statistical process control-solved examples

8/19/2019 Statistical process control-solved examples

1/36


2/36

SADRŽAJ

1 UVOD I MOTIVACIJA ................................................................................. 1

2 PRAKTIČNA PRIMJENA KONTROLNIH KARATA ............................. 2

2.1 Primjer 1. - Zadatak 15-91 i 15-92 iz (1) ....................................................................... 2

2.2 Primjer 2. – Zadatak 15-21 iz (1) ................................................................................ 10


2.4 Primjer 4. – Zadatak 4.8 iz (2) ..................................................................................... 17



2.7 Primjer 7. – Zadatak 15-93 iz (1) ............................................................................... 28

2.8 Primjer 8. – Zadatak 8.1 iz (3) ..................................................................................... 32 3 LITERATURA .............................................................................................. 34


3/36

STATISTIČKA KONTROLA PROCESA – KONTROLNE KARTE

1

1 UVOD I MOTIVACIJA

U svom radu stručnjaci iz područja industrijskog inženjerstva u velikom broju slučajeva

susreću se zadacima koji se odnose na optimizacijuodreĎenih vrsta procesa. Metrika

uspješnosti spomenute vrste poslova uglavnom uključuje odreĎene ekonomske (npr. obrtaj

zaliha) ili tehničke pokazatelje (npr. vrijeme izmjene alata), dok se značajke kvalitete procesa

podrazumijevaju bez stvarnog poznavanja varijacija procesa. Pristup bilo kakvoj vrsti

optimizacije bez stvarnog znanja o rasipanju odabranog procesa ne može rezultirati

poboljšanjem kvalitete, pri čemu je stabilnost procesa jedan od najvažnijih preduvjeta za sve

daljnje korak optimizacije.

Kao odgovor na opisani problem moguće je primijeniti alate statističke kontrole procesa.

Statistička kontrola procesa (eng. Statistical process control – SPC ) odnosi se na odreĎene

statističke metode koje se intenzivno koriste za praćenje i poboljšanje kvalitete i produktivnosti

proizvodnih i uslužnih operacija i procesa (1). SPC-ov glavni alat odnosni se na primjenu

kontrolnih karata koje su predložene od strane Waltera Shewharta u njegovom radu „Economic

Control of Quality of Manufactured Product“ iz 1931. Glavni zadatak predloženih kontrolnih

karata je razlučiti slučajne od značajnih uzroka varijacija prateći i ucrtavajući varijacije u

vremenu, te alarmiranje korisnika u slučaju pojave značajnog uzroka varijacija kako bi

navedeni mogao biti eliminiran.

Fokus ovog rada stavljen je na praktičnokorištenje kontrolnih karata, čija je primjena pokazana

na širokom rasponurealnih problema. Pri tome jena struk turiran način dan pristupobradi

prikupljenih podataka, te u konačnici i formiranju kontrolne karte, primjenom programskog

rješenja Minitab 17 . Sadržajno su obraĎeni primjeri koji uključuju klasične i često

primjenjivane Shewartove kontrolne karte ( x − R i x − s), ali i CUSUM i EWMA karte, koje pokazuju znatno bolja svojstva osjetljivosti na manje pomake i pojavu trendova u kretanju

promatranih parametara. Osim toga obraĎene su i karte za atributne karakteristike parametara,

koje u današnje vrijeme gube na važnost uslijed promjene paradigme vezane za kontrolu

kvalitete. Suvremena kontrola kvalitete nalaže odmak od samog konstatiranja sukladnosti ili

nesukladnosti odreĎenog završenog proizvoda odnosno završne kontrole, teznačajan fokus

stavlja na kontinuirano unapreĎenje procesa i detekciju problema u ranoj fazi kreiranja

proizvoda kako bi kvalitetu ugradili u njega(2). U postizanju spomenutih ciljeva veoma važnu

ulogu imaju alati statističke kontrole procesa, a posebice kontrolne karte.


4/36


2

2 PRAKTIČNA PRIMJENA KONTROLNIH KARATA

2.1 Primjer 1. - Zadatak 15-91 i 15-92 iz (3)

Promjer završetka (pin) osigurača kod motora zrakoplova važna je značajka kvalitete. Unastavku dan je prikaz 25 uzoraka veličine n=3, promjera završetka osigurača:

