solucionario uni2015i matematica (1)
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Examen UNI 2015 IMatemtica
SOLUCIONARIO
(Alcance)=[4; 46]
(Rango)=46-4=42
A= 742 =6
Tabla de Frecuencias
Intervalos fi Fi[4,10> 1 1
[10,16> 3 4[16,22> 6 10[22,28> 12 22[28,34> 12 34[34,40> 4 38[40,46] 2 40
Pide:
(A+F5)1=39
6 34
Rpta: 39
Pregunta 02
Indique la alternativa correcta despus de determinar si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F) segn el orden dado:
I. Sean A B C D, entonces la probabilidad .
P ( D ) = P ( D \ A ) + P ( C \ A ) + P ( B \A)+P(A)
II. Se lanzan dos dados normales, entonces la probabilidad que su suma
sea 7 es 121 .
Pregunta 01
Semanalmente, un trabajador ahorra cierta cantidad en soles, y durante 40 semanas ahorra las siguientes cantidades:
21 35 29 31 23 22 28 3328 25 31 26 24 27 27 3337 29 19 36 23 18 46 1226 41 30 18 39 15 24 425 33 10 28 20 27 17 31
Se construye una tabla de frecuencias de 7 intervalos de igual longitud fija A. Si F5 es la frecuencia acumulada del quinto intervalo (ordenados los extremos de los mismos de forma creciente), determine el valor de (A+F5)-1
A) 30
B) 32
C) 37
D) 38
E) 39
Resolucin 01
Estadstica
Tabla de distribucin de frecuencias
Sabemos que:
(alcance)=[Dato menor; Dato mayor]
(rango)=(Dato mayor) (Dato menor)
(Ancho de clase)=# int ervalos
Rango^
^h
h
ADato: (# intervalos) =7
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III. Se lanzan dos dados normales, uno cada vez, entonces la probabilidad de que salga 3 dado que antes sali 1 es
361 .
A) V V V
B) V F V
C) F V V
D) F F V
E) F F F
Resolucin 02
Probabilidades
Probabilidad condicionalI. Sean los eventos: A B C D1 1 1 ,
entonces
AB
CD
P(D): P(D\A)+P(B\A)+P(A)......(F)
Porque P(D)=P(D\C)+P(C\B)+P(B\A)+P(A)
II. A={obtener una suma 7, al lanzar dos dados normales}
A={(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)}
`P(A)= 636 = 61
la proposicin P(A)= 121 es falsa (F)
III. Piden la probabibilidad de obtener el evento: Obtener 3 dado que antes salio 1.
E={(1,3)} P(E)= 61
` La proposicin P(E) = 361 .....(F)
Recuerde que:
El espacio muestral se reduce a 6 casos, para el 2do dado.
Rpta: FFF
Pregunta 03
Sabiendo que K = ab(4)= cd(5) y a+b+c+d=11 en el sistema decimal con a0, c0. Determine K en el sistema decimal.
A) 14
B) 23
C) 32
D) 41
E) 51
Resolucin 03
Numeracin
Cambio de baseK = ab(4) = cd(5)Los nmeros que se representan con dos cifras tanto en base 4, como en base 5 son del:
{5, 6, 7, ... , 15} y de estos el nmero 14 cumple que: 14 = 32(4) = 24(5)
K
donde: a + b + c + d = 11 (DATO)
3 2 2 4K = 14
Rpta.: 14
Pregunta 04
Se sabe que en una divisin entera el divisor es
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50 y el residuo es 15. Cuntas unidades como mnimo se le debe disminuir al dividendo, para que el cociente disminuya en 13 unidades?
