Journal o f M athem atics, O saka C ity U n iv ers ity , V ol. 42, N o. 1-2.

Sur le problèm e du balayage généralisé

Par Nobuyuki N in o m iy a

(Reçu le 15 juin, 1961)

Introduction

Soient K{x, y) et N(x, y) des fonctions positives et continues en ^ et dans Fespace^^ qui pourront être en x=y, et soit K{x, y) symétrique \_K(x, y)=Kiy, x)'], On considère les potentiels d’une mesure ix pris par rapport aux noyaux K et N

et

= j Kix,y)dpi(y)

V Cx-) = \N(.x,y)d/i (y) .

Dans ce travail on s’occupe à l’étude sur le balayage généralisé : étant donnée une mesure positive jy-a-t’il sur un compact arbitraire F au moins une mesure positive M portée par F telle que

sur F? Il est plein d’intérêt d’établir la théorie du balayage généralisé, car, dans la théorie usuelle du potentiel, le problème de l’équilibre est le balayage généralisé au cas où N(x, y) =1 et le problème du balayage est le balayage généralisé au cas où N(Xy y)=K(iXy y). Le balayage généralisé était présenté par Choquet et Deny ([2]) dans l’espace de modèl fini (l’espace ne contenant que le nombre fini des points), mais on n’avait aucune étude plus avancée dans l’espace général.

Dans le premier paragraphe, on étudiera le balayage en posant l’hypothèse de majoration; U^Xx) ^V^Çx). Ce balayage s’appellera le balayage ordinaire. Dans le deuxième paragraphe, on étudiera le balayage en posant l’hypothèse de majoration: U ^ \ x ^ ( x ) . Ce balayage s’appellera le balayage inverse. On verra que le balayage ordinaire ou inverse est caractérisé par un principe du maximum ou minimum. Dans le dernier paragraphe, on considérera le balayage sans poser aucune hypothèse de majoration. Ce balayage s’appellera le balayage faible. On verra que le balayage faible est ramené au balayage ordinaire ou inverse pour des noyaux K du certain type. Ce travail généralise des résultats

1) Dans ce travail, on s’agit de l’espace euclidien ou plus généralement l’espace topologique localement compact satisfaisant aux axiomes de dénombrabilité.

obtenus dans les travaux ([3], [4]).

§ 1 . Le balayage ordinaire.

D é f i n i t i o n . Un noyau K est dit satisfaire au principe du balayage ordinaire par rapport au noyau N, lorsque, étant donnés un compact F et un point p n’appartenant pas à F, il existe au moins une mesure positive portée par F telle que(1 ) =N(x, p) sur F sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nuP^,(2) U^Çx) ^NÇxy p) dans tout l’espace.Cette mesure A est dite une mesure balayée de la mesure ponctuelle placée en p sur F,

D é f i n i t i o n . Un noyau K est dit satisfaire au principe du maximum par rapport au noyau N, lorsque, pour une mesure positive à support compact F et un point p n’appartenant pas à F, l’inégalité

U^x^^NCx, p)

sur F entraîne la même inégalité dans tout l’espace.Soient Ei et Ez des ensembles boréliens disjoints tels que et Ez soient

compacts. Pour une mesure positive /x portée par Ei et une mesure positive portée par Ez, posons

Il a sens seulement pour tout couple (a«, v) tel que 0 < J ^ , 0 < J C/Vv

< + et 0 -< J î/'‘ «fvc + oo. On appelle un couple minimal ipo, Vo) qui rend

minimum parmi tout couple (/ , ^), ju portée par Ei et v portée par Ez.

L e m m e 1. (/ o, o) est un couple minimal, la fonction

gi(x) =cU^o(x-)-aU^o(x) ,où

a = U od/uLo, ^ J U odvo et c =

jouit de la propriété:

116 N obuyuki N i n o m i y a

2) Un ensemble borélien est dit de iT-diamètre transfini nul s’il est de mesure nulle pour toute mesure positive d’énergie finie prise par rapport au noyau ÜT, et est dit de iT-capacité nulle s’il est de mesure nulle pour toute mesure positive dont le potentiel pris par rapport au noyau K est borné sur tout compact. Naturellement, tout ensemble de iT-diamètre transfini nul est de iT-capacité nulle. Inversement, tout ensemble de iT-capacité nulle est de /T-dia- mètre transfini nul si le noyau K satisfait au principe de continuité : pour une mesure positive A à support compact F, si (x) est continu comme fonction considérée sur F, il est aussi continu dans tout l’espace ([3J, p. 160),

(1) sur El sauf un ensemble de K-capacité nulle,(2) gi{x) ^ 0 sur El sauf un ensemble de mesure nulle pour /Xq,En particulier, lorsque Ei et Ez sont des compacts disjoints, on a(1) gi(x)'^0 sur El sauf un ensemble de K-diamètre tr ans fini nul,(2) ^ i(x )^ 0 sur El sauf un ensemble de mesure nulle pour Analoguement quant à la fonction

g,{x) =cU^o(x)~bU^o(x'),

En effect, comme (juq, Pq) est un couple minimal, on a Tinégalité

0<G(jLto + e(J,Po)-G(MQy o)

pour tout nombre positif e et pour toute mesure positive portée par Ei telle

que 0 ^ ^ U' djao<C-h + et +©o. Le noyau iT étant

symétrique, cela entraîne l’inégalité

0 ^ 2 c s J g,(x) da(x)+s^[c^ J U U <r-a{ J U^odaY'^.

On en déduit facilement le résultat ([3], p. 151).

L e m m e 2. Si Ei et E2 sont des compacts disjoints de K-diamètre tr ans fini positive, il existe au moins un couple minimal (/ o, 1 0) •

En effect, posonsGo = inf G(ix, v) .

