studiju kurss line¯ar¯a algebra i 1.lekcija · 2009. 8. 26. · ja a\b =;, tad saka, ka kopas a...

$: Studiju kurss Line¯ar¯a algebra I 1.lekcija · 2009. 8. 26. · Ja A\B =;, tad saka, ka kopas A un B ir atdal¯ıtas jeb ˇsk¸irtas. 1.4.4. Starp¯ıba Par divu kopu A un B starp¯ıbu$
1

DAUGAVPILS UNIVERSITATEDabaszinatnu un matematikas fakultate

Matematikas katedraBakalaura studiju programma “Matematika”

Studiju kurss

Lineara algebra I

1.lekcijaDocetajs: Dr. P. Daugulis

2009./2010.studiju gads

Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans

2

Saturs

1. Kopu teorijas pamati 51.1. Pamatdefinıcijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Kopu uzdosanas veidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Elementu parskaitısana . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. Definejosa ıpasıba vai algoritms . . . . . . . . . 81.2.3. Operaciju rezultats . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4. Kopu vizualizacija . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Kopu vienadıba, apakskopas . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1. Kopu vienadıba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Apakskopas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Operacijas ar kopam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1. Papildinajums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2. Apvienojums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.3. Skelums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.4. Starpıba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.5. Simetriska starpıba . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.6. Kopu operaciju ıpasıbas . . . . . . . . . . . . . 15


3

1.5. Kopu vienadıbas pieradısana . . . . . . . . . . . . . . 161.5.1. Apakskopu ieklausanas antisimetrijas ıpasıbas

izmantosana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.2. Kopu operaciju ıpasıbu izmantosana . . . . . . 171.5.3. Eilera diagrammu izmantosana . . . . . . . . . 171.5.4. Incidences tabulu vai elementarskelumu izman-

tosana (patstavıga lasısana) . . . . . . . . . . . 18

2. 1.majasdarbs 212.1. Obligatie uzdevumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Paaugstinatas grutıbas un petnieciska rakstura uzdevumi 22


4

Lekcijas merkis:• apgut kopu teorijas pamatus.

Lekcijas kopsavilkums:• lietderıgi ir petıt dazadas dabas objektu kopumus - kopas,

• var definet dazadas kopu operacijas un petıt to ıpasıbas.

Svarıgakie jedzieni: kopa, multikopa, Eilera diagramma, kopuvienadıba, apakskopa, bitu vektors, pakapes kopa, papildinajums, ap-vienojums, skelums, starpıba, simetriska starpıba.

Svarıgakie fakti un metodes: apakskopu ıpasıbas, kopu ope-raciju ıpasıbas, kopu vienadıbas pieradısanas metodes.


5

1. Kopu teorijas pamati

1.1. Pamatdefinıcijas

Kopa ir aksiomatisks jedziens, to define aprakstosi vai ar aksiomusistemam.

Kopa ir jebkuras dabas dazadu objektu (kopas elementu) kopums,kas tiek uzskatıts par vienotu veselu.

Kopai un tas elementiem piemıt sadas raksturıgas ıpasıbas:• visi kopas elementi tiek uzskatıti par dazadiem;

• starp kopas elementiem nav uzdota nekada struktura (kartıba,hierarhija, sakarıba u.c.).

Multikopa ir elementu kopums, kura elementi var atkartoties. Jakads elements multikopa atkartojas n reizes, tad saka, ka sı elementamultiplicitate ir vienada ar n.


6

Ja objekts a tiek uzskatıts par kopas A elementu, tad saka, ka apieder kopai A vai, ka A satur elementu a (a ∈ A). Ja objekts anetiek uzskatıts par kopas A elementu, tad saka, ka a nepieder kopaiA (a /∈ A).

Kopu, kas nesatur nevienu elementu, sauc par tuksu kopu (∅).

Ja kopa A satur galıgu skaitu elementu, tad to sauc par galıgukopuun tas elementu skaitu apzıme ar |A|, preteja gadıjuma kopusauc par bezgalıgu kopu.

Biezi, stradajot ar ar noteiktas dabas elementu kopam, ir lietderıgifikset arı visu iespejamo sıs dabas elementu kopu - universu, universsvar mainıties atkarıba no situacijas.

