studiju kurss polinomu algebra 12.lekcija · 4 katr„a kop„a a eksist„e tikai viena...

1

DAUGAVPILS UNIVERSITATEDabaszinatnu un matematikas fakultate

Matematikas katedraBakalaura studiju programma “Matematika”

Studiju kurss

Polinomu algebra

12.lekcijaDocetajs: Dr. P. Daugulis

2007./2008.studiju gads

Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans

2

Saturs

1. Simetriskie polinomi 31.1. Definıcijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Permutacijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Permutaciju grupas darbıba polinomu gredzena 71.1.3. Simetrisko polinomu klases . . . . . . . . . . . 8

1.2. Simetrisko polinomu ıpasıbas . . . . . . . . . . . . . . 141.3. Simetrisko polinomu pamatteorema . . . . . . . . . . . 22

1.3.1. Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4. Algoritmi SP izteiksanai ar elementaro SP palıdzıbu . 28

1.4.1. Teoremas algoritms . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.2. Nenoteikto koeficientu metode . . . . . . . . . 29

2. 12.majasdarbs 322.1. Obligatie uzdevumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. Paaugstinatas grutıbas un petnieciska rakstura uzdevumi 33


3

1. Simetriskie polinomi

Saja sadala apskatısim polinomus virs lauka k.

1.1. Definıcijas

1.1.1. Permutacijas

Ja ir dota galıga kopa A, tad par tas permutaciju sauc jebkurubijektıvu funkciju

σ : A → A.

Visu n elementu kopas permutaciju kopu apzıme ar Σn.

Var atrast visu permutaciju skaitu kopa ar n elementiem:

|Σn| = n(n− 1)(n− 2)...2 ◦ 1 = n!.


4

Katra kopa A eksiste tikai viena universali defineta permutacija -vienıbas permutacija id.

Permutaciju pierakstam var izmantot sadus veidus:• attelu saraksts;

• vertikalais pieraksts;

• horizontalais pieraksts - saja gadıjuma funkciju pieraksta divurindu veida, kas ir savienotas ar iekavam, augseja rinda rak-sta kopas elementus kaut kada noteikta kartıba, apakseja rindaraksta kopas elementu attelus attiecıba uz doto funkciju ta, kakatra kolonna apaksejais elements ir augseja elementa attels;

• diagrammas veida.

Kopa Σn var definet kompozıcijas operaciju. Ja ir dotas divas per-mutacijas σ1 un σ2, tad to kompozıcija σ1◦σ2 ir defineta ar nosacıjumu

(σ1 ◦ σ2)(x) = σ1(σ2(x)), ∀x.


5

Katrai permutacijai σ eksiste inversa permutacija σ−1, kas ir de-fineta ar nosacıjumu

σ ◦ σ−1 = σ−1 ◦ σ = id .

Permutaciju f : A → A sauksim par ciklisku attelojumu vai ciklu,ja

• vai nu |A| ≥ 2 un kopas A elementus var sanumuret noteiktakartıba a0, ..., an−1 ta, ka f(ai) = ai+1 mod n, sadu permutacijuapzımesim veida (a0, a1, ..., an−1);

• vai arı |A| = 1 (un kopas A vienıgais elements a apmierinavienadıbu f(a) = a).

1.1. teorema. (permutacijas sadalıjums ciklos) Katrai galıgas kopasA permutacijai σ eksiste A sadalıjums apakskopas A1, ..., Am tads, kaσ sasaurinajums uz katru apakskopu Ai ir cikls.

Var definet permutacijas ciklisko pierakstu:


6

1.1. piemers. Permutaciju(1 2 3 4 55 4 2 3 1

)

var sadalıt divos ciklos un apzımet veida

(15)(243).

1.2. teorema. Kopa Σn ar permutaciju kompozıcijas operaciju veido(nekomutatıvu) grupu.

PIERADIJUMS Funkciju kompozıcija ir asociatıva. Eksiste vie-nıbas elements - vienıbas permutacija. Katrai permutacijai eksisteinversais elements - inversa permutacija.

¥

1.2. piemers. Operaciju tabulas grupam Σ2 un Σ3.


7

1.1.2. Permutaciju grupas darbıba polinomu gredzena

Katrai n elementu kopas permutacijai σ un katram polinomamf ∈ R[X1, ..., Xn] definesim polinomu σ ◦ f ar sadu nosacıjumu:

(σ ◦ f)(X1, ..., Xn) = f(Xσ(1), ..., Xσ(n)).