Ici, inf est pris par rapport à tout couple {[x, v) tel que G(^, ait sens. Alors, il existe des suites {jun} et {Pn) de mesures positives portées par Ei et par E2 respectivement telles que

Go = Iim G (/Xn , n) .n > 00

Soient

fXin---- ------ CL yinfd/Xn fdUn

et soient juo et Pq des mesures limites de {/xm) et de { m} respectivement (en prenant leurs suites partielles convenables). Le couple (juq, Vq) est un couple minimal ([3], p. 152).

L e m m e 3. Etant donnés un compact F de K-diamètre transfini positive et un point P n'appartenant pas à F, il existe une mesure positive /Xq portée par F qui rend minimum

G(n) = ____ fU^d/XLfN(x,p)dM(x)J

parmi toute mesure positive /x portée par F. Et, la fonction

g(x) = cU^^(x)-aN(x, p) ,

Sur le problème du balayage généralisé 11?

118 N ubuyuki N in o m iYA

ou

jouit de la propriété:(1) ^(jc) sur F sauf un ensemble de K-diamètre tr ans fini nul,(2) sur le support de /jIq.

En effect, posonsGo == inf G (/A, .

Ici, inf est pris par rapport à toute mesure positive /Ji portée par F, F étant de iT-diamètre transfini positif, Go est un nombre positif fini. A lors, il existe une suite {jutn} de mesures positives portées par F telle que

Go = Iim G C/in) •n^oo

On peut supposer que la suite de mesures positives

/i =J dlln

converge vers une mesure positive / o de la masse totale un portée par F (en prenant une suite partielle convenable). Comme on a

et

on aGo = \ïmG{iXn) = Iim G (a^) ^G(a«o) ^G o .

« OO n OO

Par suite, / o rend minimum G(a«) parmi toute mesure positive p. portée par F, Alors, on a

G(/^o)^ G (/^ o + £ )

pour tout nombre positif e et pour toute mesure positif (J de K-énergie finie portée par F. Cela entraîne Tinégalité

0 ^ 2« J g{x)daix) +e%c^ J J N{x, p) da{x)y'] .

Le coefficient de étant fini, on a

pour toute mesure positive (s d'énergie finie portée par F, Donc, on a

sur F sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul. Encore, comme g{x) est semi-continue inférieurement sur F et on a

J g ix ) dMo(x) = O,on a

Osur le support de jlio.

T h é o r è m e 1. Pour qu'un noyau K satisfasse au principe du balayage ordinaire par rapport au noyau N, il faut et il suffit qu'il satisfasse au principe du maximum par rapport au noyau N,

Démonstration, Supposons qu’un noyau K satisfait au principe du maximum par rapport au noyau N, Etant donnés un compact F de iT-diamètre transfini positif et un point p n’appartenant pas à F, soit une mesure positive qui rend minimum

C(fi) = ____ / dix____UN(x,~p)dix(x)J

parmi toute mesure positive [x portée par F, Alors, on a d’après le lemma 3, en posant

a = U odjuio, = j N(x, p) d/AoCx) et ~ ,

(1) U^(x')'^NCx, p) sur F sauf un ensemble de iT-diamêtre transfini nul,(2) U^Cx) < N (x , p) sur le support de À,On a d’après le principe du maximum(1) U ^{x)=N{x, p) sur F sauf un ensemble de K-diamètre transfini nul,(2) U^(X) (x, p) dans tout l’espace.Donc, le noyau K satisfait au principe du balayage ordinaire par rapport au noyau N. Inversement, supposons qu’un noyau K satisfait au principe du balayage ordinaire par rapport au noyau N, Soient I une mesure positive à support com­pact F et P \m point n’appartenant pas à F tels que

U ^{x)^N {x, p)

sur F, Supposons qu’il y ait un point t tel que

U K t)> N (t, p ) .

En prenant une mesure positive Qui rend minimum

r(n^ = fU^d/JLU K (x,t)d/x(x)J

parmi toute mesure positive ju portée par F, posons

g(x) = cU^o(x^-aK(x, O ,où

a = U odjUo et c = ,

Sur le problème du balayage généralisé ilÔ

Alors, on a d'après le lemme 3(1) sur F sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul,

(2) sur le support de a«o.I étant d’énergie finie par rapport au noyau K, on a

J g ix ) (Ik(X) = C J U ^odl-a J K(.x, O d K x)

= c \ m d ! x , - a U K t ) < c \ N ( x , p ) d M - a N ( t , p ) .

D’autre part, soient F q le support de (iT-diamètre transfini positif) et e' une mesure balayée de la mesure unité ponctuelle placée en p sur F q, A lors, on a

g{x) de'{x) = U^^de—a J ür(jr, f) de'(^x)

= C J U^'du^o-aW'Q) J N ix, p) d/Uo(x)-aN(t, p) .

C ’est contradictoire. Donc, on a

U K x ) < N ix , p)

dans tout l’espace.

L e m m e 4. Si un noyau K satisfait au principe du maximum par rapport au noyau N, il satisfait au principe de continuité.

En effet, on verra facilement que, si un noyau K satisfait au principe du maximum par rapport au noyau AT, il satisfait au principe du maximum dilaté : étant donnée une mesure positive I à support compact F, si on a

U^(X)sur F, on a

U ^ {x )< c -M

dans un ensemble ouvert contenant F, c étant une constante dépendant de F, Tout tel noyau K satisfait au principe de continuité ([H], p. 160).

L e m m e 5. Soit K un noyau satisfaisant au principe de continuité. Si une suite {/jin} de mesures positives portées par un compact F converge {vaguement') vers une mesure positive /i, on a

U ^ {x )^ \m iU ^ K x )n 7

doMS tout Vespace, Végalité ayant lieu sauf sur un ensemble de K-diamètre transfini nul.

Soulignons que ce résultat est valid pourvu qu’un noyau K satisfasse au principe de continuité, bien qu’il soit symétrique ou non ([1 ]).

