sturm liouville operatoru icin nodal noktalara gore ters problemler uzerine on some inverse problems...
TRANSCRIPT
T.C.
FIRAT ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ İÇİN NODAL NOKTALARA GÖRE
TERS PROBLEMLER ÜZERİNE
Neslihan CEYLAN
Tez Yöneticisi Prof.Dr. Etibar PENAHOV
YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI
ELAZIĞ, 2006
T.C.
FIRAT ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ İÇİN NODAL NOKTALARA GÖRE
TERS PROBLEMLER ÜZERİNE
Neslihan CEYLAN
Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı
Bu tez ………… tarihinde aşağıda belirtilen jüri tarafından oybirliği ile
başarılı/başarısız olarak değerlendirilmiştir. Danışman: Prof.Dr. Etibar PENAHOV Üye: Prof.Dr. Salih ÖZÇELİK
Üye: Yrd. Doç. Dr. Mahmut IŞIK Bu tezin kabulü, Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun ……./…..
ve ……………… sayılı kararıyla onaylanmıştır.
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın hazırlanmasında gerekli bütün imkanları sağlayarak bana yardımcı olan, her zaman yakın ilgi ve imkanlarını esirgemeyen saygıdeğer hocalarım ; Prof.Dr. Etibar PENAHOV ‘ a ve Araş.Gör. Erdal BAŞ ‘a şükranlarımı sunmayı bir borç bilir , saygılarımı sunarım. Neslihan CEYLAN
I
İÇİNDEKİLER
Sayfa İÇİNDEKİLER I SİMGELER II ÖZET III ABSTRACT IV GİRİŞ……………………………………………………………………………………...1 1. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER……………………………………………5 2. STURM-LİOUVİLLE OPERATÖRÜ 2.1 Sturm-Liouville Operatörü İçin Genel Bilgiler……………………………………….9 2.2 Regüler ve Singüler Sturm-Liouville Problemi……………………………………...14 2.3 Özdeğerler ve Özfonksiyonlar için Asimptotik Formüller……………………..........14 2.4 Özfonksiyonların Sıfırları………………………………………………………........23 3. TERS NODAL PROBLEMLER ÜZERİNE 3.1 Ters Nodal Problemlerin Çözümleri………………..…………………………...…..28 3.2 Yeni Ters Nodal Problem……………………………...……………………………30 3.3 Vektörel Ters Nodal Problem………………………………………………………34 4. YANG’ A GÖRE TERS NODAL PROBLEM 4.1 Ön Hazırlık……………………………………………………………………….......37 5. VEKTÖREL TERS NODAL PROBLEM 5.1 Dirichlet Sınır Şartları………………………………………………………………..40 5.2 Diğer Sınır Şartları…………………………………………………………………...48 5.3 Nodal Noktalara Göre Ters Problemin Tekliğine İlişkin Bazı Sonuçlar……...……..56 KAYNAKLAR…………………………………………………………………………..65 ÖZGEÇMİŞ……………………………………………………………………………...69
II
SİMGELER
H : Hilbert uzayı
[ ]baL ,2 : Karesi integrallenebilen fonksiyonlar uzayı
L : Lineer operatör
∗L : L operatörünün adjointi
λ : Özdeğer
),( λxy : Özfonksiyon
nα : Normlaştırıcı Sayılar
),( gfW : Wronskian determinantı
∞
=1}{ nnλ : Özdeğerlerin cümlesi
k
nl : Nodal uzunluk
III
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ İÇİN NODAL NOKTALARA GÖRE TERS PROBLEM ÜZERİNE
Neslihan CEYLAN
Fırat Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
2006,Sayfa:69
Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; Diferensiyel operatörlerin Spektral teorisinde sık sık kullanılan
bazı temel tanımlar ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde ;Sturm-Liouville operatörü için genel bilgiler , regüler ve singüler
Sturm-Liouville problemi, özdeğerler ve özfonksiyonlar için asimptotik formüller, özfonksiyonların sıfırları ve osilasyon teoremi incelenmiştir.
Üçüncü bölümde; Ters nodal problem ve vektörel ters nodal problem ile ilgili açıklamalar ve teoremler verilmiştir.
Dördüncü bölümde; Yang’a göre ters nodal problem incelenerek açılım teoreminin ispatı yapılmıştır.
Beşinci bölümde;Vektörel Sturm-Liouville denklemi için Dirichlet ve diğer sınır şartları verilmiştir. Son kısımda ayrıca nodal noktalara göre ters problemin tekliğine ilişkin bazı sonuçlar verilmiştir.
Anahtar Kelimeler:Sturm-Liouville operatörü,özdeğer,özfonksiyon,nodal nokta,
osilasyon teoremi,ters nodal problem, spektrum, Dirichlet şartı, regüler ve singüler operatör.
IV
ABSTRACT
Masters Thesıs
ON SOME INVERSE PROBLEMS AS TO NODAL POINTS OF
STURM-LIOUVILLE OPERATORS
Neslihan CEYLAN
Fırat University
Graduate School of Science and Technology
Department of Mathematics
2006, Page:69
This study is arranged in five chapters.
In the first chapter; Some fundamental definitions and theorems that use often in
Spectral theory of Differential operators are given.
In the second chapter; General informations of Sturm-Liouville operators, regular
and singular Sturm-Liouville operators, asymptotic formulas for the eigenvalues and
eigenfunctions, zeros of eigenfunctions and oscillation theorem are examined.
In the third chapter; Inverse nodal problem and vectorial inverse nodal problem
are given.
In the fourth chapter; The inverse nodal problem due to Yang is examined and
proof of main theorem is given.
In the fifth chapter;Dirichlet and other boundary conditions of vectorial Sturm-
Liouville equation are examined. Seperately, inverse spectral theory using nodal points as
data a uniqueness result is examined.
Keywords: Sturm-Liouville Operators, eigenvalues , eigenfunctions, nodal points,
oscillation theorem, inverse nodal problem, spectrum, dirichlet conditions,regular and
singular operators
1
GİRİŞ
Operatörlerin spektral teorisi , matematik,fizik ve mekaniğin pek çok alanlarında
geniş bir şekilde kullanılmaktadır. Lineer operatörlerin spektral teorisinin esas kaynakları
aynı zamanda lineer cebir ve titreşim teorisinin problemleridir. Lineer cebir problemleri
ve titreşim problemleri arasındaki benzerliklerin tanımlanması çok eskilere
dayanmaktadır. İntegral denklemler teorisiyle ilgili yapılan çalışmalarda bu
benzerliklerden yararlanan ilk bilim adamı Hilbert olmuştur.
Özellikle 2l ve H soyut Hilbert uzayı tanımlandıktan sonra Hilbert uzayında
lineer self adjoint operatörler teorisi hızla gelişmeye başlamıştır ve özellikle XIX.-XX.
Asırlarda bu konularda çalışan bir çok matematikçi tarafından söz konusu teori oldukça
geliştirilerek üst seviyelere ulaşmıştır. Bu çalışmalarda özdeğerler , özfonksiyonlar ,
spektral fonksiyon , normlaştırıcı sayılar gibi spektral veriler tanımlanmış ve farklı
yöntemlerle veriler yardımıyla asimptotik formüller bulunmuştur. Ayrıca spektral teori
için önemli yere sahip olan açılım teoremleri ispatlanmıştır.
Regüler ve singüler olmak üzere iki tür diferensiyel operatör tanımlanmış ,
bunların spektral teorileri yapılandırılmıştır. Tanım bölgesi sonlu ve katsayıları sürekli
fonksiyonlar olan diferensiyel operatöre regüler , tanım bölgesi sonsuz veya katsayıları
sonlu sayıda süreksiz nokta olan diferensiyel operatörlere singülerdir denir. İkinci
mertebeden regüler operatörler için spektral teori günümüzde Sturm-Liouville teorisi
olarak bilinir. XIX. asrın sonlarında ikinci mertebeden diferensiyel operatörler için sonlu
aralıkta regüler sınır şartları sağlanacak şekilde keyfi mertebeden adi diferensiyel
operatörlerin özdeğerlerinin dağılımı G.D.Birkoff tarafından incelenmiştir. Diskret
spektrumuna sahip ve uzayın tamamında tanımlı operatörlerinin özdeğerlerinin dağılımı ,
özellikle Kuantum mekaniğinde oldukça önem taşımaktadır. Birinci mertebeden iki
denklemin regüler sistemleri daha sonraki yıllarda ele alınmıştır. Singüler operatörler için
spektral teori ilk olarak H. Weyl tarfından incelenmiştir. Daha sonra F.Riesz, J.von
Neumann, K.O. Friedrichs ve diğer matematikçiler tarafından simetrik ve self-adjoint
operatörlerin genel spektral teorisi elde edilmiştir.
İkinci mertebeden singüler operatörlerin spektral teorisine yeni bir yaklaşımı
1946 yılında E.C. Titchmarsh vermiştir. Doğru ekseninde tanımlı azalan veya artan
potansiyelli
)(2
2
xqdx
dL +−=
2
Sturm-Liouville operatörleri için özdeğerlerin dağılımı formülü Titchmarsh tarafından
bulunmuştur. Son yıllarda bu operatöre bir boyutlu )(xq potansiyeli Schrödinger
operatörü de denir. Singüler diferensiyel operatörlerin incelenmesine ilişkin ve
diferensiyel operatörlerin spektral teorisinde önemli yere sahip olan çalışmalar 1949
yılında B.M.Levitan tarafından yapılmıştır. Farklı singüler durumlarda diferensiyel
operatörlerin spektral teorisi, özellikle özdeğerlerin , özfonksiyonların asimptotikliğine ve
özfonksiyonların tamlığına ilişkin konular R.Courant , T.Carleman , M.S.Birman ,
M.Z.Salamyak , V.P.Maslov , M.V.Keldish gibi matematikçiler tarafından geliştirilmiştir.
Diferensiyel operatörler için ters problem şöyle tanımlanır:
1. Hangi spektral verilere göre operatörün kendisini bulmak mümkündür.
2. Spektral verilere göre operatör birebir olarak tanımlanmaktadır.
3. Bu verilere göre operatörlerin tanımlanması yöntemlerinin bulunmasıdır.
Ters problemlerle ilgili ilk sonuç V.A. Ambarstsumyan tarafından elde edilmiştir.
Bu çalışmada Sturm-Liouville operatörleri için ters probleme ilişkin aşağıdaki teorem
ispatlanmıştır.
Teorem1. [ ]π,0),(xq aralığında reel değerli sürekli fonksiyon olmak üzere
,...,...,, 10 nλλλ
( ) 0)( =−+′′ yxqy λ , π≤≤ x0 (1)
( ) ( ) 00 =′=′ πyy (2)
probleminin özdeğerleri olsun. Eğer ,...)1,0(2 == nnnλ ise 0)( =xq dır. Bu sonucu
ilk İsveç matematikçi G.Borg bulmuştur. Borg , genel durumda Sturm-Liouville
operatörünün tek spektrumla tanımlandığını göstermiştir. Ayrıca farklı sınır şartları
sağlanacak şekilde iki spektruma göre Sturm-Liouville operatörünün birebir olarak
tanımlandığını göstermiş ve aşağıdaki teoremi ispatlamıştır.
Teorem2. ,...,...,, 10 nλλλ (1) diferensiyel denklemi ve
( ) ( ) 000 =′−′ yhy (3)
( ) ( ) 0=′+′ ππ yHy (4)
sınır koşulları ile verilen problemin , ,...,...,, 10 nµµµ ise (1) denklemi ve
( ) ( ) 000 1 =′−′ yhy , )( 1hh ≠ (5)
( ) ( ) 0=′+′ ππ yHy
sınır koşulları ile verilen problemin özdeğerleri olsunlar. O halde { }nλ ve { }nµ ,
(n=0,1,…) dizileri )(xq fonksiyonunu ve sonlu 1,hh ve H sayılarını tek olarak belirtir.
3
Daha sonra potansiyelinin )()( xqxq −= π koşulunu sağlaması durumunda bir
spektrumun Sturm-Liouville operatörünü tanımladığını N.Levinson ispatlamıştır. Ayrıca
negatif özdeğerlerin mevcut olmadığı durumda , saçılma fazının potansiyelini birebir
olarak tanımladığı gösterilmiştir.
Sturm-Liouville denkleminin inceleme sürecinde kullanılan yöntemlerden biride
ters problemin çözümünde önemli bir etken olan dönüşüm operatörü kavramı olmuştur.
Bu kavram operatörlerin genelleştirilmiş ötelemesi teorisi J.Delsarte , J.Lions ve
B.M.Levitan tarafından verilmiştir. Keyfi Sturm-Liouville denklemleri için dönüşüm
operatörünün yapısını ilk olarak A.V.Povzner kendi çalışmalarında göstermiştir.
Bu çalışmalardan sonra ikinci mertebeden lineer diferensiyel operatörler için ters
problemler teorisinde teklik problemleriyle ilgili en önemli çalışmalar A.N.Tichknof ve
V.A.Marchenko tarafından yapılmıştır. Marchenko bu çalışmasında teklik problemlerinin
çözümünde Sturm-Liouville operatörünün spektral fonksiyonundan yararlanmıştır.
( )λϕ ,x fonksiyonu (1) diferensiyel denkleminin
( ) 0,0 =λϕ , ( ) h=′ λϕ ,0 (6)
başlangıç koşullarını sağlayan çözümü , ( ) ( )xx nn ϕλϕ =, fonksiyonları ise bu problemin
özfonksiyonları olsun. Bu takdirde
( )∫=π
λϕα0
2 , dxx nnn
verilen operatörün normlaştırıcı sayıları ,
( ) ∑<
=λλ α
λρn n
1
ise bu operatörün spektral fonksiyonu olmak üzere Marchenko yukarıda belirtilen
çalışmasında Borg’un ispatladığı teoremi ( )λρ spektral fonksiyonu yardımıyla
verilmiştir. Ayrıca söz konusu çalışmada ( )λρ fonksiyonunun , Sturm-Liouville tipinde
bir diferensiyel operatörünün spektral fonksiyonu olması için gerek ve yeter şart
verilmiştir. Marchenko’nun çalışmaları ile eş zamanda M.G.Krein çalışmalarında Sturm-
Liouville tipindeki diferensiyel operatörü { }nλ ve { }nµ ,(n=0,1,…) dizilerine göre
belirtmek için oldukça etkili bir yöntem vermiştir. Ancak bu çalışmalarda verilen gerek
ve yeter koşul , { }nλ ve { }nµ dizileri yardımıyla değil , bu dizilerden kurulan yardımcı
fonksiyonlar kullanılarak verilmiştir.
Spektral analizin ters problemler teorisinde temel çalışma I.M.Gelfand ve
B.M.Levitan tarafından yapılmıştır. Bu çalışmada ( )λρ monoton fonksiyonunun Sturm-
4
Liouville operatörünün spektral fonksiyon olması için gerek yeter koşul tanımlanmış
olup Sturm-Liouville operatörünün tanımlanması için önemli bir yöntem verilmiştir.
Sturm-Liouville operatörleri için ters probleminin iki spektruma göre tam çözümü
1964 yılında B.M.Levitan ve M.G.Gasimov tarafından yapılan bir çalışmada verilmiştir.
Bu çalışmada iki spektruma göre ters problemin çözümü için gerek ve yeter koşullar
tanımlanmıştır.
Sturm-Liouville operatörünü inceleme sürecinde özellikle XX. asrın ikinci
yarısında kullanılan yöntemler artmıştır. Örneğin 1967 yılında bir grup Amerikan
fizikçileri ve matematikçileri G.S.Gardner , J.M.Greene , M.D.Kruskal , R.M. Miura ve
P.Lax tarafından bulunan bazı kısmi türevli nonlineer evalusyon denklemler ile Sturm-
Liouville operatörlerinin spektral teorisi arasındaki bağıntıyı gösterebiliriz. Bu konu ve
jeofizikte birçok uygulamaları olan singüler Sturm-Liouville operatörleri için kuantum
teorisinin ters saçılma problemleri halen yoğun bir şekilde hem Matematikçiler hem de
Fizikçiler tarafından çalışılmaktadır.
Spektral veriler olarak özfonksiyonların sıfırları yani nodal noktalar ele alınarak ,
Sturm-Liouville operatörü ve diğer diferensiyel operatörler için spektral teorinin bazı
problemleri son 20 yılda yoğun bir şekilde incelenmektedir.
Nodallara göre Sturm-Liouville operatörü için ters problem ilk olarak O.H. Hald ,
J.R.McLaughlin , P.J.Browne ,B.D.Sleeman tarafından farklı yöntemlerle incelenmiştir.
Daha sonra bir grup Yang, Shien ,Law ,Cheng çin matematikçileri vektörel
Sturm-Liouville denklemi için Dirichlet, Neumann ve diğer sınır şartları sağlanacak
şekilde teklik teoremleri , nodal noktaların ve nodal uzunluğun asimptotiği il ilgili bir çok
çalışmalar yapılmıştır.
Dirac ve Laplace operatörleri için nodallara ait problemler ise C. Bör tarafından
yapılmıştır. Ayrıca singüler Sturm-Liouville operatörleri için nodal noktalara göre teklik
teoremleri E. Penahov ve H.Koyunbakan tarafından ispatlanmıştır.
Sonuç olarak ele alınan bu tezde de nodal noktalara göre benzer problemler
incelenmiştir.
