studio e applicazioni di modelli stocastici per la ...conosca, ovvero uno smorzatore od un altro di...

Università degli Studi �Roma Tre�

FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Dipartimento di Fisica �Edoardo Amaldi�

STUDIO E APPLICAZIONI

DI MODELLI STOCASTICI PER LA

DIFFUSIONE DELLE DICERIE

Laureando:Valerio Serpente

Relatore:Prof. Vittorio Lubicz

Anno Accademico 2010 - 2011

Quello che non ho è quel che non mi manca(F. De André)

Indice

Introduzione 1

1 I modelli di di�usione delle dicerie 3

1.1 Il modello Daley-Kendall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Il modello Maki-Thompson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 La soluzione analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Simulazioni e soluzione numerica esatta 10

2.1 La simulazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Soluzione numerica esatta per N �nito . . . . . . . . . . . . . 142.3 La dipendenza dalle condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . 19

3 Variazioni sul modello 24

3.1 Variazione della probabilità di di�usione . . . . . . . . . . . . 243.2 Variazione sulla probabilità di diventare uno smorzatore . . . 29

Conclusioni 33

A codice di Mathematica 35

ii

Introduzione

Il processo di di�usione dei �rumours� (termine anglosassone che indica le �di-cerie�, i �pettegolezzi�) fu inzialmente studiato da D.J. Daley e D.G. Kendalla metà degli anni ′60 del XX secolo con il loro omonimo modello [1], suc-cessivemente ripreso da D.P Maki e M. Thompson [2] una decina di annidopo con alcune particolari modi�che. Il modello si basa su considerazioniin principio simili a quelli che caratterizzano i modelli di evoluzione delleepidemie, per poi discostarsene ampiamente nella realizzazione (nel modellodi di�usione delle dicerie è del tutto assente, ad esempio, l'e�etto di soglia,tipico dei modelli epidemiologici). Una delle principali quantità d'interesseda studiare è, a partire da una popolazione chiusa, formata da tre categoriedi persone (ignoranti, di�usori e smorzatori della diceria), la frazione �naledi popolazione che non verrà a conoscenza della diceria.Alla base del processo di di�usione delle dicerie vi sono le assunzioni che ladiceria sia inizialmente di�usa da uno uno o più di�usori e che un di�usoresmetta di di�ondere la diceria non appena esso incontra qualcuno che già laconosca, ovvero uno smorzatore od un altro di�usore.Nel primo capitolo di questa tesi verranno introdotti i modelli proposti daDaley e Kendall e da Maki e Thompson e studiata una loro soluzione ana-litica approssimata. La soluzione esatta, ottenuta mediante una proceduranumerica iterativa, verrà a�rontata nel secondo capitolo, dove presenteremoanche una simulazione numerica, e�ettuata con l'ausilio del programma dimanipolazione algebrica MathematicaVerranno inoltre prese in considerazione alcune proprietà del modello, comela variazione di ignoranti �nali rispetto a quelli iniziali e le correzioni al mo-dello per piccole popolazioni.Nell'ultimo capitolo in�ne verrà generalizzato il modello: verranno infattiintrodotti i casi in cui la di�usione della diceria e la possibilità di diventaresmorzatori avvengano con una probabilità diversa da 1.Lo studio del processo di di�usione delle dicerie può risultare interessantein quei settori, primi su tutti quello del marketing e quello dei mass media,nei quali risulta utile prevedere quante persone vengano a conoscenza della

1

INTRODUZIONE 2

diceria. In questo caso il concetto di diceria viene esteso al di fuori dellasemplice de�nizione di pettegolezzo. Una diceria, infatti, può rappresentareuna qualsiasi informazione di particolare interesse, come la possibilità cheesca un nuovo prodotto di consumo, più performante rispetto ai concorrenti,l'arrivo di una serie di grandi o�erte, la scoperta di un nuovo vaccino op-pure un semplice scoop giornalistico,) in modo da impostare una adeguatacampagna d'informazione.

Capitolo 1

I modelli di di�usione delle dicerie

In questo capitolo verranno discussi i modelli di di�usione delle dicerie pro-posti da Daley e Kendall (DK) [1] e da Maki e Thompson (MT) [2], ed unaloro soluzione analitica approssimata. Si consideri una popolazione chiusa(senza migrazioni, morti o nascite) di N individui, omogeneamente mesco-lata. Ogni membro della popolazione può essere ascritto ad una delle treseguenti categorie:

Gli ignoranti: persone che non hanno ancora ascoltato la diceria

I di�usori o �spreaders�: persone che conoscono la diceria e la di�on-dono attivamente

Gli smorzatori o �sti�ers�: coloro che conoscono la diceria ma hannoperso interesse nel di�onderla.

Essendo gli individui a stretto contatto tra di loro è ovvio pensare cheessi interagiranno, facendo di�ondere tra di loro, eventualmente, il rumour.

1.1 Il modello Daley-Kendall

Nel modello DK gli incontri tra due individui delle tre diverse sotto-popolazioni(ignoranti, di�usori, smorzatori) avvengono casualmente: un individuo di unacerta sotto-popolazione può incontrare un qualunque altro individuo, sia essoappartenente al suo stesso gruppo oppure ad un altro dei due gruppi. Adesempio un ignorante può incontrare un altro ignorante oppure un di�usoreo uno smorzatore.Di tutti gli incontri possibili solo tre hanno un e�etto e variano dunque lanumerosità delle sotto-popolazioni:

3

CAPITOLO 1. I MODELLI DI DIFFUSIONE DELLE DICERIE 4

1. gli incontri Ignorante-Di�usore,

2. gli incontri Di�usore-Di�usore,

3. gli incontri Smorzatore-Di�usore.

Nel primo caso l'ignorante apprende la notizia dal di�usore, diventando eglistesso un di�usore attivo della diceria. Nel secondo e terzo caso invece ildi�usore della diceria incontra un interlocutore che ne è già a conoscenza(sia esso attivo, come un altro di�usore, sia esso passivo, come uno smor-zatore). L'e�etto che ne scaturisce è che il di�usore perde la voglia di dif-fondere la notizia e diventa uno smorzatore. In particolare, nell'incontrodi�usore-di�usore, entrambi diventano smorzatori. Tali interazioni possonoessere riassunte e�cacemente mediante transizioni di stato. Utilizzando lanotazione proposta da Pearce e Belen in [3] ad ogni istante sono indicatirispettivamente con I, S ed R il numero di ignoranti, di�usori e smorzatori,cosicché si abbiano le seguenti transizioni:

Ignorante−Diffusore : (I, S,R) −→ (I − 1, S + 1, R),Diffusore−Diffusore : (I, S,R) −→ (I, S − 2, R + 2),Smorzatore−Diffusore : (I, S,R) −→ (I, S − 1, R + 1).

