sÍntesis de filtros activos. biquadstivamente el comportamiento del filtro. 10.2 sensibilidad de...

© F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

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TEMA 10

SÍNTESIS DE FILTROS ACTIVOS. BIQUADS

10.1 Introducción

Las funciones de transferencia bicuadráticas de la forma,

(10.1)

juegan un papel fundamental en el diseño de filtros activos. En muchas ocasiones se utilizansimplemente estas secciones de segundo orden en equipos de comunicaciones o de medida paraeliminar ruido o interferencias.

Pero su uso más importante es como bloque básico en la construcción de filtros de mayororden. Uno de los métodos más utilizados para construir filtros es la conexión en cascada debiquads. La función de transferencia que se ha de implementar se factoriza en el producto defunciones de segundo orden. Cada función se implementa mediante un biquad y se construye elfiltro total mediante la conexión en cascada de los biquads. La elección y diseño del biquad másadecuado dependerá de la aplicación concreta. A la hora de seleccionar filtros adecuados debentenerse en cuenta diferentes criterios:

a) Un criterio fundamental es conseguir una baja sensibilidad a las variaciones de loscomponentes. Hay que tener en cuenta que en su uso para realizar filtros de alto orden,diseño de baja sensibilidad de reduce a baja sensibilidad de los biquads que lo compo-nen.

b) Los valores de los componentes deben ser prácticos y la diferencia entre el máximo yel mínimo no sea excesivamente grande.

c) Los filtros requieren normalmente un proceso de ajuste posterior por lo que dichoajuste debe ser sencillo, preferiblemente los parámetros importantes, ωo y Q, debenpoder ajustarse independientemente.

H s( )a2s2 a1s a0+ +

s2 sωoQp------ ωo

2+ +-------------------------------------=


156 Análisis y síntesis de circuitos © F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

d) Los biquads tienen grandes cargas, como otros biquads en conexiones en cascada orealimentadas de lazo múltiple, por lo que es necesario que tengan baja impedancia desalida y alta impedancia de entrada. En la realidad Zin será fuertemente dependiente dela frecuencia, y la impedancia de salida está determinada por la impedancia de salidade los amplificadores operacionales que es no nula por lo que puede afectar significa-tivamente el comportamiento del filtro.

10.2 Sensibilidad de filtros activos de segundo orden

Puesto que la sensibilidad va a ser un criterio fundamental en el diseño de biquads es con-veniente estudiarla específicamente para este tipo de bloques. Hemos visto que su función detransferencia genérica es:

(10.2)

En el único caso de interés los polos son complejos (Q>0.5),

(10.3)

Los polos dominan el comportamiento en la banda pasante de los filtros por lo que su localiza-ción es muy importante y deberían ser insensibles a variaciones en los parámetros.

Si suponemos que ωo y Q son funciones de un cierto parámetro x la sensibilidad semire-lativa de uno de los polos se obtiene sin más que aplicar la definición:

(10.4)

La sensibilidad Qxp2 es la conjugada de (10.4).

En la ecuación (10.4) se observa que la localización de un polo es vecesmás sensible a variaciones en ωo que a variaciones en Q. Para las frecuencias críticas de 3dB,

(10.5)

se obtiene,

H2 s( )a2s2 a1s a0+ +

s2 sωoQ------ ωo

2+ +-------------------------------------=

p1 2, ωo1

2Q------- j 1 14Q2----------–+−

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–=

Qxp1 p1 Sx

ωo jSx

Q

4Q2 1–-----------------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

4Q2 1– 2Q≅

ω ωo 1 12Q-------±⎝ ⎠

⎛ ⎞≅

10.3 Biquads monoamplificador

© F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 157

1 (10.6)

Podemos concluir que en el diseño adecuado de secciones de segundo orden con altos valores

de Q es más importante prestar atención a obtener valores pequeños de Sxωo que a valores pe-

queños de SxQ. Si las variabilidades de ω y Q han de tener efectos parecidos en la función de

transferencia, la variabilidad debería ser Q veces más pequeña que dQ/Q ya que:

(10.7)


Ya hemos visto anteriormente como la combinación de un circuito RC con un elementode ganancia en una configuración realimentada permitía obtener funciones de transferencia conpolos complejos. Consideremos el esquema general de circuito RC activo realimentado de laFig. 10.1. En él se han asignado nombres a todos los terminales y las flechas indican terminalesque son entradas del circuito RC.

Referenciando las tensiones a tierra y denotando las funciones de transferencia de la redRC mediante:

(10.8)

se obtiene:

1. La aproximación realizada es:

Sωo

H2 2QSQH2±≅

Sωo

H2

SQH2

---------- 2Q2

14Q2---------- 1

Q----±

1 14Q2---------- 1

Q----±+------------------------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

12--- 2Q 1– 1

4Q2----------–± 1Q----+− 2Q≅ ≅=

ωodωo---------

d H2 jω( )H2 jω( )

------------------------ Sωo

H2 dωoωo

--------- SQH2 dQ

Q-------+=

Fig.5.1 Schauman

Figura 10.1: Configuración general RC-activa realimentada.

Tkl s( )VkVl-----

Nkl s( )Do s( )---------------= = k c d l;, a b,= =



(10.9)

por lo que la función de transferencia es:

(10.10)

Para que H(s) sea de segundo orden es necesario que la red RC sea de segundo orden. Puedeobservarse que los ceros de transmisión del circuito RC activo están determinados por el caminode propagación directo mientras que los polos están determinados por el lazo de realimentación.

