skripta

Digitalne telekomunikacije

skripta

Vladimir Milošević Vlado Delić Milan Narandžić Čedomir Stefanović

Univerzitet u Novom Sadu Fakultet tehničkih nauka

Katedra za telekomunikacije i obradu signala

The publishing of this script was financed by Austrian Cooperation

through WUS Austria within the CDP+ 025/2004 project.

THIS COPY IS NOT FOR SALE

Objavljivanje ove skripte omogućili su Austrian Cooperation i WUS

Austria u okviru projekta CDP+ 025/2004.

BESPLATAN PRIMERAK

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 5

SADRŽAJ

1. UVOD 7

1.1. Opšti model sistema za digitalni prenos signala 7 1.2. Kodni i modulacioni kanal 8

2. STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA 9

2.1. Uvod 9 2.2. Rešeni zadaci 15

VEŽBA 1 37

3. KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA 47


VEŽBA 2 67

4. SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE 71


5. LINIJSKO KODOVANJE 81


VEŽBA 3 93

6. PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU 95


7. VEROVATNOĆA GREŠKE PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU 119


8. OPTIMIZACIJA PRENOSA U OSNOVNOM OPSEGU 135


VEŽBA 4 157

6 SADRŽAJ

VEŽBA 5 163

9. DIGITALNA AMPLITUDSKA MODULACIJA 173


10. DIGITALNA FAZNA MODULACIJA 189


11. DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA 205


12. SPEKTRALNO EFIKASNE MODULACIJE 219


VEŽBA 6 237

13. PRENOS U PROŠIRENOM SPEKTRU 247


VEŽBA 7 261

14. SINHRONIZACIJA 263


VEŽBA 8 275

PRILOG 277

Tablica Q-funkcije 277

LITERATURA 281


1 UVOD

Telekomunikacije je moguće definisati kao proces prenosa poruka od jedne ili većeg broja tačaka - izvora, do drugih, udaljenih tačaka - korisnika poruka. Prenos se vrši posredstvom elektromagnetskih sistema. U zavisnosti od tipa prenošenih signala, razlikuju se analogni i digitalni prenos, odnosno analogne i digitalne telekomunikacije.

Digitalni signali mogu biti dvojakog porekla. Izvorno digitalni su oni signali koje generišu digitalni izvori i nazivaju se signali podataka. S druge strane, oni mogu nastati i digitalizovanjem analognih signala - A/D konverzijom; takvi su PCM i DM signali.

Bez obzira na poreklo, digitalni signali su slučajni signali, i tretiraju se alatima teorije verovatnoće. Takođe, svaki digitalni signal mora imati neku karakteristiku koja je diskontinualna u vremenu i koja se može opisati konačnim skupom diskretnih vrednosti. Ove vrednosti moguće je numerisati, pa se zato prenos digitalnih signala svodi na prenos brojki, odnosno digita.

1.1 OPŠTI MODEL SISTEMA ZA DIGITALNI PRENOS SIGNALA Blok šema sistema, data na slici 1.a, predstavlja opštu koncepciju prenosa digitalnih signala oba porekla. U tačku A na ulazu kodera dolazi digitalna poruka, predstavljena nizom simbola M-arnog alfabeta.

)(tf

}{ kb }{ ka )(ts

)(ˆ ts }ˆ{ ka }ˆ{ kb

)(ˆ tf

Slika 1.a Opšta blok šema sistema za digitalni prenos signala

Koder, prikazan blok šemom na slici 1.b. vrši višestruku transformaciju informacionog sadržaja signala na digitalnom nivou.

Skrembler obezbeđuje transparentnost digitalnog signala, omogućavajući liniji da dobro prenese signale bez obzira na prirodu izvora koji ih generiše. Skremblovanjem se postiže:

⋅ mala fluktuacija gustine jedinica (smanjenje verovatnoće pojave dugog niza nula), što je bitno za uspostavljanje sinhronizacije između predajnika i prijemnika;

8 UVOD

⋅ ravnomernost raspodele spektralne gustine srednje snage digitalnog signala i eliminacija periodičnih (diskretnih) komponenti signala, koje predstavljaju značajan uzrok preslušavanja između kanala.

Slika 1.b Blok šema kodera predajnika

Zaštitni koder povećava redundantnost digitalnog signala dodavanjem neinformacionih bita informacionom sadržaju. Na taj način povećava se otpornost digitalnog signala na uticaj smetnji, odnosno omogućava se detekcija i korekcija pogrešno prenetih simbola.

Linijski koder prilagođava spektar digitalnog signala karakteristikama linije veze, odnosno prenosnog medija i obezbeđuje uslove za sinhronizaciju i kontrolu ispravnosti prenosa.

Dekoder, prikazan blok šemom na slici 1.c. vrši takođe trostruku funkciju, koja je inverzna funkciji kodera.

Slika 1.c Blok šema dekodera prijemnika

1.2 KODNI I MODULACIONI KANAL Deo telekomunikacionog sistema na slici 1.1. koji obuhvata modulator, liniju veze i demodulator naziva se kodni kanal. Kodni kanal je diskretni, digitalni kanal, jer se na njegovom ulazu i izlazu pojavljuju nizovi simbola (kodne reči). Ukoliko se pretpostavi da je kodni kanal bez memorije (u modulacionom kanalu je prisutan samo šum) moguće ga je opisati matricom transverovatnoća.

Kodni kanal je okarakterisan verovatnoćom greške, kao kvantitativnom merom za ocenu kvaliteta prenosa simbola i diskretnih poruka (verovatnoća greške po simbolu, bitu, bloku bita itd.). Na osnovu karakteristika kodnog kanala vrši se izbor metoda zaštitnog kodovanja u cilju smanjenja verovatnoće greške.

U primopredajnim uređajima koder i dekoder zajedno čine kodek.

Modulacioni kanal je analogni kanal, čija je osnovna funkcija da što vernije prenese signale sa svog ulaza na izlaz. Čini ga linija veze (prenosni medijum) i izvor aditivnih, stohastičkih smetnji (npr. Gausov šum). Kao prenosni putevi najčešće se koriste kablovi, usmerene (mikrotalasne) veze, optički vodovi i radio veze.

Ciljevi modulacionog i kodnog kanala su slični: prenos diskretnih poruka, odnosno digitalnih signala uz minimalnu verovatnoću greške. Razlikuju se načini i metode ostvarivanja ovog cilja. Za modulacioni kanal vezuje se izbor talasnih oblika signala, odnosno izbor modulacionog postupka. Vrši se prilagođenje karakteristika signala karakteristikama linije veze i prisutnih smetnji, u cilju što vernijeg prenosa, odnosno što pouzdanije rekonstrukcije primljenog signala.

Modulator i demodulator sadržani su u zajedničkom uređaju, modemu.

Materija koju obuhvata ova zbirka zadataka se uglavnom odnosi na problematiku modulacionog kanala.


2 STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

2.1 UVOD

2.1.1 Osnovni elementi teorije verovatnoće

Bajesova formula

Neka je potpun sistem događaja (tj. događaji i su disjunktni za

svako i , i

},...,,{ 21 nHHH iH jH

nji ,...,1, = ji ≠ [ ]∑ =i

iHP 1). Važi:

[ ] [ ][ ] [ ]∑

=

iii

kk HPHAP

HAPAHP

//

/ (2.1)

2.1.2 Slučajna promenljiva

Momenti slučajne promenljive N-ti moment diskretne i kontinualne slučajne promenljive ξ je definisan izrazom:

∑=i

ini

n xPx )(ξξ , i ∫∞

∞−

= dxxpxnn )(ξξ (2.2)

Prvi moment je statistička srednja vrednost ξξ m= .

N-ti centralni moment diskretne i kontinualne slučajne promenljive ξ je definisan izrazom:

( ) ( )∑ −=−i

iin

xPx )(ξξξξ , i ( ) ( )∫∞

∞−

−=− dxxpxn

)(ξξξξ (2.3)

Drugi centralni moment (n = 2), je varijansa i predstavlja naizmaničnu snagu, odnosno

razliku između ukupne (

2ξσ

2ξ ) i jednosmerne snage (2

ξ ). Združeni (n+k) - ti centralni moment dve slučajne promenljive, ξ i η , je definisan izrazom:

( ) ( )knnk ηηξξµ −−= (2.4)

Združeni centralni moment drugog reda dvodimenzionalne slučajne promenljive je kovarijansa:

ξηµ K=11 (2.5)

2.1.3 Transformacija gustine verovatnoće

Neka su ξ i η dve slučajne promenljive povezane relacijom η = f(ξ). Razlikujemo dva slučaja: 1. Između nove i stare promenljive postoji korespodencija 1:1. Tada je gustina

verovatnoće nove promenljive data izrazom:


)(1

)()(

yfxdxdy

xpyp

−=

= ξη (2.6)

2. Između nove i stare promenljive postoji korespodencija 2:1. Tada je gustina verovatnoće nove promenljive data izrazom:

)(1

)()()(

yfxdxdy

xpxpyp

−=

−+= ξξ

η , za 0≤y (2.7)

,0)( =ypη za . 0≥y

U opštem slučaju, za slučajne promenljive Nξξξ ,...,, 21 i Nηηη ,...,, 21 , koje su povezane jednoznačnim funkcijama:

),,...,,(...

),,...,,(),,...,,(

21

2122

2111

NNN

N

N

f

ff

ξξξη

ξξξηξξξη

=

==

gustina verovatnoće su povezane izrazom ( ) Jyyygxyyygxpyyyp NNNNNNN

⋅=== ),...,,(),...,,...,,(),...,,( 212111,...,2,121,...,2,1 ξξξηηη (2.8)

J je apsolutna vrednost Jakobijana, koji predstavlja determinantu matrice:

N

N

N

N

yg

yg

yg

yg

J

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

...

......

...

1

11

1

(2.9)

U prethodnom postupku, pretpostavljeno je da se slučajne promenljive Nξξξ ,...,, 21 mogu izraziti kao jednoznačne funkcije od Nηηη ,...,, 21 :

).,...,,(...

),,...,,(),,...,,(

21

2122

2111

NNN

N

N

g

gg

ηηηξ

ηηηξηηηξ

=

=

=

(2.10)

Suma slučajnih promenljivih

Ako je 21 ξξη += i ako je poznata združena gustina verovatnoće promenljivih 1ξ i 2ξ , , tada je gustina verovatnoće zbirne slučajne promenljive data izrazom: ),( 2121 xxp ξξ

∫∞

∞−

−= 11121 ),()( dxxyxpyp ξξη (2.11)

Ako su 1ξ i 2ξ nezavisne slučajne promenljive, važi :


∫∞

∞−

−= 11211 )()()( dxxypxpyp ξξη , (2.12)

što predstavlja konvoluciju gustina verovatnoća promenljivih koje čine zbir. Srednja vrednost zbira i proizvoda dve slučajna promenljive

Srednja vrednost sume i proizvoda dva slučajne promenljive čest je slučaj u telekomunikacijama:

( ) ( ) ηξηξ ξηξη

+=+=+ ∫∫ dxdyyxpyx , (2.13)

∫∫ ⋅=⋅ξη

ξηηξ dxdyyxpxy ),( (2.14)

Kada su slučajne promenljive ξ i η statistički nezavisne važi:

ηξηξ ⋅=⋅

2.1.4 Karakteristične raspodele

Uniformna raspodela

Data je izrazom:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤

−=drugde.0

,1)( 21

12xxx

xxxp (2.15)

Srednja vrednost i varijansa dati su izrazima:

212 xx +

=ξ , i12

)( 2122 xx −

=σ .

Pokazuje se da je bilo koji tip raspodele, moguće transformisati u uniformnu raspodelu, formalnim uvođenjem nove slučajne promenljive

)(xpξ[ ]xPy ≤= ξ , 10 ≤≤ y .

Transformacijom se dobija uniformna raspodela oblika:

⎩⎨⎧ ≤≤

=drugde.0

,101)(

yyp (2.16)

Gausova raspodela

Data je izrazom:

22

2)(

21)( σ

σπ

mx

exp−

−

= (2.17)

Srednja vrednost i varijansa su jednake m i , respektivno. 2σ

2.1.5 Slučajni procesi

Slučajni proces ),( tAξ (ili kako se još naziva stohastički proces, stokhastikos – zasnovan na pretpostavkama), је funkcija dve promenljive – slučajnog događaja A i vremena. U telekomunikacijama slučajni procesi predstavljaju slučajnu promenu električne veličine (struja ili napon), i nazivaju se često slučajni signali.


Za određenu realizaciju slučajnog događaja iAA = , slučajni proces postaje vremenska funkcija )(),( ttA ii ξξ = . Skup svih mogućih realizacija (tj. vremenskih funkcija) slučajnog procesa se naziva statistički ansambl. Za određeni vremenski trenutak , slučajni proces postaje slučajna promenljiva

kt

kktA ξξ =),( (tj. vremenski odbirci slučajnog procesa su slučajne promenljive). Konačno, za datu vrednost događaja i dati vremenski trenutak, slučajni proces se svodi na brojnu vrednost.

Stacionarnost slučajnog procesa

Slučajni proces je stacionaran ukoliko je gustina raspodele slučajnih promenljivih koje se dobijaju odabiranjem slučajnog procesa ista (tj. ne zavisi od trenutka odabiranja), tj:

)()(1

xpxp ξξ = za svako . it

Stacionarnost se može posmtrati i u širem smislu. Za slučajni proces se kaže da je stacionaran u širem smislu ukoliko je:

1. stacionaran po srednjoj vrednosti:

ξξ mk = za svako . it

2. stacionaran po autokorelaciji:

)(),,(

),,,(),(

21122121

212121212121

τ

ξξ

ξξ

ξξ

Rdxdxttxxpxx

dxdxttxxpxxttR

=−=

===

∫ ∫

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

gde je 12 tt −=τ , tj, zavisi samo od razlike trenutaka posmatranja, a i njihovih konkretnih vrednosti.

),( 21 ttRξ

Srednja vrednost po vremenu i ansamblu - ergodičnost slučajnog procesa

Kod stacionarnog ansambla, srednja vrednost po vremenu i ansamblu data je izrazima:

dttfT

tfT

TT ∫

−∞→

= )(21lim)( , ∫

∞

∞−

= dxxxp )(ξξ (2.18)

gde je neka realizacija slučajnog procesa, a x odbirak slučajnog procesa u nekom vremenskom trenutku.

)(tf

Ako su ove veličine jednake, ansambl je ergodičan po srednjoj vrednosti (za ergodičnost po srednjoj vrednosti, umesto striktno stacionarnog, može se posmatrati slučajni proces stacionaran samo po srednjoj vrednosti). Vremenska i statistička autokorelacione funkcija stacionarnog ansambla su:

dttftfT

T

TTf ∫

−∞→

+=ℜ )()(21lim)( ττ (2.19)

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= 212121 ),,()( dxdxxxpxxR ττ ξξ (2.20)

Ukoliko su ove vrednosti jednake, )()( ττ ξRf =ℜ , slučajni proces je ergodičan po autokorelaciji (za ergodičnost po autokorelaciji, umesto striktno stacionarnog, može se posmatrati slučajni proces stacionaran samo po autokorelaciji). Kaže se da je slučajan proces ergodičan u širem smislu ukoliko je ergodičan po srednjoj vrednosti i po autokorelaciji.


Slučajni proces je ergodičan ukoliko su sva njegova vremenska usrednjavanja i usrednjavanja po ansamblu jednala. Međukorelaciona funkcija

Za ergodične slučajne procese )(tξ i )(tη definiše se međukorelaciona funkcija oblika:

∫−

∞→−=−=+=ℜ

T

TgfTfg Rdttgtf

Ttgtf )()()(

21lim)()()( ττττ (2.21)

gde su i njihove realizacije, respektivno. )(tf )(tgKovarijansa međusobno stacionarnih procesa data je izrazom:

( ) )())()(()()()( ττττ ηξξη −=+−+−= KtgtgtftfK (2.22)

Ako realizacije i pripadaju istom stacionarnom ansamblu, kovarijansa postaje autokovarijansa.

)(tf )(tg

2.1.6 Spektralna gustina snage, Viner - Hinčinova teorema

Spektralna gustina srednje snage slučajnog procesa i njegova autokorelaciona funkcija čine Furijeov transformacioni par.

∫∞

∞−

−= ττω ωτξξ deRS j)()( (2.23)

∫∞

∞−

= ωωπ

τ ωτξξ deSR j)(

21)( (2.24)

Ako autokorelaciona funkcija i spektralna gustina srednje snage ne zadovoljavaju uslove:

∫∞

∞−

∞<ττ dR )( i ∞<∫∞

∞−

ωξ dS ,

uvodi se generalizacija spektralne gustine srednje snage da bi bila u važnosti Viner-Hinčinova teorema.

)()()( )()( ωωω ξξξdk SSS += (2.25)

gde je prvi član sume kontinualna funkcija i predstavlja spektar slučajne komponente, a drugi član sume diskretna funkcija i predstavlja spektar periodične komponente signala koja je data izrazom:

)(2)( 02)( ωωδπωξ −= ∑

∞

−∞=nn

d FS (2.26)

U poslednjem izrazu 2nF predstavlja snagu n-tog harmonika periodične komponente

slučajnog signala. Zbir i proizvod dva stacionarna povezana slučajna procesa

Ako je )()()( ttt ηξϕ += zbir dva stacionarna povezana slučajna procesa, njegova autokorelacija i spektralna gustina srednje snage date su sledećim izrazima:

)()()()()( τττττ ηξξηηξφ RRRRR +++= (2.27)

)()()()()( ωωωωω ηξξηηξφ SSSSS +++= (2.28)

Ako je )()()( ttt ηξϕ ⋅= proizvod dva stacionarno povezana sučajna procesa, njegova autokorelacija i spektalna gustina srednje snage date su sledećim izrazima:


)()()( τττ ηξφ RRR ⋅= (2.29)

∫∞

∞−

−= λλωλπ

ω ξηφ dSSS )()(21)( (2.30)

2.1.7 Beli i obojeni šum

Beli šum predstavlja stacionaran slučani proces konstantne spektralne gustine srednje snage:

∞<<∞−=== ωω ,,2

)( 00 constN

NpS nn (2.31)

Njegova autokorelacija data je izrazom:

)(2

)( 0 τδτN

Rn = (2.32)

Propuštanjem belog šuma kroz idealan filtar propusnik niskih učestanosti, granične učestanosti , dobija se obojeni šum, čija je autokorelacija data izrazom: gf

τωτωω

τg

ggn

NR

)sin(2

)( 0' = (2.33)


2.2 ZADACI

2.2.1 Posmatra se pojednostavljeni model telekomunikacionog sistema dat na slici (Slika 2.2.1.1). Izvor emituju binarne simbole iz skupa }1,0{ , koji se koduju jednostavnim repetitivnim kodom tako što se svaki simbol ponovi pet puta (umesto simbola 0 šalje se sekvenca 00000, odnosno umesto 1 šalje se sekvenca 11111). Apriorne verovatnoće pojavljivanja 0, odnosno 1 su [ ] 3.00 ==niP i [ ] 7.01 ==niP . Smetnje koje deluju u

kanalu utiču na verovatnoću ispravnog prijema simbola, i ona iznosi 0.6 (da nema smetnji verovatnoća ispravnog prijema bi bila 1), pri čemu se smatra da smetnje nezavisno pogađaju simbole kodne reči (kanal bez memorije).

Ukoliko je primljena sekvenca 10110, odrediti koji je simbol izvor najverovatnije generisao.

ni nxnx̂ ni

)

Slika 2.2.1.1

Rešenje:

Označimo događaje i pridružene verovatnoće opisane tekstom zadatka na sledeći način:

⋅ [ ] [ ] 3.000 === PiP n ,

⋅ [ ] [ ] 7.011 === PiP n ,

⋅ sa 1H obežimo događaj da je poslata kodna reč 00000, [ ] [ ] 3.001 === niPHP ,

⋅ sa 2H obežimo događaj da je poslata kodna reč 11111, [ ] [ ] 7.012 === niPHP ,

⋅ [ ] [ ] 6.0prenosa ispravnog averovatnoć == GPP , i

⋅ sa A obeležimo primljenu sekvencu 10110.

Na osnovu primljene sekvence A, prijemnik procenjuju koja je kodna reč bila poslata na osnovu toga koja je uslovna verovatnoća veća [ ]AHP /1 , odnosno [ ]AHP /2 . Nakon toga, dekodovanje informacionog simbola iz kodne reči je trivijalno.

Navedene uslovne verovatnoće se mogu izračunati kao:

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]2211

1111 //

/,/

HPHAPHPHAP

HAPHP

AP

AHPAHP

⋅+⋅

== , i

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]2211

2222 //

/,/

HPHAPHPHAP

HAPHP

AP

AHPAHP

⋅+⋅

== .

Dalje imamo:

[ ] 02304.0][][][][][/ 1 =⋅⋅⋅⋅= GPGPGPGPGPHAP ,

[ ] 03456.0][][][][][/ 2 =⋅⋅⋅⋅= GPGPGPGPGPHAP , i

031104.07.003456.03.002304.0][ =⋅+⋅=AP .

Na kraju dobijamo:

[ ] 22.0/1 =AHP , i


[ ] 78.0/2 =AHP .

Na osnovu dobijenih vrednosti za uslovne verovatnoće, odlučivač na svom izlazu daje simbol 1.

Na kraju, dodajmo i to da se tip kanala opisan u ovom zadatku naziva binarni simetrični kanal, i skraćeno obeležava sa BSC (Binary Symmetric Channel).

2.2.2 U jednom binarnom sistemu za prenos podataka na predaji se javlja pozitivni impuls koji odgovara kodnom znaku 1 (događaj 1H ), i negativni impuls koji odgovara kodnom znaku

0 (događaj 2H ) sa verovatnoćoma [ ] 6.01 =HP i [ ] 4.02 =HP . Prijemnik detektuje tri vrste signala:

⋅ pozitivni impuls 1,

⋅ negativni impuls 0, i

⋅ neodređeni impuls E (znak E potiče od engleske reči Erasure, pa se ovakav kanal naziva binarni kanal sa brisanjem, i skraćeno obeležava sa BEC – Binary Erasure Channel).

Uslovne verovatnoće dogaaja na prijemu kada su realizovani događaji na predaji su:

⋅ [ ] 1.0/0 1 =HP , [ ] 1.0/ 1 =HEP i [ ] 8.0/1 1 =HP , i

⋅ [ ] 8.0/0 2 =HP , [ ] 1.0/ 2 =HEP i [ ] 1.0/1 2 =HP .

Izračunati sledeće verovatnoće na prijemu:

a) [ ]0P , [ ]1P i [ ]EP ,

b) verovatnoću ispravnog prijema i greške na prijemu,

c) ako je primljen pozitivan impuls, kolika je verovatnoća da je impuls na predaji bio negativan odnosno pozitivan,

d) ako je primljen negativan impuls, kolika je verovatnoća da je impuls na predaji bio negativan odnosno pozitivan,

e) ako je primljen neodređeni impuls, kolika je verovatnoća da je impuls na predaji bio negativan odnosno pozitivan?

Rešenje:

a)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 52.0/1/11 2211 =⋅+⋅= HPHPHPHPP ,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 38.0/0/00 2211 =⋅+⋅= HPHPHPHPP , i

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1.0// 2211 =⋅+⋅= HEPHPHEPHPEP .

b) Obeležimo događaj da je prijem ispravan sa T.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 8.0/0/1 2211 =⋅+⋅= HPHPHPHPTP , i

[ ] 2.0=TP .

c)

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] 923.01

/1

1

1,1/ 111

1 =⋅

==P

HPHP

P

HPHP , i

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] 077.01

/1

1

1,1/ 222

2 =⋅

==P

HPHP

P

HPHP .


d)

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] 158.00

/0

0

0,0/ 111

1 =⋅

==P

HPHP

P

HPHP , i

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] 842.00

/0

0

0,0/ 222

2 =⋅

==P

HPHP

P

HPHP .

e)

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] 6.0

/,/ 111

1 =⋅

==EP

HEPHP

EP

EHPEHP , i

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] 4.0

/,/ 222

2 =⋅

==EP

HEPHP

EP

EHPEHP .

2.2.3 Data je funkcija n

x

exkxf 2

2

)(−

⋅⋅= gde su k i n pozitivne konstante.

a) U kom domenu može funkcija )(xf da predstavlja gustine raspodele verovatnoća (GRV) neke slučajne promenljive? Odrediti relaciju između k i n .

b) Izračunati verovatnoću da slučajna promenljiva čija je gustina raspodele )(xf

uzme neku vrednost iz intervala [ ]ππ 2,2 .

c) Napisati izraz za kumulativnu funkciju raspodele i skicirati njen izgled.

