sol 4mates 5

152

Sistemesd’equacions5

COMPATIBLEDETERMINAT

COMPATIBLEINDETERMINAT

INCOMPATIBLE

SISTEMES D’EQUACIONSLINEALS

SISTEMA D’EQUACIONS NO LINEALS

AMB UNA ICÒGNITA

AMB DUESINCÒGNITES

SISTEMESD’INEQUACIONS

Orgull ferit

Un cop sec, després tres de més ràpids, i la porta es va obrir i va deixar veure dos ulls brillants amagats a l’ombra d’una caputxa. Després de comprovar la identitat dels dos embolcallats visitants, sense dir res els va obrir la porta i tots tres es van acomodar a la petita cel·la del monestir.

L’amfitrió, el pare Marin Mersenne, va saludar els nouvinguts Roberval i Gassendi i, sense més preàmbuls, va començar la reunió.

–He tornat a tenir notícies de Descartes –va dir en Mersenne, mentre remenava un calaix i ensenyava una carta.

–Una altra vegada aquest set-ciències! –va manifestar amb desgrat en Roberval–. Què li ha agafat ara?

–Ell també t’envia records –va contestar amb sorna en Mersenne, i mirant en Gassendi va continuar parlant–. Ens envia els seus últims avenços en equacions algebraiques, una feina fantàstica.

En Gassendi va observar divertit en Roberval, que es mirava el treball amb un mal dissimulat interès, i poc després començava a criticar-lo obertament.

–La meitat del treball té pinta de ser un plagi i l’altra meitat de segur que té errors.

–Per cert –va continuar en Mersenne, convençut de l’efecte que provocarien les seves paraules–, també envia un senzill sistema d’equacions per al teu jove criat, i diu que amb el temps aconseguirà que algú de casa teva entengui de matemàtiques.

Quantes solucions pot tenir un sistema d’equacions lineals amb dues incògnites?

Aquest tipus de sistemes pot tenir:

– 0 solucions: les rectes que representencada equació són paral·leles.

– 1 solució: les rectes que representencada equació es tallen en un punt, i aquest punt és la solució.

– Infinites solucions: les rectes sóncoincidents.

154

EXERCICIS

Troba tres solucions de les equacions lineals següents i representa-les al pla:

a) x − 2y = 2 b) 2x + y = −1 c) x = 2y − 2 d) 3x − y = 7

a) Solucions: x = 0, y = −1x = 2, y = 0x = 4, y = 1

b) Solucions: x = 0, y = −1x = −1, y = 1x = 1, y = −3

c) Solucions: x = −2, y = 0x = 0, y = 1x = 2, y = 2

d) Solucions: x = 0, y = −7x = 2, y = −1x = 3, y = 2

Resol gràficament aquest sistema:

Si multipliquem o dividim una equació lineal per un nombre diferent de zero,tindrà les mateixes solucions?

Sí, tindrà les mateixes solucions, ja que obtindrem equacions equivalents.

A partir del nombre de solucions, classifica aquests sistemes d’equacions:

a) c) e)

b) d) f)

a) Compatible determinat: x = 1, y = −1

b) Compatible indeterminat: y = 2 − xc) Compatible determinat: x = 12, y = 8

d) Compatible determinat: x = , y =

e) Compatible determinat: x = 2, y = 0

f) Compatible determinat: x = 2, y = 1

5

6

2

3

x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

31

2 2 32 1

x yx y+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−2 2 422

x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 22 43

x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

204

x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

02

004

003

2 4 824

x yx y− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

002

001

Sistemes d’equacions

a)

b)

c)

d)

11

2x �4y �

8 x �y �

2

Y

X

F

8

3

2

3,

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

Y

X

155

5

Raona si són certes aquestes afirmacions que fan referència a un sistemad’equacions lineals:

a) Pot tenir únicament dues solucions.

b) Si té dues solucions, aleshores tindrà infinites solucions.

a) No és cert que només pugui tenir dues solucions. Un sistema d’equacionspot tenir cap solució, una solució o infinites solucions.

b) És cert.

Posa un exemple de sistema compatible determinat, indeterminat i incompatible.

Compatible determinat:

Compatible indeterminat:

Incompatible:

Resol aquests sistemes per substitució i per igualació:

a) d)

b) e)

c) f)

a) Substitució:

x + 2y = 13 3y + 4 = 13 → y = 3

x = y + 4 x = 7

Igualació:

y + 4 = 13 − 2y → 3y = 9 → y = 3

x = y + 4 x = 7 y = 3

⎯⎯⎯→

x yx y

x yx y

− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= += −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 142 13

413 2

→→

y = 3⎯⎯⎯→

x = y + 4⎯⎯⎯⎯→

x yx y

x y− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= +2 142 13

4→

2 3 236 2 14x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

42

− + = −+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

2 14 2 14

10 214 3 5

32

x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 3 53 2 5x yx y+ = −+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 42 13

007

2 34 2 5

2x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 34 2 6

2x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 32 12x y

x y+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−

006

005

SOLUCIONARI

156

b) Substitució:

4x − 3y = 5 4x − 63 + 30x = 5 → x = 2

y = 21 − 10x y = 1

Igualació:

→ 63 − 30x = 4x − 5 → x = 2

y = 21 − 10x y = 1

c) Substitució:

x + y = 2 2y + 4 = 2 → y = −1

x = y + 4 x = 3

Igualació:

y + 4 = 2 − y → 2y = −2 → y = −1

x = y + 4 x = 3

d) Substitució:

3x + 2y = −5

x = −1

Igualació:

x = −1 y = −1

⎯⎯⎯⎯→xy

=− −3 5

2

− −=

− −= −

3 5

2

2 5

31

y yy→

2 3 5

3 2 5

3 5

22

x y

x y

xy

x

+ = −

+ = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=− −

=−

→

→ yy −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

5

3

y = −1⎯⎯⎯→x

y=

− −3 5

2

− −+ = − = −

9 15

22 5 1

yy y→

xy

=− −3 5

2⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

2 3 53 2 5

3 5

2x yx y

xy

+ = −+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=− −→

y = −1⎯⎯⎯→

x yx y

x yx y

− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= += −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

42

42

→→

y = −1⎯⎯⎯→

x = y + 4⎯⎯⎯⎯⎯→

x yx y

x y− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= +42

4→

x = 2⎯⎯⎯→

21 104 5

3− =

−x

x

10 21

4 3 5

21 104 5

3

3

1

x y

x y

y x

yx

+ =

− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= −

=−

→

→

⎫⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

x = 2⎯⎯⎯→

y = 21 − 10x⎯⎯⎯⎯⎯→

10 214 3 5

21 1031 2

x yx y

y x+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −→


157

5

e) Substitució:

4x + 2y = 14 8y + 4 + 2y = 14 → y = 1

x = 2y + 1 x = 3

Igualació:

x = 2y + 1 x = 3

f) Substitució:

2x + 3y = 23 2x + 9x − 21 = 23 → x = 4

y = 3x − 7 y = 5

Igualació:

y = 3x − 7 y = 5

Resol pel mètode que pensis que és més adequat:

a) b)

a) Substitució:

x + 2y = 5 x + 14 − 4x = 5 → x = 3

y = 7 − 2x y = 1

b) Substitució:

2x − 3y = −25 2x − 12x + 75 = −25 → x = 10

y = 4x − 25 y = 15 x = 10

⎯⎯⎯→

y = 4x − 25⎯⎯⎯⎯⎯→

2 3 254 25 4 253

x yx y y x

− = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ = −− →

x = 3⎯⎯⎯→

y = 7 − 2x⎯⎯⎯⎯⎯→

222 5

2 7 7 2x yx y y x

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ = −→

2 3 254 253

x yx y− = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪−

x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 52 7

008

x = 4⎯⎯⎯→

23 2

23 7 4

−= − =

xx x→

2 3 23

6 2 14

23 2

23 7

x y

x y

yx

y x

+ =

− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=−

= −

⎫⎬

→

→

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

x = 4⎯⎯⎯→

y = 3x − 7⎯⎯⎯⎯⎯→

2 3 236 2 14 3 7x yx y y x

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ = −→

y = 1⎯⎯⎯→

2 114 2

41y

yy+ =

−=→

− + = −

+ =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= +

=−

⎫⎬

x y

x y

x y

xy

2 1

4 2 14

2 114 2

4

→

→

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

y = 1⎯⎯⎯→

x = 2y + 1⎯⎯⎯⎯⎯→

− + = −+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= +x yx y

x y2 14 2 14

2 1→

SOLUCIONARI

158

Quin resultat obtindries si resols un sistema compatible indeterminat pel mètode d’igualació?

