,

Titel: Regulering af solfangeranlægSemester: 4. semesterSemester tema: Regulering af energiomsættende systemerProjektperiode: 01.02.10 til 26.05.10ECTS: 17Vejleder: Mads Pagh NielsenProjektgruppe: ET4-402

Lars Houbak-Jensen

Anders Holten

Steffen Christensen

Jens Henning Bitsch

Jess Grotum Nielsen

SYNOPSIS:

Denne rapport beskæftiger sig med regulering af solfangeranlæg til opvarm-

ning af brugsvand. Formålet med reguleringen er, at overføre samme effekt

fra solfangeren til varmtvandsbeholderen ved et gennemsnitligt lavere mas-

seflow i solfangerkredsen, sammenlignet med et konstant flow. De enkelte

dele i et solfangeranlæg beskrives med henblik på at analysere de enkelte

komponenter. I rapporten udvikles en model for et solfangeranlæg, der kan

simulere temperaturudviklingen forskellige steder i systemet ved input af

solindfald, forbrug og masseflow. På baggrund af modellen udvikles en over-

føringsfunktion for systemet. Denne overføringsfunktion bliver analyseret og

systemet vurderes stabilt. På baggrund af overføringsfunktionen designes en

PI-regulator og denne testes på modellen. Konklusionen af denne test er, at

det muligt at overføre den samme effekt, med en ubetydelig afvigelse, ved et

varierende, gennemsnitligt lavere masseflow sammenlignet med et konstant

masseflow. Et overslag på et anlæg til et enfamiliehus viser at dette giver

mulighed for en årlig besparelse på omkring 40 kroner.

Oplag: 7 stk.Antal sider: 111 siderAppendiks: 17 siderBilag: 1 stk. CD

Ved at underskrive dette dokument bekræfter hvert enkelt gruppemed-lem, at alle har deltaget ligeligt i projektarbejdet, og at alle er kollektivtansvarlige for rapportens indhold.

Forord,,Denne P4-rapport er udarbejdet af gruppe ET4-402 fra Energiteknik på det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige fakultet ved Aalborg Universitet. Projektperio-den, som forløb fra d. 1. februar til d. 26. maj 2010, havde hovedtemaet: Reguleringaf energiomsættende systemer.

Projektdeltagerne vil gerne takke følgende personer for deres indsats med at guideprojektet i den rigtige retning og for deres assistance, når det var nødvendigt:

• Peter Omand Rasmussen - Lektor, Energiteknik, Aalborg Universitet• Henrik Clemmensen Pedersen - Lektor, Energiteknik, Aalborg Universitet• Henrik Sørensen - Lektor, Energiteknik, Aalborg Universitet

LæsevejledningI de tilfælde, hvor en eller flere kilder er blevet anvendt som baggrund for et ellerflere afsnit, vil der udelukkende være henvist til de eller denne kilde umiddelbartefter teksten. Ved tabeller er kilder nævnt i teksten under tabellen. Når der erindsat figurer, projektdeltagerne ikke selv har fremstillet, henvises der til kilden ifigurteksten umiddelbart under figuren.

Nummerering af formler, figur og tabellerNummereringen af formler foregår ved at det første nummer refererer til kapitel,mens det sidste nummer refererer til formlen. Eksempelvis refererer formel 4.6 tilkapitel fire formel nummer seks. Den samme nummereringsmetode benyttes forfigurer og tabeller.

FormelbeskrivelseEfter formlerne vil der være en beskrivelse af variablerne og konstanterne, samt deresrespektive enheder.

i

Indholdsfortegnelse

Kapitel 1 Indledning 1

Kapitel 2 Problemformulering 52.1 Metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Kapitel 3 Beskrivelse af solfangeranlæg 73.1 Virkemåde af solfangeranlæg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Solfanger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Solfangervæske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 Varmtvandsbeholder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Kapitel 4 Model af solfangeranlæg 134.1 Forudsætninger og antagelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Solfanger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 Varmtvandsbeholder med varmeveksler . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Tryktab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.6 Løsning af model for solfangeranlæg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Kapitel 5 Modellering af temperaturudvikling i varmtvandsbehol-der tilsluttet solfanger 33

5.1 Scenarier med forskellige faste solindfald . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Scenarier med forskellige faste forbrug . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 Scenarier med forskellige faste masseflow . . . . . . . . . . . . . . . . 365.4 Scenarie med realistisk solindfald og forbrug . . . . . . . . . . . . . . 375.5 Opsummering af modellering af temperaturudvikling . . . . . . . . . 39

Kapitel 6 Eksperimentel verificering af solfangermodel 41

Kapitel 7 Design af regulering til solfangeranlæg 457.1 Regulering af solfangeranlæg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.2 Generel regulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.3 Linearisering af ligninger for solfangeranlæg . . . . . . . . . . . . . . 497.4 Laplacetransformation af ligningerne for solfangeranlæg . . . . . . . . 517.5 Lineær model for solfangeranlæg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

iii

7.6 Bestemmelse af overføringsfunktion ved kurvefit . . . . . . . . . . . . 547.7 Analyse af overføringsfunktion for solfangeranlæg . . . . . . . . . . . 597.8 Valg af reguleringstype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.9 PI-regulator design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Kapitel 8 Regulering af masseflow i solfangeranlæg 758.1 Test af regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2 Effekt overført i varmeveksler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.3 Finjustering af regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Kapitel 9 Konklusion 89

Kapitel 10 Perspektivering 91

Litteratur 93

Appendiks A Pumpe- og tryktabsligninger A

Appendiks B Linearisering G

Appendiks C Lineariseret model I

Appendiks D Blokreducering K

Appendiks E Forsøgsrapport M

iv

Indledning 1Der er et stigende energiforbrug i Danmark [Energinet.dk, 2008]. En del af detteenergiforbrug går til opvarmning af brugsvand. Tal fra DONG Energy viser, at deri gennemsnit bruges 750 kWh om året per person til opvarmning af brugsvandved brug af fjernvarme [DONG Energy]. Alternative teknologier til opvarmningaf brugsvand kan eksempelvis være et elektrisk varmeelement, biomasse, gas- elleroliekedel, eller en solfanger - eventuelt en kombination af disse.Ved at benytte en solfanger i kombination med en anden varmekilde, vil en delaf varmtvandsforbruget kunne dækkes med energi direkte fra solen. Dette kanmedføre et mindre behov for energi fra CO2-udledende varmekilder. Samtidig er detheller ikke nødvendigt at transportere varmen igennem fjernvarmenettet, hvilket erforbundet med et varmetab.Forbruget af varmt brugsvand er stort set konstant hen over året, men der er storevariationer i løbet af et døgn, viser målinger fra Eltra. På figur 1.1 vises et eksempelpå et forbrug over et døgn i et parcelhus. Der er en periode om morgenen, hvorforbruget er højt, da mange går i bad på dette tidspunkt, midt på dagen falderforbruget og om aftenen, når folk kommer hjem fra arbejde, bruges der varmt vandtil opvask, madlavning osv.

Figur 1.1. Eksempel på forbruget af varmt brugsvand gennem et døgn for et typiskparcelhus. Forbruget er målt af Eltra på et enfamiliehus på Fyn

1

For at der altid skal være varmt vand til at dække perioder med peaks i forbruget, erdet nødvendigt at have et bufferlager i form af en varmtvandsbeholder. Alternativtfindes der i mange husstande en gennemstrømsvarmeveksler, men denne kræver atder konstant er en meget høj mængde energi til rådighed over kort tid, hvilketen solfanger ikke altid vil kunne levere. Ved brug af en varmtvandsbeholder sombufferlager er det nødvendigt at regulere varmetilførslen, sådan at den nødvendigevarme tilføres varmtvandsbeholderen. Da det kun er muligt at hente varme frasolfangeren når solen skinner, skal der tages højde for dette i reguleringen afsolfangeren. Udover variationer i forbruget henover døgnet, er solindfaldet ogsåafhængigt af årstiderne. Denne variation vil blive beskrevet nærmere i efterfølgendeafsnit.

Variationer i solindfald

Der er stor forskel mellem solindfaldet om sommeren og vinteren i Danmark og for atbenytte realistiske data for solindfald i senere beregninger, anvendes gennemsnitligeværdier hentet fra „European Commission Joint Research Centre“. Disse data ermidlet over hvert 15. minut, og i de perioder, hvor solen ikke skinner, vil der ikke værenoget effektinput i solfangeren. Hvor stor en effekt solfangeren kan opfange afhængeraf tidspunktet på døgnet, om der er overskyet, årstider, samt orientering og vinkel afsolfangeren. De data, som benyttes i denne rapport, er hentet fra Aalborgområdet.På figur 1.2 og 1.3 herunder vises to ekstreme tilfælde for solindstrålingen i Aalborg,et døgn fra sommeren, og et døgn fra vinteren. Af disse figurer fremgår det, atder henover året er en betydelig variation i energipotentialet fra solen [EuropeanComission Joint Research Centre, -].

2

Figur 1.2. Solindfald over et gennemsnitsdøgn i juni for Aalborgområdet

Af figur 1.2 fremgår en kurve over den potentielt tilgængelige effekt, der i gennemsnitstråler fra solen på en horisontal flade i løbet af et døgn i juni. Figuren viser, at deri perioder vil være en potentiel tilgængelig effekt på næsten 500 W

m2 , og der vil væreen tilgængelig effekt fra omkring klokken halv fire om morgenen indtil ca. klokkenhalv ni om aftenen.

Figur 1.3. Solindfald over et gennemsnitsdøgn i december for Aalborgområdet

Figur 1.3 illustrerer solindstrålingen over et døgn i december. Her fremgår det, at derkun vil være en tilgængelig effekt fra klokken ni om morgenen til omkring klokkentre om eftermiddagen. Samtidig er den maksimale effekt over døgnet kun ca. 60 W

m2 .

3

Ved anvendelse af et solfangeranlæg til opvarmning af brugsvand, er det nødvendigtat tage højde for det varierende produktionsmønster. Et solfangeranlæg i Danmarkdimensioneres typisk til at kunne dække op til 70 % af det årlige forbrug afvarmt brugsvand, af hensyn til overproduktion i peaktilfælde [Sol-eco, 2010].Solfangeranlæg anvendes derfor hovedsagligt i kombination med anden varmekilde.Reguleringen af solfangeranlægget kan ske på flere måder. Den helt grove er enon/off regulering, hvor der typisk er mulighed for manuelt at vælge mellem tre fastehastigheder på pumpen afhængigt af årstiden. En anden og mindre grov mulighed eren trinvis regulering, der ligesom det første typisk har tre manuelle trin. Yderligerevælger reguleringen så automatisk ét af fem eller ti hastighedstrin for pumpen. Densidste mulighed er, hvor pumpen reguleres trinløst i hele hastighedsspektret. Udoverat regulatoren skal sørge for mest muligt energi fra solfangeren, vil det også værenødvendigt at regulere ud fra de sikkerhedskrav, der er til varmt brugsvand mht.bakteriedannelse.

Denne rapport vil give et bud på, hvordan en sådan regulering af et solfangeranlægkan designes, samt beskrive og opstille en række krav, som denne regulering skaloverholde.

4

Problemformulering 2Der er et behov for varmt brugsvand. Dette skal dækkes og der er flere vedvarendeenergiteknologier, der kan benyttes til dette formål. Et af alternativerne tilfossiltbaserede varmekilder kunne være et solfangeranlæg - oftest i kombinationmed en anden varmekilde, så som eksisterende fyr, fjernvarme eller elpatron.Ved at benytte et solfangeranlæg, kan der være mulighed for en økonomiskbesparelse, alt afhængig af eksisterende opvarmningsomkostninger. Forbruget afvarmt brugsvand varierer betydeligt hen over døgnet. Da det kun er muligt athente energi fra solfangeren når solen skinner, kræves der et varmelager samt enreguleringsenhed. Denne regulering skal sørge for, at der til en hver tid er varmtvand, at energien fra solfangeren prioriteres frem for den sekundære varmekilde, samtat sikkerhedskravene mht. sundhedsskadelig bakterievækst i varmtvandsbeholderenoverholdes.

I denne rapport vælges det at fokusere på reguleringen af et solfangeranlægtil opvarmning af brugsvand i kombination med en sekundær varmekilde. Densekundære varmekilde antages at tage over, såfremt solfangeren ikke kan levere denfornødne effekt og vil derfor ikke blive behandlet yderligere. Ud fra ovenståendeopstilles følgende problemformulering:

• Hvordan modelleres et solfangeranlæg med henblik på at simulere dentransiente temperaturudviklingen i systemet ved input af forbrug, solindfaldog masseflow?

• Hvordan designes en regulator til systemet således, at der ikke er behovfor manuel regulering af solfangeranlægget, trods variationer i forbrug afbrugsvand og størrelsen af solindfald?

• Er det muligt at designe en regulator til regulering af masseflowet i solfan-gerkredsen, således at den overførte effekt fra solen til varmtvandsbeholderener den samme som ved et konstant masseflow, ved et gennemsnitlig laveremasseflow?

5

2.1 Metode

For at løse denne problemstilling udvælges i første omgang et solfangeranlæg, somder senere vil blive udviklet en regulering til. Solfangeranlægget er bestående af ensolfanger, centrifugalpumpe, varmtvandsbeholder indeholdende varmeveksler og denødvendige rør her imellem. De enkelte komponenter vil blive beskrevet og der vilblive gjort rede for de nødvendige data for videre at kunne opstille en matematiskmodel af det fysiske anlæg. Modellen vil omfatte energiligninger for de forskelligeprocesser der finder sted i anlægget, og skal ud fra disse være i stand til at beregnetemperaturen i varmtvandsbeholderen. Endvidere skal modellen kunne importereforbrugsdata og ud fra disse simulere temperaturvariationerne, der opstår i systemet.

For at verificere denne model, opstilles en forsøgsopstilling med et solfangeranlæg.Modellen indfødes med input, der stemmer overens med de fysiske betingelser vedforsøget. På den måde er det muligt at undersøge om modellen og forsøgsopstillingenhar samme respons ved samme påvirkninger. Hermed er det muligt at påvise, atmodellen har samme karakteristika som det virkelige system og regulatoren kanhermed testes på modellen i stedet for i virkeligheden. Den matematiske model gørdet muligt at foretage en analyse af systemet, så det senere er muligt at designeregulatoren.

Den matematiske model lineariseres, så der kan udvikles en overføringsfunktion fortemperaturen i anlægget. Efter at denne overføringsfunktion er opstillet, omregnesden til Lapace-domænet og stabilitet af systemets overføringsfunktion undersøges.Herefter designes en regulator for systemet på baggrund af systemets respons. Dettegøres for at sikre, at regulatoren reagerer som ønsket ved forstyrrelser forårsaget afvarierende solindfald og forbrug. Til sidst testes reguleringen på modellen, for atverificere at reguleringen er designet korrekt.

6

Beskrivelse af

solfangeranlæg 3I dette kapitel gives først en overordnet beskrivelse af virkemåden for etsolfangeranlæg, og dernæst beskrives opbygningen og funktionen af de enkeltekomponenter i solfangeranlægget.

3.1 Virkemåde af solfangeranlæg

På figur 3.1 vises en principskitse af et solfangeranlæg. En væske pumpes rundt iet lukket system bestående af solfanger, en varmtvandsbeholder med varmeveksler,pumpe og rør. I solfangeren overføres energi fra solen til væsken, der pumpes videretil varmeveksleren. I varmeveksleren overføres energi i form af varme fra væsken tilbrugsvandet i varmtvandsbeholderen. Herved sænkes temperaturen i solfangervæ-sken inden denne igen føres tilbage i solfangeren for at optage ny energi fra solen.

Figur 3.1. Principskitse af et solfangeranlæg [Nachi.org]

På pumpen er der placeret en styringsenhed, hvorved flowet af væsken kanreguleres efter ønske. Eksempelvis kan flowet reguleres efter mængden af energi,

7

der er til rådighed fra solen. Regulering af et solfangeranlæg beskrives i et senerekapitel. Placeringen af solfangerkredsens varmeveksler gør, at denne er primæropvarmningskilde af tanken. For at sikre varmt vand og undgå bakteriedannelsei tilfælde, hvor solfangeren ikke kan levere den ønskede energi, er der tilsluttet ensekundær varmeenhed til lagertanken. I det tilfælde, hvor der leveres for megetenergi, er der på lagertanken monteret en sikkerhedsventil, der sikrer en givenmaksimal temperatur i tanken. I praksis vil der ofte yderligere blive monteret enskoldningssikring.

3.2 Solfanger

Solfangeren har til formål at overføre mest muligt energi fra solens stråler tilsolfangervæsken. Generelt er den potentielt tilgængelige energi, som kan optagesi en solfanger, afhængig af årstiden, den geografiske placering af solfangeren,overfladearealet af solfangeren, samt vinklen solfangeren placeres med i forhold tilsolen. En solfanger ønskes at have en lav refleksionsevne, hvorved mindst muligtaf solens stråler reflekteres. Desuden ønskes et minimalt varmetab til omgivelserne.Figur 3.2 viser varmetab og stråling til og fra solfangeren. G0 svarer til energien frasolen i form af stråling, der rammer solfangerens overflade. Noget af denne energireflekteres af det yderste glaspanel og selve absorberen, disse tab vises på figurensom G1 og G2. Varmetabene vist som Q1 og Q2 forekommer hhv. ned igennemisoleringen, samt op i atmosfæren.

Figur 3.2. Viser reflektion og varmetab i en solfanger [Deutsche Gesellschaft fürSonnenenergie, 2005].

Der findes forskellige typer solfangere. I denne beskrivelse tages udgangspunkt i ensolfanger, som vist på figur 3.3 på næste side. Yderst er et glaspanel, som sørger for

8

at holde skidt og andre urenheder væk, samt at beskytte absorberen mod tvungenog naturlig konvektion. De bedste glaspaneler lader op imod 91 % af solens strålerkomme igennem.

Figur 3.3. Viser en solfanger set fra siden [Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie,2005].

Bag glaspladen er et hulrum bestående af luft. Dette virker isolerende i forholdtil absorberen, da luft har en lav varmeledningsevne. Nederst i hulrummet erselve absorberen placeret. Absorberen kan eksempelvis bestå af aluminium ellerkobber, da disse metaller har en forholdsvis høj varmeledningsevne. På den side afabsorberingsmaterialet, som vender mod solen, er der monteret et materiale, for atabsorberen kan optage mest mulig af solens stråling. Eksempler på et sådan materialekan være sort krom eller sort nikkel. Under absorberen ligger rør eller slanger medsolfangervæsken, hvori varmen fra solen ønskes overført til. Nederst i solfangerenligger et lag isolering for at mindske varmeledningen [Deutsche Gesellschaft fürSonnenenergie, 2005].

3.3 Solfangervæske

Væsken, som cirkulerer i det lukkede system mellem solfanger og varmeveksler i etsolfangeranlæg, ønskes at have en høj varmekapacitet, for at kunne transportere mestmulig energi per masseenhed. Desuden vil en væske med en høj varmeledningsevnevære at foretrække, da varmen herved hurtigt kan ledes videre i en varmeveksler.Ydermere vil en væske med en lav viskositet være at foretrække, for at modstandeni rør eller slanger bliver mindst mulig og pumpen herved skal opveje mindst muligttryktab, som er forklaret i appendiks A på side C.Væsken, som anvendes i solfangeranlæg, kan variere alt efter ønske, men genereltønskes det ikke, at der skal opstå faseskifte i den lukkede kreds. En kombinationaf vand og 40 % propylenglykol anvendes bl.a. i Europa og USA. Dette begrundes

9

med, at vand er billigt og ved at tilsætte glykol ændres frysetemperaturen fra 0◦Ctil -23◦C. Samtidig øges kogepunktet fra 100◦C til 160◦C. Vand er stærkt korrosivtog ved tilsætning af glykol vil den korrosive effekt øges yderligere. Dette problemkan dog afhjælpes ved tilsætning af additiver, som nedsætter denne virkning. Vedtilsætning af 40 % glykol i vand sænkes varmeledningsevnen og varmekapaciteten,mens viskositeten øges sammenlignet med vand uden glykol. [Deutsche Gesellschaftfür Sonnenenergie, 2005]. Selv om en blanding med vand og 40 % glykol hardårligere egenskaber end vand, benyttes denne for at kunne frostsikre anlægget ivinterhalvåret.

