superficies cuádricasy de revolucion

5/10/2018 superficies Cu dricasy de revolucion - slidepdf.com

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Cuádricas

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Definición

Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio ( x,y,z ) que verifican una

ecuación de segundo grado del tipo

La ecuación de una cuádrica se puede escribir en forma matricial como

donde

Denotaremos por la matriz que define la cuádrica y por A00 la matriz adjuntadel elementoa00 en A.

Clasificación

Las cuádricas se clasifican de acuerdo a su signatura σ , es decir, el módulo de la diferenciaentre el número de autovalores positivos y negativos de A00. Sin embargo, para calcular lasignatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia de

unas cantidades invariantes asociadas a A00 que permiten determinar σ sin necesidad decalcular explícitamente sus autovalores. Veámoslo:

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/INICIALES/marco_principal.htm

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/INICIALES/marco_principal.htm



los autovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las soluciones de la

ecuación . Ahora bien,

con

Cuando los tres autovalores de A00 son no nulos, es decir, det A00 ≠ 0, si escribimos la

sucesión K, J, I, 1 y denotamos por P y V el número de permanencias y variaciones de signoque hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = σ . Los valores I, J, K se conocencomo invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene:

1. Si σ = 3 :

1. det A > 0 ---> elipsoide real

2. det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales queverifican la ecuación)

3. det A = 0 ---> cono imaginario

2. Si σ = 1 :

1. det A > 0 ---> hiperboloide hiperbólico (de una hoja)2. det A < 0 ---> hiperboloide elíptico (de dos hojas)3. det A = 0 ---> cono real

Si alguno de los autovalores es nulo (det A00 = 0) pero el determinante de A es distinto decero, entonces;

1. Si J > 0 ---> paraboloide elíptico

2. Si J < 0 ---> paraboloide hiperbólico

Si det A = det A00 = 0, hay que introducir nuevos invariantes para completar la clasificación

donde Aii representa la matriz adjunta del elemento aii en A para i=1,2,3.

Con estos nuevos invariantes se tiene

1. J > 0



1. K' ≠ 0 y signo K' = signo I ---> cilindro elíptico imaginario

2. K' ≠ 0 y signo K' ≠ signo I ---> cilindro elíptico real3. K' = 0 ---> par de planos imaginarios secantes

2. J < 0

1. K' ≠ 0 ----> cilindro hiperbólico2. K' = 0 ----> par de planos reales secantes

3. J = 0 y I ≠ 0

1. K' ≠ 0 ----> cilindro parabólico

2. K' = 0 y J' > 0 -- --> par de planos imaginarios paralelos

distintos3. K' = 0 y J' < 0 -----> par de planos reales paralelos distintos4. K' = 0 y J' = 0 ----> par de planos coincidentes

En la tabla siguiente se resume la clasificación anterior:

Clasificación de las Cuádricas

det A00 ≠ 0

σ = 3

det A > 0 Elipsoide Real

det A < 0 Elipsoide Imaginario

det A = 0 Cono Imaginario

σ = 1

det A > 0 Hiperboloide Hiperbólico

det A < 0 Hiperboloide Elíptico

det A = 0 Cono Real

det A00 = 0

det

A≠ 0

J > 0 Paraboloide Elíptico

J < 0 Paraboloide Hiperbólico

det A

= 0

J > 0

K'≠ 0 , signo K' = signo I Cilindroelíptico imaginario

K' ≠ 0 , signo K' ≠ signo

I Cilindro elíptico real

K' = 0 Par de planosimaginarios secantes

J < 0K' ≠ 0 Cilindro hiperbólicoK' = 0 Par de planos realessecantes

J = 0

I ≠

0

K' ≠ 0 Cilindro Parabólico

K' = 0, J' > 0 Par de planosimaginarios paralelos distintos

K' = 0, J' < 0 Par de planosreales paralelos distintos

K' = 0, J' = 0 Par de planoscoincidentes

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Cuadricas/cuadricas.htm#elipsoide

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Cuadricas/cuadricas.htm#hiperboloidehiperbolico

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Cuadricas/cuadricas.htm#hiperboloideeliptico

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Cuadricas/cuadricas.htm#paraboloideeliptico

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Cuadricas/cuadricas.htm#paraboloidehiperbolico








Centro

Plano polar: Dado un punto P = ( x 0 ,y0 ,z 0) ∈ IR3 se define el plano polar de P respecto a la

cuádrica de matrizA como el plano de ecuación

Si P pertenece a la cuádrica, entonces el plano polar de P coincide con el plano tangente adicha superficie enP.

No todos los puntos poseen plano polar. La condición para que un punto ( x, y, z ) no lo tengaes que verifique el sistema de ecuaciones

que geométricamente se interpreta como la intersección de tres planos.

