statistical hypothesis testing for managers

آمار استنباطیفرضیه آزمون

دانشکده مدیریت دانشگاه تهران1394بهار

سید حمید هاشمی پطرودی: مدرس[email protected]

1

(Hypothesis Testing)آزمون فرض

. فرض حدس زیرکانه محقق در خصوص یک موقعیت است

هدف آزمون فرض آماری، آزمون و سنجش فرض محقق با توجه به اطالعات بدست آمده از داده های نمونه گیری است و. رد و یا عدم امکان رد فرض را بررسی می نماییم

( significant level)از آنجایی که هر آزمونی با سطح مشخصی از اطمینان بررسی می گردد، لذا سطح معنی دار بودن . است𝛼سطح معنی داری همان درصد خطا یا . تفاوت ها دارای اهمیت است

هفتهیکوماه9تحویلزماناگر.دهدمیتحویلوآمادهماه9مدتظرفراایخانهاستدادهوعدهمهندسیک(مثالآماریلحاظبهولیکن.بلیدهیدپاسخاستممکنشمااست؟بودهماه9تحویلزمانکهشودمیپرسیدهشماازگردد،

چیزیداریمعنیسطح.نداردوجودشدهدادهوعدهزمانوواقعیزمانبینداریمعنییافاحشتفاوتبگوییمبایستی.نمایدمیمعینآزمونانجامازپیشمحققکهاست

سید حمید هاشمی پطرودی : مدرس[email protected]

2

(alternative)و فرض مقابل ( null hypothesis)فرض پوچ

بوجود زمانی که محقق ادعایی در خصوص پارامتر جمعیت می کند، این ادعا یا درست است یا غلط، لذا دو فرض در ذهن ما. فرایند انتخاب یکی از دو فرض را آزمون فرض آماری می نامند. می آید

نفری انتخاب 400بدین منظور یک نمونه . است% 50محققی ادعا نموده است که نسبت بیکاران در کشور بیشتر از ( مثالادعای وی را می پذیرید یا خیر؟% 5در سطح خطای (. 0.45)نفر آنان بیکار بوده اند 180نمود و مشاهده کرد که

: دو فرض ممکن وجود دارد: جواب𝐻0: 𝑝 ≤ 0.5𝐻1: 𝑝 > 0.5

بایستی دارای یک مرز 𝐻0را بررسی می نماییم و به همین منظور فرض 𝐻0در آزمون فرض آماری ما همواره فرض از این دو . وجود ندارد𝐻0را رد می کنیم و یا شواهد کافی برای رد 𝐻0لذا ما یا فرض . باشد( عالمت مساوی)مشخص

. نیز می توانیم تصمیم گیری کنیم𝐻1حالت در خصوص فرض . قرار بگیرد𝐻1و یا 𝐻0لذا با توجه به نوع بیان ادعا، ادعا ممکن است در


3

فرضیه های یک دنباله و دو دنباله

دنباله نام مسائلی که در آنها عالمت های بزرگتر مساوی و کوچکتر مساوی استفاده می گردند، فرضیه ها و آزمون های یکشود، آزمون های و مسائلی که در نوشتن فرضیه ها از عالمت تساوی و عدم تساوی استفاده می( مانند مثال قبلی)می گیرند

. دو دنباله نام می گیرند


4

مثال

. است35در تحقیقی ادعا شده است که میانگین سن مردم یک کشور برابر : الف𝐻0: 𝜇𝑥 = 35𝐻1: 𝜇𝑥 ≠ 35

. است35در تحقیقی ادعا شده است که میانگین سن مردم یک کشور بیشتر از : ب𝐻0: 𝜇𝑥 ≤ 35𝐻1: 𝜇𝑥 > 35

. است35در تحقیقی ادعا شده است که میانگین سن مردم یک کشور کمتر از : ج𝐻0: 𝜇𝑥 ≥ 35𝐻1: 𝜇𝑥 < 35

.، فرضیه های باال را نمایش دهید%10از روی نمودار نرمال و سطح خطای


5

(test statistic)آماره آزمون

مییرزبصورتمیانگینشاخصبرایجمعیتتوزیعبودننرمالفرضباکهاستاستانداردمتغیرهمانآزمونآماره:نوشتیم