Rešenje:

a) Da bi )(xf bila GRV, njene vrednosti moraju biti nenegativne. To je slučaj za 0≥x :

10

2

2

==⋅⋅∫∞ −

kndxexk n

x

.

b)

[ ]2

2

2

2

21

22e

edxexkxP n

x −=⋅⋅=≤≤ ∫−π

π

ππ .

c)

.1)( 2

2

0

2

2

n

xxn

t

X edtetkxF−−

−=⋅⋅= ∫

Slika 2.2.3.1 prikazuje izgled kumulativne funkcije raspodele.

[ ]xFX

x

1

Slika 2.2.3.1


2.2.4 Na ulazu i izlazu sistema su signali čije su trenutne vrednosti slučajne promenljive X i Y. Odrediti funkciju gustine raspodele verovatnoća slučajne promenljive Y za sve kombinacije funkcija gustine raspodele verovatnoća slučajne promenljive i prenosnih funkcija sistema.

Funkcije gustine raspodele verovatnoća slučajne promenljive X su:

1. [ ]

⎩⎨⎧ ∈

=drugde.0

,1,01)(

xxpX

2. 2

2

2

1)(

x

X exp−

=π

.

Prenosne funkcije sistema su (pri čemu su a i b pozitivne konstante):

1. baxxy +=)( ,

2. 2)( axxy = ,

3. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤≤−

−<−=

.

,

,

)(

xaba

axabx

axba

xy

Rešenje:

a) (Kombinacija uniformne raspodele i linearnog sistema.)

Pošto je preslikavanje baxxy +=)( “1 na 1”, onda je;

[ ] [ ]dyyYyPdxxXxP +<<=+<< ,

[ ] [ ]dyypdxxp YX = ,

[ ] [ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧ +≤≤==

−=

drugde.0

,1

)(1

bayba

dx

dy

dxxpdyyp

yfx

XY

x

[ ]xpX

1

1

y

[ ]ypY

b

a

1

ab

Slika 2.2.4.1

b) (Kombinacija uniformne raspodele i nelinearnog sistema.)

Preslikavanje 2)( axxy = je prikazano na slici (Slika 2.2.4.2). Na slici se vidi da se dve vrednosti promenljive x preslikavaju u jednu vrednost y, iz čega sledi:

[ ] [ ] [ ]dxxXxPdxxXxPdyyYyP +<<++<<=+<< 2221


[ ] [ ] [ ]

21 xx

X

xx

XY

dx

dy

xp

dx

dy

xpyp

==

+= (2.2.4.1)

Pritom važi axdx

dy2= i

a

yx ±=2,1 .

Kako je uniformna raspodela definisana samo na intervalu [ ]1,0 , preostaje samo član sume iz jednačine (2.2.4.1) za koji je x pozitivno, pa se dobija:

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ ≤≤=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=drugde.0

,02

1

2

ayay

a

ya

a

yp

ypX

Y

x

y

y

[ ]ypY

aa2

1

1x 2x

Slika 2.2.4.2

c) (Kombinacija uniformne raspodele i linearnog sistema sa zasićenjem.)

Pretpostavimo da je 1<a , u suprotnom bi ova kombinacija u potpunosti svela na slučaj pod a).

Za ax <≤0 imamo preslikavanje bxxy =)( , pa je na osnovu dela zadatka pod a) gustina raspodele verovatnoće;

[ ] abyb

ypY <≤= 0 ,1

.

Za 1≤< xa sve vrednosti x se preslikavaju u istu tačku baxy =)( , odakle sledi da je

verovatnoća [ ] [ ] adxxpbaYPa

X −=== ∫ 11

. Ovu verovatnoću modelujemo pomoću

δ -impulsa u gustini raspodele smeštenom u tački aby = , pa na kraju dobijamo:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤≤−−+=

drugde.0

,0)()1(1

abyabyabypY

δ


x

y

y

[ ]ypY

a

b

1

aa−

ab

ab−

)()1( abya −− δ

Slika 2.2.4.3

d) (Kombinacija Gausove raspodele i linearnog sistema).

Potpuno analogno načinu na koji rešen deo zadatka pod a) dobijamo:

[ ] [ ]

( )

( )2

2

2

1

2

2

2

12

1

a

by

a

byx

x

XY e

aa

e

dx

dydxxp

dyyp

yfx

−−

−=

−

===

−=

ππ .

Vidi se da se prolaskom kroz linearan sistem Gausova raspodela sa nultom srednjom vrednosti i jediničnom varijansom na ulazu transformisala u odgovarajuću Gausovu

raspodelu sa srednjom vrednosti b i varijansom 2a na izlazu.

x

[ ]xpX

y

[ ]ypY

a

π2

1aπ2

1

Slika 2.2.4.4

e) (Kombinacija Gausove raspodele i nelinearnog sistema.)

Analogno delu zadatka pod b), imamo:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧>=+=

−

=

−

−=

−

drugde.0

,02

1

22

1

22

12

2

2

2

2

yeayax

e

ax

e

ypa

y

a

yx

x

a

yx

x

Y πππ

y

[ ]ypY

Slika 2.2.4.5


f) (Kombinacija Gausove raspodele i linearnog sistema sa zasićenjem.)

Analogno delu zadatka pod c), dobijamo:

[ ]( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧≤≤−−+++

=

−

drugde.0

,)()()(2

1 2

2

2 abyababyabyaQebyp

b

y

Y

δδπ

pri čemu je:

∫∫∞ −−

∞=

−==

a

xa x

dxedxeaQ 2

2

2

2

2

1

2

1)(

ππ.

y

[ ]ypY

)()( abyaQ −δ)()( abyaQ +δ

Slika 2.2.4.6

2.2.5 U prijemnicima modulisanih signala često se vrši izdvajanje nosioca, koji predstavlja neki sinusoidalni signal amplitude A , kružne učestanosti 0ω i početne faze ξ . Obično su

na mestu prijema poznate vrednosti za amplitudu i kružnu učestanost, dok je početna faza nepoznata. Zato se početna faza može predstaviti slučajnom promenljivom sa uniformnom raspodelom čija je gustina raspodele verovatnoća:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤≤=

drugde.0

,202

1 ππ

ξ

xxp

Odrediti GRV slučajne promenljive koja predstavlja trenutnu vrednost nosećeg signala u nekom određenom trenutku 1tt = .

Rešenje:

Trenutna vrednost nosioca predstavlja slučajnu promenljivu koju ćemo obeležiti sa Z, )sin( 10 ξω += tAZ , a trenutni ugao sinusoide ćemo obeležiti sa η , ξωη += 10t . GRV

slučajne promenljive Z ćemo odrediti u dva koraka. U prvom ćemo odrediti GRV za η , a zatim iz nje izvesti traženu GRV na osnovu relacije ηsinAZ = .

Pošto je ξωη += 10t , na osnovu zadatka 2.2.4 pod a) se dobija:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧ +≤≤=

drugde.0

,22

11010 πωω

πη

tytyp


Pošto preslikavanje yAz sin= nije “1 na 1”, poslužićemo se sličnim rezonovanjem kao u zadatku 2.2.4 pod b). Na osnovu slike (Slika 2.2.5.1) se vidi da važi:

[ ] [ ] [ ]

21 yyyy

Z

dy

dz

yp

dy

dz

ypzp

==

+= ηη,

pri čemu je;

222

22 1sin1cos zA

A

zAyAyA

dy

dz −=−=−== .

Na kraju se dobija:

[ ]

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ ≤≤−=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤−

+−=

drugde.0

,011

drugde.0

,02

1

2

1

22

2222

AzzA

AzzAzAzpZ

π

ππ

y

z [ ]zpZ

A

1y2y

zA−πA

1

10tω πω 210 +t

Slika 2.2.5.1

2.2.6 Na ulazu u radio prijemnik superponiraju se dva sinusoidalna signala jediničnih amplituda i kružne učestanosti 0ω , a slučajne fazne razlike koja je uniformno

raspodeljena u intervalu [ ]π2,0 . Odrediti i nacrtati GRV slučajne promenljive koja predstavlja anvelopu signala na ulazu. Izračunati verovatnoću da anvelopa ulaznog signala bude manja od polovine amplituda pojedinih komponenti.

Rešenje:

Na ulazu radio prijemnika je signal:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=++=

2sin

2cos2)sin()sin( 000

xt

xxttts ωωω .


Slučajna promenljiva koja predstavlja anvelopu na ulazu je2

cos2x

y = .

Ovo preslikavanje je jednoznačno na intervalu [ ]π2,0 , pa sledi:

[ ] [ ]

)(1 yfx

XY

dx

dydxxp

dyyp

−=

= .

Slično kao i u zadatku 2.2.5, važi:

41

2cos1

2sin

22 yxx

dx

dy −=−== ,

pa se konačno dobija:

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ ≤≤−

−=

drugde.0

,22

412

12

yyypY π

Verovatnoća da je anvelopa u intervalu ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2

1,

2

1 (polovina amplituda pojedinih

komponenti) je:

[ ] ∫∫−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−

==<2

1

2

12

2

1

2

1

16.04

1arcsin

4

1arcsin

1

41

1

2

1)(5.0

ππdy

ydyypYP Y .

x

y [ ]ypY

2

π π2

y2−π2

1

Slika 2.2.6.1

2.2.7 Odrediti GRV zbira dve nezavisne slučajne promenljive 21 XXY += u opštem slučaju.

Ako su 1X i 2X uniformno raspodeljene u intervalu ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2

1,

2

1, skicirati GRV slučajne

promenljive Y.

Rešenje:

Da bismo rešili zadatak, uvedimo pomoćnu slučajnu promenljivu 2XZ = . Odgovarajuća inverzna preslikavanja su:

zyzygx −== ),(11 ,


zzygx == ),(22 .

Jakobijan je:

111

01

21

21

=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

z

g

z

gy

g

y

g

J .

Sledi:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ].*

),(),(),(),,(

21

21

2121 2121,

ypyp

dzzpzyp

dzzygpzygpdzJzygzygpyp

XX

XX

XXXXY

=

−=

==

∫

∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

Vidi se da je GRV zbira dve nezavisne slučajne promenljive konvolucija njihovih GRV. Na osnovu ovoga je lako pokazati da je GRV zbira dve nezavisne uniformno raspodeljene slučajne promenljive jednaka u stvari dobro poznata konvolucija dva pravougaona impulsa:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤≤−−

−<=

.10

,111

,10

y

yy

y

ypY

Slika 2.2.7.1 prikazuje skicu ove GRV.

[ ]ypY

1 y1−

1

Slika 2.2.7.1

2.2.8 Na ulazu idealnog kvantizera sa dva nivoa kvantizacije čija je karakteristika data na slici (Slika 2.2.8.1) deluje stacionarni normalni statistički proces )(tX , čija je srednja vrednost

nula, a varijansa 2Xσ .Potrebno je odrediti:

a) Srednju vrednost kvadrata razlike 2ε statističkih procesa )(tX i )(tY , pri čemu je )(tY statistički proces na izlazu iz kvantizera.

b) Optimalnu vrednost praga kvantizacije pri kojoj je 2ε minimalno, kao i samu

vrednost 2minε .


x

y

a

a−

Slika 2.2.8.1

Rešenje:

a) GRV procesa na ulazu i izlazu kvantizera su (vidi zadatak 2.2.4 pod f), uz razliku da u ovom slučaju da linearna zona na karakteristici ne postoji):

22

2

2

1)( X

x

XX exp

σ

πσ

−

= , i

)(2

1)(

2

1)( ayayypY −++= δδ .

Srednja vrednost kvadrata razlike slučajnih procesa )(tX i )(tY je:

( )[ ] [ ] [ ] [ ]2222 2 YEXYEXEYXE +−=−=ε ,

[ ] 22XXE σ= ,

[ ] 22222

2

1)(

2

1)( aaadyypyYE Y =+−== ∫

∞

∞−

, i

[ ] dydxypyxxypdxdyyxxypXYE YYXXY ∫ ∫∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

== )()/(),( / .

Poslednju vrednost ćemo izračunati na sledeći način. Slučajni proces )(tY može uzeti samo dve vrednosti, a− i a .

Kada je aY −= , važi:

[ ]⎩⎨⎧ <<∞−

=−=drugde.0

,0)(2//

xxpayxp X

YX

Kada je aY = , važi:

[ ]⎩⎨⎧ ∞<<

==drugde.0

,0)(2//

xxpayxp X

YX

Dalje je:


[ ]

.2

12)(2)()(

)()(2

12)()(

2

12

)()/()()/(

)()/(

0

2

00

0

0 0

0 0

0/

0

/

/

2

2

∫∫∫∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

∞ −∞∞

∞−

∞ ∞

∞− ∞−

∞ ∞

∞−∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

==+−=

−⋅++⋅=

+=

=

dxexadxxxpadxxxpadxxxpa

dydxayxxypdydxayxxyp

dydxypyxxypdydxypyxxyp

dydxypyxxypXYE

X

x

XXXX

XX

YYXYYX

YYX

σ

σπ

δδ

Konačno se dobija:

[ ]π

σ2

2 XaXYE = ,

pa je:

222

24 aa X

X +−=π

σσε .

b) Optimalnu vrednost praga kvantizacije dobijamo za minimalno 2ε :

022

42

=+−= ada

d X

πσε

,

πσ2

2 Xa = ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=π

σπ

σσπ

σπ

σπ

σσε 21

22

22

2224 2

22

222

XX

XXXX

X .

2.2.9 Dat je slučajni proces )sin()cos()( 00 tYtXtz ωω −= gde su X i Y dve statistički

nezavisne kontinualne slučajne promenljive čija su matematička očekivanja jednaka nuli, a varijansa su im takođe jednake i iznose 2σ . Pokazati da je slučajni proces )(tz

stacionaran u širem smislu ako je 0ω konstantna kružna učestanost.

Rešenje:

Po uslovu zadatka imamo:

[ ] [ ] 0== XEXE ,

[ ] [ ] 222 σ== YEXE ,

[ ] [ ] [ ] 0== YEXEXYE .

Očekivana vrednost slučajnog procesa je:

( )[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] .0)sin()cos(

)sin()cos()sin()cos(

00

0000

=−=−=−=

tYEtXE

tYEtXEtYtXEtzE

ωωωωωω


Autokorelacija je:

[ ] ( )( )[ ][ ]

( )[ ][ ][ ] [ ]

( ) ( )).cos(

)(cos)sin()sin()cos()cos(

)sin()sin()cos()cos(

)sin()sin(

)sin()cos()sin()cos(

)cos()cos(

)sin()cos()sin()cos()()(),(

02

1202

201020102

20102

20102

20102

10202010

20102

202010102111

τωσωσωωωωσ

ωωωωωω

ωωωωωω

ωωωω

=

−=+=

+=

+

++−−=

−−==

tttttt

ttYEttXE

ttYE

ttttXYE

ttXE

tYtXtYtXEtztzEttRzz

Pošto ni srednja vrednost ni autokorelacija slučajnog procesa ne zavise od trenutka posmatranja, slučajni proces )(tz je stacionaran u širem smislu.

2.2.10 Odrediti autokorelacione funkcije slučajnih procesa:

)cos()()( 0ttxty ω= ,

)cos()()( 0 θω += ttxtz ,

gde je )(tx slučajni proces stacionaran u širem smislu sa poznatom autokorelacionom

funkcijom )(τxxR , θ je slučajna promenljiva uniformno raspodeljena u intervalu ),[ ππ−

i nezavisna od )(tx , a 0ω je konstanta. Ispitati stacionarnost u širem smislu slučajnih

procesa )(ty i )(tz . Odrediti njihove spektralne gustine snage ako je:

τατ −= eARxx2)( ,

pri čemu su A i α pozitivne konstante.

Rešenje:

Pošto važi:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )ttxEttxEtyE 00 coscos ωω == ,

vidi se da proces ( )ty nije stacionaran u širem smislu. Njegova autokorelacija je:

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( )( ).cos2cos2

1

coscos)(,

000

00

τωτωωτ

τωτωτ

++=

++=+

tR

ttxttxEttR

xx

yy

Za proces ( )tz važi:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ,0sin2

1

2

1cos

coscoscos

00

000

=+=+=

+=+=+=

−−

−

∫

∫

ππ

π

π

θ

π

π

θωπ

θπ

θω

θθθωθωθω

ttxEdttxE

dpttxEtEtxEttxEtzE

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ].22cos2

1cos

2

1

cos22cos2

1

coscos)(,

00

00

00

θτωττωτ

τωθτωτ

θτωτθωτ

+++=

+++=

++++=+

tERR

tER

ttxttxEttR

XXXX

XX

zz


Važi:

( )( )[ ] ( )( ) ( )( ) 022sin2

1

2

1

2

122cos22cos 000 =++=++=++ −

−∫

ππ

π

π

θτωπ

θπ

θτωθτω tdttE ,

odakle sledi:

( ) ( ) ( ) ( )ττωττ zzxxzz RRttR ==+ 0cos2

1, ,

pa je slučajni proces ( )tz stacionaran u širem smislu.

Spektralna gustina snage slučajnog procesa ( )tz je (Viner-Hinčinova teorema):

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) .2cos2

2cos2

2cos2

1

cos2

1

0

20

202

0

2

20

2

20

2

∫∫

∫

∫∫

∞−−

∞−

−

∞

∞−

−−

∞

∞−

−∞

∞−

−

+=

=

==

ττπττπ

ττπ

ττωτττ

τπαττπατ

τπτα

τπτπ

defeA

defeA

defeA

deRdeRfS

fjfj

fj

fjxx

fjzzzz

Potrebno je izračunati odgovarajuće integrale. Npr. za drugi integral sa leve strane se dobija:

( )

.2

1

2

1

22cos

0

202

0

202

0

20202

0

20

∫∫

∫∫∞

−−−∞

−−

∞−

−−

∞−−

+=

+=

ττ

τττπ

τπτπαττπτπατ

τπτπτπ

αττπατ

deeedeee

deee

edefe

fjfjfjfj

fjfjfj

f

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( ) ( )( ) .22

1

22

1

22

1

22

1

2

1

2

12cos

00

0

02

0

0

02

0

0

02

0

02

0

20

ffjffj

effj

effj

dededefe

ffj

ffj

ffjffjf

+++

−+=

++−+

+−+−

=

+=

∞++−

∞−+−

∞+−−

∞−−−

∞−− ∫∫∫

παπα

πα

πα

ττττπ

τπα

τπα

τπατπατπατ

Na sličan način se može pokazati da je prvi integral:

( ) ( )( ) ( )( ).22

1

22

12cos

00

02

0 ffjffjdefe f

+−+

−−=∫

∞−

−

παπαττπ τπατ

Uvrštavanjem izračunatih integrala u početnu jednačinu se dobija:


( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ).

11

2

22

4

22

1

22

1

2

22

1

22

1

2

20

220

2

2

20

220

2

2

00

2

00

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+−−

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+−+

=

ωωαωωαα

ωωαα

ωωαα

παπα

παπα

A

A

ffjffj

A

ffjffj

AfSzz

2.2.11 Odrediti spektralnu gustinu snage slučajnog procesa ( )ty , na izlazu linearnog sistema prikazanog na slici (Slika 2.2.11.1), ako na ulaz ovog sistema deluje stacionaran slučajni proces ( )tx čija je spektralna gustina snage ( )fS yy .

( )ty( )tx

Slika 2.2.11.1

Rešenje:

Važi:

( ) ( ) ( )Ttxtxty −+= ,

odnosno, impulsni odziv sistema je:

( ) ( ) ( )Tttth −+= δδ ,

a njegova prenosna karakteristika je:

( ) ( ) ( ) ( )( ) fTjftjft edteTttdtethfH πππ δδ 222 1 −−∞

∞−

∞

∞−

− +=−+== ∫∫ ,

( ) ( ) ( ) ( )( )fTfTeeeefH fTjfTjfTjfTj ππππππ 2cos12cos41 22222 +==+=+= −−− ,

a spektralna gustina snage je:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )fSTfSfHfS xxxxyy ωcos122 +== .

2.2.12 Za slučajni proces ( ) ( )θω += tAtx 0cos , gde je θ slučajna promenljiva sa uniformnom

raspodelom u intervalu [ )ππ ,− , dok su A i 0ω konstante. Odrediti srednju vrednost i

autokorelacionu funkciju ( )tx na sledeće načine:

a) usrednjavanjem po ansamblu,

b) usrednjavanjem po vremenu.

Rešenje:

a) Na osnovu zadatka 2.2.10 sledi:


( )[ ] ( )[ ] 0cos 0 =+= θω tAEtxE ,

( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( )( )[ ]

( ).cos2

coscos

coscos,

0

2

002

00

τω

θτωθωθτωθωτ

A

ttEA

tAtAEttRxx

=

+++=

+++=+

b) Usrednjavanje po vremenu za srednju vrednost daje:

( ) ( ) ( ) ( )( )

.0

sinsin2

1limcos

2

1lim 0000

000

=

+−−+=+=∞→

−∞→ ∫ θωθω

ωθω TAT

A

TdttA

Ttx

T

T

TT

Limes je jednak 0, jer je razlika dve sinusne funkcije ograničena na interval [ ]2,2− , a vreme T koje je u imeniocu teži ka beskonačno velikim vrednostima.

Autokorelacija po vremenu je:

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )

( )

( ).cos2

2cos4

lim

2sin2sin8

lim

cos2cos4

lim

cos22cos4

lim

coscos2

1lim

)()(2

1lim,

0

2

0

2

00000

000

2

000

2

0000

τω

τω

θτωθτωω

τωθτω

τωθτω

θτωθω

ττ

A

TT

A

TATT

A

dtdttT

A

dttT

A

dttAtAT

dttxtxT

tt

T

T

T

T

T

TT

T

TT

T

TT

T

TT

xx

=

⋅+

+++−−++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

+++=

+++=

=+=+ℜ

∞→

∞→

−−∞→

−∞→

−∞→

−∞→

∫∫

∫

∫

∫

Prvi limes sa desne strane je jednak 0 (važe ista razmatranja kao i kod izračunavanja srednje vrednosti po vremenu). Kod drugog limesa podintegralna funkcija ( )τω0cos

ne zavisi t (promenljive po kojoj se integrali), pa se za vrednost integrala dobija 2T i vrednost limesa je različita od nule.

Poređenjem rezultata dobijenih pod a) i pod b), vidi se da je slučajni proces ( )tx ergodičan po srednjoj vrednosti i po autokorelaciji, jer obe metode usrednjavanja daju iste rezultate.

2.2.13 Da li je slučajni proces ( ) ( ) Ytxtz += ergodičan po srednjoj vrednosti ako je ( )tx

ergodičan slučajni proces, a Y slučajna promenljiva nezavisna od ( )tx ?

Rešenje:

Srednja vrednost ( )tx po ansamblu je:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] YmtxEYEtxEYtxEtzE +=+=+= ,


gde smo sa Ym obeležili srednju vrednost slučajne promenljive Y.

Srednja vrednost ( )tx po vremenu je:

( ) ( )( ) ( ) [ ] 000 )(~2

1lim YtxEYtxdtYtx

Ttz

T

TT

+=+=+= ∫−

∞→,

gde smo sa 0Y obeležili neku realizaciju slučajne promenljive Y.

Kako se u opštem slučaju srednja vrednost slučajne promenljive Y i vrednost neke njene realizacije razlikuju, sledi da slučajni proces ( )tz nije ergodičan po srednjoj vrednosti (a samim tim nije ni ergodičan).

2.2.14 Neka je kružna učestanost slučajnog procesa slučajna promenljiva ω , čija je gustina raspodele verovatnoće parna funkcija ( )ωp . Naći spektralnu gustinu snage ergodičnog

slučajnog procesa ( ) ( )θω += tatx cos ako je consta = , a θ slučajna promenljiva

ravnomerno raspodeljena na intervalu [ )ππ ,− i statistički nezavisna od ω .

Rešenje:

Autokorelacija slučajnog procesa ( )tx je:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ).cos2sin2sin2cos2cos2

cos2sin2sin2cos2cos2

cos22cos2

coscos

,

2

2

2

ωτθωτωθωτω

ωτθωτωθωτω

ωτθωτω

θτωθωττ

EEtEEtEa

EtEtEa

tEa

tataE

txtxEttRxx

++−+=

++−+=

+++=

+++=+=+

Na sličan način kao u zadatku 2.2.10, može se pokazati da važi ( )[ ] ( )[ ] 02sin2cos == θθ EE , pa se gornji izraz svodi na:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )τωωωτωττ xxxx Rdpa

Ea

ttR ===+ ∫∞

∞=

cos2

cos2

,22

(2.2.14.1)

Na osnovu Viner-Hinčinove teoreme sledi:

( ) ( )∫∞

∞=

−= ττω ωτ deRS jxxxx ,

odnosno:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞

∞=

∞

∞=

∞

∞=

+== ωωτωπ

ωωτωπ

ωωπ

τ ωτ dSjdSdeSR xxxxj

xxxx sin2

1cos

2

1

2

1.