Si det A00≠ 0, entonces el sistema es compatible y tiene solución única. El punto solución seconoce comocentro de la cuádrica.

Si det A00= 0 pueden ocurrir tres cosas, si det A=0 y los rangos de ambas matrices soniguales a 2 el sistema posee una recta de soluciones, entonces se dice que la cuádrica tieneuna recta de centros. Por otro lado, sidet A=0 y el rango de ambas matrices es igual a 1 existeun plano de soluciones, y se dice que la cuádrica tiene un plano de centros. Finalmente, si losrangos difieren o det A ≠ 0 el sistema no tiene solución, en tal caso la cuádrica carece decentro, recta o plano de centros.

Así, se tiene:

• Cuádricas con centro: elipsoides, hiperboloides y conos.

• Cuádricas con eje de centros: cilindros elípticos e hiperbólicos y pares de planossecantes.

• Cuádricas con plano de centros: pares de planos paralelos o coincidentes.

• El resto de las cuádricas no posee centro (lo tiene en el

infinito): paraboloides y cilindros parabólicos.

El centro es un punto de simetría de la cuádrica, el eje y el plano de centros son a su vez ejey plano de simetría.

Ejemplo:

Consideremos la cuádrica de ecuación

Esta cuádrica es un elipsoide (véase la tabla de clasificación). El plano polar por el punto (2,

1, 3) es el plano de ecuación



que corta a la superficie (nótese que (2, 1, 3) es exterior a la superficie como se ve en lafigura siguiente).

El centro de la cuádrica es la solución del sistema de ecuaciones

que en este caso resulta ser el origen de coordenadas.



En las figuras siguientes vemos los planos polares en los puntos (0, 1, 1/2) y (0, 2, 0):

En el primer caso el punto es interior a la superficie y el plano polar es exterior a la misma,mientras que en el segundo caso el punto e stá sobre el elipsoide y el plano polar coincidecon el plano tangente a la superficie en dicho punto.

Ecuación reducida

La ecuación reducida de una cuádrica es aquella ecuación simplificada que representa lasuperficie con su centro (si lo tiene) situado en el origen de coordenadas mientras que losejes coordenados tienen relaciones particulares con la cuádrica.

Partiendo de la ecuación general de una cuádrica se puede llegar a su ecuación reducidaaplicandole consecutivamente un giro y una translación de forma adecuada aunque enalgunos casos especiales es necesario aplicar después de esta última un giro plano.

A continuación recogemos los tipos de ecuaciones reducidas y que cuádricas representan, así como la forma de obtenerlas a partir de los invariantes.



Denotemos por , y las raíces de , entonces:

• Elipsoides, hiperboloides y conos:

donde

elipsoide hiperboloide hiperbólico

hiperboloide elíptico cono

• Paraboloides:

donde



paraboloide elíptico paraboloide hiperbólico

• Cilindro elíptico e hiperbólico y pares de planos secantes:

donde

cilindro elíptico cilindro hiperbólico par de planos secantes

• Cilindro parabólico:

donde



cilindro parabólico

• Pares de planos paralelos:

donde

par de planos paralelos

Cuádricas no degeneradas

ElipsoideHiperboloide

hiperbólico

Hiperboloide

elíptico

Paraboloide

elíptico

Paraboloide

hiperbólico

Elipsoide





















Un ejemplo real

Ecuación reducida:

La cuádrica tiene signatura 3 y los autovalores de la matriz A00 son los tres positivos.Los cortes del elipsoide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas de tipoelipse (en lo siguiente se supone que el elipsoide esta centrado en el origen de coordenadasy tiene la ecuación reducida que se da arriba):

• Cortes por planos z = α

Si α < c la curva de corte es una elipse de ecuación

donde



•

• Si α> c no hay intersección real.Si α= c la intersección se reduce a un punto, siendo el plano tangente a lasuperficie elíptica.

• Para cortes con planos de la forma y = α ó x = α el resultado es análogo al

anterior intercambiando el papel de las variables de forma adecuada.

(corte por un plano y = α con 0 < α < b)

•



(corte por un plano x = α con 0 < α < a)

Hiperboloide hiperbólico

Un ejemplo real

Ecuación reducida:



La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos positivos y unonegativo.Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (en losiguiente se supone que el hiperboloide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene lapimera de las ecuaciones reducidas dadas arriba):


La curva de corte es una elipse de ecuación

donde

( α > 0 )



( α = 0, elipse de garganta )

• Cortes por planos x = α

El corte es la hipérbola de ecuación

donde

( α = 0 ) ( α > 0 )

• Cortes por planos y = αEl corte es una hipérbola como la del caso anterior donde los papeles de x e y se hanintercambiado.

