Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου sturm-liouvilleΚεφάλαιο 1:...

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville 1.1 Ορισµός προβλήµατος Sturm-Liouville Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Οι συνήθεις αυτές διαφορικές εξισώσεις συνοδεύονται από καθορισµένες συνθήκες σε δύο οριακά σηµεία. Τα προβλήµατα αυτά ονοµάζονται προβλήµατα οριακών τιµών, ώστε να ξεχωρίζουν από τα προβλήµατα αρχικών τιµών όπου οι γνωστές συνθήκες ορίζονται σε ένα σηµείο. Πολλές φορές οι λύσεις των προβληµάτων οριακών συνθηκών προκύπτουν σαν ορθογωνικές σειρές ιδιοσυναρτήσεων. Το αντικείµενο του κεφαλαίου 1 είναι οι ιδιοσυναρτήσεις µε τις αντίστοιχες ιδιοτιµές τους, η ορθογωνικότητα τους και τα αναπτύγµατα τους σε σειρές ώστε να αποτελούν λύσεις προβληµάτων οριακών τιµών. Η µελέτη των ιδιοσυναρτήσεων συνδέεται άµεσα µε τις δευτεροβάθµιες γραµµικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις:

( ) ( ) ( )[ ] 0yxλrxqdxdyxp

dxd

=++

, (1.1.1)

µε οριακές συνθήκες

( ) ( ) 0lβy'lay 11 =+ (1.1.2a) και

( ) ( ) 0lδy'lγy 22 =+ , (1.1.2b) όπου l1 και l2 είναι τα δύο οριακά σηµεία του προβλήµατος. Οι συναρτήσεις p(x), q(x) και r(x) είναι πραγµατικές και συνεχείς στο διάστηµα και το λ µια παράµετρος. Το πρόβληµα οριακών τιµών όπως ορίζεται από την εξίσωση (1.1.1) και τις οριακές συνθήκες (1.1.2) είναι γνωστό σαν πρόβληµα Sturm-Liouville αφού αρχικά µελετήθηκε από τους γάλλους µαθηµατικούς Sturm και Liouville. Ένας άλλος τύπος οριακών συνθηκών είναι οι περιοδικές οριακές συνθήκες όπου:

21 lxl ≤≤

( ) ( )21 lyly = , (1.1.3a)

και ( ) ( )21 ly'ly' = . (1.1.3b)

Εάν οι συναρτήσεις p(x), q(x) και r(x) µηδενίζονται σε κάποιο σηµείο του διαστήµατος ή όταν το διάστηµα έχει άπειρο µήκος το πρόβληµα ονοµάζεται ιδιόµορφο πρόβληµα τύπου Sturm-Liouville. Αν και η µορφή της εξίσωσης (1.1.1) φαίνεται αρκετά ειδική, εύκολα αποδεικνύεται ότι κάθε συνήθης διαφορική εξίσωση της µορφής

[ 21 , ll ]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IV – ∆. ΒΑΛΟΥΓΕΩΡΓΗΣ, Επίκουρος Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 – Προβλήµατα Sturm-Lιouville

( ) ( ) ( ) ( )( 0yxλaxadxdyxa

dxydxa 3212

2

0 =+++ ) , (1.1.4)

µπορεί να γραφεί όπως η εξίσωση (1.1.1), επιλέγοντας κατάλληλα τις συναρτήσεις p(x), q(x) και r(x). Για παράδειγµα η εξίσωση Legendre ( ) ( ) 0y1nny2xyx1 2 =++′−′′− (1.1.5) γράφεται στη µορφή ( )[ ] 0λy yx1 2 =′′− (1.1.6)

όπου λ=n(n+1). Αντίστοιχα εφαρµόζοντας στην εξίσωση Bessel

( ) 0ynsysys 222 ==+′+′′ (1.1.7) τον µετασχηµατισµό s=kx προκύπτει η εξίσωση

[ ] 0yλxx

nyx2

=

+−+′′ , (1.1.8)

