Sosiaalisten verkostojen datan notaatio

Notation for Social Network Data

Jari Jussila 14.11.2008

Notaatio

• Notaatiota tarvitaan / auttaa kuvaamaan:• toimijat tai toimijoiden muodostamat joukot,• toimijoiden ominaisuudet,• sekä suhteet toimijoiden välillä

• On olemassa monta tapaa kuvata sosiaalisten verkostojen dataa matemaattisesti. Seuraavaksi esitellään kolme erilaista skeemaa [1] :

• Graafiteorinen notaatio• Sosiometrinen notaatio• Algebrallinen notaatio

2

17.11.2008[1] Skeema tarkoittaa mallia, tietorakennetta, jonka avulla ihmiset tulkitsevat tapahtumia ja luovat niihin järjestystä. (ks. Kalliopuska 2005).

Notaatio skeemat

• Graafiteorinen notaatio sopii parhaiten• centrality ja prestige• cohesive subgroup ideas• dyad and triad networks

• Sosiometrinen notaatio sopii parhaiten• study of structural equivalence• blockmodels

• Algebrallinen notaatio sopii parhaiten• role and positional analysis• relational algebra

3

17.11.2008

Graafiteorinen notaatio

• Graafiteorinen notaatio mahdollistaa yksinkertaisen tavan esittää toimijoita ja suhteita.

• Graafiteoriaa on hyödynnetty 1940-luvulta lähtien sosiaalisten verkostojen tutkimiseen.

• Graafiteorinen notaatio on täysin yhdenmukainen sosiometrisen ja algebrallisen notaation kanssa.

• Graafiit koostuvat solmuista (engl. node) ja viivoista niiden välillä.

4

17.11.2008

Sosiometrinen notaatio

• Sosiometrinen notaatio on yleisin sosiaalisten verkostojen kirjallisuudessa.

• Sosiometrinen notaatio esittää datan jokaisesta suhteesta sosiomatriisin muodossa, jossa rivit ja sarakkeet viittaavat toimijoiden pareihin.

• Sosiomatriisit esiintyivät ensimmäisen kerran Morenon (1934) sosiometrisissä tutkimuksissa.

• Useimmat ohjelmistot sosiaalisten verkostojen datan analyysiin hyödyntävät sosiomatriiseja.

• Sosiomatriisit ovat naapuruusmatriiseja (engl. adjacency matrices) graafeille, ja näin ollen liittyvät suoraan graafiteoreettiseen notaation.

5

17.11.2008

Algrebrallinen notaatio

• Algebrallista notaatiota käytetään tutkimaan useita suhteita.

• Tämä notaatio on hyödyllinen tutkittaessa verkoston rooli rakenteita ja suhteiden algebraa.

• Algebrallisessa notaatiossa hyödynnetään algebrallisia menetelmiä vertaamaan ja rinnastamaan mitattuja suhteita ja niistä johdettuja yhdistelmä (engl. compound) suhteita.

• Esimerkiksi jos olemme mitanneet kahta suhdetta: ”on ystävä” ja ”on vihollinen”, niin meitä saattaa kiinnostaa seuraava suhde: ”ystävän vihollinen”.

• Tämä notaatio on tarkoitettu yksimoodisille (saman tyyppisten toimijaryhmien) verkostoille ja sitä sovelsivat ensimmäisen kerran White (1963) ja Boyd (1969)

6

17.11.2008

Graafiteorinen notaatio matemaattisesti

• N = toimijoiden joukko• N sisältää g määrän toimijoita, joihin viitataan N = {n1,n2,..., ng}• Esimerkiksi:

• g = 6, opiskelijaa: Allison, Drew, Eliot, Keith, Ross, Sarah• N = {Allison, Drew, Eliot, Keith, Ross, Sarah}• Eli meillä on toimijoiden joukko N, jonka toimijoihin voidaan viitata niiden

symboleilla: n1 = Allison, n2 = Drew, n3 = Eliot, n4 = Keith, n5 = Ross, n6 = Sarah

