Sveučilǐste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Anita Ivanović Plic

Žene u matematici

Diplomski rad

Osijek, 2011.

Sveučilǐste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Anita Ivanović Plic

Žene u matematici

Diplomski rad

Mentorica: doc. dr. sc. Mihaela Ribičić Penava

Osijek, 2011.

Sadržaj

Uvod 1

1. Uzori i mentori žena u matematici 2

1.1. Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Platon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Arhimed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Carl Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Prve žene u matematici 11

2.1. Zlatni omjer (rez) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Veza Fibonaccijevog niza sa zlatnim omjerom . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Veza zlatnog omjera i Platonovih tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Konike – presjeci stošca ravninom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Žene u matematici (18. - 20. stoljeće) 24

Maria Gaetana Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Sophie Germain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Ada Byron King . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Mary Everest Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Sofija Vasiljevna Kovalevskaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Charlotte Angas Scott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Emmy Amalie Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Mary Cartwright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

i

Julia Bowman Robinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Louise Szmir Hay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Literatura 33

Sažetak 34

Summary 35

Životopis 36

ii

Uvod

Nevjerojatno je kako su ljudske predrasude spriječile žene da imaju bitnu ulogu u povijesti

matematike. Muškaraci su prepisivali i prisvajali genijalno stvaralaštvo svojih životnih su-

putnica. Žene sve do početka 20. stoljeća nisu imale mogućnost dobiti niti jedno obrazovanje,

pa tako ni matematičko. Svaka intelektualna angažiranost smatrala se nepristojnom. Zbog

toga tako malo ženskih imena i njihovih djela možemo naći u povijesti matematike i znanosti

općenito. Baš iz tog razloga javila se želja za pisanjem ovog diplomskog rada.

U prvom poglavlju ovoga rada možete se upoznati s imenima nekih najpoznatijih mate-

matičara, s njihovim dostignućima i djelima, koji su bili uzori ili mentori žena u matema-

tici, to su Pitagora, Platon, Euklid, Arhimed i Gauss. Uz Pitagorin život i rad dani su i

doprinosi njegove škole. Zatim su opisana Platonova dostignuća i tumačenja da je svemir

stvoren od pet pravilnih poliedara koje danas znamo kao Platonova tijela. U nastavku se na-

vodi Euklidova biografija, Euklidovi postulati i postupak dobivanja najmanjeg zajedničkog

vǐsekratnika, poznat kao Euklidov algoritam. Arhimed se smatra najznačajnijim primi-

jenjenim matematičarem i fizičarem prije Newtona, pa su u radu navedena neka njegova

dostignuća. Gaussovo značenje u matematici možda najbolje opisuje titula koju su mu dali

matematičari, a to je princ matematike.

Drugo poglavlje posvećeno je prvim ženama u matematici. Najznačajnije djelo Pitagorine

žene Teano bilo je Princip zlatne sredine. Stoga je dana definicija zlatnog omjera, veza

Fibonaccijevog niza sa zlatnim omjerom, te veza zlatnog omjera i Platonovih tijela. Kako se

smatra da je prva poznata žena matematičarka bila Hipatija, navodi se njena biografija, a

na veliku žalost njen najpoznatiji rad o konikama nije sačuvan. Iz toga razloga se definiraju

konike: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola.

Treće poglavlje posvećeno je najvažnijim matematičarkama u razdoblju od 18. do 20. sto-

ljeća. Navedene su njihove biografije, važni doprinosi matematici i njihove izuzetne sposob-

nosti. Svojim radom i upornošću ostavile su neizbrisivi trag u znanosti. U ovom radu možete

se upoznati s nekima od njih. Maria Gaetana Agnesi je bila najvažnija matematičarka 18.

stoljeća. Sophie Germain koja je učila od najvećih matematičara Lagrangea i Gaussa je

poznata po dokazu prvog slučaja Velikog Fermatovog teorema. Ada Byron King je bila prva

programerka, dok još računala nije niti bilo. Mary Everest Bool je doprinijela razvoju linijske

geometrije. Žena koja je svojim radom, učenjem i briljantnim rezultatima omogućila ženama

upis na Cambridge bila je Carlotte Angas Scott. Najveća matematičarka 20. stoljeća smatra

se Emmy Amalie Noether, poznata po Noetherinim prstenima. Prva žena na čelu Odjela za

matematiku bila je Louise Szmir Hay.

1

1. Uzori i mentori žena u matematici

1.1. Pitagora

Pitagora je roden oko 569.g.pr.Kr. na grčkom otoku Samosu. Otac mu je bio bogati trgovac,

pa je s njim mnogo putovao. Bio je dobro obrazovan, učitelji su mu bili Ferekid, Tales i

Anaksimander. Volio je svirati liru i recitirati poeziju. Često se prikazuje kao prvi ”pravi”

matematičar, temeljna znanja stekao je u Egiptu i Babilonu. Vrlo je važna osoba koja je

doprinijela razvoju matematike.

Osniva školu u Samosu, pod nazivom ”Polukrug”, ali mještani nisu bili zadovoljni Pitagori-

nim poučavanjem i nisu prihvatili njegove metode učenja. Zato je otplovio u južnu Italiju,

u grad Krotonu (današnja Crotona) gdje je stekao mnoge sljedbenike. Ustanovio je mate-

matičku školu u kojoj su učenici imali stroga pravila druženja. Učenje škole zasnivalo se na

postavci da se svi odnosi mogu svesti na operacije s brojevima-brojevima se može objasniti

sve. Školu danas nazivamo Pitagorejskom školom, a njegove sljedbenike pitagorejcima. Pi-

tagorejci su dali značajan doprinos aritmetici, geometriji, astronomiji i glazbi. Brojeve su

prikazali grafički, te uočavajući njihova svojstva dijelili ih u skupine kao što su parni, ne-

parni i savršeni brojevi. Pitagori se pripisuje prvi dokaz teorema o pravokutnim trokutima,

te dokaz činjenice da je zbroj unutarnjih kuteva trokuta jednak 180◦. Pitagora je ponaj-

prije bio filozof. Dušu je tumačio kao posebnu cjelinu u mozgu koja prolazi kroz uzastopne

reinkarnacije sve dok ne postigne konačno pročǐsćenje.

Pitagorejci su otkrili iracionalnost broja√

2, rješavali su diofantske jednadžbe x2 + y2 = z2

u skupu cijelih brojeva (Pitagorine trojke).

Svaki neparni broj je dio neke Pitagorine trojke

x = 2a+ 1 y = 2a(a+ 1) z = y + 1 = 2a(a+ 1) + 1

Neke Pitagorine trojke (3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25).

Doprinosi pitagorine škole

Evo poznatijih tvrdnji koje su dokazali Pitagorejci:

• Zbroj kuteva u trokutu iznosi dva prava kuta.

Slika 1: Zbroj kuteva u trokutu

2

• Kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbroju kvadrata nad ostale dvije stranice u pra-vokutnom trokutu (Pitagorin puočak).

Primijetimo ovdje da Pitagorejcima ”kvadrat” nije označavao množenje duljine stranice

sa samom sobom, već je označavao jednostavno geometrijski lik kvadrat konstruiran

na stranici. Činjenica da je zbroj dva kvadrata jednak trećemu, značila je da se dva

kvadrata mogu izrezati na likove od kojih se može složiti jedan kvadrat koji je sukladan

kvadratu nad hipotenuzom.

Slika 2: Pitagorin poučak

U knjizi Pythagorean Proposition, koju je napisala Elisha Scott Loomis, postoji 367

dokaza Pitagorinog poučka.

• Prirodni brojevi i relacije izmedu njih:

Kvadrat prirodnog broja: 1 + 2 + . . .+ n+ . . .+ 2 + 1 = n2

Trokutni brojevi: 1 + 2 + . . .+ n = n(n+1)2

Kvadratni brojevi: 1 + 3 + . . .+ (2n− 1) = n2

Savršeni brojevi: prirodni brojevi koji su jednaki zbroju svih svojih pravih djelitelja.

Na primjer:

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

• Otkriće iracionalnih brojeva. Pitagorejci su čvrsto vjerovali da se sve može prikazatiu obliku broja, pri čemu je svaki broj kvocijent dva cijela broja. Medutim, kada su

3

pokušali izmjeriti hipotenuzu jednakokračnog pravokutnog trokuta, došli su do za-

ključka da se ona ne može prikazati kao kvocijent dva cijela broja i to ih je užasnulo.

Zapravo, činjenica da postoje brojevi koji se ne mogu prikazati kao omjer dva prirodna

broja toliko ih je osupnula da su tu tvrdnju čuvali u dubokoj tajnosti kako ne bi izašla

na vidjelo.

• Pet pravilnih geometrijskih tijela (Platonova tijela). Smatra se da je sam Pitagoraznao kako konstruirati prva tri pravilna tijela, ali ne i posljednja dva.

