1

SOYUT CEBİR

İkili işlem : G boştan farklı bir küme olmak üzere

G G G → fonksiyonuna G kümesi üzerinde

tanımlı bir ikili işlem denir. ,G şeklinde

gösterilir.

Bilgi: İkili işlem olması için işlem özelliklerinden

kapalılık özelliğinin mutlaka sağlanması gerekir.

Örnek: Doğal sayılarda çıkarma işlemi bir ikili

işlem değildir. Çünkü iki doğal sayının farkı bir

doğal sayı belirtmez.

→ 2 − 5 = −3 olur ki −3 doğal sayı değildir.

Örnek: Tam sayılarda çıkarma, toplama ve çarpma

işlemleri ise bir ikili işlemdir.

Bilgi: Her ikili işlem bir işlemdir fakat tersi doğru

değildir.

İşlemin Özellikleri

1) Kapalılık

2) Birleşme

3) Etkisiz (Birim) eleman

4) Ters Eleman

5) Değişme (Abelyen)

6) Yutan Eleman

7) Dağılma Özelliği

Şimdi bu özellikleri sırasıyla işleyelim.

1) Kapalılık

Tanım: ,a b G için ( )a b işleminin sonucu G

‘ nin bir elemanı ise işlemi kapalılık özelliğini

sağlar.

Öğrenci Dili: Küme içinde aldığımız her iki eleman

sonucunda çıkan eleman da kümeye ait ise

kapalılık var deriz.

Örnek: Doğal sayılarda toplama , Tam sayılarda

çarpma işlemleri kapalılık özelliğini sağlar. Fakat

doğal sayılarda çıkarma ve tam sayılarda bölme

işlemleri kapalılık özelliğini sağlamaz. Verilen

örnekleri inceleyelim.

→ 2 + 4 = 6 ve 6 ∈ N olur. Kapalıdır.

→ 3.5 = 15 ve 15 ∈ 𝑍 olur . Kapalıdır.

→ 2 − 6 = −4 ve −4 ∉ N olur. Kapalı değildir.

→ 3

3 77

= ve 3

7Z olur. Kapalı değildir.

2) Birleşme

Tanım : , ,a b c G için ;

( ) ( )a b c a b c = eşitliği sağlanıyor ise

işleminin birleşme özelliği var deriz.

Öğrenci Dili : İşlem yapılırken parantezin yerinin

bir önemi yoksa yani öncelik sırası fark etmiyor

ise o işlemde birleşme özelliği vardır.

Örnek : Tam sayılarda çarpma işlemi ve toplama

işlemi için birleşme özelliği sağlanır.

→ 3. (5.2) = (3.5).2 = 30 eşitliği sağlanır.

Birleşme vardır.

→ (4 + 2) + 7 = 4 + (2 + 7) eşitliği de doğru

olur ve birleşme vardır.

Örnek : Tam sayılarda çıkarma işlemi için birleşme

özelliği sağlanmaz.

→ (5 − 2) − 3 ≠ 5 − (2 − 3) eşitliği doğru

olmaz. Birleşme özelliği yoktur.

3) Birim (Etkisiz) Eleman

Tanım: a G için a e e a a = = olacak

şekilde bir tek e G var ise ' 'e elemanına

işleminin etkisiz elemanı denir.

Öğrenci Dili : İsminden de anlaşıldığı gibi etkisi

olmayan yani sonucu değiştirmeyen eleman, hangi

eleman ile işleme girerse girsin o elemanı olduğu

gibi çıkaran eleman demektir.

2

Bilgi: Bir işlemde birim (etkisiz) eleman tek bir

tanedir. İki tane birim eleman olamaz.

Örnek : Toplama işleminin birim elemanı {0}

sıfırdır.

→ 7+0 = 0+7 = 7 olur ki sıfır sonucu etkilemez

birim elemandır.

Örnek: Çarpma işleminin birim elemanı ‘ 1’ dir.

→ 5.1 = 1.5 = 5 olur ki 1 sonucu etkilemediği için

birim elemandır.

Bilgi: Etkisiz(birim) eleman bulunurken hangi işlem

ile tanımlı olduğuna kesinlikle dikkat edilmelidir.