7

17.11.2008

Graafiteorinen notaatio: yksi suhde

• Oletetaan, että meillä on yksi suhde toimijoiden joukolle N• Tällöin kuvaamme, miten jokainen toimija (toimijoiden joukossa N) on

suhteessa toiseensa.• Oletetaan myös, että suhteet ovat dikotomisia (binäärisiä) ja suunnattuja.• Dikotominen tarkoittaa sitä, että toimija joko on suhteessa toiseen

toimijaan tai se ei ole.• Suunnattu puolestaan tarkoittaa sitä, että toimijoiden pari ni ja nj ovat eri

asia kuin pari nj ja ni, järjestyksellä on siis merkitystä.• Jos yhdysside on olemassa niin voidaan sanoa, että järjestetty pari on

elementti erityisessä kokoelmassa pareja, jota kutsutaan L. Jos järjestetty pari on osa L, niin ensimmäinen toimija parista on suhteessa toiseen toimijaan tarkasteltavan suhteen ”laadun” mukaisesti.

• On mahdollista olla 0:sta g(g – 1) elementtiä (lukumäärä järjestettyjäpareja L kohden)

8

17.11.2008

”Dikotomisten” verkostojen matemaattinen kuvaus

• Jos järjestetty pari on < ni, nj > ja on olemassa yhdysside, niin ni nj

• Elementeistä (tai järjestetyistä pareista), jotka ovat osa kokoelmaa L käytetään symbolia l.

• Kun on olemassa L määrä elementtejä kokoelmassa L, joten L = {l1. l2, ... , lL}

• Elementit kokoelmassa L voidaan esittää graafisesti piirtämällä viiva ensimmäisestä toimijasta toiseen toimijaan.

• Tälläisiä graafeja kutsutaan suunnatuiksi graafeiksi, koska viivoilla on suunta. Suunnatusta viivasta käytetään nimitystä kaari (engl. arc). Symbolia L käytetään viittaamaan kokoelmaan suunnattuja viivoja ja symboli l viittaa yksittäisiin suunnattuihin viivoihin kokoelmassa.

• Koska graafit koostuvat setistä solmuja N ja setistä viivoja L, niin graafeja voidaan matemaattisesti kuvata kahdella setillä (N , L).

• G –symbolia käytetään kuvaamaan graafia.• On tärkeätä huomata, että nämä kaksi settiä (toimijat ja järjestettyjen

parien setti / kaarien setti) riittää kuvaamaan matemaattisesti verkostoja, joissa mitataan dikotomisia suhteita.

9

17.11.2008

Suunnatut ja ei-suunnatut suhteet

• Joissain tilanteissa suunnalla ei ole merkitystä, toisin sanottuna ei voida erottaa viivaa ni ja nj välillä viivasta nj ja ni välillä .

• Esimerkkinä tällaisesta suhteesta on ”asuu lähellä toista”• Tälläisessä tapauksessa parien järjestyksellä ei ole merkitystä.

10

17.11.2008

Suunnatun suhteen merkityksestä

• Suunnatut suhteet eivät automaattisesti merkitse kahden suuntaista yhteyttä.

• Esimerkiksi, jos ajatellaan joukon lapsia (toimijoita) välistä dikotomista suhdetta ”on ystävä”, toinen toimija ei välttämättä ole samaa mieltäasiasta.

11

17.11.2008

Suunnatun suhteen esimerkki

• Esimerkkinä kahdeksan mahdollisesta kolmesta kymmenestäjärjestetystä parista ovat ystäviä (eli on olemassa kahdeksan kaarta kolmesta kymmenestä mahdollisesta) ja loput kaksikymmentä kaksi eivät ole ystäviä (puuttuu kaksikymmentä kaksi viivaa).. Olkoon nämä L=8 parit <Allison, Drew>, <Allison, Ross>, <Drew, Sarah>, <Drew, Eliot>, <Eliot, Drew>, <Keith, Ross>, <Ross, Sarah> ja <Sarah, Drew>

• Eli elementeille L, l1 = <Allison, Drew>, l2 = <Allison, Ross>, ... , ja l8 = <Sarah, Drew>

• Data kertoo meille, että Allison näkee Drew:n ystävänä, Alison näkee Rossin ystävänä, Drew näkee Sarahin ystävänä, jne.

• Huomattavaa on, että suhde, tässä tapauksessa ystävyys ei ole molemmanpuoleista, eli jos ni väittää että nj on hänen ystävänsä (tai ninj), niin on mahdollista, että tunne ei ole molemmanpuoleinen nj ei välttämättä valitse ni ystäväkseen (tai nj ni).

