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NUESTRAS SEDES: San Martín de Porres: Av. Universitaria 3181 Teléfonos: 715 – 0206 / 715 – 0207
Santa Beatriz: Calle Emilio Fernández 611 Teléfonos: 719 – 2854 / 719 – 2856Santa Anita: Av. Nicolás Ayllón 2929 Teléfonos: 717 – 3714 / 717 – 3715
* A
cade
mia
s Pa
mer
año
201
4
2500
SOLUCIONARIO
2018 - 1
Créditos
ENCARGADO DE EDITORIAL: Marcelo Encinas Boyer
SUPERVISORA ED. ACADEMIA: Mercedes Nunura Sánchez
DIRECCIÓN GENERAL DE LÍNEA: Carmen Alburqueque Valera
COORDINACIÓN DEL EXAMEN: Susana Oña Cachique
Maribel Salinas
PROFESORES RESPONSABLES:Roberto Vizurraga L. | Juan Carlos Ramos L. |
Edgar Morillo Ch. | Aaron Ramos N. | Adriano Ynfanzon Q.
PRE PRENSA DIGITAL
DIAGRAMACIÓN UNI:Verónica Pacherres Ato
COLABORADORES:César Ágreda | Rosa Bardales |
Úrsula Nunura | Madeleyne Otore | Betty Picoy | Otilia Porras | Karina Ubillus |
Pamela Suárez
© Derechos Reservados: Ediciones e Impresiones Paz S.A.C.
Prohibido la reproducción total o parcial de este volumen | Edición 2018 www.pamer.edu.pe
Presentación
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Tus amigos,
Corporación Educativa Pamer
EXAMEN DE ADMISIÓN
UNI 2018 - 1
Academias Pamer Matemática4
RESOLUCIÓN 1TEMA: Números Irracionales
1. Ubicación de incógnita Determinar el valor de verdad de proposiciones
2. Análisis de los datos o gráficos
1a
+ 1b
= 1, siendo a ∈r + y b ∈r +
I. a ∈ I+ ↔ 1a
∈ I+
3. Operación del problema
Luego 1 – 1b
∈ I + ↔ 1b
∈ I + ↔ b ∈ I +
La proposición I es verdadera (V)
II. 1a
+ 1b
= 1 → a + b = ab (a,b ∈ r+)
(ab = 4 → a + b = 4) ∧ (a + b = 4 → ab = 4) ∴ a b = 4 ↔ a + b = 4
La proposición II es verdadera (V)
III. a ∈r + ∧ b ∈r + ; a < 2 → 1a
> 12
→
1 – 1b
> 12
→ 12
> 1b
→ b > 2
La proposición III es falsa (F)
Respuesta: VVF
RESOLUCIÓN 2TEMA: Radicación
1. Ubicación de incógnita Determinar los dígitos desconocidos en una radicación
2. Análisis de los datos o gráficos
1 6 2 0 5 4 9• • • • • •
1 2 7 3• • • •22 × 2 = 44 • •247 × 7 = 1729 • •2543 × 3 = 7629 • •
1
6 2 •4 4• •1 8 0 5
•1 7 2 9• • • •
7 6 4 9 •7 6 2 9• • • •
2 0• •
–
– –
– –
3. Resumen Suma de dígitos del radicando: 9 + 6 + 2 + 0 + 5 + 4 + 9 = 27
Respuesta: C
RESOLUCIÓN 3TEMA: Regla de Mezclas
1. Ubicación de incógnita La cantidad x Kg de un ingrediente y el precio de venta
2. Análisis de los datos o gráficos
20(8) + 50(10) + x(16)
20 + 50 + x = 14 → x = 160
Sea que el precio de venta por kilogramo
3. Operación del problema Cantidad total: 20 + 50 + 160 = 230 → 230 (q – 14) = 460 → q= 16 piden: 16 – 14 = 2
Respuesta: 2
RESOLUCIÓN 4TEMA: Probabilidades
1. Ubicación de incógnita Calculo de probabilidad
2. Análisis de los datos o gráficos Hay 11 persona: 7 hombres y 4 mujeres Experimento: Elegir una comisión de 3 personas Evento A: Al menos 1 hombre
3. Operación del problema
Espacio muestral: n(Ω)= C113 = 165
A: Las 3 personas son mujeres
n(A) = C43 = 4
P(A) = 1 – P (A) = 1 – 4165
= 161165
Respuesta: 161165
RESOLUCIÓN 5TEMA: Numeración
1. Ubicación de incógnita Identificar números pares
2. Análisis de los datos o gráficos Un número representado en base impar, es par, si la suma
de sus cifras es par
Academias Pamer Matemática5
EXAMEN DE ADMISIÓN SOLUCIONARIO UNI 2018 - 1
3. Operación del problema21021113 → suma de cifras = 8 → es par11021113 → suma de cifras = 7 → es impar21121135 → suma de cifras = 11 → es impar41021125 → suma de cifras = 11 → es impar21021157 → suma de cifras = 12 → es par
