peramalan data deret berkala ... - digilib.unila.ac.iddigilib.unila.ac.id/22265/20/skripsi tanpa bab...
TRANSCRIPT
PERAMALAN DATA DERET BERKALA MENGGUNAKAN METODEPEMULUSAN EKSPONENSIAL TRIPLE
(Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2014)
(Skripsi)
Oleh
SELLA NOFRISKA SUDRIMO
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2016
ABSTRACT
FORECASTING PERIODIC DATA USING TRIPLE EXPONENTIALSMOOTHING METHOD
By
Sella Nofriska Sudrimo
The aim of this study is determined the best time series model to predict thenumber of passengers at Juanda Airport with a triple exponential smoothingmethod. The first step is to test the assuming stationer the data with graphs ACFand the unit root test, assuming trends with graphs time series and unit root testand then seasonal assumptions using time series charts and seasonal index. Thebest predicts of passengers at Juanda Airport is measured by the smallest value ofMean Absolute Percentage Error (MAPE) and Mean Absolute Deviation (MAD).
The results showed that the number of passengers at Juanda Airport is mostaffected by seasonal influences and less affected by the influence of the trend.
Keywords : Triple exponential smoothing method, MAPE ( Mean AbsolutePercentage Error ), MAD ( Mean Absolute Deviation ).
ABSTRAK
PERAMALAN DATA DERET BERKALA MENGGUNAKAN METODEPEMULUSAN EKSPONENSIAL TRIPLE
Oleh
SELLA NOFRISKA SUDRIMO
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan model deret waktu terbaik untukmeramalkan jumlah penumpang di Bandara Juanda dengan metode pemulusaneksponensial triple. Langkah pertama adalah menguji asumsi kestasioneran datadengan grafik ACF dan uji akar unit, asumsi trend dengan grafik deret waktu danuji akar unit dan asumsi musiman dengan menggunakan grafik deret waktu sertaindeks musiman. Model terbaik untuk meramalkan jumlah penumpang di BandaraJuanda adalah yang memiliki nilai Mean Absolute Persentage Error (MAPE) danMean Absolute Deviation (MAD) terkecil
Hasil penelitian menunjukkan bahwa jumlah penumpang di Bandara Juandasangat dipengaruhi oleh pengaruh musiman dan kurang dipengaruhi olehpengaruh trend.
Kata kunci: Metode pemulusan eksponensial triple, MAPE (Mean AbsolutePercentage Error), MAD (Mean Absolute Deviation)
PERAMALAN DATA DERET BERKALA MENGGUNAKAN METODEPEMULUSAN EKSPONENSIAL TRIPLE
(Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2014)
Oleh
SELLA NOFRISKA SUDRIMO
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tanjung Karang, Bandar Lampung pada tanggal 26
November 1994, merupakan anak kedua dari Bapak Ir. Sudrimo dan Ibu
Kamilawati.
Menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Xaverius Terbanggi Besar
pada tahun 1999-2000, Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD Xaverius
Terbanggi Besar pada tahun 2000-2006, kemudian bersekolah di SMP Xaverius 4
Bandar Lampung pada tahun 2006-2009, kemudian bersekolah di SMA Al-Azhar
3 Bandar Lampung pada tahun 2009-2012.
Pada tahun 2012 penulis terdaftar sebagai mahasiswa S1 Matematika di Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui Jalur
SBMPTN tertulis. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di Himpunan
Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) FMIPA Unila 2013/2014 (sebagai
anggota Bidang Eksternal) dan HIMATIKA FMIPA Unila 2014/2015 (sebagai
anggota Biro Dana dan Usaha.
Pada bulan Februari tahun 2015 melakukan Kerja Praktik (KP) di Badan Pusat
Statistik (BPS) Provinsi Lampung dan pada bulan Agustus tahun 2016
melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Wonokerto, kec. Tulang
Bawang Tengah, kab. Tulang Bawang Barat, Lampung.
PERSEMBAHAN
Dengan segala rasa syukur kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dalam
hidupku dan dengan segala kerendahan hati, kupesembahkan karya kecilku
untuk orang - orang yang telah memberi makna dalam hidupku.
Ayah dan Ibu tersayang yang telah menjadi motivasi terbesarku selama ini.
Kakakku Ridwan Benni Saputra yang menjadi penyemangatku untuk menjadi
adik yang bisa dibanggakan.
Orang yang selalu disampingku saat suka maupun duka Reno Bagus Saputra
Keluarga besar kutercinta yang selalu memberikan semangat dan dukungan.
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa, seluruh sahabat-sahabatku
dan Almamaterku Universitas Lampung
KATA INSPIRASI
“Maka Nikmat Tuhanmu Yang Mana Lagi Yang Kamu Dustakan ?”
(Q.S. Ar-Rahman 55)
Jika ingin sukses bersiaplah untuk diposes dan diuji
(Anonim)
Saat muda ini habiskan lah waktu kegagalan kita sehingga saat tua kita dapatmenghabiskan waktu kesuksesan kita
(Anonim)
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi
ini dapat diselesaikan. Skripsi dengan judul “Peramalan Data Deret Berkala
Menggunakan Pemulusan Eksponensial Triple” disusun sebagai salah satu syarat
memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) di Universitas Lampung.
Dengan ketulusan hati penulis ingin mengucapkan terimakasih banyak kepada :
1. Netti Herawati, Ph.D. selaku Dosen Pembimbing I, terimakasih untuk
bimbingan dan kesedian waktunya selama penyusunan skripsi ini.