𝑧 = 𝑥 − 𝜇

𝜎 𝑥

میمتصآزمونآمارهخصوصدرجمعیتمعیارانحرافبودنمعینونمونهتعدادجمعیت،بودننرمالبهتوجهبا:یادآوریهایتوزیعاینکهضمن)کنیممیاستفادهt-studentآمارهیاواستانداردنرمالمتغیرازنتیجهدروکردیممیگیری

.(ایمنکردهاشارهآنهابهدورهایندرکهدارندوجودنیزفیشرودوکایهمچوندیگری

critical)بحرانیمقدار value):آمارهیانرمالعددازمقادیرهمانtخطاسطحیااطمینانسطحاساسبرکه(𝛼).گردندمیمشخص


6

مراحل عمومی آزمون فرض آماری

تعریف فرضیه های آماری پوچ و فرض مقابل: مرحله اول

تعیین توزیع نمونه گیری آماره و نوع آماره مورد استفاده : مرحله دوم

محاسبه ی مقدار بحرانی و آماره آزمون : مرحله سوم

مقایسه مقدار بحرانی و آماره آزمون و تصمیم گیری: مرحله چهارمپذیرشناحیهدرآزمونآمارهاگر𝐻0یبراکافیدلیلنظرمورداطمینانسطحدرکهشودمیگفتهگیردقرار

.شودمیپذیرفتهدرصد𝛼خطایسطحدر𝐻0وشدهرد𝐻0فرضاینصورتغیردردارد،وجود𝐻0پذیرش


7

p-valueرویکرد

.داردنامبحرانیمقداررویکردشد،استفادهفرضآزموندرکهقبلیرویکرد

P-valueپذیرشبرایحاضریمکهاستاحتمالیمقدارحداقل𝐻0به.کنیمتحملp-valueمشاهدهداریمعنیسطح.گویندمینیزشده

ردعدمیاردجهتنتیجهدر.داردوجود𝐻0علیهبربیشتریشواهدیعنیباشد،کوچکترهرچقدرکهاستاحتمالیمقدار𝐻0رودمیبکار.

P-valueکهنماییدتوجهقبلمثالدر𝑝 𝑧 > 𝑝(𝑧و1.89 < جدولرویازمقداراین.استچقدر(1.89−.گرددمی0.0588برابرطرفدومجموعنتیجهدراست،0.0294برابرطرفینازهریک.آیدمیبدستاستانداردنرمال.دهدمینشانراP-valueمقدار

𝒊𝒇: قاعده کلی 𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆 ≤ 𝜶 ↔ 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒄𝒕 𝑯𝟎

.را برای خود تشریح کنیدp-valueاز روی شکل مفهوم


8

آزمون یک دنباله-مثال

پذیرفت؟% 5بودن حجم آب معدنی را در سطح خطای 0.5در مثال آب معدنی، آیا می توان فرض بیشتر از

𝐻0: 𝜇𝑥 ≤ 0.5𝐻1: 𝜇𝑥 > 0.5

. ولیکن نقطه بحرانی تغییر می کند. می ماند1.89آماره آزمون همان مقدار : جواب

میانگین % 95آماره آزمون در قسمت بحرانی قرار می گیرد، در نتیجه با اطمینان

. لیتر است0.5حجم آب معدنی ها بیشتر از 𝑧0.95 = 1.64

آماره آزمون > 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 → 𝐻0 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑

.نیز نتایج را بررسی نماییدp-valueبه روش


9

انحراف معیار جمعیت نامعلوم باشد-مثال

هزار دالر باشد، تعیین شده 30بودجه ساالنه یکی از ایالت های امریکا با فرض اینکه میانگین پرداخت سرانه مالیات مردم سال را بطور تصادف انتخاب نموده و مقدار میانگین سرانه 16کمیسیون بودجه مجلس به منظور بررسی این موضوع، . است