Bilgi: Birim eleman olmadan ters eleman özelliğine

bakılmaz.

4) Ters Eleman

Tanım: G boştan farklı ve ' 'e G ’ nin

birim elemanı olsun. a G için ;

1 1a a a a e− − = = olacak şekilde 1a G−

var ise işlemi ters eleman özelliğini

sağlar.

Öğrenci Dili : Herhangi bir eleman ikinci bir

eleman ile işleme girdiğinde sonuç olarak birim

eleman çıkıyor ise ikinci elemana birinci elemanın

tersi denir.

Örnek: Tam sayılarda toplama işleminin ters

elemanı her zaman ters işaretlisidir.

→ 3 ‘ ün tersi 3− , 5 ‘ in tersi ( 5− ) 1’in tersi

1− gibi …

3 ( 3) 0+ − = yani birim eleman olur ki ters

elemanın sağlaması da yapılır.

Örnek: Reel sayılarda çarpma işleminin ters

elemanı her ' 'a elemanı için 1

a şeklinde

bulunur. ( )0a

→ 7’ in tersi 1

7 , 3 ’ ün tersi

1

3 gibi…

17. 1

7= işleminde görüldüğü gibi sonuç birim

elemanı verdi demek ki ters eleman doğru

bulunmuştur.

Bilgi: Her elemanın tersi farklıdır.

Bilgi: Bir işlemde sadece yutan elemanın tersi

yoktur.

Bilgi: Ters eleman için işlemin hangi işlem olduğuna

dikkat etmemiz gerekir.

5) Değişme ( Abelyen)

Tanım: ,a b G için a b b a = eşitliği

sağlanıyor ise işleminin değişme özelliği vardır.

Öğrenci Dili: Yapılan işlemde elemanların yeri

değişince sonuç değişmiyor ise değişme özelliği

var denir.

Örnek: Tam sayılarda çarpma işleminin ve toplama

işleminin değişme özelliği vardır.

→ 3.5 = 5.3 eşitliği her zaman doğrudur. Değişme

özelliği vardır.

→ 4 + 6 = 6 + 4 eşitlik her zaman doğrudur.

Değişme özelliği vardır.

6) Yutan eleman

Tanım: a G için a k k a k = = olacak

şekilde bir k G var ise bu elemana yutan

eleman denir.

Öğrenci Dili : İşleme hangi elemanla girerse girsin

işlem sonucunda yine kendisi çıkan elemana ,

yutan eleman denir.

3

Örnek : Çarpma işleminin yutan elemanı ‘ 0 ’

dır. Çünkü hangi elemanla çarpılırsa sonuç hep

sıfır çıkacaktır.

→ 7.0 = 0.7 = 0 , 3.0 = 0 , 17.0 = 0 örneklerinden

çarpmanın yutan elemanın sıfır olduğu görülür.

Örnek: Toplama işleminde yutan eleman yoktur.

Çünkü işlem sonucunda hep aynı sonucu veren bir

eleman yoktur.

→ 3 3k k k+ = + = olacak şekilde hiçbir ' 'k

elemanı bulunamaz. Yutan eleman yoktur.

Bilgi: Yutan elemanın tersi yoktur.

Bilgi: Yutan eleman eğer varsa tek bir tanedir.

7) Dağılma

Tanım: G boştan farklı , G ' 'o ve ' ' işlemleri

ile tanımlı bir küme olsun.

, ,x y z G için ;

→ ( ) ( ) ( )xo y z xo y xo z =

eşitliği sağlanıyor

ise ' 'o işleminin ' ' işlemi üzerinde dağılma

özelliği vardır denir.

Öğrenci Dili: Verilen işlemde bir elemanı parantez

içine dağıtınca da sonuç aynı oluyor ise dağılma

özelliği vardır.

Örnek: Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine

dağılma özelliği vardır.

→ 3.(2 + 5) = (3. 2) + (3.5) = 21 eşitliği her zaman

doğru olur dağılma özelliği vardır.

Bilgi: Dağılma özelliği daha çok ilerleyen konularda

karşımıza çıkacaktır.

Şimdi asıl konulara giriş yapacağız fakat

bunları daha iyi anlamanız için en temel

konular olan işlemin özelliklerini çok iyi

öğrenmeniz gerekmektedir.