5
1.1.TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Tanım1.1.1 ( İç Çarpım Uzayı , Hilbert Uzayı) C kompleks sayılar cismi üzerinde
tanımlanmış bir H lineer vektör uzayını göz önüne alalım. H deki bir vektör çiftine bir
sayı karşı getiren bir CHH →×>< :, fonksiyoneli aşağıdaki kuralları sağladığı
takdirde bir iç çarpım adını alır.
i ) Her Hvu ∈, için ><>=< vuvu ,,
ii) Her Hvu ∈, ve C∈α için ><>=< vuvu ,, αα
iii) Her Hwvu ∈,, için ><+><>=+< wvwuwvu ,,, α
iv) Her Hu ∈ , 0≠u için 0, f>< vu
Bu iç çarpımla donatılmış bir lineer vektör uzayına iç çarpım uzayı denir.
( ) >−−<=−= vuvuvuvud ,,
metriğine göre tam bir iç çarpım uzayına Hilbert uzayı denir. (Şuhubi 2001)
Tanım1.1.2 bta ≤≤ olmak üzere [ ]baL ,2 uzayı
[ ] ( )[ ]
∞<= ∫b
a
dttxtxbaL22 :)(,
şeklinde tanımlanır. Bu uzayda iç çarpım ,
∫>=<b
a
dxxgxfgf )()(,
şeklinde tanımlanır. (Kreyszig 1978)
Tanım1.1.3 (Operatör)Tanım ve değer cümlesi vektörlerden oluşan dönüşüme operatör
denir.
Tanım1.1.4 (Lineer Operatör) xE ve yE herhangi iki vektör uzayı olsun.
yx EEA →: operatör dönüşümü aşağıdaki şartları sağlarsa:
i) xExx ∈21 , , ( ) ( ) ( ) 212121 AxAxxAxAxxA +=+=+
ii) ( ) AxxA λλ = , R∈λ
A operatörüne lineerdir denir. (Kreyszig 1978)
6
Tanım1.1.5 (Sürekli Operatör) ( ) ( )εδ ,,: AxSxSA → olsun.
δ<− 0xx için ε<− 0AxAx
ise A operatörüne süreklidir denir. (Kreyszig 1978)
Tanım1.1.6 X ve Y birer normlu uzay ve XLD ⊂)( bir L operatörünün tanım cümlesi
olsun. Eğer ,
xcxL ≤)(
olacak şekilde bir c reel sayısı varsa L operatörüne sınırlıdır denir ve eşitsizliği sağlayan
c sayılarının alt sınırına ise L operatörünün normu denir. (Liusternik ve Sobolev 1961)
Tanım1.1.7 (Adjoint Operatör) 1H ve 2H iki Hilbert uzayı ve L : 1H → 2H sınırlı
lineer bir operatör olsun. Eğer , 12: HHL →∗ operatörü >>=<< ∗ yLxyLx ,, şartını
sağlıyorsa ∗L operatörüne L nin adjointi denir. Eğer L = ∗L ise L operatörüne self adjoint
operatör denir. (Kreyszig 1978)
Tanım1.1.8 L , )(LD tanım bölgesinde sınırlı lineer bir operatör olmak üzere
yLy λ=
eşitliğini sağlayan 0)( ≠xy fonksiyonu mevcut ise λ sayısına L operatörünün özdeğeri
),( λxy fonksiyonuna ise λ ya karşılık gelen özfonksiyon denir. (Kostyuchenko ve
Sargsyan 1979)
Tanım1.1.9 { }nλ dizisi L operatörünün özdeğerleri ve ),( nxy λ ler bu özdeğerlere
karşılık gelen özfonksiyonlar olacak şekilde
( )∫=b
a
nn dxxy λα ,2
sayılarına L operatörünün normlaştırıcı sayıları denir.
Tanım1.1.10 IL λ− operatörünün sınırlı ( ) 1−− IL λ tersinin mevcut olmadığı λ lar
cümlesine L operatörünün spektrumu denir. (Levitan ve Sargsyan 1991)
7
Tanım1.1.11 Herhangi λ için IL λ− operatörünün tersi mevcut olacak biçimde
( ) 1−−= ILR λλ operatörüne
yxLx =− λ veya ( ) yxIL =− λ
denkleminin rezolvent operatörü denir. ( Liusternik ve Sobolev 1961)
Tanım1.1.12 ( Dönüşüm Operatörü ) E lineer topolojik uzay , A ve B operatörleri
EEA →: , EEB →: şeklinde tanımlı iki lineer operatör olsun. 1E ve 2E ise E
lineer uzayın kapalı alt uzayları olmak üzere E uzayının tamamında tanımlı 1E den 2E
ye dönüşüm yapan ve lineer terse sahip X operatörüne ,
i) X ve 1−X operatörleri E uzayında süreklidir
ii) XBAX = operatör denklemi sağlanıyor.
şartlarını sağlıyorsa A ve B operatörler çifti için dönüşüm operatörü denir. (Levitan
1987)
Tanım1.1.13 )(zf kompleks fonksiyonu düzlemin keyfi bir 0z noktasının δ
komşuluğunun tüm noktalarında diferensiyellenebiliyor ise )(zf fonksiyonuna 0z
noktasında analitikdir denir. [Markushevich 1977]
Tanım1.1.14 )(zf kompleks fonksiyonu düzlemin tüm noktalarında analitik ise
)(zf ’ye tam fonksiyon denir.
Tanım1.1.15 Bir )(zf fonksiyonuna karşılık A ve a pozitif sayıları bulunabiliyorsa ,
öyle ki ∞→= zr iken
αrAezf <)(
ise )(zf fonksiyonu sonlu mertebeden bir tam fonksiyondur , a sayıların en küçüğü olan
r ye ise tam fonksiyonun mertebesi denir.
Tanım1.1.16 0→x (veya ∞→x ) iken eğer ( )( )
0→xg
xf ise ( )( )xgxf ο=)( ve
)(
)(
xg
xf sınırlı ise ( )( )xgOxf =)( olarak gösterilir.
8
Teorem1.1.1 (Rouche) Γ - kapalı düzeltilebilir Jordan eğrisi üzerinde ve Γ nın iç
noktalarında ( )zf1 ve ( )zf 2 analitik fonksiyonlar ve Γ∈z için ( ) ( )zfzf 21 > olsun.
Bu takdirde Γ ‘nın içinde ( ) ( )zfzf 21 + ve ( )zf1 fonksiyonlarının sıfırlarının sayısı
aynıdır. [M.Idemen 1999]
9
2. STURM-LİOUVİLLE OPERATÖRÜ
2.1 Sturm-Liouville Operarörü İçin Genel Bilgiler
L herhangi elemanlar cümlesinde tanımlı lineer bir operatör olsun. y≠0 olmak
üzere Ly=λy eşitliğini sağlayan y fonksiyonuna L operatörünün özfonksiyonu λ ‘ ya ise
özdeğeri denir.
Operatörlerin spektral teorisinde sık sık göz önüne alınan Sturm-Liouville
operatörü
L≡- )(2
2
xqdx
d+
şeklinde tanımlanır. Burada )(xq , [a,b] aralığında sürekli reel değerli bir fonksiyondur.
L operatörü için sınır şartları genellikle aşağıdaki gibi tanımlanır.
1.tür sınır şartı: Bunlara ayrık sınır şartları denir ve
0sin)(cos)(
0sin)(cos)(
=′+
=′+
ββ
αα
byby
ayay
şeklinde tanımlanır.
2.tür sınır şartı: bunlar periyodik ve antiperiyodik sınır şartları olarak bilinir ve sırası ile
)()(
)()(
byay
byay
′=′
= ve
)()(
)()(
byay
byay
′−=′
−=
şeklinde yazılır.
3.tür sınır şartı:Bunlar uçları bağlı sınır şartları olarak bilinir ve
)()( byay = =0 veya 0)()( =′=′ byay
şeklinde tanımlanır.
yyxqdx
ydxLy λ=+−= )()(
2
2
(2.1.1)
0sin)(cos)(
0sin)(cos)(
=′+
=′+
ββ
αα
byby
ayay (2.1.2)
şeklinde tanımlanan (2.1.1)-(2.1.2) sınır değer problemi literatürde Sturm–Liouville
problemi olarak bilinir.
)(xp , )(xl ve )(xr fonksiyonları reel ve sonlu [a,b] aralığında sürekli olmak
üzere Sturm-Lioville operatörünün özdeğer ve özfonksiyonlarını inceleyelim. )(xp ve
)(xr , [a,b] aralığında pozitif fonksiyonlar olmak üzere Sturm-Lioville denkleminin
genel
10
yxryxldx
dyxp
dx
dL )()()( λ=+
−= (a )bx ≤≤ (2.1.3)
ifadesini göz önüne alalım. )(xp birinci mertebeden ve )(xp . )(xr ikinci mertebeden
sürekli türeve sahip olacak şekilde
dxxp
xr
cz
x
a
21
)(
)(1∫
= , ( ) yxpxru 4
1)()(= , λµ c=
dönüşümlerini yaparsak (2.1.3) denklemi
( ) 41
2
21
)()()(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(1
xpxrzQ
xr
xlc
zQ
zQzq
dxxp
xrc
b
a
=
−′′
=
= ∫π
olmak üzere
yyxqy λ=+′′− )(
şeklinde yazılır.
Herhangi 1λ için göz önüne alınan sınır değer probleminin 0),( 1 ≠λxy aşikar
olmayan çözüme sahip olduğunu varsayalım. Bu durumda bu bölümün başlangıcında
verilen tanımda (2.1.1)-(2.1.2) sınır değer probleminin özdeğeri 1λ ve buna karşılık gelen
özfonksiyonu da ),( 1λxy olarak tanımlanır.
Lemma2.1.1. 21 λλ ≠ farklı özdeğerlerine karşılık gelen ),( 1λxy ve ),( 2λxy
özfonksiyonları ortogonaldir. Yani
0),(),( 21 =∫ dxxyxya
λλπ
( )21 λλ ≠
dir.
İspat. f(x) ve g(x) sürekli ve iki kez diferansiyellenebilen fonksiyonlar olsunlar.
)()()( xfxqxfLf −′′=
alalım.
{ })()(
)()(,
xgxf
xgxfgfWx ′′
=
11
olmak üzere bu ifadeyi iki kez parçalı integrallersek
{ } { } ∫∫ +−=ππ
π
0
0
0
).(,,)(. LgdxxfgfWgfWdxxgLf (2.1.4)
denkliğini elde ederiz. ),()( 1λxyxf = ve ),()( 2λxyxg = olsun. (2.1.2) sınır
şartlarından { } { } 0,,0 == gfWgfW π olduğu kolaylıkla görülür. Bundan dolayı (2.1.4)
denkleminden
( ) 0),(),( 2
0
121 =− ∫ dxxyxy λλλλπ
ve dolayısıyla 21 λλ ≠ olur. Böylece lemma ispatlanmış oldu.
Lemma2.1.2. (2.1.1)-(2.1.2) sınır değer probleminin özdeğerleri reeldir.
İspat. ivu +=1λ kompleks bir özdeğer olsun. )(xq reel bir fonksiyon α ve β sayıları
reel olduğundan dolayı ),( 1λxy özfonksiyonu ivu −== 12 λλ sayısına sahip bir
özdeğer olur. Bu takdirde bir önceki lemmadan
0),(0
2
1 =∫ dxxy
π
λ
elde ederiz ki buradan da 0),( 1 =λxy olduğu bulunur.
Teorem2.1.1. Eğer )(xq , [a,b] aralığında sürekli reel değerli bir fonksiyon ve
αλϕ sin),( =a , αλϕ cos),( −=′ ax
başlangıç şartları sağlanırsa (1.1.1) denkleminin bxa ≤≤ aralığında her α için bir tek
),( λϕ x çözümü vardır. Her ],[ bax ∈ sabiti için ),( λϕ x fonksiyonu λ ya göre bir tam
fonksiyondur.
İspat. ααλϕ cos)(sin),(0 axx −−= alalım ve n>0 için
{ } dttxttqxx n
x
a
n ))(,()(),(),( 10 −−+= −∫ λϕλλϕλϕ
olsun. q sürekli bir fonksiyon olduğundan bxa ≤≤ için )(xq <M elde ederiz.
N≤λ olsun. O zaman bxa ≤≤ için Kx ≤),(0 λϕ olur. Bundan dolayı
n=1 için,
12
{ }
{ }
dttxttqxx
dttxttqxx
dttxttqxx
x
a
x
a
x
a
−−≤−
−−=−
−−+=
∫
∫
∫
.),(.)(),(),(
))(,()(),(),(
)).(,()(),(),(
001
001
001
λϕλλϕλϕ
λϕλλϕλϕ
λϕλλϕλϕ
{ }
( ) ( ) 2
0
)).(.(2
1.
.),()(
axNMKdttxKNM
dttxttq
x
a
x
a
−+=−+≤
−+≤
∫
∫ λϕλ
n 2= için,
{ }
{ } dttxttqxx
dttxttqxx
x
a
x
a
))(,()(),(),(
))(,()(),(),(
001
102
−−+=
−−+=
∫
∫
λϕλλϕλϕ
λϕλλϕλϕ
ifadelerini taraf tarafa çıkarırsak
{ }{ } dttxtttqxx
x
a
)(),(),()(),(),( 0112 −−−=− ∫ λϕλϕλλϕλϕ
elde ederiz . Buradan da 2≥n için
{ }{ }
dtttabNMxx
dttxtttqxx
x
a
nnnn
nn
x
a
nn
∫
∫
−−−
−−−
−−+≤−
−−−=−
),(),())((),(),(
)(),(),(.)(),(),(
211
211
λϕλϕλϕλϕ
λϕλϕλλϕλϕ
elde ederiz. Bundan dolayı
{ }{ } dttxtttqxx
b
a
−−+≤− ∫ ),(),()(),(),( 0112 λϕλϕλλϕλϕ
!3
))(()(
)()()(2
1
)())((.2
1).(
32
22
2
axabNMK
dxatabNMK
dxtxatNMKNM
x
a
b
a
−−+=
−−+=
−−++≤
∫
∫
13
ve genel olarak
)!1(
)()()(),(),(
11
1+
−−+≤−
+−
−n
axabNMKxx
nnn
nn λϕλϕ
şeklindedir. Dolayısıyla
{ }∑∞
=
−−+=1
10 ),(),(),(),(n
nn xxxx λϕλϕλϕλϕ (2.1.5)
bxa ≤≤ için x ‘e göre düzgün ve N≤λ için λ ya göre düzgün yakınsak bir
seridir.n 2≥ için
{ }
{ } dtttqxx
dtttqxx
n
x
a
n
n
x
a
n
),()(),(),(
),()(),(),(
201
10
λϕλλϕλϕ
λϕλλϕλϕ
−−
−
∫
∫
−+′=′
−+′=′
olduğundan , bu ifadeleri taraf tarafa çıkarırsak
olur.
{ }{ }
{ }{ } ),()(),(
),()(),(
),(),()(),(),(
21
1
211
λϕλλϕ
λϕλλϕ
λϕλϕλλϕλϕ
xxqx
xxqx
dttttqxx
nn
nn
nn
x
a
nn
−−
−
−−−
−=′′
−=′′
−−=′−′ ∫
ifadelerini taraf tarafa çıkarırsak
{ }{ }),(),()(),(),( 211 λϕλϕλλϕλϕ xxxqxx nnnn −−− −−=′′−′′
elde ederiz. (2.1.5) serisini bir veya iki kez diferansiyellersek
{ }∑∞
=
−′′−′′=′′
11 ),(),(),(
n
nn xxx λϕλϕλϕ
{ }
( ) { }
{ } ),()(
),(),(),()(
),(),(),(),(
2210
2101
λϕλ
λϕλϕλϕλ
λϕλϕλϕλϕ
xxq
xxxxq
xxxx
n
nn
n
nn
−=
−+−=
′′−′′+′′−′′=
∑
∑∞
=
−−
∞
=
−
buluruz. Dolayısıyla ),( λϕ x , (2.1.1) denklemini sağlar.Ayrıca ),( λϕ xn
fonksiyonunun yapısı ve (2.1.5) serisinin düzgün yakınsak olmasından dolayı ),( λϕ x , λ
değişkenine göre tam fonksiyondur.
14
2.2.Regüler ve Singüler Sturm-Liouville Problemi
Sturm-Liouville problemi için
yyxqdx
ydLy λ=+−= )(
2
2
0sin)(cos)(
0sin)(cos)(
=′+
=′+
ββ
αα
byby
ayay
sınır değer problemini göz önüne alalım. Burada sin 0≠α ve 0sin ≠β olmak üzere
(2.1.2) sınır şartlarını sırası ile αsin ve sinβ ifadelerin bölersek
0)(cot)(
0)(cot)(
=′+
=′+
byby
ayay
β
α (2.2.1)
elde ederiz. cotα=-h ve cotβ=H ile gösterilirse
0)()(
0)()(
=+′
=−′
bHyby
ahyay (2.2.2)
yazılır. Böylece (2.1.1)-(2.2.2) probleminde eğer )(xq sürekli reel değerli bir fonksiyon,
h ve H reel sayıları da sonlu ise bu probleme “Regüler Sturm-Liouville Problemi” denir.
Bu şartlardan herhangi biri bozulduğunda bu probleme “Singüler Sturm-Liouville
Problemi” denir.