(1.1)

1.2 Il modello Maki-Thompson

Il modello proposto da MT di�erisce solo parzialmente dal modello DK. Ilmodello MT si concentra su quel tipo di di�usione delle dicerie che avviene,ad esempio, per via telefonica. Prima di�erenza con il modello DK è che ilprimo interlocutore è sempre un di�usore e quindi le uniche interazioni pos-sibili sono quelle tra di�usori e resto della popolazione (mentre nel modelloDK era possibile qualunque tipo di interazione tra le tre sotto-popolazioni,sebbene alcune non modi�chino la numerosità delle tre sotto-popolazioni) .Il modello MT inoltre individua, qualora si incontrino due di�usori, un di�u-sore iniziale ed uno recettore. Nell'incontro tra due di�usori sarà solo quelloiniziale a diventare uno smorzatore, mentre l'altro rimarrà di�usore. Utiliz-zando le transizioni di stato come fatto in precedenza si può riassumere tuttocome segue:

Ignorante−Diffusore : (I, S,R) −→ (I − 1, S + 1, R),Diffusore−Diffusore : (I, S,R) −→ (I, S − 1, R + 1),Smorzatore−Diffusore : (I, S,R) −→ (I, S − 1, R + 1).

(1.2)


1.3 La soluzione analitica

In questa sezione viene discussa una soluzione analitica approssimata deimodelli DK e MT, valida nel limite in cui il numero di individui N dellapopolazione tende ad in�nito e che descrive approssimativamente, in ter-mini di equazioni di�erenziali continue, l'evoluzione temporale delle sotto-popolazioni. Associate alle transizioni di stato vi sono delle probabilità ditransizione. Esse si di�erenziano leggermente tra i due modelli. Infatti peril modello DK si ha:

Ignorante−Diffusore : P(I,S,R)→(I−1,S+1,R) ∝ IS,

Diffusore−Diffusore : P(I,S,R)→(I,S−2,R+2) ∝1

2S(S − 1), (1.3)

Smorzatore−Diffusore : P(I,S,R)→(I,S−1,R+1) ∝ SR,

avendo omesso una costante di normalizzazione comune per le varie proba-bilità. Per il modello MT la di�erenza fondamentale risiede nella probabilitàdi transizione di�usore-di�usore, che diventa:

Diffusore−Diffusore : P(I,S,R)→(I,S−2,R+2) ∝ S(S − 1) (1.4)

La di�erenza tra i due modelli risiede nel numero di modi possibili in cuipossono avvenire le transizioni: per il DK la transizione di�usore-di�usorepuò avvenire nella metà dei modi rispetto alle altre transizioni. Questo nonavviene nel modello MT. Ovviamente questo signi�ca che , considerando latransizione D −D la probabilità di transizione per il modello MT è doppiarispetto al modello DK.A questo punto è possibile calcolare le variazioni delle tre sotto-popolazionidurante il processo di di�usione. Considerando la variazione di ignoranti ∆Iessa sarà legata solamente alla transizione I − D, come mostrato nell' eq.(1.2). Tale transizione fa diminuire di una unità il numero di ignoranti all'in-terno della popolazione e pertanto nell'intervallo di tempo ∆t che intercorretra un tempo e l'altro si avrà che:

∆I = −IS∆t. (1.5)

La variazione del numero di di�usori è invece determinata da tutte e tre letransizioni: la transizione I − D ne aumenta la numerosità di una unità,mentre la D −D e la S −D la diminuiscono rispettivamente di due ed unaunità. Pertanto, sempre nell'intervallo di tempo ∆t, il numero di di�usorivaria con legge

∆S =

[IS − 2

(1

2S(S − 1)

)− SR

]∆t. (1.6)


Similmente a quanto fatto per i due casi precedenti si ha che il valore ∆R èdato dalla relazione:

∆R =

[2

(1

2S(S − 1)

)+ SR

]∆t (1.7)

e risulta correttamente:

∆I + ∆S + ∆R = 0. (1.8)

Si può ora passare dal modello discreto appena descritto ad un modello con-tinuo utilizzando il limite ∆t → 0. A partire dalle relazioni (1.5)-(1.7),considerando tale limite, si ottengono le equazioni

dI

dt= −IS,

dS

dt= IS − 2

(1

2S(S − 1)

)− SR, (1.9)

dR

dt= 2

(1

2S(S − 1)

)+ SR,

Sfruttando la relazione:I + S +R = N. (1.10)

Tale relazione permette inoltre di riscrivere le equazioni (1.9) come segue:

dI

dt= −IS,

dS

dt= S (2I − (N − 1)) , (1.11)

dR

dt= S ((N − 1)− I) .

Un'analisi simile può essere e�ettuata per il modello MT. Le equazionicui si giunge in questo caso sono

dI

dt= −IS,

dS

dt= IS − S (S − 1)− SR = S (2I − (N − 1)) , (1.12)

dR

dt= S(S − 1) + SR = S ((N − 1)− I) ,

e sono le stesse del modello DK. La ragione è che la transizione D −D peril modello DK ha la probabilità di occorrenza che è la metà rispetto a quella


del modello MT. Tuttavia la variazione delle sotto-popolazioni di di�usori esmorzatori risulta in questo caso doppia rispetto al modello MT.Nell'ottica di considerare successivamente il limite in cui la numerosità dellapopolazione tende ad in�nito risulta utile introdurre le frazioni per le tresotto-popolazioni:

i =I

N, s =

S

N, r =

R

N, (1.13)

dovei+ s+ r = 1. (1.14)

Si possono allora riscrivere le equazioni di�erenziali (1.11), moltiplicando

entrambi i membri per1

N2:

1

N2di

dt= −is,

1

N2ds

dt= −s(1− 1

N− 2i), (1.15)

1

N2dr

dt= s(1− 1

N− i).

A questo punto, rinominato il termine N2dt come dt e considerando il limiteper N →∞ si ottiene:

di

dt= −is,

ds

dt= −s(1− 2i), (1.16)

dr

dt= s(1− i).