Tadejadi katrai σ ir defineta funkcija

Tσ : k[X1, ..., Xn] → k[X1, ..., Xn],Tσ(f) = σ ◦ f.

1.1. piezıme. Ka specialgadıjumu var definet permutacijas darbıbumonomu kopa.

1.3. piemers. Ja f = X1 + X2X3 un σ = (12), tad

(σ ◦ f)(X1, X2, X3) = Xσ(1) + Xσ(2)Xσ(3) = X2 + X1X3.


8

n-argumentu polinomu f sauksim par simetrisku polinomu (SP),ja

σ ◦ f = f

katram σ ∈ Σn. Citiem vardiem sakot, veicot jebkadu argumentupermutaciju, polinoms nemainas.

1.4. piemers. Simetriskie polinomi - X1X2X3, X1+X2, X1X2, X2+XY + Y 2.

Nesimetriski polinomi - X21X2, X + 2Y .

1.1.3. Simetrisko polinomu klases

SP sauksim par elementaru SP, ja tas ir izsakams forma

ek(X1, X2, ..., Xn) =∑

1≤i1<i2<...<ik≤n

Xi1Xi2 ...Xik.


9

Definesim arı e0 = 1.

1.5. piemers. Ja n = 1, tad ir definets tikai

e1(X) = X.

Ja n = 2, tad ir defineti

e1(X1, X2) = X1 + X2,

e2(X1, X2) = X1X2.


e1(X1, X2, X3) = X1 + X2 + X3,

e2(X1, X2, X3) = X1X2 + X1X3 + X2X3,

e3(X1, X2, X3) = X1X2X3.


10

1.6. piemers. Atverot iekavas izteiksmei

(X − c1)(X − c2)...(X − cn),

iegusim

Xn−e1(c1, ..., cn)Xn−1+e2(c1, ..., cn)Xn−2+...+(−1)n+1en(c1, ..., cn).

SP sauksim par pakapju summu SP, ja tas ir izsakams forma

pk(X1, X2, ..., Xn) =n∑

i=1

Xki .

Definesim arı p0 = n.

1.7. piemers. Ja n = 1, tad var definet

pk(X) = Xk.


11

Ja n = 2, tad var definet

pk(X1, X2) = Xk1 + Xk

2 .

Ja n = 3, tad var definet

pk(X1, X2, X3) = Xk1 + Xk

2 + Xk3 .

SP sauksim par pilno homogeno SP, ja tas ir izsakams forma

hk(X1, X2, ..., Xn) =∑

1≤i1≤i2≤...≤ik≤n

Xi1Xi2 ...Xik.

Definesim arı h0 = 1.

1.8. piemers. Ja n = 1, tad ir definets tikai

h1(X) = X.


12


h1(X1, X2) = X1 + X2,

h2(X1, X2) = X21 + X1X2 + X2

2 .


h1(X1, X2, X3) = X1 + X2 + X3,

h2(X1, X2, X3) = X21 + X1X2 + X1X3 + X2

2 + X2X3 + X23 ,

h3(X1, X2, X3) = X31 + X2

1X2 + X21X3 + X1X

22 + X1X

23+

X1X2X3 + X32 + X2

2X3 + X2X23 + X3

3 .

Ja ir dots monoms Xµ = Xµ11 ...Xµn

n , tad par µ-monomialo SPsauksim

S(Xµ) =∑

σ∈Σn

σ ◦Xµ =∑

σ∈Σn

Xµ1σ(1)X

µ2σ(2)...X

µn

σ(n).


13

1.9. piemers.

S(X1) = S(Xi) = (n− 1)!n∑

i=1

Xi.

S(X21 ) = S(X2

i ) = (n− 1)!n∑

i=1

X2i .

S(X1X2) = 2(n− 1)!n∑

i<j

XiXj .

1.2. piezıme. Var redzet, ka

ek = c · S(X1X2...Xk),

pk = c · S(Xk1 ).


14

1.2. Simetrisko polinomu ıpasıbas

1.3. teorema. Ja f ∈ k[X1, ..., Xn]S satur monomu aXµ, tad katramσ tas satur monomu a(σ ◦Xµ).

PIERADIJUMS

1.4. teorema. Permutacijas darbıba polinomu gredzena ir gredzenuhomomorfisms.

PIERADIJUMS Ir japierada, ka fiksetas permutacijas σ darbıbasaglaba summu un reizinajumu.