Tablica 1. Uzorci promjera pina osigurača

Brojuzorka

Promjer

x1 x2 x3

1 64,030 64,002 64,019

2 63,995 63,992 64,001

3 63,988 64,024 64,021

4 64,002 63,996 63,993

5 63,992 64,007 64,015

6 64,009 63,994 63,9977 63,995 64,006 63,994

8 63,985 64,003 63,993

9 64,008 63,995 64,009

10 63,998 74,000 63,990

11 63,994 63,998 63,994

12 64,004 64,000 64,007

13 63,983 64,002 63,998

14 64,006 63,967 63,994

15 64,012 64,014 63,998

16 64,000 63,984 64,005

17 63,994 64,012 63,986

18 64,006 64,010 64,01819 63,984 64,002 64,003

20 64,000 64,010 64,013

21 63,988 64,001 64,009

22 64,004 63,999 63,990

23 64,010 63,989 63,990

24 64,015 64,008 63,993

25 63,982 63,984 63,995

a) Izraditi x-R kartu za ovaj proces, u slučaju da postoje zapažanja izvan kontrolnihgranica potrebno je napraviti novu kontrolni kartu bez tih zapažanja. Napraviti procjenu

aritmetičke sredine i standardne devijacije b) Ako je specifikacija procesa 64±0.02, potrebno je izračunati indeks sposobnosti C p.

Potrebno je izračunati C pk . Kakav je zaključak o sposobnosti procesa? c) Pretpostavimo da se iznos arit. sredine pomaknuo na 64.01. Koja je vjerojatnost da će

pomak biti pronaĎen u sljedećem uzorku? Koja je vrijednost ARL nakon pomaka? d) Izraditi -S kartu za ovaj proces


5/36


3

Rješenje primjera 1.

a) Izrada x − R karte Korak 1. Izračun raspona uzoraka R ii aritmetičkih sredina uzoraka

Brojuzorka

PromjerRi

x1 x2 x3

1 64,030 64,002 64,019 0,028 64,017

2 63,995 63,992 64,001 0,009 63,996

3 63,988 64,024 64,021 0,036 64,011

4 64,002 63,996 63,993 0,009 63,997

5 63,992 64,007 64,015 0,023 64,005

6 64,009 63,994 63,997 0,015 64,000

7 63,995 64,006 63,994 0,012 63,998

8 63,985 64,003 63,993 0,018 63,994

9 64,008 63,995 64,009 0,014 64,004

10 63,998 74,000 63,990 10,010 67,32911 63,994 63,998 63,994 0,004 63,995

12 64,004 64,000 64,007 0,007 64,004

13 63,983 64,002 63,998 0,019 63,994

14 64,006 63,967 63,994 0,039 63,989

15 64,012 64,014 63,998 0,016 64,008

16 64,000 63,984 64,005 0,021 63,996

17 63,994 64,012 63,986 0,026 63,997

18 64,006 64,010 64,018 0,012 64,011

19 63,984 64,002 64,003 0,019 63,996

20 64,000 64,010 64,013 0,013 64,008

21 63,988 64,001 64,009 0,021 63,999

22 64,004 63,999 63,990 0,014 63,998

23 64,010 63,989 63,990 0,021 63,996

24 64,015 64,008 63,993 0,022 64,005

25 63,982 63,984 63,995 0,013 63,987

Korak 2. Izračun prosjeka raspona uzoraka i izračun prosjeka aritmetičkih sredinauzoraka(eng. grand mean) R = 1

mRi =

m

i=1

10,441

25 = 0,418

x = 1m xi =

m

i=1

1.603,34

25 = 64,133

Korak 3. Izračun nepristrane procjene standardne devijacije Za n=3 → d2 = 1,693

σ = Rd2

=0,418

1,693 = 0,2467


6/36


4

Korak 4. Izračun kontrolnih granica -R kontrolnih kartiZa n=3 → A2=1,023; D4=2,575; D3=0

RUCL= x

+ 3A

2 64,561 UCL= D

4r

1,075

CL= x 64,133 CL= r 0,418LCL= x − 3A2 63,706 LCL= D3r 0,000

Korak 5. Izrada kontrolnih karti -R

Slika 1.

Slika 2. Komentar:Pregledom kontrolnih karata jasno se može uočiti da je promatrani proces za uzorak

bro j 10 izvan statističke kontrole, što ukazuje na moguće postojanje značajnog uzrokavarijacija. Pristupa sa izradi kontrolnih karti bez uzorka broj 10, odnosno proračunu novihkontrolnih granica.

