studio delle singolarità del robot a 7 giunti kuka lwr4
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Studio delle singolarità del robot a 7 giunti KUKA LWR4. Relatore Prof. Alessandro De Luca Candidato Francesco Bella. La convenzione di Denavit-Hartenberg. Asse z i lungo l’asse di giunto i+1 Asse x i lungo la normale comune agli assi di giunto i e i+1 (verso: i → i+1) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Studio delle singolarità del robot a 7 giunti KUKA LWR4
Relatore
Prof. Alessandro De Luca
Candidato
Francesco Bella
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La convenzione di Denavit-Hartenberg
• Asse zi lungo l’asse di giunto i+1
• Asse xi lungo la normale comune agli assi di giunto i e i+1 (verso: i → i+1)
• ai = distanza Oi’ Oi orientata con xi (costante = ‘‘lunghezza’’ braccio i)
• di = distanza Oi-1 Oi orientata con zi-1 (variabile se giunto i PRISMATICO)
• αi = angolo di twist tra zi-1 e zi intorno a xi (costante)
• θi = angolo tra xi-1 e xi intorno a zi-1 (variabile se giunto i ROTATORIO)
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Assegnazione delle terne al KUKA LWR4
i θi[rad] di[m] ai[m] αi[rad]
1 q1 0 0 π/2
2 q2 0 0 -π/2
3 q3 0.4 0 -π/2
4 q4 0 0 π/2
5 q5 0.4 0 π/2
6 q6 0 0 -π/2
7 q7 0 0 0
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Matrici di trasformazione omogenea ed espressione della cinematica diretta
T0n(q) = A0
1(q1)A12(q2)…An-1
n(qn)
Si può ottenere la cinematica del KUKA LWR4 in maniera
sistematica attraverso semplici prodotti di matrici di trasformazione omogenea, ognuna delle quali risulta funzione di una singola variabile di
giunto.
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La cinematica differenziale
Caratterizza i legami tra la velocità dei giunti e le corrispondenti velocità lineare ed angolare dell’organo terminale. Tali legami sono descritti dallo Jacobiano geometrico.
Giunto i-esimo prismatico
Giunto i-esimo rotatorio
JLi(q) Zi-1 Zi-1 x pi-1,E
JAi(q) 0 Zi-1
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Cosa sono le singolarità cinematiche?
Sono tutte quelle configurazioni in cui lo Jacobiano diminuisce di rango
La caratterizzazione delle singolarità è di notevole interesse perché se il robot è in una configurazione singolare:
1.Si ha una perdita di mobilità della struttura → non è possibile imporre all’organo terminale leggi di moto arbitrarie
2.Possono esistere infinite soluzioni al problema cinematico inverso
3.Velocità ridotte nello spazio operativo possono indurre velocità molto alte nello spazio dei giunti
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Lo Jacobiano geometrico e lo Jacobiano Mid-Frame 4x4Primo approccio
Analisi dei 7 determinanti dei minori (6x6) dello Jacobiano. L’annullamento simultaneo in una stessa configurazione dei 7 determinanti corrisponde ad una singolarità.
Data la complessità della struttura del Jacobiano si utilizza il Jacobiano Mid-Frame 4x4.
Nonostante la forma semplificata anche il Jacobiano Mid-Frame 4x4 non porta a risultati convincenti.
Solo alcune configurazioni risultano individuabili nell’immediato per la loro capacità di rendere il determinante nullo, ma non si potrebbe dare certezza sulla completezza e l’unicità delle stesse.
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Formula di Cauchy-BinetSiano A e B due matrici rispettivamente di tipo mxn e nxm. Il loro prodotto AB è quindi una matrice quadrata mxm. La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di AB come
dove S varia fra i sottoinsiemi con m elementi dell’insieme [1…n]. Per ogni S, la matrice AS è il minore di ordine m ottenuto da A prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a S. Analogamente, BS è il minore di ordine m ottenuto da B prendendo solo le righe i cui indici appartengono a S.
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Applicazione della formula al KUKA LWR4
Grazie alla formula di Cauchy-Binet, una configurazione singolare si verifica quando si annulla la somma di quadrati di determinanti
con Jimn l’i-esimo minore ottenuto sopprimendo le colonne i della matrice Jmn. I termini della prima
sommatoria hanno una forma triangolare a blocchi inferiore e per questo si possono riscrivere come
rg(J11) < 3 rg(J22) < 3Condizione sufficiente(a sx) e condizione necessaria(a dx)
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Condizioni per le singolarità del KUKA LWR4
Condizioni sufficienti Condizioni necessariePer quali valori si annullano i 4 determinanti dei minori di J11?
3. q6 = kπ
1. q4 = kπ2. q2 = k π ˄ q3 = π/2 + kπ
Per quali valori si annulla il determinante di J22?
Altre condizioni sufficienti
4. q2 = kπ ˄ q6 = kπ
5. q5 = π/2+kπ ˄ q6 = kπ
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ConclusioniL’analisi delle singolarità è stata portata a termine con successo grazie all’utilizzo della formula di Cauchy-Binet.
Infatti l’annullamento dei 7 determinanti dei minori di ordine 6 dello Jacobiano geometrico, si è rivelato molto ostico e computazionalmente complesso da perseguire nonostante l’utilizzo di Matlab.
Al contrario l’idea di partizionare il Jacobiano e sfruttarne la struttura triangolare per avere calcoli meno complessi, si è rivelata di semplice risoluzione.
Naturalmente sono state testate le configurazioni ottenute con il secondo metodo, con sostituzioni esplicite nei vari determinanti, ed effettivamente i 7 determinanti ottenuti nel primo caso si annullano.
In conclusione, sono stati raggiunti gli obiettivi prefissati all’inizio del progetto.