Obtindríem una equació que, en desenvolupar-la, quedaria 0 = 0.

Resol pel mètode de reducció:

a)

b)

c)

a)

3x = 6 → x = 2

x + y = 5 2 + y = 5 → y = 3

b)

9y = 9 → y = 1

2x + 5y = 9 2x + 5 = 9 → x = 2

c)

23y = 115 → y = 5

3x − 5y = −31 3x − 25 = −31 → x = −2

En un barri es reciclen diàriament 20 tones de paper i de vidre. Si es recull el triple de paper que de vidre, quantes tones de cada material es reciclen?

x: paper, y: vidre

4y = 20 → y = 5

x + y = 20 x = 15

Es reciclen 15 tones de paper i 5 tones de vidre.

y = 5⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 3y = 20+−x + 3y = 20

4y = 20

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 3y = 20−x + 3y = 00

011

y = 5⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+ −12x + 20y = 124+−12x + 03y = −9

23y = 115

⋅ (−4)⎯⎯⎯→⎫

⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x − 5y = −3112x + 3y = 0−9

y = 1⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−4x − y = −9 +−4x + 10y = 18

9y = 9

⋅ 2⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−4x − 5y = −92x + 5y = −9

x = 2⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 5+2x − y = 1

3x − y = 6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 52x − y = 1

13 5 3112 3 9

x yx y− = −+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− − = −+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4 92 5 9

5x yx y

x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

52 1

010

009


Quin resultat obtindries si resols un sistema incompatible pel mètode de reducció?

En sumar les equacions obtindríem una igualtat falsa.

Resol aquests sistemes:

a) b)

a)

x2 − y2 = 7 9y2 + 72y + 144 − y2 = 7 →→ 8y2 + 72y + 137 = 0

x1 = 3y + 12

→

x2 = 3y + 12

→

b)

2x2 = y2 − 3 8y2 − 56y + 98 = y2 − 3 →→ 7y2 − 56y + 105 = 0

x1 = 2y − 7 x1 = 3

x2 = 2y − 7 x2 = −1

(x1 = 3, y 1 = 5) y (x 2 = −1, y 2 = 3)

y2 = 3⎯⎯⎯→

y1 = 5⎯⎯⎯→⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

y y yy

2 1

28 15 0 5

3− + = =

=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→

x = 2y − 7⎯⎯⎯⎯⎯→

xy

x y

x y+

= −

= −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= −1

23

2 7

2 7

2 2

→

x y2 2102 3 50

4

18 50

4=

−=

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟,x y1 1

102 3 50

4

18 50

4=

+=

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟,

x2 318 50

412

102 3 50

4= ⋅

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + =

−

y218 50

4=

−

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

x1 318 50

412

102 3 50

4= ⋅

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + =

+

y118 50

4=

+

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

8 72 137 0

72 800

16

18 50

472 800

21

2

y yy

y

+ + ==

− +=

+

=− −

→

116

18 50

4=

−

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

x = 3y + 12⎯⎯⎯⎯⎯→

x yx y

x y− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= +3 127

3 122 2

→

xy

x y

+ = −

= −

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

12

3

2 72 2

x yx y− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 1272 2

013

012

159

5SOLUCIONARI

y

160

Resol els sistemes següents:

a) b)

a)

(x + 2) ⋅ y = −16 (x + 2) ⋅ (4 − 4x) = −16 →→ 4x2 + 4x − 24 = 0

y1 = 4 − 4x y1 = 16 Solució: (x1 = −3, y1 = 16)

y2 = 4 − 4x y2 = −4 Solució: (x2 = 2, y2 = −4)

b)

(x + 3) ⋅ y = −8

x1 = 1 Solució: (x1 = 1, y1 = −2)

x2 = −9 Solució: (x2 = −9, y2 = )

Troba dos nombres que tinguin com a suma 30 i com a quocient 4.

x + y = 30 5y = 30 → y = 6

x = 4y x = 24

Els nombres són 6 i 24.

Resol els sistemes d’equacions no lineals següents:

a) b) x y

x y

+ = +− = −

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

6 1

2 5

3 21

1 5x

yy

xy

+ + =

+ = −

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

016

y = 6⎯⎯⎯→

x = 4y⎯⎯⎯→

x yx

yx y

+ =

=

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=

30

4 4→

015

4

3⎯⎯⎯→x

y2

3

1=

−−

y1 = −2⎯⎯⎯⎯→x

y1

3

1=

−−

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

3 2 8 02

4

3

21

2y y

y

y+ − =

= −

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→

−−

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⋅ = − + − =3

13 8 3 2 8 02

yy y y→

xy

=−−3

1⎯⎯⎯⎯→

( )( )

x yx y x

y

+ ⋅ = −⋅ − = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ =

−−

3 81 3

3

1→

x2 = 2⎯⎯⎯→

x1 = −3⎯⎯⎯→⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

x x xx

2 1

26 0 3

2+ − = = −

=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→

y = 4 − 4x⎯⎯⎯⎯⎯→

( )x yx y y x

+ ⋅ = −+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ = −

2 164 4 4 4→

( )( )

x yx y+ ⋅ = −⋅ − = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 81 3

( )x yx y+ ⋅ = −+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 164 4

014


y24

3=

161

5

a)

3y + 2x = 0

→

→x1 = −3 Solució: (x1 = −3, y1 = 2)

x2 = 3 Solució: (x2 = 3, y = −2)

b)

x + 6 = y2 + 2y + 1

→ 2y2 + 3y − 5 = 0


a)

b)

a)

1+ 2xy = −x Solució: (x = 3, y = )−2

31

4

33− = − =x x x→

y =−2

3⎯⎯⎯→

y y

xy x

y→

→

→2 2 0

1 2

2

3+ + =

+ = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=−2 2

0

12 1

x

y

xy

xy

++

=

+ = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

3 2

1 2

− = +

+ =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

x y

x y

2 20

12 1

xy

xy

xy

+ + =

+ = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

017

2 3 5 01 2

5

2

15

4

21 1

2 2y y

y x

y x+ − =

= = −

=−

=−

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩

→⎯⎯→

→⎪⎪⎪⎪

yy y

−+ = + +

5

26 2 12 →

xy

=− 5

2⎯⎯⎯⎯→

x y

x y

x y y

xy

+ = +

− = −

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

+ = + +

=−

6 1

2 5

6 2 15

2→

→22

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

y2 = −2⎯⎯⎯→

y1 = 2⎯⎯⎯→⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

xy

=−6

312

4 22

2 1

2y

yy y

y= = =

= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ →

312

0 312

yy

yy

− = =→

3 26

0yy

+ ⋅−

= →x

y=

−6

⎯⎯⎯⎯→

→

→

3 2 0

6

y x

xy

+ =

=−

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

3 21

1 5

x

y

y

xy

++

=

+ = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

SOLUCIONARI

Solució: (x1 = −2, y1 = 1)

Solució no vàlida.