Izračun novih kontrolnih granica bez 10. uzorka:

R = 1mRi =

m

i=1

0,4310

24 = 0,01796


7/36


5

x = 1m xi

m

i=1

=1.536,01

24 = 64,0003

σ =

Rd2

=0,01796

1,693

= 0,01061

RUCL= x + 3A2 64,0187 UCL= D4r 0,046CL= x 64,0003 CL= r 0,018LCL= x − 3A2 63,9819 LCL= D3r 0,000

Slika 3. bez uzorka broj 10

Slika 4. bez uzorka broj 10Komentar: Nakon novog izračuna kontrolnih granica, kontrolne karte ukazuju na to da je

proces u stanju statističke kontrole, bez uzorka izvan kontrolnih granica ili pojavesistematičnog ponašanja uzoraka (run pattern). Na temelju ovih spoznaja moguće je tvr diti da

proces varira samo pod utjecajem sebi svojstvenih slučajnih uzroka.


8/36


9/36


10/36


8

Korak 5. Izrada kontrolnih karti -S

Slika 5.

Slika 6. Komentar:Slično kao i kod x-R kontrolnih karata jasno se može uočiti da je promatrani procesza uzorak broj 10 izvan statističke kontrole, što ukazuje na moguće postojanje značajnoguzroka varijacija. Pristupa sa izradi kontrolnih karti bez uzorka broj 10, odnosno proračununovih kontrolnih granica.

Izračun novih kontrolnih granica bez 10. uzorka:

S = 1m Si =

m

i=1

0,227

24 = 0,009

x = 1m xi =m

i=1

1.536,007

24 = 64,000

σ = Sc4

=0,009

0,8862 = 0,0102

SUCL = x + 3 s

c4 n 64,019 UCL = s + 3 s c4 1 − c42 0,0024CL = x

64,000 CL = s

0,0094

LCL = x − 3 s c4 n 63,982 LCL = s − 3 s c4 1 − c42 0,0000


11/36


9

Slika 7. 10

Slika 8. 10 Komentar: Nakon novog izračuna kontrolnih granica, kontrolne karte ukazuju na to da je

proces u stanju statističke kontrole, bez uzorka izvan kontrolnih granica ili pojavesistematičnog ponašanja uzoraka (run pattern). Na temelju ovih spoznaja moguće je tvrditi da proces varira samo pod utjecajem sebi svojstvenih slučajnih uzroka.


12/36


13/36


14/36


12

MRUCL = x + 3 mr

d2 10,536 UCL = D4mr 0,625

CL = x 10,027 CL = mr 0,191LCL = x

− 3

mr

d2 9,519 LCL = D

3

mr

0,000

Korak 5. Izrada kontrolnih karti -MR

Slika 9.

Slika 10. Komentar: Kontrolna karta za individualna mjerenja koja koristi pomični raspon dvauzastopna mjerenja, u konkretnom slučaju ukazuje da je proces u statističkoj kontroli, te da

nema značajnih uzroka varijacija. Kod interpretacije MR kontrolne karta moramo paziti zbogautokorelacije izmeĎu podataka pogotovo kod komentiranja cikličkog ponašanja (run-ova).


15/36


13

2.3 Primjer 3. – Zadatak 15-73 iz (3)

U tvornici kemikalija, prikupljeni su podaci za jednu od karakteristika kvalitete (viskoznost).

Podaci su prikupljeni za svaku poludnevnu seriju (svakih 12 sati). Rezultati 15 uzastopnih

mjerenja dani su u tablici:

Tablica 3.Uzorci mjerenja viskoznosti

Serija Viskoznost

1 13,3

2 14,5

3 15,3

4 15,3

5 14,3

6 14,8

7 15,2

8 14,9

9 14,610 14,1

11 14,3

12 16,1

13 13,1

14 15,5

15 12,6

a) Izradite CUSUM kontrolnu kartu za ovaj proces, uz pretpostavku ciljane vrijednosti

viskoznosti od 14,1. Provjeriti da li je proces u statističkoj kontroli. b) Pretpostavite da je idućih pet mjerenja iznosilo: 14,6; 15,3; 15,7; 16,1; 16,8; te ponovno

kreirati CUSUM kontrolnu kartu uz istu standardnu devijaciju i ciljanu vrijednost kao u

a) zadatku. Da li je proces doživio značajan pomak?

a) Izrada CUSUM kontrolne karte uz μ0=14,1

Korak 1. Izračun nepristraneprocjene standardne devijacije Serija Viskoznost MRi

1 13,3 -

2 14,5 1,203 15,3 0,80

4 15,3 0,00

5 14,3 1,00

6 14,8 0,50

7 15,2 0,40

8 14,9 0,30

9 14,6 0,30

10 14,1 0,50

11 14,3 0,20

12 16,1 1,80

13 13,1 3,00

14 15,5 2,40

15 12,6 2,90


16/36


14

MR = 1m − 1xi − xi−1 =

m

i=2

15,30

14 = 1,0929

Za n=2 → d2 = 1,128

σ = MRd2 = 1,09291,128 = 0,9688 Korak 2. Izračun parametra intervala odluke H, i referentne vrijednosti K