T h é o r è m e 2. Si un noyau K satisfait an principe du balayage ordinaire par rapport au noyau N {c'est-à-dire, étant donnés un compact F et un point t n'appar­tenant pas à F, on peut balayer sur F la mesure ponctuelle placée en t), à chaque

120 Nobuyuki N in o m iYA

point P de F on peut associer une mesure positive À portée par F telle que(1 ) U ^ ix )= N {x , p') sur F sauf un ensemble de K-diamëtre transfini nul,(2) p~) dans tout Vespace.

Démonstration^^, Prenons une suite de voisinages {Gn} décroissant vers le point P et une mesure balayée In de la mesure ponctuelle placée en p sur F n = F— Gn- A lors, on a(1) U^n(x) =N(Xy p) sur F sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul,(2) ^NÇxy p) dans tout Tespace.[In) étant de la masse totale bornée, on peut supposer qu’elle converge vers une mesure positive k portée par F (en prenant une suite partielle convenable). On a

^ Hm U^n(x)n , <x>

dans tout Tespace, Tégalité ayant lieu d’après le lemme 5 sauf sur un ensemble de iT-diamètre transfini nul. Par suite, on a(1) U^Qx')=N{Xy p) sur F — {p] sauf un ensemble de iT-diamétre transfini nul,(2) U^Çx') ^ N ( x , p) dans tout Tespace.On va remplacer F — {p} par F dans Fénoncé ci-dessus (1). D’abord, si p, p) = + Tensemble {p} est de i^-diamètre transfini nul. Ensuite, si KQp, p)<^^-oo^ il suffit de considérer seulement le cas où K{py p)<^^oo et Nipy Eneffet, si K ip , p^< + OO et N{p, p) = U^ix) est borné et continu dans un voisinage de x= p, mais N(Xyp) n’y est pas borné. Naturellement, on n’a pas l ’énoncé ci-dessus. Par suite, soient K(py p'X^-h oo et N (p, p)<C + oo. Alors, l ’ensemble {p} est de iT-diamètre transfini positif et la partie de F ~ { p ) contenu dans un voisinage de p est aussi de i -diamètre transfini positif. K{x, y) étant fini et uniformément continu pour des points x contenus dans un voisinage de p et pour des points y contenus dans un compact F, pour tout nombre positif e on peut trouver un voisinage de G de p, un nombre assez grand n et des points x de G tels que

I U ^ ( P ) - N C P y P ) \ < \ U ^ P ) - U ^ n ( P ) I + I U ^ n ( P ) - U ^ n ( X) 1 + I m n i x ) - N Ç X y P ) I + \N(Xy P ) - N i P y P ) \ < S ,

En faisant e->0, on a

U K P ) = N i P y P ) y

d’où le résultat.On a vu d’après le théorème 2 que, si un noyau K satisfait au principe du

balayage ordinaire par rapport au noyau Ny on peut balayer toute mesure ponc-

Sur le problème du balayage généralisé l2 l

3) Pour faire compléter la démonstration, j’ai reçu un conseil de Monsieur Ohtsuka, qui m’a communiqué qu’il y avait un point obscur à ma démonstration originale.

4) On suppose que tous les ensembles ouverts dans l’espace sont de iT-diamètre transfini positif.

tuelle sur un compact arbitraire. On a deux remarques suivantes sur le balayage des mesures positives non-ponctuelles.

R em a rq u e . Soit N(x, y) un noyau positif, fini et continu en x et y. Sup­posons que le noyau K satisfait au principe du balayage ordinaire par rapport au noyau N, Etant donnés un compact F et une mesure positive p. à support compact, on peut balayer ju sur F, En effect, en prenant une suite {jun} de mesures ponctuelles convergant vers on a

= Iimn >

uniformément sur tout compact. La suite {junl de mesures balayées de jun sur F étant de la masse totale borné, on peut supposer qu’elle converge (vaguement) vers une mesure positive /jt' portée par F (en prenant une suite partielle con- venanble). Comme on a d’après le théorème 2(1) U^n (x = sur F sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul,(2) U^n\x) ^ V ^ n {x) dans tout Fespace, et comme on a d’après le lemme 5

U ^ \x )^ M iU ^ n \x ')n , OO

dans tout l’espace et l ’égalité sauf sur un ensemble de iT-diamètre transfini nul, on a(1) U^\x')=-V'^(x) sur F sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul,(2) U^Xx) ^ V ^ (x ) dans tout l’espace.

R em a rq u e . Soit NÇx, y) un noyau positif et continu qui peut être + oo en X= yy mais satisfait au principe de continuité. Supposons que le noyau K satisfait au principe du balayage ordinaire par rapport au noyau N, A lors, à un compact F et à une mesure positive quelconque ju à support compact, on peut associer une mesure positive jut' portée par F telle que(1) U^\x') = V ‘ (x) sur F sauf un ensemble de (iT+iV)-diam ètre transfini nul,(2) U ^ \x ) ^(ix) dans tout l’espace sauf un ensemble de (iT+A/')-diamètre

transfini nul.En effet, soient {/i«} une suite de mesures ponctuelles convergant vers ix et

IXn tine mesure balayée de iin sur F. Alors, on a d’après le théorème 2(1) U^'n(x') = V^n(^x) sur F sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul,(2) U^'n^x) ^V^nÇx') dans tout l ’espace.

En désignant par /x' la mesure limite de la suite {jun} , on a d’après le lemme 5

U ^ X x )< l\m U ^ n \x ')

dans tout l ’espace, l’égalité ayant lieu sauf sur un ensemble de /T-diamètre transfini nul. Et, on a

122 Nobuyuki N in o m iÿ A

V^(X) < Hm V^Kx)flfOO

dans tout l ’espace, l’égalité ayant lieu sauf sur un ensemble de AT-diamètre trans­fin i nul, d’où le résultat.

E x e m p le . Dans l ’espace ordinaire R'\ considérons

K (x ,y ) =et

y) = O < 0 ^ 1 .