162

b)

x2 + 2x + 1 = 2y→ (−y2 − 4y − 1)2 + 2 ⋅ (−y2 − 4y − 1) + 1 = 2y →→ y 4 + 8y3 + 16y2 + 8y + 1 − 2y2 − 8y − 2 + 1 − 2y = 0 →→ y 4 + 8y3 + 14y2 = 0

Com que y3 i y4 són més petits que 0, no són arrels de la segona equació.

x = −y2 − 4y − 1 x = −1 Solució: (x = −1, y = 0)

Escriu un sistema d’equacions no lineals que tingui com a solució x = −1, y = 2.

Resol aquests sistemes d’inequacions:

a) b) c) d)

a)

b)

c)

d)

Troba la solució d’aquests sistemes d’inequacions:

a)

b) 4 6 3 7 28 2 3 4 10 1

+ − ≤ + ⋅ −− ⋅ + ≤ ⋅ +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x x xx x x

( )( ) ( )

5 2 29 1 4 3 1⋅ + ≤ +⋅ + ≤− + ⋅ +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

( )( ) ( )x xx x x

020

6 3 77 3 15 3

23

x xx x

xx

− ≥ ++ ≤ +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

≥≤

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→ → Soluució: [ , ]2 3

x

x

x

x22

5 4 2

46

5

> −

− ≤

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

> −

≤

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

→ → Solucció: −⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

46

5,

xx

xx

x+ <− <

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

< −<

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

< −3 22 5 3

14

1→ → → Solucció: ( , )− −� 1

xx

xx

x>≥

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

>≥

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

≥02 4

02

2 2→ → → Solució: [ ,, )+�

6 3 77 3 15 3

x xx x− ≥ ++ ≤ +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x

x2

2

5 4 2

>−

− ≤

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

xx+ <− <

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 22 5 3

xx>≥⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

02 4

019

32

− =⋅ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

018

y1 = 0⎯⎯⎯⎯→

y y y

y y

y

y

2 2

1 2

3

4

8 14 0

0

8 8

20

8 8

20

⋅ + + =

= =

=− +

<

=− −

<

( ) →

⎧⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

x = −y2 − 4y − 1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

3 2

1 2

3 4 4

2 1 2

2

2

− = ++ =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

− = + +

+ + =

x y

x y

x y y

x x y

→→

⎫⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= − − −→ x y y2 4 1


163

5

a)

b)

Escriu sistemes d’inequacions que tinguin com a solució [−2, 5].

Resol aquest sistema:

Expressa de manera algebraica:

a) L’edat de la Joana multiplicada per 2 i sumant-hi 3 és més gran que 18.b) Si divideixes l’edat de la Maria entre 2 i hi restes 3, és més petita que 5.

a) 3x + 2 > 18 b)

Raona si aquest sistema d’inequacions està resolt correctament:

Hi ha un error en l’últim pas.

5 2 4 74 5

5 4 2 75 4

x xx x

x xx x

≤ + +− ≥

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− ≤ +− ≥

⎫⎬⎪⎪⎭

→⎪⎪⎪

≤≤ −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− −→ →xx

91

1Solució: ( , ]�

5 2 4 7

4 5

5 4 2 7

5 4

x x

x x

x x

x x

≤ + +− ≥

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− ≤ +− ≥

⎫⎬⎪⎪⎭

→⎪⎪⎪

≤≥−

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→x

x

9

1

5 2 4 74 5

x xx x

≤ + +− ≥

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

024

x

23 5− <

023

3 10 65 14 3

16

311

5

xx

x

x

− ≥− + ≤

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

≥

≥

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪→

⎪⎪⎪⎪

+⎞⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢→ Solució:16

3, �

3 10 65 14 3

xx− ≥

− + ≤⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

022

3 5 114 8 12

xx

− ≥ −− ≤

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

021

→ →x

x

≥

≥−

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

+⎞⎠⎟⎟

15

29

4

15

2Solució: , �⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

4 6 3 7 28 2 3 4 10 1

+ − ≤ + ⋅ −− ⋅ + ≤ ⋅ +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x x xx x x

( )( ) ( )

→→ →6 1 7 148 6 8 10 10

x x xx x x

+ ≤ + −− − ≤ +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→ →x

x

≤ −

≤−

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

− −23

5

2Solució: ( , ]�

5 2 29 1 4 3 1

5 10⋅ + ≤ +⋅ + ≤ − + ⋅ +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+( )( ) ( )x xx x x

x→ ≤≤ ++ ≤ − + +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

xx x x

29 9 4 3 3

→

SOLUCIONARI

9−1

164

ACTIVITATS

Comprova que , és la solució del sistema:

Escriu un altre sistema amb les mateixes solucions.

La solució del sistema d’equacions és .

Determinem un altre sistema amb aquestes solucions.

x + y

x − y

és un sistema amb aquestes solucions.

Investiga quantes solucions tenen els sistemes d’equacions i interpretageomètricament el resultat:

a) c)

b) d)

a) És un sistema compatible indeterminat, té infinites solucions.Geomètricament són dues rectes coincidents.

b) És un sistema compatible determinat, amb una única solució: x = 1, y = −2. Geomètricament són dues rectes que es tallen en el punt (1, −2).

c) És un sistema incompatible, no té solució. Geomètricament són duesrectes paral·leles.

d) És un sistema compatible determinat, amb una solució única: x = 3, y = 1. Geomètricament són dues rectes que es tallen en el punt (3, 1).

x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 52 72

x yx y− =+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5 112 3 4

2 3 94 9 6x y

x y− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 2 16 2 2

x yx y− =

− + = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

026�

x y

x y

+ =

− =−

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

1

45

4

−− =

−1

2

3

4

5

4

−+ =

1

2

3

4

1

4

x y= − =1

2

3

4,

21

23

3

41

9

4

5

4

161

220

3

48 15 7

⋅−

+ ⋅ = − + =

⋅−

+ ⋅ = − + =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

2 354

16 20 7

x y

x y

+ =

+ =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

y = 34

x = −12

025�


165

5

Completa aquests sistemes perquè siguin incompatibles:

a) c)

b) d)

Completa els sistemes següents perquè siguin compatibles indeterminats:

a) c)

b) 4 101

21

x y− =

− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

1

2 5x y

5 2 3 1 614

⋅ + − ⋅ − ==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

( ) ( )x y− +10 6x y

x yx+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 33 96y

029��

x y2 4

5

10

+ =

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪2x y+

3 01

x y− =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

26 2x y

2 103

⋅ − + = ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

( )x y xx − =2 5y

x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 22 2 1

028��

027

SOLUCIONARI

FES-HO AIXÍ

COM DETERMINEM EL NOMBRE DE SOLUCIONS D’UN SISTEMA ESTUDIANT-NE

ELS COEFICIENTS?

Classifica aquests sistemes d’acord amb el nombre de solucions.

a) b) c)

PRIMER. Estudiem si els coeficients de totes dues equacions del sistema sónproporcionals.

a) → Són proporcionals.

b) ⎯→

c) ⎯⎯⎯⎯→

SEGON.

• Si tots els coeficients són proporcionals, el sistema és compatible indeterminat.

• Si només són proporcionals els coeficients de les incògnites, el sistema ésincompatible.

• Si els coeficients de les incògnites no són proporcionals, el sistema és compati-ble determinat.

a) Compatible indeterminat.

b) Incompatible.

c) Compatible determinat.

Els coeficients de les incògnites no són proporcionals.

2

5

3

1�

Són proporcionals els coeficients de les incògnites,però no els termes independents.