Za h=4; k=0,5 (preporuke prema literaturi )

H = h ∗ σ = 4 ∗ 0,9688 = 3,875 K = k ∗ σ = 0,5 ∗ 0,9688 = 0,4844 Korak 3.Tablični izračun gornje sH(i) i donje sL(i) kumulativne sume:

sHi = max0, xi − μ0 + K + sHi − 1, uz sH0 = 0 sLi = max0, μ0 − K − xi + sLi − 1, uz sL0 = 0

Serija Viskoznost − + SH(i-1) SH(i) − − SH(i-1) SH(i)1 13,3 -1,284 0,000 0,000 0,316 0,000 0,316

2 14,5 -0,084 0,000 0,000 -0,884 0,316 0,000

3 15,3 0,716 0,000 0,716 -1,684 0,000 0,000

4 15,3 0,716 0,716 1,431 -1,684 0,000 0,000

5 14,3 -0,284 1,431 1,147 -0,684 0,000 0,000

6 14,8 0,216 1,147 1,362 -1,184 0,000 0,000

7 15,2 0,616 1,362 1,978 -1,584 0,000 0,000

8 14,9 0,316 1,978 2,293 -1,284 0,000 0,000

9 14,6 0,016 2,293 2,309 -0,984 0,000 0,000

10 14,1 -0,484 2,309 1,825 -0,484 0,000 0,000

11 14,3 -0,284 1,825 1,540 -0,684 0,000 0,000

12 16,1 1,516 1,540 3,056 -2,484 0,000 0,000

13 13,1 -1,484 3,056 1,571 0,516 0,000 0,516

14 15,5 0,916 1,571 2,487 -1,884 0,516 0,000

15 12,6 -1,984 2,487 0,503 1,016 0,000 1,016


17/36


15

Korak 5. Izrada kontrolne karte

Slika 11. CUSUM kontrolna karta 15 uzoraka

Komentar: Kontrolna karta kumulativnih suma za konkretan slučaj ukazuje da nema značajnihuzroka varijacije za mjereni parametar viskoznosti. Kod komentara i interpretacije rezultata ne

možemo komentirati cikličko ponašanje odnosno trendove na kontrolnoj karti zbog meĎusobne povezanosti podataka.

b) Izrada CUSUM kontrolne karte uz ciljanu vrijednost μ0=14,1 i procijenjenu standardnudevijaciju

σ = 0,9688, za dodatnih 5 uzorka

Izrada nove CUSUM karte za 20 uzoraka:

Za σ = 0,9688, H=3,875, K=0,4844Serija

Viskoznost − + SH(i-1) SH(i) − − SH(i-1) SH(i)1 13,30 -1,284 0,000 0,000 0,316 0,000 0,316

2 14,50 -0,084 0,000 0,000 -0,884 0,316 0,000

3 15,30 0,716 0,000 0,716 -1,684 0,000 0,000

4 15,30 0,716 0,716 1,431 -1,684 0,000 0,000

5 14,30 -0,284 1,431 1,147 -0,684 0,000 0,000

6 14,80 0,216 1,147 1,362 -1,184 0,000 0,0007 15,20 0,616 1,362 1,978 -1,584 0,000 0,000

8 14,90 0,316 1,978 2,293 -1,284 0,000 0,000

9 14,60 0,016 2,293 2,309 -0,984 0,000 0,000

10 14,10 -0,484 2,309 1,825 -0,484 0,000 0,000

11 14,30 -0,284 1,825 1,540 -0,684 0,000 0,000

12 16,10 1,516 1,540 3,056 -2,484 0,000 0,000

13 13,10 -1,484 3,056 1,571 0,516 0,000 0,516

14 15,50 0,916 1,571 2,487 -1,884 0,516 0,000

15 12,60 -1,984 2,487 0,503 1,016 0,000 1,016

16 14,60 0,016 0,503 0,518 -0,984 1,016 0,031

17 15,30 0,716 0,518 1,234 -1,684 0,031 0,000

18 15,70 1,116 1,234 2,349 -2,084 0,000 0,000

19 16,10 1,516 2,349 3,865 -2,484 0,000 0,000

20 16,80 2,216 3,865 6,080 -3,184 0,000 0,000


18/36


16

Slika 12. CUSUM kontrolna karta 20 uzoraka

Komentar: Kontrolna karta kumulativnih suma za konkretan slučaj ukazuje da na pojavuznačajnog uzroka varijacije kod uzorka broj 20 za gornju kumulativnu sumu čiji iznos jeSH(20)=6,08 što je veći iznos od granice intervala odluke H=3,88.


