Symulator propagacji fal akustycznych

Edyta Gawlińska

17 czerwca 2009

1 Charakterystyka projektu

Projekt ma celu graficzne przedstawienie zachowania się fali akustycznej, azwłaszcza zjawisk takich jak dyfrakcja, interferencja, odbicie, załamanie, roz-praszanie. Graficzny symulator posiada możliwość wyboru rodzaju źródła fali(kształtu) i częstotliwości. Fala rozchodzi się w otwartej przestrzeni (w ośrod-kach izotropowych), w której zostały umieszczone przeszkody, bryły o różej im-pedancji Z. W celu symulacji wprowadzono model w postaci siatki cząsteczekgazu.

2 Model fali wykorzystany w aplikacji, podstawyfizyczne zjawiska i ich realizacja programowa

Fala akustyczna należy do fal mechanicznych poprzecznych. Jej stan w chwiliczasowej t i w zadanym położeniu x można wyznaczyć rozwiązując zaganienieCauchy’ego postaci

∂2P

∂t2= c2∇2P, P (0,x) = P0, (1)

gdzie P jest ciśnieniem fali, c prędkością dźwięku w ośrodku. W zależności odczęstotliwości fale akustuczne w konakcie z powierzchnią zachowują się w różnysposób. Fale o niskich częstotliwościach ulegają praktycznie całkowitemu roz-proszeniu podczas odbicia od większości powierzchni. W pracy skoncentrowanosię tylko na falach ultradźwiękowych, które znalazły szerokie zastosowanie w so-narach ultradźwiękowych. Większość interesujących pod względem identyfikacjiotoczenia powierzchni posiada niski współczynnik rozpraszania dla fal ultradź-więkowych. W symulacji wykorzystano model w postaci siatki cząsteczek gazu.W każdym węźle siatki stan fali opisany jest jej ciśnieniem w chwili t, t − 1,t−2. Siatka zaimplementowana została w postaci macierzy liczb rzeczywistych.Macierz impedancji każdego punktu siatki obrazuje otoczenie w którym roz-przestrzenia się fala . Zamodelowane są powierzchnie twarde o nieskończonejimpedancji od których fala odbija się z przeciwną fazą, powierzchnie częściowoodbijające falę z przeciwną fazą i bez zmiany fazy. Powierzchnie miękkie, całko-wicie odbijające falę bez zmiany fazy nie zostały zamodelowane. Odbicie i zała-manie fali jest skutkiem zmiany impedancji Z po jej przejściu między różnymiośrodkami. W każdym punkcie i na podstawie impedancji został wyznaczonywspółczynnik odbicia Ri,i−j i transmisji Ti−j,j , gdzie j jest jednym z czterech

1

Rysunek 1: Rozmieszczenie przeszkód i ustawienie impedancji

kierunków: N , E, S, W . Współczynniki te wyznaczane są na podstawie równań:

Ri,i−j =Zj − Zi

Zj + Zi, (2)

Ti−j,j =2Zj

Zj + Zi. (3)

Źródło sygnału zamodelowane zostało jako macierz, której każdy element za-wiera wartość ciśnienia fali w danym momencie. Punkty, które nie emitują falimają zerowe wartości ciśnienia (przypis autora: w najbliższym czasie zostaniewprowadzona możliwość zmiany częstotliwości emitowanej fali).

3 Opis interfejsu użytkownika

Na rysunku 1, można zobaczyć sposób rozmieszczania przeszkód i źródeł fal.Kształt przeszkody można wybrać spośród kilku podstawowych figur geome-trycznych, a poprzez wprowadzenie możliwości rotacji i zmiany wielkości, prze-szkoda przyjąć praktycznie każdą interesującą ze względu na zastosowanie wsymulacji postać. Poprzez zmianę koloru można ustalić impedancję przeszkody.

