statika gyakorlat 11 rácsos tartók
DESCRIPTION
Rácsos tartók.TRANSCRIPT
S 11 MECHANIKA I. Statika
2015
S 11 Segédlet
11. GYAKORLAT
RÁCSOS TARTÓK
Tartalom 1. ELMÉLET ........................................................................................................................................... 1
2. FELADATOK ...................................................................................................................................... 3
2.1. Rácsos tartó rúderőinek meghatározása .......................................................................................... 3
2.2. „L” alakú rácsos tartó rúderőinek számítása .................................................................................. 5
2.3. „L” alakú rácsos tartó rúderőinek számítása .................................................................................. 7
3. GYAKORLÓ FELADATOK ............................................................................................................. 8
4. VIZSGA BELÉPŐ FELADATOK .................................................................................................... 9
5. VIZSGAFELADATOK ...................................................................................................................... 9
1. ELMÉLET
Síkbeli rácsos tartók:
o Minden csatlakozás csuklós.
o Csak koncentrált terhelés hat.
o A terhelések csak a csuklópontokban hatnak.
Vakrudak meghatározása:
Vakrudaknak nevezzük a rácsoa tartó ezon rúdjait, melyekben erő nem ébred.
Ilyenek a „T” elágazású csomópontok szárai, mert itt a „T” elágazás csomópontjában nincs olyan erő,
amely a „T” szárát terhelné.
Számítási módszerek:
1. Csomóponti módszer,
2. Átmetsző módszer.
Nevezetes csomópontok [5]
A rácsos tartók hálózatában találhatunk olyan csomópontokat, amelyeknél számítás nélkül
meghatározhatók a rúderők nagysága és előjele, ezeket a nevezetes csomópontoknak hívjuk.
„V” csomópont
Terheletlen „V” csomópont.
A csomóponton nem hat külső erő, a rudak
erőmentesek. (Azokat a rudakat, amelyekben a
számítás szerint nem ébred erő, vakrudaknak
nevezzük)
Terhelt „V” csomópont
A teher hatásvonala az egyik rúd hatásvonalával
egybeeső Ebben a rúdban a terhelő erővel azonos
nagyságú, de ellentétes irányú erő ébred, a másik
rúd vakrúd.
2
Terhelt „V” csomópont
A teher hatásvonala általános irányú. Mindkét
rúdban ébred erő. Nagyságuk és irányuk a vetületi
egyensúlyi egyenletekből meghatározható
„T” csomópont
Terheletlen „T” csomópont.
A csomópontban nincs külső erő, akkor a bekötő
rúd, (a „T” szára) vakrúd. A másik két rúderő
ellentetten egyenlő (azonos előjelű)
Terhelt „T” csomópont.
A terhelő erő hatásvonala a bekötő rúddal azonos
hatásvonalú a bekötő rúdban ébredő erő
megegyezik a terhelő erővel, de vele ellentétes
irányú. A másik két rúderő ellentetten egyenlő
(azonos előjelű)
Terhelt „T” csomópont
A terhelő erő hatásvonala általános helyzetű. A
rúderők nagyságuk és iránya a vetületi egyensúlyi
egyenletekből meghatározható.