فرض تنظیم بودجه ساالنه را می پذیرید؟% 5با لحاظ خطای . مالیات را بدست آورده است


10

...ادامه

نوشتن فرضیه : گام اول𝐻0: 𝜇𝑥 = 30000𝐻1: 𝜇𝑥 ≠ 30000

نقطه ای آن تعیین توزیع نمونه گیری و نوع آماره؛ جمعیت نرمال بوده و چون انحراف معیار نامعلوم است از تخمین: گام دوم: استفاده می کنیمt-studentتاست لذا از توزیع 30استفاده کرده و ضمن اینکه تعداد نمونه ها کمتر از

تعیین مقدار بحرانی و آماره آزمون؛: گام سوم

𝑡0.025,15 = (مقدار بحرانی)±2.1315

𝑡 =21750−30000

17815.72

16

= (آماره آزمون)1.8523−

.رد نمی شود𝐻0قرار می گیرد، 𝐻0چون آماره آزمون در قسمت : تصمیم گیری: گام چهارم


11

مثال

$30000متر از در مثال قبل فرض نمایید، که در صورت سوال گفته میشد، میانگین پرداخت مالیات ساالنه سرانه مردم ک: آنگاه داشتیم. است

نوشتن فرضیه : گام اول𝐻0: 𝜇𝑥 ≥ 30000𝐻1: 𝜇𝑥 < 30000

نقطه ای آن تعیین توزیع نمونه گیری و نوع آماره؛ جمعیت نرمال بوده و چون انحراف معیار نامعلوم است از تخمین: گام دوم: استفاده می کنیمt-studentتاست لذا از توزیع 30استفاده کرده و ضمن اینکه تعداد نمونه ها کمتر از

تعیین مقدار بحرانی و آماره آزمون؛: گام سوم

𝑡0.05,15 = (مقدار بحرانی)1.753−

𝑡 =21750−30000

17815.72

16

= (آماره آزمون)1.8523−

.شودمی رد 𝐻0قرار می گیرد، 𝐻1تصمیم گیری؛ آماره آزمون در قسمت : گام چهارم


12

تمرین

( جلسه بعد: فرجه زمانی)حل نمایید P-valueمثال قبل را با استفاده از روش


13

آزمون فرض نسبت موفقیت یک جمعیت

: همانطور که برای میانگین مطرح گردید، در اینجا نیز فرضیه های آماری به سه حالت قابل تبیین هستند

𝐻0: 𝑝 ≤ 𝑝0𝐻1: 𝑝 > 𝑝0

𝐻0: 𝑝 ≥ 𝑝0𝐻1: 𝑝 < 𝑝0

𝐻0: 𝑝 = 𝑝0𝐻1: 𝑝 ≠ 𝑝0

𝑛.𝑝,𝑛.𝑞بخاطر داریم که در صورت برقرار بودن شرط ≥ .می توانستیم از توزیع نرمال استفاده نماییم5


14

آماره آزمون نسبت موفقیت

:با توجه به اینکه در آزمون نسبت موفقیت، انحراف معیار توزیع برابر عبارت زیر است

𝜎 𝑝 =𝑝0 × (1 − 𝑝𝑜)

𝑛

(:با فرض نرمال بودن)در نتیجه، آماره آزمون نسبت موفقیت یک جمعیت عبارتست از

𝑧 = 𝑝 − 𝑝0

𝑝0 × (1 − 𝑝𝑜)𝑛


15

مثال آموزشی

نفر 100بازیکن خانم را انتخاب نموده ایم و از میان آنها 400. از ورزشکاران خانم بازی های المپیک متاهل هستند% 25محققی ادعا نموده است که که . ادعای محقق را بررسی کنید% 5در سطح خطای . متاهل بوده اند

نوشتن فرضیه ها : گام اول𝐻0: 𝑝 = 0.20𝐻1: 𝑝 ≠ 0.20

𝑛.𝑝,𝑛.𝑞بوده و شرط 0.25تعیین توزیع نمونه گیری؛ با توجه به اینکه نسبت موفقیت در نمونه : گام دوم ≥ برقرار است، از توزیع نرمال استفاده می 5.کنیم

تعیین نقاط بحرانی و آماره آزمون: گام سوم𝑧0.025 = ±1.96

𝑧 =0.25 − 0.2

0.2 × (1 − 0.2)400

= 2.5

. قرار گرفته است، لذا فرض صفر رد می گردد𝐻1تصمیم گیری؛ آماره آزمون در قسمت : گام چهارم