όπου λ=k2. Η µορφή των εξισώσεων (1.1.6) και (1.1.7) είναι αντίστοιχη µε τη µορφή της εξίσωσης (1.1.1). Άρα οι εξισώσεις Legendre και Bessel, συνοδευόµενες από οµογενείς οριακές συνθήκες αποτελούν προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville. Το πρόβληµα Sturm-Liouville µπορεί να λυθεί αναλυτικά µε αναπτύγµατα δυναµοσειρών γύρω από οµαλά ή ιδιόµορφα σηµεία (µέθοδος Frobenius) ή αριθµητικά. Έχει ήδη βρεθεί ότι η λύση του προβλήµατος είναι η µηδενική (y=0) εκτός εάν η παράµετρος λ πάρει συγκεκριµένες τιµές. Οι τιµές του λ που οδηγούν σε µη τετριµένες (µηδενικές) λύσεις ονοµάζονται ιδιοτιµές του προβλήµατος και οι αντίστοιχες µη τετριµένες λύσεις ιδιοσυναρτήσεις. Αποδεικνύεται ότι το οµαλό πρόβληµα Sturm-Liouville έχει άπειρες πραγµατικές ιδιοτιµές λn, n=1, 2, 3, …που µπορούν να γραφούν σε αύξουσα σειρά λ1, λ2, …, λn έτσι ώστε λn τείνει στο άπειρο καθώς n τείνει στο άπειρο. Σηµειώνεται ότι υπάρχει αντιστοιχία ανάµεσα στο πρόβληµα Sturm-Liouville και σε προβλήµατα γραµµικής άλγεβρας, όπου το οµογενές σύστηµα Αx=0 έχει µη µηδενικές λύσεις που ονοµάζονται ιδιοδιανύσµατα και αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές του πίνακα Α, που προκύπτουν θέτοντας την ( ) 0λIAdet =− . 1.2 Παραδείγµατα προβληµάτων Sturm-Liouville. Για την ειδική περίπτωση όπου p(x)=1, q(x)=0, r(x)=1, a=1, β=0, γ=1 και δ=0 οι εξισώσεις (1.1.1) και (1.1.2) ανάγονται στις

0λu'u' =+ , (1.2.1) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IV – ∆. ΒΑΛΟΥΓΕΩΡΓΗΣ, Επίκουρος Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 – Προβλήµατα Sturm-Lιouville

και ( ) 00u = , (1.2.2a) ( ) 0Lu = , (1.2.2b)

όπου το διάστηµα ορίζεται σαν [ 21 , ll ] Lx ≤≤0 . Η γενική λύση της εξίσωσης (1.2.1) είναι: ( ) ( ) ( )mxBmxAxu sinhcosh += , όταν λ<0, (1.2.3a)

( ) DxCxu += , όταν λ=0, (1.2.3b)

και ( ) ( ) (kxFsinkxEcosxu += ) , όταν λ>0, (1.2.3c)

όπου στην εξίσωση (1.2.3a) και 0 στην εξίσωση (1.2.3c). Τα k και m είναι πραγµατικά και µεγαλύτερα του µηδενός. Με βάση την οριακή συνθήκη (1.2.2a) προκύπτει ότι A=C=E=0, ενώ η δεύτερη οριακή συνθήκη (1.2.2b) δίδει ότι

02 <−= mλ 2 >= kλ

( )( ) 0sinh =mLB , (1.2.4a)

D=0 (1.2.4b) και

( )( ) .0sin =kLF (1.2.4c) Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ποσότητα ( )mLsinh είναι πάντα διάφορη του µηδενός και εποµένως για να ικανοποιείται η (1.2.4a), Β=0. Άρα, για λ<0 και λ=0 µόνο οι τετριµένες (µηδενικές) λύσεις ικανοποιούν την εξίσωση (1.2.1) και τις οριακές συνθήκες (1.2.2). Αντίθετα, για λ<0 µια µη µηδενική λύση 0 ) προκύπτει από την εξίσωση (1.2.4c) εάν

( ≠F

( ) 0sin =kL . (1.2.5)

Εποµένως, το τετράγωνο των ριζών kn=nπ/L, n=1,2,… της εξίσωσης (1.2.5) είναι οι ιδιοτιµές λn=kn

