Sommersemester 2009

Universität Mainz

Johanna Trinkhaus, Timo Schweißguth

Fachdidaktik Seminar – Kernideen der Mathematik

Inhalt der Präsentation

Umkehrungen in Mathematikunterricht – Was geht, was geht nicht?

Winkel um Mathematikunterricht – Wo kommen sie vor?

Unterrichtsplanung zum Innenwinkelsummensatz von Dreiecken

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Umkehrungen – Satz des PythagorasSatz des Pythagoras:

Ist ein Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse c, dann gilt:

Umkehrung:

Sei ein Dreieck ABC mit den Seiten a,b,c gegeben und es gelte .

Dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck mit als Hypotenuse.

²²² cba

²²² cba

cAB

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Umkehrungen – Satz des PythagorasBeweisidee:

Wir wählen uns ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und zeigen, dass dieses kongruent zum Dreieck aus der Umkehrung ist.

Schüler sollen an diesem wichtigen und bekannten Satz lernen, worauf es bei Umkehrungen und Beweisen ankommt.

Dies ist dann eine gute Übung, um das mathematische Argumentieren zu trainieren. (Kompetenz K1)

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Umkehrungen – Satz des Thales

Satz des Thales: Die freien Ecken C aller rechtwinkligen

Dreiecke mit gemeinsamer Hypotenuse AB liegen auf einem Kreis mit AB als Durchmesser.

Umkehrung: Jedes Dreieck, dessen Ecken so auf

einem Kreis liegen, dass eine Seite Kreisdurchmesser ist, besitzt einen rechten Winkel.

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Umkehrungen – Satz des Thales

Beweis: Ergänzung des rechtwinkligen Dreiecks zu

einem Rechteck und Betrachtung der beiden Diagonalen

Vorkenntnisse: Diagonalen eines Rechtecks sind gleich

lang Diagonalen eines Rechtecks halbieren

sich gegenseitig

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Umkehrungen - Strahlensätze

Strahlensätze 1. Strahlensatz Merkregel:

2. Strahlensatz

Umkehrung: Erster Strahlensatz ist umkehrbar, der

zweite allerdings nicht.

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Umkehrungen - Strahlensätze

Beweise/Begründungen Für den ersten Satz sollen die Schüler an

Beispielen erkennen, dass die Umkehrung gilt

Für den zweiten Strahlensatz ergibt ein einfaches Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt. (Kreis um A mit ergibt weitere, nicht parallele, Strecke für die die Behauptung gilt.

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'AAr

Umkehrungen - Probleme

Häufig fällt es den Schülern schwer Behauptung und Voraussetzung zu trennen. So wird beim Beweisen vielleicht ungültiges als Beweismittel eingesetzt.

Schüler müssen bei Gleichungsumformungen darauf achten ob die Umkehrung wirklich gelten kann. (Umkehrung könnte /0 sein)

Trennung von Satz und Umkehrung

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Winkel - Höhenbestimmung

Problemstellung

Aufgabe Schüler gehen auf den Schulhof und sollen

die Höhe h des Schulgebäudes bestimmen und vorher eine Skizze anfertigen

Vorerst sollen die Schüler ohne Hilfe zurecht kommen

Hilfestellung: Trigonometrische Funktionen

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Winkel - Höhenbestimmung

Vorkenntnisse: Umgang mit der Winkelmessung eines

Theodoliten (Einführung im Unterricht) Kenntnisse über trigonometrische Funktionen

Probleme Schüler versuchen h zu schätzen, indem sie

die Höhe des Gebäudes mit der eigenen Größe vergleichen

Zeichnungen allein helfen bei Messung nicht, da der Realitätsbezug verloren geht

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Winkel – Ähnliche Dreiecke

Problem: Quadrat mit Seitenlänge

8cm

Aufgabe: Zeige, dass alle Dreiecke ähnlich sind. Zeige an einem Dreieck, dass die

Seitenverhältnisse 5:4:3 sind.

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Winkel – Ähnliche Dreiecke

Vorkenntnisse: Innenwinkelsummensatz von Dreiecken Definitionen von Stufen-, Wechsel- und

Nebenwinkeln Satz des Pythagoras

Probleme: Sehr formal, da keine Zahlenbeispiele Anwendungsaufgabe Bsp. mit Winkelmessungen kann helfen

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Winkel – Grad- und BogenmaßProblem:

Was ist b? Wie berechne ich b? Idee: Einheitskreis Schüler sollen erkennen, dass b eine Teil von

U ist

Aufgabestellung: Schüler sollen Werte vom Bogenmaß ins

Gradmaß umrechnen und umgekehrt Schüler sollen möglichst alleine allg. Formeln

aufstellen Was ist bei ?

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2U

1r

Winkel – Grad- und Bogenmaß

Vorkenntnisse: Berechnung vom Kreisumfang Umgang mit Winkeln im Bogenmaß

Probleme: Formale Abstraktion

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Einstiegsmöglichkeiten Winkelsummensatz

Dreieck auf Papier oder Pappe zeichnen und ausschneiden, Ecken abreißen und zusammenlegen

Im Helf oder mit DynaGeo sollen die Schüler versuchen ein Dreieck mit möglichst großer Innenwinkelsumme zu zeichnen

Abschreiten der WinkelFormaler Ansatz für die besseren Schüler

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