4. Conclusiones y respuesta Solo hay 2 números pares
Respuesta: 2
RESOLUCIÓN 6TEMA: Cuatro Operaciones
1. Ubicación de incógnita Hallar los valores de a y n.
35(n)2
= aa41(n); 5<n<12 2. Análisis de los datos o gráficos n es divisor de 52 – 1 = 24 → n = 6 ó n = 8
3. Operación del problema
35(6)2
= 35(6) × 35(6)= 2241(6)
Luego a = 2; n = 6; a + n = 2 + 6 = 8
Respuesta: 8
RESOLUCIÓN 7TEMA: Cuatro Operaciones
1. Ubicación de incógnita Determinar el valor de verdad de proposiciones
2. Análisis de los datos o gráficos I. (∀a, b∈N): a > b > 1
→ a2 > b2
a3 > b3
an > bn
––––––––––––
→ n
k=1 ak >
n
k=1 b12 (verdadero)
II. Falso (∀a, b∈N) (∀c∈Z) a > b → ac > bc
solo si c∈Z+
III. Verdadero (∀a, b∈Z) = (|a| – |b|)2 0
|a|2 + |b|2 – 2|a||b| 0 → a2 + b2 2|ab|
Respuesta: VFV
RESOLUCIÓN 8TEMA: Números primos
1. Ubicación de incógnita El menor entero positivo N, siendo p y q sus dos divisores
primos.
2. Análisis de los datos o gráficos CD(N) = 6 → N = p2q SD(N) = (1 + p + p2) (1 + q) = 42
3. Operación del problema p = 2 ; q = 5 → N = 22 . 5 = 20 Suma de cifras = 2 + 0 = 2
Respuesta: 2
RESOLUCIÓN 9TEMA: Funciones
1. Operación del problema Sea f(x) = 4x+1
2x–1 ; x ∈ ⟨ 1
2; +∞ ⟨ = Dom(f)
I. Cálculo del Dominio de f*
Se tiene f(x) = 2 + 32x–1
;
con x > 12
→ 2x > 1
→ 2x – 1 > 0
→ 12x–1
> 0
32x–1
> 0
2 + 32x–1
> 2
f(x) > 2 y > 2 Ran(f) = ⟨2; +∞⟩ → Dom(f*) = ⟨2; +∞⟩
II. Obtención de f*(x)
Partiremos de f(x) = y = 4x+12x–1
2xy – y = 4x+1 x(2y – 4) = y + 1
x = y+1
2x – 4
De donde f*(x) = x+12x– 4
III. Ran(f*) = Dom(f) = ⟨ 12
; +∞ ⟨2. Conclusiones y respuesta
f*(x) = x+12x– 4
; Dom f*(x) = ⟨2; +∞⟩,
Ran(f*) = ⟨ 12
; +∞ ⟨
Respuesta: f*(x) = x+12x– 4
; Dom(f*) = ⟨2; +∞⟩,
Ran(f*) = ⟨ 12
; +∞ ⟨
Academias Pamer Matemática6
EXAMEN DE ADMISIÓN SOLUCIONARIO UNI 2018 - 1
RESOLUCIÓN 10TEMA: Logaritmo
1. Análisis de los datos o gráficos Sea f(x) = Log1/2(4 – |x|)
piden: Ran(f)
2. Operación del problema I. Cálculo del dominio de f Para que el logaritmo esté bien definido en R: 4 – |x| > 0 4 > |x| – 4 < x < 4 Dom(f) = ⟨–4; 4⟩
II. Cálculo del rango de f Como –4 < x < 4 0 ≤ |x| < 4 por (–1): 0 ≥ –|x| > – 4 (+4): 4 ≥ 4 – |x| > 0 Log1/2: –2 ≤ log1/2 (4 – |x|) < +∞
Luego: Log1/2(4 – |x|) = f(x) ∈ [–2; +∞⟩
3. Conclusiones y respuesta
Ran(f) = [–2; +∞⟩
Respuesta: [–2; +∞⟩
RESOLUCIÓN 11TEMA: Números Complejos
1. Análisis de los datos o gráficos
Resolver: (|iz + 4| + |z + 4i|)|z + 2i| = 0, z ∈ C Piden como respuesta la suma de los módulos de las
raíces.