Ja

f(X1, ..., Xn) =∑

i1,...,in

ai1...inXii

1 ...Xinn ,

g(X1, ..., Xn) =∑

i1,...,in

bi1...inXii

1 ...Xinn ,


15

tad

(σ ◦ f)(X1, ..., Xn) =∑

i1,...,in

ai1...inXii

σ(1)...Xin

σ(n),

(σ ◦ g)(X1, ..., Xn) =∑

i1,...,in

bi1...inXii

σ(1)...Xin

σ(n).

Redzam, ka

(σ ◦ (f + g))(X1, ..., Xn) =∑

i1,...,in

(ai1...in + bi1...in)Xii

σ(1)...Xin

σ(n) =

∑

i1,...,in

ai1...inXii

σ(1)...Xin

σ(n) +∑

i1,...,in

bi1...inXii

σ(1)...Xin

σ(n) =

(σ ◦f)(X1, ..., Xn)+(σ ◦g)(X1, ..., Xn) = (σ ◦f +σ ◦g)(X1, ..., Xn).

Reizinasanas saglabasanu no sakuma pieradısim uz monomiem,pec tam no tikko pieradıtas summas saglabasanas sekos reizinasanas


16

saglabasana patvalıgiem polinomiem.

Redzam, ka

σ ◦Xµ11 ...Xµn

n = Xµ1σ(1)...X

µn

σ(n),

σ ◦Xν11 ...Xνn

n = Xν1σ(1)...X

νn

σ(n),

un

σ ◦ (Xµ11 ...Xµn

n ·Xν11 ...Xνn

n ) = σ ◦ (Xµ1+ν11 ...Xµn+νn

n ) =

Xµ1+ν1σ(1) ...Xµn+νn

σ(n) = Xµ1σ(1)...X

µn

σ(n) ·Xν1σ(1)...X

νn

σ(n) =

(σ ◦Xµ11 ...Xµn

n ) · (σ ◦Xν11 ...Xνn

n ).


17

Ja

f =∑

i

fi,

g =∑

j

gj ,

kur fi, gj ir monomi, tad

σ ◦ (fg) = σ ◦ (∑

i,j

figj) =∑

i,j

σ ◦ (figj) =∑

i,j

(σ ◦ fi)(σ ◦ gj) =

(∑

i

σ ◦ fi)(∑

j

σ ◦ gj) = (σ ◦∑

i

fi)(σ ◦∑

j

gj) = (σ ◦ f)(σ ◦ g).


18

1.5. teorema. Katram n SP ar n argumentiem veido apaksgredzenugredzena R[X1, ..., Xn].

PIERADIJUMS Japierada, ka divu SP summa un reizinajums irSP.

Ja f, g ∈ k[X1, ..., Xn] ir SP, tad

σ ◦ f = f, ∀σ,

σ ◦ g = g, ∀σ.

Redzam, ka

σ ◦ (f + g) = σ ◦ f + σ ◦ g = f + g, ∀σ,

σ ◦ (fg) = (σ ◦ f)(σ ◦ g) = fg, ∀σ.

¥Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans

19

Visu SP apaksgredzenu apzıme ar R[X1, ..., Xn]S .

1.6. teorema.1. Ja f ir homogens polinoms ar pakapi m, tad σ◦f arı ir homogens

polinoms ar kartu m.

2. Ja g ir izteikts homogenu saskaitamo summas veida

g = g0 + g1 + ... + gl,

tadσ ◦ g = σ ◦ g0 + σ ◦ g1 + ... + σ ◦ gl.

PIERADIJUMS Acımredzami.

Monomu aX(µ1,...,µn) sauksim par monotonu, ja

µ1 ≥ µ2 ≥ ... ≥ µn.


20

1.7. teorema. Simetriska polinoma vecakais loceklis ir monotons.

PIERADIJUMS Pienemsim, ka simetriska polinoma f vecakaisloceklis ir

aXµ11 ...Xµi

i Xµi+1i+1 ...Xµn

n , kur µi < µi+1.

Ta ka f ir simetriska, tad f satur monomu

M = aXµ11 ...X

µi+1i Xµi

i+1...Xµnn .

Redzam, ka

MÂ aXµ11 ...Xµi

i Xµi+1i+1 ...Xµn

n = H(f),

kas ir pretruna.¥


21

1.8. teorema. Katru SP var izteikt monomialo polinomu linaras kom-binacijas veida: ja f ∈ k[X1, ..., Xn]S , tad

f =∑

µ

cµS(Xµ).

PIERADIJUMS Pietiek pieradıt apgalvojumu homogenam SP f .