Queste equazioni possono essere risolte introducendo delle condizioni iniziali.Sia il modello proposto da Daley e Kendall che quello proposto da Maki eThompson prevedono che inizialmente vi sia un solo di�usore e che il restodella popolazione sia formata da ignoranti, in modo che a t = 0 si abbia

i0 =N − 1N

, s0 =1

Ne r0 = 0. (1.17)

Avendo posto il limite N →∞ tali frazioni assumono la forma:

i0 = 1, s0 = 0 e r0 = 0. (1.18)

Combinando la prima e la seconda delle (1.16) (notiamo che, per la (1.10),la terza delle (1.16) è ridondante) si ottiene

ds

di=

1− 2ii

, (1.19)


dalla quale è stata eliminata la dipendenza dal tempo. Integrando quest'ul-tima otteniamo la relazione

s = s0 − 2 (i− i0) + lni

i0. (1.20)

Indicando in�ne con θ =i

i0la frazione di ignoranti al tempo generico t

rispetto a quelli al tempo t = 0 dall'eq (1.20) si ha:

s = s0 − 2i0 (θ − 1) + ln θ. (1.21)

Risolvendo tale equazione è possibile, conoscendo le condizioni iniziali, tro-vare la frazione di di�usori in funzione della frazione di ignoranti ad ogniistante. In particolare è interessante conoscere il numero di ignoranti quan-do il processo di di�usione della diceria si sia esaurito, ossia quando s = 0.Tale modello di di�usione può essere ad esempio applicato anche nel mondodel marketing o dei media ed in questi campi sarebbe molto utile prevederequante persone siano raggiunte dalla �diceria� che in questo caso può esserela presentazione di un nuovo prodotto di consumo oppure una notizia di cro-naca.Nell'istante in cui il numero di di�usori all'interno della popolazione diventanullo, l'equazione (1.21) diventa

0 = s0 − 2i0 (θ∞ − 1) + ln θ∞, (1.22)

dove con θ∞ è indicato il rapporto tra la frazione �nale e la frazione inizialedi ignoranti (cioè θ(t =∞)).Sostituendo in�ne i valori le condizioni iniziali (1.18) si ottiene l'equazioneoriginariamente derivata da Daley e Kendall:

θ∞e2(1−θ∞) = 1, (1.23)

Tale equazione presenta due soluzioni reali. Di tali soluzioni una (θ∞ = 1)non ha interesse pratico: θ∞ = 1 signi�ca i∞ = i0 (i di�usori quindi si sonoestinti prima di di�ondere la notizia). L'altra soluzione invece corrisponde a:

θ∞ = 0.203188 (1.24)

La risoluzione gra�ca di tale equazione è mostrata Fig. 1.1.


1 2 3 4x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

Figura 1.1: Risoluzione gra�ca dell'eq.(1.23). La funzione xe2(1−x) è gra�catainsieme ad y=1. I punti di intersezione x = 1 ed x = 0.203188 sono lesoluzioni dell'equazione.

Capitolo 2

Simulazioni e soluzione numerica

esatta

In questo capitolo vengono a�rontate sia la simulazione Monte Carlo deimodelli DK ed MT descritti nel Capitolo 1, sia la loro risoluzione esattabasta su una procedura numerica iterativa [1]. Verranno quindi confrontati irisultati dei due modelli con la soluzione analitica approssimata discussa nelcapitolo precedente.

2.1 La simulazione numerica

Per il presente lavoro di tesi abbiamo e�ettuato delle simulazioni numerichedei modelli di di�usione delle dicerie,utilizzando il programma di manipo-lazione algebrica Mathematica. Tramite l'utilizzo di Mathematica è statocreato un algoritmo che pescasse all'interno della popolazione due individuia caso (per il modello DK) oppure un di�usore ed un individuo qualsiasi(per il modello MT). A seconda della classe a cui appartengono i due indivi-dui vengono eseguite le transizioni precedentemente descritte. La principaledi�erenza col modello analitico è che si passa da variabili continue, che dipen-dono dal tempo, a variabili discrete che dipendono dal numero di transizioni.Inoltre il numero di individui della popolazione N è �nito. Il processo didi�usione della diceria continua �no a che il numero dei di�usori si annulla.A questo punto si calcola il θ �nale, ovvero la frazione di ignoranti rimastirispetto a quelli iniziali. Il codice diMathematica prodotto per la simulazioneè riportato nell'appendice della tesi.La simulazione appena descritta viene ripetuta più volte, in modo da ottenereuna distribuzione dei valori di θ. Un particolare e�etto che si è osservato nel-la simulazione, in particolare nel modello DK, è stata l'osservazione di alcuni

10

CAPITOLO 2. SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA 11

valori di θ prossimi ad 1. Quello che succede è che i due di�usori presentidopo la prima interazione (nella prima interazione l'unico di�usore presen-te deve necessariamente incontrare un ignorante, facendo sì che anch'essodiventi un di�usore) si incontrino immediatamente dopo, nella seconda inte-razione. In questa maniera i due di�usori diventano smorzatori ed il processodi di�usione si arresta. Ovviamente la probabilità di questo secondo incontrotende a zero per N →∞.Tale fenomeno è riscontrabile anche nella simulazione del modello MT, tutta-via è estremamente più raro. In questo caso, infatti, è necessario che i primidue di�usori si incontrino almeno due volte di �la prima di arrestare il pro-cesso di di�usione. Nella simulazione tali eventi �anomali� sono stati esclusinella stima del valor medio e della deviazione standard di θ. In pratica si èdeciso di escludere tutti quei valori di θ che fossero maggiori di 0.8. Per lasimulazione numerica si è utilizzata una popolazione di 2000 abitanti ed unnumero di simulazioni di ciascun modello pari a 15000.Nella Fig. (2.1) è riportata la distribuzione di θ con questi parametri.

0.16 0.18 0.20 0.22 0.24Θ

100

200

300

400

500

Occorrenze

Figura 2.1: Distribuzione del valore di θ ottenuta dalla simulazione numericadel modello DK

Da queste distribuzioni si è ottenuto un valore medio di θ pari a:

θ = 0.20325± 0.00011, (2.1)


nella simulazione del modello DK e

θ = 0.20308± 0.00010, (2.2)

nella simulazione del modello MT, entrambi in accordo con la previsione ana-litica valida per N →∞ di eq. (1.24).Altrettanto interessante è stato studiare la variazione delle tre sotto-popolazionidurante il processo di di�usione della diceria.Tale andamento è descritto dal-le eq. (1.16). Essendo i una funzione strettamente decrescente in virtù dellaprima delle (1.16) ed essendo limitata tra 0 ed 1 i necessariamente tenderà ,nel limite t → ∞, ad un valore i∞ < i0. In particolare quindi se i0 ≤ 1/2 siavrà i∞ < 1/2,se invece i0 > 1/2 dall'eq. (1.19) si ha che

ds

dt=ds

di· didt

=1− 2ii

di

dt> 0, (2.3)

inizialmente. Poiché s → 0 per t → ∞, la frazione di di�usori s dapprimacrescerà verso un massimo globale in quell'istante i = 1/2, come risultadall'eq. (2.3). Dopodiché s decrescerà �no a zero, e, poiché i è strettamentedecrescente, si avrà nuovamente i∞ < 1/2.Per la terza delle (1.16) invece r mostra un andamento crescente e limitatosolo da 1. Esso quindi tenderà (nel limite t → ∞) verso un valore r∞ > 0.Pertanto i∞ sarà limitato anche inferiormente in quanto

i∞ = 1− r∞ > 0. (2.4)

In de�nitiva quindi:

i è decrescente durante la di�usione e tende ad un valore i∞ tale che

0 < i∞ <1

2; (2.5)

s cresce �no ad un massimo per poi decrescere �no a zero se i0 > 1/2oppure decresce monotonamente �no a zero se i0 < 1/2;

r cresce, durante tutto il processo di di�usione, �no ad un massimor∞ > 1/2.