2 του προβλήµατος Sturm-Liouville που περιγράφεται από τις εξισώσεις (1.2.1) και (1.2.2). Οι λύσεις του προβλήµατος είναι οι ιδιοσυναρτήσεις

( ) ( )LxnFxun /sin π= , (1.2.6) όπου η απροσδιόριστη σταθερά F συνήθως ορίζεται ίση µε τη µονάδα. Σαν δεύτερο παράδειγµα θεωρούµε το πρόβληµα Sturm-Liouville


0'' =+ uu λ , (1.2.7) µε οριακές συνθήκες ( ) 00' =u , (1.2.8a) ( ) 0' =Lu . (1.2.8b)

Η γενική λύση της εξίσωσης (1.2.7) δίδεται από τις εξισώσεις (1.2.3). Εφαρµόζοντας τις οριακές συνθήκες (1.2.8) στη γενική λύση (1.2.3) προκύπτει ότι A=B=D=F=0, ενώ οι συντελεστές C και E παραµένουν αυθαίρετοι. Εποµένως, στην ιδιοτιµή λ=0 αντιστοιχεί η λύση u ενώ για λ<0 προκύπτει ( ) ctx =

( ) 0sin =kLE , (1.2.9) ή k=nπ/L. Στη περίπτωση αυτή οι λύσεις του προβλήµατος είναι οι ιδιοσυναρτήσεις

( ) ( )Lxnxun /cos π= . (1.2.10) Τέλος θα θεωρήσουµε ένα τρίτο πιο γενικό πρόβληµα Sturm-Liouville

0'' =+ uu λ , (1.2.11) µε οριακές συνθήκες ( ) ( ) 00'0 =− uu , (1.2.12a) ( ) ( ) 0' =+ LuLu . (1.2.12b)

Η γενική λύση της εξίσωσης (1.2.11) δίδεται από τις εξισώσεις (1.2.3). Εφαρµόζοντας τις οριακές συνθήκες (1.2.12) στη γενική λύση (1.2.3a ) για λ<0 προκύπτει το αλγεβρικό σύστηµα Α-mB=0 (1.2.13a)

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0coshsinhsinhcosh =−+− mLmmLBmLmmLA . (1.2.13b) Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις βρίσκουµε ότι

( )( ) 01sinh 2 =− mmLB . (1.2.14) Με βάση ότι το sinh είναι πάντα διάφορο του µηδενός για συνεπάγεται ότι το µόνο όταν 1. Για όλες τις άλλες τιµές του m, B=0 και από την (1.2.13a) συνάγεται ότι και Α=0. Άρα, για 1 δεν υπάρχουν ιδιοτιµές λ=-m

(mL) 0≠m0≠B 2 =m

2 ≠m 2 που να οδηγούν σε µη µηδενικές λύσεις. Αντίθετα η τιµή της παραµέτρου λ=-1 είναι ιδιοτιµή και η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση και λύση του προβλήµατος είναι: ( ) ( ) ( ) xexxxu =+= sinhcosh . (1.2.15)


Εξετάζοντας την λύση (1.2.3b) προκύπτει ότι ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες (1.2.12) µόνο όταν C=D=0. Τέλος, µε την εφαρµογή των οριακών συνθηκών (1.2.12) στη λύση (1.2.3c) βρίσκουµε το σύστηµα: Ε-kF=0 (1.2.16a)

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0cossinsincos =++− kLkkLFkLkkLE . (1.2.16b) Λύνοντας για τον συντελεστή F προκύπτει

( ) ( ) 0sin1)cos(2 2 =−+ kLkkLkF . (1.2.17) H εξίσωση (1.17) ικανοποιείται για 0≠F µόνο όταν

( )1

2tan 2 −=

kkkL , (1.2.18)

που οδηγεί στην εύρεση των ιδιοτιµών , n=1,2,3,…, όπου k2kn =λ n οι ρίζες της εξίσωσης (1.2.18). Οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις δίδονται από τις σχέσεις

( ) ( ) ( )xkkxkxu nnnn cossin += , (1.2.19) αφού Ε=kF, όπως προκύπτει από την εξίσωση (1.2.16a). 1.3 Ορθογωνικότητα ιδιοσυναρτήσεων Έστω ότι yn και ym είναι ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λn και λm. Τότε:

( ) ( ) ( )[ ] 0=++

nnn yxrxq

dxdyxp

dxd λ (1.3.1a)

και

( ) ( ) ( )[ ] 0=++

mmm yxrxq

dxdyxp

dxd λ (1.3.1b)

Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση µε ym και τη δεύτερη µε yn , στη συνέχεια αφαιρώντας τις δύο προκύπτουσες εξισώσεις και τέλος, ολοκληρώνοντας από l1 έως l2 την τελική εξίσωση βρίσκουµε

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) dxyyxrλλdxy'xpyy'xpy mn

l

lmn

l

l

'nm

'mn

2

1

2

1

∫∫ −=− . (1.3.2)

Ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες το αριστερό τµήµα της εξίσωσης (1.3.2) γράφεται σαν

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1111222 ''')( lylylylylylylyxp mnmnmnm −+− . (1.3.3)


Από τις οριακές συνθήκες γνωρίζουµε ότι στο x=l1

( ) ( ) 0' 11 =+ lbylay nn , (1.3.4a) ( ) ( ) 0' 11 =+ lbylay mm . (1.3.4b)

Εποµένως, αφού ένας τουλάχιστον συντελεστής από τους δύο συντελεστές a και b θα πρέπει να είναι διάφορος του µηδενός συνεπάγεται ότι εάν οι εξισώσεις (1.3.4) θεωρηθούν σαν σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους τα a και b θα πρέπει η ορίζουσα

( ) ( ) ( ) ( ) 0'' 1111 =− lylylyly mnmn . (1.3.5) Αντίστοιχα και για x=l2 προκύπτει

( ) ( ) ( ) ( ) 0'' 2212 =− lylylyly mnmn . (`1.3.6) Εποµένως, το αριστερό τµήµα της εξίσωσης (1.3.2) γίνεται µηδέν και από το αποτέλεσµα αυτό συνεπάγεται ότι

( ) ( ) ( ) 02

1

=∫ dxxyxyxr mn

l

l

, (1.3.7)

εάν mn λλ ≠ . Η εξίσωση (1.3.7) αποδεικνύει ότι οι ιδιοσυναρτήσεις yn(x) και ym(x) είναι ορθογωνικές µεταξύ τους στο διάστηµα [l1,l2] µε συνάρτηση βαρύτητας την r(x). Η έννοια της ορθογωνικότητας αντιστοιχεί στην γραµµική άλγεβρα µε το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων. Όταν το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι µηδέν

00

==⋅ ∑=

N

nnn yxyx , εάν yx ≠ , (1.3.8)

τότε λέγεται ότι τα διανύσµατα x και y είναι ορθογωνικά µεταξύ τους. Σηµειώνεται ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα Α είναι µηδέν αφού τα ιδιοδιανύσµατα είναι ορθογωνικά µεταξύ τους όπως είναι και οι ιδιοσυναρτήσεις ενός προβλήµατος Sturm-Liouville. Χρησιµοποιώντας τη σχέση της ορθογωνικότητας αποδεικνύεται ότι οι ιδιοτιµές ενός προβλήµατος Sturm-Liouville είναι πραγµατικές. Υποθέτοντας ότι

iv+= µλ και ( ) ( ) ( )xixuxy υ+= , όπου µ, ν και u, υ είναι πραγµατικές παράµετροι και συναρτήσεις αντίστοιχα, η εξίσωση (1.3.7) γράφεται ως

( ) ( ) ( ) ( ) ,0dxxyxyxrλλ2

1

l

l

=− ∫ (1.3.9)


όπου το σύµβολο ( ) συµβολίζει την συζυγή ιδιοτιµή και ιδιοσυνάρτηση. Αντικαθιστώντας τις µιγαδικές εκφράσεις για y και y προκύπτει

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0dx xυxuxrλλ2

1

l

l

22 =+− ∫ . (1.3.10)