El hiperboloide hiperbólico puede ser visto también como una superficie de revoluciónengendrada al girar una hiperbola alrededor del eje de la cuádrica (en el caso de la ecuaciónreducida que estamos utilizando, el eje z) describiendo una elipse.



Además el hiperboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada puesto quecontiene a las dos familias de rectas. Veamoslo, la ecuación del hiperboloide se puedeescribir como

Entonces cualquier punto que satisface la ecuación del hiperboloide satisface el siguienteconjunto de ecuaciones para algun valor del parametro.

Cada una de las ecuaciones anteriores representa un plano luego finalmente tenemos un parde rectas contenidas en el hiperboloide.

Hiperboloide elíptico

Un ejemplo real

Ecuación reducida:



(En las figuras anteriores a = b = c)

La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos negativos y unopositivo.Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (Eldesarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las ecuaciones reducidas)


la intersección es una hipérbola de ecuación



donde

• Corte por planos y = α

el resultado es análogo al anterior intercambiando los papeles de y y z

• Cortes por planos x = α

si |α | > a, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de ecuación

donde



x = α > a x = -α < -a

•

•

si |α | < a no hay intersección real.

si |α | = a, entonces la intersección se reduce a un punto y el plano en cuestión estangente a la superficie.

( α = 0 )

A continuación incluimos otros dibujos en los cuales el hiperboloide tiene la segundaecuación reducida y los parámetros a,b y c son distintos

• (corte por plano z = α > c)



• (corte por plano y = α > 0)

• (corte por plano x = α > 0)



Paraboloide elíptico

Un ejemplo real



Ecuación reducida:

Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas, (en losiguiente se supone que el parabolide tiene la ecuación reducida que se da arriba):


si α > 0, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de semiejes a y b con

ecuación



( α > 0 )

•

si α < 0, entonces no existe intersección.

si α = 0 la intersección se reduce a un punto, siendo la superficie cuádrica tangenteal plano en dicho punto.

(α < 0)

• Corte por planos y = α o por planos x = α las curvas intersección son las

parábolas



(corte por plano y = α = 0 )

(corte por plano x = α >0 )

Paraboloide hiperbólico

Un ejemplo real



(Foto cedida por el Prof. D. Juan M. Báez Mezquita)

Ecuación reducida:

En lo que sigue utilizaremos la primera de las ecuaciones reducidas.

El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por las familias de rectas:



Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas:


si α ≠ 0, entonces la curva intersección es una hipérbola de

ecuación

(α > 0)

(α < 0)

•



• si α = 0, entonces la intersección es un par de rectas que se cortan en el origen decoordenadas

•

(α = 0)

• Cortes por planos y = α o por planos x = α

las curvas intersección son las parábolas yrespectivamente.



( y = α = 0)

( x = α = 0 )

A continuación presentamos figuras donde se ha cortado el paraboloide hiperbólico por planooblicuos no paralelos a los coordenados



Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz,

alrededor de una rectadirectriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos

comunes de una superficie de revolución son:

Superficie de revolución.

♣ Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de

rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominadocilindro, que se denomina sólido

de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denominaradio.

♣ Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual

interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es

constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.

♣ Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de

su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.

http://es.wikipedia.org/wiki/Rotaci%C3%B3n



http://es.wikipedia.org/wiki/Curva


http://es.wikipedia.org/wiki/Generatriz



http://es.wikipedia.org/wiki/Directriz


http://es.wikipedia.org/wiki/Eje_de_rotaci%C3%B3n


http://es.wikipedia.org/wiki/Recta


http://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro_(geometr%C3%ADa)


http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_de_revoluci%C3%B3n




http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)


http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)


http://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)


http://es.wikipedia.org/wiki/Semic%C3%ADrculo



http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Esfera


http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Rotationskoerper_animation.gif

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Rotationskoerper_animation.gif












http://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)



http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro




♣ Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferenciaalrededor de un eje

que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

Aplicaciones

La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en

el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad

de medir la longitud o el radio del objeto.

La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran

utilidad y uso cotidiano.

Cuádrica

Una cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma:

donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas .

Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal

y unitario, y las coordenadas se l laman x , y , z .

Hiperboloide de una hoja.

Historia

Fueron los matemáticos griegos de la antigüedad quienes iniciaron el estudio de las cuádricas, con el cono (una

cuádrica) y sus secciones, que son las cuádricas en el plano bidimensional, aunque no emplearon ecuaciones.

Definición algebraica

Una cuádrica o superficie cuádrica, es una hipersuperficie D-dimensional representada por una ecuación de segundo

grado con variables (coordenadas) espaciales. Si estas coordenadas son , entonces la

cuádrica típica en ese espacio se define mediante laecuación algebraica:

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometr%C3%ADa)


http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica


http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Dise%C3%B1o



http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud

http://es.wikipedia.org/wiki/Alfarer%C3%ADa



http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Torneado&action=edit&redlink=1


http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)



http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n


http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real






http://es.wikipedia.org/wiki/Hipersuperficie




http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hyperb1N.png

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hyperb1N.png

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia



http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa


http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud





http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio







donde Q es una matriz cuadrada de dimensión (D), P es un vector de dimensión (D) y R es una constante. Si

bien Q, P y R son por lo general reales o complejos, una cuádrica puede definirse en general sobre

cualquier anillo.