19/36


17

2.4 Primjer 4. – Zadatak 4.8 iz (4)

U procesu proizvodnje svornjaka temeljna značajka kvalitete je promjer svornjak. Uzimani suuzorci prema redoslijedu proizvodnje. U nastavku je dan prikaz 40 uzoraka, veličine 5,izmjerenih promjera:

Tablica 4. Uzorci mjerenja promjera svornjaka

Brojuzorka

x1 x2 x3 x4 x5

1 8,798 12,374 10,456 9,419 9,997

2 9,525 7,985 10,211 10,352 9,415

3 10,867 11,307 8,249 10,817 11,634

4 11,831 10,996 10,044 9,901 11,402

5 9,321 11,073 9,805 10,901 9,722

6 8,714 11,066 10,765 9,320 8,949

7 11,155 10,874 8,571 9,170 10,473

8 8,696 10,505 10,783 9,309 9,9989 9,202 10,072 10,278 10,091 8,833

10 10,476 10,243 9,005 10,966 9,996

11 8,636 10,490 11,323 9,750 10,364

12 8,547 10,975 9,885 10,648 8,428

13 9,559 9,868 10,752 8,860 8,428

14 9,145 10,528 10,774 7,737 11,201

15 10,068 8,488 9,316 9,050 11,076

16 10,157 9,819 8,125 9,033 9,386

17 9,386 9,042 10,025 11,159 12,538

18 11,766 10,748 9,762 9,622 10,298

19 9,582 9,905 8,496 9,173 9,817

20 11,299 9,588 9,737 10,266 10,324

21 11,071 8,509 10,976 9,810 11,762

22 11,355 10,548 9,495 10,105 11,254

23 10,824 9,475 10,465 10,320 10,754

24 10,957 11,485 11,055 10,123 12,669

25 12,572 9,389 9,667 10,206 10,585

26 11,129 12,759 11,488 10,919 12,138

27 10,572 10,286 11,077 9,963 12,468

28 9,505 12,442 10,212 9,646 11,260

29 13,590 11,024 10,547 13,254 9,279

30 12,319 9,966 11,120 12,565 8,366

31 11,377 9,962 11,133 11,050 11,064

32 10,300 11,521 11,668 11,588 9,706

33 9,731 10,742 12,674 10,847 11,71434 10,157 11,343 11,436 11,204 10,785

35 11,190 9,765 11,413 10,785 10,704

36 10,205 10,161 10,610 11,949 12,851

37 12,398 12,291 11,084 10,974 11,523

38 11,640 9,860 11,514 11,460 9,518

39 11,869 15,250 10,530 10,955 13,770

40 9,291 11,154 10,475 10,913 9,125

Potrebno je izraditi EWMA kontrolnu kartu za promatrani proces pri čemu je potrebno postaviti parametar λ=0,333, uz

0=

8


20/36


18

a) EWMA kontrolna karta za 0=8 Korak 1. Izračun standardne devijacije unutar uzoraka Sii aritmetičkih sredina uzoraka

Brojuzorka

x1 x2 x3 x4 x5 Si

1 8,798 12,374 10,456 9,419 9,997 1,361 10,209

2 9,525 7,985 10,211 10,352 9,415 0,940 9,498

3 10,867 11,307 8,249 10,817 11,634 1,343 10,575

4 11,831 10,996 10,044 9,901 11,402 0,842 10,835

5 9,321 11,073 9,805 10,901 9,722 0,775 10,164

6 8,714 11,066 10,765 9,320 8,949 1,079 9,763

7 11,155 10,874 8,571 9,170 10,473 1,123 10,049

8 8,696 10,505 10,783 9,309 9,998 0,858 9,858

9 9,202 10,072 10,278 10,091 8,833 0,637 9,695

10 10,476 10,243 9,005 10,966 9,996 0,727 10,137

11 8,636 10,490 11,323 9,750 10,364 0,998 10,113

12 8,547 10,975 9,885 10,648 8,428 1,173 9,697

13 9,559 9,868 10,752 8,860 8,428 0,903 9,49314 9,145 10,528 10,774 7,737 11,201 1,423 9,877