3.4 Pumpe

Den mest benyttede pumpetype i et solfangeranlæg er en centrifugalpumpe.Centrifugalpumpen er en forholdsvis enkel, billig og robust konstruktion, deranvendes i et stort omfang. Denne type pumpe fungerer ved, at elektrisk energii en elmotor konverteres til kinetisk energi ved hjælp af en rotor, og i sidste endetil energi i form af øget tryk og flow i væsken. Figur 3.4 på næste side viser enprincipskitse af en centrifugalpumpe. Pumpens indløb er normalt placeret i midtenaf rotoren og gennem dette ledes fluiden ind i pumpehuset. Herefter følger fluidenrotorens blade og opnår derved samme centrifugalhastighed som rotoren, før fluidenslynges ud af pumpehuset gennem udløbet. På grund af centrifugalkraften slyngesfluiden radialt ud mod indersiden af pumpehuset, når den kommer ind gennemindløbet. Imellem rotoren og pumpehuset er der en lille klarering, hvor fluidenkan ledes tangentielt indtil den når udløbet. Når fluiden accelereres, dannes deret lavere tryk i midten af rotoren, dette fænomen kan forklares ud fra Bernoulli’sprincip, der beskriver, at trykket falder som et resultat af øget hastighed. Når fluidenrammer pumpehusets vægge, falder hastigheden og trykket øges igen. Trykket øgesyderligere, når fluiden skal igennem indsnævringen ved udløbet fra pumpehuset. Forat en centrifugalpumpe skal virke, er det nødvendigt at have et tryk på indløbssiden,også kaldet sugesiden. Dette tryk presser fluiden ind i pumpehuset, som så samtidigsuger fluiden ind som følge af det lavere tryk omkring centrum af rotoren [Sahdev,-].

10

Figur 3.4. Principskitse af en centrifugalpumpe [Sahdev, -]

3.5 Varmtvandsbeholder

Varmtvandsbeholderen er den del af solfangeranlægget, hvor brugsvandet akkumu-leres. Derved udnyttes solfangeren på tidspunkter, hvor der ikke er et behov forvarmt brugsvand og varmen lagres til senere brug. Beholderens størrelse afhængeraf anlæggets type og husstandens behov, men spænder som oftest mellem 150 og 400liter for 3-4 personer [Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie, 2005]. Ydermere erbeholderen isoleret således, at varmetabet reduceres, hvilket bevirker, at det varmevand kan gemmes uden, at temperaturen reduceres væsentligt.

Varmeveksler

Varmeveksleren er ofte en implementeret del af varmtvandsbeholderen. Grundprin-cippet består i, at en væske cirkulerer i en lukket kreds mellem varmtvandsbehol-deren og en varmekilde, som i dette tilfælde er en solfanger. Væsken varmes opi solfangeren og afgiver denne varme til varmtvandsbeholderen i varmeveksleren.Varmeafgivelsen forekommer ofte ved, at rørene fra den lukkede kreds føres ind ivarmtvandsbeholderen, hvor rørene og brugsvandet er i termisk kontakt.

11

Brugsvandstemperatur

Der findes specifikke krav for brugsvandstemperaturen i en varmtvandsbeholder,da der kan forekomme sundhedsskadelig bakterievækst og uønsket kalkudfældningved bestemte temperaturer. Kalkudfældningen forøges ved temperaturer højere end55◦C.

Figur 3.5. Graf over legionellavækstens afhængighed af temperatur [Statens serumin-stitut, 1995]

Den nedre grænse for brugsvandstemperaturen er 50◦C. Dette skyldes, attemperaturer under 50◦C danner formeringsgrundlag for legionella-bakterier, somer sundhedsskadelige for mennesker med svækket immunforsvar. Figur 3.5 viserlegionellavækstens afhængighed af temperatur. Her fremgår det, at legionella-bakterier ikke trives ved temperaturer under 20◦C og over 50◦C. For atsikre mod bakterievækst og samtidig minimere kalkudfældning, tilstræbes enudløbstemperatur for brugsvandet i varmtvandsbeholderen på 60◦C. Da detantages, at den sekundære varmekilde opretholder denne temperatur såfremtsolfangeranlægget ikke leverer den fornødne energi, bliver bakteriedannelse ogkalkudfældning derfor ikke yderligere behandlet i denne rapport.

12

Model af solfangeranlæg 4I dette kapitel vil den udviklede model af solfangeranlægget blive beskrevet. Opbyg-ningen af modellen, samt grundlag og antagelser, der er foretaget, vil blive forklaretog illustreret. Alle ligninger for de enkelte komponenter i solfangeranlægget er op-stillet på baggrund af teorien om energibevarelse.

Modellen har til formål at beskrive de fysiske størrelser og dynamikken i etsolfangeranlæg med matematiske ligninger. Herved er det muligt at forudsige,hvordan det fysiske system reagerer. Modellen beskriver temperaturændringen isolfangeranlægget over tid som funktion af solindstrålingen, forbrug og masseflow.

4.1 Forudsætninger og antagelser

For at kunne modellere solfangeren og varmtvandsbeholderen med varmeveksler, erder foretaget en række antagelser og simplificeringer. Der vil i dette afsnit blive gjortrede for antagelserne og hvilken betydning antagelserne har for resultaterne.

Materialekonstanter

I rapporten og den opstillede model for solfangeranlægget benyttes materialekonstantersåsom densitet, specifik varmekapacitet og viskositet. Disse materialekonstanterer temperaturafhængige. Det findes dog rimeligt at antage disse som faste, damaterialeegenskaber for vand kun varierer lidt i det forventede temperaturinter-val i varmtvandsbeholderen på ca. 10◦C til 60◦C. Temperaturintervallet er valgt udfra, at det kolde vand forventes at have en temperatur på ca. 10◦C ved indløb, mensdet varme vand skal op over 50◦C for at dræbe legionellabakterierne, som beskreveti afsnit 3.5 på side 11.

Tabel 4.1 viser værdierne for densitet og specifik varmekapacitet for vand ved hhv.10◦C og 60◦C. Den største procentvise ændring forekommer ved densiteten, som er

13

på 1,6 %. Tabel 4.1 viser ligeledes værdier for materialekonstanter for vand blandetmed 40 % propylenglykol ved hhv. 10◦C og 100◦C. Den nedre grænse på 10◦C ervalgt på baggrund af, at indløbstemperaturen i tanken vil ligge i dette niveau ogder derfor ikke er belæg for at pumpe solfangervæsken rundt, hvis temperaturener lavere end dette. Samtidig antages det, at temperaturen ikke vil stige til over100◦C, da temperaturen i varmtvandsbeholderen vil være noget lavere og dermedkøle væsken i solfangerkredsen.

Vand 10◦C 60◦C ÆndringSpecifik varmekapacitet 4194 J

kg·K 4185 Jkg·K 0,2%

Densitet 999,1 kgm3 983,3 kg

m3 1,6%

Vand og glykol 10◦C 100◦C ÆndringSpecifik varmekapacitet 3738 J

kg·K 3986 Jkg·K 6,6%

Densitet 1037 kgm3 968,3 kg

m3 6,6%

Dynamisk viskositet 6, 812 · 10−3 kgm·s 0, 08723 · 10−3 kg

m·s 98,7%

Tabel 4.1. I tabellen er der vist, hvordan den specifikke varmekapacitet og densitet forvand ændrer sig som funktion af temperaturen i intervallet fra 10◦C til 60◦C,samt hvor stor denne ændring er i procent. Tabellen viser også ,hvordandisse konstanter, inklusiv dynamisk viskositet, ændres for en blanding afvand og 40 % propylenglykol i temperaturintervallet 10-100◦C. Kilde; Vandsegenskaber [Cengel, 2006], egenskaber for vand/glykol-blandingen er opslag i„Engineering Equation Solver“ (EES)

Værdierne for den specifikke varmekapacitet og densitet antages som en fast mid-delværdi i det forventede temperaturinterval for både vand i varmtvandsbeholderenog blandingen af vand og glykol i solfangerkredsen. Denne antagelse vurderes ikkeat have nogen betydelig indflydelse på resultaterne, da den procentvise afvigelsemaksimalt er 6,6 %.Da viskositeten for vand og 40 % glykol varierer betydeligt i temperaturinterval-let vil der i stedet for en middelværdi blive opstillet en funktion. Funktionen forviskositetens afhængighed af temperaturen bestemmes med et kurvefit på en graffremstillet i beregningsprogrammet „Engineering Equation Solver“ (EES). Følgendeligning beskriver tilnærmelsesvis viskositeten i temperaturintervallet 10◦C til 195◦C,hvor 195◦C svarer til den maksimale tilladelige temperatur i solfangeren.

µ(T ) = (2, 542 · 10−8 · T 4 − 1, 379 · 10−5 · T 3+

2, 782 · 10−3 · T 2 − 0, 250 · T + 8, 573) · 10−3(4.1)

14

hvor:µ = Dynamisk viskositet

[kgm·s

]T = Gennemsnitstemperaturen i solfangerkredsen [◦C]

Solfangeren og rørsystemet

I solfangersystemet modelleres selve solfangeren dynamisk. Det antages, at væsken,som opholder sig i fangeren, er velopblandet, hvorved temperaturen i hele solfangerenantages at være den samme som temperaturen i udløbet, kaldet Th. Figur 4.1 visernavn og placering af de temperaturer, der anvendes konsekvent igennem rapporten.Ud fra denne figur fremgår det, at Th befinder sig i solfangeren.

Figur 4.1. Skitsetegning af solfangeranlægget der viser, hvor de temperaturer, deranvendes i modelleringen, er placeret. Deres navn og placering anvendeskonsekvent igennem hele rapporten. Temperaturen Th antages at være densamme i hele solfangeren

Det antages, at rørene, som forbinder solfangeren med varmeveksleren i varmtvands-beholderen, er velisolerede, hvorved varmetabet er lavt og derfor ses der bort fravarmetabet i rørsystemet.

15

Temperaturfordeling i varmtvandsbeholder

Til modellering af varmtvandsbeholderen antages det, at temperaturen i bundenaf beholderen er fast og har samme temperatur som indløbsvandet. I toppenaf beholderen ønskes en temperatur på minimum 50◦C på grund af faren forlegionellavækst.

Den virkelige temperaturfordeling i varmtvandsbeholderen er ikke kendt, da denbåde er afhængig af forbruget og varmeproduktionen fra solfangeren. I en situationmed et middelforbrug og en middelvarmeproduktion fra solfangeren, hvorved vandeti beholderen udskiftes kontinuerligt, vil der være en fordeling af temperaturenmellem top og bund. Denne fordeling antages, for simplicitetens skyld, at værelineært fordelt.

Udtrykket for den lineære temperaturfordeling i varmtvandsbeholderen er givet vedformel 4.2. Ved at indsætte forskellige højder i formel 4.2 er det muligt at bestemmetemperaturen i varmtvandsbeholderen i den ønskede højde. Denne skal blandtandet benyttes, når den logaritmiske middeltemperaturforskel skal bestemmes forvarmeveksleren.

T (h) =Tt − TbundHbeholder

2− 0· h+ Tbund (4.2)

hvor:T (h) = Temperaturen i højden h [K]

Tt = Temperaturen i midten af varmtvandsbeholderen [K]

Tbund = Temperaturen i bunden af varmtvandsbeholderen [K]

Hbeholder = Indvendig højde af varmtvandsbeholderen [m]

h = Den højde i varmtvandsbeholderen hvor temperaturen ønskes bestemt [m]

Det antages, at den lineære temperaturfordeling er opretholdt, også i situationerhvor der intet varmtvandsforbrug er. Derved er det antaget, at vandet ivarmtvandsbeholderen aldrig går i termisk ligevægt. Denne antagelse er rimelig,når systemet belastes med et forbrug. Antagelsen vil dog ikke være rimelig i ensituation, hvor der over en længere periode ikke er et forbrug. Når der ikke er forbrugeller varmeproduktion, vil vandet i varmtvandsbeholderen begynde at varmeveksleindbyrdes og derved til sidst opnå samme temperatur. Det samme er gældende vedintet forbrug og en varmeproduktion, hvor varmtvandsbeholderen også vil gå modtermisk ligevægt, dog ved en højere temperatur.

På figur 4.2 på næste side vises opvarmningskurven for temperaturen i midten af

16

varmtvandsbeholder, Tt, og temperaturen i solfangeren, Th. Figuren er plottet for etfast solindfald på 250 W

m2 på en solfanger med et areal på 5 m2 og intet forbrug.

Figur 4.2. På figuren vises opvarmningskurven for temperaturen i midten af beholderenTt (blå linje) og temperaturen i solfangeren Th (rød linje), med et fastsolindfald på 250 W

m2 og intet forbrug

Som det fremgår af figur 4.2, krydser opvarmningskurven for Tt over kurven forTh, hvilket ikke er fysisk muligt, men sker på grund af antagelsen om lineærtemperaturfordeling.

Figur 4.3 på næste side viser kurverne for Tt og Th, med samme betingelser somi figur 4.2, dog med et konstant forbrug på 0,01 kg

s. Dette forbrug er valgt ud fra

data fra et enfamiliehus, hvor forbruget i perioder ligger på omkring 3000 W midletover et kvarter. Hvis dette forbrug på 3000 W omregnes til et masseflow, ved entemperatur på 60◦C, giver dette et forbrug på ca. 0,01 kg

s. På figur 4.3 opretholdes

den lineære temperaturfordeling naturligt, på grund af det kontinuerlige forbrug ogderved udskiftning af vand i varmtvandsbeholderen.

17

Figur 4.3. På figuren vises opvarmningskurven for temperaturen i midten af beholderenTt (blå linje) og temperaturen i solfangeren Th (rød linje), med et fastsolindfald på 250 W

m2 og et konstant forbrug på 0,01 kgs

Masse af varmtvandsbeholder

Varmtvandsbeholderen har et fysisk volumen, som varierer med type og størrelse. Idenne model antages det, at beholderen altid er fyldt med vand og derfor er der ikkenogen ændring i masse med tiden. Denne antagelse medfører derfor, at brugsvandet,der tappes fra beholderen, og det vand der erstatter dette har samme densitet.

Varmeveksler

Varmeveksleren modelleres som en modstrømsvarmeveksler. Dette vurderes rimeligt,da der forekommer en langsom naturlig konvektion i beholderen, på grund afforskellen i densitet som følge af opvarmning af vandet i beholderen.

18

Figur 4.4. Principskitse af modstrømsvarmeveksler. Her vises hhv. den tvungnestrømning i røret og den konvektive strømning i tanken

På figur 4.4 vises det hvordan væsken i varmtvandsbeholderen bevæger sig i forholdtil væsken i varmeveksleren. Af figur 4.4 fremgår det, at de to væsker bevæger sigimod hinanden, hvorved den virker som en modstrømsvarmeveksler.

For varmeveksleren antages det også, at den fungerer under stationære forhold.Hvilket betyder, at der ikke er en varmeophobning i varmeveksleren og at al energii varmeveksleren afsættes i varmtvandsbeholderen. Denne antagelse findes rimelig,da varmeveksleren er placeret inde i varmtvandsbeholderen.

UA-værdien beskriver et legemes evne til at lede varme. Denne evne ændrer sigmed hastigheden af væsken i varmeveksleren [Cengel et al., 2008]. I denne rapportantages UA-værdien at være konstant.

Opsummering af antagelser

Antagelserne, som er beskrevet i det ovenforstående afsnit, er listede nedenfor.På baggrund af disse antagelser, vil ligningerne, som beskriver solfangersystemet,matematisk blive forklaret.

• Materialekonstanterne vælges som konstante middelværdier i det forventedetemperaturinterval, dog med undtagelse af dynamisk viskositet

• Temperaturfordelingen i beholderen er lineær• Massen af varmtvandsbeholderen er konstant• Varmeveksleren modelleres som en modstrømsvarmeveksler• Varmeveksleren antages at fungere under stationære forhold• UA-værdien antages konstant

19

Efter antagelserne er beskrevet og forklaret, vil der i det næste afsnit blive opstilleten energiligevægt for solfangeren.

4.2 Solfanger

For selve solfangeren opstilles der en energiligevægt på baggrund af teorien omkringenergibevarelse. Energiligevægten for solfangeren er illustreret på figur 4.5 og kanbeskrives matematisk således:

Qfanger = Qsf − Qud + Qind (4.3)

hvor:Qfanger = Varmeenergien i væsken i solfangeren [W ]

Qsf = Effekt optaget i væsken i solfangeren [W ]

Qud = Effekten der strømmer ud til resten af systemet [W ]

Qind = Den resterende effekt der strømmer tilbage til solfangeren [W ]

Figur 4.5. Illustration af de forskellige effekter i solfangeren

Udtrykket for Qfanger beskriver energiændringen i væsken, som opholder sig i rørenei solfangeren. Energiindholdet er beskrevet ud fra varmekapacitetsteorien, hvorQfanger er divideret med ∆t, som beskriver temperaturændringen i solfangerenover tiden. Som beskrevet i afsnit 4.1 på side 13, antages væsken i solfangerenvelopblandet og derved har den samme temperatur, Th.

Qfanger = mvaeske · cp ·dThdt

(4.4)

20

hvor:mvaeske = Massen af væsken i solfangeren [kg]

cp = Den specifikke varmekapacitet for væsken i solfangersystemet[

Jkg·K

]dThdt

= Temperaturgradient for væsken i solfangersystemet[Ks

]Energien fra solen, som optages i væsken, er givet ved Qsf , vist i formel 4.5.

Qsf = Qsol · A · η (4.5)

hvor:Qsol = Solindstråling

[Wm2

]A = Areal af solfangeren [m2]

η = Virkningsgraden for solfangeren, hvor varmetabet til omgivelserne er medregnet[·]

Virkningsgraden varierer med solindstrålingen, samt temperaturforskellen mellemsolfangervæske og omgivelsestemperaturen i luften, og kan udtrykkes med følgendeligning [Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie, 2005]:

η = η0 −a1 · (Th − Tamb,fanger)

Qsol

− a2 · (Th − Tamb,fanger)2

Qsol

(4.6)

hvor:η0 = Starteffektiviteten [·]Tamb,fanger = Omgivelsestemperaturen i luften ved solfangeren [K]

a1 = Varmetabskoefficient 1[

Wm2·K

]a2 = Varmetabskoefficient 2

[W

m2·K2

]Figur 4.6 på næste side viser virkningsgraden som funktion af temperaturforskellenmellem solfangervæske og omgivelsestemperaturen ved forskellige solindfald.

21

Figur 4.6. Viser virkningsgraden som funktion af temperaturforskellen mellem solfan-geren og omgivelserne ved forskellige solindfald

Det fremgår af figur 4.6, at virkningsgraden ved et fast solindfald falder, nårtemperaturforskellen mellem luft og solfangervæske stiger. Det stemmer godtoverens med, at varmetabet stiger ved en høj temperaturdifferens. Desuden er detbemærkelsesværdigt, at virkningsgraden for en fast temperaturdifferens er højereved et stort solindfald.

Udtrykkene for Qud og Qind kan samles i et samlet udtryk som er givet nedenfor, oger dannet på baggrund af teorien om varmekapacitet:

∆Q = Qind − Qud = m · cp · (Tl − Th) (4.7)

hvor:m = Masseflow

[kgs

]Tl = Temperaturen i væsken som strømmer ind i solfangeren [K]

Th = Temperaturen i væsken som strømmer ud af solfangeren [K]

Når udtrykkene for hvert af de enkelte led fra formel 4.3 på side 20 indsættes,kommer energiligevægten til at se sådan ud:

mvaeske · cp ·dThdt

= Qsol · A · η + m · cp · (Tl − Th) (4.8)

22

I afsnit 4.6 på side 30 beskrives der, hvorledes disse formler bliver benyttet tilberegning af temperaturudviklingen i solfangeranlægget.

4.3 Varmtvandsbeholder med varmeveksler

I den pågældende varmtvandsbeholder som modelleres, tages der udgangspunkti, at varmeveksleren er placeret i varmtvandsbeholderen. Der kan opstilles enenergibevarelse for kontrolvolumenet i varmtvandsbeholderen, hvor ændringen ikontrolvolumenets energi er lig med forskellen mellem energien, som krydsersystemets grænser ind og ud.

