spazivettoriali marcorobutti · capitolo 2 spazivettoriali marcorobutti facoltà di ingegneria...
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Capitolo 2Spazi vettoriali
Marco Robutti
Facoltà di ingegneriaUniversità degli studi di Pavia
Anno accademico 2017-2018
Tutorato di geometria e algebra lineare
Marco Robutti Capitolo 2
Definizione (Spazio vettoriale)Uno spazio vettoriale reale è un inseme V in cui siano definitedue operazioni:
1) L’addizione; dove: ∀u, v ∈ V , (u, v) 7−→ u + v ∈ V ;
2) La moltiplicazione per scalare; dove:∀v ∈ V , ∀λ ∈ R, v 7−→ λv ∈ V ;
tali che siano soddisfatte le PROPRIETA’ 2.3 di pag. 111-112del libro di testo Lezioni di algebra lineare con applicazioni allageometria analitica(F.Bisi,F.Bonsante,S.Brivio).
Marco Robutti Capitolo 2
Definizione (Sottospazio vettoriale)Dato uno spazio vettoriale reale V , un sottoinsieme W di V èun sottospazio vettoriale di V se W è non vuoto e se:
1) 0V ∈W ;
2) ∀v ,w ∈W =⇒ v + w ∈W ;
3) ∀v ∈W , ∀λ ∈ R =⇒ λv ∈W
Marco Robutti Capitolo 2
Definizione (Span di un insieme di vettori)Siano V uno spazio vettoriale reale, e u1, . . . ,uk una lista di kvettori di V ; Span (u1, . . . ,uk) è l’insieme di tutti i vettori di Vche si ottengono come combinazioni lineari di u1, . . . ,uk . Insimboli:
Span (u1, . . . ,uk) = {λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λkuk | λi ∈ R}
Marco Robutti Capitolo 2
Definizione (Vettori linearmente indipendenti)Sia u1, . . . ,uk una lista di vettori di V . I vettori u1, . . . ,uk sidicono:
• linarmente indipendenti, se sono tutti non nulli e ciascunelemento ui non è combinazione lineare degli altri elementi dellalista;
• linearmente dipendenti, se è possibile scrivere almeno unvettore di tale lista come combinazione lineare degli altri;
Marco Robutti Capitolo 2
Algoritmo - Verificare se i vettori in un insieme sonolinearmente indipendenti
Dati i vettori {u1, . . . ,uk} ⊂ V , i vettori sono linearmenteindipendenti se e solo se:
u1 6= 0V
u2 /∈ Span (u1)u3 /∈ Span (u1,u2)...
......
......
...uk /∈ Span (u1, . . . ,uk−1)
Marco Robutti Capitolo 2
Definizione (Base)Un insieme di vettori B = {u1, . . . ,uk} ⊂ V è una base per V sesoddisfa contemporaneamente le due proprietà:
• B è un sistema di generatori di V ;
• i vettori di B sono linearmente indipendenti;
Per ottenere una base a partire da un insieme di generatori di Vesistono due metodi, che non sono nient’altro che l’applicazionedi uno stesso algoritmo, detto “Algoritmo di estrazione”,seguendo strade differenti.
Marco Robutti Capitolo 2
Definizione (Coordinate di un vettore in una base)Dato un vettore u ∈ V e una base B = {v1, . . . , vn} di V , perdeterminare le coordinate di u nella base B bisogna risolvere laseguente equazione vettoriale:
u1u2...
un
B
= λ1
v11v12...
v1n
+ λ2
v21v22...
v2n
+ · · ·+ λn
vn1vn2...
vnn
La soluzione univoca di tale equazione, cioè il vettore(λ1, . . . , λn) ∈ Rn rappresenta le coordinate del vettore u nellabase B.
Marco Robutti Capitolo 2
Algoritmo di estrazione (standard)
Dato un insieme di vettori U = {u1, . . . ,uk} ⊃ V , per estrarreuna base di V a partire da tali vettori bisogna verificare che:
1) uk ∈ Span (U)? Se sì, allora il vettore uk va eliminato e ilsuccessivo passo dell’algoritmo andrà applicato all’insieme Uprivato del vettore uk , cioè U ′ = {u1, . . . ,uk−1}. Se no invece ilvettore ukva tenuto e quindi U1 = U;
2) uk−1 ∈ Span (U1)? Se sì, allora il vettore uk−1 va eliminato eil successivo passo dell’algoritmo andrà applicato all’insieme U1privato del vettore uk−1, che chiameremo U2.Se no invece ilvettore ukva tenuto e quindi U2 = U1;.
Marco Robutti Capitolo 2
Algoritmo di estrazione standard
.
.k − 1) u2 ∈ Span (Uk−2)? Se sì, allora il vettore u2 va eliminato,altrimenti va tenuto.
Questo algoritmo impiega k − 1 passi! E’ piuttosto scomodoquando si ha a che fare con spazi vettoriali di modestedimensioni (per esempio R3 o R4).In tal caso conviene usare la variante mostrata nella prossimaslide.
Marco Robutti Capitolo 2
Algoritmo di estrazione (“in avanti”)
Dato un insieme di vettori U = {u1, . . . ,uk} ⊃ V , per estrarreuna base di V a partire da tali vettori bisogna verificare che:
• u1 6= 0V ? Se sì, allora il vettore va tenuto, altrimenti èsuperfluo e viene eliminato;
• u2 ∈ Span (u1)? Se sì, allora il vettore va eliminato in quantosuperfluo. Se no, allora il vettore va tenuto;
• u3 ∈ Span (u1,u2)? Se sì, allora il vettore va eliminato inquanto superfluo. Se no, allora il vettore va tenuto;
• .......................