2. Operación del problema Recordemos que:
ab = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0 , a, b ∈ R
En el ejercicio:
|iz + 4| + |z + 4i| = 0 ∨ | z + 2i | = 0
(iz + 4 = 0 ∧ z + 4i = 0) ∨ z + 2i = 0
z = +4i ∧ z = – 4i ∨ z + 2i = 0
(z = 4i ∧ z = 4i) ∨ z = –2i z1 = 4i ∨ z2 = –2i
|z1| = 4 ; |z2| = 2
Piden: |z1| + |z2| = 6
Respuesta: 6
RESOLUCIÓN 12TEMA: Programación lineal
1. Ubicación de incógnita Valor de verdad
2. Análisis de los datos o gráficos Por condición el punto p es un elemento de la región
factible (p ∈ s), luego p puede estar ubicado en la parte interna o en la frontera de la región factible.
3. Operación del problemaI. Falso En efecto f(p) no garantiza el mínimo, depende de la
ubicación de p.II. Falso Por ejemplo si f(p) es el mínimo, la desigualdad dada
es falsa.III. Falso En efecto f(p) no garantiza el máximo, depende de
la ubicación de p.IV. Falso Por ejemplo si f(p) es el máximo, la desigualdad es
falsa.
Respuesta: FFFF
RESOLUCIÓN 13TEMA: Matrices
1. Ubicación de incógnita Valor de verdad
2. Análisis de los datos o gráficos A4 = 0 ; A3 ≠ 0
3. Operación del problemaI. Verdadera Por dato A4 = 0 → |A4| = 0 → |A|4 = 0 |A| = 0 Sea B = A + A2 = A(I + A) → |B| = |A|.|I+A| Como |A| = 0, luego |B| = 0, por tanto B no tiene inversa
II. FalsaIII. Falsa Por dato A4 = 0 → –A4 = 0 → I – A4 = I I4 – A4 = (I+A)(I–A)(I+A2) = I
Ahora según propiedad del determinante: |I+A|.|I – A|.|I+A2| = 1
Nótese que I+A, I–A ∧ I+A2 tienen determinante distinto de cero, luego todas estas matrices admiten inversa.
Respuesta: I y III
Academias Pamer Matemática7
EXAMEN DE ADMISIÓN SOLUCIONARIO UNI 2018 - 1
RESOLUCIÓN 14TEMA: Determinantes
1. Análisis de los datos o gráficos
Si: f(x) = x 1 11 x 11 1 x
y g(x) = x –1 –1
–1 x –1–1 –1 x
Resolver f(x) = g(x)
3. Operación del problema Se calculará cada determinante empleando la Regla de
Sarrus.
• f(x) = x 1 1 x 11 x 1 1 x1 1 x 1 1
f(x) = (x3 + 1 + 1 ) – (x + x + x) f(x) = x3 – 3x + 2
• g(x) = x –1 –1 x –1–1 x –1 –1 x–1 –1 x –1 –1
g(x) = (x3 – 1 – 1) – (x + x + x) g(x) = x3 – 3x – 2
Finalmente, resolvamos la ecuaciónf(x) = g(x)
x3 – 3x + 2 = x3 – 3x – 2 2 = – 2( → ← ) C.S = φ
4. Conclusiones y respuestaDado que C.S = φ, diremos no existen valores para x
que satisfacen la ecuación.