2.3 Özdeğerler ve Özfonksiyonlar İçin Asimptotik Formüller
1. q(x) , [0,π] aralığında sürekli ve reel değerli bir fonksiyon olmak üzere aşağıdaki
Sturm-Liouville Problemini
yyxqy λ=+′′− )( x ∈[0,π] (2.3.1)
0)()(
0)0()0(
=+′
=−′
ππ Hyy
hyy (2.3.2)
göz önüne alalım.(1.3.1) denkleminin
1),0( =λϕ , h=′ ),0( λϕ (2.3.3)
başlangıç şartlarını sağlayan çözümünü ),( λϕ x ile gösterelim. Aynı denklemin
0),0( =λψ , 1),0( =′ λψ (2.3.4)
başlangıç şartlarını sağlayan çözümünü de ),( λψ x ile gösterelim.
15
Lemma2.3.1. 2s=λ olsun. Bu takdirde
( ){ } τλτϕττλϕ dqxss
sxs
hsxx
x
),()(sin1
sincos),(0∫ −++= , (2.3.5)
( ){ } τλτψττλψ dqxsss
sxx
x
),()(sin1sin
),(0∫ −+= (2.3.6)
şeklindedir.
İspat. Öncelikle (2.3.5) eşitliğini ispatlayacağız. ),( λϕ x fonksiyonu (2.1.1) denklemini
sağladığı için
( ){ } { } ( ){ } τλτϕττλτϕττλτϕττ dxssdxsdqxs
xxx
),(sin),()(sin),()(sin0
2
00∫∫∫ −+′′−=−
Daha sonra sağdaki integrali iki kez parçalı integralleyelim ve (2.3.3) şartlarını
göz önüne alalım. Bu takdirde
( ){ } τλτϕτ dxs
x
),(sin0
′′−∫ integralini hesaplayalım.
{ } =′′−∫ τλτϕτ dxs
x
),()(sin0
{ } { } { }
{ }
{ } { } { }
{ }
−−−+−=
−−−−−+−=
′−+−=
′−+−′−−′=
∫
∫
∫
∫
x
x
x
x
dxsssxxssxh
dxssxsxxsxssxh
dxsssxh
dxssxsxxsx
0
0
0
0
),()(sincos),(sin
),()(sin)0(cos).,0()(cos).,(sin
),()(cossin
),()(cos)0(sin),0()(sin),(
τλτϕτλϕ
τλτϕτλϕλϕ
τλτϕτ
τλτϕτλϕλϕ
buluruz. Böylece
{ } { } { }
{ } { } { }
sxsxssxh
dxssdxsssxxssxh
dxssdxsdqxs
xx
xx x
cos),(sin
),()(sin),()(sincos),(sin
),()(sin),()(sin),()()(sin
0
2
0
2
00
2
0
−+−=
−+−−−+−=
−+′′−=−
∫∫
∫∫ ∫
λϕ
τλτϕττλτϕτλϕ
τλτϕττλτϕττλτϕττ
elde ederiz. (2.3.6) bağıntısının ispatı da benzer şekilde yapılır.
16
Lemma2.3.2. its += σ olsun. Bu durumda öyle 0s >0 vardır ki 0ss > için aşağıdaki
eşitlikler sağlanır.
)(),( xtex Ο=λϕ , )(),(
1 xtesx
−Ο=λψ (2.3.7)
)(cos),(1 xtessxx
−Ο+=λϕ (2.3.8)
Ο+=
2
sin),(
s
e
s
sxx
xt
λψ (2.3.9)
π≤≤ x0 için x in aldığı tüm değerlerde bu ifadeler sağlanır.
2. Şimdi özdeğerler ve özfonksiyonlar için asimptotik formülleri hesaplayalım.
(2.3.1)-(2.3.2) Sturm-Liouville Problemini göz önüne alalım. Lemma2.3.1 ve
Lemma2.3.2 den dolayı
{ }
)(cos),(
),()()(sin1
sincos),(
1
0
xt
x
essxx
dqxss
sxs
hsxx
−Ο+=
−++= ∫
λϕ
τλτϕττλϕ
dır.
∞≠h ve ∞≠H olsun. ),( λϕ x , (2.3.1) denkleminin (2.3.2) sınır şartlarını
sağlayan bir çözümü olduğundan bu fonksiyonun π noktasındaki değerini (2.3.2) sınır
şartlarının ikincisinde yazdığımızda özdeğerleri buluruz. Lemma2.1.2 den dolayı
özdeğerler reeldir. Negatif özdeğerlerin sayısı sonludur. λ pozitif sayısı için Ims=0 dır.
Bu sebeple (2.3.8) formülünden
Ο+=
ssxx
1cos),( λϕ (2.3.10)
yazarız. Daha sonra (2.3.5) ifadesinin x ’ e göre diferansiyelini alıp ve (2.3.10)
bağıntısını da kullanırsak
Ο++−=′
ssxhsxsxx
1cossin),( λϕ (2.3.11)
ifadesini elde ederiz. (2.3.2) sınır şartlarının ikincisinde (2.3.8) ve (2.3.11) ifadelerini
yerlerine yazarsak özdeğerleri bulmak için aşağıdaki
01
cos)(sin =
Ο+++−
ssHhss ππ (2.3.12)
denklemini elde ederiz.
s ‘ nin büyük değerleri için (2.3.12) denkleminin tam doğal sayıların komşuluğunda
kökleri olmak üzere çözümlerin varlığı açıktır. Buradan özdeğerlerin sonsuz bir
17
cümlesinin var olduğunu elde ederiz. Herhangi yeteri kadar büyük tam n den başlayarak
her n nin komşuluğunda (2.3.12) denkleminin sadece bir kökünün bulunduğunu
gösterelim. Bu amaçla (2.3.12) denkleminin sol kısmının s ye göre diferansiyeli alınırsa
( ) 0)1(sinsincos =Ο++−−− πππππ sHhsss
elde edilir. Sol taraftaki ifadenin s nin büyük tam değerlerin komşuluğunda sıfıra eşit
olmadığını göstermek mümkündür.
ns ile (2.3.12) denkleminin n.kökünü gösterelim. Sturm ’un osilasyon
teoreminden ve (2.3.8) formülünden ns için , s nin sıfırlarını yalnız tam n lerin
komşuluğunda elde ederiz. Bu iddianın Sturm’un teoremine bağlı kalmadan başka bir
ifadesini de söyleyebiliriz.
2s=λ olsun. Bu takdirde özdeğerler
0)(),(),( =≡′+ λωλπϕλπϕ xH
denkleminin kökleri olduğu için )()( 1 sωλω = dir. (2.3.5) ifadesinden dolayı )(1 sω , s
ye göre tam fonksiyondur. Buna ilaveten (2.3.10) ve (2.3.11) formüllerinden 0sin ≠πs
için )()( 1 sωλω = ifadesinden
Ο+−=
ssHss
11sin)(1 πω (2.3.13)
elde edilir.
s düzleminde 2
1+= NR yarıçaplı ve merkezi orijinde olan RD dairesini
göz önüne alalım. Rouche teoreminden ve (2.3.13) asimptotik formülünden RD
dairesinin içinde )(1 sω fonksiyonunun sıfırlarının sayısına eşit olup bu sayı 2n+2 dir.
)(1 sω fonksiyonu çift olduğundan onun sadece pozitif sıfırlarını göz önüne almak
yeterlidir. )(1 sω nin her pozitif sıfırına bir özdeğer karşılık gelir , yani 2
1+N den
küçük olan ks özdeğerinin sayısı N+1 olacaktır.
ns için asimptotik formül aşağıdaki gibi
olur.
)1(ο+= nsn (2.3.14)
nn ns δ+= olsun. O zaman (2.3.12) denklemini
0)1(sin =Ο+πδ nn
18
şeklinde olur. Buradan
Ο=
nn
1sin πδ yani
Ο=
nn
1δ olur. Buna göre (2.3.12)
denkleminin köklerini büyük n ler için
Ο+=
nnsn
1 (2.3.15)
elde ederiz.
Eğer (2.1.1) denkleminde )(xq fonksiyonu sınırlı türeve sahipse (2.3.15) formülü
yeteri kadar düzgün sayılır. Şayet (2.3.5) eşitliğinin x ‘e göre türevini alıp daha sonra
),( λϕ x ve ),( λϕ xx′ ifadelerinin (2.3.2) sınır şartlarının ikincisinde kullanıp birkaç
dönüşüm yaparsak
τλτϕττ
τλτϕτττ
π
π
dqs
Hs
s
hHB
dqss
HsHhA
),()(sin
),()(sincos
0
0
∫
∫
++=
+++=
olacak şekilde
0cossin)( =++− ππ sAsBs (2.3.16)
ifadesini elde ederiz.(2.3.10) ifadesinden dolayı A ve B için
∫
∫∫
Ο+=
Ο++++=
π
ππ
τττ
τττττ
0
00
12sin)(
2
1
,1
2cos)(2
1)(
2
1
sdsqB
sdsqdqHhA
olur. Hipotezimizden dolayı )(xq potansiyel fonksiyonu sınırlı türeve sahip olduğu için
kısmi integral alınırsa
∫
Ο=
π
τττ0
12cos)(
sdsq , ∫
Ο=
π
τττ0
12sin)(
sdsq
olur. Dolayısıyla A ve B ifadeleri için
Ο+++=
shHhA
11 , ∫=
π
ττ0
1 )(2
1dqh
Ο=
sB
1
elde edilir. Bu sebeple (2.3.16) denklemini
19
Ο+
Ο+++
=
ss
shHh
s1
1
tan1
π
şeklinde yazmak mümkündür. Tekrar nn ns δ+= alınırsa
Ο+
++=
21 1
nn
hHhn
πδ
olmak üzere
Ο+
++=
21 1
tannn
hHhnπδ
elde ederiz ve
++= ∫
π
ττπ
0
)(2
11dqHhc
olmak üzere
Ο++=
2
1
nn
cnsn
(2.3.17)
elde ederiz. ),0()( 2 πCxq ∈ olduğunu kabul edersek daha yaklaşık bir asimptotik formül
buluruz. 1c sabit olmak üzere
Ο+++=
431 1
nn
c
n
cnsn (2.3.18)
olur.
Şimdi (2.3.17) formülünden faydalanarak )(),( xx nn ϕλϕ = özfonksiyonları
için asimptotik formül bulalım. Bunun için (2.3.5) eşitliğinde ),( λϕ x yerine (2.3.10)
ifadesini yazarsak
( ){ }
Ο+−++= ∫ 2
0
1)(.cossin
1sincos),(
sdqsxs
ssx
s
hsxx
x
ττττλϕ
Ο+++= ∫ 2
0
1)(
2
sinsincos
sdq
s
sxsx
s
hsx
x
ττ
elde edilir. (2.3.17) formülünde s için her yerde ns alınırsa
∫++−=x
dqhcxx0
)(2
1)( ττβ
20
olmak üzere
( )
Ο+++−== ∫ 2
0
1)(
2
sinsinsincos)(,
ndq
n
nxnx
n
hnx
n
cxnxxx
x
nn ττϕλϕ
( )
Ο++=
2
1sincos
nnx
n
xnx
β
elde ederiz.
( )xnϕ , normlaştırılmış özfonksiyonlarının asimptotik formüllerini bulmak için
( ) ( )
Ο++== ∫∫∫ 2
00
2
0
22 12sin
1cos
nnxdxx
nnxdxdxxa nn
πππ
βϕ
integralini göz önüne alalım. ( )xβ fonksiyonu diferansiyellenebilir olduğundan
( )
Ο=∫ n
nxdxx1
2sin0
π
β
dir. Bundan dolayı
Ο+=
2
2 1
2 nan
π dolayısıyla
Ο+=
Ο+=
22
1211
21
nnan ππ
olur. Böylece normlu özfonksiyonlar için asimptotik formül
( ) ( ) ( )
Ο+
+==2
1sincos
21
nnx
n
xnxx
ax n
n
n
β
πϕν (2.3.19)
şeklinde olur.
3. Şimdi h=∞ , H≠∞ olduğu durumu inceleyelim. (2.3.2) sınır şartlarının birincisinde
y(0)=0 (2.3.20)
olduğunu kabul edelim. ( )λψ ,x fonksiyonu (2.3.20) şartını sağlar. Bundan dolayı
araştırdığımız durum için (2.3.2) sınır şartlarının ikincisinde ( )λψ ,x fonksiyonunu
yazarak özdeğerlerini araştırabiliriz. (2.3.6) ifadesinin x ‘e göre diferansiyelini alırsak
( ) ( ){ } ( ) τλτψττλψ dqxssxx
x
x ,)(coscos,0∫ −+=′
elde ederiz. Bundan dolayı (2.3.2) sınır şartlarının ikincisinden
21
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) 0,sin1sin
,coscos
0
0
=
−++
−+
∫
∫π
π
τλτψττππ
τλτψλτππ
dqsss
sH
dqss
(2.3.21)
elde ederiz.(2.3.9) ifadesinden dolayı (2.3.21) den
( ){ } ( ) 01sin
sincos1
cos2
0
=
Ο++−+ ∫
ss
sdsqs
ss
πττττππ
π
(2.3.22)
buluruz. )(xq sınırlı türeve sahip olduğundan
( ){ } ( ) ( ) τττπττττπτττπτπππ
dsqsdssqsdssq2
000
sinsinsin.coscossincos)( ∫∫∫ +=−
( )
Ο+= ∫ s
dqs 1
2
sin
0
ττπ
π
olur. Bundan dolayı (2.3.22) eşitliğinden
( ) 01sin
cos1
2
1sincos
2120
=
Ο++=
Ο+
++ ∫ ss
sHs
sdqH
s
ss
ππττ
ππ
π
(2.3.23)
olur.
nn ns δ++=2
1 olsun. O zaman (2.3.23) ifadesinden
Ο+
+
=2
1 1
2
1 nn
Hn
π
δ
olmak üzere
+
+
−=−=
++
21 1
2
1tan
2
1cot
nO
n
Hn nn πδπδ
olur ve
( ) ττπ
dqHH ∫+=0
12
1
olmak üzere
22
++=2
1nsn
Ο+
+
21 1
2
1 nn
H
π
elde ederiz.
Şimdi (2.3.6) da ns değerini yerleştirirsek ( ) ( )xx nn ψλψ =, özfonksiyonları
için aşağıdaki asimptotik formülü
( )
Ο+
+
+
=2
1
2
1sin
2
11
nxn
n
xnψ
elde ederiz. 1−
nα normlaştırılmış katsayıları için
Ο+
+=
nn
n
11
2
121
πα
formülünü elde ederiz. Bundan dolayı bu durum için ( )xxv n
n
n ψα
=
1)( normlu
özfonksiyonları
Ο+
+=
nxnxvn
1
2
1sin
2)(
π (2.3.24)
şeklinde olur.
4. Son olarak ∞=h ve H ∞= durumunu araştıralım. (2.3.2) sınır şartlarında
( ) ( ) 00 == πyy olduğunu söyleyebiliriz ve bundan dolayı ( )λψ ,x fonksiyonu özel
olarak ( ) 0, =λπψ şartını sağlamalıdır. (2.3.6) ifadesinden
( ){ } ( ) 0,)(sinsin0
=−+ ∫ τλτψττπππ
dqss
ya da
( ) ( ) ( ) ( ) 0,.sincos,cos1sin00
=−
+ ∫∫ τλτψττπτλτψττπππ
dqssdqss
dır. (2.3.9) ifadesinden dolayı ( )(xq ‘in sınırlı türeve sahip olduğunu kabul ederiz.)
( ) 01
cossin1
cos2
1sin
220
=
Ο+−=
Ο+− ∫ s
ss
ss
dqss
s πα
πττπππ
(2.3.25)
23
elde ederiz. Bu denklem (2.3.12) denklemi ile aynıdır. Bundan dolayı (2.3.25)
denkleminin ns kökleri ( ) ττπ
απ
dq∫
=
0
12
1 olmak üzere
Ο++=
21 1
nnnsn
α (2.3.26)
şeklindedir.
(2.3.6) da ns in değerini yerine yazarsak ( ) ( )xx nn ψλψ =, özfonksiyonları için
( )
Ο+=
2
1sin
nn
nxxnψ
asimptotik formülünü elde ederiz. 1−
nα normlaştırılmış katsayıları için
Ο+=
nn
n
11.
21
πα
formülünü elde ederiz. Bundan dolayı ( )xxv n
n
n ψα
=
1)( normalleştirilmiş
özfonksiyonları
Ο+=
nnxxvn
1sin
2)(
π (2.3.27)
olur.
2.4. Özfonksiyonların Sıfırları (Nodal Noktalar)
0=+′′ yy λ , 0)()0( =′=′ πyy
basit sınır değer problemini göz önüne alalım.
Burada
( ) ( ) ,....,cos)(,....,2cos)(,cos,1 210 nxxxxxxx n ==== ϕϕϕϕ özfonksiyonlardır.
Bunlara karşılık gelen özdeğerler ise ,...,,...,2,1,0 222
210 nn ==== λλλλ
şeklindedir.
Özfonksiyonların sıfırlarının aşağıdaki iki özelliğe sahip olduğu açıktır.
1) n. özfonksiyon (0,π) aralığında n tam sıfıra sahiptir.
2) (n+1) inci özfonksiyonun sıfırı n. özfonksiyonun herhangi iki sıfırı
arasındadır.
24
Teorem 2.4.1.
,0)( =+′′ uxgu (2.4.1)
0)( =+′′ vxhv . (2.4.2)
şeklinde iki denklemi göz önüne alalım. Eğer tüm [a,b] aralığında g(x)<h(x) ise bu
durumda birinci denklemin sıfır olmayan çözümünün iki ardışık sıfırı arasında ikinci
denklemin her çözümünün en az bir sıfırı bulunacaktır.
