ALMA MATER STUDIORUM - UNIVERSIT DI BOLOGNA

SCUOLA DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA DIPARTIMENTO: Din

CORSO DI LAUREA

InIngegneria Meccanica

TESI DI LAUREA

inMeccanica degli azionamenti

Progettazione di un prototipo di un robot parallelo a 6 cavi

CANDIDATORELATORE:

Giacomo QuercioliIng. Marco Carricato

CORRELATORE/CORRELATORI

Ing. Alessandro Berti

Anno Accademico 2012/2013 sessione II

[Digitare il titolo del documento]

A mio zio, ai miei familiari,a Federica e ai miei amici

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SommarioIntroduzione5Capitolo 1 : I robot paralleli a cavi71.1: Introduzione71.2: I robot Seriali71.3: I robot paralleli91.4: I robot a cavi111.4.1: La skycam141.4.2: Applicazione in ambito dei trasporti141.4.3: Applicazioni nella neuro-riabilitazione16Capitolo 2 : Elementi di teoria per lo studio dei robot a cavi192.1: Descrizione del modello192.2: Coordinate di Plcker212.3: Problema cinematico inverso232.4: Studio della statica del manipolatore272.5: Definizioni di aree di lavoro282.6: Modellizzazione della struttura292.7: La scelta della geometria ottimale per base ed end-effector34Capitolo 3 : La scelta dei motoriduttori e delle pulegge383.1: Principali problematiche di progettazione e controllo383.1.1: Cavi non in tensione383.1.2: Deformazione elastica e curvatura383.1.3: Avvolgimento dei cavi.393.2: La scelta del diametro ottimale della puleggia413.3: La scelta dei moto-riduttori443.3.1: La curva caratteristica e il PWM463.3.2: Limitazioni sui motoriduttori483.3.3: I risultati ottenuti50Capitolo 4 Progettazione del prototipo544.1: le soluzioni costruttive adottate544.1.1: Geometria del motore e della scheda di controllo544.1.2: Calettamento della puleggia allalbero554.1.3: La prima soluzione costruttiva564.1.4: La seconda soluzione costruttiva584.4.5 la terza soluzione costruttiva644.2: La prima versione del prototipo664.2.1: Il telaio674.2.2: Il bloccaggio dei vari organi al telaio684.3: Confronto tra larea di lavoro teorica e quella effettiva70Conclusioni72Appendice A73Appendice B76Bibliografia79

IntroduzioneLo scopo di questo lavoro di tesi quello di illustrare il lavoro svolto nellambito della progettazione di un prototipo di un robot a 6 cavi. Questi robot, infatti, pur avendo numerosi limiti, mostrano elevate potenzialit che stanno rendendo loro oggetto di molti studi, nonch di numerose applicazioni. Nel primo capitolo viene definito cos un robot e vengono messe in luce le differenze tra le due principali classi di architetture, ovvero i robot seriali e i robot paralleli, illustrando pregi e difetti di entrambe le categorie. In seguito viene illustrata una sotto-categoria dei robot paralleli, ovvero i manipolatori a cavi, di cui sono esposte le peculiarit, nonch le problematiche relative a questa architettura, illustrando alcuni esempi che hanno riscosso successo a livello applicativo.Nel secondo capitolo vengono esposte le basi teoriche necessarie allo studio dei robot a cavi, in particolar modo quelle richieste per affrontare lo studio del problema geometrico-statico inverso e dellindividuazione dellarea di lavoro. Viene poi mostrata lapplicazione di questi concetti nel caso in esame, illustrando il modello adottato nella stesura di uno script Matlab utilizzato per determinare una geometria del robot efficace ad ottenere elevate aree di lavoro.Nel terzo capitolo vengono illustrate le principali problematiche inerenti i robot a cavi, che devono essere considerate nella progettazione, in seguito si affronta la scelta del diametro ottimale della puleggia su cui vanno arrotolati i fili che muovono il robot. Vengono poi illustrate le caratteristiche dei motori in corrente continua. Una volta note le caratteristiche generali si sceglie da catalogo i motoriduttori in grado di garantire larea di lavoro maggiore.Nel quarto capitolo sono presentate tre soluzioni costruttive inerenti il bloccaggio di un motoriduttore ad un telaio, il calettamento della puleggia al riduttore e, solamente nella seconda e nella terza soluzione, il montaggio di una coppia di cuscinetti radiali. Queste soluzioni sono disegnate mediante il software Autodesk Inventor. In seguito si vede come la prima soluzione stata applicata al robot effettivamente costruito che viene presentato; infine vengono illustrati i risultati ottenuti nelle prove effettuate sul robot, in particolar modo verificando che larea di lavoro stimata al capitolo 3 corrisponda a quella effettivamente ottenibile.

Introduzione

5: I robot paralleli a cavi

1.1: IntroduzioneUn robot un sistema meccanico, controllato, che consente il movimento di un membro/organo terminale nello spazio rispetto ad una base fissa. L'insieme dei movimenti che il robot pu compiere (in generale 3 traslazioni dirette secondo gli assi di un sistema cartesiano e 3 rotazioni attorno ad essi) vengono chiamati gradi di libert. Prima di affrontare i vari aspetti dei robot a cavi, utile fare una preliminare distinzione tra robot seriali e robot paralleli.

1.2: I robot SerialiUn robot seriale un sistema articolato in catena aperta, dove ogni organo vincolato al precedente e al successivo da una coppia (tipicamente rotoidale o prismatica). Tale struttura presenta in genere una prima estremit fissa vincolata ad un telaio e una seconda (opposta a quella fissa) libera di muoversi nello spazio; questultima viene chiamata end - effector. Si pu dare una seconda definizione di robot seriale. Se si definisce grado di connessione di un giunto, il numero di corpi rigidi vincolati a tale giunto, si pu dire che una catena cinematica aperta, e quindi il robot di tipo seriale, se ogni membro possiede un grado di connessione pari a due, ad eccezione del telaio e dell'end-effector, per il quale tale valore pari ad uno. In questi robot ogni giunto attuato e conferisce un grado di libert al sistema. Figura 1.1:Esempio di robot seriale: Il robot Scara da [1]

Come riportato da Merlet in [1], questi tipi di robot offrono grossi vantaggi, a cominciare dal punto di vista dell'analisi dell'area di lavoro, essendo facilmente valutabile il movimento possibile dei vari membri dal punto di vista dell'interferenza che questi possono avere nel loro movimento. Inoltre, anche l'analisi cinematica, sia diretta che inversa, sono di facile risoluzione. Di contro, queste strutture, hanno lo svantaggio di avere grossi problemi flessionali dato che ogni membro deve sorreggere il peso dei membri che lo seguono. Per ovviare a questo problema si ricorre a strutture notevolmente appesantite per conferire loro la rigidit voluta, ottenendo per un basso rapporto tra la massa movimentata dallend-effector e la massa totale del manipolatore. Un secondo problema dei robot seriali la carenza di precisione causata anch'essa dalla loro scarsa rigidit flessionale. Infatti le deformazioni che la struttura subisce, una volta che viene applicato un carico allend-effector, non sono misurabili dai sensori interni agli attuatori e causano un errato posizionamento dellorgano di presa. Oltre che dalla flessione, la bassa precisione dei robot seriali pu essere causata da altri fattori quali l'accuratezza dei sensori, oppure una scarsa tolleranza geometrica. Questi ultimi due tipi di errori, possono essere presenti anche sui robot paralleli, ma nelle architetture seriali vengono "amplificati". Difatti un errore, anche piccolo, di posizione in uno dei primi organi (i pi vicini al telaio), comporta un errore molto elevato nella posizione finale dell'end-effector. Infine questi robot presentano un ulteriore svantaggio, dato dalle scarse velocit e accelerazioni che possono conferire al membro terminale. Infatti, se per limitare i problemi flessionali, si fa ricorso a strutture massicce, queste, ovviamente, una volta messe in moto, danno luogo ad elevate forze inerziali che rendono difficile il controllo del robot e rischiano di stressarne eccessivamente i motori e i componenti strutturali. Un esempio di robot seriale il robot Scara in fig.1.1.

1.3: I robot paralleliI robot paralleli sono manipolatori che presentano una o pi catene cinematiche chiuse allinterno della loro struttura. Una catena cinematica si definisce chiusa quando allinterno vi almeno un membro, che non sia il telaio, avente un grado di connessione maggiore o uguale a 3. Questa architettura, diversamente da quella di un robot seriale, ha la peculiarit di offrire un miglior rapporto tra la massa movimentabile e il peso stesso della struttura, inoltre garantisce una migliore precisione di posizionamento. Di contro, per, tali strutture presentano difficolt di studio dal punto di vista cinematico. Risulta infatti di difficile soluzione il problema cinematico diretto, ossia quello in cui, note le coordinate di giunto, necessario ricavare la posa dell'end-effector, ovvero la posizione di un punto su di esso e l'orientamento di una terna solidale ad esso rispetto a un sistema di riferimento fisso. Questo problema, infatti, ha spesso pi di una soluzione e talvolta non nemmeno possibile prevedere a priori il numero di esse. Di pi facile soluzione invece il problema cinematico inverso dove, nota la posizione dell'end-effector e il suo orientamento, si ricercano i valori delle coordinate di giunto. I primi studi riguardo una struttura parallela risalgono al 1813 grazie a Cauchy che per primo ne affront lo studio. Uno dei pi importanti esempi di robot parallelo, nonch il primo funzionante, la struttura di Stewart-Gough (fig. 1.2), il cui primo esemplare risale al 1947. Questo robot (e le sue varianti) ha riscosso un notevole successo a partire dagli anni 60 dal punto di vista applicativo come simulatore di volo. La sua struttura costituita da 6 arti, disposti simmetricamente a formare 3 coppie di triangoli, collegati al telaio e alla piattaforma mobile da coppie sferiche. Ogni gamba costituito da due membri collegati tra loro per mezzo di coppie prismatiche, attuate mediante dispositivi idraulici o motori lineari che permettono, quindi, di variare la lunghezza di ogni membro e conseguentemente la posizione della piattaforma. Tale struttura prende anche il nome di 6-SPS, dove 6 indica il numero di gambe di cui costituito il robot, mentre il suffisso SPS si riferisce alla sequenza delle coppie cinematiche di ogni catena (sferica, prismatica, sferica). E' frequente la sostituzione di una coppia sferica con un giunto universale, o giunto di Cardano, per eliminare i gradi di libert passivi che consentirebbero la rotazione delle gambe intorno al proprio asse (in questo caso la struttura diventa del tipo 6-SPU). Questo robot possiede 6 gradi di libert ed evidente come questo tipo di struttura consenta di sostenere elevati carichi, infatti, nella posizione centrale, ogni braccio deve sopportare 1/6 del peso totale, inoltre ognuno di essi risulta caricato a solo sforzo normale, conferendo cos una rigidit molto pi elevata rispetto ad un robot seriale dove ogni membro lavora a flessione. Il risultato , ovviamente, la possibilit di avere una struttura pi snella e leggera e conseguentemente una dimensione minore degli attuatori e dei giunti, con anche un'ovvia riduzione dei consumi energetici.Figura 1.2: La struttura do Stewart-Gough