• U astronomiji je Pitagora poučavao da je Zemlja kugla u sredǐstu Svemira. On jetakoder prepoznao da se Mjesečeva putanja nalazi pod kutom u odnosu na ekvator.

On je takoder bio jedan od prvih koji je primijetio da je Venera kao večernja zvijezda

bila isti planet kao Venera kao jutarnja zvijezda.

• Prema legendi Pitagora je prvi matematičar kojemu je pao na pamet način zapisivanjasličan današnjem ASCII-kodu.

1.2. Platon (Atena, 428. pr. Kr. ili 427. pr. Kr. - Atena, 347.pr. Kr. ili 348. pr. Kr.)

Slika 3: Platon

Platon je roden u Ateni 428.g.pr.Kr., bio je izuzetno utjecajan grčki filozof, idealist, Sokratov

učenik i Aristotelov učitelj. Osnovao je prvo europsko sveučilǐste – Akademiju čiji su članovi

vjerovali kako se u proučavanju matematike nalazi ključ ukupnog razumijevanja. Legenda

kaže da je iznad ulaza u Akademiju pisalo: Neka ne ulazi onaj tko ne zna geometriju. Preda-

vajući na Akademiji, Platon je inzistirao na jasnim definicijama, hipotezama i postulatima,

te se bavio idejom dokaza. Utemeljio je metodu indirektnog dokazivanja. Uveo je nazive

analiza i sinteza. U svom djelu Timej Platon tumači da je svemir stvoren od pet pravilnih

poliedara koje danas znamo kao Platonova tijela. Ta su geometrijska tijela poliedri kojima

strane čine sukladni pravilni mnogokuti, a iz svakog vrha izlazi jednak broj bridova.

4

Postoji samo 5 pravilnih poliedara.

TETRAEDAR

s = 4 v = 4 b = 6bs = vs = 3 bv = sv = 3

HEKSAEDAR-KOCKA

s = 6 v = 8 b = 12bs = vs = 4 bv = sv = 3

OKTAEDAR

s = 8 v = 6 b = 12bs = vs = 3 bv = sv = 4

DODEKAEDAR

s = 12 v = 20 b = 30bs = vs = 5 bv = sv = 3

IKOSAEDAR

s = 20 v = 12 b = 30bs = vs = 3 bv = sv = 5

Slika 4: Pravilni poliedri - Platonova tijela

s - broj stranica poliedra bs - broj bridova na jednoj stranici poliedra

v - broj vrhova poliedra vs - broj vrhova na jednoj stranici poliedra

b - broj bridova poliedra bv - broj bridova kroz jedan vrh poliedra

sv - broj stranica kroz jedan vrh poliedra

U Platonovu djelu Teetet nalazi se dokaz iracionalnosti slijedećih kvadratnih korijena√3,√

5,√

6,√

7,√

8,√

10,√

11,√

12,√

13,√

14,√

15 i√

17 pitagorejca Teodora iz Kirene.

5

1.3. Euklid (330 pr.Kr. - 275 pr.Kr)

Slika 5: Euklid

Poznat je kao otac geometrije i autor djela Elementi u 13 knjiga, jednog od povijesno

najvažnijih matematičkih udžbenika u kojem su prikupljena sva dotadašnja znanja i ot-

krića o geometriji, teoriji brojeva i algebri. Osnove geometrije Euklid je vrlo sistematično

i jednostavno prikazao minimalnim brojem definicija, postulata i aksioma izvodeći iz njih

logičkom dedukcijom zaključke. Upravo je taj njegov model znanstvenog pisanja postao

uzorom mnogim matematičarima. Euklidovi prilozi matematici, sadržani u Elementima,

uključuju i postupak dobivanja najmanjeg zajedničkog vǐsekratnika – poznat kao Euklidov

algoritam. Neka njegova važnija djela su ”Data” ( o uvjetima zadavanja nekog matematičkog

objekta), ”Optika” ( najranija sačuvana grčka teorija perspektive). Geometrijski sustav ko-

jeg je opisao Euklid do 19. stoljeća je bio jedini moguć, no danas ga nazivamo euklidska

geometrija kako bismo ga razlikovali od neeuklidske geometrije koja je proizašla iz drugačijeg

videnja Euklidova 5. postulata.

Na Euklida i njegov rad, najveći utjecaj su imala dva značajna filozofa, Platon i Aristotel.

Bez Aristotelove logike, Elementi ne bi izgledali ovako kako izgledaju. Naime, Aristotel je

postavio logičku gradu za rješavanje mnogih geometrijskih tajni i problema.

Euklid je u svom djelu ostao vjeran tradiciji i poveo se za Platonom u njegovu razlikovanju

ideja predmeta od samih predmeta kao materije.

1. Euklidovi postulati

a) Dvije točke odreduju segment pravca (dužinu).

b) Dužina se ne može produžiti u svakom smjeru.

c) Kružnica je zadana sredǐstem i radijusom.

d) Svi pravi kutevi su jednaki (kongruentni).

e) Postulat o paralelama: Ako pravac siječe dva pravca tako da je zbroj unutrašnjih kuteva s

iste strane manji od dva prava kuta, onda se ta dva pravca (ako se dovoljno produže) sijeku,

tj. nisu paralelni.

6

Slika 6: Euklidovi postulati

2. Euklidov algoritam

Neka su a i b nenegativni brojevi, pri čemu je b 6= 0. Tada su jednoznačno odredeni cijelibrojevi q i r tako da je

a = bq + r, 0 ≤ r < b.

Broj q nazivamo količnikom brojeva a i b, a r ostatkom pri dijeljenju broja a brojem b.

Pretpostavimo da je uzastopnom primjenom teorema o dijeljenju s ostatkom dobiven niz

jednakosti:

a = q1b+ r1, 0 < r1 < b;

b = q2r1 + r2, 0 < r2 < r1;

r1 = q3r2 + r3, 0 < r3 < r2;...

rk−3 = qk−1rk−2 + rk−1, 0 < rk−1 < rk−2;

rk−2 = qkrk−1 + rk, 0 < rk < rk−1;

rk−1 = qk+1rk, (rk+1 = 0).

Tada je (a, b) = rk, odnosno najveći zajednički djeljitelj je jednak posljednjem ostatku

različitom od nule u Euklidovom algoritmu.

Primjetimo da ćemo u konačno mnogo koraka doći do situacije: rk+1 = 0⇒ (a, b) = (b1, r1) =(r1, r2) = . . . = (rk−1, rk) = rk jer je prema pretpostavci rk+1 = 0⇒ (a, b) = rk.

Primjer

Euklidovim algoritmom nadite najveći zajednički djeljitelj brojeva 3102 i 4002.

Rješenje

4002 = 1 · 3102 + 9003102 = 3 · 900 + 402900 = 2 · 402 + 96402 = 4 · 96 + 1896 = 5 · 18 + 618 = 6 · 3(4002, 3102) = 6.

7

1.4. Arhimed iz Sirakuze(oko 287.-212. pr. Kr.)

Slika 7: Arhimed

Arhimed je roden 287. g.pr.Kr. u Sirakuzi na Siciliji. Najpoznatiji je znanstvenik stare

Grčke. Bavio se matematikom, fizikom i astronomijom, običnim, praktičnim problemima,

koji su bili primjenjivani na mnogim mjestima. Najveću slavu stekao je svojim raspravama o

zaobljenim geometrijskim tijelima, čiju je površinu i volumen izračunavao složenom metodom

bliskom današnjem infinitezimalnom računu. Upisivanjem pravilnih poligona od 6, 12, 24, 38

i 96 stranica u krug i njihovim opisivanjem oko kruga dobio je do tada najbolju aproksimaciju

broja π. Primjenom te metode na tijela došao je do zaključka da se obujmi valjka, kugle i

stošca jednakih polumjera i visina odnose kao 3:2:1.

Slika 8: Odnos volumena valjka, kugle i stošca

Prvi je sumirao beskonačne redove. Arhimed je svaki rezultat strogo logički provjerio i ma-

tematički dokazao. U dokazivanju je koristio metodu iscrpljivanja(ekshaustije) i Arhimedov

aksiom.

Arhimedov aksiom

Za svake dvije površine P i S postoji prirodan broj m takav da je mP > S.

Pored toga izumio je tzv. Arhimedov vijak za podizanje velikih količina vode na veću razinu.