1.1. piemers. Kopu piemeri:• visu naturalu skaitlu kopa,

• visu naturalu skaitlu kopa, kas ir mazaki neka 10,


7

• visu alfabetu burtu kopa,

• visu plaknes punktu kopa.

1.2. piemers. Multikopu piemeri:

• visu cilveku vardu multikopa (daziem cilvekiem ir kopıgi vardi,tapec tie atkartojas),

• visu kada vielas daudzuma atomu multikopa (makroskopisksprieksmets sastav no dazu kımisko elementu atomiem, kas at-kartojas ”neskaitamas” reizes).

1.2. Kopu uzdosanas veidi

1.2.1. Elementu parskaitısana

Kopas var uzdot aprakstot (parskaitot) visus kopas elementus sa-raksta veida (sı metode visbiezak tiek izmantota, ja kopas elementuskaits ir mazs), saja gadıjuma kopas elementus apvieno ar figuriekavam;


8

piemeram, pierakstsA = {a, b, c}

uzdod kopu A, kas satur 3 elementus a, b, c.

Gadıjuma, ja kopa ir bezgalıga, lieto sadu pierakstu:

A = {aα}α∈I ,

kur α ir indekss, ar kura starpniecıbu tiek parskaitıti kopas elementi,un I ir sı indeksa vertıbu kopa.

1.2.2. Definejosa ıpasıba vai algoritms

Kopas var uzdot aprakstot• kopas elementus raksturojoso ıpasıbu,

• algoritmisku proceduru.

Visbiezak raksturojoso ıpasıbu iesledz figuriekavas, kuras ir at-dalosa vertikala svıtra, pa kreisi no sıs svıtras tiek uzdots universs, pa


9

labi no atdalosas svıtras tiek uzdota ıpasıba, kas piemıt uzdodamaskopas elementiem.

1.3. piemers. A = {n ∈ N|n > 10} - naturalo skaitlu kopas apaks-kopa, kas satur visus naturalus skaitlus, kas ir lielaki neka 10.

1.2.3. Operaciju rezultats

Kopu var uzdot iegustot to no ieprieks uzdotam kopam veicot artam noteiktas darbıbas (operacijas).

1.2.4. Kopu vizualizacija

Populara kopu vizualizacijas metode - Eilera (Eilera-Venna) dia-grammas. Kopas tiek attelotas ka plaknes apgabali. Sı metode vartikt pielietota, ja kopu skaits nav parak liels (2-4 kopas) un special-gadıjumos.

1.4. piemers.


10

1.3. Kopu vienadıba, apakskopas

1.3.1. Kopu vienadıba

Kopas A un B sauc par vienadam (A = B), ja izpildas sadsnoteikums: (

a ∈ A =⇒ a ∈ B)

un(b ∈ B =⇒ b ∈ A

).

Citiem vardiem sakot, kopas A un B nav atskiramas viena no otraska elementu kopumi.

Tuksa kopa nav vienada ne ar kadu netuksu kopu.

Ja ∃ c ∈ A, tads, ka c /∈ B vai ∃ d ∈ B, tads, ka d /∈ A, tad kopasA un B nav vienadas (A 6= B).

1.3.2. Apakskopas

Kopa A ir kopas B apakskopa (A ⊆ B), ja izpildas sads noteikums:

a ∈ A =⇒ a ∈ B.


11

Sada gadıjuma B ir A aptverosa kopa.

Tuksa kopa ir jebkuras kopas (arı tuksas kopas) apakskopa.

Ja A ⊆ B un A 6= B, tad saka, ka A ir ısta B apakskopa (A ⊂ B).

Apakskopas var uzdot bitu vektoru veida: ja ir dota galıga ap-tverosa kopa vai universs U = {u1, u2, ..., un}, tad apakskopu A ⊆ Uuzdosim ka binaru virkni (f1, ..., fn), kur

fi ={

1, ja ui ∈ A0, ja ui 6∈ A.

1.5. piemers. Ja aptverosa kopa ir {a, b, c, d, e, f}, tad apakskopai{b, c, f} atbilst bitu vektors 011001.

1.1. teorema. Apakskopu ıpasıbas:• A ⊆ A (refleksıva ıpasıba);

• A ⊆ B un B ⊆ C =⇒ A ⊆ C (tranzitıva ıpasıba);


12

• A ⊆ B un B ⊆ A =⇒ A = B (antisimetrijas ıpasıba);• Jebkura kopa ir apakskopa tai atbilstosaja universa.