Come si può notare dalla Fig. 2.2, le curve rappresentative delle tre frazionii, s, r, ottenute da una delle simulazioni numeriche, riproducono con l'anda-mento teorico previsto.


500 1000 1500 2000 2500Nr. interazioni

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Frazione

Smorzatori

Diffusori

Ignoranti

Figura 2.2: Andamento delle frazioni delle sotto-popolazioni di ignoranti,di�usori e smorzatori durante il processo di di�usione della diceria


2.2 Soluzione numerica esatta per N �nito

Il modello analitico approssimato, discusso nella sezione 1.3 considera il li-mite in cui il numero N di individui della popolazione tende ad in�nito ele frazioni rappresentative delle tre sotto-popolazioni variano nel tempo concontinuità. Daley e Kendall, [1], mostrano tuttavia come per valori �nitidi N il modello possa essere di nuovo risolto esattamente, seppure con unaprocedura numerica. Daley e Kendall derivano in�ne una legge approssimataper il parametro θ valida nel limite per N

θDK(N) = 0.203188 + 0.2738431

N − 1+ 1.72675

1

(N − 1)2. (2.6)

Indichiamo sempre con I, S ed R gli individui nelle tre sotto-popolazioni diignoranti, di�usori e smorzatori (per i quali vale dunque I + S + R = N).Le successive interazioni tra gli individui possono essere descritte in terminidi un random walk che passa attraverso i vari stati (I;S) (omettendo R inquanto ridondante). Nel passare attraverso i diversi stati si veri�cano le tretransizioni precedentemente descritte, le cui probabilità risultano essere:

I −D : P(I,S,R)→(I−1,S+1,R) =I

N − 12

(S + 1),

D −D : P(I,S,R)→(I,S−2,R+2) =12

(S − 1)N − 1

2(S + 1)

, (2.7)

S −D : P(I,S,R)→(I,S−1,R+1) =N − I − S

N − 12

(S + 1).

Tali probabilità sono le stesse dell'eq. (1.2) ma correttamente normalizzatead 1 giacché:

IS +1

2S (S − 1) + SR = S

[I +

1

2(S − 1) +N − S − I

]=

= S

[N − 1

2(S + 1)

].

(2.8)

Indichiamo allora con PIS la probabilità che il random walk passi attraversolo stato (I;S). La distribuzione dei valori {PI0} è la distribuzione del numerodi persone che non apprende la diceria, ossia la distribuzione di estinzione.Per quel che riguarda i valori delle probabilità PIS bisogna anzitutto ricordarele condizioni iniziali che corrispondono ad un solo di�usore ed N−1 ignorantial tempo iniziale, e dunque necessariamente a 2 di�usori ed N − 2 ignoranti


dopo il primo incontro. I due stati vengono dunque raggiunti con probabilità1:

PN−1,1 = PN−2,2 = 1. (2.9)

Lo stato generico (I;S) è raggiungibile dal random walk in tre possibilimaniere:

attraverso una transizione I −D a partire dallo stato (I + 1, S − 1);

attraverso una transizione D −D a partire dallo stato (I, S + 2);

attraverso una transizione S −D a partire dallo stato (I, S + 1).

La probabilità che il random walk passi attraverso lo stato (I;S) risultaquindi essere la somma delle probabilità di passare attraverso questi tre stati,moltiplicate ognuna per la probabilità della rispettiva transizione:

PIS = P(I,S,R)→(I−1,S+1,R) · PI+1,S−1 + P(I,S,R)→(I,S−2,R+2) · PI,S+2 ++P(I,S,R)→(I,S−1,R+1) · PI,S+1 =

=(I + 1)

N + 12(S − 1 + 1)

PI+1,S−1 +12(S + 1)

N − 12(S + 2 + 1)

PI,S+2 +

+(N − I − S − 1)N − 1

2(S + 1 + 1)

PI,S+1 =

=2 (I + 1)

2N − SPI+1,S−1 +

S + 1

2N + S − 3PI,S+2 +

2 (N − 1− I − S)2N − S − 2

PI,S+1,

(2.10)

Allo stesso modo possono essere scritte le relazioni le probabilità degli stati(I, 1) ed (I, 0). Tali stati rappresentano un caso particolare della (2.10),non presentando la transizione I − D: ad entrambi gli stati infatti non sipuò arrivare attraverso la creazione di nuovi di�usori. In maniera analogaa quanto fatto per la transizione generica PIS si trova che le probabilità diquesti due stati sono:

PI,1 =1

N − 2PI,3 +

2 (N − I − 2)2N − 3

PI,2,

(2.11)

PI,0 =1

2N − 3PI,2 +

N − I − 1N − 1

PI,1.


Le eq. (2.10)-(2.11) sono valide utilizzando la convenzione che PIS sia ugualea zero qualora I + S > N . L'insieme di queste equazioni risulta non essererisolvibile in forma chiusa. Per N dato esse possono tuttavia essere risoltenumericamente seguendo una procedura iterativa.Daley e Kendall, sempre in [1], mostrano come siano valide le relazioni:

PI,N−I−1 = 0 (2.12)

e

PI,N−I =2 (I + 1)

N + IPI+1,N−I−1, (2.13)

L'eq. (2.12) è valida perché lo stato (I;N−I−1) presenta un solo smorzato-re, condizione impossibile da raggiungere con il modello DK (gli smorzatorivengono sempre prodotti in coppia). La (2.13) invece è diretta conseguenzadel fatto che lo stato (I,N − I) non presenta smorzatori ed è pertanto rag-giungibile solo dallo stato (I + 1;N − I − 1).Con tali relazioni è possibile ricostruire tutte le probabilità PIS, compresequelle PI0 che appartengono alla distribuzione di estinzione. In termini diquesti viene poi calcolato il valore medio di θ per diversi valori di N . Nelcalcolo si impone la condizione:

PI,0 = 0 per I > N − 21 (2.14)

allo scopo di eliminare gli e�etti spuri descritti in precedenza.La procedura di risoluzione numerica del modello qui descritta è stata ripro-dotta con un programma di Mathematica. Per diverse popolazioni sono statecalcolate tutte le probabilità PIS utilizzando le eq.(2.10)-(2.13). Osservandotali equazioni si può notare che, per conoscere la probabilità dello stato ge-nerico (I;S) è necessario conoscere le probabilità degli stati (I + 1;S − 1),(I;S + 2) ed (I;S + 1), ovvero stati in cui S o è maggiore oppure, nel casosia minore, è I ad essere maggiore. Per questo motivo l'algoritmo di calcolodelle probabilità calcola i valori PIS a partire dallo stato PNN , abbassando,di volta in volta, il valore di S. Una volta raggiunto lo stato PN0 si passa alleprobabilità PN−1,S ed il processo si ripete �no a raggiungere lo stato P00.Con tale algoritmo vengono calcolate anche le probabilità PI,0 dalle quali siè estratto (una volta fatta la correzione per I > 21) il valore medio. Lepopolazioni simulate sono le stesse considerate da Daley e Kendall. Nellatabella 2.2 sono riportati i dati ottenuti per il presente lavoro, in perfettoaccordo con quelli ottenuti da Daley e Kendall. Per quel che riguarda il �t,utilizzando i valori N = 192, 384 e 768 si è ottenuto un valore di:

θ(N) = 0.203188 + 0.2738491

N − 1+ 1.72251

1

(N − 1)2. (2.15)


N θDK θ96 0.206275 0.206275192 0.204669 0.204669384 0.203915 0.203915767 0.203548 0.203548

Tabella 2.1: Confronto tra i valori θ(N) ottenuti da Daley e Kendall e i datiper questo lavoro. Entrambi i set sono ottenuti a partire dalla distribuzioned'estinzione.