Qbeholder = Qforbrug + Qvarmeveksler − Qtab (4.9)

hvor:Qbeholder = Varmeenergi i varmtvandsbeholderen [W ]

Qforbrug = Varmeenergiforskellen mellem vandet ind og ud af varmtvandsbeholderen[W ]

Qvarmeveksler = Varmeenergi som overføres fra varmeveksleren [W ]

Qtab = Varmetab til omgivelserne [W ]

På figur 4.7 er formel 4.9 illustreret og viser, hvordan varmen bevæger sig ind og udaf varmtvandsbeholderen.

Figur 4.7. Figuren viser energiligevægten for varmtvandsbeholderen

Udtrykket for Qbeholder beskriver energiindholdet i varmtvandsbeholderen ogbeskrives ved den tidsafledte varmekapacitetsligning:

23

Qbeholder = m · cp,vand ·dTtdt

(4.10)

hvor:m = Massen af vandet i beholderen [kg]

cp,vand = Specifik varmekapacitet af vandet i varmtvandsbeholderen[

Jkg·K

]dTtdt

= Temperaturændringen midt i tanken per tidsenhed[Ks

]Som det antages i afsnit 4.1 på side 18 er varmtvandsbeholderen altid fyldt medvand, hvorved massen af beholderen ikke ændres over tiden. Dette medfører, atmassen af vandet, som kommer ind i beholderen, har samme størrelse, som det derforlader den. Det betyder at Qforbrug er givet ved denne ligning:

Qforbrug = mforbrug · cp,vand · (Tbund − Ttop) (4.11)

hvor:mforbrug = Masseflow ud af varmtvandsbeholderen

[kgs

]Tbund = Temperaturen i indløbsvandet [K]

Ttop = Temperaturen i udløbsvandet [K]

Ud fra beholderen er der et varmetab til omgivelserne, som er givet ud fra Fouriersvarmeledningslov [Cengel, 2006], hvor materialekonstanterne og geometrien forbeholderen er samlet i den termiske modstand, Rbeholder:

Qtab =(Tt − Tamb,beholder)

Rbeholder

(4.12)

hvor:Tt = Temperaturen i midten af tanken [K]

Tamb,beholder = Omgivelsestemperaturen ved varmtvandsbeholderen [K]

Rbeholder = Den termiske modstand for varmtvandsbeholderens vægge[KW

]Den termiske modstand Rbeholder er den reciprokke værdi af UA-værdien, som derforbeskriver beholderens egenskaber til at lede varme. Den termiske modstand ellerUA-værdien er typisk opgivet i databladet for varmtvandsbeholderen. Hvis detteikke er tilfældet, kan den udregnes på baggrund af et termisk modstandsnetværk,materialeegenskaber og fysiske størrelser af varmtvandsbeholderen. Ved opstilling afdet termiske modstandsnetværk, skal der tages højde for konvektion på den indre

24

og ydre side af beholderen, samt varmeledningen igennem beholderens væg [Cengel,2006].

Varmeoverførelsen i varmeveksleren er givet ved forskellen mellem varmeenergien vedTh og Tl, denne forskel i varmeenergi er givet ved teorien omkring varmekapacitet:

Qvarmeveksler = m · cp · (Th − Tl) (4.13)

Hvis udtrykkene fra formel 4.13, 4.12, 4.11 og 4.10 indsættes i formel 4.9 og derisoleres for temperaturændringen i tanken over tid, kaldet dTt

dt, er udtrykket givet

ved:

mbeholder·cp,vand·dTtdt

= m·cp·(Th − Tl)+mforbrug·cp,vand·(Tbund − Ttop)−(Tt − Tamb,beholder)

Rtank(4.14)

I udtrykket for dTtdt

indgår flere ubekendte (dTtdt, Th og Tl) end der er ligninger

til rådighed. Det er derfor nødvendigt at have en hjælpeligning til at bestemmeen af de ubekendte. Denne ekstra ligning fås fra varmeveksleren ved at antage,at den virker under stationære forhold. Dette betyder, at forskellen mellem dethøje energiindhold fra solfangeren og det lavere energiindhold, som returnerestil solfangeren afsættes i varmtvandsbeholderen. Derved forekommer der ingenvarmeophobning i varmeveksleren. Dette kan beskrives med formlen 4.15.

UA ·∆TLMTD = m · cp · (Th − Tl) (4.15)

hvor:UA = Varmeoverføringsevnen for varmeveksleren

[WK

]∆TLMTD = Logaritmisk middeltemperaturforskel [K]

Den logaritmiske middeltemperaturforskel er defineret ud fra temperaturforskellenmellem de kolde og varme væsker i varmeveksleren. For den aktuelle modstrømsvar-meveksler findes den logaritmiske middeltemperaturforskel på denne måde:

∆TLMTD =(Th − Ts)− (Tl − Ts)

ln(Th−TsTl−Ts

) (4.16)

hvor:Th = Temperaturen fra solfanger [K]

Tl = Temperaturen tilbage til solfangeren [K]

25

Ts = Temperaturen i varmtvandsbeholderen ved midten af varmeveksleren [K]

Placeringerne af temperaturerne er vist på figur 4.8. Ts findes ud fra formel 4.2på side 16, hvor højden fra bunden af varmtvandsbeholderen til midten afvarmeveksleren indtastes.

Figur 4.8. Figuren illustrerer, hvor hhv. Th, Tl og Ts findes i solfangersystemet

Ved benyttelse af den logaritmiske middeltemperaturforskel opnås der bedreresultater end ved benyttelse af den almindelige middeltemperaturforskel, som ergivet ved:

∆T =1

2((Th − Ts) + (Tl − Ts)) (4.17)

Det bedre resultat opnås blandt andet fordi den logaritmiske middeltemperatur-forskel altid er højere end den almindelige middeltemperaturforskel. Hvis Th - Tsafviger mindre end 40 % fra Tl - Ts, vil den almindelige middeltemperaturforskelkun give en fejl på 1 % [Cengel, 2006].

4.4 Pumpe

Ved modelleringen af pumpen, opstilles en række ligninger der beskriver forholdetmellem det ønskede masseflow og trykforøgelse og det nødvendige omdrejningstalfor pumpen. Pumpen modelleres, som kvasistatisk, hvilket vil sige, at der ikkevil være nogen forsinkelse ved ændring i omdrejningstal. Dette er en forenkling,der afviger fra virkeligheden. Afvigelse antages at være uden større betydning, dader i solfangeranlæg benyttes små centrifugalpumper, hvor hastighedsændring vilske relativt hurtigt, set i forhold til systemets samlede driftstid. Den detaljerede

26

udledning af formlen findes i appendiks A på side A. Her forklares den overordnedeudledning af formlen for omdrejningstallet på pumpen, som funktion af det ønskedemasseflow.

På baggrund af formlen for entropiændring, pumpeligningerne i appendiks A påside A og teori omkring isentropisk virkningsgrad opstilles følgende udtryk, derbeskriver effekten leveret af pumpen til fluiden, som fremgår af ligning 4.18.

Ppump =m ·∆p

ρ · ηisentropisk(4.18)

hvor:Ppump = Pumpeeffekt [W ]

m = Masseflow[kgs

]∆p = Trykændringen [Pa]

ρ = Densitet[kgm3

]ηisentropisk = Isentropisk virkningsgrad [·]

Pumpeeffekten kan beskrives som produktet mellem omdrejningstallet og omdrej-ningsmoment, hvilket implementeres i formel 4.18 og isoleres for omdrejningstallet.Formlen for omdrejningstallet, som funktion af masseflowet fremgår af formel 4.19.

ω =m ·∆p

ρ · ηisentropisk · τ(4.19)

hvor:ω = Omdrejningstal for pumpen

[rads

]τ = Moment for pumpen [N ·m]

4.5 Tryktab

Da der skal benyttes en pumpe i solfangeranlægget, er det nødvendigt at bestemmetryktabet i den lukkede solfangerkreds, da pumpen skal overkomme dette tryktab.Det vil også være pumpen, der skal bruges til at regulere på masseflowet, så der skaltages højde for variationer i tryktab afhængigt af, hvilket masseflow pumpen leverer.Den lukkede kreds består af en solfanger, en varmeveksler i varmtvandsbeholderen ogflexrørene imellem komponenterne. Det vil være nødvendigt at beregne tryktabenei alle disse komponenter, som en funktion af masseflowet. Da der i databladene eropgivet kurver over tryktabet som en funktion af masseflow eller volumenflow, er det

27

nødvendigt at aflæse nogle punkter fra disse kurver og lave eventuelle nødvendigeenhedskonverteringer for at få tryktabet i pascal og masseflowet i kg

s. Når disse

punkter er aflæst og plottet ved hjælp af eksempelvis Microsoft Excel, kan der lavestendenslinier med repræsenterende ligninger. Resultatet af disse aflæste værdier ogtendensliner vil blive præsenteret i dette afsnit.

Tryktabet i solfangeren vil være det første, der bliver præsenteret. Værdierne eraflæst i databladet fra producenten Sonnenkraft, hvor tryktabet er opgivet i mbarog masseflowet i kg

h. Anlægget, der benyttes ved forsøgsopstillingen, er af typen

Compact med en 160 liters varmtvandsbeholder og en SK500N solfanger. Ved atlave de nødvendige omregninger og derefter plotte kurver af dataene bliver tryktabetsom præsenteret på figur 4.9.

Figur 4.9. Kurver over tryktabet i solfangeren som en funktion af masseflowet. Figurenviser også den funktion der ligger til grund for kurven

Ud fra figur 4.9 fremgår det, at et øget masseflow resulterer i et højere tryktab. Detbetyder at pumpen samtidig skal opveje det stigende tryktab, hvis der skal levereset højere masseflow. Endvidere vil det også være nødvendigt at beregne tryktabeti rørene mellem solfangeren, varmeveksleren og pumpen. Figur 4.10 på næste sideviser tryktabet i én meter rør som funktion af masseflowet.

28

Figur 4.10. Kurver over tryktabet i rørsystemet som en funktion af masseflowet.Figuren viser også den funktion der ligger til grunde for kurven

Det fremgår af figur 4.10, at et højere masseflow resulterer i et højere tryktab.Tryktabet for rørene skal multipliceres med længden af rørene. I databladet, hvortryktabet er opgivet, angives der ikke om disse beregninger tager højde for deniveauforskelle der vil være mellem solfanger og varmeveksler. Da væsken cirkulereri et lukket system og dermed ender i samme niveau igen, antages det, at denneelevation ikke vil have nogen betydelig påvirkning af tryktabet.

Der vil også være et lignende tryktab i varmeveksleren, der sidder i varmtvandsbe-holderen, men da producenten ikke har opgivet nogle data om tryktabet i dennekomponent, beregnes denne på samme måde som rørene. Derved beregnes rørtabetfor længden af rørene, plus længden af rørene i varmeveksleren.

Hvis disse tryktab ikke var opgivet i databladene, havde en anden mulighed væretat beregne tryktabet. Dette kunne gøres ved hjælp af ligningen, der er beskrevet iappendiks A på side C. Ved sådan en udregning ville det være vigtigt at tage højdefor ændringer i viskositet ved forskellige temperaturer som er nævnt i tabel 4.1 påside 14. Densiteten vil også være afgørende for tryktabet.

Efterfølgende ses der bort fra pumpeligninger og tryktab for at simplificere modellen.Der er ikke behov for disse ligninger, da reguleringen ikke vil blive benyttet pådet fysiske system, men blot vil blive testet på modellen. Denne simplificering harikke nogen bemærkelsesværdig betydning for den endelige overføringsfunktion forsystemet, da modelleringen af pumpen ikke indeholder nogen form for dynamik.Derfor vil dette efter lineariseringen virke som et konstant konverteringsled mellemønsket masseflow og omdrejningstal på pumpen.

29

4.6 Løsning af model for solfangeranlæg

Den udviklede model har til formål at beskrive dynamikken i et solfangeranlæg påbaggrund af en række givne konstanter. Simuleringsprogrammet Simulink benyttestil løsning af ligningerne og simuleringer af forskellige scenarier. Konstanterne somskal indtastes i MATLAB er:

• UA-værdierne for varmtvandsbeholderen og varmeveksleren• Den indvendige højde af varmtvandsbeholderen• Højden fra bunden af varmtvandsbeholderen til midten af varmeveksleren• Massen af indholdet i varmtvandsbeholderen• Massen af indholdet i solfangeren• Arealet af solfangeren• Startvirkningsgraden for solfangeren og Varmetabskoefficienterne a1 og a2• Solindfald (fast eller varierende)• Forbrugsdata (fast eller varierende)

De indtastede værdier bruges i de opstillede ligninger for solfangersystemet, hvor derer tre ubekendte: Th, Tl og Tt. De tre ubekendte findes på baggrund af ligningernefor solfangeren, varmeveksleren og varmtvandsbeholderen. I ligning 4.14 på side 25for varmtvandsbeholderen isoleres der for dTt

dt:

dTtdt

=m · cp · (Th − Tl) + mforbrug · cp,vand · (Tbund − Ttop)− (Tt−Tamb)

Rtank

mbeholder · cp,vand(4.20)

Hvad de forskellige temperaturer gælder for, fremgår af figur 4.1 på side 15.Udtrykket for dTt

dtbeskriver temperaturændringen for Tt over tidsintervallet dt.

For at få et udtryk for Tt, benyttes „Integrator-funktionen“ i Simulink. Integrator-funktionen integrerer udtrykket for dTt

dtover det pågældende tidsinterval dt, som er

vist i formel 4.21 [Mathworks Inc, 2010a].

yt =

∫ t

t0

y(t) dt+ y(0) (4.21)

Ved at løse ligningen for dTtdt

fås temperaturen til det givne tidsstep.

For at bestemme Th, benyttes der samme fremgangsmåde og dThdt

isoleres i formel 4.8på side 22. Dette udtryk integreres i Integrator-funktionen, hvorved Th findes til detgivne tidspunkt.

30

dThdt

=Qsol · A · η + m · cp · (Tl − Th)

mvaeske · cp(4.22)

For at bestemme et udtryk for Tl, isoleres denne i formel 4.15 på side 25.

Tl = Ts +Th − TseUAm·cp

(4.23)

For at bestemme temperaturen Ts, skal udtrykket for den lineære temperaturforde-ling benyttes. Formlen for den lineære temperaturfordeling er givet som vist neden-for:

T (h) =Tbeholder − Tbund

Hbeholder2− 0

· h+ Tbund (4.24)

For at finde Ts, skal højden fra bunden af varmtvandsbeholderen til midten afvarmeveksleren kendes. Formlen for den lineære temperaturfordeling benyttes ogsåtil at bestemme temperaturen i toppen af beholderen, Ttop. Udtrykkene for de tretemperaturer Th, Tl og Tt, kan nu indsættes i Simulink sammen med ligningerne forsolfangerens virkningsgrad og udtrykket for den lineære temperaturfordeling. Dennemodel er vedlagt rapporten, og heri kan formlerne for solfangersystemet ses samtderes indbyrdes sammenkobling.

Løsning af modellen i Simulink

Simulink er et simuleringsprogram der kan benyttes til dynamisk simulering afsamlede systemer, hvor der kan benyttes forskellige metoder til ligningsløsningsamt variabel og fast simuleringstidstep [Mathworks Inc, 2010b]. Til modelleringog simulering af solfangeranlægget, er der benyttet et fast simuleringstidsstep på1 sekund, og en ODE4(Runge-Kutta)-ligningsløser. En ODE4(Runge-Kutta) er endifferentialligningsløser, som benytter en fjerdeordens taylorapproksimation, hvilketmedfører at det ikke er nødvendigt at benytte meget små tidsstep for at få en højpræcision. Runge-Kutta-metoden udregner den næste løsningsværdi, yn+1 ud fra dennuværende værdi yn og fire konstanter. De fire konstanter udregnes på baggrund affunktionen, den pågældende værdi yn og tidstepsstørrelsen [Kreyszig, 2006].

Selvom ODE4(Runge-Kutta) er en god ligningsløser, vil der altid i numeriskeløsninger være en integrationsfejl. Derfor er det undersøgt, hvilken betydning detvil have for resultater hvis simuleringstidssteppet ændres. Ved denne test har detvist sig at resultaterne ved tidsstep på hhv. 1s og 0,1s varierer fra hinanden på det

31

trettende decimal. I stedet vil et simuleringstidsstep på 100 s, give en variation iresultaterne på ca. 0,2◦C i forhold til et simuleringstidstep på 1 s.

Figur 4.11 illustrerer blokdiagrammet over modellen for solfangeranlægget opstilleti Simulink. I modellen er de tre ligninger for solfangeren, varmeveksleren ogvarmtvandsbeholderen lavet til tre delsystemer med deres respektive input ogoutput. Ydermere udregnes hældningen for den lineære temperaturfordeling ivarmtvandsbeholderen. Denne hældning bruges bl.a. sammen med den fastebundtemperatur til at bestemme temperaturen ved midten af varmeveksleren (Ts) ogtemperaturen i toppen af varmtvandsbeholderen (Ttop). Desuden vises et delsystemsom beregner virkningsgraden for solfangeren.

Figur 4.11. Figuren viser et screenshot af modellen for solfangeranlægget i Simulink

På figur 4.11 vises de forskellige delsystemer i modellen markeret med forskelligefarver. Den blå markering viser delsystemet der repræsenterer ligningen forvarmtvandsbeholderen. Beregningerne der sker i dette delsystem er de samme somer beskrevet i ligning 4.20. I den røde markering bliver ligningen for solfangeren,4.22, benyttet, og den grønne markering viser delsystemet der benytter formel 4.23til at regne på varmeveksleren.

Da modellen og ligningerne bag modellen nu er beskrevet, vil den blive brugt til atregne på flere opstillede scenarier, for at undersøge hvilke resultater den giver.

32

Modellering af

temperaturudvikling i

varmtvandsbeholder

tilsluttet solfanger 5I dette kapitel dokumenteres, ved hjælp af modellen, hvordan temperaturudviklingeni varmtvandsbeholderen udvikler sig henholdsvis ved et konstant solindfald, etkonstant forbrug og et konstant masseflow. Videre vil modellen blive brugt til atsimulere temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen over et døgn ved input iform af realistiske solindfald og forbrugsdata.

I det følgende afsnit præsenteres tænkte eksempler fra modellen, hvor der benytteskonstante input-værdier. Der varieres kun på et input af gangen, for at se, hvorledestemperaturen ændrer sig i varmtvandsbeholderen. I de følgende scenarier tages derudgangspunkt i et solfangeranlæg, der har specifikationerne, som er præsenteret itabel 5.1 på den følgende side.

33

Data for solfangerAreal af solfangeren 5 m2

Masse af væske i solfanger 8,5 kgStartvirkningsgrad 0,79Varmetabskoefficient a1 3,756 W

m2·KVarmetabskoefficient a2 0,0073 W

m2·Kcp -værdi for væske i solfangersystem 3862 J

kg·K

Tryk 101325 Pa (1 atm)Starttemperatur 15◦CData for varmtvandsbeholderMassen af vandet 400 kgcp -værdi for vandet 4182 J

kg·K

Varmetabskoefficient (UA-værdi) 3,2 WK

Højde (indvendig) 1,46 mTemperatur i bunden/indløb 15◦CTryk 101325 Pa (1 atm)Starttemperatur i midten af varmtvandsbeholderen 15/36◦CData for varmevekslerUA-værdi 288 W

K

Højde (fra bund af beholder til midten af varmeveksler) 0,56 mData for omgivelserOmgivelsestemperatur ved solfanger 15◦COmgivelsestemperatur ved varmtvandsbeholder 25◦C

Tabel 5.1. Tabel over konstante værdier benyttet i modellen

Temperaturen der præsenteres i de følgende afsnit, er temperaturen midt ivarmtvandsbeholderen. Det vil sige at temperaturen i toppen af tanken vil værehøjere grundet den antagne lineære temperaturfordeling. I de følgende scenarier,hvor forbruget sættes lig nul vil den lineære temperaturfordeling være unøjagtig, datanken som tidligere forklaret vil nærme sig termisk ligevægt i en sådan situation.

5.1 Scenarier med forskellige faste solindfald

Ved at holde masseflowet i solfangerkredsen og materialekonstanterne for anlæggetkonstante og samtidig sætte forbruget til nul, varieres der på solindfaldet. Hensigtenmed dette er at se, hvorledes et varierende solindfald påvirker temperaturudviklin-gen i varmtvandsbeholderen. Hvis beregningerne benyttet i modellen er korrekte,

34

bør et stigende solindfald resultere i en højere temperaturudvikling i varmtvandsbe-holderen. Figur 5.1 illustrerer resultaterne fra modellen med et konstant solindfaldpå henholdsvis 200, 400 og 600 W

m2 over 24 timer.