Le noyau K satisfait au principe du balayage ordinaire par rapport au noyau N. En effect, soient À une mesure positive à support compact F et p un point n’appartenant pas à F, tels que

U K x ) ^ N { x ,p )sur F. La fonction

f {x ) = U K x )~ N {x ,p )

est sous-harmonique dans l’extérieur de F et s’annule à l ’infini, et on a en chaque point de F

Sur le problème du balayage généralisé 123

\im f{x ) < Iim IU K x ') - N ix f , ,X t x'- t

X restant à l ’extérieur de F et x' restant à F, Par suite, on a

dans l ’extérieur de F. Donc, le noyau K satisfait au principe du balayage ordinaire par rapport au noyau N. Encore, tout ensemble borélien borné de A -diamètre transfini nul est aussi de X'-diamètre transfini nul et le noyau N satisfait au principe de continuité. Par suite, étant donnés un compact F et une mesure positive fJL à support compact, il existe une mesure positive portée par F telle que( 1) U ^ \x ) = V^ix) sur F sauf un ensemble de i^-diamètre transfini nul,(2) U^\x') ^ V ^ (x ) dans tout l’espace sauf un ensemble de i -diamètre transfini

nul.D ’autre part, tout potential d’ordre a, (0 < a i< 3) est assez régulier, c’est-àdire, en désignant par M { f \x , r) la moyen d’une fonction / dans la sphère centrée en x de rayon r, on a

\im :x ,r ) = Çx) .r , O

Donc, on a l ’énoncé plus précis que (2)(20 U^\x') ^ V ^ (x ) dans tout l’espace.

Théorèm e 3. Soient K{x, y) et N(x, y) des noyaux positifs et continus en x et y qui pourront être en x= y, et soit K symétrique. Si le noyau K satisfait auprincipe du balayage ordinaire par rapport au noyau N, il est de type positif.

Démonstration. Pour une mesure a de signe variable à support compact, on peut trouver deux ensembles boréliens disjoints Ei et E2 tels que E i^ E z = F et (T=(fi—(T2, (Tl et (T2 étant des mesures positives par Ei et par E2 respectivement. Pour démontrer

\\Kix,y)daiy')da{x)-^0.

il suffit de démontrer

/ U' dcJi X / U 2d(T2 ^ -,(fu^^d(T2y

Pour cela, il suffit de démontrer

fU-i'dcTi'XfU^/dcTz'^^.(fW ^ 'd a 'y

pour un compact Fi contenu dans E i, un compact F2 contenu dans E2 et les restrictions Oi' et (72 de (Ti et 02 à Fi et F respectivement. Soit (/ o, ^^ un couple qui rend minimum

( fu ^ d p y

parmi tout couple (/ , i ), ju portée par Fi et u portée par F2. Alors, on a

(1) — U^o(x) = U^o(X) sur le support de juto, a

(2) U^oÇx) sur le support de Vq ,

l24 Nobuyuki N in o m iÿ A

où

Soient p un point n’appartenant ni à Fi et ni à F2 et a un nombre positif tel que

snp\U^o(x)-aN(ix, p)~] = O ,^ appartenant au support de Vq.

Alors, comme le noyau K satisfait au principe du maximum par rapport au noyau N, on a

U^ {x) < aN (x, p)

dans tout l’espace. Par suite, on a

U^o(X) < a N (x ,p )a

sur le support de ix . Donc, on a la même inégalité dans tout l’espace. Etant donné un nombre positif quelconque e, prenons un point x' du support de tel que

aN(x', p')-e<:U'^o(xO .Alors, on a

A V^oQx')- e C U H x :') ^ U>^o(x') .

Par conséquent, on a

__ 1___

U^o(x) étant borné sur le support de v'o, on a

^-2^-L

en faisant e->0, d’où le résultat.

C o r o l l a i r e . Soit NÇx, y) un noyau positif, fini et continu en x et y. Si un noyau K satisfait au principe du balayage ordinaire par rapport au noyau N, des potentiels de mesures balayées d'une mesure positive p à un compact F sont bien déterminés dans tout l'espace.

En effect, soient p! et p" des mesures balayées de p sur F, Alors, on a

U^Xx) = U^'Xx) = V^x)

sur F sauf un ensemble de K-diamètre transfini nul. V^(x) étant borné sur F, p' et p" sont tous deux d’énergie finie par rapport au noyau K, Le noyau K étant de type positif et a = p —p' étant d’énergie nulle, on a

( j ^ j U<d<r • j m dX = O

pour toute mesure positive À d’énergie finie par rapport au noyau K, Donc, on a

U^Xx) = U^'Xx)

dans tout l’espace sauf un ensemble de K-diamètre transfini nul.

§2. Le balayage inverse.

D é f i n i t i o n . Un noyau K est dit satisfaire au principe du balayage inverse par rapport au noyau N, lorsque, étant donnés un compact F et un point p n’appartenant pas à F, il existe au moins une mesure positive A portée par F telle que(1) U^Cx)=N(x, p) sur F sauf un ensemble de K-diamètre transfini nul,(2) U^(x)'^N(x, p) dans tout l’espace sauf un ensemble de K-diamètre transfini

nul.Cette mesure À est dite une mesure inversement balayée de la mesure ponctuelle placée en p sur F, Si un noyau K satisfait au principe du balayage inverse par rapport au noyau N, on a

en tout point p. Donc, le noyau N{x, y) est fini et continu en x et y.

D é f i n i t i o n , Un noyau K est dit satisfaire au principe du minimum par

Sur le problème du balayage généralisé 125

rapport au noyau N, lorsque, pour une mesure positive à support compact F et un point p n’appartenant pas à F, l’inégalité

U K x )^ N {x , p)

sur F entraîne la même inégalité dans tout l’espace.Soient Ei et E2 des ensembles boréliens disjoints tels que Ei et E2 soient

compacts. Pour une mesure positive ju, portée par Ei et une mesure positive v portée par E2, posons

GC ^ f U ^ d p x f (fu ^ d > y .

Si le noyau K(x, y) est fini et continu en x et y, GCp, v) a sens pour tout couple (/ , v), et V ^O, et on peut considérer le maximum de G(jut,p'). On appelleun couple maximal (juto, Pq) qui rend maximum G(a«, v) parmi tout couple JLi portée par Ei et v portée par E2.