İspat. (2.4.1) denklemini v ile (2.4.2) denklemini u ile çarpar ve birbirlerinden çıkarırsak
{ } { }uvxgxhuvvudx
duvvu )()( −=′−′=′′−′′ (2.4.3)
elde ederiz. 1x ve x 2 nin u ‘ nun iki sıfırı arasında olduğunu gösterelim. 1x den x 2 ye
kadar (2.4.3) eşitliğini integrallersek
{ } ( ) ( ) { } dxxvxuxgxhxvxuxvxuuvvu
x
x
x
x )()()()()()(2
1
2
1 1122 ∫ −=′−′=′−′
elde ederiz.
( )21 , xx aralığında v ’nin her yerde sıfıra eşit olmadığını varsayalım. ( )21 , xx
aralığında genelliği bozmadan u>0 ve v>0 olduğunu varsayalım. Dolayısıyla denklemin
sağ tarafı pozitiftir. u≥0 varsayımından dolayı 1x noktasında u fonksiyonu artandır.
Dolayısıyla ( ) 01 >′ xu dır. Benzer şekilde ( ) 02 <′ xu dır. Bundan dolayı
( ) ( ) ( ) ( ) 01122 ≤′−′ xvxuxvxu
olur ve bu bir çelişkidir. Böylece teorem ispatlanmış olur.
Sonuç. 0)( =+′′ yxgy ( )∞≤≤≤≤∞− bxa
denkleminin çözümü 0)( 2 <−< mxg olmak üzere birden fazla sıfıra sahip değildir.
Teorem2.4.2. ( Karşılaştırma- Mukayese Kriteri ) (2.4.1) ve (2.4.2) denklemlerinin
αsin)( =au , αcos)( −=′ au ve αsin)( =av , αcos)( −=′ av (2.4.5)
başlangıç şartlarını sağlayan çözümleri sırasıyla u(x) ve v(x) olsun. Ayrıca tüm [a,b]
aralığında g(x)<h(x) olsun. Eğer a< x ≤ b aralığında u(x) fonksiyonu m tane sıfıra sahipse
bu taktirde aynı aralıkta v(x) in m den az olmayacak şekilde sıfırları mevcut olup v(x) in
k. sıfırı u(x) in k. sıfırından küçüktür.
25
Lemma2.4.1. Eğer 0x ( bxa << 0 ) , ( )0,λϕ x fonksiyonunun sıfırı ise bu durumda
herhangi yeteri kadar küçük 0>ε sayısına 0>∃δ sayısı karşılık gelir ve
δλλ <− 0 olacak şekilde ( )λϕ ,x fonksiyonunun ε<− 0xx aralığında sadece bir
sıfırı vardır.
Teorem2.4.3.(Osilasyon Teoremi). (2.1.1)-(2.1.2) sınır değer probleminin sınırsız artan
,...,, 210 λλλ özdeğerlerinin sınırsız bir dizisi var olsun. Bu durumda mλ özdeğerine
karşılık gelen özfonksiyonun tam a<x<b aralığında m tane sıfırı vardır.
İspat. (2.4.5) αsin)( =au , αcos)( −=′ au başlangıç şartlarını sağlayan (2.1.1)
denkleminin çözümü ( )λϕ ,x olsun. Teorem2.4.2 den dolayı λ artarken ( )λϕ ,x
fonksiyonunun sıfırlarının sayısı azalmıyor. bxa ≤≤ için cxq <)( olsun. (2.1.1)
denklemini
0)( =++′′ ycy λ
denklemi ile mukayese edelim.
Bu denklemin (2.4.5) başlangıç şartlarını sağlayan çözümü
( ) ( ){ }( )
( ) ( ){ }axcc
axcy −−−−−
−−−−= 21
21
21
sinhcos
cos.sin λλ
αλαα
şeklindedir.
λ nın negatif değerleri ile mutlak değerlerinin yeterince büyük değerleri için bu
fonksiyonun sıfır noktalarının olmadığı açıktır.( a <x ≤ b aralığında) Bu sebeple tekrar
Teorem2.4.2 den faydalanırsak λ nın negatif değerlerinin yeterince büyük mutlak
değerleri için ( )λϕ ,x nın sıfırlarının mevcut olmadığı kanaatine varırız.
Mukayese için
( ) 0=−+′′ ycy λ
denklemini seçersek pozitif ve sınırsız artan λ lar için ( )λϕ ,x çözümünün sıfırlarının
sayısının [a,b] aralığında sınırsız olarak arttığını görürüz.
( )λϕ ,x =0 denklemini göz önüne alalım.
Lemma2.4.1 den dolayı bu denklemin kökleri λ ya bağımlı sürekli
fonksiyonlardır. Diğer bir yandan Teorem2.4.2 den dolayı λ artarken ( )λϕ ,x
fonksiyonunun her sıfırı sola kaymış olur. Sıfırların sayısı azalmadığı için a noktasından
dışarı sıfır çıkamaz. Lemma2.4.1 in sonucundan dolayı yeni sıfırlar b noktasından içeri
26
girer. ( ) 0, =λϕ b olacak şekilde λµ ,0 parametresinin birinci değeri olsun. Böyle
değerin bulunacağı aşikardır. ( ) 0, =λϕ b olacak şekilde λµ ,1 parametresinin ikinci
değeri olsun. ( ) 0, =mb µϕ olmak üzere ( )mx µϕ , fonksiyonu (a,b) aralığının içinde m
tane sıfıra sahip olacak şekilde ,..., 10 µµ sayı dizisi bu özelliklere sahiptir. Eğer sinβ=0
ise bu takdirde (2.1.2) sınır şartlarından ikincisi sağlanıyor ve dolayısıyla mµ sayıları
özdeğerlerdir.( ( )λϕ ,x , (2.4.5) başlangıç koşulları sağladığı için (2.1.2) sınır
koşullarının birincisini de sağlar.) Bu durumda teorem ispatlanmıştır.
Şimdi 0sin ≠β , u(x) ve v(x) ise Teorem2.4.2 de göz önüne alınan
fonksiyonlar olsun. Bu takdirde
′−
′−
′′−
′′+
′−
′′=
′−
′2
2
2
2222 2
v
v
u
uu
v
v
u
uu
v
v
u
uuu
v
v
u
uu
dx
d (2.4.6)
= ( )
{ } 0)()(2
2
2
>−+′−′
xgxhuv
uvvu
olur. Bu sebeple v ‘ nin sıfır olmadığı her aralıkta
′−
′
v
v
u
uu
2 fonksiyonu monoton
artandır.u(x) ve v(x) in (a,b) aralığının içinde eşit sayıda sıfırlara sahip olduğunu
varsayalım.
x ile u(x) fonksiyonunun b noktasına en yakın sıfırını gösterelim. bxx ≤≤ν
aralığında v(x) fonksiyonunun sıfırlarının olmadığını gösterelim. Gerçekten Teorem2.4.2
den dolayı a ve xν arasında v(x) fonksiyonunun en az ν sayıda sıfırları bulunur. Eğer
)(xv , bxx ≤≤ν aralığında sıfıra sahip olursa bu takdirde (a,b) aralığının tamamında
v(x) fonksiyonunun bizim varsayımımıza rağmen u(x) fonksiyonundan daha fazla sıfıra
sahip olur.
(2.4.6) bağıntısını x ve b arasında integrallersek
( )( )( )
( )( )
0)()(
)(
)(
)( 22 =
′
−′
>
′
−′
ν
ν
ν
νν
xv
xv
xu
xuxu
bv
bv
bu
bubu
bu itibarla
( )
( )
( )
( )bv
bv
bu
bu ′>
′ (2.4.7)
27
elde ederiz. 1+<′′<′< mm µλλµ olmak üzere u(x) için ( )λϕ ′,x ve v(x) için ( )λϕ ′′,x
ele alalım. (2.4.7) eşitsizliğine göre ( )( )λϕ
λϕ
,
,
b
b′ fonksiyonu ( )1, +mm µµ aralığında monoton
azalır. ( ) ( )1,, += mm bb µϕµϕ olduğu için +∞ dan -∞ ‘ a kadar azalması gerekir. Bu
sebeple
( )( )
βλϕ
λϕcot
,
,
1
1 −=′
+
+
m
m
b
b
olmak üzere ( )1, +mm µµ aralığının içinde bir tane 1+mλ noktası bulunur yani (2.1.2)
şartlarının ikincisi sağlanıyor. Demek ki 1+mλ özdeğerdir ve ( )1, +mx λϕ ise (a,b)
aralığının içinde ( )1, +mx µϕ fonksiyonunun sahip olduğu kadar sıfırı vardır yani m+1
tanedir.
28
3. TERS NODAL PROBLEMLER ÜZERİNE
3.1 Ters Nodal Problemlerin Çözümleri
Ters nodal problemler ilk olarak J.McLaughlin [34] incelenmişdir. Bu çalışmada
sadece { }k
nx nodal noktalar cümlesinden faydalanarak ( )xq potansiyeli ve sınır koşulları
(α ve β sayıları) tanımlanır. Daha sonra nodal noktalar cümlesini kullanarak farklı
yöntemlerle ),,( βαq üçlüsünün tanımlanması [4,9,19,20,43] çalışmalarında yapılmıştır.
)1,0(1Lq ∈ ve ),0[, πβα ∈ olmak üzere
λφφφ =+′′− )(xq
=′+
=′+
0sin)1(cos)1(
0sin)0(cos)0(
βφβφ
αφαφ (3.1.1)
Sturm-Liouville problemini göz önüne alalım. Bu problemin
∞→<<<< ...),,(...),,(),,( 21 βαλβαλβαλ qqq n
özdeğerleri basit ve reeldir.
1),,(...),,(),,(0 121 <<<<< − βαβαβα qxqxqxn
nnn
olmak üzere her bir özdeğere karşılık gelen özfonksiyonlar 2≥n için (n-1) tane nodal
noktaya sahiptir. Tüm nodallar basittir ([2]). nns λ= ve k
n
k
n
k
n xxl −= +1 nodal
uzunluk olsun. Bu takdirde aşağıdaki problem söz konusudur.
Teorem3.1.1 ([20] ve [43] )
Verilen nodal cümleden faydalanarak ),,( βαq nın tanımlanması için aşağıdaki
formüller bulunur:
(a) )(i 0=α veya k/n sıfıra yaklaşırken ,
=−−−−
≠−−
=
∞→
∞←
isexnkn
isenxkn
k
nn
k
nn
0),)2
1(
2
1()
2
1(lim
0),2
1(lim
cot2
2
βπ
βπα (3.1.2)
)(ii 0=β veya k/n sıfıra yaklaşırken,
29
=−−−−−
≠−−
=−
∞→
−
∞←
isexnknn
isenxnn
kn
nn
kn
nn
0,))2
1(
2
1()
2
1(lim
0,)2
1(lim
cot2
2
απ
απβ
(b) )(i ∈),( βα durum(I)[43, Teorem1.2] ise, o zaman hemen hemen her
)1,0(∈x için k
nx , x e yakınsar,
.cotcot2
12lim)(
1
02
122
+−+= ∫
−
∞→βα
ππ ssq
n
lnlnxq
k
nk
nn
(3.1.3)
)(ii ∈),( βα durum (II) ise o zaman hemen hemen her )1,0(∈x için k
nx , x e
yakınsar,
.cotcot2
11
2
1
2
12lim)(
1
02
2
2
+−+−
−
−= ∫∞→
βαπ
π ssqn
llnnxq
k
nk
nn (3.1.4)
Burada 0=γ ise bir başka şekilde 0cot =γ ise 0cot =γs dır.
Lemma3.1.1 ([20] ve [43] )
21 ),0[)1,0(),,( πβα ×∈ Lq olsun. 0>α ise 10 =α ve 0=α ise 10 −=α olsun.
(a) Eğer 0== βα veya 0, >βα ise ∞→n iken,
.
1))())2cos(1(
2
1cotcot(
1 1
020∫
Ο++++−+=
ndttqtnss
nnsn παβα
ππ
(b) Eğer βα <= 0 veya βα => 0 ise ∞→n iken,
.1
))()))12cos((1(2
1cotcot(
)2
1(
1)
2
1(
1
020∫
Ο+−+++−
−
+−=n
dttqtnss
n
nsn παβα
π
π
Burada 0=γ veya 0cot =γ ise s 0cot =γ dır.
30
3.2 Yeni Ters Nodal Problem
Bu paragrafta 1R de ters nodal problemleri araştıracağız. Gesztesy-Simon’un
sonuçlarını kullanarak X.F. Yang ters nodal problemler üzerine ilginç bir teorem ([44])
ispatladı. Kısaca (0,b)
≤< 1
2
1b alt aralığındaki tüm nodal noktaların cümlesinin
teklik için yeterliliği gösterildi. Aşağıdaki teorem Yang tarafından ispatlanmıştır.
Teorem3.2.1 ([44])
12
1≤< b ve 120 −<< bε olsun. Kabul edelim ki B(A) , (0,b) üzerinde S-yoğun ve
tamdır, ve yeteri kadar büyük n için ,
{ }2
3)1(:
εε +−≥≤ nnnn jj
dir. Herhangi yeteri kadar büyük Nj ∈ için , burada tüm Zk ∈ için
=+kk
n
j
jx
kk
n
j
jx
+
olmak üzere ( )jj nk , vardır ve ( ) Ankk jj ∈+ , olacak şekilde 21 ),0()1,0( π×L de
−=
− ∫∫ βαβα ,,)(,,)(
1
0
1
0
dttqqdttqq
dır.
10 ≤< b sabittir ve ),,( βαq ile tanımlanan Sturm-Liouville problemi ile
bağlantılıdır. { }jnS = pozitif tamsayıların kesin azalan bir dizisi olsun.
{ }1,...,1,:),()( −=∈= nkSnnkST
olduğunu kabul edelim. )(STA ⊂ olsun, herhangi bir Sn j ∈ için ( ) Ank jj ∈, olacak
şekilde bazı jkk = vardır. Dikkat edersek jk tek olarak seçilmelidir. (0,b) üzerinde bir
alt nodal cümleyi B(A) olarak tanımlarsak
{ }AnkbxABk
n ∈∈= ),(:),0()(
dır. Açıkça ),,( βαq problemine bağlı olan B(A) , (0,b) aralığında S ve A kadar iyidir.
31
Tanım.
(a) Her 1≥j için B(A) da kapsanan komşu j
j
k
nx ve
1+j
j
k
nx nodal noktalar çifti varsa,
B(A) cümlesi (0,b) aralığında ikilidir.
(b) B(A))=[0,b] ise B(A) , (0,b) üzerinde yoğundur.
(c) Her ),0( bx ∈ için xx j
j
k
nj=
∞→lim olacak şekilde { }
jk mevcut olduğunda ve
(d) j
j
k
nx )(AB∈ olmak üzere S nin alt dizisi varsa ( bunu { }
jn ile gösterelim.) B(A) ,
(0,b) üzerinde S-yoğundur.
B(A) , (0,b) üzerinde S-yoğun ise yoğun olacağı açıktır.
Nodallarla göre Sturm-Liouville operatörü için ters problemin çözümüne ait
aşağıdaki önemli teoremler sağlanır.
Teorem3.2.2 ([44])
10 ≤< b olsun. B(A), ),,( βαq ‘ya göre [0,b] aralığında S-yoğun ve çift olsun.
=+
),,( βαqxkk
n
j
j),,( βαqx
kk
n
j
j
+
olmak üzere jk ve jn vardır öyle ki tüm Zk ∈ için
Ankk jj ∈+ ),(
dır. Bu takdirde ancak sonlu j ‘ler için
jj nn =
ve tüm büyük j için
Cqqjj nn += ),,(),,( βαλβαλ ,
ve [0,b] üzerinde hemen hemen her yerde
Cqq +=
dir.
Burada
−= ∫
1
0
,,,, qqCC βαβα bir sabittir.
Bu tezde B(A) , S-yoğun yerine yoğun olarak değerlendirildi.
Teorem3.2.3 10 ≤< b alalım.B(A) ‘nın ),,( βαq ile (0,b) üzerinde yoğun ve çiftli
olduğunu kabul edelim. Her 1≥j için ( )jj nk , vardır öyle ki
=+kk
n
j
jx
kk
n
j
jx
+
32
olmak üzere ( )jj nk , mevcut olduğunda ve tüm Zk ∈ için kk
n
j
jx
+)(AB∈ olacak şekilde
sonlu j ‘ler hariç
( ) ( )jjjj nknk ,, = , Cjj nn += λλ
dir. Aynı zamanda (0,b) üzerinde αα = ve Cqq += dir. Burada C bir reel sabittir.
İspat: Önce Lemma4.1.2 yi uygularsak ve (3.1.2) formülünü yeniden yapılandırırsak
αcot için doğrudan görürüz ki αα = dir.
O zaman görürüz ki nns λ= (Lemma3.1.1) ‘nin asimptotik ifadelerinden
( ) ( )
( ) ( )
∈++−+
−
∈++−+
=
∫
∫
iseIIdurumqssn
iseIdurumqssn
n
)(,,1cot2cot22
1
)(,,1cot2cot2
1
0
2
2
1
0
22
βαοαβπ
βαοαβπ
λ
elde ederiz.
Şimdi αα = , j yeteri kadar büyük olmak üzere
( ) ( )∫ −+−=1
0
cotcot2 qqssC ββ
olduğundan
( )1ολλ +=− Cjj nn
elde ederiz.
nϕ ve
nϕ , ( )βα ,,q ve ( )βα ,,q ile tanımlanan Sturm-Liouville problemleri
için normlaştırılmış özfonksiyonlar olsun öyle ki sırasıyla
( ) ( ) αϕϕ sin00 == nn , ( ) ( ) αϕϕ cos00 −=′=′nn
dır. O zaman j büyük olmak üzere Lagrange özdeşliğinden
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xxxqxqxxxxjjjjjjjj nnnnnnnn ϕϕλλϕϕϕϕ −+−=
′′−′ (3.2.1)
elde ederiz.