8

Jedna legenda govori da je on autor poznatog uzvika ”Heureka!”. Kako je od svog vladara,

tiranina Dionizija dobio zadatak da odredi koliko u sastavu njegove krune ima bakra, a koliko

zlata, tako da ne oštećuje krunu. Uzvik je navodno nastao dok se Arhimed kupao u kadi i

zaključio da je lakši dok je potopljen u vodi negoli kad je vani. To mu je dalo ideju kako

riješiti zadani problem. Prema legendi, Arhimeda je usmrtio rimski vojnik kada mu je ovaj

rekao da mu ne kvari geometrijske konstrukcije koje je crtao u pijesku ( Noli turbare circulos

meos! - Ne dirajte moje krugove! )

Arhimedova aproksimacija broja π

Opisujući krugu pravilni 96-erokut Arhimed je dobio ocjenu za vrijednost broja π :

31

7< π < 3

10

71

Arhimed je bio svjestan da se može dobiti proizvoljno dobra aproksimacija upisivanjem

poligona sa sve većim brojem stranica.

Arhimedova spirala

Transcendentna krivulja koja nastaje kad točka, polazeći iz sredǐsta, jednoliko obilazi sredǐste

i jednoliko se udaljuje od njega. Arhimedova spirala je putanja točke koja se kreće jednoliko

po pravcu koji jednoliko rotira oko polazǐsta te točke. Polarna jednadžba Arhimedove spirale

r = aφ

2π,

gdje je a udaljenost točke od polazǐsta O nakon jednog punog okreta.

Izračunao je površinu dijela te spirale koji nastaje tokom jednog punog okreta P = a2π3.

Slika 9: Arhimedova spirala

9

1.5. Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30. travnja 1777. - Göttingen, 23.veljače 1855.), njemački matematičar.

Slika 10: Carl Friedrich Gauss

Gauss je već u ranoj mladosti došao do svojih prvih matematičkih otkrića pa su ga smatrali

čudom od djeteta. Svi su bili iznenadeni njegovim brzim zbrajanjem brojeva od 1 do 100.

Rješenje tog zadatka pronašao je u združivanju brojeva u 50 parova tako da je zbroj svakog

para 101. S 19. godina pronašao je konstrukciju pravilnog 17-erokuta , te ubrzo potpuno

riješio problem konstrukcije pravilnih mnogokuta. To je opisao u knjizi o teoriji brojeva –

Pitanja o aritmetici, koja je postala osnovom za učenje aritmetike.

Slika 11: Konstrukcija pravilnog 17-erokuta

Doktorirao je 1799. dokazom da svaka algebarska jednadžba ima najmanje jedno rješenje.

Taj teorem je nazvan osnovni teorem algebre.

U djelu Teorija gibanja nebeskih tijela primjenio je za svoj izračun krivulju koju danas

nazivamo Gaussova krivulja. Opisao je metodu rješavanja sustava linearnih jednadžbi koju

nazivamo Gaussova metoda eliminacije. Njegovo značenje u matematičkoj znanosti najbolje

iskazuje titula koju su mu podarili matematičari - princ matematike.

10

2. Prve žene u matematici

Do prošlog stoljeća ženska imena su se jako rijetko javljala u matematici i znanosti. Što

se tiče kreativnih sposobnosti žena Platon je smatrao da su žene ravnopravne s muškarcima,

dok je Aristotel smatrao da su žene nižeg reda od muškaraca. Takvo mǐsljenje je kasnije, na

žalost, prihvaćeno u krščanstvu i provlači se do današnjih dana.

Mnogo žena bilo je medu pitagorejcima, no kako su svi žvjeli u jednoj zajednici sve što

su radili objavljivano je pod Pitagorinim imenom, teško je točno odrediti broj žena koji

je djelovao tamo. Medu ženama matematičarima grčkog doba, kojih je bio nemalen broj

(prema Jamblihu, 250-330., koji je sastavio katalog 218 pitagorejaca, medu njima je bilo 17

žena).

Teano je bila Pitagorina žena koja je živjela u Grčkoj u 5. stoljeću prije Krista. Vodila je

Pitagorejsku školu nakon Pitagorine smrti. Njeno najvažnije djelo je Princip zlatne sredine.

2.1. Zlatni omjer (rez)

Dužina duljine d je jednom svojom točkom podijeljena u omjeru zlatnog reza ako se cijela

dužina odnosi prema većem od dobivena dva dijela dužine (a) kao taj dio prema manjem

dijelu (d-a).

d : a = a : (d− a).

Omjer zlatnog reza τ često možemo vidjeti u matematici, posebno u geometriji i njenim

primjenama.

τ = d : a = a : (d− a) (1)

Iz jednakosti (1) slijedi

1 +1

τ= τ

odnosno

τ 2 − τ − 1 = 0 (2)

Kako negativni broj prethodne jednadžbe nije moguć jer je τ = da

omjer pozitivnih brojeva,

vrijednost zlatnog omjera je

τ =

√5 + 1

2≈ 1.618.

11

Vrijednost recipročna zlatnom omjeru iznosi

1

τ=

√5− 12

≈ 0.618.

Pitagorin pentagram čine pravilni peterokut i njegove dijagonale.

Slika 12: Pitagorin pentagram

Dijagonalu i stranicu vanjskog peterokuta označimo s d i a, dijagonalu i stranicu unutarnjeg

peterokuta označimo s d1 i a1.

Zbog sličnosti vanjskog i unutarnjeg peterokuta vrijedi d : a = d1 : a1.

odnosno d : a = d1 : a1 = (d− d1) : (a− a1).Kako je d− d1 = a i a− a1 = d1 = d− a,vrijedi

d

a=d1a1

=d− d1a− a1

=a

d− a,

pa zaključujemo da dijagonala peterokuta d i stranica peterokuta a imaju omjer zlatnog

reza.

2.2. Veza Fibonaccijevog niza sa zlatnim omjerom

Johanes Kepler je u svojim zapisima zaključio da gotovo sve drveće i grmlje ima cvjetove s

5 latica pa i plodove s 5 odjeljaka. Ta činjenica ga je potsjetila na pravilni peterokut i zlatni

rez.

Njegov zapis glasi: “Tako je ureden da dva nǐza člana ulaznog niza zbrojeni daju trećega...i

tako do u beskonačnost, dok isti odnos ostaje neprekinut. Nemoguće je dati neki savršeni

primjer s okruglim brojevima. No, neka najmanji brojevi budu 1 i 1, za koje moramo zamisliti

12

da nisu jednaki. Zbrojimo ih i zbroj će biti 2; dodamo li tome 1 , rezultat je 3, dodamo li

tome 2, dobijemo 5; dodamo li tome 3 dobijemo 8...Kako je 5 prema 8, tako je 8 prema 13,

a kako je 8 prema 13, tako je, priblǐzno, 13 prema 21.“

Tek 1753. godine škotski je matematičar Robert Simson prvi eksplicitno objavio da omjeri

uzastopnih članova teže ka granici koja je zlatni broj τ. Prvih nekoliko omjera izgleda ovako:

1

1,2

1,3

2,5

3,8

5,13

8,21

13,34

21,55

34,89

55,144

89, . . .

Uzastopni su omjeri izmjenično manji pa veći od zlatnog broja, a nakon 12 članova podu-

darnost sa τ je točna u četiri decimale. Iz jednakosti (2) zaključujemo

τn = anτ + bn,

odnosno

τn+1 = anτ2 + bnτ = an(τ + 1) + bnτ = an(τ + 1) + bnτ = (an + bn)τ + an,

pa slijedi

bn+1 = an i an+1 = an + an−1.

Prva jednakost dokazuje da je niz bn translacija niza an, dok druga dokazuje da je niz an

(dakle i bn) Fibonaccijev.

Dakle,

τn = Fnτ + Fn−1 (3)

Ako niz omjera uzastopnih članova Fibonaccijevog niza Fn/Fn−1 konvergira prema nekoj

vrijednosti p, onda primjenom prethodne jednakosti slijedi

τ =τn

τn−1=

Fnτ + Fn−1Fn−1τ + Fn−2

=

FnFn−1

τ + 1

τ +1

Fn−1Fn−2

=pτ + 1

τ +1

p

,

τ 2 +τ

p= pτ + 1,

1 + τ +τ

p= pτ + 1,

τ(1 +1

p) = τp.

Onda vrijedi

1 +1

p= p,

p+ 1 = p2,

13

pa je

p = τ.

Stoga, zaključujemo da Fibonaccijevi omjeri teže prema zlatnom omjeru.

Nadalje, Fibonaccijev niz Fn može se prikazati kao razlika dvaju geometrijskih nizova s

kvocjentima τ i −1/τ :Fn =

1√5

(τn − (−1/τ)n).

Povezanost Fibonaccijevog niza brojeva sa zlatnim rezom nije iznenadila istraživače toliko

koliko način na koji je Kepler došao do te veze pronalazeći ju u svijetu što nas okružuje.

Osim na biljkama i životinjama, Kepler je pronašao zlatni omjer i medu planetima. U

njegovim zapisima možemo pronaći da omjer udaljenosti Zemlje od Sunca te Venere od

Sunca aproksimira zlatni broj τ.