Rácsos tartó rúderő számítás – csomóponti módszer
A számítás lényege, hogy a rácsos tartó minden egyes, kiragadott csomópontjában igazoljuk a
csomópontban ható külső erőkből és a rudakban ébredő belső erőkből álló közös metszéspontú síkbeli
erőrendszer egyensúlyát. A módszer a csomópontok egymás utáni vizsgálatához alkalmas, a tartó
közepéből kiragadott csomópont számítására nem használható (túl sok az ismeretlen). A közös
metszéspontú síkbeli erőrendszer egyensúlyát a két db egymástól független vetületi egyensúlyi egyenlet
segítségével igazolhatjuk. A számítás során csomópontról csomópontra haladunk (például balról-jobbra),
hiszen két szomszédos csomópontot összekötő rúdban ébredőerő mindkét csomópontban azonos
nagyságú és előjelű. (a rácsos tartó nincs a rúdjain terhelve, tehát a rúderő értéke a rúd hossza mentén
nem változhat!!) A rúderők meghatározásához a derékszögű háromszögekre vonatkozó alapvető
geometriai összefüggéseket használjuk (szögfüggvények, hasonlóság)
Rácsos tartó rúderő számítás – hármas átmetszés
A módszert „Ritter” féle módszernek, illetve főponti módszernek is nevezik. A számítási módszer mindig
alkalmazható amennyiben a tartó szétvágható két részre, oly módon, hogy a képzeletbeli metszősík csak 3
rudat vág el. A szétvágott tartó egyik felét vizsgáljuk, ahol a tartórészen ható külső erő ket az átvágott
rudakban ébredő rúderők egyensúlyozzák. A feladat megoldása nem más, mint a tartórészen ható külső
erők egyensúlyozása három adott hatásvonalú erővel. Alkalmazzuk a „Ritter” féle módszert, vagyis a
nyomatéki egyensúlyi egyenletet a vizsgált tartórészen ható külső erőkből, valamint az átvágott rudakban
ébredő rúderőkből, a rúderők főpontjaira írjuk fel. A nyomatéki egyenlet felírásához feltételeznünk kell
azt, hogy az ismeretlen rúderő a főpontra milyen előjelű forgatónyomatékot fejt ki. Amennyiben jól
feltételeztük, az egyenlet megoldásaként pozitív eredményt fogunk kapni. A feltételezett iránnyal
rárajzoljuk a metszősíkra a kiszámított rúderőt. Ha a rúderő nyíliránya a metszősík felé mutat, a rúdban
nyomóerő ébred, ha a nyílirány a metszősíktól elfelé mutat, a rúdban húzóerőébred.
3
2. FELADATOK
Az alábbi feladatokat az átmetsző módszerrel oldjuk meg.
2.1. Rácsos tartó rúderőinek meghatározása
Határozza síkbeli rácsos tartón kijelölt rúderőket!
A következő csomópontok kerültek megjelölésre: A, B, C, D, E, F, G, H.
1. Reakcióerők számítása:
0 xF 0BxF (1) NFBx 0
0 yF 0 ByAy FFF (2)
0, zAM 064 ByFF (3)
(3) egyenletből NFFBy 4006
4600)4(
6
1
NFBy 400
(2) egyenletből NFFF ByAy 1000)400(600 NFAy 400
(Mivel az F terhelés függőleges irányú, ezért az BxF reakcióerő zérus lesz. Az „A” pontban lévő
görgőstámasz nem vesz fel vízszintes irányú erőt.)
2. Vakrudak keresése
Vakrudak keresése a „T” elágazások keresését jelenti első megközelítésben.
A „B” csomópontnál lévő vízszintes rúd azért vakrúd, mert a csomópontnál lévő reakcióerő vízszintes
komponense zérus ( 0BxF ).
Jelöljük be a vakrudakat a
szerkezeti ábrába!
4
3. 1S rúderő számítása:
Messük el a rácsos tartót egy, az 1S rudat is átmetsző függőleges metszésvonallal. Távolítsuk el a rácsos
tartó jobb felét. Tekintsük a megtartott baloldali részt.
A megtartott merev-testre a „C” pontban hat az F
terhelés, a „H” pontban két adott irányú, de ismeretlen
nagyságú erő, valamint a D pontban adott irányú, de
ismeretlen nagyságú 1S .
A „H” pontra érdemes felírni a nyomatéki egyensúlyi
egyenletet ahhoz, hogy az 1S erőt közvetlenül
meghatározhassuk:
0, zHM 042 1 mSmF .
Ebből az 1S erő
NFS 3004
6002)2(
4
11
Az 1S erő értékére negatív szám adódott, ami azt jelenti, hogy a feltételezett értelemmel ellenkezőleg
terheli a megtartott szerkezetrészt, tehát az 1S rúd NYOMOTT rúd.
4. 2S rúderő számítása.
Messük el a rácsos tartót egy, az 2S rudat is átmetsző függőleges
vonallal. Távolítsuk el a rácsos tartó baloldali részét, és tekintsük a
megtartott jobboldali részt.