15 10,068 8,488 9,316 9,050 11,076 1,002 9,600

16 10,157 9,819 8,125 9,033 9,386 0,785 9,304

17 9,386 9,042 10,025 11,159 12,538 1,428 10,430

18 11,766 10,748 9,762 9,622 10,298 0,866 10,439

19 9,582 9,905 8,496 9,173 9,817 0,577 9,395

20 11,299 9,588 9,737 10,266 10,324 0,672 10,243

21 11,071 8,509 10,976 9,810 11,762 1,280 10,426

22 11,355 10,548 9,495 10,105 11,254 0,783 10,551

23 10,824 9,475 10,465 10,320 10,754 0,540 10,368

24 10,957 11,485 11,055 10,123 12,669 0,930 11,258

25 12,572 9,389 9,667 10,206 10,585 1,256 10,48426 11,129 12,759 11,488 10,919 12,138 0,757 11,687

27 10,572 10,286 11,077 9,963 12,468 0,981 10,873

28 9,505 12,442 10,212 9,646 11,260 1,234 10,613

29 13,590 11,024 10,547 13,254 9,279 1,837 11,539

30 12,319 9,966 11,120 12,565 8,366 1,741 10,867

31 11,377 9,962 11,133 11,050 11,064 0,550 10,917

32 10,300 11,521 11,668 11,588 9,706 0,897 10,957

33 9,731 10,742 12,674 10,847 11,714 1,108 11,142

34 10,157 11,343 11,436 11,204 10,785 0,526 10,985

35 11,190 9,765 11,413 10,785 10,704 0,633 10,771

36 10,205 10,161 10,610 11,949 12,851 1,193 11,155

37 12,398 12,291 11,084 10,974 11,523 0,664 11,654

38 11,640 9,860 11,514 11,460 9,518 1,022 10,798

39 11,869 15,250 10,530 10,955 13,770 1,990 12,475

40 9,291 11,154 10,475 10,913 9,125 0,932 10,192

Korak 2. Izračun prosjeka std. devijacija uzoraka i izračun prosjeka aritmetičkih sredina za prvih 8 uzoraka

S = 1m Si =

m

i=1

40,369

40 = 1,009


21/36


19

x = x8 = 18 xi =

8

i=1

80,950

8 = 10,119

Korak 3. Izračun nepristrane procjene standardne devijacije Za n=5 → c4 = 0,94

σ = Sc4

=1,009

0,94 = 1,074

Korak 4. Izračun kontrolnih granica EWMA kontrolne karte

Za n= 5, primjer za više uzoraka

EWMA i=1 i=8 i=10 i=40

UCL = x8 + 3 σ n λ 2 − λ (1 − (1 − λ )2i

) 10,598 10,762 10,762 10,763

CL = x8 10,119 10,119 10,119 10,119LCL = x8 − 3 σ n λ 2 − λ (1 − (1 − λ )2i ) 9,639 9,475 9,475 9,475

Korak 5.Tablični izračun eksponencijalnih težinskih pomičnih prosjeka uzoraka:

zi = λ xi + 1 − λ z(i−1) , z0 = x0 = x8 Broj

uzorka ( − )− 1 10,209 3,400 6,749 10,149

2 9,498 3,163 6,769 9,932

3 10,575 3,521 6,625 10,146

4 10,835 3,608 6,767 10,375

5 10,164 3,385 6,920 10,305

6 9,763 3,251 6,874 10,125

7 10,049 3,346 6,753 10,099

8 9,858 3,283 6,736 10,019

9 9,695 3,229 6,683 9,911

10 10,137 3,376 6,611 9,986

11 10,113 3,367 6,661 10,028

12 9,697 3,229 6,689 9,918

13 9,493 3,161 6,615 9,777

14 9,877 3,289 6,521 9,810

15 9,600 3,197 6,543 9,740

16 9,304 3,098 6,497 9,595

17 10,430 3,473 6,400 9,873

18 10,439 3,476 6,585 10,061

19 9,395 3,128 6,711 9,839

20 10,243 3,411 6,563 9,974

21 10,426 3,472 6,652 10,124

22 10,551 3,514 6,753 10,266

23 10,368 3,452 6,848 10,300

24 11,258 3,749 6,870 10,61925 10,484 3,491 7,083 10,574


22/36


20

26 11,687 3,892 7,053 10,945

27 10,873 3,621 7,300 10,921

28 10,613 3,534 7,284 10,818

29 11,539 3,842 7,216 11,058

30 10,867 3,619 7,376 10,995

31 10,917 3,635 7,333 10,969

32 10,957 3,649 7,316 10,96533 11,142 3,710 7,313 11,024

34 10,985 3,658 7,353 11,011

35 10,771 3,587 7,344 10,931

36 11,155 3,715 7,291 11,006

37 11,654 3,881 7,341 11,222

38 10,798 3,596 7,485 11,081

39 12,475 4,154 7,391 11,545

40 10,192 3,394 7,700 11,094


Slika 13. EWMA kontrolna karta za = 0,333 0 = 8 Komentar: EWMA kontrolna karta ukazuje na pojavu značajnog uzroka varijacije kod svihuzoraka nakon broja 26, čiji je eksponencijalni težinski pomični prosjek z26=10,945. Kod ovog