Las frecuencias naturales del circuito están determinadas por:

(10.11)

que es independiente del nudo a, independiente de la conexión Vi, lógico puesto que las frecuen-cias naturales se obtienen con la respuesta a entrada cero. Puesto que los polos se obtienen paraVi=0 y los ceros dependen de donde se aplica la señal de entrada (el numerador depende de a)se deduce que se pueden crear los ceros de una función de transferencia sin afectar a los polos,conectando la señal de entrada a nudos que estuvieran conectados previamente a tierra. Por tan-to, si tenemos un circuito con los polos deseados se pueden crear los ceros de transmisión nece-sarios sin más que eliminar total o parcialmente la conexión a tierra de algún elemento y conec-tando el terminal de entrada en ese punto.

Puede observarse en la Fig. 10.1 que implementar los polos de H(s) significa implementaruna tripuerta lo que puede ser muy complicado. Para simplificar el problema dividimos el cir-cuito RC en dos bipuertas, como se muestra en la Fig. 10.2.

Con un análisis similar al realizado en (10.9) se obtiene que los polos son las raíces de:

1A s( )-----------Vo Tda s( ) Tca s( )–[ ]Vi Tdb s( ) Tcb s( )–[ ]Vo+=

H s( )VoVi------

Tda s( ) Tca s( )–Tcb s( ) Tdb s( )– 1 A s( )⁄+--------------------------------------------------------------= =

Tcb s( ) Tdb s( )– 1 A s( )⁄+ 0=

Fig.5.4 Schauman

Figura 10.2: Separación de la red RC en dos partes: (a) circuito original, (b) circuitocomplementario.



(10.12)

Las Tij son funciones de transferencia de bipuertas por lo que son más sencillas de diseñar. Peropodemos escribir (10.12) en la forma:

(10.13)

La simplificación realizada se ha obtenido a costa de tener una función de transferencia de cuar-to orden y por tanto, los polos se han de obtener de un polinomio de orden 4.2 Por ello, se haceuna simplificación consistente en hacer una de las bipuertas independiente de la frecuencia, enlas configuraciones que se muestran en la Fig. 10.3.

Los polos vienen entonces determinados para el circuito de la Fig. 10.3a por:

(10.14)

El camino principal de realimentación va al terminal inversor del A.O. pero también hay algode realimentación positiva. Esto permite obtener factores de calidad más altos por lo que se lla-ma circuito de realimentación negativa mejorada (ENF).

Mediante una sustitución simétrica se obtiene el circuito de la Fig. 10.3b que se denominacircuito de realimentación positiva mejorada (EPF). Este circuito es el circuito complementariodel ENF y se puede obtener a partir de él mediante el proceso de transformación complementa-ria, que dice que los polos de un circuito RC activo con un A.O. no cambian si se intercambianlos terminales de entrada del A.O. y la salida del A.O. con tierra. Para comprobralo con el cir-cuito de la Fig. 10.3b mediante análisis directo se obtiene que los polos están determinados por:

2. Se ha hecho la suposición de que . Si fueran iguales sería de orden 2 pero incluso diseñadas para ello, las tolerancias de los elementos haría que fueran distintas.

Tcb s( ) Tfe s( )– 1A s( )-----------+ 0=

1D1 s( )D2 s( )----------------------------- Ncb s( )D2 s( ) Nfe s( )D1 s( )–

D1 s( )D2 s( )A s( )

-----------------------------+ 0=

D1 D2≠

Fig.5.5 Schauman

Figura 10.3: (a) Estructura ENF, (b) estructura EPF.

Tcb s( ) K 1–K-------------– 1

A s( )-----------+ 1

D1 s( )-------------- Ncb s( ) K 1–

K-------------D1 s( )D1 s( )A s( )

--------------+– 0= =



(10.15)

y

(10.16)

por lo que los polos son los mismos que los de (10.14). Por tanto, la dependencia respecto a loselementos de circuito de los polos de los circuitos ENF y EPF son idénticas. Por tanto, si loscircuitos RC son iguales, los circuitos ENF y EPF, además de todos sus casos particulares ten-drán las mismas sensibilidades de los polos. Ya que éstas son las que controlan de forma máscrítica el comportamiento en la banda pasante, los argumentos en favor de uno u otro no sondemasiado relevantes. A menudo se utilizan filtros con A.O. en configuración de realimentaciónpositiva con ganancia unidad o realimentación negativa con ganancia infinita, tal como se mues-tra en la Fig. 10.4. Estos no son más que casos especiales de los circuitos ENF y EPF para K=1.Los polos vienen dados por:

(10.17)

La dependencia de los polos respecto al A.O. es la misma luego aparentemente no hay ningunadiferencia respecto al comportamiento en sensibilidad de la estructura de ganancia unidad y dela de ganancia infinita.

Basándonos en los polos de estas estructuras a continuación veremos las condiciones quetienen que cumplir los subcircuitos RC para proporcionar secciones de segundo orden activasútiles.

Circuitos ENF: condiciones para minimizar sensibilidadesConsideremos primero el circuito ENF. Vimos que los subcircuitos debían ser circuitos

de segundo orden por lo que su función de transferencia en general es:

1K---- Tcg s( )– 1

A s( )-----------+ 0=

Tcg s( )VcbVgb--------

Vcg Vgb+Vgb

----------------------- 1VcgVbg--------– 1 Tcb–= = = =

Tcb s( ) 1A s( )-----------+ 1 Tcg s( )– 1

A s( )-----------+ 0= =

Fig.5.6 Schauman

Figura 10.4: Casos especiales de las estructuras ENF y EPF: (a) estructura de reali-mentación negativa con ganancia infinita (NF); (b) estructura de realiment-ación positiva con ganancia unidad (PF).



(10.18)

donde qp<0.5 ya que los polos de circuitos pasivos RC son simples, reales y negativos.La expresión de los polos según (10.14) viene dada por las raíces de:

(10.19)

Utilizando el modelo de un polo del A.O.:

(10.20)

y llamando

(10.21)

se obtiene:

(10.22)

Si consideramos el A.O. con producto ganancia-ancho de banda infinito se simplifica (10.22) aun polinomio de segundo orden:

(10.23)

En la sección sobre sensibilidad de secciones de segundo orden se vio que las funciones detransferencia de segundo orden es 2Q veces más sensible a cambios en ωo que a cambios en Q.Por tanto, es más importante conseguir sensibilidades pequeñas de ωo que sensibilidades peque-ñas de Q.