Αφού το ολοκλήρωµα στην (1.3.10) είναι διάφορο του µηδενός ( )( )0≠xr , συνεπάγεται ότι λλ = ή ότι το φανταστικό τµήµα της ιδιοτιµής είναι µηδέν (ν=0). Άρα, οι ιδιοτιµές λ είναι πραγµατικές. Και πάλι σηµειώνεται η αντιστοιχία µε την γραµµική άλγεβρα όπου εύκολα αποδεικνύεται ότι όταν ο πίνακας Α=Α* τότε όλες οι ιδιοτιµές του Α είναι πραγµατικές. 1.4 Αναπτύγµατα συναρτήσεων σε σειρές ιδιοσυναρτήσεων Συναρτήσεις που αποτελούν λύσεις προβληµάτων Sturm-Liouville είναι ιδιοσυναρτήσεις και ικανοποιούν σχέσεις ορθογωνικότητας µεταξύ τους. Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις cosx και sinx, τα πολυώνυµα Legendre, Chebyshev και Hermite οι συναρτήσεις Bessel αποτελούν µερικές από τις λύσεις προβληµάτων Sturm-Liouville και κατέχουν την ιδιότητα της ορθογωνικότητας. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα αυτή είναι δυνατό να προσεγγίσουµε συναρτήσεις µε απειροσειρές όπου οι συναρτήσεις βάσης είναι λύσεις προβληµάτων Sturm-Liouville. Έστω, ότι η συνάρτηση f(x) γράφεται ως

( ) ( )xyCxf nn

n∑∞

=

=1

, (1.4.1)

όπου οι συναρτήσεις yn(x) δίδονται από ένα οµαλό πρόβληµα Sturm-Liouville. Η ιδιότητα της ορθογωνικότητας επιτρέπει τον υπολογισµό των αγνώστων συντελεστών Cn. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της (1.4.1) µε ( ) ( )λmyxr και ολοκληρώνοντας από l1 έως l2 προκύπτει

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxyxr(x)yCdxxyxrxf m1n

l

lnn

l

lm

2

1

2

1

∑ ∫∫∞

=

= . (1.4.2)

Από τη σχέση ορθογωνικότητας (1.3.7) προκύπτει ότι τα ολοκληρώµατα στο δεξιό τµήµα της (1.4.2) είναι µηδέν εκτός όταν m=n. Εποµένως:

( ) ( ) ( )

( ) ( )dxλyxr

dxλyxrxfC

2

1

2

1

l

l

2n

l

ln

n

∫

∫=

. (1.4.3)


Αξίζει να σηµειωθεί ότι εάν χρησιµοποιήσουµε µια κανονικοποιηµένη οικογένεια ιδιοσυναρτήσεων ο παρανοµαστής της εξίσωσης (1.4.3) θα είναι ίσος µε τη µονάδα ελαττώνοντας τους αναγκαίους υπολογισµούς. Για παράδειγµα οι σχέσεις ορθογωνικότητας ανάµεσα στις ηµιτονοειδείς συναρτήσεις στο διάστηµα [0, π] είναι

( ) ( )( )( )2

0

0, εάν m nsin 1 cos , εάν m n

2n msin x x

n

π

π π

≠⋅ =

− =∫ . (1.4.4)

Επιλέγοντας τις ιδιοσυναρτήσεις στη µορφή

( ) ( )( )( ) 2/12 cos

21

sin

ππ n

nn

k

xkxy

−= , (1.4.5)

η σχέση ορθογωνικότητας γράφεται ως

( ) ( )

=≠

=∫ nm 1,nm 0,

dxλyxy m

π

0n . (1.4.6)

Η επιλογή αυτή ονοµάζεται κανονικοποίηση (normalization) και µειώνει σηµαντικά την υπολογιστική προσπάθεια. Οι αντίστοιχες σχέσεις ορθογωνικότητας για τις συνηµιτονοειδής συναρτήσεις είναι:

( ) ( )

==

≠=

≠

=⋅∫0nm,π

0nm,2π

n m,0

dxnxcosmxcosπ

0

(1.4.7)

Οι αντίστοιχες εκφράσεις για τις πολυωνυµικές συναρτήσεις Legendre, Chebyshev και Hermite όπως και για τις συναρτήσεις Bessel µπορούν να βρεθούν από εγχειρίδια εφαρµοσµένων µαθηµατικών ή αριθµητικής ανάλυσης. Σαν παράδειγµα θα βρεθεί το ανάπτυγµα της συνάρτησης

