Slutningsformer, bevis og sannsynlighet

Markus Jerkø

JUS5501 15. oktober 2013

Tekster:

• Schum, David A.: «The Study of Evidence», Chapter 2 of The Evidential Foundations of Probabilistic Reasoning

• Kolflaath, Eivind: «Bevisbedømmelse – sannsynlighet eller fortellinger», JV 2004 s. 279-304

Tema

• Logiske slutningsformer– Deduksjon– Induksjon– Abduksjon

• Bevis• Sannsynlighetsteori– Matematisk sannsynlighetsteori– Forståelser av «sannsynlighet»– Betinget sannsynlighet– Bayes’ teorem

Logiske argumenter

• En rekke premisser og en konklusjon:– Premiss 1– Premiss 2– …– Premiss n– Konklusjon

• Premissene er våre grunner for å akseptere konklusjonen

• To måter å kritisere et argument på:– Kritisere premissene– Kritisere argumentets form: premissene gir ikke tilstrekkelig

støtte til konklusjonen

Deduksjon I

• Logisk gyldig slutning:– Hvis As fingeravtrykk er på drapsvåpenet, så er A skyldig

i drapet på B.– As fingeravtrykk er på drapsvåpenet.– A er skyldig i drapet på B.

• Logisk ugyldig slutning:– Hvis A er skyldig i drapet på B, så er As fingeravtrykk på

drapsvåpenet.– As fingeravtrykk er på drapsvåpenet.– A er skyldig i drapet på B.

Deduksjon II• Kjennetegn ved gyldige slutninger

– Gyldighet er en formell egenskap; kontrast til sannhet – logisk form– Sannhetspreserverende: Ikke mulig at premissene er sanne og

konklusjonen usann• Gyldig logisk form – modus ponens:

• Hvis C så D• C• D

• Logiske konnektiver/bindeord– Disjunksjon (eller) uttrykkes med symbolet «»: «AB» leses «A eller B»

og er sann hvis A er sann, B er sann, eller både A og B er sanne– Konjunksjon (og) uttrykkes med symbolet «&»: «A&B» leses «A og B»– Negasjon (ikke) uttrykkes med symbolet «»: «A» leses «ikke A»

Deduksjon III• Bevistemaets logiske form

– Rettsreglenes alternative vilkår:• Strl. § 233: Den som har forvoldt en annens død eller medvirket dertil,

straffes for drap…• FvM

– Rettsreglenes kumulative vilkår• Erstatning (forenklet): Krav om ansvarsgrunnlag, økonomisk tap og

årsakssammenheng• A&T&Å

• Deduktive slutninger foretar vi hele tiden, også i retten– A har ikke forvoldt Bs død (F)– A har ikke medvirket til Bs død (M)– (FvM)

Induksjon I

• Enumerativ induksjon– Første observerte svane er hvit– Andre observerte svane er hvit– …– Den neste svane som observeres er hvit– Eller: alle svaner er hvite

• Forutsetter en uniform verden• Hume’s problem: Induktive slutninger er ikke

deduktive, og vi kan heller ikke forsvare dem uten å ty til en induktiv slutning (sirkelargument)

Induksjon II

• I retten:– As fingeravtrykk er på pistolen som drepte B– Vitne X sier at han så A drepe B– A er skyldig i drapet på B

• Induktive slutninger spiller en sentral rolle i retten– Bevisene vil aldri gi oss sikre konklusjoner

Induksjon III

• Induktive argumenter er mer risikable enn deduktive

• Kjennetegn ved sterke induktive argumenter:– Deduktivt ugyldige slutninger: sanne premisser er aldri

en garanti for sann konklusjon– Men, premissene gjør konklusjonen (sterkt) sannsynlig

• Diskusjon i filosofien om det er mulig å gi en induktiv logikk som gir oss et mål på induktive slutningers sikkerhet

Abduksjon

• Abduktive slutninger: Slutninger til beste forklaring– Charles Sanders Peirce (1839-1914)

• Eksempel: – Plenen er våt– Det regnet i natt

• Mer kreative argumenter• Spiller også en rolle i rettslige bevisvurderinger

Bevis I

• Ordet «bevis» har flere betydninger:– Matematiske og logiske bevis («proof»)• Noen ganger også om svakere argumenter

– Evidens («evidence»)• Bevisene i en sak; bevismaterialet – gjenstander,

forklaringer («the evidence»)– Vitnebevis, sakkyndigbevis, realbevis

• Men hva innebærer det at disse bevisene er bevis for noe?

Bevis II• «The situation in which I would properly be said to have evidence

for the statement that some animal is a pig is that, for example, in which the beast itself is not actually on view, but I can see plenty of pig-like marks on the ground outside its retreat. If I find a few buckets of pig-food, that's a bit more evidence, and the noises and the smell may provide better evidence still. But if the animal then emerges and stands there plainly in view, there is no longer any question of collecting evidence; its coming into view doesn't provide me with more evidence that it's a pig, I can now just see that it is, the question is settled. … Again, if I actually see one man shoot another, I may give evidence, as an eye-witness, to those less favourably placed; but I don't have evidence for my own statement that the shooting took place, I actually saw it.»