12

17.11.2008

Suunnattu suhde graafisesti

• Sama asia voidaan esittää graafina, jossa solmut ovat pisteitä kaksi-ulotteisessa avaruudessa ja kaaret edustaa suunnattuja nuolia pisteiden välillä.

• Kuusi lasta voidaan siis esittää pisteinä kaksi-ulotteisessa avaruudessa.• On tärkeää huomata, että pisteiden sijainnilla ei ole mitään merkitystä (ei

ole olennaista).

13

17.11.2008

Sosiogrammi: 6 toimijaa ja suunnatut viivat niiden välillä

14

17.11.2008

Drew

SarahRoss

Keith

Allison

Elliot

Useita suhteita

• Kun meitä kiinnostaa useammat toimijoiden N väliset suhteet, olkoon R suhteiden lukumäärä.

• Jokaisella suhteella on setti kaaria, Lr , joka sisältää Lr järjestettyjä pareja toimijoita elementtinä. vaihtelee välillä 1 – R.

• Jokainen näistä R seteistä määrittelee graafin N solmuille. Joten jokainen suhde on määritelty samalle joukolle solmuja, mutta jokaisella on yksilöllinen määrä kaaria. r -suhde voidaan kvantifioida seuraavasti:

(N r , L r ), jossa r = 1,2, ..., R.

15

17.11.2008

Useiden suhteiden esimerkki

• Meillä on R = 3 suhdetta:1. Kuka valitsee kenenkä ystäväkseen koulu vuoden alussa2. Kuka valitsee kenenkä ystäväkseen koulu vuoden lopussa3. Kuka asuu lähellä ketä

• Ensimmäiset kaksi suhdetta ovat suunnattuja ja viimeinen on ei-suunnattu.

• Meillä on• L1 = 8 paria toimijoita• L2 = 11 paria toimijoita• L3 = 12 paria toimijoita

• Ei suunnatuille suhteille, jokainen pari voidaan listata useammasti kuin kerran, esim. jos Allison asuu lähellä Rossia, niin Ross asuu myös lähelläAllisonia

• ( , ) tarkoittaa ei suunnattu suhdetta, ja < , > suunnattua suhdetta

16

17.11.2008

Graafiteorinen notaatio taulukkona

Suhde 1. Ystävyys alussa

Suhde 2. Ystävyys lopussa

Suhde 3. Asuu lähellä

<Allison, Drew> <Allison, Drew> (Allison, Ross)

<Allison, Ross> <Allison, Ross> (Allison, Sarah)

<Drew, Sarah> <Drew, Sarah> (Drew, Elliot)

<Drew, Eliot> <Drew, Eliot> (Keith, Ross)

<Eliot, Drew> <Drew, Ross> (Keith, Sarah)

<Keith, Ross> <Eliot, Ross> (Ross, Sarah)

<Ross, Sarah> <Keith, Drew>

<Sarah, Drew> <Keith, Ross>

<Ross, Keith>

<Ross, Sarah>

<Sarah, Drew>

17

17.11.2008

6 toimijaa ja kolmenlaisia suunnattuja viivoja

18

17.11.2008

Drew

SarahRoss

Keith

Allison

Elliot

Ystävyys alussa

Ystävyys lopussa

Asuu lähellä

Graafiteoreettisen notaation soveltuvuus

• Grafiteoreettinen notaatio soveltuu heikommin tilanteisiin, jossa suhteet on arvotetu. Eli sellaisiin data joukkoihin, joissa suhteiden vahvuutta tai frekvenssiä on tarkasteltu.

• Näihin on olemassa erikoisgraafeja, kuten signed graphs ja valued graphs, mutta sosiometrinen notaatio soveltuu yleisesti paremminarvotettujen suhteiden käsittelyyn.

19

17.11.2008

Sosiometrinen notaatio

• Sosiometriikka tutkii ihmisjoukkojen positiivisia ja negatiivisia tunteisiin liittyviä (engl. affective) suhteita, kuten pitää/ei pidä, ystävä/vihamies.

• Suhde data esitetään usein kahden suuntaisina matriiseina, joita kutsutaan sosiomatriiseiksi.