( )bx ,0∈ sabittir. (0,b) aralığında B(A) yoğun olduğundan , o zaman )(ABx j
j
k
n∈ nodal
noktalarının bir dizisi ya )(ABx ∈ ya veya x ‘ e yakınsaktır. Bundan dolayı 0 dan j
j
k
nx
ye ( veya son durum için x ) 3.2.1 ifadesini integrallersek
33
(3.2.2)
elde ederiz.
Biliyoruz ki , [41] ve
=−
jnn nO
ssjj
111 den
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
+
≠
+
=
0,1
sinsin1
0,1
sincoscos
322
2
απ
αα
ϕϕ
j
nn
j
j
nn
nn
nOxsxs
n
nOxsxs
xx
jj
jj
jj
( )( )
( )( )
=
+−
≠
++
=
0,1
2cos12
1
0,1
sin2cos12
1
322
2
απ
αα
j
n
j
j
n
nOxs
n
nOxs
j
j
(3.2.2) de ∞→j alırsak
( ) 00
=−−∫x
Cqq
elde ederiz. Bundan dolayı (0,b) üzerinde Cqq += dir.
Sonuçta , j büyük olduğu zaman ( )1,
+j
j
j
j
k
n
k
nxx nodal noktalarının alt aralıklarında
arasında
( ) ( ) 01
==+j
j
j
j
k
n
k
nxx φφ
olacak şekilde
λφφφ =+′′− q ve ( ) ( )φλφφ CCq +=++′′−
Sturm-Liouville problemlerini göz önüne alalım:
Bu problemin birinci özdeğerinin tekliğinden dolayı Cjj nn += λλ dir.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )dtttCtqtqdtttttjj
jk
jn
jk
jn
jjjj nn
xx
nnnn ϕϕοϕϕϕϕ ∫∫ ++−=′′−′=
00
10
34
3.3 Vektörel Ters Nodal Problem
Bölüm 3 de vektörel Sturm-Liouville denklemi için sınır değer problemini
göz önüne alalım:
=′+
=′+
=+′′−
0)1()1(
0)0()0(
)()()()(
21
21
yByB
yAyA
xyxyxPxy λ
(3.3.1)
Burada [ ]d
jiij xpxP1,
)()(=
= olmak üzere [0,1] aralığında tanımlı sürekli,simetrik,matris
değerli bir fonksiyondur. iA ve iB ( i=1,2) d×d reel matrislerdir.
)(xy , [0,1] aralığında tanımlı sürekli d-boyutlu vektör- değerli bir fonksiyon
olsun. ( ) 00 =xy ise ]1,0[0 ∈x noktasına y(x) ‘in bir nodal noktasıdır denir. )(xy ,
ayrık tekil sıfırlar olacak şekilde )(xy ‘e (CZ) cinsinden bir vektör- değerli fonksiyon
diyeceğiz.
S matrisi sabit ve U(x) diagonal matris-değerli bir fonksiyon olacak biçimde P(x)
matris değerli fonksiyonuna köşegensel denir .
SxUSxP )()( 1−=
dir.
d=2 ise, P(x) köşegenselidir ve )()( 21 xuxu ≤ , P(x) in karakteristik iki
değeridir., o zaman z(x)=Sy(x) olsun.(3.3.1) sınır değer problemini
+′′−
0
)()( 1 xu
xz )()()(
0
2
xzxzxu
λ=
0)1()1(
0)0()0(1
21
1
12
11
=′+
=′+−−
−−
zSSBzSSB
zSSAzSSA
şekline indirgeyebiliriz.
Bundan dolayı 1−SSAi ve 1−
SSBi ( i=1,2) diagonal matrisler ise , iki boyutlu
vektörel Sturm-Liouville denklemini , bir boyutlu Sturm-Liouville denklemleri
şeklinde parçalayabiliriz.
i=1,2 için
=−
011 i
i
aSSA
2
0
ia ve
=−
011 i
i
bSSB
2
0
ib olsun. O zaman
35
=′+
=′+
=+′′−
0)1()1(
0)0()0(
)()()()(
2111
2111
1
vbvb
vava
xvxvxuxv µ
probleminin ),( nxv µ n. özfonksiyonu (CZ) sınıfından olmak üzere (3.3.1) ‘ in
−
0
),(1 nn xvS
µ özfonksiyonuna indirgeyebiliriz. Benzer şekilde
=′+
=′+
=+′′−
0)1()1(
0)0()0(
)()()()(
2212
2212
2
wbwb
wawa
xwxwxuxw ρ
probleminin ),( mxw ρ m. özfonksiyonu (CZ) sınıfından olmak üzere (3.3.1) ‘ in
( )
−
mm xwS
ρ,
01 özfonksiyonuna indirgeyebiliriz.
Bundan dolayı, Dirichlet sınır şartları ( )0, 22211 ==== BAIBA ve Neumann
sınır şartları ( )22211 ,0 IBABA ==== için açıktır ki P(x) diagonallaştırılabilir ise, o
zaman (CZ) sınıfından olmak üzere bazı özfonksiyonlar sınırsızdır.
1999 yılında , C.L. Shen ve C.T. Shieh ( [38] ) d=2 için yaklaşık olarak ispatladı.:
(CZ) sınıfından )(2
2
xPdx
d+− vektörel Sturm-Liouville operatörünün Dirichlet
özfonksiyonları sonsuz sayıda ise o zaman P(x) diagonallaştırılabilir.
Dirichlet sınır şartlarını göz önüne alalım.P(x) ,
=
0
)()( 1 xu
xU
)(
0
2 xu ‘ e
benzer ise yani P(x) diagonallaşabilir ise o zaman iki boyutlu Dirichlet-Sturm Liouville
sistemlerini alabiliriz.
==
=+′′−
0)1()0(
)()()()( 1
vv
xvxvxuxv µ
ve
==
=+′′−
0)1()0(
)()()()( 2
ww
xwxwxuxw ρ
dir.
Bu takdirde )(1 xu ve )(2 xu üzerinde McLaughlin’ in teklik teoremini
kullanabiliriz. Bundan başka (3.1.3) ü kullanırsak, )(1 xu ve )(2 xu ‘ i de yeniden
36
düzenleyebiliriz. Bir başka değişle , P(x) hakkında dolaylı olarak bilgi edinebiliriz.
Benzer sonuçlar Neumann sınır şartları için doğru olur.
Teorem3.3.1 ([38] )
Aşağıdaki Dirichlet özdeğer problemini göz önüne alalım.
==
=+′′−
0)1()0(
)()(
yy
yyxPxy λ (3.3.2)
d=2 olsun. Tamamı (CZ) sınıfından olmak üzere { }∞
=1)(
jn xy
j , (3.3.2) ‘ nin
{ }∞
=1)(
nn xy özfonksiyonlarının alt dizisinin varlığını kabul edelim. O zaman P(x)
diagonallaştırılabilirdir.
Bu tezde ,Shen ve Shieh Dirichlet sınır şartları tartışıldı. Nitekim , diğer sınır
şartları sağlandığında özdeğerler için
+=−
nOnkn
12 πλ , k=0,1 (3.3.3)
asimptotik formülü geçerlidir.
Not edelim ki Neumann sınır şartı için benzer problem Carlson [5] tarafından
incelenmiştir.
Teorem3.3.2
=′+
=′+
=+′′−
0)1()1(
0)0()0(
)(
2
2
yIBy
yIAy
yyxPy λ
(3.3.4)
göz önüne alalım. d=2 olsun. (CZ) sınıfından olmak üzere (3.3.4) in ( )nxy λ,
özfonksiyonlarının alt dizisi ( )jnxy λ, olsun ve yeteri kadar büyük jn için
jnλ özdeğerleri (3.3.3) bağıntısını sağlasın. O zaman P(x) diagonallaştırılabilirdir.
37
4. YANG’A GÖRE TERS NODAL PROBLEM
4.1 Ön Hazırlık
Lemma4.1.1 ( ) ( ) )[ 21 ,01,0,, πβα ×∈ Lq olsun. Bu takdirde ∞→n iken 11 −<< nk
için,
(a)
<=<=
+
−
>==
+
=iseveyaII
no
n
iseveyaIn
on
lk
n
αββα
αββα
00),(,1
2
11
00),(,11
2
2
(4.1.1)
(b)
<=
+
−
−
<=
+
−
>
+
−
==
+
=
iseIIbn
O
n
k
iseIIan
O
n
k
iseIbn
On
k
iseIan
On
k
xk
n
αβ
βα
αβ
βα
0)(,1
2
12
1
0)(,1
2
1
0)(,12
1
0)(,1
2
2
2
2
(4.1.2)
Bu lemmanın (a) kısmının ispatı [20], (b) kısmının ispatı [43] çalışmalarında verilmiştir.
Şimdi Lemma4.1.1 ‘ den faydalanarak aşağıdaki lemmayı ispatlayalım.
Lemma4.1.2 10 ≤< b olsun. B(A), (0,b) üzerinde çiftli ve tüm j 1≥ için
j
j
j
j
k
n
k
nxx = ve
11 ++= j
j
j
j
k
n
k
nxx
olmak üzere ( )jj nk , mevcut olduğunda sonlu j ‘ler hariç
( )jj nk , = ( )jj nk ,
dır. Bundan başka , ( )βα , ve ( )βα , sınır şartları için (4.1.2) deki benzer alt durumlar
söz konusudur.
İspat: (4.1.1) deki k
nl nin asimptotik ifadelerinden , her iki durumda da
38
j
j
j
j
j
j
k
n
k
n
k
nxxl −=
+1
=
+
2
11
jj nO
n=
+
jj no
n
11
Benzer şekilde
=j
j
k
nl
+
jj no
n
11
dir. Buna göre >ε 0 için , j yeteri kadar büyük olmak üzere
j
k
n
j nl
n
j
j
εε +<<
− 11
ve
j
k
n
j nl
n
j
j
εε +<<
− 11
olur. Dolayısıyla j
j
j
j
k
n
k
nll = ,
jj nn
εε +<
− 11 ve
jj nn
εε +<
− 11
dir. Bundan dolayı
ε
ε
ε
ε
−
+<<
+
−
1
1
1
1
j
j
n
n
dur. Bu her bir 0>ε için geçerlidir. O halde
1lim =∞→
j
j
j n
n (4.1.3)
dir.
Gelecekte , (4.1.1) de ki aynı duruma ait olan ( )βα , ve ( )βα , ‘i göstereceğiz.
( )βα , (II) durumuna ait iken ( )βα , nın ( I ) durumuna ait olduğunu söyleyemeyiz. O
zaman ∞→j iken (4.1.1) den ,
+
2
11
jj no
n=
+
−2
1
2
11
jj
no
n
dir. Buna göre (3.2.3) den ,
39
=
−
−−
2
1
2
12
1
jjj
jj
no
nn
nn
elde ederiz. Bu 2jjj nnn ≅ ve Nnn jj ∈, den dolayı mümkündür. Bundan dolayı
( )βα , ve ( )βα , aynı (I) durumuna ait olduğunu söyleriz. Öyleyse
)1(onn jj =−
önceki argümentlerinden
+
2
11
jj no
n=
+
2
11
jj no
n
sağlanır. Bundan dolayı j yeteri kadar büyük ise o zaman jj nn = dır.
Şimdi (3.1.2) de ki j
j
k
nx ve j
j
k
nx için asimptotik ifadeleri karşılaştıralım, yeteri
kadar büyük j için jj kk = ve (3.1.2) aynı alt duruma ait olan ( )βα , ve ( )βα ,
sonucuna varırız.
40
5. VEKTÖREL TERS NODAL PROBLEM
5.1 Dirichlet Sınır Şartları
d=2 için vektörel Sturm-Liouville problemini göz önüne alalım:
==
=+′′−
0)1()0(
)(
yy
yyxPy λ , (5.1.1)
Burada [ ]2
1,)()(
==
jiij xpxP , [0,1] aralığında tanımlı 2C ‘de olmak üzere simetrik
matris değerli bir fonksiyondur.
Teorem5.1.1 ),( λxY , 2×2 tipinde matris değerli fonksiyon olmak üzere
=′=
=+′′−
2)0(,0)0(
)(
IYY
YYxPY λ , (5.1.2)
problemini göz önüne alalım. O zaman
( ) ( )( )dttYtP
txI
xxY
x
),()(sinsin
),(0
2 λλ
λ
λ
λλ ∫
−+=
İfadesi (5.1.2) nin bir çözümüdür.
İspat : Son eşitliği x ‘e göre diferensiyellersek
( ) ( )( ) dttYtPtxIxxY
x
),()(coscos),(0
2 λλλλ ∫ −+=′
elde ederiz. Tekrar son ifadeyi x ‘ egöre diferensiyellersek
( ) ( )( )∫ +−−+−=′′x
xYxPdttYtPtxIxxY0
2 ),()(),()(sinsin),( λλλλλλλ
( ) ( )( )
),()(),(
),()(),()(sinsin
0
2
λλλ
λλλ
λ
λ
λλ
xYxPxY
xYxPdttYtPtx
Ix
x
+−=
+
−+−= ∫
olur. Diğer taraftan ,
( ) 0,0 =λY , 2),0( IY =′ λ
dir. Bundan dolayı ( )λ,xY , (5.1.2) nin çözümüdür.
Problem(5.1.1) inceleyelim. (5.1.1) ‘ in ve buna karşılık gelen (5.1.2) matris
diferansiyel denkleminin özdeğerlerinin asimptotik davranışlarını göz önüne alalım ve
41
karşılaştıralım. ( )λ,xY , (5.1.2) nin çözümü olsun. O zaman yalnız ve yalnız ( )∗λ,1Y
singüler ise ∗λ reel sayısı (5.1.1) ‘ in özdeğeridir. Bu durumda ( ) 0,1 =∗∗ vY λ olmak
üzere bazı { }02 −∈∗ Rv vardır. Buna göre ∗λ a karşılık gelen (5.1.1) in özfonksiyonu
( ) ∗∗ vxY λ, dır.
Lemma5.1.1 (5.1.1) in n. özdeğerini nλ ile gösterelim. Bu takdirde yeteri kadar büyük n
sayısı için
Ο+=
Ο+=−
nn
nn
n
n
1
1
2
12
πλ
πλ
dir.
İspat: P potansiyel fonksiyonu ile bağlantılı n. Dirichlet (Neumann) özdeğeri nλ olsun.
0P ile ilişkili n. Dirichlet (Neumann) özdeğeri 0nλ ve ∫=
1
0
0 )( dxxPP olsun. [5] den P,
2C sınıfından reel simetrik ve 0P , Dirichlet (Neumann) sınır şartlarına karşılık gelen
diagonal matris ise yeteri kadar büyük n ve k=0,1 için
1022
+≤− −−
n
Cknkn λλ
olmak üzere C pozitif sayısı vardır.
Genelde , 0P ’ın diagonal matris olması gerekmez. P reel simetrik olduğundan ,
0P reel simetrikdir ve buna göre diagonallaştırılabilirdir. S, 0P ‘ ın benzer matrisi olsun.
O zaman SPS 01− diagonal matrisi
∫−− =
1
0
10
1 )( SdxxPSSPS
ifadesini sağlar.
P(x) ve SxPS )(1− potansiyel fonksiyonları için özdeğerler cümlesinin aynı
olacağı açıktır.
{ }2101 ,qqdiagSPS =−
ve
kkn qn −− += 2220
2 πλ
42
olsun . Dolayısıyla
++= −−
nOqn kkn
12
222 πλ
dir. Böylece
+=−
nOnkn
12 πλ
dir.
Lemma5.1.2 nλ özdeğerine karşılık gelen (5.1.1) in çözümü ( )nxy λ, ve (5.1.1) in nodal
cümlesi { }k
nx olsun. Eğer ( )nxy λ, , (CZ) sınıfından ise yeteri kadar büyük n sayısı için
−=
+
+=
2
1,...,2,1,
1
2
1 2
nk
no
n
kx
k
n
dır.
İspat: (5.1.2) nin çözümü ( )λ,xY olsun ve { }02
2
1−∈
= R
v
vv
n
n
n , ( )nxY λ, nin
birim vektörü olsun , öyle ki ( ) ( ) nnn vxYxy λλ ,, = , (CZ) sınıfından (5.1.1) ‘ in bir
özfonksiyonudur. O zaman
( )( ) ( )( )
( ) n
x
n
n
n
n
n
nn vdttYtPtx
Ix
vxY
−+= ∫
0
2 ,)(sinsin
, λλ
λ
λ
λλ
( )
n
n
nv
nI
x
Ο+=
22
1sin
λ
λ
( )
( )
+
+
=2
1
22
22
.1sin1
11sin
n
n
n
n
n
n
v
v
nO
x
nO
nO
nO
x
λ
λ
λ
λ
43
( )
( )
Ο+
Ο+
=
2
2
1sin
1sin
2
1
n
xv
n
xv
n
nn
n
nn
λ
λ
λ
λ
Bundan dolayı,
Ο+
−
Ο+
−
=
−
2
2
2
1
14
1sin
14
1sin
,4
1
n
kv
n
kv
v
k
Y
n
n
n
n
nn
n
λ
π
λ
π
λλ
π
,
ve
Ο+
+
Ο+
+
=
+
2
2
2
1
14
1sin
14
1sin
,4
11
n
kv
n
kv
v
k
Y
n
n
n
n
nn
n
λ
π
λ
π
λλ
π
olur. Böylece tüm k için 04
1sin
4
1sin <
+
− ππ kk ,
( ) 0, =nn
k
n vxY λ
olmak üzere
+
−
∈nn
k
n
kk
xλ
π
λ
π4
1
,4
1
dir.
n
k
nCλ
π
40 ≤≤ olmak üzere k
n
n
k
n Ck
x +=λ
π olsun. O zaman
44
( )
( )
( )
Ο+
+
Ο+
+
==
2
2
2
1
1sin
1sin
,0
n
Ckv
n
Ckv
vxY
n
k
nnn
n
k
nnn
nn
k
n
λ
λπ
λ
λπ
λ
dir.
