + + = ⋅ + ⋅ + − − = − +

( )1 1 2 2 3 3( , ) 1 2 5 1 5 4 3y N y N y N yξ η ξ η ξ η ξ η= + + = ⋅ + ⋅ + − − = − −

0.15 0.25ξ η= =

(0.15,0.25) 3 2 0.15 0.25 2.95x = − ⋅ + =

(0.15,0.25) 5 4 0.15 3 0.25 3.65y = − ⋅ − ⋅ =

1

3

2

(1,1)(4,2)

(3,5)

y

P

x

1

2 3 4

5

1

2

3

4

ξ

η

tampereen teknillinen yliopisto teknisen suunnittelun laitos

Documents