Ako uporedimo poslednji izraz sa izrazom (2.2.14.1), uz uslov da je ( )ωp parna funkcija, dobija se da je:

( ) ( )ωπω paSxx2= .


2.2.15 Odrediti i skicirati autokorelaciju belog Gausovog šuma (AWGN – Additive White Gaussian Noise), čija je spektralna gustina snage konstantna u čitavom opsegu

učestanosti (Slika 2.2.15.1) i jednaka 2

0N.

f

( )fSn

20N

Slika 2.2.15.1

Rešenje:

Na osnovu Viner-Hinčinove teoreme, važi:

( ) ( ) ( )tNdfe

Ndfe

NdfefStR ftjftjftj

nn δπππ

222020202 ==== ∫∫∫

∞

∞=

∞

∞=

∞

∞=

.

Slika 2.2.15.2 prikazuje autokorelaciju AWGN-a.

t

( )tRn

20N

Slika 2.2.15.2

2.2.16 U kanalu koji koristi opseg učestanosti B = 4 kHz deluje beli Gausov šum čija je

spektralna gustina srednje snage 02

1Npn = ; 12

0 10−=N W/Hz.

a) Odrediti verovatnoću da je amplituda šuma veća od 0U , P n Uo[ ] ?> = , pri čemu je

0U = 0,3 mV.

b) P n[| | ] ?< =σ .

c) ?]2|[| =< σnP .

σ je efektivna vrednost napona šuma.

Rešenje:

Gustina raspodele verovatnoće amplituda Gausovog šuma je:

n

n

n

enf

σπ

σ

2)(

22

2−

= ,

( 0)( =tn ) pa se njegova varijansa svodi na srednju kvadratnu vrednost:

22222 )()()( nnn Ptntntn σσ ≡⇒=−= .


Spektralna gustina srednje snage belog šuma je np = const pa je snaga belog šuma

ograničena samo propusnim opsegom kanala )( fH . Ako je on idealan NF filtar, jedi-ničnog pojačanja u propusnom opsegu B, onda je ta srednja snaga:

W10421|)(| 90

22 −

−

∞

∞−

⋅===== ∫∫ BNBpdfpdfjfHpP n

B

Bnnn .

Za izračunavanje traženih verovatnoća potrebno je izračunati nσ :

mV 063,0V 1032,6 5 =⋅= −nσ .

∫∞ −

=>oU

n

n

no dneUnP

22

2

2

1][ σ

σπ.

Vrednosti ovakvih integrala se očitavaju iz tablica tzv. komplementarne funkcije greške (erfc), ili iz tablica Q funkcije (vidi prilog). Tablice su obično date za normalizovanu Gausovu raspodelu ( nσ = 1), zato se uvodi smena:

n

nx

σ= , pa je:

a)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==> ∫

∞ −

nnoU

xU

QdxeUnPσπ σ

0

/

2

2

02

1][ ,

.10)76,4(][ 60

−≅=> QUnP

b)

[ ] [ ] 68,0)1(2121 =−=>−=<<− QnPnP nnn σσσ .

(Sa verovatnoćom 68% šum će biti manji po apsolutnoj vrednosti od svoje efektivne vrednosti).

c)

95,0)2(21]22[ =⋅−=<<− QnP nn σσ .

2.2.17 Na ulazu idealnog pojasnog filtra prikazanog na slici (Slika 2.2.17.1) se nalazi aditivni

beli Gausov šum ( )tn , konstantne spektralna gustina snage koja je jednaka 2

0N. Dobijeni

uskopojasni šum nakon filtriranja se može predstaviti izrazom:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttnttntn csccu ωω sincos −= ,

gde su ( )tnc i ( )tns komponente šuma u fazi, odnosno u kvadraturi. Pri tome se može

smatrati da su ( )tnc i ( )tns nezavisni procesi sa jednakim srednjim snagama i

autokorelacijama, a njihove spektralne gustine snage su konstantne i različite od 0 u opsegu [ ]BB,− .

a) Pokazati da važi:

( ) ( ) ( )∫+

−

≅2

2

cos2

Tt

Tt

cuc duuunT

tn ω , i


( ) ( ) ( )∫+

−

≅2

2

sin2

Tt

Tt

cus duuunT

tn ω ,

pri čemu je B

Tfc

11 <<<< .

b) Pokazati da važi:

( ) ( ) ( ) 0=== tntntn scu .

c) Pokazati da je autokorelacija uskopojasnog Gausovog procesa:

( ) ( ) ( )τωττ ccu RR cos= .

d) Odrediti spektralne gustine snaga procesa ( )tnc i ( )tns , kao i snagu šuma na izlazu

pojasnog filtra.

( )tnu( )tn

BfBf cc +÷− f

( )fHPF

1

cfcf−

Slika 2.2.17.1

Rešenje:

a) Dokažimo tvrdnju prvo za ( )tnc :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) .2sin1

2cos11

2sin2

12cos1

2

12

cossincos2

)cos(2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∫

∫∫

∫

∫∫

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

−

−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

−=

Tt

Tt

cs

Tt

Tt

cc

Tt

Tt

c

Tt

Tt

cscc

Tt

Tt

ccscc

Tt

Tt

cu

duuunT

duuunT

duunT

duuunuunT

duuuunuunT

duuunT

ω

ω

ωω

ωωωω

Ako je B

T1<< , tada se ( )tnc i ( )tns mogu smatrati približno konstantnim u intervalu

T, na osnovu čega sledi:


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ),22

2sin1

2cos1

)cos(2

21

2

2

2

2

2

2

tn

T

ktn

T

ktntn

duuT

tnduuT

tntnduuunT

c

cs

ccc

Tt

Tt

cs

Tt

Tt

ccc

Tt

Tt

cu

≅

−+=

−+= ∫∫∫+

−

+

−

+

−

ωω

ωωω

jer je 2,2 21 <<<<− kk i 12

1 <<Tcω

.

Na sličan način se može pokazati da je i ( ) ( ) ( )∫+

−

≅2

2

sin2

Tt

Tt

cus duuunT

tn ω . Odavde sledi

da se uskopojasni šum može razdvojiti na dve komponente.

b) Važi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dthnthtntn PFPFu ∫∞

∞−

−=∗= ,

gde je sa ( )thPF označen impulsni odziv pojasnog filtra. Sledi da je:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0=−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−== ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

ττττττ dthnEdthnEtnEtn PFPFuu .

Na osnovu dela zadatka pod a), sledi da je:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0cos2

cos2 2

2

2

2

==⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

== ∫∫+

−

+

−

Tt

Tt

cu

Tt

Tt

cucc duuunET

duuunT

EtnEtn ωω ,

a na sličan način je i:

( ) ( )[ ] 0== tnEtn ss .

c)

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ).sinsin

sincos

sincos

coscos

τωωτωτωτ

τωωττωωτ

ττ

++++++−−++−−++=

+=

tttntnE

tttntnE

tttntnE

tttntnE

tntnER

ccss

ccsc

ccsc

cccc

uuu

Na osnovu uslova zadatka je ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]ττττ +==+= tntnERtntnER sssccc , a

takođe važi ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=+=+ tntnEtntnE scsc ττ , jer su procesi ( )tnc i ( )tns

međusobno nezavisni, a njihove statističke srednje vrednosti su jednake 0.

Dalje je:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ).cos

sinsincoscos

sinsincoscos

τωττωωτωωτ

τωωττωωττ

cc

ccccc

ccscccu

R

ttttR

ttRttRR

=+++=

+++=


d) Spektralna gustina snage šuma je nakon filtriranja ograničena na intervale ( ) ( )[ ]BfBf cc −−+− , i [ ]BfBf cc +− , (Slika 2.2.17.2). Snaga šuma nakon filtriranja

je:

( ) 00 2

22 BNdf

NdffSP

Bf

Bfuu

c

c

=== ∫∫+

−

∞

∞−

.

f

( )fSu

20N

cfcf−

Slika 2.2.17.2

Na osnovu zadatka pod c), važi:

( ) ( ) ( )0002 0 scuu RRRBNP ==== .

Dalje je:

( ) ( )dffSBNR cc ∫∞

∞−

== 020 .

Pošto je spektralna gustina snage procesa ( )tnc konstanta u intervalu [ ]BB,− , važi:

( )⎩⎨⎧ ≤≤−

=drugde. 0

,0 BfBNfSc

Na sličan način se može pokazati da je spektralna gustina snage procesa ( )tns :

( )⎩⎨⎧ ≤≤−

=drugde.0

,0 BfBNfSs


V E Ž B A 1

SLUČAJNE PROMENLJIVE I STOHASTIČKI PROCESI

I PRIPREMA VEŽBE (DOMAĆI ZADATAK)

P1) Uniformno raspodeljena slučajna promenljiva

P1.1. Neka je U ∼ U (a,b) uniformno raspodeljena slučajna promenljiva nad intervalom [a,b], a < b

a) Odrediti i nacrtati gustinu verovatnoće od U. b) Odrediti i nacrtati kumulativnu funkciju raspodele od U. c) Izračunati E[U] I E[U²], σ²u kao i funkcije promenljivih a i b. d) Odrediti vezu između "širine" uniformne raspodele, b-a, i njene varijanse. e) Za a = 2, b = 6 izračunati P (-2 <U< 4), i P (U = 5).

P2) Normalno raspodeljena (Gauss-ova) slučajna promenljiva

P2.1. Posmatramo normalno raspodeljenu slučajnu promenljivu X ~ N (µ,σ²) za neke vrednosti µ i σ. Neka je Φ(z) kumulativna funkcija normalizovane normalno raspodeljene slučajne promenljive Z∼N (0,1), čije su vrednosti dostupne u tabelarnoj formi.

a) Izraziti P(a<X<b) i P(X>b) na osnovu Φ, a, b, µ, i σ; b) Za µ = 4 , σ² = 4/3 odrediti P(3≤X≤5) i P(X≥5) .

P3) Sinusoida sa slučajnom fazom

P3.1. Odrediti gustinu raspodele amplituda za )2sin(),( 0 θπθ += tfAtX , ako se podrazumeva da je θ uniformno raspodeljeno.

P3.2. Dat je slučajni proces X (θ,t) = cos(2π1000t + θ) sa diskretnom slučajnom promenljivom θ, koja ima vrednosti θ1 = 0, θ 2 = π/2, θ 3 = π, θ 4 = 3π/2 sa jednakim verovatnoćama.

a) Odrediti očekivanje E [ X (θ,t) ], E [ X² (θ,t) ] kao i autokorelacionu funkciju Rx (t +τ,τ).

b) Odrediti srednju vrednost po vremenu (X (θ,t)) i (X² (θ,t)). c) Da li je X (θ,t) stacionaran, odnosno da li je ergodičan proces?

P4) Autokorelaciona funkcija i spektralna gustina srednje snage slučajnog procesa.

P4.1. Odrediti i skicirati spektralnu gustinu srednje snage slučajnog procesa Y(t), ako je autokorelaciona funkcuja Ry (t) data kao :

a) Ry (τ) = δ(τ); b) Ry (τ) = λ(τ); c) Ry (τ) = λ(τ/T); d) Ry (τ) = 1.

38 VEŽBA 1

P4.2. Odrediti srednju i srednju kvadratnu vrednost slučajnog procesa Z (t), ako je grafički zadata:

a) autokorelaciona funkcija Rz(τ); b) spektralna gustina srednje snage Sz (f).

a)

b)

Slika 1.1.

P4.3. Koji uslov moraju zadovoljiti dva slučajna procesa da bi bili nekorelisani?

P5) Linerno filtriranje slučajnog procesa.

P5.1. Odrediti odziv filtra čija je prenosna funkcija : H (f) = f 0 / (f 0 + j2πf′) ako je na njegovom ulazu prisutan beli šum spektralne gustine srednje snage Sn (f) = N0 / 2. U kakvoj su vezi spektralna gustina srednje snage odziva i prenosna funkcija filtra H(f)?

P5.2. (CCS) Beli šum X(t) sa spektralnom gustinom srednje snage ffSX ∀= ,1)(

pobuđuje linearan filtar čiji je impulsni odziv h . Odrediti spektralnu

gustinu snage i autokorelacionu funkciju procesa na izlazu filtra. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<≥

=000

)(tte

t−t

nP5.3. (CCS) Odmerci belog šuma {X(n)} propuštaju se kroz linearan filtar čiji je

impulsni odziv . Odrediti spektralnu gustinu snage i

autokorelacionu funkciju procesa na izlazu filtra. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<≥

=000)95.0(

)(nn

nh


II ZADATAK VEŽBE

SLUČAJNE PROMENLJIVE

1) Uniformno raspodeljene slučajna promenljiva (CST)

1.1. Koristeći funkcije unif_pdf i unif_cdf nacrtati gustinu verovatnoće (pdf) i kumulativnu funkciju raspodele (cdf) uniformne slučajne promenljive U (2,6): >> subplot (121),unif_pdf (2,6),axis( [ 0,8,-0.2,1.2 ] ); >> subplot (121),unif_cdf (2,6),axis ( [ 0,8,-0.2,1.2 ] );

Grafik 1.1.

1.2. Ako je U~U (2,6) odrediti verovatnoće koristeći generisane grafike za pdf i cdf u tački 1.1.

P ( 0<U<3 ) P ( 3<U≤5 ) P ( U = 3 )

Tabela 1.1

1.3. Generisati 500 uzoraka slučajne promenljive U (2,6) >> u = uniform (2,6,500);

a) Izračunati srednju vrednost ( očekivanje) i varijansu slučajne sekvence u:

>> mean_u = mean (u), var_u = var (u)

Uporediti ove rezultate sa rezultatima koji se očekuju na osnovu P1.1. i komentarisati razlike.

b) Da li možete da pretpostavite algoritme MATLAB funkcija mean i var? Prikažite sadržaje ovih funkcija komandom type.

c) Iskoristite funkcije mean_u i var_u za određivanje E[ u² ]. Proverite rezultat sa

MATLAB funkcijom meansq.

40 VEŽBA 1

2) Gausova slučajna promenljiva

2.1. Koristeći MATLAB funkcije gaus_pdf i gaus_cdf prikazati grafike gustine verovatnoće (pdf) i kumulativne raspodele (cdf) slučajne promenljive G ~ N (µ,σ²), pri čemu je µ = mean_u i σ² = var_u iz pripreme 1.3. >> clg,subplot (121),gaus_pdf ( mean_u,var_u ) >> subplot (122),gaus_cdf ( mean_u,var_u )

Grafik 1.2.

2.2. Naznačiti vrednosti na horizontalnoj osi gde pdf ima maksimalnu vrednost i gde je cdf jednaka 0.5. Uporediti ove vrednosti sa srednjom vrednošću Gausove raspodele.

2.3. Odrediti sledeće verovatnoće :

P ( 0 < G ≤ 3 ) P ( 3 < G ≤ 5 ) P ( G ≥ 5 )

Tabela 1.2 Uporediti dobijene rezultate sa vrednostima u tabeli 1.1 za uniformnu raspodelu. Gausova raspodela korišćena u ovom zadatku i uniformna raspodela iz prvog dela vežbe imaju iste srednje vrednosti i varijanse, ali se rezultati razlikuju. Možete li objasniti zašto?

2.4. Ako pretpostavimo da slučajna promenljiva X ∼ N ( µ, σ²) ima konstantnu srednju vrednost µ=1, grafički prikazati uticaj promene varijanse σ² ∈ {0.5, 1, 2, 5, 10 } na izgled gustine raspodele: >> clf >> m = 1; gaus_pdf (m,0.5) >> axis ( [ -10 10 0 0.6 ] ),hold on >> gaus_pdf (m,1) … >> gaus_pdf (m,10)


Pitanje 1.1. Ako pretpostavimo događaj A : 0<X<2, za koju vrednost varijanse σ² ∈{ 0.5,1,2,5,10} dobijamo maksimalnu verovatnoća događaja A , P (A ).

2.5. Za SP X ∼ N ( 1, σ²), prikazati uticaj promene varijanse σ² ∈ {0.5, 1, 2, 5, 10 } na kumulativnu funkciju raspodele. >> clf >> m = 1; gaus_cdf (m,10) >> axis ( [ -10 10 0 1 ] ),hold on >> gaus_cdf (m,1) … >> gaus_cdf (m,10)

a) Da li možete pretpostaviti granični oblik cdf kada ? Prikaz cdf za malu vrednost može pomoći pri odgovaranju na postavljeno pitanje:

02 →σ2σ

>> gaus_cdf (m,0.00001)

b) Šta znači imati raspodelu verovatnoća sa vrlo malom varijansom? Prikaz

odgovarajuće pdf pomaže da bolje ilustrujemo ovo pitanje:

>> clf >> gaus_pdf (m,0.00001) >> axis ( [ 0 2 0 200 ] )

c) Ako u poslednjem koraku uzmemo uniformno raspodeljenu slučajnu promenljivu

sa srednjom vrednošću µ i varijansom 0.0001, da li će se rezultujuća funkcija pdf promeniti?

2.6. Da bi utvrdili efekte promene srednje vrednosti µ∈{-4,-1,2,5} na pdf Gausove raspodele, njenu varijansu, σ², držaćemo konstantnom: >> clf >> s = 1; gaus_pdf (-4,s) >> axis ( [ -8 8 0 0.5 ] ), hold on >> gaus_pdf (-1,s) … >> gaus_pdf (5,s)

a) Šta sada zapažate: kakav je uticaj promene srednje vrednosti µ ? b) Neka je X (µ, σ²) slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom X ( µ,σ²) ∼ N (

µ,σ²). Uporediti vrednosti P(-5< X(-4,1) <-3) i P(4< X(5,1) <6). c) Da bi prikazali efekte promene µ na kumulativnu funkciju raspodele (cdf)

ponoviti korake iz zadatka 2.5. za µ∈{-4,-1,2,5} i σ²=1. Prethodno je potrebno očistiti grafik i odabrati odgovarajuće ose za prikaz: axis( [ -8 8 0 1 ] ).

3) Srednja vrednost,varijansa i snaga

3.1. Generisati slučajne sekvence na osnovu Gausovih slučajnih promenljivih koje imaju različite srednje vrednosti:

42 VEŽBA 1

>> x = gauss (-5,1,100); >> y = gauss (0,1,100); >> z = gauss (5,1,100); >> clf >> plot (x) >> axis ( [ 1 100 -10 10 ] ), grid on, hold on >> plot (y) >> plot (z) Da li je moguće konstatovati da srednja vrednost Gausove slučajne promenljive utiče na jednosmerni nivo talasnog oblika (sekvence)?

3.2. Generisati slučajne sekvence na osnovu Gausovih raspodela sa različitim vrednostima varijanse: >> a = gauss (0,4,100); >> b = gauss (0,1,100); >> c = gauss (0,0.5,100); >> d = gauss (0,0.01,100); >> clf >> subplot (221), plot(a), axis ( [ 1 100 -10 10 ] ) >> subplot (222), plot(b), axis ( [ 1 100 -10 10 ] ) >> subplot (223), plot(c), axis ( [ 1 100 -10 10 ] ) >> subplot (224), plot(d), axis ( [ 1 100 -10 10 ] ) Koristeći MATLAB funkcije mean i var odrediti srednju vrednost i varijansu svake sekvence, i dobijene podatke uneti u tabelu 1.3. Odrediti srednju kvadratnu vrednost svakog signala koristeći dobijene vrednosti srednje vrednosti i varijanse. Proveriti rezultate korišćenjem funkcije meansq.

sekvenca srednja vrednost varijansa srednja kvadratna vrednost

a b c

Tabela 1.3 Pitanje 1.2. Ako talasni oblici iz ovog primera predstavljaju šum, koji bi od njih uneo najmanje smetnji vašem komunikacionom sistemu? Ako prikazani talasni oblici predstavljaju korisne signale bez prisutnog šuma, koji biste upotrebli za prenos informacije i zašto?

SLUČAJNI PROCESI

4) Stacionarnost u širem smislu i ergodičnost

4.1 Generisati sve četiri realizacije slučajnog procesa X (θ,t) opisanog u pripremnom zadatku P3.2 i prikazati prvih 400 uzoraka svake realizacije. >> x = realize ( [ 0 pi/2 pi 3*pi/2 ] ); >> subplot (221),waveplot (x(1,1:400)); >> subplot (222),waveplot (x(2,1:400));


>> subplot (223),waveplot (x(3,1:400)); >> subplot (224),waveplot (x(4,1:400));

a) Odrediti vrednosti svake realizacije slučajne promenljive X (θ,t) za trenutke t = 0, 0.5, 1.25, 2.2, 3.4 ms. Za svako t izračunati srednju vrednost po ansamblu i srednju kvadratnu vrednost po ansamblu

time [ ms ]

0.0 0.5 1.25 2.2 3.4

X (θ1,t)

X (θ2,t)

X (θ3,t)

X (θ4,t)

E[X (θ,t)]

E[X² (θ,t)]

Tabela 1.4.

4.2. Koristeći funkciju ecorr odrediti autokorelacionu funkciju Rx( t1,t2) za vrednosti t1 i t2 iz tabele 1.5.

>> ecorr (x, t1, t2)

t1 t2 0.0 0.7 1.9 2.6

0.0

0.7

1.9

2.6

Tabela 1.5.

Pitanje 1.3. Zašto su vrednosti u tabeli 1.5 simetrične? Zašto su Rx(1.9, 2.6) i Rx(0.7, 0) jednake? Kako bi izračunali Rx(t1,t2) sa grafika koji su generisani u zadatku 4.1?

4.3. Odrediti vremenske srednje vrednosti za X (θ,t) i X²(θ,t) za svaku vrednost θ. Rezultate uneti u tabelu 1.6.

>> [ mean ( x ( 1,:) ) meansq ( x(1,:) ) ]

44 VEŽBA 1

>> [ mean ( x(2,:) ) meansq ( x(2,:) ) ] >> [ mean ( x(3,:) ) meansq ( x(3,:) ) ] >> [ mean ( x(4,:) ) meansq ( x(4,:) ) ]

θ X (θ,t) X²(θ,t)

θ1

θ2

θ3

θ4

Tabela 1.6.

Uporediti ove vrednosti sa vrednostima dobijenim u tabeli 1.4. Šta to govori o ergodičnosti X(θ,t)?

4.4. Prikazati autokorelacionu funkciju X (θ1,t) koja je određena usrednjavanjem u vremenu:

>> clf >> acf ( x(1,:),100);

Da li je vremenska autokorelaciona funkcija (acf) za X (θ1,t) različita od acf za X (θ3,t)?

Pitanje 1.4. Ako je X(θ, t) ergodičan proces, kako se može izračunati Rx(2.6, 0.7) koristeći grafik iz zadatka 4.4?

4.5 Generisati slučajni proces Y (Φ, t) = cos(2π1000t + Φ) definisan u terminima diskretne slučajne promenljive faze Φ koja uzima vrednosti Φ1 = 0 i Φ1 = π sa jednakim verovatnoćama.

>> y = realize ([ 0,pi ]);

Prikazati obe realizacije slučajnog procesa Y (Φ, t). Odrediti srednju vrednost i srednju kvadratnu vrednost za t = 1ms i t = 1.25 ms

>> subplot (211),waveplot ( y(1,1:400)) >> subplot (212),waveplot ( y(2,1:400)) Pitanje 1.5. Da li je Y(Φ, t) stacionaran u širem smislu? Da li je Y(Φ, t) ergodičan proces? Obrazložite odgovore.


5) Autokorelaciona funkcija i spektralna gustina srednje snage

Korelacija je mera sličnosti između dva skupa podataka, u tom smislu da što su skupovi sličniji veća će biti apsolutna vrednost korelacije. Jedna od primena je procena slučajne veličine na osnovu posmatranja nekog zavisnog procesa. Autokorelacija je korelaciona mera odmeraka uzetih iz istog slučajnog procesa.

5.1. Generisati 4096 uzorak korelusanog slučajnog procesa Z(t) i prikazati rezultujući grafik

>> close (2),clf >> z = corr_seq( 0.85,4096.3,0 ); >> waveplot (z)

a) Izračunati i prikazati autokorelacionu funkciju RZ(τ) i spektralnu gustinu srednje snage SZ(f) slučajnog procesa Z(t)

>> clf,subplot (211),acf (z) >> subplot (212),psd (z)

Uporedite SZ(f) sa odgovorima na pripremno pitanje P4.2.

b) Izračunati srednju vrednost i srednju kvadratnu vrednost slučajnog procesa Z(t) koristeći RZ(τ).

E [Z(t)] =

E [Z²(t)] =

c) Odredite srednju kvadratnu vrednost procesa Z(t) koristeći SZ(f). Srednja kvadratna vrednost je ekvivalentna oblasti ispod PSD funkcije pomnožena sa faktorom skaliranja. Faktor skaliranja predstavlja broj uzoraka podeljen sa frekvencijom odabiranja. U ovom eksperimentu faktor skaliranja ima vrednost 0.04096.

