UJIAN AKHIR SEMESTER

Mata Kuliah : Kalkulus II

Kelas : A

Sifat : Buku Tertutup

1. Diberikan 𝑥1 𝑦 = 𝑦𝑦 𝑦 dan 𝑥2 𝑦 = 𝑦 𝑦𝑦 ,𝑦 > 0 bukan merupakan fungsi yang sama.

Tentukan 𝐷𝑦 𝑥1 𝑦 dan 𝐷𝑦 𝑥2 𝑦 .

2. Tinjaulah 𝑥 𝑦 =𝑎𝑦−1

𝑎𝑦+1 dengan 𝑎 > 0,𝑎 ≠ 1. Tentukan 𝑥−1 𝑦 dan 𝐷𝑦 𝑥

−1 𝑦 .

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 =𝑥3−8𝑥2−1

𝑥+3 (𝑥2−4𝑥+5),𝑦 = 0, 𝑥 = 9 dan

𝑥 = 10. Catatan: 𝑑𝑢

𝑎2+𝑢2 =1

𝑎tan−1 𝑢 + 𝐶,𝑎 ≠ 0.

4. Tunjukkan bahwa csch𝑢 𝑑𝑢 = ln | tanh𝑢

2| + 𝐶.

.:: Selamat Mengerjakan ::.

Jawab.

1. 𝑥1 𝑦 = 𝑦𝑦 𝑦 = 𝑦𝑦2

= 𝑒𝑦2 ln 𝑦 sehingga

𝐷𝑦 𝑥1 𝑦 = 𝑒𝑦2 ln 𝑦

𝑑

𝑑𝑦 𝑦2 ln𝑦 = 𝑒𝑦

2 ln 𝑦 2𝑦 ln 𝑦 +1

𝑦𝑦2 = 𝑦𝑦

2 2𝑦 ln 𝑦 + 𝑦 .

𝑥2 𝑦 = 𝑦 𝑦𝑦 = 𝑒𝑦

𝑦 ln 𝑦 sehingga

𝐷𝑦 𝑥2 𝑦 = 𝑒𝑦𝑦 ln 𝑦

𝑑

𝑑𝑦 𝑦𝑦 ln 𝑦 = 𝑒𝑦

𝑦 ln 𝑦 𝑑 𝑦𝑦

𝑑𝑦ln 𝑦 +

1

𝑦𝑦𝑦 .

Perhatikan bahwa

𝑑 𝑦𝑦

𝑑𝑦=𝑑 𝑒𝑦 ln 𝑦

𝑑𝑦= 𝑒𝑦 ln 𝑦

𝑑 𝑦 ln 𝑦

𝑑𝑦 = 𝑒𝑦 ln 𝑦 1 ln 𝑦 +

1

𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ln𝑦 + 1 .

Jadi 𝐷𝑦 𝑥2 𝑦 = 𝑒𝑦𝑦 ln 𝑦 𝑦𝑦 ln𝑦 + 1 ln 𝑦 +

1

𝑦𝑦𝑦 = 𝑦 𝑦

𝑦 𝑦𝑦 ln𝑦 + 1 ln 𝑦 +1

𝑦

= 𝑦 𝑦𝑦+𝑦 ln𝑦 2 + ln𝑦 +

1

𝑦 .

2. Misalkan 𝑥 𝑦 = 𝑔, sehingga 𝑔 =𝑎𝑦−1

𝑎𝑦+1.

Diperhatikan bahwa

𝑔 𝑎𝑦 + 1 = 𝑎𝑦 − 1 → 𝑔𝑎𝑦 + 𝑔 = 𝑎𝑦 − 1 → 𝑔𝑎𝑦 − 𝑎𝑦 = −𝑔 − 1

𝑎𝑦 𝑔 − 1 = −𝑔 − 1 → 𝑎𝑦 =−𝑔 − 1

𝑔 − 1 =𝑔 + 1

1 − 𝑔→ ln 𝑎𝑦 = ln

𝑔 + 1

1 − 𝑔

𝑦 ln 𝑎 = ln 𝑔 + 1

1 − 𝑔 → 𝑦 =

1

ln𝑎 ln

𝑔 + 1

1 − 𝑔 .