Ja f satur monomu a1Xµ1 , tad tas satur arı visu a1S(Xµ1). De-

finesim f1 = f − a1S(Xµ1).

Ja f1 6= 0, tad tas satur vismaz vienu monomu a2S(Xµ2), tatadarı a2S(Xµ2). Definesim f2 = f − a1S(Xµ1)− a2S(Xµ2).

Turpinasim so procesu. Pec galıga skaita soliem iegusim fl = 0.Seko teoremas apgalvojums. ¥


22

1.3. Simetrisko polinomu pamatteorema

1.3.1. Teorija

1.9. teorema. Jebkuru simetrisku polinomu f ∈ R[X1, ..., Xn] varviennozımıgi izteikt forma

f(X1, ..., Xn) = ϕ(s1, ..., sn),

kur g ∈ R[Y1, ..., Yn].

PIERADIJUMS Pietiek pieradıt apgalvojumu homogeniem SP.Tapec pienemsim, ka f ir homogens SP.

1.solis Eksistence un algoritms.Pieradısim, ka katram SP f ∈ R[X1, ..., Xn] eksiste g ∈ R[Y1, ..., Yn]

tads, ka

f(X1, ..., Xn) = g(e1(X1, ..., Xn), ..., en(X1, ..., Xn)).

Pienemsim, ka simetriska polinoma f vecakais loceklis ir

H(f) = aXµ11 ...Xµn

n , kur µi < µi+1.


23

Definesimf1 = f − aeµ1−µ2

1 eµ2−µ22 ...eµn

n .

Redzam, ka

deg(eµ1−µ21 eµ2−µ2

2 ...eµnn ) =

(µ1 − µ2) + 2(µ2 − µ3) + ... + nµn =µ1 + µ2 + ...µn = deg(f).

Redzam, ka f1 ir simetrisks polinoms ar pakapi m.

AtradısimH(aeµ1−µ21 eµ2−µ2

2 ...eµnn ). Saskana ar vecaka locekla mul-


24

tiplikativitates ıpasıbu

H(aeµ1−µ21 eµ2−µ2

2 ...eµnn ) = aH(eµ1−µ2

1 )H(eµ2−µ32 )...H(eµn

n ) =

aH(e1)µ1−µ2H(e2)µ2−µ3 ...H(en)µn =

aXµ1−µ21 (X1X2)µ2−µ3 ...(X1...Xn)µn = aXµ1

1 Xµ22 ...Xµn

n = H(f).

Seko, kaH(f) Â H(f1).

Pienemsim, ka simetriska polinoma f1 vecakais loceklis ir

H(f1) = bXν11 ...Xνn

n , kur νi < νi+1.

Definesimf2 = f1 − beν1−ν2

1 eν2−ν22 ...eνn

n .


25

Spriezot lıdzıgi, iegusim, ka

H(f) Â H(f1) Â H(f2).

Turpinot so procesu, pec galıga skaita soliem iegusim simetriskupolinomu fl = 0, tapec

f = aeµ1−µ21 ...eµn

n + beν1−ν21 ...eνn

n + ... = g(e1, ..., en) ∈ k[e1, ..., en].

2.solis Vienıgums.Pienemsim, ka eksiste divi dazadi polinomi g1, g2 tadi, ka

f = g1(e1, ..., en) = g2(e1, ..., en).

Apskatısim g = g1 − g2 6= 0. No otras puses,

g(e1(X1, ..., Xn), ..., en(X1, ..., Xn)) = 0.


26

Katram monomam aY λ11 ...Y λn

n , a 6= 0, izpildas

H(aeλ11 eλ2

2 ...eλnn ) = aXλ1

1 (X1X2)λ2 ...(X1X2...Xn)λn =

aXλ1+...λn1 Xλ2+...+λn

2 ...Xλnn .

Ja g satur vienu monomu aY λ11 ...Y λn

n , a 6= 0, tad

H(aeλ11 eλ2

2 ...eλnn ) = aXλ1+...λn

1 Xλ2+...+λn2 ...Xλn

n 6= 0.

Pienemsim, ka g satur vismaz divus monomus

M = aY λ11 ...Y λn

n , a 6= 0,

M′ = bY γ11 ...Y γn

n , b 6= 0,


27

kuriem izpildas nosacıjumsMÂM′. Ievietojot Y vieta e, iegusim,ka

H(M(e)) Â H(M′(e)),tapec vienıgajam g(Y ) vecakajam monomam atbildıs vienıgais veca-kais g(e) monoms un iegusim, ka g(e) 6= 0, kas ir pretruna.