2. Dr. Muslim Ansori selaku Dosen Pembimbing II dan Pembimbing Akademik,
terimakasih untuk bantuan dan masukannya selama penyusunan skripsi.
3. Nusyirwan, M.Si. selaku Dosen Penguji, terimakasih atas kesediannya untuk
menguji, memberikan saran dan kritik yang membangun dalam penyelesaian
skripsi ini.
4. Tiryono Ruby, P.hD. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
5. Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Matematika.
6. Keluargaku tercinta, Ibu yang tak pernah berhenti melantunkan doanya untuk
kesuksesanku, Ayah yang selalu mendukung dan memberikan banyak
pembelajaran hidup serta kakakku Ridwan Benni S yang senantiasa memberi
semangat dan dukungan untuk menyelesaikan skripsi ini
7. Keluarga kecilku di kampus, RUSUH (Anisa, Grita, Naelu, Lina, Citra, Hana,
dan Merda) atas bantuannya dan motivasinya selama ini.
8. Reno Bagus S yang selalu memberi motivasi, ilmu, dan waktunya sehingga
terselesaikannya skripsi ini.
9. Sahabat-sahabat seperjuangan matematika 2012.
10. Semua pihak yang telah membantu saya dalam menyusun skripsi ini.
11. Almamterku tercinta Universitas Lampung.
Akhir kata, penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi banyak pihak
Bandar Lampung, 2016
Penulis
SELLA NOFRISKA S
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR........................................................................................... iii
DAFTAR TABEL ............................................................................................... iv
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang dan Masalah .................................................... 11.2. Tujuan Penelitian...................................................................... 21.3. Manfaat Penelitian.................................................................... 2
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Deret Waktu ............................................................... 32.2 Definisi Musiman..................................................................... 32.3 Definisi Trend .......................................................................... 42.4 Definisi Siklis .......................................................................... 42.5 Metode Peramalan ................................................................... 52.6 Definisi Kestasioneran............................................................. 52.7 Uji Akar Unit ........................................................................... 62.8 Autokorelasi............................................................................. 82.9 Indeks Musiman....................................................................... 102.10 Fungsi Eksponensial dan Bobot Pemulusan Eksponensial...... 112.11 Deret Pangkat........................................................................... 122.12 Metode Pemulusan................................................................... 13
2.12.1 Metode Perataan............................................................ 132.12.2 Metode Pemulusan Eksponensial................................. 13
2.13 Metode Pemulusan Eksponensial Triple ................................. 152.14 Nilai Awal................................................................................ 202.15 Kriteria Kabaikan Model ........................................................ 21
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 233.2 Data Penelitian ......................................................................... 233.3 Metode Penelitian..................................................................... 24
ii
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Uji Asumsi Data ......................................................................... 264.1.1 Uji Stasioner ...................................................................... 264.1.1 Uji Trend ........................................................................... 274.1.2 Uji Musiman ..................................................................... 28
4.2 Nilai Awal .................................................................................. 294.2.1 Nilai Awal Untuk Pemulusan Eksponensial..................... 294.2.1 Nilai Awal Untuk Pemulusan Trend ................................. 304.2.2 Nilai Awal Untuk Pemulusan Musiman ........................... 30
4.3 Peramalan dengan Pemulusan Eksponensial Triple ................... 314.3.1 Penentuan Nilai Pembobotan , , Dan ......................... 314.3.2 Perhitungan Peramalan Pemulusan Eksponensial Triple .. 32
4.4 Pemilihan Model Terbaik ........................................................... 334.5 Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda pada Bulan
Januari 2015 - Desember 2015 ................................................... 35
V. KESIMPULAN ................................................................................ 39
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Jumlah Penumpang Pesawat di Bandara Juanda Tahun 2008-2014. ..... 23
2. Nilai pengujian asumsi data memiliki akar unit dengan menggunakanE-Views................................................................................................... 27
3. Nilai pengujian asumsi data mengandung trend dengan menggunakanE-Views................................................................................................... 28
4. Perhitungan Indeks Musiman.................................................................. 29
5. Nilai MAPE dan MAD untuk mencari model terbaik ............................ 34
6. Nilai Pemulusan dan Peramalan Jumlah Penumpang Bandara Juandadengan Model Terbaik ............................................................................ 35
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Grafik Musiman. ..................................................................................... 3
2. Grafik Trend............................................................................................ 4
3. Grafik Siklus. .......................................................................................... 4
4. Grafik ACF Jumlah Penumpang Bandara Juanda Tahun 2008-2014 ..... 26
5. Grafik Deret Waktu Jumlah Penumpang Bandara Juanda Tahun2008-2014 ............................................................................................... 28
7. Grafik Deret Waktu Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juandapada Bulan Januari 2015 – Desember 2015............................................ 38
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Peramalan merupakan dugaan atau perkiraan yang menyatakan terjadinya sesuatu
kejadian atau peristiwa untuk waktu yang akan datang. Peramalan dapat bersifat
kualitatif artinya tidak berbentuk angka misalnya ramalan cuaca seperti minggu
depan akan turun hujan dan sebagainya. Namun, ada juga yang bersifat
kuantitatif yakni berbentuk angka yang dinyatakan dalam bentuk bilangan
(Santoso dan Hamdani, 2007).
Metode pemulusan eksponensial merupakan metode yang dapat digunakan dalam
berbagai macam variasi pola data. Sesuai dengan kreterianya, untuk data dengan
pola dasar stasioner atau konstan, metode pemulusan eksponensial tunggal sangat
cocok digunakan, untuk mengatasi fluktuasi data. Sedangkan untuk data dengan
pola dasar linear, metode pemulusan eksponensial ganda sangat cocok digunakan.