Na rysunku 2 pokazano okno symulacji. Do sterowania jej przebiegiem służąprzyciski startu stopu i pauzy. Istnieje możliwość wyłączenia źródeł, ustawieniaścian oraz ukrycia przeszkód.

Dodatkowo w aplikacji zamieszczono okno zawierające parametry. Niestetysymulator na obecną chwilę nie korzysta z parametrów rzeczywistych.

2

Rysunek 2: Okno symulacji

3

4 Diagram klas

Diagram klas przedstawiono na rysunku 3. Znajdują się na nim tylko naj-ważniejsze pod względem funkcjonalności programu klasy. Klasa Simulator Uireprezentuje interfejs użytkownika. Ze względu na jej rozbudowaną postać nadiagramie zasygnalizowano tylko jej istnienie.

4

Rysunek 3: Diagram klas

5

Rysunek 4: Przepływ sterowania

5 Diagram przepływu sterowania

Na rysunku 4 pokazano przepływ sterowania. Aplikacja zawiera dwa wątki,wątek główny związany ze sterowaniem symulacją i rozmieszczaniem przeszkódoraz wątek obliczeń. W każdej chwili istnieje możliwość zatrzymania lub prze-rwania symulacji.

6 Wyniki eksperymentów

6.1 Odbicie od powierzchni o różnych impedancjach

Na rysunkach 5, 6, 7 pokazano różne rodzaje odbicia fali od powierzchni i przej-ścia do innego ośrodka. Jeśli fala przechodzi z ośrodka o większej impedancji doośrodka o mniejszej, następuje częściowe odbicie bez zmiany fazy. Fala odbitama mniejszą amplitudę, a fala, która przeszła do innego ośrodka posiada więk-szą amplitudę i długość co zostało pokazane na rysunku 7. Podczas przejścia zośrodka o mniejszej impedancji do ośrodka o większej następuje częściowe od-bicie ze zmianą fazy. Fala odbita ma mniejszą amplitudę. Fala, która przeszłado innego ośrodka posiada większą amplitudę ale mniejszą długość co zostałopokazane na rysunku 6 (zmiana długości jest niestety niedostrzegalna).

6

Rysunek 5: Całkowite odbicieze zmianą fazy

Rysunek 6: Częściowe odbicieze zmianą fazy

Rysunek 7: Częściowe odbiciebez zmiany fazy

7

Rysunek 8: Odbicie od naroż-nika

Rysunek 9: Odbicie od naroż-nika

Rysunek 10: Odbicie od po-wierzchni zaokrąglonej

Rysunek 11: Odbicie od po-wierzchni schodkowej

6.2 Odbicie od powierzchni o różnych kształtach

W dalszej częsci pracy wszystkie symulacje przeprowadzone są przy użyciu prze-szkód całkowicie odbijających falę (sztywnych). Na rysunkach 8, 9, 10, 11 poka-zano sposób w jaki fala odbija się od narożników. Na rysunku 8 przedstawionoodbicie od narożnika wypukłego. Jak widać pierwsza do emitera dociera falaodbita od bliższych części ścian, a następnie od samego narożnika. Dla narożni-ków wklęsłych do emitera dociera najpierw fala odbita od samego narożnika. Jejamplituda jest znacząco mniejsza niż fali wyemitowanej ze źródła. Na rysunku11 przedstawiony został sposób odbicia fali od powierzchni schodkowej.

8

Rysunek 12: Odbicie od po-wierzchni schodkowej

Rysunek 13: Odbicie od po-wierzchni schodkowej

Rysunek 14: Odbicie od po-wierzchni schodkowej

Na rysunkach 12, 13, 14 pokazane zostały kolejne kroki symulacji odbiciafali od powierzchni schodkowej.

9

Rysunek 15: Dyfrakcja Rysunek 16: Dyfrakcja

Rysunek 17: Dyfrakcja

6.3 Dyfrakcja i interferencja

W tym rozdziale przedstawione zostały zjawiska interferencji i dyfrakcji. Narysunkach 15, 16, 17 została przedstawiona dyfrakcja fali.

