skriptum zur vorlesung: physikalische...

Skriptum zur Vorlesung:

PHYSIKALISCHE MESSTECHNIK

A(Signale/Systeme)

Kapitel G:Physikalisches Rauschen

Wintersemester 1997 / 98

Universität Paderborn

Fachbereich 6 - Physik -

Dozent: Prof.Dr.H.Ziegler

Protokoll: Dr.H.Aulfes / C.H.

Grundannahmen 2

Kapitel G des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1997 / 98

G. PHYSIKALISCHES RAUSCHEN .......................................................................4

I. Grundannahmen ............................................................................................................................................41. Unabhängigkeit und Superposition ..............................................................................................................4

a) Superposition ..........................................................................................................................................4b) Unabhängigkeit .......................................................................................................................................4

2. Konstantes Signal und konstantes Rauschen ................................................................................................4

II. Zeiteigenschaften von Rauschen ...............................................................................................................51. AKF..............................................................................................................................................................52. Spektrale Leistungsdichte.............................................................................................................................53. Weißes Rauschen .........................................................................................................................................6

a) Physik......................................................................................................................................................6b) Effektivwert und Leistung .......................................................................................................................6

4. „Farbiges“ Rauschen ....................................................................................................................................6a) Rosa Rauschen ........................................................................................................................................7b) 1/f-Rauschen............................................................................................................................................7

5. Weitere Rauschmechanismen.......................................................................................................................7a) Schnell fluktuierende Störungen .............................................................................................................7b) Periodische Störungen.............................................................................................................................7c) Langsame Fluktuationen..........................................................................................................................8d) Seltene große Störungen..........................................................................................................................8

III. Amplitudeneigenschaften ..........................................................................................................................81. PDF ..............................................................................................................................................................82. Gauß'sche Amplitudenverteilung..................................................................................................................8

IV. Thermisches Rauschen...............................................................................................................................91. Modellannahmen..........................................................................................................................................92. Thermische Rauschspannung .......................................................................................................................93. Rauschzahl ...................................................................................................................................................94. Rauschtemperatur.......................................................................................................................................10

V. Messung verrauschter konstanter Signale .............................................................................................101. Güteparameter (S/N-Verhältnis) ................................................................................................................102. Digitale Mittelung ......................................................................................................................................10

a) Verfahren................................................................................................................................................10b) Erfolg .....................................................................................................................................................10c) Randbedingungen...................................................................................................................................11d) Mittelung korrelierter Messwerte ...........................................................................................................11

3. Analoge Mittelung......................................................................................................................................11a) Anschaulich............................................................................................................................................11b) Quantitativ..............................................................................................................................................12

VI. Analoge Rauschunterdrückung veränderlicher Signale .......................................................................121. Zeitverlauf langsam veränderlicher Messsignale........................................................................................12

a) Idealmesskurven.....................................................................................................................................12b) Idealspektrum.........................................................................................................................................13c) Realmesskurve........................................................................................................................................14d) Realspektrum..........................................................................................................................................15

2. Wirkung eines RC-Tiefpass-Filters auf das Rauschen ...............................................................................153. Wirkung eines RC-Tiefpass-Filters auf das Nutzsignal..............................................................................15

a) Asymmetrie ...........................................................................................................................................15b) Zeitversatz/ Verschiebung.....................................................................................................................15c) Signal- Breitenabhängigkeit ..................................................................................................................16d) Flächenkonstanz ....................................................................................................................................16

4. Optimale RC-Zeit .......................................................................................................................................16a) Systematische Fehler .............................................................................................................................16b) Statistische Fehler .................................................................................................................................16c) Gesamtfehlerminimierung .....................................................................................................................16

Grundannahmen 3


d) S/N-Abhängigkeit des Optimums..........................................................................................................165. Vorteile ......................................................................................................................................................17

a) Einfach, Billig .......................................................................................................................................17b) Echtzeitfähig ohne Zeitversatz ..............................................................................................................17c) Leicht parametrisierbar .........................................................................................................................17

6. Nachteile ....................................................................................................................................................17a) Typ schwer änderbar .............................................................................................................................17b) Parameteränderung über Bauelementeänderung ...................................................................................17c) Gravierende Signalverformung .............................................................................................................17d) Nur kausale Impulsantwort: Asymmetrie ..............................................................................................17

VII. Digitale Rauschunterdrückung veränderlicher Signale........................................................................171. Digitalfilter.................................................................................................................................................172. Mittelwertfilter ...........................................................................................................................................18

a) Formel ...................................................................................................................................................18b) Funktion ................................................................................................................................................18c) Impulsantwort........................................................................................................................................18d) Vorteil ...................................................................................................................................................18e) Nachteil .................................................................................................................................................18

3. Symmetrisches Mittelwertfilter ..................................................................................................................18a) Koeffizienten.........................................................................................................................................19b) Rauschunterdrückung............................................................................................................................19c) Numerisches Beispiel ............................................................................................................................19d) Frequenzgang ........................................................................................................................................20e) Konstante Signale..................................................................................................................................20f) Linear anwachsende Signale .................................................................................................................20g) Rechteckstufe ........................................................................................................................................21h) Signalfläche (0.Moment).......................................................................................................................21i) Signalhöhe.............................................................................................................................................21j) Signalschwerpunkt (1.Moment) ............................................................................................................22k) Signalbreite (2.Moment) .......................................................................................................................22

4. Idealer Tiefpass ..........................................................................................................................................23a) Sollfrequenzgang...................................................................................................................................23b) Sollimpulsantwort .................................................................................................................................23c) Näherungsweise machbar:.....................................................................................................................23

5. Optimales Filter..........................................................................................................................................24a) Ziel ........................................................................................................................................................24b) Voraussetzungen ...................................................................................................................................24c) Frequenzmodell.....................................................................................................................................24d) Impulsantwort eines optimalen Filter ....................................................................................................24e) Ausgangssignal......................................................................................................................................25f) Beispiel .................................................................................................................................................25

6. Polynomfilter..............................................................................................................................................26a) Ansatz Polynom-Koeffizienten .............................................................................................................26b) Ansatz gleitende Polynomanpassung.....................................................................................................26c) Ansatz Momentenerhaltung...................................................................................................................26d) Koeffizienten für Polynomfilter 2.Ordnung ..........................................................................................27e) Eigenschaften von Polynomfiltern 2.Ordnung ......................................................................................27f) Rekursive Darstellung ...........................................................................................................................27g) Messkurvenvergleich.............................................................................................................................28h) Filtervergleich .......................................................................................................................................29

Grundannahmen 4


G. PHYSIKALISCHES RAUSCHEN

I. GRUNDANNAHMEN

1. Unabhängigkeit und Superposition

a) Superposition

Wir nehmen stets an, dass der Messprozess eine additive Überlagerung von zwei Sorten von Signalen liefert. Zum einen das Signal (engl. Signal) und zum anderen das Rauschen (engl. Noise):

Messsignal=S N+

Jede dieser beiden Signaltypen kann statistisch für sich behandelt werden.