¥

1.3. piezıme. Lıdzıgi rezultati ir speka arı pakapju summu SP unpilnajiem homogenajiem SP:

• Q[X1, ..., Xn]S = Q[p1, ..., pn],

• k[X1, ..., Xn]S = k[h1, ..., hn].


28

1.4. Algoritmi SP izteiksanai ar elementaro SP pa-lıdzıbu

SP izteiksanu ar elementaro SP palıdzıbu sauksim par ta elemen-tarizaciju.

1.4.1. Teoremas algoritms

Var izmantot algoritmu, kas ir dots teoremas pieradıjuma.

1.10. piemers. Izteiksim f = X41 +X4

2 ka funkciju no elementarajiemSP:

1. f → f1 = f − e41 = −4X3

1X2 − 6X21X2

2 − 4X1X32 .

2. f1 → f2 = f1 + 4e21e2 = 2X2

1X22 .

3. f2 → f3 = f2 − 2e22.

Redzam, kaf = e4

1 − 4e21e2 + 2e2

2.


29

1.4.2. Nenoteikto koeficientu metode

Ja α = (α1, ..., αn) ir monotons pakapju vektors, tad apzımesim

E(α) = eα1−α21 eα2−α3

2 ...eαnn .

Homogena SP f elementarizacijas algoritms:1. Izteikt f ka monomialo SP linearu kombinaciju

f =∑

µ

aµS(Xµ),

kur Xµ ir vecakais no visiem S(Xµ) monomiem.

2. Katram µ, kas figure summa ar nenulles koeficientu atrast visus


30

|µ| sadalıjumus (λ1, λ2, ..., λl):

λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λl,

l∑

i=1

λi = |µ|.

Sadu pakapju vektoru kopu apzımesim ar T .

3. Katram µ meklejam S(Xµ) forma

S(Xµ) = E(µ) +∑

τ∈TbτE(τ),

kur koeficienti bτ tiek atrast liekot Xi vieta konkretus mazusveselus skaitlu, parasti 0 un ±1.

1.11. piemers. Elementarizesim X51 + X5

2 . Tas ir homogens unvienads ar S(X5

1 ). Ir iespejami 5 monotoni pakapju vektori ar pakapi5: (5, 0), (4, 1) un (3, 2). Elementarizacija ir jamekle forma

X51 + X5

2 = e51 + ae3

1e2 + be1e22


31

ar pagaidam nezinamiem a, b.

Ja (X1, X2) = (1, 1), tad iegusim vienadojumu

2 = 25 + a · 23 + b · 2.

Ja (X1, X2) = (1, 2), tad iegusim vienadojumu

1 + 25 = 35 + a · 33 · 2 + b · 3 · 22.

Iegusim sistemu {4a + b = −159a + 2b = −35

Atrisinajums ir (a, b) = (−5, 5), tapec

X51 + X5

2 = e41 − 5e3

1e2 + 5e1e22.

1.4. piezıme. Var izmantot Grobnera bazes. Sıkak so pieeju neap-skatısim. Interesenti var lasıt literaturu par GB.


32

2. 12.majasdarbs

2.1. Obligatie uzdevumi

12.1 Izteikt dotos SP izmantojot elementaros SP:(a) X3

1 + X32 ;

(b) X31X2 + X3

1X3 + X1X32 + X1X

33 + X3

2X3 + X2X33 ;

(c) (X1X2 + X3)(X1X3 + X2)(X2X3 + X1).

12.2 c1, c2, c3 ir vienadojuma

X3 + 2X2 + 3X + 4 = 0

saknes. Atrodiet lielumu1c21

+1c22

+1c23

.


33

2.2. Paaugstinatas grutıbas un petnieciska rakstu-ra uzdevumi

12.3 Vispariniet apgalvojumu par permutacijas sadalıjumu ciklos uzsadiem gadıjumiem:(a) kopa A ir galıga, funkcija f : A → A nav bijektıva,(b) kopaA ir bezgalıga, funkcija f : A → A ir bijektıva,(c) kopa A ir bezgalıga, funkcija f : A → A nav bijektıva.

12.4 Piedavajiet algoritmus SP izteiksanai(a) ar pakapju summu SP palıdzıbu,(b) ar pilno homogeno SP palıdzıbu.


studiju kurss polinomu algebra 12.lekcija · 4 katr„a kop„a a eksist„e tikai viena...

Documents