Ο+
+=
n
nn
1
2
1πλ iken
( ) ( )
Ο+−=
Ο++=
nC
nCk
k
nn
kk
nn
1sin)1(
1sin0 λλπ
dir.
Ο=
2
1
nC
k
n alırsak , dolayısıyla
−=
2
1,...,2,1
nk için
k
n
n
k
n Ck
x +=λ
π
Ο+
+=
Ο+
Ο+
+=
2
2
1
2
1
1
1
2
1
nn
k
n
n
n
k
π
π
elde ederiz.
Sonuç5.1.1 Lemma5.1.2 deki aynı varsayımlar korunacak şekilde
(a)
Ο+=−= +
2
1 11
nnxxl
k
n
k
n
k
n
(b) ( )
Ο+=−+
nxx
k
n
k
nn
11 πλ
(c)
Ο+=
nkx
k
nn
1πλ
elde ederiz.
Lemma5.1.3 (CZ) sınıfından olmak üzere , { }k
nx nodal cümlesine sahip (5.1.1) ‘in
özfonksiyonları ( ) nn vxY λ, olacak biçimde (5.1.1) ‘ in nλ özdeğerine karşılık gelen
(5.1.2) nin bir çözümü ( )nxY λ, olsun ve ( )nxY λ, nin birim vektörü nv olsun. O zaman
∞→n iken
45
(a) ( )( ) ( )( )[ ] ( )∫
=−+−+
knx
n
k
nn
k
nnn
odttYtPtxtx0
2
1 1,)(sinsin λλλ
(b) her bir l, m için [ ]1, , +∈ k
n
k
n
k
nlm xxη , öyle ki
( )( )[ ] ( )( ) ( )[ ]∫
Ο+
−=−
=
+
+
knx
ml
k
nlmlm
n
k
nn
k
n
n
k
nnn
pxl
dttYtPtx0
3
2
1,,
11 1
2
cos,)(sin η
λ
λλλ
İspat:(a) Önce, Teorem5.1.1 ‘den ve açıların toplamına ilişkin trigonometrik
formüllerden ,
( )( ) ( )( )[ ] ( )
( )
( ) dtn
tPttxx
xx
dtn
It
tPtxxxx
dttYtPtxtx
kn
kn
kn
x
n
k
n
k
n
n
n
k
n
k
n
n
x
n
nk
n
k
n
n
k
n
k
n
n
x
n
k
nn
k
nn
∫
∫
∫
Ο+
−
+
−
=
Ο+
−
+
−=
−+−
+
+
++
+
0
1
1
022
11
0
1
1)(sin
2sin
2cos2
1sin)(
2sin
2cos2
,)(sinsin
λλλ
λ
λ
λλλ
λλλ
O zaman
Ο=
Ο+=
−+
nn
xxk
n
k
n
n
11
2cos
2cos
1 πλ .
Riemann-Lebesque lemmasından
( ) )1(1
)(sin2
sin0
1
odtn
tPttxx
knx
n
k
n
k
n
n =
Ο+
−
−∫
+
λλ .
Dolayısıyla ,
( )( ) ( )( )[ ] ( )
=
Ο=
−+−∫+
2
0
1
1
)1(11
,)(sinsin
no
on
dttYtPtxtx
n
x
n
k
nn
k
nn
kn
j
λ
λλλ
olur
46
(b) şıkkını ispatlayalım.
( )( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( )[ ]
Ο+
−=
Ο+Ο+
−=
Ο+Ο+
−=
Ο++
−=
Ο+=
−
=
+
+
=
+
+
=
+
++
++
+
∫∫
∫∫∫
∫
∫
++
+++
+
+
3
2
1,,
1
3
12
1,,
1
3
122
1,,
1
2
12
1
2211
1
1
2
cos
11
2
sin
2
cos
11
2
sinsin
cos
1)(2sin
2
sin)(sin
cos
1sin)(sincossin
),()(sin
11
111
1
1
np
xl
n
lxlp
x
ndt
xdttp
x
dtn
dttPtx
dttPtx
dtn
It
tPtxx
dttYtPtx
ml
k
nlmlm
n
k
nn
k
n
n
k
n
k
nnk
n
ml
k
nlmlm
n
k
nn
x
xn
k
nn
x
x
nml
k
nlmlm
n
k
nn
x
x
x
x
n
n
k
nn
x
x
n
n
k
nn
x
x n
n
n
k
nn
k
nn
x
x
n
k
nn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
ηλ
λ
λ
λη
λ
λ
λ
λλη
λ
λ
λλ
λλ
λ
λ
λ
λλλλ
λλ
Böylece Lemma 5.1.3 ispatlanmıştır.
Teorem5.1.2 (CZ) sınıfından (5.1.1) ‘in özfonksiyonları ( ){ }∞
=1,
jn j
xy λ olsun. O zaman
P(x) diagonallaştırılabilirdir.
İspat: jnλ ye karşılık gelen (5.1.2) nin bir çözümü ( )
jnY λ,1 olmak üzere ( )jnY λ,1 ‘ nin
birim vektörü jnv olsun. O zaman
jnλ ye karşılık gelen (5.1.1) ‘ in özfonksiyonu
( )jj nn vxY λ, dir. ( )
jj nn vxY λ, ‘nin (CZ) sınıfından bir özfonksiyon olduğunu kabul
edelim.
−
==2
1,...,2,1,...,2,1:
jk
n
nkjx
j nodal cümlesi , (0,1) aralığında yoğun
olsun. O zaman
1
0 limlim+
∞→∞→== j
j
j
j
k
nj
k
nj
xxx
olmak üzere ( )1,
+j
j
j
j
k
n
k
nxx aralığı 0x ‘ ı içerir .
( ) ( )jj
k
jjj
j
j nn
k
nnn
k
nvxYvxY λλ ,0, 1+==
47
olduğundan
( ) ( )( )( ) 0,)(
sinsin
0
2 =
−+ ∫ j
jk
jn
j
j
j
jj
j
j
jj
n
x
n
n
k
nn
n
k
nn
vdttYtPtx
Ix
λλ
λ
λ
λ
ve
( ) ( )( )( ) 0,)(
sinsin1
0
1
2
1
=
−+ ∫
+++
j
jk
jn
j
j
j
jj
j
j
jj
n
x
n
n
k
nn
n
k
nn
vdttYtPtx
Ix
λλ
λ
λ
λ
elde ederiz. Önceki iki denklemi de ilave edersek,
( ) ( )( )( ) +
−+ ∫ j
jk
jn
j
j
j
jj
j
j
jj
n
x
n
n
k
nn
n
k
nn
vdttYtPtx
Ix
0
2 ,)(sinsin
λλ
λ
λ
λ
( ) ( )( )
( ) 0,)(sinsin
1
0
1
2
1
=
−+ ∫
+++
j
jk
jn
j
j
j
jj
j
j
jj
n
x
n
n
k
nn
n
k
nn
vdttYtPtx
Ix
λλ
λ
λ
λ
elde ederiz. Dolayısıyla
( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( )[ ] ( )
( )( ) ( )j
jk
jn
jk
jn
j
j
jj
j
jk
jn
j
jj
j
jj
j
j
jj
j
jj
n
x
x
n
k
nn
n
x
k
nn
k
nn
n
k
nn
k
nn
vdttYtPtx
dttYtPtxtx
vxx
−=
−+−−
+−
∫
∫+
+
+
+
1
,)(sin
,)(sinsin
sinsin
1
0
1
1
λλ
λλλ
λλ
Lemma5.1.3 den dolayı
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
j
j
j
j
j
jj
j
j
jj
j
jj
j
jj
n
jml
k
nlmlm
n
k
nn
k
n
n
j
n
k
nn
k
nn
vn
pxl
vn
ovxx
Ο+
−=
++−
=
+
+
3
2
1,,
1
2
1
1
2
cos
1sinsin
ηλ
λ
λλ
şeklinde yeniden yazabiliriz. Bu sebeple
( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) )1(cos
sinsin2
1
1
2
1,, ovxl
xxvp
jj
jj
j
j
j
jj
j
jjj
j
j
j nk
nn
k
n
k
nn
k
nnn
nml
k
nlmlm ++
=+
+
= λ
λλλη .
P sürekli matris değerli bir fonksiyon olduğundan ,
48
( )[ ] )(lim 0
2
1,, xPpml
k
nlmlmj
j
j=
=∞→η
dir. Diğer taraftan , tüm jn için 1=jnv ve kolaylık için
jnv , v ye yakınsak
alt diziye sahiptir. Bundan dolayı
( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) )1(cos
sinsin2
1
1
2
1,, ovxl
xxvpv
jj
jj
j
j
j
jj
j
jjj
j
j
jj nk
nn
k
n
k
nn
k
nnn
nml
k
nlmlm
t
n ++
=+
+
= λ
λλλη
∞→j iken limit alırsak , L.H.S. , vxPvt )( 0 ‘ye yakınsaktır. Buna göre R.H.S. de
( ) ( )[ ]( ) ( )01
1
cos
sinsin2lim xc
xl
xx
j
jj
j
j
j
jj
j
jjj
k
nn
k
n
k
nn
k
nnn
j=
+
+
+
∞→ λ
λλλ
vardır ve )( 0xc sabittir. Bundan dolayı
vxPvt )( 0 = )( 0xc
yani
( )vxcvxP 00 )( =
dir.
(0,1) aralığında 0x sabit olduğundan , (0,1) aralığında 01 xx ≠ seçebiliriz ve
)( 1xP in özvektörü v olacak şekilde 1x için önceki argümenti kullanırız. Bu takdirde
)( 0xP ve )( 1xP aynı v özvektöre sahiptir.
Diğer taraftan u , v ye ortogonal olacak biçimde P(x) in özvektörü u ise her bir
P(x) diagonallaştırılabilirdir.
( )uxcuxP =)(
olmak üzere c(x) , x ‘e bağlı diğer bir )(xc sabiti vardır. Böylece P diagonallaştırılabilir.
5.2 Diğer Sınır Şartları
Bu bölümde Dirichlet sınır şartlarından farklı sınır şartlarını ele alacağız ve
özdeğerler belirli bir şartları sağlamak üzere bir önceki bölümdeki sonuçların benzerlerini
bulacağız.
d=2 için vektörel Sturm-Liouville problemini göz önüne alalım:
[ ]2
1,)()(
==
jiij xpxP , [0,1] aralığında sürekli simetrik matris-değerli bir fonksiyon ve 2I ,
22 × tipinde özdeş matris olmak üzere
49
( )( )
=′+
=′+
=+′′−
01)1(
00)0(
)(
2
2
yIBy
yIAy
yyxPy λ
(5.2.1)
Bu problem non-Dirichlet sınır şartları ile ilgilidir. A=B=0 ise o zaman (5.2.1) tamamen
Neumann sınır şartlarıdır.
Teorem5.2.1 ),( λxY , 2×2 tipinde matris değerli fonksiyon olmak üzere
( )
−=′=
=+′′−
AYIY
YYxPY
λλ
λ
,0,),0(
)(
2
, (5.2.2)
problemini göz önüne alalım. Bu takdirde
( ) ( ) ( )( )dttYtP
txA
xIxxY
x
n ),()(sinsin
cos),(0
2 λλ
λ
λ
λλλ ∫
−+−=
İfadesi (5.2.2) ün bir çözümüdür.
İspat: Son ifadenin x ‘e göre ikinci mertebeden türevini hesaplarsak:
( ) ( ) ( )( ) dttYtPtxAxIxxY
x
),()(coscossin),(0
2 λλλλλλ ∫ −+−−=′
ve
( ) ( ) ( )( )∫ +−++−=′′x
xYxPdttYtPtxAxIxxY0
2 ),()(),()(sinsincos),( λλλλλλλλλ
( ) ( ) ( )( )
),()(),(
),()(sinsin
cos0
2
λλλ
λλ
λ
λ
λλλ
xYxPxY
dttYtPtx
Ax
Ix
x
+−=
−+−−= ∫
buluruz. Diğer taraftan , ),( λxY çözüm fonksiyonu
( ) 2,0 IY =λ , AY −=′ ),0( λ
şartlarını sağlar. Bundan dolayı (5.2.2) nin bir çözümü ( )λ,xY dır.
Lemma5.2.1 (5.2.1) ün (yani A=B=0) n. inci Neumann özdeğerini nλ ile gösterelim.
O zaman yeteri kadar büyük n sayısı için
Ο+=
Ο+=−
nn
nn
n
n
1
1
2
12
πλ
πλ
(5.2.3)
50
dir.
Lemma5.2.1 ‘in ispatı Lemma5.1.1 ‘nin ispatı ile aynıdır.
Lemma5.2.2 nλ özdeğerine karşılık gelen (5.2.1) ün çözümü ( )nxy λ, olsun ve (5.2.1)
ün nodal cümlesi { }k
nx olsun. ( )nxy λ, , (CZ) sınıfından ise ve nλ ,(5.2.3) deki
asimptotik ifadelere sahip ise , o zaman yeteri kadar büyük n sayısı için ,
−=
Ο+
+
+=
2
1,...,2,1,
1
2
12
1
2
nk
nn
k
xk
n
dır.
İspat (5.2.2) ün bir çözümü ( )λ,xY ve (5.2.1) ‘ ün özfonksiyonu ( ) nn vxY λ, , (CZ)
sınıfından olacak şekilde { }02
2
1−∈
= R
v
vv
n
n
n , ( )nxY λ, nin birim vektörü olsun.
nnn
n
vn
Ikv
k
Y
Ο+
+=
+
1
4
1cos,
4
1
2πλλ
π
Ο
Ο+
+
=
n
nk
1
1
4
1cos π
Ο+
+
Ο
2
1.1
4
1cos
1
n
n
v
v
nk
n
π
Ο+
+
Ο+
+
=
nkv
nkv
n
n
1
4
1cos
1
4
1cos
2
1
π
π
.
Benzer şekilde,
Ο+
+
Ο+
+
=
+
nkv
nkv
v
k
Y
n
n
nn
n 1
4
3cos
1
4
3cos
,4
3
2
1
π
π
λλ
π
dir.
1,...,2,1,0,04
3cos
4
1cos −=<
+
+ nkkk ππ
51
olduğundan ( ) 0, =nn
k
n vxY λ olacak biçimde
+
+
∈nn
k
n
kk
xλ
π
λ
π4
3
,4
1
dir.
n
k
nCλ
π
40 ≤≤ olmak üzere k
n
n
k
n C
k
x +
+
=λ
π2
1
olsun. O zaman
( )
Ο+
+
+
Ο+
+
+
==
nCkv
nCkv
vxY
k
nnn
k
nnn
nn
k
n
1
2
1cos
1
2
1cos
,0
2
1
λπ
λπ
λ
dır. Bundan dolayı
( )
Ο+−=
Ο+
++=
nC
nCk
k
nn
k
nn
1sin
1)
2
1(cos0 λλπ
olur..
Ο=
2
1
nC
k
n alırsak ,
+
+
+
+
=+
+
=2
1
1
2
1
2
1
2
1
nO
nO
n
k
C
k
xk
n
n
k
n
π
π
λ
π
Ο+
+
+=
2
1
2
12
1
nn
k
elde ederiz.
Sonuç5.2.1 Lemma5.2.2 deki aynı varsayımlar sağlanacak şekilde
(a)
Ο+=−= +
2
1 11
nnxxl
k
n
k
n
k
n
(b) ( )
Ο+=−+
nxx
k
n
k
nn
11 πλ
(c)
Ο+=
nkx
k
nn
1πλ
elde ederiz.
52
Lemma5.2.3 (5.2.1) ‘ ün nλ özdeğerine karşılık gelen (5.2.2 ) nin çözümü ( )nxY λ,
olsun ve nλ , (5.2.3) de ki asimptotiklere sahiptir. ( ) nn vxY λ, , (CZ) sınıfından { }k
nx
nodal cümlesine sahip (5.2.1) in özfonksiyonu olmak üzere ( )nxY λ, nin birim vektörü
nv olsun. O zaman ∞→n iken
(a)
( )( )
( )( ) ( )[ ]∫
+
Ο+
−=
−=
++1
3
2
1,,
111
2
sin,)(
sinkn
kn
x
x
ml
k
nlmlm
n
k
nn
k
n
n
n
k
nn
np
xldttYtP
txη
λ
λλ
λ
λ
Her bir l, m için [ ]1, , +∈ k
n
k
n
k
nlm xxη vardır.
(b) ( )( ) ( )( )
( )∫
=
−+−+1
02
11
,)(sinsinnx
n
n
k
nn
k
nn
nodttYtP
txtxλ
λ
λλ
İspat: (a) şıkkını ispatlayalım.