L e m m e 6. Soit K{x, y) un noyau positif fini, continu et symétrique en x et y. Si (/ 0, est un couple maximal de G(/ , v), la fonction

gi(x) = cU^o(x)-^aU^o(x) ,où

U djjLo, = J U odPo et = j U od/xo,

jouit de la propriété :(1) giix^^O sur El,(2) ^ i(:r)^0 sur Ei sauf un ensemble de mesure nulle pour Analoguement quant à la fonction

g2(x) = cUHx')-bU^o(x') . >

En effect, comme ( p o , Pq) est un couple maximal, on a l’inégalité

O^G(jLto + e(r,Po)-G(jLio, Pq)

pour tout nombre positif e et pour toute mesure positive û portée par E i. Le noyau K étant symétrique, cela entraîne l’inégalité

0 ^ 2 c £ J g,(x) da(.x-)+é[_c j V ^da-a i J Woday] .

On en déduit facilement le résultat.

L e m m e 7. Soit K(x, y) un noyau positif, fini, continu et symétrique en x et y. Si El et Ez sont des compacts disjoints, il existe au moins un couple maximal.

En effet, posons

Go = SUp G(ix, p) .

Ici, sup est pris par rapport à tout couple (p, p ) , ju portée par Ei et p portée par

126 Nobuyuki N in o m iy a

Ez. Alors, il existe des suites {jun} et de mesures positives par et par E2 respectivement telles que

Go = Iim G (/i^, Vn) .n- oo

Soient

fdpin fd ^ n ,

et soient juto et des mesures limites de et de {Vm) respectivement (enprenant leurs suites partielles convenables). Alors, le noyau K étant fini et con­tinu en X et y, on a

Go ,GÇ/âq f Vq) ~ \ÏVCi.G( lXiny in) n >= WmGiHn, Vn) = Go.n. <>=

Donc, (/ o, est un couple maximal

L em m e 8. Soit K (x, y) un noyau positif, fini, continu et symétriqne en x et y. Etant donnés un compact F et un point p n'appartenant pas à F, i l existe une mesure / o qui rend maximum

lf N {x ,p )d f x {x )J

parmi toute mesure positive pi portée par F. Et, la fonction

gix) = cU^^o(x')-aN(x, p) ,

Sur h problème du balayage généralisé 127

ou

jouit de la propriété :(1) g Ç x ^ ^ O s u rF ,(2) sur le support de juq.

En effet, posonsGo = sup G(/ji) .

Ic i, sup est pris par rapport à toute mesure positive /x portée par F, Le noyau K étant fini et continu en x et y, Gq est un nombre positif fini. Alors, il existe une suite {jun} de mesures positives portées par F telle que

Gq = Iim G (jLtn) .n °°

On peut supposer que la suite de mesures positives

_ / n f d lin

converge vers une mesure positive / o de la masse totale un portée par F (en

prenant une suite partielle convenable). Le noyau K étant fini et continu en et y et N{x, p) étant fini et continu sur F, on a

Go^G(a«o) = limGiiXin) = \imG(ifXn) = Gq.n>oo

Par suite, rend maximum G (/i) parmi toute mesure positive ix portée par F, Alors, on a

G(^o)^G(/^o + £ y)

pour tout nombre positif e et pour toute mesure positive a portée par F. Le noyau K étant symétrique, cela entraîne Finégalité

J g{x)d(y(ix) j Wda—a J N{x, p)d(y{x^y'\ .

On en déduit facilement le résultat.

T h é o r è m e 4. Soit K (x, y) un noyau positif, continu et symétrique en x et y, qui pourra être +00 en X=^y mais satisfait au principe de continuité. Alors, pour qu'un noyau K satifasse au principe du balayage inverse par rapport au noyau N, i l faut et i l suffit qu'il satisfasse au principe du minimum par rapport au noyau N.

Démonstration, Supposons qu'un noyau K satisfait au principe du minimum par rapport au noyau N, Soit {Kn{x, y)} une suite de noyaux positifs, finis, con­tinus et symétriques en a: et 3; telle que

Kn(^x, y) y) n<Cm et Iim Knix, y) = K (x, y') .

Considérons des potentiels pris par rapport au noyau Kn

U i(X ) = \ K n { x , y ') d K y ) .

Etant donnés un compact F de iT-diamètre transfini positif et un point p n'appar­tenant pas à F, soit une mesure positive qui rend maximum

G (a) = ------

128 Nobuyuki N in o m iy a

U N ix, P^d(XiX)J

parmi toute mesure positive ^ portée par F, Alors, on a d'après le lemme 8, en posant

an ~ \ ^ 'n dIX n •) Cn ~ \ ^ P d/XonCx') et n — /Xqh > J J an(1) ^N Cx.p') sur F,(2) UinÇx)'^N(ix, p) sur le support de ^n-{Xn} étant de la masse totale bornée en vertu de (1), on peut supposer qu’elle converge vers une mesure positive À portée par F (en prenant une suite partielle convenable). Alors, on a

U Kx) = Iim Uin(x') ^ Hm U^ni^x) ^ Hm U^n^x)n->oo n->^

pour un nombre fixé 2>0. En faisant +00, on a

dans tout l ’espace. Encore, comme on a

U ^n(x-)-^U i»{x)^N {x, p-)

sur le support de on a en vertu du principe du minimum

m n (x -)> N (x ,P )

dans tout l’espace. Comme on a d’après le lemma 5

m cx ) = IJm U^n(X)n->°

sauf sur un ensemble de iT-diamètre transfini nul, on a(1) U^(x~)^NCx,p) sur F,(2) U^(x')'^N (x, p) dans tout Fespace sauf un ensemble de iT-diamètre trans­

fini nul.Donc, on a(1) U^Çx) = N (x, p) sur F sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul,(2) U^Q^)^N(ix, p) dans tout Fespace sauf un ensemble de iT-diamètre transfini

nul.Donc, À est une mesure inversement balayée de la mesure ponctuelle placée en p sur F. Inversement, supposons qu’un noyau K satisfait au principe du balayage inverse par rapport au noyau N. Soient a une mesure positive à support compact F et P un point n’appartenant pas à F tels que