2.3. Veza zlatnog omjera i Platonovih tijela

Kod dodekaedra s jediničnim bridom površina je jednaka 15τ/√

3− τ ,a volumen je 5τ 3/2(3− τ).Ako sredǐsta strana nekog Platonovog tijela spojimo bridovima dobit ćemo njemu dualno

Platonovo tijelo. Na primjer, oktaedar dualan je kocki, a kocka je na isti način dualna

oktaedru, vidi sliku 13. Dodekaedar je dualan ikozaedru, a ikozaedar dodekaedru. Tetraedar

je dualan samom sebi. Omjer brida nekog Platnova tijela i brida njemu upisanog dualnog

tijela uvijek ima isti iznos: τ 2/√

5.

Slika 13: Oktaedar i kocka

Pravokutni presjeci ikozaedrasu pravokutnici kojima je omjer stranica zlatni omjer τ (zlatni

pravokutnici), Slika 14. Detaljnije u [11] i [12].

14

Slika 14: Ikozaedar

Iz predgovora knjige Synagoge starogrčkog matematičara (druga polovica 3. stoljeća) spo-

minje se žena koja je bila učitelj geometrije po imenu Pandrosian. Nista drugo o njoj nije

zabilježeno.

Aleksandrija je bila centar matematičkih zbivanja tjekom 700 godina. Od vremena Euklida

(oko 340. - 287.prije Krista) do smrti Hipatije u 5. st. Grad je osnovao Aleksandar Veliki

332 pr.Kr. bio je poznat po svojoj knjižnici i muzeju. Knjižnica je imala vǐse od 700 000

roli papirusa koje su sadržavale cijelo znanje antičkog doba . Ona je potpuno unǐstena u 7.

stoljeću u požaru koji su izazvali Arapi. Najveći aleksandrijski učenjaci su bili Euklid (oko

365 – oko 300 pr.Kr.), Apolonije iz Perge (oko 250 – oko 190 pr.Kr), Eratosten (oko 262 –

oko 190 pr.Kr), Aristarh (oko 300 – oko 240 pr.Kr) i Heron (oko 65. – oko 125.).

Hipatija je živjela u Aleksandriji od 370. godine. Bila je prva poznata

žena matematičarka i dala je važan doprinos razvoju matematike. Kćer Teona jednog od

najučenijih osoba u Aleksandriji, koji je u to vrijeme bio učenjak i profesor matematike na

sveučilǐstu. Kako je Hipatija odrastala sve se vǐse zanimala za matematiku i astronomiju.

Osmislila je hidrometar i srebreni astrolab, koji je služio za mnoga astronomska mjerenja na

nebu. Bila je posljednja knjižničarka slavne Aleksandrijske knjižnice. Uz Teonovu pomoć

postala je i vrsna govornica. Oko 400. godine dolazi na čelo Platonove akademije u Aleksan-

driji. Pomaže svom ocu u pisanju komentara Ptolomejevog Almagesta i u stvaranju novog

izdanja Euklidovih Elemenata koje je kasnije postalo osnova svih sljedećih izdanja. Napi-

sala je kritiku djela Apolonijeve Konike. Hipatijin najpoznatiji rad je rad o konikama, kao

presjecima stošca ravninom. Pojednostavnila je do tada nerazumljive stvari i postigla da to

15

djelo inspirira mnoge matematičare kroz stoljeća.

Kršćani su njezine filozofske poglede držali izrazito poganskim, te su se osjećali ugroženi

njezinim učenjem i djelovanjem. Godine 415. na sred ulice su ju kamenovali kršćani jer su

smatrali da ženi nije mjesto u znanosti.

Usprkos tragičnom završetku njezina života, njezina djela ostala su živa sve do danas.

Snimljen je i film Agora 2009. inspiriran njezinim životom i djelovanjem, postigla je nevje-

rojatno puno za ženu njenog vremena.

2.4. Konike – presjeci stošca ravninom

Povijesni pregled

Kako se Hipatija bavila uredenjem Apolonijevih konika, u daljnjem radu ćemo proanalizirati

konike. Konikama su se bavili mnogi matematičari kao Euklid i Arhimed. Arhimedova djela

sadrže neke važne rezultate o svojstvima konika, pogotovo parabole.

Najveći antički pisac o konikama je svakako Apolonije iz Perge (262. pr.Kr - 190.pr.Kr).

Njegov poznati rad o konikama se sastoji od osam knjiga. Apolonije je prvi uočio da se na

stožcu - bio on kos ili uspravan, šiljast ili tup mogu dobiti sve tri krivulje kao presjek stošca

i ravnine (vidi Sliku 16).

Slika 15: Presjeci stožca i ravnine

16

Koju krivulju ćemo dobiti ovisi o nagibu ravnine koja siječe stožac. Kod uspravnog stošca,

ravnina koja je okomita na os stošca će dati kružnicu. Što je ravnina bliža vrhu stošca to

je kružnica manja i u samom vrhu stošca prelazi u točku. Ukoliko ravninu malo nagnemo,

dobivamo elipsu. Postavimo li ravninu tako da je paralelna s jednom od izvodnica stošca

kao presjek dobivamo parabolu. Ukoliko je ravnina postavljena tako da ne prolazi vrhom

stošca i paralelna je s osi stožca dobivamo hiperbolu. Apolonije je uveo i nazive koje danas

koristimo: elipsa, hiperbola i parabola.

Od antičkih velikana geometrije je još i Papo iz Aleksandrije (290. – 350.). Njegovo glavno

djelo poznato kao Colection je važno jer sadrži navode i komentare rezultata svojih prethod-

nika. Papo je uveo pojmove fokusa i direktisa hiperbole.

Kružnica

Definicija 1 Kružnica je skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od jedne čvrste točke

- sredǐsta kružnice.

Točka S je sredǐste (centar) kružnice, a udaljenost od točke S do bilo koje točke na kružnici

je polumjer (radijus) te kružnice, koji označavamo s r.

Slika 16: Kružnica

Neka je P (x, y) bilo koja točka kružnice sa sredǐstem u S(p, q) i polumjera r, tada je udalje-

nost točaka P i S jednaka r i pǐsemo d(P, S) = r.

d(P, S) =√

(x− p)2 + (y − q)2 = r

Nakon kvadriranja

(x− p)2 + (y − q)2 = r2

17

Što je jednadžba kružnice kojoj je točka S(p, q) sredǐste, a r polumjer.

Elipsa

Definicija 2 Neka su F1 i F2 dvije različite čvrste točke ravnine i neka je a pozitivan realan

broj takav da je 2a > d(F1, F2). Elipsa je skup točaka ravnine za koje je zbroj udaljenosti od

točaka F1 i F2 konstantan i jednak 2a.

Slika 17: Elipsa

Točke F1 i F2 su žarǐsta ili fokusi elipse.

Polovǐste O dužine F1F2 zovemo sredǐste ili centar elipse. Pravac kroz žarǐsta siječe elipsu

u točkama A i B. Dužinu AB zovemo glavna os elipse, a dužine OA i OB glavne poluosi.

Pravac koji prolazi sredǐstem elipse i okomit je na glavnu os siječe elipsu u točkama C i D.

Dužinu CD zovemo sporedna os elipse, a dužine OC i OD sporedne poluosi. Točke A,B,C

i D su tjemena elipse. Za bilo koju točku T elipse, dužine F1T i F2T zovemo radijvektorima

točke T. Realni broj e zovemo linearni ekscentricitet elipse. (Vidi sliku 17. i sliku 18.)

Slika 18:

18

Duljina glavne osi je 2a, a duljina glavne poluosi a. Prema tome ako je točka O ishodǐste s

koordinatama (0, 0), točka A(−a, 0), B(a, 0), C(0,−b) i D(0, b).Kako točka D pripada elipsi i za nju vrijedi: d(D,F1) + d(D,F2) = 2a

Zbog simetrije slijedi d(D,F1) = d(D,F2) = a

Primjenom Pitagorina poučka na trokut ADF2 slijedi e2 + b2 = a2.

Za linearni ekscentricitet vrijedi jednakost e2 = a2 − b2.Po definiciji za svaku točku T (x, y) koja leži na elipsi mora vrijediti d(T, F1) + d(T, F2) = 2a

Budući da su žarǐsta točke F1 i F2 s koordinatama F1(−e, 0) i F2(e, 0) pa vrijedi√(x− (−e))2 + (y − 0)2 +

√(x− e)2 + (y − 0)2 = 2a,√

(x+ e)2 + y2 +√

(x− e)2 + y2 = 2a,√(x+ e)2 + y2 = 2a−

√(x− e)2 + y2.