Untuk pola data yang lain seperti kuadratik dapat digunakan metode pemulusan
eksponensial triple dan sebagainya.
Pada peneliti terdahulu (Lestari, 2006) telah dibahas pemulusan eksponensial
tunggal dan ganda. Pada pemulusan eksponensial tunggal digunakan untuk data
yang stasioner dan pemulusan eksponensial ganda digunakan untuk data yang
2
mengandung trend, namun keduanya tidak dapat digunakan untuk data yang
mengandung unsur musiman (Makridakis, dkk., 1999).
Maka dari itu penulis akan membahas metode pemulusan eksponensial triple atau
biasa dikenal dengan Holt’s Winter Method. Metode ini dapat digunakan untuk
data yang mengandung musiman dan trend. Metode eksponensial triple
merupakan pendekatan yang sangat penting dalam peramalan.
Dalam penelitian ini, akan dibahas peramalan data deret berkala menggunakan
pemulusan eksponensial triple.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk meramalkan data deret berkala menggunakan
pemulusan eksponensial triple.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini yaitu dapat menjadi referensi bagi pembaca apabila ingin
melakukan penelitian mengenai peramalan dengan data yang mengandung trend
dan musiman.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Deret Waktu
Analisis deret waktu merupakan serangkaian observasi terhadap suatu variabel
yang diambil secara beruntun berdasarkan interval waktu yang tetap (Wei, 2006).
Biasanya jarak atau interval dari waktu ke waktu sama. Pada umumnya
pengamatan dan pencatatan itu dilakukan dalam jangka waktu tertentu, misalnya
akhir tahun, tiap permulaan tahun, tiap sepuluh tahun, dan sebagainya
(Hadi,1995).
2.2 Definisi Musiman
Musiman didefinisikan sebagai suatu pola yang berubah sendiri setelah selang
waktu yang tetaap. Pola musiman dapat berupa kwartal (4 bulan), semesteran (6
bulan), atau tahunan (12 bulan) (Makridakis, dkk., 1992).
Gambar 1. Grafik Musiman
4
2.3 Definisi Trend
Jika dalam suatu deret terdapat gerakan naik ataupun turun dalam jangka panjang,
maka deret tersebut dikatakan deret yang mengandung unsur trend (Makridakis,
dkk., 1992).
20142012201020082006200420022000
180000000
160000000
140000000
120000000
100000000
80000000
60000000
40000000
20000000
Tahun
PDRB
(jut
aRup
iah)
S catterplot of PDRB (jutaRupiah) vs Tahun
Gambar 2. Grafik Trend
2.4 Definisi Siklis
Suatu deret berkala dikatakan mengandung siklis jika data tersebut dipengaruhi
oleh fluktuasi jangka panjang yang bisa terjadi secara periodik ataupun tidak
(Makridakis, dkk., 1992 )
Gambar 3. Grafik Siklus
5
2.5 Metode Peramalan
Peramalan merupakan dugaan atau perkiraan yang menyatakan terjadinya sesuatu
kejadian atau peristiwa untuk waktu yang akan datang. Peramalan dapat bersifat
kualitatif artinya tidak berbentuk angka misalnya ramalan cuaca seperti minggu
depan akan turun hujan dan sebagainya. Namun, ada juga yang bersifat kuantitatif
yakni berbentuk angka yang dinyatakan dalam bentuk bilangan (Santoso dan
Hamdani, 2007).
2.6 Definisi Kestasioneran
Jika proses pembangkitan yang mendasari suatu deret berkala didasarkan pada
nilai tengah ( ) konstan dan ragam ( ) yang konstan, maka deret berkala berupa
stasioner (Makridakis, dkk., 1992).
Ciri-ciri data yang stasioner:
1. Apabila diplot maka akan sering melewati sumbu horizontal.
2. Autokorelasinya akan menurun mendekati nol setelah lag kedua atau ketiga.
Stasioneritas dibagi menjadi 2 yaitu :
1. Stasioner dalam rata-rata
Stasioner dalam rata-rata adalah fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-
rata yang konstan, tidak bergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi
tersebut. Dari bentuk plot data dapat diketahui bahwa data tersebut stasioner
atau tidak stasioner. Apabila data tidak stasioner dalam rata-rata maka dapat
6
dilakukan pengurangan antar data sehingga data tersebut stasioner dalam rata-
rata.
2. Stasioner dalam ragam
Sebuah data deret waktu dikatakan stasioner dalam ragam apabila struktur dari
waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak
berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat dibantu dengan
menggunakan grafik deret waktu, yaitu dengan melihat fluktuasi data dari
waktu ke waktu. Apabila tidak stasioner dalam variansi maka perlu dilakukan
perhitungan dengan metode box-cox sehingga data tersebut stasioner dalam
variansi (Wei, 2006).
2.7 Uji Akar Unit
Uji Akar Unit dengan metode ADF (Augmented Dickey Fuller) dapat dilakukan
dengan melihat secara grafis sehingga dapat diketahui apakah pada variabel
mengandung trend atau tidak. Pada prinsipnya, uji ini dimaksudkan untuk
mengamati apakah koefisien tertentu dari model Autoregresif (AR) mempunyai
nilai satu atau tidak. Untuk mencari uji akar unit, pertama kita menghitung nilai
dari model persamaan berikut: = + (2.1)
Dimana adalah nilai galat dan merupakan nilai autoregresinya(−1 < < 1).Jika = 1, maka deret tersebut mengandung akar unit (mengandung trend).