A) 614
B) 615
C) 616
D) 617
E) 618
Resolucin 04
Cuatro Operaciones
Divisin
Sea la divisin original
15
D 50q
D=50q+15
Luego:
D-XMN 50R q-13
D - XMN = 50(q - 13) + R50q + 15 - XMN = 50q - 650 + R
665 - R=XMN
616 =XMN
49 (MX)
Rpta.: 616
Pregunta 05
Sea el nmero E = 22001 + 32001. Calcule el residuo de dividir E entre 7.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resolucin 05
Divisibilidad
Restos Potenciales
E=22001+32001
E=(23)667+(33)667=8667+27667
Aplicando cocientes notables esta expresin siempre ser divisible por la suma de: 8+27=35
35E 8 275o667 667 1= + =7
c
c
ReE sto7 0"= =c
Rpta.: 0
Pregunta 06
Cuntos nmeros de la forma (4a-3)(3b)(4a-3) son primos?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolucin 06
Nmeros primos y compuestos
Clasificacin de los Z+Sabemos que:
Un nmero es primo, si solo posee 2 divisores, la unidad y el mismo nmero.
Ejemplo:
2 es primo, ya que sus divisores son 1 y 2
19 es primo, ya que sus divisores son 1 y 19
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Dato: (4a-3)(3b)(4a-3) es primo.
1 0 1
1 3 1
1 5 1
1 8 1
1 9 1
3 1 3
3 5 3
3 7 3
3 8 3
7 2 7
7 5 7
7 8 7
7 9 7
9 1 9
9 2 9
Hay 15 primos
capicas de 3
cifras
Rpta: 15
No hay
Clave
Nota: Asumiento a, b Z.(4a-3) (3b) (4a-3)
(4 3) 3 (4 3)- -q q q
1 0 1
1 3 1
1 9 1} Hay 3 primosque cumplenRpta: 3
S hay clave
Rpta.: 3
Pregunta 07
Sea la expresin
,a0 , , 4b ba0 0 4 =! ! ! ; con b0Entonces la suma de todos los valores posibles de ,a0 , , 4b ba0 0 4 =! ! ! que satisfacen la ecuacin anterior es
A) ,0 61!
B) ,1 33!
C) , 62 1!
D) , 13 1!
E) ,4 16
Resolucin 07
Nmeros racionales
Nmeros decimales
0,a b!
0,b a!
=0, 4!
ab a ba b90 90 9
4 =^ ^h h
a b b a90
990
994+ + =^ ^h h
a b90
8 894 =
a b=56789
1234
Luego piden la suma de valores de 0,a b!
0,61 0,72 0,83 0,94
,1 , 13 3 1
+ + +
=1 2 3444444 444444
! ! ! !! !
Rpta: 3,11!
Pregunta 08
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Se tiene la siguiente igualdad
aaa a1 1 2/91 3
9= +_ __ _i ii i
Entonces podemos decir que el conjunto
, , , ... /a aaa existe1 2 3 8 1/1 2
9! a _ ki#( - 2
A) No posee elementos
B) Posee un solo elemento
C) Posee dos elementos
D) Posee tres elementos
E) Posee cuatro elementos
Resolucin 08
Potenciacin
Cubo perfecto
( )aaa a1 1 2 ( )93= +_ i
S(9)
1 ( ( 2))
2
a9 9
5
3
.
+ = + +q q
Luego
Si: a = 2
( ) ( )no cumple2221 14
1639
3
2197
( ) ( )9 9=
S S
Si: a = 5
( )5551 17
4096
3
4096
( ) ( )9 9=
S S= (si cumple)
Luego: El conjunto es unitario.
{5}
Rpta.: Posee un solo elemento
Pregunta 09
Indique el intervalo al cual pertenece el valor de m, para que la inecuacin
x xx x m
14 4 4 O
m m m
m m
m m
1 4 4 4 0
0 3 2 65
0 3 13 5
0
f(0)= c= 2
Se sabe:
fmin= a43 =b
(b28a)= 4ab
8ab2= 4ab
Reemp. en M:
M= abab4
=4
Rpta: 4
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Pregunta 12
Sea f una funcin cuya regla de correspondencia
est dada por: f(x) = loga x x 12+ +_ i
Encuentre su funcin inversa
A) ax + a-x
B) a a2
x x+
C) ax - a-x
D) a a2
x x- -
E) a2
x
Resolucin 12
Funciones
Funcin Inversa
logy x x 12a= + +^ h
Notamos que la funcin es creciente, luego la inversa existe.
