ι,αθε-,ισαγιιιενη; τοU

liι'ak

1

-

Συvαqτηαειg oε Ευxλεlδειo Χcυρo

Γ{0PNIA ΚAΙ ΕΣΩTΕPIΚΤ ΓINoMΕNo(-) Ε ι,;ιi'εiδειo5 n-διιi

*.Ι)Τ':rui,'13,.γ1f:,;il:ii^i:Jffi*:,;}:'ffi #.ii::R ",'χ;; ;.'i;,'"

ουνoλo oλωv των π

- 'ιδo\'ται ο,c ευ0εiται oη1rε[o oτou J?,;Qα7ματι

xυlν αψιθμlιilν1.' ε,λ "'",x.iδ

.. ; 1: l:.':|,f; :;.'; l]?: i: : r r** J :ι#,χ: "Τ*fl ffi i

l:=(rι,..',rn'').Εr'cr oημεlo σΤoν ftlι

-,,1.o'. ρ,. .1. rρaqoi ::;":"i:!ιξ'::.,uj}"r".Ψα στoγ E,, διoτι o -l?,,, εφo_

:"i;'' δ"io'o-o; :,:i::λ,oZr'

' 1;;r' i Ιr,]":\::;i,l

";''' α," 7,,Q)''''lι'; )' Σ' αυτoγ .o, δ,.orυoi;;'rj;"-::^l::':1""Ιo τoυg πραγpιατιxoιig

ψ: ; l i β ##ffi'.:: μ}:!:iil μi:: hjxt#\"ιl l L'.: lJ; E,?1:;J ru in ;',xl,

1 ; j ;,',',Τ. j Ι. ilλ* :::;H li

u':1un'uoo. Αν ι'y € R'n xαι α e R, τ6τε:': (Ι. z-,ιι /rl = 0 αν y.αι ,,'ro ou-", ='i'

- ;\] o οιzεioq χιilQoζ τolν τριιilν ι)ιαοτciιτεαlν- \[.: o Q εiναι nqαγρ,oτιxoE αριΘμοg.

(2) lΣ7=r''μi| < r' y' η ιοoτητα ιo7ι1ει αxρι6δq τ6τε, 6ταν τα tr ?ιαL g ε[να.ιy ρ αμμ ιxcil q ε ξαρτ η'ιι ε -ι' α'ι 3'

(3) 'r+9l!tl-lμ'(4) |αr| = lα| ]r|.

Aπ6δειξη

(1) Aφηvεται οτον αναγνιboτη.(2) Aγ τα r χαL !) εiναι γqαμμιxωg εξαqτημ6να, η ιo6τητα πqoφαvωg ιο1υει. Αr,

61ι, τ6τε λy - " l0γru 6λα τα λ e -R", αρα'

'r1,

0 < iλy - r|2 =|{xa, - "i),i.=1

= s2 |{ai)' - 2λΣ '''an

* Σ(Ζi),,i=L i=1 i-Ι

To^ τqιιbνυμo ωζ πQoE λ oτo δεξι6 μ6λog δεν 61ει πqαγματιxη ρi,ξα, ουγεπιil<η διαxqtvoυoιiι τoυ πq6πει γα εiγαι αqνητιxη. ;b.oι-

- 4Σ@\2 Σ(y,), . ο.

|' * μl' =|? r(ri + yi)2

= Σ?='(rn), * Σi=r(yn), + 2||. , ri yi< lr|, * lμ|, +2|r).|y! (απ6 τη (2))

= (rl + lyl)2.(4) 1""1= 1ffao'-γ =

ΣYNΑΡΤHΣΕΙΣ sE E\ι\εΙ_\ΕΙo \ΩPo

= l"l |r|. Ξ

Θειbqημα, Aν r,11,Ι2 Χ(J'L \J'at,ljz ε[ναι διανdαματα στoy R", χαι α e R,ε

(αυμμετq[α)

ιι1Γqιl{ι

Ki.r::τιι\'l-'-l 1

αι'ιτiθηl,τιl1ι' i-ι:τt γc(ΖCι:

_1 = (ο

. (* ,'o')

(3)

(:) '

=a

=-H πoo6τητα Σi-t r,y" πoυ εμφαviξεται στη (2) xα}"εLταtεοωτεqιx6 γιv6μεvoτωγ r γ"αL lJ xαι oυμ6oλiξεται < r,y >. Oι οημαντιx6τεqεg iδr6rη.ug'rou

εοωτεqιπot γινoμ6νου εiγαι oι αx6λoυθεq.

1-2τ6τ

(9i ζ r'!J )=ζ y, z )(3) Σ'τ'M': Υπαρ1oυr' δi'o τgα','ματιzo| λ. μ. εx τωγ oπolιυγ ο εναg τoυλιiι1ιι:rτoγ ε[γαι διαφoqοg

τoυ μηδεν6g. τετoιoι ιilοτε λr + μη -0'

o'Σ?='("n)'

NoΡMΑ KΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙKt.-l Γl]ι, \lΞ)

μ εLναL

/ι,ει. Aγ

ιΤι,\rεπωζ

iι1'oμεγolτεg τoυ

l'Cι€R,

IuετQ[α).

. ιrιιiφoQοζ

11

-'l

-i

.!. cιr''μ Σ=ζ rl α'μ >= α ζ r'a }{ 11 + 12' ! }={ rl'a } + 1 12'μ }{ r''μ1'+ !2 }=1 r"9t } + ζ r,'μz }1r'r >} 0, xαι 1:r,r }=0 αyxαι μ6vo αy r =0lrΙ- '/<τ'τ->.'.r+υ2 lr μ|2< J'.ι]>=

+

1Ι

< α.Ι:. ιt, _ Γ(r.r,'),rl" /-i-1'r)

r,\ ' ,..::r.r Z, li.l,:.\.

(θετιz.d οqιrl'u!νο).

(τ o"ι' τ ι ) τ η τ α π 6 λω αη E').

-

\τ6δειξη

ζ r'a >= Σl'-' 'iμi =Σ?-ry""i =ζ !!,r }.Λ6γιυ τηg (1) αρxεi να δε|ξoυμε οτι

{ αι:,y ) = α ζ r,!,l ),( ;ι:1 + rz,!/ } -{ ,ι]1l y > + < rz'

'1.l }

Πqαγpιατι.

fι'

="Σriyi=αζr,a},i-1

nn( r:t + rz,'! } = f ιri + r1)yi =Σ''yn *Σ"\μ'

i-t i-t ,i.=1

=ζfrιly>+<rz,a)

oι (3) xαι (4) αcρηνoνται οτoν αναγνιilοτη.|r + y|2 - ]r 'μ|2

4_}[<..-!:l.,Γ+g 2

Ι| - - - ι i z -=1|<.t'.J'> ιΖ< .Τ.y

=ζ rl!) }. l

r-!J,r-y>l+ ζ y,y > -(< Ι,Ι } *2 ζ r,y > + < y,y >)l

απo την (4)

Kλεivoυμε αυτηv την παραγqαφo μιε oριoμiνεg oημαντιx6g παρατηρηοειq.τανω οτoν ουμι6oλιομ6. To διανυoμα (0,...,0) Θα δηλιbνεται απλα pιε 0. Ηουνηθηg 6ιiοη τoυ -R'' εlγαι I €t,...'en,6πoυ e; = (0,'..,1,....0) pιε το 1