Kvadriramo lijevu i desnu stranu jednakosti

(x+ e)2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x− e)2 + y2 + (x− e)2 + y2,

4a√

(x− e)2 + y2 = 4a2 + (x− e)2 + y2 − (x+ e)2 − y2,

4a√

(x− e)2 + y2 = 4a2 + x2 − 2xe+ e2 − x2 − 2xe− e2,

4a√

(x− e)2 + y2 = 4a2 − 4xe |: 4 ,

a√

(x− e)2 + y2 = a2 − xe.

Još jednom kvadriramo i lijevu i desnu stranu pa dobijemo

a2(x2 − 2xe+ e2 + y2) = a4 − 2a2xe+ x2e2,

a2x2 − 2a2xe+ a2e2 + a2y2 = a4 − 2a2xe+ x2e2.

Sad sve članove koji sadrže x i y prebacimo na lijevu, a ostalo na desnu stranu

a2x2 − e2x2 + a2y2 = a4 − a2e2,

(a2 − e2)x2 + a2y2 = a2(a2 − e2).

Iskoristimo jednakost b2 = a2 − e2.Slijedi osna jednadžba elipse

b2x2 + a2y2 = a2b2.

19

Hiperbola

Definicija 3 Neka su F1 i F2 dvije različite čvrste točke ravnine i neka je a pozitivan realan

broj takav da je 2a > d(F1, F2).

Hiperbola je skup točaka ravnine za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od točaka

F1 i F2 konstantna i jednaka 2a.

Slika 19: Hiperbola

Kao kod kružnice i elipse, tako i kod hiperbole možemo izvesti njenu jednadžbu. Krećemo

od definicije hiperbole, dakle za svaku njenu točku T (x, y) mora vrijediti da je:

d(T, F1)− d(T, F2) = ±2a.

Kako žarǐsta imaju koordinate F1(−e, 0) i F2(e, 0) prethodnu jednakost možemo pisati uobliku

√(x− (−e))2 + (y − 0)2 −

√(x− e)2 + (y − 0)2 = ±2a,√

(x+ e)2 + y2 −√

(x− e)2 + y2 = ±2a,

√(x+ e)2 + y2 = ±2a+

√(x− e)2 + y2.

Kvadriranjem lijeve i desne strane dobivamo

(x+ e)2 + y2 = 4a2 ± 4a√

(x− e)2 + y2 + (x− e)2 + y2.

Odnosno

20

∓4a√

(x− e)2 + y2 = 4a2 + (x− e)2 + y2 − (x+ e)2 − y2,

∓4a√

(x− e)2 + y2 = 4a2 + x2 − 2xe+ e2 − x2 − 2xe− e2,

∓4a√

(x− e)2 + y2 = 4a2 − 4xe |: 4 ,

∓a√

(x− e)2 + y2 = a2 − xe.

Još jednom kvadriramo i lijevu i desnu stranu, pa imamo

a2(x2 − 2xe+ e2 + y2) = a4 − 2a2xe+ x2e2,

a2x2 − 2a2xe+ a2e2 + a2y2 = a4 − 2a2xe+ x2e2.

Sve članove koji sadrže x i y prebacimo na lijevu, a sve ostalo na desnu stranu, dobijemo

a2x2 − e2x2 + a2y2 = a4 − a2e2,

(a2 − e2)x2 + a2y2 = a2(a2 − e2).

Kako je a < e, onda je:

a2 − e2 < 0,

postoji realni broj b takav da je

a2 − e2 = −b2.

Uvrstimo to u gornji izraz, pa dobijemo:

−b2x2 + a2y2 = a2(−b2),−b2x2 + a2y2 = −a2b2.

Nakon množenja s (-1) dobivamo osnu jednadžbu hiperabole

b2x2 − a2y2 = a2b2.

Dakle, tu jednadžbu zadovoljavaju sve točke T (x, y ) koje pripadaju hiperboli sa žarǐstima

F1(−e, 0) i F2(e, 0) i za koje je d(T, F1)− d(T, F2) = ±2a, 2a < d(F1, F2), pri čemu je

e2 = a2 + b2

Realni broj a zovemo duljina realne poluosi hiperbole, a realni broj b duljina imaginarne

poluosi hiperbole.

Podijelimo li osnu jednadžbu s a2b2 dobivamo segmentni oblik jednadžbe hiperbole

x2

a2− y

2

b2= 1.

21

Parabola

Definicija 4 Neka je točka F čvrsta točka, a d čvrsti pravac ravnine i neka točka F ne

pripada pravcu d. Parabola je skup točaka ravnine za koje je udaljenost od točke F jednaka

udaljenosti od pravca d.

Slika 20: Parabola

Točka F je žarǐste ili fokus parabole. Pravac d je ravnalica ili direktrisa. Pravac koji sadrži

žarǐste i koji je okomit na ravnalicu zovemo os parabole. Sjecǐste parabole i njene osi zovemo

tjeme. Udaljenost žarǐsta F od ravnalice d zovemo poluparametar parabole i označavamo s

p. Za bilo koju točku T s parabole, dužinu TF zovemo njenim radijvektorom (slika 21).

Iz definicije parabole znamo da je za svaku njenu točku T (x, y) udaljenost d(T, d) jednaka

udaljenosti d(T, F ), gdje je F(p2, 0). Udaljenost d(T, d) možemo pisati kao:

d(T, d) = d(O, d) + x

Kako je

d(O, d) =p

2,

Vrijedi

d(T, d) =p

2+ x.

Dakle, sad uvijet

d(T, d) = d(T, F )

Prelazi u

p

2+ x =

√(x− p

2

)2+ (y − 0)2

22

Kvadriramo lijevu i desnu stranu, pa dobivamo da je:(p2

+ x)2

=(x− p

2

)2+ y2(p

2

)2+ px+ x2 = x2 − px+

(p2

)2+ y2

2px = y2 ⇒ y2 = 2px

To je osna jednadžba parabole kojoj je točka F (p2, 0) žarǐste, a pravac x = −p

2ravnalica.

Ovu jednadžbu zovemo i tjemenom jednadžbom parabole jer joj je tjeme u ishodǐstu.

23

3. Žene u matematici (18. - 20. stoljeće)

Maria Gaetana Agnesi rodena je 16. svibnja 1718. u Milanu. Jedna je

od najvažnijih i najsposobnijih osoba 18. stoljeća. Doživljavali su je kao čudo od djeteta, jer

je s pet godina svladala francuski, a s devet hebrejski, latinski i grčki jezik. Njen otac Pietro

Agnesi bio je profesor matematike. U njihovom je domu bilo okupljalǐste intelektualaca, a ona

je sudjelovala u mnogim filozofskim i matematičkim raspravama s njima. Objavljuje kolekciju

filozofskih eseja 1738. godine Propositiones Philosophicae gdje iznosi svoja razmǐsljanja

o potrebi obrazovanja žena. Počela je raditi na svom najznačajnijem djelu Instituizioni

analitiche kad je imala 20 godina. Kad je objavljen izazvao je senzaciju u akademskom

svijetu, postao je jedan od glavnih udžbenika matematičke analize. U prvom dijelu udžbenika

bavila se elementarnim problemom minimuma, maksimuma , tangente i točaka infleksije, u

ostalima daje svoja objašnjenja o diferencijalnom i integralnom računu.

Najpoznatija je po ”Vještičjoj” krivulji ili krivulji Marije Agnesi u obliku zvona, a konstruira

se na sljedeći način. Neka je dana kružnica promjera a, sa sredǐstem u točki (0, a/2) na y osi.

Nacrtamo pravac y = a i na njemu izaberemo točku A koju spojimo sa ishodǐstem. Tako

dobijemo dužinu OA. Sa B označimo presjek dužine OA i kružnice. Sa P ćemo označiti

točku presjeka pravca na kojem leži točka A i na njega okomitog pravca koji prolazi kroz

točku B. Kad se točka A pomiče po pravcu y = a, pratimo li kretanje točke P nastaje

krivulja Marije Agnesi (Vidi sliku 21).

Slika 21: Krivulja Marije Agnesi

Njezina jednadžba je

y =a3

x2 + a2.

24

Površina ispod krivulje iznosi πa2 i četiri je puta veća od površine kruga sa sredǐstem u točki(0, a

2

)i polumjerom a

2.

Nakon uspjeha svoje knjige, postala je članicom Bolonjske akademije znanosti i postala prva

profesorica matematike, predavala je na sveučilǐstu u Bologni. Po prirodi je bila sramežljiva,

nije imala velike ambicije postati poznata matematičarka, vǐse joj je to bio hobi. Čini se da

joj je otac bio glavna inspiracija za njen interes za matematiku, jer nakon očeve smrti 1752.

ostatak svog života posvetila je siromašnim i bolesnim ljudima. Postala je upraviteljica doma

za siromašne u kojemu je umrla 9. siječnja 1799. godine.