La frecuencia es:

(10.24)

La ganancia en dc del amplificador operacional es un parámetro de variabilidad muy alta.

Caso a0=a2=0 Una posibilidad para hacer ωo independiente de A0 es:

Tcb s( )Ncb

D1 s( )--------------

a2s2 a1s a0+ +

s2 sω1 qp⁄ ω12+ +

------------------------------------------= =

D s( ) NcbK 1–

K------------- 1A---–⎝ ⎠

⎛ ⎞D1 s( )–=

A s( ) GBs σ+------------ 1

s GB⁄ 1 A0⁄+----------------------------------= =

k0K 1–

K------------- 1A0------–=

D s( ) s3

GB-------- a2 k0–ω1GB-------- 1

qp-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞ s2 a1 k0ω1qp------–

ω12

GB--------+⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

s a0 k0ω12–+ + +=

D s( ) a2 k0–( )s2 a1 k0ω1qp------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ s a0 k0ω12–( )+ +=

ω02 a0 k0ω1

2–a2 k0–-----------------------=

Ao



(10.25)

Entonces Tcb es una función paso de banda:

(10.26)

Pero esta no es una solución válida ya que para el modelo más real del A.O. los coeficientes de y tienen distinto signo y por tanto hay alguna raíz en el semiplano derecho y el filtro ENF

no es estable.

Caso a0=a2ω12

La otra posibilidad es:

(10.27)

En este caso, Tcb queda:

(10.28)

De (10.24) se obtiene que

(10.29)

y el factor de calidad es:

(10.30)

donde

(10.31)

De (10.30) deduce que si a2>k0 para que Q>0 es necesario que:

(10.32)

O utilizando la ecuación (10.21):3

a0 a2 0= =

Tcb s( )ω1 qz⁄( )s

s2 sω1 qp⁄ ω12+ +

------------------------------------------=

s3 s0

a0 a2ω12=

Tcb s( ) a2s2 sω1 qz⁄ ω1

2+ +

s2 sω1 qp⁄ ω12+ +

------------------------------------------=

ω0 ω1=

Qqz

1k0

a2 k0–----------------q–-----------------------------=

qzqp----- 1 q+=

qk0a2 k0–---------------- 1<



(10.33)

Hemos visto que le frecuencia de polo es igual a la frecuencia de polo del circuito RCpasivo. Por tanto, está determinada únicamente por elementos pasivos. Ya que por análisis di-mensional debe ser de la forma,

(10.34)

se deduce que las sensibilidades de respecto a los elementos pasivos tienen el mínimo valorteórico: 0.5. A est hay que añadir como se ha visto anteriormente que la sensibilidad de res-pecto a es nula.

Circuitos EPF: condiciones para minimizar sensibilidadesA continuación hacemos un estudio equivalente para el filtro EPF. El circuito RC del filtro

EPF debe tener la misma forma de (10.18):

(10.35)

Según (10.15) los polos vienen dado por los ceros de:

(10.36)

Sustituyendo (10.20) para la ganancia del A.O. y definiendo:

3. Se obtiene de la siguiente manera:

qk0 a2 k0–<

k0qzqp----- a2<

K 1–K------------- 1

A0------–

a2qpqz

-----------<

1 1K----– 1

A0------–

a2qpqz

-----------<

1K---- 1 1

A0------– a2

qpqz-----– 1 a2

qpqz-----–≈>

ωo ω1

ω1

ω11

R1R2C1C2------------------------------=

ωoωo

Ao

Tcg s( )Ncg s( )D1 s( )----------------

a2s2 a1s a0+ +

s2 sω1 qp⁄ ω12+ +

------------------------------------------= =

D s( ) 1K----

1A---+⎝ ⎠

⎛ ⎞D1 s( ) Ncg s( )–=



(10.37)

se obtiene que D(s) es:

(10.38)

Para se simplifica a:

(10.39)

Por tanto la frecuencia de polo ωo es:

(10.40)

que es igual al ENF y por tanto conduce a las mismas conclusiones.

Caso a0=a2=0La primera posibilidad de hacer independiente de es hacer a0=a2=0 con lo que

Tcg(s) es:

(10.41)

La frecuencia de polo resultante es:

(10.42)

y el factor de calidad es:

(10.43)

Para que el sistema sea estable debe ser Q>0 y por tanto:

(10.44)

Sustituyendo los valores de q y k1:

k11K----

1A0------+=

D s( ) s3

GB-------- s2 k1 a2–ω1GB-------- 1

qp-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞ s k1ω1qp------ a1–

ω12

GB--------+⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

k1ω12 a0–+ + +=

GB ∞→

D s( ) s2 k1 a2–( ) s k1ω1qp------ a1–⎝ ⎠

⎛ ⎞ k1ω12 a0–+ +=

ω02 a0 k1ω1

2–a2 k1–-----------------------=

ωo Ao

Tcg s( )ω1 qz⁄( )s

s2 sω1 qp⁄ ω12+ +

------------------------------------------=

ω0 ω1=

Qqz

q 1 k1–( ) k1⁄–-------------------------------------=

q1 k1–( )

k1------------------->



(10.45)

Caso a0=a2ω12

La segunda posibilidad es hacer:

(10.46)

Entonces Tcg(s) debe ser de la forma:

(10.47)

Por tanto, la frecuencia de polo es:

(10.48)

y al igual que en el filtro ENF el factor de calidad es:

(10.49)

Para que el sistema sea estable debe ser Q>0 y por tanto:

(10.50)

Esto provoca un problema cuando el circuito se pone en marcha. Cuando el circuito recibe ali-mentación la ganancia del amplificador crece de alguna forma desde 0 a su valor final. Duranteese tiempo (10.50) no se cumple y por tanto pueden aparecer oscilaciones. Por tanto, en circui-tos EPF solo se usa la primera posibilidad con Tcg(s) del tipo paso de banda.

