strutture elastoplastiche sotto carichi ripetuti...strutture elastoplastiche sotto carichi ripetuti...

Strutture Elastoplastiche sotto carichi

ripetuti

Si possono verificare i seguenti casi:

-adattamento in campo elastico o shake-

down

-collasso incrementale o ratchetting-collasso incrementale o ratchetting

- Plasticità alternata, o fatica oligo-

ciclicica


ripetutiIl collasso plastico è un evento che può

corrispondere ad eventi di carico eccezionali

Se i carichi, anche minori di quello di collasso,

possono ripetersi un numero elevato di volte,

non basta garantirsi nei confronti del collassonon basta garantirsi nei confronti del collasso

occorre anche assicurarsi che la struttura si

mantenga integra ovvero che si assesti in

campo elastico dopo un certo numero di cicli

� Shake down


ripetuti

la struttura si mantiene integra ovvero si

assesta in campo elastico dopo un certo

numero di cicli (Shake down) se si evita un

accumulo di danno ed una perdita di accumulo di danno ed una perdita di

funzionalità per eccesso di deformazioni e/0

spostamenti plastici


ripetuti

L Corradi III pag 108:

struttura composta da 2

aste deformabili di area A e

4° che sostengono un

blocco rigido che può solo blocco rigido che può solo

traslare senza ruotare

Il limite di snervamento

uniassiale sia

σσσσ0 mentre il carico di

collasso è FL=5Aσσσσ0


ripetuti

Equilibrio

congruenza


ripetuti

Sia p la deformazione plasticaIl legame costitutivo si scrive

Si ottiene la soluzione


ripetuti

Gli sforzi nelle aste dovranno mantenersi sempre nell’intervallo

00 σσσ ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−

PoniamoPoniamo

LLe equazioni di equilibrio divengono

Possiamo distinguere un primo contributo che

rappresenta la risposta del materiale alle

deformazioni elastiche ed alle coazioni,


ripetuti

deformazioni elastiche ed alle coazioni,

ed un secondo contributo dovuto alle deformazioni

plastiche


ripetutiSi vuole considerare un ciclo di carico basato sull’aumento e diminuzione del valore della temperatura


ripetutiVerranno considerate casi diversi a seconda del valore della forza applicata f e di θ θ θ θ

A) f=4A1) adattamento elastico, tensioni limite adimensionalizzate

θθθθ dovute alla temperatura sono minori di un certo valore da calcolarecalcolare

A2) ratchetting, tensioni θθθθ oltre un certo valore si ha collasso incrementale (condizione critica)

B) f=2 fatica oligociclica o plasticità alternata (condizione critica)

Strutture Elastoplastiche sotto carichi ripetuti

A1) f=4,

1<=θ<5/4

Adattamento elastico

Le deformazioni

plastiche si assestano

Cicli di temperatura

Asta 1

Asta 2

plastiche si assestano

entro un certo

intervallo

Adattamento elastico

� Shake down

Deformazioni plastiche


A2) f=4,

θ>5/4

Le tensioni sono limitate La deformazione plastica


Asta 1

Asta 2

plastica incrementa ProgressivamenteSi ha una progressiva divergenza dalla configurazione indeformata�Ratchetting



B) f=2, θ=3C) Non si ha adattamento

elastico: asta 2 sede di deformazioni plastiche di segno opposto

Plasticità alternataMateriale rompe dopo un nr di cicli che dipende dall’entità


Asta 1

cicli che dipende dall’entità della deformazione

Detta Fatica oligociclicaO fatica plastica O plasticità alternata

Si tratta di una condizione critica da evitare

Asta 2



Diagramma di Bree rappresentativo del comportamento sotto carichi ripetuti

P: plasticità alternata R: collasso incrementale ratchetting

E: risposta elasticaC: collassoC: collasso

S2- e S2

+ rappresentano ilDominio limite a compressionee trazione


Strutture idealmente elasto-plastiche se soggette a

carichi ciclici inferiori al carico di collasso raggiungono

dopo un certo tempo una situazione di regime in cui

gli sforzi ritornano periodicamente agli stessi valori.

