sollecitazioni semplici il taglioconsiderazioni introduttive il primo caso che esamineremo è...
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Considerazioni introduttive
• Tuttavia, anche se il momento varia sezione per sezione, è ancora lecito utilizzare
la formula di Navier per il calcolo delle sollecitazioni flessionali perché la presenza del taglio non modifica la distribuzione degli sforzi normali σ
• La presenza di azioni di taglio aggiunge una ulteriore distribuzione di sforzi che
agiscono tangenzialmente alla sezione, detti appunto di scorrimento o di taglio.
• La distribuzione degli sforzi di taglio dipende essenzialmente dalla forma della sezione
e, in generale, non è di facile determinazione.
• Per i nostri scopi sarà sufficiente affrontare la trattazione relativamente al caso di
sezioni rettangolari e circolari.
dx
dMT = quindi se M= costante, T=0
• La trattazione relativa al calcolo delle sollecitazioni flessionali, è stata basata
sull’ipotesi che la struttura fosse soggetta unicamente a momento flettente costante.
• Questo è un caso abbastanza particolare perché si caratterizza per l’assenza di azione tagliante. Come accennato in precedenza
Considerazioni introduttive
Il primo caso che esamineremo è relativo a sezioni rettangolari sollecitate da taglio
allineato con uno degli assi della sezione
La derivazione dell’espressione degli sforzi può essere
ottenuta da semplici considerazioni di equilibrio assumendo che siano soddisfatte le seguenti due
condizioni:
1. la distribuzione degli sforzi di taglio si può ritenere
costante lungo qualsiasi corda (m-n) perpendicolare alla direzione di applicazione del carico
2. ai due bordi laterali della sezione gli sforzi di taglio sono
tangenti ai bordi e quindi diretti parallelamente alla
direzione del taglio
Facendo riferimento alla figura, si vede che affinchè l’elementino di materiale di facce parallele a quelle della trave sia in equilibrio alla rotazione intorno all’asse z, quando
sulle facce normali all’asse della trave agiscono sforzi di taglio, anche sulle altre facce di
normale y devono esistere tensioni uguali in modulo e dirette in modo tale che le punte dei
vettori si incontrino (a causa di questa proprietà si parla di sforzi di taglio coniugati)
Calcolo delle sollecitazioni τ
Consideriamo la porzione di trave compresa tra due sezioni poste a distanza dx e un
piano parallelo alla faccia inferiore posto a distanza y1 dall’asse.
Per trovare la distribuzione degli sforzi τ è sufficiente imporre l’equilibrio alla traslazione
lungo l’asse x di questa porzione di trave (n-n1-p1-p) che è soggetta a tre forze
F1 dovuta agli sforzi di flessione σσσσx sulla faccia n-p
F2 dovuta agli sforzi di taglio sulla faccia p-p1
F3 dovuta agli sforzi di flessione σσσσx sulla faccia n1-p1
F1 F3
Esistono anche forze verticali le cui componenti però non entrano in
gioco nell’equilibrio alla traslazione orizzontale
F2
• Gli sforzi σx sono tipicamente diversi sulle due facce considerate perchè sta variando il momento flettente (che si incrementa di dM da una sezione all’altra).
• Questo succede proprio perchè il taglio non è nullo (se il momento fosse costante non ci sarebbe taglio)
F1 F3
Calcoliamo le forze F1, F2 e F3 ed imponiamo l’equilibrio
dAJ
yMdAx ⋅
⋅=⋅σ ∫∫ ⋅
⋅=⋅=
AAx dA
J
yMdAF σ
1
A rappresenta l’area della parte di sezione sottostante la corda posta a y=y1
F1
( )∫ ⋅
⋅+=
AdA
J
ydMMF
3
Per effetto dell’incremento del momento flettente, sulla faccia adiacente di traccia n1-p1 agisce il momento M+dM
F3
F2 dxbF ⋅⋅= τ
2
La risultante degli sforzi di taglio è data semplicemente dal prodotto della tensione tangenziale per l’area della superficie. Il termine «b» rappresenta la larghezza della sezione
F2
Calcolo delle sollecitazioni τ
Per l’equilibrio deve risultare
F1 F3
F2
1323210 FFFFFF −=⇒=−+
∫ ⋅⋅
⋅⋅=
AdAy
bJdx
dM 1τ
da cui si ottiene:
Ricordando che dM/dx = T, e che l’integrale rappresenta il momento statico S(y)
rispetto all’asse baricentrico z della parte di sezione sottesa dalla corda posta a
distanza y1 dall’asse z, si ha infine:
( )bJ
yST
⋅
⋅=τ Formula di Jourawski
Calcolo delle sollecitazioni τ
( )∫∫∫∫∫ ⋅
⋅−⋅
⋅+⋅
⋅=⋅
⋅−⋅
⋅+=⋅⋅
AAAAAdA
J
yMdA
J
ydMdA
J
yMdA
J
yMdA
J
ydMMdxbτ
∫∫ ⋅=⋅⋅
=⋅⋅AA
dAyJ
dMdA
J
ydMdxbτ
Osservazioni
( )bJ
yST
⋅
⋅=τ
• Alle estremità inferiore e superiore della sezione, essendo nullo il momento
statico, saranno nulle anche le tensioni di taglio.