Estos diseños hacen wo independiente de K y A0. Q es función de ambos parámetros ypuede utilizarse o para mejorar el valor de Q. Si en el circuito ENF escogemos K=1 en-tonces se obtiene el circuito NF de la Fig. 10.4a. Entonces y por tanto,

4. De forma similar, si escogemos K=1 en el circuito EPF obtenemos el circuito PF dela Fig. 10.4b. Entonces y Q=qz/q5.

Circuito EPF: sensibilidades del factor de calidad

qzqp----- 1– 1

k1----- 1–>

1K----

1A0------+

qpqz----->

a0 a2ω12=

Tcg s( ) a2s2 sω1 qz⁄ ω1

2+ +

s2 sω1 qp⁄ ω12+ +

------------------------------------------=

ω0 ω1=

Qqz

1k1

a2 k1–----------------q–-----------------------------=

k1qa2 k1–---------------- 1<

1K----

1A0------+ a2

qpqz-----<

k0 k1k0 1 A0⁄– 0≈=

Q qz=k1 1 1 A0⁄+ 1≈=



Una vez minimizadas las sensibilidades de es interesante considerar las sensibilidadesdel factor de calidad y utilizar el resto de parámetros libres de diseño para minimizarlas.

Circuito ENF: sensibilidades del factor de calidadAl igual que en el caso anterior se utilizan parámetros de diseño para minimizarlas.

Desviaciones debido a la dependencia con la frecuenciaLa dependencia con la frecuencia del amplificador operacional va a causar desviaciones

importantes de las características. No veremos en detalle el efecto del ancho de banda finito ynos limitaremos a escribir los resultados sobre la desviación producida en la frecuencia de polonominal y el factor de calidad:

(10.51)

Estas ecuaciones muestran que los errores en ωo y Q son inversamente proporcionales a la ga-nancia del A.O. a la frecuencia ωo y que aumentan con el producto ganancia-sensibilidad. Deahí que sea interesante minimizarlo.

Circuitos RC pasivosHasta ahora no nos hemos preocupado por la red RC, tan solo hemos comprobado que

debe implementar una función de transferencia de la forma:

(10.52)

donde debía cumplirse a0=a2ω12 o bien a2=a0=0.

Bipuertas LBT

4. Tener en cuenta que:

5. Tener en cuenta que:

Qqz

1k0

a2 k0–----------------q–-----------------------------=

Qqz

q 1 k1–( ) k1⁄–-------------------------------------=

ωo

Δωoωo

---------- 12Q-------ΓA0

Q 1A jωo( )--------------------–≅

ΔQQ--------

12Q-------ΓA0

Q 1A jωo( )--------------------≅

T s( )a2s2 a1s a0+ +

s2 sω1 qp⁄ ω12+ +

------------------------------------------=



Veamos la bipuerta "loaded bridged T" (LBT) que es una bipuerta complementaria a símisma, ella y su complementaria tienen la misma topología, y se muestran en la Fig. 10.5.

El análisis de la Fig. 10.5a conduce a la siguiente función de transferencia:

(10.53)

De forma similar se obtiene para la función de transferencia del circuito de la Fig. 10.5b:

(10.54)

Como era de esperar ambas funciones tienen los mismos polos.Como ya hemos dicho anteriormente los ceros de transmisión se crean desconectando to-

tal o parcialmente elementos conectados a tierra, como se muestra en los circuitos de la Fig. 10.6correspondientes a los circuitos de la Fig. 10.5.

Las funciones de transferencia Tca(s) para dichos circuitos son:

Figura 10.5: Circuito LBT y su complementario.

Fig.5.10 Schauman

Tcb s( )Ncb s( )D s( )

----------------Y2Y3 Y4 Y1 Y2 Y3+ +( )+

Y1 Y2 Y3+ +( ) Y4 Y5+( ) Y3 Y1 Y2+( )+---------------------------------------------------------------------------------------------= =

Tcg s( )Ncg s( )D s( )

----------------Y1Y3 Y5 Y1 Y2 Y3+ +( )+

Y1 Y2 Y3+ +( ) Y4 Y5+( ) Y3 Y1 Y2+( )+---------------------------------------------------------------------------------------------= =

Fig.5.11 Schauman

Figura 10.6: Circuitos de la Fig. 10.5 con desconexión parcial de los elementos conecta-dos a tierra.



(10.55)

Veamos la forma concreta que debe tener el circuito para implementar un filtro ENF. De(10.47) se obtiene que los coeficientes de menor y mayor orden de Ncb(s) y D(s) deben ser igua-les. Parece razonable pensar que debe ser 0 ya que afecta sólo los coeficientes de D(s). Paraque Tcb(s) sea una función de transferencia de segundo orden hay dos opciones:

Caso 1Consiste en hacer

(10.56)

Las funciones de transferencia resultantes por simple sustitución son:

(10.57)

Por comparación con (10.47) se obtiene que:

(10.58)

El circuito resultante para este caso con los posibles elementos conectados a la entrada se mues-tra en la Fig. 10.7.