Sedangkan apabila < 1, maka deret tersebut tidak mengandung akar unit
(stasioner).
7
Namun, kita tidak bisa memperkirakan persamaan 2.1 oleh Ordinary Least Square
(OLS) dan menguji hipotesis bahwa = 1 dengan uji t biasanya karena uji
tersebut sangat bias dalam kasus akar unit. Oleh karena itu kita memanipulasi
persamaan 2.1 dengan mengurangkan setiap sisi persamaan dengan , sehingga
persamaan menjadi:− = − + (2.2)∆ , = ( − 1) + (2.3)∆ , = + (2.4)
Dimana, ∆ adalah selisih antara Yt dan ∆ , = − serta = − 1.Selanjutnya, uji ADF dapat diterapkan dengan mengestimasi model berikut:∆ , = + + + ∆ + ∆ +⋯+ ∆ + (2.5)
Dimana , = + + + dengan ≠ 0, ≠ 0 dan = 0.merupakan persamaan untuk menentukan trend.
Dalam metode ADF, untuk menguji kestasioneran dapat dilakukan dengan
mengestimasi persamaaan 2.1 sebelumnya dan menguji apakah = 1 atau sama
dengan mengestimasi persamaan 2.4 dan menguji apakah = 0. Dickey fuller
menujukkan bahwa nilai koefisien akan mengikuti distribusi statistik (tau) dan
menyusun statistik sebagai titik kritis pengujian. Hal ini menyebabkan pengujian
dengan estimasi persamaan 2.4 dikenal sebagai uji Dickey Fuller. Distribusi
statistik kemudian dikembangkan lebih jauh oleh Mackinnon dan dikenal
sebagai distribusi statistik Mackinnon. Untuk pengujian augmented dickey fuller
dilakukan dengan menghitung nilai -statistik dengan rumus:= ( ) (2.6)
8
Hipotesis yang digunakan untuk menentukan apakah data deret mengandung akar
unit, yaitu:
H0 : = 0 (Mengandung akar unit atau tidak stasioner atau memiliki trend)
H1 : ≠ 0 (tidak mengandung akar unit atau stasioner)
Apabila | | < | |, maka H0 diterima, yang artinya data deret tidak
stasioner (Gujarati and Porter, 2009).
2.8 Autokorelasi
Autokorelasi merupakan suatu alat untuk menujukkan tingkat asosiasi atau
hubungan diantara variabel-variabel yang sama, tetapi waktu terjadinya berbeda.
Dengan mengetahui koefisien autokorelasi dapat diketahui ciri, pola dan jenis
data. Sehingga dapat mengidentifikasi model tentative yang disesuaikan dengan
data (Makridakis, dkk., 1992).
Dari proses stasioner suatu data deret waktu (Xt) diperoleh E(Xt) = µ dan variansi
Var (Xt) = E (Xt - µ)2 = σ2 , yang konstan dan kovarian Cov (Xt,Xt+k), yang
fungsinya hanya pada perbedaan waktu │t- (t-k)│. Maka dari itu, hasil tersebut
dapat ditulis sebagai kovariansi antara Xt dan Xt+k sebagai berikut := Cov (Xt,Xt+k) = E (Xt - µ)(Xt+k - µ) (2.7)
dan korelasi antara Xt dan Xt+kdidefinisikan sebagai= ( , )( ) ( ) = (2.8)
Dimana merupakan rata-rata data, merupakan autokovarians pada lag ke-k,
dan merupakan autokorelasi pada lag ke-k, serta t = waktu pengamatan ke t
untuk semua t adalah 1, 2, ..., dst.
9
Notasi ( ) ( )= . Sebagai fungsi dari k, disebut fungsi
autokovarian dan disebut fungsi autokorelasi (ACF). Dalam analisis deret
waktu, dan menggambarkan kovarian dan korelasi antara Xt dan Xt+k dari
proses yang sama, hanya dipisahkan oleh lag ke-k.
Fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi memiliki sifat-sifat sebagai
berikut :
1. = Var ( ) ; = 1. (2.9)
2. │ │ ≤ ;│ │ ≤ 1. (2.10)
3. = dan = (2.11)
untuk semua k, dan adalah fungsi yang sama dan simetrik lag ke-k = 0. Sifat
tersebut diperoleh dari perbedaan waktu antara dan . Oleh sebab itu, fungsi
autokorelasi sering hanya diplotkan untuk lag non negatif. Plot tersebut kadang
disebut korrelogram.
Pengujian koefisien autokorelasi :
H0 : = 0 (Koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan)
H1 : ≠ 0 (Koefisien autokorelasi berbeda secara signifikan)
Dimana jika terletak dalam selang persamaan 2.8, keputusannya belum cukup
bukti untuk menolak H0 sehingga dapat disimpulkan data stasioner. Sebaliknya,
jika terletak di luar selang persamaan 2.8, keputusannya belum cukup bukti
untuk terima H0 sehingga dapat disimpulkan data tidak stasioner (Wei, 2006).
Statistik uji : = (2.12)
10
dengan = ∑ ( ̅)( ̅)∑ ( ̅) (2.13)
SE ( ) = ∑ ≈ √ (2.14)
dimana:
= uji tSE ( ) = galat baku autokorelasi pada saat lag ke-k= autokorelasi pada saat lag ke-j
k = time lagT = banyak observasi dalam data deret waktu
Kriteria keputusan : tolak H0 jika nilai│t hitung│> tα/2,df dengan derajat bebas df =
t-1, t merupakan banyaknya data dan k adalah lag koefisien autokorelasi yang
diuji (Pankratz, 1991).