10

Rysunek 18: Przed superpozy-cją fal

Rysunek 19: Wzmocnieniemaksimum

Rysunek 20: Tłumienie fali Rysunek 21: Wzmocnienie eks-tremów

Na rysunkach 18, 19, 20, 21 zostały przedstawiona w kolejnych krokachinterferencja fal pochodzących z dwóch źrodeł. Rysunki 19 i 21 obrazują fazęwzmocnienia a 20 wygaszenia fal.

7 Podsumowanie i koncepcja dalszego rozwoju

Symulator może być ciekawą pomocą dydaktyczną pozwalającą lepiej zrozu-mieć, a przede wszystkim zobrazować zjawiska towarzyszące rozchodzeniu sięfal ultradźwiękowych. Projekt niestety posiada wiele wad, ale w obecnej wersjiwiele funkcjonalności udało się zrealizować. Oprócz wad w implementacji (naj-ważniejsza to brak możliwości skalowania) program nie odnosi się w wymiernysposób do rzeczywistości. Dodatkowo nie jest możliwe zobrazowanie zjawiskaodbicia fali od powierzchni w pełni elastycznych. Takiego zjawiska nie mode-luje zaproponowana postać impedancji i zastosowane równanie. W momencieodbicia się fali, powierzchnia elastyczna pochłania całą energię, którą potemoddaje w niezmienionej fazie. Jedynym sposobem na zamodelowanie takiegozjawiska, jest przypisanie krawędziom przeszkody wartości ciśnienia odbijanej

11

fali. W przypadku fal padających pod kątem prostym, problem wydaje się byćłatwy w rozwiązaniu. Jednakże częściej występują odbicia pod innym kątem.Kolejnym problemem związanym bezpośrednio z modelowaniem elastycznościjest problem odbijania się fali od krawędzi okna symulacji. Jest to niepożądanezjawisko i w obecnej wersji oprogramowania niestety nie zostało całkowicie wy-eliminowane. Wszelkie próby uśredniania wartości ciśnienia na krawędziach nieprzynoszą dobrych rezultatów. Zauważono, że nawet minimalny błąd oszaco-wania wartości na krawędzi powoduje wyraźne błędy, które uwidaczniają sięniepożądanym odbiciem się fali, który można potraktować jako szum, niemniejjednak jest ono widoczne. Kolejnym problemem okazało się modelowanie emi-tera, który w przypadku idealnym powinien być zbiorem brzegowym. Niestetyze względów estetycznych i wizualnych takie rozwiązanie nie jest możliwe. Zpowodu niezerowego wnętrza emitera w chwili jego wyłączenia, w zależnościod fazy w jakiej wyłączenie nastąpiło zostanie wysłana fala do środka. Jest tozjawisko niekorzystne w skrajnych wypadkach istonie zaburzające wyniki symu-lacji. Można temu zaradzić umieszczając nieskończoną impedancję we wnętrzuemitera. Kierunki dalszego rozwoju projektu to:

• umożliwienie skalowania,

• wprowadzenie elastyczności przeszkód,

• próba eliminacji odbicia od ścian,

• wprowadzenie zmian prędkości w zależności od ośrodka i przeszkody,

• adaptacja do rzeczywistości.

Literatura

[1] Phillip John McKerrow, Shao-Min Zhu, Stephen New, Simulating Ultraso-nic Sensing with the Lattice Gas Model, IEEE Transactions on robotics andautomation, vol. 17, nr 2, kwiecień 2001,

[2] Hyunjune Yim, Younghoon Soh, Numerical Simulation and Visualizationof Elastic Waves Using Mass-Spring Lattice Model, IEEE Transactions onultrasonics, ferroelectrics, and frequency control, vol. 47, nr 3, maj 2000.

12