• Sosiomatriisin kaksi dimensiota ovat indeksoitu lähettäviin toimijoihin (rivit) ja vastaanottaviin toimijoihin (sarakkeet) . Yksimoodisessa verkostossa sosiomatriisi on neliö.

• Sosiomatriisi dikotomisille suhteille on täsmälleen naapuruusmatriisi graafeille (sosiogrammi), joka kvantifioi yhdyssidokset toimijoiden ja tutkittavan suhteen välillä.

20

17.11.2008

Sosiometrinen notaatio: yksi suhde

• Oletetaan, että meillä on yksi suhde, jota mitataan g kokoisen joukon toimijoita N = {n1, n2, …, ng} suhteen.

• Tästä yksiarvoisesta suunnatusta suhteesta käytetään symbolia X.• Määritellään xij yhdyssiteiden arvoiksi i toimijasta j toimijaan yhden

suhteen mukaan.• Tämän jälkeen mittaukset sijoitetaan sosiomatriisiin. Rivit ja sarakkeet

ovat yksittäisiä toimijoita järjestettynä identtiseen järjestykseen. Koska on olemassa g määrä toimijoita, niin matriisin koko on g x g.

• Suhteelle X. , määritellään sitä vastaava sosiomatriisi X. Tälläsosiomatriisilla on g riviä ja g sarakkeita. Yhdyssiteen arvo ni – njsijoitetaan X matriisin (i, j) elementteihin.

• xij = yhdyssiteen arvo ni – nj suhteelle X , • jossa i ja j (i ≠ j) vaihtelevat kokonaislukujen 1 ja g välillä.• X –matriisin elementtejä voidaan ajatella olevan koodattuja arvoja suhteesta X.

Jos kyseessä on dikotominen suhde, niin yhdyssiteen arvo on joko 0 tai 1.

21

17.11.2008

Sosiometrinen notaatio: useita suhteita

• Oletetaan, että on useampia suhteita R, X.1 , X.2, ... , X.R joita mitataan samalla toimijoiden joukolla.

• Nämä suhteet ovat arvotettuja ja arvot suhteeseen X.R tulevat setistä {0, 1, 2, ..., Cr – 1}.

• Määritellään xijr yhdyssiteen voimakkuutena toimijasta i toimijaan j r suhteen suhteen. Tämän jälkeen mittaukset sijoitellaan kokoelmaan sosiomatriiseja, yksi jokaista suhdetta kohde. Rivit ja sarakkeet jokaisesta sosiomatriisista indeksoi yksittäiset toimijat identtiseen järjestykseen. Rivit ja sarakkeet nimetään siis identtisesti. Jokaisen matriisin koko on g x g.

• Ajatellaan yhtä suhdetta, X.r, ja määritellään tälle suhteella sosiomatriisi Xr. Yhdyssiteen arvo ni – nj sijoitetaan Xr matriisin (i, j) elementteihin.

• xijr = yhdyssiteen arvo ni :stä nj :hin X.r suhteen mukaan, • jossa i ja j (i ≠ j) saavat kokonaisluvun arvon väliltä 1 – g ja r = 1,2,..., R• Xr elementtien arvoja voidaan ajatella koodattuina arvoina suhteesta X.r• On olemassa R, g x g sosiomatriiseja, yksi jokaista suhdetta kohden toimijoiden

joukossa N

22

17.11.2008

Sosiomatriisi: ystävyys vuoden alussa

Ystävyys vuoden alussaAllison Drew Eliot Keith Ross Sarah

Allison - 1 0 0 1 0Drew 0 - 1 0 0 1Eliot 0 1 - 0 0 0Keith 0 0 0 - 1 0Ross 0 0 0 0 - 1Sarah 0 1 0 0 0 -

23

17.11.2008

Graafiteoreettisen ja sosiometrisen notaation vertailu

• Esimerkissä huomioitavaa on ensimmäinen suhde ja ensimmäinen kaari L1. Ensimmäinen kaari (viiva) on l1 = <Allison, Drew>. Allison Drew suhdetta kuvaa kaari l1. Allison on siis valinnut Drew:n ystäväkseen kouluvuoden alussa. Tämä kaari (l1) kuvaa graafiteoreettista notaatiota.