U % x)^N Çx, p)

sur F. Supposons qu’il y ait un point t tel que

p ) ,

E n pren antun esu ite [Kn(Xyy)) de noyaux positifs, finis, continus et symétriques

telle queKn(x, y X K n iC x , y) si n<im

et\ïm Kn{x, y) = K ix , y~) ,

soit IJLon une mesure positive qui rend maximum

G(«) = ______________U K {x ,t)d fi(^ x )J

parmi toute mesure positive tx portée par F, En faisant

an = ( U! ondlion, Cn = U OnÇt') et = — J on y J an

on a d’après le lemme 8

Sur le problème du balayage généralisé 129

(1) U),n{x)^K(^x,t') sur F,(2) U^ni^x) ^ K ( x , f) sur le support de Xn-{^n} étant de la masse totale bornée en vertu de (1), on peut supposer que [In) converge vers une mesure positive I portée par F (en prenant une suite partielle convenable). Alors, on a

N it ,p )> U % t ) = ^ K {x ,t ')d a ix )

U \n {x)d a {x)'y ’ U)n{x)da{x')

pour un nombre assez grand n et un nombre fixé i. Par suite, on a en faisant

Nit, p) > U%t) ^ J U Kx) da{x) .

Donc, on a en faisant i ^oo

N(t, p) > J U^da = J U' dX ^ J N(x, p} dl {x) .

D’autre part, soient Fn le support de et e'n une mesure inversement balayée de la mesure ponctuelle placée en p sur Fn- Alors, comme on a

W n \x ) = iVU, P)

sur le support de sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul, on a

W n \x )^ N {x , P)

sur le support de Xn en vertu du semi-continuité inférieur. Par suite, on a

N it, P) ^ = J K ix, O dB„'{x-)

UiinÇ.X') den'ix) <C. J U^nix) ds„'(x)

= J W » (ix ')d K (.x )^ ^ Nix, p')dlnix') .

Donc, on a en faisant ; -> + oo

l^ Ü ,p ')^ \N ix ,P ')d K x ') ,

ce qui est contradictoire. Ainsi, on a

U % x)'^ N {x,p ')dans tout l ’espace.

T h é o r è m e 5. Soit K{x, y) un noyau satisfaisant au principe du balayage inverse par rapport au noyau N sous la même hypothèse que le théorème 4. Alors, à tout compact F et une mesure positive quelconque /jl à support compact, on peut associer une mesure positive p! portée par F telle que(1) U ‘ Xx) = V^Qx) sur F sauf un ensemble de K-diamètre transfini nul,(2 ) U ^ \x ) ^ V^Çx) dans tout Vespace sauf un ensemble de K-diamètre transfini nuL

130 Nobuyuki N i n o m iy a

Démonstration, On peut balayer sur F la mesure ponctuelle placée en tout point du complémentaire de F dû au théorème 4. Pour balayer sur F la mesure ponctuelle placée en un point p de F, soient {Gn} une suite de voisinage de p décroissant vers p In une mesure inversement balayée de la mesure ponctuelle

placée en p sur F n = F -G n - Alors, on a(1) U ^n{x)=N {x, p) sur Fn sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul,

(2) p) dans tout l’espace sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul.

[In) étant de la masse totale bornée, soit I une mesure lim ite de ) n- Alors, comme on a

rn (,x )< \m m n Q x ')

dans tout l ’espace, l’égalité ayant lieu sauf sur un ensemble de iT-diamètre trans­fini nul, on a

(1) U^(ix^=N(ix, p) sur F - { p ) sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul,(2) Qx) ^ U (^, p) dans tout l’espace sauf un ensemble de iT-diamètre transfini

nul.Pour remplacer F — {p] par F dans l’énoncé ci-dessus (1), il suffit de démontrer

u k p ) = m p , p)

lorsque + En effect, si K(ip, p) l ’ensemble {p} est de K-diamètre transfini nul. Par suite, soit K{p, p) < C - \ - Alors, l ’ensemble {p] est de K^-diamètre transfini positif et la partie de F — {p) contenu dans un voisinage de P est aussi de iT-diamètre transfini positif. K<ix, y) étant fini et uniformément continu pour des points contenus dans un voisinage de p et pour des points y contenus dans un compact F et N( x, y') étant fini et continu pour tout x et y comme on a déjà remarqué, pour tout nombre positif e on peut trouver un voisinage G de p, un nom.bre assez grand n et des points de G tels que

1 U^Q P)-N{p , P ) \ ^ \ UKp') - U^KP) I + I U nÇ P) - U^nQx) 1 +I U^n(X)-NQx, p) I + \N(x, P )-N C P , p ) \< e .

En faisant e—>0, on aU K P ) = N ( p , p ) .

Donc, À est une mesure inversement balayée de la mesure ponctuelle placée en P sur F, Enfin, étant donnés un compact F de üC-diamètre transfini positif et une mesure positive quelconque ju à support compact, soit {iin} une suite de mesures ponctuelles convergant vers /i. Le noyau N{x, y) étant fini et continu en et j, on a

V^Çx) = Iim

uniformément sur tout compact. Alors, la mesure limite / / de la suite de mesures

Sur le problème du balayage généralisé 131

inversement balayées fin de iin sur Fn est une mesure inversement balayée de /i sur F.