2

4

3

6

5

8= �

2

4

3

6

5

10= =

2 3 55 5x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 3 54 6 8x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 3 54 6 10x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

166

Sense resoldre aquests sistemes, classifica’ls segons el nombre de solucions:

a) c)

b) d)

a) Compatible determinat

b) Compatible determinat

c) Compatible indeterminat

d) Compatible determinat

Observa les gràfiques i escriu el sistema en la forma general, determina’n la solució i explica de quin tipus és:

a) → Compatible determinat

b) → Compatible indeterminat

c) → x = 1, y = 2 → Compatible determinat

d) ⎯→ No té solució → Incompatible

Escriu un sistema compatible determinat, un de compatible indeterminat i un altre d’incompatible. Representa’ls en uns eixos de coordenades i troba’nles solucions.

Compatible determinat: Compatible indeterminat: Incompatible:

− + =− + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

12

− + =− + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= +x yx y

y x2 12 2 2

1→− + =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

==

x yx y

xy

00

00

→

032��

3 43 6

x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 03 73x y

x y− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

y x+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= − +2 052 2 10

5→

− + =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=−

=x yx y

x y45 2

11

3→ 1

3,

031��

x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

102

x yx y+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

102 2 20

x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

102 2 20

x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

102 20

030�


Y

X

Y

X

1

1

1

1

Y

Y

X

X

1

1

1

Y

X

1

1

Y

Y

X

X

1

1

1

a) c)b) d)

167

5

Resol aquests sistemes pel mètode de substitució:

a) c)

b) d)

a)

4x − 3y = 5 4x − 63 + 30x = 5 → x = 2

y = 21 − 10x y = 1

b)

4x + 2y = 14 8y + 4 + 2y = 14 → y = 1

x = 2y + 1 x = 3

c)

2x − 3y = −25 2x − 12x + 75 = −25 → x = −10

y = 4x − 25 y = 15

d)

3x + 2y = 15 3x + 8 − 2x = 15 → x = 7

y = 4 − x y = −3

Fes servir el mètode d’igualació per resoldre els sistemes següents:

a) b)

a)

x = 2

b)

y = 5 − x y = 2 x = 3

⎯⎯⎯→

3 2 5

5

3 5

253 2

x y

x y

yx

y x

− =

+ =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=−

= −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭

→

→⎪⎪⎪⎪

−= − =→ →3 5

25 3

xx x

y = 3⎯⎯⎯→x

y=

− +3 13

2

− +=

− +− + = − + =

3 13

2

2 12

39 39 4 24 3

y yy y y→ →

2 3 13

3 2 12

3 13

2x y

x y

xy

x

+ =

+ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=− +

=−

→

→ 22 12

3

y +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

3 2 552

x yx y− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 3 133 2 12x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

034�

x = 7⎯⎯⎯→

y = 4 − x⎯⎯⎯⎯⎯→

x yx y

y x+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −2 43 2 15

4→

x = −10⎯⎯⎯→

y = 4x − 25⎯⎯⎯⎯⎯→

2 3 254 25 4 253

x yx y y x

− = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ = −→

y = 1⎯⎯⎯→

x = 2y + 1⎯⎯⎯⎯⎯→

− + = −+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= +x yx y

x y2 14 2 14

2 1→

x = 2⎯⎯⎯→

y = 21 − 10x⎯⎯⎯⎯⎯→

10 214 3 5

21 103x yx y

y x+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −→

x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 43 2 15

− + = −+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

2 14 2 14

2 3 254 253

x yx y− = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

10 214 3 5

3x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

033�

SOLUCIONARI

168

Troba la solució d’aquests sistemes pel mètode de reducció:

a)

4x = 8 → x = 2

2x + 3y = 4 4 + 3y = 4 → y = 0

b)

−18y = −18 → y = 1

x + 4y = 9 x + 4 = 9 → x = 5

c)

7x = 21 → x = 3

x − 3y = 0 3 − 3y = 0 → y = 1

d)

17x = 34 → x = 2

4x + y = 11 8 + y = 11 → y = 3

Resol gràficament aquests sistemes:

a) c)

b) d) 5 3 44 113

x yx y− = −+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y+ = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4 53 114

2 63 1x yx y+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 42 0x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

036��

x = 2⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5x − 3y = 31+12x + 3y = 33

17x + 3y = 34

⋅ 3⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5x − 3y = 114x + 3y = 11

x = 3⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

6x + 3y = 21 +3x − 3y = 00

7x − 3y = 21

⋅ 3⎯⎯⎯→⎫

⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = 7x − 3y = 0

y = 1⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−3x − 12y = −27 +−3x − 16y = −29

−18y = −18

⋅ (−3)⎯⎯⎯→⎫

⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 4y = 93x − 6y = 9

x = 2⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = 4+2x − 3y = 4

4x − 3y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = 42x − 3y = 4

035�


Y

X

1

1

(1, 2)

a) Y

X

1

1

b) Y

X

1

1

c) Y

X

1

d)

(3, −2)

(1, 4)

− −⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

37

17

39

17,

F

169

5

Resol aquests sistemes pel mètode més adequat:

a) b)

a)

4x − 3y = −1 8y − 36 − 3y = − 1 → y = 7

x = 2y − 9 x = 5

b)

43x = 0 → x = 0

−2x − 5y = −5 y = 1

Troba la solució d’aquests sistemes:

a)

b)

c)

a)

−y = −10 → y = 10

4x − 5y = 18 4x − 50 = 18 → x = 17 y = 10

⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

12x − 16y = −44 +

−12x + 15y = −54

−y = −10

⋅ 4⎯⎯⎯→

⋅ (−3)⎯⎯⎯→

→3 4 11

4 5 18

x y

x y

− =

− =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

→ →3 3 4 8 0

4 12 5 10 40

x y

x y

− − − =

+ − + =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

x y

x y

−−

+=

+−

−=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

1

4

2

30

3

5

2

42

7 510

35 10

3 24

26 4

x y x y x y

x y y x y x

+ − ⋅ + = −

+ + − − = −

⎫

⎬

⎪( ) ⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

5 23

3 14

712

62

5 45

⋅ − − ⋅ + = −

− + − − ⋅ =

( ) ( )

( ) ( )

x y x y

x y x x ++

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪2

10y

x y

x y

− − + =

+ − − =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

14

23

0

35

24

2

038��

x = 0⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−8x − 20y = −20 +35x + 20y = −20

43x − 18y = −10

→→

⋅ 4⎯⎯⎯→

⋅ (−5)⎯⎯⎯→

3 2 4 5 6

5 3 12 4

2 5− ⋅ − = +

− = − −

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

− −( )

( )

x y

x y x y

x y→ == −

− − = −

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

5

7 4 4→ x y

y = 7⎯⎯⎯→

x = 2y − 9⎯⎯⎯⎯⎯→

3 2 1 12 9

4 3 1x y y xx y x y

x y− ⋅ − = − +− = + −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− = −( ) →→ xx y x y− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ = −2 9 2 9→

3 2 4 5 65 3 12 4

− ⋅ − = +− = − −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

( )( )

x yx y x y

3 2 1 12 9

x y y xx y x y

− ⋅ − = − +− = + −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

( )

037��

SOLUCIONARI

170

b)

129x = 323 →

2x − 7y = 10

c)


a) b)

a)

Hi ha 4 solucions: (2, 5); (2, −5); (−2, 5) i (−2, −5).

b)

x ⋅ (x + y) = −3 x ⋅ (x + 5 − x2) = −3 → x3 − x2 − 5x − 3 = 0x3 − x2 − 5x − 3 = 0 → (x − 3) ⋅ (x + 1)2 = 0 → x1 = 3, x2 = −1

y1 = 5 − x2 y1 = −4 y2 = 5 − x2 y2 = 4

Les solucions són (3, −4) i (−1, 4).

x2 = −1⎯⎯⎯→x1 = 3⎯⎯⎯→

y = 5 − x2

⎯⎯⎯→

x x yx y y x

⋅ + = −+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ = −

( ) 35 52 2→

2 8 2 4 29 52 4 29

2 12

1

22

x x y yx y y

= = + = = ±= − + = = ±

→ ⎯→ →→ → 2 55

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+ x2 + y2 = 29+x2 − y2 = −21