E [Z²(t)] = * 0.04096 =

6) Beli šum

Spektralna gustina srednje snage belog šuma je konstantna funkcija na celom propusnom opsegu. Beli šum korišćen kao ulaz sistema prisutan je na svim frekvencijama, zato se koristi za identifikaciju sistema tj. za određivanje frekvencijskog odziva nepoznatog sistema.

6.1. Generisati 1024 uzoraka belog Gausovog šuma sa nultom srednjom vrednošću i jediničnom snagom. Iskoristiti dobijenu sekvencu kao ulaz u nepoznati sistem koji predstavlja filtar sa nepoznatom širinom propusnog opsega.

46 VEŽBA 1

>> clf >> wn = gauss (0,1,1024); >> cn = blackbox (wn);

a) Dovedimo izlaz iz nepoznatog filtra na usko pojasni filtar sa promenljivim propusnim opsegom

>> spect_est (cn)

Nakon poziva funkcija spect_est potrebno je zadati frekvencijski opseg u kojem se vrši procena spektra kao i širinu propusnog opsega uskopojasnog filtra koji se koristi za analizu spektra. Za spektralni opseg unesite [0, 5 kHz] a za širinu propusnog opsega filtra 250 Hz. Po unošenju podaka, funkcija prikazuje spektralnu amplitudsku karakteristiku izlaznog signala unutar zadatog frekvencijskog opsega i sa rezolucijom koja odgovara širini upotrebljenog uskopojasnog filtra.

Grafik 1.3.

b) Prikazati rezultat spektralne analize na grafiku 2.1. Uporediti tačnost procenjene spektralne raspodele koja aproksimira frekvencijski odziv nepoznatog sistema poredeći sa spektralnom gustinom srednje snage na njegovom izlazu.

>> hold on, psd (cn)

Pitanje 1.6. Odrediti propusni opseg i red nepoznatog filtra koji je predstavljen blackbox funkcijom.


3 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA

3.1 UVOD

3.1.1 Osnovne definicije i oznake

Osnovne komponente digitalnog signala su: ⋅ informacioni sadržaj, ⋅ vremenski oblik elementarnog impulsa, ⋅ digitski takt (signalizacioni interval).

Informacioni sadržaj predstavlja vremenski niz diskretnih simbola: { } LL ,,,, 11 +−= kkkk aaaa (3.1)

Simboli ak uzimaju vrednosti iz konačnog skupa (alfabeta) { }.1,,2,1,0, −== MmAA m L

Ako je ak simbol alfabeta A , elementarni impuls, a T signalizacioni interval, digitalni signal se može predstaviti u obliku:

)(th

s t a h t kTkk N

N

( ) ( )= ⋅ −=−∑ (3.2)

Ako se uvedu sledeće pretpostavke: ⋅ su međusobno zavisne slučajne veličine, { }ka

⋅ svi nizovi elemenata informacionog sadržaja čine ergodičan ansambl u širem smislu, tada će važiti:

akk aa µ== }{ , i (3.3)

)(}}{{ nRaaaa ankknkk == ++ (3.4)

U poslednjim izrazima su:

][][1

mk

M

mmkk AaPAaEa =⋅== ∑

=

, i (3.5)

∑∑= =

+++ ====M

i

M

jjnkikjinkknkk AaAaPAAaaEaa

1 1],[][ (3.6)

statistička srednja vrednost i autokorelacija elemenata informacionog sadržaja, a

∑−=∞→ +

=N

Nkk

Nk a

Na

121

lim}{ , i (3.7)

∑−=

++ +=

∞→

N

Nknkknkk aa

Naa

N 121

lim}}{{ (3.8)

srednja vrednost i autokorelacija člana informacionog sadržaja po vremenu.


3.1.2 Statističke i spektralne karakteristike digitalnih signala

Srednja vrednost digitalnog signala po vremenu je:

)0()()(2

1lim)( HT

dtthT

dttsNT

ts aaNT

NTN

µµ=== ∫∫

∞

∞−−∞→

(3.9)

Statistička srednja vrednost je:

∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−==

k

Tktja

ka e

TkH

TkTthtsEts /2)()]([)( πµ

µ (3.10)

Autokorelacija digitalnog signala po vremenu definisana je izrazom:

∑

∫∑ ∑

∫

∞

−∞=

−−= −=∞→

−∞→

⋅+=

−+−=

+=+=

maT

NT

NT

N

Nk

N

Nnnk

N

NT

NTN

mRmTRT

dtnTthkTthaaNT

dttstsNT

tstsR

)()(1

)()(2

1lim

)()(2

1lim)()()(

τ

τ

τττ

(3.11)

gde je , a nkm −=

∫∞

∞−

+= dtththRT )()()( ττ (3.12)

autokorelacija elementarnog impulsa. Spektralna gustina srednje snage (SGSS) digitalnog signala definisana je izrazom:

∑∫∞

−∞=

−∞

∞−

− ==m

fmTja

fj emRfHT

deRfS πτπ ττ 222 )()(1)()( (3.13)

2)( fH je spektralna gustina energije signala i predstavlja njegov uticaj na SGSS, h t( )

K fT

R m ea aj fmT

m( ) ( )= −

=−∞

∞

∑1 2π (3.14)

predstavlja spektar informacionog sadržaja,

[ ]∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

m

fmTjaa

m

aa emR

TTmf

TfK πµδ

µ 222

2

)(1)( (3.15)

Sledi: )()()( fSfSfS kd += , (3.16)

pri čemu su i diskretni i kontinualni deo SGSS respektivno, a mogu se predstaviti sledećim izrazima:

)( fSd )( fSk

∑∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

m

ad T

mfT

fHfS δµ

2

22)()( , i (3.17)

[ ]∑∞

−∞=

−−=m

fmTjaak emR

TfHfS πµ 222 )(1)()(

(3.18)

Ukoliko je digitalni signal sa statistički nezavisnim elementima informacionog sadržaja, statistička autokorelacija informacionog sadržaja je:


⎪⎩

⎪⎨⎧

≠===

.0,0)0()(

2

2

mmRamR

a

aka

µ (3.19)

∑∞

−∞=

++=m

Ta

Ta mTR

TR

TR )()()(

22τµτστ (3.20)

je autokorelacija digitalnog signala, pri čemu je varijansa elemenata informacionog sadržaja.

σa2

∑∞

−∞=

+==m

Ta

Ta mTR

TR

TRP )()0()0(

22 µσ (3.21)

predstavlja srednju snagu digitalnog signala. Spektralna gustina srednje snage je tada data izrazom:

∑∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

m

aa

TmfjfH

TjfH

TfS δ

µσ 22

22

2

)()()( (3.22)

Ako su elementi alfabeta informacionog sadržaja polarni: { 1,,2,1,0,)]1(2[ }−=⋅−−==∈ MmdMmAAa mk L (3.23)

gde je d polovina rastojanja između susednih simbola alfabeta, iste apriorne verovatnoće:

MmM

AP m ,,2,1,1)( L== (3.24)

sledi: µa = 0 (SGSS nema diskretni deo).

22

22

31 dMaka−

==σ (varijansa alfabeta) (3.25)

RM

dT

RT( ) ( )τ τ=−2

213

1 (autokorelacija) (3.26)

a srednja snaga takvog digitalnog signala je:

∫∫∞

∞−

∞

∞−

== dtthT

dffHT

P aa )()( 22

22 σσ

(3.27)


3.2 ZADACI

3.2.1 Prikazati vremenski oblik digitalnog signala kojim se prenosi binarna sekvenca 10011011, ukoliko se za prenos koriste sledeći formati signala (kodovi):

⋅ unipolarni kod bez povratka na nulu (unipolarni NRZ – Non-Return to Zero),

⋅ diferencijalni unipolarni kod bez povratka na nulu ( diferencijalni unipolarni NRZ),

⋅ bipolarni kod bez povratka na nulu (bipolarni NRZ),

⋅ bipolarni kod sa povratkom na nulu (bipolarni RZ – Return to Zero),

⋅ Mančester kod,

⋅ diferencirajući RZ kod.

Rešenje:

Unipolarni NRZ kod Ovo je najjednostavniji način kodovanja. Binarno 1 se koduje impulsom pozitivnog nivoa, dok se binarno 0 koduje odustvom impulsa. Oba simbola traju čitav sinhronizacioni interval. Problem je što pri dugotrajnom nizu 1-ca, odnosno 0, nema tranzicija u digitalnom signalu, pa se gubi informacija o taktu, i stoga ovaj format ne može da služi za održavanje sinhronizacije između predajnika i prijemnika.

Diferencijalni unipolarni NRZ kod

Kod ovog formata je karakteristično da se koduju promene u informacionoj sekvenci. Ukoliko su susedni biti iste vrednosti, to se koduje odsustvom impulsa, a ukoliko su susedni biti različite vrednosti, to se koduje pozitivnim impulsom. Simboli traju čitav signalizacioni interval, a prvi simbol se koduje na prethodno dogovoren način (u ovom primeru je početni simbol pozitivan ako sekvenca počinje bitom 1).

Bipolarni NRZ kod I u ovom slučaju je nivo signala konstantan za vreme prenosa jednog bita. Koriste se takođe dva naponska nivoa, ali za razliku unipolarnog NRZ koda, pozitivan impuls koduje binarno 1, a negativan impuls koduje binarno 0. Ovde važi isti problem vezan za NRZ kodove – pri dugotrajnom nizu 1-ca, odnosno 0, nema tranzicija, pa ni bipolarni NRZ ne može da služi za održavanje sinhronizacije.

Bipolarni RZ U ovom formatu, binarno 1 je predstavljeno pozitivnim, a binarno 0 negativnim impulsom. Za razliku od prethodno navedenih formata, na sredini svakog intervala signal pada na nulti nivo. Kako na sredini svakog interval postoji tranzicija, sinhronizacija između između predajnika i prijemnika se lako održava. Nedostatak je, međutim, da su promene signala dva puta češće nego protok bita, pa je i zahtevani propusni opseg duplo veći. Mančester kod Slično kao i kod RZ kodova, postoji tranzicija na sredini intervala. Prva polovina intervala označava vrednost bita (pozitivan impuls za binarno 1, a odsustvo impulsa za binarno 0), a na druga polovina je suprotne vrednosti od prve. Prednost nad RZ-om je postojanje samo dva naponska nivoa.

AMI kod AMI kod poseduje tri naponska nivoa. Binarno 0 se koduje naponom nula, a binarno 1 naizmenično negativnim i pozitivnim nivoom (pseudoternarni kod). Impulsi traju polovinu signalizacionog intervala.


Slika 3.2.1.1 prikazuje vremenske oblike navedenih formata.

1 0

+V

-V

0

biti informacionesekvence

unipolarni NRZ

Mancester

AMI

diferencijalniunipolarni NRZ

+V

0

bipolarni NRZ 0

+V

bipolarni RZ

1 1 1 10 0

-V

0

+V

0

+V

-V

0

+V

Slika 3.2.1.1

3.2.2 Izvesti izraze za varijanse informacionih sadržaja digitalnih signala sa simbolima iz M-arnih alfabeta:

a) { }1,,2,1,0],)1(2[ −=−−== MmdMdmAA m L (polarni),

b) { }1,,2,1,0,2 −=== MmdmAA m L (unipolarni),

pod pretpostavkom da su svi simboli jednako verovatni.

Rešenje:

Varijansa informacionog sadržaja digitalnog signala je 222 aaa −=σ .

a) Kako je a = 0, varijansa je jednaka srednjoj kvadratnoj vrednosti alfabeta:


( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

.3

1

6

1223321

112

11

6

121

1114

1124121

)(

22

2222

22

1

0

21

0

1

0

22

1

0

2221

0

2

1

0

22

dM

MMMMMM

M

Md

MMMM

MMMM

M

d

MmMmM

d

MmMmM

ddMmd

M

AAP

M

m

M

m

M

m

M

m

M

m

M

mmma

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−++−−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−−−−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−=

−+−−=−−=

⋅=

∑∑∑

∑∑

∑

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=σ

b) Kod unipolarnog alfabeta srednja vrednost alfabeta je različita od nule:

dMMM

M

ddm

MAAPa

M

m

M

mmm )1(

2

)11)(1(22

1)(

1

0

1

0

−=+−−==⋅= ∑∑−

=

−

=,

pa pošto je srednja kvadratna vrednost:

( )

,3

)12)(1(2

6

)12()1(42

1)(

2

21

0

21

0

22

dMM

MMM

M

ddm

MAAPa

M

m

M

mmm

−−=

−−==⋅= ∑∑−

=

−

=

za varijansu informacionog sadržaja unipolarnog digitalnog signala dobija se:

22

222222

3

1)12(

3

)12)(1(2 d

MdMMd

MMaaa

−=+−−−−=−=σ .

Dakle, varijansa informacionog sadržaja polarnog i unipolarnog digitalnog signala ista je i data je izrazom:

22

2

3

1d

Ma

−=σ .

Ovo je i logično, s obzirom da varijansa reprezentuje samo naizmenični deo snage slučajnog signala.

3.2.3 Ako su snage unipolarnih binarnih signala od kojih je prvi bez povratka na nulu, a drugi sa povratkom na nulu iste, odrediti i uporediti njihove spektralne gustine srednje snage (SGSS), pod uslovom da su im alfabeti identični i da su simboli statistički nezavisni sa podjednakim verovatnoćama pojavljivanja.

Slika 3.2.3.1 Unipolarni binarni digitalni signali a) bez povratka na nulu b) sa povratkom na nulu


Rešenje:

Digitalni signali )(1 ts i )(2 ts dati su sledećim izrazima:

⎩⎨⎧ ≤≤

=−= ∑∞

−∞= drugde.0

,0)(,)()( 1

1111

TtUthnTthats

nn

⎩⎨⎧ ≤≤

=−= ∑∞

−∞= drugde.0

,20)(,)()( 2

2222

TtUthnTthats

nn

Za izračunavanje SGSS važi izraz (3.22).

Treba odrediti σ a2 i a , kao i spektar elementarnog impulsa )( fH .

Statistike oba informaciona sadržaja su iste i izračunavaju se na sledeći način:

.4

1

,2

11)1(0)0(

,4

1

,2

11)1(0)0(

22

22

2221

22

21

1

21 aa

aPPa

aa

PPa

σσ ==

==⋅+⋅=

==

=⋅+⋅=

Pošto su srednje snage oba digitalna signala po uslovu zadatka iste, parametri U1 i U2 mogu se izraziti preko srednje snage Ps .

Za srednju snagu unipolarnog digitalnog signala ne može se koristiti izraz (3.27) - dat za polarne signale, već se polazi od opšteg izraza (3.21). Kako je proizvod

0)()( =+ mTthth za m ≠ 0 u izrazu (3.12) za )(mTRT , izraz (3.21) za srednju snagu

unipolarnih digitalnih signala sa elementarnim impulsima h t1( ) i )(2 th svodi se na:

∫∞

∞−

= dtthT

aP )(2

2

,

odnosno:

sss PUPUdtthT

aP 22

1)(

1 21

21

21

211 =⇒=== ∫

∞

∞−

,

.42

1

2

1 22

222 sss PUPUP =⇒==

Treba još odrediti Furijeove transformacije elementarnih impulsa )(1 th i )(2 th :

,)(

)(sin2)(

,)sin(

)()(

2

222

1

221

0

21

211

fT

fTTPfH

efT

fTTUdteUdtethfH

s

TfjT

ftjftj

ππ

ππ πππ

=

=== −−∞

∞−

− ∫∫


( )( )

.0sin

0

,sin

24

1

)(

)(sin

4

2

sin2

4

1

)(

)(sin

4

2)(

2

2

22

22

22

2

2

222

22

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒≠

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

ππ

δπ

ππ

π

δπ

π

ππ

k

kk

T

kf

k

kTP

TfT

fTT

T

P

T

kf

TT

k

TT

k

TPTfT

fTT

T

PfS

ks

s

ks

s

SGSS unipolarnog digitalnog signala srednje snage sP bez povratka na nulu, pri brzini

signalizacije 1/T je:

)(2

1

)(

sin

2

1)(

2

2

1 fPfT

fTTPfS ss δ

ππ += .

Na sličan način dolazi se do SGSS unipolarnog digitalnog signala sa povratkom na nulu:

,

2

2sin

4

1

2

2sin

4)(

,

2

2sin

)(

,

2

2sin

2

1)(

2

2

222

2

22

2

2

222

4/22

2/

0

222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

∑

∫

∞

−∞=

−−

T

kf

k

k

TPTfT

fT

TT

PfS

fT

fT

TPfH

efT

fT

TUdteUfH

ks

s

s

fTjT

ftj

δπ

π

π

π

π

π

π

πππ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

≠=

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

.01

,12)12(

2

,0,20

2

2sin 2

2

k

mkm

mmk

k

k

ππ

π

SGSS unipolarnog digitalnog signala sa povratkom na nulu srednje snage Ps , pri brzini signalizacije 1/T je:

.)12(

)12(

1)(

4

2

2sin

4

1)(

222

2

2 ∑∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=m

sss T

mf

m

Pf

P

fT

fT

TPfS δπ

δπ

π

U spektru digitalnog signala )(1 ts , čiji je elementarni impuls bez povratka na nulu (NRZ

– Non Return to Zero), diskretne komponente se nalaze u nulama obvojnice 2

)sin(⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛fT

fT

ππ

,

pa se digitalni takt ne može izdvojiti na osnovu spektra (Slika 3.2.3.2).


Slika 3.2.3.2 SGSS unipolarnog digitalnog signala

U spektru digitalnog signala )(2 ts , čiji je elementarni impuls sa povratkom na nulu (RZ - Return to Zero), postoje diskretne komponente na rastojanju 2/T, pa se na osnovu njih može rekonstruisati digitalni takt (Slika 3.2.3.3).

Slika 3.2.3.3 SGSS unipolarnog digitalnog signala sa povratkom na nulu

Takođe, treba primetiti da su arkade spektra signala sa povratkom na nulu dva puta šire od arkada spektra bez povratka na nulu. To je posledica činjenice da se kod signala sa povratkom na nulu promene nivoa dešavaju dva puta većom frekvencijom (na polovini signalizacionog intervala). Jedna od najčešće korišćenih procena za potrebnu širinu propusnog opsega sistema za prenos digitalnih signala je širina prve arkade. Na osnovu gore rečenog, signal sa povratkom na nulu zahteva dva puta veći propusni opseg od signala bez povratka na nulu.

3.2.4 Odrediti snagu digitalnog signala, čiji su simboli jednako verovatni iz polarnog M-arnog alfabeta, a spektar elementarnog impulsa je dat izrazom:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

.2

1||0

,2

1||

)(

Tf

TfT

fH


Rešenje:

Važi:

∫ ∑∫∞

∞−

∞

−∞=

∞

∞−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+== df

T

mffH

TfH

TdffSP

m

aa δµσ 2

2

22

2

)()()( .

Pošto se radi o polarnom alfabetu sa jednakoverovatnim simbolima, gornji izraz postaje:

∫∞

∞−

= dffHT

P a 22

)(σ

.

Varijansa simbola iz polarnog M-arnog alfabeta je (zadatak 3.2.2):

22

2

3

1d

Ma

−=σ ,


22

2222

1

2

1

222

3

11

3

1

3

1d

M

TTd

T

MdfTd

T

MP

T

T

−=−=−= ∫−

.

3.2.5 U prenosu podataka brzinom sbvd 1200= koristi se impuls:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ <⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=.drugde0

,2

cos)(

Ttt

Tth

π

Odrediti i uporediti spektre signala podataka, kada se koriste alfabeti veličine M = 2, M = 4, i M = 8 .

Kolika širina propusnog opsega je dovoljna za prenos prve arkade spektra?

Amplitude simbola su iz M-arnih polarnih alfabeta, a verovatnoće pojedinih simbola su jednake. Pretpostavlja se da su srednje snage iste u svim slučajevima.

Rešenje:

Kako su simboli alfabeta simetrično raspoređeni oko nule i jednakih verovatnoća, srednja vrednost simbola alfabeta je 0=a , pa će SGSS imati samo kontinualni deo:

22

)()( fHT

afS = ,

gde je )( fH Furijeova transformacija determinističkog signala h t( ).

Srednja snaga sP je ista u svim slučajevima, pa se 2a može izraziti preko nje:


.2

1

2sin

2

1

6

12cos

1

6

1

2

2cos1

1

3

1cos

1

3

1)(

2

2/

2/

222/

2/

2/

2/

22

2/

2/

222/

2/

222

22

consta

T

tTT

Td

Mdt

T

tdt

Td

M

dtT

t

Td

Mdt

T

t

Td

Mdtth

T

aP

T

TM

T

T

T

T

M

T

T

M

T

T

Ms

==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==

−−−

−−

∞

∞−

∫∫

∫∫∫

ππ

π

ππ

Digitalni takt je funkcija broja simbola M i datog digitalnog protoka dv

MT

ld= .

Elementarni impuls je polukosinus (HC - Half Cosine):

( ) ( )

( )

.)2(1

)cos(2

21

1

21

1

2

cos2

cos

2

12

1cos

2

12

1

2sin

2

12

1

2sin

2

12

1

22

12sin

2

12

1

22

12sin

2

12

1

2

12sin

2

12

1

2

12sin

2

12

1

2

12cos

2

12cos

2cos2cos

)2cos(cos2)()(

2

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

2

fT

fTT

fTfT

fTT

fT

Tf

fT

Tf

fT

Tf

fT

Tf

T

Tf

Tf

T

Tf

Tf

tT

f

Tf

tT

f

Tf

dttT

fdttT

f

dtT

tftdt

T

tft

dtftT

tdtethfH

TT

TT

TT

Tftj

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

∫∫

∫∫

∫∫∞

∞−

−

ππ

ππ

ππ

ππ

πππ

πππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππππ

πππ

SGSS je:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

22

2

22

22

ld21

ldcosld

4

2)2(1

)cos(4)(

d

dds

v

Mf

v

Mf

v

M

PfT

fTT

T

afS

π

ππ

π


,ld

21

ldcos

ldld

21

ldcos

ld8)(

2

2

2

22

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

d

d

d

d

d

s

v

Mf

v

Mf

MC

v

Mf

v

Mf

v

MPfS

ππ

π

gde je 2

8

πd

s

v

PC = .

Prva arkada spektra leži u intervalu [ ]0101, ff− , gde je sa 01f označena prva učestanost

za koju važi 0)( 01 =fS . Potencijalni kandidati za 01f su nule funkcije ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dv

Mf

ldcos π .

Prva nula ove funkcije je M

vf d

ld2= , međutim ovo nije i nula )( fS , jer tada i imenilac

2ld

21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

dv

Mf jednak 0. Traženjem granične vrednosti )( fS se za ovu vrednost f

dobija:

16ld

ld2

πMC

M

vS d =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

Druga nula ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dv

Mf

ldcos π je za

M

vf d

ld2

3= , što je takođe i nula )( fS , pa je prva arkada

spektra u opsegu ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

M

v

M

v dd

ld2

3,

ld2

3.

Za f = 0 amplituda prve arkade je MCS ld)0( ⋅= . Sa povećanjem M, amplituda prve arkade će se povećavati sa ldM.

Spektar ovog signala prikazan je na slici (Slika 3.2.5.1). Za razliku od prethodnih zadataka, bočne arkade su nacrtane u pravoj razmeri u odnosu na prvu arkadu. Sa slike se vidi da je procena koja kaže da se značajan deo spektra nalazi u prvoj arkadi opravdana.

Slika 3.2.5.1 SGSS HC digitalnog signala u funkciji od M


Slika 3.2.5.2 daje predstavu spektra u logaritamskoj razmeri. Na ovoj slici se jasno vide nule spektra digitlanog signala. Nule spektra S f( ) su određene nulama funkcije

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dv

Mf

ldcos π , tj. Ζ∈+= kk

M

vf d

ok ),12(ld2

(sem prve nule, kako je već objašnjeno).

Slika 3.2.5.2

Vidi se da povećavanjem M sužavaju se arkade, a površine ispod krivih ostaju iste jer je snaga ista. Sledi tabela u kojoj je prikazano kako se menjaju nule spektra u funkciji M za k = 1, 2.

nule funkcije M

vf d

o ld2

31 =

M

vf d

o ld2

52 =

širina prve arkade

M = 8 dv2

1 dv

6

5 1200Hz

M = 4 dv4

3 dv

4

5 1800Hz

M = 2 dv2

3 dv

2

5 3600Hz

Tabela 3.2.1 Prve dve nule funkcije SGSS

Prethodna analiza pokazuje da se povećanjem broja simbola alfabeta sužava spektar digitalnog signala, odnosno da se isti digitalni protok može ostvariti kroz uži propusni opseg kanala. Međutim, tada se usložnjava uređaj i povećava uticaj šuma.