Figur 5.1. Kurver over temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen ved forskelligekonstante solindfald over 24 timer

Af figur 5.1 fremgår temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen for dettilfælde, hvor alle inputs holdes konstante, mens solindfaldet varierer. Figur 5.1illustrerer tydeligt at et højere solindfald resulterer i en højere temperatur ivarmtvandsbeholderen. Resultaterne, der er præsenteret i figur 5.1, er på ingenmåde realistiske, da der aldrig vil være et konstant solindfald over et helt døgn.En anden konklusion, der kan drages ud fra figur 5.1, er, at efter 24 timer medkonstant solindfald er der ingen af kurverne, der har nået stationære forhold, hvilketbekræfter at et system af denne type har meget lange tidskonstanter.

5.2 Scenarier med forskellige faste forbrug

Som følge af, at der nu er vist en sammenhæng mellem et øget solindfald ogtemperaturen i varmtvandsbeholderen, er det interessant undersøge, hvordan etøget forbrug påvirker temperaturudviklingen. Ved et konstant solindfald skal ethøjere konstant forbrug resultere i en lavere temperatur i varmtvandsbeholderen,da summen af energi regnet med fortegn ind og ud af tanken vil blive lavere. I dettetilfælde sættes solindfaldet til 400 W

m2 , mens der henholdsvis benyttes et forbrug på500, 1000 og 2000 W. Dette forbrug omregnes til et masseflow ud af tanken, damodellen benytter dette input. Da forholdet mellem masseflowet og forbruget i watt

35

er afhængig af temperaturen, laves denne omregning ved en temperatur på 60◦C.Af figur 5.2 fremgår temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen ved forskelligekonstante forbrug og et konstant solindfald.

Figur 5.2. Kurver over temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen ved forskelligekonstante forbrug over 24 timer

Ud fra figur 5.2 fremgår det at ved et konstant solindfald på 400 Wm2 og et forbrug på

500 W, vil varmtvandsbeholderen opnå en temperatur på ca. 50◦C efter 24 timer.Ved et forbrug på 2000 W vil temperaturen blive ca. 32◦C. Derved viser figur 5.2 atet højere forbrug giver en lavere temperatur, hvilket er som forventet.

5.3 Scenarier med forskellige faste masseflow

Det sidste scenarie der vil blive stillet op, inden modellen benyttes til at regne pået varierende forbrug og solindfald over et døgn, er, hvor forbruget sættes til nulog solindfaldet sættes til 400 W

m2 , samtidig med at der varieres på masseflowet isolfangerkredsen. Et større masseflow vil resultere i en højere afsat effekt, dog tilen hvis grænse, da et for højt masseflow vil resultere i at varmen fra fluiden ikkevil nå at blive afsat i varmtvandsbeholderen. Hvordan et øget masseflow påvirkertemperaturudviklingen, vises på figur 5.3 på næste side.

36

Figur 5.3. Kurver over temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen ved forskelligekonstante masseflow over 24 timer

Figur 5.3 viser kurver over temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen ved detscenarie, hvor forbruget er sat til nul, solindfaldet er konstant 400 W

m2 og massefloweter henholdsvis 0,02, 0,04, 0,08 og 0,15 kg

s. Figur 5.3 viser, at et øget masseflow giver

en højere temperatur i varmtvandsbeholderen, dog har forøgelsen af masseflowetmindre og mindre betydning for temperaturstigningen i tanken. Når masseflowetstiger fra 0,02 til 0,04 kg

sstiger sluttemperaturen i varmtvandsbeholderen med ca.

3◦C over 24 timer, mens temperaturen i varmtvandsbeholderen kun stiger med ca.0,5◦C efter 24 timer, når flowet øges fra 0,08 til 0,15 kg

s.

5.4 Scenarie med realistisk solindfald og forbrug

Da modellen nu er blevet testet i tre forskellige scenarier og har vist korrektetendenser ved at reagere som forventet ved forskellige inputs, opstilles etrealistisk scenarie. I dette scenarie benyttes midlede målte data for solindfald,samt et målt forbrug af brugsvand for et enfamiliehus. De samme data ogspecifikationer for solfangeranlægget, som er nævnt i tabel 5.1 på side 34 anvendesigen til modelleringen. Modelleringen vil vise, hvordan temperaturen udviklersig i varmtvandsbeholderen i et virkeligt scenarie uden brug af en regulator.Forbrugsdataene samt soldata der bliver benyttet i dette scenarie er illustreret påfigur 5.4 på næste side.

37

Figur 5.4. Søjlediagram over forbrug og solindfald over et døgn i juni måned

Soldata er valgt for en gennemsnits dag i juni for Aalborgområdet. Figur 5.4 viserat varmtvandsforbruget ikke altid er sammenfaldende med solindfaldet.Da der ikke er nogen regulator, der styrer masseflowet, bliver denne fastsat til 0,04kgs. Starttemperaturen i midten af tanken er sat til 36◦C, da det ellers vil tage noget

tid inden temperaturen i toppen af tanken kommer op på 60◦C. Modellen kører i etdøgn med de tidligere nævnte forbrugsdata. Resultatet af denne simulering, for etdøgn i juni, fremgår af figur 5.5.

Figur 5.5. Kurver over temperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen ved et realistiskscenarie med soldata for juni måned og forbrugsdata

Figur 5.5 viser, hvordan temperaturen falder i varmtvandsbeholderen sidst på dagen.

38

Dette skyldes, at forbruget er større end solindfaldet i dette tidsrum. Desudenbemærkes det at temperaturen efter et døgn er steget fra 36◦C til ca. 52◦C,hvilket kan antyde at en solfanger på 5 m2 til dette specifikke forbrugsmønsterer overdimensioneret. Det skyldes at den mængde energi, der fraføres tanken vedforbrug, er mindre end den mængde energi, der tilføres fra solfangeren. Dette kan inogle tilfælde medføre at temperaturen i tanken bliver så høj, at der ikke kan fraføresnok effekt fra solfangeren, så temperaturen stiger til et niveau, der er skadeligt forsolfangeren.

5.5 Opsummering af modellering aftemperaturudvikling

Modellen er nu blevet benyttet til at udregne temperaturudviklingen i tankenved forskellige scenarier, både for konstante og varierende inputs. Scenariernemed konstante inputs blev opstillet for at kontrollere om modellen viser derigtige tendenser, som f.eks. en hurtigere temperaturudvikling ved et højeresolindfald. Da modellens resultater fra disse scenarier stemte godt overens medhypoteserne blev der opstillet et realistisk scenarie med et målt varmtvandsforbrugog solindfald hen over et døgn i Aalborgområdet. Da der ikke er nogen regulering afsystemet på dette tidspunkt viser resultaterne fra dette realistiske scenarie, hvordantemperaturudviklingen ser ud ved et konstant masseflow.

I det efterfølgende kapitel vil der blive opstillet et forsøg med henblik på at verificeremodellen.

39

Eksperimentel verificering

af solfangermodel 6I dette kapitel vil der blive opstillet et fysisk forsøg med et solfangeranlæg, der kanbenyttes til at verificere modellen.

Af tabel 6.1 fremgår alle relevante mål og specifikationer, med henblik på atkunne sammenligne solfangermodellen og forsøget, på det benyttede solfangeranlæg.Solfangeranlægget er af typen Compact 160 l fra Sonnenkraft.

Data for solfangerAreal af solfangeren 2,204 m2

Volumen i solfanger 1,6 lStartvirkningsgrad 0,795Varmetabskoefficient a1 3,63 W

m2·KVarmetabskoefficient a2 0,0071 W

m2·Kcp -værdi for væske i solfangersystem 3862 J

kg·K

Data for varmtvandsbeholderVolumen 151 lVarmetabskoefficient (UA-værdi) 2,6 W

K

Højde 0,832 mData for varmevekslerUA-værdi 169 W

K

Højde (fra bund af beholder til midten af varmeveksler) 0,17 m

Tabel 6.1. Relevante mål og specifikationer på solfangeranlægget benyttet ved forsøget

Dataene fra tabel 6.1 indtastes i modellen for at benytte de samme forudsætninger,som er gældende under forsøget. Nogle af dataene i tabellen er opgivet i databladetfor det fysiske anlæg, mens højden på varmtvandsbeholderen og varmeveksleren ermålt på det fysiske anlæg, for at få korrekte værdier.

Solfangeranlægget er installeret på en vogn, for at opnå en transportabelforsøgsopstilling. Solfangeranlægget bliver koblet sammen og stillet op efter denmedfølgende manual og der bliver monteret termofølere i de nødvendige punkter,

41

som fremgår af figur 6.1. Da der ikke laves forsøg med regulering, benyttes et af deeksisterende, faste driftstrin på pumpen under forsøget. Dette flow vil blive målt vedhjælp af en flowmåler for at kunne give dette som input til modellen. Samtidig vilder også blive simuleret et forbrug ved at koble varmtvandsbeholderen til en eksternkølekreds. Ved hjælp af et vandur vil det være muligt at kontrollere mængden afvand, der strømmer ud af varmtvandsbeholderen og derved vil det samme forbrugkunne gives som et input til modellen. Det, at der benyttes et vandur til at målestrømningen i den eksterne kreds, begrænser simuleringen af forbruget til kun atkunne være konstant, hvilket ikke vil være et realistisk forbrug. Dog bør dettekonstante forbrug være tilstrækkeligt til at verificere modellen.

Figur 6.1. Principskitse af forsøgsanlægget, hvorpå målepunkterne er markeret

Temperaturerne som er vist i figur 6.1 er nødvendige, for at kunne sammenlignetemperaturudviklingen. Temperaturen i solfangeren, Th, bliver målt da der ikke harværet tilgængeligt udstyr til at registrere solindfaldet og derfor vil denne temperaturfungere som input i modellen. Dette vil medføre at, den del af modellen der beregnertemperaturen i solfangeren ikke vil blive verificeret, men udover dette vil forsøgetkunne bekræfte den resterende del af modellen.

Af figur 6.1 fremgår det, at også temperaturen i varmtvandsbeholderen, Tt, og tem-peraturen på udløbet af varmeveksleren, Tl, bliver målt under forsøget. Hensigtenmed dette er, at sammenligne disse to temperaturer med tilsvarende fra modellenog derved verificere modellen. Udover at sammenligne temperaturudviklingen i Ttog Tl vil temperaturen også blive målt ved indløb og udløb fra varmtvandsbeholde-ren, Tbund og Ttop. Ttop bliver målt for at kende mængden af energi der forsvinder

42

ud af tanken ved et forbrug, mens Tbund bliver brugt til at lave den lineære tem-peraturfordeling i tanken. Yderligere et punkt i varmtvandsbeholderen, i et andethøjdeniveau end Tt, vil også blive registreret. Hensigten med dette ekstra punkt erat kunne sammenligne temperaturen med den fra den lineære temperaturfordelingi modellen.

Da solfangeranlægget blev leveret for sent, har det ikke været muligt at gennemføreforsøget inden rapportens afleveringsfrist og det vil derved ikke være muligt atverificere modellen. Da modellen allerede har vist de rigtige tendenser ved flereopstillede scenarier, vælges det at benytte den videre uden den endelige verificeringog der kan udvikles en regulator til denne.

43

Design af regulering til

solfangeranlæg 7I dette kapitel vil det forklares, hvorledes reguleringen af solfangeranlægget skalfungere, og hvilke parametre der skal reguleres efter. Den nødvendige reguleringsteorivil blive forklaret, og modellen vil blive lineariseret med henblik på videre at kunneudvikle en overføringsfunktion for solfangersystemet, som regulatoren designes efter.

7.1 Regulering af solfangeranlæg

For at afsætte samme effekt som ved et konstant masseflow ved et gennemsnitligtlavere masseflow, er det nødvendigt at regulere flowet efter det varierende solindfaldog varmeforbrug. Reguleringen på pumpen foretages ud fra temperaturforskellen isolfangeren og i varmtvandsbeholderen. Temperaturforskellen vælges til minimumat være 5◦C før pumpen starter op. Denne temperaturforskel er valgt ud franogle reguleringsnormer for solfangeranlæg, der anslår at temperaturforskellenmellem solfanger og tank som minimum skal være mellem 5◦C og 8◦C før pumpenstarter [Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie, 2005]. En årsag til dette kriteriumkan være, at der ved lavere temperaturforskelle benyttes for meget energi påat drive pumpen, set i forhold til den energi der flyttes fra solfangeren tilvarmtvandsbeholderen.

Figur 7.1 på næste side viser effektoverførslen i varmeveksleren ved forskelligemasseflows over et døgn. Ud fra figuren fremgår det, at et øget masseflow resultereri en højere afsat effekt. Ved beregningerne, der ligger til grund for figur 7.1, erkonstanterne som nævnt i tabel 5.1 benyttet. Forbruget er sat til nul og solindfaldeter sat til en fast værdi på 400 W

m2 . De masseflows der benyttes i udregningerne bagfigur 7.1 på den følgende side er valgt ud fra det forventede flowinterval der leveresfra en pumpe i et solfangeranlæg.

45

Figur 7.1. Kurve over den overførte effekt ved forskellige masseflows over et døgn

Disse kurver ved forskellige masseflows bliver påvirket af antagelsen om en konstantUA-værdi, da et højere masseflow vil resultere i en højere UA-værdi og dermedvil der kunne overføres mere effekt. Når masseflowet når til en vis grænse giver enforøgelse i masseflow ikke nogen betydelig større afsat effekt og ved at kigge påfigur 7.2 fremgår det, hvornår denne grænse nås i dette tilfælde.

Figur 7.2. Kurve over den overførte effekt i varmeveksleren som en funktion afmasseflowet. Kurverne vises efter ca. 1 time, hvor den overførte effekt peaker

Det fremgår af figur 7.2, at når masseflowet overstiger 0,1 kgs

har et øgetmasseflow ikke så stor betydning for mængden af overført effekt fra solfangeren

46

til varmtvandsbeholderen. Der er stadig en begrænset stigning i overført effekt, mensammenlignet med den stigning der er ved lavere masseflows, er den lav.

Før reguleringen af solfangeren kan udvikles, forklares den nødvendige regulerings-teori. Denne teori vil blive beskrevet i det efterfølgende afsnit, hvor der også vil bliveopstillet et blokdiagram for solfangeranlægget.

7.2 Generel regulering

Et reguleringssystem består basalt set af tre hovedelementer, som er; en regulator,et system og måleudstyr. Systemet kan enten være et fysisk system eller en model,der fungerer som overføringsfunktion for et fysisk system. Princippet bag reguleringer at benytte en regulator til at styre et system efter et ønsket sætpunkt. Forskellenmellem styring og regulering er, at reguleringen styrer ud fra feedback fra selvesystemet.

Figur 7.3. Blokdiagram over et reguleringssystem [Heilmann, 2007]

Af figur 7.3 fremgår et blokdiagram over en generel regulering af et tilbagekobletsystem. SP er sætpunktet og PV er procesvariablen, som henholdsvis er den ønskedeog den aktuelle temperatur. Gc er en overføringsfunktion for regulatoren, altså selvereguleringen og Gp er en overføringsfunktion for systemet. H er det måleudstyrder benyttes til at registrere procesvariablen, som bliver tilbageført i løkken til etsummationspunkt.

Regulatoren vil i alle typer systemer starte med at beregne fejlen i summationspunk-tet, som er forskellen mellem SP og PV. Regulatoren vil dernæst prøve at minimeredenne fejl, således at procesvariablen tilnærmer sig det definerede sætpunkt for hvergang løkken gennemløbes [Heilmann, 2007].

Systemet som denne rapport bearbejder, er et solfangeranlæg, hvor formålet er atkorrigere systemet efter en defineret temperaturdifferens mellem temperaturen i

47

solfangeren og varmtvandsbeholderen, for på den måde at overføre mest muligt effektfra solen til varmtvandsbeholderen. I solfangeranlæggets tilfælde vil et blokdiagramse ud som vist på figur 7.4.

Figur 7.4. Blokdiagram over solfangeranlægget

På figur 7.4 tilsvarer Gc igen selve reguleringen som føder pumpen med dennødvendige spænding, eventuelt frekvens, der skal til for at give det ønskedemasseflow. Gx repræsenterer pumpen i anlægget og denne giver det aktuellemasseflow i anlægget. Resten af anlægget, solfangeren, varmtvandsbeholderen ogvarmeveksleren, vises på blokdiagrammet 7.4 som Gp. Sætpunktet for reguleringenaf solfangeranlægget vil være den målte temperatur i midten af varmeveksleren, Ts,plus de 5◦C som tidligere nævnt. Procesvariablen vil være den aktuelle temperaturi solfangeren, Th.

Da der som tidligere nævnt vælges at se bort fra pumpen i modelleringen vildenne blok udgå fra blokdiagrammet, hvilket resulterer i følgende blokdiagram forsolfangeranlægget:

Figur 7.5. Blokdiagram over reguleringen uden pumpe

Af figur 7.5 fremgår blokdiagrammet, hvor der ses bort fra pumpen. Dette medførerat den overføringsfunktion der skal udvikles, skal beskrive en sammenhæng mellemmasseflow og temperatur. Herved ses der bort fra, hvilket spændingsinput pumpenskal have, for at give systemet et masseflow. I stedet for føder regulatoren anlæggetdirekte med et masseflow.

Ved design af regulatoren til systemet udvikles først en overføringsfunktion, sådet er muligt at analysere systemets frekvensrespons. Denne overføringsfunktion,

48

Gp på figur 7.5 på modstående side, udledes af den matematiske model som ensammenhæng mellem masseflowet i solfangerkredsen og temperaturen i solfangeren.

7.3 Linearisering af ligninger for solfangeranlæg

I dette afsnit bestemmes en overføringsfunktion, ved at linearisere ligningerne for sol-fangersystemet og bestemme et udtryk for temperaturen i solfangeren som funktionaf masseflowet. Derfor vil lineariseringsteorien blive gennemgået inden den benyttespå ligningerne for solfangersystemet. Efter at ligningerne er lineariserede, vil de blivelaplacetransformeret inden de opstilles som en sammenhæng mellem masseflowet,som input, og temperaturen i solfanger, som output. Denne sammenhæng kan der-efter reduceres til en overføringsfunktion for solfangersystemet.

Den dynamiske model lineariseres og der udvikles en såkaldt LTI-model, som eren lineær tidsvariant model. Fysiske systemer opfører sig som regel ulineært, menden lineære modelteori tager udgangspunkt i, at en funktion kan approksimeres tilen lineær funktion i et givet arbejdspunkt. LTI-modellen gør det dermed muligt atbenytte lineær stabilitetsanalyse og at udvikle en regulering, der virker i et defineretarbejdspunkt.

Til at beregne approksimationen i et defineret arbejdspunkt benyttes en førsteordenstaylorudvikling, som fremgår af ligning 7.1.

f(x) ≈ f (x0) +df(x0)

dx

∣∣∣x=x0

(x− x0) (7.1)

Da der i den lineære model kun er behov for beregning af ændringer i systemet,flyttes leddet f (x0), så formlen ændres som det fremgår af ligning 7.2.

f(x)− f(x0) ≈df(x0)

dx

∣∣∣x=x0

(x− x0) =⇒ ∆f(x) ≈ df(x0)

dx

∣∣∣x=x0

∆x (7.2)

Ulineære modeller kan bestå af multivariable ligninger, hvilket medfører atførsteordens taylorpolynomiet må udvides med flere variable. Et eksempel på denudvidede taylorapproksimation med to variable fremgår af ligning 7.3.

∆f(x, y) ≈ δf(x, y)

δx

∣∣∣x=x0

∆x+δf(x, y)

δy

∣∣∣y=y0

∆y (7.3)

Denne formel kan omskrives, så den tager form som vist på figur 7.4 på den følgendeside.