( )( )( )∫
+
=−+
1
,)(sin 1k
n
kn
x
x
n
n
k
nndttYtP
txλ
λ
λ
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )( )
( ) ( )[ ]
Ο+=
Ο
+Ο−=
Ο+−=
Ο+−=
=
+
+
=
+
++
++
∫∫
∫∫∫
∫
++
+++
+
3
2
1,,
1
122
1,,
1
12
1
211
1
2
sin
1
12
coscos
sin
11)(2sin
2
cos)(cos
sin
1cos)(sincoscossin
1
11
111
1
n
lp
x
nl
dtx
dttpx
dtn
dttPtx
dttPtx
dtn
IttPtxtx
k
n
ml
k
nlmlm
n
k
nn
n
k
nx
xn
k
nn
x
x
nml
k
nlmlm
n
k
nn
x
xn
x
x
n
n
k
nn
x
x
n
n
k
nn
x
x
nn
k
nnn
k
nn
n
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
ηλ
λ
λλ
λλη
λ
λ
λλ
λ
λλ
λ
λ
λλλλλλ
( ) ( )[ ]
Ο+=
=
+
3
2
1,,
11
2
cos
np
xl
ml
k
nlmlm
n
k
nn
k
nη
λ
λ
53
(b) şıkkını ispatlayalım.
( )( ) ( )( )
( )∫−+−+k
nx
n
n
k
nn
k
nndttYtP
txtx
0
1
,)(sinsin
λλ
λλ
( )
( )dttYtPtxxn
dttYtPtxx
xx
dtdttYtPxx
txx
n
x k
n
k
n
n
n
x
n
k
n
k
n
n
n
k
n
k
n
n
x
n
k
n
k
n
n
k
n
k
n
n
n
kn
kn
kn
λλλ
π
λλλ
λ
λλλλ
,)(2
sin
1
2cos2
,)(2
sin2
cos2
),()(2
cos2
sin21
0
1
0
1
1
0
11
∫
∫
∫
−
+
Ο+
=
−
+
−
=
−
−
+=
+
+
+
++
Riemann-Lebesque lemmasından , ∞→n iken
( ) 0,)(2
sin0
1
→
−
+∫
+
dttYtPtxx
knx
n
k
n
k
n
n λλ
olduğunu elde ederiz.
Dolayısıyla , ∞→n iken
( )( ) ( )( )( )
.1
)1(12
)1(
1
2cos2
,)(sinsin
2
0
1
=
Ο=
Ο+
=
−+−∫
+
no
on
on
dttYtPtxtx
nn
x
n
n
k
nn
k
nn
kn
λλ
π
λλ
λλ
Böylece (CZ) tipli özdeğerler ve diagonallaştırılabilir potansiyel fonksiyon
arasındaki bağıntıda non-dirichlet sınır koşullarını sağlar.
Teorem5.2.2 (5.2.1) ün özfonksiyonları ( )jnxy λ, (CZ) sınıfından olsun.
jnλ , (5.2.3)
deki asimptotik ifadelere sahip ise P(x) diagonallaştırılabilirdir.
İspat. (5.2.2) ‘ ün çözümü ( )λ,xY ve (5.2.1) ün özdeğerleri {jnλ } olsun. O zaman
54
( ) ( )jj nn YIBY λλ ,1,1 2
′+
singülerdir. Bundan dolayı jnλ ’ye karşılık gelen (5.2.1) ‘ün özfonksiyonları ( )
jj nn vxY λ,
( )jj nn vxY λ, olmak üzere ( )
jnY λ,1 nin { }jnv birim vektörüdür. ( )
jj nn vxY λ, , (CZ)
sınıfından bir özfonksiyon olsun.
−
==2
1,...,2,1,...,2,1:
jk
n
nkjx
j , (0,1) aralığında yoğun nodal cümle olsun. O
zaman
1
0 limlim+
∞→∞→== j
j
j
j
k
nj
k
nj
xxx
olacak şekilde ( )1,
+j
j
j
j
k
n
k
nxx aralığı 0x ‘ ı içerir.
olur.
( ) ( )jj
k
jjj
j
j nn
k
nnn
k
nvxYvxY λλ ,0, 1+==
olduğundan
( )( ) ( )( )
( ) 0,)(sinsin
cos0
2 =
−+− ∫ j
jk
jn
j
j
j
jj
j
j
jjj
jj n
x
n
n
k
nn
n
k
nnk
nn vdttYtPtx
Ax
Ix λλ
λ
λ
λλ
ve
( )( ) ( )( )
( ) 0,)(sinsin
cos
1
0
11
2
1=
−+− ∫
+++
+
j
jk
jn
j
j
j
jj
j
j
jjj
jj n
x
n
n
k
nn
n
k
nnk
nn vdttYtPtx
Ax
Ix λλ
λ
λ
λλ
Önceki iki denklemi ilave eder ve yeniden düzenlersek,
( ) ( )[ ] ( ) ( )+
+−+
+
+
j
j
j
jj
j
jj
j
j
jj
j
jj n
n
k
nn
k
nn
n
k
nn
k
nn Avxx
vxxλ
λλλλ
1
1sinsin
coscos
( )( ) ( )( )j
jk
jn
j
j
j
jj
j
jj
n
x
n
n
k
nn
k
nn
vdttYtPtxtx
−+−
∫+
0
1
),()(sinsin
λλ
λλ
( )( )( )
j
jk
jn
jk
jn
j
j
j
jj
n
x
x
n
n
k
nn
vdttYtPtx
−= ∫
++
1
,)(sin
1
λλ
λ
55
elde ederiz.
Lemma 5.2.3 den dolayı
( ) ( )[ ]( ) ( )
( )( )[ ]
Ο+=
+
+−
++
=
+
+
+
3
2
1,,
1
2
1
2
1
1.
2
sin
1sinsin1coscos
j
nml
k
nlmlm
n
k
nn
k
n
j
n
n
k
nn
k
nn
n
j
n
k
nn
k
nn
nvp
xl
noAv
xxv
novxx
j
j
j
j
j
jj
j
j
j
j
j
jj
j
jj
jj
j
jj
j
jj
ηλ
λ
λ
λλλλ
alabiliriz.
( ) ( )
( )
=
+
++=
−
+=+
++
+
22
11
1
11
2cos.
11sin2
cos2
sin2sinsin
jjj
j
k
n
k
n
n
k
n
k
n
n
k
nn
k
nn
nO
nO
nOk
xxxxxx
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
jj
j
jj
ππ
λλλλ
olduğundan,
( ) ( )[ ] =
++
+
23
1 11coscos
jj
n
k
nn
k
nnn
on
Ovxxj
j
jj
j
jjλλ
( )( )[ ]
Ο+=
=
+
3
2
1,,
1
1.
2
sin
j
nml
k
nlmlm
n
k
nn
k
n
nvp
xl
j
j
j
j
j
jj
j
j
ηλ
λ
elde ederiz.
Bundan dolayı,
( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) )1(sin
coscos2
1
1
2
1,, ovxl
xxvp
jj
jj
j
j
j
jj
j
jjj
j
j
j nk
nn
k
n
k
nn
k
nnn
nml
k
nlmlm ++
=+
+
= λ
λλλη .
P , matris-değerli sürekli bir fonksiyon olduğundan , ∞→j iken
( )[ ] ( )0
2
1,, xPpml
k
nlmlm
j
j→
=η
dır. Diğer taraftan, tüm jn için 1=jnv ve
jnv herhangi v ye yakınsar. Bu sebeple
( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) )1(sin
coscos2
1
1
2
1,, ovxl
xxvpv
jj
jj
j
j
j
jj
j
jjj
j
j
jj nk
nn
k
n
k
nn
k
nnn
nml
k
nlmlm
t
n ++
=+
+
= λ
λλλη
56
∞→j iken limit alırsak , L.H.S. , vxPv t )( 0 ‘ye yakınsar. Buna göre R.H.S. de
( ) ( )[ ]( ) ( )01
1
sin
coscos2lim xc
xl
xx
j
jj
j
j
j
jj
j
jjj
k
nn
k
n
k
nn
k
nnn
j=
+
+
+
∞→ λ
λλλ
vardır. Bundan dolayı )( 0xc sabit olacak şekilde
( )vxcvxP 00 )( =
dir.
(0,1) aralığında 0x keyfi olduğundan , (0,1) aralığında 01 xx ≠ seçebiliriz ve 1x
için önceki argümenti kullanırız öyle ki )( 1xP in özvektörü v dir. O zaman )( 0xP ve
)( 1xP aynı v özvektörüne sahiptir.
Buna ilaveten , u ‘ v ye ortogonal birim vektörü olsun. Her bir P(x)
diagonallaştırılabilir olduğundan , u P(x) için bir özvektör olur. Böylece )(xc , x ‘ e
bağlı bir sabittir olacak şekilde
( )uxcuxP =)(
dir. Bu sebeple P diagonallaştırılabilir.
5.3 Nodal Noktalara Göre Ters Problemin Tekliğine İlişkin Bazı Sonuçlar
Bu kısımda spektral verilerin yeni bir çeşidi olan nodal noktalardan faydalanarak
Sturm-Liouville denklemi için spektral teorinin ters problemleri ile ilgilendik.
( ) ( )1,02Lxq ∈ olmak üzere
( ) 0=−+′′ yqy λ , 10 << x (5.3.1)
( ) ( ) 010 == yy (5.3.2)
Sturm-Liouville problemini göz önüne alalım. Özfonksiyonların verilen nodal noktalarına
göre q potansiyelini tanımlayalım. (5.3.1)-(5.3.2) problemi titreşim teorisinde meydana
gelen
0)( =+− uqupu xx λρ , Lx ≤≤0 , 0>p , 0>ρ
( ) ( ) 00 == Luu
probleminin bir benzeri olduğunu hatırlatalım.
Sturm-Liouville operatörü için ters problemler incelenirken , özel olarak teklik
teoremleri ispatlanırken genellikle spektral verilerin her bir cümlesi iki dizi ile
57
verilmektedir. Dolayısıyla potansiyel fonksiyonu bire-bir tanımlamak için spektral
verileri için aşağıdaki durumlar söz konusudur:
a) iki farklı özdeğerler cümlesi
b) özdeğerler ve normlaştırıcı sabitler cümlesi
c) kısmen çakışmayan iki spektrum
d) özdeğerler ve özfonksiyonların sıfırları (nodal noktaların cümlesi)
(5.3.1)-(5.3.2) probleminin özdeğerleri ......21 <<<< nλλλ olsun. Bu takdirde
)(qnλλ = özdeğerine karşılık gelen özfonksiyon ( )nqxy λ,, ise normlaştırıcı sabitlerin
bir cümlesini
( ) ( ) ( ) 22,,0/,,1 nnn qyqyq λλρ ′= , n=1,2,…
şeklinde ele alalım [13-37 ]. Normlaştırıcı sabitlerin cümlesi
( ) ( ) ( )nnn qyqyqk λλ ,,0/(),,1(log ′′= , n=1,2,…
şeklinde olabilir [7]. Bu durumda veri cümlesindeki ikinci bir dizi olarak özdeğerlerin
bir başka cümlesi ( )qnµ ,n=1,2,…, dir. Bu cümle
( ) 0)( =−+′′− yxqy λ , 10 << x
( ) ( ) 01,00 =′= yy (5.3.3)
probleminin özdeğerlerinden oluşur.
Şimdi spektral veriler cümlesine göre farklı )(1 xq , ( )xq2 potansiyellerine
sahip Sturm-Liouville problemleri için bilinen teklik teoremlerini ifade edelim.
Teorem 5.3.1 ( )1,0, 221 Lqq ∈ olsun. (5.3.1)-(5.3.2) problemi için ( ) ( )21 qq nn λλ = ,
( ) ( )21 qq nn ρρ = olacak biçimde 21 qq ≡ dir.
Teorem 5.3.2 ( )1,0, 221 Lqq ∈ olsun. (5.3.1)-(5.3.2) problemi için ( ) ( )21 qq nn λλ = ,
( ) ( )21 qkqk nn = , (n=1,2,… ) olacak biçimde 21 qq ≡ dir.
Teorem 5.3.3 ( )1,0, 221 Lqq ∈ olsun. (5.3.1)-(5.3.3) problemi için ( ) ( )21 qq nn µµ = ve
(5.3.1)-(5.3.2) problemi için ( ) ( )21 qq nn λλ = olmak üzere 21 qq ≡ dir.
Şimdi (5.3.1)-(5.3.2) probleminin özfonksiyonları ve özdeğerleri için asimptotik
formüller ile ilgili bilinen sonuçları verelim. Yoğunluk ve nodal noktalar için asimptotik
formülleri ile ilgili iki problemi inceleyelim.
58
(5.3.1)-(5.3.2) problemi için ∞=∞→
nn
λlim olmak üzere ......21 <<<< nλλλ
özdeğerlerin bir dizisi ve nλ ‘ e karşılık gelen her bir ( )nqxy λ,, özfonksiyonu 0<x<1
aralığında tam n-1 , ( n=1,2,…) sayıda sıfıra sahip olsun.
(5.3.1)-(5.3.2) probleminin ( )λ,,1 qxy , ( )λ,,2 qxy iki temel çözümleri sırasıyla
( ) 1,,01 =λqy , ( ) 0,,01 =′ λqy ve ( ) 0,,02 =λqy , ( ) 1,,02 =′ λqy şartlarını sağlasın.
Bu takdirde ( )λ,,1 qxy ve ( )λ,,2 qxy çözüm fonksiyonlarının sırası ile
( )
( )
+=
+=
λ
λ
λ
λλ
λ
λλλ
xımO
xqxy
xOxqxy
expsin,,
Imexpcos,,
2
1
,
bağıntıları ve nλ özdeğerleri ise n=1,2,… ( ) ∞<∑∞
=1
2
n
nα olmak üzere
nn cn απλ ++= 022
ifadesi ile verildiği bilinmektedir. Yani { } 2ln ∈= αα ve ( )∫=1
0
0 dxxqc dir. Buna
ilaveten her bir özdeğere karşılık gelen özfonksiyonlar lineer bağımsızdır ve
( )nqxy λ,,2 nin herhangi bir sabit katsayısı λ = nλ ‘ e karşılık gelen (5.3.1)-(5.3.2)
probleminin bir özfonksiyonudur.
2≥n , 1,...,2,1 −= nj için 1...0 121 <<<<< −n
nnn xxx olmak üzere ( )nqxy λ,,2 ‘
nin sıfırlarını ( )qxj
n ile gösterelim.
( ),qx j
n sıfırlarının durumları hakkında daha detaylı bir araştırma yapalım. ( )0j
nx
‘ın değerleri verilecek biçimde keyfi 2Lq ∈ için ( ),qxj
n noktalarının değerlerine
yaklaşımın mümkün olabileceğini açıklayalım. Sonuçta 0≡q olacak biçimde (5.3.1)-
(5.3.2) ‘nin özdeğerlerinin 22πλ nn = , n=1,2,… ve sıfırların ( ) njxj
n /0 = , j=1,…,n-1
, 2≥n bağıntılarını sağladığı bulunur. Şimdi ( )qx j
n- ( )0j
nx farkının sınırlılığını
araştıralım.
59
Burada ( )nqxy λ,,2 n. özfonksiyonun j. inci sıfırı ( )qxj
n nun durumunu
inceleyelim. IRL →2 dönüşümü lineer olmayan sürekli (Frechet ) diferensiyellenebilir
bir dönüşümdür. Gerçekten , 2Lq ∈ için ,
[ ]( ) ( )
ε
εε
qxwqxwxd
j
n
j
nj
nq
−+=
→0lim
tanımlayalım ve aşağıdaki lemmayı ispatlayalım.
Lemma5.3.1 ( )1,02Lq ∈ olsun ve ( )qx j
n, j=1,…,n-1 , n=2,3,… yukardaki gibi
tanımlayalım. O zaman
( ) ( ) jnn xxn
j
n qxyd
dqxy
===
,22 ,,,,λλ
λλ
λ& ( )
=
λλ
d
dyxy ,&
ve
( ) ( )n
qyd
dqy n λλ
λλ
λ=
= ,,1,,1 22&
olmak üzere
[ ]( )[ ]
( )[ ]
′= ∫
jnx
n
n
j
n
j
nq dttwqtyqxy
wxd0
2
22
2
)(,,,,
1λ
λ
( )( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )
×′′
− ∫1
0
2
2
222
2 ,,,,1,,
1.
,,1
,,dttwqty
qyqxyqy
qxyn
nn
j
nn
n
j
n λλλλ
λ
&
&
İspat. Lemmada ki formülün doğruluğunu göstermek için j=1,…,n-1 ve n=2,3,…
sabitleri ve tüm q ‘ lar için ( ) 0,,1 ≡nqy λ ve ( ) 0,, ≡n
j
n qxy λ alabiliriz. Yukarıdaki
şekilde tanımlanan ifadelerin türevini alırsak
( )[ ] ( )[ ]),,(,,1
lim,,0
λλεε
λε
qxywqxywqxyd q −+
=
→
olmak üzere
( ) [ ] ( )[ ] ( ) [ ] 0,,,,,, 222 =++′ wdqxywqxydwxdqxy nqn
j
nn
j
nq
j
nqn
j
n λλλλ &
ve
( )[ ] ( ) [ ] 0,,1,,1 =+ wdqywqyd nqnnq λλλ &
dır. ( )[ ]wqxyd n
j
nq λ,, ve ( )[ ]wqxyd n
j
nq λ,, için tanımladığımız ifadelerden lemmadaki
formül doğrudan hesaplanabilir. Bunun kolayca sağlandığını gösterebiliriz.