Dabei sei µ( )S das Messziel, und σ ( )S = 0 . D.h. der wahre Messwert ist rauschfrei.

Umgekehrt gehen wir davon aus, dass das Rauschen keinen Mittelwert hat: µ( )N = 0 . Und σ σ( )S Gesamt= .

Der Grundgedanke besteht nun darin, mit statistischen Methoden µ σ und zu bestimmen um dann den Mittelwert als den wahren Messwert und σ als Ursache für das Rauschen zu inter-pretieren.

b) Unabhängigkeit

Der Gedanke ist der, dass das Rauschsignal vollkommen unabhängig vom Messwert ist.

Diese Annahme ist allerdings nur für die analoge Messtechnik zutreffend. In der Elementar-teilchenphysik ist diese Annahme nicht richtig, denn dort gibt es keinen wahren Wert. Der Messwert ist dort poissonverteilt und es gilt: σ ( )S ≠ 0 .

2. Konstantes Signal und konstantes Rauschen

Wir nehmen an, dass Stationarität gilt, d.h. sowohl µ als auch σ sind keine Funktionen der Zeit:

µ µ σ σ≠ ≠( ) ( )t t

weiterhin gilt:

µ µ( )S N S+ =

und für den Schätzoperator für den Mittelwert:

( ) Schätzung aus Signaly S N+ =

Zeiteigenschaften von Rauschen 5


ebenso für σ :

σ σ( )S N N+ =

und für den Schätzoperator für σ :

2 ( ) Schätzung aus RauschenS S N+ =

Dies sind die Voraussetzungen für das analoge physikalische Rauschen, ohne etwas über die Quelle des Rauschens gesagt zu haben.

II. ZEITEIGENSCHAFTEN VON RAUSCHEN

1. AKF

Die AKF charakterisiert das Rauschen. Wir wissen schon, dass die AKF eines Rauschsignals symmetrisch ist und etwa so aussieht:

Abbildung G-1

Eine Eigenschaft dieser AKF ist: Rxx ( )∞ = 0 .

Eine Kenngröße ist die sogenannte Korrelationszeit τ . Sie gibt den Wert der Zeit an, zu dem die AKF auf ein e-tel abgesunken ist. Diese Kenngröße ist deshalb wichtig, weil man zwi-schen zwei Messungen eim Mehrfaches der Zeit τ abwarten muss, um die Unabhängigkeit der Stichproben zu sichern.

Die AKF von Rauschen hat häufig RC-Charakter. Dieser RC-Charakter kann durch den phy-sikalischen Prozess, durch den Sensor oder durch die Auswerteelektronik hervorgerufen wor-den sein. Weil insbesondere die Auswerteelektronik gerne Rauschen dieser Art verursacht, wird unabhängig vom Rauschen des physikalischen Prozesses am Ausgang der Messung fast immer Rauschen mit RC-Charakter gemessen.

2. Spektrale Leistungsdichte

Wenn wir es mit einem Rauschen mit RC-Charakter zu tun haben, können wir analog zu ei-nem RC-Glied die Fouriertransformierte hinzeichnen:



Abbildung G-2

Die Grenzfrequenz ωτg ∝1

markiert den Eckpunkt des Rechteckes (unterlegt eingezeichnet),

dessen Fläche gleich ist der Fläche unter der Kurve von F( )ω → ∞ 2 und entspricht nach dem

Parceval´schen Theorem der Rauschleistung.

Je nach Höhe der Korrelationszeit τ wird in dem Rauschsignal unterschiedlich hohe Gesamt-energie stecken.

3. Weißes Rauschen

Einen Extremwert für τ finden wir in dem schon diskutierten weißen Rauschen. Hier ist die Korrelationszeit sehr klein und die AKF ist die Delta-Funktion.

a) Physik

Viele Rauschursachen können auf thermische Bewegungen der Elementarteilchen zurückge-

führt werden. Die Fluktuationszeiten sind hier extrem kurz ( < −10 13s ), so dass alle Messzei-ten (egal welche Messmethode angewendet wird) sehr viel länger sind. Hier können wir von echtem unkorreliertem, also weißem Rauschen sprechen.

b) Effektivwert und Leistung

Andererseits wissen wir, dass gilt:

P F dAC = =∞

zσ ω ω2 2

0

( )

mit PAC = Wechselspannungsleistung. Dieses Integral divergiert aber, wenn die spektrale Lei-stungsdichte von weißem Rauschen eingesetzt wird, die ja nach Definition überall den glei-chen Wert hat. Das ist die Plausibilitätserklärung für die Tatsache, dass weißes Rauschen nicht existieren kann.

4. „Farbiges“ Rauschen

Da weißes Rauschen nicht existiert, haben wir es stets mit bandbreitenbegrenztem (farbigem) Rauschen zu tun. Zwei Spezialfälle werden jetzt diskutiert.



a) Rosa Rauschen

Ein "Ersatz" für das weiße Rauschen ist ja das reale bandbreitenbegrenzte Rauschen. DiesesRauschen hat ein endliches Spektrum. Die ganz hohen Frequenzen fehlen. In Analogie zum weißen Licht, dem man die hohen (blauen) Frequenzen ausfiltert, und das damit optisch rosa erscheint, nennt man dieses Rauschen rosa Rauschen.

b) 1/f-Rauschen

Das 1/f - Rauschen findet sich vor allem bei den elektrischen Phänomenen in der Physik wie-der. Alle elektrischen Ladungsträger haben eine Wechselwirkung untereinander und machen häufig gemeinsam korrelierte Bewegungen bei tiefen Frequenzen. Das führt zu einer hohen Intensität der langsamen Fluktationen. Die spektrale Leistungsdichte ist nicht die vom weißen Rauschen, sondern sieht hyperbolisch aus:

Abbildung G-3

Diese Art von Rauschen ist besonders stark bei Halbleitern vertreten, denen stets das konven-tionelle Rauschen (Leitungsrauschen) überlagert ist. Bei hohen Frequenzen wird das konven-tionelle Rauschen überwiegen.