49

∆f(x, y) ≈ K1∆x+K2∆y (7.4)

hvor:K1 = δf(x,y)

δx

∣∣∣x=x0

K2 = δf(x,y)δy

∣∣∣y=y0

Med udgangspunkt i formel 7.4 lineariseres de tre ligninger, der blev opstillet formodellen. I disse formler er venstresiden i sig selv lineær og derfor lineariseres kunhøjresiden af formlerne.Formlen for solfangeren er som tidligere nævnt givet ved:

mvaeske · cp ·dThdt

= Qsol · A · η + m · cp · (Tl − Th) (7.5)

Da venstresiden af formeludtrykket er lineært, forudsat cp er konstant, lineariseresdenne ikke. Venstresiden erstattes i stedet af et funktionsudtryk som er afhængigaf Qsol, m, Tl og Th. For simplicitetens skyld antages virkningsgraden, i dennesammenhæng, konstant.

f(Qsol, m, Tl, Th) = mvaeske · cp ·dThdt

(7.6)

Højresiden af formel 7.5 lineariseres efter førsteordens taylorudvikling som tidligerebeskrevet. Herved opnås udtrykket:

∆f(Qsol, m, Tl, Th) =δf

δQsol

∣∣∣Qsol(0)

·∆Qsol+δf

δTh

∣∣∣Th(0)

·∆Th+δf

δTl

∣∣∣Tl(0)

·∆Tl+δf

δm

∣∣∣m(0)

·∆m

(7.7)

Formel 7.7 beregnes:

∆f(Qsol, m, Tl, Th) = A·η ·∆Qsol+m(0) ·cp ·(∆Tl−∆Th)+∆m·cp(Tl(0)−Th(0)) (7.8)

Arbejdspunktet vælges indenfor det aktuelle interval, med en fejlmargin på et parprocent fra minimum og maksimum. Værdierne for dette arbejdspunkt indsættes iovenstående udtryk, hvorved solfangeren skal være lineariseret omkring det valgtearbejdspunkt.

50

Ligningerne for varmtvandsbeholderen og varmeveksleren bliver lineariseret eftersamme fremgangsmåde som for solfangeren, hvorved lineariseringen for varmtvands-beholderen er givet ved formel 7.9 og varmeveksleren er givet ved formel 7.10.

∆f(Th, Tl, m, mforbrug, Tt, Ttop) = m(0) · cp · (∆Th −∆Tl) + ∆m · cp · (Th(0) − Tl(0))

+ ∆mforbrug · cp,vand · (Tbund(0) − Ttop(0))−1

Rtank

·∆Tt − mforbrug(0) · cp,vand ·∆Ttop

(7.9)

∆f(Th, Tl, m) = m(0) · cp · (∆Th −∆Tl) + ∆m · cp · (Th(0) − Tl(0)) (7.10)

Udregningerne af lineariseringen af varmtvandsbeholderen og varmeveksleren kanfindes i appendiks B på side H. Når de tre formler er lineariseret skal de overførestil laplaceplanet, så de kan opstilles som et blokdiagram, med masseflow, m, sominput og temperaturen i solfangeren, Th, som output.

7.4 Laplacetransformation af ligningerne forsolfangeranlæg

De lineariserede ligninger for solfangersystemet, overføres til laplaceplanet for atkunne opstille en overføringsfunktion mellem m og Th. Ligningerne laplacetransfor-meres efter de givne regler for laplacetransformation. Blandt andet benyttes reglenfor laplacetransformation af en differentialfunktion, som vist nedenfor i formel 7.11[Kreyszig, 2006]:

L(f ′) = s · L(f)− f(0) (7.11)

Ved brug af formel 7.11 bliver de lineariserede ligninger laplacetransformeret og derses bort fra begyndelsesværdier. Ud fra dette opnås følgende udtryk for solfangeren:

mvaeske·cp·s·∆Th(s) = A·η·∆Qsol(s)+m(0)·cp·(∆Tl(s)−∆Th(s))+∆m(s)·cp(Tl(0)−Th(0))(7.12)

En laplacetransformering af de lineariserede ligninger for varmtvandsbeholderen ogvarmeveksleren giver henholdsvis disse to udtryk:

51

Varmtvandsbeholder

mbeholder · cp,beholder · s ·∆Tt(s) = m(0) · cp · (∆Th(s) −∆Tl(s)) + ∆m(s) · cp · (Th(0) − Tl(0))

+ ∆mforbrug(s) · cp,vand · (Tbund(0) − Ttop(0))−1

Rtank

·∆Tt(s) − mforbrug(0) · cp,vand ·∆Ttop(s)

(7.13)

Varmeveksler

UA · (Th − Ts) + (Tl − Ts)2

= m(0) · cp · (∆Th(s) −∆Tl(s)) + ∆m(s) · cp · (Th(0) − Tl(0))(7.14)

7.5 Lineær model for solfangeranlæg

Når ligningerne er laplacetransformeret indføres de i Simulink, hvor de koblesindbyrdes. Den lineariserede model er opbygget ved at konstanterne indtastes i enm-fil, hvor de faste konstanter er vist i tabel 7.1.

Data for solfangerAreal af solfanger 5 m2

Masse af væske i solfanger 8,5 kgVirkningsgrad 0,79cp-værdi for væske i solfangersystem 3862 J

kg·K

Data for varmtvandsbeholderMassen af vandet 400 kgcp-værdi for vandet 4182 J

kg·K

Varmetabskoefficient (UA-værdi) 3,2 WK

Højde (indvendig) 1,46 mTemperatur i bunden/indløb 15◦CData for varmevekslerUA-værdi 288 W

K

Højde (fra bund af beholder til midten af varmeveksler) 0,56 m

Tabel 7.1. Tabellen viser de faste værdier som benyttes i den lineariserede model

Udover de faste værdier benyttes også arbejdspunktsværdier som uddrages af denulineære model. Værdierne som skal bestemmes for arbejdspunktet er listet nedenfor:

• Solindfaldet (Qsol)

• Forbruget (mforbrug)

52

• Masseflowet (m)

• Temperaturen i solfangeren (Th)

• Temperaturen i tilbageløbet til solfangeren (Tl)

• Temperaturen i toppen af varmtvandsbeholderen (Ttop)

Når de faste værdier og værdierne for arbejdspunktet kendes kan den lineære modelbenyttes. Opbygningen af modellen er vist på figur 7.6, hvor det fremgår, hvordanligningerne er koblet indbyrdes og hvilke tilbagekoblinger der er. Opbygningen afden lineære model er forklaret i appendiks C på side I.

Figur 7.6. På figuren vises den lineære model i Simulink

For at teste om den lineariserede model er korrekt skal, værdierne i et valgtarbejdspunkt passe med de værdier som fås fra den ulineære model i sammearbejdspunkt. Da den lineære model beregner forskelle i værdierne skal startværdienfra den ulineære model adderes til den lineære model, inden de kan sammenlignes.På begge sider af arbejdspunktet vil den lineære model variere fra den ulineæremodel og desto længere væk fra arbejdspunktet en værdi vælges for den lineæremodel, desto større vil afvigelsen være i forhold til den lineære model. Derfor skalarbejdspunktet vælges så der ikke forekommer for store afvigelser i intervallet somden lineære model benyttes i.

Den lineære model for solfangeranlægget er udviklet på baggrund af den forklaredelineariseringsteori, som er beskrevet i afsnit 7.3 på side 49. Den lineære model ogden ulineære model, skal have de samme værdier i et valgt arbejdspunkt.Dette er dog ikke tilfældet i denne situation, hvor det ikke har været muligt atfå den lineære og ulineære model til at passe i arbejdspunktet. Ved en afprøvningaf flere forskellige arbejdspunkter, har det vist sig, at desto tættere på tiden 0arbejdspunktet vælges, desto mindre bliver forskellen mellem den ulineære modelog den lineære model. Fejlen kan derfor være en lille integrationsfejl som bliver størrenår der integreres over lange tidsperioder.

53

Da det ikke er muligt at bestemme om den lineære model er en valid repræsentationaf den ulineære model omkring et arbejdspunkt, der kan derfor ikke arbejdes videremed den lineære model.Hvis den lineære model havde givet korrekte værdier omkring et arbejdspunkt,skulle den herefter have været reduceret, for herved at kunne bestemme ensimpel overføringsfunktion for solfangeranlægget. Reduceringen kan enten foregåved blokreduktion, hvor blokdiagrammet reduceres efter en række regler, hvormedder til sidst opnås en enkelt blok, hvor alle leddene indgår. I appendiks D på side K,er vist et udsnit af blokreduceringsreglerne. En anden mulighed for at reducere enkompleks lineær model, er ved at undersøge, hvilke dele af modellen som bidragertil dynamikken i systemet. Hvis det er muligt at undlade dele af modellen uden atdet ændrer nævneværdigt ved outputtet, kan det være muligt at opnå en model somer mindre kompleks og derved nemmere at foretage blokreducere.

7.6 Bestemmelse af overføringsfunktion vedkurvefit

Det ønskes at bestemme en overføringsfunktion for Thm

ved brug af modellen. Denneoverføringsfunktion skal ideelt set bestemmes for ethvert masseflow og ethvertsolindfald. Da dette ikke er muligt tages der udgangspunkt i udvalgte solindfaldog masseflows. På grafen for Th nedenfor vælges der et konstant masseflow på 0,1kg

s

i den lukkede kreds og der benyttes solindfald på hhv. 200 Wm2 , 300 W

m2 , 400 Wm2 og 500

Wm2 . Forbruget er målte data fra et enfamiliehus og omfatter udelukkende forbrug afvarmt brugsvand. Ud fra disse målte data er der beregnet et gennemsnitlig masseflowaf varmt brugsvand på 0,000307 kg

s. Desuden er der taget udgangspunkt i data vist

i tabel 7.2 på modstående side.

54

Data for solfangerAreal af solfangeren 5 m2

Masse af væske i solfanger 8,5 kgStartvirkningsgrad 0,79Varmetabskoefficient a1 3,756 W

m2·KVarmetabskoefficient a2 0,0073 W

m2·Kcp -værdi for væske i solfangersystem 3862 J

kg·K

Tryk 101325 Pa (1 atm)Starttemperatur 15◦CData for varmtvandsbeholderMassen af vand 400 kgcp -værdi for vandet 4182 J

kg·K

Varmetab 3,2 WK

Højde (indvendig) 1,46 mTemperatur i bunden/indløb 8◦CTryk 101325 Pa (1 atm)Starttemperatur ved midten af varmtvandsbeholderen 32◦CForbrug 0, 000307kg

s

Data for varmevekslerUA-værdi 288 W

K

Højde (fra bund af beholder til midten af varmeveksler) 0,56 mData for omgivelserOmgivelsestemperatur ved solfanger 15◦COmgivelsestemperatur ved varmtvandsbeholder 25◦C

Tabel 7.2. Tabel over de konstante værdier der benyttes i modellen

Figur 7.7 på næste side viser at et højere solindfald giver udslag i en højere Th.Figur 7.7 illustrerer også at de forskellige kurver for Th har samme udvikling somet førsteordens system. Det antages derfor at kurven for Th kan kurvefittes til etførsteordens system.

55

Figur 7.7. Kurverne viser udviklingen af Th ved forskellige solindfald i en periode oversyv døgn. Det fremgår at Th tilnærmelsesvis ligner et førsteordens system

I første del af kurverne på figur 7.7 stiger temperaturen fra 15◦C til 25-30◦C i løbetaf kort tid. Denne hurtige opvarmning skyldes at væsken i solfangerkredsen hurtigvarmes op, da denne kreds har en hurtigere dynamik end varmtvandsbeholderen.Opvarmningskurven er vist på figur 7.8, hvor det fremgår at opvarmningen foregåri løbet af ca. 1000 sekunder. Da denne opvarmning foregår meget hurtigere endden overordnede opvarmning, har den ikke stor betydning for det endelige resultat.Derfor virker det som en rimelig antagelse at se bort fra den hurtige opvarmning.

Figur 7.8. Fremhævning af det transiente forløb af opvarmningskurven. Kurverne herviser igen udviklingen af Th ved forskellige solindfald som i figur 7.7, dog erintervallet ændret til 0-2500 sekunder, altså lidt over 40 minutter

56

Denne antagelse betyder at startpunktet for kurvefittet rykkes op, så der ses bort fraden hurtige opvarmning. Derved kan der opnås et bedre kurvefit på den langsommedynamik for varmtvandsbeholderen, som er den afgørende dynamik for systemetsrespons. For at bestemme en overføringsfunktion vælges et fast solindfald på 400 W

m2 ,hvor masseflowet varieres fra 0,02 - 0,2 kg

s, hvilket svarer til 1,2 - 12 l

min. Figur 7.9

viser temperaturudviklingen over syv døgn for Th ved et solindfald på 400 Wm2 og de

forskellige masseflow.

Figur 7.9. Kurverne viser udviklingen af Th ved fast solindfald på 400 Wm2 og forskellige

masseflows

Af figur 7.9, fremgår det at kurverne for Th ved de forskellige masseflow liggerforholdsvis tæt sammen. Det antages derfor at være en rimelig tilnærmelse at lave etkurvefit, som ligger mellem kurverne for det mindste og største masseflow. Formlenfor et førsteordenssystem i tidsdomænet er givet ved formel 7.15.

Gp(t) = K · (1− e−tτ ) (7.15)

hvor:Gp(t) = Overføringsfunktionen i tidsdomænet [.]K = Konstant [.]t = Tiden [s]τ = Tidskonstant [s]

Ved at ændre på K og τ i formel 7.15, er kurvefittet, som er vist i figur 7.10 pånæste side, opnået. Det fremgår at kurvefittet ligger mellem temperaturkurverne fordet største og mindste masseflow.

57

Figur 7.10. Figuren viser kurvefit af Th over syv døgn ved et fast solindfald på 400 Wm2

Værdierne forK og τ er fundet til henholdsvis 35,7 og 83500, disse værdier indsættesi formel 7.15 på forrige side og derved bliver til formel 7.16.

Gp(t) = 35, 7 · (1− e−t

83500 ) (7.16)

I laplaceplanet er overføringsfunktionen givet ved formel 7.17.

Gp(s) =35, 7

83500 · s+ 1(7.17)

Efter samme fremgangsmåde som ovenfor, fremstilles en overføringsfunktion for etsolindfald på 200 W

m2 , hvilket resulterer i følgende temperaturudvikling:

58

Figur 7.11. Figuren viser kurvefit af Th over syv døgn ved et fast solindfald på 200 Wm2

Ud fra figur 7.11, fremgår det at kurveforløbet har samme karakteristik som ved etsolindfald på 400 W

m2 , dog ender kurven på en lavere temperatur, hvilket skyldes detlavere solindfald. Værdierne for K og τ er i dette tilfælde kurvefittet til henholdsvis13,9 og 87000. Derfor er formeludtrykket for tidsdomænent givet ved formel 7.18.

Gp(t) = 13, 9 ·(

1− e−t

87000

)(7.18)

I laplaceplanet er overføringsfunktionen givet ved formel 7.19.

Gp(s) =13, 9

87000 · s+ 1(7.19)

Ud fra formel 7.17 og 7.19, fremgår det at tidskonstanten ikke ændres særligmeget. Derfor vælges overføringsfunktionen fra formel 7.17 på modstående side,til det videre arbejde med bestemmelse af systemstabilitet og til bestemmelse afregulatorens størrelse.

7.7 Analyse af overføringsfunktion forsolfangeranlæg

Når der er bestemt en overføringsfunktion for solfangersystemet, skal denneoverføringsfunktion undersøges for stabilitet og hvilket stationær respons denhar. I dette afsnit skal lukketsløjfeoverføringsfunktionen for solfangersystemet

59

benyttes derfor udregnes denne via blokreduceringsreglerne i appendiks D påside K, hvor det antages at tilbagekoblingen har en størrelse på 1, derved erlukketsløjfeoverføringsfunktionen givet i formel 7.20.

Gcl(s) =Gp(s)

1 +Gp(s) ·H(s)=

2, 981 · 106 · s+ 35, 7

6.972 · 109 · s2 + 3, 148 · 106 · s+ 36, 7(7.20)

Videre i dette afsnit vil formel 7.20, blive betegnet lukketsløjfeoverføringsfunktionen.Endvidere skal åbensløjfeoverføringsfunktionen benyttes i dette afsnit, så denne ervist i formel 7.21, hvor det antages at tilbagekoblingen har størrelse 1:

Gol(s) = Gp(s) ·H(s) =35, 7

83500 · s+ 1(7.21)

Videre i dette afsnit vil formel 7.21, blive betegnet åbensløjfeoverføringsfunktionen.

Systemstabilitet

Begrebet stabilitet betyder, for reguleringsteori, at et system vil reagere på ennogenlunde forudsigelig måde, givet ud fra det input som bliver tilført systemet. I etustabilt system er der ikke nogen tydelig sammenhæng mellem, hvordan systemetreagerer på et input [Phillips og Harbor, 2000]. Et eksempel på et ustabilt system,kunne være en bil som kører på et islag, i sådan en situation er der ikke altidsammenhæng imellem, hvilken position føreren holder rattet i og hvilken positionhjulene i virkeligheden har. Et system kan også være marginalt stabilt, hvilketbetyder at systemet ligger på grænsen mellem at være stabilt og ustabilt, hvorvedsystemet både kan reagere som et stabilt og ustabilt system. Grænsen mellem etustabilt og stabilt system udgøres af den imaginære akse i det komplekse plan.

60

Figur 7.12. Figuren viser i del A, rødderne for et stabilt system som ligger i det venstrehalvplan af det komplekse plan. Del B viser et ustabilt system, på grundaf systemet har en rod i det højre halvplan af det komplekse plan.

For at et system skal være stabilt kræves det at alle polerne fra systemets luk-ketsløjfeoverføringsfunktion ligger til venstre for imaginæraksen, som er illustreret ifigur 7.12A. Hvis bare en af systemets poler ligger til højre for den imaginære akseer systemet ustabilt, som illustreret på figur 7.12B. Hvis alle polerne ligger i detvenstre halvplan med minimum en pol på den imaginære akse kan systemet ansessom marginalt stabilt. Til at bestemme om rødderne ligger i det venstre eller højrehalvplan benyttes først Routh-Hurwitz stabilitetskriterium og derefter bestemmesrødderne i den karakteristiske ligning.

Routh-Hurwitz stabilitetskriterium

Routh-Hurwitzs stabilitetskriterium bruges til at bestemme om systemets polerligger i den venstre halvdel af det komplekse plan. For at bruge denne metode skalden karakteristiske ligning for lukketsløjfeoverføringsfunktionen benyttes [Pedersen,2010a]. Den karakteristiske ligning fra lukkesløjfeoverføringsfunktionen er givet iformel 7.22

6.972 · 109 · s2 + 3, 148 · 106 · s+ 36, 7 (7.22)

Ud fra den karakteristiske ligning, på følgende polynomieform, opstilles der opstillesen Rouths tabel:

Q(s) = ansn + an−1s

n−1 + ...+ a1s+ a0 (7.23)

61

hvor:an...a0 = koefficienter

Rouths tabel opstilles ud fra den metode der vises i tabel 7.3 på baggrund afkoefficienterne fra polynomiet.

sn an an−2 an−4 ...sn−1 an−1 an−3 an−5 ...sn−2 b1 b2 b3 ...sn−3 c1 c2 c3 ...... ... ...s2 k1 k2s1 l1s0 m1

Tabel 7.3. Tabellen viser den generelle Rouths tabel [Phillips og Harbor, 2000]

B og C rækkerne bliver udregnet af de to ovenfor stående rækker, for eksempeludregnes b1, ved at gange en 2 × 2 matrix med brøken − 1

an−1, hvor an−1 er tallet

fra den anden række, første søjle af de to rækker som er over b1. Matricen som skalganges på brøken er givet ved den første søjle, og søljen som står en til højre overkoefficienten. Nedenfor er der vist eksempler på, hvordan b1, b2, c1 og c2 bestemmes[Phillips og Harbor, 2000].

b1 = - 1an−1

an an−2

an−1 an−3, b2 = - 1

an−1

an an−4

an−1 an−5, ...

c1 = - 1b1

an−1 an−3

b1 b2, c2 = - 1

b1

an−1 an−5

b1 b3, ...