Respuesta: 0
RESOLUCIÓN 15TEMA: Matrices
1. Análisis de los datos o gráficos
Sean A = 4 2 1a 4 2b c 4
y S una matriz triangular inferior
de términos positivos
Sean S = m o on p oq r s
, entonces ST =
m n qo p ro o s
, donde
m, n, p, q, r, s ∈R+
3. Operación del problemaDel dato: S . ST = A
m o on p oq r s
m n qo p ro o s
=
4 2 1a 4 2b c 4
m2 mn mqmn n2 + p2 nq + prqm qn + rp q2 + r2 + s2
= 4 2 1a 4 2b c 4
Por igualdad de matrices
• m2 = 4 → m = 2• mn = 2 → n = 1• mq = 1 → q = 1/2• mn = a → a = 2
• n2 + p2 = 4 → p = 3
• nq + pr = 2 → r2 = 34
• qm = b → b = 1
• q2 + r2 + s2 = 4 → s = 3
Piden calcular:
k = traz (S)a+b + b
k = m + p + sa+b + b
Reemplazando los valores obtenidos, se tiene k = 2
Respuesta: 2
RESOLUCIÓN 16TEMA: Inecuaciones
1. Análisis de los datos o gráficos
Resolver 2x + 1 – x – 2x – 5
< 0
2. Operación del problema3.1. Existencia en R: 2x + 1 ≥ 0 ∧ x – 2 ≥ 0 x ≥ – 1/2 ∧ x ≥ 2 1444442444443 x ≥ 2 ... ( )3.2 En la inecuación, multiplicaremos por
( 2x + 1 + x – 2 ), obteniendo
( 2x + 1 – x – 2 )( 2x + 1 + x – 2 )x – 5
< 0
x + 3x – 5
< 0
+
–3 5+
–
x ∈ ⟨– 3; 5⟩ ... ( ) De ( ) y ( ) x ∈ [2;5⟩
Respuesta: [2; 5⟩
Academias Pamer Matemática8
EXAMEN DE ADMISIÓN SOLUCIONARIO UNI 2018 - 1
RESOLUCIÓN 17TEMA: Inecuaciones
1. Análisis de los datos o gráficos
Resolver: – 13
< 2x – 3x + 2
< 43
2. Operación del problema
(– 2): – 73
< – 7x + 2
< – 23
por – 17 : 13 >
1x + 2 > 2
21
( )– 1: 3 < x + 2 < 212
(– 2): 1 < x < 172
x ∈ ⟨1 ; 172
⟩ = CS
Respuesta: 1 ; 172
RESOLUCIÓN 18TEMA: Inecuaciones
1. Análisis de los datos o gráficos Piden resolver: (| 4 – x | – | 5 – x |) (| x – 4|+| x – 5|) ≤ x2 – 24
Recordar que: |a – b| =|b – a|; ∀a; b∈R
3. Operación del problema Se tiene: (|x – 4| – |x – 5||x – 4|+|x – 5|)≤ x2 – 24
|x – 4|2 –|x – 5|2 ≤ x2 – 24
|x – 4|2 –|x – 5|2 ≤ x2 – 24
2x – 9 ≤ x2 – 24
0 ≤ x2 – 2x – 15
0 ≤ (x – 5)(x + 3) x∈< – ∞; – 3]∪[5, + ∞> = C.S 4. Conclusiones y respuesta Si C.S = < – ∞; – 3]∪[5; + ∞] → [C.S]c = <– 3; 5> Enteros: – 2; –1; 0; 1; 2; 3; 4
Respuesta: 7
RESOLUCIÓN 19TEMA: Series
1. Ubicación de incógnita
E = ∞
n=1 (an + bn – 2b2n – 1 + cn) (1)
2. Análisis de los datos o gráficos
bn = an – (–1)n cn, cn = an – (–1)n bn ∧ ∞
n=1 (a2n) = 1
3. Operación del problema
Según criterio de la razón ∞
n=1 (an),
∞
n=1 (bn) ∧
∞
n=1 (cn) son
convergentes luego:
S1 = ∞
n=1 (an) = a1 + a2 + a3 + ...
S2 = ∞
n=1 (bn) = b1 + b2 + b3 + ...
→ S2 = a1 + c1 + a2 – c2 + a3 – c3 + a4 – c4 + ...
S3 = – 2 ∞
n=1 (b2n–1) = – 2 (b1 + b3 + b5 + ...
S4 = ∞
n=1 (cn) = c1 + c2 + c3 + ...
Ahora en (1) tenemos:
E = 2(a2 + a4 + a6 + ...
E = 2(1)
∴ E = 2
Respuesta: 2
RESOLUCIÓN 20
TEMA: Programación Lineal
1. Análisis de los datos o gráficos
Oro Plata Ingreso (S/.)