Vi sono ulteriori vantaggi derivanti da questa architettura. Uno di questi il miglioramento per quanto riguarda la precisione nel posizionamento dell'end-effector. Infatti, limitando il problema della flessione, si vanno a ridurre le deformazioni che i vari membri hanno; queste deformazioni sono difficilmente prevedibili e misurabili, perci una limitazione di queste comporta un miglioramento nella precisione di posizionamento del robot. Un ulteriore vantaggio, di una struttura parallela, sta nella limitata influenza che un eventuale errore di un sensore interno al robot (che per esempio potrebbe misurare la lunghezza di una delle gambe della piattaforma di Gough) ha nella posizione finale dell'end effector. Se per esempio tale errore avvenisse su tutti e 6 i membri del robot, il risultato sarebbe un errore nella posizione dell'end-effector solamente in direzione assiale e pari all'errore nella singola gamba. E possibile perci affermare che con architetture di tipo parallelo gli errori vengono compensati. Come stato detto inizialmente, queste strutture hanno per alcuni inconvenienti legati soprattutto alla risoluzione del problema cinematico diretto, infatti, per la piattaforma di Gough-Stewart, dopo anni di ricerca stato possibile dimostrare che ammette 40 soluzioni. Inoltre individuare l'area effettiva di lavoro non un problema di facile risoluzione, poich facile incorrere in punti di singolarit (dove cio il moto del robot non risulta essere controllabile) oppure in punti in cui i vari membri del robot possano interferire tra di loro. Questi problemi non sussistono per robot seriali o sono di entit sensibilmente inferiore.

1.4: I robot a caviUna interessante sotto categoria dei robot paralleli sono i robot a cavi. Questi sono costituiti da un certo numero di attuatori i quali, ruotando, avvolgono oppure svolgono dei cavi su delle pulegge. Questa soluzione presenta il vantaggio di conferire un maggiore spazio di lavoro dal momento in cui l'ingombro dei cavi decisamente inferiore a quello che potrebbe avere un qualsiasi organo di un giunto in un robot parallelo tradizionale. Un minore ingombro si traduce, ovviamente, in un minor numero di configurazioni in cui i membri (in questo caso i cavi) vanno ad interferire tra di loro. Si ha poi un aumento dello spazio di lavoro grazie anche alla possibilit di arrotolare e srotolare notevoli lunghezze di cavi, non ottenibili mediante un equivalente attuatore lineare. Un ulteriore vantaggio una notevole riduzione delle masse in movimento, fattore che contribuisce a migliorare il comportamento dinamico dei robot a cavi. Tutto ci fa s che questi robot possano operare anche a velocit molto elevate (se controllati opportunamente), che abbiano un elevato spazio di lavoro, una grande capacit di essere trasportati grazie al peso contenuto del robot e alla semplicit costruttiva e di montaggio. Vi sono per numerosi svantaggi causati soprattutto dalla necessit di mantenere sempre in tensione i cavi dato che, come noto, essi possono esercitare sforzi di pura trazione. Questo fa s che, per mantenere l'equilibrio del robot rispetto alle coppie e forze esterne applicate, spesso si fa uso di un numero di cavi maggiore al numero di gradi di libert del robot. Un robot a cavi si definisce pienamente vincolato o fully-constained se la posa nota, quando tutti gli attuatori sono bloccati, per mezzo delle sole equazioni di vincolo geometrico, senza che debbano essere considerate anche le equazioni di equilibrio statico. Affinch ci sia possibile, necessario che tali robot abbiano almeno 6 cavi in tensione nella posa assunta dallend effector e dunque la posa della piattaforma sia completamente determinata dai soli vincoli geometrici imposti dalla lunghezza dei cavi. Tuttavia, questa una condizione necessaria ma non sufficiente, infatti possibile avere configurazioni in cui, un robot avente 6 cavi, si comporta come se ne avesse un numero inferiore, poich alcuni di essi non sono pi tesi. Per ovviare a questo inconveniente spesso si fa ricorso a strutture ridondanti in modo che nessun cavo abbia tensione nulla nella configurazione di lavoro. Inoltre adottare sistemi ridondanti non comporta un sensibile aumento dei costi e permette anzi di ottenere quasi sempre un aumento dell'area in cui la tensione ha valore positivo in ogni cavo. Di contro questa soluzione porta ad un aumento delle configurazioni in cui i cavi interferiscono tra di loro. Viceversa un robot detto sotto vincolato o under-constrained se l'end-effector presenta ancora qualche grado di libert quando tutti gli attuatori sono stati bloccati. In tal caso la posa della piattaforma non pu essere determinata dai soli vincoli geometrici, ma necessario introdurre le equazioni di equilibrio statico. In generale, questi robot possiedono meno di 6 cavi in tensione. Alle volte tale soluzione accettata in casi in cui si possono avere problemi di interferenza tra i fili oppure se lo scopo ridurre i costi, il tempo di preparazione o ridurre la complessit del sistema. Una seconda distinzione pu essere fatta tra robot a cavi distinguendoli in:

Completamente attuati se dove il numero di cavi e il numero di gradi di libert del sistema. Sotto attuati se ; tale soluzione permette di ottenere una maggiore manipolazione con l'inconveniente di aumentare il rischio di interferenza dei cavi. Ridondante se .In alcuni casi le forze esterne, come per esempio la forza peso, possono essere considerate come dei cavi aggiuntivi.

E quindi evidente come, diversamente dai robot tradizionali, unarchitettura a cavi necessiti di almeno cavi, per controllare n gradi di libert. Infatti, in quelle tradizionali, ogni attuatore solitamente in grado di conferire 1 gdl in pi allend effector e quindi sono sufficienti solamente n attuatori per controllare gdl.

Spesso questi robot vengono distinti in base al numero di cavi che collegano base fissa e base mobile. In [8] viene proposto un modo generico per indicare un robot a cavi: un robot viene chiamato quando vi sono cavi che collegano la piattaforma fissa e quella mobile mediante punti di ancoraggio differenti.I robot a cavi hanno trovato numerosi impieghi potenziali in vari settori: in quello delle telecomunicazioni in ambito sportivo per effettuare riprese dall'alto negli stadi (skycam), in quello delle costruzioni come sistema di posizionamento di oggetti e utensili, in quello medico venendo usati come facilitatori della riabilitazione e in ambito scientifico come sistemi di movimentazione per telescopi.Figura 1.3: La skycam

1.4.1: La skycamLa prima applicazione di robot a cavi per fini televisivi la skycam, che stata utilizzata per la prima volta nel 1984 durante la partita di preseason di NFL tra Chargers e 49ers. Tale tecnologia ha avuto una lenta crescita nei suoi primi anni di vita fino agli novanta, a causa dei limiti di calcolo dei computer e dei controlli dei motori, successivamente, invece, ha avuto un rapido sviluppo sempre in ambito sportivo. Il robot costituito da 4 motori disposti nei 4 angoli dello stadio. Su ciascun motore calettato un tamburo che arrotola/srotola un cavo. Il cavo scorre su una puleggia che funziona da guida, ed posta su un pilone a decine di metri sopra lo stadio. Dalla puleggia il cavo arriva poi alla camera. Tutti i cavi convergono in un solo punto della piattaforma. Questo Robot viene comandato da un operatore mediante dei Joystick e possiede tre gradi di libert (a conferma del fatto che possibile controllare 3 gdl mediante 4 cavi), essendo libero di muoversi nello spazio nelle tre direzioni semplicemente variando la lunghezza dei cavi, ma essendo impossibilitato a cambiare orientamento dal momento che i cavi convergono in un solo punto. Attualmente sono in commercio diverse versioni della Skycam, la quale prende un nome diverso a seconda del produttore. Le pi importanti sono: Skycam, Spidercam e CableCam.

1.4.2: Applicazione in ambito dei trasporti

Sempre all'inizio degli anni ottanta stato proposto da Albus e dal suo team l'uso di robot a cavi per realizzare una gru, che non solo consentisse la traslazione di un corpo (come farebbe una normale gru), ma che ne permettesse anche lorientamento nello spazio. La struttura analoga alla struttura di Gough-Stewart in cui, al posto di attuatori lineari, vengono utilizzati dei cavi. A questo manipolatore venne dato il nome di Robocrane (fig. 1.4). Come riportato in [2] il telaio del robot ha una forma ottaedrica ed costituita da tre triangoli realizzati per mezzo di tubi in alluminio lunghi 6 m e con un diametro pari a . I triangoli sono invertiti e uniti nei vertici superiori a formare un quarto triangolo. Da ogni vertice del triangolo superiore partono 2 cavi che vanno a collegarsi con i 3 vertici di un secondo triangolo detto triangolo inferiore. E importante specificare che i 2 cavi che partono da ogni vertice del triangolo superiore si collegano a due vertici diversi nel triangolo inferiore; se cos non fosse, infatti, si otterrebbe un robot under-constrained, dal momento in cui sarebbe perfettamente equivalente ad un robot 3-3. Anche la piattaforma inferiore realizzata in alluminio. I cavi che lo supportano sono in acciaio e hanno un diametro pari a . Grazie alla sua struttura ottaedrica tutte le forze nel telaio sono dirette in direzione prevalentemente assiale. Il risultato che ogni membro soggetto a sola compressione e a nessuna coppia flettente, se non quella generata dal proprio peso, con ovvi miglioramenti dal punto di vista della rigidezza.Figura 1.4: Il Robo-crane da [2]

Sei motori, ognuno dei quali in grado di supportare un carico massimo pari a controllano i cavi, i quali determinano la posizione della piattaforma inferiore. Questi motori sono coordinati tramite un computer, che riceve in input i comandi da parte di un operatore che, per mezzo di un joystick a 6 assi, ne governa tutti i 6 gradi di libert. L'operatore perci in grado di muovere il robot in maniera stabile per qualunque carico applicato alla piattaforma all'interno di un grande volume di lavoro. Ogni motore equipaggiato da degli encoder ottici, che sono attaccati ad un sistema a rulli mobili, che rimane sempre in contatto con il cavo di cui misura lo spostamento. Ogni encoder perci manda un segnale alla scheda di controllo degli input, situata nel computer di controllo. Negli anni questo robot si evoluto in diverse varianti, tra cui opportuno citare la struttura NOWFFR (NIST Oil Well Fire Fighting Robot), utilizzata durante la guerra del golfo per spegnere gli incendi nei pozzi petroliferi e la struttura Spider (Stewart Platform Instrumented Drive Environmental Robot) che ha trovato numerose applicazione in vari ambiti come quello delle macchine utensili, degli scavi, sollevamento e posizionamento di oggetti, trasporto di manipolatori etc. In generale il Robocrane o i suoi derivati vengono utilizzati in vari settori quali quello della raccolta dei rifiuti, l'ispezione e la manutenzione di aerei, costruzione di barche etc.