CEBİRSEL YAPI

Tanım: Kapalılık özelliğini sağlayan işleme Cebirsel

Yapı denir.

Bilgi: Cebirsel yapı olması için sadece kapalılık

özelliğine bakmak yeterlidir.

Bilgi: Eğer bir işlem cebirsel yapı değil ise diğer

özelliklere bakılmaz.

Bilgi: Bütün yapıların ön şartı kapalılık özelliğidir.

Örnek: Doğal sayılarda toplama ve çarpma işlemleri

kapalıdır. Çünkü iki doğal sayının toplamı ve

çarpımı yine bir doğal sayıdır.

→ 3+4 = 7 ve 7 bir doğal sayıdır. Kapalı olur.

→ 2.5 = 10 ve 10 bir doğal sayıdır. Kapalı olur.

→ Doğal sayılarda çıkarma işlemi cebirsel yapı

belirtmez. Çünkü iki doğal sayının farkı doğal sayı

olmayabilir.

Mesela 3 8 5− = − olur ki 5− doğal sayı olmaz.

Kapalılık bozulur.

→ ,+ , ,. , ,+ vb. yapıları da kapalılık

özelliğini sağlar ve birer cebirsel yapıdır.

YARI GRUP

Tanım: Kapalılık ve Birleşme özelliğini sağlayan

işleme Yarı Grup denir.

Bilgi: İki özelliği birlikte sağlaması şarttır.

Örnek: Doğal sayılarda ve Tam sayılarda toplama

ve çarpma işlemleri birer yarı grup belirtir.

4

MONOİD YAPI

Tanım: Kapalılık , Birleşme ve Birim eleman

özelliklerini sağlayan işleme Monoid Yapı denir.

Öğrenci Dili : Sadece bu üç özelliği sağlaması

yeterli olur monoid yapı olması için.

Örnek: Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemleri

birer monoid yapı belirtir.

3.5 = 15 olur ki 15 ∈ Z olur ki Kapalılık (+)

3.(5.2) = (3.5).2 = 30 olur ki Birleşme (+)

5.1 = 1.5 = 5 olur ki 1 birim elemandır. (+)

Üç özellik sağladığı için Tam sayılarda çarpma

işlemi monoid yapı belirtir.

Bilgi: Yapılar birbirlerini kapsayacak şekilde

genişler. Yani ;

→ [Cebirsel yapı ⊂ Yarı Grup ⊂ Monoid ] şeklinde

ilerler.

Bilgi: Her monoid yapı aynı zamanda bir yarı grup

ve cebirsel yapıdır. Fakat tersi doğru değildir.

GRUP

Tanım: Kapalılık , Birleşme , Birim eleman ve Ters

eleman özelliklerini sağlayan yapıya Grup denir.

Öğrenci Dili: Bu dört özelliğinde sağlaması gerekir.

En az biri sağlamıyor ise bu yapı grup olmaz.

Örnek: Tam sayılarda toplama işlemi bir gruptur.

Örnek: Rasyonel sayılarda toplama işlemi bir

gruptur.

Örnek: Rasyonel sayılarda çarpma işlemi grup

olamaz çünkü sıfır elemanının tersi yoktur. 0’ın

tersi 1

0 olur ki tanımsızdır.

Örnek : Tam sayılarda çarpma işlemi de grup olmaz

çünkü her tamsayının tersi tam sayı olmaz. Ters

eleman özelliğinden bozulur.

→ 2’ in tersi 1

2 olur ki

1

2 tam sayı değildir.

Bilgi: Grup olması için değişme özelliği şartı

aranmaz.

Dikkat Edilmesi Gerekenler

1) Bütün yapılar için ekstradan değişme özelliği var

ise önüne değişmeli olduğu belirtilir. (

Değişmeli yarı grup, Değişmeli monoid , Değişmeli

grup gibi isimlendirilir.)

2) Ters eleman için mutlaka birim eleman olmalıdır.

3) Birim eleman her zaman bir tanedir.

4) Birim eleman her zaman kümenin elemanı

olmak zorundadır.

5) Cebirsel yapıların hepsi için hangi işleme göre

tanımlandığına mutlaka dikkat edilmelidir.