Qualora nei cicli a regime non si sviluppino

deformazioni plastiche, si verifica l’auspicato

adattamento in campo elastico (shakedown )adattamento in campo elastico (shakedown )

Anche se nella fase iniziale dell’evoluzione possono

prodursi deformazioni permanenti queste si

mantengono costanti in quanto le coazioni da esse

indotte consentono alla struttura di rispondere

elasticamente alle successive applicazioni degli stessi

carichi


Se la struttura sviluppa deformazioni plastiche in tutto il suo ciclo abbiamo complessivamente uno spostamento che si incrementa nel tempo per cui la configurazione deformata si discosta sempre più dalla configurazione indeformata

Questa divergenza delle configurazione deformata è il collasso incrementale o ratchetting

Può anche succedere che si abbia localmente una plastictàalternata in una zona della struttura con conseguente rottura del materiale per fatica

Sia il ratchetting che la plasticità alternata comportano collasso per un numero di cicli molto minore a quello dovuta alla ripetizione dei carichi di esercizio

Strutture Elastoplastiche sotto carichi ripetutiÈ possibile definire un diagramma di adattamento i cui punti corrispondono alle condizioni di carico cui la struttura risponde elasticamente dopo un transitorio iniziale Esempio: cilindro parete sottile soggetto a pressione interna p e variazioni cicliche di Temperatura lineari sullo spessore

s2=

Strutture Elastoplastiche sotto carichi ripetutiVale il seguente teorema

Strutture Elastoplastiche sotto carichi ripetuti1- se l’incremento di deformazione plastica ∆∆∆∆p è diverso da zero nel ciclo a regime allora si produce uno spostamento permanente ∆∆∆∆sp dovuto alla plasticizzazione secondo un meccanismo di entità finita ma che si accumula nel tempo causando la progressiva divergenza della configurazione deformata ed il collasso incrementale

2- l’incremento istantaneo diverso da zero ma ∆∆∆∆p =0 su un ciclo a regime�lo spostamento si stabilizza oscillando tra valori ben definiti-alcune zone della struttura sono tuttavia sede di deformazioni plastiche che, pur elidendosi sul ciclo, continuano a prodursi�plasticità alternata

p&


3- l’incremento istantaneo è =0 su un ciclo a regime-Si verifica l’adattamento in campo elastico o shake down. La produzione di deformazioni plastiche si limita ad un transitorio iniziale, dopo il quale esse raggiungono un valore che si mantiene successivamente costante . Le auto-tensioni che ne conseguono fanno sì che risulti verificata la condizione di

p

p&

conseguono fanno sì che risulti verificata la condizione di ammissibilità plastica di appartenenza al dominio limite

4. Nei cicli a regime, il valore delle tensioni è indipendente dalle condizioni iniziali nelle zone della struttura che a regime sono sede delle deformazioni plastiche vale a dire da eventuali stati di coazione che si mantengano costanti nel tempo

I teoremi di adattamento

Teorema di Bleich e Melan

Condizione sufficiente affinché una struttura si adatti in campo elastico sotto carichi variabili e ripetuti in un assegnato dominio è che esista uno stato di coazione indipendente dal tempo tale per cui

)(xijρ

Dove φφφφ indica la funzione superficie limite di snervamento

Si osservi che si ha una diseguaglianza stretta


Teorema di Koiter (condizione sufficiente

mancato adattamento)

Condizione sufficiente per il mancato adattamento è che esista un ciclo ammissibile tale per cui

Dove : sforzo associato a attraverso la legge di scorrimento e rappresenta la risposta elastica alle azioni nel dominio dei carichi

ijσ) ijp̂&ij

eσ

Teorema di Koiter (condizione necessaria

adattamento)

Condizione necessaria per l’adattamento è che per tutti i possibili cicli ammissibili risulti


possibili cicli ammissibili risulti

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