1.4.3: Applicazioni nella neuro-riabilitazioneI robot paralleli a cavi trovano numerose applicazioni anche in campo medico, a livello di prototipi, soprattutto in quello della fisioterapia e della riabilitazione. Infatti sono numerosi gli aspetti che gli rendono utili per scopi fisioterapici: Potenzialmente i robot a cavi possono avere elevati spazi di lavoro permettendo cos un esercizio degli arti che coinvolga i movimenti di tutto il corpo L'efficienza strutturale di questi robot consente di poter esercitare forze anche elevate in confronto al peso della struttura Facilit di smontaggio e posizionamento Modularit Economicit Limitato impatto fisico della struttura a livello di peso e di ingombro rispetto ai robot tradizionali

Di contro questi robot hanno il problema della potenziale interferenza tra i cavi del robot e il paziente e un carico irregolare e dipendente dalla posizione dellend effector nello spazio di lavoro. Inoltre i robot paralleli, in generale, hanno sempre il problema di presentare punti di singolarit nei quali il modo non controllato. Se per un robot tradizionale questo problema pu essere risolto spegnendo tutti i giunti e rendendo cos la struttura isostatica, la stessa cosa non pu essere fatta per un robot a cavi. Un esempio di applicazione di robot a cavi al mondo della fisioterapia il Macarm (fig. 1.5 e 1.6) sviluppato da D. Mayhew, B.Bachrach, W.Z.Rymer e R.F.Beer e illustrato nel dettaglio in [3]. Si tratta di un robot finalizzato alla riabilitazione degli arti superiori. E' costituito da 8 moduli attivi posizionati sugli 8 spigoli di un telaio avente la forma di un cubo. Il telaio realizzato in tubi di alluminio estruso aventi una lunghezza pari a . Il terminale di questo robot ha sei gradi di libert.Figura 1.5 Il Mac-Arm da [3]Figura 1.6 dettaglio del modulo attivo nel Macarm a destra e dellend effectord a sinistra da [3]

Ogni modulo costituito da un motore in corrente continua senza spazzole ad alte prestazioni, che trasmette il moto ad un riduttore armonico, da un encoder con una risoluzione di 500 cpr (impulsi al giro), una bobina su cui si avvolge un cavo in nylon e un sistema passacavo. Ogni modulo in grado di produrre sul cavo una tensione di ad una velocit di. Gli otto cavi sono bloccati ad una piattaforma mobile di forma rettangolare di realizzata in tubi. Il bloccaggio dei cavi alla piattaforma avviene per mezzo di moschettoni. Un'altra applicazione al campo medico il Nerebot (NEuro Rehabilitation roBOT) (fig.1.7) un robot a cavi progettato dal dipartimento di innovazione meccanica e gestionale dell'universit di Padova. Come riportato in [4] questo robot applicato per la riabilitazione degli arti superiori e pu essere usato sul paziente direttamente a letto. E' costituito da un basamento a forma di c, sul quale posta una colonna verticale, sulla quale si trovano 4 bracci orizzontali dotati di moto rotatorio rispetto alla colonna centrale. Su 3 dei quattro bracci sono posti 3 motori elettrici che muovono 3 cavi in Nylon che controllano la posa di un ortesi in materiale termoplastico. Questa collegata ai cavi per mezzo di un sistema magnetico, che pu permettere lo sgancio dell'end-effector quando la forza agente su di esso (e quindi sul braccio del paziente) supera un valore limite. I movimenti che l'end effector pu compiere sono controllati per mezzo di un computer posto sopra il bancale.Figura 1.7: Il NereBot da [5]

Capitolo 1: I robot paralleli a caviProgettazione di un prototipo di un robot parallelo a 6 cavi

7: Elementi di teoria per lo studio dei robot a cavi

2.1: Descrizione del modelloNel corso dellesposizione di questo capitolo e dei seguenti, si far riferimento ad un modello di struttura rappresentativo del robot. In questo paragrafo si va a descrivere la geometria mediante il quale vengono comunemente raffigurati i robot a cavi.

In maniera indipendente dal numero di cavi di cui costituito il robot (3 in fig.2.1 ma saranno poi 6 nel robot che verr progettato) si rappresenta la base fissa con un insieme di punti e la base mobile con un insieme di punti . Ciascun punto viene collegato, mediante un cavo, alli-esimo punto sulla piattaforma mobile. Siaun sistema di riferimento fisso, solidale alla base e si scelga di fissare lorigine in corrispondenza del punto della piattaforma fissa, con gli assi diretti in modo tale che lasse sia verso il basso.

Bisogna poi definire un secondo sistema di riferimento cartesiano, mobile e solidale con lend-effector, la cui origine coincide con , baricentro della piattaforma.

Fissati i due riferimenti cartesiani, si definiscono i vettori congiungenti lorigine del sistema di riferimento fisso con i punti .

Si indichi poi con il vettore congiungente lorigine del sistema di riferimento fisso con lorigine del sistema di riferimento mobile e con il vettore congiungente il punto con ciascun punto . Siano poi rispettivamente la lunghezza e la tensionecavo, mentre con si indica il carico applicato allend-effector. I termini sono invece le coordinate di Plcker che esprimono le rette d azione dei cavi e del carico applicato. I vettori di Plcker sono oggetto del secondo paragrafo di questo capitolo.Figura 2.1: Rappresentazione di un manipolatore 3-3 da [8]

Vengono imposte poi due condizioni sulla geometria del robot:

la prima di queste condizioni fa s che in ogni istante di tempo la lunghezza dei cavi sia maggiore di zero, ossia che punto non coincida con li-esimo punto sulla piattaforma fissa. La seconda disequazione, invece, impone che il segmento che congiunge due punti e , sulla base fissa, proiettato sul piano , sia strettamente maggiore del segmento che congiunge i corrispondenti punti e sulla piattaforma mobile. Questa condizione fa s che si possano non prendere in considerazione alcune geometrie di scarso interesse ingegneristico.Per lo studio del problema geometrico statico per prima cosa necessario introdurre alcuni concetti di geometria, necessari per comprendere le sezioni seguenti.Figura 2.2: Rappresentazione dei punti P1 e P2 da [9]

2.2: Coordinate di Plcker

Le coordinate di Plcker sono un sistema per assegnare 6 coordinate omogenee ad ogni linea in uno spazio proiettivo. La trattazione rigorosa di questo tema non oggetto di questa tesi, Tuttavia vengono fornite alcune nozioni di base, che saranno utili in seguito. Si consideri una terna cartesiana (fig. 2.2): presi due punti nello spazio, di coordinate :

dove ogni elemento una coordinata del punto nel sistema di riferimento. Detta S la retta passante per i due punti, si definisce il vettore arbitrario applicato sulla retta S:

Preso il vettore posizione del punto , si definisce il momento della retta S:

E possibile allora introdurre le coordinate di Plcker della retta S definite come:

In maniera del tutto analoga, anche una forza pu essere rappresentata come un vettore di Plcker. Noto il punto di applicazione della forza e quindi il suo vettore posizione rispetto al punto , origine di un sistema di riferimento cartesiano il modulo della forza, la retta d'azione e il verso in cui agisce, si pu definire le coordinate di Plcker della forza il sistema di coordinate:

Dove le prime tre componenti del vettore rappresentano le tre componenti della forza e le seconde tre il momento della forza rispetto al polo. Quando le coordinate di Plcker sono utilizzate per descrivere una forza si parla di wrench. Per completezza necessario dire che queste coordinate sono utilizzate anche per descrivere la cinematica di un corpo rigido, in questo caso si parla di Twist.

E' importante notare come solo quattro coordinate di Plcker siano indipendenti. Infatti sono, di fatto, le componenti nelle 3 direzioni del vettore che congiunge i punti. Inoltre, per le propriet del prodotto vettoriale, S ed S0 risultano ortogonali tra loro e quindi il loro prodotto scalare deve dare 0. E' perci possibile pervenire a due equazioni:

In robotica le coordinate di Plcker permettono di poter scrivere le equazioni cinematiche e statiche dei manipolatori in maniera compatta e di facile implementazione nei codici di calcolo. In particolare, nel caso in esame, sono utilizzate per formulare il problema statico e valutare le tensioni nei cavi del manipolatore, una volta nota la posizione dell'end-effector, il suo orientamento (quindi la posa) e il carico esterno applicato.

2.3: Problema cinematico inverso

Come detto nel precedente capitolo, affinch la posa di un robot possa essere completamente definita dai soli parametri geometrici necessario che esso sia controllato da almeno 6 cavi. Questa condizione per non sufficiente. Infatti assai probabile che uno dei cavi possa perdere tensione trasformando un robot con cavi, in uno con , ecc. Risulta quindi evidente come non sia sempre possibile fare una distinzione tra robot over-costrained e under-costrained, dal momento in cui possibile avere manipolatori che sono pienamente vincolate in alcuni pose e sotto-vincolati in altre. E necessario quindi, per affrontare lo studio di un robot a cavi considerare anche tutti i robot da esso derivati con . Tuttavia, una volta assegnata la geometria della base e della piattaforma mobile, possibile valutare in quali punti dello spazio di lavoro il robot mantiene in tensione tutti i cavi di cui esso dispone. In quei punti, infatti, per un robot fully-costrained, le sole equazioni di vincolo geometrico sono sufficienti per determinare le lunghezze dei cavi, nota la posa finale della piattaforma. Attraverso poi lo studio della statica del robot, possibile pervenire alle tensioni nei cavi.

Lo stesso discorso non vale invece per robot under-costrained, per i quali le equazioni di vincolo geometrico non sono sufficienti a determinare la posa dell'end-effector, ed necessario considerare anche le equazioni di equilibrio statico della piattaforma. Se con si indica il numero di cavi in tensione del robot allora possibile pervenire ad equazioni di vincolo geometrico:

alle quali bisogna aggiungere le 6 equazioni di equilibrio statico (3 equazioni di equilibrio per le forze e 3 per i momenti) in incognite (tensioni nei cavi). Complessivamente il problema cinematico ha dunque equazioni in incognite: ovvero le lunghezze e le tensioni dei cavi () pi 6 parametri che definiscono la posa dellend-effector, che possibile indicare con due vettori e , dove un vettore che rappresenta, tramite 3 coordinate, la posizione di un punto dellend-effector e un vettore, anchesso costituito da 3 componenti, che rappresenta lorientamento di una terna solidale alla piattaforma, rispetto a quella del sistema di riferimento fisso. Per poter risolvere il problema, sar allora necessario fissare parametri. Quando sono note variabili riguardanti la posa della piattaforma allora si ha a che fare con un problema cinematico inverso, viceversa quando sono assegnate le lunghezze dei cavi, si ha un problema cinematico diretto.