Sophie Germain rodena je u Parizu 1. travnja 1776. Otkrila je čar matematičke znanosti

u knjižnici svog oca Ambroise-Francoisa već s 13 godina. U jednoj knjizi je naǐsla na legendu

o smrti Arhimeda koji je bio toliko zamǐsljen nad svojim crtežom u pijesku da je zaboravio

odgovoriti na pitanje rimskog vojnika, što ga je koštalo života. Zaključila je kako je taj

problem sigurno zanimljiv i počela je temeljito učiti matematiku. Njezini roditelji smatrali

su kako je neprimjereno da se jedna djevojka bavi matematikom, pa su joj to onemogućavali

na razne načine. Pobijedila je njena velika želja i roditelji su morali popustiti. U Parizu

je otvorena škola Ecole Polytechnique, djevojkama je upis bio zabranjen. Sophie je uspjela

nabaviti predavanja profesora i učiti. Najvǐse ju je zanimao rad J.L. Lagrangea, a na kraju

semestra pod pseudonomom Monsieur LeBlanc je predala svoje bilješke Lagrangeu. Upotri-

jebila je muško ime u pismima kako bi spriječila predrasude prema znanstvenicima ženskog

spola i kako bi privukla ozbiljnu pozornost. Lagrange je bio prilično impresioniran i želio

je upoznati studenta koji je to napisao. Jako se iznenadio kad je shvatio da je to žena, ali

prepoznao je njene mogućnosti i postao joj mentorom. Dopisivala se i s C.F. Gaussom o

mnogim matematičkim temama, a najvǐse ju je zanimao njegov rad iz teorije brojeva, pa mu

je slala i neka svoja rješenja.

Ostvarila je značajan napredak u smjeru dokazivanja Velikog Fermatovog teorema.

Teorem 1 (Veliki Fermatov teorem)

Ne postoje pozitivni cijeli brojevi x, y, z takvi da vrijedi:

xn + yn = zn

za n > 2.

25

Njezin teorem glasi da ako postoji rješenje Teorema 1 za n = 5, onda sva tri broja moraju

biti djeljiva sa 5.

Ovaj teorem je razdvojio Veliki Fermatov teorem na dva slučaja: prvi obuhvaća brojeve koji

nisu djeljivi s pet, a drugi one koji jesu. Bio je to značajan rezultat koji je smanjio moguće

slučajeve pri dokazivanju Velikog Fermatovog teorema.

Teorem je, nakon vǐse od tristo godina bezuspješnog pokušavanja, napokon dokazan 1994.

godine.

Teorem 2 (Sophie Germain)

Ako xn + yn = zn i n ≥ 3, 2n+ 1 prosti brojevi, tada n mora dijeliti xyz.

Za prirodan broj p kažemo da je prost broj Sophie Germain ako su brojevi p i 2p+ 1 prosti.

Neki od prostih brojeva Sophie Germain su 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53....

Primjer:

Odredite sve pravokutne trokute u kojima su duljina hipotenuze i duljina jedne katete prosti

brojevi Sophie Germain, a duljina druge katete je prirodan broj.

Jedini takav trokut onaj sa stranicama 3, 4, 5.

Pretpostavimo da su p, q i n duljine stranica pravokutnog trokuta, p duljina hipotenuze, q

duljina jedne katete, p i q prosti brojevi Sophie Germain, i n prirodan broj. Imamo:

q2 = p2 − n2 = (p− n)(p+ n).

Kako je q prost broj, jasno vrijedi p - n = 1, p + n = q2, a odavde je p = (q2 + 1) / 2.

Sada, kako je p prost broj Sophie Germain, to je i broj 2p + 1 = q2 + 2 prost.

Neka je q = 3. Tada je p = 5 i n = 4, p i q doista jesu prosti brojevi Sophie Germain, pa

Pitagorina trojka (3,4,5) zadovoljava sve uvjete zadatka. Tvrdimo da je ona jedina takva

Pitagorina trojka.

Zaista, neka je q < 3 ili q > 3. Tada je q kongruentno 1 ili -1 po modulu 3. U svakom

slučaju, q2 je kongruentno 1 po modulu 3, pa je broj q2 + 2 djeljiv s 3 i samim tim složen

(jer q ne može biti 1). Zato p ne može biti prost broj Sophie Germain.

Dakle, (3,4,5) je jedino rješenje.

U diferencijalnu je geometriju uvela pojam srednje zakrivljenosti plohe. Najvǐse je pridoni-

jela teoriji brojeva i teoriji elasticiteta. Francuska Akademija znanosti objavila je natječaj

za matematičko objašnjenje fizikalne studije o elastičnim površinama. Sophie je time bila

oduševljena i osvojila nagradu.

Umrla je 27. lipnja 1831. od raka dojke. Usprkos manjku formalnog obrazovanja i društvenim

predrasudama, Sophie Germain je uspjela postići vrlo značajne matematičke rezultate.

26

Ada Byron King je rodena u Londonu 10. prosinca 1815. Kći je

Lorda Byrona i Anabelle Milbanke. Bila je suradnica Charles Babbagea, slavnog izumitelja

analitičkog stroja. Smatra se prvom programerkom, a po njoj je nazvan programski jezik

Ada. Učila je od svoje majke, jer u ono vrijeme ženama nije bilo dopušteno pohadati nastavu

na sveučilǐstu. Voljela je matematiku, ples, gimnastiku, jahanje i sviranje harfe.Bila je jedan

od pionira računalne industrije. Predvidila je znanstvene i praktične zadatke koje moderno

računalo može raditi, kao što je stvaranje crteža i skladanje glazbe.

Htjela je letjeti, pa je dizajnirala leteći stroj. Proučavajući anatomiju ptica saznala je da krila

moraju biti proporcionalna tijelu. Kad joj je bilo 17 godina čula je za Charlesa Babbagea,

engleskog matematičara i izumitelja. Dvije godine poslije bila je u stanju razgovarati s njim

o njegovim matematičkim idejama i jedna od rijetkih ljudi koja je uspjela razumjeti put

njegovog rada.

Sa 19 godina udala se za Vilijama Kinga i postala Vojvotkinja od Lovelacea. On je bio

član Kraljevskog društva, što je Adi omogućilo pristup knjigama i radovima koji su joj bili

potrebni u radu. S njim je imala troje djece Byrona, Annabellu i Ralpha Gordona. Za

sobom je ostavila vǐse originalnih radova, potpisanih pseudonimom A.L.L., a čije se pravo

značenje razotkrilo tek 30-ak godina kasnije.

Charles Babbage je želio stvoriti stroj koji će brojati i mjeriti, trebao je izračunati do 50

decimalnih mjesta i pohraniti do 1000 brojeva. Planirano je da stroj pohrani upute na bušene

kartice poput onih koje se koriste u strojevima za tkanje. Uzeo ju je za učenicu, a ona je to

povjerenje opravdala tako što je opsežnim bilješkama opisala mogućnost analitičkog stroja

koji se kasnije počeo koristiti u praktične i znanstvene svrhe. Predložila je Babbageu način

na koji stroj može izračunati abernoulijeve brojeve. Dala je eksplicitan opis algoritma za

izračunavanje Bernoulijevih brojeva i tako postala prvi programer u povijesti. Taj rad je

1843. objavljen u Taylors Scientific Memoirs, naravno, potpisan inicijalima jer je bilo krajnje

neprikladno da žena njenog društvenog statusa objavljuje matematički rad. Kad joj je bilo

25 godina pisala je upute za društvene igre Solitaire gdje je opisala svaki potez. Smatra se

to prvim računalnim programom, iako tada nije bilo računala. Augusta Ada King, grofica

Lovelace, umrla je 27. studenog 1852. godine, od raka maternice koji je liječen puštanjem

krvi. Imala je samo trideset i šest godina.

