PG. 1

Uma brevssima reviso das equaes e dos grficos de superfcies:

Elipside:

Centro C(0, 0, 0): x 2

a2fffffff+

y2

b2fffffff+

z2

c2ffffff

= 1

O sinais da equao so positivos. a, b e c so os eixos das elipses.

Centro C(h, k, l): x @ h` a2

a2fffffffffffffffffffffffff+

y@ kb c2

b2fffffffffffffffffffffffffff+

z@ l` a2

c2fffffffffffffffffffffff

= 1

Hiperbolide de uma folha:

Centro C(0, 0, 0). Um dos sinais sempre negativo.

(1) + + - : x2

a2fffffff+

y2

b2fffffff@

z2

c2ffffff

= 1

(2) + - + : x2

a2fffffff@

y2

b2fffffff+

z2

c2ffffff

= 1

(3) - + + : @ x2

a2fffffff+

y2

b2fffffff+

z2

c2ffffff

= 1

Hiperbolide de duas folhas:

Centro C(0, 0, 0). Dois sinais so sempre negativos.

(1) + - - : x2

a2fffffff@

y2

b2fffffff@

z2

c2ffffff

= 1

(2) - + - : @ x2

a2fffffff+

y2

b2fffffff@

z2

c2ffffff

= 1

(3) - - + : @ x2

a2fffffff@

y2

b2fffffff+

z2

c2ffffff

= 1

usuarioCaixa de textohttp://guidg.hd1.com.br/docs/mat/alga-1_superficies-quadricas.pdf

PG. 2

Parabolide Elptico:

Os sinais so iguais. ax, by, cz

(1) x2

a2fffffff+

y2

b2ffffffff

= cz

(2) x2

a2fffffff+

z2

c2fffffff

= by

(3) y2

b2ffffffff+

z2

c2fffffff

= ax

Parabolide Hiperblico (Sela):

Os sinais so contrrios.

(1) y2

b2fffffff@

x 2

a2fffffff

= cz

(2) z2

c2fffffff@

x 2

a2fffffff

= by

(3) z2

c2ffffff@

y2

b2fffffff

= ax

Superfcie Cnica:

Equaes semelhantes s do Elipside porem igualadas zero.

O termo de sinal negativo indica o eixo dos cones.

(1) eixo z (fig. ao lado): x2

a2fffffff+

y2

b2fffffff@

z2

c2ffffff

= 0

z=0 , a = b, obtm-se uma superfcie cnica circular. Mas se a b ento obtm-se uma superfcie cnica elptica. O mesmo se aplica nas demais equaes.

(2) eixo x: @ x2

a2fffffff+

y2

b2fffffff+

z2

c2ffffff

= 0

(3) eixo y: x2

a2fffffff@

y2

b2fffffff+

z2

c2ffffff

= 0

PG. 3

Superfcie Cilndrica:

O grfico se auto explica, mas faremos algumas consideraes

Imagine que voc tenha uma equao de uma curva, ento ela pode ser: uma circunferncia, elipse, hiprbole ou parbola, mas no limitando-se apenas estas curvas. Esta equao chamada de diretriz, porque realmente dar uma direo ao plano.

Imagine que as retas vermelhas esto avanando na direo (tanto faz o sentido) da curva azul, ento elas esto gerando o plano, por isso so as geratrizes.

Se as retas se movessem muito rpido na direo da diretriz, ento viramos apenas o seu rastro formando um plano (figura ao lado).

Exemplos:

x 2 = 2y x 2

4fffffff+

z2

9ffffff

= 1

Superfcies degeneradas: Ainda existem casos onde os grficos podem representar qudricas degeneradas, exemplos:

a) x - 16 = 0; dois planos paralelos: x = 4 e x = -4 b) 3y = 0; um plano: o plano y = 0 c) x + 2y = 0; uma reta: o eixo dos z. d) 2x + 4y + 5z = 0; um ponto: a origem (0,0,0) e) 3x + 2y + z = -3; o conjunto vazio.

(Exemplos do livro, pg;289, Observao.)

PG. 4

Livro, pg. 289, 8.6 Problemas Propostos, exerccio 01. Identificar as qudricas representadas pelas equaes:

b) 2x + 4y + z - 16 = 0

Soluo: 2x + 4y + z = 16

16ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

[x

8ffffff+

y4fffffff+

z16fffffff

= 1

x = 0 , y4fffffff+

z16fffffff

= 1 elipse: a = 4 , b = 2 .

y = 0 , x8ffffff+

z16fffffff

= 1

elipse: a = 4 , b = 8pwwwwwwwwwwwwwwwww

= 2 2pwwwwwwwwwwwwwwwww

2,83

z = 0 , x8ffffff+

y4fffffff

= 1

elipse: a = 8pwwwwwwwwwwwwwwwww

= 2 2pwwwwwwwwwwwwwwwww

2,83 , b = 2

Os grficos sero gerados por computador, e os esboos ficaro por conta do estudante.