E possibile dimostrare che, se il robot sotto-vincolato, non possibile risolvere il problema cinematico inverso, separatamente da quello statico. Infatti per robot sotto-vincolati possibile assegnare solamente un numero parametri di posa allend-effector. Per esempio in un robot a 3 cavi si potrebbero assegnare 3 coordinate del baricentro della piattaforma mobile, oppure 3 parametri che descrivono lorientamento della base rispetto agli assi fissi. Questi parametri non consentono di definire da soli la posa assunta dalla piattaforma, senza fare intervenire le equazioni di equilibrio statico. In questo caso necessario ricorrere a metodi di eliminazione delle tensioni da alcune delle equazioni di equilibrio. E possibile comprendere come non sia possibile assegnare pi di parametri alla posa dellend effector, dal momento in cui ogni cavo, quando lavora in maniera corretta (quindi tensione positiva e assenza di configurazioni di singolarit), permette di eliminare un solo grado di libert. Se si posiziona, ad esempio, lend effector di un robot sotto vincolato in un punto dello spazio di lavoro con un dato orientamento (assegnando di fatto cos 6 parametri di posa), si potrebbe aver scelto una configurazione in cui il robot non in equilibrio e da cui poi tenderebbe a spostarsi, per raggiungerne una in cui sono soddisfatte le equazioni di equilibrio statico e in cui lenergia potenziale assume il valore minimo. In questo lavoro viene esaminato un robot a 6 cavi per il quale cio possibile tenere separati i due problemi. Una volta assegnati i 6 parametri di posa allend-effector, si potr risolvere in maniera piuttosto semplice il problema cinematico inverso. Tuttavia questa procedura ha senso solamente in tutti quei punti in cui le tensioni si mantengono strettamente positive. Se cos non fosse, infatti, il robot si comporterebbe come se avesse solamente 5, 4, 3, ecc. cavi e non sarebbe quindi pi possibile, assegnando la posa della piattaforma, garantire lequilibrio statico del robot. E quindi evidente come, pur potendo risolvere il problema cinematico inverso e quello statico, in maniera separata, essi siano comunque sempre strettamente correlati, dal momento che, le ipotesi che permettono di risolvere in maniera indipendente il problema cinematico, devono essere verificate mediante quello statico. Per questa ragione si parla in generale di problema geometrico-statico.

Un manipolatore a 6 cavi (detto anche manipolatore 6-6) costituito da una base fissa e da una piattaforma mobile collegate per mezzo di sei cavi. Si rammenta che con si indica un generico punto sulla base fissa e con un generico punto sulla piattaforma mobile.

Se si considera un sistema di riferimento fisso e uno mobile , solidale con la piattaforma, allora possibile esprimere la posizione di un generico punto rispetto al sistema di riferimento mediante la relazione:

che espressa rispetto alle coordinate del generico punto nel sistema di riferimento fisso:

Dove sono i versori del sistema di riferimento fisso, sono i versori del sistema di riferimento mobile e infine sono le componenti del vettore posizione del punto, origine del sistema di riferimento mobile, nel sistema di riferimento fisso, mentre sono le componenti del vettore posizione del punto rispetto al sistema di riferimento . Introducendo la matrice di rotazionedescritta mediante i coseni direttori, possibile esprimere la posizione del punto nella direzione definita da un generico versore solidale al sistema di riferimento fisso: Figura 2.3: Schema robot 6-UPS da [1]

dove un generico versore solidale al sistema di riferimento mobile e la matrice dei coseni direttori tra il versore e il versore .

L'analisi cinematica inversa di un manipolatore a cavi 6-6, quando tutti i cavi sono tesi, analoga a quella di un manipolatore 6-UPS (derivato da una piattaforma di Gough-Stewart) in tutti quei punti in cui il robot si comporta come un robot fully-costrained. Lobbiettivo che ci si prefigge , perci, quello di determinare la lunghezza dei cavi, nota la posa dellend-effector. E possibile ricavare modulo direzione e verso del vettore a partire dalla conoscenza della geometria della piattaforma fissa (e quindi la posizione del punto nel sistema di riferimento fisso) e della piattaforma mobile (quindi la posizione di rispetto al sistema di riferimento mobile).

E' possibile esprimere il vettore rispetto al valore della coordinata di giunto, ossia la lunghezza del cavo e del versore funzione di due angoli (fig. 2.3).

Si pu calcolare il valore di direttamente dall'equazione precedente come:

E' possibile fare gli stessi ragionamenti per gli altri segmenti e pervenire cosi a 6 sistemi di equazione, ognuno indipendente dall'altro che consentono, una volta nota la posa dell'end-effector, di ricavare i valori delle lunghezze dei cavi.

2.4: Studio della statica del manipolatore Come noto, affinch un corpo sia in equilibrio statico, necessario che la somma delle forze e quelle dei momenti agenti su di esso siano nulle:

Lo studio della statica del robot perci prevede l'analisi delle forze che agiscono sulla piattaforma mobile in modo da valutarne modulo, direzione e verso. Come stato gi detto nel capitolo precedente lo studio statico del robot non pu prescindere da quello cinematico. Infatti, se ci si basa sulla conoscenza dei parametri di posa, allora si parla di problema geometrico-statico inverso, se invece sono note le lunghezze dei cavi si ha un problema geometrico-statico diretto.Oltre alle tensioni dei cavi, sull'end-effector agisce anche un insieme di forze e momenti esterni che il robot deve vincere. Queste forze e coppie possono essere, per esempio, il peso di un corpo che il robot devo spostare, oppure le forze di taglio, generatesi in una generica operazione (ad esempio se il robot utilizzato per delle lavorazioni meccaniche).Per studiare la statica dellend-effector allora necessario scomporre tutte le forze nelle 3 direzioni e, fissato un polo di riduzione, esprimere tutti i momenti generati da esse. Nel paragrafo 2.2 si visto come ci non sia difficile servendosi delle coordinate di Plcker. Nel paragrafo 2.5 si vedr come tutto ci sar applicato sul caso in esame.

2.5: Definizioni di aree di lavoroOccorre ancora introdurre alcuni concetti, prima di iniziare lo studio specifico per una data geometria, riguardanti lo spazio di lavoro. Nellambito dei robot a cavi possono essere date svariate definizioni di area di lavoro, a seconda delle caratteristiche del robot che vogliono essere messe in evidenza L'area di manovra di un robot parallelo pu esser limitata da vari fattori quali: limiti meccanici, giunti passivi, interferenza tra i componenti del robot, limitazioni a causa degli attuatori e presenza di punti di singolarit. Per un robot a cavi tale area poi limitata da tutti quei punti in cui un filo non in tensione.

Un secondo problema l'impossibilit di rappresentare in maniera grafica lo spazio di lavoro disponibile per robot aventi pi di 3 gradi di libert. Si pensi, per esempio, ad un robot avente 4 gdl: tre traslazioni e una rotazione. Per questo robot sarebbe possibile rappresentare in un piano cartesiano tutti quei punti in cui egli in grado di muoversi per un dato angolo di inclinazione. Se questo angolo venisse poi variato sarebbe possibile ottenere una seconda rappresentazione dell'area di lavoro per quel dato angolo, che potrebbe differire dalla prima. La stessa stima potrebbe essere fatta per gli infiniti valori che l'angolo di inclinazione pu assumere. Il problema si complica ulteriormente nel caso di robot a 6 gdl (come il robot in studio) dove sono 3 gli angoli mediante il quale possibile descrivere la posa del robot. Una regola generale perci per poter rappresentare l'area di lavoro di un robot avente gdl quella di fissare n-3 parametri e lasciare liberi tutti gli altri. A seconda del tipo di parametri fissati si ottengono diversi tipi di spazio di lavoro. Genericamente vengono fissati tre parametri di rotazione e vengono fatti variare i restanti 3 relativi alla posizione dellend-effector.Si definisce Spazio di lavoro raggiungibile (Reachable Workspace) l'insieme di tutte le pose dell'end-effector che non violano alcun vincolo. Tale definizione poco rilevante e non viene quasi mai utilizzata nei robot a cavi, soprattutto in quelli sotto-vincolati, dal momento che molte pose teoricamente raggiungibili non sono posizioni di equilibrio statico.

Una definizione che risulta pi utile quelli di Wrench Feasible Workspace (WFW): ovvero l'insieme delle posizioni di equilibrio statico del robot nelle quali quando esso viene sottoposto ad uno specifico wrench esterno, ovvero da un insieme di forze e momenti esterni, mantiene la tensione nei cavi limitate entro certi valori. In generale si pu dire che la tensione deve essere contenuta allinterno di un certo intervallo: . Riguardo il limite superiore, entro cui devono essere limitate le tensioni, esso sar trattato nel dettaglio nel paragrafo 3.2, poich, come si vedr in seguito, la scelta dei motoriduttori influenza tale valore. Sul valore minimo, invece, evidente come esso debba essere preso uguale a zero.Unaltra definizione molto utilizzata quella di Static Equilibrium Workspace (spazio di lavoro di equilibrio statico, SEW): ovvero linsieme delle pose dellend-effector in cui possibile mantenere il robot in equilibrio statico, sotto la sola azione data dalla forza di gravit. E evidente che, valutando il WFW con un Wrench di carichi dato dalla sola forza peso del robot, si ottiene lo spazio di lavoro di equilibrio statico. Nei paragrafi successivi si valuter il WFW applicando alla piattaforma un carico dato dalla sola forza peso del robot, supponendo che essa sia pari ad 1kg. Perci, quello che dopo verr chiamato WFW, sarebbe a rigore lSEW.

2.6: Modellizzazione della strutturaPer lo studio del WFW stato realizzato un codice Matlab che permette di calcolare le tensioni nei cavi in un insieme di punti campione dello spazio di lavoro del robot.Occorre innanzitutto fare alcune ipotesi iniziali utili a semplificare e schematizzare il modello. Per prima cosa si suppone che i cavi, di cui costituito il robot, siano inestensibili, privi di massa e se ne trascurano i problemi di interferenza (situazione in cui i cavi entrano in contatto). Inoltre lend-effector viene considerato come un corpo rigido, di cui sono noti i punti di attacco dei cavi e il centro di massa (che si suppone coincidere con il baricentro della figura piana con cui raffigurato lend-effector). E poi nota la posizione di attacco di ogni fune ai motori e si suppone che ciascuno di essi controlli solamente un cavo. Le prime due ipotesi, pur non essendo rigorosamente vere, possono comunque essere considerate una approssimazione accettabile in virt del basso carico. Per quanto riguarda lipotesi relativa allinterferenza dei cavi, difficilmente non verrebbe verificata, grazie al piccolo spessore che essi hanno nel modello reale e soprattutto grazie al numero contenuto di essi, che limita le configurazioni in cui i fili si vanno ad incrociare. Le altre assunzioni fatte sono sufficientemente valide. Sui limiti delle prime tre ipotesi si rimanda al capitolo 3 dove questi problemi vengono spiegati nel dettaglio.