27

Mary Everest Boole rodena je u Engleskoj 1832. godine. Otac joj se

jako razbolio i zbog njegovog liječenja obitelj se preselila u Francusku. Matematikom ju je

oduševio njen učitelj Deplace jer je imao posebno dobar način predavanja i znao je svojim

učenicima približiti matematiku na zanimljiv način. Obitelj se vratila u Englesku kad joj je

bilo 11 godina, a ona je morala prekinuti školovanje. Sama je nastavila s učenjem matematike

u knjižnici svoga oca i uživala u njoj. Kroz učenje postavljala su joj se mnoga pitanja na koje

si nije znala dati odgovore. Prilikom jednog posjeta rodbine u Irskoj dobila je odgovore na

svoja pitanja. Tamo je upoznala poznatog matematičara Georgea Boola izumitelja Boolove

algebre i sve što ju je zanimalo vezano uz matematiku saznala je u druženju s njim. Kad se

vratila u Englesku često su se dopisivali. George joj je bio velika potpora nakon smrti njezina

oca, na kraju su se i vjenčali, iako je ona bila 17 godina mlada. Imali su pet kćeri, a Mary je

ostala udovica nakon devet godina braka. Kako bi skrenula misli od tragične sudbine koja

ju je snašla, zaposlila se kao knjižničarka na Queens Colledgeu, jer ženama u to vrijeme nije

bilo dopušteno predavati. Bila je ponosna na svoje široko znanje matematike i voljela ga je

dijeliti s drugima, zbog toga je počela pomagati studentima. Svi su bili oduševljeni njenim

načinom predavanja matematike i razumjevanju kako potaknuti studente da uče matematiku

i prirodne znanosti. Kako bi pomogla djeci oko geometrije izmislila je lijepljenje krivulja,

danas poznato kao linijska geometrija. Njezina prva knjiga Priprema djece za znanost imala

je velik utjecaj na razvoj školstva. Umrla je 1916. godine u dobi od 84 godine.

Sofija Vasiljevna Kovalevskaja rodena je 15. Siječnja 1850. U Moskvi. Izvanredna žena

poznata i kao Sonia. Nije bila samo veliki matematičar, već pisac i borac za prava žena u 19.

stoljeću. Njene matematičke sposobnosti pokazale su se kad je imala 13 godina. U nedostatku

tapeta roditelji su na zidove njezine sobe zalijepili lekcije Ostrogradskog. Sofia je s vremenom

počela razumijevati te lekcije. Udala se s 18 godina iz koristi, jer mlade žene u ono vrijeme

nisu mogle putovati same, a najbliže sveučilǐste bilo je u Švicarskoj. Poslije udaje otputovala

28

je s mužem u Njemačku. U Berlinu ju je poučavao Weierstrass, jer sveučilǐste u Berlinu nije

primalo žene. Nakon četverogodǐsnjeg rada s Weierstrassom u Gottingenu dodijeljen joj je

doktorat summa cum laude. U to vrijeme bavila se diferencijalnim jednadžbama i Abelovim

integralima. Vratila se kući, jer u Berlinu nije mogla pronaći posao. Prvi put se zbližila s

mužem koji joj je bio velika potpora kad joj je umro otac. Rodila je kćer, ali se brak ipak nije

održao. Počela je sve vǐse proučavati matematiku kako bi zaboravila na obiteljsku tragediju,

jer je njen muž Vladimir dvije godine nakon rastave počinio samoubojstvo. Zaposlila se u

Stockholmu, gdje je dobila posao docenta, a uskoro i profesora na sveučilǐstu. Imenovana je

urednikom matematičkog časopisa Acta Mathematica, koji je i danas jedan od najprestižnijih

matematičkih časopisa u svijetu. U njemu je objavljen njen prvi rad o kristalima. Njezin

najvažniji znanstveni rad bio je potpuno rješenje zadatka o rotaciji čvrstog tijela oko fiksne

točke. Za taj joj je rad 1886.g. dodijeljena nagrada Prix Bordin Francuske akademije

znanosti. Od posljedice upale pluća 10. veljače 1891. ugasio se njen život.

Charlotte Angas Scott rodena je u Engleskoj 1858. godine. U to

vrijeme smatralo se u društvu kako ženama nije mjesto u znanosti, već u odgoju djece i

brigom za kuću i obitelj. Osnovno obrazovanje dozvoljeno je samo ženama iz visokih slojeva.

Charlotte se nastojala izboriti za promjenu ženine uloge u društvu i borila se za jednakost

spolova. Svojim radom, zalaganjem i učenjem postala je prvom ženom u Engleskoj koja je

stekla doktorat iz matematike. Pristupila je završnom ispitu na Cambridgeu 1880. godine.

Rezultatima koje je postigla bila je medu osam najboljih studenatana sveučilǐstu, ali joj nije

dopušteno prisustvovati dodjeli nagrada jer je bila žena. To ju je potaklo da bude još upor-

nija u svom radu. Diplomirala je 1882. godine, a doktorirala 1885. godine. Svojim velikim

dostignućima, upornošću i radom na sveučilǐstu postigla je da ženama bude omogućen upis

na Cambridge.

Četiri godine je predavala na Girton Collegeu, bila je jedna od prvih žena kojoj je ponuden

posao. Prihvatila je ponudu predavača na Mawr Collegeu u Sjedinjenim Američkim Državama.

Uvela je diplomski i poslijediplomski program matematike na Bryn Mawru. Objavila je

brojne matematičke članke iz aritmetike, algebre i geometrije, bila je član nekoliko mate-

matičkih društava i organizacija. Umirovljena je sa 60 godina i vratila se u Englesku, gdje

je živjela do 1931. godine.

29

Emmy Amalie Noether rodena je 23. ožujka 1882. U Njemačkoj.

Otac joj je bio poznati matematičar Max Noether, jedan od najznačajnijih matematicara

koji su se bavili algebarskom geometrijom. U ranoj mladosti proučavala je jezike francuski

i engleski. Majka ju je učila tradicionalnim vještinama žena onoga vremena kuhati i svirati

klavir. U osamnaestoj godini upisala je studij matematike na sveučilǐstu u Erlangenu, kao

slušač, jer ženama nije bilo dopušteno studirati. Nakon dvije godine postala je punopravni

student, gdje je i doktorirala. Seli u Gottingen na poziv David Hilberta i Felix Kleina koji su

smatrali da im ona može pomoći u radu na jednoj od Einsteinovih teorija. Zaposlila se kao

profesor na sveučilǐstu. Studenti koji su pohadali njezina predavanja postali su joj sljedbe-

nicima, motivirala je studente da razviju svoje vlastite ideje. Jako je brinula o studentima,

te im uvijek bila spremna pomoći. 1932. godine dobila je Memorijalnu nagradu za širenje

matematičkog znanja. Emmy Noether prihvatila je ponudu za posao na sveučilǐstu u Bryn

Mawru, gdje je radila sve do svoje smrti 1935. godine.

Emmy Noether dala je velik doprinos matematici. Bavila se apstraktnom algebrom, s po-

sebnim naglaskom na prstene, grupe i polja. Noetherini prsteni, nazvani njoj u čast, pred-

stavljaju vrlo važan pojam u algebri i algebarskoj teoriji brojeva.

Neka je A komuntativan prsten. Tada su sljedeća tri svojstva ekvivalentna:

1. Svaki ideal I u A je konačno generiran, tj. postoje a1, . . . , an takvi da je I = a1A +

a2A+ . . .+ anA.

2. Ako imamo niz ideala I1 ⊂ I2 ⊂ · · · u A tada je on stacionaran.

3. Svaki neprazan skup S ideala u A posjeduje maksimalan element s obzirom na inkluziju.

Prsten A u kojem vrijedi jedno od gornjih svojstava naziva se Noetherin prsten. Za detalje

pogledati [7].

Naglasimo kako je “svojstvo Noetherinosti” fundamentalni pojam u algebra. Naime, kako u

komutativnoj, tako i u nekomutativnoj teoriji ima cijelo mnoštvo prstena koji su Noetherini.

Iako to nije lako za dokazati.

30

Mary Cartwright rodena je 17.prosinca 1900. godine u Aynhou u

Engleskoj. Diplomirala je na sveučilǐstu u Oxfordu 1923., samo dvije godine nakon što

je to bilo dozvoljeno ženama. Godine 1928. vratila se na Oxford i stekla titulu doktora

matematike. Na Cambridgeu je nastavila svoj rad na teoriji funkcija, gdje je 1935. godine

imenovana predavačem matematike. Tijekom 40-ih godina radila je s Johnom Littlewoodom

na rješavanju Van der Polove jednadžbe.

Cijeli razvoj radija u Drugom svjetskom ratu ovisio je o visokonaponskim pojačalima i bilo

je pitanje života i smrti imati pojačalo koje je radilo sve što je bilo potrebno. Vojnici su se

mučili s pojačalima koja su se kvarila i za to krivili proizvodače.

Cartwright i Littlewood otkrili su da nisu krivi proizvodači, nego jednadžba. Otkrili su da

povećanjem snage pojačala rješenja jednadžbe postaju sve vǐse i vǐse iregularna. Pri niskoj

snazi rješenje ima isti period kao i ulaz, no kako raste snaga, period rješenja se udvostručuje

i konačno se dobije neperiodično rješenje. Mary je imala velik doprinos u teoriji analitičkih

funkcija. Objavila je brojne članke o klasičnoj analizi i diferencijalnim jednadžbama.

Godine 1951. izabrana je za predsjednicu Londonskog matematičkog društva, 1964. primila

je Sylvesterovu medalju Kraljevskog društva, 1968. De Morganovu medalju Londonskog

matematičkog društva, a 1969. dobila je titulu lady. Umrla je u Cambridgeu 3. travnja

1998.