,tτην ri-ooτη θ6oη. Aν T '. Rn + ftrrι εLvαι 6να9 γqαμμιx6g μετασyηματιoμιog. o.τιr,αxαg τoυ 7 ωg πQoζ τLζ ουν{θειg 6ααει9 τσ]γ ,R,n y'αL RΙΙL ε[ναι o rn x n πi-γαxαζ_{ = (α;i)'(a) oπoυ T(ei) = Σir:, α'iιe'i -ol" ουντελεoτ6g τoυ Τ(e1) εμιφαr,[ξoνται

]) Σ.'.M., Σε oριιrμι6να 6ι6λ|α ιυ-< πiναxαg τoυ μετασχηματιoμot T oρiξετιrι o (1\(lστΟι)ι+υ: τoι

ΣYNΑPΤΗΣΕΙS -Ε Ξ\ L1'-Ι \ ΞΙr ) _\oPΟ

στηγ?-oστηστΙi /"1Jτoι,:τt\'(ιΖ.[ι._\ι.οS:J?l]]+Rl,(:'y'ειτoγpXmπLναxcxΒ,τoτε η oυνθεοη S : Ζ -' ε/ει τιl\, Ι) rι :τινCJ'.Λα' ΒA 1s " r1ι.1 = S(7(r)). oταπεqιoo6τεqα 6ι6i.Lα Γοrιιtμιι'zt1: -\i.',,εOqcι: o S o Ζ δηλιbνεται απλιi με S7] . rιανα 6ρoυμε τo 7(r). θει,-lοoιιιε τo .,,ιr,oιιενo

ε|ναι 7(r) = (yΙ,-.. ,!)"'). Mια oυpι6αoη επαναi oτo oυμ6oλιoμι6 'απλoπoιεi.oημαντιxα αρxετoυg τtπoυζ: αy r € R" xαι,μ € Ρ.',' τ6τε τo (r,y) δηλιbνει τo

(;l: ;i ) (:) (; )

(r', . . . 'Ιj'"'',!/1 '...'U"') € Ρ"lι'+rfι'

ΠPoBΛHMΑTA

1_1.* Απoδεiξτε 6τι :ι ( Σ]'-r1''i .

Ι'2. Πoτε ιιr1ilει η ιο6τητα οτο Θειilρημα Ι-1(3): Yπ6δε.:ιξry: Ξαναδεi,τε την απoδε:ιξη.ηιrπιiντηοη δεν εiγαι "oταγ τα r xCιL !/ εi.ναι γqcrμμιxιbq ι:ξαρτημ6νιr',.

1-3. Απoδεiξτε 6τι |r - yΙ < ]rl + ]9|. Π6τε ιo1υει η ιo6τητα;

1-4. Aπoδεiξτε 6τι | rl * μ | < l: 'μ .

1-5. Η ποo6τητα lJ * r xαλεi,ται απ6oταο11 μεταξυ τ(ι)\\| Ι 14'αL"τqιγιυνι,xrj ανιιloτητα'': |z rl <' Ιz υ + |u .τ| xαι διiloτεοημιroiιr.

μ. Απoδεiξτε τr1ν

τη γεωμετqιxη τηq

1-6. Ag ε[γιrι oι f ιcιι g ολoxληραloιμεq οτο [α..6] .

(α) Απoδεiξτε 6.ι !,',' f .s] -. \Ι:' f.\'/r.(Ι:'' oz1t/z. Yπι)δειξη: Εξετιiοτε 1ωqιoτατιg περιπτδ,lε,ιg ιl -- J,l(/ λq)2 .,,ια xαπ,lιο λ l? ι,u o t [,|ι[ λq)2 ),ια6λαταλe.R.

(6) Αν ιoxilει η ιo6τητα. εiναι απαqαiτητo γα' ιοxυει / = λ9 για xιiποιιl λ e E'; Tioυμ6α[νει oταγ ιlι J xαι g εi.ναι oυνε1ε[,g:

(γ) Δε[ξτε oτι τo Θειbρημιr 1-1(2) εiναι ειδιxr1 περiπτοloη τoυ (α).

[-7. 'Eναg γqαμιιιxoq ιιι]τασyημ(Ιτtσμιiq Ζ : R" - R7? διατηqεi τη ν1lφμα αν ]7(;r)] = |r .xοιι διατηqεi τo εoαlτεqιxιi γινομενo αν < Τ(r).T(:!J);=< l: ,y-}.(α) Απoδεi_Eτε ilτι η διιrτr1ρηιli] τr1< r,ορμιιrq απο xαπιlιoγ γqαμiιιxo μεταοxηματιoμ67 ιιroδυναμεl pιε διατr1οi1οr1 τ()ιt ε(J(,)τι:Qιχilυ .,,ινoμενoυ. ' '

(6) Αποδι:iΞτε ιiτι ε'r'ct: τετι)Lι]:','οcrιιμιzoq ιιετα(rχηματισμ6q 7 εiναι 1-1 xιιι 6τι οΓ l ιiι'ιιι τυι'ιδlιlι'ι δι)ι,:.

-Γ--

'Ι:τ,']1,

] lι ''

l: r.'' ,

:.)τε

\l

R,,','!ι1Lιιι

ιl '/ιlaιι

(5) Σ.τ.M.: H ο'τοiιι εir'ιιι ι11l:'ι]'.1ι]ιιιΖι]: ιιετ(ιιr7}lματισμιoc RΙL - |ηtl

τιι,αxα B'rι.r ))' oταε .9Γl. Για

t i(iΙlιoJΙoLtt)1l/'(υνει τo

τιiδειξη' η

ΥΙΙoΣΥNoΛΑ E\'Κ'\E1-\ΕΙ1 -': \'-:i' ''' 5

1-8. Αν ^Κ'" r'μ € -R' ε[ναι μη μηδι:νιxα' η γωγiα τ('Ι' 'Ι 7"ιι _' οq,ετ'ιι ; το

'"' ,r.."li:iηi.G, "saγμ" nou' j1u1, ν6ηpια λ6γιυ του Θει'lgl]ιιιιtιl: 1 l 1t 'τι'μιδιlrL

:ετ,ιι δ'ε ι,'' ιι',.y}. O γριι1ιμιNο( ιιετα()χηιlατιο1ιι\: Τ διατ11ρlιι τll '!,(,)\'ιι,. lι\' ιι\'Γιι

i'-1 noι ^γro' ".μ / 0 ixoυμε 1(T(l\'T(a\\ = l(r'a)

(o) lεiξτε ,iτi o' o'i διoτηρι'i τη ν6ρμιι' τ6τε διcιτηρεi τ}l 'l/(')\'ι(_/'

(6) Aν υπαρ1ει μιιl6αoη li,"',lΙ2 ToU R, xιlι "n'ollo' }].. -,., 1'] '_"o'o:lΙ::

T(ι;')=iir,.δεi,ξτει1τιοTδιατηρεi,τr1γαiνlιrαγχαιμo\,oα\,Λ1=...r niιL.

(.r) Tι αποτελουγ o'' 1iρα1-ψ"ιι'i' μu"on1ημ""oμoi T : R" - -R'? πoι δια'τηριlυν τη

','ιυνiα;

1.9, Αν 0 < θ <τ. ιιg εiναι T: R} - R2 ιl γραμμιx6g μι]τασχηιιατι(rμ6ζ με πiγαxα

( cι,'θ. 'ιn01,_, Δεiiτι. δτι ι, r δlατl1ρεi τ11 γιυνiιι χαl . αν r = 0. τοτε

\ -sin[J. cοsθ/)Q'Τ@)) =θ.

f,i.'