Elipside

PG. 5

i) z = x + y

Soluo: x=0 , z = y Essa equao identifica uma parbola que intercepta o eixo z e percorre o eixo y

y=0 , x=z Essa equao identifica uma parbola que intercepta o eixo z e percorre o eixo x

z = x + y Essa equao identifica uma circunferncia, no centro do sistema xyz z=0, x+y=0 (raio = 0, no existe circunferncia) z=4, x+y=4 (raio = 2, existe circunferncia) e a medida que aumentamos z, o raio tambm aumenta (proporcionalmente), e o parabolide vai crescendo infinitamente!

Parabolide circular.

PG. 6

n) 4y + z - 4x = 0

Soluo:

Apenas manipulando a equao, dividindo tudo por 4 e isolando x. 4y2 + z2@ 4x = 0

4ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

[ y2 + z2

4ffffff

= x

Essa ltima equao, identifica uma elipse que varia no eixo x. Vemos que o eixo maior (2a) est em z, e o eixo menor (2b) em y. Dando valores para x, fica mais fcil de desenhar: x = 0 , no existe elipse!

x = 1 , y2 + z2

4ffffff

= 1 eixo maior em z, a=4 , b=1

logo a = 2 , b = 1

x = 4 , y2 + z2

4ffffff

= 4 [ y2

4fffffff+

z2

16fffffff

= 1 eixo maior em z, a=16, b=4

logo a = 4 , b = 2

Veja que se zerarmos y e depois z , temos as parbolas de equaes: z = 4x e y = x . A parbola cinza do grfico tem equao: z = 4x

Veja que a elipse aumenta conforme percorre o eixo x.

O software mudou o ngulo, mas os eixos onde a elipse varia, so os mesmos!

Parabolide elptico.

PG. 7

Prova de exame, exerccio 5 (Udesc 2009/2). Identificar as qudricas definidas pelas equaes e representar graficamente:

a) @ x2

4fffffff+

z2

9ffffff@

y2

4fffffff

= 1

b) y =@ x 2@ 3z2 + 2

Soluo:

a) O processo o mesmo veja (e voc tem que dominar o contedo de hiprboles).

x = 0, z2

9ffffff@

y2

4fffffff

= 1

Identifica uma hiprbole. No eixo z (3), e em y (2). Com esses pontos traamos as assntotas e depois a hiprbole.

y = 0, @ x2

4fffffff+

z2

9ffffff

= 1

Tambm identifica uma hiprbole no eixo z (3), e em x (2).

z = 0, aqui no existe curva.

Logo com as duas hiprboles j temos uma idia do que se trata e podemos fazer o grfico.

Na (fig. a) mostra-se as assntotas.

Em azul esto as do plano y0z, quando x = 0.

Em verde esto as do plano x0z, quando y = 0.

O significado das assntotas nesse caso, que o hiperbolide (de duas folhas) vai se aproximando das retas, mas nunca o tocando (isso nos da uma idia de como desenhar, por isso til).

Hiperbolide de duas folhas.

(fig.a)

(fig.b)

PG. 8

b) y =@ x 2@ 3z2 + 2

Soluo:

Um pouco confuso, mas manipulando chegamos a uma visualizao melhor da equao:

y@ 2 =@ x 2@ 3z2

x 2 + 3z2 = 2@ y

Agora dividindo por dois, isso por que quando fazemos y = 0, temos a equao igualada a um, e isso nos da uma elipse que varia no eixo y:

x 2

2fffffff+

3z22ffffffffff

=2@ y

2ffffffffffffffff

ou:x 2

2fffffff+

z2

32ffffffffff

=

2@ y2ffffffffffffffff

Ento quando y = 0 , x2

2fffffff+

z2

32ffffffffff

= 1

Isso identifica uma elipse com eixo maior em x, e eixo menor em y.

Voltando a equao dada temos: y =@ x 2@ 3z2 + 2

E quando fazemos z = 0 y =@ x 2 + 2

Isso identifica uma parbola no eixo 0y (em relao x) com concavidade negativa.

E quando x = 0 y =@ 3z2 + 2

temos uma parbola tambm no eixo 0y (mas em relao z), com concavidade negativa.

Logo, duas parbolas negativas e uma elipse que varia no eixo y.

Parabolide elptico.

Podemos ver as parbolas e a elipse, siga as cores. Neste grfico somente uma parte das curvas foram

feitas.

Neste grfico podemos ver bem a elipse (como se fosse a boca do grfico) que define o parabolide

elptico.

PG. 9

Prova, exerccio 4 (4,0 pts.) (Udesc 2009/2). Identificar as seguintes superfcies e representar graficamente:

As anlises ficam por conta do estudante, veja os grficos e exercite!

a) z = -x -2y+1

b) @ x2

4fffffff+

z2

9ffffff

= 1 + y2

4fffffff

c) z2

4ffffff@

y2

9fffffff

= 3x

d) z - y = 1

e) x + z - 2z = 0

f) 36x -72x +4y +9z = 36

Soluo:

a) Parabolide elptico

b)Hiperbolide de duas folhas

c) Parabolide Hiperblico

d) Superfcie Cilndrica Parablica.

e) Superfcie cilndrica circular.

f) Elipside.