Die Existenz des 1/f-Rauschens ist auch ein Grund dafür, warum nicht gerne bei niedrigen Frequenzen gemessen wird.

Die Rauschleistung bleibt gleich bei Verdoppelung der Frequenz (eine Oktave). Die Fläche unter der Kurve zwischen 1 und 2 ist genauso groß wie die Fläche unter der Kurve 2 bis 4. Bei 1/f-Rauschen ist die Rauschleistung je Oktave also konstant.

5. Weitere Rauschmechanismen

a) Schnell fluktuierende Störungen

Außer dem durch atomphysikalische Vorgänge hervorgerufenen hochfrequenten Rauschen gibt es noch eine Reihe anderer Rauschursachen, die ebenfalls sehr schnell und zufällig ge-genüber dem Messtakt fluktuieren. Solch ein Rauschen, welches beispielsweise durch äußere Einflussgrößen (insbesondere elektromagnetische Felder) hervorgerufen wird, nennt man schnell fluktuierende Störungen.

b) Periodische Störungen

Periodische Störungen haben ihre Ursachen hauptsächlich durch magnetische Wechselfelder (50 Hz / 100 Hz), die indirekt (magnetisch/ elektrisch/ optisch) auf das Messsystem wirken und dort ein resonantes Signal hervorrufen:

Amplitudeneigenschaften 8


Abbildung G-4

Periodische Störungen spielen in der Praxis oft die dominanteste Rolle.

c) Langsame Fluktuationen

Einflussgrößen, die sich langsam gegenüber dem Messtakt verändern nennt man langsame Fluktuationen. Typische Vertreter solcher Störungen sind die Temperatur oder der Luftdruck.

Solche Größen lassen sich wegen ihres Charakters nicht mehr mit den statistischen Rausch-methoden behandeln.

d) Seltene große Störungen

Typische Vertreter sind nichtperiodische Entladungsvorgänge, Spannungsspitzen durch Ein-schaltvorgänge, einmalige akustische Vorgänge (Knall, Donner etc.) usw.. Solche seltenen (selten bezogen auf den Messtakt) großen Störungen kommen in der Praxis relativ häufig vor.

III. AMPLITUDENEIGENSCHAFTEN

1. PDF

Neben den bisher diskutierten Zeiteigenschaften von Rauschen interessieren natürlich auch dessen Amplitudeneigenschaften die mit der PDF charakterisiert werden.

Die Fragestellungen sind:

− Ist das vorliegende Rauschen gaußverteilt? Die Grundannahmen (Superposition vieler Er-eignisse) sind uns genauso wie die Auswertetechnik (Chi-Quadrat-Test, Gauß-Summenpapier) schon bekannt.

− Beinhaltet das Rauschen seltene große Störungen? Solche Störungen werden auch wegen ihres Aussehens in der Frequenzdarstellung Shot-Noise oder Spikes genannt. Solche Stö-rungen verhindern, dass eine gaußförmige PDF für große Werte nicht gegen Null geht und sind daran auch zu erkennen.Durch eine sogenannte 2σ - Elimination werden solche Störungen nach folgendem Schema "herausgefiltert": Nach Abschätzung der Varianz σ werden alle Messwerte die größer als ±2σ sind, unberücksichtigt gelassen. Nach dieser bereinigenden Reduktion der Rohda-tenmenge wird eine erneute Auswertung vorgenommen.

2. Gauß'sche Amplitudenverteilung

Die Annahme für die Amplitudenverteilung sollte stets die (berechenbare) Gaußverteilung sein. Um dies zu erreichen, müssen mehrere Punkte beachtet werden:

Thermisches Rauschen 9


− Ist die Annahme physikalisch korrekt?

− Kann die vorliegende PDF durch die oben beschriebene 2σ - Elimination zu einer nähe-rungsweisen Gaußverteilung gemacht werden?

− Kann durch eine Mittelung mehrerer Messwerte die PDF zu einer Gaußverteilung geformt werden?

IV. THERMISCHES RAUSCHEN

1. Modellannahmen

Die Ursache des thermischen Rauschens ist die physikalische Modellannahme der thermi-schen Bewegungen der Ladungsträger, die gleichmäßig und unabhängig fluktuieren. Die Fel-der dieser Ladungsträger summieren sich zu einer Spannung, die extern als Rauschen abge-griffen werden kann.

2. Thermische Rauschspannung

Die mittlere Energie, durch die das Rauschen hervorgerufen wird, entspricht:

P kTr ≈ 4

wobei k die Boltmann´sche Konstante und T die absolute Temperatur ist.

Für den endlichen Frequenzbereich ∆f gilt:

P kT fU

Rr = ⋅ =42

∆

Das ist die thermische Rauschleistung an dem Widerstand R. Die effektive Rauschspannung ist damit gegeben durch:

U U kT R feff = = ⋅ ⋅2 4 ∆

Das ist das Mindestrauschen, welches immer vorhanden ist. Das tatsächliche reale Rauschen wird allerdings durch die stets vorhandenen verborgenen Rauschquellen größer sein.

Beispiel: Für einen Widerstand R M= 1 Ω , und eine Frequenzbereich ∆f MHz= 1 erhält man bei Raumtemperatur eine thermische Rauschspannung von U Veff = 130µ .

3. Rauschzahl

Die Rauschzahl gibt das Verhältnis von tatsächlicher zur thermischen Rauschleistung in De-zibel an:

FP tatsächlich

P thermischdbr

r=

( )

( )

Messung verrauschter konstanter Signale 10


Die Rauschzahl ist daher ein Maß zur Charakterisierung der Güte der Rauschanpassung.