2.9 Indeks Musiman
Indeks musiman dapat digunakan untuk menguraikan perkiraan/ ramalan
penjualan tahunan menjadi perkiraan penjualan perbulan pada tahun mendatang.
Untuk mencari indeks musiman dapat menggunakan metode rata-rata sederhana,
yaitu dengan rumus
Indeks musiman = 100% 12 (2.15)
Dimana, merupakan rata-rata data bulan ke-i tiap tahun (i = 1,2,..,12) dan
merupakan rata-rata data tiap bulan pada tahun ke-j (j = 1,2,…,n).
Indeks musiman adalah suatu angka yang bervariasi terhadap nilai dasar 100. Jika
suatu periode musiman mempunyai nilai indeks 100 maka ini menujukkan bahwa
data tersebut tidak dipengaruhi oleh pengaruh musiman (Yulianto, 2012).
11
2.10 Fungsi Eksponensial dan Bobot Pemulusan Eksponensial
Fungsi eksponen diperkenalkan pertama kali oleh Leonhard Euler dengan
lambang . Fungsi eksponen didefinisikan bahwa huruf menyatakan bilangan
real positif unik sedemikian rupa sehingga ln = 1.
Fungsi eksponensial merupakan fungsi yang mempunyai satu konstanta baris dan
satu peubah eksponen, disebut fungsi eksponensial.== exp (ln )
= exp (x ln a)
= (2.16)
Persamaan 2.16 disebut fungsi eksponensial berbasis a dan x sebagai eksponen.
Definisi 2: untuk a>0 dan sebarang bilangan real x, maka
=(Purcell, dkk., 2004)
Bobot yang diberikan untuk setiap data pada model pemulusan eksponensial
menurun secara eksponensial, sebagaimana persamaan sebagai berikut:
Ft= + (1 − ) + (1 − ) +⋯+ (1 − ) (2.17)
Sehingga bobot pemulusan adalah (Y) = , (1 − ), (1 − )2, …, dst dan
membentuk suatu deret pangkat.
Secara umum persamaan 2.17 dituliskan sebagai berikut:
(Y) = (1 − )n (2.18)
yang menurun secara eksponensial (Makridakis, dkk., 1983).
12
2.11 Deret Pangkat
Teorema 1: Deret pangkat adalah konvergen seragam dan mutlak dalam sebarang
interval yang terletak seluruhnya di dalam interval konvergensinya.
Jika deret konvergen pada satu (atau kedua) titik ujung interval konvergensi, maka
kita dapat membuktikan suatu fungsi kontinu dan suku demi suku pada deret
dapat diintegrasikan sehingga menghasilkan integral.
Teorema 2: Teorema Abel. Ketika deret pangkat konvergen sampai dan termasuk
titik ujung dari interval konvergensinya, maka interval konvergensi seragam
tersebut juga diperluas hingga termasuk titik ujung ini.
Untuk penyederhanaan pembuktian, kita asumsikan deret pangkat sebagai∑ dengan titik ujung dari interval konvergensinya pada x =1, sehingga
deret tersebut sudah pasti konvergen untuk 0 ≤ ≤ 1. Dengan demikian, kita
harus memperlihatkan bahwa deret konvergen seragam dalam interval ini.
Misalkan ( ) = + + +⋯ (2.19)
Apabila − disubtitusikan pada , pada persamaan 2.19 dengan
demikian dapat ditulis sebagai berikut:( ) = ( − ) + ( − ) + ( − ) +⋯= + ( − ) + ( − ) +⋯= [ + (1 − ) + + +⋯ (2.20)
Dimana n > N dan N tidak tergantung pada x tertentu dalam interval 0 ≤ ≤ 1(Ayres and Medelson, 2012)
13
2.12 Metode Pemulusan
Metode pemulusan adalah metode peramalan yang dilakukan dengan cara
mengambil rata-rata dari nilai-nilai pada beberapa tahun untuk menaksir nilai
pada suatu tahun. Metode ini merupakan metode yang menghaluskan
gerak/pergerakan data, dari periode ke periode berikutnya. Metode ini dapat
dikelompokkan menjadi 2 kelompok: metode perataan dan metode pemulusan
eksponensial (Makridakis, dkk., 1992).
2.12.1 Metode Perataan
Metode perataan adalah metode yang memperlakukan data masa lalu yang
menjadi bagian dari perhitungan dengan bobot yang sama untuk nilai tengah dan
rata-rata bergerak tunggal dan bobot yang berbeda untuk rata-rata bergerak ganda
dan kombinasi rata-rata bergerak lainnya. Untuk semua kasus, tujuannya adalah
memanfaatkan data masa lalu untuk mengembangkan suatu peramalan
(Makridakis, dkk., 1992).
2.12.2 Metode Pemulusan Eksponensial
Metode pemulusan eksponensial merupakan metode yang dapat digunakan dalam
berbagai macam variasi pola data. Sesuai dengan kreterianya, untuk data dengan
pola dasar stasioner atau konstan, metode pemulusan eksponensial tunggal sangat
cocok digunakan, untuk mengatasi fluktuasi data. Sedangkan untuk data dengan
pola dasar linear, metode pemulusan eksponensial ganda sangat cocok digunakan.
14
Untuk pola data yang lain seperti kuadratik dapat digunakan metode pemulusan
eksponensial triple.
Metode pemulusan eksponensial yang mendasarkan, ramalan yang prinsip
perataan - perataan (penghalusan) galat masa lalu dengan menambahkan
persentase galat kepada persentase ramalan sebelumnya (Makridakis, dkk., 1992).