• Sosiometrisessä notaatiossa Allison (n1) on lähettäjä (ensimmäinen rivi) ja Drew (n2) on vastaanottaja (toinen sarake) suhteessa X.1 Tämä arvo on tallennettu (1,2) soluun sosiomatriisissa ja sisältöö arvon 1:

• X121 = yhdyssiteen arvo n1 :stä n2: een X.1 suhteen• X121 = 1• Kiinnitä huomiota myös X211 = 0, eli Drew ei pidä Allisonia

ystävänään vuoden alussa, eli Drew Allison• Huomaa myös diagonaaliset määrittelemättömät arvot (-)• Eli opiskelijoille ei ole annettu mahdollisuutta arvioida ovatko he itsensä

ystäviä ja että asuvatko he lähellä itseään• Nämä sosiomatriisit ovat naapuruusmatriiseja kahdelle suunnatulle

graafille ja yhden suuntaamattomalle graafille kolmen dikotomisen suhteen suhteen.

24

17.11.2008

Sosiomatriisi: ystävyys vuoden lopussa

Ystävyys vuoden lopussaAllison Drew Eliot Keith Ross Sarah

Allison - 1 0 0 1 0Drew 0 - 1 0 1 1Eliot 0 0 - 0 1 0Keith 0 1 0 - 1 0Ross 0 0 0 1 - 1Sarah 0 1 0 0 0 -

25

17.11.2008

Sosiomatriisi: asuu lähellä

Asuu lähelläAllison Drew Eliot Keith Ross Sarah

Allison - 0 0 0 1 1Drew 0 - 1 0 0 0Eliot 0 1 - 0 0 0Keith 0 0 0 - 1 1Ross 1 0 0 1 - 1Sarah 1 0 0 1 1 -

26

17.11.2008

Algebrallinen notaatio

• Algebrallinen notaatio on erilainen, mutta yhdenmukainen graafiteoreettisen ja sosiometrisen notaation kanssa.

• Algebrallisella ja sosiometrisella notaatiolla on kaksi merkittävääeroavaisuutta:

1. Algebrallinen notaatio viitaa suhteisiin isolla kirjaimella, esim. Y ”on ystävä” ja V ”on vihamies” [ X.1 , X.2, ... , X.r ]

2. Yhdysside toimijasta i toimijaan j merkitään suhteelle Y : iYj

27

17.11.2008

Algebrallinen notaatio esimerkki

• Esimerkiksi ”on ystävä vuoden alussa” on Y. Yhdysside tallennetaan ”opiskelija i valitsee opiskelijan j ystäväkseen vuoden alussa” muotoon iYj.

• Sosiometrisisessa notaatiossa iYj tarkoitaa XijY = 1, ja viittaa siihen, ettäon olemassa arvo ”1” rivillä i ja sarakkeessa j sosiomatriisin solussa.

• Algebrallinen notaatio soveltuu hyvin dikotomisten suhteiden ja suhteiden kombinaatioiden kuvaamiseen:

• ”ystävän vihamies”, ”äidin veli”, tai ”ystävän naapuri”• Algebrallinen notaatio ei kuitenkaan sovellu arvotettujen suhteiden tai

toimijoiden ominaisuuksien kuvaamiseen

28

17.11.2008

Kaksi toimijajoukkoa

• Esimerkiksi, meillä voi olla kaksi joukkoa: opiskelijat ja opettajat.• Tarkasteltavia suhteita voi olla esimerkiksi: ”on oppilas” ja ”osallistuu

tiedekunnan palavereihin”.• ”on oppilas” suhde pätee vain opiskelijan ja opettajan välillä• ”osallistuu tiedekunnan palavereihin” suhde pätee vain opettajien pareilla

• Kutsumme ensimmäistä toimijaa pareista lähettäjäksi (engl. sender) ja toista toimijaa vastaanottajaksi (engl. receiver). Näistä on myös käytetty nimityksiä perustaja (engl. originator) ja saaja (engl. recipient) tai toimija (engl. actor) ja partneri (engl. partner).

• Ensimmäisestä toimijajoukosta käytetään symbolia N ja toisesta symbolia M .

• N joukko koostuu g toimijoista ja M joukko koostu h toimijoista.• M joukko koostuu elementeistä {m1, m2, ..., mh}, ja mi on tyypillinen

toimija toisessa toimijajoukossa. • Lisäksi on olemassa dyadit, jotka voidaan muodostaa M toimijoista.

