Om betingelser og noen paradokser i sannsynlighet og statistikk

Kirsten BjørkestølMatematisk kveld, 27.03.2014

5 deler

Del 1 Simpsons paradoks

Eks.1 (lærebok, Ubø), Revisorfirma A og B

Bør vi her fokusere på de to halvårene eller på hele året?

Eks. 2 Berkley beskyldt for kvinnediskriminering i 1973

En hypotesetest for å se om pM er > pK gir klar, signifikant støtte til at menn har høyere p enn kvinner. Gir dette dermed støtte til at det er en diskriminering?

Oppdeling i ulike institutt gav et annet bilde.Ved 6 av de 8 største instituttene:

Er vel mest naturlig å sammenligne innen ulike delgruppe.

Er litt skeptisk til å bruke ordet diskriminering i slike sammenhenger der det antakelig er nøytrale opptakskrav.

Enkelt eksempel som illustrerer hva som kan skje når vi kombinerer store og små grupper:

Blå:

Rød:

Kombinerte grupper:

Farge:

Betinget sannsynlighet: P(A | B), der B er noe vi får oppgitt. Finner sannsynligheten innen en begrenset del av virkeligheten i forhold til P(A). Skal vi ved Simpsons paradoks fokusere på totalen eller på en begrenset del.

Simpsons paradoks, også kalt Yule-Simpson effekt ble beskrevet av Simpson i en teknisk rapport i 1951, men det er tidligere nevnt av både statistikeren K. Pearson i 1899 og av U. Yule i 1903.• Les mer om Simpsons paradoks i f.eks. Wikipedia.

Del 2. Matematisk/statistisk problemstilling:

En likesidet trekant innskrevet i en sirkel. En korde på sirkelen er tilfeldig valgt. Hva er sannsynligheten for at den er lenger enn siden på trekanten?

Det kan her argumenteres for tre ulike metoder for å finne svar/løsning

1) Svaret er 1/32) Svaret er 1/23) Svaret er 1/4Hvordan er dette mulig?Det avhenger av hvordan vi definerer tilfeldig valgt korde.

1 1/2

1/2

Metode 1: «Tilfeldig endepunkt»

Endepunktet ligger mellom B og C. Sannsynligheten for dette er lik 1/3

B

A

C

Metode 2: «Tilfeldig radius»

Tilfeldig et punkt på radiusen, og lag en normal på radius i dette punktet. Sannsynligheten for dette er lik 1/2

Metode 3: «Tilfeldig midtpunkt»

Tilfeldig punkt innen sirkelen og konstruer en korde slik at punktet blir midtpunkt på korden.Sannsynligheten for dette bli lik 1/4

Ingen entydig løsning så lenge vi ikke har en veldefinert beskrivelse for hvordan den «tilfeldige» korden skal velges.

Figurene nedenfor (fra Wikipedia) viser korder valgt ved de ulike metodene.

B

A

C

Kalles også for Bertrands paradoks og ble presentert i 1889.

Passer noen av disse inn i prinsippene• maksimum ignorering? (Jaynes i 1973). Ikke bruk

noe som ikke er gitt i problemstillingen. • skala invariant og translasjons invariant? Da vil

f.eks. sannsynlighetsfordelingen være lik tilsvarende uansett hvor en tar et utsnitt av en bestemt størrelse

Hva slags fysiske eksperiment kan tenkes å gi de ulike mønstrene? Eksempler:

Metode 1: 2 spinnere og vinkelen mellom disse

Metode 2: Strå kastes inn mot sirkelen

Metode 3: Sirkelen er dekket med fin sand. En ball kastes inn i sirkelen og treffer et sted med lik sannsynlighet. En kortest mulig planke skal danne ei bro som går gjennom dette punktet.

Betinget sannsynlighet:Sannsynligheten for «A gitt B» har definisjonen:

Del 3 Gutt eller jente paradoksKalles av og til Smits barn o.l.Vanlige forenklede forutsetninger:• Hvert barn er enten gutt eller jente• Det er samme sannsynlighet for å få gutt som

jente (50%, dvs. p = 0,5)• Kjønn til ethvert barn er uavhengig av kjønn til

et annet barn.