6) İşlem değiştikçe cebirsel yapının ismi de

değişir.

KALAN SINIFI

Tanım: ‘ m ‘ sayısı 1‘ den büyük bir doğal sayı

olmak üzere ( Modm ) ‘ ye göre kalan olabilecek

elemanların kümesine Kalan Sınıfı denir. Zm

ile gösterilir.

0,1,2,3,....., 1mZ m= − şeklinde tanımlanır.

4 0,1,2,3Z = , 7 0,1,2,3,4,5,6Z =

2 0,1Z =

Örnekleri verilebilir.

5

Bilgi: Kalan sınıfı toplama işlemine göre her

zaman bir grup belirtir.

Bilgi: Çarpma işlemi için ise özel şart sağlanıyor

ise kalan sınıfı grup olur. Bu özel şartımız ise

yıldız ( )* işaretidir.

Yıldız işareti :

İki anlamda kullanılır şimdi bunları görelim.

1) Küme sonsuz ise ; ( ), , gibi ; Yıldız

işareti o kümeden sadece Sıfır elemanını

çıkartmak anlamına gelir.

İşaret küme üzerine yazılır.

→ * 0= − demektir.

→ * 0= − , * 0= − örnekleri

verilebilir.

2) Küme sonlu ise ; ( )16 5, gibi

Yıldız işareti o sayıdan küçük ve o sayı ile

aralarında asal olan elemanların kümesi anlamına

gelir.

*

8 1,3,5,7Z = , *

6 1,5Z =

Anlamlarına gelmektedir.

→ *

10 1,3,7,9Z = ve *

5 1,2,3,4Z = Örnekleri

verilebilir.

Bilgi: Yıldız işareti çok önemli bir özelliktir

fazlaca karşımıza çıkacağı için mantığı ile birlikte

öğrenelim ve unutmayalım.

Bilgi : Yıldız işaretinin kullanıldığı yerde hangi

işlem ile tanımlı olduğuna mutlaka dikkat

edilmelidir.

Bilgi: Yıldız işareti Rasyonel sayılarda ve Reel

sayılarda çarpma işleminin grup olmasını sağlar.

→ *,. ve

*,. yapıları birer grup belirtir.

Bilgi : Yıldız işareti kalan sınıflarında çarpma

işleminin grup olmasını sağlar.

→ *

6 ,. , *

23,. gibi bütün yapılar grup

belirtir.

Bilgi: Yıldız işaretinin ne kadar önemli olduğunu

öğrenmiş olduk. Dikkat edelim.

UYGULAMA

Kapalılık Birleşme Birim Ters

Eleman

Yapı

Adı

,+ + + + + G

,. + + + − M

,+ + + + + G

,. + + + − M

,+ + + + + G

,. + + + − M

,+ + + + − M

,m + + + + + G

,.m + + + − M

,+ + + + + G

,. + + + − M

*,. + + + + G

*,. + + + + G

*,. + + + − M

* ,.m + + + + G

: :MGrup ve MG onoid

6

Bilgi: Yukarıda verilen tabloyu iyi bir şekilde

mantığı ile anlarsak bütün soruları rahatlıkla

çözeriz. Bütün sorular bu verdiğimiz yapılardan

gelmektedir onun için tabloyu öğrenmek şarttır.

UYGULAMA TEST 1

1) Aşağıdakilerden hangisi bir cebirsel yapı

belirtmez ?

A) [N, +] B) [ Q , +] C) [Z , .]

D) [Z+, +] E) [Q’, +]

2) Aşağıdakilerden hangisi bir monoid yapı

belirtir?

A) [Z-,.] B) [R+,+] C) [Q,.]

D) [Q’,+] E) [N+,+]

3) G: [N ,+]

H: [R , .]

K: [Z , .]

Yukarıda verilen yapılardan hangisi ya da

hangileri bir yarı grup belirtir?

A) Yalnız G B) H ve K C) K ve G

D) Yalnız H E) K,G ve H

4) a) Abelyen

b) Birleşme

c) Ters eleman

Yukarıda verilen özeliklerden hangisi ya da

hangileri bir cebirsel yapının grup olması için

kesinlikle gereklidir?

