soal prediksi ujian nasional matematika … · 4 | husein tampomas, prediksi ujian nasional...

1 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015

SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL

MATEMATIKA IPA 2015

Paket 4

Pilihlah jawaban yang paling tepat!

1. Diberikan premis-premis berikut!

Premis 1: Jika vektor a dan b saling tegak lurus, maka besar sudut antara vektor a dan b

adalah 90o.

Premis 2: Jika besar sudut antara vektor a dan b adalah 90o , maka perkalian titik (dot product)

vektor a dan b adalah nol.

Ingkaran dari penarikan kesimpulan premis-premis yang sah tersebut adalah …..

A. Jika vektor a dan b saling tegak lurus, maka perkalian titik (dot product) vektor a dan b

adalah nol.

B. Jika vektor a dan b saling tegak lurus, maka perkalian titik (dot product) vektor a dan b

adalah tidak nol.

C. Vektor a dan b saling tegak lurus dan perkalian titik (dot product) vektor a dan b adalah

tidak nol.

D. Vektor a dan b saling tegak lurus atau perkalian titik (dot product) vektor a dan b adalah

tidak nol.

E. Vektor a dan b tidak saling tegak lurus dan perkalian titik (dot product) vektor a dan b

adalah tidak nol.

Solusi:

Ingkaran dari pernyataan “Vektor a dan b saling tegak lurus dan perkalian titik (dot product)

vektor a dan b adalah tidak nol.”. C

p q

q r

p r

(p q) p q

Jika vektor a dan b saling tegak lurus, maka besar sudut antara vektor a dan b adalah 90o.

Jika besar sudut antara vektor a dan b adalah 90o , maka perkalian titik (dot product) vektor a

dan b adalah nol.

Jika vektor a dan b saling tegak lurus, maka perkalian titik (dot product) vektor a dan b

adalah nol.


2. Jika 2

1

2

a dan 3

1

2

b , maka nilai

61

2

2 3b ab a

a a

adalah ….

A. 2 D. 4

B. 2 E. 1

C. 22

Solusi:

61

2

2 3b ab a

a a

6

2

1

3

2

2

aa

abab

6

12

2

111

3

2

b

a

6

6

1

b

a6b

a

6

3

1

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

22

222

2

2

4 [C]

3. Bentuk sederhana dari 10

7

210

5

510

2

adalah ….

A. 10 D. 3

7

B. 103

1 E. 7

C. 103

7

Solusi:

10

7

210

5

510

2

10

7

1010310

251054102

10

7

103

10721

103

2110721

103

107

3

7 [D]

4. Diberikan persamaan5

3

8

1log

64

1log

51228 xx yang akar-akarnya 1x dan 2x . Nilai 21xx adalah ….

A. 28 D. 24

1

B. 24 E. 28

1

C. 2

Solusi:

5

3

8

1log

64

1log

51228 xx


5

3

512log

8

1log

8log

64

1log

8

8

28

8

x

x

5

3

log512log

1

log8log

288288

xx

5

3

log3

1

log21

288

xx

Ambillah xa log8 , sehingga

5

3

3

1

21

2

aa

5

3

253

21262

aa

aa

261592025 aaa

03456 2 aa

Alternatif 1:

6

521 aa

6

5loglog 2

81

8 xx

6

5log 21

8 xx

6

5

21 8

xx 2

5

2

24

1

2

1

2

5 2

8

1

Alternatif 2:

03456 2 aa

02176 aa

6

17a atau 2a

6

17log8 x atau 2log8 x

6

17

8

x atau 28x

2526

1

22

1

2

128

2

1

82

172

17

6

17

x atau 6482 x

28

1

24

164

2526

121 xx

Jadi, nilai 28

121 xx [E]


5. Diberikan garis g: 42 yx dan parabola 22 xy . P adalah titik singgung dari persamaan

garis singgung pada parabola itu yang sejajar dengan garis g. Hasil kali absis dan ordinat titik P

adalah ….

A. 16:3 D. 33:4

B. 31:4 E. 32:1

C. 33:16

Solusi:

Gradien garis g: 42 yx adalah 2

1gm

Ambillah persamaan garis singgungnya adalah nmxy , dengan 2

1 gmm , sehingga

nxy 2

1.

nxy 2

1 22 xy

nxx 2

122

0242 2 nxx

Syarat yang harus dipenuhi agar garis menyinggung parabola adalah 0D , sehingga

0242412

n

016321 n

16

31n

16

31n 0242 2 nxx

016

31242 2 xx

03132816 2 xx

01816 2 xx

0142x

4

1x 22 xy

16

122

4

12

Koordinat titik singgungnya

16

12,

4

1P .

