taller 1 trigonometría

MatDI

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CRDOBA Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseo

CARRERA DE DISEO INDUSTRIAL

CTEDRA DE MATEMTICA

MATEMTICA Y DISEO:

gua terico prctica

1. trigonometra 2. coordenadas en el plano

3. polgonos

4. ecuacin de la recta

5. transformaciones en el plano

6. cnicas cerradas

7. cnicas abiertas

8. razones y proporciones

9. coordenadas en el espacio

10. poliedros

Universidad Nacional de Crdoba / Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseo Ctedra: Matemtica

1

I. TRIGONOMETRA. Trigonometra: es la rama de la matemtica que estudia las relaciones entre lados y ngulos de un tringulo rectngulo inscripto en una circunferencia. Para ello, se han definido las siguientes razones trigonomtricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. El objetivo de este estudio es poder conocer el valor de todos los elementos de un tringulo rectngulo a partir de algunos datos. Razones trigonomtricas: el tringulo rectngulo ABC est contenido en una circunferencia de centro O y radio AB. As, podemos establecer las funciones trigonomtricas directas que ms usaremos en esta unidad: seno, coseno y tangente. Las funciones trigonomtricas directas son:

sen = BC

AB =a

c

BC: Cateto Opuesto

AB: Hipotenusa

cos = AC

AB =b

c

AC: Cateto Adyacente

AB: Hipotenusa

tg = BC

AC=a

b

BC: Cateto Opuesto

AC: Cateto Adyacente

A continuacin algunos teoremas tiles para la resolucin de tringulos de todo tipo.

Teorema Fundamental sen2 + cos2 = 1

Teorema del Coseno

a2 = b2 + c2 2 b c cos b2 = a2 + c2 2 a c cos c2 = a2 + b2 2 a b cos

Teorema del Seno

a

sen =b

sen =

c

sen

Los ngulos, a su vez, pueden expresarse en tres sistema de medicin:

Sexagesimal: la unidad de medida es el grado sexagesimal (1 = 60 / 1 = 60 / 1 = 3600).

Centesimal: la unidad de medida es el grado centesimal (1G = 100M / 1M = 100S / 1G = 10000S)

Radial o circular: la unidad de medida es el radin. La equivalencia entre los tres sistemas est dada por la frmula:

360=G

400G= rad

2 rad

A B

a

c

b

C

y

x

B

C

c

b

a

A


2

II. EJERCICIOS..... 1. Completar la siguiente tabla expresando los ngulos dados en los tres sistemas:

ngulo Sistema sexagesimal Sistema centesimal Sistema radial

recto

llano

3/4 giro

1 giro

2. Completar la siguiente tabla expresando los ngulos dados en los otros dos sistemas.

Sistema sexagesimal Sistema centesimal Sistema radial

236 50 42

75 5 25

160G 95M 82S

330G 08M 02S

3/4 rad

8/7 rad

3. Indicar >, < o = para cada uno de los casos:

>,


3

Si slo conozco los lados de un tringulo me es imposible calcular su superficie. Los teoremas del seno y del coseno pueden ser aplicados a la resolucin de cualquier tringulo. Los ngulos interiores de un tringulo, sea este rectngulo o no, suman radianes. 5. Dados los siguientes tringulos rectngulos, y a partir de los datos dados, completar la

tabla adjunta.

Figura I

Figura II Figura III

Lados ngulos Permetro Superficie

AB BC AC A B C

Fig. I 30 cm 15 cm

Fig. II 15 cm 30 cm

Fig. III 15 cm 35

6. Dados los siguientes tringulos no rectngulos, y a partir de los datos dados, completar la tabla adjunta. Expresar los ngulos en sistema sexagesimal.

Figura I

Figura II

Figura III

Figura IV

Lados ngulos Permetro Superficie

AB BC AC A B C

Fig. I 20 cm 20 cm 20G

Fig. II 20 cm 15 cm 60G

Fig. III 6 cm 15 cm 0,55850536

rad

fig. IV 6 cm 6 cm 1 rad

A

B

C C A

B

A

C

B

A

B

C C

A

B

B

C

A

A

C

B


4

7. El arquitecto y diseador local Jonny Gallardo es el autor del banco Susu Venir. Se trata de un banco conformado por un cuerpo principal (cono truncado) en madera y un soporte filar en acero que tiende a triangularse para insertarse en el anterior. Lo novedoso, adems de su morfologa, es la constitucin del cuerpo del banco a partir de rodajas de distintas maderas de diversos espesores y colores. Las imgenes que acompaan el ejercio son gentileza del arq. Gallardo, y en las mismas pueden observarse desde los estudios preliminares hasta el objeto materializado tal como se comercializa en el mercado. El banco participa en numerosas muestras de Diseo Argentino, tales como la DAC (Diseo Argentino Contemporneo) en el Museo Fortabat en Buenos Aires o en Musa (Museo de la Artes) en Guadalajara.

A partir de la abstraccin geomtrica realizada sobre la vista lateral en la que se determina el rectngulo ABCD, se trazan las diagonales, se designan ngulos y se dan medidas de los lados, se pide: a) Dar el valor de los ngulos designados como

, , , , , . b) Calcular el valor de las diagonales. c) Calcular superficies de los tringulos ABD y

AOB.

