sterowanie procesami ciągłymi‚ad...sterowanie procesami ciągłymi prof. dr hab. inż....

SterowanieProcesamiCiągłymi

prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.

Wojciech Kurek

Koncepcjazmiennych stanu

Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu

Przykład 1.1 -Układ RC

Przykład 1.2 -Układ RL

Przykład 1.3 -System wirnik -masa

Sterowanie Procesami CiągłymiOpis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu

prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś mgr inż.Wojciech Kurek

27.09.2010, Gdańsk



Wojciech Kurek






Koncepcja zmiennych stanu

Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej:

R

C wyjściey(t)=Vc(t)

wejscieu(t)

Niech u(t) = 2+ sin(t) dla t t0 gdzie t0 to chwilapoczątkowa.Co jeszcze oprócz sygnału wejściowego powinniśmy wiedzieć,aby móc wyznaczyć odpowiedź y(t), dla t t0?

Jest to wartość Vc(t) zależna od ładunku zmagazynowanegow kondensatorze w chwili początkowej t = t0.



Wojciech Kurek







Znając Vc(t) nie musimy znać historii obiektu RC (Systemudynamicznego RC) w odniesieniu do chwili t = t0. Znaczy toże nie musimy znać u(t) dla t < t0, co można sobiewyobrazić byłoby bardzo wymagającym założeniem.

Wartość Vc(t0) jest warunkiem początkowym dla naszegosystemu, którym zaczynamy sterować w chwili t = t0.



Wojciech Kurek







Zmienne stanu

Zmienne stanu obiektu dynamicznego to takie zmienne którerazem sumują przeszłość obiektu (systemu).Zmienna stanu przeważnie oznaczamy: xi ,

x =

∣∣∣∣∣∣∣x1...xn

∣∣∣∣∣∣∣



Wojciech Kurek







System dynamiczny

x

u(t)wejście

y(t)wyjście

Niech x(t0) będzie wartością stanu obiektu w chwili t = t0(warunek początkowy)u(t), t t0 jest wejściem obiektu.Wówczas odpowiedz systemu y(t) jest jednoznacznieokreślona dla każdego t t0.



Wojciech Kurek






Trajektoria stanu

x2

x3

x1

x(t0)

x(t1)

x(t2) x(tn)

Trajektoria systemu dynamicznego startująca w punkciex(t0) w przestrzeni stanu.



Wojciech Kurek






Równania stanu obiektu dynamicznego

dxdt

= f (x(t), u(t))

I równania stanu reprezentują dynamikę systemuI są one równaniami różniczkowymi pierwszego rzęduI równania te wyrażają pierwszą pochodną po czasiewektora stanu jako ogólną nieliniową funkcję f (,),wektora stanu i wejść

Znając warunek początkowy (stan początkowy) x(t0) orazwejście u(t) dla t t0 można rozwiązać równania stanuuzyskując trajektorie stanu x(t) dla t t0.



Wojciech Kurek






Równania wyjścia obiektu dynamicznego

y(t) = h(x(t), u(t))

I znając stan x(t) w chwili t oraz wejście u(t) w chwili t,wyjście systemu y(t) w chwili t wyznaczamy z równańwyjść 8.

I równania wyjść sa algebraiczne zatem nie ma w nichdynamiki.

Równania stanu razem z równaniami wyjść stanowiąkompletna reprezentację relacji wejście - wyjście systemu wprzestrzeni stanu.



Wojciech Kurek






Opis w przestrzeni stanu

Zmienne stanu są zmiennymi łączącymi wyjście y(t) zwejściem u(t)

równania stanu

równania wyjść

u(t) x(t) y(t)

relacja wejście wyjście w przestrzeni stanu

Opis SD w przestrzeni stanu jest ważny zarówno dlasystemów liniowych jak i nieliniowych w odróżnieniu odtransmitancji która można stosować jedynie dla systemówliniowych.



