statistika dan probabilitas

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan 10Universitas Mercu Buana

MODUL 10

STATISTIKA DAN PROBABILITAS 10.1 MATERI KULIAH : Pengertian umum distribusi normal.

10.2 POKOK BAHASAN :

Pengertian tentang distribusi - F

Oleh Ir. Nunung Widyaningsih,Pg.Dip.(Eng)

10.3 DISTRIBUSI F-TEST 10.3.1 Uraian dan Contoh

10.3.2 Definisi

Distribusi – F mempunyai bentuk seperti:

( )

( )( ) 2/12

22

21

1

)(Prob υυ

υ

υυ +

−

+=

FFcF

Dimana:

C : constant normalisasi

υ1 : “numerator degree of freedom”, dapat digunakan pada X

: “denominator degree of freedom”, dapat digunakan pada Y υ2

Statistika dan Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 10

2

10.3.2.2. Parameter-parameter distribusi F antara lain terdiri dari:

1. F ⟨ 0

2. Median = 1.0 (mean ν1.0)

3. Mendekati normal distribusi dengan 2 degree of freedom υ1 (numerator) dan

υ2 (denominator) υ⊄ dengan υ = 1.0 dan berkurangnya nilai varians dengan

bertambah besarnya jumlah sampel.

4. Non-symetrik

5. Tidak menjadi soal bila pemilihan varians rasio seperti X banding Y atau Y

banding X, keduanya adalah F – Distribusi tetapi dengan penyesuaian

degree of freedomnya.

10.3.2.3 Teorema

Dinyatakan dengan (υ1, υ2) dengan υ1, υ2 degree of freedom, sehingga kita dapatkan:

( ) ( ) ( )12211 ,

1,υυ

υυα

α ff =−

Contoh:

Dari Tabel diberikan fα hanya pada α = 0.025 danα = 0.05

( ) ( ) ( ) 246.006.41

6,10110,6

05.0095.0 ===

ff


3

Jika suatu sampel random adalah n1 dan n2 adalah diambil dari suatu normal distribusi

dengan varians υ12 dan υ2

2. S12 dan S2

2 adalah varians dari sampel random independen,

sehingga;

22

21

21

22

22

22

21

21

SS

S

S

Fσσ

σ

σ==

Mempunyai F – Distribusi dengan υ1 = n1 – 1 dan υ2 = n2 – 1 degree of freedom.

( )( )

( )( )freedom. of degree

1dan 1dengan F -angkasuatu adalah ,dan kanan, ke /2 area pada

freedom of degree 1dan 1dengan F -angkasuatu adalah , Dimana

1122122

2211212

−=−=

−=−=

nnf

nnf

υυυυα

υυυυ

α

α

Dengan kata lain dapat kita tuliskan kembali menjadi,


4

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ,dan , dimana

1,,

212

2121

212

2121

υυυυ

αυυυυ

αα

αα

ff

fFfP

−

−−=⟨⟨⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

adalah suatu distribusi – F dengan υ dan1 υ2 degree of freedom di bawah area dari 1 - α

/2 dan α /2. Maka dapat dituliskan kembali pada menjadi,

( )( ) ( )( ) 1,, 2122

22

1

21

22

2121

αυυσσ

υυ αα −=⟨⟨⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−f

SS

fP

Dengan mengalikan tiap bagian dengan S22/ S1

2 maka kita dapatkan,

( )( ) ( )( ) αυυσ

συυ αα

−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⟨⟨

−

1,

1,

1

2121

22

21

22

21

212

22

21

fSS

fSSP

( )( ) ( )122/21

21 ,1dengan ,an menggantikDengan

υυυυ

αα f

f−

maka,

( )( ) ( )( ) αυυσσ

υυ αα

−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⟨⟨ 1,

,1

1222

2

21

22

21

212

22

21 f

SS

fSSP

Jika S12 dan S2

2 adalah varians dari suatu sampel independen n12 dan n2

2 dari populasi

normal, sehingga (1 -α)100% confidence interval untuk S 12/ S 2

2 adalah,


5

( )( ) ( )( )1222

2

21

22

21

212

22

21 ,

,1 υυ

σσ

υυ αα

fSS

fSS

⟨⟨

Contoh:

Kita memiliki data adalah sebagai berikut; n1 = 15, n2 = 12, S1=3.07, S2=0.80.