.برای حالت های یک دنباله از روی مثال های کتاب مسائل را بررسی نمایید


16

آزمون یک دنباله-مثال

: مثال قبل را با لحاظ فرضیه های ذیل بررسی نمایید𝐻0: 𝑝 ≤ 0.20𝐻1: 𝑝 > 0.20


17

آزمون میانگین دو جمعیت

یت بودن لحاظ در اینجا نیز بسیار مشابه آزمون میانگین یک جمعیت عمل می کنیم و تنها برخی مالحظات مربوط به دوجمع(: مشابه تخمین فاصله دو جمعیت)می گردد

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 𝐷0𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝐷0

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 𝐷0𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 > 𝐷0

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 ≥ 𝐷0𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 < 𝐷0


18

مثال-آزمون میانگین دوجمعیت

10هر دو فرض کنید، انحراف معیار نمره های کل افراد دو کالس. میانگین نمره آموزشی کالس الف و ب را میخواهیم مقایسه کنیمدر سطح . بوده است78و 82نفر انتخاب شدند که میانگین نمرات این افراد در دو کالس نیز بترتیب 40و 30از دوکالس بترتیب . باشد

برابری نمره آموزشی دو کالس را با فرض پیروی نمره ها از توزیع نرمال می پذیرید؟% 5خطای

نوشتن فرضیه : الف𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0

با توجه به معین بودن )استفاده می کنیم، zتعیین توزیع نمونه گیری؛ دو جمعیت نرمال، انحراف معیارها نیز معلومند لذا از توزیع : ب(استفاده میکردیمzانحراف معیارها، و تعداد نمونه حتی اگر مساله به نرمال بودن اشاره نمی کرد هم باز از توزیع

محاسبه آماره آزمون و مقدار بحرانی: ج

𝑧 = 𝑥1 − 𝑥2 − (𝐷0)

𝜎12

𝑛1+𝜎12

𝑛2

=82 − 78 − 0

102

30+102

40

= 1.66 𝑧 0.052= ±1.96

.فرض صفر رد نمی شود% 95قرار گرفته است درنتیجه با اطمینان 𝐻0آماره آزمون در ناحیه : د


19

مثال-آزمون میانگین دو جمعیت

پروژهمشاور.یمنمایمقایسهفعلیتکنولوژیوجدیدتکنولوژییکاستفادهباراپروژهیکاتمامزمانمتوسطخواهیممیشبیهقابلیتکنیدفرض.شودمیپروژهاتمامزمانکاهشبهمنجرجدیدتکنولوژیازاستفادهدهدنشانکهاستمندعالقهمتوسطتکنولوژی،دوازهریکبرایسازیشبیهبار12باوداشتیمتکنولوژیدوهرلحاظباراپروژهاتمامزمانسازیآمدهبدست44و40معیارانحرافبابترتیبوساعت280جدیدتکنولوژیباو325فعلیتکنولوژیباپروژهاتمامزمان(شوندفرضنرمالهاجمعیتپارامترتوزیع)نماییدبررسیرامشاورفرضیه%5خطایسطحبا.است

فرضیهنوشتن:الف𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 0 یا 𝜇1 ≤ 𝜇2

𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 > 0 یا 𝜇1 > 𝜇2

نیزجمعیتدوسواریانبرابریفرضاست،نامعلومنیزجمعیتمعیارانحرافنرمال،جمعیتدوگیری؛نمونهتوزیعتعیین:ب(کنیدرجوعایفاصلهتخمینبه)میکنیماستفادهدومحالتوtتوزیعازلذانشده،گفته


20

...ادامه

محاسبه آماره آزمون و مقدار بحرانی: ج

𝑡 = 𝑥1 − 𝑥2 − (𝐷0)

𝑠12

𝑛1+𝑠12

𝑛2

=325 − 280

402

12+442

12

= 2.3

:با توجه به توزیع نمونه گیری، بایستی درجه آزادی را از روش زیر محاسبه نماییم𝑡0.05,𝑑𝑓به منظور محاسبه مقدار بحرانی