La struttura del robot schematizzata tramite un parallelepipedo di base esagonale. I sei vertici dell'esagono sono i punti di attacco dei cavi nella base fissa. I punti di questo esagono sono definiti come punti appartenenti ad un cerchio di raggio. Viene fissato un sistema di riferimento solidale alla base fissa con origine nel centro della circonferenza e con l'asse positivo verso il basso. E' definito un angolo , mediante il quale possibile stabilire la forma della piattaforma mobile. Infatti viene introdotta una matrice degli angoli:

Dove lelemento della matrice rispettivamente l'angolo formato dalla congiungente del puntocon l'origine rispetto all'asse. Allora possibile introdurre la matrice delle coordinate dei punti , nel sistema di riferimento fisso definendo ogni colonna di nel seguente modo:

Se si pone langolo il risultato una base triangolare analoga a quella del Robo-crane, mentre con un angolo si ottiene una base a forma di esagono regolare.

E' stato poi fissato un sistema di riferimento mobile, solidale all'end-effector. La piattaforma mobile stata costruita definendo un raggio di base pari a e un angolo, analoghi al raggio e all'angolo della base fissa. Sempre analogamente alla base fissa si introduce la matrice:

dove ogni elemento della matrice corrisponde all'angolo formato tra la congiungente del punto con il punto , origine del sistema di riferimento mobile e l'asse . Si introduce allora la matrice delle coordinate dei punti sull'end-effector rispetto al sistema di riferimento mobile, definendo ogni colonna di nel seguente modo:

E' evidente come ponendo oppure la forma dellend-effector diventi un triangolo equilatero.

A questo punto, per poter definire completamente la posizione dell'end-effector, occorre introdurre la matrice di rotazione , la quale avr sempre gli stessi valori, poich, come detto all'inizio del paragrafo, non possono essere cambiate pi di tre variabili contemporaneamente nella posa dell'end-effector, per poter avere una rappresentazione 3-D dell'area di lavoro. Va poi definita la posizione di un punto, solidale alla base mobile, nel sistema di riferimento fisso. Per comodit si sceglie il punto origine del sistema di riferimento mobile, coincidente per costruzione al baricentro dellend-effector. Allora, si introduce la matrice , che esprime le coordinate dei punti della piattaforma mobile rispetto al sistema di riferimento fisso, ogni colonna della matrice calcolata per la come:

Dove la matrice di rotazione che stata posta uguale alla matrice identica, e che corrisponde ad una posa dellend-effector, in cui gli assi della terna sono paralleli a quelli della terna :

A questo punto possibile muovere il punto all'interno dell'area di lavoro (variandone le coordinate) e ricavare il valore della lunghezza dell'i-esimo cavo, che unisce il punto (espresso per nel sistema di riferimento fisso) al punto.

Il problema geometrico inverso perci risolto. Resta ora da risolvere il problema statico cos da ottenere la stima del WFW.

Si suppone perci che all'end-effector sia applicato un carico esterno costituito dalla sola forza peso della piattaforma che, per semplicit, si assume pari ad 1kg (questa infatti il carico massimo trasportabile per la taglia di robot che ci si prefigge di progettare). Il carico applicato nel baricentro della piattaforma mobile, ovvero il punto . Tale carico pu essere rappresentato tramite uno scalare pari al peso assunto dal robot in Newton :

E' stato preso come polo di riduzione dei momenti il punto sulla piattaforma fissa. La tensione agente in ogni cavo pu essere rappresentata mediante delle coordinate di Plcker. Queste infatti possono essere utilizzate per risolvere le equazioni della statica, dal momento che rappresentano la linea dazione di ogni cavo e il momento di tale linea. Infatti, supponendo che i cavi siano perfettamente tirati, le tensioni in ogni cavo agiscono lungo la congiungente dei punti di attacco alle due piattaforme, (a priori non cosi, vedi effetto curvatura). Allora il wrench applicato dalli-esimo cavo sulla piattaforma pu essere scritto come:

Dove sono due scalari corrispondenti il primo alle tensioni incognite nei cavi, mentre il secondo alla lunghezza del cavo i-esimo. il vettore di Plcker della retta passante per i punti . Prendendo il punto come polo di riduzione dei momenti il vettore per ogni cavo pu essere espresso come:

Infatti le prime tre componenti del termine sono le tre componenti della tensione nel sistema di riferimento assegnato, mentre le seconde tre componenti rappresentano i momenti generati da tali forze. Il termine necessario per normalizzare il vettore di Plcker. Oltre che per i cavi possibile ricavare anche il wrench dato dalla forza peso. La retta d'azione di questa forza diretta come l'asse z, orientata verso il basso ed passante per il baricentro del corpo. Questo permette di esprimere il wrench dei carichi esterni come:

Dove il vettore di Plcker del carico esterno normalizzato nella sua retta dazione. Se si indica con il versore parallelo alla retta dazione della forza esterna (che nel caso della forza peso deve valere ) allora:

Quindi, affinch la piattaforma sia in equilibrio, necessario per che:

Ossia:

Da cui possibile ricavare le tensioni nei cavi risolvendo il sistema:

Dove una matrice che dipende solamente dalla posa della piattaforma. In generale una matrice dove il numero di cavi. Questa routine viene ripetuta per un numero di punti campione allinterno dello spazio di lavoro, cos da poter mappare la distribuzione di tensioni dei cavi. A questo punto vengono rappresentati nel grafico solo quei punti in cui la tensione in tutti i cavi assume valore positivo, dove quindi lanalisi fin qui condotta rispetta il vincolo monolaterale imposto dai cavi e dove il robot completamente controllabile.

2.7: La scelta della geometria ottimale per base ed end-effector

Una volta descritto il metodo attraverso il quale viene risolto il problema geometrico-statico inverso, necessario utilizzarlo per valutare la configurazione che massimizzi larea di lavoro assumendo come limite inferiore e senza prendere alcun valore come limite superiore alla tensione.

Per fare queste valutazioni si risolve il problema geometrico-statico assegnando un valore costante alla coordinata e allorientamento assunto dallend-effector e si vedono quali sono i punti di posa dellend-effector in cui tutte le tensioni sono positive. Sono state considerate le seguenti configurazioni: Configurazione triangolo-triangolo: in cui sia la base che lend-effector hanno la forma di un triangolo equilatero, dove i cavi uscenti da un punto del triangolo di base vanno a collegarsi su due punti distinti nellend effector (altrimenti la matrice della statica diventa singolare, essendo il robot, di fatto, equivalente ad un manipolatore3-3) Configurazione triangolo-esagono: La base ha la forma di un triangolo, mentre lend-effector ha la forma di un esagono regolare. Configurazione esagono-triangolo: La base ha la forma di un esagono regolare (ogni punto dellesagono un punto di attacco da cui passa il cavo) mentre lend-effector un triangolo equilatero. Configurazione esagono-esagono: La base un esagono regolare, mentre lend-effector un poligono a 6 lati, costruito assegnando il valore , se cos non fosse infatti si otterrebbe una configurazione singolare.

E stata fissata unaltezza e si sono ottenuti i seguenti risultati. Base fissa ed end-effector sono stati costruiti, come nel paragrafo precedente, definendo un raggio per la base fissa e un raggio per lend-effector. A seconda dei casi sono stati variati gli angoli per costruire la base e lend-effector.

Configurazione:Area di lavoro a quota

triangolo-triangolo

triangolo-esagono

esagono-triangolo

esagono-esagono

Tabella 2.1: Aree di lavoro per ogni configurazione esaminataRisulta evidente come la configurazione ottimale sia quella in cui la posizione dei punti di attacco alla base e quelli di attacco sullend-effector sono dei triangoli equilateri. Questa configurazione, inoltre, risulta piuttosto comoda poich limita il numero di punti attraverso cui far passare i cavi, rendendo la disposizione dei motori pi ordinata e facile.

Capitolo 2: Elementi di teoria per lo studio dei robot a cavi

19: La scelta dei motoriduttori e delle pulegge

3.1: Principali problematiche di progettazione e controlloNel corso della progettazione di un manipolatore a cavi e soprattutto durante la pianificazione del moto necessario affrontare numerose problematiche. In questa sezione se ne presentano le principali.

3.1.1: Cavi non in tensione

Questa la problematica principale per questo tipo di robot, dato che, come gi detto, un cavo non pu lavorare in compressione. In caso di tensione nulla, infatti, un robot con cavi, si comporta come se ne avesse , con problematiche notevoli dal punto di vista del controllo, date dallimpossibilit di determinare con sicurezza la posa attuale dellend-effector. Si gi visto in che modo possibile valutare i punti in cui per un dato wrench esterno uno o pi cavi perdono tensione risolvendo la statica del robot (si trascurano tuttavia gli aspetti dinamici che, inevitabilmente, entrano in gioco durante il moto).

3.1.2: Deformazione elastica e curvatura

Un corpo di lunghezza , sezione , di materiale avente modulo elastico , soggetto ad una forza normale , si deforma in campo elastico di . Al fine di rendere il posizionamento del robot sufficientemente preciso necessario poter stimare tale allungamento oppure mettersi in condizioni tali da poterlo trascurare con sufficiente precisione. La prima soluzione prevede limplementazione del modello elastico del cavo allinterno dellalgoritmo di controllo, nota la curva caratteristica (e quindi il valore di ), la sezione dei cavi, la posa dellend-effector e il carico esterno. Queste ultime informazioni, infatti, consentono di conoscere la tensione agente in ogni cavo e stimare lerrore sulla lunghezza di ognuno. La seconda strada pu essere valida nel caso di robot aventi cavi con alto modulo elastico che devono movimentare carichi in proporzione modesti, per i quali cio il valore di pu essere ragionevolmente trascurato.Oltre alle deformazioni elastiche, i cavi possono presentare anche fenomeni di creep, ovvero una deformazione plastica permanente che si verifica per valori della tensione inferiori a quella di. Tale fenomeno tipico dei cavi in kevlar e pu essere annullato pre-stirando il filo fino a un certo valore dellallungamento, oltre il quale tale problema non si presenta. Questa problematica, se non viene accuratamente analizzata pu portare da errori anche rilevanti con una conseguente sotto-stima delleffettiva lunghezza dei cavi. Un altro problema col quale si ha a che fare la curvatura. Quando un cavo viene teso, in generale, non mantiene sempre una configurazione lineare, ma tende ad incurvarsi leggermente sotto leffetto del proprio peso, esercitando cos una forza che non diretta esattamente come la congiunte delle estremit del cavo. Il risultato una sovrastima della distanza tra i due punti e una sottostima della tensione nel cavo. Questo effetto marcato nei robot in cui la massa del cavo paragonabile come ordine di grandezza a quella dellend-effector. Inoltre si verifica soprattutto quando i cavi risultano avere tensione molto basse, per le quali la forza peso del cavo ha un effetto importante sulla sua configurazione. E evidente quindi come la richiesta di avere un effetto di curvatura stringente possa spesso essere in antitesi con quello di avere limitati errori dovuti alle deformazioni elastiche. Infatti, se si prende ad esempio un cavo in acciaio, questo ha sicuramente basse deformazioni elastiche, per potrebbe avere un marcato effetto di curvatura (essendo piuttosto elevata la densit dellacciaio) se il peso dellend-effector non sufficientemente elevato.