3.2.6 Signalom prikazanim na slici (Slika 3.2.6.1), prenose se simboli binarnog polarnog

alfabeta A = −{ , }1 1 . Brzina signalizacije je Bd 12001 =T

.

a) Odrediti spektralnu gustinu srednje snage digitalnog signala ako su simboli različite verovatnoće.


b) Nacrtati SGSS kada su simboli jednako verovatni.

Slika 3.2.6.1 Deo digitalnog signala

Rešenje:

a) Simboli ovog signala pripadaju binarnom alfabetu }1,1{},{ 01 −==∈ AAAak .

Sa slike (Slika 3.2.6.1) se može videti da je elementarni impuls oblika:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<≤−

<≤

=

drugde.0

,2

,2

0

)( TtT

U

TtU

th

Statistički parametri informacionog sadržaja su:

).()(4

,1)()(

),()()()(

012

200

211

2

010011

APAP

AAPAAPa

APAPAAPAAPa

a ⋅⋅=

=+=

−=+=

σ

Elementarni impuls može se predstaviti izrazom

,4

3

4)( 00 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= T

thT

thth gde je ⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤=

.drugde0

,4)(0

TtU

th

a njegova Furijeova transformacija je:

,2

sin2)()()( 04

32

42

0fTj

Tfj

Tfj

eT

fjfHeefHfH ππππ −−−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅=

pri čemu je

2

2sin

2)(

4/

4/

20 T

f

Tf

TUdteUfH

T

T

ftj

π

ππ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

== ∫−

− .

Dalje se dobija:


fTje

fTj

fT

fT

UTfHππ

π

π−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=2

sin

2

2sin

)( ,

.2

sin

2

2sin

2sin

2

2sin

)( 2

2

22

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= − fTfT

fT

TUefT

jfT

fT

UTfH fTj ππ

ππ

π

ππ

Zamenom 2

)( fH u izraz za SGSS digitalnog signala sledi:

,)12(

2

1

1)]()([

2sin

2

2sin

)()(4

2sin

2

2sin

)]()([

2sin

2

2sin

)()(4)(

22

2201

2

2

2210

2

2

2222

201

2

2

2210

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅=

k

k

T

kf

k

UAPAP

fTfT

fT

TUT

APAP

T

kf

fTfT

fT

TUT

APAP

fTfT

fT

TUT

APAPfS

δπ

ππ

π

δππ

π

π

ππ

π

jer je:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=−⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎩⎨⎧

+=−

==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇔≠⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

.)12(

2)1(

2

)12()1(

;12,)1(

,2,0

2sin

2sin0

222

222

2

2

TUk

TUkT

njH

kn

knn

fT

T

nf

T

nf

kk

k

ππ

ππδ

Slika 3.2.6.2 prikazuje spektar digitalnog signala kada simboli nisu jednakoverovatni, odnosno kada srednja vrednost nije jednaka 0. Posledica toga je postojanje δ -impulsa u spektru.


Slika 3.2.6.2

b) Za jednakoverovatne simbole se dobija:

0)()( 01 =⇒= aAPAP i 12 =aσ ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=2

sin

2

2sin

)( 2

2

2 fTfT

fT

TUfSπ

π

π

1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/0 fT T T T T T

U TU1

2

2

4

U1

9

U1

U1

25

S f( )

Slika 3.2.6.3

3.2.7 Digitalni signal kao nosilac koristi elementarni impuls čiji je spektar dat izrazom:

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

≤≤−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+

−<

=

.0

,24

cos

,21

00

02

0

Bf

BfBBBB

BBf

BBf

fHπ


gde je T

B2

1= , pri čemu se još definiše i tzv. roll-off faktor r kao 0

0

B

BBr

−= .

a) Skicirati spektar elementarnog impulsa za vrednosti 0=r , 5.0=r i 1=r .

b) Odrediti vremenski oblik elementarnog imupulsa i skicirati njegov izgled za vrednosti r date pod a).

Rešenje:

a) Slika 3.2.7.1 prikazuje izgled )( fH navedenog spektra. Za 0=r propusni opseg sistema potreban za prenos signala sa ovakvim elementarnim impulsom je najmanji, ali je spektar ovakvog “idealnog” oblika nemoguće realizovati (tzv. impuls minimalnog spektra). Preostala dva slučaja (za 5.0=r i 1=r ) predstavljaju spektre koje je jednostavnije aproksimirati i realizovati u praksi, ali je potreban propusni opseg sistema veći.

T

1

T2

1

T

5.1T

5.1−T2

1−T

1−

0=r

5.0=r

1=r

Slika 3.2.7.1

Faktor r u stvari daje informaciju koliko je relativno proširenje spektra u odnosu na impuls minimalnog spektra.

b) Vremenski oblik elementarnog impulsa je (treba primetiti da je spektar elementarnog impulsa parna funkcija):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

,22

sin22

sin2

1

2

22sin2sin22sin

2cos2

sin2

2sin22sin

2cos22

cos2cos2sin

2cos2

2cos1

2

122cos2

2cos2

4cos2cos2

0

00

00

0

0

0

0

0

2 0

0

0

0

00

2 0

0

2

0

2 0

0

02

2

0

2 0

02

0

2 0

022

0

2

∫

∫

∫∫

∫∫

∫∫∫

−

−−

−−

−

−

−

−

−∞

∞−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

−

−−−

+−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+++=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−++==

B

BB

B

BB

B

BB

B

BB

B

BB

BB

B

BB

BB

B

BB

BBftj

dfftBB

Bfft

BB

Bf

t

tBBBt

t

tBB

dfftBB

Bf

t

ft

t

tBB

dfftBB

Bfdfft

t

ft

dfftBB

BBfdfft

dfftBB

BBfdfftdfefHth

πππππ

πππ

π

ππππ

ππ

πππππ

π

πππ

ππππ


( ) ( )( )

.22

sin2

1

22

sin2

1

2

22sin2sin)(

0

0

2 0

0

2 0

00

∫

∫

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

−−+

=

B

BB

B

BB

dfftBB

Bf

dfftBB

Bf

t

tBBBtth

ππ

πππ

ππ

Dalje se dobija:

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )( )

.41

2cos2sin

41

1

41

12cos2sin

2

2cos2sin

41

2cos2sin2

41

2cos2sin22cos2sin

41

22sin2sin

41

22sin2sin2cos2sin

41

222

cos22

cos

41

222

cos22

cos

2

2cos2sin2

22

22

cos

2

1

22

22

cos

2

1

2

2cos2sin2

20

00

0000

0

00

0

000

0

00000

0

00

0

0000

0

00

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

00

20

0

0

20

0

0

00

0

0

tBB

tBB

t

tB

tBBtBBtBBtB

BB

t

tBBtB

tBB

tBBtBBB

tBB

tBBtBBB

t

tBBtB

tBB

tBBBtBB

tBB

tBBBtBB

t

tBBtB

tBB

tBBBB

BBBt

BB

BB

BB

tBB

tBBBB

BBBt

BB

BB

BB

t

tBBtB

tBB

ftBB

Bf

tBB

ftBB

Bf

t

tBBtBth

B

BB

B

BB

−−−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−−−

−−

+

+−

=

−−−−

+

+−+

−−−

−=

−−−+−

+

+−+

−−−−+

−=

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

−+

+−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

−+

+−

=

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

+

++

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

+−

=

−

−

πππ

πππ

πππ

πππ

ππππ

ππ

πππ

ππππ

ππ

ππππ

π

ππππ

π

πππ

ππ

ππ

ππ

ππ

πππ


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2

0

220

2000

20

200000

41

16412cos2sin

41

162cos2sin2cos2sin)(

tBB

tBBtBB

t

tBBtB

tBB

tBBtBBtB

t

tBBtBth

−−−+−−−

=

−−−−

+−

=

πππ

πππ

πππ

Za 0=r (odnosno T

BB2

10 == ) se dobija:

( ) ( )t

tBth

ππ 02sin

= - što je vremenski oblik impulsa minimalnog spektra.

Za 5.0=r (odnosno T

BB2

10 == ) se dobija:

( ) ( ) ( )( )2

0

00

21

cos2sin

tB

tB

t

tBth

−=

πππ

- ovo je tzv. kosinusno zaobljena karakteristika.

Za r = 1 se dobija:

( ) ( ) ( )( )2

0

00

41

2cos2sin

tB

tB

t

tBth

−=

πππ

- ovo je podignuti kosinus (raised cosine, ili kosinus-

kvadrat, kako se još naziva).

Slika 3.2.7.2

Slika 3.2.7.2 prikazuje izgled elementarnog impulsa u ova tri slučaja. Treba primetiti da je u sva tri slučaja elementarni impuls nekauzalan i kao takvog nemoguće ga je realizovati u praksi. Međutim, moguće je realizovati odgovarajuće aproksimacije.


Najjednostavnije je realizovati aproksimaciju podignutog kosinusa, jer su “repovi” najmanji i mogu se lako zanemariti, a kauzalnost se postiže prostim vremenskim kašnjenjem (Slika 3.2.7.3).

( )th

tτ

Slika 3.2.7.3


V E Ž B A 2

KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA Vremenski oblici (signalizacioni formati, linijski kodovi) i njihove spektralne karakteriskike


P1. Vremenski oblici digitalnog signala (signalizacioni formati, linijski kodovi)

P.1.1. Skicirajte vremenski oblik digitalnog signala koji odgovara sekvenci b=[1 0 1 0 1 1] ukoliko se koristi linijski kod:

a) unipolarni NRZ (Non Return to Zero); b) polarni NRZ; c) unipolarni RZ (Return to Zero); d) bipolarni RZ e) Mančester kod.

Pretpostavi jediničnu amplitudu uz binarni protok od kbs 1=bR .

P2. Spektralne karakteristike digitalnog signala

P2.1. Odrediti i skicirati spektralnu srednje gustinu snage (SGSS) koja odgovara datim linijskim kodovima. Koristiti kbs 1=bR f. Neka je >0 lokacija prve nule SGSS funkcije.

1

P2.2. Ako je prenosni opseg linijskog koda određen sa odrediti prenosne opsege linijskih kodova datih u tački 1.

TB 1f

P2.3. Koja je osnovna razlika između SGS za Mančester kod i NRZ tehniku?

II ZADATAK VEŽBE

1) Oblici binarnog digitalnog signala: talasni oblici različitih linijskih kodova (CST)

Nizovi binarnih jedinica i nula, kao u sistemima sa impulsnom kodnom modulacijom (PCM), mogu biti predstavljeni u različitim signalizacionim formatima koji su poznati pod imenom linijski kodovi. U ovom odeljku posmatramo različite oblike binarnog digitalnog signala i njihove karakteristike. Za tu namenu koristimo Matlab-ovu funkciju wave_gen (Communication System Toolbox) kojom generišemo talasne oblike koji reprezentuju binarnu sekvencu:

wave_gen(binary_sequence,’line_code_name’, Rb)

gde je Rb binarni protok dat u b/s. Ako se koristi ova funkcija sa samo prva dva argumenta tada je podrazumevana vrednost za Rb =1000 b/s.

1.1. Formirajte sledeću binarnu sekvencu:

>> b=[ 1 0 1 0 1 1];

68 VEŽBA 2

a) Generisati talasni oblik koji reprezentuje sekvencu b koristeći unipolarni NRZ linijski kod sa =1000b/s i prikazati talasni oblik x. bR

>> x=wave_gen(b,’unipolar_nrz’,1000); >> waveplot(x)

b) Ponoviti korak a) za:

• polarni NRZ (‘polar_nrz’); • unipolarni RZ (‘unipolar_rz’); • bipolarni RZ (‘bipolar_rz’); • Mančester (‘manchester’).

Pošto se porede talasni oblici za isto Rb može se koristiti funkcija wave_gen sa samo dva argumenta, odnosno komandna linija može se sažeti korišćenjem:

>> waveplot(wave_gen(b, ’line_code_name’))

Pitanje 2.1. Utvrditi koji od posmatranih linijskih kodova generišu talasne oblike bez jednosmerne (DC) komponente? Zašto je odsustvo DC komponente od praktičnog značaja za prenos talasnih oblika.

2) Spektralna gustina snage (PSD – Power Spectral Density) linijskih kodova.

2.1. (CST) Generiši slučajnu binarnu sekvencu dužine 1000 bita:

>> b=binary(1000);

a) Prikaži PSD funkciju svakog linijskog koda iz zadatka 1.1:

>> psd(wave_gen(b,’line_code_name’))

b) Ako i označavaju prvi i drugi spektralni maksimum, a i prvu i drugu spektralnu nulu (pri čemu se sve navedene frekvencije pozitivne, ), popuniti tabelu 3.1. Usvojiti da je frekvencijski opseg potreban za prenos nekog signala,

1pf 2pf 1nf 2nf0(.) >f

TB , određen prvom spektralnom nulom u njegovoj amplitudskoj karakteristici.

Rb=1000b/s 1pf 1nf 2pf 2nf TB

unipolarni NRZ polarni NRZ unipolarni RZ bipolarni RZ Mančester

Tabela 3.1.

2.2. (CST) Da bi se ilustrovala zavisnost spektralne gustine snage (PSD funkcije) od binarnog protoka, koristi Mančester kod i menjaj . bR

>> psd(wave_gen(b, ’manchester’, ) bR


gde ∈⎨5 kb/s, 10 kb/s, 20 kb/s⎬. (Umesto Mančester koda moguće je koristiti bilo koji bRdrugi kod iz odeljka 1.1.) Posmatraj lokaciju spektralnih nula i maksimuma i ustanovi vezu sa . bR

Pitanje 3.2 Za osnovni komunikacioni kanal sa propusnim opsegom od 10 kHz, koliki je maksimalni digitalni protok za svaki od linijskih kodova ispitanih u odeljku 1.1.

2.3. (CCS) Odrediti i prikazati spektralnu gustinu snage slučajnog procesa S(t) čija je

realizacija PAM signal kod kojeg h(t) predstavlja pravougaoni

impuls prikazan na slici 2.1. i:

)()( nTthatsn

n −= ∑−∞=

∞

a) kod kojeg informacioni simboli nekorelisani, }{ na

b) ako je autokorelaciona funkcija sekvence i ukoliko

je varijansa

:}{ na⎪⎩

⎪⎨

⎧±=

==

inače012/1

0,1)( m

mmRa

.12 =aσ

)(th

T1

T

t

0

Slika 2.1. – Pravougaoni elementarni impuls

70 VEŽBA 2


4 SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE

4.1 UVOD

4.1.1 Skremblovanje

Skremblovanje predstavlja vid kodovanja, koje kao rezultat daje digitalni signal sa osobinama stacionarnog slučajnog niza bez memorije sa podjednakom verovatnoćom pojave svih simbola. Ovim se postiže transparentnost - nezavisnost osobina prenošenog digitalnog signala od informacionog sadržaja koji on nosi. Ako je: { } LL ,,, 11 +−= nnnn aaaa (4.1)

digitalni niz sa statistički zavisnim elementima informacionog sadržaja, a { } LL ,,,, 11 +−= nnnn bbbb (4.2)

slučajni niz sa statistički nezavisnim simbolima i podjednakom verovatnoćom svih elemenata informacionog sadržaja, tada niz: { } LL ,,,, 11 +−= nnnn cccc (4.3)

nastao kao rezultat operacije skremblovanja nad nizovima { }na i { }nb može imati osobine slučajnog niza { }bn .

Ako su { i binarni nizovi, postupak skremblovanja svodi se na logičku operaciju "sabiranja po modulu 2", (⊕ ).

}an { }bn

Ako niz { ima osobine slučajnog niza: }bn

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

==

=

+,0

41

,021

,21

k

kbb

b

knn

n

(4.4)

niz { sa elementima }cn

c a bn n= ⊕ n (4.5) imaće iste osobine:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

==

=

+0

41

,021

,21

k

kcc

c

knn

n

(4.6)

Deskremblovanje se vrši ponovnim skremblovanjem sa istim slučajnim nizom { : }bn


nnnnnnnnnnn aabbabbabcd =⊕=⊕⊕=⊕⊕=⊕= 0][][ (4.7)

Međutim, nemoguće je dva puta generisati isti slučajni niz { , na predaji i na prijemu. Jedno rešenje je dodatni kanal koji bi prenosio niz { , ili multipleks nizova { i { . U praksi se koriste deterministički izvori (PN generatori) sa nizovima koji dosta dobro statistički aproksimiraju slučajne nizove. To su pseudoslučajni izvori koji zahtevaju dodatni kanal za sinhronizaciju (ali mnogo manjeg kapaciteta), ili tzv. samosinhronišući skrembleri.

}bn

}bn }bn }cn

Za pseudoslučajni niz važe sledeće karakteristike: ⋅ periodičnost s periodom L

{ } { }b bn n= + L

m+

(4.8)

⋅ ”kašnjenje i sabiranje” { } { } { }b b bn n k n⊕ =+ (4.9) gde su m i k neki brojevi digitskih intervala,

⋅ ergodičnost u širem smislu (jednakost srednjih vrednosti i autokorelacija po ansamblu i vremenu)

)(1}}{{][1

kRbbL

bbbbbbEL

nknnknnknnknn ==== ∑

=++++ (4.10)

Srednja vrednost i autokorelacija pseudoslučajnog niza periode ponavljanja L su:

b LLn =+ 1

2 (4.11)

⎪⎩

⎪⎨⎧

±±≠

±±==+ ...,2,,0

21

...,2,,0

LLkb

LLkbbb

n

n

knn (4.12)


4.2 ZADACI

4.2.1 Slika 4.2.1.1 prikazuje prosto sekvencijalno kolo sa N D flip-flopova (kola za kašnjenje), N + 1 prekidačem i sabiračem po modulu 2 (tzv. pomerački ili šift-registar), koje pri određenoj kombinaciji prekidača postaje generator PN niza.

Slika 4.2.1.1 PN generator

a) Kolika je maksimalna perioda L ponavljanja niza PN generatora na slici 3.2.?

b) Koristeći ergodičnost PN niza i osobinu kašnjenja i sabiranja, odrediti srednju

vrednost niza nb i njegovu autokorelacionu funkciju )(kR .

Rešenje:

a) Pretpostavimo da se struktura sekvencijalnog kola (položaj prekidača i dr.) ne menja i da su prekidači PN i P0 zatvoreni. Kada se ponovi neki sadržaj u PN generatoru, dalje se deterministički ponavlja isti niz. Pošto je 2N broj različitih kombinacija od N binarnih elemenata, perioda ponavljanja PN niza mora biti NL 2≤ . Sadržaj svih nula se mora isključiti jer se on sam ponavlja, pa je maksimalna perioda koju ovakva struktura može da generiše jednaka:

12max −= NL .

Ova perioda može se postići samo pri nekim kombinacijama prekidača, a takav generator naziva se PN generator niza maksimalne dužine (MLSR - Maximum Length Shift Register).

b) U periodi je 2

2N

jedinica pa je srednja vrednost jednaka:

L

Lb

N

N

n1

2

1

12

2 1 +=−

=−

.

Pošto je PN niz periodičan, periodična je i njegova autokorelaciona funkcija i to sa istom periodom. Zbog ergodičnosti, autokorelaciju možemo računati u vremenu:

∑=

+=L

nknnbb

LkR

1

1)( .

Koristeći relaciju )(2

12)( 2 yxyxxyyxyxyxyx ⊕−+=⇒+−=−=⊕ dobija se:

( )∑=

++ ⊕−+=L

nknnknn bbbb

LkR

12

1)( .


Za k ≠ 0, koristeći osobinu šiftovanja i sabiranja, autokorelacija je:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= ∑∑∑

=+

=+

=

L

nmn

L

nkn

L

nn bbb

LkR

1112

1)( .

Sve tri sume su iste jer predstavljaju zbir elemenata u jednoj periodi, pa je:

0za,2

11

2

1)(

1

≠== ∑=

kbbL

kR n

L

nn .

Ako je 0=k , onda je 0=⊕ nn bb i

nbR =)0( .

Ovim su izvedeni izrazi (4.11) i (4.12).

4.2.2 Na slici (Slika 4.2.2.1) su prikazana dva PN generatora sa N = 4 D flip-flopa.

a) Objasniti princip rada i odrediti veličine L i bn za ova dva PN generatora.

b) Izračunati i skicirati autokorelaciju PN niza koji se dobija pomoću generatora sa slike 4.2.2.1 b), pri čemu je autokorelacija definisana kao

( )( )∑=

+ −−=L

nknn bb

LkR

1

12121

)( , a knb + označava ciklični šift za k pozicija.

c) Konstruisati set-reset skrembler pomoću PN generatora sa slike 4.2.2.1 b) i odrediti skremblovani niz poruke ...}10110010001001001011110{...}{ 1111111111=na

čijih pet uzastopnih jedinica sa periodom ponavljanja 25 predstavlja sinhro-grupu.

Slika 4.2.2.1 a) Delitelj sa 6 (3) b) Generator m-sekvence

Rešenje:

a) Pošto je 4=N , maksimalna dužina periode PN niza je 15124max =−=L .

Analizirajmo data dva PN generatora sa različitim kombinacijama prekidača.

U prvom slučaju (Slika 4.2.2.1 a) perioda ponavljanja zavisi od početnog sadržaja PN generatora i jednaka je 6 ili 3. Srednja vrednost generisanog niza takođe zavisi od početnog sadržaja i jednaka je 2/3 ili 1/3.


Slika 4.2.2.2 Nizovi koje generiše sekvencijalno kolo sa slike 3.2.1. a)

Drugi PN generator (Slika 4.2.2.1 b) daje PN niz maksimalne dužine, tzv. MLSR sekvencu (Maximum Length Shift Register, ili m-sekvencu, kako se još naziva). U jednoj periodi generiše se 8 jedinica i 7 nula po “slučajnom” redosledu. Srednja

vrednost tog niza je 2

1

15

8 ≅=nb .

1 1 1 10 1 1 10 0 1 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

1 1 1 1

1 0 0 11 1 0 00 1 1 01 0 1 10 1 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 0

0 0 0 1

15

0 0 0 00 0 0 0

L2 1

L2 16L1

L1

Slika 4.2.2.3 PN niz kola sa slike 3.2.1. b)

Za vrednosti N koje se koriste u praksi (npr: 9, 15 ili 23) postoje tabele tzv. primitivnih generatorskih polinoma čiji koeficijenti odgovaraju položajima prekidača u PN generatoru. Za veće N postoji više rešenja; najinteresantnija su ona sa minimalnim brojem nenultih koeficijenata pošto zahtevaju najmanji broj sabirača po modulu 2. Osim smanjenja prostorne kompleksnosti kola koja generišu ovakvu sekvencu, ovim se postiže i najmanji koeficijent propagacije greške (vidi zadatak 4.2.3 b).

b) PN sekvence se primenjuju kod tehnike prenosa u proširenom opsegu pomoću direktne sekvence, (DS-SS – Direct Sequence Spread Spectrum, vidi zadatak 13.2.1). Za ove primene se binarno 0 i 1 prenose pomoću negativnog, odnosno pozitivnog

impulsa, respektivno. Definisanje autokorelacije kao ( )( )∑=

+ −−=L

nknn bb

LkR

1

12121

)(

odgovara ovoj činjenici. Drugim rečima nb i knb + će prilikom prenosa imati vrednosti

±1, a operacija ( )( )1212 −− +knn bb odgovara množenju bipolarnih impulsa,

predstavljenom kroz množenje binarnih vrednosti.


Dobri PN nizovi imaju osobinu da imaju izražen pik autokorelacije u tački 0=k , a za sve ostale vrednosti k je vrednost autokorelacije značajno manja. Autokorelacija sa ovakvim osobinama omogućava laku sinhronizaciju na prijemu, gde se primljena sekvenca koreliše (upoređuje) sa lokalno generisanom PN sekvencom, i izražen pik lako omogućuje detekciju početka PN sekvence i postizanje sinhronizama potrebnog za ispravno deskremblovanje. Ovo je posebno važno ako se uzme u obzir uticaj šuma koji se superponira u prenosu i može da poremeti nivoe koji reprezentuju kodovani signal i na taj način poveća vrednosti autokorelacije. Veoma izražen pik znači i veliku otpornost na pogrešnu sinhronizaciju izazvanu greškama nastalim usled šuma.

Vrednosti autokorelacije PN niza generatora sa slike 4.2.1.b) su:

( )⎩⎨⎧−

===

drugde.067,0

,...3,2,1,0 ,1 nnLkkR

Slika 4.2.2.4 prikazuje izgled autokorelacione funkcije. Vidi se da postoji izražen pik na svakom celobrojnom umnošku periode PN sekvence.

( )kR

k

Slika 4.2.2.4

Sve sekvence koje su generisane pomoću MLSR registra imaju ovakav oblik periodične autokorelacije.