B

A

30 cm

O

D

40 cm

C


5

A

AB = 4,16 m

B

8. La imagen nos muestra una creacin de Vctor Soto, destinado a controlar la funcionalidad de reproduccin del iPod / iPhone. Se trata de un dispositivo inalmbrico que se utiliza como anillo a colocar en el dedo de la mano, ms un cargador.1 A partir de los datos especificados en la figura, se pide: a) Determinar la longitud del segmento AD. b) Calcular la superficie del trapecio circular ABCD. c) Calcular el permetro de la figura ABCD (3 lados rectos y un lado curvo).

9. El diseador alemn Mathias Koehler es el autor de la mecedora, interpretacin moderna de una silla mecedora tradicional. Lateralmente posee forma circular y en su parte superior cuenta con una luz para lectura. A partir de los datos dados, se pide: a) Determinar el valor del ngulo en grados sexagesimales. b) Si se reduce un 20 % la longitud de su radio, cul ser la longitud del arco BA?

10. La lmpara de Rubik es un diseo basado en el popular juguete de los aos ochenta.

Se trata de un cubo, compuesto por 27 cubos menores que, al ser rotados unos respectos de otros, permiten un sin nmero de posibilidades de iluminacin del tipo caleidoscpica.2 Si el valor de la arista del cubo mayor es de 30 cm, se pide: a) Calcular el valor de la diagonal mayor del cubo. b) Calcular el valor de la diagonal de los cubos menores.

1 Ejercicios 8 y 9 extraidos de: http://www.friki.net/fotos/47180-100-disenos-futuristas-y-de-concepto.html 2 https://www.behance.net/gallery/157785/Rubiks-lamp

C2

A B O

C

D

Datos: =60 Radio circunferencia C1 = 12 mm Radio circunferencia C2 = 24 mm

C1

BA


6

..Respuestas 1.

ngulo Sistema sexagesimal Sistema centesimal Sistema radial

recto 90 100G /2 rad

llano 180 200G rad

3/4 giro 270 300G 3/2 rad

1 giro 360 400G 2 rad

2.

Sistema sexagesimal Sistema centesimal Sistema radial

236 50 42 263G 16M 11,11S 4,1337 rad

75 5 25 83G 43M 36,4S 1,3105 rad

144 51 44,5 160G 95M 82S 2,5283 rad

297 04 19,85 330G 08M 02S 5,1848 rad

135 150G 3/4 rad

65 28 51,21 72G 75M 65,4S 8/7 rad

3.

>, 1G

b 1 < 1 rad

c 51 00 15 = 56G 67M 12,96S

d 125,3067G = 125G 30M 67S

e 520,5216 < 520 52 16

4. V F V F V F V V 5.

Lados (cm) ngulos Permetro (cm)

Superficie (cm2) AB BC AC A B C

Fig. I 25,98 30 15 90 30 60 70,98 194,86

Fig. II 15 33,54 30 90 63 26 5,82 26 33 54,18 78,54 225

Fig. III 8,60 15 12,29 90 55 35 35,89 52,85


7

6. Lados (cm) ngulos Perm.

(cm) Superficie

(cm2) AB BC AC A B C

Fig. I 20 20 6,26 81 20G 81 46,26 61,83

Fig. II 20 15 16,50 47 20 49 60G 78 39 11 51,5 121,34

Fig. III 6 15 19,75 0,558505

rad 135 45 44,3 12 14 15,68 40,75 31,37

Fig. V 6 5,75 6 1 rad 61 21 7,59 61 21 7,59 17,75 15,14

7. a) = = 36 52 11,63; = 106 15 36,7; = 73 44 23,3; = = 53 7 48,27 b) Diagonales AC = BD = 50 cm; c) SABCD = 1130,97 mm2 y SABCD = 1130,97 mm2 8. a) AD = 24 mm; b) SABD = 600 cm2 y SAOB = 300 cm2 9. a) = 95 9 58,23; b) arco BA = 1,1959 cm 10. a) Diagonal mayor = 51,96 cm; b) diagonal menor = 17,32 cm


8

III. AUTOEVALUACIN

1. Seleccionar con una cruz la opcin correcta a partir de los datos del grfico.

a) El valor del ngulo es: 59 06 35,11 56 10 7 55 b) El valor del ngulo complementario a 55 del tringulo dibujado es: 55 125 35

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda. Para los casos falsos reformular la

afirmacin para que sea verdadera. El seno de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Si en un tringulo rectngulo conozco un ngulo adems del ngulo recto puedo calcular sus lados. Si en un tringulo rectngulo conozco todos sus lados puedo calcular sus ngulos. El teorema de Pitgoras se aplica solo a tringulos rectngulos.

3. Completar la siguiente tabla correspondiente a tringulos rectngulos. Indicar que

funcin trigonomtrica podra utilizarse para en cada caso y verificar aplicando el Teorema de Pitgoras.

Cateto adyacente Cateto opuesto Hipotenusa Funcin trigonomtrica

3 cm 4 cm

12 cm 15 cm

9 cm 9 cm

4. Subdividir el hexgono regular de la figura en los seis tringulos congruentes que lo

componen. Aplicando las funciones trigonomtricas a uno de estos tringulos indicar la opcin correcta en cada caso.

a) El valor de la altura h de ese tringulo es: 3,66 cm 4,33 cm 5 cm

b) La base de dicho tringulo es: . 5,77 cm .. 2,88 cm .. 5 cm

=120

10 cm

55

30cm

20

cm

taller 1 trigonometría

Documents