La función de transferencia implementada es:

(10.59)

donde,

Tca s( )VcVa------

Vb 0=

β1Y1Y3 β5Y5 Y1 Y2 Y3+ +( )+Y1 Y2 Y3+ +( ) Y4 Y5+( ) Y3 Y1 Y2+( )+---------------------------------------------------------------------------------------------= =

Tca s( )VcVa------

Vg 0=

β2Y2Y3 β4Y4 Y1 Y2 Y3+ +( )+Y1 Y2 Y3+ +( ) Y4 Y5+( ) Y3 Y1 Y2+( )+---------------------------------------------------------------------------------------------= =

Y5

Y1 G1= Y2 sC2= Y3 sC3= Y4 G4=

Tcb s( )s2C2C3 s C2 C3+( )G4 G1G4+ +

s2C2C3 s C3 G1 G4+( ) C2G4+[ ] G1G4+ +--------------------------------------------------------------------------------------------------------=

Tca s( )sβ1G1C3

s2C2C3 s C3 G1 G4+( ) C2G4+[ ] G1G4+ +--------------------------------------------------------------------------------------------------------=

a2 1= ω12 G1G4

C2C3-------------=

qzG1 G4⁄

C2 C3⁄ C3 C2⁄+------------------------------------------------= qp

G1 G4⁄

C2 C3⁄ C3 C2⁄ 1 G1 G4⁄+( )+--------------------------------------------------------------------------------=

qqzqp----- 1–

G1 G4⁄1 C2 C3⁄+--------------------------= =

H s( )VoVi------ α

s2 s G41

C2------ 1

C3------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ G1C2------ 1 β1

Kα----–⎝ ⎠

⎛ ⎞+ ωo2+ +

s2 sωo Q⁄ ωo2+ +

-------------------------------------------------------------------------------------------------------= =



(10.60)

Este circuito puede realizar funciones de filtrado paso de banda, pasa todo y notch (rechazo debanda) con los valores adecuados de α y β1.

Caso 2Consiste en hacer

(10.61)

Las funciones de transferencia resultantes por simple sustitución son:

(10.62)

Por comparación con (10.47) se obtiene que:

Figura 10.7: Circuitos ENF con bipuertas LBT para los dos casos estudiados.

ωo ω1= Qqz

1 K 1–( )q–------------------------------=

Y1 sC1= Y2 G2= Y3 G3= Y4 sC4=

Tcb s( )s2C1C4 s G2 G3+( )C4 G2G3+ +

s2C1C4 s C4 G2 G3+( ) C1G3+[ ] G2G3+ +--------------------------------------------------------------------------------------------------------=

Tca s( )sβ1C1G3

s2C1C4 s C4 G2 G3+( ) C1G3+[ ] G2G3+ +--------------------------------------------------------------------------------------------------------=



(10.63)

El circuito resultante con los posibles elementos conectados a la entrada, mostrado en la Fig.10.7b, tiene como función de transferencia:

(10.64)

donde,

(10.65)

Ambos circuitos son equivalentes y pueden utilizarse para implementar una función de transfe-rencia de segundo orden.

10.4 Biquads multiamplificador

Como su propio nombre indica se trata de circuitos con más de un A.O. El hecho de uti-lizar más amplificadores debe estar justificado con una mejora de las sensibilidades. debetener su mínimo teórico, debe ser también insensible a variaciones en la ganancia del A.O. Unproducto ganancia-sensibilidad del orden de Q es de lo mejor que se puede conseguir por lo quelas mejoras deben dirigirse a disminuir las sensibilidades pasivas de Q. Una segunda motivaciónpara utilizar más amplificadores es construir distintas funciones de transferencia con la mismaestructura de circuito, proporcionando las diferentes funciones de transferencia en los distintosnudos del mismo.

10.4.1 Biquads basados en GICs

Los GICs hemos visto que son circuitos para simulación de inductores. Consideremos unfiltro pasivo de segundo orden, el que se muestra en la Fig. 10.8.

La función de transferencia realizada es:

a2 1= ω12 G2G3

C1C4-------------=

qzC1 C4⁄

G2 G3⁄ G3 G2⁄+--------------------------------------------------= qp

C1 C4⁄

G2 G3⁄ G3 G2⁄ 1 C1 C4⁄+( )+---------------------------------------------------------------------------------=

qqzqp----- 1–

C1 C4⁄1 G2 G3⁄+---------------------------= =

H s( )VoVi------ α

s2 sG2 G3+

C1--------------------

G3C4------ 1 β1

Kα----–⎝ ⎠

⎛ ⎞+ ωo2+ +

s2 sωo Q⁄ ωo2+ +

-------------------------------------------------------------------------------------------= =

ωo ω1= Qqz

1 K 1–( )q–------------------------------=

Sxωo



(10.66)

La técnica se basa en sustituir el inductor por un GIC, uno de los mostrados en la Fig. 9.11. Elproblema es que debe tomarse la salida del filtro del nodo del inductor que no corresponde a lasalida de ningún amplificador operacional. La solución consiste en utilizar un GIC de tipo 1. Elcircuito ya conectado se muestra en la Fig. 10.9.

En este GIC la tensión de salida del A.O. A1 es proporcional a la tensión del inductor:

(10.67)

Utilizando el modelo ideal de A.O. la admitancia de entrada es:

(10.68)

luego el valor del inductor simulado es

(10.69)

Sustituyendo este valor en (10.66) se obtiene la función de transferencia:

Fig.5.22 Schauman

Figura 10.8: Filtro pasivo LC de segundo orden.

H s( )VoVi------

1sC 1 sL⁄+--------------------------

1sC 1 sL⁄+-------------------------- 1

G----+------------------------------------- sLG

s2LC sGL 1+ +--------------------------------------- sG C⁄

s2 sG C⁄ 1 LC⁄+ +-----------------------------------------------= = = =

Fig.5.23 Schauman

Figura 10.9: Biquad GIC paso de banda.

Vo Vn 1G5G4------+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

YinY1Y3Y5

Y2Y4------------------

G1G3G5sC2G4

---------------------= =

LC2G4

G1G3G5---------------------=



(10.70)

Luego la frecuencia de polo y el factor de calidad son:

(10.71)

Las sensibilidades pasivas son:

(10.72)

Se ha conseguido con este circuito unas sensibilidades pasivas muy reducidas. Para que este cir-cuito sea conveniente deberemos tener también sensibilidades activas bajas.