,11.

Αr, Τ : RιΤι' + fiL" εi.ναι iνιιg γραμμιx6g μετιrο1r1ματιoμ6q' δεiξτε oτι UπαQχι:ι

αριΘμι6g -Λ1 τετιlκlg ω*.'Eιλji < ,η7tλ't' ο""" Ιι e 'i{'''.

Yποδειξη: Nα επτψυ1θεi τιl

iilrjι_εa... του 1λ1 χαι τιDγ oτoι1εlιυν τιlυ πiγαxα τoυ T'

)εiΞτε την,ετριxη τηg

-τε /'ιυQιιττα

- λg')2 1ια

\ ε ,R;Ti

Ι ιr'){ = |r|'

.7t1ματιoμ6

-- ;r.αι 6τι ο

\ι, :r;. U € R'ι lιcιι z'ι'ιl e P;''1 ^ δεlξτε 6τι 1 (l':'z)'\'!J11υ) >=< x]''!] 2

.,r, lι..". ',_-

7ρ1;1ρ. Σr1μιειιboτε οτι τα (r, z) Nαι (1)'u'') δηλιbνουν οημι:iα oτoνζ (r, z)' (g. tυ) 2=1 x:, ll >+ ζ Z''a

Σ τ.\Ι.: Δηλιrδr1 τοξoυν (τ6Eο ιluγημιτovοιt) 'ou ffr'

PLΙ1+τ1ι,.

.\; δr]λιbνει, o (E,")* τογ δυixil xιbρο τιlυ διανυομιατιNιlι x'bρΨ*:l:' o' l: e R"^

ιlρiξoυμε pl: € (Rrι')* u. irirj )1 '''g )' oρiξουμε τογ T: P"'"' u (R'ι)* pιε

Γιr) = Ψ,r. Δε[ξτε ιiτι, o ?]iιuo.'ιuoq 1-1 '1ραμμιx61ιιετασχημ(Ιτιομι6q xαι xιl'τα'λrjξτε

o.ι,r ιl., 'nλ.o,

φ ε 1R"1- εi'να"ι φ1 ','ια l:νιr' μιoναδιz6 r e R"'

Τιl. t.'μ ε R,?? λi.με 6τι ε[ναι xιiθετα (r1 ορΘoγιiwια) αr'( :l:''!'! }= 0' Aγ τιlι x: γ'(ΙL'μ

.ιι', rι zα0ετα. αποδεrξτε δτι 'r ' g|L J'|1 | |u|' '

Υ Π()ΣΥΓ{ o ^A

EΥΚ^EJ^Ε'Ι0Υ xΩP oΥ

: 1.ι]/-εL ενα ιρυoιxo αναλoγo τoυ χλει_στoυ διαoτηματog [rι' β] στoγ R2' ΠρoNει-

''ι(ι τo xλειοτo nqοo;,irn'o [α, l3l_x [1_, δ] πoυ oq|ξεται ω-q τo ουlολo 6λιυγ τοlγ

' .lr' (.ι:.y) με J e [o,'Jl *": ;e'tr'δ] i''"'6"ρo' αγ Α C R"' Υ'αL Β c H''-: τo l x Β c nrn'*:,,'

'oqlξε1αι ,a io oυνoλo 6λιυγ τωγ (r:,1ψ) e fiι-o" με

- -'\zιιι μ e Β.:uγr.rqrμ*ricι' R*in =R'" x -R"' Αγ AC R''" Β C R,' xαι

R]'. τoτε (AxΒ)xΓ = Αx (B xΓ) xαι απoδ|δoγται α1-ιφilτεριr μιε ΑxB xΓ'

Σ'τ'\1': cοs=oυγ' S1Π=l'lμ -^ ^i*'^j^ Λl'ιn tιι1τιoμιilν Τ :

-.τ,\1,:Yπε:νθυpιιοη:Πριiιειταιγι(1τoπι,νoi,o,6λιυγτolνΛ/Qα|ιιιι7'ιl]\,μετασ/')ΙF. τ(l (lnιtiο i ivι(ι ;1Qι(γtlατtzι)C διανι'olι((τ''* 1"'ρ'o "'

'i''''-JΙ- '-U'1j' :: Γ '( : lr''ιt υ

.':.ι)τι1ι)7llιlιιτ,o,,o. R"'"j'H'';i' i'';;"'.-riil'"'{' 'i' '' R' ':7''ι '' Γ ''t Rl|'\''(l

';'r."- ,,..;;;rμ,r."oμo. Fl71 u R (αT)(r) = αΤ(Ι)''Ι' € R|1 '

αυτη η οilμ6αοη επε;,.τεir'ετcιt σTo .,l11lρ116νo oιoυδηπoτε αgιθμot ουγ6λων. Too'ιjγoλo [αt',3ι] X ... X Γοu. j,'l a .R,, απoτελεi 6vα xλ"ειoτ6 oqδoγ,br,o οτoγ _Rr,'εγιil τo οιjγολo (q. 3l) ' (ι'l ,,. 1,') c R" απoτελεi tyα λoιxτil oqθoγιirvιo.Γενιx6τερα dνα oυl,o7.o L- a R" ια)'εLται αyoιxτ6 (Σxγiμα 1-1) αν για xαΘεr e (Ι υπαρ1ει αγoιz.τo oρθo^,,1,11,1ρ ,4 τ6τoιo ιbοτε r e A c (Ι.

'Ενα υπootγoλo Γ τoυ -R" εiγαι xλειοτ6 αγ τo R, - Γ ε|γαι αγoιxτ6. Eπiπαραδε|γpιατι, αγ τo Γ περι6xει πεπεραομ6νo μ6νo πληθog oημεiων, τ6τε εiγαιxλειoτo. Αφηνεται o'o, orα.1νιδoτr1 η απ6δειξη oτι 6uα xλεioτo oqθoγιbvιo oτovRn εLyαι πqαγματι dγα xλειοτo oι]γoλo.

Αγ ,4 c Rn xcl"ι' :ι e R" , τoτε ιο1ιiει αxqι6ιbg μiα απo τιg αx6λoυθεζ τQειζδυνατ6τητεg (Σ1ημα 1-2):

1. Yπαq1ει ανoιxτ6 oρθoγιbνιo B τ6τoιo ιboτε r e Β c A.2- Υπ?ιρyει ανclι'xτ(l oq,Θoyι'ilνιo Β τ!τc>ιo ιboτε- :r: e f} c- ΙΖ,, - Α.3. Ay Ι7 εLycιι' <llτoιoδy'1rroτε cιyoιxτ<i oqlΘoγωvιo με J € Β ' τoτε τo Βπερι61ει οημεiα τ6αo τoυ ,4 6οo χαt τoυ Rn - Α.

Τα oημεi,α πoU tχανoπoιoυv την (1) απoτελoυγ τo εοωτεqιxo τoυ ,4, εxε|γαπoυ ιχανoπoιoυν τη (2) τo εξωτεqιxιi τoυ Α. xαι εxεiνα r.oi,_,rouor,oιoδν την(_3) τo ουvoqo τoυ Α. Τα πqo6ληματα 1-16 μ61qι xαι l-rε μ"s ο.l1voυv 6τι oι6goι αυτoi. 61oυν εv|oτε απqoοδoxητo περιε1o1.ιενo.