Persamaan berikut yang dapat digunakan untuk menghitung ramalan dengan
metode pemulusan eksponensial:= + [ − ] (2.21)
Dimana:
= dugaan baru atau nilai ramalan waktu t= dugaan atau nilai ramalan pada periode t-1 (periode waktu
terakhir)= data aktual pada periode sekarang.= konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < <1)− merupakan galat peramalan
Pada persamaan 2.18 dapat ditulis dalam bentuk:= + (1 − )[ ] (2.22)
Peramalan pada metode ini dapat ditulis sebagai berikut:
Ft = + (1 − ) (2.23)
Ft = + (1 − )[ + (1 − ) ] (2.24)
Ft = + (1 − ) + (1 − ) (2.25)
Ft = + (1 − ) + (1 − ) [ + (1 − ) ] (2.26)
Apabila proses pada persamaan 2.22 berulang, subtitusi dengan komponen
, dengan komponen dan seterusnya, maka hasilnya sebagai berikut:
Ft = + (1 − ) + (1 − ) + (1 − ) + (1 − ) +⋯+(1 − ) + (1 − ) (2.27)
Secara sederhana persamaan 2.23 dapat ditulis dalam notasi peramalan:
15
Ft = + (1 − ) (2.28)
dimana:
Ft = dugaan baru atau nilai ramalan untuk waktu t= data aktual pada periode sekarang= dugaan atau nilai ramalan pada periode t-1 (periode waktu
terakhir).
2.13 Metode Pemulusan Eksponensial Triple
Pada pemulusan eksponensial tunggal digunakan untuk data yang stasioner dan
pemulusan eksponensial ganda digunakan untuk data yang mengandung trend,
namun keduanya tidak dapat digunakan untuk data yang mengandung unsur
musiman (Makridakis, dkk., 1999).
Metode pemulusan eksponensial triple atau yang biasa dikenal dengan Holt’s
Winter Method merupakan metode peramalan yang dikemukakan oleh Holt
dengan menggunakan persamaan kuadrat. Metode ini lebih sesuai jika digunakan
untuk membuat peramalan dari suatu data yang berfluktuasi atau mengalami
gelombang pasang surut (Subagyo, 2002).
Metode ini dapat mengatasi masalah data dengan menggunakan pola komponen
data trend dan musiman yang tidak dapat diatasi oleh metode moving average dan
metode pemulusan eksponensial lainnya . Apabila identifikasi pada historis dari
data aktual permintaan menunjukkan adanya fluktuasi musiman, perlu dilakukan
penyesuaian terhadap pengaruh musiman itu melalui menghitung indeks
musiman. Sebagai contoh untuk menjelaskan pengaruh musiman menggunakan
angka indeks musiman (Triana, 2015).
16
Metode pemulusan eksponensial triple digunakan dalam peramalan data runtut
waktu yang mengikuti suatu pola musiman. Didasarkan pada 3 persamaan
pemulusan, yaitu: untuk unsur eksponensial, trend, dan musiman.
Persamaan metode pemulusan eksponensial secara umum ditulis sebagai berikut:= ( − ) += ( − ) += − += + (1 − ) (2.25)
Dimana
St = Pemulusan eksponensial pada tahun ke-txt = Data ke-t = konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1)
Persamaan 2.25 merupakan persamaan yang digunakan pada metode pemulusan
eksponensial tunggal dimana pada metode tersebut hanya menggunakan satu
konstanta pemulusan yaitu dengan nilai pembobotan 0 < < 1. Namun pada
metode pemulusan eksponensial tunggal tidak dapat digunakan untuk data yang
mengandung trend, sehingga Holt (1957) mengembangkan metode ini dengan
memasukkan unsur trend pada persamaan tersebut. Oleh karena itu, Holt
menambahkan unsur trend pada persamaan 2.25. Sehingga persamaan baru
tersebut dapat ditulis:= ( − − ) + += ( − − ) + += ( − − ) + += − + − += + (1 − ) + (1 − )= + ( − 1)( + ) (2.26)
Dimana:
17
St = Pemulusan eksponensial pada tahun ke-txt = Data ke-t
= pemulusan faktor musimanL = panjang musimanbt = pemulusan trend = konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1)
Persamaan 2.26 tersebut kemudian yang dikenal dengan metode pemulusan
eksponensial ganda. Metode ini juga biasa dikenal Holt’s Linear. Untuk
menghitung pemulusan trend nya digunakan persamaan sebagai berikut:= ( − ) + (1 − )= ( − ) + (1 − ).
.