In buon accordo con il risultato di Daley e Kendall. Il valore di θ(N) otte-nuto con tale equazione di�erisce da quello ottenuto con l'eq. (2.6) per unvalore dell'ordine di 10−7, considerando una popolazione di 200 individui.Lo studio della dipendenza da N del modello è stata anche e�ettuato me-diante la simulazione Monte Carlo. Per ogni valore di popolazione sono statee�ettuate un elevato numero di simulazioni, in modo da rendere molto preciso(con incertezza al di sotto del 2 permille) la stima di θ ottenuta. Nella tabel-la 2.2 sono riportati i risultati ottenuti e�ettuando, per tutte le popolazioni,20000 simulazioni.

N θDK θ200 0.20460 0.20434(29)300 0.20412 0.20414(23)400 0.20388 0.20403(20)600 0.20365 0.20364(17)800 0.20353 0.20360(14)1000 0.20346 0.20345(13)1200 0.20342 0.20341(12)1400 0.20338 0.20346(11)

Tabella 2.2: Valori di θ in funzione di N ottenuti utilizzando l'eq. (2.6)(seconda colonna) e dalla simulazione numerica (terza colonna). Le cifre inparentesi rappresentano le relative incertezze.

Nella Fig. 2.3 è invece riportato un gra�co di confronto. Dal gra�co sipuò notare il buon accordo tra il �t proposto da Daley e Kendall, eq. (2.6)ed i dati ottenuti dalle simulazioni.Sempre in [1], Daley e Kendall forniscono una formula empirica per calcolarela deviazione standard della distribuzione di θ in funzione di N, valida nel


0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

1

N

0.2025

0.2030

0.2035

0.2040

0.2045

0.2050

0.2055Θ

Figura 2.3: Variazione di θ in funzione di N . Gra�co ottenuto con 20000simulazioni su diverse popolazioni.

limite N grande:

σ2DK(N) =0.310681

N − 1+

1.232700

(N − 1)2+

19.57339

(N − 1)3. (2.16)

Tale equazione si ottiene a partire dalla stessa distribuzione di estinzione PI0utilizzata per calcolare θDK(N) ed anche tale equazione è stata veri�cata conil programma diMatemathica, ottenendo i risultati riportati nella tabella 2.2.Come si può notare, otteniamo una discrepanza nel caso del valore di σ per

N σ2DK σ2

96 0.326715 0.316112192 0.317672 0.317672384 0.314033 0.314033767 0.312322 0.312322

Tabella 2.3: Confronto tra la varianza σ2(N) ottenuta da Daley e Kendall(seconda colonna) e i dati simulati (terza colonna).

N = 96, discrepanza attribuita presumibilmente ad un errore tipogra�co.


Un �t dei dati simulati fornisce il valore della deviazione standard σ(N):

σ2(N) =0.31068

N − 1+

1.23325

(N − 1)2+

19.5085

(N − 1)3, (2.17)

N σDK σ200 0.03993 0.03983300 0.03246 0.03204400 0.02804 0.02787600 0.02285 0.02287800 0.01977 0.019751000 0.01767 0.017611200 0.01612 0.016181400 0.01492 0.01492

Tabella 2.4: Valori della deviazione standard della distribuzione di θ otte-nuti risolvendo l'eq. (2.16) (seconda colonna) e dalle simulazioni MC (terzacolonna).

Utilizzando una popolazione di 200 individui tale equazione di�erisce dal-l'eq. (2.16) di circa 10−6. Nella tabella 2.2 e nella Fig. 2.4 si confrontano ledeviazioni standard ottenute dalla simulazione Monte Carlo con quelle otte-nute tramite la relazione (2.16). Osservando tali dati si può desumere comei risultati ottenuti con il metodo di risoluzione numerica del modello e conla simulazione Monte Carlo siano in ottimo accordo tra loro.

2.3 La dipendenza dalle condizioni iniziali

Pearce e Belen in un noto lavoro [3] studiano la dipendenza di θ dalle condi-zioni iniziali nel modello della di�usione delle dicerie, in particolare dal valoreiniziale della frazione di ignoranti, i0. Il risultato cui si giunge, tramite dif-ferenziazione dell'equazione (1.22), è che θ(i0) è una funzione decrescente,ossia tanto maggiore è la frazione di ignoranti, tanto minore è la percentualedi questi che non viene a conoscenza della diceria.Considerando l'assenza iniziale di smorzatori (r0 = 0) in modo che i0+s0 = 1,l'eq. (1.22), assume la forma:

1− i0 − 2i0 (θ∞ − 1) + ln θ∞ = 0 (2.18)e di�erenziando ambo i membri rispetto a i0 si ottiene


0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

1

N

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

Σ

ΣDK

ΣSimulati

Figura 2.4: Confronto tra le deviazioni standard della distribuzione di θ ot-tenute dalle simulazioni e quelle calcolate con il metodo proposto da Daley eKendall.

1− 2θ∞ − 2i0∂θ∞∂i0

+1

θ∞

∂θ∞∂i0

= 0, (2.19)

da cuidθ∞di0

= −2θ∞ (1− θ∞)1− 2i0θ∞

< 0, (2.20)

Il secondo membro dell'eq. (2.20) è minore di zero in quanto i0θ∞ = i∞che sappiamo essere 0 < i∞ < 1/2. D'altronde deve essere necessariamenteanche θ∞ < 1, in quanto i∞ < i0 (i è una funzione decrescente). Dunque θ èuna funzione strettamente decrescente in i0. Ne segue anche che la funzioneθ∞(i0) ha un massimo in i0 = 0 ed un minimo per i0 = 1, ovvero ai limitidell'intervallo preso in esame. L' eq. (2.18) mostra che θ∞(i0) ha un minimoper i0 = 1 pari a θ∞(1) = 0.203188, come previsto nel modello DK, ed unmassimo per i0 = 0 dove θ∞(0) = 1/e ≈ 0.367879, infatti sostituendo i0 = 0nell' eq. (2.18) si ottiene:

1 + ln θ∞ = 0, (2.21)


e quindi θ∞(0) =1

e.