Može se primetiti da autokorelaciona funkcija MLSR sekvence u okviru jedne periode liči na autokorelaciju belog Gausovog šuma (pik u tački nula, vrednosti bliske nuli u ostalim tačkama, vidi zadatak 2.2.15). Na osnovu ovoga je jasno zašto se koristi naziv pseudoslučajna sekvenca, jer ovakve sekvence po svojim osobinama vrlo podsećaju na slučajne signale, kao što je šum.

c) Kod set-reset skremblera (Slika 4.2.2.5) sinhronizacija se ostvaruje na osnovu samog signala. Detektori sinhro-grupe vrše monitoring digitalnog niza u tački A, odnosno B.


Slika 4.2.2.5 Set-reset skrembler i deskrembler

Kada detektuju periodičnu sinhro-grupu, oni resetuju skrembler, odnosno deskrembler. Sinhro-grupa prolazi neskremblovana, jer se PN generatori vrte u stanju svih nula. Po isteku sinhro-grupe detektori setuju skrembler, odnosno deskrembler na isto početno stanje i oni dalje generišu identične PN nizove. U datom primeru biće (Tabela 4.2.2.1):

{ }an ... 0 11111 01001 01111 11001 00010 11111 10 ...

}{ nb ... 1 00000 10001 00110 10111 10001 00000 10 ...

{ }cn ... 1 11111 11000 01001 01110 10011 11111 00 ...

Tabela 4.2.2.1 Set-reset skremblovanje

4.2.3 Slika 4.2.1.1 prikazuje samosinhronišući skrembler koji se koristi za digitalni prenos brzinom 9600 bit/s po ITU (International Telecommunications Union) preporuci V.32.

Slika 4.2.3.1 Samosinhronišući skrembler


a) Pod kojim uslovima }{ nb postaje PN niz? Kolika je njegova perioda ponavljanja?

b) Pod kojim uslovima dolazi do greške u prijemu n-tog simbola na ?

Rešenje:

a) Ako je na ulazu }0{}{ =na niz nula, onda binarni niz }{ nb predstavlja klasičnu PN

sekvencu. Takav niz ima periodu ponavljanja .607.388.81223max =−== LL

b) Skremblovani simbol je

2318 −− ⊕⊕= nnnn bbab ,

a deskremblovani, u trenutku n,

2318ˆˆˆˆ −− ⊕⊕= nnnn bbba .

Ako u toku prenosa nije nastala greška, tj. nn bb =ˆ , biće

23182318ˆˆˆ −−−− ⊕⊕⊕⊕= nnnnnn bbbbaa .

Ako su takođe ispravno preneti i simboli 18−nb i 23−nb onda je

nnnnnnn abbbbaa =⊕⊕⊕⊕= −−−− 18232318ˆ .

Dakle, ako nastane greška u prenosu, nn bb ≠ˆ , ona će se multiplicirati onoliko puta

koliko ima direktnih veza u FIR strukturi deskremblera, pa je poželjno da tih veza bude što manje.

Dodatni kanal koji se ostvarivao detektorima sinhro-grupe bio je nepraktičan. Želeo se kompromis - skoro idealno skremblovanje, ali bez dodatnog kanala. Zato se, umesto set-reset skremblera sa sinhronizacijom, sve više koriste samosinhronišući skrembleri. Dakle, njihova osnovna prednost je što ne zahtevaju sinhronizaciju, ali oni imaju problem multipliciranja greške na prijemu.

4.2.4 Data je Volš-Adamarova (Walsh-Hadamard) matrica, dimenzije 8:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

=

11111111

11111111

11111111

11111111

11111111

11111111

11111111

11111111

8C

Izračunati cikličnu autokorelaciju:

;8,...,3,2 ,8

1)(

8

1,, == ∑

=+ iaakR

nkninii

svake sekvence koja je definisana simbolima nekog reda matrice, i pokazati da je ciklična međukorelacija sekvenci:

; i ,8,...,3,2,1, ,8

1)(

8

1,,, jijiaakR

nknjniji ≠== ∑

=+


koje definišu dva različita reda jednaka 0 za sve ciklične pomeraje k (redovi su međusobno ortogonalni).

Rešenje:

Volš-Adamarove matrice postoje za ,...3,2,1 ,2 == tn t . Generišu se na vrlo jednostavan način, pomoću rekurzije:

.

,11

11

2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

MM

MMM CC

CCC

C

U konkretnom primeru, izračunavanjem ciklične autokorelacije za npr 3. red matrice 8C

se dobija:

Slika 4.2.4.1 prikazuje izgled ciklične autokorelacije za svaki red matrice.

( )kR1

( )kR2

( ) ( )kRkR 43 ,

( ) ( )kRkR 75 ,

( ) ( )kRkR 86 ,

Slika 4.2.4.1


Što se tiče vrednosti međukorelacije, ortogonalnost se lako proverava. Npr. za 5. i 7. red matrice i pomeraj 3=k se dobija:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 011111111111111118

1)3(

8

17,5 =−⋅+−⋅+−⋅−+−⋅−+−⋅+−⋅+⋅+⋅= ∑

=n

R .

Generalno, kao što se iz priloženog može videti, sekvence definisane Volš-Adamarovom matricama imaju lošije autokorelacione karakteristike od MLSR sekvenci, ali sa druge strane poseduju osobinu ortogonalnosti. To ih čini veoma pogodnim za primenu u sistemima za prenos u proširenom opsegu (DS-SS), u kojima postoji više korisnika (tzv. CDMA – Code Division Multiple Access, zadatak 13.2.3). U ovom slučaju, svaki od korisnika koristi po jednu sekvencu definisanu Volš-Adamarovom matricom za širenje spektra svog signala, a ortogonalnost omogućava da se korisničke informacije lako mogu “izvući” iz primljenog signala (koji je sastavljenom od mnoštva “proširenih” signala svih korisnika u sistemu) pomoću korelacije. Kao primer CDMA sistema se obično navodi mobilna telefonija u Sjedinjenim Američkim Državama, pri čemu se zbog loših svojstava autokorelacije, koristi dodatno skremblovanje svih signala sa sekvencom koja poseduje zahtevane autokorelacione osobine.


5 LINIJSKO KODOVANJE

5.1 UVOD

5.1.1 Linijsko kodovanje

Osnovni zadaci linijskog kodovanja su: ⋅ oblikovanje spektra digitalnog signala, ⋅ ograničavanje pojave velikog broja uzastopnih nula.

Linijsko kodovanje unosi redundansu i pri tome je u kodovanom signalu moguće: a) zadržati binarnu prirodu signala, a povećati digitalni protok; b) povećati broj nivoa signala (M > 2), a zadržati istu brzinu signaliziranja; c) povećati broj nivoa signala i sniziti brzinu signaliziranja.

Pseudoternarni (PT) kodovi imaju tri nivoa (-1,0,1). Ako su nastali linearnom transformacijom binarnog niza { }, na ( )}1,0{∈na , primenom relacije:

{ },1,0,1,211

0∑+

=− −∈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

K

knknkn bab µ

(5.1)

nazivaju se linearnim PT kodovima. Koeficijenti µk mogu imati samo celobrojne vrednosti. Unipolarni linearni PT kod je:

10 =µ , 11 =+Kµ , i Kkk ...,,2,1,0 ==µ (5.2)

.1)1( −+= +− Knnn aab (5.3) Za K = 0 to je poznati duobinarni kod. Polarni linearni PT kod je:

10 =µ , 11 −=+Kµ , i Kkk ,...,2,1,0 ==µ (5.4)

.)1( +−−= Knnn aab (5.5) Za K = 0 ovaj kod poznat je pod imenom dikod, a za K = 1 dobija se tzv. modifikovani duobinarni kod. Ove linearne transformacije realizuju se linearnim kolima koja su okarakterisana kvadratom modula funkcije prenosa u obliku:

⎩⎨⎧

++

=kod. polarni )1(sin4

kod, unipolarni )1(cos4)( 2

22

fTKfTKfH

ππ

(5.6)

Ako je spektralna gustina srednje snage (SGSS) digitalnog signala pre kodovanja bila S f( ) , tada će linearni linijski kodovani signal imati SGSS oblika:

.)()()( 2fHfSfSL ⋅= (5.7) Prekodovani linearni PT kodovi eliminišu nedostatke PT kodova, koji se odnose na prostiranje greške do koje dolazi u toku prenosa i obrtanju polariteta originalnog niza.


Prekodovani dikod je tzv. bipolarni kod (AMI – Alternate Mark Inversion), koji se realizuje prethodnim diferencijalnim kodovanjem: c a cn n n= ⊕ −1 . (5.8) Nedostatak linearnih PT kodova, moguća pojava dugog niza nula u kodovanom signalu, prevazilazi se primenom nelinearnih PT kodova, od kojih su najpoznatiji PST i modifikovani alternativno bipolarni kodovi. Kod PST koda par ili skup od tri binarna simbola zamenjuje se parom ternarnih simbola (2B-2T; 3B-2T). Najčešće korišćeni modifikovani bipolarni kodovi su B6ZS i HDBn (HDB3) kodovi.


5.2 ZADACI

5.2.1 Linijskim koderom prikazanim na slici (Slika 5.2.1.1), koduje se binarni signal

∑∞

−∞=−=

nn nTtatx )()( δ .

Slika 5.2.1.1 Dikod (Diferencirajući kod)

Linijski koder uobličava spektar, a filtar )( fH ga ograničava na Nikvistov opseg. D je kolo za kašnjenje za digitski takt T.

a) Odrediti i nacrtati prenosnu karakteristiku predajnika )( fG i impulsni odziv g(t).

b) Odrediti sve moguće vrednosti y nT( ) . Odrediti strukturu dekodera koji na osnovu vrednosti { ( )}y nT daje originalni niz { }an . Na primeru niza

}110110100010{}{ =na prikazati kodovane sekvence.

c) Odrediti niz { $ }an na izlazu dekodera na primeru niza iz predhodne tačke, ako u toku prenosa dođe do greške u prijemu 6-tog simbola. Pod istom pretpostavkom analizirati prenos korišćenjem kodera na slici (Slika 5.2.1.2).

Slika 5.2.1.2 AMI koder (prekodovani dikod)

Rešenje:

a) Prenosna karakteristika predajnika je:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤⋅=⋅−=

−

−

.2

1||0

,2

1||)sin(2

)(1)( 2

Tf

TfefTjT

fHefG

fTj

fTj

ππ

π

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

.2

1||0

,2

1|||)sin(|2

|)(|

Tf

TffTT

fGπ

Impulsni odziv predajnika je:

}.1,0{

,2

1||0

,2

1||

)(

∈

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

naT

f

TfT

fH


( ) ( )( ) ( ) .)(

)(sinsin)()()(

TtT

TtT

tT

tT

TthththTtttg−

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−−=∗−−= π

π

π

π

δδ

Slika 5.2.1.3 prikazuje prenosna karakteristiku i impulsni odziv dikoda.

Slika 5.2.1.3 Prenosna karakteristika i impulsni odziv dikoda

b) Odziv linearnog sistema na linearnu kombinaciju δ -delta impulsa je:

∑∞

−∞=−=

nn nTtgaty )()( ,

i u trenutku odlučivanja je

[ ]∑∞

−∞=−=

nn TnkgakTy )()( .

Impulsni odziv dikoda je takav da je:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

=−=−

drugde.

,1

,

,0

,1

,1

)( kn

kn

Tnkg

1)( −−= nn aanTy i }1,0,1{)( −∈nTy .

an an−1 y nT( )

0 0 0

0 1 -1

1 0 1

1 1 0

Tabela 5.2.1.1 Vrednosti odmeraka kodovanog signala

Dakle, interferencija postoji samo od simbola koji prethodi - kontrolisana je i može se na prijemu eliminisati tako što će odlučivač uraditi inverznu operaciju sa prethodno primljenim simbolom:

1ˆ)(ˆˆ −+= nn anTya .

Dekoder je prikazan na slici (Slika 5.2.1.4).


Slika 5.2.1.4

Tabela 5.2.1.2 prikazuje kodovanje i dekodovanje informacione sekvence (bez grešaka u prenosu).

{an} 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

{an-1} 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1

{bn} 0 1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 1 0

{y(nT)} 0 1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 1 0

}ˆ{ 1n-a 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1

}ˆ{ na 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

Tabela 5.2.1.2 Kodovanje i dekodovanje dikoda

Pretpostavljene vrednosti su podvučene.

Dekodovani niz simbola jednak je originalnoj poruci, }{}ˆ{ nn a=a . Problem je što kada

nastane greška u prenosu, )()(ˆ nTynTy ≠ , ona će zbog povratne veze u odlučivanju prouzrokovati prostiranje greške.

Pomoću dikoda se eliminiše jednosmerna komponenta u spektru digitalnog signala. Impulsi u digitalnom signalu će naizmenično biti kodovani pozitivnim, odnosno negativnim nivoom, što će u relativno kratkom vremenskom intervalu eliminisati jednosmernu komponentu. To se jasno vidi i u prenosnoj karakteristici linijskog kodera (Slika 5.2.1.3), koja potiskuje jednosmernu komponentu (učestanosti oko 0 Hz).

c) Tabela 5.2.1.3 prikazuje kodovanje i dekodovanje dikoda sa greškom prenosu koja je nastala na šestom simbolu. Masnim brojevima je označen pogrešno dekodovani deo poruke.

{an} 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

{an-1} 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1

{bn} 0 1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 1 0

{y(nT)} 0 1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 1 0

)}(ˆ{ nTy 0 1 0 -1 1 0 0 0 1 -1 1 0

}ˆ{ 1n-a 0 0 1 1 0 1 1 1 1 ? ? ?

}ˆ{ na 0 1 1 0 1 1 1 1 2 ? ? ?

Tabela 5.2.1.3 Dekodovanje dikoda sa greškom u prenosu šestog simbola


Problem prostiranja greške kod linearnih linijskih kodova rešava se prekodovanjem originalne poruke, što se u slučaju dikoda i duobinarnog koda svodi na diferencijalno kodovanje.

Ako u linearnom sistemu formalno zamenimo redosled linijskog kodera i njegovog dekodera, novi, tzv. prekodovani linearni linijski koder imaće strukturu kao na slici (Slika 5.2.1.2). Ovo je tzv. AMI (Alternate Mark Inversion) kod.

Treba uočiti da operacija prekodovanja za razliku od starog dekodera ima sabirač po modulu 2. Novi dekoder, ( ))(2modˆ nTyan = biće bez memorije (bez povratne veze) i

neće doći do prostiranja greške.

Na primer:

{an} 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

{cn-1} 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1

{cn} 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0

{bn} 0 1 -1 0 1 0 0 0 -1 0 1 -1

{y(kT)} 0 1 -1 0 1 0 0 0 -1 0 1 -1

)}(ˆ{ kTy 0 1 -1 0 1 1 0 0 -1 0 1 -1

}ˆ{ ka 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

Tabela 5.2.1.4 Kodovanje i dekodovanje AMI koda sa greškom u prenosu šestog simbola

U slučaju AMI (Alternate Mark Inversion) koda (prekodovanog dikoda) nema prostiranja greške.

5.2.2 Na slici (Slika 5.2.2.1) je dat linijski koder kojim se koduje binarni signal

∑∞

−∞=−=

nn nTtatx )()( δ , sa statistički nezavisnim, jednako verovatnim simbolima

},{ ddan −∈ .

Slika 5.2.2.1 Duobinarni kod

Linijski koder uobličava spektar, a filtar )( fH ga ograničava na Nikvistov opseg. D je kolo za kašnjenje za digitski takt T.


b) Odrediti SGSS digitalnog signala na izlazu linijskog kodera. Koliki je propusni opseg potreban za prenos ovog signala?

c) Odrediti vrednosti signala y t( ) u trenucima odabiranja kT. Odrediti strukturu dekodera.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

.2

1||,0

,2

1||,

)(

Tf

TfT

fH


d) Na primeru poruke }10110010001010{}{ =ni koju generiše izvor prikazati

dekodovane nizove kada je greška nastala pri prenosu šestog simbola originalnog niza.

e) Ponoviti zadatak pod d) ako je prethodno izvršeno diferencijalno kodovanje.

Rešenje:

a) Slično kao u prethodnom zadatku, lako se dobija:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤⋅=⋅+=

−

−

.2

1||0

,2

1||)cos(2

)(1)( 2

Tf

TfefTT

jfHefG

fTj

fTj

ππ

π

Amplitudska karakteristika i impulsni odziv predajnika su

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

,2

1||0

,2

1|||)cos(|2

|)(|

Tf

TffTT

fGπ

g tT

t

Tt

Tt T

Tt T

Tt

Tt

t

T

( )sin sin ( )

( )

sin.=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π

π

π

π

π

π1

Slika 5.2.2.2 prikazuje prenosnu karakteristika i impulsni odziv predajnika. Ovde treba spomenuti da se duobinarno kodovanje umesto digitalnim koderom može realizovati analognim kolima koja će uobličiti spektar tako da izgleda kao na slici (Slika 5.2.2.2). Ovakav impulsni odziv je daleko lakše aproksimarati i realizovati nego impulsni odziv minimalnog spektra kao što je )( fH . Naravno, mana (uslovno rečeno) ovakvog pristupa je to što sada postoji intersimbolska interferencija, ali ona je kontrolisana i može se lako eliminisati.

Slika 5.2.2.2 Prenosna karakteristika i impulsni odziv duobinarnog koda

b) Srednja vrednost i varijansa informacionog sadržaja digitalnog signala x t( ) su:

,)(2

1

2

1,0)(

2

1

2

1 22222 dddadda a =−+===−+= σ

pa je SGSS data sa T

d

TfS a

x

22

)( ==σ

.

SGSS linijski kodovanog signala je na osnovu izraza (3.19) data kao:


⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=⋅=

.2

1||0

,2

1||)(cos4

|)(|)()(

22

2

Tf

TffTTd

jfGfSfS xy

π

Vidi se da je propusni opseg potreban za prenos TB 21= , tj. isti je kao i za signal sa minimalnim spektrom sa idealno ravnom frekvencijskom karakteristikom.

c) Na izlazu iz predajnika, u trenucima kT interferiraju (na poznat način - kontrolisano) dva simbola:

( ) 1)()( −

∞

−∞=+=−= ∑ kk

nn aaTnkgakTy .

Koder ima FIR (Finite Impulse Response), a dekoder IIR (Infinite Impulse Response) strukturu:

1ˆ)(ˆˆ −−= nn anTya .

Odlučivač je kvantizer sa onoliko nivoa koliki je alfabet (Slika 5.2.2.3). Dekoder uspešno eliminiše uticaje šuma i smetnji ukoliko su oni manji od polovine rastojanja susednih simbola u alfabetu. Međutim, kada dođe do greške, ona se prostire zbog povratne veze u IIR strukturi dekodera.

Slika 5.2.2.3 Duobinarni dekoder

d) Poruka koju generiše izvor je {in}. Odgovarajuća informaciona sekvenca {an} digitalnog signala x t( ) uzima vrednosti iz polarnog alfabeta {-d, d}.

Duobinarno kodovanje daje 1−+= nnn aab .

Kvaziternarni niz koji se prenosi je nbnTy =)( .

Dekodovanje poruke daje 1ˆ)(ˆˆ −−= nn anTya .

{in} 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1

{an} d -d -d d -d -d -d d -d d -d d -d d d

{bn} 0 -2d 0 0 -2d -2d 0 0 0 0 0 0 0 2d

{y(nT)} 0 -2d 0 0 -2d -2d 0 0 0 0 0 0 0 2d

)}(ˆ{ nTy 0 -2d 0 0 -2d 0 0 0 0 0 0 0 0 2d

}ˆ{ na d -d -d d -d -d d -d d -d d -d d -d 3d

}ˆ{ ni 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ?

Tabela 5.2.2.1 Duobinarno kodovanje i dekodovanje sa greškom u prenosu šestog simbola


Greška nn aa ≠ˆ prostire se nakon pogrešno primljenog simbola. Pogrešno

dekodovane vrednosti označene su masnim znacima, a pretpostavljene vrednosti su podvučene. Dekodovana vrednost 3d predstavlja indikaciju da je došlo do greške.

e) Ako se pre duobinarnog prenosa izvrši diferencijalno kodovanje originalne poruke (prekodovanje), princip odlučivanja se menja i rad dekodera, ispravljač i komparator, više ne zavisi od prethodnih odluka, pa nema prostiranja greške.

Diferencijalno kodovana poruka je 1−⊕= nnn cic . Njoj je pridružena polarna binarna

informaciona sekvenca {an}.

Ona se dalje duobinarno koduje 1−+= nnn aab .

{in} 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1

{cn} 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1

{an} d d d -d -d -d -d d d -d -d d d -d d

{bn} 2d 2d 0 -2d -2d -2d 0 2d 0 -2d 0 2d 0 0

{y(nT)} 2d 2d 0 -2d -2d -2d 0 2d 0 -2d 0 2d 0 0

}ˆ{ (nT)y 2d 2d 0 -2d -2d 0 0 2d 0 -2d 0 2d 0 0

}ˆ{ ni 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

Tabela 5.2.2.2

Dekoder prekodovanog linearnog linijskog kodera radi bez memorije; u ovom slučaju princip odlučivanja može eksplicitno da se opiše kao:

⎩⎨⎧

=±=

=.0)(ˆ1

,2)(ˆ0

nTy

dnTyin

Sada greška, nn ii ≠ˆ , postoji samo na pogrešno prenetom (šestom) simbolu i ne

prostire se dalje.

5.2.3 Linijskim koderom prikazanim na slici (Slika 5.2.3.1), koduje se binarni signal

∑∞

−∞=−=

nTn nTthatx )()( sa statistički nezavisnim, jednako verovatnim simbolima iz

alfabeta },{ ddan −∈ i spektrom elementarnog impulsa:

[ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤+=

,1

||0

,1

||)cos(1)(

Tf

TffTT

fHT

π

Slika 5.2.3.1 Modifikovani duobinarni kod (1-2D)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

.2

1||0

,2

1||

)(

Tf

TfT

fH


Linijski koder uobličava spektar, a filtar )( fH ga ograničava na Nikvistov opseg. 2D je kolo za kašnjenje za dva digitska takta.


b) Odrediti SGSS linijski kodovanog digitalnog signala y t( ) .

c) Ako se odabiranje signala y t( ) vrši u trenucima kT, odrediti način dekodovanja.

Rešenje:

a) Amplitudska karakteristika predajnika je:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

.2

1||0

,2

1|||)2sin(|2

|)(|

Tf

TffTT

fGπ

Impulsni odziv predajnika je:

g tT

t

Tt

Tt T

Tt T

( )sin sin ( )

( ).=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−

π

π

π

π

2

2

Slika 5.2.3.2 Prenosna karakteristika i impulsni odziv modifikovanog duobinarnog koda (1-2D)

b) Statistički parametri informacionog sadržaja digitalnog signala na ulazu linijskog

kodera su 0=a i 22 da =σ ,

pa je njegova SGSS:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==.

1||0

,1

||2

cos4|)(|)(

42

22

Tf

Tf

fTTd

fHT

dfS Tx

π

SGSS kodovanog signala biće

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=⋅=

.2

1||0

,2

1||)2(sin)2/(cos16

|)(|)()(

2423

2

Tf

TffTfTdT

fGfSfS xy

ππ

c) Ovaj koder uobličava spektar uz kontrolisanu ISI Signal )(ty može se napisati u obliku:


∑∞

−∞=∗⋅=∗=

nTn tgthatgtxty ))()(()()()( , tako da je njegova vrednost u trenucima

odabiranja data sledećim izrazom:

222)( −−= nn aanTy i }2,0,2{)( −∈nTy .

Dekodovanje je jednostavno, 2ˆ2

)(ˆˆ −+= nn a

nTya , a prostiranje greške rešava se

prekodovanjem.

5.2.4 Kodovati informacionu sekvencu 10000000011100001000 pomoću:

a) AMI koda,

b) HDB3 (High Density Bipolar 3) koda.