To spm.:1) Mr. Jones har to barn. Den eldste er gutt. Hva er sannsynligheten for at begge barna er gutter?2) Mr. Smith har to barn. Minst et av barna er gutt. Hva er sannsynligheten for at begge barna er gutter?

4 Muligheter med sannsynlighet 1/4

GG GJJG JJ

Svar 1) Kan nå begrense til {GG, GJ}. Gir P(GG) = 1/2

Svar 2) Kan nå begrense til {GG, GJ, GJ}. Gir P(GG) = 1/3

Er dette så enkelt? Skal nå problematisere litt

3) I nabohuset er det flyttet inn en familie med to barn. Du er interessert i å vite om begge barna er gutter. Du ser ut i hagen, og der står et av barna, og det er en gutt. Hva er sannsynligheten for at begge barna er gutter? Svarer dette til Spm 1) eller Spm 2)? Er sannsynligheten 1/2 eller 1/3?

Hva er betingelsen nå? Du får se en gutt => Nå vet du at minst et av barna er gutt.

Hva skal du nå sette som betingelsen B?Får vi i Spm. 3) noen tilleggs-begrensning som vi må ta hensyn til i betingelsen?

Må betinge på den innerste ellipsen. Når du ser et barn, får du vite noe mer enn at minst et barn er gutt (tilsvarer første er gutt)

JJ JG GJ GG

Del 4. St. Petersburg paradoksetKan beskrives som spill ved myntkast: Kast mynt og kron inntil første kron. Dersom du får kron i 1. kast, vinner du 2 kroner(sannsynlighet ½ )Dersom du får første kron i 2. kast, vinner du 22 = 4 kroner (sannsynlighet (½)2 )…Dersom du får første kron i n. kast, vinner du 2n kroner (sannsynlighet (½)n ) Vil du delta dersom du må betale 1000 kr for å delta?

La X være gevinst.

Forventet gevinst:

Kast 1 2 3 … 9 10 …X 2 4 8 512 1024 …p 0,5 0,25 0,125 0,00195 0,000977 …

Vanskelig å se for oss store gevinster med svært liten sannsynlighet. En tabell over noen gevinster og sannsynligheter:

Du må altså opp i minst 10 kast for å få igjen innsatsen. Vil du fortsatt spille?

Kast 1 2 … 14 >= 15 X 2 4 … 16384 215 = 32768p 0,5 0,25 … 1/16384

Xp 1 1 … 1 2

Hvis du maksimalt får kaste 15 ganger, og om du da ennå ikke har fått kron, vil du få gevinsten tilsvarende 15 kast, dvs. 215. Hva blir da forventet gevinst? Hva bør innsatsen være?

14

1 21

11i

i

Forventet gevinst er da 16 kr. Allerede ved 4 kast får du igjen innskuddet.

Del 5 Om spillstrategi og Marilyn vos SavantSpill om bil eller geiter (Også kalt Monty Hall problem)

Tre dører Bak de tre dørene er det plassert tilfeldig hhv. to geiter og en bilDu banker på en av dørene, f.eks. dør 1. Verten som vet hvor bilen er åpner en av de andre dørene med ei geit bak. Han spør så om du ønsker å beholde døren du peker på, eller om du vil åpne en annen dør for å få premien. • Hva bør du gjøre?

Svar: Du bør bytte dør. Da har du 2/3 sannsynlighet for å vinne bilen. Om du lar vær å bytte dør har du 1/3 sannsynlighet for å vinne bilen.• 1991: Voldsom debatt i aviser i USA.• «Ask Marilyn» i Parade Magazine, men også

førsteside dekning i New York Times.• Marily med verdens høyeste I.Q.• 92% av vanlige folk og 65% av

universitetsansatte uenig med henneTG med kopier av kommentarene fra 17/2 1991:

Forklaring på problemet kan illustreres med betingede sannsynligheter. La: A1 = bil bak dør 1,

A2 = bil bak dør 2,A3 = bil bak dør 3

La B1 = verten åpner dør 1, B2 = verten åpner dør 2,B3 = verten åpner dør 3

Du peker på dør 1

Et sannsynlighetstre med de betingede sannsynlighetene på greinene