4. Rauschtemperatur

Eine andere Art reales Rauschen zu charakterisieren ist die Angabe der Rauschtemperatur. Die Rauschtemperatur errechnet sich durch Umstellen der Gleichung für die effektive Rausch-spannung und gibt die absolute Temperatur an, die der Widerstand haben müsste, um die ge-messene Rauschspannung zu liefern.

Die Rauschtemperatur ist immer größer als die tatsächliche, reale Temperatur da ja noch ande-re Rauschquellen außer dem thermischen Rauschen ihren Beitrag zu der gemessenen Rausch-spannung geliefert haben.

V. MESSUNG VERRAUSCHTER KONSTANTER SIGNALE

1. Güteparameter (S/N-Verhältnis)

Der Güteparameter ist das dimensionslose Verhältnis der Leistungen von Signal (S) und Rau-schen (N), der auch S/N-Verhältnis oder Störabstand genannt wird. Diese Größe ist verstär-kungsinvariant. D.h. bei einem idealen Verstärker wird sich das S/N-Verhältnis des Eingangs-signals nicht von dem S/N-Verhältnis des Ausgangssignals unterscheiden.

Wenn es sich um ein gaußverteiltes Rauschen handelt, kann aus dieser Größe auf die relative Aussagesicherheit geschlossen werden. Es ist:

rel. Aussagessicherheit ≈ FHG

IKJ

cSN

d.h. der Güteparameter hat einen Einfluss auf den relativen statistischen Fehler einer Mes-sung.

2. Digitale Mittelung

a) Verfahren

Die Schätzung des Mittelwertes ist (wie gehabt) der Durchschnitt:

yN

yii

N

==∑1

1

b) Erfolg

Die Varianz des Mittelwertes bei N Mittelungen sinkt nach folgender Gleichung:

σσ

NN

= 1

Messung verrauschter konstanter Signale 11


d.h., dass bei konstanten Signalen das S/N-Verhältnis mit der Anzahl der Mittelungen verbes-sert wird.

c) Randbedingungen

Die Randbedingung ist, dass es keinen systematischen Zusammenhang zwischen den einzel-nen Messwerten gibt (Messwerte sind unkorreliert). Für den Messtakt T muss darum gelten:

T >> τ

wobei τ die Korrelationszeit ist, die aus der AKF entnommen werden kann.

d) Mittelung korrelierter Messwerte

Wenn dagegen eine Mittelung von korrelierten Messwerten gemacht wird, dann wird sich die Varianz nicht im gleichen Umfange verringern wie bei unkorrelierten Messwerten. Es gilt all-gemein folgendes Gesetz:

σ σ αN N= ⋅ −

1

mit:

− α = 0 5, wenn vollkommen unkorreliert (s.oben).

− α = 0 1, wenn korreliert.

− α = 0 wenn vollkommen korreliert.

Wenn nun eine Verbesserung des Ergebnisses dadurch versucht wird, indem die Anzahl der Messungen vergrößert und somit der Messabstand verkleinert wird, so wird die Randbedin-gung T >> τ verletzt. Der Faktor α wird drastisch abnehmen und sich damit die Güte der Messung um keinen Deut verbessern.

Trotzdem wird i.A. mit hoher Messrate gemessen um das Sampling-Theorem nicht zu verlet-zen. Dieses fordert ja die Abtastung des Signals mit einer Messfrequenz, die doppelt so hoch ist, wie die höchste Frequenz, welche in dem zu messenden Signals vorkommt.

Das hat zur Folge, dass u.U. korrelierte Messwerte gemessen werden, deren Streuung auch durch Mittelung nicht kleiner wird. Allerdings wird die Messung aber auch nicht schlechter.

3. Analoge Mittelung

a) Anschaulich

Im Allgemeinen wird ein "gewichteter" Mittler verwendet: das RC-Teifpass. Wird ein ver-rauschtes Eingangssignal durch ein solches RC-Glied "geschickt", so wird es im Sinne der Systemtheorie mit der (dem Rauschen ganz ähnlichen) spektralen Übertragungsfunktion des RC-Gliedes multipliziert. Wenn die Zeitkonstante des RC-Gliedes (τ RC ) kleiner ist als die Zeitkonstante des Rauschens (τ 0 ), so wird das Ausgangssignal in dem oberen Frequenzbe-reich "beschnitten" und damit das Rauschen verringert.

Analoge Rauschunterdrückung veränderlicher Signale 12


b) Quantitativ

Das S/N-Verhältnis wird sich nach dem RC-Glied quantitativ folgendermaßen verbessern:

S

N

S

NRC

RCFHG

IKJ = ⋅FHG

IKJ

ττ 0 0

Man kann also für das thermische Rauschen argumentieren, dass durch eine Erhöhung der Korrelationszeit durch das RC-Glied das Rauschen verringert wird:

Rauschen( )στ

≈ ≈∆f1

VI. ANALOGE RAUSCHUNTERDRÜCKUNG VERÄNDERLICHER SIGNALE

1. Zeitverlauf langsam veränderlicher Messsignale

a) Idealmesskurven

Wir wollen drei verschiedene langsam veränderliche Messsignale betrachten.

1. Die ideale Messkurve (ohne Rauschen) eines linear ansteigenden Signals:

Abbildung G-5



2. Die Sprungantwort:

Abbildung G-6

3. Eine ideale typische Resonanzmesskurve:

Abbildung G-7

b) Idealspektrum

Allen diesen zeitlich langsam veränderlichen Messsignalen ist gemeinsam, dass sie ein Fre-quenzspektrum haben, welches sich nur Anteile im niedrigen Frequenzbereich beinhaltet:

Abbildung G-8



c) Realmesskurve

Die realen Messkurven sind vom Rauschen überlagert.

1. Die reale Messkurve eines linear ansteigenden Signals:

Abbildung G-9

2. Die verrauschte Sprungantwort:

Abbildung G-10

3. Eine verrauschte Resonanzmesskurve:

Abbildung G-11



d) Realspektrum

Dem realen Spektrum ist das Rauschspektrum überlagert. Dieses Spektrum enthält alle Fre-quenzen bis zu einer Maximalfrequenz:

Abbildung G-12

2. Wirkung eines RC-Tiefpass-Filters auf das Rauschen

Das RC-Glied hat auf das Rauschen die uns schon bekannte Wirkung. Für ein großes RC-Glied mit kleiner Bandbreite wird das Rauschen mit höherer Bandbreite abnehmen.