𝑑𝑓′ =(𝑠12

𝑛1+𝑠22

𝑛2)2

(𝑠12

𝑛1)2

𝑛1−1+(𝑠22

𝑛2)2

𝑛2−1

= 21.8

𝑡0.05,21: جهت سادگی درجه آزادی را به باال رند می کنیم و داریم = 1.71

. با فرض برابر واریانس دوجمعیت این مثال را برای جلسه آتی حل نمایید.فرض صفر رد می گردد و ادعای محقق نیز پذیرفته می شود% 95قرار می گیرد با اطمینان 𝐻1از آنجایی که آماره آزمون در ناحیه

(یعنی برعکس عمل نکردیم)کم نکردیم؟ 280را از 325در نوشتن آماره آزمون چرا : تذکر


21

(matched samples)آزمون فرض نمونه های جفت شده

کنیم زمان بدون هیچ جهت گیری ابتدا فرض می. فرض کنید می خواهیم زمان اتمام تولید محصول را با دو روش بسنجیم: لذا داریم. اتمام در دو روش یکسان است و می خواهیم این فرض را آزمون کنیم

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0

: در انتخاب روش نمونه گیری دو حالت امکان پذیر است

وش های برای انجام هر یک از روش ها از کارگران مستقل و تصادفی استفاده کنیم؛ بدین منظور جهت آزمون فرض از ر-1(آزمون میانگین دو جمعیت)قبلی استفاده نماییم که مبتنی بر نمونه های مستقل بودند

وجی از یک تعداد نمونه کارگر برای انجام هریک از دو روش استفاده کنیم؛ بدین منظور از آزمون فرض نمونه های ز-2استفاده می کنیم

. تمزیت این روش کاهش قابل توجه خطا در نمونه گیری و از بین بردن اثر مهارت کارگران بر زمان اتمام تولید اس


22

...ادامه


23

لذا . ن هاستکلید حل مساله در این نوع آزمون فرض اینست که بدانیم با یک سری داده ها کار داریم و آن تفاضل میانگی𝜇𝑑کارگر را برای این آزمون انتخاب کرده ایم و 6فرض کنید . را میانگین اختالف زمان اتمام دو حالت در نظر می گیریم

. توزیع زمان ها را نیز نرمال فرض می کنیم

...ادامه

: برای حل این مساله داریم

نوشتن فرضیه ها : الف𝐻0: 𝜇𝑑 = 0𝐻1: 𝜇𝑑 ≠ 0

امعلوم است، لذا تعیین توزیع نمونه گیری؛ با توجه به اینکه در نوع مساله فرض نرمال بودن فرضی اساسی است و انحراف معیار جمعیت نیز ن: ب.استفاده نماییمtبایستی از توزیع

: تعیین مقدار بحرانی و آماره آزمون: ج

𝑑 = 𝑑𝑖𝑛

=1.8

6= 0.3, 𝑠𝑑 =

(𝑑𝑖 − 𝑑)2

𝑛 − 1= 0.335

𝑡 = 𝑑 − 𝜇𝑑𝑠𝑑𝑛

=0.3 − 0

0.335

6

= 2.2

𝑡.025,5مقدار بحرانی نیز برابر = .: می باشد2.57. تفاوت معنی داری میان دو روش وجود ندارد% 95قرار می گیرد در نتیجه با اطمینان 𝐻0آماره آزمون در بازه : د

این روش برای آزمون های یکدنباله نیز قابل انجام است و مشابه آزمون میانگین یک جمعیت با آن برخورد می شود: تذکرسید حمید هاشمی پطرودی : مدرس

[email protected]

آزمون نسبت موفقیت دو جمعیت

باشند با 5همگی بزرگتر مساوی 𝑛2.𝑝2و 𝑛1.𝑞1،𝑛1.𝑝1 ،𝑛2.𝑞2آزمون نسبت موفقیت دو جمعیت با فرض اینکه : استفاده از توزیع نرمال قابل انجام هستند