Despejando x
x x a
x a x
x a a x x
a x a
x a a
f x a a
1
1
1 2
2 1
2
2
y
y
y y
y y
y y
x x
2
2
2 2 2
2
`
+ + =
+ =
+ = +
=
=
=
^ h
Rpta: a a2
x x- -
Pregunta 13
Si A es una matriz invertible, despeje la matriz X a partir de la expresin.
((AX)-1)t = 0,5 B-1
A) X = 0,5 A-1Bt
B) X = 0,5 Bt A-1
C) X = 2 A-1B
D) X = 2 B-1 At
E) X = 2 A-1 Bt
Resolucin 13
Matrices
Matriz Inversa
0,5AX Bt1 1= ^ h6 @
Tomando la transpuesta
0,5AX B t1 = ^ hAplicando la inversa
,AX B
AX B
0 5
2
t
t
1=
=
^ h
Multiplicando por A 1-
. .A AX A B
X A B
2
2
t
t
1 1
1
=
=
Rpta: 2X A Bt1=
Pregunta 14
Determine el conjunto solucin del sistema de ecuaciones no lineales:
2 2 1 0x y x y
x x y2 1 0
2 2
2
+ + =
+ =*
A) {(3,1), (1,1), (-1,-1)}
B) {(2,-2), (2,1), (1,1)}
C) {(-1,0), (1,1) (1,2)}
D) {(1,0), (0,1), (2,1)}
E) {(1, -1), (1,0), (2,-1)}
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Resolucin 14
Sistema de ecuaciones
Sistema no lineales
de (2):
(x-1)2=y
en (1):
(x-1)2+y2-2y=0
y+y2-2y=0y2-y=0
y=0 y=1(x-1)2=0 (x-1)2=1
x=1 x-1=1 x-1=-1x=2 x=0
CS={(1;0);(2;1);(0;1)}
Rpta.: {(1,0),(0,1),(2,1)}
Pregunta 15
Un granjero tiene 480 acres de tierra en la que puede sembrar maz o trigo. l calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estacin de verano. En el caso del maz, el trabajo demora 2 horas por acre y se obtiene una utilidad de S/.40 por acre, mientras que en el trigo el trabajo es de 1 hora por acre y la utilidad es de S/.30 por acre. Cuntos acres de maz y trigo debe plantar respectivamente, para maximizar su utilidad?
A) (160, 320)
B) (140, 340)
C) (340, 140)
D) (320, 160)
E) (180, 300)
Resolucin 15
Programacin Lineal
Mximos y Mnimos
Por datos:
Maz Trigo TotalAcre x y 480
Horas 2x y 800Utilidad 40x 30y
U(x;y)=40x+30y
;S
x yx yx y
4802 800
0 0
G
G
H H
=++
Z
[
\
]]
]]
y
x
(0,480)
(400,0)
(320,160)
U 40 320 30 16012800 480017600
mx = += +=
_ _i i
Rpta: Debe plantar 320 acres de maz y 160 acres de trigo
Rpta.: (320, 160)
Pregunta 16
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Considere la sucesin
, , , ... , , ...n
121
31 1
2 2 2' 1 .
Determine el menor valor de nN , de modo que se cumpla
n12 103 10 n>3162,2...
Menor valor; nN : 3163
Rpta: 3163
Pregunta 17
Halle el menor grado del polinomio xn+ax+b, a0, (n>1) para que x21 sea un divisor.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Resolucin 17
Polinomios
Divisibilidad
Si P(x)=xn+ax+b es divisible (x21)
P(x)=(x21)q(x)P(1)=0 ^ P(1)=0
1+a+b=0(1) (1)na+b=0(2)
Restando (1) y (2)
1(1)n+2a=0
2a=(1)n1
Setienea0 (1)n10entonces n es impar
min(n)=3
Rpta: 3
Pregunta 18
En el primer cuadrante del plano se forma el conjunto A con los puntos con coordenadas enteros positivos, esto es
A= {(m,n)/mN , nN}.