Per veri�care tali risultati si è deciso di simulare il processo di di�usionedella diceria partendo da di�erenti valori di i0 nell'intervallo (0, 1). I para-metri delle simulazioni sono riportati nella tabella 2.5. Si è quindi variato ilvalore di i0 a step di 0.1. La simulazione è stata ripetuta 700 volte per ognivalore di i0, in modo di avere una distribuzione su�cientemente accurata deivalori di θ con l'incertezza al di sotto del 4%. Per quei valori di i0 in cui le�uttuazioni (e quindi la deviazione standard) risultavano troppo elevate si èdeciso di aumentare il numero di individui all'interno della popolazione. Adesempio nel caso di i0 = 0.1 si è deciso di aumentare la popolazione di 300unità. Particolari accorgimenti sono stati presi in�ne per i valori di i0 agliestremi dell'intervallo (i0 ≈ 0 e i0 ≈ 1). La condizione i0 = 1 indica infattiuna popolazione composta interamente da ignoranti e la totale assenza di dif-fusori. Mancando i di�usori non sarebbe possibile di�ondere la notizia. Allostesso modo la condizione i0 = 0 prevede la totale assenza degli ignoranti,caso in cui il modello perde di senso.Non potendo e�ettuare, per ovvi motivi, la simulazione con questi valori si èdeciso di avvicinarsi comunque a tali casi limite scegliendo il valore i0 = 0.998prossimo ad 1 ed il valore i0 = 0.002 prossimo a 0. Per quest'ultimo valoresi è preferito inoltre incrementare signi�cativamente il numero di abitanti.Questo perché si è notato come, a parità di simulazioni e popolazione, la de-viazione standard per i0 ≈ 0 fosse all'incirca un'ordine di grandezza inferiorerispetto a quella ottenuta per i0 ≈ 1 (utilizzando una popolazione di 500 in-dividui per 700 simulazioni si è ottenuto un σ = 0.018, venti volte maggiorerispetto al valore tipico, pari a circa 0.0009). Tali �uttuazioni elevate sonodovute all'esiguo numero di ignoranti all'interno della popolazione, ed al bas-so numero di individui all'interno della popolazione. Una frazione di 0.002ignoranti all'interno di una popolazione di 500 abitanti infatti corrispondealla presenza di un solo ignorante. Il che signi�ca che θ può assumere soloi valori 0 oppure 1, con una notevole �uttuazione rispetto a quelle mostrateper altri valori di i0. Aumentando quindi il numero di abitanti si aumenta diconseguenza il numero di ignoranti e si abbassano le �uttuazioni del valoredi θ.A rigore sarebbe inappropriato variare il numero di abitanti all'interno dellapopolazione perché, come mostrato in precedenza, il valore di θ dipende an-che dal numero di abitanti, N . Tuttavia tali e�etti sono del tutto trascurabilirispetto agli e�etti delle �uttuazioni appena descritti.Un ulteriore accorgimento nella simulazione per i0 ≈ 0 è consistito nell'au-mento del numero di simulazioni allo scopo di rendere più precisi i dati otte-nuti dalla simulazione.


i0 N Ns θ0.998 500 700 0.2044(9)0.9 500 700 0.2220(11)0.8 500 700 0.2432(12)0.7 500 700 0.2645(13)0.6 500 700 0.2854(14)0.5 500 700 0.3057(14)0.4 500 700 0.3165(16)0.3 500 700 0.3329(17)0.2 500 700 0.3466(20)0.1 800 700 0.3576(21)0.002 6500 3000 0.3718(25)

Tabella 2.5: Risultati delle simulazioni e�ettuate con diversi valore dellafrazione iniziale di ignoranti i0. Vengono riportati riportati, oltre ad i0 lapopolazione simulata N , il numero di simulazioni Ns ed il corrispondentevalore di θ ottenuto.

La simulazione è stata e�ettuata partendo da una popolazione composta da500 unità. Tale valore di popolazione è stato scelto in quanto, utilizzandoquesta popolazione, si aveva la garanzia che il programma fosse abbastanzaveloce nell'e�ettuare simulazioni. Allo stesso tempo, utilizzando popolazio-ne, l'incertezza data dalla dipendenza da N interviene sulla quarta cifrasigni�cativa, con un errore dell'ordine dello 0.3%. I risultati ottenuti dallasimulazione sono riportati nella tabella 2.5.Nella Fig. 2.5 i dati ottenuti sono stati riportati insieme alla curva teorica,ottenuta risolvendo numericamente con Mathematica l'eq. (2.18).

Come si evince dalla �gura c'è un buon accordo tra i dati ottenuti dallasimulazione e la determinazione di [3]: le simulazioni al computer risultanocompatibili con la curva teorica in tutta la lunghezza dell'intervallo.


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0i0

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40Θ

Figura 2.5: Variazione di θ in funzione di i0.

Capitolo 3

Variazioni sul modello

In questo capitolo vengono descritte alcune variazioni al modello originale.Verranno in particolare studiati due modelli: il primo varia la probabilità didi�usione della diceria, il secondo varia la probabilità di diventare smorzatore.Il principale e�etto che accomuna queste variazioni è il fatto che l'incontro tragli individui non indica necessariamente un tipo di transizione: ad esempioun incontro tra due di�usori non è detto che implichi la transizione(I;S;R)→ (I, S−2;R+2). Le probabilità di transizione andranno calcolatevolta per volta, a seconda della variazione che si prende in considerazione.Daley e Kendall [1] studiano un modello in cui variano simultaneamente laprobabilità di di�ondere la diceria e di diventare smorzatore. Tuttavia questomodello non fornisce altre informazioni utili a quanto già detto studiando imodelli separati.

3.1 Variazione della probabilità di di�usione

Si può pensare di modi�care il modello DK (o alternativamente il modelloMT) in modo che venga variata la probabilità di di�usione della diceria.Ossia, quando un di�usore incontra un altro individuo può di�ondere ladiceria con una certa probabilità p. Entrambi i modelli originali invece hannocome condizione che un di�usore, incontrando un interlocutore, propaghisicuramente la diceria e pertanto si ha p = 1. Le probabilità delle transizioniche si hanno per questo speci�co modello risultano essere:

P(I,S,R)→(I−1,S+1,R) ∝ pIS, (3.1)

P(I,S,R)→(I,S−2,R+2) ∝[1− (1− p)2

] 12S(S − 1), (3.2)

P(I,S,R)→(I,S−1,R+1) ∝ pSR, (3.3)

24

CAPITOLO 3. VARIAZIONI SUL MODELLO 25

le probabilità di queste transizioni sono dovute al fatto che

un incontro tra un ignorante ed un di�usore produce la transizione(I;S;R)→ (I + 1, S − 1;R) con probabilità pIS,

un incontro tra due di�usori può produrre una transizione(I;S;R)→ (I, S−2;R+2). Poiché entrambi i di�usori non trasmettonola diceria con probabilità (1−p), la probabilità che la diceria non vengatrasmessa è (1 − p)2. Dunque la probabilità complementare, ossia chela diceria venga trasmessa, è 1− (1− p)2,

un incontro tra un ignorante ed un di�usore produce la transizione(I;S;R)→ (I, S − 1;R + 1) con probabilità pSR.