3.1.3: Avvolgimento dei cavi. Durante le operazioni di manovra del robot ciascun cavo viene avvolto (e svolto) in genere attorno ad un tamburo/puleggia. Al fine di evitare sovrapposizioni tra i cavi, con conseguente usura, necessario che lavvolgimento (e di conseguenza anche lo svolgimento) dei cavi, avvenga in maniera ordinata.

Inoltre un avvolgimento ordinato permette di avere una misura indiretta sulla lunghezza dei cavi pi attendibile. Si consideri un cavo di spessore che si avvolge su una puleggia di raggio . Ad ogni rotazione dellalbero di uscita del motoriduttore viene arrotolata una lunghezza di filo pari a: . Se si suppone, in via del tutto teorica, che ad ogni giro il cavo si avvolga sempre nello stesso punto: al secondo giro viene arrotolata una lunghezza di filo pari , al terzo una lunghezza e cos via. Dal momento che, il modo in cui il cavo si avvolge non noto a priori, risulta complesso stimare, per una determinata rotazione del motore, leffettiva lunghezza del cavo. Tale problema lo si ha poich, senza lausilio di sensori esterni, l'unica informazione sulla lunghezza dei cavi viene data dalla posizione angolare del motore misurata dallencoder. Una soluzione a questo problema potrebbe essere l'utilizzo di un meccanismo che preveda una vite a ricircolo di sfere per spostare la puleggia in senso assiale mentre viene arrotolata, oppure la realizzazione di scanalature all'interno della puleggia per "guidare" il cavo.

Unaltra possibile soluzione pu essere quella proposta da Merlet in [15], ovvero di utilizzare degli attuatori lineari al posto di motori rotativi. Questa soluzione (fig. 3.1), infatti, fa uso di un sistema costituito da pi pulegge calettate su due piattaforme. La prima fissa, mentre la seconda libera di muoversi su di una rotaia. Il moto di questa piattaforma regolato da un attuatore lineare avente unaccuratezza nel posizionamento dellordine di grandezza di Il cavo parte da un punto fisso sulla piattaforma fissa, si arrotola su pi pulegge, arriva in un punto anchesso solidale alla base fissa e da l arriva allend-effector. Tramite questo sistema lo spostamento dellattuatore lineare viene amplificato di un fattore , consentendo perci di avere elevati allungamenti del cavo a fronte di piccoli spostamenti dellattuatore lineare. In questo modo si mantiene uno dei punti di forza dei robot a cavi, ovvero quello di avere ampie aree di lavoro grazie alla possibilit di poter allungare, anche di molto la lunghezza dei cavi. Ovviamente anche la forza agente sullattuatore risulta essere amplificata di un fattore . Figura 3.1: Rappresentazione schematica dell'avvolgimento dei cavi del Marionet da [15]

3.2: La scelta del diametro ottimale della puleggiaDopo aver presentato le principali problematiche inerenti alla costruzione e al controllo dei manipolatori a cavi, si procede con la presentazione dell'attivit di progettazione.Tale lavoro prevede innanzitutto la valutazione del diametro ottimale della puleggia su cui si vanno ad arrotolare i fili, poi la scelta dei motori pi idonei ad assolvere il compito preposto e infine la progettazione di alcune soluzioni per bloccare un gruppo motore-puleggia-scheda di controllo ad un telaio.

Per la scelta del diametro ottimale della puleggia ci si basa su quella scelta che minimizzi l'errore compiuto nella valutazione della lunghezza di ogni cavo. Questa grandezza, infatti, ad eccezione di rari casi (vedi Marionet) viene ricavata sapendo il diametro della puleggia e misurando, tramite l'encoder, i passi angolari compiuti dal motore. Si consideri, ad esempio, l'encoder montato sul motore 3260E-0, che ha una risoluzione di (Cycle Per Revolution), ovvero 360 cicli di quadratura sullencoder per ogni giro dell'albero motore. Allora, per quel motore, possibile, teoricamente controllare uno spostamento angolare pari a di un angolo giro, ossia uno spostamento angolare di 1. Sullalbero di uscita del motoriduttore questo si traduce, teoricamente, nella possibilit di controllare una rotazione pari a: dove linverso del rapporto di riduzione che avviene allinterno del motoriduttore (per questo motore vale 50). La risoluzione angolare teorica sullalbero di uscita del riduttore per quel moto-riduttore vale . Questo per solamente un valore teorico. Infatti non si tenuto conto di tutte quelle fonti di imprecisioni sullo spostamento angolare che intervengono tra lalbero del motore e lalbero di uscita del motoriduttore, dovute perlopi agli inevitabili giochi presenti sui denti degli ingranaggi del motoriduttore e allelasticit degli stessi. Infatti, da prove condotte su un motoriduttore 3260E-0, si visto che, imprimendo una rotazione inferiore ai 10 passi angolari allencoder, non si ottiene alcuna rotazione dellalbero di uscita, segno che solamente per vincere i giochi e le elasticit tra i denti necessario imprimere tale rotazione per pre-caricare gli ingranaggi e vincerne le elasticit. E perci evidente come la precisione teoricamente ottenibile non sia quella effettiva, la quale vale almeno un ordine di grandezza in pi. Aumentando il raggio della puleggia, la risoluzione in termini di posizione angolare dell'albero motore non cambia, mentre varia la risoluzione in termini di allungamento della fune. Infatti possibile controllare l'allungamento del cavo di un termine

La risoluzione in termini di allungamento del cavo risulta poi influenzata dal problema dell'arrotolarsi del cavo sui suoi stessi avvolgimenti. Se si ipotizza che il filo vada ad arrotolarsi sempre su se stesso, allora, partendo da una situazione in cui il cavo di lunghezza completamente srotolato, la lunghezza che viene arrotolata in un numero di giri e vale:

Allora possibile calcolare il numero di giri risolvendo l'equazione di secondo grado nell'incognita n:

Dopo alcune prove condotte su un singolo motore sul quale calettata una piccola puleggia in plastica che avvolge e svolge un cavo, alla cui estremit attaccato un oggetto di peso tale da non gravare in maniera eccessiva sul motoriduttore si visto che, disponendo un sistema di guida del cavo tale da portare alla puleggia il filo perfettamente orizzontale, si verifica una tendenza dei cavi a disporsi su tutta la puleggia e a non sovrapporsi. E stato allora scritto uno script che valutasse linfluenza che il diametro della puleggia ha sui vari parametri che influenzano il comportamento del robot una volta messo in opera. Si sono per prima cosa definite le caratteristiche dei motori quali: coppia nominale; coppia di stallo; velocit di sincronismo; rapporto di riduzione interno al motoriduttore; risoluzione dellencoder.

E stata poi definita una velocit angolare minima accettabile pari al 99% della velocit di sincronismo e una massima tensione radiale (che il valore massimo del carico radiale per tutti i motori esaminati). Si fatto variare il diametro della puleggia in un intervallo compreso tra 1 e 100mm e si valutato, per ciascun diametro, il valore massimo della tensione . Questo valore stato ricavato facendo assumere alla tensione valori compresi tra 0 e e considerando gli effetti che una eventuale sovratensione di avrebbe sul motore a livello di velocit angolare. Si assunto come il valore massimo di che rende valide due condizioni:

Dove la velocit angolare del motore, nel funzionamento a piena potenza, per un valore della coppia pari a . Tale valore ricavabile, conoscendo la caratteristica meccanica del motore, quindi noti i valori di coppia di stallo e velocit e coppia nominale. Tali valori, per ogni motore, sono forniti dal costruttore.

Con questo script sono stati esaminati diversi motori presenti nel catalogo del fornitore. Viene scelto, per ogni motore, il diametro pi grande che permette di avere una tensione limite pari alla tensione massima .

A posteriori, assumendo come diametro ottimo il diametro commerciale immediatamente inferiore a quello ricavato, viene controllato che, per dato diametro e lunghezza della puleggia (anche questultimo valore viene preso da catalogo una volta fissato il diametro) un filo di spessore e lunghezza (valore determinato sulla base di stime preliminari sulla dimensione del telaio del prototipo) si avvolga uniformemente sulla puleggia e che la precisione teoricamente ottenibile sia almeno inferiore a , in modo tale da avere una precisione effettiva (che si visto essere circa un ordine di grandezza inferiore a quella teorica) avente ordine di grandezza di circa .Si sono ottenuti i seguenti valori di diametro ottimale per i vari motori:Motore

326044 mm43.42 mm14.5 mm0.72150.0077 mm

325917.5 mm17.96 mm14.5 mm1.270.0121 mm

325810.5 mm////

Tabella 3.1: Diametro ottimale per ciascun motoriduttori Phidgets

Il diametro commerciale ottimale allora quello di che soddisfa le condizioni sopra citate.

3.3: La scelta dei moto-riduttoriLaspetto primario di cui tener conto nella scelta di un motoriduttore, per questo tipo di progetto, quello di massimizzare larea di lavoro. E importante considerare il WFW soprattutto nelle zone pi vicine agli attacchi dei cavi, dove le tensioni sono pi elevate e dove il moto del robot risulta meno sensibile alle piccole variazioni di lunghezza nei cavi. In questarea, infatti, i valori elevati della tensione, conferiscono una notevole rigidezza al robot, precisione nel movimento. Il WFW sinora stato definito come l'insieme di quei punti in cui, per unassegnata posa dellend-effector, tutte le tensioni nei cavi rimangono strettamente positive, dato un wrench applicato allorgano terminale. Ora occorre limitare superiormente la tensione nei cavi. Tale limite determinato dalle caratteristiche del moto-riduttore e del filo. L'area di lavoro di conseguenza si restringe escludendo tutti quei punti molto prossimi alla quota della base, dove le tensioni raggiungono valori molto elevati. Perci, prima di affrontare la scelta del motore pi adatto e illustrare il metodo utilizzato per arrivare a tale scelta, occorre fare il punto sulle esigenze che esso deve soddisfare: coppia: il primo aspetto da tenere in considerazione per avere un WFW di grande dimensione la necessit di avere un motore in grado di erogare una coppia piuttosto elevata, poich, a parit di diametro della puleggia, un valore pi elevato consente di avere tensioni massime nei cavi maggiori. carichi radiali e assiali: una seconda esigenza legata alla resistenza ai carichi radiali e assiali. Infatti sarebbe importante avere un elevato limite di resistenza (del moto-riduttore) a questi, cos da poter accettare, anche in questo caso, tensioni elevate nei cavi. stress sui denti: anche da tener conto il massimo stress sui denti del riduttore, valore limite che non deve mai essere superato, neanche in caso di situazioni occasionali, per evitare la rottura precoce del motore velocit angolare: di secondaria importanza la velocit angolare nominale del motore. Infatti, possibile accettare un valore basso di essa, dal momento in cui, inizialmente, non si vuole operare in condizioni di velocit elevate per limitare il problema delle oscillazioni legate alle forze dinerzia. Inoltre tale parametro va sempre rapportato al raggio della puleggia, per stimare la velocit lineare del cavo. I motori che vengono valutati sono il Phidgets 3260E_0 e il 3259E_0.