𝑥−1 𝑔 =1

ln𝑎 ln

𝑔 + 1

1 − 𝑔 → 𝑥−1 𝑦 =

1

ln 𝑎 ln

1 + 𝑦

1 − 𝑦 .

𝐷𝑦 𝑥−1 𝑦 =

1

ln 𝑎

1

1+𝑦

1−𝑦

1 1 − 𝑦 − −1 1 + 𝑦

1 − 𝑦 2

=1

1+𝑦

1−𝑦 ln 𝑎

1 − 𝑦 + 1 + 𝑦

1 − 𝑦 2 =

1

ln 𝑎

1+𝑦

1−𝑦

2

1 − 𝑦 2 .

3. Perhatikan bahwa

𝑥3 − 8𝑥2 − 1

𝑥 + 3 (𝑥2 − 4𝑥 + 5)= 1 +

−7𝑥2 + 7𝑥 − 16

𝑥 + 3 (𝑥2 − 4𝑥 + 5).

−7𝑥2 + 7𝑥 − 16

𝑥 + 3 (𝑥2 − 4𝑥 + 5)=

𝐴

𝑥 + 3 +

𝐵𝑥 + 𝐶

(𝑥2 − 4𝑥 + 5)

Untuk menentukan konstanta A, B dan C, kedua ruas dikalikan 𝑥 + 3 (𝑥2 − 4𝑥 + 5)

diperoleh

−7𝑥2 + 7𝑥 − 16 = 𝐴 𝑥2 − 4𝑥 + 5 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑥 + 3 .

Subsitusikan 𝑥 = −3, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 diperoleh

−63 − 21 − 16 = 26𝐴 → 𝐴 = −100

26= −

50

13.

−16 = −50

13 5 + 3𝐶 → 3𝐶 =

250

13− 16 =

42

13→ 𝐶 =

14

13.

−16 = 2 −50

13 + 4 𝐵 +

14

13 → 4 𝐵 +

14

13 =

100

13− 16 = −

108

13

→ 𝐵 = −27

13−

14

13= −

41

13.

Hal ini berakibat

−7𝑥2 + 7𝑥 − 16

𝑥 + 3 (𝑥2 − 4𝑥 + 5)= −

50

13

1

𝑥 + 3 +

−41

13𝑥 +

14

13

(𝑥2 − 4𝑥 + 5).

Lebih lanjut,

𝑥3 − 8𝑥2 − 1

𝑥 + 3 (𝑥2 − 4𝑥 + 5)𝑑𝑥

10

9

= 1 −50

13

1

𝑥 + 3 +

−41

13𝑥 +

14

13

(𝑥2 − 4𝑥 + 5)𝑑𝑥

10

9

= 1𝑑𝑥10

9

−50

13

1

𝑥 + 3 𝑑𝑥

10

9

−68

13

1

𝑥 − 2 2 + 1

10

9

𝑑𝑥

−41

26

2𝑥 − 4

(𝑥2 − 4𝑥 + 5)

10

9

𝑑𝑥

= 𝑥 −50

13ln 𝑥 + 3 −

68

13tan−1 𝑥 − 2 −

41

26ln 𝑥2 − 4𝑥 + 5 |9

10 .

4. Untuk menunjukkan csch𝑢 𝑑𝑢 = ln | tanh𝑢

2| + 𝐶 ekuivalen dengan menunjukkan

𝑑 ln | tanh𝑢

2|

𝑑𝑢= csch𝑢.

Diketahui 𝑑 ln | tanh

𝑢

2|

𝑑𝑢=

1

2

1

tanh 𝑢

2

sech2 𝑢

2 =

1

2

cosh 𝑢

2

sinh 𝑢

2

1

cosh 𝑢

2

1

cosh 𝑢

2

=1

2

1

sinh 𝑢

2 cosh

𝑢

2

=1

2

1

𝑒𝑢2−𝑒

−𝑢2

2

𝑒𝑢2 +𝑒

−𝑢2

2

=1

2

1

𝑒𝑢+𝑒−𝑢

4

=2

𝑒𝑢 + 𝑒−𝑢=

1

𝑒𝑢+𝑒−𝑢

2

=1

sinh𝑢= csch𝑢.