.= ( − ) + (1 − ) (2.27)
Dimana:
= konstanta pembobot pemulusan untuk trend (0 < < 1)St = pemulusan eksponensial pada tahun ke-tbt = pemulusan trend− merupakan selisih antar pemulusan eksponensial
Karena menggunakan dua konstanta pemulusan yaitu dan , maka dari itu
metode tersebut dikenal metode pemulusan eksponensial ganda. Namun pada
metode pemulusan eksponensial ganda hanya dapat digunakan untuk data yang
mengandung trend tapi tidak dapat digunakan untuk data yang mengandung
musiman, sehingga Holt (1960) mengembangkan metode ini dengan memasukkan
unsur musiman pada data. Sehingga persamaan baru tersebut dapat ditulis:= ( − − )+ + −= + + ( − − − )= + + − − −= − + (1 − ) + (1 − )= ( − ) + (1 − )( + ) (2.28)
18
Dimana
St = Pemulusan eksponensial pada tahun ke-txt = Data ke-t
= pemulusan faktor musimanL = panjang musimanbt = pemulusan trend = konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1)
Persamaan 2.28 dikenal dengan metode pemulusan eksponensial triple. Metode
ini juga biasa dikenal Holt’s Winter. Karena pada metode ini menggunakan unsur
trend dan musiman maka perlu juga dilakukan perhitungan pemulusan trend dan
pemulusan musimannya. Persamaan untuk menghitung pemulusan trend ditulis
sebagai berikut: = ( − ) + (1 − ) (2.29)
Dimana:= konstanta pembobot pemulusan untuk trend (0 < < 1)
St = pemulusan eksponensial pada tahun ke-tbt = pemulusan trend− merupakan selisih antar pemulusan eksponensial
Selanjutnya persamaan untuk menghitung pemulusan musiman ditulis sebagai
berikut: = ( − ) + (1 − )= ( − ) + (1 − ).
.
.= ( − ) + (1 − ) (2.30)
Dimana:
= konstanta pembobot pemulusan untuk musiman (0 < < 1)= pemulusan faktor musiman
xt = Data ke-tL = panjang musiman (L=3, L=4, L=6, atau L=12)
19
Untuk menentukan konstanta pemulusan apabila data yang digunakan memiliki
pola historis yang tidak stabil maka nilai konstanta pemulusan memiliki nilai
yang mendekati 1, namun apabila data yang digunakan memiliki pola historis
yang tidak berfluktuasi atau relatif stabil maka nilai konstanta pemulusan
memiliki nilai yang mendekati 0.
Peramalan menggunakan metode pemulusan eksponensia triple yaitu dengan
menghitung pemulusan eksponensial, pemulusan trend, dan pemulusan musiman.
Setelah ketiga faktor ditemukan nilai pemulusannya, langkah terakhir adalah
peramalan data pada periode p yang akan datang dengan rumus:= + 1. += + 2. += + 3. +...= + +
(2.31)
Dimana:
= Nilai yang ingin diramalkan= pemulusan faktor musiman
L = panjang musimanSt = pemulusan eksponensial pada tahun ke-tbt = pemulusan trendp = periode waktu yang akan diramalkan
Metode ini menggunakan tiga konstanta pemulusan yaitu , , dan dengan nilai
pembobotannya berada antara 0 sampai 1 (Makridakis, dkk., 1999).
20
2.14 Nilai Awal
Nilai awal adalah nilai yang digunakan untuk menduga nilai awal pada koefisien, , … , . Jika data deret berkala tidak ada untuk memenuhi koefisien tersebut,
maka untuk menentukan nilai tersebut dapat dilakukan dengan menghitung nilai
prediksinya dengan menganalogikan dengan beberapa metode.
Berikut adalah metode yang digunakan untuk menentukan nilai awal :
1) Nilai awal untuk pemulusan eksponensial
Nilai awal untuk pemulusan total yaitu dengan menghitung rata-rata pada data
di tahun pertama. Jika ditulis dalam notasi adalah sebagai beriku:= ( + + +⋯+ )= ∑ (2.32)
Dimana,
atau = Nilai awal pemulusan eksponensialx = Data ke-tL = panjang periode musiman (L=3, L=4, L=6, atau L=12)
2) Nilai awal untuk pemulusan trend= + +⋯+= + +⋯+= + +⋯+= + +⋯+ (2.33)
Dimana,
atau = Nilai awal untuk faktor trendx = Data ke-tL = panjang periode musiman (L=3, L=4, L=6, atau L=12)
21
3) Nilai awal untuk pemulusan musiman= −= −= −..
.= − (2.34)
Dimana,
= Nilai awal untuk faktor musiman ke-kx = Data ke-tk = periode musiman, (k = 1,2,…,L)
(Makridakis, dkk., 1983).
2.15 Kriteria Kebaikan Model
Dalam melakukan permalan, ada beberapa metode yang digunakan untuk mencari
ramalannya. Dari beberapa metode tersebut akan dicari metode manakah yang
paling baik dan cocok untuk meramalkan data tertentu. Sebuah model dengan
galat peramalan terkecil tentunya akan dipilih untuk melakukan prediksi di masa
mendatang. Besarnya galat tersebut dapat dihitung melalui ukuran galat
peramalan, sebagai berikut :
a. Mean Absolute Precentage Error (MAPE)
Persentase galat rata – rata mutlak (MAPE) memberikan petunjuk seberapa
besar galat peramalan dibandingkan dengan nilai sebenarnya.