Rasio absis dan ordinat titik P adalah 33:416

12:

4

1 [D]

6. Diberikan persamaan kuadrat 0722 kkxx , Rk , yang akar-akarnya a dan b. Jumlah

pangkat 4 akar-akarnya adalah 17. Jika banyak akar-akarnya p, maka nilai ....2 pk

A. 4 D. 36

B. 9 E. 64


C. 27

Solusi:

0722 kkxx akar-akarnya adalah a dan b.

kba …………. (1)

72 kab …………….. (2)

1744 ba

172 22222 baba

1722222 ababba

17727222222 kkk

1772142222 kk

179828219628 2424 kkkk

0814 k

03392 kkk

92 k atau 3k atau 3k

3k 0722 kkxx

0733 22 xx

0232 xx

012 xx

2x atau 1x

3k 0722 kkxx

073322 xx

0232 xx

012 xx

2x atau 1x

Banyak akar-akarnya 4p

Jadi, nilai 36942 pk [D]

7. Jika dan adalah akar-akar persamaan 0239 2 xx , maka persamaan kuadrat baru yang

akar-akarnya 53 dan 53 adalah ….

A. 01892 xx D. 09182 xx

B. 01892 xx E. 0892 xx

C. 01892 xx

Solusi:

Alternatif 1:

0239 2 xx akar-akarnya adalah dan .

3

1 dan

9

2


Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 53 dan 53 .

Jumlah akar-akarnya:

9103

131035353

Hasil kali akar-akarnya:

251595353 182552253

115

9

29

Persamaan kuadrat yang diminta adalah

021212 xxxxxx

01892 xx [C]

Alternatif 2:

x 53 3

5

x

3

5

x 0239 2 xx

023

53

3

59

2

xx

02525102 xxx

01892 xx [C]

Alternatif 2:

0239 2 xx akar-akarnya adalah dan .

01323 xx

3

2x atau

3

1 x

353

2353

653

1353

Persamaan kuadrat yang diminta adalah

021212 xxxxxx

063632 xx

01899 2 xx [C]

8. Lingkaran L yang berpusat pada garis g: 0443 yx melalui titik 3,2 P . Persamaan garis

singgung di titik P sejajar dengan garis g adalah ….

A. 01643 yx D. 01634 yx

B. 02443 yx E. 01643 yx

C. 01643 yx

Solusi:

Karena titik pusat C terletak pada garis g, maka CP = r, sehingga gPC .


22 43

443

yxr

22 43

43423

r 2

5

10

Gradien garis g: 0443 yx adalah 4

3gm .

Gradien garis PC adalah PCm .

Karena gPC , maka haruslah 1 PCg mm , sehingga

14

3 PCm

3

4PCm

Persamaan garis PC adalah

axmby PC

23

43 xy

323

4 xy

Menentukan koordinat titik C:

323

4 xy 0443 yx

04323

443

xx

0123632169 xx

8025 x

5

16x

5

16x 32

3

4 xy 32

5

16

3

4

3

5

6

3

4

5

73

5

8

Koordinat titik

5

7,

5

16C .

Persamaan lingkarannya adalah

425

7

5

16 2

22

yx

Persamaan garis singgungnya:

12 mraxmby

14

32

5

16

4

3

5

72

xy

C

P(2,3)

0443: yxg r


2

52

5

16

4

3

5

7

xy

10048152820 xy

100202015 yx

100202015 yx dan 100202015 yx

02443 yx dan 01643 yx

Jadi, salah satu garis singgungnya adalah 01643 yx D

9. Jika fungsi f didefinisikan sebagai 2 xxf . Jika 3252o 2 xxxgf , maka

....2 g

A. 12 D. 5

B. 8 E. 4

C. 6

Solusi:

3252 2 xxxfog

3252 2 xxxgf

32252 2 xxxg

1252 2 xxxg

Ambillah tx 42 22

tx

122

222

2

tttg

122

222

2

xxxg

4169122

222

2

22

2

g [E]

10. Sebuah fungsi didefinisikan sebagai 2

1

x

xxf , 2x dan 1f adalah invers dari fungsi f.

Jika kfff 132o , maka ....1 kf

A. 3

2 D.

3

2

B. 3

1 E.

3

4

C. 3

1

Solusi:

Ambillah 1 xt 1 tx

2

1

x

xxf


21

1

t

ttf

1

1

t

t

1

1

x

xxf

Menentukan invers fungsi f:

Alternatif 1:

1

1

y

yx

1 yxxy

11 xxy

1

1

x

xy , 1x

1

11

x

xxf , 1x

kfff 132o

kfff 132

1

13

12

12

k

kf

1

133

k

kf

1

13

13

13

k

k

3322 kk

5k

3

2

15

15511

fkf [B]

11. Suku banyak berderajat tiga baxxxxP 23 dibagi dengan 152 xx mempunyai sisa

116 x . Nilai ba adalah ….