Tabel 7.4. Tabellen viser, hvordan koefficienterne til Rouths tabel skal udregnes [Phillipsog Harbor, 2000]

Med metoden til at udregne alle koefficienterne i Rouths tabel kan antallet af poleri højre halvplan bestemmes og derved kan systemets stabilitet bestemmes ud fradenne sætning:

„Antallet af fortegnsskift i første søjle af Rouths tabel er lig antallet af poler i højrehalvplan [Pedersen, 2010a].“

62

Derfor undersøges den karakteristiske ligning fra den bestemte lukketsløjfeoverfø-ringsfunktion, hvor følgende koefficienter identificeres: a2 = 6,972 · 109, a1 = 3,148· 106 og a0 = 36,7. Ved at udregne og indsætte tallene kommer Rouths tabel forsolfangeranlægget til at være givet som vist i tabel 7.5.

s2 6,972 · 109 36,7s1 3,148 · 106 0s0 36,7 0

Tabel 7.5. Rouths tabel for den karateriskeligning

Ud fra tabel 7.5 fremgår det at der ingen fortegnsskift er i første søjle og dervedligger alle rødder i det venstre halvplan og systemet er stabilt.

Beregning af rødder for den karakteristiske ligning

En anden metode til vurdering af et systemets stabilitet, er at undersøge denspecifikke placering af systemets rødder. Systemets rødder findes ved at løseden karakteristiske ligning, som findes i lukketsløjfeoverføringsfunktionens nævner.Denne metode adskiller sig fra Routh Hurwitz på den måde, at den ikke blotundersøger, hvilket halvplan rødderne ligger i, men også, hvor de ligger. Da denkaraktistiske ligning er et andenordens polynomium vil der være to rødder. Disse torødder fremgår af formel 7.24.

s1 = −0, 0004395

s2 = −0, 00001198 (7.24)

Det fremgår af formel 7.24 at røddernes imaginærdel er lig nul og deres realdel ernegativ, hvilket medfører at rødderne ligger i det venstre halvplan. Derved antagesdet at systemet er stabilt. Det er umiddelbart ikke nødvendigt at beregne eller plotterødderne, for at vurdere om systemet er stabilt. Det kan udledes, at hvis nogen afkoefficienterne i den karakteristiske ligning er lig med nul, vil der være rødder i dethøjre halvplan og systemet vil være ustabilt. Der gælder også at, hvis en af koefficien-terne er negativ, vil der være minimum en rod i det højre halvplan [Pedersen, 2010a].

I tilfældet med denne simple overføringsfunktion, er det hurtigst at benytte metoden,hvor rødderne udregnes, for at kontrollere om rødderne er placeret i det venstre

63

halvplan. I tilfældet med en karakteristisk ligning af n’te grad, vil det være lettereat benytte Routh-Hurwitz, hvis der ikke er nok computerkraft til rådighed.

Nyquists stabilitetskriterium

Ved vurdering af systemets stabilitet i frekvensdomænet benyttes et nyquistdiagram,hvilket også kaldes et polar plot. Et nyquistdiagram er et diagram i detkomplekse plan, hvor systemets forstærkning og fasedrej plottes som funktion affrekvensen. Amplitudeforholdet afspejles i kurvens afstand fra origo og fasedrejetafspejles i vinklen fra x-aksen. Når nyquistdiagrammet skal optegnes benyttesåbensløjfeoverføringsfunktionen, som det er vist i figur 7.13:

Figur 7.13. Figuren viser nyquistdiagrammet for solfangersystemet

Nyquists forenklede stabilitetskriterium beskriver at systemet er stabilt når punktet(-1,0) er til venstre for kurven [Heilmann, 2007]. Da det ud fra figur 7.13 fremgår atkurven ligger til højre for punktet (-1,0) er systemet stabilt.

Stationær fejl

Den stationære fejl giver udtryk for, hvor godt det stationære respons er og beregnessom forskellen mellem sætpunktet og procesvariablen.

Ess(s) = PV − SP (7.25)

64

hvor:Ess = Den stationære fejlPV = ProcesvariabelSP = Sætpunkt

For at undersøge den stationære fejl anvendes systemets åbensløjfeoverføringsfunk-tion. Nu vurderes systemets type og orden. Systemets type udtrykkes i, hvor mangefrie integratorer, der er i nævneren og systemets orden afgøres af systemets in-putfunktion. Inputfunktionen er i dette tilfælde et step-input, hvilket medfører atsystemet er af nulteorden. Ud fra denne information kan den stationære fejl udregnesmed formel 7.26 [Jannerup og Sørensen, 2004].

er,ss = lims→0

c

sk · (1 + K0

sN)

(7.26)

hvor:er,ss = Den stationære fejl for referenceinputc = c kan antage værdierne h0, v eller ak = Orden af inputfunktionenK0 = Systemets statiske sløjfeforstærkningN = Systemets type

Ved at indsætte konstanter for forskellige ordener og typer af systemer kan følgendetabel udledes:

N=0 N=1 N=2Step k=0, c=h0 h0

1+K00 0

Rampe k=1, c=v ∞ vK0

0Parabel k=2, c=a ∞ ∞ a

K0

Tabel 7.6.

Det fremgår af tabel 7.6 at overføringsfunktionen for solfangeranlægget får enstationærfejl på h0

1+K0. For overføringsfunktionen som er vist i formel 7.17 på side 58,

bestemmes der en stationærfejl på 2,72 % af step-inputtets størrelse. Denne fejl kanfjernes ved at øge systemets orden, hvilket gøres ved at tilføje en regulator med enintegrator. Dette kunne eksempelvis være en PI-regulator.

65

7.8 Valg af reguleringstype

Den oftest benyttede reguleringstype er PID-regulatoren, hvor PID står for proportional-integral-differential, som beskriver de tre led i regulatoren. Regulatorens matemati-ske udtryk fremgår af formel 7.27, hvor de tre led henholdsvis er proportionalleddet,integralleddet og differentialleddet.

u = KP e (t) +

∫ t0e (t) dt

TI+ Td

d

dte (t) (7.27)

Det matematiske udtryk indeholder tre konstanter, hvor KP er forstærkningen,TI er integraltiden og TD er differentialtiden. Hvis det matematiske udtryklaplacetransformeres kan PID-regulatorens overføringsfunktion isoleres, hvilketfremgår af formel 7.28.

Gc (s) = KP +1

TIs+ TDs (7.28)

Den laplacetransformerede overføringsfunktion kan plottes i et bodediagram. Herer det muligt at vurdere, hvilken effekt regulatoren vil have, når den ganges på enoverføringsfunktion for et system. Overføringsfunktionen for en PID-regulator medtilfældige værdier fremgår af figur 7.14.

Figur 7.14. Bodediagram af en PID-regulering

66

De forskellige elementer i PID-regulatoren tjener forskellige formål. Proportionalled-det har til formål at forstærke udgangssignalet og derved mindske den stationærefejl. Ydermere kan den benyttes til at opnå et hurtigere transient respons. Pro-portionalleddet medfører ingen direkte faseændring af systemet, men kan ændrefasemargin. Integralleddet fjerner fejlen ,e, som er forskellen mellem procesvariab-len og sætpunktet. Integralet fungerer på den måde, at det giver et udgangssignal,såfremt fejlen er forskellig fra nul. Når fejlen er nul er stationære forhold opnåetog integralleddet giver intet output. Integralleddet kan benyttes til at forbedre detstationære respons, altså reducere den stationære fejl. Integralleddet adderer et -90graders fasedrej til systemet, som det fremgår af figur 7.14 på modstående side,hvilket kan gøre systemet ustabilt. Derfor må der tages højde for dette ved designaf regulatoren. Differentialleddet har til formål at dæmpe reguleringssløjfen, så derer mulighed for at designe en hurtigere regulering. Når PID-regulatoren opstilles iet blokdiagram, er det en parallelforbindelse mellem de tre led fra overføringsfunk-tionen. Blokdiagrammet fremgår af figur 7.15.

Figur 7.15. Blokdiagram over en PID-regulering [Heilmann, 2007]

Der vælges at benytte PI-delen af regulatoren, da propertionalleddet kan benyttestil at øge det transiente respons og intergralleddet vil fjerne den stationære fejl.Dog fravælges differentalleddet, da en PI-regulator er nemmere at indpasse i etfysisk system, uden at systemet bliver ustabilt, sammenlignet med PID-regulatoren.Dette begrundes med at differentialleddets funktion er at differentiere inputtet tilregulatoren. Hvis en forstyrrelse eller støj påvirker signalet, så signalets gradientveksler, resulterer det i at reguleringen bliver ustabil. En metode til at fjerne støjfra et system kunne være at benytte et lavpasfilter til at filtrere de høje uønskedefrekvenser fra. Dog er der ikke behov differentialleddet i forhold til regulering afsolfangeren, da det ikke er nødvendigt med en hurtig regulering. I følgende afsnitdesignes størrelsen af konstanterne i regulatoren, således at der opnås en stabilregulering og den stationære fejl bliver fjernet [Heilmann, 2007].

67

7.9 PI-regulator design

Der tages udgangspunkt i en PI-regulator, som i laplaceplanet er givet vedformel 7.29 [Pedersen, 2010a].

Gc(s) =KP · s+KI

s(7.29)

hvor:KI = 1

TI

For at designe en PI-regulator, skal KP og KI bestemmes. Til dette benyttes nogledesignregler til at komme med et første bud på, hvilke størrelser KP og KI skalhave. Når disse så er fundet, skal der foretages en finjustering af størrelserne.

Når KP og KI skal bestemmes benyttes reglerne som er vist i formel 7.30 ogformel 7.31 [Pedersen, 2010a].

KP =1

|KC ·Gp(j · ω1) ·H(j · ω1)|(7.30)

hvor:KC = DC-forstærkningenGp(j · ω1) = Overføringsfunktion evalueret i punkt j · ω1

H(j · ω1) = Overføringsfunktionen for måleudstyret evalueret i punkt j · ω1

Værdien for KC sættes typisk til 1 [Pedersen, 2010a], mens overføringsfunktionenfor måleudstyret i dette tilfælde vælges til at være 1, da måleudstyret antages atvære hurtigere end solfangersystemet.

KI = 0, 1 · ω1 ·KP (7.31)

Inden KP og KI kan beregnes, skal ω1 bestemmes. ω1 vælges i et førsteordenssy-stem til at ligge en dekade tidligere end systemets knækfrekvens [Pedersen, 2010b].Systemets knækfrekvens kan bestemmes ved hjælp af bodeplottet, hvor asympto-ternes skæringspunkt i forstærkningsdiagrammet er knækfrekvensen som fremgår affigur 7.16 på modstående side.

68

Figur 7.16. Figuren viser hvor systemets knækfrekvens bestemmes og ω1 vælges endekade før knækfrekvensen

Systemet knækfrekvens kan også bestemmes ud fra tidskonstanten, hvor knækfre-kvensen er den reciprokke værdi af tidskonstanten [Pedersen, 2010b]. I det næsteafsnit bestemmes KP og KI for overføringsfunktionen som er beskrevet i afsnit 7.6på side 54.

Bestemmelse af KI og KP ud fra designregler

Værdierne for KP og KI udregnes for overføringsfunktionen som er vist i formel 7.17på side 58 og igen vist i formel 7.32.

Gp =35, 7

83500 · s+ 1(7.32)

På figur 7.17 på den følgende side, er bodeplottet for overføringsfunktionen vist,hvor det fremgår at den har en uendelig forstærkning og en fasemargin på 91,6◦.

69

Figur 7.17. Figuren viser bodeplottet for solfangeranlægget

Først bestemmes knækfrekvensen for Gp til 1,198·10−5. Da ω1 skal ligge en dekadefør systemets knækfrekvens, bestemmes ω1 til 1,198·10−6. Værdien for ω1 indsættesi formel 7.30 og formel 7.31 på side 68, hvor KC og H sættes til en, hvorvedstørrelserne for KP og KI bestemmes til henholdsvis 0,0282 og 3.3714·10−9. Derveder regulatoren givet ved denne overføringsfunktion:

Gc(s) =0, 0282 · s+ 3.3714 · 10−9

s(7.33)

Efter der er blevet påsat en regulator på solfangersystemet, er den samledeoverføringsfunktion givet ved formel 7.34.

Gc(s) ·Gp(s) =1, 005 · s+ 1, 204 · 10−7

83500 · s2 + s(7.34)

Når systemet og regulatorens overføringsfunktion ganges sammen, fås bodeplottetsom er vist på figur 7.18 på næste side.

70

Figur 7.18. Figuren viser bodeplottet for den samlede overføringsfunktion for regulato-ren og solfangersystemet

Af figur 7.18 fremgår det at fasen starter i -90◦, som skyldes at PI-regulatoren lægger-90◦ til systemets fase. Ydermere skyldes peaket og ændringen af forstærkning atPI-regulatoren lægger en pol og et nulpunkt til systemet. Samtidig fremgår det ogsåat regulatoren har ændret fasemargin fra 91,6◦ til 168◦, hvilket betyder at systemeter blevet mere stabilt. Denne antagelse om at regulatoren ikke har gjort systemetustabilt, vil blive undersøgt i det næste afsnit.

Stabilitet af solfangersystemet og regulator

Da der skal laves en Routh-Hurwitztabel og et nyquistdiagram for at teste systemetsstabilitet er det nødvendigt at finde systemets lukketsløjfeoverføringsfunktionog åbensløjfeoverføringsfunktion. Disse er givet ved henholdsvis formel 7.35 ogformel 7.36, hvor det i begge tilfælde antages at tilbagekoblingen H er 1.

Gcl = Gc(s) ·Gp(s) ·H(s) =

8, 39 · 104 · s3 + 1, 015 · s2 + 1, 204 · 10−7 · s6, 972 · 109 · s4 + 2, 509 · 105 · s3 + 2, 015 · s2 + 1, 204 · 10−7 · s

(7.35)

Gol = Gc(s) ·Gp(s) ·H(s) =1, 005 · s+ 1, 204 · 10−7

83500 · s2 + s(7.36)

71

Ud fra den samlede lukketsløjfeoverføringsfunktion for solfangersystemet ogregulatoren kontrolleres der for stabilitet efter samme fremgangsmåde, som iafsnit 7.7 på side 60. Der opnås følgende resultater for Routh-Hurwitzs i tabel 7.7,hvor den karakteristiske ligning er givet til 6, 972 · 109 · s4 + 2, 509 · 105 · s3 + 2, 015 ·s2 + 1, 204 · 10−7 · s:

s4 6, 972 · 109 2, 015

s3 2, 509 · 105 1, 204 · 10−7

s2 2, 01 0

s1 120, 4 · 10−9 0s0 0 0

Tabel 7.7. Rouths tabel for den samlede lukketsløjfeoverføringsfunktion for regulatorenog solfangersystemet

Da der ingen fortegnsskift er i Routh-Hurwitzs tabel, siger reglen at alle rødder forden karakteristiske ligning ligger i det venstre halvplan af det komplekseplan. MenRouth-Hurwitzs tabel siger dog ikke noget om placeringen af rødderne, til dette kanman udregne rødderne fra den karakteristiske ligning. Ved at sætte denne ligninglig nul, som gjort i formel 7.37, kan rødderne findes.

6, 972 · 109 · s4 + 2, 509 · 105 · s3 + 2, 015 · s2 + 1, 204 · 10−7 · s = 0 (7.37)

Rødderne fra den karakteristiske ligning er som følger:

s1 = −0, 23 · 10−4

s2 = −0, 12 · 10−4

s3 = −0, 60 · 10−7

s4 = 0

(7.38)

Som det fremgår af rødderne, er tre af rødderne placeret i det venstre halvplan, mensden fjerde rod er placeret i origo. Roden i orige fremkommer når en PI-regulatorer tilføjes systemet, hvilket er tilladt for PI-regulatorer og derved ikke gør systemetmarginalt stabilt. Derved har Routh-Hurwitzs tabel og beregning af røddernevist at systemet er stabilt. Når Nyquists stabilitetskriterium skal kontrolleres skalåbensløjfeoverføringsfunktionen, givet ved formel 7.34 på side 70 benyttes. Ud fradenne overføringsfunktion opnås nyquistdiagrammet som er vist i figur 7.19 på næsteside.

72

Figur 7.19. Figuren viser nyquistdiagrammet for regulatoren og solfangersystemet

Af figur 7.19, fremgår det at kurven ligger til højre for punktet (-1,0) og derveder systemet stabilt efter Nyquists stabilitetskriterium. Efter det er vist at densamlede overføringsfunktion for regulatoren og solfangersystemet er stabil, vil der inæste kapitel blive forklaret, hvordan reguleringen implementeres på modellen, samthvilken betydning det har at ændre på størrelserne af KP og KI .

73

Regulering af masseflow i

solfangeranlæg 8I dette kapitel vises en række grafer, hvor modellen reguleres af den regulator,der blev designet i afsnit 7.9 på side 68. Kapitlet har til formål at undersøge omden udviklede regulator er i stand til at regulere modellen af solfangeranlæggetsom ønsket. De grafer der bliver vist er bl.a. temperaturudviklingen i solfangerenog varmtvandsbeholderen, og forskellen herimellem, ved henholdsvis et fast og etvariabelt solindfald. Ydermere plottes masseflowet, der bestemmes af regulatoren,for at undersøge om dette output virker realistisk i forhold til det fysiskesystem. Til sidst finjusteres regulatorens konstanter ved at simulere modellenstemperaturudvikling over tid, styret af regulatoren med forskellige konstanter.

8.1 Test af regulator

Til følgende eksempler anvendes data fra tabel 7.2 på side 55. Der tagesudgangspunkt i reguleringssløjfen på figur 8.1, hvor sætpunktet er Ts+5◦C.

Figur 8.1. Blokdiagram over reguleringssløjfen uden pumpe

Gc og Gp vist på figur 8.1 er i dette afsnit, inden finjustering, givet ved:

Gp(s) =35, 7

83500 · s+ 1

Gc(s) =0, 0282 · s+ 3.3714 · 10−9

s

(8.1)

75

Til den første simulering benyttes et konstant solindfald på 400 Wm2 , mens forbruget

er sat til et gennemsnitligt masseflow på 0,0003074kgs. Masseflowet er afledt af de

gennemsnitlige forbrugsdata for en dag, for et enfamiliehus.

Figur 8.2. Grafen illustrerer, hvordan Th og Ts udvikler sig over syv døgn med et fastsolindfald på 400 W

m2 når en PI-regulator styrer solfangeranlægget. Desudenvises masseflowets udvikling over samme periode. Størrelsen af massefloweter vist på sekundæraksen

Af figur 8.2 fremgår det, at regulatoren styrer masseflowet for at opnå entemperaturforskel mellem Th og Ts på 5◦C. I starten af simuleringsperioden stigertemperaturen i solfangeren, Th, hurtigt som følge af et højt konstant solindfaldpå 400 W

m2 . For at give Ts en tilsvarende hurtig stigning, skruer regulatoren opfor masseflowet, så der kan afsættes mere effekt i varmtvandsbeholderen. Derefterfremgår det at når temperaturstigningen i solfangeren aftager falder masseflowet, dader ikke kræves lige så stor en effektafsættelse for at opretholde temperaturforskellenpå 5◦C. Starttemperaturen i solfangeren er sat til 15◦C, men på figur 8.2, ser det udtil at denne starter ved omkring 35◦C. Dette skyldes at den første temperaturstigningsker så hurtig, at det ikke kan ses på en graf over syv døgn. Derfor er der på figur 8.3på næste side, vist de første 2500 sekunder af den samme kurve.

76

Figur 8.3. Grafen viser de første 2500 sekunder, svarende til ca. 40 minutter, af figur 8.2på forrige side

Af figur 8.3 fremgår det tydeligt, at Th starter ved 15◦C og i løbet af nogle fåhundrede sekunder stiger til 30-35◦C. Temperaturen i varmtvandsbeholderen, vedvarmeveksleren, starter på omkring 27◦C, hvilket medfører at Th-Ts i starten vilvære negativ. Dette betyder også, at der i denne periode ikke skal være nogetmasseflow i anlægget, hvilket grafen også afspejler. Når temperaturen i solfangeren,Th, bliver 5◦C højere end Ts, starter regulatoren med at føde systemet med etmasseflow der hurtigt stiger, for at sikre en temperaturforskel på 5◦C. På figur 8.4på næste side vises udviklingen af temperaturforskellen mellem solfangeren ogvarmtvandsbeholderen over den samme periode på syv døgn.

77

Figur 8.4. Grafen illustrerer, hvordan temperaturforskellen Th − Ts udvikler sig oversyv døgn, når en PI-regulator styrer solfangeranlægget

Som tidligere nævnt vil Th − Ts være negativ til at starte med. Dette illustrerespå kurven for temperaturforskellen på figur 8.4. Når temperaturen i solfangerenbegynder at stige, vil denne temperaturforskel blive positiv og for en periode, stige tilomkring 7◦C. Derefter falder temperaturforskellen igen, når regulatoren har startetpumpen og tilfører et masseflow.