A) Yalnız a B) a ve b C) a ve c

D) b ve c E) a ,b ve c

1 2 3 4

E C E D

ÇÖZÜMLER - 1

1)

Cebirsel yapı için kapalılık özelliğini sağlaması

gerekiyor.

A,B , C ve D şıkları kapalılık özelliğini sağlar. Fakat

E şıkkı sağlamaz.

( )2 2 0+ − = olur ki 0 ' ‘ dır. Kapalılık

sağlamaz.

2)

Monoid yapı için kapalılık , birleşme ve birim

eleman özelliklerine bakmak gerekir.

A şıkkı kapalı değil.

B için birim eleman sıfır kümeye ait değil

D şıkkı kapalı değildir.

E şıkkı da birim elemanı sağlamaz.

C şıkkıdır. 3 özelliğide sağlar. Monoid yapıdır.

35

Örnek: : , ,g + → + ile tanımlı

2( )g x x= fonksiyonu Homomorfizma belirtir

mi ?

Çözüm:

Her iki işlem de toplamadır hemen şarta bakalım.

( ) ( ) ( )g a b g a g b+ = + şartı için;

2 2( ) ( ) ( )g x x için g a b a b= + = + olur.

2( )g a a= ve 2( )g b b= olur.

Sonuç :

2 2 2( )a b a b+ + eşitliğinin sağlamadığı görülür.

( ) ( ) ( )g a b g a g b+ + olur ki şart sağlanmaz

g fonksiyonu Homomorfizma değildir.

Bilgi: f fonksiyonu Homomorfizma ise verilen

iki cebirsel yapıda kesinlikle grup olmak

zorundadır.

Bilgi: G ‘ nin birim elemanı Ge , H ‘ ın birim

elemanı He şeklinde gösterilir.

Bilgi: f fonksiyonu G H→ bir

Homomorfizma ise ;

G → H

x ( )f x

y ( )f y

Ge ( )G Hf e e=

1x−

11( ) ( )f x f x−− =

Şeklinde tanımlanır. Elemanları ve karşılık gelen

görüntüleri iyi anlayalım.

Bilgi : :f G H→ Homomorfizma ise

1) ( )G Hf e e=

2) 11( ) ( )f x f x−− =

Eşitlikleri her zaman doğrudur

Homomorfizmanın Çekirdeği

Tanım : :f G H→ bir Homomorfizma olsun.

He H grubunun birimi ve ( )f x fonksiyonu

verilsin.

→ ( ) ,HÇekf f x e x G= = kümesine

Homomorfizmanın çekirdek kümesi denir. Kısaca

Çekf ile gösterilir.

Öğrenci Dili : Çekf için verilen fonksiyonu ikinci

grubun birim elemanına eşitler ve çözüm

kümesini buluruz.

Örnek: *: , ,.f + → şeklinde

tanımlanan ( ) 2xf x =

fonksiyonunun çekirdeğini

bulalım.

Çözüm:

İkinci işlem çarpmadır ve birim elemanı 1

‘ dir. O zaman ;

Çekirdek: Çekf : ( ) 1f x = denkleminin çözüm

kümesi olur.

2 1x = ise 0x = olur ve Çekf bulunur.

0Çekf = şeklinde gösterilir.

Örnek * *: ,. ,.f → tanımlı

2( )f x x=

fonksiyonu için Çekf nedir?

Çözüm :

İkinci grubunun işlemi çarpma ve birim elemanı

1 ‘ dir. Yani Çekf : ( ) 1f x = yazarız .

2 1 1 1x x ve x= = + = − olur.

1, 1Çekf = + − olarak bulunur.

36

Şimdi Homomorfizma konusunda sınavlarda

karşımıza çıkan ezbere bilinmesi gereken sözel

notları yazalım.

:f G H→ bir homomorfizma olsun.

Buna göre ;

1) f fonksiyonu birebir ve örten ise İzomorfizma

denir.

2) f izomorfizma ise G grubu H grubuna

izomorftur (benzer) denir.

3) f fonksiyonu sadece Birebir ise Monomorfizma

denir.

4) f sadece Örten ise Epimorfizma denir.

5) ( )f G yapısı H grubunun alt grubudur.

→ ( )f G H olur.