3. Wirkung eines RC-Tiefpass-Filters auf das Nutzsignal

Ein konstantes Signal hat ein Frequenzspektrum um die Frequenz Null. Dort können mit be-liebigen RC-Tiefpass-Filter höherfrequentes Rauschen eliminiert werden, ohne das Nutzsignal in seiner Form zu beeinflussen. Das ist bei zeitlich veränderlichen Signalen anders.

Solange die Zeitkonstante des RC-Glieds groß ist gegenüber der höchsten Frequenzkompo-nente des Nutzsignals wird auch hier wenig mit dem Nutzsignal passieren.

a) Asymmetrie

Symmetrische Signale werden durch ein RC-Tiefpassfilter asymmetrisch. Der Grund liegt in der Tatsache, dass das Ausgangssignal das Eingangssignal gefaltet mit der Impulsantwort des Systems ist. Die Impulsantwort eines RC-Gliedes war aber asymmetrisch. Wir wissen weiter-hin dass eine symmetrische Funktion gefaltet mit einer asymmetrischen als Ergebnis eine a-symmetrische Funktion hat. Folglich geht die grundsätzliche Symmetrie verloren.

b) Zeitversatz/ Verschiebung

Der zeitliche Versatz ist ungefähr so groß wie die Zeitkonstante des RC-Gliedes. Diese Kon-sequenz ist besonders wichtig zu beachten bei Resonanzkurven, bei denen die Lagen der Ma-xima sehr aussagekräftig sind:



Abbildung G-13

c) Signal- Breitenabhängigkeit

Zusätzlich zu der Zeitverschiebung wird sich das gefilterte Signal auch etwas verbreitern. Auch dieses kann zu einer Verschlechterung der Aussagefähigkeit einer Resonanzkurve füh-ren.

d) Flächenkonstanz

Eine Eigenschaft der Kurve bleibt auch nach der Filterung vollständig erhalten: Die Fläche unter der Resonanzkurve bleibt konstant, obwohl sie möglicherweise breiter und zeitlich ver-schoben wurde.

Diese Eigenschaft wird in der chemischen Analyse sehr häufig genutzt, weil oft die Stoffmen-ge proportional zu der Fläche unter Kurve ist.

4. Optimale RC-Zeit

a) Systematische Fehler

Die systematischen Fehler sind proportional zu der Zeitkonstanten τ . Je größer diese Zeit-konstante, desto größer der systematische Fehler.

Welcher dieser (oben beschriebenen) Fehler gerade interessiert, hängt sicherlich von der je-weiligen Anwendung ab und kann nicht allgemein angegeben werden.

b) Statistische Fehler

Der statistische Fehler ist dagegen proportional zu ≈ 1τ

weil das Rauschen mit der Ver-

größerung der Zeitkonstante abnimmt.

c) Gesamtfehlerminimierung

Für die beiden Fehlereinflüsse auf das signalverarbeitende System kann leider kein allgemein gültiges Schema dafür angegeben werden, wie der Gesamtfehler minimiert werden kann.

d) S/N-Abhängigkeit des Optimums

Die optimale Zeitkonstante wird auch vom S/N-Verhältnis abhängen.

Digitale Rauschunterdrückung veränderlicher Signale 17


5. Vorteile

a) Einfach, Billig

Der große Vorteil eines RC-Gliedes ist natürlich sein einfacher Aufbau und die geringen An-schaffungskosten.

b) Echtzeitfähig ohne Zeitversatz

Man braucht keine Rechenzeit, d.h. das Ergebnis liegt in Echtzeit ohne zeitliche Verzögerung vor.

c) Leicht parametrisierbar

Die Anpassung an verschiedene Messsituationen kann mit RC-Gliedern sehr einfach realisiert werden.

6. Nachteile

a) Typ schwer änderbar

Der Grundtyp (z.B. Flankensteilheit etc.) des Filters lässt sich nicht ändern. (Dies wäre bei manchen Anwendungen von Vorteil).

b) Parameteränderung über Bauelementeänderung

Eine Parameteränderung ist nur über eine Bauelementeänderung möglich.

c) Gravierende Signalverformung

Der größte Nachteil ist aber die gravierende Signalverformung.

d) Nur kausale Impulsantwort: Asymmetrie

Die grundsätzliche Asymmetrie durch die asymmetrische Impulsantwort. Die wiederum ist begründet in der Kausalitätsforderung: links von y-Achse muss die Impulsantwort eines kau-salen Systems Null sein (s.Systemtheorie).

VII. DIGITALE RAUSCHUNTERDRÜCKUNG VERÄNDERLICHER SIGNALE

1. Digitalfilter

In dem Kapitel über Digitalfilter haben wir ausführlich diskutiert, dass mit ihnen grundsätz-lich alle Methoden der analogen Rauschunterdrückung nachgebildet werden können. Selbst das RC-Filter konnte mit der Abart des rekursiven Digitalfilters nachgeahmt werden.

Der benötigte Samplingtakt des Digitalfilters ist durch die maximale Frequenz des Signals vorgegeben.

Die Filterkoeffizienten a i[ ] bestimmen die Eigenschaften des Filters. Einige Filter mit be-stimmten Koeffizienten werden im Folgenden diskutiert.



2. Mittelwertfilter

a) Formel

Die Grundgleichung des Echtzeitfilters war:

y x i a ii

N

= − ⋅=∑ [ ] [ ]

0

b) Funktion

Das Mittelwertfilter hat konstante Koeffizienten:

a iN

[ ] =+1

1

Das Filter wird also beschrieben durch folgende Funktion:

yN

x ii

N

=+

−=∑1

1 0

[ ]

dies ist nichts anderes als ein gleitender Durchschnitt.

c) Impulsantwort

Die Impulsantwort ist die grafische Darstellung der Filterkoeffizienten:

Abbildung G-14

d) Vorteil

Die Vorteile eines solchen Filters sind natürlich alle allgemeinen Vorteile von Digitalfiltern wie z.B. Reproduzierbarkeit, Genauigkeit, Temperaturunabhängigkeit.

e) Nachteil

Diese Filter hat wie jedes andere Filter eine asymmetrische Impulsantwort.