Modello Motoriduttore:3259 E_03260 E_0

7 W7 W

Velocit nominale 202 rpm73 rpm

Coppia nominale

Coppia di stallo

Coppia limite ingranaggi

Carico radiale limite

Carico assiale limite

Risoluzione encoder

Tabella 3.2: Caratteristiche dei motoriduttori Phidgets esaminati 3.3.1: La curva caratteristica e il PWMPer un dato voltaggio in alimentazione, possibile dimostrare che la curva caratteristica di un motore in corrente continua costituita da una retta che parte da un valore massimo della coppia, in corrispondenza di una velocit di rotazione nulla del motore (detta coppia di stallo) e arriva ad una velocit, detta velocit di sincronismo, per il quale la coppia motrice nulla. Il punto di lavoro in corrispondenza della coppia di stallo molto critico, poich in quella situazione il motore attraversato da una corrente elevata che genera un quantit di calore che non in grado di dissipare tramite la rotazione. Lavorando nellintorno di questo punto perci si corre il forte rischio di rottura del motore. Di solito il valore massimo della corrente viene limitato da una soglia definita in base alla capacit di dissipazione del calore del motore stesso. Tramite i due punti gi trovati possibile definire la retta di funzionamento del motore alla potenza massima (la retta in corrispondenza del valore 100%, fig. 3.2).

Per poter scegliere il punto di funzionamento pi adatto alle esigenze richieste, ovvero poter lavorare liberamente con valori di coppia e velocit angolare che non si trovano sulla caratteristica meccanica del motore, ma che stanno comunque alla sua sinistra nel grafico (quindi condizioni di lavoro in generale meno gravose dal punto di vista della potenza richiesta), le schede di controllo utilizzano un sistema a modulazione di larghezza d'impulso (Pulse-Width-Modulation). Con questa soluzione il motore lavora alternando momenti in cui il voltaggio massimo a momenti in cui esso pari a 0 (in questo modo possibile lavorare sulle retta a 80%, 60% etc. della potenza, fig. 3.2). Se per esempio si ha un motore che lavora con un voltaggio di e si ha la necessit di farlo funzionare in un punto che si trova sulla curva caratteristica corrispondente ad un voltaggio di (per avere il desiderato valore di coppia e velocit), allora necessario far s che, durante un periodo dell'onda quadra, data dal PWM, per met del tempo sia applicato al motore di differenza di potenziale, mentre nel restante periodo di tempo. Figura 3.2:Illustrazione caratteristica meccanica motori c.c. con modulazione della potenza e distinzione zone di lavoro

A questo punto si viene ad identificare una zona di lavoro del motore definita dall'area sottesa alla caratteristica meccanica al voltaggio massimo. Quest'area divisa in tre zone (fig. 3.2). C' una zona di sicurezza, che l'area in cui il motore ruota alla massima efficienza. Questa zona parte dal punto di coppia e velocit angolare nominale e arriva fino al punto di coppia nulla e velocit di sincronismo. Tutta l'area a sinistra di questi due punti fa parte della zona di sicurezza. C' poi una zona, detta di uso occasionale, che ha un limite superiore dato dal valore massimo della coppia, che rende critica la resistenza dei denti del riduttore, con la relativa velocit angolare e come punto inferiore ha la coppia e velocit angolare nominale (che erano il limite superiore alla zona di sicurezza). In quella zona possibile andare a lavorare solo per brevi periodi di tempo, poich li si ha una perdita di efficienza nel motore e conseguentemente un accorciamento della vite utile del motoriduttore. La terza zona ha come limite inferiore la coppia critica per i denti e come punto superiore la coppia di stallo del motore. Lavorando in questa zona si vanno a mettere in crisi i denti del riduttore e si va a surriscaldare il motore, riducendone di molto la vita utile. Questa zona detta zona di pericolo. Per quelle che sono le esigenze di un manipolatore a cavi, ovvero poter operare in continuit ed eventualmente poter rimanere fermo in condizioni di carico anche per tempi lunghi, necessario restare sempre in zona di sicurezza, in modo da cautelarsi il pi possibile da un guasto ai motori. E' quindi evidente come la coppia massima, oltre il quale il motore non deve andare ad erogare potenza sia la coppia nominale.

3.3.2: Limitazioni sui motoriduttoriPer la scelta e la verifica dei vari motoriduttori perci necessario considerarne i limiti al fine di poter valutare quello che soddisfa nel modo migliore le esigenze richieste. Carico assiale: ovvero la massima forza che il riduttore pu sopportare in una direzione parallela a quella dell'albero di uscita del moto-riduttore. Se il valore di tale forza supera il valore massimo del moto-riduttore il risultato una perdita di efficienza e un accorciamento della vita utile del moto-riduttore. Per il robot in esame, se la disposizione dei cavi accurata, ovvero il cavo arriva in direzione perpendicolare rispetto allasse dellalbero, tale criticit non sussiste o comunque trascurabile. Carico Radiale: Quello che potrebbe potenzialmente essere un problema il carico radiale, che definito come la massima forza che il riduttore pu sopportare in direzione perpendicolare all'albero di uscita. E' noto anche dalla meccanica degli azionamenti che il carico radiale uno di quei parametri che va sempre verificato nella scelta di un moto-riduttore. Questo carico, infatti, va a sollecitare a flessione l'albero e i relativi cuscinetti e va sommato alle altre forze agenti sull'albero che in generale dipendono dalla direzione del carico e dal verso di rotazione dellalbero. Perci, come viene riportato in [17] quando su un catalogo viene indicato il valore massimo del carico radiale, questo da intendersi nella situazione pi sfavorevole. Va poi tenuto in considerazione che, allungando l'albero di uscita del moto-riduttore, il leveraggio aumenta e conseguentemente aumenta lo sforzo sui cuscinetti. Una soluzione per eliminare il carico radiale quello di ricorrere ad un montaggio della puleggia su cuscinetti volventi. Coppia: Al fine di mantenere intatta lefficienza dei motoriduttori (quindi operare nella zona di sicurezza), necessario che, in ogni punto dellarea di lavoro, essa abbia valori inferiori a quello nominale.A questo punto, il precedente script per il calcolo del WFW, stato integrato inserendo le condizioni sulla tensione massima, data da quella che l'esigenza pi stringente tra carico radiale massimo e coppia inferiore alla coppia nominale. E stata considerata una geometria della base e dellend-effector ottimale, secondo quanto esposto al paragrafo 2.6, ovvero quella in cui sia base che end-effector hanno la forma di un triangolo equilatero. Per valutare i limiti sulle coppie necessario operare una riduzione delle tensioni all'albero di uscita del moto-riduttore.

Dove linverso del rapporto di riduzione e il rendimento della riduzione e la tensione ridotta allalbero di uscita del motoriduttore. Allora, esprimendo la condizione sulla tensione:

Dove il raggio della puleggia, che viene preso pari al diametro commerciale scelto, e il suo rendimento, che pu essere preso pari a 0.98. Ciascun valore della tensione stato poi diviso per un coefficiente di sicurezza pari a 1.2. Allora si pu giungere a 2 condizioni:

Di queste due condizioni, ovviamente, si va ad imporre quella pi stringente. Tale valore dipende solamente dal motore e dal diametro della puleggia. A questo punto il WFW dato dall'insieme dei punti che soddisfano su tutti e sei cavi, contemporaneamente la relazione:

Dove la tensione sulli-esimo cavo e la tensione massima ammissibile.

3.3.3: I risultati ottenutiPer il modello 3260, con il valore del diametro commerciale della puleggia, scelto al paragrafo 3.2 il limite pi stringente dato dal carico radiale. Infatti:

Per quanto riguarda il modello 3259, si ha invece un limite sulla coppia nominale, infatti:

La scelta pi appropriata sul motore, gi con questa prima osservazione, sembra essere quella del modello 3260. Analizzando poi i volumi nei due casi abbiamo conferma di ci. Infatti, se si considera larea di lavoro che si ottiene con i due modelli valutandola ad alcune altezze fissate, si ha che il modello 3260 nei punti pi vicini alla base, dove si ha un moto dellend-effector pi preciso, ma dove le tensioni sono decisamente pi elevate, ha un WFW sensibilmente maggiore.Son state considerate le aree di lavoro alle seguenti distanze dalla piattaforma fissa:

. I risultati sono schematizzati nelle due tabelle, dove vengono riportati, per ogni altezza, i valori minimi e massimi assunti dalle tensioni massime in quellarea:

Modello: 3259Spazio di lavoro alla quota Min. Max.

Nessun punto trovato

Nessun punto trovato

Nessun punto trovato

6 N9.2 N

2 N6 N

Tabella 3.3: Aree di lavoro ottenibili adottando il motoriduttore 3259

Modello:3260Spazio di lavoro alla quota Min. Max.

Nessun punto trovato

15 N20.8 N

14 N20.8 N

6 N14 N

2 N6 N

Tabella 3.4: Aree di lavoro ottenibili adottando il motoriduttore 3260

E qui ancora pi evidente come la scelta migliore debba essere il motoriduttore 3260E_0 dal momento che ha un volume notevolmente pi elevato, potendo operare ad altezze maggiori rispetto al 3259E_0.Inoltre la qualit e la precisione nel movimento del manipolatore risulta nettamente superiore quando si opera vicini alla base, in punti che per il motoriduttore 3259 sarebbero proibitivi, ma che sono invece perfettamente utilizzabile per il 3260. Se si considera per esempio di operare ad una distanza di dalla base: adottando il motoriduttore 3260 non si hanno problemi, dato che il valore massimo della tensione risulta sensibilmente inferiore al valore limite, e larea di lavoro quella massima per questa geometria di base ed end-effector. Operando con il 3259 si ha unarea di lavoro sensibilmente inferiore racchiusa dai punti di posa per il quale la tensione raggiunge il valore limite di . La precisione di movimentazione con i due modelli per la stessa, dal momento in cui si pu pensare che essa dipenda in un certo modo dalla tensione minima, dato che come detto un aumento della tensione comporta in genere un aumento della rigidezza del robot e conseguentemente una migliore precisione. Un caso pi emblematico pu essere quello di considerare una altezza per la quale adottando i motoriduttori 3260 si ha unarea che quasi pari a quella massima ottenibile, mentre per il modello 3259 non si hanno punti di lavoro a causa delle tensioni troppo elevate. Perci la scelta ricade sul modello 3260E_0.