Itt szükség van a reakcióerők ismeretére is. Írjuk fel a megtartott
tartórészre ható erők nyomatékát a „J” pontra. A „J” pont választása
azért előnyös, mert erre a pontra az egyelőre ismeretlen 3S erő
nyomatéka zérus, és így a nyomatéki egyenletben csak 2S értéke
lesz ismeretlen.
0, zJM 0442 mFmS By .
Ebből 2S kifejezve
4002 ByFS
Az 2S rúderő negatív, tehát az „FK” rúd igénybevétele NYOMÁS.
5. 3S rúderő számítása.
Továbbra is a „2” jelű átmetszést vizsgáljuk. Írjuk fel a függőleges irányra az egyensúlyi egyenletet:
0 yF 03 Byy FS ,
ahol yS3 a „JK” rúdban ébredő 3S erő függőleges koordinátája. A fenti egyenletből yS3 közvetlenül
kifejezhető:
NFS Byy 4003 .
Az yS3 ismeeretében a „JK” rúd geometriai
elhelyezkedését figyelembe véve számítható xS3 . Lásd
jobboldali ábra, mely szerint 4
2
3
3 y
x
S
S. Ebből
NN
SS yx 2002
400
4
233
Az xS3 , yS3 két koordinátaérték alapján az 3S rúderő
abszolút értéke:
NSSS yx 21,4475200400200 2223
233 .
5
6. 4S rúderő számítása.
A „3” jelű átmetszést vizsgáljuk. Írjuk fel a nyomatéki egyensúlyi egyenletet a
„K” pontra. Azért célszerű ezt a pontot választani, mert a metszésvonalon
átmenő három erő közül egyedül a keresett 4S rúderő fejt ki nyomatékot erre a
pontra.
0, zKM 0244 mFmS By .
Ebből 4S -et kifejezni:
NFmFS ByBy 2002
12
4
14
Az eredményül kapott érték pozitív, tehát az 4S rúderő a rudat húzásra veszi
igénybe.
Végeredmény:
NS 3001 , NS 4002 , NS 21,4473 , NS 2004 .
2.2. „L” alakú rácsos tartó rúderőinek számítása
Határozza meg a síkbeli rácsos tartón kijelölt 1S , 2S , 3S , 4S rúderőket!
1. Reakcióerők számítása:
0 xF 0BxF (1)
0 yF 021 ByAy FFFF (2)
0, zAM 04128 21 ByFFF (3)
A (3) egyenletből ByF kifejezhető:
N
FFFBy
70004
28000
4
1200016000
121000820004
1128
4
121
(2) egyenletbe NFBy 7000 -t behelyettesítve és
AyF -t kifejezve:
NFFFF ByAy 400070001000200021
Tehát a reakcióerők:
NFAy 4000 ; NFBx 0 ; NFBy 7000
2. 1S rúderő számítása:
Messük el a rácsos tartót egy, az 1S rudat is átmetsző függőleges
metszésvonallal. Távolítsuk el a rácsos tartó baloldali részét, és helyettesítsük
hatását az átmetszett rudakban fellépő húzóerőkkel. Tekintsük most a
megtartott jobboldali részt. A 0 xF összefüggést alkalmazzuk,
02,1 FS y , NFS y 10002,1 .
Az yS ,1 negatív értéke azt jelenti, hogy az yS ,1 összetevő iránya az eredetileg
felvett értelemhez képest ellentett, vagyis az 1S rúd NYOMOTT.
A tartórész geometriai adatai alapján az 1S rúd 045 -os szögben dől, ezért vízszintes koordinátájának
abszolút értéke megegyezeik a függőleges koordináta abszolút értékével, yx SS ,1,1 . Tehát,
NSSSSS yyyx 0001222 ,12,2
2,2
2,11 .
6
3. 2S rúderő számítása:
Messük el a rácsos tartót egy, az 2S rudat is átmetsző függőleges
metszésvonallal. Távolítsuk el a rácsos tartó baloldali részét, és
helyettesítsük hatását az átmetszett rudakban fellépő húzóerőkkel.
Tekintsük most a megtartott jobboldali részt. A 0, zCM
összefüggést alkalmazzuk:
044 22 FS , NFS 100022 .