3. Symmetrisches Mittelwertfilter

Das Ziel eines solchen Filters ist die zeitliche Symmetrie-Erhaltung des Signals. D.h. eine Zeitsymmetrie zu einer beliebigen Zeitpunktsachse soll erhalten bleiben. Dazu ist eine sym-metrische Impulsantwort notwendig.



a) Koeffizienten

Die Koeffizienten können nun auch im Negativen liegen. Es handelt sich also um eine nicht-kausale Impulsantwort mit konstanten Koeffizienten:

Für N a iN

= =+

21

2 1 und [ ] gilt:

Abbildung G-15

Die Filterfunktion lautet:

y x i a iN

x ii N

N

i N

N

= − ⋅ =+

⋅ −=− =−∑ ∑[ ] [ ] [ ]

1

2 1

Das Ausgangssignal wird erst dann berechnet, wenn zwei Elemente der Zukunft eingelesen sind. D.h. Signalausgabe wird um 2 Takte verzögert.

b) Rauschunterdrückung

Die mit diesem Filter erzielbare Rauschunterdrückung des Ausgangssignals bei angenommen unkorreliertem gaußverteiltem Eingangsrauschen wird bestimmt durch:

σ σA EN

= ⋅+

1

2 1

c) Numerisches Beispiel

Sei N a a a= − = = =1 1 0 11

3 und [ ] [ ] [ ] . Die Impulsantwort hat folgendes Aussehen:

Abbildung G-16

Das Beispiel soll an einem dreickförmigen Eingangssignal durchgespielt werden. Die Re-chenvorschrift lautet "Ersetze jeden Punkt durch den Durchschnitt von ihm selber mit seinem linken und rechten Nachbarn"



Abbildung G-17

Man sieht, dass mit der Symmetrie auch die Lage des Maximums erhalten geblieben ist.

d) Frequenzgang

Der Frequenzgang eines solchen Filters hat wieder die uns schon hinreichend bekannte Form von sin x

x :

Abbildung G-18

Dieser Frequenzgang ist reell.

e) Konstante Signale

Die Frequenzkomponenten für ω = 0 bleiben exakt erhalten. Folglich bleiben konstante Sig-nale auch konstant.

f) Linear anwachsende Signale

Bei einem linear ansteigenden Signal mit konstanter Steigung bleibt die Form des Signals (fast) erhalten.



Abbildung G-19

Lediglich um den Nullpunkt entstehen kleinere Artefakte.

g) Rechteckstufe

Bei einem Signal welches sich schlagartig mit der Zeit ändert (z.B. Rechteckstufe) wird sich das Ausgangssignal mit einer gewissen Eckenglättung darstellen.

Abbildung G-20

Dieses Verhalten ist dem eines RC-Filters recht ähnlich. Bemerkenswert ist die Tatsache, dass bei diesem nichtkausalen Filter das Ausgangssignal schon ansteigt, obwohl das Eingangssig-nal noch immer Null ist.

h) Signalfläche (0.Moment)

Interessant für viele Anwendungen in der Spektroskopie ist die Tatsache, dass dieses Filter flächenerhaltend ist. Dies können wir am obigen Beispiel mit der Dreiecks-Eingangsfunktion gut nachvollziehen. Dort ist sowohl die Eingangsfläche als auch die Ausgangsfläche gleich vier.

i) Signalhöhe

Betrachten wir wieder die Dreiecks-Eingangsfunktion, so können wir ablesen, dass die Sig-nalhöhe des Eingangssignals SE = 2 und die des Ausgangssignals SA = 4

3 ist. Für dieses Fil-

ter verhält sich das Eingangs- zu Ausgangsrauschen bei unkorreliertem Gaußrauschen wie:



N NA E= ⋅1

3

Damit können wir das Signal/Rauschverhältnis von Eingangs- und Ausgangssignal angeben:

S

N

S

NA E

FHG

IKJ = F

HGIKJ ⋅

≈

2

33

115.;

Die Rauschverbesserung beträgt also etwa 15%. Das Ausgangssignal ist zwar insgesamt nied-riger als das Eingangssignal, aber die relative Rauschamplitude hat trotzdem um 15% abge-nommen.

j) Signalschwerpunkt (1.Moment)

Das 1.Moment war die Schwerpunktlage der Signalfläche. Die ausgeschnittene Kurve würde an diesem Punkt unterstützt ihre Gleichgewichtslage haben.

Dieses 1.Moment bleibt bei der Filterung erhalten.

k) Signalbreite (2.Moment)

Das 2.Moment ( i x i2 ⋅ [ ] ) ist ein Maß für die Breite und wird bei der Filterung stark vergrößert.

Rechenbeispiel (Dreiecks-Eingangssignal):

2.(Zentral-) Moment vorher: ( ) ( ) ( )− ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =2 0 1 1 0 2 1 1 2 0 22 2 2 2 2

und nachher: ( ) ( ) ( ) ,− ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =21

31 1 0

4

31 1 2

1

34 662 2 2 2 2

D.h. das 2.Moment hat stark zugenommen.



4. Idealer Tiefpass

a) Sollfrequenzgang

Der Frequenzgang eines idealen Tiefpasses ist die Rechteck-Funktion:

Abbildung G-21

Wir hatten schon diskutiert, dass dieser Frequenzgang eine nichtkausale (und deshalb in Echt-zeit nicht realisierbare) Impulsantwort fordert.

b) Sollimpulsantwort

Diese nichtkausale Impulsantwort hat die Form einer sin xx -Kurve:

Abbildung G-22

c) Näherungsweise machbar:

Mit den Digitalfiltern ist eine näherungsweise Realisierung eines solchen Filters mit nichtkau-saler Impulsantwort durch Zwischenspeicherung der Messwerte möglich.