primjera jasno je vidljivo koliko je bitan pravilan odabir uzoraka na temelju kojih radimo

procjenu očekivanja, pri čemu je izuzetno važno procjenu temeljiti na uzorcima koji prethode pojavi pomaka aritmetičke sredine (za dobru procjenu dovoljno je 40 mjerenja). TakoĎerveoma brzo se akumuliraju trendovi u slučaju malih pomaka aritmetičke sredine , zbogmeĎusobne povezanosti podataka na kontrolnoj karti.


23/36


21


U tablici je prikaz broja grešaka lemljenja tiskanih pločica promatranih na 24 uzorka, veličine5:

Tablica 5. Broj grešaka kod lemljenja tiskanih pločica

UzorakBroj

grešaka uuzorku

1 7

2 6

3 8

4 10

5 24

6 6

7 5

8 4

9 810 11

11 15

12 8

13 4

14 16

15 11

16 12

17 8

18 6

19 5

20 9

21 7

22 14

23 8

24 21

a) Koristeći sve podatke izračunajte probne kontrolne granice U kontrolne karte, tenacrtajte kartu.

b) U slučaju da proces nije u statističkoj kontroli, pretpostavite da je moguć pronaćiznačajni uzrok varijacije te ga otkloniti.Nakon toga napravite novu kontrolnu kartu sarevidiranim kontrolnim granicama.


24/36


22

a) Izrada probne U kontrolne karte

Korak 1. Izračun prosječnog broja grešaka po jedinici unutra uzorka Ui

Za n=5

UzorakBroj

grešaka uuzorku

Ui

1 7 1,400

2 6 1,200

3 8 1,600

4 10 2,000

5 24 4,800

6 6 1,200

7 5 1,000

8 4 0,800

9 8 1,600

10 11 2,20011 15 3,000

12 8 1,600

13 4 0,800

14 16 3,200

15 11 2,200

16 12 2,400

17 8 1,600

18 6 1,200

19 5 1,000

20 9 1,800

21 7 1,400

22 14 2,800

23 8 1,600

24 21 4,200

Korak 2. Izračun prosječnog broja grešaka po jedinici izmeĎu uzorka U = 1

mUi =

m

i=1

46,60

24 = 1,942

Korak 3. Izračun nepristrane procjene standardne devijacije

σ = U

n = 1,942

5 = 0,623

Korak 4. Izračun kontrolnih granica kontrolne karte

UCL = U + 3 Un

3,811

CL = U 1,942LCL = U

− 3

Un

0,072


25/36


23


Slika 14. U kontrolna karta

Komentar:Pregledom probne kontrolne karte vidljivo je da je prosječan broj grešaka po jedinici proizvoda kod uzoraka broj 5 i 24 izlazi izvan kontrolnih granica, što ukazuje naznačajan uzrok varijacija kojeg je nužno otkloniti.

Izrada nove kontrolne karte bez uzoraka broj 5 i 24:

U = 1mUi =

m

i=1

37,60

22 = 1,709

σ =

U

n =

1,709

5 = 0,585

UCL = U + 3 U

n 3,463

CL = U 1,709LCL = U − 3 U

n 0,000


26/36


24

Slika 15. U kontrolna karta bez uzorka 5 i 24

Komentar: Pregledom U kontrolne karte možemo uočiti da je prosječan broj grešaka po jedinici kod svih uzoraka unutar kontrolnih granica, pa možemo zaključiti da proces varira podutjecaj slučajnih uzroka varijacija, te je u statističkoj kontroli.


27/36


25


Poklopac kućišta osobnih računala proizvodi se injekcijskim prešanjem. Iz procesa su periodički uzimani uzorci od 5 poklopaca, te je zabilježen broj pronaĎenih grešaka. Tablično jedan prikaz 25 uzoraka:

Tablica 6 . Broj grešaka kod injekcijskog prešanja poklopca kućišta

UzorakBroj

grešaka uuzorku

1 3

2 2

3 0

4 1

5 4

6 3

7 2

8 4

9 1

10 0

11 2

12 3

13 2

14 8

15 0

16 2

17 4

18 3

19 5

20 021 2

22 1

23 9

24 3

25 2

a) Potrebno je izračunati probne kontrolne granice c-karte, te nacrtati kontrolnu kartu procesa. Odrediti da li je proces u statističkoj kontroli.

b) U slučaju da je proces izvan kontrole revidirati kontrolne granice, i napraviti novu

kontrolnu kartu.