Az 2S negatív értéke azt jelenti, hogy iránya az eredetileg felvett
értelemhez képest ellentett, vagyis az 2S rúd NYOMOTT.
4. 3S rúderő számítása:
Messük el a rácsos tartót egy, az 3S rudat is
átmetsző függőleges metszésvonallal. Távolítsuk el
a rácsos tartó alsó részét, és helyettesítsük hatását
az átmetszett rudakban fellépő húzóerőkkel.
Tekintsük most a megtartott felső részt. A 0 xF
összefüggést alkalmazzuk:
0,3 xS , NS x 0,3 .
Ebből következik, hogy NS y 0,3 , tehát NS 03 .
Az 3S jelű rúd vakrúd.
Felhívjuk a figyelmet, hogy a rácsos tartók rúdjaiban ébredő erők nagysága kizárólag az adott terhelésre
érvényes.
5. 4S rúderő számítása:
Messük el a rácsos tartót az 4S rudat is átmetsző
vízszintes metszésvonallal. Távolítsuk el a rácsos tartó
alsó részét, és helyettesítsük az átmetszett rudakban
fellépő húzóerőkkel. Tekintsük a megtartott felső részt. A
0 xF összefüggést alkalmazzuk:
0,4 xS NS x 0,4 .
Ebből következik, hogy NS y 0,4 , NS 04 . Az 4S rúd
vakrúd.
6. 4S rúderő számítása a tartó megtámasztásának vizsgálatával:
Messük el a rácsos tartót az 4S rudat is átmetsző vízszintes
metszésvonallal. Távolítsuk el a rácsos tartó alsó részét, és
helyettesítsük az átmetszett rudakban fellépő húzóerőkkel.
Tekintsük a megtartott felső részt. A 0 xF összefüggést
alkalmazzuk:
0,4 xS NS x 0,4 .
Ebből következik, hogy NS y 0,4 , NS 04 . Az 4S rúd vakrúd.
7
2.3. „L” alakú rácsos tartó rúderőinek számítása
Határozza meg a síkbeli rácsos tartón kijelölt 1S , 2S , 3S rúderőket!
A kijelölt rudakban ébredő erők nagysága a kényszererők számítása nélkül is meghatározható.
Gyakorlásképpen számítsuk ki a reakcióerőket.
0 xF 0AxF (1)
0 yF 0 FFF ByAy (2)
0, zAM 0412 ByFF (3)
A (3) egyenletből NFFFBy 3000100033124
1 .
(2) egyenletből NFFF ByAy 20003000100
Rúderők meghatározása:
Mind a három keresett rúderő meghatározható az „1” jelű
átmetszéssel.
1S rúderő számítása
0, zDM nyomatéki egyensúlyi egyenletet felírva a „D”
jelű csomópontra: ( 1S erőt hatásvonala mentén a „C” pontba
tolva majd vízszintes, függőleges összetevőkre bontva)
0841 FS x
Ebből NFFS x 200010002284
11
…
8
3. GYAKORLÓ FELADATOK
3.1 _________________________________________________________________________ [6,50. old]
Az ábrán vázolt rácsos szerkezetet a megadott három erő
terheli. Határozza meg a rácsos szerkezet egyensúlyát
biztosító kényszereknél keletkező támaszerőket! Határozza
meg a rácsos szerkezet rúdjaiban ébredő rúderők
nagyságát.
Adatok:
NF 8001 ; NF 5002 ; NF 4003
mma 200 ; mmb 300
3.2 _________________________________________________________________________ [5, 27. old]
Határozza meg a rúderőket tetszőleges módszerrel!
3.3 _________________________________________________________________________ [5, 27. old]
Határozza meg a rúderőket tetszőleges módszerrel!
3.4 _________________________________________________________________________ [5, 27. old]
Határozza meg a rúderőket tetszőleges módszerrel!
9
4. VIZSGA BELÉPŐ FELADATOK
4.1 ______________________________________________________________________ (V 2010.12.21)
Határozza meg a rácsos szerkezet kijelölt
rúdjaiban a rúderőket!
Adatok: kNF 6 , ma 1 .