ΣYNΑΡTι{'EΙS sΕ Ε\ L\ΕΙ_\ΕΙo \ΩPo

:iii15

l:;r::;.

lΙi$l

LifJai!,ι]

ΣΧΗMΑ ι-1

YΠoΣYNoΛA EYKΛEιΔΕΙO\ \ΩΡo\

-:_ηη

Ξr::::::::=!

:π_

::::::

-:Ξ;':::::'-..................-:

::::::::::::::::::::::::

::::

::::

2o

a-1

a

ΣXHMΑ 1-2

ΔεγεLγαιδtοxoλoναδoυpιε6τιτoεσωτεQιχ6οtoυδηπoτεσυγoλoυΑεi,γαιαγoιχτ6ουγολo.χαιτo|διoουμι6αiνειl-ιετoεξωτεριN6τoυΑ,τooπoιoδεγεiγαιπαQα τo εσωτε8ιχo του RΙι - Α' Συγεπιbg (Πq66λημα 1-14) η iνωοr1 τoυζ ειναι

αγoι?.ιτ6 oυγολo, χαι αUτ6 που απoμ6νεt, τo'συγοQo δηλαδη, εi-ναι, xλειoτιi.

Mια ουλλογη O ανoιxτιbγ oυγολωγ απoτε}.ε| αγoιχτ6 xαλυμμα τoυ Α (η,

o*.Ξιj-rqo, ,oλrr,"u, .o e) αγ xαθε οt1μιεLo :r e ! 6ρioxετcrι oε xιiποιο

ανoιxτ6 oυνoλo τηg oυλλoγηg O' Για παρoδε'γμα ' ιιν () εLναι η ουλλoγη oλων

το.lγ ανoιxτιbν διαoτηματω, (o, α + 1) για α € R' τ6τε η O ε1γαι iνα xαλυμιμcr τoυ

R'. Eiγαι πρoφαν6g oτι o .R δεγ Nαλυπτεται απ6 πεπεqαιrμtνoυ πληθoυg crγoιxτα

oυγoλα τηg oυλλoγr1 ζ O, Nαι τo.Lδιο ιoxtει για oποιoδηπoτε μη περιιτοlpι6νo

υποoυγoλo του }l' K&τι αγαλογo 6pιu.lg μπoρoυμε να 61oυμε χαι για περατιυμ6νcι

οtνoλα. Αγ C? εiγαι η oυλλογη δλ.ou ,ru or]rr",1,u διαoτηματιυν ι},. l i1 ο,""'

τo n διατq6xει 6λoυg τoυq αxεqα|oυE τoυζ 1-ιεγαλtτεqoυg τoυ 1' τoτε η (J ειr'ιl'ι

6γα αγoιxτ6 xαλυμμα ",,',,

1ο. i), ομi"g xαμ|α πεπεριιoμθνη oυλλo'μ1 ουνo7"ιυι'

τηΞ () δεν xαλυπτει τo (0, 1)' Αν 'oι.ou'6 τo φαιν6pιενo δε μιoιαξει ιδια[τερα

oxαγδαλιbδεg,θoπa.....,uo,.ouμε6τιταουγoλαγιαταoπoiαδενιο7'υειειuαι μεγaιηi orouao..Jτηταg ιbοτε γα διxαιoλoγε|ται γι' αυτα 6να9 ιδια"|τερo:

iqooaιoρ,oμιδg, 6να ouuoιo j xαλεiται συμπαγεE "" **θ". i::l*6 ": ''"λ"ilι:

o- ^rq,λλμ6αγει

6να πεπεqαομιθνo υπoxαλυμιμα τoυ. δηλαδη μtα πεπεQασμε]γη

ur,no'ι]λλoγri τoυ O, η οπoLα εiναι επ['οηg xαλυμμα τoυ Α''Eγα οtγολο ιιε πεπεQασμ6νo πληθog oημιεiο'lν εLναι πqoφ^ανιi'lg ουμπα''16..ζ z'ιr'ι

τo iδιo ουpιelαLνει 1-.u .o o^'r.,ρooυνoλο Α io oπoiο περι61ει τo 0 xαι τoυq αρι0μιoυ-<

! για oλουq τoυq αxεραloυg rι (εξr1γησγl: αγ O ε|γαι iνα ιαλυμιμια. τoτε 0 e [/ για

;,r"-.?"lr.ο'uωoλo U oτo'o.υπαρ1o. τιbρα 6να πεπεραoμθνo μιoνo πλr1Οog

oημιε|ιυν τoυ Α τα oπoiα δεν ανfxoυν oτo [/ ,ir,, .., xαΘ6να ι:ιπcιι'τεi 6να τo πoλυ

ουνoλo απιi τη oυλλoγr1 O ιboτε vα θxoυμιε τo επιθυμυ1τ6 υποxιiλυμμια)'

Ηαναγνιilρ,oη".,nου1-ιπιιγαlvoυνoi,ιυγαπλoποιεiταιεξαιρετιl,"α1αριgoτηoυνδρoμη

"uru or6λouθιυν αποτεi,εoμιiτιllν. απ6 τα οπoiα pι6νo τo πριbτo θ1ει

xαπoιo 6α0οq (δηλαδr1 χQησιιιοπoιεi oριoμdνα δεδoμι6να γυqω απo τoUζ πQαγμα-

τιxoυζ αριθμoυg).

ΣYNΑPΤιΙ-ΕΙ-'E Ε\'L\EΙ_\EΙι) \()Ρ()

1-3 Θεitρι1μα (Ηeine-Βοret). " Τιl z)'ειoτιj διd.oτηρια |α' 3l ε[ναι oιlριπαy!g'.

Aπoδειξη. Αν c εir,αι εr'cl' cιr'oι;,.τιj ;,'α'i.υμμια τoυ [α.il] , αg εiγαι Α = {t'. cι <r ζ β xαι τo [α. r:] ;,.ιl-}'υπτετα'ι α'πo πεπεραομ6νo πληΘo-ζ αγoιxτιilν oυν6λωγ τoυo\.

Σημειοlοτε oτι α € A xcιt oτι τo Α εi-ναι φρα.1μ6νο απ6 τα δεξια (απ6 τo lr).Θ6λoυμε να δεiξουμε oτι β e Α. Αι,τo i' δηλιbνει τo μιιxρ6τερo ανιυ φqα^1μα τoυΑ, αρxεi να δεiξoυμιε oτι (1) ^| € Aν'αι (2') β -"i.

Eπειδf τo o εiναι ivα xαλυμμα. f € (Ι \Lcι xαπoιo [/ oτo O. Toτε oλατα οt1μιεiα oε xαπoιo διαoτη1-ια ιιqιοτερα τo'υ 1 ανηxoυν επioηg οτo U (δεi,τε τoΣxrjμα 1-3). Eπειδη τo 1 ε[ναι τo μιιπρ6τεqo αναl φaαγμα τoυ Α. υπαg1ει 6ναr o' αυτ6 τo διαoτt1μα τθτoιο ι.boτε iε e Α. 'Eτoι τo [α, r] xιιλυπτεται απ6 6γαπεπεραομιiνo πληθog ανOιχτιi]γ oυγ6λοlν του O' ενιil τo [.ι:.1] xιιλυπτεται απ6τo μιοναδιx6 oυγoλo U. Συνεπιbg τo [α. i'] xαλυπτετcrι απι1 πεπεραoμ6νo πλr10og

ανoιxτιi.lγ ουγ6λωγ τoυ (2, }ιαL ^| € Α. Αυτo απoδειxνυει το (1).