A. 4 D. 7

B. 5 E. 8

C. 6

Solusi:

11615223 xcxxxbaxxx

11655 223 xcxcxxcxx

11555 23 cxcxcx

15 c

4c

155 ca

1545 a

5a

Alternatif 2:

dcx

baxxf

acx

bdxxf

1

1

1

x

xxf

1

11

x

xxf , 1x


1 cb 314

Jadi, nilai 835 ba [E]

12. Diberikan sebuah segitiga yang panjang sisi-sisinya adalah 13 cm, 14 cm, dan 15 cm. Dengan

menggunakan titik-titik sudutnya sebagai pusat dibuat lingkaran, sehingga lingkaran-lingkaran itu

saling bersinggungan. Rasio jari-jari lingkaran yang terkecil dan terbesar adalah ….

A. 4:3 B. 7:3 C. 8:7 D. 7:6 E. 3:2

Solusi:

1521 rr ……….. (1)

1431 rr ………... (2)

1332 rr ………… (3)

Jumlah persamaan (1), (2), dan (3) menghasilkan:

1314152 321 rrr

21321 rrr ……………. (4)

Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh:

2115 3 r

63 r


2114 2 r

72 r


2113 1 r

81 r

Jadi, rasio jari-jari lingkaran yang terkecil dan terbesar adalah 6 : 8 = 3 : 4. [A]

13. Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang yang harus diproses melalui bagian perakitan dan

bagian finishing (penyempurnaan). Bagian perakitan menyediakan waktu 90 jam dan bagian

finishing menyediakan waktu 72 jam. Pembuatan barang jenis I memerlukan waktu 6 jam pada

bagian perakitan dan 3 jam pada bagian finishing. Sedangkan pembuatan barang jenis II

memerlukan waktu 3 jam pada bagian perakitan dan 6 jam pada bagian finishing. Jika laba yang

diberikan barang jenis I dan II berturut-turut Rp 80.000,00 dan Rp 60.000,00. Pendapatan

maksimum yang diperoleh pabrik tersebut adalah ….

A. Rp 1.000.000,00 D. Rp 1.320.000,00

B. Rp 1.020.000,00 E. Rp 1.500.000,00

C. Rp 1.300.000,00

Solusi:

Ambillah barang jenis I dan II masing-masing adalah x dan y.

0

0

7263

9036

y

x

yx

yx

yxyxf 000.60000.80,

r1

r1

r2

r2 r3 r3

A

B

C

X

Y

O

30

24

12

15

6x + 3y = 90

3x + 6y = 72


9036 yx ……… (1)

7263 yx ……… (2)

Persamaan (1) – 2 Persamaan (2) menghasilkan:

549 y

6y

6y 9036 yx

90636 x

12x

Koordinat titik potongnya adalah (12,6).

Titik yxyxf 000.60000.80,

(0,0) 00000.600000.80

(15,0) 000.200.10000.6015000.80

(12,6) 000.320.16000.6012000.80 (maksimum)

(0,12) 000.72012000.600000.80

Jadi, Pendapatan maksimum yang diperoleh pabrik tersebut adalah Rp 1.320.000,00. [D]

14. Diberikan matriks

ca

b

36

20

10

21

0

7

02

10. Nilai .... cba

A. 5 D. 1

B. 3 E. 3

C. 1

Solusi:

ca

b

36

20

10

21

0

7

02

10

136

01

0

7

02

10

ca

b

130

61

02

10

07

1

c

ab

136

01

02

10

2

1

0

7

ca

b

02

136

2

1

0

7 c

a

b

012

133

0

7 c

a

b

1a

3b


72

13

c

5c

Jadi, nilai 3531 cba . [A]

15. Sebuah segitiga ABC dalam ruang dengan koordinat-koordinat titik 2,5,4A , 3,7,1B , dan

5,4,2C . Besar BAC adalah ….

A. 30 D. 90

B. 45 E. 120

C. 60

Solusi:

1

2

3

23

57

41

AB dan

3

1

2

25

54

42

AC

Rumus: ba

ba cos

222222312123

3

1

2

1

2

3

cos

BAC914149

326

1414

7

14

7

2

1

60BAC

Jadi, besar BAC adalah 60 [C]

16. Diberikan vektor-vektor kjia 2 dan kib . Panjang proyeksi vektor vu pada

vu 1510 adalah ….