2x2 = 8

→→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x2 + y2 = 29x2 − y2 = −21

x x yx y⋅ + = −

+ =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

( ) 352

x yx y

2 2

2 229

21+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

039��

→ →7 5 6 69 3 6 2 4 3 3

x y x y x yx y y x y x

+ − − = −+ + − + = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

00 016 2 6

8 3=− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= +x y

y x→

7 5

10

3

5 103 2

4

2

6 4

x y x y x y

x y y x y x

+−

⋅ +=

−

+ +−

−=

−

⎫

⎬

⎪( ) ⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→

646

1297 10

92

129− = =y y→⎯⎯⎯→

x =323

129

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

133x − 14y = 343 +

−4x + 14y = −20

129x + 14y = 323

⋅ 7⎯⎯⎯→

⋅ (−2)⎯⎯⎯→

→ 20 40 9 9 730 5 5 40 8 2

x y x yx y x x y

− − − = −− − − + = +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→→ 19 2 492 7 10

x yx y

− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5 2

3

3 1

4

7

126

2

5 4

5

⋅ −−

⋅ +=

−

− +−

− ⋅=

( ) ( )

( ) ( )

x y x y

x y x x ++

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

2

10

y→


x =323

129

171

5

Resol aquests sistemes:

a)

4x + 4y + xy = 0

b)

10y + 10x = −3xy

c)

→y − 9x − 2xy − 3 = 0

→ y = 4x + 5⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

y x x y

x y

→

→

3 6 5 5 2 1 2

4 4 1

+ − − = ⋅ + ⋅ +

+ = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→

3

1

5

22

1

1

1

4

x yx

y

+−

+=

+−

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

y y y xy x

2 1 1

2 23 10 0 5 2

2 5− − = = = −

= − =⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ ⎯→→

10100

30 3 10 02yy

y y− = − − =→x

y=

−10

⎯⎯⎯⎯→

y x xy

xy xy

→

→ →

10 10 3

30 310

+ = −

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪=

−

1 1 3

106 3

5

x y

xy

+ =−

=−

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→ →− + − = =60 32 15 060

17y y y

−+ − =

60

84

15

80y

y →x =

−15

8⎯⎯⎯⎯→

8 1515

8x x= − =

−→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4x + 4y + xy = 01−−4x + 4y + xy = 15

8x = −15

→

y x xy

y x x y→

4 4

3 3 3 3

+ = −

− − − = − + ⋅ −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪( ) ( )⎪⎪⎪

→

1 1 1

41

3

1

31

x y

x y

+ =−

+−

−= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

040��

SOLUCIONARI

172

y − 9x − 2xy − 3 = 0

→ 4x + 5 − 9x − 8x2 − 10x − 3 = 0 →→ 8x2 + 15x − 2 = 0

d)

2 − 3xy = −5y

→ 10x − 15x2 = −25x + 10

Troba la solució d’aquests sistemes:

a) c)

b) d)

a)

4y2 + 4y + 1 = y + 2 → 4y2 + 3y − 1 →

→→ Solució no vàlida

b)

x + 1 = y2 + 2y + 1 x + 1 = 4 → x = 3

c)

2x + y = 5 2y2 + 8y + 12 + y = 5 → 2y2 + 9y + 7 = 0 x = y2 + 4y + 6

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

x yx y

x y yx y

− = +− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− = + ++ =

⎫⎬⎪2 2

2 3 22 4 4

2 5

2

→ ⎪⎪⎭⎪⎪

= + +→ x y y2 4 6

y = −3⎯⎯⎯→

→→

x y y

y y

+ = + +− + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ = −

1 2 1

2 3 9 3

2x y

y

+ = − −

− + =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

1 1

2 3 3

y x

y x

1 1

2 2

1 11

4

9

4

= − =

= =

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→

→

→ x y yx y

= + += +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4 4 12

2x yx y+ = −

− = +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 11 1

xy

x y

+ =

− = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

42

1

x y

y

+ = − −

− + =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

1 1

2 3 3

x yx y− = +− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 22 3 2

x yx y+ = −− = +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 11 1

041��

15 35 10 0 3 7 2 02 21

3

2 21 1

2 2x x x x

x y

x y− + = − + =

= =

=→ →

⎯→

→ ==−

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

1

2

215 6

2

25 10

2−

+=

− +x x

x→

yx

x=

−5 2

2⎯⎯⎯⎯⎯→

xy x

xy y

yx

x2 2 5

2 3 5

5 2

2+ =

− = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=−→1 5

22

3 5

xy

yx

+ =

− = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

8 15 2 02 3

1

8

11

2

21 1

2 2x x

x y

x y+ − =

= − = −

= =

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪

→→

⎯→⎪⎪⎪

y = 4x + 5⎯⎯⎯⎯⎯→


173

5

→ Solució no vàlida

d)

y2 − 2y + 1 = 4y − 4 → y2 − 6y + 5 = 0 →

Determina la solució d’aquests sistemes:

a) b)

a)

(x − 4) ⋅ (y + 3) = 0 −2 ⋅ (y + 3) = 0 → y = −3

(x − 4) ⋅ (y + 3) = 0 5 ⋅ (x − 4) = 0 ⎯→ x = 4

Solució: (x1 = 2, y1 = −3) i (x2 = 4, y2 = 2)

b)

x ⋅ y = −6 −3y = −6 → y = 2

x ⋅ y = −6

Solució: (x1 = −3, y1 = −2); ( ); ( )

Resol aquests sistemes d’inequacions:

a) d)

b) e)

c)

a)

b) 2 3 42 3

13

1⋅ + >− <

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

> −<

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− < <( )xx x

xx

x→ → 33 1 3→ Solució: ( , )−

x xx

x

xx+ > −

≥⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

>

≥

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

≥4 5 23 9

1

33

3→ → → Sollució: [ , )3 +�

5 2 8 24 6 8 0x x

x− ⋅ − ≤−⋅ + − >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

( )( )

5 6 2 34 3 2 2 3⋅ − + ⋅ + ≥− ⋅ − ≥ ⋅ −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

( ) ( )( ) ( )

x x xx x

2 3 42 3⋅ + >

− <⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

( )xx x

4 3 23 4 5 1

x x xx x+ ⋅ − >− ⋅ − ≤

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

( )( )

x xx

+ > −≥

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4 5 23 9

043��

x y3 36 6=− =,x y2 26 6= =−,

x = 6x = −y

⎯⎯⎯→y = − 6x = − 6x = −y

⎯⎯⎯⎯→y = 6

− = − = = −y y y2 6 6 6→ ,x = −y

⎯⎯⎯→

x1 = −3⎯⎯⎯→

( ) ( )x y xx y

x x y+ ⋅ + =⋅ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= − = −3 06

3→ o

y = 2⎯⎯⎯→

x = 2⎯⎯⎯→

( ) ( )( ) ( )x yx y

x y− ⋅ − =− ⋅ + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= =2 2 04 3 0

2 2→ o

( ) ( )x y xx y

+ ⋅ + =⋅ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 06

( ) ( )( ) ( )x yx y− ⋅ − =− ⋅ + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 2 04 3 0

042��

y xy x

1 1

2 2

5 161 0

= == =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→→

→→x y

x y y

x y+ =

= − +

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= −4 4

2 1

4 4

2

xy

x y

+=

− = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

4

2

1

2 9 7 01 37

2

17

4

21 1

2 2y y

y x

y x+ + =

= − =

=−

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

→⎯→

→⎪⎪

SOLUCIONARI

174

c)

d)

e)

Troba la solució dels sistemes d’inequacions següents:

a) c)

b) d)

a)

b)

c)