Dalle probabilità di transizione, procedendo come discusso nel Capitolo 1 peril modello originale, si ottengono le seguenti equazioni di�erenziali:

dI

dt= −pIS, (3.4)

dS

dt= pIS − 2p (2− p) 1

2S(S − 1)− pSR = −pS (N − (2− p)− 2I + (p− 1)S) ,

(3.5)

Moltiplicando ambo i membri delle due equazioni per 1/N2 e passando allimite N →∞ si ottengono le equazioni:

di

dt= −pis, (3.6)

ds

dt= −ps (1− 2i+ (p− 1)s) . (3.7)

Si noti che sostituendo p = 1 si ottengono nuovamente le equazioni del mo-dello originale.Operando come già fatto in precedenza si ha:

ds

di=i

1− 2 + (p− 1)s

i, (3.8)

risolvendo l'equazione di�erenziale, con la condizione al contorno s(1) = 0,si ha:

s =i(1−p) (p− 2)p (p− 1)

+−2i (p− 1) + p

p (p− 1). (3.9)

Dividendo opportunamente per i0 quando s = 0 si ottiene quindi:

θ(1−p) (p− 2)p (p− 1)

+−2θ (p− 1) + p

p (p− 1)= 0. (3.10)


Tramite il programma Mathematica si è inoltre simulato il processo di�usio-ne in cui è stata variata la probabilità di di�usione, utilizzando diversi valoridi p da 0.1 a 0.99. Per i diversi valori sono stati e�ettuati 1000 simulazionidi una popolazione di 1000 abitanti ed i dati ottenuti sono riportati nellatabella 3.1. La Fig. 3.1 invece confronta i dati simulati con la curva anali-

p θp0.1 0.27870(65)0.2 0.27202(66)0.3 0.26471(64)0.4 0.25845(64)0.5 0.25032(63)0.6 0.24247(60)0.7 0.23381(59)0.8 0.22488(58)0.9 0.21498(58)0.99 0.20468(55)

Tabella 3.1: Dati ottenuti dalle simulazioni con p < 1. nella prima colonna èriportato il valore della probabilità p, nella seconda il valore di θ e la relativaincertezza

tica, ottenuta risolvendo l'eq.(3.10) con p che varia tra 0 e 1 e i dati simulaticon il metodo Monte Carlo. Dai dati ottenuti si nota come le simulazioni ela curva analitica siano compatibili. In particolare quello che si osserva è ladiminuzione del valore di θ all'aumento di p, il che signi�ca che, per far sìche la diceria raggiunga più persone, bisogna fare in modo che il di�usoresia in grado di di�ondere sicuramente la diceria. Tale soluzione, nella vitareale, può risultare utile nella scelta dei di�usori, siano essi un media comela televisione, internet o i quotidiani.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0p

0.22

0.24

0.26

0.28Θ

Figura 3.1: Gra�co di confronto tra i dati simulati e l'equazione (3.10) risoltaper p ∈ (0, 1)

È in�ne utile valutare la variazione delle tre sotto-popolazioni durante ilprocesso di di�usione della diceria. Qualitativamente, variare la probabilitàdi di�ondere la diceria allunga i tempi di di�usione, perché non tutte le volteche un di�usore incontra un altro individuo di�onderà la notizia.La Fig. 3.2 mette a confronto il processo di di�usione per p = 1, per p = 0.5e per p = 0.1. Dai gra�ci si può vedere come e�ettivamente il processo perp = 0.1 sia signi�cativamente più lungo rispetto a quello per p = 1 (per talevalore, con N = 1000 si hanno all'incirca 2000 interazioni totali, mentre perp = 0.1 si ha un numero di interazioni dell'ordine di 100 000). Interessanteè anche l'e�etto che si osserva ai margini del gra�co. Per p = 0.1 infatti siosserva un e�etto plateau sia all'inizio del processo sia alla �ne. La variazionedi probabilità sembra quindi avere un e�etto deterrente alla di�usione delladiceria all'inizio mentre alla �ne del processo la bassa probabilità impedisceagli ultimi di�usori di diventare smorzatori. Il gra�co per p = 0.5 in�nepresenta comportamenti intermedi tra i due estremi: per quel che riguardail numero di interazioni esso è dell'ordine di 10 000, un ordine di grandezzain meno rispetto a p = 0.1. Rimane inoltre presente l'e�etto plateau seppurein maniera meno marcata rispetto a quello che si vede per p = 0.1.


500 1000 1500Nr. interazioni

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0Frazione

p = 1

Smorzatori

Diffusori

Ignoranti

Figura 3.2: Confronto tra il processo di di�usione per p = 1 e quello perp = 0.5 e p = 0.1.


3.2 Variazione sulla probabilità di diventare uno

smorzatore

Un'altra possibilità consiste nel variare la probabilità di diventare uno smor-zatore, indicata con α. Nel modello originario tale probabilità è stata postapari ad 1. In questo modello le probabilità di transizione sono:

P(I,S,R)→(I−1,S+1,R) ∝ IS, (3.11)

P(I,S,R)→(I,S−2,R+2) ∝α2

2S(S − 1), (3.12)

P(I,S,R)→(I,S−1,R+1) ∝ αSR + 2α (1− α)1

2S(S − 1), (3.13)

infatti nell'incontro tra due di�usori si possono avere due casi:

Transizione Probabilità(I, S,R)→ (I, S − 2, R + 2) α2

2S(S − 1)

(I, S,R)→ (I, S − 1, R + 1) 2α (1− α) 12S(S − 1)

mentre nell'incontro tra uno smorzatore e un di�usore la transizione(I, S,R) → (I, S − 1, R + 1) avviene con probabilità αSR. Sommando leprobabilità ottenute si ottengono le probabilità di transizione.Le equazioni di�erenziali che approssimano il modello sono:

dI

dt= −IS,

(3.14)dS

dt= IS − αSR− αS(S − 1) = −S (α (N − 1)− (α + 1) I) .