A. 65 D. 52

1

B. 62 E. 152

1

C. 62

1

Solusi:

3

1

2

1

0

1

2

1

1

vu

5

10

5

1

0

1

15

2

1

1

101510 vu

Rumus: Panjang proyeksi vektor a pada b adalah b

bac

A

C

B


2225105

5

10

5

3

1

2

c2510025

151010

150

15 6

2

1

65

15

Jadi, panjang proyeksi vektor vu pada vu 1510 adalah 62

1. [C]

17. Peta kurva 05312 yx jika dirotasi terhadap pusat O sebesar 90o searah putaran jarum jam

dilanjutkan dengan reflesi terhadap garis xy adalah ….

A. 05312 yx D. 05123 yx

B. 05312 yx E. 05123 yx

C. 05312 yx

Solusi:

Alternatif 1:

y

x

y

x

01

10

01

10

'

'

y

x

10

01

'

'

10

01

0011

1

y

x

y

x

'

'

y

x

'

'

y

x

'xx dan 'yy

Alternatif 2:

y

x

y

x

01

10

01

10

'

'

y

x

10

01

y

x

xx ' dan yy ' yy '

05312 yx

05'3'12 yx

05312 yx

Jadi, peta kurva tersebut adalah 05312 yx . [C]

18. Diberikan fungsi logaritma bax

xf

1

log yang ditunjukkan pada gambar berikut ini. Jika

xf 1 adalah invers dari fungsi logaritma f , maka ....11 xf

A. 210 x

B. 210 x

C. 210 x

D. 210 x

E. 210 x

Solusi:

bax

xf

1

log baxxf log

)0,3( baxxf log

O X

Y

xfy

2

(3,0)

(12,1)


ba 3log0 …….….. (1)

)1,12( baxxf log

ba 12log0 …...... (2)

Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan:

aa 12log3log1

a

a

3

12log1

103

12

a

a

aa 103012

189 a

2a

2a ba 3log0

b 23log0

b 1log0

b 00

0b

Persamaan fungsi logaritma adalah 2log xxf

2log xxf

2log yx

2log yx

210 yx

210 xy

Jadi, fungsi inversnya adalah 2101 xxf [A]

19. Diberikan deret aritmetika naik. Jumlah 8 suku pertama adalah 164 dan jumlah 6 suku berikutnya

adalah 333. Jumlah 10 suku pertama deret aritmetika tersebut adalah….

A. 270 D. 255

B. 265 E. 250

C. 260

Solusi:

bnan

Sn 122

1641822

88 baS

164724 ba

4172 ba …………… (1)

Jumlah 8 suku pertama adalah 164 dan jumlah 6 suku berikutnya adalah 333 berarti jumlah 14

suku pertamanya adalah 164 + 333 = 497

49711422

1414 baS


4971327 ba

71132 ba …………… (2)

Selisih persamaan (2) dan (1) adalah

306 b

5b

5b 4172 ba

41572 a

62 a

3a

2555110322

1010 S

Jadi, jumlah 10 suku pertama deret aritmetika tersebut adalah 255. [D]

20. Di antara 1 dan 5 disisipkan k buah bilangan, sehingga terjadi sebuah deret aritmetika. 1u , 3u , dan

7u membentuk sebuah deret geometri. Jumlah k suku pertama deret geometri adalah ….

A. 256 D. 127

B. 144 E. 107

C. 128

Solusi:

Beda lama = b = 5 – 1 = 4

Beda baru = 'b

Banyak suku yang disisipkan = k

1

'

k

bb

1

4

k

Deret geometri: 1u + 3u + 7u

3

7

1

3

u

u

u

u

'2

'6'2

1

1

1

1

bu

bu

u

bu

'21

'61

1

'21

b

bb

'61'4'412

bbb

01'2'42

bb

01'2 b

2

1'b

2

1'b

1

4'

kb

1

4

2

1

k

81k


7k

1

1

1

3 '2

u

bu

u

ur

2

1

2

121

1

1

r

raS

n

n

12712

121 7

7

S

Jadi, jumlah deret geoemtri tersebut adalah 127. [D]

21. Diberikan limas segitiga beraturan (tetrahedron beraturan atau bidang empat beraturan) OABC

yang panjang semua rusuknya masing-masing adalah 10 cm. Tetrahedron ini dipotong oleh bidang

PQR sedemikian sehingga OP = 5 cm pada sisi OA; OQ = 8 cm pada sisi OB; dan OR = 8 cm.

Besar sudut antara bidang PQR dan bidang OBC adalah . Jika cb

asin , dengan a, b, c adalah

bilangan asli dan bilangan c dalam bentuk sederhana (tidak dapat ditarik akarnya lagi), maka nilai

.... cba

A. 72 D. 50

B. 60 E. 45

C. 55

Solusi:

Dari gambar (3): 10

8

OB

OQ

OM

ON

3532

11060sin10 OM cm

Sehingga 343510

8ON cm

Karena tetrahedron beraturan, maka 35OMAM cm

OAM adalah sama kaki dan P adalah titik tengah OA.