E x e m p le . Dans Fespace à dimension un R (c’est-à-dire, Fespace de —< + oo), considérons

Le noyau K satisfait au principe de Féquilibre inverse (c’est-à-dire, au principe du balayage inverse par rapport au noyau A (jr, j;) = 1). En effect, soient I une mesure positive à support compact F (contenant au moins deux points) et p un point n’appartenant pas à F, tels que

sur F, Alors, comme la fonction U' i x) est finie, continue pour tout point et concave dans tout intervalle du complémentaire du F et tend vers -f lorsque

on a toujours

Donc, le noyau K satisfait au principe de Féquilibre inverse. Encore, le noyau K satisfait au principe du balayage inverse (c’est-à-dire, au principe du balayage inverse par rapport au noyau NQx, y ) = K { x , y )). En effect, soient I une mesure positive à support compact F (contenant au moins deux points) et p un point n’appartenant pas à F, tels que

m { x ) - ^ \ p - x \ ^

sur F, Pour tout ensemble e, soit

e' = {y ; x^e, x' ^px, \ p - x \ ^ \p -x '\ = 1} .

Et soit X' la mesure portée par F ' définie par la relation

d x \y ') ^ \ p ^ y '\ - U K y ) , y e F .Alors, comme on a Fégalité

\p~x\ \p -y '\

pour tout point et y, on a

\p-x\-^ -m ^ (x) = m \ x ' ) .

Comme on a

U^Xx')

sur F \ on a la même inégalité dans R. Donc, on a partout

U ^ ix ^ - ^ lp - x r ,

D é f in i t io n . Un noyau iT(jr, y) positif, fini, continu et symétrique en x et y

132 Nobuyuki N i n o m i y a

est dit de type négatif si on a

J j U>^dvy

pour tout couple (/i, v) de mesures positives à supports compacts disjoints.

T h é o r è m e 6. Soient K{x, y) et N {x,y) des noyaux positifs, finis et continus en X et y, et soit K symétrique. Si le noyau K satisfait au principe du balayage inverse par rapport au noyau N, il est de type négatif.

Démonstration, Soient F i et F2 deux compacts disjoints. Soit (/ o, un couple qui rend maximum

parmi tout couple v') de mesures positives, fi portée par F i et v portée par Fg. A lors, on a d’après le lemme 6

(1) — sur le support de / 0, d

(2) U ^ ix') sur le support de Vq,

où

a = U odjUo i et U^odvo.

Soient p un point n’appartenant ni à F i et ni à F2 et a un nombre positif tel que

inf /?)] = 0, X appartenant au support de Vq,

Alors, comme le noyau K satisfait au principe du minimum par rapport au noyau

Ny on aU^o{x) ^ a N (x , p)

dans tout l ’espace. Par suite, on a

— ^aN(Xy Pa

sur le support de Donc, on a la même inégalité dans tout l ’espace. Etant donné un nombre positif quelconque e, prenons un point x' du support de tel que

aNÇx\ /))+ £ > (x') ,

Alors, on a

U >^o(x')+e>U ^o(x')'^~ U'^o(x') . a C

Sur le problème du balayage génénalisé 133

Par conséquent, on a

1 + - — 1 — e > —

U^oÇx) étant borné sur le support de Vq, on a

— < 1

en faisant e-^0, d'où le résultat.En passant, rappelions Tunicité de potentiels de mesures inversement balayées

au cas où un noyau K (x, y) est fini et continu en et y,

L em m e 9. Soit K un noyau de type négatif. Si on a

pour un couple de mesures positives juq et Vq portées par des ensembles boréliens dis­joints E l et Ez respectivenent, on a

= gzÇx) = Odans tout Vespace, où

a = U ^ è U^odi’o, C = J U odi o,

giCx) = cU^o(x')—aU^o(x') et gzix) = cU^o^x)—bU^o(x) .

En effet, remarquons que, si le noyau K est de type négatif, on a toujours

, A - f U^dMXf U^dP

pour tout couple de deux mesures positives et p positives ju et portées par des ensembles boréliens disjoints. Par suite, on a

G(jLio + eû, V o )^ l = G(uo, o)

pour tout nombre £ > 0 et pour toute mesure positive a portée par le complé­mentaire du support de Vq, Cela entraîne l’inégalité

0^2ce J giÇx^dûÇx') +e' lc Wdû—a{ J .

On en déduit facilementgiQx)

sur le complémentaire du support de Comme on a

= 0,

on a

(1) sur le complémentaire du support de Vo,(2) ^ i(^ )= 0 sur le support de / o Analoguement, on a(1) gzCx) sur le complémentaire du support de /lo(Z) g z W = 0 sur le support de Vq»

D’autre part, comme on a

134 Nobuyuki N in o m iy a

cgi{x) +agzix) = O

dans tout Tespace, on ag i ( x ) = ^ 2^ = O

dans tout l ’espace.

T h é o r è m e 7. Soit KÇ x, y) un noyau positif, fini, continu et symétrique en x et y. Si le noyau K satisfait au principe du balayage inverse par rapport au noyau N, tout potentiel de mesures inversement balayées d'une mesure positive quelconque ix à tout compact F est bien déterminé dans tout Vespace,

Démonstration. Soient ijl et ijl" des mesures inversement balayées de à F. Alors, on a

U ^ \x ) =

Sur le problème du balayage généralisé 135

sur F. On peut écrire

JUi et /i2 étant des mesures positives portées par des sous-ensembles boréliens dis­joints E l et E2 de F respectivement. Comme on a

= U^2(x')

sur F, on a d’après le lemma 9

= cU ^ i(x )-a U ^ 2(x) =O

dans tout l ’espace. Comme on a

a = U djui = U 2djiii = C,

on a d’ailleurs

U^Kx) = U^2(x) ,

c’est-à-dire,U^Xx) = U^'Xx)

dans tout Fespace.

R em a r q u e . On n’a aucun résultat sur l’unicité de potentiels de mesures inversement balayées au cas où K{x, y) est un noyau positif, continu et symétrique qui est + 00 en x= y.

Le balayag:e faible.