Wojciech Kurek






Przykład 1.1 - Układ RC

Rozważmy układ przedstawiony na początku wykładu:

R

C wyjściey(t)=Vc(t)

wejscieu(t)

Relacja wejście wyjście dla powyższego obiektu może zostaćprzestawiona w następujący sposób

RCu(t) Vc(t)



Wojciech Kurek







Wiadomo, że układ w przykładzie 1.1 opisany jestnastępującym równaniem różniczkowym:

dVc(t)dt

= − 1RCVc(t) +

1RCu(t)

y(t) = Vc(t)

Definiujemy

Zmienną stanu jako:x , Vc

oraz wyjście obiektuy , Vc



Wojciech Kurek







Po przekształceniu równania opisującego dynamikę systemuRC do opisu w przestrzeni stanu otrzymujemy


{x(t) = − 1RC x(t) + 1

RC u(t) równanie stanuy(t) = x(t) równanie wyjścia



Wojciech Kurek






Przykład 1.2 - Układ RL

Rozważmy teraz przykładowy układ RL

R

wejscieu(t)

L

wyjściei(t)

Relacja wejście wyjście dla powyższego systemu jestnastępująca

RLu(t) i(t)



Wojciech Kurek







Wiadomo, że układ w przykładzie 1.2 opisany jestnastępującym równaniem różniczkowym:

Ri(t) + Ldi(t)dt

= u(t)

di(t)dt

= −RLi(t) +

1Lu(t)

Definiujemy

Zmienną stanu jako:x , i

oraz wyjście obiektuy , i



Wojciech Kurek







Po przekształceniu równania systemu RL do opisu wprzestrzeni stanu otrzymujemy


{x(t) = −RL x(t) + 1

Lu(t) równanie stanuy(t) = x(t) równanie wyjścia



Wojciech Kurek






Przykład 1.3 - System wirnik - masa

Rozpatrzmy teraz system dynamiczny składający się zobracającej masy na wale.

masa

moment obrotowy wejściowy T(t)

moment oporowyTt(t)

położenie kątowe

masy - wyjście

Wejściem do tego systemu jest zewnętrzny momentobrotowy, który musi przeciwdziałać momentowi tarciaTt(t) = B dΘdt oraz inercji masy znajdującej się na wale.Wyjściem układu jest położenie kątowe masy Θ.



Wojciech Kurek







Równanie dynamiki systemu

Równanie ruchu systemu otrzymujemy z prawa Newtona

Jd2Θdt2

= T (t)− B dΘ

dt(1)

Naturalnie otrzymujemy:

u(t) = T (t) (2)

y(t) = Θ(t)

Jednak (1) jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, anie pierwszego.



Wojciech Kurek







Wiadomo z matematyki, że aby rozwiązać (1) trzeba znaćwarunki początkowe dla niewiadomej funkcji Θ(t) dla t t0.

I początkowa wartość Θ(t), czyli Θ(t0)I początkowa wartość pochodnej dΘdt , czyli Θ(t0).

Zmienne stanu definiujemy więc jako

x1 , Θ - położeniex2 , (Θ) - prędkość

(3)



Wojciech Kurek






Przykład 1.3 - System wirnik - masaRównania stanu

x1(t) , Θ(t) = x2(t)x1(t) = x2(t) pierwsze równanie stanu

Następnie korzystając z równań (1, 2, 3) otrzymujemy:

Jddt

(dΘ

dt

)= u(t)− B dΘ

dt

Jx2(t) = u(t)− Bx2(t)

Drugie równanie stanu

x2(t) = −BJx2(t) +

1Ju(t)



Wojciech Kurek






Przykład 1.3 - System wirnik - masaRównanie wyjścia

Równanie wyjścia

y(t) = Θ(t) = x1(t)

y(t) = x1(t)



Wojciech Kurek






Przykład 1.3 - System wirnik - masaOpis systemu w przestrzeni stanu

Przestawienie w postaci układu równań

x1(t) = x2(t) pierwsze równanie stanux2(t) = −BJ x2(t) + 1

J u(t) drugie równanie stanuy(t) = x1(t) równanie wyjścia



Wojciech Kurek







Przedstawienie w postaci macierzowej

x(t) =

[0 10 −BJ

]︸︷︷︸macierz stanu A

x(t) +

[01J

]︸︷︷︸

macierz sterowania B

u(t)

y(t) =[1 0

]︸︷︷︸

macierz wyjścia C

x(t)



Wojciech Kurek







Przedstawienie w postaci macierzowej

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

sterowanie procesami ciągłymi‚ad...sterowanie procesami ciągłymi prof. dr hab. inż....

Documents