stk352 analisis deret waktu model deret waktu tidak stasioner · analisis deret waktu model deret...

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 1 / 20

STK352

Analisis Deret Waktu

Model Deret Waktu Tidak StasionerPertemuan 7

Farid Mochamad AfendiDepartemen Statistika IPB

23 April 2008

contents

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI


REVIEW KESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

REVIEW KESTASIONERAN

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI


Review Kestasioneran

contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI


Mengacu kepada konsep weak stationarity, ∀t, k, s ≥ 1, suatuseries {Zt} dikatakan stasioner bila:


contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI



■ E(Zt) = E(Zt−k)


contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI



■ E(Zt) = E(Zt−k)■ V ar(Zt) = V ar(Zt−k)


contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI



■ E(Zt) = E(Zt−k)■ V ar(Zt) = V ar(Zt−k)■ Cov(Zt, Zs) = Cov(Zt−k, Zs−k)

Contoh Series Nonstasioner

contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI


■ Perhatikan series Zt = Zt−1 + at


contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI



■ Gambaran series tersebut adalah sebagai berikut

Z1 = a1

Z2 = a1 + a2

...

Zt = a1 + a2 + . . . + at


contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI




Z1 = a1

Z2 = a1 + a2

...

Zt = a1 + a2 + . . . + at

■ Bila a dipahami sebagai besarnya ’langkah’ maju ataumundur pada periode t, maka Zt adalah posisi ’randomwalker’ pada periode t.


contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI




Z1 = a1

Z2 = a1 + a2

...

Zt = a1 + a2 + . . . + at


■ E(Zt) = µt = 0; ∀t


contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI




Z1 = a1

Z2 = a1 + a2

...

Zt = a1 + a2 + . . . + at


■ E(Zt) = µt = 0; ∀t

■ V ar(Zt) = tσ2

a; ∀t


contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI




Z1 = a1

Z2 = a1 + a2

...

Zt = a1 + a2 + . . . + at


■ E(Zt) = µt = 0; ∀t

■ V ar(Zt) = tσ2

a; ∀t

■ Cov(Zt, Zs) = tσ2

a; untuk 1 ≤ t ≤ s


contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI




Z1 = a1

Z2 = a1 + a2

...

Zt = a1 + a2 + . . . + at


■ E(Zt) = µt = 0; ∀t

■ V ar(Zt) = tσ2

a; ∀t

■ Cov(Zt, Zs) = tσ2

a; untuk 1 ≤ t ≤ s

■ Corr(Zt, Zs) =√

ts; untuk 1 ≤ t ≤ s

Plot Series Random Walk

contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI


Gambar 1: Ilustrasi Random Walk

Plot Autokorelasi Random Walk

contents

REVIEWKESTASIONERAN


DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI


Gambar 2: Autokorelasi Random Walk

DIFFERENCING

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI


Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing


pada Random Walk



MODEL ARIMA

TRANSFORMASI


■ Ketidakstasioneran data pada rataannya dapat diatasidengan proses differencing (pembedaan), yaitu prosesmenyelisihkan data dengan data sebelumnya.

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing


pada Random Walk



MODEL ARIMA

TRANSFORMASI



◆ Pembedaan lag 1: Ut = Zt − Zt−1

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing


pada Random Walk



MODEL ARIMA

TRANSFORMASI




◆ Pembedaan lag 2: Vt = Zt − Zt−2

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing


pada Random Walk



MODEL ARIMA

TRANSFORMASI





■ Proses pembedaan ini dapat dituliskan:

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing


pada Random Walk



MODEL ARIMA

TRANSFORMASI






◆ pembedaan sekali: Ut = ▽Zt = Zt − Zt−1

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing


pada Random Walk



MODEL ARIMA

TRANSFORMASI







◆ pembedaan dua kali: Wt = ▽2Zt = ▽Ut = Ut − Ut−1

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing


pada Random Walk



MODEL ARIMA

TRANSFORMASI







◆ pembedaan dua kali: Wt = ▽2Zt = ▽Ut = Ut − Ut−1

■ Perhatikan bahwa Vt 6= Wt

Penerapan Differencing pada Random Walk

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing


pada Random Walk



MODEL ARIMA

TRANSFORMASI


■ Untuk proses Random Walk, pembedaan sekali telahmengatasi ketidakstasioneran

Wt = Zt − Zt−1

= Zt−1 + at − Zt−1

= at

Penerapan Differencing pada Random Walk

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing


pada Random Walk



MODEL ARIMA

TRANSFORMASI


■ Untuk proses Random Walk, pembedaan sekali telahmengatasi ketidakstasioneran

Wt = Zt − Zt−1

= Zt−1 + at − Zt−1

= at

■ Secara umum, pembedaan yang diperlukan maksimal hanya2 kali.