Για να δε|ξoυμε το αληθ6g τoυ (2). αq υπo06οoυμιε αντ|θετα 6τι 1 ( ,9.

Yπαρxει τoτε 6γα oημιε|o r' ;-ιεταξυ τοJν l χαt ,ιJ τ6τoιo ιi'ioτε [1, ι'l c (Ι. Επειδη^1 e A^ τo διιioτημα [α.1] xαλiπτεταt απo πεπεραopι6νo πλrjOog ανoιxτιilνουγoλιυγ τoυ O, εγιb τo [l, ,'] xαλυπτεται απ6 τo U. Αρα / e A' xι\τι πoυσUl/χQoιεται μιε τo γεγoνog oτι τo 1' εlνcrι fγα αγο.l φqαγμια τoυ ,'Ι. Ξ

Αν B c E"' ε[γαι ουμπαγ6g y'CιL r € E'' ' εtxoλα διαπιοτιbγει xαγεLζ 6τι τo

{r} x B C R)ι'+lΙ1 εiναι oυμπα^1ig' Mαλιoτα, μπιlριliμιε να προ1ιυρrjσouι-ιε σε μιαπoλυ ιo1υρoτεqη διατiπωoη.

.

7-4 Θεilρημα. Aν Β ε[ναι oι'l1ιπαyi:q αιiνιlλο xαι () ε[ναι !να αyclικτ6 xdλιlριμcLτoιl {r} x Β, τoτε υπαqyει !yα' ανοι'xτι| oιiνoλo U C R'' πclιl περιt:yε)L το :f

τ!τοιo cilclτε τo (Ι x Β να xαλιiπτεται cy"πrj πε:περcιoρι!νo πληθοg oυν6λοlν τoυ o.

Aπoδειξη. Eπειδη τo {r} x B ε|ναι ιlυ1-ιπαγ6g, μπoρoυμιε να υποΘiιrουμε εξ αqxηgoτι τo (J ε|γαι πεπεραοpι6vo. χαt τo μ6νo πoυ 1ρειαξoμιαοτε ε[γαι να 6ρoυμιε 6ναανoιxτo oiνoλιl U dτoι ι.ilοτε τo (Ι x Β γα xαλυπτι:ται απ6 τo (J.

Για xιiθε 'μ € Β τo oημεio (r. .ι7) εiναι oε xαπoιo αγoιxτ6 αυγoλo ΙΙ'- τoυ O.Eπειδη τo Ι,Τ/ εlγαι ανoιxτo,61oυμιε ('r:'μ) e Uo xVo c Ιd' για" xαπoιο ανoιxτooρOo^1ιilνιo fΙo x Vo. Tα οilγoλα V,' ια)'νπτclυν τo συμπαγθg oυνoλo B. αρα 6ναπεπεqαομι6νo πλr1θog απ' αυτα V'','.. ., Γ,ru απoτελoυν επlοηE xαλυμμα τoυ B.Aq εi,ναι γ1 = (Ι,l' Π ...Π [/ru. T.rτε. αν (;r''. μ') e U x B. 61oυμε y' e V,,o ^ltαxαπoιo i (Σ1ημα 1-4) xαι 6ε6α[ιυc ;Γ' €Lτ,,,. ΑQα ('r"''μ') e fΙ,,, xVo, τo oπoioπεριθxεται σε χαπoιo Ι1'του (J. I

(9) Σ.τ.M.: E. Ηeine (1821-188i): Γειlιιιιγιl: ιιιιθl1ιιιιτι'z.ιi:. Felix B.J.Ε. Borc1 (1871-1956): Γαλλoι

μαθl1ματιιδc. "1νοlοτο': ','ια τι: εQ','cιιτiε: τoι' ι]τ11\ Πψιι','ιιιιτιz"ti ΑγιΙi!ι1('η.

Ξ

YΠoΣYNoΛΑ EYKΛEΙΔEΙO\' \ΩΡ O\

υ

r(rll; )r;'J.:yι'β

ΣXΗMA ι-3

7-5Πoριoμα.AνταACΙl,,xαιΒCR,,εlllαιιτιlριπcιyη,τoτε:τoAxΒcRLL+]ιLε|ναι ιτιluπαy!g.

λπoδειξη.Αγ o εiνιιι 6γα ιιγoιxτo xαλυμμα'9u 4 * B'''*:.-'.: o xιιλυπτει τo

|.r} x B για xαθε " ' e' λ'ο τo Θειbρημα 1-zl υπιiρ1ει αγoιxτιl ιrtγoλo [/-'' πι:lυ

:τερι6xειτOJτετ()ι()ωo.u..,fΙ'"xΒναxαλυπτε..','onoπεπεραοpι6νoπλfOogιl_υν6λωγ τoυ (9. Eπειδη τo Α--εlγαι ouffiug' ']11j,'^T:'αομενο;

αρι0μ6c

ιlυν6λαiν LΙlrtl-.. 'LΙ ,',, απo τcι (Ι*'^δi'νoυγ iνα πεπεριιοpι6νo xαλυtrιμιcι τoυ Α'

Επειδη πεπεqαομιεν'""iηοoE ounoλ'"^'oυ O xαλυπτoυγ τo xαθε fγcι απιi τα

(.''r, x Β,6πεται ι"""'l"'δ"oμ6νo πληθο-ζ n'uοι"n τoυ (J xαλυπτoιγ τε'λιxα τo

\x Β. I

+/______JIJ o,

ΣΧΗMΑ ι-4

10 ΣΥNΑΡΤΗsΕΙ- -Ε Ξ\ ι\:' jΕΙrl.jl \QΡ()

1-6 Πoριrlμα, Τιl '41 , . . . _1 :

εν(( uπo τα Α;. Σ'l'.,,/.ιzυιιtιl',,'εrΙ'Cιι σL''ιι:τ(-ι)/!ζ ε:φ' 6ιloy εiναι clιlμπαylE τιl xαθεε l' c'l' z. ). ε' 1 11 7 aj ο Q θ oγ iJν Lo στ oν Rk ε lv rι' ι,iυ μπαy ! q'

7-7 Πoqιoμα, 'Ενα z).ειoτο lερcl'τtυ'ιι!|,o(|0) L1πoσdyoλo τoυ F,,L ε[ναι αυμπαy!E.(To αντioτρoφo εiναι επioη: oρΘo (Πρ66λημα 1-20).)

Aπoδειξη. Αγ τo A C R" εiναι xλειοτ6 xαι πεqατωpιθνo' τ6τε A c Β yιαxαποιoxλειoτ6 oρθoγιlivιo Β. Aν O εiγαι 6γα αγoιNτι]-xαλυμμα τoυ ,4' τoτε τo o ;;L];"ιε τo _R" - Α εiγαι dνα ανoιxτo xαλυμμα τoυ B. Αρα'iνα πεπεqαoμ6νo πληθοgουγoλιυν fΙl, "',(Ιn τoυ-O' μαξ. με "o'-R" Α ενδεxλμ6ν.og, orn"uλotν xαλυμμαγια τo B. Συvεπιilg τα LΙ1,...,Ur, xαλιjπτoυγ τo ,4. I

ΠPoBΛHMΑTA

\'1'4.* Aποδε[ξτε 6τι η 6νωοη οποιoυδr1πoτε (αx6μη xαι απεi,qoυ) πληΘουq αγoιxτωγιrυγολαlγ εiνrιr' ανoιxτ6 αυνoλo. Απoδεiξiε 6τι η τoμη aι.-1.Lq" xιtι οπoιιlυδt1πιlτεπεπεqlαoμενιlυ πληθουq) ανοιxτιi.lγ oι-lνιiλων .ιuo, 'ouo,r-j

oιnol"o. Διbοτε iνααντιπαqιiδειγμα για απεlqoυ πλη0ουq ιιγοιxτα oυνολα.1-15' Απoδεiξτε οτιτo {r e R" : r - α| < r} εi.ναι αγoιxτo oυγολο (δεiτε επioηE τοΠqo6λημα 1-27).