6) f izomorfizma ise f ‘ in tersi 1f − fonksiyonu

da izomorfizmadır.

7) Çekf kümesi G grubunun bir alt grubu hatta

normal alt grubu olur.

→ Çekf G ve Çekf G eşitlikleri doğrudur.

8) f Örten ise ;

→ G değişmeli ise H ‘ da değişmeli

→ G devirli ise H ‘ da devirlidir.

9) Her izomorfizma bir Homomorfizmadır. Fakat

tersi doğru değildir.

10) f kendi içinde İzomorfizma ise Otomorfizma

(Endomorfizma) denir.

:f G G→ şeklinde kendi içinde tanımlı ise

Otomorfizma denir.

11) Çekf kümesi G ‘ nin birim elemanına eşit

ise f birebirdir.

→ GÇekf e= ise f birebir olur.

12) Çekf kümesi birden fazla sayıda eleman

içeriyorsa f birebir olamaz.

13) birebir ise kümesi sadece bir

elemanlıdır.

Bunları ezbere bilmeliyiz. Alan sınavında

karşımıza çıkması beklenen sözel bilgilerdir.

Örnek : bir grup homomorfizması

olmak üzere aşağıdakilerden hangisi kesin

doğru değildir ?

A)

B) tek elemanlı değil ise fonksiyon

birebir olamaz.

C) G grubu değişmeli ise H ‘ da değişmelidir.

D) H ‘ ın alt grubudur.

E) G ‘ nin bir alt grubudur.

Çözüm:

Cevap C şıkkı olur çünkü bu ifadenin kesin olması

için örten olmalıdır. Fakat öyle olduğu

söylenmemiştir.

Diğer şıklar ise kesinlikle doğru olan ifadelerdir.

f Çekf

:f G H→

11( ) ( )f x f x−− =

Çekf

( )f G

Çekf

f

37

ÜNİTE SONU SINAVI

1)

Yapılarından hangisi ya da hangileri kesinlikle

bir grup belirtir?

A) G ve H B) G, H ve K C) Yalnız H

D) G ve K E) Yalnız K

2) grubu için değeri kaçtır ?

A) 6 B) 8 C) 2

D) 4 E) 1

3) grubunda elemanının ürettiği

devirli alt grubun mertebesi kaçtır?

A) 2 B) 5 C) 10

D) 1 E) 4

4) Alt gruplarından birinin mertebesi 8 olan

bir G grubunun mertebesi hangisi olabilir ?

A) 3 B) 4 C) 6

D) 12 E) 16

5) grubu için ifadesi

hangi değere eşit olur?

A) 3 B) 5 C) 12

D) 15 E) 1

6) G devirli bir grup ve olmak üzere

G aynı işlem üzerinde tanımlı yapılardan

hangisine izomorf olur?

A) B) C)

D) E)

7) çift permütasyonların olduğu grup

olmak üzere hangisi bu kümeye ait değildir?

A) B) C)

D) E)

8) permütasyon grubunda ’ lü

permütasyonların sayısı kaçtır ?

A) 20 B) 12 C) 6

D) 8 E) 24

: ,.G

: ,H +

: ,K +

8 ,+ (2)o

10 ,+ 2

10 ,+ (3) (5)o o+

( ) 8o G =

*

4 , + 2 4 8

16 ,. 8 ,+

5 ,A o

( )( )12 3451 ( )352 ( )( )12 523

( )354 ( )4

4S 3

57

CEBİR EK NOTLAR 3

Bilgi : Bir G grubunun bütün alt grupları ayrık

olamaz. En az bir eleman hepsinde ortaktır.

Birim eleman Bütün alt gruplarda

ortaktır.

Bilgi : Eğer bir grupta birim eleman dışında sonlu

mertebeli eleman bulunmuyor ise o gruba Serbest

Grup denir.

Örnek : grubunu inceleyelim.

Çözüm :

Birim elemanın mertebesi 1 ‘dir

Diğer bütün elemanların mertebeleri sonsuzdur.

Başka sonlu mertebeli eleman yoktur.

Sonuç ;

yapısı Serbest Gruptur.

Bilgi : Bir grupta bütün elemanlar Sonlu mertebeli

ise o gruba Büküm Grubu denir.

