Superficies CudricasUna cudrica o superficie cudrica, es una hipersuperficie D-dimensional representada por una ecuacin de segundo grado con variables (coordenadas) espaciales. Si estas coordenadas son la cudrica tpica en ese espacio se define mediante la ecuacin algebraica: , entonces

Donde Q es una matriz cuadrada de dimensin (D), P es un vector de dimensin (D) y R es una constante. Si bien Q, P y R son por lo general reales o complejos, una cudrica puede definirse en general sobre cualquier anillo. Ecuacin cartesiana La ecuacin cartesiana de una superficie cudrica es de la forma:

La definicin algebraica de las cudricas tiene el defecto de incluir casos sin inters geomtrico y sin vnculo con el tema. Por ejemplo, la ecuacin:

es de segundo grado pero, tambin se puede escribir como:

Que equivale a: , una ecuacin de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados. Ecuacin normalizada La ecuacin normalizada de una cudrica tridimensional (D = 3), centrada en el origen (0, 0, 0) de un espacio tridimensional, es:

Tipos de cudricas Por medio de traslaciones y rotaciones cualquier cudrica se puede transformar en una de las formas "normalizadas". En el espacio tridimensional eucldeo, existen 16 formas normalizadas; las ms interesantes son las siguientes:

ElipsoideLa grfica de la ecuacin corresponde a un elipsoide.

Es simtrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene interseccin con los ejes coordenados en (+- a,0,0), (0,+-b,0), y (0,0,+-c) .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un nico punto o una elipse. La figura 1 muestra su grfica.

Figura 1. Elipsoide

Paraboloide elpticoLa grfica de la ecuacin es un paraboloide elptico.

Sus trazas sobre planos horizontales

son elipse:

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean

o

son parbola.

Figura 2. Paraboloide elptico

Paraboloide hiperblicoLa grfica de la ecuacin es un paraboloide hiperblico:

Sus trazas sobre planos horizontales

son hiprbolas o dos rectas (

).

Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano

son parbolas que abren hacia abajo, mientras son parbolas que abren hacia arriba.

Su grfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.

Figura 3. Paraboloide hiperblico

Cono elpticoLa grfica de la ecuacin es un cono elptico:

Sus trazas sobre planos horizontales

son elipses.

Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hiprbolas o un par de rectas.

Su grfica se muestra en la figura 4.

Figura 4. Cono elptico

Hiperboloide de una hojaLa grfica de la ecuacin es un hiperboloide de una hoja:

Sus trazas sobre planos horizontales

son elipses

Sus trazas sobre planos verticales son hiprbolas o un par de rectas que se intersecan.

Su grfica se muestra en la figura 5.

. Figura 5. Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojasLa grfica de la ecuacin es un hiperboloide de dos hojas:

Su grfica consta de dos hojas separadas. Sus trazas sobre planos horizontales 6). son elipses y sobre planos verticales son hiprbolas (figura