• Le superficie laterali del solido sono scariche, quindi sarà nulla qualunque
sollecitazione, in particolare le τ parallele all’asse del solido
• Per l’uguaglianza delle τ coniugate, anche gli sforzi dovuti al taglio agenti in
direzione z, devono essere nulli alle estremità nel piano di sezione
• Quindi la variazione delle ττττ lungo y dipende soltanto dall’andamento del momento statico S(y) essendo tutti gli altri termini costanti
Osservazioni
( )bJ
yST
⋅
⋅=τ
Il momento statico S(y) può essere determinato semplicemente moltiplicando l’area della sezione sottesa dalla corda di lunghezza b per la distanza del suo baricentro dal baricentro della sezione totale
( )
+
⋅−−
⋅−+
⋅⋅=
−+⋅
−⋅=
−+⋅
−⋅=
244822422
2
2
2
112
1
1
2
11
11
1
11
yyhy
yhhyhb
yhyy
hb
yh
yyh
byS
che, inserita nella formula ( )bJ
yST
⋅
⋅=τ
−
⋅= 2
1
2
42y
h
J
TτFornisce infine:
−⋅=
−⋅= 2
1
22
1
2
4228y
hbyhb
Osservazioni
• Quindi l’andamento delle ττττ è parabolico con massimo in corrispondenza dell’asse
baricentrico e sollecitazioni nulle agli estremi dove y=±h/2
Il valore massimo (ottenuto per y=0) è dato da:
−
⋅= 2
1
2
42y
h
J
Tτ
J
hT
⋅
⋅=
8
2
maxτ
nella quale A=bh, area della sezione rettangolare
• Da questa relazione si può osservare come, nel caso della sezione rettangolare,
esista una differenza rilevante tra il valore massimo degli sforzi e quello medio dato da T/A (50%)
e ricordando che: 12
3hb
J⋅
=
A
T
⋅
⋅=
2
3
maxτ
Sforzi di taglio in sezioni non rettangolari
Quando si analizzano sezioni aventi geometria differente da quella rettangolare, emerge
la difficoltà legata al fatto che gli sforzi non sempre sono tangenti al bordo della sezione
Infatti per le proprietà di uguaglianza degli sforzi di taglio coniugati, e poiché le facce
esterne del solido sono scariche, sulle facce laterali della trave non possono esistere
componenti di τ perpendicolari al bordo. Gli sforzi di taglio devono quindi sempre essere tangenti al bordo Per esempio, in una sezione circolare questa proprietà è garantita solo in corrispondenza del diametro da una distribuzione costante e diretta come il taglio.
Qualunque altra corda non rispetta questa condizione.
Tuttavia la formula di Jourawski riesce ancora a fornire con sufficiente precisione il valore
dello sforzo di taglio laddove è massimo, ossia sul diametro perpendicolare alla forza di taglio dove è lecito considerare una distribuzione di sforzi costante e allineata con il
taglio T
A
T
r
T
bJ
ST
⋅
⋅=
⋅⋅
⋅=
⋅
⋅=
3
4
3
4
2max
πτ
3
2
3
4
2 2
4
324rrr
Srbr
J =
===
π
ππessendo
Deformazioni nel taglio
Poiché gli sforzi tangenziali τ variano lungo la sezione (con legge parabolica nel caso
della geometria rettangolare) anche le deformazioni non saranno costanti
Nel caso delle sollecitazioni di taglio le deformazioni (dette “di scorrimento” o “scorrimenti” si indicano con la lettera greca γ
Il modo in cui si deforma un
elementino di materiale
sottoposto a sforzi di taglio
prevede che cambino gli angoli
(inizialmente retti) formati dalle
facce
Per i materiali a comportamento lineare elastico la legge di Hooke per il taglio esprime
una proporzionalità tra τ e γ per mezzo della costante G detta modulo di elasticità tangenziale
γτ ⋅= Gν21+
=E
GG è legato al modulo di elasticità E attraverso la relazione
Queste relazioni mostrano come per un materiale lineare omogeneo e isotropo i valori delle costanti E, G e νννν non sono indipendenti tra loro
Deformazioni nel taglio
γτ ⋅= G
In una sezione rettangolare di un solido soggetto a taglio, quindi, le deformazioni γ
seguono l’andamento delle τ, dovendo valere:
G
τγ =
Non essendo questi angoli γ uguali in tutti i punti, la
sezione, in origine piana, dopo la deformazione presenta
un ingobbamento caratterizzato dalla presenza di un
punto di flesso in corrispondenza dello sforzo di taglio
massimo, mentre alle estremità, essendo γ=0, il profilo
della deformata resta perpendicolare alle superfici
superiore ed inferiore del solido
Lo spostamento relativo dη tra due sezioni adiacenti può essere valutato per mezzo della deformazione
media γmed come segue:
dxd med ⋅= γη
La deformazione media si può esprimere in generale come:
med
T
G A
χγ
⋅=
⋅
Dove χ è una costante detta fattore di taglio che dipende dalla forma della sezione
Tabella fattori di Taglio
AG
Vmed
⋅
⋅=
χγ Dove χ è una costante detta fattore di taglio
che dipende dalla forma della sezione