D é f in i t io n . Un noyau K est dit satisfaire au principe du balayage faible par rapport au noyau N lorsque, étant donnés un compact F et un point p n’appar­tenant pas à F, il existe au moins une mesure positive I portée par F telle que

N (x,p)

sur F sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul. Cette mesure À est dite une

mesure faiblement balayée de la mesure ponctuelle placée en p sur F,Naturellement, si un noyau K satisfait au principe du balayage ordinaire ou

inverse par rapport au noyau N, il satisfait au principe du tijalayage faible par rapport au noyau N. On n’a pas un principe du maximum ou minimum qui caractérise des noyaux K satisfaisant au principe du balayage faible par rapport au noyau N. On va démontrer que Ie balayage faible équivaut au balayage ordinaire au cas où le noyau K est de type positif, et que le balayage faible équivaut au balayage inverse au cas où le noyau K est de type négatif.

T h é o r è m e 8. Soient K{x, y) et N{x, y) des noyaux positifs et continus en x et y qui pourront être +00 en x=y, et soit K symétrique. Si le noyau K est de type positif et satisfait au principe du balayage faible par rapport au noyau N, i l satis­fait au principe du balayage ordinaire par rapport au noyau N, Si le noyau K est de type négatif et satisfait au principe du balayage faible par rapport au noyau N, il satisfait au principe du balayage inverse par rapport au noyau N.

Démonstration, Supposons qu’un noyau K est de type positif et satisfait au principe du balayage faible par rapport au noyau N, Soient a une mesure positive à support compact F et p \m point n’appartenant pas à F tels que

U^(X) < N (x ,p )

sur F, Supposons qu’il y ait un point t (j^p) tel que

U % t)> N {t, p ) .

Soient G un compact de ^-diamètre transfini positif contenant le point t dans lequel

U%x) >NCx, p) ,

et (/JtQ, i o) un couple qui rend minimum

GC/. .) ^ f U^dMXf U^du (fu ^ d p y

parmi tout couple (ju, v) de mesures positives, ju portée par F et portée par G. Alors, on a d’après le Iemme 1(1) sur F sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul,(2) ^ i(jc )< 0 sur le support de jhq, et analoguement quant à où

a = U odfJto, j U odPo, j U^odi’Q,

(jc) = cU^o(x)-aU^o(x) et ^2W cU^^{x^-bU^o{x) .

Comme le noyau K est de type positif, on a

cg^{x)-\-ag2(.x) = {c^-ab)

136 Nobuyuki N in o m iy a

dans tout Tespace. Encore, comme on a

' ^ 2 ^ ^ O

sur le supports de sauf un ensemble de ET-diamètre transfini nul, on a

O

sur le support de sauf un ensemble de iT-diamètre transfini nul. En prenant une mesure faiblement balayée I de la mesure ponctuelle placée en p sur Funion des support de / o et de on a

J g,{.x) dKx) = C J Ui^odX-a j U odk

= C U^d/Mi-a U dVü = c J N(.x, p) diiü<ix)-a N{x, p) dvo(x) .

D’autre part, on a

^ da(x^ U^^da—a j U^oda

= C j U^^d/xo-a J C/*fi?v„< C J N(x, p) d n ,ix )- a J N<ix, p) dv,{x) ,

ce qui est contradictoire. Donc, on a

U%x) ^ N (x , p)

pour tout point x ^ p . En faisant x-^py on a

U^(P) ^ N (P y P ),

Donc, le noyau K satisfait au principe du maximum par rapport au noyau Ny c’est- à-dire, au principe du balayage ordinaire par rapport au noyau N. Ensuite, sup­posons qu’un noyau K est de type négatif et satisfait au principe du balayage faible par rapport au noyau N. Soient ^ une mesure positive à support compact

et un point n’appartenant pas à F tels que

U ^X )^ N (X y P)

sur F, Supposons qu’il y ait un point t (A-P tel que

U \t )< N { t y P ') ,

Soient G un compact contenant le point t dans lequel

U ^ Ç xX m X yP ) .

Le noyau K étant fini et continu en x et y y on peut considérer le maximum de

i f V^dvy

parmi tout couple v) de mesures positives, p. portée par F et v portée par G. Soit (/ 0, ^q) un couple maximal. Alors, on a d’après le lemme 6 Cl) ^ i(^ )^ O s u r F ,(2) sur le support de / o,

^ur le problème du balayage généralisé 137

et analoguement quant à gzÇx) sous les mêmes notations. Comme Ie noyau K est de type négatif, on a

+Cigz(X) = (c^-ah) • U^o(X)

dans tout Fespace. Encore, comme on a

g2(x) = Osur le support de i o, on a

sur le support de Pq . En prenant une mesure faiblement balayée À de la mesure ponctuelle placée en p sur Funion des supports de po et de Vo, on a

j gtix) dl{x) = C J U> odX-a J t/V/i

= C j U ^ d a U a = c J Nix, p) djUo(.x) - « j N(x, p) dvoix) .

D’autre part, on a

j gi(x)da,(x)=c^ U^oda “ j U' oda

= U^dP o - a j t / V v o > c N(x, p) dpo(x) - a ^ N {x , p) dPo(x) ’

ce qui est contradictoire. Donc, on a

U^(X) ^ N ( x , p)

pour tout point x ^ p . En faisant x -^ p, on a

U^(P) ^ N ( p , p ) ,

Donc, le noyau K satisfait au principe du minimum par rapport au noyau N, c’est-à-dire, au principe du balayage inverse par rapport au noyau N,

R e m a r q u e . La démonstration montre que le balayage faible équivaut au balayage ordinaire pourvu que K (x,x) = + ^ en tout point x, bien que le noyau K ne soit pas de type positif. En effect, la démonstration est valide si on a

cgi(x) +agz(x) = (c^-ab)-U^o(x) .

Pour cela, on n’a seulement à prendre un compact G contenant le point t de la manière que(1) K(x, y) > ^ > 0 pour tout x et y de F,(2) K(x, y)<^B<^ + o< pour tout a: de F et pour tout y de G,(3) K(x, y) y>B^/A pour tout et jv de G.

Bibliographie

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I3 â Kobuyuki N in oM îY A