Anillo A: x1 3x1 x1 1500 x1
Anillo B: x2 x2 2x2 950 x2
1800 gr 2000 gr
Ventas: V (x;y) = 1500 x1 + 950 x2
3x1 + x2 1800
x1 + 2x2 2000
x1, x2 ∈N
Respuesta: Z = 1500 x1 + 950 x2
3x1 + x2 ≤ 1800
x1 + 2x2 ≤ 2000
x1, x2 ∈ N
Academias Pamer Matemática9
EXAMEN DE ADMISIÓN SOLUCIONARIO UNI 2018 - 1
RESOLUCIÓN 21TEMA: Prisma
1. Ubicación de incógnita V: Volumen del prisma
2. Análisis de los datos o gráficos Del gráfico I
a x
x
x x
x
a
a
aa a
aa
x
a
l l
l
I) x + 2a = l
⇒ a = l – x2
3. Operación del problemaV = (ABase)h
ABase = x2
h = a = l – x2
II)
aa
aa h
xx
x
x
4. Conclusiones y respuesta
V = 12
x2(l –x)
Respuesta: 12
x2(l –x)
RESOLUCIÓN 22TEMA: Geometría Analítica
1. Ubicación de incógnita Dibujamos la circunferencia de centro (1;5) y radio 3 y
la recta tangente L que pasa por el origen
2. Análisis de los datos o gráficos
O1(1;5)5
1
L
x
y
P
26
3
O
3. Operación del problema Piden calcular OP, aplicamos el teorema de Pitágoras en
el OPO1
(OP)2 = ( 26 )2 – (3)2
4. Conclusiones y respuesta OP = 17
Respuesta: 17
RESOLUCIÓN 23TEMA: Triángulo
1. Ubicación de incógnita K = AC + BD
10
2. Análisis de los datos o gráficos a + b +c + d = 20 Teorema de existencia
A
B
C
D
O
a bt
m n
cd u
3. Operación del problema9ABC AC < a + b9ACD AC < c + d9BAD BD < a + d9BCD BD < b + c
2(AC + BD)<2(a + b + c + d)
AC + BD10
< 2
– 9AOB a < m + t
9BOCb < t + n ⇒ a + b + c + d < 2(m + n + t + u)9COD 20 < 2(AC + BD)c < n + u 10 < AC + BD9AODd < m + u
1 < AC + BD10
4. Conclusiones y respuesta k = ⟨1; 2⟩
Respuesta: ⟨1; 2⟩
RESOLUCIÓN 24TEMA: Ángulo entre paralelas
1. Ubicación de incógnita Piden m∠ABC en términos de a y b.
2. Análisis de los datos o gráficos m∠ABC = x
Academias Pamer Matemática10
EXAMEN DE ADMISIÓN SOLUCIONARIO UNI 2018 - 1
L1
L2
aa
b b
A
B
C
x
3. Operación del problemaPor teorema x = a + b
Respuesta: a + b
RESOLUCIÓN 25TEMA: Cilindro
1. Ubicación de incógnita V : Volumen del cilindro
2. Análisis de los datos o gráficos V = (ABase)h V = pr2h
MOr ra
q2rV P
Nq
a
5
7
3. Operación del problemaV = pr2(12)
OMN NPV
r7
= 52r
r2 = 352
4. Conclusiones y respuesta
V = p 352
(12)
V = 210p
Respuesta: 210p
RESOLUCIÓN 26TEMA: Esfera
1. Ubicación de incógnita Piden: OB = x
2. Análisis de los datos o gráficos A1 – A2 = pu2
2pr(r + x) –2pr(r – x) = pu2
u m
x r
rr
O
A1
A2
A
r –x
3. Operación del problema4rx = u2
OBAu2 = r2 = x2
4rx = r2 – x2
x2 + 4rx – r2 = 0
4. Conclusiones y respuesta Resolviendo x = r( 5 – 2) x = (2 + 5 )( 5 – 2) x = 1
Respuesta: 1
RESOLUCIÓN 27TEMA: Espacio I
1. Ubicación de incógnita Piden la medida del ángulo entre L y L2
2. Análisis de los datos o gráficos L1 // L ⇒ x: medida del B pedido
3. Operación del problema 9AOD x = 74°
PB
D4
4
x 3
Q L
L1
L2
C
37°
3
A37°
4. Conclusiones y respuesta x = arccos(7/25)
Respuesta: arcos(7/25)
Academias Pamer Matemática11
EXAMEN DE ADMISIÓN SOLUCIONARIO UNI 2018 - 1
RESOLUCIÓN 28TEMA: Polígonos
1. Ubicación de incógnitan y m número de lados (n > m)
2. Análisis de los datos o gráficos SmBI1 – SmBI2 = 2160°
O1 O2
n Lados m Lados
n > m
C1 C2
I1 I2
I2I1
• 180°(n – 2) – 180°(m – 2) = 2160° n – m = 12 ... (I)
• 360m
– 360n
= 5
72(n – m) = mn 72(12) = mn 36(24) = nm ... (II)