60
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ −=
−+x
qtyqxyqtyqxyqxywqxy
0
211222 ,,,,,,,,
,,,,λλλλ
ε
λλε
( )[ ] ( )dtwqtytw λε ,,. 2 + (5.3.4)
elde ederiz. 0→ε için limit alırsak
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) dttwqtyqtyqxyqtyqxywqxyd
x
q )(,,.,,,,,,,,,, 2
0
21122 λλλλλλ ∫ −=
elde ederiz.
Bu ifade x =1 veya j
nxx = ve λ =nλ için ( ) 0,,12 =nqy λ ve
( ) 0,,2 ≡n
j
n qxy λ olduğundan basitleşir. Bu durumlarda
( )[ ] ( ) ( ) ( ) dtqtytwqxywqxyd n
x
n
j
n
j
nq
jn
22
0
12 ],,[,,,, λλλ ∫−=
ve
( )[ ] ( ) ( ) ( ) dtqtytwqywqyd nnq
22
1
0
12 ],,[,,1,,1 λλλ ∫−=
elde ederiz. Sonuçta
( ) ( ) ( ) ( ) 1,,,,,,1,,1 2121 =′=′n
j
nn
j
nnn qxyqxyqyqy λλλλ
elde ederiz ki buda bir Sturm özdeşliğidir.
[ ]wxj
n ‘ nın türevi için elde edilen hesaplamalardan (5.3.4 ) eşitliğine geri
dönebiliriz ve bu türev Frechet türevidir. ( )qx j
n için asimptotik formu kullanırsak türev
formülünü elde edebiliriz. Gerçekte, ( )qx j
n - ( ) ( )n
jqxx j
n
j
n −=0 farkının sınırlılığı
gerekir.
Bunu aşağıdaki lemma ile tamamlayabiliriz.
Lemma5.3.2 ( )1,02Lq ∈ olsun. (5.3.1)-(5.3.2) problemini göz önüne alalım ve λ = nλ
, n=1,2,… özdeğerine karşılık gelen özfonksiyon ( )nqxy λ,,2 olsun. ( )nqxy λ,,2 ‘nin j.
inci sıfırı j
nx olsun. O zaman
+=
2
1
nO
n
jx
j
n
dir.
61
İspat. q düzgün bir fonksiyon olduğunda
( ) ( ) ( )( ) [ ]qxdtqxqtqxtqxdt
d j
ntq
j
n
j
n
j
n =−+=
∞→
εεε
/lim
olmak üzere
( )qx j
n- ( ) ( )dttqx
dt
dx
j
n
j
n ∫=1
0
0
yazabiliriz.
Bu lineer operatör önceki lemmalarda açık olarak hesaplanmıştı. Tüm t ‘ler için
[ ]qxd j
ntq üzerine bir sınırlılık tanımlayalım. Bu bölümün başlangıcında verilen
asimptotik formüllerden faydalanarak λ reel sayısı için aşağıdaki bağıntıları
( )
( )( )
+
−=
+=′
23
22
2
1
2
2cos1],,[
1cos,,
nn
n
n
n
nn
Ox
tqxy
Oxtqxy
λλ
λλ
λλλ
elde ederiz ve
( )( )
)1(,,1
,,
2
2 Oxtqy
tqxy j
n
n
n
j
n +=λ
λ
&
&
buluruz. Ayrıca
[ ]
+−= ∫ ∫
jnx
j
n
j
ntq Odssqxdssqn
qxd0
1
022
)1()()(2
1
π
dir. Böylece lemma ispatlanmış oldu.
Her bir [ ]1,02Lq ∈ , ( )qx j
n , j=1,2,…,n-1 , n=2,3,… için nodalların seçilen
bir alt cümlesinin [0,1] aralığında yoğun olacağını gösterelim. Bu alt cümle her 2≥n
için bir nodalı (düğüm noktasını) kapsayacaktır. Burada bizim kullanacağımız
metot her [ ]1,02Lq ∈ için sonucu elde etmek için yukarıdaki teoremi kullanarak 0≡q
olduğunda alt cümlenin yoğunluğunu göstermek olacaktır.
0≡q için bu sonucu aşağıdaki lemma kapsar.
Lemma5.3.3 ( )
)2(
11
m
mk −
++
, k=0,1,2,3,… , 12,...,1,0 −= km sayılarının cümlesi [0,1]
aralığında yoğundur.
62
Lemmanın ispatından önce aşağıdaki hatırlatmaları yapalım:
1. 0≡q olmak üzere (5.3.1)-(5.3.2) probleminin 1λλ = hariç tüm özdeğerlerin
cümlesi ( ) 2212 πmk −+ , k=0,1,2,… , 12,...,1,0 −= km sayılarıdır. ( )
)2(
11
m
mk −
++
kesri
( ) 2212 πmk −+ özdeğerine karşılık gelen özfonksiyonun bir sıfırdır. Dolayısıyla önceki
lemmada verilen rasyonel sayıların cümlesi 21 πλλ == ‘ ye karşılık gelen özfonksiyon
dışında her bir özfonksiyonun düğüm noktasını gösterir.
2. Bir başka bakış açısından dikkat edecek olursak 0≡q için
( ))2(
11
1
2 1
m
mx
k
m
mk
−
+=
+
+
−+
olur.
Bu ispatın temelini
,1,12
2,...,
22
3,
12
2,
2
1,0
111 +−− +++ k
k
kkk k=0,1,2,…
dizisindeki her ardışık sayılar arasındaki farkın maksimumunun ∞→k iken sıfıra
yaklaştığı oluşturur . Bu gösterimde önce verilen farkların sınırlılığına dikkat edersek
11 2
10
2
112
1
12
21
++=−
+=
+−
kk
kk
k
ve 22,...,1,0 −= km için
( ) ( )[ ][ ] 12
2
2.12
12
2
1
12
211
1
11 +<
−+−
+=
−
+−
+−
+++
+
++ kkk
k
kk mmm
m
m
m
dir. Bundan dolayı
++1,
12
2,...,
2
1,0
1 k
k
k k. inci dizisindeki ardışık sayılar arasındaki
farkın 12
2
+k üst sınırı ∞→k iken sıfıra gider ve böylece lemma ispatlanmış olur.
Böylece ( ) 0=xq olacak şekilde (0,1) aralığında yoğun olan { }∞
=2sin nxnπ
özfonksiyonlarının sıfırlarının bir cümlesini kurmuş olduk. Benzer sonuç ( )1,02Lq ∈
için aşağıdaki lemmada verilmiştir.
63
Lemma5.3.4 ( )1,02Lq ∈ olsun. mnk −= +12 olmak üzere her bir 2≥n tamsayısı için
k=0,1,2,3,… , ve 12,...,1,0 −= km bulunur. Her bir n sabiti için ( ) 1+= mnj ile tanımlı k
ve m nin terimlerindeki n yi temsil etmekte kullanırız. O zaman bu ( ) ( ){ }∞
=2n
nj
n qx , (0,1)
aralığında yoğundur.
Şimdi tekliğe ilişkin teoremi ifade ve ispat edelim.
Teorem5.3.4 (Teklik Teoremi ) 221 , Lqq ∈ olsun. i=1,2 için
( ) 0=−+′′ yqy iλ
( ) ( ) 010 == yy
özdeğer problemini göz önüne alalım. Her bir 2≥n için j(n) ‘i Lemma5.3.4 deki gibi
seçelim. Özel olarak seçilen sıfırlar için
( )( ) ( ) ( )21 qxqx nj
n
nj
n = , n=2,3,…
ve
dxqdxq ∫∫ =1
0
2
1
0
1
bağıntıları sağlasın , o zaman 21 qq ≡ dir.
İspat. Birinci durum gerçekte gösterir ki ( ){ }2≥n
nj
nx aşağıdaki gibi yoğundur. [ ]1,0∈x
sabit, ancak keyfi seçilmiş olsun. O zaman ( )xx k
k
nj
nk
=∞→
lim olmak üzere j(n) ‘ nin
tanımından dolayı kn , k=1,2,… alt dizisi vardır. Kısaca ( )xxx k
k
nj
nk == olsun. Ayrıca
kJ ,
( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )dtqqtyqqtyqqqqnJkk
k
kk nn
x
nnkk 222112
0
212122 ,,.,, λλλλπ ∫ +−−=
eşitliği ile tanımlanacak olursa standart Sturm özdeşliğini kullanırsak 0=kJ , k=1,2,3,…
olduğunu gösterebiliriz.
kk
J∞→
lim limitini hesaplayalım. Bu sonucu ( ) 01
0
21 =−∫ dtqq olduğundan özdeğerler için
asimptotik formüllerden görebiliriz o zaman 0lim =kB olmak üzere
( ) ( ) knn Bqqkk
=− 21 λλ
64
dır. ( gerçekten de ∞<∑∞
=1
2
k
kB dur.) Ayrıca 10 ≤≤ x için öyle bir M>0 sabiti vardır ki
( ) ( )( ) ( )( )k
k
nnkn
Mxnqqtyqqtyn
kk≤
−−
2
2cos1,,.,, 222112
2 πλλπ
dır. Böylece ∞→k iken
( ) 02cos0
12 →−∫ tdtnqq k
xk
π
Bağıntısını göz önüne alırsak ve bu sonuçları birleştirirsek ∞→k iken kJ daki
terimlerinin çoğu sıfıra yaklaşır
( ) ( )( )dttqtqJ
x
kk ∫ −==
∞→0
21lim0
olur. Böylece x sabiti için ispat yapılmış olur, x keyfi seçilmişti. Bu sebeple
( ) ( )( )dttqtq
x
∫ −=0
210 , [ ]1,0∈x
ve 021 =− qq dır . Dolayısıyla teorem ispatlanmış oldu.
65
KAYNAKLAR
[1] Akhizer, N.I. and Glazman, I.M.,1961, Theory of Linear Operators in Hilbert Space ,
Eng. Trans.1-2 vols. New York
[2] Atkinson, F.V., 1964, “ Discrete and Continuous Boundary Problems”, Academic
Press, New York
[3] Borg, G.,1946, Eine Umkerung der Sturm-Liouville Eigenwertaufgabe, Acta Math.76,
1-96.
[4] Browne, P.J. and Sleeman, B.D., 1966, Inverse Nodal Problems for Sturm-Liouville
Equations with Eigenparameter Dependent Boundary Conditions , Inverse Problems
12,377-381.
[5] Carlson, R., 1999,Large Eigenvalues and Trace Formulas for Matrix Sturm-Liouville
Problems, Sıam.J. Math. Anal.30, No.5,949-962
[6] Churchill, R.V., 1963, Fourier series and Boundary Value Problems.2d.Ed. Mc Graw-
Hill.
[7] Gelfand, I.M. and Levitan , B.M. , 1951, On the Determination of a Differential
Equation from Its Spectrum. Izv. Akad. Nauk. SSSR.Ser. Math.,15,309-360; Amer. Math.
Soc.Transl.1 (1955) ,253-304
[8] Gesztesy, F. and Simon, B.,1999,On the determination of a potential by three spectra ,
Amer. Math. Soc. Transl. (2) 189 ,85-92.
[9] Hald, O.H., McLaughlin J.R., 1989, Solutions of inverse nodal problems , inverse
problems 5,307-47
[10] Hochstadt , H. , 1973. The Inverse Sturm-Liouville Problem , Comm. On Pure and
Applied Mathematics. vol. XXVI, 715-729
66
[11] Hochstadt, H.,1976, On The Determination of the Density of a Vibrating String
from Spectral Data. J. Math. Anal. Appl.55, 673-685.
[12] Hochstadt, H. and Lieberman B., 1978, An Inverse Sturm-Liouville Problem with
Mixed Given Data, SIAM J. Appl. Math. 34, No.4, 676-680
[13] Isaacson, E.L. and Trubowitz, E.,1983, The Inverse Sturm-Liouville Problem I,
Comm. Pure Apll. Math. 36. 767-783
[14] İdemen, M.,1999. Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi . Işık Üni, 208.
İstanbul
[15] Kalmogorov, A.N. and Fomin , S.V.,1972. Fonksiyonel Analiz ve Fonksiyonlar
Teorisinin Elemanları . Nauka, 496 ,Moscow
[16] Kostyuchenko, A. G. and Sargsyan , I.S., 1979. Distribution of Eigenvalues. Nauka ,
364.Moscow
[17] Koyunbakan H. and Panakhov E.S., 2006. Solution of a Discontinuous Invers Nodal
Problem on a Finite İnterval .Math. and Comp.Modelling 44, 204-209
[18] Kreyszig, E.,1978, Introductory Functional Analysis with Applications. 480 .
New York
[19] Law, C.K. and Yang, C.F.,1998, Reconstructing the potential function and its
derivatives using nodal data , Inverse Problems.14 299-312
[20] Law, C.K. Shen, C.L. , and Yang, C.F.,1999, The inverse nodal problem on the
smoothness of the potential function , Inverse Problems. 15,253-263
[21] Lax , P.,1968. Integrals of Nonlinear Equations of Evolution and Solitary Wawes.
Comn.Pure and Appl. Math. V, 21,467-490.
[22] Levin , B.Ja.,1980. Distribution of Zeros of Entire Functions . 621.Rhode Island
67
[23] Levinson , N., 1949.The İnverse Sturm-Liouville Problem. Mat. Tidsskr.B, pp.25-30.
[24] Levitan , B.M.,1951 Expansion in Fourier Series and Integrals with Bessel
Functions. Uspeki Mat. Nauk 6,no.2(42),102-143
[25] Levitan , B.M. and Gasymov , M.G.,1964. Determination of a Differential Equations
by Two its Spectra. Russian Math.surveys, 19, 1-63.
[26] Levitan, B.M.,1964, Generalized Translation Operators and some of its Applications.
Israel Prog sci. Translations,23-44.
[27] Levitan , B.M. and Sargsyan , I.S., 1975. Introduction to Spectral Theory . American
Mathematical Society , 522 ,Rhode Island
[28] Levitan , B.M.,1978, On the Determination of the Sturm-Liouville Operator from
One and Two Spectra. Math. USSR , Izvestija , vol.12, no. 1, pp.179-193.
[29] Levitan , B.M.,1987. Inverse Sturm-Liouville Problems. Utrecht ,239, Netherlands.
[30] Levitan , B.M. and Sargsyan , I.S., 1991. Sturm-Liouville and Dirac Operators.
Kluver Academic Publishers ,345,Netherlands.
[31] Marchenko , V.A., 1977. Sturm-Liouville Operators and Their Applications. Proc.
Roy. Soc., 79(A),25-12.
[32] Markushevich, A.I. and Markushevich, L.A., 1977. Introduction to Theory of
Analitic Functions.320.Moscow.
[33] McLaughlin, J.R.,1986, Analytical methods for recovering coefficients in differential
equations from spectral data, SIAM Rev. 28,53-72
[34] McLaughlin, J.R.,1988, Inverse spectral theory using nodal points as data – a
uniqueness results, J, Diff. Eqns. 73,354-362.
68
[35] Naimark,M.A. ,1968 Linear Differential Operators, Frederik Ungar Publishing
Co. Inc,528, New York
[36] Penahov, E.S., 1981. Inverse Problem for Sturm-Liouville Equation with Pecularity
in two Partially Non-coincide Spectrum.Ph.D. disser. Moscova University, 101, Moscow
[37] Pöschel, J. and Trubowitz, E.,1987, Inverse Spectral Theory, Academic Press, New
York.
[38] Shen ,C.L. and Shieh, C.T., 2000, An inverse nodal problem for vectorial Sturm-
Liouville equations , to appear in Inverse problems. 16, No.2 ,349-356
[39] Şuhubi , E.S., 2001,Fonksiyonel Analiz. İ.T.Ü , 638.İstanbul
[40] Titchmarsh ,E.C., 1946, Eigenfunction Expansions Associated with Second-Order
Differential Equations. Part I ,Clarendos Pres,268, Oxford University Press.
[41] Titchmarsh, E.C.,1962, Eigenfunction Expansions. Part I, 2nd edition, Oxford
University Pres.
[42] Uluçay, C., 1978, Fonksiyonlar Teorisi ve Riemann Yüzeyleri . K.T.Ü, Tem.Bil.Fak.
,736, Ankara.
[43] Yang, X.F. ,1997, A solution of the inverse nodal problem ,Inverse Problems
13,203-213.
[44] Yang, X.F., 2001, A new inverse nodal problem ,to appear in J. Diff. Eqns. 169 No
2, 633-653
69
ÖZGEÇMİŞ
13/05/1981 yılında Elazığ ‘da doğmuşum. İlkokulu Elazığ Merkez Dumlupınar
lköğretim okulunda , ortaokulu Elazığ Merkez Mezre İlköğretim okulunda okudum. Lise
öğrenimi Elazığ Merkez Balakgazi Lisesinde yaptım. Üniversite sınavına ilk girdiğim
sene Fırat Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünü kazandım. Bölümü
2002 yılında derece ile bitirdim. Milli Eğitim ‘de ilk olarak Kars ili Sarıkamış ilçesinde
“60. yıl Anadolu Meslek ve Kız Meslek Lisesi , Şehit Binbaşı Bedri Karabıyık Anadolu
Lisesi, Sarıkamış Lisesi” okullarında görev yaptım. Daha sonra tayinim Elazığ ili Palu
ilçesi Yavuz Selim İlköğretim okuluna çıktı. İki seneden fazla Palu ‘da çalıştıktan sonra
2006 Şubat döneminde şuan ki görev yerim olan Elazığ Merkez Doğukent İlköğretim
Okuluna atandım. Öğretmenlikte beşinci yılımı çalışıyorum.
Saygılarımla
Neslihan CEYLAN