Rešenje:

Kodovanje pomoću AMI koda je prikazano u tabeli (Tabela 5.2.4.1). Postupak kodovanja je vrlo jednostavan, jedinice se naizmenično koduju pozitivnim i negativnim impulsima, pri čemu je izbor početne vrednosti proizvoljan (ovde je izabrana pozitivna vrednost). Obično se umesto vrednosti ±1, koristi oznaka B, što je skraćeno od Bipolar.

informaciona sekvenca

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

+1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 +1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 AMI kodovana sekvenca B 0 0 0 0 0 0 0 0 B B 0 0 0 0 B 0 0 0 0

Tabela 5.2.4.1

a) Problem koji postoji kod AMI koda je to što je moguća pojava dugog niza nula, što može dovesti do gubitka sinhronizacije između predajnika i prijemnika. Da bi se ovo sprečilo u praksi se često koriste HDBn kodovi, npr. za linijsko kodovanje PDH (Plesiochronus Digital Hierarchy) i ISDN signala. Pritom je n oznaka nekog prirodnog broja. HDBn kodovi su slični AMI kodu, uz jednu bitnu razliku – ukoliko dođe dođe do pojave sekvence sa 1+n uzastopnom nulom ova sekvenca se zamenjuje sekvencom koja se završava veštački umetnutim impulsom. Umetnuti impuls je istog polariteta kao i prethodna jedinica (prethodni B impuls), što ga na prijemu jasno identifikuje i lako ga je ukloniti, i obično se označava sa V (skraćeno od Violation - povreda alternativne promene znaka). Postoji još jedan dodatni koncept kod HDBn kodova, a to je da se mora obezbediti da uzastopni V impulsi budu suprotnog polariteta, jer se na taj način srednja vrednost digitalnog signala održava na nivou 0. Uzevši u obzir gore navedeno, dolazi se do sledećeg algoritma za HDBn kodovanje:


HDBn kodovanje originalna sekvenca broj B impulsa između

dve zamene neparan broj B impulsa između dve

zamene paran (ili nula)

48476 1

00000+

⋅⋅⋅⋅⋅n

48476 1

V0000+

⋅⋅⋅⋅⋅n

48476 1

V000B+

⋅⋅⋅⋅⋅n

Na ovaj način se postiže da je u kodovanoj sekvenci maksimalno moguće da se pojavi n nula. Treba primetiti da se postoje dve vrste zamene, koje obezbeđuju da uzastopni V simboli budu suprotnog polariteta, kao i da se u drugoj vrsti zamene, pored V impulsa forsira i B impuls na početku sekvence.

HDB3 je jedan iz familije HDBn kodova. Konkretno za HDB3 kod, algoritam kodovanja je:

HDB3 kodovanje originalna sekvenca broj B impulsa između

dve zamene je neparan broj B impulsa između dve zamene je paran (ili nula)

0000 000V B00V

Tabela 5.2.4.2 prikazuje HDB3 kodovanje date informacione sekvence (zasenčeni su delovi sekvence koji su pretrpeli zamenu). Prvu zamenu u informacionom nizu smo proizvoljno izabrali da bude 000V.

informaciona sekvenca

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

+1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 +1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 AMI kodovana sekvenca B 0 0 0 0 0 0 0 0 B B 0 0 0 0 B 0 0 0 0

+1 0 0 0 +1 -1 0 0 +1 -1 +1 -1 0 0 -1 +1 0 0 0 -1 HDB3 kodovana sekvenca B 0 0 0 V B 0 0 V B B B 0 0 V B 0 0 0 V

Tabela 5.2.4.2

Na kraju treba reći da su HDBn kodovi uobičajen primer nelinearnih PT linijskih kodova.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 93 93

V E Ž B A 3

PSEUDO-SLUČAJNE SEKVENCE


P1) Perioda PN (Pseudo-Noise) sekvence

P1.1. Za pomerački registar realizovan u skladu sa polinomom odrediti periodu generisane sekvence. Usvojiti da je početno stanje registra različito od nule. Odrediti broj jedinica i nula u dobijenoj sekvenci.

521)( DDDh ++=

P2) Ciklična autokorelacija PN sekvence

P2.1. Napisati MATLAB kod koji implementira generator PN sekvence u vidu MLSR proizvoljne dužine. Ulazni parametar predstavlja vektor-vrstu koja predstavlja koeficijente polinoma u opadajućem redosledu. Tako npr. polinomu iz prethodnog zadatka odgovara vektor-vrsta [1 0 0 1 0 1]. Za dužinu registra m = 12 ([1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1]) odrediti i prikazati periodičnu autokorelaciju funkciju definisanu izrazom:

521)( DDDh ++=

.10)(1

, −≤≤= ∑=

+ LmccmRL

nmnnc

Da li se dobijene vrednosti slažu sa teoretskim?

P3) Osobine PN sekvenci generisanih pomoću više pomeračkih registara

P3.1. Napisati MATLAB kod koji implementira dva MLSR, dužina m = 3 i m = 4, a zatim od njihovih izlaznih sekvenci formira novu sekvencu formira sabiranjem po modulu 2. Da li je dobijena sekvenca periodična? Ako jeste koji je njen period? Odrediti i prikazati njenu autokorelaciju funkciju.

II ZADATAK VEŽBE

UPOTREBA PN SEKVENCI

1) GOLD-ove sekvence

1.1. Generisati L = 31 Gold-ovu sekvencu korišćenjim dva MLSR dužine m = 5 ([1 0 0 1 0 1] i [1 1 0 1 1 1]) i sabiranjem po modulu 2 njihovih izlaznih sekvenci . Da li je dobijena sekvenca periodična? Ako jeste, koji je njen period? Odrediti i prikazati njenu autokorelaciju funkciju. Odrediti i prikazati njihove auto- i među-korelacione funkcije.

2) Skrembleri

2.1. Upotrebom PN generatora realizovati set-reset i samosinhronišući skrembler.

94 VEŽBA 3

3) Poređenje različitih realizacija

3.1. Uporediti sekvence dobijene pod 1) i 2) sa sekvencama koje daju blokovi iz Simulink/ Communications Blockset: generator Goldovih sekvenci i skrembler.


6 PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

6.1 UVOD Prenos u osnovnom opsegu često se naziva impulsna amplitudska modulacija (PAM - Pulse Amplitude Modulation), jer se elementarnom impulsu, koji se prenosi u signalizacionom intervalu T, dodeljuju različite diskretne vrednosti amplituda.

Deo opšte blok šeme sistema za prenos digitalnih signala sa slici 1.1. (od tačke B do tačke E), koji je relevantan za prenos signala u osnovnom opsegu učestanosti, prikazan je na slici 6.a.

Slika 6.a Sistem za prenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestanosti

)( fHT , )( fHC i )( fH R predstavljaju funkcije prenosa predajnog filtra, kanala i prijemnog

filtra, respektivno. Predajni filtar uobliči signal i prilagodi ga kanalu, a uloga prijemnog filtra se odnosi na smanjenje uticaja šuma i smetnji.

Signal u tački B, na ulazu sistema ima oblik:

∑∞

−∞=−=

kkB kTtats )()( δ (6.1)

a u tački C:

∑∞

−∞=−=

kTkC kTthats )()( (6.2)

pri čemu je h tT ( ) impulsni odziv predajnog filtra. U tački D, ispred odlučivača signal je:

)()()( tnkTthatsk

kD +−= ∑∞

−∞= (6.3)

gde je n t( ) uskopojasni šum na izlazu prijemnog filtra, a h t( ) je impulsni odziv sistema čija je Furijeova transformacija oblika:

)()()()()()( fjRCT efAfHfHfHfH θ== (6.4)

Usled ograničenog propusnog opsega i izobličenja tokom prenosa doći će do intersimbolske interferencije koja zajedno sa šumom može da prouzrokuje greške u prenosu.

6.1.1 Intersimbolska interferencija (ISI)

Pošto je sistem linearan borbu protiv šuma i ISI posmatraćemo odvojeno.

Kako projektovati )( fHT i )( fH R da se minimizuje ISI?


Odlučivač odlučuje o simbolu ak na osnovu odbirka primljenog digitalnog signala s tD ( ) uzetog u trenutku kT, slika 6.b. Pretpostavlja se ispravan rad ekstraktora takta, tj. sinhron prenos.

Slika 6.b Sistem za prenos digitalnih signala u osnovnom opsegu

∑∑∞

≠−∞=

−

∞

−∞=+=−⋅=

knn

nknokn

nD hahanTkThakTs )()( (6.5)

gde je:

⋅ ak - simbol o kojem se donosi odluka na osnovu odbirka s tD ( ) uzetog u t = kT

⋅ ho - vrednost impulsnog odziva u trenutku t = 0.

Neželjena komponenta odbirka s kTD ( ) :

∑∞

≠−∞=

−=

knn

nknk hai;

(6.6)

posledica je izobličenja elementarnog impulsa i naziva se intersimbolska interferencija (ISI).

Za odbirak u kT = 0, ISI je:

∑∑≠

−

∞

≠−∞=

− ==0

0;

0n

nn

nn

nn hahai (6.7)

Maksimalna ISI je:

∑∑≠

∞

≠−∞=

− ⋅−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==

00

max )1(max}max{n

n

nn

nn hdMhaii . (6.8)

Varijansa ISI je:

σi i i2 2 2= − (6.9)

Ova veličina se može izračunati na tri načina:

1. kada je poznata gustina raspodele verovatnoće ISI, GRV(i):

∑∀

⋅==i

i iiPi 222 )(σ (6.10)

jer je GRV(i) parna funkcija ( )i = 0 ;

2. kada je poznat elementarni impuls h t( ) digitalnog signala:

∑≠

=0

222

nnai hσσ (6.11)

gde je σa2 varijansa informacionog sadržaja;

3. kada je poznata funkcija prenosa sistema )( fH :


⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += ∫ ∑

−

20

2/1

2/1

222 1

hdfT

nfH

T

T

T nai σσ (6.12)

6.1.2 Idealni sistem prenosa

Za digitalni signal čiji se simboli prenose u ritmu digitalnog takta T, idealni sistem minimalnog propusnog opsega zadovoljava sledeće uslove:

,)(

drugde,0

2

1

)(

kff

fT

fKfA

N

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧ =≤=

θ

(6.13)

gde su K i k konstante. Impulsni odziv idealnog sistema je oblika:

constT

Kh

Tt

Tthth oo === ,

sin)(

ππ

(6.14)

Nikvistova brzina signaliziranja jeste maksimalna brzina signaliziranja koja u idealnom sistemu obezbeđuje prenos bez intersimbolske interferencije. Data je izrazom:

Ns fT

v 21 == (6.15)

Digitalni protok (brzina prenosa informacija) definisan je izrazom:

]sb[ ld

T

Mvd = (6.16)

i predstavlja količinu prenete informacije u jedinici vremena.

6.1.3 Prvi i drugi nikvistov kriterijum

Prvi Nikvistov kriterijum (I NK) odnosi se na prenos digitalnih signala, kod kojih se odluka na prijemu donosi na osnovu amplitude odbiraka uzetih na sredini svakog signalizacionog intervala. Njegova formulacija u vremenskom domenu glasi:

okohkTh ,)( δ⋅= , (6.17)

gde je 0,kδ Kronecker-ova delta funkcija definisana izrazom:

⎩⎨⎧

≠=

=.0

,1, mk

mkmkδ (6.18)

Formulacija I NK u frekvencijskom domenu ima analitički oblik:

[ ]T

ffT

fThnffH sNon

s1

,2

1, ==≤=+∑

∞

−∞=

. (6.19)

Drugi Nikvistov kriterijum (II NK) definiše uslov prenosa signala bez izobličenja trajanja signalizacionog intervala. Analitička formulacija ovog uslova u vremenskom domenu ima oblik:

...,2,1,0,)(22

)12( 1,,1 ±±=+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ − k

hTkh kok δδ , (6.20)

gde je 1h = konstanta. U frekvencijskom domenu II NK glasi:


[ ]T

ffT

fTfThnffH sNn

sn 1

,2

1,)cos()1( 1 ==≤=+⋅−∑

∞

−∞=π . (6.21)

6.1.4 Kontrolisana ISI- duobinarni prenos

Ovo je tehnika koja se bazira na II NK i omogućava udvostručavanje brzine signaliziranja u odnosu na Nikvistovu brzinu u sistemu koji ne zadovoljava uslov idealnog prenosa, uz kontrolisanu ISI.

Ako se odabiranje signala, koji predstavlja odziv na signal poslat u trenutku kT (tačka B sistema na slici 4.a.), izvrši u trenutku t kT T= − 2 , u tački D dobija se:

s kTT

a hT

a hT

D k k−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−2 2 21 . (6.22)

Prethodni izraz važi za sistem čija je funkcija prenosa oblika:

⎪⎩

⎪⎨⎧ =≤=

drugde.0

,2

1)cos(2)( Nf

TffTTfH π (6.23)

odnosno, čiji je impulsni odziv:

h tt T

t T( )

cos( )

( )= ⋅

−4

1 2 2ππ

. (6.24)

Duobinarni prenos može se tretirati kao pseudoternarni prenos sa ili bez prethodno izvršenog diferencijalnog kodovanja informacionog sadržaja.


6.2 ZADACI

6.2.1 Digitalni signal podataka opisan je izrazima:

.)1()1(,}1,1{,)()( ==−=−∈−⋅= ∑−=

kkk

N

Nkk aPaPakTthats

Elementarni impuls )(th prikazan je na slici (Slika 6.2.1.1).

Nacrtati talasni oblik dela signala )(ts koji odgovara sekvenci }{ ka = 1 1 -1 1 -1 -1 1

Slika 6.2.1.1 Elementarni impuls

Rešenje:

Deo digitalnog signala koji sadrži informacionu sekvencu }{ ka je:

1,1,1,1,1,1,1}{,)()(3

3

−−−=−⋅= ∑−=

kk

k akTthats .

Njegov talasni oblik predstavlja superpoziciju elementarnih impulsa ponderisanih informacionim sadržajem, prenošenih u ritmu digitskog takta. U intervalu vremena

TtT 33 <<− digitalni signal ima oblik prikazan na slici (Slika 6.2.1.2). Vidi se da iako postoji preklapanje susednih impulsa, tj. intersimbolska interferencija (ISI), i dalje je moguće rekonstruisati originalnu sekvencu.

Slika 6.2.1.2 Deo digitalnog signala

6.2.2 Koliki su propusni opsezi potrebni za prenos govornog signala maksimalne učestanosti u spektru kHz 4=mf , u slučaju analognog, odnosno digitalnog prenosa? Pretpostaviti da

se za digitalan prenos govornog signala koristi PCM (Pulse Code Modulation) sa 8 bita i elementarni impuls sa minimalnim spektrom koji zadovoljava I Nikvistov uslov.


Rešenje:

Kod analognog prenosa, propusni opseg potreban za prenos je jednak maksimalnoj učestanosti u spektru, tj. kHz 4== mA fB .

Pre digitalnog prenosa, mora se izvršiti digitalizacija signala, tj. njegovo odabiranje i kvantovanje. Odabiranje se prema dobro poznatoj teoremi o odabiranju, vrši sa učestanošću koja je dvostruko veće od maksimalne učestanosti u spektru,

kHz 82 == mS ff , odnosno period koji prođe između dva odbirka je SS fT 1= . Pošto

između dva odbirka treba “smestiti” 8 bita (što znači da se vrši kvantovanje sa 25628 = nivoa), signalizacioni interval digitalnog signala je:

S

Sb f

TT

8

1

8== .

Kako se koristi impuls minimalnog spektra, za potreban propusni opseg dobijamo:

kHz 3242

8

2

1 ==== SS

bD f

f

TB ,

odnosno osam puta više nego kod analognog prenosa.

6.2.3 Izvor generiše bite sa taktom µs 125=T koji se u predajniku koduju polarnim M-arnim alfabetom, pri čemu je 8 i ,4 ,2=M (Slika 6.2.3.1). Elementarni impuls je dat sa:

⎩⎨⎧ ≤≤

=drugde.0

,01)(

Ttth

a) Skicirati vremenski oblik signala na izlazu predajnika, ukoliko je generisana informaciona sekvenca 010111101001.

b) Uporediti brzine signaliziranja i protoke digitalnih signala u sva tri slučaja.

c) Skicirati konstelacije digitalnih signala u sva tri slučaja.

Slika 6.2.3.1

Rešenje:

a) Slika prikazuje vremenski izgled digitalnog signala.


Slika 6.2.3.2

b) Sa slike se jasno vidi da važi:

)(ld MTTM ⋅= .

Stoga je:

)(ld

11

MTTv

MMs ⋅

== ,

Bd 80001 ==T

vss , Bd 4000

2

14

==T

vs , i Bd 26673

18

==T

vs .

Za digitalni protok važi:

TT

Mv

MMd

1)(ld == ,

pa su digitalni protoci u sva tri slučaja isti i jednaki:

b/s 8000=Mdv .

U slučaju da je brzina signaliziranja bila ista za sva tri digitalna signala, tada bi digitalni protoci bili različiti, i bili bi u odnosu 3:2:1 .

c) Svaki digitalni signal se sastoji od niza talasnih oblika, kojima se prenose informacioni simboli. U najjednostavnoj varijanti (koja se razmatra u ovom zadatku), talasni oblici su pravaougaoni impulsi, čija se amplituda menja u zavisnosti od prenošenog simbola. Koriste se i komplikovanije prenosne tehnike, npr. modulacije,


gde se kao elementarni impulsi koriste kosinusi, čije se amplitude, faze, i/ili frekvencije menjaju u zavisnosti od prenošenog simbola.

Talasni oblici (odnosno, simboli) se često predstavljaju u vidu konstelacija. U slučaju prenosa u osnovnom opsegu, konstelacija je jednodimenzionalna, a simboli su prikazani pomoću amplituda talasnih oblika kojima se prenose. Slika 6.2.3.3 prikazuje konstelacije za 8 i ,4 ,2=M .

2=M

4=M

8=M

Slika 6.2.3.3

Treba navesti na kraju da se mapiranje informacionih bita u simbole obično ne vrši na način prikazan na slici (Slika 6.2.3.3), već se za mapiranje koristi Grejov kod (Slika 6.2.3.4). Odlika ovog koda je da se susedni simboli koduju sekvencama koje se razlikuju za po jedan bit. Ovim se postiže minimizacija bitske greške. Naime, najverovatnija greška koja nastaje usled uticaja šuma prilikom odlučivanja na prijemu je zamena poslatog simbola za susedni. Ukoliko dođe do ovakve greške, tada će samo jedan informacioni bit biti pogrešno dekodovan.

2=M

4=M

8=M

Slika 6.2.3.4


6.2.4 Pokazati da za elementarni impuls iz zadatka 3.2.7 važi prvi Nikvistov kriterijum. Pokazati da za podignuti kosinus, pored prvog, važi i drugi Nikvistov kriterijum:

0

H f( )

f

T

1

T2

1

T

5.1T

5.1−T2

1−T

1−

0=r

5.0=r

1=r

Slika 6.2.4.1

Rešenje:

Pokazaćemo da elementarni impuls zadovoljava I Nikvistov kriterijum u vremenskom domenu, pošto je to jednostavnije.

Vremenski oblik elementarnog impulsa je (vidi zadatak 3.2.7):

( ) ( ) ( )( )( )( )2

0

00

41

2cos2sin

tBB

tBB

t

tBth

−−−

=π

ππ

,

gde je TB 210 = .

Lako se pokazuje da važi:

( ) 10 =h , i

( ) ,...3,2,1 ,0 ±±±== kkTh ,

odnosno, I Nikvistov kriterijum je zadovoljen. To se može proveriti i posmatranjem spektra elementarnog impulsa (Slika 6.2.4.1), koji je neparno simetričan u odnosu na učestanost T21± .

Za elementarni impuls tipa podignuti kosinus važi 02BB = , a vremenski oblik impulsa

je:

( ) ( ) ( )( )2

0

00

41

2cos2sin

tB

tB

t

tBth

−=

πππ

Važi:

( ) TTTT

T

T

TT

T

TTh

2

1

4

2

11

2cos

2

2sin

22

141

22

12cos

2

22

12sin

2 22==

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π

π

π

ππ

π

π,

pri čemu je za izračunavanje korišćena granična vrednost.

Pošto je ( )th parna funkcija, dalje važi:


T

Th

Th

2

1

22=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− .

Na kraju, za vrednosti ( ) 212 Tkt −= , dobija se:

( )

( )

( )

( )0

121

2

12cos

2

122

12sin

2)12(

2=

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

k

k

Tk

k

Tkh

π

π

π

,

čime je pokazano da je zadovoljen i II Nikvistov kriterijum.

6.2.5 Koji je teoretski minimalan propusni opseg potreban za prenos digitalnog signala protoka 10 Mbit/s, pri čemu su informacioni simboli iz alfabeta sa 16 elemenata? Ukoliko kanal koji se koristi za prenos signala ima propusni opseg od 1.375 MHz, koliki je maksimalno dozvoljen roll-off faktor r (definisan u zadatku 3.2.7)?

Rešenje:

Brzina signaliziranja je sa digitalnim protokom povezana sledećim odnosom:

( ) MBd 5.2)16(ld

Mbit/s 10

ld===

M

vv d

S .

Minimalno potreban propusni opseg je (shodno I Nikvistovom kriterijumu):

MHz 25.122

10 === Sv

TB .

Ako je propusni opseg sistema MHz 375.1=B , tada je maksimalno dozvoljeni roll-off faktor:

1,00

0 =−

=B

BBr .

6.2.6 M-arni signal sa alfabetom )}1(,,2,1,0 ,)1(2{ −=−−== MmdMmdAA m L prenosi se

sistemom čiji su impulsni odziv )(th i prenosna karakteristika )( fH .

a) Pokazati da je GRV (gustina raspodele verovatnoće) ISI parna funkcija.

b) Za 2=M i 1 0 =h , 1,02 =−h , 2,01 −=−h , 3,01 =h , 1,02 −=h i 0)( =kTh za

2|| >k nacrtati GRV i KGRV (kumulativna GRV) i ucrtati maksimalnu i srednju kvadratnu ISI.


Slika 6.2.6.1 Impulsni odziv sistema

Rešenje:

a) Za neku konkretnu kombinaciju "x" simbola u nekom delu informacione sekvence

}{ xna može se izračunati ISI u trenutku odlučivanja:

.)()( ∑≠

−⋅=on

nx

nx hai

GRV je parna ako i samo ako za svaku vrednost ISI, )(xi , postoji jednako verovatna

ISI, - )(xi :

.)(0

)(

0

)()()( ∑∑≠

−≠

− ⋅=⋅−=−=n

ny

nn

nx

nxy hahaii .

Primer (d = 1, M = 4):

....11331...}{

,...11331...}{)()()(

)()(

xyyn

xxn

iia

ia

−=⇒−−−=

⇒−−=

Dakle, pošto su svi simboli i sve kombinacije simbola jednako verovatne, za svaku

kombinaciju simbola koja daje neku vrednost ISI )(xi , postoji jednako verovatna

kombinacija simbola koja daje - )(xi , pa je GRV(i) parna funkcija, bez obzira na oblik h t( ) .

b) Digitalni signali na ulazu i izlazu sistema su respektivno:

∑∞

−∞=−=

nni nTtatu )()( δ , i ∑

∞

−∞=−=

nno nTthatu )()( .

Kako je propusni opseg realnih sistema konačno širok, tj.

gfffH <⇔≠ 0)( ,

to će za posledicu imati vremensko proširenje elementarnog impulsa u kanalu.

U ovom zadatku h t( ) je poznat u tačkama t = kT (Slika 6.2.6.1).

U trenutku odlučivanja o 0a ISI je:


.1,03,02,01,0 2112

0

−−++

∞

≠−∞=

− ⋅−⋅+⋅−⋅=⋅= ∑ aaaahai

nn

nn

U trenutku t = 0 ISI prouzrokuju 4 simbola. Tako postoji 42 mogućih kombinacija 4 binarna signala koji učestvuju u ISI Pojedinim kombinacijama tih simbola odgovaraju konkretne vrednosti ISI.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

a−2 -d +d -d +d -d +d -d +d -d +d -d +d -d +d -d +d

a−1 -d -d +d +d -d -d +d +d -d -d +d +d -d -d +d +d

1a -d -d -d -d +d +d +d +d -d -d -d -d +d +d +d +d

a2 -d -d -d -d -d -d -d -d +d +d +d +d +d +d +d +d

i d -0,1 -0,3 0,5 0,3 -0,5 -0,7 0,1 -0,1 0,1 -0,1 0,7 0,5 -0,3 -0,5 0,3 0,1

Tabela 6.2.6.1 Sve moguće vrednosti normalizovane ISI I = i/d

Maksimalna ISI se direktno očitava iz tabele (Tabela 6.2.6.1). svih mogućih vrednosti ISI, kao { }max | |i , ili se izračunava po definicionom izrazu (4.8):

ddhdMin

n 7,0)1,03,02,01,0()1(0

max =+++⋅=⋅−= ∑≠

.

Nakon što se izračunaju sve moguće vrednosti ISI za određivanje GRV(i) potrebno je odrediti verovatnoće pojedinih vrednosti ISI Za to se može iskoristiti druga tabela (Tabela 6.2.6.2) u kojoj su navedene frekvencije pojavljivanja pojedinih vrednosti ISI

i d -0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7

f i( ) 1 2 2 3 3 2 2 1

Tabela 6.2.6.2 Frekvencija pojedinih ISI

Verovatnoće pojedinih vrednosti ISI su: 16

)()(

ifiP = .