Para estudiar las sensibilidades activas es necesario analizar el GIC con un modelo delA.O. no ideal. Consideremos el GIC de tipo I de la Fig. 10.10.

El análisis del circuito de la Fig. 10.10 considerando una ganancia genérica A(s) para losA.O. conduce a la siguiente expresión para la admitancia de entrada:

(10.73)

Vamos a utilizar el modelo de un polo:

(10.74)

y sustituimos los valores de las admitancias:

H s( )VoVi------

sGC---- 1

G5G4------+⎝ ⎠

⎛ ⎞

s2 sGC----

G1G3G5CC2G4

---------------------+ +----------------------------------------------= =

ωo2 G1G3G5

CC2G4---------------------= Q 1

G----CC2------

G1G3G5G4

---------------------=

Sxωo 1

2---= SxQ 1

2---= SRQ 1=

Fig.4.32a Schauman

Figura 10.10: GIC de tipo I.

Yin s( )Y1Y3Y5

Y2Y4------------------

1 1A2------ 1

Y4Y5-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1A1------

Y2Y3----- 1

Y4Y5-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1A1A2------------ 1

Y2Y3-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1Y4Y5-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + +

1 1A1------ 1

Y5Y4-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1A2------

Y3Y2----- 1

Y5Y4-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1A1A2------------ 1

Y3Y2-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1Y5Y4-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + +-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

A s( ) GBs--------=



(10.75)

resulta que la admitancia del inductor simulado es:

(10.76)

donde hemos despreciado los términos de segundo orden porque suponemos que ω2«GB1GB2 y

(10.77)

es el valor del inductor nominal y

(10.78)

Haciendo s=jω:

(10.79)

Si x«1 se puede hacer la aproximación:

(10.80)

por lo que aplicándolo a (10.79) se obtiene:

(10.81)

Haciendo el producto y haciendo la misma operación anterior de eliminar los términos de se-gundo orden:

(10.82)

Al considerar un modelo de un polo para los A.O. el inductor simulado tiene pérdidas (reflejadasen la conductancia en paralelo GL) y el inductor tiene un cierto error.

La conductancia GL se puede anular haciendo:

Y1 G1= Y2 sC2= Y3 G3= Y4 G4= Y5 G5=

YL1

sLo--------

1 sGB2---------- H

H 1–------------- s2

GB1----------

C2G3------ H

H 1–-------------+ +

1 sGB1----------H 1

GB2----------

G3C2------H+ +

-------------------------------------------------------------------------=

LoC2G4

G1G3G5---------------------=

H 1G5G4------+=

YL1

jωLo------------

1 HH 1–------------- jω

GB2----------

ω2C2GB1G3------------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

1 H jωGB1----------

G3GB2C2-----------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞+----------------------------------------------------------------≅

11 x+------------ 1 x–≅

YL1

jωLo------------ 1 H

H 1–-------------–ω2C2

GB1G3------------------ H

H 1–------------- jωGB2----------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1 H jωGB1----------– H

G3GB2C2-----------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞≅

YL1

jωLo------------ 1 H

H 1–-------------–ω2C2

GB1G3------------------ H

G3GB2C2-----------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

Lo----- H

GB1---------- H

H 1–------------- 1GB2----------–⎝ ⎠

⎛ ⎞–≅ 1jωL--------- GL+=



(10.83)

Es decir,

(10.84)

luego

(10.85)

y por tanto H=2.Para minimizar el error del inductor hay que minimizar:

(10.86)

Depende de la frecuencia por lo que interesa evaluarlo a una frecuencia crítica, en nuestro casoω=ωc=ωo. Si suponemos ademas que GB1≅GB2 hay que minimizar:

(10.87)

o bien:

(10.88)

Esto se minimiza para:

(10.89)

por lo que:

(10.90)

Con estas opciones el valor nominal del inductor es

(10.91)

Por conveniencia escogemos las resistencias iguales:

HGB1---------- H

H 1–------------- 1GB2----------– 0=

H 1–GB1GB2---------- 1≅=

G5G4------ 1=

ω2C2GB1G3------------------

G3GB2C2-----------------+

ωo2C2G3

-------------G3C2------+

ωoC2G3

-------------G3

C2ωo-------------+

ωoC2G3

------------- 1=

C21

ωoR3-------------=

LoR1ωo------=



(10.92)

En general el producto ganancia-ancho de banda de los dos A.O. no será igual por lo que es ne-cesario realizar algún ajuste de R4 y R5.

10.4.2 Biquads con integradores

La principal ventaja de estos biquads es la versatilidad, al posibilitar la obtención de fun-ciones de transferencia de distintos tipos simultáneamente en las diferentes salidas de los am-plificadores operacionales. Están basados en el uso de integradores y amplificadores sumado-res.

Consideremos una función de transferencia de segundo orden:

(10.93)

Esta ecuación la podemos reordenar, dividir por y escribirla de la forma:

(10.94)

Vamos a considerar por ejemplo el caso en que N(s)=Hos2. Entonces (10.94) puede repre-sentarse mediante el diagrama de bloques de la Fig. 10.11.

Puede observarse que este diagrama de bloques tiene dos lazos de realimentación, uno deellos controla wo mientras que el otro controla el factor de calidad Q. Por tanto, estos paráme-tros pueden controlarse independientemente lo que constituye otra ventaja adicional sobre losbiquads con un solo amplificador operacional.

R1 R3 R4 R5 Ro= = = =

C C21

ωoRo-------------= =

G 1R---

ωoCQ---------- 1

RoQ----------= = =

H s( )VoVi------ N s( )

s2 sωoQ------ ωo

2+ +---------------------------------= =

s2

Voωo Q⁄

s--------------Vo–ωo

2

s------Vo– N s( )

s2-----------Vi+=

Figura 10.11: Diagrama de bloques del biquad.