Sehingga 90OPM dan 3

1

35

5cos

OM

OPPOM

Menurut aturan Kosinus dalam PON:

A

B

C

O

P

N

P

10

5

5

5

5

8

8

2

2

Q

R

10

O

A M

P

5

5

34

35

N

O

B C

N

8

2

34

M

R 2

Q

8

(1) (2) (3)


PONONOPONOPPN cos2222

3

13452345

222 PN 33404825

POMPON 2cos1sin

2

3

11

3

11

3

2

Menurut aturan Sinus dalam PON:

PON

PN

PNO

OP

sinsin

PN

PONOP

sinsin

99

25

33

3

25

113

25 22

33

5

Sehingga 5a , 33b , dan 22c

Jadi, nilai 6022335 cba . [C]

22. Dari prisma segitiga beraturan ABC.PQR , dengan AB = 4 cm dan AP = 5 cm. Jika jarak titik P ke

bidang AQR hasilnya dinyatakan dalam bentuk cb

a, dengan a, b, c adalah bilangan asli dan

bilangan c dalam bentuk sederhana (tidak dapat ditarik akarnya lagi), maka nilai .... cba

A. 158 D. 48

B. 150 E. 47

C. 111

Solusi:

22 BQABAQ 4154 22 cm

41 AQAR cm

Menurut aturan Kosinus dalam AQR:

ARAQ

QRARAQQAR

2cos

222 41412

44141 222

41

33

412

164141

QARQAR 2cos1sin

2

41

331

2

22

41

3341 37

41

4

Luas BCD QARARAQANQR sin2

1

2

1

374

3741

44141

sin

QR

QARARAQAN cm

3232

1460sin4 PN cm

Luas BCD PMANPNAP 2

1

2

1

B

A C

Q

P R

M

4

5

N


37

325

AN

PNAPPM 111

37

10

Jadi, nilai 1581113710 cba . [A]

23. Jika keliling segi-8 beraturan adalah 32 cm, maka rasio luas segi-8 beraturan tersebut dan luas

lingkaran luarnya ….

A. 2π:2 D. π:2

B. π2:2 E. π:22

C. π:2

Solusi:

Keliling segi-8 beraturan = 32 cm

328 p

48

32p cm

Panjang sisi segi-8 adalah 4 cm.

Sudut pusat segi-8 beraturan

458

360

Menurut aturan Kosinus:

45cos24 222 RRRR

22

12216 22 RR

2216 2 R

22

162

R

22

22

22

16

228

Luas lingkaran luar segi-8 beraturan 2πR 22π8 cm2.

Luas segi-n beraturan n

Rn

360

sin2

1 2

Luas segi-8 beraturan 8

360sin

2

18 2

R

Luas segi-8 beraturan 45sin2284 22

12232 22216 1232 cm

2

Jadi, rasio luas segi-8 beraturan tersebut dan luas lingkaran luarnya

22π8

1232

22

22

22π8

1232

24π8

2222232

π

22 atau π:22 E

24. Diberikan prisma segitiga tegak beraturan CMN.PRQ. Segitiga CMN sama sisi terletak pada

persegi ABCD yang panjang sisinya 26 dm, dengan M terletak pada AB dan N pada AD.

Titik T terletak pada titik berat segitiga PQR, sehingga TC = 4 dm. Volume limas T.CMN adalah

….

A. 23

16liter D. 3

3

16liter

R R

4

45o


B. 28 liter E. 33

16 liter

C. 216 liter

Solusi:

Panjang sisi persegi ABCD = 26 dm.

Ambillah xDMBN , maka xANAM 26 .

Menurut Pythagoras:

22 26 xCNCM 3482 x

226262622

xxxMN

Karena CMN adalah sama sisi, maka MNCNCM .

2263482 xx

2464382412348 22 xxxx

034824642 xx

2

316323641282464 x

2

348962464

2

33642464

6

2

12

2

322262 6232262

6232262 x 2563 (ditolak) atau

6232262 x 26 (diterima)

348262

CNCMMN 348348 416 dm

Lihat CMK siku-siku di K:

32

1460sin' CMCK 32 dm

Lihat MTK ' siku-siku di K:

22

4'' NKMK dm

A B

T

4

M

C D

K

N

1 T

P

K

Q

R

A B

C D

N

M x

x

x 26

x 26

26

26


22 '' MKTMTK 321241624 22 dm

Lihat CTK ' :

TCCK

TKTCCKTCK

'2

'''cos

222 4322

32432222

4322

42

3

1

'cos1'sin 2 TCKTCK

2

3

11

3

11

3

2 6

3

1

Luas 'TCK 'sin'2

1TCKTKTC ''

2

1TTCK

CK

TCKTKTCTT

'

'sin''

32

63

1324

63

4 dm

60sin442

1sin

2

1Luas MCNCNCMCMN 343

2

144

2

1 dm

2.