Capitolo 3: La scelta dei motoriduttori e delle pulegge

Progettazione del prototipo

4.1: le soluzioni costruttive adottateIn questo capitolo vengono esaminate alcune soluzioni costruttive per quando riguarda il fissaggio del motore al telaio, il calettamento delle pulegge (di diametro ottimizzato secondo quanto riportato nel paragrafo 3.2) ai motori e infine lalloggiamento delle schede di controllo. Vengono presentati i modelli CAD di tre diverse soluzioni costruttive. La prima viene considerata la soluzione 0, di semplice costruzione e impiegata nella prima versione del prototipo. In questa prima variante infatti il robot non sar soggetto a carichi rilevanti e anzi se ne analizzer soprattutto il comportamento cinematico (la precisione dei motori, la bont di un eventuale algoritmo di controllo scritto per stabilire il movimento del robot e la verifica dellarea di lavoro). La seconda e la terza soluzione sono pensate per robot che operano con carichi importanti e dove necessario proteggere i motori da eccessivi carichi radiali. Queste due soluzioni vanno intese come proposte di primo tentativo, atte ad analizzare i problemi di montaggio e di realizzazione dei componenti. Il dimensionamento quindi dei vari componenti non oggetto di questa tesi.

4.1.1: Geometria del motore e della scheda di controlloIl produttore del motoriduttore fornisce sul sito un pdf della tavola 2D, nonch il file .step per l'apertura del disegno 3D con un software Cad. (in appendice disponibile il 2D del motore). Il moto-riduttore 3260E-0 un corpo di forma cilindrica, avente un albero di uscita (eccentrico rispetto all'asse del cilindro) che ha un diametro di 6 mm, una lunghezza di 15 mm e presenta una spianatura di 0.5 mm per una lunghezza di 11.5 mm. L'eccentricit dellalbero rispetto all'asse del cilindro di 7 mm. Sulla faccia da cui esce lalbero sono presenti 6 fori M3 profondi 3.5 mm, i cui centri sono posti su una circonferenza di diametro 31 mm. Sulla faccia opposta sono presenti due linguette necessarie per l'alimentazione del motore. La scheda di controllo adottata la scheda 1065, anche per essa disponibile un pdf del disegno 2D e un file .step per il disegno 3D (in appendice disponibile il 2D.Affinch il robot, una volto scritto l'algoritmo di controllo, funzioni in modo corretto, e tutte le valutazione fatte per il WFW siano valide, necessario che la base fissa, con cui stata valutata l'area di lavoro, sia definita in modo accurato, e in particolar modo la posizione della puleggia di ogni motore rispetto a quella degli occhielli, attraverso cui passano i cavi. Infatti, se si vuole limitare il pi possibile i carichi assiali, necessario che la posizione relativa tra i due sia ben definita. Un'altra esigenza la capacit di poter variare facilmente la posizione di ogni motoriduttore, per poter posizionare liberamente i motori al telaio. Per soddisfare questa esigenza una soluzione pu essere creare un unico blocco che tenga fisso a se il motore, cosi che, spostando e riferendo quest'ultimo si riesce a soddisfare entrambe le esigenze. Un'ulteriore richiesta quella di adottare componenti facilmente montabili e realizzabili, dato che la molteplicit dei moto-riduttori/scheda di controllo da bloccare (6) fa s che un risparmio in termini di tempo nell'esecuzione di un componente, oppure in quella di un montaggio, si traduca in un risparmio sei volte maggiore nella realizzazione complessiva del robot. Proprio per ridurre i tempi di esecuzione dei pezzi, una buona scelta pu essere quella di cercare di adottare, quando possibile, un numero maggiore di componenti in serie. Unulteriore vantaggio di utilizzare componenti in serie che, se questi sono comprati da un fornitore esterno, la molteplicit dei pezzi pu portare ad una riduzione del prezzo.

4.1.2: Calettamento della puleggia allalberoPrima di presentare le soluzione complessive possibile fare alcune considerazioni costruttive sul calettamento della puleggia. Per scegliere il tipo pi opportuno necessario per prima cosa valutare la geometria dellalbero su cui va calettata la puleggia. Dalla sua osservazione, infatti, si pu andare ad escludere subito alcune soluzioni che richiederebbero lavorazioni meccaniche su di esso o che comunque risulterebbero impraticabili. Figura 4.1: Modello della puleggia scelta, con boccola interna e foro radiale filettato

Considerando la presenza della spianatura una soluzione che si rivelata vincente quella che prevede luso di grani filettati per il bloccaggio. In questa soluzione si va a realizzare un foro filettato nella puleggia, entro il quale si avvita un grano di pressione, che va a battuta sulla spianatura nellalbero. Il grano filettato completamente annegato dentro alla puleggia.La puleggia commerciale acquistata per presenta un diametro interno pi grande di quello dellalbero, infatti ha un diametro interno di 8 mm a fronte di un diametro dellalbero di 6 mm. Allora, nelle situazioni in cui la puleggia viene calettata direttamente sullalbero, necessario interporre una boccola, forzata allinterno, in modo tale da portare il diametro interno al valore prefissato. Ovviamente anche la boccola deve avere un foro filettato, necessario a far passare il grano di pressione.

4.1.3: La prima soluzione costruttivaNella prima soluzione adottata si cercato di realizzare una struttura estremamente compatta in grado di ospitare in poco spazio il motore. E evidente dalla sua geometria, che lunico modo per bloccarlo ad un telaio sia quello di fissarlo mediante delle viti M3, che si vanno ad impegnare su alcuni dei 6 fori filettati.Figura 4.2: Modello della prima soluzione

Si pensato allora di adottare una soluzione in cui il motore viene calettato su un profilo in alluminio a forma di L. Questo supporto ha spessore 5 mm e su una faccia sono realizzati 6 fori che permettono il calettamento del motore. Sempre sulla stessa faccia stato eseguito il foro, eccentrico rispetto al centro della circonferenza delle viti, avente diametro pari al collare del motore. In questa maniera, infatti, il motore, viene correttamente riferito a beneficio di una buona ripetibilit di montaggio. I 6 fori per il collegamento tramite viti devono essere eseguiti con tolleranze adeguate al fine di garantire la intercambiabilit dei supporti con ciascun motore. Oltre ai 6 fori precedenti, ne sono stati eseguiti altri 4 sulla superficie inferiore del supporto a L, per consentire il bloccaggio al telaio mediante delle viti. Per montare il gruppo motore-scheda di controllo necessario per prima cosa inserire lalbero duscita e il risalto cilindrico allinterno del foro di supporto facendo andare a battuta il corpo cilindrico del motore con il supporto a L. A questo punto possibile fissare il motore sul supporto tramite le viti e si pu quindi montare la puleggia sullalbero andando a inserire il grano di pressione e bloccandolo. In questultima operazione necessario prestare attenzione affinch la puleggia non vada a contatto con il risalto sul riduttore. Lultima operazione vincolare il supporto al telaio.Figura 4.3: Dettaglio della lavorazione sull'albero di uscita del motoriduttore

4.1.4: La seconda soluzione costruttivaCome gi stato detto durante lintroduzione al paragrafo 4.1, nel caso si scelga di passare ad un prototipo di taglia maggiore, in grado di muovere oggetti aventi peso pi elevato, necessario adottare delle soluzioni che consentano al motoriduttore di resistere in maniera efficiente ai carichi imposti. In particolare modo, lavorando a pieno carico, necessario preoccuparsi di andare a limitare linfluenza del carico radiale. Fino a questo momento, infatti, stato demandato ai cuscinetti, gi presenti allinterno del motoriduttore, il compito di resistere a queste sollecitazioni. Quando per la massa da movimentare inizia ad essere rilevante, non pi possibile fare pieno affidamento in essi, ed perci necessario pensare ad una soluzione che vada a scaricare le sollecitazioni, causate dalle tensioni dei cavi, sul telaio. E perci necessario iniziare lo studio di una soluzione che preveda il montaggio di una coppia di cuscinetti (opportunamente distanziati) che devono poi essere bloccati e precaricati mediante un organo apposito (quale per esempio una ghiera). La prima soluzione (fig. 4.6 e 4.7) pensata di fatto unevoluzione di quella proposta al paragrafo precedente. Infatti ancora presente un blocco a forma di L che, in questo caso, ha dimensioni maggiori e presenta un numero pi elevato di fori sulla faccia centrale. Come sempre per iniziare a fare delle valutazioni costruttive necessario partire dallosservazione della geometria del motore. Per svincolarsi dalle diverse lunghezze dellalbero duscita (che a seconda della taglia dei motori pu essere molto variabile), si pensato di non calettare direttamente su di esso i due cuscinetti e i relativi organi di fissaggio e precarico. E stato quindi necessario adottare delle soluzioni che prevedono un componente intermedio, calettato sullalbero di uscita, sul quale poi vengono bloccati i due cuscinetti e la puleggia. Per quanto riguarda la scelta dei cuscinetti si osserva che, indirizzando in maniera opportuna la fune rispetto allasse del motoriduttore (mediante un occhiello), possibile scegliere la direzione in cui agisce la tensione nei cavi. Allora possibile guidare il cavo in modo tale che esso eserciti su tutti gli organi uno sforzo puramente radiale, senza quindi dare alcuna componente assiale. Allora possibile adottare come prima soluzione una coppia di cuscinetti radialiPer prima cosa bisogna stabilire alcune dimensioni del bicchiere (fig.4.4) ossia lorgano intermedio tra la puleggia e il motore. E evidente come questo debba avere un diametro interno pari allalbero del motoriduttore. Per quanto riguarda la lunghezza dellorgano, questa deve essere determinata dalle dimensioni dei restanti componenti. Come calettamento del bicchiere sullalbero lidea pi appropriata quella di adottare dei grani filettati, che vanno a premere contro la spianatura dellalbero. Figura 4.4:Il bicchiere di collegamento tra puleggia e albero,

Oltre al grano per necessario prevedere un sistema per riferire in direzione assiale la posizione del bicchiere rispetto allalbero. Infatti, avendo a che fare con dei cuscinetti, uneventuale errore di posizionamento del bicchiere in direzione assiale, comporterebbe limpossibilit di montarli. Per riferire in direzione assiale il bicchiere rispetto allalbero necessario effettuare delle lavorazioni su questultimo atte a creare uno spallamento, oppure a realizzare una cava in cui andare a inserire un seager per esterni. La soluzione rappresentata (fig. 4.3) quella che prevede la realizzazione di uno spallamento. E perci necessario andare ad effettuare delle lavorazioni sullalbero di uscita, che prevedano eventualmente la riesecuzione della spianat