Örnek : grubunu inceleyelim.

Çözüm :

Grup Sonlu mertebelidir. Elemanlarının mertebeleri

de sonludur.

Sonuç ;

grubu Büküm Grubudur.

Bilgi : Devirli bir grubun her bölüm grubu da

Devirlidir.

Örnek : grubuna bakalım.

Çözüm :

grubu devirli bir gruptur. O yüzden oluşturduğu

bölüm grubu da devirlidir.

Bilgi : Bir grupta Üreteç olan elemana İlkel Kök

denir.

Örnek : grubunun İlkel köklerinin bulalım.

Çözüm :

Üreteç bulacağız. 7 asal olduğu için Grubun

mertebesi olur.

Mertebesi olan eleman Üreteçtir.

Son basamakta Birim eleman bulunduğu için

‘ ün Mertebesi 6 olur. Üreteçtir.

üreteç olduğu için İlkel Köktür.

sayısına bakarsak üreteç olur. Yani

İlkel Köktür.

Sonuç :

sayıları İlkel Köktür.

Bir Grubun Merkezi

Tanım : bir grup olsun. ‘ nin merkezi

ile gösterilir.

Eşitliğini sağlayan ‘ ‘ elemanlarına Grubun

Merkezi denir.

Elemanlar küme şeklinde gösterilir.

→ Ge

,+

,+

4 ,+

4 ,+

,+

*

7 ,.

7 1 6= − =

6

1

2

3

4

5

6

3 3

3 9 2

3 27 6

3 81 4

3 243 5

3 729 1 . .olur birim eleman bulunur

=

=

=

=

=

=

3

3

5 5'de 5'de

3,5

G G

( )M G

( ) M G g G x G için gx xg= =

g

58

Bilgi : Kesinlikle boştan farklıdır.

Çünkü birim eleman her zaman eşitliği

sağlar.

için , eşitliği her zaman

sağlanır. kesindir.

Bilgi : her zaman ‘ nin alt grubudur.

eşitliği her zaman doğrudur.

Bilgi : G grubu Değişmeli ise ; Grubun merkezi ,

grubun kendisi olur.

grubu değişmeli olduğundan eşitliği

bütün ‘ ‘ değerleri için doğru olur.

Kesin doğru olur.

Örnek : grubunun merkezini bulalım.

Çözüm :

Değişmeli mi değil mi önce ona bakalım.

Tam sayılarda toplama işlemi her zaman

değişmelidir.

grubu Değişmeli olduğundan Grubun

merkezi kendisidir.

olur.

CEBİR EK NOTLAR 4

Bilgi : permütasyon grubu için ;

olacak şekilde

birbirine en yakın iki ya da üç değer

seçilir.

Herhangi bir elemanının mertebesi : En fazla

olur. Eğer 3 terim seçersek

ile hesaplanır. Amacımız ekok

değerini en yüksek yapacak şekilde parçalamaktır.

Örnek : permütasyon grubunda herhangi bir

elemanın mertebesi en fazla kaçtır ?

Çözüm :

değeri ‘ dur.

olacak şekilde birbirine en yakın iki

değer seçeriz.

ve seçilir.

Herhangi bir elemanının mertebesi :

olarak hesaplanır.

Bilgi : ‘ ‘ değerini bazı sorularda

şeklinde yazabiliriz. en

fazla nasıl oluyorsa öyle yazılır.

Örnek : grubunda bir elemanın mertebesi en

fazla kaçtır ?

Çözüm :

değerini birbirine yakın 3 ‘ lü toplama olarak

yazalım. Ekok değerini en büyük yapacak şekilde

parçalarız.

Seçilir ise Ekok en büyük olur.

Herhangi bir elemanının mertebesi en fazla

olarak hesaplanır.

Bilgi : İdeal olmak üzere ;

ifadesi için kesin

doğru olur.

Örnek : ideal ise eşitliği için

ne söylenebilir ?

Çözüm :

3 4 M− ifadesi kesin olarak söylenebilir.