1-16' Bρεiτε τιl ειlαlτεριxο. εξιυτεριx6 xαι τo oυνορo τιυν oυγι1λωγ

' {r e P"',:]r] ζ 1}

{:τeRΙL:]r| =1}

{', _ Rn :γiΘι' li εiνιιι 1-lητogJ.

1-17' Kαταoxευciατε 6γα.ιrυγoλo Α c [O, 1] x [ιl. 1] τiτoι,ο ιilιrτε γα περιθxει τo πoλυ 6γαoημε:io oε xαθε oριξ6ντια lιo.ι xαΘε raο*η γρ,rμμri, xιrι το ουνορο του Α γιr εi,γιrι,το {0,1] x [0,1]. Υπιiδειξη: Αqzεi να 6xει εξαοq,αλr.o".ι η ι,r,oρ:ε'δr;r;.;;.i";:xιiθε τ6ταρτo του τετρα1lφγoυ [0. 1] , iδ, l1 xα,'επi,oηE nu ,aoΣ οεnoτο 6xτo xλπ.1-18' Αγ τo '4 C [O. i] εiναι 6rιυoη ιrνιlιxτιbν διcroτr1μciτων (α;,.ii) τ€τoπLlν ιilιiτε πα0εqητοg αριθμ69 ιrτo (0,1) να πι:ριθ1εται ιrε xαποιo 1o;,d11,i.ιζ.u ο., τo oυνoρο τoυΑ εiγαι το [Ο, 1] - Α.

1'19.* Αγ Α εlγι-lιι 6γcι z.},ειοτο ιrυr,οiο πoυ περι61ει xιiΘε qητι! αqιΘμιιl r'e [0. 1]. δεiξτε οτι[0,1] c Α.

1-20. Απ^οδε1'Ξτε τ1l αι,τ[οτglοι1ιl τr1ι Προταοηc 1-7: ,Eγα oυμπιι116g υποoυνολo τoυ Rr,ειναι χΛει.στo Ζ(lL ;τεQ(i.τ(l)ιιεlι,ο (δεiτε επΙοη< τo Πρ66λημα 1 )s).

1'21'* (α) Αν Α ε[ναι zi-ειιrτιl ιrι'r'οi.ιl l(Ι'L .l: { ,,|, cιποδεi,ξτε 6τι υπαρ1ει ενιrg 0ετιzοgαριΘμιιlq δ τdτοιο: ι')Πτι 4 -.l - ) .,,ι,ι ολα τα y e A'(10) Σ.τ.M.: Δr1i.cιδl1 ι1ριι.,ιιε...

s.τ'\Ι

ΣYNΑΡΤΗΣΕΙΣ K.\]

\ι,-_Ι ε[ναι zλειοτo ουγoλo xαι B ουμπα^iig μιε '1 - Β _ '.l.l::cδει:τΕ ι)τι

:τιιQ/ει θετιxoq αρι0μ6E δ τ6τoιo9 ιboτε |9 r } δ',,ιιι οi.ιι τιι.γ : _1 ;,.cιl ιl).ιι

:1_ι.1'e Β. Υπ6δειξη: Για xαΘε β e Β 6ρεiτε i'l,ιi C1\'OιΖτo ιτι'r'ι_ll-ιl [- τοι'r'ιrfεQtΕ'/'tt τo β τ6τoιo ιi.lοτε αυτη 11 o16ιiη να ιο7'ιει ^i'ια.t' : L- - Β'\,,|στε 6γα crντιπαqαδευ1μια στoγ R2 , cιν τα A xαι B εiγciι z.i'ε ι οτiι rι.i

"t.cl.

ιcl.ι'ει'cl'

: JΙι,: συi-ιπαγ6ζ.

,τι'\,ολo U εiγαι αγoιxτ6 xαι το Γ C L/ εiναι οιμπα',,ε:. δεiξτε οτι ιπαq1ει ει'α' ε: ουr,oi'.ο Δ τ6τoιo ιδoτε Γ C εοαlτεριxo του Δ xιrι Δ ι L .

ΣΥΓΙ APTHΣE'ΙΣ ΚAI ΣΥNΕ'xΕΙA

n'\{(Οτllσll απo τoν .R" oτoγ R'"' (απoxαλotμενη εγιoτε [διανυοματιxη]- ] , ιιετci6λητιbν) εlναι 6ναg xαν6ναζ o oπoιoζ xα0ε οημιε|o τoυ .Rn τo

, iει ιιε Ζαπoto ση1-ιε|g(]1) τoυ R'ln'τo σημειo πoυ ειναt τo αγτιστoιχo: r ] ιιια.: oυναρτr1οηg / αυμ6oλLξεταt f (r). Γραφoυμε J : R" + βlllι:-,ιl ''ll f oτ6λνει τoγ Erι στoν R""'η ""f, η oπoια oτiλγει τoγ Rr'

" ,ιr'iι)'oγα ι-ιε τα συμφQαξ6μενα) γLα να δηλοlooυμιε 6τι το f (r) e R"'" .t'l' .ι' € R"'. o ουμ6oλιομ6s ,f : A + Rrrl('lz) δηλωνει 6τι τo /(r).,,_'1,'l) ^,/[(1 J: e A χαt τo Α xαλε|ται πεδio oqιαμoυ τr1g f . Au Β c A'

, τ,_l f 18) ιl)ζ τ() συγoλo oλων των /(:r) για r € Β xαt, αν Γ C -R"',,:...f '(Γ) = {ιe A: f(':ι:)e Γ} o oυμ6oλιoμιog J: A- B δηλιbνει

-Β'-, ιlοliθεια τιlυ γραφημιατoE μιαζ oυναgτηοηq f ' R'* R, δηλαδη τoυ

,_-l., '-]\'τιΙ)ν τριαδων τηg μoQφηE (r''μ, f ('r'y)), τoυ oπo|ου η ειx6να εiναι. ιfτo\' χιi.lρο των τριιbν διαoταoεαlγ. 6xουμε 1"ιια 6oλιxri παραοταοη1'rι'\'(iQτησηζ (δεLτε. για παραδειγι-ια, τα Σ1ηματα 2-L xαι. 2-2 τoυr)

- ; '' R'' - E. oι oυναρτtjoει..< f +g' .f -g, J'g xo'ι //9 oρiξoνται αxρι6ιbE. τl1r' τερiπτιΙ)ση τηζ μιαq μετα6λητη9. Αv f : A n R''' y'Cιt g '. Β + Rp .

- _ R' . τoτε oρLξεται η ουνθεση 9 o / ωg εξr1g: g " f(r) = g(:f(:r)) τo

. :lι)L'τr1<9o./ε|vαι Aοf Ι(Β).Aνr1 f :A- -R"'εiγαι1-1,δηλαδη- _'ιg) οταν r ly, oρLξουμε την / |:

f (A) - R'''' με "f ι(z) να εlγαι

] ,.ιr.l': -]Ι για το oποlo f (t) = z._ ι'iι9τηor1 f : Α - .R"' oqiξει 7n συγιστωσεE ουναqτriοειζ -f

Ι , . . .