Som det næste scenarie, benyttes et varierende solindfald fra en dag i juni. Derhenvises til figur 5.4 på side 38 for at se dette solindfald, mens forbruget igen er sattil et gennemsnitligt masseflow på 0,0003074kg

s.

78

Figur 8.5. Grafen illustrerer, hvordan Th og Ts udvikler sig over et døgn med etvarierende solindfald når en PI-regulator styrer solfangeranlægget. Samtidigvises masseflowets variation over et døgn. Størrelsen af masseflowet er vistpå sekundæraksen

Figur 8.5 illustrerer, hvordan Ts falder i den første periode, da masseflowet er nul,hvorved varmtvandsbeholderen ikke får tilført energi fra solfangeren, men i stedetmister energi ved varmetab. Ligeledes fremgår det, hvordan Th er konstant i sammeperiode, da den er sat til omgivelsestemperaturen, som igen er antaget værende15◦C konstant. Det ses, hvordan Th stiger lige så snart solindfaldet stiger. På dettidspunkt, hvor Th er 5◦C større end Ts begynder masseflowet at stige, hvorfor Tsogså begynder at stige, da der overføres energi fra solfanger til varmtvandsbeholder.Regulatoren sørger for at holde forskellen mellem Th og Ts på de ønskede 5◦C.

Masseflowet øges mens, solindfaldet stiger og efter 12 timer, hvor solindfaldet eraftagende, begynder masseflowet at falde. De små hakker på kurven for masseflowskyldes, at solindstrålingen er midlet i 15 minutters intervaller. Ved hvert hakforekommer der også et lille fald ved masseflows højere end ca. 0,04 kg

s. Dette fald

er forårsaget af, at solfangeren varmeveksler med varmtvandsbeholderen, hvorvedtemperaturforskellen bliver en smule mindre, da Ts stiger. Ved masseflows under0,04 kg

ssynes masseflowet i hvert hak ikke at falde. Det skyldes at Ts i de perioder

ikke stiger ret kraftigt.

79

Figur 8.6. Grafen illustrerer, hvordan temperaturforskellen, Th − Ts, udvikler sig overet døgn når en PI-regulator styrer solfangeranlægget

Figur 8.6 viser, hvordan temperaturforskellen, Th − Ts, udvikler sig over et døgni et solfangeranlæg styret af en PI-regulator. Det fremgår, at temperaturforskellensvinger op til ca. 7◦C i stedet for de ønskede 5◦C. Dette oversving kan justeres vedat finjustere PI-regulatoren. Denne finjustering vil blive beskrevet i afsnit 8.3 påside 84.

8.2 Effekt overført i varmeveksler

Den effekt der overføres i varmeveksleren er afhængig af masseflowet, hvilket er for-klaret i afsnit 7.1 på side 45. Det er derfor interessant, at undersøge den effekt der eroverført fra solfangeren, via varmeveksleren, til tanken, henholdsvis når masseflowetstyres af regulatoren og når masseflowet antager en fast værdi. Figur 8.7 på næsteside viser et plot over et reguleret og et fast, højt masseflow over et døgn med etvariabelt solindfald.

På figur 8.7 på modstående side fremgår det, at det konstante masseflow kørerhele døgnet. I virkeligheden vil der dog være en simpel on/off-regulering, der sørgerfor at pumpen først starter når der er en temperaturforskel mellem solfanger ogvarmtvandsbeholder, der er højere end et angivet kriterium. Dog vil der stadig væreet højere masseflow, over perioden mellem femte og syttende time, med et konstantmasseflow end ved et reguleret flow.

80

Figur 8.7. Grafen illustrerer et reguleret og et fast, højt masseflow hen over et døgnmed varierende solindfald

På figur 8.8 er vist kurver over den effekt, der flyttes af varmeveksleren for de toforskellige masseflow. Det fremgår af figur 8.8, at der ikke er en væsentlig forskelmellem den overførte effekt. Den tydeligste forskel forekommer omkring fem timerog nitten timer. Her fremgår det, at det faste, høje masseflow leverer en højere effektend ved det PI-regulerede masseflow. Den højeste forskel forekommer omkring femtimer, hvor effekten fra det faste masseflow er 200 watt højere end det regulerede.

Figur 8.8. Grafen illustrerer effektafgivelsen i varmeveksleren ved et reguleret og et fast,højt masseflow hen over et døgn med varierende solindfald

Af figur 8.8 fremgår det, at over perioden på et døgn vil et høj konstant masseflow

81

og et reguleret masseflow nogenlunde overføre den samme effekt. Samtidig visesder på figur 8.7 på forrige side, at der ved et konstant masseflow, samlet set, vilvære et højere masseflow og derved antages det, at det vil være nødvendig at tilførepumpen en større mængde energi, for at opretholde det større masseflow. Dervedkan det konkluderes at ved at benytte en trinløs regulator til at styre pumpen, vildet være muligt at køre ved et lavere gennemsnitlig masseflow, sammenlignet med,hvis der benyttes et konstant masseflow. At det er muligt at drive pumpen ved enlavere hastighed, vil kunne give anledning til at der kan spares effekt på pumpenog muligvis reducere slid. Her er der nogle faktorer, der skal tages højde for, sompumpens inertimoment og den isentropiske virkningsgrad, som funktion af den effektpumpen skal yde. Disse aspekter vil der dog ikke arbejdes videre med i rapporten.

Økonomisk besparelse ved reguleret masseflow

Da det er muligt at reducere det gennemsnitlige masseflow i systemet ved atbenytte en PI-regulator, men stadig overføre næsten den samme effekt fra solentil varmtvandsbeholderen, vil det være interessant at undersøge, hvilken økonomiskbetydning dette vil have for driften af anlægget.

For at kunne foretage en simpel økonomisk sammenligning i mellem effektforbrugetfor et konstant masseflow og variabelt masseflow foretages disse antagelser:

• Densiteten antages til 1002 kgs, som er en middelværdi af værdierne fra tabel 4.1

på side 14• Længden af rørene som forbinder solfangeren og varmtvandsbeholderen

antages at være 15 meter inkl. varmeveksler• Den isentropiske virkningsgrad for pumpen antages til 55 %• Det antages at pumpen er i drift 13 timer i døgnet• Elpris antages til kr. 1,66 per kWh inkl. skatter og afgifter [Energinord, 2010]• Det gennemsnitlige, regulerede masseflow antages til 0,068 kg

spå baggrund af

data fra figur 8.7 på forrige side• Det konstante, uregulerede masseflow antages til 0,117 kg

spå baggrund af data

fra figur 8.7• Det gennemsnitlige tryktab ved det regulerede masseflow antages til 18908 Pa

på baggrund af regressionsanalysen i kapitel 4.5 på side 27• Tryktabet ved konstant masseflow antages til 34452 Pa på baggrund af

regressionsanalysen i kapitel 4.5

Effektforbruget for en pumpe er givet ud fra formel 4.18 på side 27 og vist igen iformel 8.2 på næste side:

82

Wpumpe =∆P · mρ · η

(8.2)

hvor:Wpumpe = Effekten som skal tilføres til pumpen [W ]

∆P = Tryktabet i rørsystemet [Pa]

m = Masseflowet i rørsystemet[kgs

]η = Den isentropiske virkningsgrad [·]

Værdier indsættes i formel 8.2 og resultaterne fremgår af formel 8.3

Wpumpe,u = 7, 31

Wpumpe,r = 2, 23 (8.3)

hvor:Wpumpe,u = Pumpens effekt for det uregulerede system [W ]Wpumpe,r = Pumpens gennemsnitlige effekt for det regulerede system [W ]

På baggrund af dette kan der konkluderes at den mængde energi, der kan spares,med udgangspunkt i en driftstid på 13 timer i døgnet 365 dage om året, er 24,1kWh per år. Hvis der antages en elpris på 1,66 kr.

kWhinklusiv skat og afgifter, vil det

resultere i en årlig besparelse på 40 kr.

En driftstid på 13 timer om dagen er dog højt sat. Driftsperioden er fremkommet afen gennemsnitlig dag i juni for Aalborgområdet. Derfor vil besparelsen givetvis væremindre end den ovenfor beregnede. Til gengæld vil et længere rørsystem give størretryktabsforskel og derved en større besparelse ved at anvende en reguleret pumpe,frem for en ureguleret pumpe. Det vides til gengæld ikke, hvilket konstant masseflowen solfangerpumpe typisk opererer med. Dette kan både være lavere og højere enddet valgte og derved er besparelsen afhængig af, hvilket konstant masseflow derbenyttes til beregningerne. For en enkelt familie har en besparelse på 40 kr. ikkeden store betydning, men for samfundet kan det få betydning, hvis der findes tilpasmange anlæg med dette optimeringspotentiale. Der vil dog ikke blive analyseretyderligere på om det er økonomisk rentabelt, at designe nye solfangeranlæg med enimplementeret regulering af masseflowet, med udgangspunkt i en økonomisk, årligtilbagebetaling på 40 kr.

83

8.3 Finjustering af regulator

Det ønskes at undersøge, hvordan forskellige KP - og KI-værdier påvirker systemet.Generelt vil effekten af proportionalleddet KP være et hurtigere transient respons,hvorved temperaturen hurtigere vil svinge ind til stationær tilstand. IntegralleddetKI sløver generelt det transiente respons, mens det stationære respons forbedres. Idette tilfælde øges systemets orden fra type 0 til type 1, hvorved den stationære fejlfjernes, jævnfør tabel 7.6 på side 65.

Figur 8.9 viser, hvordan temperaturforskellen, Th−Ts, udvikler sig over syv døgn, vedtre valgte proportionalled på hhv. 0,0282, 0,2820 og 2,8200. Temperaturforskellenstarter i negativ, da starttemperaturen i solfangeren er 15◦C, mens starttemperatu-ren i varmtvandsbeholderen er 32◦C. Denne negative temperaturforskel ændrer sighurtigt, da solfangerens dynamik er hurtigere end varmtvandsbeholderens, hvorforder i dette tilfælde er zoomet på grafen for at illustrere, hvad et øget proportionalledtilføjer responset. Det observeres at der ved den designede regulator er en stationærfejl, som skyldes de konstante forstyrrelser, i form af solindfald, forbrug og varmetabfra varmtvandsbeholderen.

Figur 8.9. Grafen illustrerer, hvordan Th−Ts udvikler sig over syv døgn. Der er vist enkurve for hvert af de følgende proportionalled: 0,0282, 0,2820 og 2,8200

Det fremgår af figur 8.6 på side 80, at når solindfaldet bliver nul, hvorvedforstyrrelsen forsvinder, fjernes den stationære fejl og temperaturforskellen mellemTh og Ts går imod 5◦C. Af figur 8.9fremgår det, at når P-leddet øges med hhv.en faktor 10 og en faktor 100 opnås et hurtigere transient respons for Th − Ts.Endvidere fremgår det, at når proportionalleddet øges, minimeres den stationærefejl også. Dette skyldes at et forøget proportionalled undertrykker forstyrrelserne i

84

systemet. Forøgelse af proportionalleddet med en faktor 100, har ikke medført atsystemet med regulator er blevet ustabilt.

Figur 8.10. Grafen illustrerer, hvordan masseflowet udvikler sig over syv døgn. Der ervist en kurve for hvert af følgende proportionalled: 0,0282, 0,2820 og 2,8200

Figur 8.10 viser, hvordan masseflowet styres af PI-regulatoren, ved tre forskelligeproportionalled hhv. 0,0282, 0,2820 og 2,8200. Masseflowet vist for P-led på 2,82har et opsving på ca. 0,23kg

s. I databladet for et Compact 160L solfangeranlæg fra

Sonnenkraft, er der opgivet en pumpekarakteristik fra 0-14 lmin

, hvorved det antagesat masseflowet leveret af pumpen vil ligge i dette interval. Derfor kan det konkluderesat det højeste masseflow på ca. 0,23kg

s, eller 13,8 l

min, er et realistisk flow. Dog skal

det undersøges om pumpens dynamik gør den i stand til at følge regulatoren.

85

Figur 8.11. Grafen illustrerer, hvordan Th − Ts udvikler sig over syv døgn. Der er visten kurve for hvert af følgende integralled: 3, 37·10−9, 3, 37·10−7, 3, 37·10−6,3, 37 · 10−5 og 3, 37 · 10−4

Figur 8.11 viser, hvordan temperaturforskellen mellem Th−Ts udvikler sig over syvdøgn. Kurverne er vist for det designede integralled på 3, 37·10−9, samt integralleddetmultipliceret med hhv. 100, 1.000, 10.000 og 100.000. Selvom integralleddet øges meden faktor 100.000, bliver systemet med regulator ikke ustabilt. Proportionalleddeter i denne sammenhæng holdt fast på 0,0282. Ved at forøge integralleddet med hhv.en faktor 100 og en faktor 1000 går temperaturdifferencen hurtigere mod de ønskede5◦C. Desuden illustrerer figuren, at temperaturdifferencen mellem Th − Ts ved detdesignede integralled, multipliceret med en faktor 10.000 og en faktor 100.000, fåret oversving. Dette oversving kan være problematisk, da det medfører at Ts kommertættere på Th, hvor den eneste mulighed for at Ts kan falde er igennem varmetab fravarmtvandsbeholderen. Trods integralleddet multipliceres med en faktor 100.000,giver regulatoren maksimalt et masseflowsignal på 0,115 kg

s, svarende til cirka 7

lmin

. Dette masseflow er realistisk, set i forhold til, hvad en almindelig pumpe til etsolfangeranlæg kan levere.

Opsummering af finjustering

I det foregående afsnit er der varieret på størrelserne af KP og KI . Disseændringer er blevet testet på modellen, for at undersøge, hvilken betydning dethar for temperaturforskellen mellem Th og Ts, samt for masseflowet. Ved atforøge proportionalleddet KP , kan denne undertrykke de konstante forstyrrelser ogderved reducere den stationære fejl. Ydermere er der mulighed for at justere på

86

integralleddet KI . Ved at øge dette led, er det muligt at forbedre det transienterespons, men hvis leddet øges for meget, kan det resultere i et uønsket oversvingi systemet. Den fysiske betydning af at øge integralleddet, afspejles i et forøgetmasseflow. Når masseflowet øges, stiger den effekt varmeveksleren afsætter og derforgår systemet hurtigere i stationær tilstand.

Ud fra erfaring med finjustering på modellen, skulle der, hvis det havde været muligt,være foretaget en finjustering af regulatoren sammen med det fysiske system. Dennefinjustering er nødvendig, da designreglerne som regulatoren er fremstillet efter kuner vejledende. Derfor skal regulatoren til det fysiske system justeres efter responsetpå det fysiske anlæg, hvorved der i regulatorbestemmelsen tages højde for eventuellefejl fra modelantagelser og andre uforudsigelige hændelser.

87

Konklusion 9Med henblik på at simulere temperaturudviklingen i et solfangeranlæg, er derudviklet en beregningsmodel i Simulink. Temperaturudviklingen bestemmes imodellen, på baggrund af energibevarelse, ved input af et valgt solindfald og forbrug,som kan være fast eller varierende, samt et fast masseflow. Senere blev modellenbenyttet til at teste den udviklede regulering.

Der blev opstillet et forsøgsanlæg, der skulle benyttes til at verificere modellen, menpå grund af sen levering blev der ikke tid til at gennemføre forsøget. Da modellentidligere havde vist rigtige tendenser, blev den benyttet videre.

Ved at tilføre en regulator til modellen, varierer denne masseflowet for at opnå etønsket sætpunkt. Dette sætpunkt blev valgt til at temperaturen i solfangeren, Th,skulle gå mod temperaturen i varmtvandsbeholderen, Ts, plus 5◦C.

For at kunne tilføre en regulator til systemet blev modellen lineariseret. I et valgtarbejdspunkt gav den lineære model imidlertid ikke de samme resultater som denulineære model, hvorfor der ikke arbejdes videre på denne.

I stedet blev en overføringsfunktion for modellen bestemt ved hjælp af kurvefit,baseret på et fast solindfald og et fast masseflow. Videre blev overføringsfunktionenfor solfangeranlægget testet for stabilitet. Der blev valgt at udvikle en PI-regulatortil anlægget, da propertionalleddet kunne benyttes til at øge det transiente responsog intergralleddet ville fjerne den stationære fejl.

Efter den endelige regulator var udviklet og implementeret i modellen, blev deropstillet flere scenarier for at undersøge temperaturudviklingen ved et masseflowstyret af regulatoren. Disse resultater blev sammenlignet med tidligere resultaterved konstant masseflow, med henblik på at vurdere, om det var muligt at overføreden samme effekt ved et lavere gennemsnitligt masseflow. Set hen over et døgn erdet, ved at benytte en trinløs regulator, muligt at overføre en næsten tilsvarendeeffekt, sammenlignet med et konstant, højt masseflow. Dette illustreres på figur 8.8på side 81. Derved kan det konkluderes, at ved at benytte en trinløs regulatorer det muligt at reducere det gennemsnitlige masseflow til anlægget og samtidigoverføre en tilsvarende effekt i varmeveksleren. Denne reduktion i masseflow, gav

89

anledning til et reduceret effektforbrug af pumpen. Ved beregning, på baggrundaf en række antagelser, blev der estimeret en årlig strømbesparelse svarende til 40kr. Der blev ikke vurderet yderligere på om det ville være økonomisk rentabelt, atdesigne nye solfangeranlæg med en regulering af masseflowet, set i forhold til denårlige tilbagebetaling på 40 kr.

90

Perspektivering 10I dette kapitel vil nogle af mulighederne for fremtidigt arbejde med udvikling afmodel og regulator, til et solfangeranlæg, blive beskrevet.

Der er i forbindelse med modelleringen af solfangeranlægget gjort en række simpli-ficeringer. Heriblandt er antagelsen om lineær temperaturfordeling i varmtvandsbe-holderen, ligeligt fordelt temperaturfordeling i solfangeren og intet varmetab i selvesolfangeren og rørsystemet. Hvis der i stedet tages højde for disse ting, vil modellengive mere nøjagtige resultater.

Dernæst kunne modellen med fordel udbygges til også at omfatte pumpen i systemet.Modellen vil derved modtage et spændings- eller frekvensinput og omsætte dette tilet masseflow, i stedet for at modtage masseflowet direkte som input. Yderligerekunne der på pumpen foretages effektberegninger, hvormed det vil være muligt atsammenligne strømforbruget ved hhv. trinløs og on/off regulering, og dermed laveen mere præcis økonomisk vurdering. Disse beregninger kan ledes videre over i enuddybende økonomisk vurdering af hvorvidt det ville være en fordel at anvende entrinløs regulering. I en sådan vurdering kan der yderligere indgå overvejelser mht.ædinger i pumpens virkningsgrad i forhold til hvor i driftsområdet denne kører, samtslidtage.

Videre kan modellen også udbygges til at medbringe tryktabsberegninger. Dervedvil modellen kunne benyttes som et værktøj til at bestemme den rette pumpe til etgivet anlæg, ud fra bl.a. min/max masseflow samt systemets tryktab.

Ligesom ved modellen, er der i forbindelse med regulatordesignet foretaget fleresimplificeringer. Det antages bl.a. at en sekundær varmekilde tager over ogopretholder en temperatur i toppen af tanken på 60◦C, dersom solfangeranlæggetikke dækker behovet. Den reguleringsegenskab er ikke med i denne rapport, menskal selvfølgelig indarbejdes i regulatoren inden den kan bruges på et faktisksolfangeranlæg til brugsvand. Yderligere bestemmes systemets overføringsfunktionud fra et kurvefit til et førsteordenssystem, hvor solindfald, forbrug og masseflowholdes konstant. Hvis overføringsfunktionen i stedet bestemmes ved linearisering,opnås et mere generelt udtryk. Endvidere kan der i designet af regulatoren tageshøjde for eksempelvis solindfaldet hen over året.

91

Rent praktisk kunne der arbejdes videre med forsøget. Hvis pumpen implementeres iden matematiske model, ville det være muligt også at udføre reguleringen af anlæggeti praksis. Data fra et forsøg kan sammenlignes med modellen inklusiv pumpe, denteoretiske regulator, samt eventuelle effektberegninger. Det skal her bemærkes atden regulator der fungerer bedst i teorien, ikke altid er den der fungerer bedst ipraksis.