Julia Bowman Robinson rodena je 8. prosinca 1919. godine u St.

Louisu, Missouri. Zbog bolesti nije mogla ići u školu. Privatni učitelj ju je poučavao gradivo

od petog do osmog razreda. Počela se zanimati za matematiku u devetom razredu kad je

nastavila svoje školovanje. Matematika u to vrijeme nije bila popularna mladim djevojkama,

zato je bila jedina djevojka u svom razredu. Na zadnjoj godini studija prešla je na Berkeley,

gdje su bili mnogi koji su se sa istim žarom kao i ona posvetili proučavanju matematike.

Naučila je mnogo od svog profesora Raphaela M. Robinsona, koji joj je držao predavanja

iz teorije brojeva. Kako je ta predavanja pohadalo samo nekoliko studenata, mnogo su

vremena provodili u druženjima, što je dovelo do toga da se Julia i Raphael zbliže, a kasnije i

31

vjenčaju. Radila je u statističkom laboratoriju na Berkeleyju na tajnim vojnim projektima,

jer je bilo pravilo na sveučilǐstu da članovi obitelji ne mogu predavati na istom odjelu.

Strašno ju je pogodilo i dovelo do depresivnog stanja kad je saznala da zbog bolesti iz

djetinjstva neće moći imati djecu. Kako bi spriječila to svoje stanje, počela je pisati doktorat

na Berkelyju o nerješivosti jednadžbi na polju racionalnih brojeva. Doktorirala je 1948.

godine. Nakon toga počela je svoj rad na desetom Hilbertovom problemu - naći algoritam za

rješenje diofantskih jednadžbi s kojim se bavila veći dio svoje karijere. Napravila je osnovu

koju je Yuri Matijašević 1971. godine iskoristio da dokaže kako ne postoji jedinstvena metoda

za odredivanje rješivosti. Postala je prva matematičarka koja je primljena u Nacionalnu

znanstvenu akademiju 1975. Imenovana je redovnim profesorom na Berkeleyju 1976. godine,

1982. postala je prva predsjednica Američkog matematičkog društva, a primljena je i u

Američku akademiju znanosti i umjetnosti. U ljeto 1984. saznala je da boluje od leukemije,

umrla je godinu dana kasnije.

Louise Szmir Hay rodena je 1935. u Metzu u Francuskoj. Njeno zani-

manje za matematiku pokazalo se u desetom razredu, a za to je bio zaslužan njen profesor

David Rosenbaum jer je preferirao logičko predavanje i očekivao da studenti razumiju što

rade kad pǐsu dokaze. Bila je iz siromašne obitelji i zbog toga je počela davati instrukcije

iz matematike. Naučila je programirati i sve do diplome radila je u školi za elektronički

inženjering. Diplomirala je 1956. godine na Swarthmore Collegeu i željela je upisati poslije-

diplomski studij. Udala se za Johna Haya studenta eksperimentalne psihologije.

Kako ju je zanimala matematička logika bilo joj je teško naći studij koji je nudio doktorat,

a da ne mora boraviti na sveučilǐstu. Doktorirala je tek 1965. godine jer je rodila blizance.

Kao redovni profesor zaposlila se u Chicagu. Imenovana je voditeljem Odjela za matematiku

1980. godine kao jedina žena koja vodi matematički odjel u to vrijeme. Velik je njen doprinos

matematičkoj logici, bila je savršen predavač i jako angažirana oko svojih studenata. Umrla

je 1989. godine od raka.

32

Literatura

[1] F. M. Brückler, Povijest matematike I, Odjel za matematiku,

10. prosinca 2007.

[2] F. M. Brückler, Povijest matematike II, Odjel za matematiku,

23. srpnja 2009.

[3] B. Dakić, Matematički panoptikum, Školska knjiga, Zagreb, 1995.

[4] A. Dujella, Fibonaccijev niz, HMD, Zagreb, 2001.

[5] I. Gusić, Matematički rječnik, Element, Zagreb, 1995.

[6] E. W. McLemore, Past Present (we) - Present future (you),

Association for Women in Mathematics Newsletter, 9(6) (1979), 11-15.

[7] S. Miličić, Algebarska teorija brojeva,

http://student.fizika.org/~smilicic/biljeske/atb/atb.pdfl

[8] Z. Pavić, Žene u matematici, math.e, 4,

http://e.math.hr/old/zene/index.html

[9] L. Riddle, Biographies of Women Mathematicians, Agnes Scott College, Atlanta,

http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/women.htm

[10] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb, 1979.

[11] Z. Šikić, Fibonaccijev niz, Poučak, 1(2/3), (2000), 5-14.

[12] Z. Šikić, Istine i laži o zlatnom rezu, Poučak, 4(15), (2003), 50-69.

[13] D. Žubrinić, Božanski ili zlatni omjer, MFL, 49(2), (1998), 65-75.

[14] Female mathematicians, Mac Tutor History of Mathematics Archives,

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Indexes/Women.html

[15] Hypatia of Alexandria, Alexandria on the Web,

http://cosmopolis.com/people/hypatia.html

33

Sažetak

U radu su predstavljene neke žene u matematici od grčkog doba do 20. stoljeća, njihove

biografije i dostignuća. Maria Gaetana Agnesi je bila prva profesorica matematike. Sophie

Germain je poznata po svojim prostim brojevima i dokazu prvog slučaja Fermatova pos-

ljednjeg teorema istinitog za njene proste brojeve. Ada Byron King bila je prvi programer

u povijesti. Mary Everest Bool je izmislila ljepljenje krivulja (danas linijska geometrija),

bila je žena Georgea Boolea izumitelja Boolove algebre. Carlotte Angas Scott je svojim

uspjehom omogućila ženama upis na Cambridge i prva je žena s doktoratom u Engleskoj.

Emmy Amalie Noether bila je najveća matematičarka 20.stoljeća, poznata po Noetherinim

prstenima i teoremu o vezi zakona očuvanja i simetrije. Louise Szmir Hay bila je prva žena

na čelu Odjela za matematiku, statistiku i kompjutersku znanost.

U radu možemo vidjeti i doprinose u matematici njihovih uzora i mentora, kao što su Pita-

gora, Platon, Euklid, Arhimed i Gauss.

Bitno je napomeniti da su mnoge ideje i dokazi žena u matematici koje smo imali prilike

vidjeti u ovom radu, bili glavni korak u daljnjem dokazivanju nekih teorema, kao što je Veliki

Fermatov teorem. Na njihove radove su se nadovezivala imena poput Descartes, Newton,

Leibniz, Lagrange, Fermat...

Bile su osobe koje su inspirirale druge da naprave vlastite doprinose u matematici i imale

velik utjecaj na razvoj školstva.

34

Summary

In this paper we presented some women in mathematics from greek time till the 20th century

along with their biographies and achievements. Maria Gaetana Agnesi was the first teacher of

mathematics. Sophie Germain is famous for her work with prime numbers and for proving

the first case od Fermat’s last theorem for all odd primes smaller than 100. Ada Byron

King was the first computer programmer. Mary Everest Boole invented ’curve stitching’

(today known as line gometry), she was wife of George Bool the inventor of Boolean algebra.

Charlotte Angas Scott’s achievement enabled women to enroll in cambridge university, she

was the first women in England to obtain a doctorate in mathematics. Emmy Amalie

Noether was the most significant women mathematician of the 20th century, famous for

Noetherian ring and theorem which proves a relationship between symmetries in physics

and conservation principles. Louise Szmir Hay was the first women ih head of Mathematics

department, statistics and computing.

In this paper we can see contributions to mathematics of their role models such as Pytha-

goras, Plato, Euclides, Archimedes and Gauss.

It is important to mention that many ideas and arguments by women in mathematics which

we could see in this paper, were the main step in further argumentation of some theorems,

such as Fermat’s Last Teorem.

Names like Descartes, Newton, Liebniz, Lagrange, Fremat, etc., were added to their works.

They were persons who inspired others to make their own contributions in mathematics and

had great influence on development of education.

35

Životopis

Rodena sam u Požegi 1980. godine, gdje sam završila osnovnu i srednju školu. Pohadala

sam gimnaziju u Požegi i maturirala školske godine 1999.-2000. Iste školske godine upisala

sam studijsku grupu matematika-informatika u Zagrebu, a iduće godine prebacila sam se na

Odjel za matematiku Sveučilǐsta J. J. Strossmayera u Osijeku.

Početkom rujna 2008. zaposlila sam se u O.Š. Vladimir Nazor u Trenkovu. Iduće školske

godine zaposlila sam se u Obrtničkoj školi u Požegi.

Udala sam se i imam malenu curicu Iris koja se rodila 2010.godine.

36