Kopas A visu apakskopu kopu apzıme pierakstu P(A) un sauc parsıs kopas buleanu (Boole) vai pakapes kopu.

1.6. piemers. A = {a, b, c}. Kopai A ir 8 apakskopas:• tuksa kopa ∅,• viena elementa apakskopas: {a}, {b}, {c},• divu elementu apakskopas {a, b}, {a, c}, {b, c},• A = {a, b, c}.

1.4. Operacijas ar kopam

1.4.1. Papildinajums

Par kopas A papildinajumu sauc kopu

A′ = A = {u ∈ U |u /∈ A}.Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans

13

Par kopas papildinajumu ir jadoma ka par kopu, kas paliek pari,ja no universa ”izmet ara” visus kopas elementus.

1.7. piemers. Ja A ir visu para skaitlu kopa un U = Z, tad A ir visunepara skaitlu kopa.

1.4.2. Apvienojums

Par divu kopu A un B apvienojumu sauc kopu

A ∪B = {u ∈ U |u ∈ A vai u ∈ B}.Par kopu apvienojumu ir jadoma ka par visu so kopu elementu

apvienosanu viena kopa ignorejot atkartojumus, kas var rasties, jakopam ir kopıgi elementi.

Visparinajums: dotas vairakas kopas {Aα}α∈I , par so kopu apvie-nojumu sauc kopu

⋃

α∈I

Aα = {u ∈ U |u ∈ Aβ vismaz vienam β ∈ I}.


14

1.4.3. Skelums

Par divu kopu A un B skelumu sauc kopu

A ∩B = {u ∈ U |u ∈ A un u ∈ B}.Par kopu skelumu ir jadoma ka par so kopu kopejo dalu.

Visparinajums: dotas kopas {Aα}α∈I , so kopu skelums ir kopa⋂

α∈I

Aα = {u ∈ U |u ∈ Aβ katram β ∈ I}.

Ja A ∩B = ∅, tad saka, ka kopas A un B ir atdalıtas jeb skirtas.

1.4.4. Starpıba

Par divu kopu A un B starpıbu sauc kopu

A\B = {u ∈ U |u ∈ A un u /∈ B}.Par divu kopu A un B starpıbu ir jadoma ka par kopu, kas paliek

pari, ja no A ”izmet ara” visus elementus, kas pieder B.


15

Ieverosim, ka kopas papildinajums ir kopu starpıbas specialgadı-jums:

A = U\A.

Ieverosim arı vienadıbu A\B = A ∩B.

1.4.5. Simetriska starpıba

Par divu kopu A un B simetrisko starpıbu sauc kopu

A∆B = (A\B) ∪ (B\A).

1.4.6. Kopu operaciju ıpasıbas

1.2. teorema. (kopu operaciju ıpasıbas)1. A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A - skeluma un apvienojuma

komutativitate;

2. (A∪B)∪C = A∪ (B∪C),(A∩B)∩C = A∩ (B∩C), - skelumaun apvienojuma asociativitate;


16

3. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)- distributivitate;

4. A ∩B = A ∪ B, A ∪B = A ∩ B - dualitates (De Morgana)likumi;

5. A = A - papildinajuma involucija;

6. A∪A = A, A∩A = A - skeluma un apvienojuma idempotence;

7. A = (A ∩B) ∪ (A ∩B), A = (A ∪B) ∩ (A ∪B) - saskelsana;

8. A ∪ (A ∩B) = A, A ∩ (A ∪B) = A - absorpcija;

9. A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∪ U = U , A ∩ U = A - dominesana.

1.5. Kopu vienadıbas pieradısana

Kopu vienadıbas pieradısana - svarıgs uzdevums, kas matemati-kiem ir biezi jarisina dazados grutıbas lımenos. Kopu vienadıbu varpieradıt vai atspekot izmantojot zemak aprakstıtas metodes.


17

1.5.1. Apakskopu ieklausanas antisimetrijas ıpasıbas izman-tosana

Izmantojam zinamo kopu ıpasıbu: A ⊆ B un B ⊆ A =⇒ A = B.

1.5.2. Kopu operaciju ıpasıbu izmantosana

Ja ir doti divi kopu operaciju pielietosanas rezultati f(A1, ..., An)un g(A1, ..., An), tad vienadıbu f = g var meginat pieradıt vai atspekotparveidojot vienu vai abas puses saskana ar kopu operaciju ıpasıbam.