5. Optimales Filter

a) Ziel

Gesucht ist ein Filter, welches ein optimales S/N-Verhalten aufweist. Wir haben schon disku-tiert, dass bei der Filterung sowohl die Signalamplitude (unerwünschter negativer Effekt) als auch die Rauschamplitude (gewünschter positiver Effekt) gedämpft wird. Bei dem obigen Beispiel wurde (glücklicher Weise) das Rauschen stärker gedämpft als das Signal. Es hätte aber auch bei geeigneten Koeffizienten anders herum sein können. Irgendwo liegen Filterkoef-fizienten mit den optimalen Werten. Die Frage lautet allgemein: Wie sieht die Impulsantwort eines des Filters aus, dass das optimale S/N-Verhältnis liefert?

b) Voraussetzungen

Zunächst wird vorausgesetzt, dass die Signalform des Eingangssignals bekannt ist. Diese Vor-aussetzung führt die Filterung keineswegs ad absurdum. Es gibt in der Messtechnik nämlich sehr häufig Problemstellungen, bei denen zwar die prinzipielle Signalform bekannt ist, aber nicht deren Höhe und Lage auf der x-Achse. Dies ist z.B. bei der chemischen Spurenanalyse durch Resonanzverfahren stets der Fall.

Weiterhin soll neben den Typ des Signals auch der Typus des Rauschens - also seine AKF-bekannt sein. Wir werden stets von gaußverteiltem, weißem Rauschen ausgehen.

c) Frequenzmodell

In die Modellannahme fließt das bekannte Wissen über das Spektrum der Eingangsfunktion ein. Unbekannt ist die absolute Skalierung (die Höhe) des Spektrums und das Phasenspekt-rum. Die Idee des optimalen Filters ist die, dass es eigentlich genau die gleiche Spektrums-Struktur wie das Eingangssignal haben müsste, um jede Frequenzkomponente entsprechend der Eingangsspektrallinien zu gewichten.

Aus der mathematischen Theorie folgt der Beweis, dass ein optimales Filter genau das gleiche Spektrum haben muss, wenn das Rauschen spektral konstant ist:

Abbildung G-23

d) Impulsantwort eines optimalen Filter

Die Impulsantwort I(t) eines idealen Filters ist ja die Fouriertransformierte von H( )ω , und das ist in diesem Fall nichts anderes als die Signalfunktion S(t):



I t S t( ) ( )=

Das verblüffende Ergebnis aus der Theorie optimaler Filter lautet: man nehme als Filterfunk-tion das Signal selber.

e) Ausgangssignal

Das Ausgangssignal eines optimalen Filters ist im Grunde die Faltung des Eingangssignals mit sich selber. Die Signalform des Ausgangssignals wird sich daher drastisch verzerrt dar-stellen.

Allerdings war unser Ziel (s.o.) nicht die optimale Formerhaltung, sondern ein optimales S/N-Verhältnis an der Stelle des Maximums der Eingangsfunktion.

Nutzbar sind daher von dem verzerrten Ausgangssignal folgende Informationen:

− die Symmetrie (sie bleibt erhalten)

− die Lage auf der x-Achse

− die Höhe des Maximums, die in etwa der Höhe des Eingangssignals entspricht.

f) Beispiel

Als Beispiel soll wieder die Dreiecksfunktion als Eingangsfunktion dienen. Das ideale Filter sieht also genauso aus. Normalerweise werden in der Messtechnik die Filterkoeffizienten nor-miert:

a ii N

N

[ ] ==−∑ 1

Die Normierung hat den Vorteil, dass Konstanten bei der Filterung erhalten bleiben und nicht verstärkt oder gedämpft werden. Die normierten Filterkoeffizienten des optimalen Filters lau-ten:

a[-2]=0, a[-1]=¼, a[0]=½, a[1]=¼, a[2]=0

Diesen Filter angewendet auf das Eingangssignal ergibt:

Abbildung G-24



Die Höhe S des Ausgangssignals ist S = ⋅0 75, Eingangssignal . Das gaußverteilte, unkorrelier-te Eingangsrauschen N0 reduziert sich demgegenüber zu:

N N

N

= FHG

IKJ + F

HGIKJ + F

HGIKJ ⋅

= ⋅

1

4

1

2

1

4

6

4

2 2 2

0

0

Das S/N-Verhältnis berechnet sich damit zu:

S

N

S

N

S

N

S

NAusgang

FHG

IKJ = ⋅ ⋅FHG

IKJ = ⋅FHG

IKJ ≈ ⋅FHG

IKJ

3

4

4

6

3

61 22

0 0 0

,

Am Ausgang haben wir also eine Rauschverbesserung von 22% erzielt.

6. Polynomfilter

Oft soll das Ausgangssignal in seiner Form erhalten bleiben, weil die Form nicht genau be-kannt ist. Dies verspricht die Gruppe der Polynomfilter, für die es drei verschiedene mathema-tische Ansätze gibt die im Folgenden diskutiert werden.

a) Ansatz Polynom-Koeffizienten

Dieser Ansatz verwendet als Filterkoeffizienten Polynome. Bisher waren die Filterkoeffizien-ten Konstanten (also Polynome 0.-ter Ordnung). Es können aber auch Polynome n-ter Ord-nung dafür verwendet werden.

Soll das Filter symmetrieerhaltend sein, kann hierfür nur die Klasse der geraden Polynome verwenden werden da nur sie symmetrisch sind.

b) Ansatz gleitende Polynomanpassung

Dieser Ansatz geht von der Annahme aus, dass unter der verrauschten Kurve das unverrausch-te Signal liegt, welches stückweise durch Parabeln n-ter Ordnung angepasst werden kann. Ähnlich wie bei der Anpassung der Korrelationsgeraden durch die Methode der kleinsten Feh-lerquadrate wird nun für jeden Messpunkt der verrauschten Kurve ein Polynom mit (2N+1) Stützstellen (N-Werte rechts vom Messpunkt, N-Werte links vom Messpunkt und der Mess-punkt selber) angepasst.

Mit diesem angepassten Polynom, welches 2,4...n-ter Ordnung sein kann, wird nun der Wert am jeweiligen Messpunkt errechnet. Damit ist ein einziger Punkt der gesamten Kurve geglät-tet worden. Die gleiche Prozedur muss nun für jeden weiteren Punkt wiederholt werden.

c) Ansatz Momentenerhaltung

Die guten Eigenschaften des symmetrischen Mittelwertfilters bestehen in der Eigenart, das 0-te Moment (Fläche) und das 1-te Moment (Schwerpunkt) zu erhalten. Die Breite des Signals hat es dagegen nicht erhalten.