Natarajan, Fig.6.21



Biquad KHNUna gran cantidad de biquads de este tipo se derivan del biquad KHN (en honor de sus

inventores Kerwin, Huelsman y Newcomb), que se muestra en la Fig. 10.12. También se deno-mina filtro de variables de estado porque se deriva de la representación en variables de estadode la función de transferencia de segundo orden.

Suponiendo que los amplificadores operacionales son ideales se obtienen las siguientesfunciones de transferencia:

(10.95)

y aplicando al primer amplificador:

(10.96)

Despejando VHP:

(10.97)

por lo que la función de transferencia suponiendo modelo ideal del amplificador operacional:

Figura 10.12: El biquad KHN.

Natarajan, FIg. 6.22

VBPVHP

R1C1s---------------–=

VLPVBP

R2C2s---------------–VHP

s2R1C1R2C2

-------------------------------= =

VHP A1R3

R3 R4+------------------VBPR4

R3 R4+------------------ViR5

R5 R6+------------------VHPR6

R5 R6+------------------VLP––+= =

A1R3

R3 R4+------------------VHP

R1C1s---------------–⎝ ⎠⎛ ⎞ R4

R3 R4+------------------ViR5

R5 R6+------------------VHPR6

R5 R6+------------------VHP

s2R1C1R2C2

-------------------------------––+=

VHP 1A1R3

R3 R4+------------------ 1R1C1s---------------

A1R5R5 R6+------------------

A1R6R5 R6+------------------ 1

s2R1C1R2C2

-------------------------------+ + +A1R4

R3 R4+------------------Vi=

A1 ∞→



(10.98)

y y Q se pueden extraer del denominador:

(10.99)

Las sensibilidades de y Q son:

(10.100)

Aunque Q puede ser grande la sensibilidad puede hacerse nula haciendo . Las bajassensibilidades constituyen una de las mejores cualidades de este biquad.

Un procedimiento de diseño simple consiste en hacer:

(10.101)

Entonces de la ecuación del factor de calidad se obtiene:

VHPVi

----------

R4R3 R4+------------------

R3R3 R4+------------------ 1

R1C1s---------------R5

R5 R6+------------------R6

R5 R6+------------------ 1s2R1C1R2C2

-------------------------------+ +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------= =

s2 1R6R5------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1R3R4------+⎝ ⎠

⎛ ⎞⁄

s2 s1

R6R5------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1R4R3------+⎝ ⎠

⎛ ⎞⁄

R1C1----------------------------------------------

R6 R5⁄R1R2C1C2--------------------------+ +

---------------------------------------------------------------------------------------------=

ωo

ωo2 R6 R5⁄

R1R2C1C2--------------------------= Q

1R4R3------+⎝ ⎠

⎛ ⎞

1R6R5------+⎝ ⎠

⎛ ⎞---------------------

R6R1C1

R5R2C2-----------------------=

ωo

SR1 R2 R5 C1 C2, , , ,ωo 0,5– S– R6

ωo= =

SR1 C1,Q SR2 C2,

Q– 0,5= =

SR4

Q SR3

Q–R4

R4 R3+------------------ 1<= =

SR5

Q SR6

Q– Q2----

R5 R6–

1R4R3------+

------------------R2C2

R5R6R1C1------------------------------–= =

R5 R6=

R5 R6=

R1 R2 R= =

C1 C2 C= =

R 1ωoC----------=



(10.102)

luego

(10.103)

y entonces la ganancia para filtros paso de baja y paso de alta está limitada a:

(10.104)

y para filtros paso de banda:

(10.105)

Los valores de y Q se controlan independientemente ajustando y/o para y para Q. El parámetro que se asignado la unidad anteriormente puede considerarse pará-metro libre para minimizar la sensibilidad activa de los polos obteniéndose entonces:

(10.106)

Biquad Tow-ThomasOtro biquad muy utilizado es el biquad Tow-Thomas que se muestra en la Fig. 10.13, en

el que se puede observar cómo se realiza la suma en nudo de tierra virtual.

Como se observa en la figura este biquad proporciona funciones de transferencia paso debaja y paso de banda. Una modificación de este biquad también es capaz de proporcionar pasode alta.

Una ventaja de este circuito es que al igual que en el KHN y Q se controlan indepen-dientemente pero en este caso Q y se controlan mediante relaciones simples de resistencias

2Q 1R4R3------+=

R4 R3 2Q 1–( )=

Ho 2 1Q----–=

Ho 1 2Q–=

ωo R1 R2 ωo R4R6 R5⁄

R6R5------ 0,732=

Figura 10.13: Biquad Tow-Thomas

Fig. 6.23 Natarajan

ωoHo



en lugar de conjuntos de ellas. Otra ventaja es que todos los terminales no inversores de los am-plificadores están a tierra por lo que no hay problemas con el modo común.

Considerando amplificadores ideales las funciones son:

(10.107)

Las sensibilidades de y Q respecto a los elementos pasivos salen 0.5 o 1. Un posibleprocedimiento de diseño es hacer:

(10.108)

Respecto a :

(10.109)

Cuando se tienen en cuenta los productos ganancia ancho de banda de los amplificadores se ob-tienen unas desviaciones de y Q:

(10.110)

Las desviaciones pueden ser muy importantes pudiendo hacerse inestable para .Una posible solución es hacer una predistorsión de los valores de forma que al final ob-

tenga los valores correctos.Otra posibilidad consiste en conectar un condensador de compensación entre y de

forma similar a como se hace en los esquemas de compensación pasiva de los integradores Mi-ller.