Marco Robutti Capitolo 2
Algoritmo di estrazione (“ in avanti”)
• .......................
• ui ∈ Span (u1, . . . ,ui−1)? Se sì, allora il vettore va eliminato inquanto superfluo. Se no, allora il vettore va tenuto;
L’algoritmo ha termine nel momento in cui abbiamo un numerodi vettori pari a n, dove n è la dimensione dello spazio V .Questo metodo è molto comodo quando bisogna trovare basi dispazi vettoriali come R3, dove basta trovare 3 vettorilinearmente indipendenti e il gioco è fatto...Noi negli esercizi useremo sempre questa variante dell’algoritmodi estrazione.
Marco Robutti Capitolo 2
Algoritmo di completamento
Dato un insieme di vettori U = {u1, . . . ,uk} ⊂ V , per ottenereuna base di V a partire da tali vettori bisogna aggiungereall’insieme di vettori U i vettori della base canonica di V nelmodo seguente:
• e1 ∈ Span (U)? Se sì allora e1 non va preso. Definiamo U1 = USe no, e1 va preso e aggiunto all’insieme U, così da ottenerel’insieme U1 = {u1, . . . ,uk , e1};
• e2 ∈ Span (U1)? Se sì allora e2 non va preso. DefiniamoU2 = U1 Se no, e2 va preso e aggiunto all’insieme U1, così daottenere l’insieme U2 = {U1, e2};
• si ripete il procedimento appena descritto con i vettoririmanenti della base canonica;
Marco Robutti Capitolo 2
Algoritmo di completamento
Non è necessario tuttavia controllare tutti i vettori della basecanonica: infatti una volta che avremo un numero di vettorilinearmente indipendenti pari a n, dove n è la dimensione di V ,il procedimento termina.
Marco Robutti Capitolo 2
Definizione (Somma di sottospazi)Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , l’insieme somma deisottospazi è dato da:
U + W = {u + w | u ∈ U,w ∈W }
che è ancora un sottospazio di V .
Marco Robutti Capitolo 2
Algoritmo - Trovare una base per la somma disottospazi
Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , per trovare una base delsottospazio U + W bisogna seguire il seguente procedimento:
1) Si prendono due basi BU e BW qualsiasi di U e W , e le siuniscono in un unico insieme di vettori {BU ,BW };
2) Si applica l’algoritmo di estrazione di una base all’insieme{BU ,BW }. I vettori linearmente indipendenti che rimarrannoalla fine dell’algoritmo sono una base per U + W ;
Marco Robutti Capitolo 2
Definizione (Intersezione tra sottospazi)Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , l’insieme intersezione deisottospazi è dato da:
U ∩W = {v ∈ V | v ∈ U ∧ v ∈W }
che è ancora un sottospazio di V .
Marco Robutti Capitolo 2
Algoritmo - Trovare una base per l’intersezione disottospazi
Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , per trovare una base delsottospazio U ∩W bisogna seguire il seguente procedimento:
1) Si prendono due basi BU e BW qualsiasi di U e W , e le siuniscono in un unico insieme di vettori {BU ,BW };
2) Si applica l’algoritmo di estrazione di una base all’insieme{BU ,BW }. Si tengono i vettori scartati utilizzando talealgoritmo;
3) Si scrivono tali vettori scartati come combinazione linearedegli altri vettori dell’insieme {BU ,BW }. Quindi, se chiamiamoui ∈ BU uno di tali vettori scartati, dobbiamo scriverlo come:
ui = λ1u1+. . .+λi−1ui−1+λi+1ui+1+· · ·+λkuk+ν1w1+. . .+νmwm
Marco Robutti Capitolo 2
Algoritmo - Trovare una base per l’intersezione disottospazi
4) Per ciascuno dei vettori scartati, si riscrive:
ui−λ1u1−. . .−λi−1ui−1−λi+1ui+1−· · ·−λuk = ν1w1+. . .+νmwm = pj
Ovvero si portano a sinistra dell’uguale tutti i vettori cheappartengono allo stesso insieme del vettore scartato ui (inquesto caso tutti i vettori appartenenti a U), lasciando asinistra quelli dell’altro insieme. Il risultato di tale uguaglianzasarà il vettore pj della base di U ∩W ;
Marco Robutti Capitolo 2
Definizione (Unione tra sottospazi)Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , l’insieme unione deisottospazi è dato da:
U ∪W = {v ∈ V | v ∈ U ∨ v ∈W }
che NON E’ un sottospazio di V .
Marco Robutti Capitolo 2
Definizione (Formula di Grasssmann)Dati i sottospazi U,W ⊂ V , vale l’uguaglianza:
dim (U) + dim (W ) = dim (U ∩W ) + dim (U + W )
Marco Robutti Capitolo 2
Osservazione (Qualcosa di molto utile...)Dato uno spazio vettoriale V ed un suo sottospazio W , si hache:
dim (W ) = dim (V )− n°equazioni cartesiane di W
Questa formula ci tornerà estremamente utile nei capitolisuccessivi!
Marco Robutti Capitolo 2
Definizione (Somma diretta di sottospazi)I sottospazi U1, . . .Uk sono in somma diretta se:
U2 ∩ U1 = {0V} ;U3 ∩ (U2 ∩ U1) = {0V} ;
U4 ∩ (U3 ∩ (U2 ∩ U1)) = {0V} ;e così via;
Marco Robutti Capitolo 2
Definizione (Sottospazio complementare)Dati i sottospazi U,W ⊂ V , W è uno spazio complementare aU se:
• U e W sono in somma diretta;
• dim (U) + dim (W ) = n;
dove n = dim (V ).
Marco Robutti Capitolo 2