A cada punto (m,n) de A se le asigna el valor
21m n+ . Calcule la suma de todos los valores
de los puntos (m,n) de A con coordenadas m
$n.
A) 31
B) 32
C) 1
D) 2
E) +
Resolucin 18
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Series
Convergencia
Sea Sm la suma de todos los valores de los puntos (m;n) con coordenadas mn
.....S2
1
2
1
2
1
2
1
2
1m n m m
n
n m
m m n1 21
3m= = + + + ++ + +
=
=
+ +/
( .... )S21
21
21
21
21
21
m m m m2
121
2
m
m = + + + =
1 2 34444 4444
S21
41
1 21
21
1 41
41
1 31
32
mm
mm
1 1m = =
= =
3 3
= =c m/ /
Rpta: 32
Pregunta 19
Si S es el conjunto solucin de la inecuacin x x1 2 +
-
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B) V F F
C) V V V
D) F V V
E) F V F
Resolucin 20
Funciones
Regla de correspondenciaf(x)=|x|x
I. f(x+y)= |x+y|(x+y)
Sabemos x,yR : |x+y|#|x|+|y|
|x+y| (x+y)14444244443#
|x|x+|y|y
f(x+y) # f(x)+f(y) (V)
II. g(x)= x22x3= |x|x
x>0 x22x3=0 x=3
x0 x23x+5= 0 x
x
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Rpta.: a=10
Pregunta 22
En la figura las circunferencias tienen radios r =3u y R =6u respectivamente, C es punto de tangencia y D es centro. Calcule producto DA.DB (en u2).
A
B
D
r
R
C
A) 18
B) 24
C) 30
D) 36
E) 40
Resolucin 22
Semejanza
Semejanza de tringulos
Piden: DA . DB
A
B
r
r=3
C
D
R=6
Por el teorema de producto de lados en el
ABD.
(AD)(DB)=2Rr=2(6)(3)
(AD)(DB)=36
Rpta.: (AD)(DB)=36
Pregunta 23
En la figura se muestra el tringulo rectngulo ABC recto en B. Si AB = 5 cm y AD=3cm, entonces la medida (en cm) del segmento EF es:
B
D
E
F CA
A) 2,14
B) 2,16
C) 2,25
D) 2,56
E) 2,82
Resolucin 23
-
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Tringulos
Tringulo notable
37 53
53533A
B
C
E
D F
5
x4 16/5
Piden: x
BED (NOT 53 y 37)
DE=516
DFE(NOT 53 y 37)
x=2564 =2,56
Rpta: 2,56
Pregunta 24
En la siguiente figura, I es el incentro del trin-gulo ABC, BI = 6u, DE = 1u. Calcule BE (en u).
I
A D C
E
B
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Resolucin 24
Semejanza y puntos notables
PropiedadesB
CA
a
a a
x-6
x-6
a+ x
I
6
1
D
E
Piden x
I: Incentro del ABC
Por teorema
a
aCA D
B(AB)2 = (AD)(AC)
En el ABE
(x - 6)2 = x.1
x=9
Rpta.: 9
Pregunta 25
EnlafiguraAC=CD,AD=6uyrea(BCD)=r(reaABD).Haller.
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SU
VEN
TA
B
A
2a
2aa
3a
D
C
A) 1+ 3
B) 2+ 3
C) 2 3
D) 1+2 3
E) 2 3 1
Resolucin 25
reas
reas de regiones triangulares
Piden: r
B
A
2a3a
2a
2a
a a
a
a
3a
D
C
30
120-2a
3
6
3
S
3 3
Dato: rea(BCD)=rea(ABC)
Calculando: a
sea: CSD CBA
Por teorema
mBCBD=120-2a
a=15; mBBDA=30
Del dato:
( ) ( )r2
3 3 32
3 3 3 32+ =+
r=1+ 3
Rpta: 1+ 3
Pregunta 26
ABCD es un cuadrado y desde su centro O se traza un segmento OE perpendicular al plano ABC, si OE=AB entonces la medida del diedro EDCB es:
-
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A) arc tan 21` j
B) arc tan (1)
C) arc tan 23` j
D) arc tan (2)
E) arc tan 25` j
Resolucin 26
Geometra del espacio
ngulo diedroPiden: x
A
2a
B
O
2aC
xa
a
a
D
M
E
En el EOM:
x=arc tg(2)
Rpta: arc tan(2)
Pregunta 27
El punto P se encuentra situado sobre la altura de un tetraedro regular de lado a. Si P equidista de cada vrtice, calcule esta distancia.