1.8. piemers. A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).

1.5.3. Eilera diagrammu izmantosana

Nelielam kopu skaitam to operaciju rezultatus var vizualizet iz-mantojot Eilera diagrammas un pieradıt, ka petamajam kopam atbilstvienadi apgabali.


18

1.5.4. Incidences tabulu vai elementarskelumu izmantosana(patstavıga lasısana)

1.9. piemers. Ja ir dota viena kopa A, tad

U = A ∩A.

Ja ir dotas divas kopas A1 un A2, tad

U = (A1 ∩A2) ∪ (A1 ∩A2) ∪ (A1 ∩A2) ∪ (A1 ∩A2).

Apzımesim A1 = A, A0 = A.

Ja ir dotas vairakas kopas A1, ..., An, tad• jebkuru kopu forma

Aε11 ∩Aε2

2 ∩ ... ∩Aεnn

sauksim par elementarskelumu

• kopu A1, ..., An kopıgais universs ir vienads ar visu elementar-skelumu apvienojumu,


19

• divu dazadu elementarskelumu skelums ir tuksa kopa,

• tadejadi elementarskelumi veido universa sadalıjumu.

Elementa piederıba vai nepiederıba kopai f(A1, ..., An) ir atkarıgatikai no ta piederıbas vai nepiederıbas katrai no kopam A1, ..., An.

Seko, ka• a ∈ f(A1, ..., An) un a ∈ E, kur E ir elementarskelums =⇒

E ⊆ f(A1, ..., An);

• b 6∈ f(A1, ..., An) un a ∈ E′, kur E′ ir elementarskelums =⇒E′ ∩ f(A1, ..., An) = ∅.

Seko, ka katra no kopam f un g ir dazu elementarskelumu apvie-nojums. Lai noteikti, vai f = g, ir japarbauda, vai f un g satur vienusun tos pasus elementarskelumus.

Lai noteiktu vai divas kopas f(A1, ..., An) un g(A1, ..., An) ir vie-nadas, var rıkoties saskana ar sadu algoritmu:


20

1. Uzzımet tabulu, kuras rindas tiek indeksetas ar elementarskelu-miem un kolonnas - ar petamajam kopam f un g.

2. Rutina, kas atbilst elementarskelumam E un kopai f , ierakstıt1, ja E ⊆ f un 0 - ja E 6⊆ f .

3. Salıdzinat rutinu vertıbas pa rindam.

1.10. piemers. Pieradıt distributıvo likumu.


21

2. 1.majasdarbs

2.1. Obligatie uzdevumi

1.1 Dots universs U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} un ta apakskopas A ={a, c, d, g, h, i, j} un B = {b, d, f, h, j}. Atrodiet bitu vektoruskopam A, B, A, A ∪B, A ∩B, A\B, A∆B.

1.2 Dota kopa A = {a, b, c, d}. Atrast visus iespejamas A apaksko-pas.

1.3 Dotas kopa A un B: |A| = n, |B| = m, |A ∩ B| = r. Cikir elementu kopa A ∪ B? (Noradıjums: izmantojiet Eilera dia-grammas)

1.4 Pieradıt kopu vienadıbas:a) A\(A\B) = A ∩B,b) (A∆B)∆C = A∆(B∆C).

(Noradıjums: izmantojiet Eilera diagrammas)


22

1.5 Atrisinat vienadojumu sistemu{A ∩X = BA ∪X = C,

ja B ⊆ A ⊆ C. (Noradıjums: izmantojiet Eilera diagrammas)

2.2. Paaugstinatas grutıbas un petnieciska rakstu-ra uzdevumi

1.6 Izteikt⋂

,⋃

ar \, ∆.

1.7 Atrisinat vienadojumu sistemu attiecıba uz X1, ..., Xm:

A1 ∩X1 = B1

...Am ∩Xm = Bm,

kur kopas Ai, Bi ir patvalıgas. Noteikt, kadiem nosacıjumiemattiecıba uz kopam Ai, Bi ir jaizpildas, lai sistemai butu netuksaatrisinajumu kopa.


studiju kurss line¯ar¯a algebra i 1.lekcija · 2009. 8. 26. · ja a\b =;, tad saka, ka kopas a...

Documents