Solució:30

11, +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟�

3 2

4 53

5

6

2

42

15 30⋅ +

− >

−−

≥

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

+( )x x

x xx→ −− >

− + ≥⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

>

≥

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪4 6010 3 6 24

30

1118

7

xx x

x

x→ ⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

>→ x30

11

Solució: −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟�,

1

12

3 1 2

5

1

2

4 51

3

6 12 51

⋅ −>

− ≤−

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

− >( )x

xx

x→22 15 1

1

1214

11

x x

x

x− ≤ −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

<

≤

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→ → xx <1

12

→ →x ≤ −⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

7

3

7

3Solució: �,

x x

x xx x

−+ ≤

−+

+<

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

− + ≤3

4 21

3

2

3

52

3 2 45

→xx x

x

x− + + <

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

≤

<

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

15 2 6 20

7

329

7

→ →→

53 4

56

45 6

710

− − > −

+ − >

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

x x x

x x

3 1 25

12

4 51

3

⋅ − >

− ≤ −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

( )x

xx

3 24 5

3

56

24

2

⋅ + − >

− − ≥

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

( )x x

x x

x x

x x

− + ≤

− + + <

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

34 2

1

32

35

2

044��

→ →9

59

9

59≤ ≤

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥x Solució: ,

5 6 2 34 3 2 2 3

3⋅ − + ⋅ + ≥− ⋅ − ≥ ⋅ −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

( ) ( )( ) ( )

x x xx x

→ 00 5 2 612 8 6 2

99

5

− + + ≥− + ≥ −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

≤

≥

⎫⎬⎪⎪⎪x x x

x x

x

x→

⎭⎭⎪⎪⎪

→

4 3 23 4 5 1

13

x x xx x

xx

+ ⋅ − >− ⋅ − ≤

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

>≤

⎫⎬⎪⎪⎭

( )( )

→⎪⎪⎪

< ≤→ →1 3 1 3x Solució: ( , ]

5 2 8 24 6 8 0

24

x xx

xx

− ⋅ − ≤ −⋅ + − >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

≤> −

⎫⎬⎪⎪( )

( )→

⎭⎭⎪⎪− < ≤ −→ →4 2 4 2x Solució: ( , ]


175

5

d)

Troba les solucions dels sistemes d’inequacions següents:

a) b)

a)

b)

En una pastisseria hi ha 900 bombons envasats en capses de 6 i 12 unitats.

Quantes capses hi ha de cada classe si en total tenen 125 capses?

Nre. de capses de 6 bombons: xNre. de capses de 12 bombons: y

6x + 12y = 900 750 − 6y + 12y = 900 → 6y = 150 → y = 25

x = 125 − y x = 100

Hi ha 100 capses de 6 bombons i 25 capses de 12 bombons.

y = 25⎯⎯⎯⎯→

x = 125 − y⎯⎯⎯⎯→

x yx y

x y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −12 1256 12 900

125→

046��

5 2 03 4 0

9

23

2

54

3

xxx

x

x

x

− ≤+ >+

≥

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

≤

>−

≥

→

−−

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

−< ≤

−

3

4

3

2

5

4

3

2

5→ →x Solució: ,

⎤⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

xxx

x

x

x

>+ ≥− <

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

>

≥−

<

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪02 1 04 3 0

01

23

4

→⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

< <⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟→ →0

3

40

3

4x Solució: ,

5 2 03 4 0

92

3

xxx

− ≤+ >+ ≥

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪⎪

xxx

>+ ≥− <

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

02 1 04 3 0

045��

→ →− < < −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟3

70

93

70

9x Solució: ,

53 4

5

64

5 6

7

10

60 4− − >

−

+− >

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

− −x x x

x xx→ 33 2 10

6 24 5 21

70

93

x xx x

x

x

> −+ − >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

<

> −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭

→⎪⎪⎪⎪

→

SOLUCIONARI

176

A un congrés hi assisteixen 60 persones. Si en marxen 3 homes

i hi entren 3 dones, el nombre de dones seria del nombre d’homes.

Quants homes i dones hi ha al congrés?

Nre. d’homes: xNre. de dones: y

x − 3 = 3 ⋅ (y + 3) 57 − y = 3 ⋅ (y + 3) → 4y = 48 → y = 12

x = 60 − y x = 48

Al congrés hi ha 48 homes i 12 dones.

Calcula les edats de dues persones si saps que fa 10 anys la primera tenia 4 vegades l’edat de la segona persona, però d’aquí a 20 anys l’edat de la primera persona serà el doble de l’edat de la segona.

Edat de la primera persona: xEdat de la segona persona: y

x + 20 = 2 ⋅ (y + 20) 4y − 10 = 2y + 40 → 2y = 50 → y = 25

x = 4y − 30 x = 70

La primera persona té 70 anys i la segona té 25 anys.

L’edat actual de la Sara més l’edat que tindrà d’aquí a 3 anys és igual a l’edat de la Núria d’aquí a 6 anys, i l’edat de la Núria d’aquí a 3 anys és igual a la que tindrà la Sara d’aquí a 6 anys. Calcula les edats de la Sara i la Núria.

Edat de la Sara: x

Edat de la Núria: y

x + x + 3 = y + 6 2y − 6 + 3 = y + 6 → y = 9

x = y − 3 x = 6

La Sara té 6 anys i la Núria té 9 anys.

y = 9⎯⎯⎯⎯→

x = y − 3⎯⎯⎯⎯→

x x yy x x y

+ + = ++ = +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ = −

3 63 6 3→

049��

y = 25⎯⎯⎯⎯→

x = 4y − 30⎯⎯⎯⎯→

x yx y

x y− = ⋅ −+ = ⋅ +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −10 4 1020 2 20

4 30( )( )

→

048��

y = 12⎯⎯⎯⎯→

x = 60 − y⎯⎯⎯⎯→

x yx y

x y+ =− = ⋅ +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −603 3 3

60( )

→

13

047��


FES-HO AIXÍ

PROBLEMES AMB SISTEMES D’EQUACIONS

Ajusta aquesta reacció química:C3H8 + O2 → CO2 + H2O

L’estequiometria és l’estudi quantitatiu de reactius i productes en una reaccióquímica.

Què passa als reactius quan reaccionen entre ells? Segons la llei de la conserva-ció de la massa, els àtoms ni es creen ni es destrueixen. Així, en una reaccióquímica, hi ha d’haver la mateixa quantitat d’àtoms de cada element a banda ibanda de la fletxa. Aquesta operació d’igualar el nombre d’àtoms de cada molè-cula s’anomena ajustar la reacció.

PRIMER. Anomenem a, b, c i d les incògnites:

aC3H8 + bO2 → cCO2 + dH2O

Suposem que a = 1 (si després surten nombres fraccionaris, podrem multiplicarpel mínim comú múltiple); per tant:

C3H8 + bO2 → cCO2 + dH2O

Per ajustar la reacció, tenim:

C: 3 = c H: 8 = 2d O: 2b = 2c + d

Que ens dóna el sistema d’equacions següent:

SEGON. Resolem el sistema:

2d = 2c + d → 2d = 6 + 4 = 10 → b = 5

La reacció ajustada serà:

C3H8 + 5O2 → 3CO2 + 4H2O

3 04 02 2 0

− =− =

− − =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

cd

b c d

C D+ + …productes� ��

reacció química⎯⎯⎯⎯⎯⎯→A B+ + …reactius

� ��

177

5

Ajusta les reaccions químiques següents:

a) H2 + O2 → H2O c) Fe + O2 → Fe2O3

b) C4H10 + O2 → CO2 + H2O d) Al(ClO3)3 → AlCl3 + O2

a) Plantegem les equacions: H2 + aO2 → bH2O

Reacció ajustada: H2 + O2 → b H2O 2H2 + O2 → 2H2O× 2

⎯⎯→1

2

H:O:

ba b

a==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=12

1

2→

051��

050

SOLUCIONARI

178

b) C4H10 + a O2 → b CO2 + c H2O

Reacció ajustada: C4H10 + O2 → 4 CO2 + 5 H2O →

2 C4H10 + 13 O2 → 8CO2 + 10H2O

c) Fe + a O2 → b Fe2O3

Fe: 1 = 2b → O: 2a = 3b →

Reacció ajustada: Fe + O2 → Fe2O3 4 Fe + 3 O2 → 2 Fe2O3

d) Al(ClO3)3 → a AlCl3 + b O2

Reacció ajustada: Al(ClO3)3 + AlCl3 + O2 2 Al(ClO3)3 → 2 AlCl3 + 9 O2

Ajusta les reaccions químiques següents:

a) Al + H2O → Al2O3 + H2

b) Ag + HNO3 → NO + H2O + AgNO3

c) KMnO4 + HCl → KCl + MnCl2 + H2O + Cl2

a) Al + a H2 O → b Al2O3 + c H2

2Al + H2O → Al2O3 + H2 2 Al + 3 H2O → Al2O3 + 9 H2

b) Ag + b HNO3 → c NO + d H2O + e AgNO3

Ag:

H:

N:

O:

1

2

3 3

=

=

= +

= + +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

e

b d

b c e

b c d e⎪⎪⎪

=

− =

− − =

− − − =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

→

e

b d

b c e

b c d e

1

2 0

0

3 3 0⎪⎪⎪⎪

=

=

=

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→

b

c

d

e

4313231

× 2⎯⎯→3

2

1

2

3

2

Al:H:O:

1 22 2

3

1

23

2

==

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=

= =b

a ca b

b

a c c

a

→ →

==

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

3

2

052��

× 2⎯⎯→9

2

Al:Cl:O:

13 33 3 2

19

2

==

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=

=

⎧⎨⎪⎪⎪

aa

b

a

b⋅→

⎩⎩⎪⎪⎪

× 4⎯⎯→1

2

3

4

a =3

4b =

1

2

× 2⎯⎯→

13

2

C:H:O:

41

2

452 4 5

2

13

==

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

==

=⋅ +

=

bb

a b

bc

a

→

22

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪


179

5

3Ag + HNO3 → NO + H2O + AgNO3 →

3 Ag + 4 HNO3 → NO + 2 H2O + 3 AgNO3

c) KMnO4 + b HCl → c KCl + d MnCl2 + e H2 O + f Cl2

KMnO4 + 8HCl → KCl + MnCl2 + 4 H2O + Cl2 →

2 KMnO4 + 16 HCl → 2 KCl + 2 MnCl2 + 8 H2O + 5 Cl2

Una caravana que viatja pel desert està formada per camells i dromedaris, amb un total de 440 potes i 160 geps. Quants camells i dromedaris hi ha a la caravana? (Recorda que els camells tenen dos geps i els dromedaris en tenen un.)

Nre. de camells: x Nre. de dromedaris: y

2x + y = 160 220 − 2y + y = 160 → y = 60

x = 110 − y x = 50

A la caravana hi ha 50 camells i 60 dromedaris.

L’Antoni li diu a la Maria: «Si canvies els bitllets de 10 € que tens per bitlletsde 5 € i els bitllets de 5 €, per bitllets de 10 €, continuaràs tenint els mateixosdiners.» Quants diners té la Maria, si en total són 20 bitllets?

Nre. de bitllets de 5 €: xNre. de bitllets de 10 €: y

x + y = 20 2y = 20 → y = 10

x = y x = 10

La Maria té 10 bitllets de 5 € i 10 bitllets de 10 €.

y = 10⎯⎯⎯⎯→

x = y⎯⎯⎯⎯→

x yx y x y x y

+ =+ = +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ =

10 205 10 10 5 →

054��

y = 60⎯⎯⎯⎯→

x = 110 − y⎯⎯⎯⎯→

2 1604 4 440 110

x yx y x y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ = −→

053��

× 2⎯⎯→

5

2

k:

Mn:

O:

H:

Cl:

1

1

4

2

2 2

=

=

=

=

= + +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

c

d

e

b e

b c d f

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=

=

=

=

=− −

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

→

c

d

e

b

fb c d

1

1

4

8

22

52

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

× 3⎯⎯→

2

3

1

3

4

3

SOLUCIONARI

180

Els bitllets de 50 € i 20 € que porta en Ramon a la butxaca sumen 380 €. Si canvia els bitllets de 50 € per bitllets de 20 € i al revés, aleshores sumen320 €. Calcula quants bitllets té de cada mena.

Nre. de bitllets de 20 €: xNre. de bitllets de 50 €: y

21y = 126 → y = 6

20x + 50y = 380 20x + 300 = 380 → x = 4

En Ramon té 4 bitllets de 20 € i 6 bitllets de 50 €.

La Laura va al banc a canviar monedes de 5 cèntims per monedes de 20 cèntims. Si surt del banc amb 225 monedes menys que quan hi va entrar, quants diners portava?

Nre. de monedes de 5 cèntims: xNre. de monedes de 20 cèntims: y

4y = y + 225 → y = 75

x = 4y x = 300

Tenia 300 monedes de 5 cèntims, o sigui, 15 €.

Per un xandall i unes vambes que costaven 135 €he pagat 85,50 € de rebaixes, perquè a la secció del tèxtil fan el 40 % de descompte i, a la del calçat, el 30 %. Quin preu tenia cada article i quant m’han costat?

Preu del xandall: xPreu de les vambes: y

6x + 7y = 855 810 − 6y + 7y = 855 → y = 45

x = 135 − y x = 90

El preu del xandall era de 90 € i el preu de les vambes era de 45 €. M’han costat 54 € i 31,50 €, respectivament.

y = 45⎯⎯⎯⎯→

x = 135 − y⎯⎯⎯⎯→

→

→

x y

x y

= −

+ =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

135

6 7 855

x y

x y

+ =

+ =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

13560

100

70

10085 5,

057��

y = 75⎯⎯⎯⎯→

x yx y x y

= +=

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ =

2255 20 4→

056��

y = 6⎯⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

10x + 25y = 190 +

−10x − 4y = −64

21y = 126

: 2⎯⎯⎯→

: (−5)⎯⎯⎯→

20 50 380

50 20 320

x y

x y

+ =

+ =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

055��


181

5

Per la barreja de 400 kg de pinso de tipus A amb 800 kg de pinso de tipus Bhan pagat 2.200 €. Calcula el preu de cada tipus de pinso si saps que, si barregéssim 1 kg de pinso de cada tipus, la barreja costaria 3,90 €.

Preu del pinso A: x Preu del pinso B: y

2x + 4y = 11 7,8 − 2y + 4y = 11 → y = 1,6

x = 3,9 − y x = 2,3

El pinso A val 2,30 €/kg i el pinso B val 1,60 €/kg.

La suma de les dues xifres d’un nombre és 9. Si hi afegim 27, el nombre que en resulta és capicua. Troba quin és aquest nombre.

Xifra de les desenes: x Xifra de les unitats: y

9 − y = y − 3 → y = 6

x = 9 − y x = 3

És el nombre 36.

Calcula un nombre de dues xifres que té com a diferència de les xifres 6, i la xifra de les unitats és el quadrat de la xifra de les desenes.


y − x = 6 x2 − x − 6 = 0 → x1 = −2 → Solució no vàlidax2 = 3

y = x2 y = 9

És el nombre 39.

Troba un nombre de dues xifres si el producte de les xifres és 18 i la xifra de les unitats és el doble que la xifra de les desenes.


x ⋅ y = 18 2x2 = 18 → x = 3

y = 2x y = 6

És el nombre 36.

x = 3⎯⎯⎯⎯→

y = 2x⎯⎯⎯⎯→

y xx y

=⋅ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

218

061��

2y = 3⎯⎯⎯⎯→

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

y = x2

⎯⎯→

y xy x

− ==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

62

060��

y = 6⎯⎯⎯⎯→

x yx y x y

x yx y

+ =+ + = +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −= −

910 27 10

93

→→

059��

1,6⎯⎯⎯⎯→

x = 3,9 − y⎯⎯⎯⎯→

x yx y

x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −+

3 9400 800 2 200

3 92 4

,.