( )

<<<<−

=10 1010

xx

xf , (1.4.8)

σε πολυώνυµα Legendre. Η συνάρτηση f(x) γράφεται

( ) ( )xPAxf mm

m∑∞

=

=0

, (1.4.9)

Χρησιµοποιώντας τη σχέση ορθογωνικότητας των πολυωνύµων Legendre

( ) ( )

=+

≠=∫

−nm,

12n2

nm0,dxxPxP n

1

1m (1.4.10)


και αφού πολλαπλασιάσουµε µε Pn(x) την εξίσωση (1.4.9) και ολοκληρώσουµε από –1 έως 1 προκύπτει ότι

( ) ( )dxxPxf2

12nA m

1

1m ∫

−

+= . (1.4.11)

Εύκολα προκύπτουν οι συντελεστές 21

0 =A , 43

1 =A , 02 =A , 167

3 −=A , 04 =A ,

3211

5 =A κ.ο.κ. Οι πρώτοι έξι όροι του αναπτύγµατος της f(x) είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...532

11316

714

302

1++−+= xPxPxPxPxf (1.4.12)

1.5 Μη οµογενή προβλήµατα οριακών τιµών Οι περισσότερες εφαρµογές σχετίζονται µε µη οµογενή προβλήµατα οριακών τιµών. Έστω λοιπόν η µη οµογενής δευτεροβάθµια συνήθης διαφορική εξίσωση:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xfyxµryxqdxdyxp

dxdyL +=−

−= , (1.5.1)

όπου ο γραµµικός τελεστής L ορίζεται στην εξίσωση (1.5.1), ο µη οµογενής όρος f(x) είναι µια γνωστή συνάρτηση και ονοµάζεται πηγαίος όρος, ενώ οι υπόλοιπες συναρτήσεις ορίζονται όπως και στην εξίσωση (1.1.1). Χωρίς να εξειδικεύεται το πρόβληµα ορίζεται το διάστηµα 10 ≤≤ x και οι οριακές συνθήκες

( ) ( ) 00'0 21 =+ yaya (1.5.2a) και

( ) 0)1('1 2 =+ ybby . (1.5.2b) Η επίλυση του µη οµογενούς προβλήµατος οριακών τιµών (1.5.1) και (1.5.2) σχετίζεται άµεσα µε την επίλυση του αντίστοιχου οµογενούς προβλήµατος οριακών τιµών που είναι ισοδύναµο µε το γνωστό µας πρόβληµα Sturm-Liouville [ ] ( )yxλryL = . (1.5.3)

Εάν λ1<λ2<…<λn<… είναι οι ιδιοτιµές και φ1, φ2, …, φn,… είναι οι αντίστοιχες κανονικοποιηµένες ιδιοσυναρτήσεις του προβλήµατος Sturm-Liouville τότε η γενική λύση του µη οµογενούς προβλήµατος (1.5.1) µπορεί να γραφεί σαν σειρά

( ) ( )∑∞

=

=1n

nn xbx ϕϕ . (1.5.4)

Στην περίπτωση αυτή οι συντελεστές bn δεν ανάγονται από την ορθογωνική σχέση


( ) ( ) ( ) xdxxxrb n

1

0n ϕϕ∫= , (1.5.5)

αφού η λύση φ(x) είναι ακόµα άγνωστη. Προκύπτουν ικανοποιώντας τη µη οµογενή συνήθη διαφορική εξίσωση (1.5.1) και τις οριακές συνθήκες (1.5.2). Αντικαθιστώντας την λύση φ(x) στην (1.5.1) προκύπτει η εξίσωση

( )[ ] ( ) ( ) ( )xfxxµrxL += ϕϕ . (1.5.6) Εκφράζοντας τώρα την φ(x) µε το ανάπτυγµά της (1.5.4) και χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του γραµµικού τελεστή L, όπως και το γεγονός ότι οι ιδιοσυναρτήσεις φn(x) είναι λύσεις της οµογενούς εξίσωσης (1.5.3) το αριστερό τµήµα της εξίσωσης (1.5.6) γράφεται ως