Bei dem Ansatz der Momentenerhaltung stellt man sich die Frage, ob es gelingt, ein digitales Filter zu konstruieren, welches neben dem 0-ten und 1-ten Moment auch alle weiteren wesent-lichen Momente, damit also die wichtigsten Eigenschaften des Signals erhalten.

An einem Beispiel haben wir schon durch die Normierungsbedingung die Flächenerhaltung in das Filter eingebaut. D.h. man kann die Momentenerhaltung umsetzen in Bedingungsglei-chungen für die Koeffizienten.

Zusätzlich soll dieses Filter natürlich die Eigenschaft der Rauschminimierung (optimales Fil-ter) besitzen.

Interessant an diesen drei Ansätzen ist, dass sie alle zum gleichen Ergebnis - dem Polynomfil-ter - führen.

d) Koeffizienten für Polynomfilter 2.Ordnung

Die Koeffizienten für ein Polynom 2.Ordnung sind:

a iN N i

N N N2

2 2

14

3 3 1 5

2 1 2 1 2 3[ ]

( )

( ) ( ) ( )=

+ − −− ⋅ + ⋅ +

Für N=2 (5-Punkte-Filter) wird daraus:

a ii

N2 2

217 5

35[ ] = =

−

also

a2 2 1 0 1 21

353 12 17 12 3[ , , , , ] [ , , , , ]− − = − −

Das sind die Koeffizienten für das einfachste Beispiel eines Polynomfilters 2.Ordnung.

e) Eigenschaften von Polynomfiltern 2.Ordnung

Wie sich zeigen lässt erhalten diese Filter alle Momente 0...3-ter Ordnung. Der größte Vorteil ist, dass die in der Spektroskopie wichtige Eigenschaft der Breite (2.Moment) erhalten bleibt.

Alle Signale, die parabelähnliche Abschnitte besitzen, sollten von diesem Filter besonders gut gefiltert werden.

Analog lassen sich auch die Koeffizienten für Polynomfilter 4.Ordnung angeben.

f) Rekursive Darstellung

Durch die rekursive Darstellung lässt sich einerseits die Anzahl der Koeffizienten und ande-rerseits in bestimmten Fällen auch der Rechenaufwand erheblich reduzieren.

M.U.A. Bromba hat sich in seiner Doktorarbeit in meiner Arbeitsgruppe u.a. mit der Frage beschäftigt, ob die Polynomfilter rekursiv dargestellt werden können.

Am einfachen Beispiel des gleitenden Mittelwertfilters kann das Prinzip erläutert werden. Zu-nächst wird die Summe über (2N+1) Punkte gebildet:



S k x k iNi N

N

[ ] [ ]= −=−∑

Der gleitende Mittelwert wird dann in einem zweiten Schritt ausgerechnet:

y kS k

NNN[ ]

[ ]=

+2 1

Aus der Summendefinition wird die Summe für k+1 ausgerechnet indem man zu der Summe von k ein Element (ganz rechts) hinzuaddiert und gleichzeitig hinten (ganz links) ein Element subtrahiert:

S k S k x k N x k NN N[ ] [ ] [ ] [ ]+ = + + + − −1 1

D.h. für den k+1-ten Wert des gleitenden Mittelwerts muss also nicht die ganze Summe mit (2N+1)-Glieder, sondern lediglich zwei Glieder neu berechnet werden. Der Rechenaufwand hat sich reduziert.

Um den Ausgangswert zu erhalten, wird wieder durch (2N+1)-dividiert:

y kS k

NNN[ ]

[ ]+ =

++

11

2 1

Bromba ist in seiner Arbeit gelungen zu zeigen, dass man alle Polynomfilter rekursiv darstel-len und damit den erforderlichen Rechenaufwand erheblich reduzieren kann. Damit ist es möglich, breite Polynomfilter mit großer Anzahl N sehr schnell zu berechnen.

Die Problematik der Rundungsfehler konnte durch Bromba dadurch gelöst werden, dass erst bei der letzten Division (bei der Ausgabe des Messergebnisse) durch eine reelle Zahl ein klei-ner Rundungsfehler entsteht, der sich aber nicht weiter fortsetzt.

g) Messkurvenvergleich

Um die Mächtigkeit solcher Filter darzustellen hat Bromba einige Vergleiche mit RC-Filtern dargestellt. Diese Kurven sind normiert auf die Rauschunterdrückung. Das erste Bild zeigt eine Resonanzkurve mit großer Rauschamplitude:

Abbildung G-25



Das zweite Bild zeigt das gleiche Signal nach einer RC-Filterung. Man erkennt zwar eine deutliche Abnahme des Rauschens und der Amplitude, aber die Lage des Maximums ist um einen erheblichen Zeitversatz nach rechts verschoben. Die Verbreiterung und die Asymmetrie des gefilterten Signals lassen sich auf dieser Darstellung nicht so gut erkennen.

Abbildung G-26

Das dritte Bild schließlich zeigt das mit einem Polynomfilter 3.Ordnung gefilterte Signal. Die mittlere Rauschamplitude soll bei beiden Signalen wegen der vorgenommenen Normierung gleich sein. Lage, Symmetrie und Höhe bleiben erhalten. Die maximale Deformation des ge-filterten Signals liegt in diesem Fall bei etwa 1%:

Abbildung G-27

h) Filtervergleich

Grundsätzlich besitzt das Polynomfilter bessere Filtereigenschaften sowohl in der erzielbaren Rauschunterdrückung als auch in der systematischen Deformation des Signals als das RC-Filter.

In dem oberen Beispiel haben beide Filter die gleiche Filterbreite. Die Deformation lag bei dem Polynomfilter bei nur 1%. Die Deformation des RC-Filters lag bei 27%.

Vergleicht man die Filter unter der Prämisse, dass die maximale Deformation bei beiden Fil-tern nur 1% betragen soll, so wird man feststellen, dass das RC-Filter dies nur dann leisten kann, wenn dessen Zeitkonstante 30!-mal kleiner und damit das Rauschen etwa 5-mal höher (Wurzel!) ist als beim Polynomfilter.

Bromba hat in seiner Arbeit ein Diagramm berechnet, mit dem solche Filtervergleiche sehr einfach abgelesen werden können.

skriptum zur vorlesung: physikalische...

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