A) a43
B) a32
C) a33
D) a46
E) a22
Resolucin 27
Poliedros regulares
Volumen
Piden: PA
B
A
D
a
r
C
P
l=3r
l
l
Dato: PA=PB=PD=PC
Consecuencia: P centro de la esfera circunscrita al tetraedro regular, r: inradio.
4 3ra
ra
36
46
( (= =
PA = a46
Rpta: a46
Pregunta 28
Un vaso de forma de prisma recto hexagonal, con diagonal mayor de la base que mide 6 cm,
-
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contiene agua al tiempo. Para enfriarla se coloca un cubo de hielo y se observa que el nivel del agua sube 2 cm. Calcule la longitud de la arista del cubo de hielo (en cm).
A) 3
B) 3 36
C) 3 34
D) 3 33
E) 3 3
Resolucin 28
Prismas
VolumenPiden: l
El volumen del cubo es equivalente al volumen del agua que sube 2 cm,
3
A
33
3cm3cm
2cm
l
l
VCubo=l3 VPrisma= .6 43 3 22
c m
l3=6. 9 34
.2 l3=27 3
l=3 36
Rpta.: 36 3
Pregunta 29
En un cilindro de revolucin de 5 cm de altura se inscribe un paraleleppedo rectangular
con superficie lateral de 250 cm2. Una de sus aristas, ubicada en la base del cilindro, mide 16 cm. Calcule la razn (en cm) entre el volumen y el rea lateral del cilindro.
A) 3374
B) 2337
C) 4337
D) 2337
E) 337
Resolucin 29
Prisma - Cilindro
Volumen - rea
A C
B
a=9
55
2R16
Piden: AV
L
C
Dato: AL=250
2[16.5+5a]=250
a=9
En el ABC
2R= 337
VCilindro=R2.5
AL=2R.5
AV
4337
L
C =
-
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Rpta: 4337
Pregunta 30
En la Panamericana cerca de Casma se ha formado una duna en forma de tronco de cono de revolucin. Las longitudes de las circunferencias son 4 m y 2 m. Ver figura. Halle el volumen de la duna en metros cbicos.
m10
A) 3
B) 5
C) 7
D) 10
E) 11
Resolucin 30
Tronco de cono
Volumen
Piden: Vtronco
( . )V 33 1 2 2 12 2tronco
r= + +
Vtronco = 7
m103 3
2 1 1
11
Rpta: 7
Pregunta 31
En un tronco de cono de revolucin, el radio de la base mayor es el doble del radio de la base menor. Si el volumen del tronco de cono es 336 cm3 y el radio de la base menor es 6 cm, entonces el volumen de una esfera tangente a las bases del tronco de cono (en cm3) es:
A) 330
r
B) 331
r
C) 332
r
D) 333
r
E) 334
r
Resolucin 31
Slidos geomtricos
Tronco de conoPiden: VesferaDato VTC= 336
. 336h3
6 12 12 62 2r r+ + =_ i
h= 4
-
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2r= 4
r= 2
V= ( )34 2 3r
`V=332 r
r
6
12
rh
Rpta.: 332
r
Pregunta 32
En una pirmide cuadrangular regular, la arista bsica mide 8 u y su altura mide 15 u. A qu distancia (en u) de la base de la pirmide se debe trazar un plano paralelo a dicha base, para que el volumen del prisma recto, que tiene por base a dicha seccin y por altura la distancia de la seccin al vrtice de la pirmide,
sea los 83 del volumen de la pirmide?