J. L. Austin, Sense and Sensibilia, 115–116

Bevis III

• Beviser (evidence) – peker utover seg selv– Ingenting er et bevis i seg selv – det er kun et bevis

i relasjon til noe annet som det påvirker sannsynligheten til

– Mens bevis (proofs) er deduktive, sikre slutninger, er bevis (evidence) alltid mindre sikkert

• Vi må (selvsagt) skille mellom beviset og hva vi kan slutte fra det (Schum: H* og H)

Sannsynlighet I

• Det gir mening å snakke om sannsynligheten til hendelser/begivenheter og til setninger/proposisjoner

• Aksiomene– 1. For enhver setning A gjelder 0 P(A) 1. – 2. En nødvendig sannhet har sannsynlighet 1. – 3. Hvis A og B er gjensidig utelukkende setninger, er

P(AvB) = P(A) + P(B)

To setninger er gjensidig utelukkende hvis og bare hvis ikke begge kan være sanne (samtidig).

Sannsynlighet II

• Konsekvenser:– P(A) = 1 – P(A)– Den generelle addisjonsregelen:

• P(AvB) = P(A) + P(B) – P(A&B)– Multiplikasjonsregelen for uavhengige setninger

• P(A&B) = P(A) x P(B)

• Definisjon av betinget sannsynlighet:– , for P(B) 0– A og B er uavhengige hvis og bare hvis P(A|B) = P(A)

Sannsynlighet III

• Matematisk og filosofisk sannsynlighetsteori• Forståelser av sannsynlighet– Aletisk sannsynlighet (evt. objektiv/empirisk)– Epistemisk sannsynlighet (evt. logisk)– Psykologisk sannsynlighet (evt. subjektiv)

Sannsynlighet IV

• Sannsynlighet i retten– Hva slags sannsynlighet?

• Peder Ås er enten skyldig eller uskyldig (aletisk sannsynlighet 1 eller 0)

• Den epistemiske sannsynligheten vil variere med bevisene.– Men hvordan kan vi erkjenne den epistemiske sannsynligheten –

er det ikke bare vår egen vurdering vi legger til grunn?• Den psykologiske avhenger av dommerens overbevisning

– Men hvis denne overbevisningen er et resultat av bevisene, er den vel identisk med den epistemiske?

Sannsynlighet V

• Sannsynlighet i retten (forts.)– Bevisvurderingens oppgave:

• P(bevistema|bevisene)– Regnereglene gir regler for en rasjonell bevisvurdering

• Hvis du mener P(regn i morgen)= 0,3, så er du irrasjonell om du ikke også mener at P(ikke regn i morgen) = 0,7

• Tilsvarende i mer komplekse tilfeller: Dutch books– Regnereglene er abstrakte, mens bevisvurderingen er

konkret; matematisk modellering; to feilkilder• Ikke sikkert at modellen er en god modell på den virkelige verden• Feil anvendelse av regnereglene

Sannsynlighet VI• Feil anvendelse?:• «[S]kadelidte i en erstatningssak påstår at skadevolder har foretatt en

bestemt uaktsom handling (x1), og at denne handlingen er årsak til skaden (x2). Multiplikasjonsregelen sier at sannsynligheten for at to uavhengige rettsfakta (x1 og x2) begge er tilfelle, er lik sannsynligheten for (x1) multiplisert med sannsynligheten for (x2). Hvis sannsynligheten for (x1) er 0,7 og sannsynligheten for (x2) er 0,7, vil sannsynligheten for at begge foreligger (x1 og x2), være 0,49. Det er dermed ikke sannsynlighetsovervekt for (x1 og x2) selv om sannsynligheten for (x1) er atskillig høyere enn sannsynligheten for (ikke-x1) og sannsynligheten for (x2) er atskillig høyere enn sannsynligheten for (ikke-x2).»

Strandberg, Beviskrav i Sivile Saker, 418.

Sannsynlighet VII• Eksempel (modifisert fra Tversky og Kahneman):

I Lillevik opererer to drosjeselskaper, Blå Drosjer AS (BD) og Grønne Drosjer AS (GD). Drosjene fra BD er blå; de fra GD er grønne. GD er det dominerende selskapet, med 85 % av drosjene i byen.På en mørk høstkveld er en drosje involvert i en hit and run-kollisjon. Et vitne hevder at den involverte drosjen var blå.For å teste vitnets pålitelighet, blir vitnets observasjonsevner testet under tilsvarende forhold som på kvelden for kollisjonen, og i 80 % av tilfellene oppgir hun riktig farge på drosjen.

• Hva kan vi konkludere med basert på disse opplysningene?– At det er 80 % sannsynlig at drosjen var blå?– At det er mindre enn 80 % sannsynlig at den var blå, men at det foreligger

sannsynlighetsovervekt for dette?– At det er mindre enn 50 % sannsynlig at drosjen var blå?

Sannsynlighet VIII: Bayes’ teorem• Følger av definisjonen av betinget sannsynlighet og regelen om total

sannsynlighet

0,41

• Base rate – andelen blå biler– The base rate fallacy – feilslutning som overser base

rate• Falske positive