VBPVi

---------s R3C1( )⁄–

s2 sR4C1------------ 1

R1R2C1C2--------------------------+ +

---------------------------------------------------------=

VLPVi

---------1 R2R3C1C2( )⁄

s2 sR4C1------------ 1

R1R2C1C2--------------------------+ +

---------------------------------------------------------=

ωo

R1 R2 R= =

C1 C2 C= =

R 1ωoC----------=

R4 QR=

R3

R3R

Ho------= para paso de baja

R3QHo------R= para paso de banda

ωo

ω'o ωo 1ωoGB-------- 1

Ho2Q-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞–=

Q' Q

1 4QωoGB--------–

-------------------------=

ωoQ GB4-------->

C1 C2



Antes de conectar el condensador el retraso de fase es:

(10.111)

para los integradores y

(10.112)

para el amplificador por lo que el retraso de fase neto es:

(10.113)

El condensador introduce un adelanto de fase igual a por lo que se puede escoger para compensar el retraso de fase.

Los biquads KHN implementan funciones LP, BP y HP mientras que el Tow-Thomas sóloLP y BP. Para obtener ceros de transmisión finitos es necesario utilizar técnicas de suma o bien’feedforward’.

La técnica de suma se ha aplicado de manera más popular al biquad KHN y se ilustra enla Fig. 10.14.

Suponiendo amplificadores operacionales ideales se obtiene que la función de transferen-cia es:

Δφ11

A1---------atan–= Δφ2

1A2---------atan–=

Δφ3 2 1A3---------atan–=

Δφ 4 ωGB--------atan–=

ωCcR2 Cc

Figura 10.14: Realización de ceros de transmisión arbitrarios con el biquad KHN.

Natarajan Fig. 6.28



(10.114)

Se pueden conseguir filtros rechazo de banda (tanto high-pass notch como low-pass notch) me-diante:

(10.115)

y puede ser escogido arbitrariamente.También se pueden hacer sin dificultades filtros pasa todo de la forma:

(10.116)

Para el biquad Tow-Thomas se suele utilizar la técnica ’feedforward’, consistente en desconec-tar parcialmente elementos conectados a tierra o conectar elementos a nudos de tierra virtual.Para el biquad Tow-Thomas resulta el circuito de la Fig. 10.15.

Esta técnica no requiere otro amplificador pero requiere el condensador .La función de transferencia implementada es:

(10.117)

con .Se pueden conseguir las siguientes funciones de transferencia (haciendo por co-

modidad):

VoVi------

R4R3------2Q 1–

Q----------------s2 R3

R2------⎝ ⎠⎛ ⎞ ωoQ–

R3R1------ωo

2+

s2 sωoQ------ ωo

2+ +------------------------------------------------------–=

R2 ∞=

R3

R4 2 1Q----–⎝ ⎠

⎛ ⎞

Ho-------------------------=

R1 R3ωo

2

ωz2------=

R4

VoVi------ H0

s2 ωoQ------s– ωo

2+

s2 ωoQ------s ωo

2+ +---------------------------------–=

C3

VoVi------

C3C------

s2 s 1rR3RR2----------– R3C3( )⁄

RC( )ωo2

R1C3-------------------+ +

s2 ωoQ------s ωo

2+ +---------------------------------------------------------------------------------------–=

ωo1

RC--------=C3 C=



(10.118)

10.5 Biquads con OTAs

El diseño con OTAs es muy sencillo. Consideremos por ejemplo la estructura de dos in-tegradores anterior junto con otra que también se muestra en la Fig. 10.16 y es equivalente a laanterior.

En ambas estructuras los polos están dados por:

Figura 10.15: Realización de ceros de transmisión arbitrarios usando el biquad Tow-Thomas.

Natarajan Fig. 6.29

PASO DEBAJA R2 R3 ∞= = C3 0=R1R------

1Ho------=

PASO DE BANDA R1 ∞= C3 0=

R2 ∞= RR3------

HoQ------= NO INVERSOR

R3 ∞= rR2------

HoQ------= INVERSOR

PASO DE ALTA R1 R2 R3 ∞= = = Ho 1= INVERSOR

RECHAZO DE BANDA R2 R3 ∞= = R1 Rωo

2

ωz2------= Ho 1= INVERSOR

(HIGH-PASS y LOW-PASS)PASA-TODO R3 ∞= R1 R= R2 Qr=

10.5 Biquads con OTAs


(10.119)

Únicamente necesitamos pues integradores inversores y no inversores, sumadores y amplifica-dores o factores de escalado que pueden conseguirse con los circuitos de la Fig. 10.17.

Conectando los bloques anteriores resulta los circuitos de la Fig. 10.18 que tienen los si-guientes denominadores:

(10.120)

Para circuitos integrados es conveniente coger todas las transconductancias iguales por loque resulta:

Figura 10.16: Estructuras de biquads con integradores.

s2 sωoQ------ ωo

2+ +

Figura 10.17: Integradores, amplificadores y sumadores con OTAs.

Vogm1sC-------- Vi1 Vi2–( )=

Vogm1gm3--------Vi1–

gm2gm3--------Vi2+=

Vogm1gm2-------- Vi1 Vi2–( )=

s2 s 1C1------

gm1gm3gm5

------------------gm1gm2gm4C1C2gm5

---------------------------+ +

s2 s 1C2------

gm2gm3gm4

------------------gm1gm2gm5C1C2gm6

---------------------------+ +



(10.121)

Las sensibilidades son bajas pero la relación de condensadores es alta.Puede observarse que los OTAs 3, 4, 5 y 6 pueden eliminarse y sustituirse por cortocir-

cuitos pero es interesante mantenerlos para facilitar el escalado de tensión y dar mayor flexibi-lidad a los ceros de transmisión. Para establecer ceros de transmisión se pueden conectar ten-siones de entrada a terminales que estaban a tierra. Asimismo se pueden inyectar intensidadesa nodos de impedancia finita.

Figura 10.18: Biquads con OTAs.

fig. 5.35

ωogm

C1C2-----------------= Q

C1C2------=

sÍntesis de filtros activos. biquadstivamente el comportamiento del filtro. 10.2 sensibilidad de...

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