:فرضیه های این آزمون شامل موارد زیر هستند

𝐻0: 𝑝1 − 𝑝2 = 0𝐻1: 𝑝1 − 𝑝2 ≠ 0

𝐻0: 𝑝1 − 𝑝2 ≤ 0𝐻1: 𝑝1 − 𝑝2 > 0

𝐻0: 𝑝1 − 𝑝2 ≥ 0𝐻1: 𝑝1 − 𝑝2 < 0


25

...ادامه

: اگر نسبت موفقیت جمعیت داده شود انحراف معیار بصورت زیر محاسبه می شود

𝜎 𝑝1− 𝑝2 =𝑝1. 𝑞1𝑛1

+𝑝2. 𝑞2𝑛2

: بر اساس نسبت موفقیت در دو نمونه محاسبه کنیم𝑝 و اگر نسبت موفقیت جمعیت را نداشته باشیم، بایستی یک

𝑝 =𝑛1 𝑝1 + (𝑛2) 𝑝2

𝑛1 + 𝑛2𝜎و سپس 𝑝1− 𝑝2بدین صورت محاسبه می گردد :

𝜎 𝑝1− 𝑝2 = 𝑝. 𝑞

𝑛1+

𝑝. 𝑞

𝑛2

𝑧: در نتیجه آماره آزمون عبارتست از = 𝑝1− 𝑝2 𝑝. 𝑞

𝑛1+ 𝑝. 𝑞

𝑛2


26

مثال

35مورد را بررسی نموده و 250در دفتر اول . فرض کنید، مدیر عامل می خواهد درصد خطاهای کاری در دو دفترفروش خود را بسنجددرصد، برابری سطح خطا در دو دفتر فروش را 5در سطح خطای . خطا بدست آمد27مورد بررسی و 300خطا مشاهده کرد و در دفتر دوم

(با فرض نرمال بودن توزیع نسبت ها)می پذیرید؟

نگارش فرضیه ها : 1گام 𝐻0: 𝑝1 − 𝑝2 = 0𝐻1: 𝑝1 − 𝑝2 ≠ 0

نرمال: تعیین توزیع نمونه گیری: 2گامتعیین مقدار بحرانی و آماره آزمون: 3گام

𝑧0.025آزمون دو دنباله است لذا مقدار بحرانی برابر = . است±1.96

𝑝 : را محاسبه می کنیم𝑝 برای محاسبه آماره آزمون ابتدا =𝑛1 𝑝1+(𝑛2) 𝑝2

𝑛1+𝑛2=

250×0.14+300×.09

550= 0.1127

𝑧: در نتیجه داریم =0.14−0.09

.1127(1−.1127)

250+.1127(1−.1127)

300

= 1.85

. تفاوتی بین سطح خطای دو دفتر وجود ندارد% 95قرار گرفته است لذا با اطمینان 𝐻0تصمیم گیری؛ آماره آزمون در ناحیه : 4گامسید حمید هاشمی پطرودی : مدرس

[email protected]

خطای نوع اول و دوم


28

شرایط واقعی پارامتر در جامعه

𝐻𝑜درست باشد 𝐻𝑜درست نباشد/𝐻1درست باشد

نتیجه گیری𝐻𝑜پذیرش 1)سطح اطمینان − 𝛼) (𝛽)خطای نوع دوم

𝐻1پذیرش /𝐻𝑜رد (𝛼)داریسطح معنی/خطای نوع اول 1)توان آزمون − 𝛽)

کنترلومدنوعخطایتحقیقاتدراغلبوباشدمیاولنوعخطایخصوصدرنمایدمیتعیینتحقیقانجامازقبلمحققکهخطاییسطحنمیچیزیآنپذیرشخصوصدروکنیمنمیردیاوکنیممیردرا𝐻𝑜یاماگوییممیکارانهمحافظهبطورکهاستدلیلبهمین.شودنمی

!باشددرست𝐻1کهاستممکندرصد𝛽پذیریم،میرا𝐻𝑜وقتیکهچرانداریماطالعدومنوعخطایسطحازچونگوییممقدارباشد،زیاداولنوعخطایهزینههرچقدر𝛼شودمیانتخابکوچکتر.صحیحرد𝐻𝑜صحیحردعدمونامندمیآزمونتوانرا𝐻𝑜نامندمیاطمینانسطحرا.