a) Izrada probne kontrolne c karte

Korak 1. Izračun prosječnog broja grešaka po jedinici izmeĎu uzorka c = 1

m ci =

m

i=1

66

25 = 2,640


28/36


26

Korak 2. Izračun nepristrane procjene standardne devijacije σ = c = 2,640 = 1,625 Korak 3. Izračun kontrolnih granica

kontrolne karte

UCL = c + 3 c 7,514CL = c 2,640LCL = c − 3 c 0,000


Slika 16. C kontrolna karta

Komentar: Pregledom probne c kontrolne karte vidljivo je da broj grešaka po uzorku koduzoraka broj 14 i 23 izlazi izvan kontrolnih granica, što ukazuje na značajan uzrok varijacijakojeg je nužno otkloniti.

Izrada nove kontrolne karte bez uzoraka broj 14 i 23:

c = 1m ci =

m

i=1

49

23 = 2,130

σ = c = 2,130 = 1,460


29/36


27

UCL = c + 3 c 6,509CL = c 2,130LCL = c

−3

c

0,000

Slika 17. C kontrolna karta bez uzorka broj 14 i 23

Komentar: Nakon formiranja nove kontrolne karte bez uzoraka 14 i 23, vidljivo je da je broj

grešaka unutar svih uzoraka promatranog procesa, unutar kontrolnih granica, te proces varirasamo pod utjecajem slučajnih uzroka varijacija.


30/36


28


Plastične boce za tekući deterdžent izraĎene su primjenom puhanja plastike. Kontrolirano je 20uzorka veličine 100 boca prema redoslijedu proizvodnje, te je zabilježena proporcija lošihkomada kod svakog uzorka:

Tablica 7 . Proporcija loših komada kod puhanja plastičnih boca

UzorakProporcija

lošihkomada

1 0,12

2 0,15

3 0,18

4 0,10

5 0,12

6 0,11

7 0,05

8 0,09

9 0,13

10 0,13

11 0,10

12 0,07

13 0,12

14 0,08

15 0,09

16 0,15

17 0,10

18 0,06

19 0,12

20 0,13

a) Potrebno je izraditi p-kontrolnu kartu procesa, i odrediti da li je proces u statističkojkontroli.

b) Pretpostavite da je uzorka veličine n=200. Na temelju navedenog podatka napravitenovu kontrolnu kartu, te provjerite da li je proces u statističkoj kontroli.

a) Izrada p kontrolne karte uz n=100

Korak 1. Izračun srednje vrijednosti omjera loših komada p = 1

mpi =

m

i=1

=2,20

20 = 0,11

Korak 2. Izračun nepristrane procjene standardne devijacije σ = p(1 − p)

n = 0,11(1− 0,11)

100 = 0,031289


31/36


29

Korak 3. Izračun kontrolnih granica kontrolne karte

UCL = p + 3 p(1 − p)n

0,2039

CL = p 0,1100LCL = p − 3 p(1 − p)

n 0,0161


Slika 18. = 100 Komentar: Nakon formiranja kontrolne karte, vidljivo je da je proporcijaloših komada unutarsvih uzoraka promatranog procesa, unutar kontrolnih granica, te proces varira samo pod

utjecajem slučajnih uzroka varijacija.

b) Izrada p kontrolne karte uz n=200

Izrada kontrolne karte uz n=200:

p

=

1

m

pi =

m

i=1

=2,20

20 = 0,11


32/36


33/36


31

σ = p(1 − p)n

= 0,1063(1− 0,1063)200

= 0,021794

UCL = p + 3 p(1 − p)n 0,1717CL = p 0,1063LCL = p − 3 p(1 − p)

n 0,0409

Slika 20. = 100 3 Komentar: Nakon formiranja nove kontrolne karte bez uzorka broj 3, vidljivo je da je

proporcija loših komada unutar svih uzoraka promatranog procesa, unutar kontrolnih granica,te proces varira samo pod utjecajem slučajnih uzroka varijacija.


34/36


35/36


33

Korak 3. Izračun nepristrane procjene standardne devijacije σ = np(1 − p) = 2(1 − 0,02) = 1,4 Korak 4. Izračun kontrolnih granica

kontrolne karte

UCL = np + 3 np(1 − p) 6,200CL = np 2,000LCL = np − 3 np(1 − p) 0,000


Slika 21. Komentar:Kontrolna karta pokazuje da broj škart jedinica unutar uzoraka promatranog procesa varira pod utjecajem slučajnih uzroka varijacija, te je proces u stanju statističkekontrole.


36/36

statistical process control-solved examples

Documents