1 M− olur.

( )M G

→

g e= . .e x x e x= =

( )e M G

( )M G G

→ ( )M G G

G gx xg=

g

( )M G G=

,G = +

,G = +

( )M G =

nS

,m p n m p k n+ = + + =

( ), ,m p k

,Ekok m p

, ,Ekok m p k

9S

n 9

9m p+ =

4m= 5p =

4,5 20Ekok =

n

m p k n+ + = Ekok

12S

12

12 3 , 4 , 5m p k m p k+ + = = = =

3,4,5 60Ekok =

K

→ ( )a b Mod K a b K−

M 3 4 ( )Mod M

86

14) Aşağıdakilerden hangisi , ,.+

halkasının kesinlikle maksimal ideali olur ?

A) 6 9 B)10

C) 9 − D) 6 15+

E) 6 15

15) Cebirsel yapılar ile ilgili aşağıda verilen

ifadelerden hangisi yanlıştır ?

A) Bir grubun eleman sayısına o grubun mertebesi

denir.

B) Her grupta birim elemanın mertebesi 1‘ dir.

C) 8 ,+ grubunda ( )5 8o = ‘dir.

D) Herhangi bir sonlu grupta bir elemanın mertebesi

grubun mertebesini böler.

E) *

17 ,. grubunun mertebesi 17 ’ dir.

16) G bir grup , H grubu da 'G nin bir normal

alt grubu ,

( )180 ,G = + ve 40H = biçiminde

tanımlanıyor.

Buna göre 'G nin H üzerindeki koset sayısı

kaçtır ?

A) 40

B) 10

C) 20

D) 80

E) 9

17) ( ) ( )*: ,. ,f → + , ( ) ?f x =

Cebirsel yapıları bir fonksiyon ile homomorfizma

belirtmektedir.

Buna göre , soru işareti yerine aşağıdaki

fonksiyonlardan hangisi gelebilir ?

A) 2 x−

B) 3 1x+

C) log x

D) x

E) xe

18) ,a b + olmak üzere ,

4 3 30a b a b = + − işleminin idempotent

elemanı aşağıdakilerden hangisidir ?

A) 6 B)10

C) 3 D) 5

E) 30

19) 12 20 24 , + grubunda yer alan

( )7,10,8a = elemanının mertebesi kaçtır ?

A) 6 B)12

C) 3 D) 5

E) 30

87

20) +

pozitif gerçel sayılar kümesi olmak

üzere 0 0+ + üzerinde bir işlemi

,

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , 1, .x x y y x y x y= + +

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre , işlemiyle ilgili

: Birleşme özelliği vardır.

: Değişme özelliği vardır.

: Birim eleman vardır.

İfadelerinden hangileri doğrudur ?

A) Yalnız B) Yalnız

C) ve D) ve

E) ve

CEVAPLAR

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D B C A D C E E A E

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B A C D E C C D B C

YILDIZLI TEST - KARMA

ÇÖZÜMLER

1) 5’ in kuvvetlerini alacağız. Birim elemanı

yani 1 sayısını bulunca işlem biter.

( )

1

2

3

4

5 5

5 25 1213'

5 125 8

5 625 1

Mod e göre

=

= = =

Birim elemanı veren kuvvet mertebe olacaktır.

Cevabımız D şıkkı olur.

2) Her iki işlem ile ayrı ayrı homomorfizma

şartını sağlamalıdır.

→ 1.öncül için ;

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

f x y f x f y

x y

x y

f x f y

+ = +

− +

− −

+

1.şart sağlanır.

2.işlem için bakarsak ;

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

. .

.

f x y f x f y

x y

xy

f x f y

=

−

−

−

eşitlik sağlamaz.

1.öncül homomorfizma değildir.

→ 2.öncül için ;

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2 2

f x y f x f y

x y

x y

f x f y

+ = +

+

+

+

1.şart sağlanır.

2.işlem için bakarsak ;

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

. .

2 .

2

2

f x y f x f y

x y

xy

f x f y

=

eşitlik sağlamaz.

2.öncül homomorfizma değildir.

3.öncül için ;

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

f x y f x f y

x y

x y

f x f y

+ = +

+

+

+

1.şart sağlanır.

2.işlem için bakarsak ;

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

. .

.

f x y f x f y

x y

xy

f x f y

=

2.şartta sağlanır.

3.öncül homomorfizma olur.

Cevabımız B şıkkı olacaktır.