( ) ( )[ ] ( ) ( )∑ ∑∑∞

=

∞

=

∞

=

==

1n 1nnnnnn

1nnn xxrλbxLbxbL ϕϕϕ . (1.5.7)

Εισάγοντας το παραπάνω αποτέλεσµα στην εξίσωση (1.5.6) προκύπτει ότι

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xrxfxrxbxµrxxrλb nnn

1nnn ∑∑ +=

∞

=

ϕϕ . (1.5.8)

Ο λόγος f(x)/r(x) προσεγγίζεται µε την σειρά ( )( ) ( )xcxrxf

nn

nϕ∑∞

=

=1

, (1.5.9)

όπου οι συντελεστές cn υπολογίζονται από την έκφραση

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) xdxxfdxxxrxfxrc n

1

0n

1

0n ϕϕ ∫∫ == . (1.5.10)

Αντικαθιστώντας το ανάπτυγµα (1.5.9) στην εξίσωση (1.5.8) και αφού απαλείψουµε τον κοινό παράγοντα r(x) και αναδιατάξουµε κατάλληλα τους όρους προκύπτει ότι

( )[ ] ( )∑∞

=

=−−1n

nnnn 0xcbµλ ϕ . (1.5.11)

Με βάση ότι οι ιδιοσυναρτήσεις ( ) 0≠xnϕ συνάγεται ότι ( ) 0cbµλ nnn =−− , για n=1,2,…. (1.5.12) Εάν µλ ≠n , που σηµαίνει ότι η παράµετρος µ δεν είναι ίση µε καµιά ιδιοτιµή του οµογενούς προβλήµατος τότε


µλcb n

n −= , n=1,2,3,…, (1.5.13)

όπου το cn δίδεται από το ολοκλήρωµα (1.5.10) και

( ) ( )xµλ

cxy n1n n

n ϕϕ ∑∞

= −== (1.5.14)

είναι η λύση του µη οµογενούς προβλήµατος. Εποµένως, το µη οµογενές πρόβληµα έχει λύση όταν το αντίστοιχο οµογενές πρόβληµα Sturm-Liouville έχει µόνο την µηδενική λύση ( αφού nλµ ≠ ). Εάν τώρα µ=λn το οµογενές πρόβληµα έχει µη µηδενικές λύσεις ενώ το µη οµογενές δεν έχει λύση όταν 0 . Αντίθετα, όταν µ=λ≠nc m και 0=nc τότε οι συντελεστές bn δεν προσδιορίζονται και το µη οµογενές έχει λύση που όµως δεν είναι µοναδική. Σηµειώνεται ότι 0c µόνο όταν οι συναρτήσεις f(x) και φ=n n(x) είναι ορθογωνικές. Οι πιθανές περιπτώσεις που πρέπει να εξετάζονται απεικονίζονται γραφικά στο παρακάτω σχηµατικό διάγραµµα:


OXI NAI

NAI OXI

( ) ( ))( =⋅ xyxf n

µ=λn;

Υπάρχει µη µοναδική λύση

∆εν υπάρχει λύση

0 ; Υπάρχει µοναδική λύση στο µη οµογενές πρόβληµα και µόνο µηδενική λύση στο

οµογενές

Σαν παράδειγµα θα λυθεί το µη οµογενές πρόβληµα οριακών τιµών (ή µη οµογενές πρόβληµα Sturm-Liouville):

xyy −=+′′ 2 , (1.5.15) ( ) 00 =y , (1.5.16a)

( ) ( ) 011 =′+ yy . (1.5.16b)

Χρησιµοποιώντας γνωστές τεχνικής επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων η λύση του προβλήµατος είναι

22cos22sin2sin xxy −

+= (1.5.17)