' f "'

''i.l'1 = (/'(r), ...' f "'('')).Aντιoτq6ιροlE' αι, δo0oυν rr1. συγαQτliσειζ: '-1 _ ,R' υπαρxει μoναδιxη oυνιiqτηoi1 f '' A - R"' τdτoιιy" ιiloτε

-'',,;,.ε;,-ριμι6να η /(.τ) = (91(r),...'g,,(:r)). Aυτη η oυι'α'ρτηιir1 / 0αiLll .....9,,,) oυταl-ζ ιbοτε να ixoυμε παγτcl. f = (,f'.'..'.f "'). Αu

\;,'QιΟι,l: ενα σ1lι"ιι]ιο

1 : .R.'' .

ι1

τιl xd.θε'ιιlαy lq'

ιιlcι^7 !g.

'ziιπoιο1-l μιαξ[τi'110oc

ιιιi.υιιμα

ι i'ι) ι χτιΙ)\'l'δt1τιlτεlτε εr,ιt

τ.ιτtl: τo

,_ i 'ι' ε\,tl. ι ειr'αι', ι' _1 clει.i'l '

τε- zcl.Θε

alnι] τι)ι,

ι:τε oτι

:ι,ι' -R'"

,'ετιz.o<

B

\2 ΣΥΝΑΡTΗ-EΙ- ΣE Ξ-\Ι.,,Ξ. jE_ι ) \ΩΡo

η π : R'' R tι\'{ιι l -,t'τι)τ|7.)| iτι',\',|ιοτι1υr1. π(r) .r. τοτι' π;1.l'1 -,rl' 11

oυναρτηοr1 τ' οr,o|ιiι]ετcιι i -οιlτt'1 oυι'ciρτηot1-πqo6oλη.o oυμι6oi,ιoμιo; 1iπl, It','1 - 1 οt1ιιcιir'ει. oπιυg xαι oτr1ν περiπτωσ'η τηζ !-ιιΟιC

pιετα6λητηg. οτι μπoρoυ1'ιε r'ct ε7-oυμιε τo./(;) ooo xoντα θiλoυμε οτo ΙJ πα[qνιl-γταζ τo.r crρzετιi z'oι,τα. στo.l .7.ι'lρi': ιiμιιυ< να επιτρ6πεται η otμπτιυotj τoυ μιε

τo α' Τα παραπανιυ ιrποδ[δοr'τιιι |'ιε αυστi1Qιl τρoπo ιυg εξηg: γιιr xα0ε αριθμoε >0υπαρ1ει αqιΘμιig δ >Οτετoιo.< ιboτε |/(r) β <ε.1ιιrι1λατα ti στO

πεδi,o oριo1-ιoυ τr1g / τα oπoi,α ιz.ανoπoιιlυγ τr1v Ο < r α < δ. Mια ι;υναgτt1oη

.f :A- R"'ιcιχεLτcιιουνε1ηgστO o € Α αν.lim f (''1 =f @')'τ'cιι η / xαλε[ται.

απλιiυg, oυνε1ηg rιν εLναι oυvεxr1g oε xαθε α € A. Mια απo τιg ευ1αριoτεgεxπληξειE ιlxετtι(ι ι-ιε τ1'lν iγγoια τr1g oυν61εια9 ε|ναι ιlτι μιπoρεi να oριoτε| 1ιυρi,:τη χQηση oρ|οlν. Απ6 τo επομιενo θειiiρημα πρoxiπτει oτι η / '. Rll + R,Ιrεiναι. oιlνε1ηζ (iγ χσ"t μι6νo αν τC' f 1([,r) εi.ναι αγoιxτ6 oυνoλo .1ιcr xirθε ιιγoιxτo(Ι C R'"' αν τo πεδio oqιομιoυ τηq ./ δεν εiνιιι o)ιog o R", 1ρειαξεται μιιcL

ελιiφριilg πολ'υπλoxoτερη oυνθηxη.

1-8 Θειbqημα. Aν A C R'', 1'ιια αυν(l'ρτηση f '. Α - R"' εlyαι oιlνε:y'ηq αν '1αι

μ6νιl cLν yιcι xαθε ανιlιxτιi oιiνολιl (Ι C R"' ιlπαqyει x(ιποιo ανιlιxτ6 ιτι''yoλoV C R'" τ!τoιo riloτε f 1(U) - V ο A.

Aπoδει-Εη. Yπoθiτoυ1-ιε 6τι η l εi,vιrι oιlνε1ηq. Aν α € J 1(U).τoτε J@) e Lr.

Επειδη τo [/ ε:iγαι αγι'lιxτo. υπαρ1ει ανοιxτo oρθο.1ιilνιo Β pιε J (ι) e Β c (Ι .

Mια xαι η ./ ε(,ναι oυνε1rjg στo α, μιπορoυμε να" 61oυμιε /(r) e B. αρxεi, ναπαριlυμιε τo J σε παπoιo αρxετα 1-ιιxqo οgθoγιbνιo Γ που πε:ριi1ει τ() (ι. Αυτ6 τoxανουμιε ],ια xιiΘε cι e f \((Ι') Nαι ιιg εiναι Ι/ 11 6νιυoη oλων ταlν Γ. Πρoφανιilgf '('tΙ) = Ι,/ n Α. Αναλilγο)ζ αγτιι-ιετι'Jπ|ξεται τo αντ|oτqoφo χαL τo αφr1νιlυ;.ιειiτον ιrνιrγνιilιlτt1. l

H επ6μενη oυγ6πεια τoυ Θειυρli1-ιατog 1-8 ε[ναι μιε.,,ι:1\ηE oημclolαg.

1-9 Θειbρι1μα.Aν η J: A- R''' ε[νcιι oι'lνεy"ιjq,6πιl'ι'l AC R'', }tαLτο Α ε[ναι61'μπcι^,l!q, τ6τε τo f (Al c R'" εi.l',cιι oιl1ιπcι.,!q.

Aπ6δειξη. Αg εlναι O 'tyo" α"l,ιlιzτil z.α"i.υμμια τoυ ./(Α). Για xα0ε ανoιxτo oυγoλoU οτιl O υπιiρ1ει iνα cιγιlιz.τιi ιrυγo)'o Γ1.- τiτιlιιl ιiioτε / '(U) = Ι,{1 n Α. Ηoυλλογι1 o)κυγ τι,lν 1/1'ι:iνα.ι εr,ιl" ιιr,oιzτιi xα)ιυμρια τoυ Α. Επειδη τo Α ε|γαιoυμιπιr.16g. iναg πεlπεριrιrμir,ο: ιl.ρι()μιιi: Ι.'ι ... . 'Vτ,, xαχ,(lπτoυν το Α. T6τε τιr(Ιl'..., U,, zαλυπτιlυi, το f (_1 ). I

Αu η "f : Α - E εir'ιιι ;τεoιιτ(|]ιιa\'}l. μιπoρoυμιε να εxτιμtjooυl.ιε ι.ιε αxρ[6ειατov 6α0pιo xατci τοr'οJι)|(l (1:τ\lτl'','7.(ι\'t:ι \'cl' ε:iνcrι oιlνι:y,ηζ στo o ε Α. Γιci δ ) 0

θ6τoυμιε

ΣYΝAPΓΗΣI ι-λ,,-.