De (I) y (II) n = 36 y m = 24
Respuesta: 24
RESOLUCIÓN 29TEMA: Congruencia
1. Ubicación de incógnita Pide la relación de los ángulos.
2. Análisis de los datos o gráficos Sea mBCRV = a ⇒ mBRVB = b
3. Operación del problema∴ RB = RV = b
B
A CR
Va+q
w a
a
q
b
b
a
bb
a
4. Conclusiones y respuesta iCRV ≅ iABR (L – A – L) ⇒ w = q iABC q + w + a + b = 180° q + q + a + b = 180° Reemplazando: 2b + q = 180°
Respuesta: 2b + q = 180°
RESOLUCIÓN 30TEMA: Semejanza
1. Ubicación de incógnita Piden PQ = x
2. Análisis de los datos o gráficos Se traza CN // AB ⇒ PM = AN = 6 ND = 4
A
B
P QM
D
C
N
6
4610
x5
5 – 5a7 – 7a
5a 5a4a
7a
6 7
3. Operación del problema
Dato:perímetro ( PBCQ) = perímetro( APQD)5a + 6 + 7a + x = 5 – 5a + x + 7 – 7a + 10
⇒ a = 23
x = 6 + 4a
⇒ x = 263
Respuesta: 263
RESOLUCIÓN 31TEMA: Semejanza
1. Ubicación de incógnita Piden: BC = x
2. Análisis de los datos o gráficos : VTCM (inscritos) mBVTC = mBCMA = q
B
TV
CM
32
A
Z
q
q
q
b
ba
x
:BTCA (:inscrito) mBBTC = mBBAZ = q
Academias Pamer Matemática12
EXAMEN DE ADMISIÓN SOLUCIONARIO UNI 2018 - 1
Luego: 9 ABM a + b = q 3. Conclusiones y respuesta ⇒ 9 BCA mBBCA = b 9BCA ∼ 9BAM
x3
= 21
⇒ x = 6
Observación:
6B C
A
3 2
Por teorema de existencia: 3 < 2 + 3 (Absurdo)
Respuesta: 6
RESOLUCIÓN 32TEMA: Poliedro regular
1. Ubicación de incógnitaS1: Suma de las medidas de los ángulos en las caras del
dodecaedro regular.S2: Suma de las medidas de los ángulos en las caras del
icosaedro regular (conjugado del dodecaedro).
2. Operación del problemaS1 = 360(V1 – 2)• V1 = # de vértices dodecaedro (V1 = 20)S2 = 360(V2 – 2)• V2 = # de vértices icosaedro (V2 = 12)Piden: K = S1 – S2
K = 360°(20 – 2) – 360(12 – 2)K = 360°(8)K = 2880°
Respuesta: 2880°
RESOLUCIÓN 33TEMA: Inecuaciones Trigonométricas
1. Ubicación de incógnita |arcsen(x)| – 2arctan(x) < 0 |arcsen(x)| < 2arctan(x)
2. Análisis de los datos o gráficos Puntos de corte: |arcsen(x)| = 2arctan(x) ↑ ↑ 0; 1 0; 1
3. Operación del problemaGraficamos las dos funciones:
y
x–1
–p
0–p/2
p/2p
1x
Asíntota
y = |arcsen(x)|
y = 2arctan(x)
Nótese que: |arcsen(x)| < 2arctan(x) en ⟨0; 1⟩
Respuesta: ⟨0; 1⟩
RESOLUCIÓN 34TEMA: R.T de Ángulos Agudos
1. Análisis de los datos o gráficosPrimer momento:
12
1
5
1
121 1
12
Araña
Mosca
Segundo momento: Desarrollamos la cajaAraña
Mosca
Arista
12q
12 12
5 12. Conclusiones y respuesta q es el menor ángulo que forma la ruta de la araña hacia
la mosca con una arista de la caja.
tan q = 612
tan q = 12
q = arc tan 12
Respuesta: arc tan 12
RESOLUCIÓN 35TEMA: Geometría Analítica
1. Ubicación de incógnita Resolvemos el sistema de ecuaciones, la solución es el
punto de intersección de las dos rectas.