Dengan 98% confidence interval, α = 0.02.

Dengan interpolasi ke Tabel – F didapat;

( ) ( ) 87.314,11dan 3.411,14 01.001.0 ≈≈ ff

991.56425.3

)87.3(80.007.3

30.41

80.007.3

22

21

2

2

22

21

2

2

⟨⟨

⟨⟨⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σσ

σσ

Sehingga, pada 98% confidence interval untuk S 12/ S 2

2 adalah sebagai berikut;

( ) ( ) ( ) ( ) αυυσσ

υυ αα

−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⟨⟨ 1,

,1

1222

2

21

22

21

212

22

21 f

SS

fSS

P

Sehingga untuk 98% confidence interval pada S 1/ S 2 adalah;

549.7851.1 22

21 ⟨⟨

σσ

Catatan:

Untuk sampel n1 dan n2 dimana S12 dan S2

2 adalah varians untuk 2 sampel dengan

υ1 = n1 – 1 dan υ2 = n2 – 1 degree of freedom. Bidang kritis dari α bila hubungannya

dengan one-sided alternatives ( alternatif dr satu sisi) dimana bila;


6

( ) ( )( )21

22

21

2112

22

1

maka

maka

υυσσ

υυσσ

α

α

−⟩⟩

−⟨⟨ −

ff

ff

Bila two-sided alternatives (alternatif dua sisi) untuk; S22/ S1

2maka bidang kritisnya

adalah;

( ) ( ) ( )212/212/1 dan υυυυ αα −⟩−⟨ − ffff

one-sided alternatives ( alternatif dr satu sisi)


7

two-sided alternatives (alternatif dua sisi)

(1-α)

/2

( )212/ ( )( )212/1 υυα −−fυ υα −f

10.4 Latihan

Petunjuk: Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan seksama.

1. Suatu data diambil dari hasil penyelidikan dimana 2 merek detector dibandingkan. 7

pengukuran dilakukan dengan merek detector A, dan 6 pengukuran dilakukan untuk

detector B. Diperoleh data sebagai berikut;

0.95 0.96 0.82 0.78 0.71 0.86 0.099 Merek A

0.89 0.91 0.94 0.91 0.90 0.89 Merek B

Dengan model distribusi normal, bandingkan


8

a) Variansi hasil pengukuran pada kedua merek tersebut dengan interval konfidensi

(confidence interval) 90%.

b) Hitung rata-rata hasil pengukuran pada merek tersebut dengan α = 0.10

(anggaplah S22/ S1

2 ).

2. Suatu perusahaan elektronik melakukan uji coba hipotesis dua macam kualitas hasil

produksi. Untuk itu diaadakan percobaan-percobaan, dan diperoleh hasil-hasil

sebagai berikut:

10 produk kualitas A mempunyai ketahanan hidup rata-rata 2600 jam dengan deviasi

stadard 300 jam.

15 produk kualitas B mempuyai ketahanan hidup rata-rata 2400 jam dengan deviasi

stadard 250 jam.

Berdasarkan hasil percobaan diatas, apakah kita percaya bahwa kedua kualitas

tersebut berbeda ketahanan hidupnya? (dianggap distribusi kedua adalah populasi

normal dengan varians yg sama).

3. Seorang dokter menyelidiki apakah cara pengobatan tertentu menyebabkan pasien

kehilangan tidur. Dengan menggunakan suatu sampel dengan 10 orang pasien, a)

dicatat banyaknya tidur (dalam jam) untuk satu minggu sebelum pengobatan, dan b)

untuk satu minggu setelah pengobatan. Berdasarkan data berikut, ujilah hipotesis

bahwa pengobatan tidak mengurangi tidur seseorang, dengan alternatif interval

konfidensinya 0.05.

Pasien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

51 48 58 44 61 55 59 50 48 52 Sebelum

47 46 60 45 54 49 52 47 50 50 Sesudah


statistika dan probabilitas

Documents