Random Walk Setelah Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing


pada Random Walk



MODEL ARIMA

TRANSFORMASI


Gambar 3: Random Walk Setelah Differencing Lag 1

Autokorelasi Random Walk Setelah Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing


pada Random Walk



MODEL ARIMA

TRANSFORMASI


Gambar 4: Autokorelasi Random Walk Setelah Differencing Lag1

MODEL ARIMA

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI


Model ARIMA

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI


■ Series {Zt} mengikuti model integrated

autoregressive-moving average bila hasil pembedaan ke-dWt = ▽dZt merupakan proses ARMA yang stasioner.

Model ARIMA

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI




■ Dengan kata lain, jika Wt adalah ARMA(p, q), maka Zt

adalah ARIMA(p, d, q).

Model ARIMA

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI




■ Dengan kata lain, jika Wt adalah ARMA(p, q), maka Zt

adalah ARIMA(p, d, q).■ Untuk ARIMA(p, 1, q) dengan Wt = Zt − Zt−1

Wt =φ1Wt−1 + φ2Wt−2 + . . . + φpWt−p

+ at − θ1at−1 − θ2at−2 − θqat−q

Model ARIMA lanjutan

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI


■ Penulisan model ini untuk series semula:

Zt − Zt−1 =φ1(Zt−1 − Zt−2) + φ2(Zt−2 − Zt−3) + . . .

+ φp(Zt−p − Zt−p−1)


Zt =(1 + φ1)Zt−1 + (φ2 − φ1)Zt−2

+ (φ3 − φ2)Zt−3 + . . . + (φp − φp−1)Zt−p


Model IMA(d, q)

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI


■ Bila proses tersebut tidak memuat komponenautoregressive, maka dinamakan integrated moving average

IMA(d, q);

Model IMA(d, q)

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI


■ Bila proses tersebut tidak memuat komponenautoregressive, maka dinamakan integrated moving average

IMA(d, q);■ Sebagai ilustrasi, untuk IMA(1,1):

Wt = at − θat−1

Zt − Zt−1 = at − θat−1

Zt = Zt−1 + at − θat−1

Model ARI(p, d)

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI


■ sementara bila komponen moving average yang tidak ada,maka dinamakan autoregressive integrated ARI(p, d).

Model ARI(p, d)

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI


■ sementara bila komponen moving average yang tidak ada,maka dinamakan autoregressive integrated ARI(p, d).

■ Untuk ARI(1,1):

Wt = φWt−1 + at

Zt − Zt−1 = φ(Zt−1 − Zt−2) + at

Zt = Zt−1 + φZt−1 − φZt−2 + at

Zt = (1 + φ)Zt−1 − φZt−2 + at

TRANSFORMASI

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

Transformasi Data


Transformasi Data

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

Transformasi Data


■ Terkadang, series data tidak stasioner dalam ragamnya.

Transformasi Data

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

Transformasi Data


■ Terkadang, series data tidak stasioner dalam ragamnya.■ Hal ini dapat diatasi dengan transformasi data, seperti

dengan logaritma atau dengan Transformasi Box-Cox.

Transformasi Data

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

Transformasi Data


■ Terkadang, series data tidak stasioner dalam ragamnya.■ Hal ini dapat diatasi dengan transformasi data, seperti

dengan logaritma atau dengan Transformasi Box-Cox.■ Bila data juga tidak stasioner dalam rataan, proses

transformasi dilakukan sebelum proses pembedaan.

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

Transformasi Data


TERIMA KASIH

stk352 analisis deret waktu model deret waktu tidak stasioner · analisis deret waktu model deret...

Documents