Academias Pamer Matemática13
EXAMEN DE ADMISIÓN SOLUCIONARIO UNI 2018 - 1
2. Análisis de los datos o gráficos
3x + 2y = –6 ∧ 2x + 3y = 6
x = –6 ∧ y = 6
(x;y) = (–6 ; 6)
3. Operación del problema
L1
(–6;6)
0q
L2 Y
X
tanq = 6–6
= –1
135°
Respuesta: 135°
RESOLUCIÓN 36TEMA: Variaciones de las R.T. de Números Reales
1. Ubicación de incógnita Los ángulos a y b deben valer q para que satisfagan los
datos de los respectivos s.
2. Análisis de los datos o gráficos
1a
1
tanq
cotqb
3. Operación del problema Por lo tanto la figura queda así:
1q
1
tanq
cotqq
A
secq
cscq
A = 12
. (secq) . (cscq)
A = 12
. (tanq + cotq) ↑ 144424443 mínimo mínimo = 2 cuando: q = 45°
Respuesta: p / 4
RESOLUCIÓN 37
TEMA: Geometría analítica
1. Ubicación de incógnita Completamos en la figura los datos e identificamos la
pregunta.
2. Análisis de los datos o gráficos
(–2; 3)(–4; 3)
(– 4k; 3k)
0
3
P
6L
Y
– 4 – 2
La ecuación de la elipse de centro (– 2, 3)
de eje mayor 2a = 6 y eje menor 2b = 4
es: (x + 2)2
22 + (y – 3)2
32 = 1
como P = (– 4k; 3k) pertenece a la elipse entonces debe
satisfacer la ecuación:
(– 4k + 2)2
4 +
(3k – 3)2
9 = 1
Resolviendo k = 15
Finalmente P = (– 4k; 3k) = – 45
; 35
Respuesta: – 45
; 35
RESOLUCIÓN 38
TEMA: Circunferencia Trigonométrica
1. Ubicación de incógnita Identif icamos las longitudes de los segmentos
trigonométricos.
Academias Pamer Matemática14
EXAMEN DE ADMISIÓN SOLUCIONARIO UNI 2018 - 1
3. Operación del problema
45°
45°45°
B
OC A x
D
q
S
P M
a
b
b
|senq|
1
y
Nótese que: OD = 1 < 0 b + |senq| = 1 b = 1 – |senq| b = 1 + senq
SOB ∼ PMBa1
= b1 + |senq|
⇒ a = 1 + senq1 – senq
Calculamos el área del SOB:
A = 12
. a . 1
A = 12
1443 1 + senq
1 – senq
1443
Respuesta: 12
1443
1 + senq1 – senq
1443
RESOLUCIÓN 39TEMA: Identidades Trigonometricas de Arcos compuestos
1. Ubicación de incógnita
K = 3(cot 60° + tan27°) (cot60° + tan 33°)
Pasamos a la co razon cot 60° = tan 30°
2. Análisis de los datos o gráficos
K = 3(tan30° + tan27°) (tan30° + tan 33°)
Aplicamos: tana + tanb ≡ sen (a + b)cos a . cos b
... (Auxiliar)
3. Operación del problema
K = 3 . sen 57°cos 30 . cos 27°
. sen 63°cos 30 . cos 33°
K = 3cos2 30°
= 3( 3 /2)2
= 33/4
= 4 = 2
Respuesta: 2
RESOLUCIÓN 40TEMA: Funciones Trigonométricas
1. Ubicación de incógnitaAnalizamos la función con las informaciones:
f(t) = A sen [ w ( t – a ) ] + b .... (I)
2. Análisis de los datos o gráficosPeriodo: cada año es decir cada 365 días
2pw
= 365 ⇒ w = 2p365
Amplitud:
A = # de horas (día largo) – # de horas (día corto)2
A = 12 – 102
A = 1Desfase: 01 de enero: a = 1 02 de enero: a = 2 . . . 23 de febrero: a = 54 ∧ b = 11
Reemplazamos w; A; a y b en (I)
3. Operación del problema
f (t) = 1 . sen 2p365
(t – 54) + 11
Piden determinar f(τ)
f(τ) = sen 2p365
(τ – 54) + 11
Respuesta: sen 2p365
(τ – 54) + 11