Jadi, volume limas T.CMN 'Luas3

1TTCMN 6

3

434

3

1 2

3

16 liter A

25. Kosinus dari jumlah semua penyelesaian persamaan xxxx cottan3cossin4 , dengan

3600 x adalah ….

A. 1 D. 0

B. 32

1 E. 1

C. 2

1

Solusi:

xxxx cottan3cossin4

x

x

x

xxx

sin

cos

cos

sin3cossin4

xx

xxxx

cossin

cossin3cossin4

22

1cossin3cossin42

xxxx

012sin2

132sin

2

14

2

xx

012sin2

32sin 2 xx

022sin32sin2 2 xx

022sin12sin2 xx

2

12sin x (diterima) atau 22sin x (ditolak)

30sin2

12sin x


360302 kx atau 360301802 kx , dengan Bk

18015 kx atau 18075 kx , dengan Bk

0k 51x atau 57x

1k 95118015x atau 25518075x

Jadi, 1180cos360180cos540cos2551957515cos [A]

26. Dalam ABC dengan aBC , bAC , dan cAB diketahui 120ACB dan

2:13: ba . Nilai dari ....sinsincoscossincoscossin22 BABABABA

A. 0 D. 2

3

B. 4

1 E.

2

5

C. 2

1

Solusi:

2:13: ba

ka 13 dan kb 2

Menurut aturan Kosinus dalam ABC :

Cabbac cos2222

120cos2222 abbac

abbac 222

kkkkc 213213222

2222222 2324323 kkkkkkc

22 6kc

6kc

Menurut aturan Sinus dalam ABC :

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

C

c

B

b

sinsin

120sin

6

sin

2 k

B

k

6

120sin2sin

k

kB

2

2

1

2

1

6

32

12

sin

k

k

B

45B

Alternatif 1: Menentukan besar sudut A

CBA 180 1512045180

Alternatif 2: Menentukan besar sudut A

C B

A

120o

a

b

c


C

c

A

a

sinsin

120sin

6

sin

13 k

A

k

6

120sin13sin

k

kA

6

32

113

k

k

22

13 26

4

1

15A

Jadi, BABABABABABA 2222cossinsinsincoscossincoscossin

4515cos4515sin 22 60cos30sin 22

22

2

1

2

1

2

1 . [C]

27. Jika 1tan dan 7

1tan , maka tan:tan adalah ….

A. 10:13 D. 5:6

B. 5:3 E. 10:3

C. 13:5

Solusi:

tantan1

tantantan

7

111

7

11

2tan

17

17

6

8

3

4

3

4

tan1

tan22

2tan22tan3

02tan3tan2 2

02tan1tan2

2

1tan atau 2tan

7

1tan

7

1

tantan1

tantan

tantan1tan7tan7

tan71tan7tantan

7tan

tan71tan


2

1tan

7tan

tan71tan

72

1

2

171

141

72

13

5

2tan 7tan

tan71tan

72

271

9

15

3

5

Karena 0tan dan 0tan , maka 2

1tan dan

13

5tan .

Jadi, 10:1313

5:

2

1tan:tan . [A]

28. Nilai

8

24

42

1

2

2lim

322 xxxxxadalah ….

A. 4

11 D.

12

11

B. 12

1 E.

4

11

C. 12

11

Solusi:

Alternatif 1: Uraian

8

24

42

1

2

2lim

322 xxxxx

8

24

8

2842lim

33

2

2 xx

xxx

x

8

24

8

1032lim

33

2

2 xx

xx

x 8

241032lim

3

2

2

x

xx

x

8

1432lim

3

2

2

x

xx

x

422

722lim

22

xxx

xx

x

42

72lim

22

xx

x

x

4222

7222

12

11 [C]

Alternatif 2: Teorema Hospital

8

24

42

1

2

2lim

322 xxxxx

8

24

8

2842lim

33

2

2 xx

xxx

x

8

24

8

1032lim

33

2

2 xx

xx

x 8

241032lim

3

2

2

x

xx

x

22 3

34lim

x

x

x

223

324

12

11 [C]

29. Nilai ....cossinsin

coslim

2

2

π3

xxx

x

x

A. 2 D. 2


B. 1 E. 4

C. 1

Solusi:

xxx

x

x cossinsin

coslim

2

2

π3 xxx

xxx

xxx

x

x cossinsin

cossinsin

cossinsin

coslim

2

2

2

2

π3

xxx

xxxx

x cossinsin

cossinsincos

lim22

2

2

π3

x

xxxx

x cos

cossinsincos

lim

2

2

π3

xxxx

cossinsinlim 2

2

π3 2

π3cos

2

π3sin

2

π3sin 2

0112 211 D

30. Diberikan kurva fungsi bxaxxf 3 , dengan a dan b adalah konstanta mempunyai nilai

stasioner 2,1 . Batas-batas fungsi f naik adalah ….