A) 9,5
B) 8,5
C) 7,5
D) 6,5
E) 5,5
Resolucin 32
Pirmide
Semejanza de pirmides
x8k8k
8
15k15
Piden: x
Condicin
Vprisma= V83
pir mide
8k.8k.15k= .. .
83
38 8 15^ h
k= 21 15k= 2
15
x= 215
Rpta: 7,5
Pregunta 33
Si ABCD es un cuadrado de lado 2u y T es un punto de tangencia, entonces el rea sombreada (en u2) es igual a: (O centro de la circunferencia que pasa por A, T y D)
-
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D
O
C
A B
T
A) 0,57
B) 0,68
C) 0,79
D) 0,81
E) 0,92
Resolucin 33
reas
reas circulares
53
253
1
1
1
2
2
53/253/2
B
A D
C
1/2
Pide: rea sombreada
AREGSOMB = .2
221
2+
YY
` j (1)
2
2r
AREGSOMB = 2
5 2r = 0,92
Rpta: 0,92
Pregunta 34 En todo tringulo ABC, la suma de los cuadrados de sus lados es igual a K(bc cosA+ac cosB+ab cosC)
donde K vale:
A) 41
B) 21
C) 1D) 2E) 4
Resolucin 34
Resolucin de tringulos oblicungulos
Teorema de cosenoPor condicin:
a2+b2+c2= k(bc CosA+ac CosB+ab CosC)
Por teora: 2
2
a b c bc CosA
b a c ac CosB
c a b ab CosC
sumando
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
= + = + = +
4
2bc CosA+2ac CosB+2ab CosC= a2+b2+c2
Igualando con la condicin nos da K= 2
Rpta: 2
Pregunta 35
Al resolver la ecuacin
-
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sen (2x)12( sen(x)cos(x))+12= 0,
obtenemos como soluciones:
A) k, kZ
B) 2k y k 21
r+` j , kZ
C) 2k y k, kZ
D) (2k+1) y k2 21
r+` j , kZ
E) (3k+1) y k 21
r+` j , kZ
Resolucin 35
Ecuaciones trigonomtricas
De la ecuacin
( )
( ) ( )
:
( ) ( )
Sen x Senx Cosx
Senx Cosx Senx Cosx
Factorizando
Senx Cosx Senx Cosx
1 2 12 13 0
12 13 0
13 1 0
2
+ =
+ =
+ =
1 2 344 44
i) Senx - Cosx=-13
no cumple Senx Cosx2 2# #- -
ii) Senx - Cosx=1 Senx=1+Cosx
2 Sen x2 Cos x2 = 2 Cos
2 x2
a) Cos x2 =0
x2 =(2k+1) 2
r x=(2k+1); K Zd
b) tg x2 =1
x2 = k + 4
r
x= 2k + 2r ; K Zd
Rpta: (2k+1) y k2 21
r+` j , k Zd
Pregunta 36 Del grfico mostrado, el resultado de:
E= tg+tg+tg, es:
(-1;2)
(-4;-2)(4;-2)
y
x
A) 4
B) 2
C) 0
D) 2
E) 4
Resolucin 36
R. T. de un ngulo de cualquier magnitud
Razones trigonomtricasGraficando:
-
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2
1
y
x
2
4
4
2
Obtenemos:
tg= 21
tg()= 21 tg= 2
1
tg= 24 =2
Piden:
E= 21 2
1 +2
E= 2
Rpta: 2
Pregunta 37
Si x ;23r r entonces determine los valores
de y= 4 9csc2 2x3r+` j.
A)
B)
C)
D)
E)
Resolucin 37
Circunferencia trigonomtrica
Dato:
x35
32
6131 1r r r+
Como el seno es creciente
Sen 35r < Sen(x+ 3
2r )< Sen 613r
( )
( )
( )
Sen x
Sen x
Csc x
23
32
21
0 32
43
34
32