'm(α''J,δ) =inf{/(r)::r € A ιcιι ]r'- rι < '] ]

,ιιιilρηοη οι'[ .α| τηg / υτο α oρi tεται νιι εiν'ιι τo liIll[ \''

..τι) τo oριo υπαq1ει παντα. μtα χαι η διαφ_oρα -11(α"l''il '' '''

- ']

, ιι zαθιiig ελαττιilγεται τo δ. Yπαρ1oυν δilo οt-1μιclr'τL7.(( iΙι'l(t','tιιiTti ','

,l( f ' α).

1'10Θειbqι1μα.Hπερατωμiνηoιlν(ιρτι7ol1fε[να.tσL']'ε/ll:στο(ιC/"1'7-CΙ'ι,ιιoΙΙoιf'rι) =0'

lτοδειξη. YπoΘ6τoυ1.ιε 6τι η / ε|ναι oινε1t1E oτo α' Για z"ιιΘε αριθμo ε > 0

-'1oιi,. να επιλ6ξoυμε 6ναν_αριθμ6- -δ.'0 6τoι ιbοτε lQ:) - /(α)] < ε ^1ια

l τCι J στo Α με |rl*αi < δ 6τo' ΙΙ(α''f ,δ) - nι(rι'l δ)-s 2ε' Επειδri cιυτo

,ευει^/ιαxαθεε,6xoυμεo(f,α)=O,ToαγτiστQoφoαπoδειxι,ilεταιαγαλo"/α. 1ι({liνεταt oτoν αναγνωoτη' l

1-11 Θειilqημα. Aζ ε[ναι A a Fl''' xλειoτ6' A" η f " A - R ε[ι'αι xαπoιcι

- . ,:rr'ur)η' ou"oρrη-oη xαι ε ) 0, τ6τε τo {ιr e A: o('f .,-r:) 2 ε} εlνcιι xλειoτ6'

ιτοδειξη. Θ6τoυ1.ιε Β _ {' e A: o(f ,'r) > ε}' Θ6λoυμε να. δεi'ξoυμε 6τι τo

-1 -B εi-ναιανoιxτ6. Αγre l?" B'τ6τε ηrΦAηre Α "ιcl"ιo(f 'r) <ε'

-_ ', :τριilτη nuqi,rra.ooη, επειδr1 τo Α ε|γαι Nλειοτ6' υπαρ1ει αγoιxτ6 oρθo'1ιilνιo

- .l_, τεQι6χεt τo l: τ6τoιo ιboτε Γ C R" - A C R" B. Στη δευτερη περLπτolαr1

- '!r7.ει δ > 0 τ6τoιo ιiloτε,\/(r./,δ) rrι(r'f ,δ) <' Αg εiναι Γ 6γα αγoιxτo

-.l,,;νιο πoυ πεqι6xε,.o r.6.oro ιilοτε |r -'μ\ < δ για oλα ταy € Γ' Toτε' αγ

- Γ. υπαρ1εr 6u,iδ,'f6.oιο ιboτε !r z\ < δ γλ oι" τα z'rα'oπoiα ιxαγoποιoυγ

_ -y| <δ1. 'Eτoι ΙΙ('μ,f 'δ)-rrτ(y'/,δ,) < ε' αqα o(y'f) { ε' Συνεπιi'lg

' -R''-Β. l

1-1

:'t = rt' r'l

] τllζ ι.ιιαE;i παi,Qγo-υi1 τoυ 1"ιειlε cιριθμιοτι1 jι' στo

'ι'r'αQτηorl;,.cιλεi,ται.

ι'7αριοτεg,lτε[ 1ιυqigt,

- 11tt',ε cl-νoι,xτ6ιiεται;-ιια

i'i : αν χαLIli σιiνoλo

''ια) e LΙ.

= Β c(Ι.

i_ιΟ7.ει γα. Αυτo τo1οοφανιilgιιφ11νoυμε

''. 'Δ' ε[νcl'ι'

τιr σιγολo: -.l,,1. Η". _-1 ε|γαι. Τoτε τα

ιιz"ρL6ειαΓιαδ>0

. -. t ll.

ε i -ιιττ ι'-, -

ι'9ι,l ιιτo

ΠPoBΛHMATA

\ι, ./' : A - Rllι ^nαL α € Α, δεiξτε 6τι .1η, f

(")='9 αxρι6ιbg

(ι

:J.\ειΞτε6τιηl:Α-R,n,εiναιoυνε1ηgιrτoααxρι€iαlgτoτεοτανxαθε,/?εiνιrι.

-1.

\ε|ξτε oτι εναE γqαμι1-ιιxog μετrro1ημιrτιιτpι6g Ζ | R" * -R"ι εiγαι oινι:1r1g oυναρτηιlt1'

\' - τ ιi δ ε: ι ξl1 -. Xρηoηιoπου1οτε τιl Πρ66ληpια 1 - 1 0'

\: εiγαι 1 = {(r, μ) e R2 : r ) 0 xαι Ο { '!) < r7}'

Σ,τ,M.:l.οSup(SιlpΙcmum)ι\ηλιbνι:ιτομι,xριiτεlρoirνolqlρci.11-ιαιι:ιιτoinf(jnlimun])τoτε qlο zατο.l ι1,ρι1.γμα.

τoτε oταγ

14 ΣYΝΑΡTΗΣEΙΣ sE Ε\-L\ΕΙ \ΕΙo xaPo

t-27.

Δεiξτε oτι zαθε ει'θεiα';'Qαtιβli rτoι πεQγd απ6 τo (O,0) πεqι61ει 6να διαoτηιιιιγυqιυ απo τo (0.0). τo οτoio τεριdxεται oτo R2 A.oρiξoυμετηι,/:R1 _ P"ιυ;εξηg: f(")=0αγr QA^ιαι f(r)=1 ανr€'1.Για λ e -E'2 oρlξoυμε τtlι, p7, : l? - R με g7(t) = f(th). ιεiηε οτι xαΘε g,εiναι oυνε1ηg oτo 0. α}'λα η / δεν εlναι oυνε1ηg oτo (0.0).

α)

6)

Δεlξτε 6τιf:Rn-

το {r € Rn : l, - α) { r} εiναι ανoιxτ6, θεωqιbνταg τη ουνιiqτηοl.Rn ψε f (r) =|" - o|.

1-28. Αν τo Α c -Rn δεν εiναι xλειατο, δεi,ξτε 6τι υπιiq1ει oυνε1r1g oυναρτηoη f : A - Rη oπoiα δεν ε[ναι περατωμdνη. Υπoδειξη: Aγ r € PJ.L - A αλλ& r g_ror..ρ,ro(R" - Α), Θ6oατε f (Φ = 6!a.

|'29. Aν Α ε[ναι oυμπαγ6g οtγoλo, δεiξτε 6τι xαθε oυνε1ηg oυναqτηαη f : A - R πα[qlι,ειμια μθγιoτη χαι μια ελα1ιoτη τιμη.

1-30. Αg εlναι η f :[α,β] _ -R μια αυξoυoα oυναqτηoη. Aν oι 11 , ...,Ιn e [α,β] εi,ναι

ανα δto διαφoqoι μεταξt τoυg. δε[ξτε 6τι ! o(f,r) < f(β) - f(")i=L

'*φt Ι'ι,

",-1,-il -l

, , ,,, -

μii ι

:-.ιι.l_:

μ 1ι Ι'x

1" t'

]i ι._