Si noti che, ponendo α = 1 si riottengono le eq. (1.11) del modello originale.A questo punto si può passare alle frazioni i, s, r ed utilizzando il limiteN →∞, come già fatto per il modello originale, si ottiene

di

dt= −is,

(3.15)ds

dt= −s (α− (α + 1) i)

e dunque l'equazione che regola tale processo è:

ds

di=α

i− (α + 1). (3.16)


Risolvendo l'equazione (3.16) si ha:

s− s0 = α lni

i0− (α + 1) (i− i0) , (3.17)

e, nel momento in cui si estingue il processo di di�usione, ossia per s=0:

s0 = ln θα + i0 (α + 1) (1− θ) . (3.18)

In�ne, ricordando le condizioni iniziali (s0 → 0, i0 → 1) si ha:

ln θα + (α + 1) (1− θ) = 0, (3.19)

la cui risoluzione dipende dal valore di α.Allo scopo di e�ettuare la simulazione numerica del modello, abbiamo modi-�cato il programma di simulazione mediante l'introduzione della probabilitàα che il di�usore diventi uno smorzatore a seguito dell'incontro con un altrosmorzatore o un di�usore.Partendo da una popolazione di 1000 individui ed e�ettuando, per ogni va-lore della probabilità α, 1000 simulazioni si sono ottenuti i risultati riportatinella tabella 3.2.La Fig. 3.3 confronta i dati ottenuti dalle simulazioni al computer con la

α θα0.1 0.0000140(37)0.2 0.002582(53)0.3 0.01424(14)0.4 0.03449(22)0.5 0.05962(29)0.6 0.08843(35)0.7 0.11762(45)0.8 0.14629(49)0.9 0.17543(51)0.99 0.19939(58)

Tabella 3.2: Dati ottenuti dalle simulazioni. Nella prima colonna è riportatoil valore della probabilità α, nella seconda il valore di θ e la relativa incertezza

risoluzione dell'equazione (3.19) per tutti quei valori di α compresi nell'in-tervallo (0, 1). La risoluzione è stata ottenuta numericamente, mediante ilprogramma Mathematica. Come si evince dal gra�co i dati simulati seguonocon buona fedeltà tale curva. In particolare quello che si osserva è che al


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Α0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Θ

Figura 3.3: Gra�co di confronto tra i dati simulati e l'equazione (3.19) risoltaper α ∈ (0, 1)

diminuire di α la frazione di ignoranti che si osserva alla �ne del processo didi�usione tende a zero. Applicare tale modello alla vita di tutti i giorni quin-di signi�ca che se si vuole fare in modo che la diceria venga di�usa a tutte lepersone che compongono la popolazione, si deve fare in modo che i di�usoridella notizia non perdano interesse nel di�ondere la diceria. Tale soluzione,sebbene scontata nel quotidiano, viene confermata anche da questo modello.

È interessante anche confrontare le modalità di di�usione nel caso in cuiα = 1, come nel modello originale, con quelle in cui il valore di α è moltobasso, ad esempio α = 0.1. La Fig. 3.4 confronta, per l'appunto, i processi didi�usione di questi due valori di α. Quello che si può constatare è che, per αbassi, la frazione di ignoranti decresce molto più repentinamente. Non solo,la frazione �nale risulta più bassa rispetto al caso originale, per α = 1. Comeconfronto in�ne è stato inserito anche il gra�co per α = 0.5, che presenta uncomportamento intermedio rispetto ai due sopra elencati.


Figura 3.4: Confronto tra il processo di di�usione per α = 1, α = 0.5 eα = 0.1. Per tutti gli α è stata utilizzata un popolazione N di 1000 abitanti.

Conclusioni

Il lavoro presentato in questa tesi ha riguardato lo studio di diversi model-li di di�usione delle dicerie. A partire dai modelli DK e MT, basati sullasuddivisione di una certa popolazione nelle categorie di ignoranti, di�usorie smorzatori della diceria e sulle interazioni che intercorrono tra di essi, si èconsiderato dapprima una soluzione analitica approssimata, valida nel limitedi popolazione tendente all'in�nito con transizioni che avvengono in manieracontinua. Si è osservato come il numero di ignoranti alla �ne del processo didi�usione è pari a circa il 20% del numero iniziale di ignoranti.Si è poi studiata la soluzione numerica esatta del modello, con il quale è pos-sibile osservare la dipendenza del numero �nale di ignoranti dal numero diindividui della popolazione. In questo modello le interazioni tra gli individuivengono descritte in termini di un random walk. Il processo di di�usionedella diceria passa attraverso gli stati del random walk con una certa proba-bilità, calcolate numericamente. Tali probabilità, in particolare, fornisconole distribuzioni delle diverse popolazioni e la loro dipendenza dal numero diindividui della popolazione.Sia alla risoluzione analitica approssimata che alla simulazione numerica esat-ta sono state a�ancate delle simulazioni Monte Carlo: tali simulazioni costi-tuiscono un terzo metodo di studio del processo di di�usione.Successivamente si è studiata la dipendenza della frazione �nale di ignorantidalla frazione iniziale degli stessi, utilizzando le equazioni proposte da Belene Pearce in [3]. Un particolare e�etto che si è notato è che diminuendo lafrazione iniziale si osserva un aumento del rapporto tra la frazione �nale equella iniziale di ignoranti.Nell'ultimo capitolo sono state studiate due possibili variazioni del modello.Nella prima veniva modi�cata la probabilità di di�usione della diceria. Contale modello si è osservato che, per basse probabilità, si crea un particolaree�etto plateau all'inizio e alla �ne del processo di di�usione. Nel secondomodello invece è stata variata la probabilità di diventare smorzatori. Conquesto si è osservato, per valori di probabilità bassi, un calo molto più re-pentino del numero di ignoranti rispetto al modello originale, oltre che ad

33


una frazione �nale di ignoranti molto più basso. Tali e�etti sono dovuti allamaggior presenza di di�usori attivi all'interno della popolazione rispetto almodello originale.

Appendice A

codice di Mathematica

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APPENDICE A. CODICE DI MATHEMATICA 36

Ringraziamenti

Desidero ringraziare in primo luogo il prof. V. Lubicz per il sostegno ed iconsigli utili che mi ha dato nello scrivere la tesi. Mi hanno aiutato davverotanto. Grazie tante poi ad Andrea, Matteo, Marco (grazie per le correzioni!),Ivano, Ilaria e gli altri ragazzi della Sala Calcolo, compagni d'avventura sucui ho potuto contare molto durante l'arco di questi mesi, confrontandomicon loro, chiedendo delucidazioni su LATEX o semplicemente garantendomitante risate. Se sorridere allunga la vita sto a posto per i prossimi centoanni. Grazie a Claudia, non fosse per lei sarei stato travolto dalle mie ansie,un giorno, prometto, mi sdebiterò.Un ringraziamento particolare va poi al prof. S. Fiorelli ed alla prof.ssa M.Nannurelli. Se ho scelto di studiare �sica è soprattutto grazie a loro.Ultimi, ma non certo in ordine di importanza, i miei genitori e mio fratello.Potrei scrivere migliaia di motivi per ringraziarli, so già che non sarebbeabbastanza.

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Bibliogra�a

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studio e applicazioni di modelli stocastici per la ...conosca, ovvero uno smorzatore od un altro di...

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