92

Litteratur

Cengel, 2006. Yanus A. Cengel. Heat and mass transfer - A practical approach.ISBN: 978-007-125739-8. McGraw Hill, 2006.

Cengel, Turner, og Cimbala, 2008. Yanus A. Cengel, Robert H. Turner, ogJohn M. Cimbala. Fundamentals of Thermal-Fluid Sciences. ISBN:978-007-126631-4. McGraw Hill, 2008.

Deutsche Gesellschaft für Sonnenenergie, 2005. Deutsche Gesellschaft fürSonnenenergie. Planning and Installing Solar Thermal Systems, 2005.

DONG Energy. DONG Energy. Typisk vandforbrug. URL:http://www.dongenergy.dk/PRIVAT/ENERGIFORUM/TJEKDITFORBRUG/Pages/typiskvandforbrug.aspx. Downloadet: 14-03-2010.

Energinet.dk, 2008. Energinet.dk. Miljørapport 2008, 2008.

Energinord, 2010. Energinord. Historiske aconto-priser. URL: http://www.energinord.dk/dk/privat/priser/historiske_elpriser_01.htm,2010. Downloadet: 24-05-10.

European Comission Joint Research Centre, -. European Comission JointResearch Centre. Photovoltaic Geographical Information System - InteractiveMaps. URL: http://re.jrc.ec.europa.eu/, -. Downloadet: 01-04-2010.

Heilmann, 2007. Thomas Heilmann. Systemanalyse og simulering. ISBN:978-87-90603-09-0. HEILMANNs Forlag, 2007.

Jannerup og Sørensen, 2004. Ole Jannerup og Paul Haase Sørensen.Reguleringsteknik. ISBN: 87-502-0960-4. Polyteknisk, 2004.

Kreyszig, 2006. Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics. ISBN:978-0-471-72897-9. Wiley, 2006.

Mathworks Inc, 2010a. Mathworks Inc. Help - Matlab. Hjælpe fil i Matlab,2010.

Mathworks Inc, 2010b. Mathworks Inc. Simulink - Simulation and Model-basedDesign. URL: http://www.mathworks.com, 2010. Downloadet: 27-04-10.

93

Nachi.org. Nachi.org. Solfangeranlæg. URL: http://education.nachi.org/.Downloadet: 01-03-2010.

Pedersen, 2010a. Henrik C. Pedersen. Anvendt reguleringsteknik. Forelæsning ianvendt reguleringsteknik, 2010.

Pedersen, 2010b. Henrik C. Pedersen. Spørgsmål ang. regulering. Mailkorrespondance, 2010.

Pedersen og Andersen, 2010. Henrik C. Pedersen og Torben O. Andersen.Blokdiagrammer og blokdiagramsreduktioner. Hjælpelitteratur til forelæsning ianvendt reguleringsteknik, 2010.

Phillips og Harbor, 2000. Charles L. Phillips og Royce D. Harbor. FeedbackControl Systems. ISBN: 0-13-949090-6. Prentice Hall, 2000.

Sahdev, -. Mukesh Sahdev. Centrifugal Pumps: Basics Concepts of Operation,Maintenance, and Troubleshooting, Part I. URL: www.cheresources.com, -.Downloadet: 21-03-2010.

Sol-eco, 2010. Sol-eco. Størrelse af solfangeranlæg. URL:www.sol-eco.dk/.../Dimensionering%20af%20solfangeranlæg.doc, 2010.Downloadet: 04-05-10.

Statens seruminstitut, 1995. Statens seruminstitut. Råd og anvisninger omLegionella, 1995.

94

Pumpe- og

tryktabsligninger AI det følgende kapitel vil der blive udledt en række ligninger, der beskriversammenhængen mellem et ønsket masseflow i den lukkede solfangerkreds og etomdrejningstal på pumpen. Videre vil der også blive opstillet en formel for tryktab.

Til at begynde med tages der udgangspunkt i formlen for ændring af entropi, somfremgår af formel A.1.

∆s =∆h

T− ν ·∆p

T(A.1)

hvor:∆s = Ændring i entropi

[JK

]∆h = Ændring i entalpi [ J

kg]

T = Temperatur [K]

ν = Specifik volumen[m3

kg

]∆p = Ændring i tryk [Pa]

Ændringen i entropi antages at være lig nul ved videre beregninger. Dette er ikkefysisk korrekt, men er nødvendigt for at gennemføre beregningerne. Dette givermulighed for at opstille følgende udtryk:

∆h = ν ·∆p (A.2)

I formel A.3 ganges masseflowet på begge sider af lighedstegnet.

∆h · m = m · ν ·∆p (A.3)

hvor:m = Masseflow

[kgs

]

A

Formel A.4 viser at entalpiændringen ganget med masseflowet giver pumpeeffekten.

Ppump = ∆h · m (A.4)

hvor:Ppump = Pumpeeffekt [W ]

Af formel A.5 fremgår det at det specifikke volumen er lig den reciprokke afdensiteten.

ν =1

ρ(A.5)

hvor:ρ = Densitet

[kgm3

]Ud fra ligning A.4 og A.5 kan følgende udtryk opstilles:

Ppump =m ·∆pρ

(A.6)

Da entropiændringen i formel A.1 på side A blev antaget lig nul, er det nødvendigt atgange en isentropisk virkningsgrad på pumpeeffekten, eller gange med den reciprokkepå den anden side af lighedstegnet, hvilket er gjort i formel A.7. Den isentropiskevirkningsgrad er opgivet i pumpens datablad.

Ppump =m ·∆p

ρ · ηisentropisk(A.7)

hvor:ηisentropisk = Isentropisk virkningsgrad for pumpen [·]

Pumpeeffekten kan også udtrykkes således:

Ppump = ω · τ (A.8)

hvor:ω = Omdrejningstal for pumpe

[rads

]τ = Moment for pumpe [N ·m]

B

Ved at kombinere formel A.7 og A.8 på side B og isolere omdrejningstallet opnåsfølgende udtryk:

ω =m ·∆p

ρ · ηisentropisk · τ(A.9)

Tryktab i rør

I dette afsnit vil der blive gjort rede for de tab der finder sted i rørene i form aftryktab, hvilket forårsages af friktion mellem fluiden og røret.

Viskositet

Viskositet er en fluids indre træghed eller friktion. Når to fluider, eller en fluid oget fast stof, er i fysisk kontakt med modsatrettet bevægelse opstår friktion, ligesomtilfældet er, hvis to faste stoffer er i fysisk kontakt og bevæger sig modsatrettet.Viskositet er en materialeegenskab og er afhængig af temperatur og tryk. Væskermed en stigende temperatur har en faldende viskositet, mens gasser med stigendetemperatur vil opleve en stigende viskositet [Cengel et al., 2008].

Hvis en fluid strømmer i et stillestående rør, vil det yderste grænselag af fluiden, somer i kontakt med røret, være stillestående. Dette fænomen kaldes „no-slip condition“.Hastighedsprofilen for fluiden vil derfor gå fra 0 m/s til den maksimale hastighed,der vil være i den midterste del af rørets tværsnit. Figur A.1 på side D illustrerer „no-slip condition“, med en hastighedsprofil for de forskellige fluidlag, hvor det fremgårat hastigheden stiger med afstanden til pladen indtil den maksimale hastighed nås[Cengel et al., 2008].

C

Figur A.1. Viser hastighedsprofilen for en fluid. Det fremgår at hastigheden er nul vedoverfladen af pladen [Cengel et al., 2008]

Tryktab

Tryktabet i et lukket system afhænger af om flowet er laminart eller turbulent og kankontrolleres ved at udregne Reynoldstallet. Da tryktabet ikke bliver beregnet, menaflæst fra databladet vil udregning af Reynoldstallet ikke blive beskrevet yderligere.Formlen for tryktabet, for både laminar og turbulent flow, bliver opstillet for atforklare den tryktabsudvikling der er som en funktion af et øget masseflow. Denneformel er som følger:

∆P = f · LDh

·ρ · V 2

avg

2(A.10)

hvor:∆P = Tryktab [Pa]

ρ = Fluidens densitet [ kgm3 ]

f = Darcy’s friktionfaktor [−]

L = Længden af røret [m]

Dh = Hydraulisk diameter [m]

Vavg = Gennemsnitshastighed af fluiden [ms

]

Darcy’s friktionsfaktor beregnes forskelligt for henholdsvis laminart og turbulentflow, men da dette ikke er nødvendigt i denne rapport, vil det ikke blive beskrevet.Ud fra formel A.10 kan det tydeligt konkluderes, at et højere masseflow vil resultere iet øget tryktab. Dette gælder dermed både for rørene, solfangeren og varmeveksleren.

Udover det nævnte rørtab, beskrevet her over, forekommer også andre mindre rørtab,eksempelvis tab i knæk og bøjninger, udvidelser og indsnævringer, samlemuffer og

D

ventiler. Disse elementer vil forårsage en øget turbulens i flowet. Årsagen til at dissetab kaldes „mindre tab“, er at disse i mange tilfælde vil kunne negligeres, specielt ilange rør, da tryktabet som konsekvens af viskositet vil være betydeligt større endde mindre tab.

E

Linearisering BI dette kapitel udledes de lineariserede formler for varmtvandsbeholderen ogvarmeveksleren. De endelige ligninger blev præsenteret i afsnit 7.3 på side 49 irapporten.

Linearisering af ligning for varmtvandsbeholder

Formlen for varmtvandsbeholderen er som tidligere nævnt givet ved:

mbeholder ·cp,vand ·dTtdt

= m·cp ·(Th − Tl)+mforbrug ·cp,vand ·(Tbund − Ttop)−(Tt − Tamb)Rtank

(B.1)

Venstresiden af udtrykket er lineært, forudsat at cp er konstant, hvorfor kunhøjresiden lineariseres.

f(Th, Tl, m, mforbrug, Tt, Ttop) = mbeholder · cp,vand ·dTtdt

(B.2)

Til linearisering af formel B.1 benyttes førsteordens taylorudvikling, hvorvedfølgende udtryk opnås:

∆f(Th, Tl, m, mforbrug, Tt, Ttop) =δf

δTh

∣∣∣Th(0)·∆Th +

δf

δTl

∣∣∣Tl(0)

·∆Tl +δf

δm

∣∣∣m(0)

·∆m

+δf

δmforbrug

∣∣∣mforbrug(0)

·∆mforbrug +δf

δTt

∣∣∣Tt(0)·∆Tt +

δf

δTtop

∣∣∣Ttop(0)

·∆Ttop

(B.3)

Formel B.3 udregnes, hvilket giver følgende udtryk:

G

∆f(Th, Tl, m, mforbrug, Tt, Ttop) = m(0) · cp · (∆Th −∆Tl) + ∆m · cp · (Th(0) − Tl(0))

+ ∆mforbrug · cp,vand · (Tbund(0) − Ttop(0))−1

Rtank

·∆Tt − mforbrug(0) · cp,vand ·∆Ttop

(B.4)

Linearisering af ligning for varmeveksler

Formlen for varmeveksleren er givet ved:

UA · (Th − Ts) + (Tl − Ts)2

= m · cp(Th − Tl) (B.5)

Venstresiden er lineær, hvorfor højresiden lineariseres:

f(Th, Tl, m, ) = UA · (Th − Ts) + (Tl − Ts)2

(B.6)

Højresiden af formel B.6 lineariseres efter førsteordens taylorudvikling som tidligerebeskrevet. Herved opnås udtrykket:

∆f(Th, Tl, m, ) =δf

δTh

∣∣∣Th(0)

·∆Th +δf

δTl

∣∣∣Tl(0)

·∆Tl +δf

δm

∣∣∣m(0)

·∆m (B.7)

Herved opnås følgende udtryk for den lineariserede varmeveksler:

∆f(Th, Tl, m) = m(0) · cp · (∆Th −∆Tl) + ∆m · cp · (Th(0) − Tl(0)) (B.8)

H

Lineariseret model CDen lineære model er opstillet på baggrund af de lineariserede ligninger fra afsnit 7.3på side 49. For at have en simpel modelopbygning er de tre ligninger omskrevet tilat de forskellige konstanter er samlet til en konstant foran hver variabel. Dette kanses for henholdsvis solfangeren, varmtvandsbeholderen og varmeveksleren:

C5 · s ·∆Th(s) = C1 ·∆Qsol(s) + C2 ·∆Th(s) + C3 ·∆Tl(s) + C4 ·∆m(s) (C.1)

hvor:C1 = A · ηC2 = -m(0) · cpC3 = m(0) · cpC4 = cp · Tl(0) - cp · Th(0)

C5 = mvaeske · cp

K7·s·∆Tt(s) = K1·∆Th(s)+K2·∆Tl(s)+K3·∆m(s)+K4·∆mforbrug(s)+K5·∆Tt,(s)+K6·∆Ttop(s)(C.2)

hvor:K1 = m(0) · cpK2 = -m(0) · cpK3 = cp · Th(0) - cp · Tl(0)

K4 = cp,tank · T12 - cp,tank · Ttop(0)

K5 = -UAtank

K6 = mforbrug(0) · cp,tankK7 = mtank · cp,tank

M4 · ((Th − Ts) + (Tl − Ts)) = M1 ·∆Th(s) +M2 ·∆Tl(s) +M3 ·∆m(s) (C.3)

I

hvor:M1 = m(0) · cpM2 = -m(0) · cpM3 = cp · Th(0) - cp · Tl(0)

M4 = UAvarmeveksler2

På figur C.1 er den lineariserede model vist i Simulink. Ud fra figur C.1fremgår det, hvordan de tre ligninger er koblet indbyrdes. Ved ligningen forvarmtvandsbeholderen og solfangeren er der indsat en overføringsfunktionsblok, hvordynamikken for de to systemer er placeret. På figur C.1 er stregene for ∆Th, ∆Tl og∆Tt navngivet.

Figur C.1. Figuren illusterer den lineære model i Simulink

J

Blokreducering DDer er en række regler der skal overholdes ved reducering af blokdiagrammer. Disseregler fremgår af tabellen herunder.

K

Figur D.1. Tabellen viser regneregler for reducering af blokdiagrammer [Pedersen ogAndersen, 2010]

L

Forsøgsrapport EFormål

Formålet med forsøget er at verificere den matematiske model, ved at anvende desamme materialekonstanter og forudsætninger i model og forsøg.

Udstyr

Til forsøget er der indkøbt et samlet solfangeranlæg hos Sonnenkraft, model„Compact 160L“. Sættet indeholder følgende dele:

• Solfanger SK500N• Varmtvandsbeholder med varmeveksler ELB160R1E• Pumpe, PSKR15 inkl. styring SKSC2• Ekspansionsbeholder AG18S• Brugsvandsblandeventil TBM20• Frostvæske 5 l (Propylenglykol) - Skal blandes med vand i forholdet 40/60

Yderligere anvendt udstyr til forsøget fremgår herunder.

• 7 stk. termofølere, Type K (til montering i væske)• Flowmåler på solfangerkreds (krav min: 0-14 l/min)• Alupex rørsystem og fittings• Vandur på forbrugskredsen• Computer med LabVIEW• Forlængerledning• Vogn til solfangeranlæg 2200x1700mm

M

Forsøgsopstilling og opbygning

Solfangeranlægget kobles sammen som beskrevet i instruktionsmanualen ogtryksættes inden det tages i brug. Anlægget opstilles på en vogn, så det nemt kanflyttes rundt.

Figur E.1. Principskitse af forsøgsanlægget, hvorpå målepunkterne er markeret

På anlægget monteres der desuden en flowmåler på solfangerkredsen og syvtermofølere, som vist på figur E.1. Temperatursensorerne i rørene monteres på ensådan måde, at disse er i kontakt med væsken. Tt placeres midt i tanken og Ts

placeres højdemæssigt midt for varmeveksleren. På figur E.2 er vist et billede, hvoranlægget er placeret på vognen, dog uden slanger, fittings og måleudstyr.

Figur E.2. Figuren viser den fysiske opstilling, uden slanger, fittings og måleudstyr

N

Hypoteser

Det antages at resultaterne fra forsøget over temperaturudviklingen i tanken harsamme tendenser som temperaturudviklingen der kan simuleres i modellen, hvis derbenyttes samme materialekonstanter og input for masseflows. Der udføres forsøgmed tre forskellige masseflow, som forventes at have indflydelse på størrelsen aftemperaturudviklingen i varmtvandsbeholderen.

Fremgangsmåde

Forsøget udføres på en dag, hvor der ikke er overskyet for at opnå så stort etsolindfald som muligt og dermed den største temperaturstigning. Vognen, medanlægget på, stilles på et åbent område udendørs for at undgå skygge i løbet afdagen. Anlægget placeres mod syd for at opnå det største solindfald.

Da der ikke vil være nogen løbende regulering af anlægget benyttes de trehastighedsindstillinger på pumpen. Der køres et forsøg med hver af de tre hastighederog forsøget forløber over en hel dag, fra solopgang til solnedgang. For at simulere etforbrug lukkes der løbende varmt vand ud af varmtvandsbeholderen, ved at koblesolfangeranlægget til en kølekreds. Dette forbrug måles ved hjælp af et vandur, sådet samme forbrug senere kan indtastes i beregningsmodellen. Da der bruges etvandur til at måle forbruget, kan der kun benyttes konstant forbrug.

Mens forsøget forløber opsamles målinger fra termofølerne, som er placeret somillustreret på figur E.1 på side N, ved hjælp af en dataopsamlingsboks og en computermed LabVIEW installeret. Udover disse målinger registreres også flowet gennemflowmålerne ved hjælp af LabVIEW. Inden forsøget sættes i gang er LabVIEWindstillet til at opsamle data med det ønskede interval, indtil forsøget er afsluttet.Da forsøget køres indtil der ikke er mere indstråling fra solen afsluttes anlæggetog LabVIEWs dataopsamling manuelt. De registrerede målingerne gemmes i etregneark så de senere kan benyttes til sammenligning med resultaterne fra modellenog dermed ligge til grunde for verificeringen af beregningsmodellen.

Dataopsamling

Dataopsamlingen vil foregå med en dataopsamlingsboks tilkoblet en computermed LabVIEW installeret. I LabVIEW designes et program, så det er muligt atregistrere inputs fra måleudstyret og gemme det på computeren. Det udstyr der skal

O

tilkobles dataopsamlingsboksen, er en flowmåler og syv termofølere. Et forsimpletblokdiagram for dataopsamlingen fremgår af figur E.3.

Figur E.3. Blokdiagram over dataopsamlingsprogrammet i LabVIEW

Det forsimplede blokdiagram viser kun to temperaturmålinger og en flowmåling.Blokdiagrammet er opbygget som et whileloop, hvor dataopsamlingen er opbyggetsom tasks. Den øverste serie af blokke er designet til måling af temperaturerog eksporterer disse data til et regneark, så disse data kan benyttes som inputtil modellen senere. De nederste blokke har det formål at måle spændingenpå flowmålerne. Denne spænding er ækvivalent til et givet masseflow. Dennedatabehandling foretages i et regnearkprogram udenfor LabVIEW, da der endnuikke vides eksakt, hvilken flowmåler, der bliver benyttet.

Måleusikkerhed

Det benyttede måleudstyr har en tolerance, udstyret kan måle indenfor. Derfor erdet væsentligt, at undersøge præcisionen af dette udstyr, for at vurdere om det haren væsentlig betydning for udfaldet af forsøget.

• Termofølere af typen K kan afvige med 1.5◦C i temperaturspændet 0-200◦Cog giver et output på 8mV ved 200◦C

• Dataopsamlingsboks National Instruments USB-6215 har en præcision på 89µV

• Der vil være en måleusikkerhed ved flowmåleren, dog er typen ikke kendt

P

Fejlkilder

Her listes og forklares de faktorer, der kan resultere i at forsøgets udfald ikke stemmeroverens med virkeligheden

• Varmtvandsbeholderen er ikke mulig at åbne, derfor vides den eksakteplacering af termofølerne ikke. Dette medfører at temperaturerne kanobserveres et andet sted end ønsket

• Der kan være løse forbindelser i termofølerne, hvilket vil resultere i forkertemålinger

• Signalet fra termofølerne kan blive forstyrret af andre elektriske maskiner, derer placeret nær termofølerne

• Termofølerne kan være kalibreret forkert, hvilket resulterer i at referencetem-peraturen er forkert

Da forsøget endnu ikke er blevet udført, er der ingen faktiske problemer at diskuterei forbindelse med forsøget.

Q