5. VIZSGAFELADATOK
5.1 ___________________________________________________________________________ (V 2006)
Rajzolja be a vakrudakat! Határozza meg a
rácsos tartó kijelölt rúdjaiban ébredő erőket
és az igénybevételük fajtáját!
5.2 ___________________________________________________________________________ (V 2006)
Rajzolja be a vakrudakat! Határozza meg a rácsos tartó kijelölt rúdjaiban
ébredő erőket és az igénybevételük fajtáját!
5.3 ___________________________________________________________________________ (V 2006)
Határozza meg a rúderőket és a vakrudakat!
Adott: F , a .
10
5.4 ___________________________________________________________________________ (V 2006)
Határozza meg a kijelölt rudakban ébredő erők nagyságát és fajtáját!
Jelölje be a vakrudakat!
5.5 ______________________________________________________________________ (V 2007.12.18)
Határozza meg a rácsos szerkezet 1, 2, 3, 4 jelű rúderőit
és a vakrudakat.
Adott:
kNF 1 ; ma 1 .
5.6 ______________________________________________________________________ (V 2007.12.18)
Határozza meg a rácsos szerkezet 1, 2, 3, 4 jelű rúderőit és a
vakrudakat.
Adott:
kNF 1 ; ma 1 .
5.7 ______________________________________________________________________ (V 2007.12.18)
Határozza meg a kijelölt rudakban ébredő erők
nagyságát és fajtáját! Jelölje be a vakrudakat!
11
5.8 ______________________________________________________________________ (V 2008.01.10)
Határozza meg a rácsos szerkezet 1, 2, 3, 4 jelű rúderőit
és a vakrudakat!
Adott:
kNF 1 ; ma 1 .
5.9 ______________________________________________________________________ (V 2008.01.10)
Határozza meg a rácsos szerkezet 1, 2, 3, 4 jelű
rúderőit és a vakrudakat!
Adott:
kNF 1 ; ma 1 .
5.10 _____________________________________________________________________ (V 2008.01.03)
Határozza meg a rácsos szerkezet 1, 2, 3, 4 jelű rúderőit és
a vakrudakat!
Adott:
kNF 1 ; ma 1 .
5.11 _____________________________________________________________________ (V 2008.01.03)
Határozza meg a rácsos szerkezet 1, 2, 3, 4 jelű rúderőit és a
vakrudakat!
Adott:
kNF 1 ; ma 1 .
12
5.12 _____________________________________________________________________ (V 2010.01.27)
Határozza meg a rúderőket és a vakrudakat!
5.13 _____________________________________________________________________ (V 2010.01.18)
Határozza meg a rúderőket és a vakrudakat!
5.14 _____________________________________________________________________ (V 2010.01.05)
Határozza meg a rúderőket és a vakrudakat!
Adott: kNF 1 ; ma 1 . (A csoport: 1,2,3. B csoport:5,6,7,8.)
5.15 _____________________________________________________________________ (V 2010.01.12)
Határozza meg a rúderőket és a vakrudakat!
Adott: kNF 1 ; ma 1 .
(A csoport: 1,2,3. B csoport:5,6,7,8.)
5.16 _____________________________________________________________________ (V 2010.12.21)
Határozza meg a síkbeli rácsos szerkezetre ható
támaszerőket és az 51 RR rúderőket!
Adatok:
kNF 10 ; ma 2 .
13
5.17 __________________________________________________________________________ (V 2011)
Határozza meg a kijelölt rudakban a rúderőt! A távolságok m-
ben adottak.
Adatok: NF 5000
Irodalomjegyzék
[1] Csizmadia Béla - Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek. Statika. Nemzeti tankönyvkiadó. Budapest, 1999.
[2] Galambosi Frigyes: Mechanika I. gyakorlatokon egységesen tárgyalandó példák. 2014. BME KJK.
Járműelemek és Járműszerkezetanalízis Tanszék.
[3] Galambosi Frigyes: Mechanika I. Statika. Bsc hallgatók számára. 2011. PDF.
[5] Hajósné Temesi Eszter: Mechanika I. Statika. PMMK (00_Mechanika_1_jegyzet.pdf)
-.-