A. 11 x D. 31 x

B. 1x atau 1x E. 3x atau 3x

C. 13 x

Solusi:

2,1 bxaxxf 3

1123

ba

2 ba ……………. (1)

baxxf 23'

Nilai stasioner dicapai jika 0' xf , sehingga

03 2 bax

1x 03 2 bax

0132

ba

03 ba …..…….. (2)

Selisih persamaan (2) dan (1) menghasilkan:

22 a

1a

1a 2 ba

21 b

3b

Fungsi f adalah xxxf 33

33' 2 xxf


Fungsi f naik dicapai jika 0' xf , sehingga

033 2 x

012 x

011 xx

11 x

Jadi, batas-batas fungsi f naik adalah 11 x . [A]

31. Sebuah kotak dari logam tanpa tutup mempunyai volume 288 liter. Jika panjang alas kotak dua kali

lebarnya, maka luas permukaan kotak minimum adalah ….

A. 106 dm2 D. 216 dm

2

B. 108 dm2 E. 256 dm

2

C. 118 dm2

Solusi:

Volume kotak = 288

2882 hxx

2

144

xh

Luas permukaan kotak:

hxhxxxL 2222

xhxL 62 2

2

2 14462

xxxL

x

xL864

2 2

2

8644'

xxL

3

17284"

xL

Nilai stasioner (titik kritis) dicapai jika 0'L , sehingga

0864

42

xx

02163 x

3 216x 16

Jika 6x , maka 0126

17284"

3L , sehingga fungsi L mencapai nilai minimum pada 6x .

2166

86462

2

min L

Jadi, luas permukaan kotak minimum adalah 216 dm2. [D]

32. Jika xdxdxx

a

2

1sin21313

1

π

2

π , maka nilai a adalah ….

A. 9 D. 4

2x x

h


B. 8 E. 2

C. 6

Solusi:

xdxdxx

a

2

1sin21313

1

π

2

π

xdxxdx

a

2

1sin2131313

1

π

2

π

π

2

π1

2

3

2

1cos22613

9

2

xx

a

4

πcos226

2

πcos226

9

1613

9

22

3

a

22

12260

9

1613

9

22

3

a

269

1613

9

22

3

a

117813 2

3

a

12513 2

3

a

3

2

12513 a

2513 a

243 a

8a

Jadi, nilai a adalah 8. [D]

33. Hasil dari

....1

22

2

dx

x

xx

A. Cx

xx

1

2 D. Cx

x

1

2

B. Cx

xx

1 E. C

x

x

1

1

C. Cx

xx

1

2

Solusi:

dx

x

xx

2

2

1

2

dx

x

xx

2

2

1

112

2

11

1dx

x

C

xx

1

1

Cx

xx

1

12

Cx

x

1

1

2

Cx

x

1

2

[D]


34. Hasil dari xdxx 2sin adalah ….

A. xxxx 2cos2sin22 2 D. Cxxxx 2cos2sin224

1 2

B. Cxxx 4sin28

1 2 E. Cxxxx 2cos2sin228

1 2

C. Cxxxx 2cos2sin8

1 2

Solusi:

Ambillah xu dxdu

xdxdv 2sin dxx

2

2cos1 xxv 2sin

4

1

2

1

xdxx 2sin dxxxxxx

2sin

4

1

2

12sin

4

1

2

1

Cxxxxx 2cos8

1

4

12sin

4

1

2

1 22

Cxxxx 2cos8

12sin

4

1

4

1 2

Cxxxx 2cos2sin228

1 2

35. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva fungsi 52 23 xxy dan 3 xy adalah ….

A. 5 D. 12

13

B. 12

73 E.

24

13

C. 3

13

Solusi:

Batas-batas integral:

52 23 xxy dan 3 xy

352 23 xxx

022 23 xxx

021 2 xxx

0211 xxx

1x atau 1x atau 2x

Rumus: b

a

dxxfL

Luas daerah yang diarsir adalah

2

1

23

1

1

23 523352 dxxxxdxxxxL

1 1 2 1 2

1 1 2

1 1 2 0

O X

Y

1 2 3

5

3

52 23 xxy

3 xy

1


2

1

23

1

1

23 2222 dxxxxdxxxx

2

1

2341

1

234

223

2

42

23

2

4

xxxx

xxxx

2

2

1

3

2

4

14

2

4

3

16

4

162

2

1

3

2

4

12

2

1

3

2

4

1

12

24683

12

48246448

12

24683

12

24683

12

13

12

8

12

19

12

13

12

1381913

12

13

12

37 [D]

36. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 22 xxy , garis

42 xy , dan sumbu Y yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah ….