نحوه محاسبه خطای نوع دوم

. کنیماز آنجایی که محاسبه خطای نوع دوم به مقدار واقعی پارامتر جمعیت وابسته است، در قالب یک مثال این خطا را محاسبه می

: ساعت بودن عمر باتری ها را آزمون کنیم و داریم120فرض کنید در تحقیقی می خواهیم کمتر از ( مثال

𝐻0: 𝜇𝑥 ≥ 120𝐻1: 𝜇𝑥 < 120

𝛽تایی انتخاب نمودیم، مقادیر 36یک نمونه . ساعت در نظر بگیرید12فرض نمایید و انحراف معیار عمر باتری ها را % 5سطح خطا را . محاسبه نموده و در قالب نموداری نمایش دهید𝜇𝑥را به ازای مقادیر مختلف

𝑧0.05بر اساس رویکرد مقدار بحرانی و اینکه : جواب = : می دانیم1.645−𝑟𝑒𝑗𝑒𝑐𝑡 𝐻0 𝑖𝑓 𝑧 ≤ −1.645

𝑧از طرفی آماره آزمون نیز برابر = 𝑥−12012

36

: را تعیین نماییم که در رابطه باال صدق نماید𝑥 حال می خواهیم مقادیری از . می باشد

𝑥 ≤ 120 − 1.645(12

36) → 𝑥 ≤ 116.71


29

...ادامه

𝑥 لذا زمانی که ≤ 𝑥 در نتیجه می دانیم که اگر . باشد، فرض صفر رد می شود116.71 > فرض صفر رد 116.71. نمی شود، حال می توانیم خطای نوع دوم را محاسبه نماییم

باشد ولی ما فرض 120با توجه به فرضیه های تحقیق می دانیم که اگر میانگین طول عمر باتری ها در جمعیت کمتر از :𝐻0)صفر را بپذیریم 𝜇𝑥 ≥ . خطای نوع دوم اتفاق افتاده است( 120

𝜇𝑥ازمختلفیمقادیردوم،نوعخطایمحاسبهبراینتیجهدر < نوعخطایمقادیرایناساسبروشودمیانتخاب120اشتباهبهصفرفرضکهدارداحتمالچقدرباشد،112هاباتریعمرطولمیانگیناگرمثالبرای.گرددمیمحاسبهدوم

شود؟پذیرفته𝑝(𝑎𝑐𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑛𝑔𝐻0 𝜇𝑥 < 120) = 𝑝( 𝑥 > 116.71 𝜇𝑥 < 120)

𝜇𝑥برای = 𝑧:داریم112 =16.71−112

12

36

= 2.36

1بااستبرابراحتمالاینمقدار − 0.9909 = 0.0091


30

نمایش نموداری


31

...ادامه

را در نظر بگیریم، 𝜇𝑥اگر مقادیر مختلفی از

نزدیکتر می 𝐻1به مقدار در نظر گرفته در فرض𝜇𝑥همانطور که از روی جدول نیز مشخص است، هرچقدر مقدار : نکتهته و خطای نوع دوم کاهش یاف( کوچکتر می شود) شود سطح خطای نوع دوم افزایش می یابد، و هرچقدر از آن دور می شود

.کاهش می یابد𝐻0توان آزمون افزایش می یابد جرا که احتمال خطا نمودن در پذیرش


32

منحنی توان آزمون

آزمونتوانمنحنیبهکهآیدمیبدستایمنحنینماییم،محاسبهراآزمونتوان𝜇𝑥ازمختلفیمقادیراساسبراگر:استمعروف


33

𝜶رابطه بین 𝜷و

و خطا رعایت همواره رابطه معکوسی بین خطای نوع اول و دوم وجود دارد و در تحقیقات بایستی حد تعادلی میان این د: نکتهآزمون کنید و خواهید دید با 0.03و 0.01برابر 𝜶این مورد را با بررسی مثالی که گفته شد و در نظر گرفتن مقدار )گردد

(افزایش می یابد𝜷مقدار 𝜶کمتر شدن

به مقدار 𝜷آمده است در حالیکه مقدار 𝐻0به مقدار مشخص پارامتر در دامنه ای بستگی دارد که در فرض 𝜶احتمال : نکته. وجود دارد𝐻1پارامتری بستگی دارد که در

. نمی شود1الزاما برابر 𝜷و 𝜶مجموعه : نکته


34

statistical hypothesis testing for managers

Leadership & Management