29

17.11.2008

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2h

Kahden toimijajoukon esimerkki

• Olkoon N opiskelijoiden joukko ja M opettajien joukko.• M koostuu h = 4 opettajasta.• m1 = Mr. Jones, m2 = Ms. Smith, m3 = Mr. White ja m4 = Ms. Davis• Kokonaisuudessaan on kymmenen toimijaa, jotka on ryhmitelty kahteen

joukkoon.• Toimijoiden joukko M tuo itsessään 4(4-1)/2 = 6 järjestämätöntä paria

lisää.

30

17.11.2008

Sosiomatriisi suhteesta ”on oppilas” määritetty heterogeenisille pareilleN ja M

Mr. Jones Ms. Smith Ms. Davis Mr. WhiteAllison 1 0 0 0Drew 0 1 0 0Eliot 0 0 1 0Keith 0 0 0 1Ross 0 0 1 0Sarah 0 1 0 0

31

17.11.2008

N

M

XrN , dimensiot = g x g

XrM , dimensiot = h x h

XrNM , dimensiot = g x h

XrMN , dimensiot = h x g

XNM

6 x 4 = 24 heterogeenistä paria

Eri tyyppiset parit

• Kahden toimijajoukon sisällä voi olla kahden tyyppisiä pareja – niitä jotka koostuvat saman joukon toimijoista ja niitä jotka koostuvat eri joukon toimijoista.

• Saman joukon toimijoiden pareja kutsutaan homogeeniseksi pareiksi. On olemassa kahdenlaisia homogeenisia pareja:

1. Lähettäjä ja vastaanottaja kuuluvat joukkoon N 2. Lähettäjä ja vastaanottaja kuuluvat joukkoon M

• Eri joukon toimijoiden pareja kutsutaan puolestaan heterogeenisiksi pareiksi Heterogeenisiä pareja on myös olemassa kahdenlaisia:

1. Lähettäjä kuuluu joukkoon N ja vastaanottajia kuuluu joukkoon M2. Lähettäjä kuuluu joukkoon M ja vastaanottajia kuuluu joukkoon N

32

17.11.2008

Yhteenveto

• Joukko toimijoita, informaatio toimijaparien suhteista, ja mahdolliset toimijoiden ominaisuudet muodostavat kokoelman dataa, jota voidaan kutsua sosiaalisten suhteiden järjestelmäksi (engl. social relational system).

• Dikotomisten suhteiden osalta kaikki kolme notaatio skeemaa pystyvät kuvaamaan koko data joukon.

• Symbolit ” ni nj ” on lyhennys notaatiosta: ni valitsee nj :n tietyn suhteen suhteen; eli kaari ni :stä nj :hin kuuluu joukkoon L, jolloin on olemassa yhdysside järjestettyjen parien < ni, nj > välillä.

• Algebrallisessa notaatiossa suhteet nimetään isoin kirjaimin ja suhteen olemassa oloon kahden parin välillä viitataan esim. iYj. Sosiometrisessänotaatiossa yhdysside kirjataan sosiomatriisiin: xij = 1.

• Jos on olemassa yksi joukko g toimijoita, niin on olemassa g(g – 1) järjestettyjä pareja toimijoita.

• N lisäksi on olemassa joukko L , joka sisältää kokoelman järjestettyjäpareja toimijoista, joiden välillä on yhdysside.

33

17.11.2008

Yhteenveto kaavana

• S = {N , L } – algebrallinen rakenne, jossa S on yksinkertaisin mahdollinen sosiaalinen verkosto (Freeman 1989).

• Freeman (1989) kuvaa kolmirakenteen, joka koostuu algebrallisesta rakenteesta S, suunnatusta graafista tai sosiogrammista Gd ja naapuruusmatriisista tai sosiomatriisista X:

• P = < S , Gd , X >• Tämä kolmirakenne osoittaa, että eri notaatiot tarjoavat

olennaisimmat komponentit yksinkertaisten sosiaalisten verkostojen tarkasteluun:

• Joukko solmuja ja kaaria (graafiteoreettisesta notaatiosta)• Sosiogrammi tai graafi (tuotettu solmuista ja kaarista)• Sosiomatriisi (sosiometrisestä notaatiosta)

34

17.11.2008