= ( ) + ( ) +⋯+ ( ) × 100= ∑ 100 (2.35)
22
Dimana :
n= banyaknya data yang diamati= peramalan ke-t
Yt = data ke-t
Dimana suatu model data akan memiliki kinerja yang sangat baik apabila nilai
MAPE dibawah 10%
b. Mean Absolute Deviation (MAD)
Simpangan rata-rata MAD mengukur akurasi peramalan dengan merata-
ratakan nilai absolut galat peramalan. Nilai galat diukur dalam unit yang sama
seperti pada data aslinya
= − + − + − +⋯+ −= ∑ − (2.36)
Dimana:n= banyaknya data yang diamati
= peramalan ke-tYt = data ke-t
(Makridakis, dkk., 1999).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil dan semester ganjil Tahun Ajaran
2015/2016 bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data penumpang Bandara Juanda
pada tahun 2008-2014. Data tersebut merupakan data sekunder yang diperoleh
dari Badan Pusat Statistik (BPS). Data tersebut adalah sebagai berikut:
Tabel 1. Data Jumlah Penumpang di Bandara Juanda Tahun 2008-2014
TahunBulan 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Jan 36783 37289 45980 48350 52029 75029 76063Feb 30831 34154 36094 44405 50785 59691 66733Mar 36016 38497 44646 54560 57386 61132 72501Apr 33293 35404 39799 45742 52720 60353 68315May 34617 37981 39363 50127 52604 64384 71341Jun 41212 44522 48620 58210 59982 71637 71210Jul 40251 41238 45032 52658 48206 55163 55537
Aug 37648 36308 38335 49643 57501 92622 80665Sep 34031 41741 55997 63390 69700 84801 69489Oct 46388 52822 50353 58000 64800 76940 98232Nov 42627 47911 55043 52940 65061 74757 74874Dec 46024 54584 61665 63347 68807 92658 83161
24
3.3 Metode Penelitian
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah
1. Menguji Asumsi
A. Stasioner
1) Mengidentifikasi dengan grafik fungsi autokorelasi (ACF).
2) Menggunakan uji akar unit dengan metode uji statistik Augmented
Dickey-Fuller.
a) Menentukan nilai thit ADF dengan uji statistik dengan
menggunakan software E-Views.
b) Menentukan nilai kritik untuk thit dengan rumus pada persamaan
2.6 dengan nilai taraf uji 1%, 5%, dan 10% menggunakan software
E-Views.
c) Menguji hipotesis untuk masing-masing .
B. Trend1) Menyajikan grafik deret waktu. Apabila grafik deret waktu
menunjukkan kecenderungan naik atau turun, maka data mengandung
trend.
2) Menggunakan uji akar unit dengan metode uji Augmented Dickey-
Fuller.
C. Musiman
1) Menyajikan grafik deret waktu
2) Uji data musiman menggunakan indeks musiman yang dapat dihitung
dengan metode rata-rata sederhana.
25
2. Nilai awal
A. Nilai awal untuk pemulusan eksponensial
= 1 ∑ =1 (2.32)
B. Nilai awal untuk pemulusan trend= + +⋯+ (2.33)
C. Nilai awal untuk pemulusan musiman= − (2.34)
3. Menghitung nilai pemulusan eksponensial triple sebagai berikut:
A. Pemulusan keseluruhan= ∙ ( − ) + (1 − ) ∙ ( + ) (2.28)
B. Penghalusan trend= ∙ ( − ) + (1 − ) ∙ (2.29)
C. Penghalusan musiman= ∙ ( − ) + (1 − ) ∙ (2.30)
4. Menghitung peramalan pemulusan eksponensial triple dengan := + + (2.31)
5. Memilih model pemulusan eksponensial tripel terbaik dengan melihat nilai
kesalahan (error) terkecil. = ∑ ( ) × 100 (2.35)= ∑ |( − )| (2.36)
V. KESIMPULAN
1. Data jumlah penumpang di bandara Juanda pada tahun 2008 sampai 2014
mengandung faktor trend dan faktor musiman sehingga dapat diramalkan
menggunakan metode pemulusan eksponensial triple.
2. Data jumlah penumpang di bandara Juanda pada bulan Januari 2008 sampai
Desember 2014 memiliki pola historis yang tidak berfluktuasi (relatif stabil)
sehingga konstanta pemulusan eksponensial ( ) yang baik digunakan adalah
yang memiliki nilai mendekati 0
3. Nilai galat terkecil pada MAPE dan MAD berturut-turut adalah 0.553261%
dan 273.7696 yaitu pada = 0.0000001, = 0.0001, dan = 0.9834
4. Banyaknya penumpang pada bandara tersebut sangat dipengaruhi oleh
pengaruh musiman namun kurang dipengaruhi oleh faktor trend sehingga nilai
peramalan yang dihasilkan tidak jauh berbeda dengan nilai pada data
sebelumnya.
DAFTAR PUSTAKA
Ayres, F. dan Medelson, E. 2012. Schaum’s Outline of Calculus. Edisi 6.McGraw-Hill, New York.
Gujarati, D. N. dan Porter, D. C. 2009. Basic Econometrics. McGraw-Hill, NewYork.
Hadi, S.1995. Statistik 2. Andi Offset, Yogyakarta.
Makridakis, S., Spyros, dan Wheelwright, S. C. 1983. Forecasting Methods andApplication. Jhon Wiley and son, New York.
Makridakis, S., Wheelwright, S. C., dan McGee, V. E. 1992. Metode dan AplikasiPeramalan. Edisi Kedua. Terjemahan Untung Sus Andriyanto. Erlangga, Jakarta.
Makridakis, S., Spyros, dan Wheelwright, S. C. 1999. Forecasting Methods andApplication. Erlangga, Jakarta.
Pankratz, A. 1991. Forecasting with Dynamic Regression Models.WilleyIntersciences Publication, Canada.
Santoso, P. B. dan Hamdani, M. 2007. Statistika Deskriptif dalam Bidang Ekonomidan Niaga. Erlangga, Jakarta.
Subagyo, P.1986. Forecasting Konsep dan Aplikasi. BPFE, Yogyakarta.
Triana, R. 2015. Aplikasi Permalan Penjualan Menggunakan Metode WinterPada Milkiwae. UPN Veteran, Yogyakarta.
Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate MethodsSecond Edition. Pearson Education Inc., Canada.
Yulianto, M. A. 2012. Analisa Time Series. 30 November 2015.https://digensia.wordpress.com/2012/08/24/analisa-time-series.