Θα γίνει τώρα προσπάθεια επίλυσης του ίδιου προβλήµατος εφαρµόζοντας τη θεωρία επίλυσης µη οµογενών προβληµάτων Sturm-Liouville. Η εξίσωση (1.5.15) γράφεται στη µορφή ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IV – ∆. ΒΑΛΟΥΓΕΩΡΓΗΣ, Επίκουρος Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 – Προβλήµατα Sturm-Lιouville

xyy ++=′′− 2 (1.5.18) Στη συνέχεια επιλύεται το πρόβληµα

0=+′′ yλy , , ( ) 00 =y ( ) ( ) 011 =′+ yy (1.5.19) και οι κανονικοποιηµένες ιδιοσυναρτήσεις που αποτελούν και λύση του προβλήµατος είναι

( ) ( xλλ

xφ nn

n sincos1

22

+= ), (1.5.20)

όπου οι ιδιοτιµές ικανοποιούν την εξίσωση nλ

0cossin =+ nnn λλλ . (1.5.21) Εποµένως µε βάση τα παραπάνω η λύση του µη οµογενούς προβλήµατος γράφεται στη µορφή

( ) ( )xφbxy nn

n∑∞

=

=1

, (1.5.22)

όπου οι συναρτήσεις δίδονται από τη σχέση (1.5.20) και οι συντελεστές ( )xφn

2−=

n

nn λ

cb . (1.5.23)

Τέλος τα είναι οι συντελεστές του αναπτύγµατος της συνάρτησης nc ( ) xxf = και δίδονται από την έκφραση

( ) 2/12cos1

sin22

nn

nn

λλ

λc

+= . (1.5.24)

Τελικά η λύση του προβλήµατος είναι

( )( )( ) xλ

λλλλ

xy nn nnn

n sincos12

sin4

12∑

∞

= +−= . (1.5.25)

Σηµειώνεται ότι η τιµή 2=nλ , δεν αποτελεί λύση της εξίσωσης (1.5.21), άρα δεν είναι ιδιοτιµή του οµογενούς προβλήµατος. Τονίζεται ότι, οι λύσεις (1.5.17) και (1.5.25) ενώ φαίνονται διαφορετικές στην πραγµατικότητα ταυτίζονται. Αυτό αποδεικνύεται αναπτύσσοντας κατάλληλα σε δυναµοσειρά µε συναρτήσεις βάσης τα

τη λύση (1.5.17). ( )xφn


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λυθεί ένα από τα προβλήµατα Sturm Liouville του πίνακα 4.1. 2. Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και ιδιοσυναρτήσεις του προβλήµατος Sturm

Liouville:

0'6'' =++ yyy λ , ( ) ( )100 yy ==

3. Στην ανάλυση ελεύθερης ταλάντωσης δοκών χρησιµοποιείται η εξίσωση:

( ) ( ) ( ) 044 =− xx ϕαϕ

όπου EI

m24 ωα = . Να βρεθούν οι πρώτες τρεις ιδιοτιµές και ιδιοσυναρτήσεις

της ταλάντωσης για ( ) ( ) ( ) ( )0''0''0 ==== LL ϕϕϕϕ , όπου L είναι το µήκος της δοκού.

4. Να βρεθούν οι τιµές της παραµέτρου k για τις οποίες το παρακάτω πρόβληµα έχει µη µηδενικές λύσεις:

01 2 =+

uk

drdur

drd

r, ar ≤≤0

µε u(α) = 0 και u(0) να ορίζεται ή u’(0) = 0.

5. Εάν ( ) ( ) 0'' ,0'' ==−=+ LuLuuu λ να αποδειχθεί ότι:

0cos cos =

⋅

∫−

dxL

xmL

xnL

L

ππ εάν m n≠

6. Να βρεθούν οι τρεις πρώτοι µη µηδενικοί συντελεστές των αναπτυγµάτων

Legendre και Bessel των συναρτήσεων:

i) ( )

<<<<−−

=10 , 01 ,1

xxx

xF

ii) , όπου µ( ) ( )∑∞

=

==1

1k

kk xJAxxf µ κ η k ρίζα της ( )xJ1 και

αντίστοιχα.

7. Να λυθεί το πρόβληµα οριακών τιµών xyy −=+2'' , ( ) 00 =y , . ( ) ( ) 01'1 =+ yy

Χρησιµοποιώντας αναπτύγµατα ιδιοσυναρτήσεων.


Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου sturm-liouvilleΚεφάλαιο 1:...

Documents