A. π5

48 C. π

5

18 E. π8

B. π5

38 D. π4

Solusi:

Batas-batas integral:

Kurva 22 xxy dan garis 42 xy

2242 xxx

0442 xx

022x

2x

2 2π

b

a

V f x g x dx , xgxf

2

22 2

0

π 2 4 2V x x x dx dxxxxxx

2

0

4322 4416164π

dxxxx

2

0

4341616π

25

2 4

0

π 8 165

xx x x

32π 32 32 16

5

48π

5 [A]

37. Data yang disajikan pada tabel berikut adalah berat badan 60 orang siswa .

Jika modus pada tabel tersebut adalah 49,5 maka nilai b adalah ….

O X

Y

22 xxy

42 xy

2

Berat Badan (kg) Frekuensi

36 39 a

40 45 12

46 51 b

52 57 16

58 61 5


A. 12 D. 6

B. 8 E. 5

C. 7

Solusi:

6051612 ba

27 ba

pdd

dLMo

21

1

dengan: Mo = modus

L = tepi bawah kelas modus ( yang memiliki frekuensi tertinggi)

p = panjang kelas atau interval kelas

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Nilai modus pada tabel tersebut adalah 49,5 menunjukkan bahwa kelas modus terletak pada

interval kelas 46 51 dengan frekuensi b.

Mo = 49,5; L = 45,5; p = 6; 121 bd ; dan 162 bd

61612

125,455,49

bb

b

282

7264

b

b

7261128 bb

402 b

202:40 b

20b 27 ba

2720 a

7a

Jadi, nilai a dalah 7. [C]

38. Banyaknya bilangan 4 angka yang semua angkanya genap dan bukan merupakan kelipatan 2003

adalah ….

A. 499 D. 625

B. 500 E. Tidak satupun di antaranya

C. 624

Solusi:

Bilangan genap terdiri dari angka-angka 0, 2, 4, 6, dan 8.

Banyak bilangan 4 angka yang semua angkanya genap = 5005554

Bilangan kelipatan 2003 yang terdiri dari 4 angka adalah 2003, 4006, 6009,8012. Di sini terlihat,

bahwa bilangan yang semua angkanya merupakan bilangan genap adalah hanya 4006.

Jadi, banyaknya bilangan 4 angka yang semua angkanya genap dan bukan merupakan kelipatan

2003 adalah 500 – 1 = 499. [A]

39. Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda Internasional terdiri dari 5 orang. Ada 7 orang pria

dan 5 orang wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan

4 5 5 5


bahwa paling sedikit seorang anggota itu harus wanita, maka banyaknya cara memilih anggota

delegasi adalah ….

A. 871 D. 717

B. 821 E. 177

C. 771

Solusi:

Ada 7 orang pria dan 5 orang wanita.

Delegasi beranggotakan 5 orang, dengan paling sedikit ada 1 orang wanita.

Kemungkinannya adalah (4P, 1W), (3P, 2W), (2P, 3W), (1P, 4W), (0P, 5W)

Jadi, banyaknya cara memilih anggota delegasi tersebut adalah

55074517352725371547 CCCCCCCCCC

!0!5

!5

!7!0

!7

!1!4

!5

!6!1

!7

!2!3

!5

!5!2

!7

!3!2

!5

!4!3

!7

!4!1

!5

!3!4

!7

7 6 5 4! 5 4! 7 6 5 4! 5 4 3! 7 6 5! 5 4 3! 7 6! 5 4! 7! 5!

4! 3 2 1 1 4! 3 2 1 4! 2 1 3! 2 1 5! 3! 2 1 1 6! 4! 1 1 7! 5! 1

115710211035535

135210350175

771 [C]

40. Dari antara 9 buah kartu bernomor 1 sampai 9 diambil 2 kartu secara acak. Peluang terambilnya

dua kartu yang jumlah nomornya 9 adalah ….

A. 72

1 D.

9

1

B. 36

1 E.

4

1

C. 18

1

Solusi:

Banyak pasangan kartu yang jumlah nomornya 9 ada 4 buah, yaitu (1,8); (2,7); (3,6); (4,5).

peluang terambil 2 kartu yang jumlah nomornya 9

!7!2

!9

44

29

C

!712

!789

4

9

1

36

4 [D]

soal prediksi ujian nasional matematika … · 4 | husein tampomas, prediksi ujian nasional...

Documents