,→→ == 11

058��

SOLUCIONARI

182

Determina dos nombres que sumen 5 i la suma dels quadrats és 13.

Nombres: x, y

x2 + y2 = 13 25 − 10y + 2y2 = 13 → y2 − 5y + 6 = 0 →→ y1 = 2, y2 = 3

x = 5 − y x1 = 3 x = 5 − y x2 = 2


Troba dos nombres que sumen 5 i la suma dels inversos és .

Nombres: x, y

3y + 3x = xy 3y + 48 − 3y = 16y − y2 →→ y2 − 16y + 48 = 0 → y1 = 12, y2 = 4

x = 16 − y x1 = 4 x = 16 − y x2 = 12


En un institut, la relació delnombre de nois amb el nombre

de noies era de , però al juny

aquesta relació era de ,

perquè van deixar el centre 20 nois i el 30% de les noies.Quants alumnes van acabar el curs?

Nombre de nois que van començar el curs: xNombre de noies que van començar el curs: y

y = 360

Van començar el curs 320 nois i 360 noies, i el van acabar 300 nois i 252 noies.

x = 320⎯⎯⎯⎯→y

x=

9

8

9

8

6 120

545 48 960 320

x xx x x=

−= − =→ →

x

y

x

y

yx

y=

−⋅

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=8

9

20

0 70

25

21

9

8

,

→

→ yyx

yx

=−

=−21 420

17 5

6 120

5,→

2521

89

064��

y2 = 4⎯⎯⎯⎯→

y1 = 12⎯⎯⎯⎯→

x = 16 − y⎯⎯⎯⎯→

→

→

x y

y x xy

= −

+ =

16

3 3

x y

x y

+ =

+ =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

161 1 1

3

13

063��

y2 = 3⎯⎯⎯⎯→

y1 = 2⎯⎯⎯⎯→

x = 5 − y⎯⎯⎯⎯→

x yx y

x y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −513

52 2

→

062��


183

5

Tenim que:

Si x1 i x2 són les solucions de l’equació de segon grau, troba el sistema d’equacions que relaciona els coeficients a, b i camb les solucions x1 i x2.

a ⋅ (x − x1) ⋅ (x − x2) = 0 → ax2 + a ⋅ (−x1 − x2) ⋅ x + a ⋅ x1 ⋅ x2 = 0


a) b) c)

a) Sistema compatible determinat

4x − y = −1 24 − 4y − y = −1 → y = 5

x = 6 − y x = 1

b) Sistema compatible indeterminat

2x + 2y = 12 12 − 2y + 2y = 12 → 0 = 0

c) Sistema incompatible

x + y = 8 6 − y + y = 8 → 6 � 8 → Sense solució

Generalitza la classificació de sistemes d’equacions en funció dels coeficients i els termes independents.

a) Sistema compatible determinat si:

b) Sistema compatible indeterminat si:

c) Sistema incompatible si: a

a

b

b

c

c' ' '= �

a

a

b

b

c

c' ' '= =

a

a

b

b' '�

ax by ca x b y c+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪' ' '

067��

x = 6 − y⎯⎯⎯⎯→

x yx y

x y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −68

6→

x = 6 − y⎯⎯⎯⎯→

x yx y

x y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −62 2 12

6→

y = 5⎯⎯⎯⎯→

x = 6 − y⎯⎯⎯⎯→

x yx y

x y+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −64 1

6→

x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

68

x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

62 2 12

x yx y+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

64 1

066��

ax a x x x a x xax bx c

21 2 1 2

200

+ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ =+ + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

( ) →→

−= +

= ⋅

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

b

ax x

c

ax x

1 2

1 2

ax bx c a x x x x21 20 0+ + = ⋅ ⋅ =→ ( – ) ( – )

065��

SOLUCIONARI

184

A LA VIDA QUOTIDIANA

L’empresa de perfumeria Rich perfum llançarà al mercat una nova colònia que presentarà en flascons de dues mides, de 75 ml i de 100 ml. La colònia s’anomenarà Rodin i els flascons tindran la forma del Pensador.

Quan vengui totes les existències, l’empresa vol obtenir prou diners per poder mantenir el negoci, pagar els treballadors i aconseguir guanys.

Per quant han de vendre cada flascó?

068��


El litre de colòniacosta 6 €.

Els flascons han costat 113.400 €: cada flascó petit, 3,50 €, i cada flascó gran,

4,50 €. A més, hem comprat el triple de flascons petits

que de grans.

Quan ho hàgimvenut tot

ingressarem204.020 €.

Per aconseguir-ho, el preu dels flascons grans serà 2 € més

car que el dels petits.

185

5

Nre. de flascons petits: xNre. de flascons grans: y

Si tenim en compte que han comprat el triple de flascons petits que de gransi el preu de cada flascó, aleshores:

3,5x + 4,5y = 113.400 10,5y + 4,5y = 113.400 →→ 15y = 113.400 → y = 7.560

x = 3y x = 22.680

Han comprat 22.680 flascons petits i 7.560 flascons grans.

La quantitat de colònia que poden envasar és:

22.680 ⋅ 75 + 7.560 ⋅ 100 = 2.457.000 ml = 2.457 litres

El cost de la colònia és:

2.457 ⋅ 6 = 14.742 €

Producció = colònia + envasos

El cost de producció és:

14.742 + 113.400 = 128.142 €

Per aconseguir 204.020 € de beneficis han d’ingressar per vendes:

204.020 + 128.142 = 332.162 €

Cost del flascó petit: zCost del flascó gran: t

22.680z + 7.560t = 332.162 30.240z = 317.042 → z = 10,48

t = z + 2 t = 12,48

Cost del flascó petit: 10,48 €.

Cost del flascó gran: 12,48 €.

z = 10,48⎯⎯⎯⎯→

t = z + 2⎯⎯⎯⎯→

t zz t

= ++ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

222 680 7 560 332 162. . .

y = 7.560⎯⎯⎯⎯→

x = 3y⎯⎯⎯→

x yx y

=+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

33 5 4 5 113 400, , .

SOLUCIONARI

186

Un hospital comprarà ordinadors i impressores per actualitzar els equips.

Cada ordinador costa 699 €, i cada impressora, 139 €. El pressupost per comprar-los oscil·la entre 7.500 i 8.000 €.

Els responsables van al departament financer per presentar la sol·licitud de compra.

Qui penses que té raó?

069��


Aquest pressupostno és viable.

A mi em semblaque sí que ho és.

El rendiment òptim de les impressores

l’obtenim per a un màxim de tres ordinadors

per impressora.

A més, hi ha d’haver com a mínim

una impressora en cadascuna de les vuit

plantes de l’edifici.

187

5

Representem les diferents rectes que resulten quan substituïm les desigualtatsper igualtats, i comprovem els valors que hi ha a la regió solució.

Dels valors que hi ha a la regió solució, l’únic valor que verifica totes les condicions és que hi hagi 9 ordinadors i 9 impressores.

699 ⋅ 9 + 139 ⋅ 9 = 7.542

7.500 ≤ 7.542 ≤ 8.000

En qualsevol altre cas dins de la regió solució, el nombre d’impressores és superior al nombre d’ordinadors, i això suposaria un increment del cost sense augmentar les prestacions.

699 139 7 500699 139 8 000

38

x yx y

yx

y

+ ≥+ ≤

≥

≥

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪.. ⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

SOLUCIONARI

Y

X

7

1

1

(9, 9)

10

sol 4mates 5

Documents