Ecuación cartesiana

La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:

♣La definición algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y

sin vínculo con el tema.

Por ejemplo, la ecuación:

es de segundo grado pero, también se puede escribir como:

que equivale a:

,

una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene

las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan

todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.

Ecuación normalizada

La ecuación normalizada de una cuádrica tridimensional (D = 3), centrada en el

origen (0, 0, 0) de un espacio tridimensional, es:

Tipos de cuádricas

Por medio de traslaciones y rotaciones cualquier cuádrica se puede

transformar en una de las formas "normalizadas". En el espacio tridimensional

euclídeo, existen 16 formas normalizadas; las más interesantes son las

siguientes:

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada


http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)





http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo



http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)









elipsoide

→ esferoide (caso particular de

elipsoide)

→ esfera (caso particular de

esferoide)

paraboloide

→ paraboloide hiperbólico (caso

particular de paraboloide)

→ paraboloide elíptico (caso particular

de paraboloide)

→ paraboloide circular (caso

particular de paraboloide elíptico)

hiperboloide

→ hiperboloide de una hoja (caso

particular de hiperboloide)

→ hiperboloide de dos hojas (caso

particular de hiperboloide)

cilindro

→ cilindro elíptico (caso particular de

cilindro)

→ cilindro circular (caso particular de cilindro elíptico)

http://es.wikipedia.org/wiki/Elipsoide

http://es.wikipedia.org/wiki/Esferoide






http://es.wikipedia.org/wiki/Paraboloide







http://es.wikipedia.org/wiki/Hiperboloide





http://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro







http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Quadric_Elliptic_Cylinder.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Quadric_Hyperboloid_2.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Quadric_Hyperboloid_1.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Quadric_Elliptic_Paraboloid.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Quadric_Hyperbolic_Paraboloid.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Quadric_Ellipsoid.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Elipsoide















→ cilindro hiperbólico (caso particular de cilindro)

→ cilindro parabólico (caso particular

de cilindro)

cono elíptico

→ cono circular (caso particular de

cono elíptico)

En el espacio proyectivo real, el elipsoide, el hiperboloide elíptico y el

paraboloide elíptico son similares; los dos paraboloides hiperbólicos tampoco

se diferencian entre ellos (por ser superficies regladas; el cono y el cilindro

tampoco son distintos entre sí (por ser cuádricas "degeneradas"). En

el espacio proyectivo complejo todas las cuádricas no degeneradas resultan

indistinguibles entre ellas.

Superficies cuadráticas

Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al

espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.

Definición (superficies cuadráticas)

La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables

se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.







http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_c%C3%B3nica



http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_proyectivo


http://es.wikipedia.org/wiki/Superficies_Regladas



http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_proyectivo_complejo


http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Quadric_Cone.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Quadric_Parabolic_Cylinder.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Quadric_Hyperbolic_Cylinder.jpg










Observación: en la ecuación de segundo

grado deliberadamente no

hemos incluido los términos mixtos , y , pues la presencia de estos

genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso

Elipsoide

La gráfica de la ecuación:

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres

planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en

), y .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos

coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.

Figura 1. Elipsoide

[Ver en ambiente 3D-JviewD]

Paraboloide elíptico

La gráfica de la ecuación

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/software/1elipsoide.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/software/1elipsoide.html



es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales sonelipse :

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean o son parábola.

Figura 2. Paraboloide elíptico


Paraboloide hiperbólico


es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales son

hipérbolas o dos rectas ( ). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/software/2paraboloide.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/software/2paraboloide.html



planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia arriba. Su

gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.

Figura 3. Paraboloide hiperbólico


Cono elíptico


es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales son elipses.Sus

trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su

gráfica se muestra en la figura 4.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/software/6silla.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/software/6silla.html



Figura 4. Cono elíptico


Hiperboloide de una hoja


es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales son

elipses

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se

intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5.

.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/software/3cono.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/software/3cono.html



Figura 5. Hiperboloide de una hoja

[Ver en ambiente 3D]

Hiperboloide de dos hojas


es un hiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus

trazas sobre planos horizontales son elipses y sobre planos verticales

son hipérbolas (figura 6).

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/3D-Web/41Hoja.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/3D-Web/41Hoja.html



Figura 6. Hiperboloide de dos hojas

superficies cuádricasy de revolucion

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