GRV( )

162

162

162

162

161

161

163

163

-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0 0,1 0,3 0,5 0,7 i/d

i

Slika 6.2.6.2 Gustina raspodele verovatnoća ISI

Varijansa ISI može se izračunati pomoću nekog od izraza (6.10)÷(6.12):


,15,0])1,0(3,0)2,0(1,0[3

1 222222

0

222

2 ddhdM

nni =−++−+=−= ∑

≠

σ

ili:

σ

σ

ii

i

i P i i d d d

d

2 2 2 2 2 21

160 7

2

160 5 0 15

0 39

= = = − + − + =

=∀∑ ( ) ( , ) ( , ) ... , ;

, .

Slika 6.2.6.3 Inverzna kumulativna funkcija gustine raspodele verovatnoća ISI

6.2.7 Na slici (Slika 6.2.7.1) je prikazan sistem za prenos podataka. Brzina prenosa koju diktira

izvor je ]sb[ 1

0Tvd = . Podaci se prenose δ -impulsima, tj. ∑ −=

kk kTtats )()( δ , gde je

T signalizacioni interval. Prenosna karakteristika sistema je:

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤+=

drugde.0

,2

1)2cos(12

)(0

00 TffTT

fHπ

Odrediti sve moguće vrednosti ISI na mestu prijema ispred odlučivača u trenucima odlučivanja t = nT, i to u slučaju:

a) kada se prenose binarni signali,

b) kada se prenose kvaternarni signali.

Slika 6.2.7.1 Sistem za prenos podataka

Rešenje:

Digitalni signal na prijemu je oblika:

.)()( ∑ −=k

kD kTthats


Za izračunavanje ISI treba odrediti oblik impulsnog odziva h t( ) na ulazu u odlučivač:

[ ] .

)(

)(sin

)(

)(sinsin

2)2cos(12)(

00

00

00

00

0

02/1

2/1

200

0

0 TtT

TtT

TtT

TtT

tT

tT

dfefTTthT

T

ftj

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=+= ∫−

π

π

π

π

π

π

π π

Treba uočiti da je )(th funkcija od T0 a ne od T. Sledi:

.1za0)(,1)(,1)(,2)0( 000 >==−== kkThThThh

Odbirak signala na osnovu kojeg odlučivač donosi odluku o prenošenom simbolu an je:

( ) ∑∑∑∞

≠−∞=

−

∞

−∞=−

∞

−∞=+==−=

0

)()0()()()(

mm

mnnm

mnk

kD mThahamThaTknhanTs .

Potrebno je utvrditi vezu između signalizacionog intervala T i parametra T0 koji figuriše u izrazima za )( fH i )(th :

T

M

Tvd

ld1

0

== .

a) Za M = 2 je TT =0 .

.2)()()0()( 110101 +−−+ ++=+−+= nnnnnnD aaaThaThahanTs

Pri odlučivanju o simbolu na , interferenciju prave samo dva susedna simbola:

1−na 1+na ISI

-1 -1 -2

-1 1 0

1 -1 0

1 1 2

Tabela 6.2.7.1 Sve moguće vrednosti ISI za M = 2

Maksimalna ISI je 2max =i , a njena normalizovana vrednost je 10

maxmax ==

h

iI , pa je

dijagram oka zatvoren.

b) Za M = 4 je 02TT = , pa je 0)( =nTh za n ≠ 0, odnosno digitalni protok od ]sb[ 1

0T

ostvaruje se bez ISI sa kvaternarnim alfabetom.

6.2.8 Spektar elementarnog signala kojim se vrši prenos binarnog digitalnog signala u osnovnom opsegu ima oblik:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=drugde.0

,1

2cos

)(2

Tf

fTT

fHT

π

Funkcija prenosa kanala ima oblik filtra idealnog propusnika niskih učestanosti:


⎪⎩

⎪⎨⎧ ∆−≤=

drugde.0

,1

1)( fT

ffHC

Prenos se vrši digitalnim protokom od 2400 b/s. T je signalizacioni interval.

a) Odrediti impulsni odziv h t( ) sistema.

b) Ako je ∆f = 0, pokazati da h t( ) zadovoljava I i II Nikvistov kriterijum.

Ako je T

f2,0=∆ :

c) Odrediti sve vrednosti ISI za poruku koja sadrži 5 simbola (1, 1, 1,-1, 1) a odlučivanje se vrši u trenucima t = kT;

d) Odrediti vrednost šuma u trenutku odlučivanja o najugroženijem simbolu koja je dovoljna da odlučivač pogreši;

e) Izračunati maksimalni digitalni protok koji se može postići kroz dati kanal pa da ne dođe do ISI.

Rešenje:

a) Standardni odziv (odziv kanala na pobudu elementarnim impulsom h tT ( )) jeste:

.1

,

22

22sin

22

2

22sin

22

)2sin(

)()()( 2

fT

f

Ttf

Ttf

Tf

Ttf

Ttf

Tf

tf

tfTf

dfefHfHth

g

g

gg

g

gg

g

gg

gf

gf

ftjTC

∆−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

= ∫−

π

π

π

π

ππ

π

Slika 6.2.8.1 Standardni odziv kosinus-kvadrat sistema

b) Za 0=∆f je T

f g

1= :


;2

2sin5,0

2

2sin5,0

2

2sin)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=ππ

ππ

ππ

ππ

π

π

T

tT

t

T

tT

t

T

tT

t

th

( )( )

( )( )

.2

2sin5,0

2

2sin5,0

2

)2sin()(

ππππ

ππππ

ππ

−−+

+++=

k

k

k

k

k

kkTh

Iz ovog izraza vidi se da je: 1)0( =h , i 0)( =kTh za 0≠k ; odnosno zadovoljen je I Nikvistov kriterijum. Kako je još i:

2

1

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛± T

h i 02

)12( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + T

kh , za },1,0{ −∉k

zadovoljen je i II Nikvistov kriterijum.

c) Za T

f1

2,0=∆ , je T

fT

f g1

8,01 =∆−= .

Sledi:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

2

16,1

2

16,1sin

4,0

2

16,1

2

16,1sin

4,06,1

)6,1sin(8,0)(

k

k

k

k

k

kkTh

π

π

π

π

ππ

.

Tako je:

)0(h = 0,987097, )(Th = -0,00736, )2( Th = 0,00368, )3( Th = 0,009559, )4( Th = 0,00582,

odnosno:

026422,0)()2()3()4(

001481,0)(2)2()3(

00736,0)2()()()2(

008841,0)3()2()(2

007416,0)4()3()2()(

2

1

0

1

2

=−++=−=++=

=+−+=−=+−=

−=+−+=

−

−

ThThThThi

ThThThi

ThThThThi

ThThThi

ThThThThi

.1

1

1

1

1

2

1

0

1

2

+=−=+=+=+=

−

−

a

a

a

a

a

d) Najugroženiji je drugi simbol u poruci (1, 1, 1,-1, 1), pa je:

978256,0008841,0987097,0)0()( 11 =−=+=− −− ihaTsD .

Dakle, ako šum u trenutku odluke o 1−a bude 9786,0)( −<−Tn , odlučivač će doneti

pogrešnu odluku 1ˆ 1 −=−a .

e) Granična učestanost kanala je:

HzvT

f dg 19208,08,0 =⋅== .

Bez ISI, kroz sistem tolikog propusnog opsega, može se postići digitalni protok:

sbfT

v gd 384022

11 === .

6.2.9 Slika 6.2.9.1 prikazuje impulsni odziv sistema za prenos podataka. Digitski takt je T.

Za binarni polarni signal na prijemu:

a) odrediti sve vrednosti ISI, maksimalnu ISI i njenu varijansu;


b) nacrtati dijagram oka u intervalu 43Tt < i odrediti maržu za šum.


Rešenje:

a) Signal na prijemu je:

∑∞

−∞=−⋅=

kk kTthats ),()(

gde je:

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤−=

drugde.0

,4

5

5

41

)(

Ttt

Tth

Na osnovu oblika )(th jasno je da se odluka o 0a donosi na osnovu:

).()()0()0( 110 ThaThahas −⋅+⋅+⋅= −

Dakle, ISI je:

,5

1

5

111 aai += −

pa su sve vrednosti ISI date u tabeli (Tabela 6.2.9.1).

a-1 a1 i

-1 -1 -2/5

-1 1 0

1 -1 0

1 1 2/5

Tabela 6.2.9.1 Sve vrednosti ISI

Maksimalna ISI je 5

2max =i .

Varijansa ISI je:

25

2

5

2

2

1)(

222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅=∑

∀ii iiPσ .


b)

Slika 6.2.9.2 Dijagram oka za impulsni odziv sa slike 4.6.

Marža za šum je:

m h i= − =( ) /max0 3 5.

6.2.10 Za tri brzine signaliziranja date su vrednosti odziva sistema u trenucima odabiranja kT:

vs k = ±3 k = ±2 k = ±1 k = 0

600 Bd 0,01 0,02 0,03 1

1200 Bd 0,015 0,03 0,05 0,9

2400 Bd 0,06 0,15 0,2 0,81

Tabela 6.2.10.1 Vrednosti impulsnog odziva )(kTh

Za ostale celobrojne vrednosti k, )(kTh se može zanemariti.

Odrediti maksimalni digitalni protok koji je moguće ostvariti u datom sistemu. Na raspolaganju je M-arni signal, gde M može biti 2, 4, 8 ili 16. Kriterijum za određivanje mogućnosti prenosa jeste otvor oka, odnosno 1max <I .

Rešenje:

Maksimalna normalizovana ISI se izračunava pomoću izraza:

∑∑≠−=

≠−=

−=⋅−=3

03

3

03

max )()0(

1

)0(

1)()1(

kk

kk

kThh

M

dhkThdMI .

Tabela 6.2.10.2 daje izračunate vrednosti:


vs M = 2 M = 4 M = 8 M = 16

600 Bd 0,12 0,36 0,84 1,80

1200 Bd 0,21 0,63 1,47 3,15

2400 Bd 1,01 3,03 7,07 15,1

Tabela 6.2.10.2 Normalizovana maksimalna ISI

Na osnovu tabele se zaključuje sledeće:

⋅ u datom sistemu nije moguće signalizirati brzinom 2400 Bd;

⋅ takođe, u datom sistemu ne može se koristiti alfabet sa 16 simbola;

⋅ najveći digitalni protok ostvaruje se sa M = 4 pri sv = 1200 Bd i iznosi

sb 2400=dv .

6.2.11 M-arni signal sa pravougaonim elementarnim impulsima trajanja T prenosi se kroz kanal prikazan na slici (Slika 6.2.11.1). Brzina signalizacije je v Ts = 1 / . Odlučivanje se izvodi sa T sekundi zakašnjenja.

Slika 6.2.11.1 RC kanal

a) Odrediti pojačanje A tako da bude 1)(' =Th .

b) Odrediti maksimalnu ISI.

c) Za koju brzinu signalizacije će doći do zatvaranja dijagrama oka u prijemniku i koliki je tada digitalni protok, ako je M = 2, 4, 8 ili 16?

Rešenje:

Odziv RC kola )(th na pobudu )(thT prikazan je na slici (Slika 6.2.11.2) i dat je izrazom:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>⋅−≤≤−

<=

−−−

−

.)1(

,01

,00

)(/)(/

/

Tt

Tt

t

thTtT

t

ee

eττ

τ


Slika 6.2.11.2 Odziv RC kola na pobudu signalom h tT ( )

Upravo zbog ovakvog oblika odziva, odlučivanje se izvodi sa T sekundi zakašnjenja (tada je odziv maksimalan).

a)

.

1

11)()(' |

τT

e

AThATt

th−

−

=⇔=⋅==

b) U t = T odlučuje se o simbolu poslatom u t = 0;

ISI....,3,2,1,odbirak korisni0

'

1)(⇒=⇒=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=+=

−

−−

kk

ehAh

eekTThh

kT

TkT

kk

k

τ

ττ

Superpozicijom se dobija:

.

1

)1(

1

)1()1(

,

1

'max

1

'

−

−=

−

−=−=

⋅=

−

−∞

=

∞

=−

∑

∑

ττ

τ

TT

T

kk

kkk

e

dM

e

edMhdMi

hai

c) Oko se zatvara za maxi ≥d:

. 4,142ln

1

ln

ldld

,1

;ln

1

)1(

s

kb

M

M

T

Mv

TvMT

e

dMd

d

sT

=⋅

=⋅

==

=⋅=⇒

−

−=

ττ

ττ


M 2 4 8 16

T [µs] 69 139 208 277

A 2 1,33 1,14 1,07

vs [kBd] 14,4 7,2 4,8 3,6

Tabela 6.2.11.1 Parametri digitalnog signala pri kojim dolazi do zatvaranja dijagrama oka

v f Md ≠ ( ) - digitalni protok, pri kojem dolazi do zatvaranja dijagrama oka u ovakvom sistemu, ne zavisi od broja simbola M jer nije ograničen propusni opseg.

Tabela 6.2.11.1 prikazuje da se porastom broja simbola M, isti digitalni protok postiže prenosom kroz kanal sa užim propusnim opsegom.

6.2.12 Sistemom prikazanim na slici (Slika 6.2.12.1) prenose se polarni binarni signali. Impulsni odziv kanala je oblika:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥=−

drugde.0

,0)( tth

t

e τ

Izvor informacija šalje poruke u obliku signala:

.}1,1{ je gde,)()( −∈−=∑ kk

kA akTtats δ

Prijemni odbirač vrši odabiranje primljenog signala u trenucima t = nT, gde je T = τ širina signalizacionog intervala. Poruka koja se šalje konačne je dužine i sastoji se od 5 uzastopnih impulsa poslatih u trenucima -2T, -T, 0, T i 2T.

a) Odrediti sve moguće vrednosti ISI za središnji impuls poruke.

b) Odrediti imax za onaj impuls u poruci koji ima najveću maksimalnu ISI.

c) Da li će doći do zatvaranja dijagrama oka na prijemu ako se brzina signalizacije izvora poveća za 25%?

d) Koliko procenata se maksimalno može povećati brzina signalizacije pa da ne dođe do zatvaranja dijagrama oka?

Slika 6.2.12.1 Sistem za prenos podataka

Rešenje:

Pošto je )(th = 0 za t < 0, u ISI učestvuju samo prethodno poslati simboli:

∑−∞=

−=n

kkB TknhanTs ))(()( .

a) Za središnji impuls poruke je:

.11

),2()()0(

2210

21

ea

eai

ThaThahas ooB

⋅+⋅=

++=

−−

−−


a−1 a−2 i0

-1 -1 -0,51

-1 1 -0,23

1 -1 0,23

1 1 0,51

Tabela 6.2.12.1 ISI za središnji impuls poruke

b) Za dati oblik impulsnog odziva, najveću maksimalnu ISI ima poslednji impuls u poruci:

.57,0)4()3()2()(4

1max2 ==+++= ∑

=

−

k

keThThThThi

c)

.8,025,125,1

''

125,1

1' ττ ===⇒=⋅= T

TTT

vS

Povećanjem brzine signaliziranja za 25%, smanjio se interval signalizacije T za 20%. Sada su odbirci )()'( kThkTh > , pa je povećana maxi . Oko se zatvara ako je:

.1)0(

maxmax >=

dh

iI

1

T t0 T T TT' T' T' T'

22 3

34

4

h t( )

Slika 6.2.12.2 Uticaj promene T na h kT( )

.78,0

)'4()'3()'2()'(

25,1

4

25,1

3

25,1

2

25,1

1

max2max

≅+++=

+++==

−−−−eeee

ThThThThii

0,78 < d = 1. pa neće doći do zatvaranja dijagrama oka ako se Sv poveća za 25%.

d) Ako se zanemari udeo simbola za k > 5 u ISI uslov zatvaranja dijagrama oka se svodi na:


1

1

1''''

''

1

''4

1

''

max

−

=

−

=≈=−

−∞

=

−

=

−∑∑

ττ

τττ

TT

T

k

kT

k

kT

ee

eeei

.

SSTv

TvT

e

⋅=≤=≥⇒≤

−

44,144,1

''

1''

44,1''1

1

1'' τ

τ

τ

.

Do zatvaranja dijagrama oka ne dolazi ako se vS poveća za manje od 44%.

6.2.13 Sistemom koji koristi kontrolisanu ISI duobinarno se prenose podaci grupisani u pakete od po 4 simbola. Paketi su dovoljno razmaknuti pa se prenos svakog od paketa može posmatrati nezavisno. Jedan od posmatranih paketa ima sledeću strukturu simbola { } { }ak = − −1 1 1 1 . Impulsni odziv sistema za duobinarni prenos dat je u obliku

2)4(1

)2cos(4)(

tf

tftg

c

c

−=

ππ

.

a) Na osnovu oblika impulsnog odziva odrediti digitalni takt i trenutke odlučivanja.

b) Odrediti maržu za šum koja nastaje kao posledica greške u sinhronizaciji ako je odmeravanje izvršeno ε = T/8 sekundi ranije.

Referentni simbol na prijemu je “1”, a u sistemu deluje aditivni Gausov šum.

Rešenje:

a) Na osnovu izraza (6.24) za impulsni odziv sistema za duobinarni prenos, digitalni takt

je cf

T2

1= . Tabela 6.2.13.1 daje vrednosti impulsnog odziva na osnovu kojih je

jasno da sistem zadovoljava drugi Nikvistov kriterijum (a ne zadovoljava I NK).

t 0 ± T 2 ±3 T 2 ±5 T 2 ±7 T 2 ±T ±2T 3 T 8 -5 T 8 11 T 8 -13 T 8

g t( ) 4/π 1 0 0 0 4/3π -4/15π 1,114 0,866 0,074 -0,051

Tabela 6.2.13.1 Vrednosti impulsnog odziva u karakterističnim tačkama

Digitalni signal koji odgovara prenosu jednog paketa na prijemu je oblika:

∑=

−=3

0

)()(n

n nTtgats .


Slika 6.2.13.1 Sekvenca impulsnih odziva za poruku {1 1 -1 -1}

O simbolima ka odlučuje se na osnovu odmeraka )(ts uzetih u trenucima 2

TkT − .

2)2()2()25(

0)2()2()23(

2)2()2()2(

2)2()2(

32

21

10

0

−=−+==−+=

=−+=

=−+=−

TgaTgaTs

TgaTgaTs

TgaTgaTs

TgaaTs ref

.1ˆ2ˆ

,1ˆ0ˆ

,1ˆ2ˆ

,12ˆ

23

12

01

0

−=−−=⇒−=−=⇒

=−=⇒

=−=⇒

aa

aa

aa

aa ref

Slika 6.2.13.2 Duobinarni dekoder

b) U prijemu trećeg simbola poruke, a2, zbog greške u sinhronizaciji ε = T/8 odmerak digitalnog signala )(ts na osnovu kojeg se odlučuje je:

.373,0051,0866,0114,1074,0

)813()85()83()811(

)823(

)82()82()823()823(

3

210

=+−+==−−−−+=

−−++−−+−+−=−

TgTgTgTg

TTga

TTgaTTgaTTgaTTs

U trenutku odlučivanja prisutan je i šum. Kvantizer u duobinarnom dekoderu će ispravno dekodovati simbol a2 ako je 1)823()823( <−+− TTnTTs , tj. ako je

trenutna vrednost šuma manja od 0,627 (i veća od 1,373 - što je mnogo manje verovatno).

S obzirom da je analizirani odmerak najkritičniji sa aspekta uticaja greške u sinhronizaciji, marža za šum iznosi 0,627.


7 VEROVATNOĆA GREŠKE PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU

7.1 UVOD Verovatnoća greške je osnovni kvantitativni parametar koji služi za ocenu kvaliteta prenosa digitalnih signala. Usvajamo sledeće pretpostavke:

1. Vrši se prenos M-arnih digitalnih signala, čiji su simboli: { 1...,,1,0,)1(2 }−=−−=∈ MmdMmdAa mk (7.1)

2. Impulsni odziv sistema je ograničen na 2K signalizacionih intervala; 3. Pragovi odlučivanja o simbolima ak u prijemniku postavljaju se na sredini razmaka

između susednih amplitudskih nivoa { dMdd )2(...,,4,2,0 −±±± } (7.2)

4. Šum u kanalu je Gausov proces sa varijansom i srednjom vrednošću 0. n t( ) σn2

Za m-ti digitalni signal sa nizom simbola oblika:

...,...,,,,...,,,..., )()(1

)(0

)(1

)(1

)( mk

mmmmk

mk aaaaaa −+−− (7.3)

verovatnoća pogrešnog prijema simbola a data je izrazom: 0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡>+

−= ∑

≠− dhhanP

MMP

kk

mkem 0

0

)(0

1 (7.4)

Verovatnoća greške za celu klasu digitalnih signala je:

∑=

=KM

memE mPPP

2

1][ (7.5)

gde je P m[ ] verovatnoća m-tog digitalnog signala, odnosno m-te sekvence simbola, koja predstavlja informacioni sadržaj tog digitalnog signala. Ako se sa označi m-ta vrednost ISI i ako se pretpostavi da su svi simboli jednako verovatni i svi nizovi simbola jednako verovatni, sledi:

mi

∑= ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

KM

m n

m

n

mKE

idhQidhQMM

MP2

1

002

11σσ

(7.6)

gde je sa

∫∞

−=

0

2

2

0 21)(

x

x

dxxQ eπ

(7.7)

označena površina ispod repa normalizovane Gausove raspodele, čije su vrednosti date u prilogu.

7.1.1 Donja granica verovatnoće greške


U odsustvu ISI, , iz izraza (7.6) sledi: Km Mmi 2,...,2,1,0 ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

nEd

dhQM

MPσ

012 (7.8)

Ovaj izraz predstavlja verovatnoću greške samo pod uticajem Gausovog šuma i nazivamo ga donja granica verovatnoće greške.

7.1.2 Gornja granica verovatnoće greške

Vezuje se za vršnu ISI i najnepovoljniji niz simbola digitalnog signala:

{ }⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−==

n

o

n

oemEg

IdhQIdhQM

MPPσσ

)1()1(1max maxmax (7.9)

gde:

∑≠

−−==0 00

maxmax )1(

n

n

hhM

dhiI (7.10)

predstavlja normalizovanu vršnu (maksimalnu) ISI.


7.2 ZADACI

7.2.1 Digitalni signal na predaji ima oblik ∑∞

−∞=−=

kkT kTtTats )()( δ gde su ka jednako

verovatni simboli binarnog alfabeta A = { , }1 1− . Prenos se vrši brzinom vd = 8000 bit/s. Signalu se u kanalu dodaje beli Gausov šum spektralne gustine snage

W/Hz1052 60

−⋅== Npn . Prijemni filtar je idealan Nikvistov, minimalnog propusnog

opsega, jedinične amplitudske karakteristike u propusnom opsegu. Odlučivač je sa pragom odlučivanja na nuli. Odrediti verovatnoću (simbolske) greške na prijemu.

Slika 7.2.1.1 Sistem prenosa u osnovnom opsegu

Rešenje:

Za digitalni signal )(tsT čija je brzina signaliziranja vs = 1/T minimalni propusni opseg je

tzv. Nikvistov opseg Tf 21< , pa je:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

=≤=

.0

,2

11

)(

g

g

R

ff

Tff

fH

Impulsni odziv sistema je:

,

sin

)()( 2

T

tT

t

dfefHTth ftjR π

ππ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⋅= ∫∞

∞−

odnosno:

0,00 )(

.00

,01)( khkTh

k

khkTh δ=⇒

⎩⎨⎧

≠==

= .

Dakle, u trenucima mT nema interferencije simbola, pa na grešku u odlučivanju utiče samo odbirak šuma koji je prošao kroz prijemni filtar n mTR ( ) . Signal na izlazu prijemnog filtra je:

)()(

)(sin

)( tn

T

kTtT

kTt

ats Rk

kR +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ∑∞

−∞= π

π

,

a njegov odbirak u mTt = je )()( mTnamTs RmR += .

Verovatnoća greške je:


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=>=>⋅−=+−<⋅==

nRRkRkE QnPnPaPnPaPP

σ1

)1()1()1()1()1( ,

što se može dobiti i na osnovu izraza (7.8):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nnE Q

dhQP

σσ10 .

Snagu šuma ograničava prijemni filtar svojim propusnim opsegom:

.V 2,02

,422

1

2 ====

====

BpP

kHzv

TfB

nnnn

sg

σσ

Zamenom u izraz za PE sledi:

P QE = = ⋅ −(5) , .0 287 10 6

Verovatnoća EP se često izražava u funkciji energije emitovane po simbolu, jer je to mera “uspešnosti” iskorišćenja emitovane energije. Za konkretan slučaj imamo:

TPE ss = ,

gde je P srednja snaga digitalnog signala:

TTT

dffHT

P as === ∫

∞

∞−

222 1

)(σ

,

odakle sledi: 2TPTEs ==

Dalje važi nσ :

snnnn E

N

T

NBNBpP

222 00

02 ====== σσ

pa je:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

0 21

N

EQQ

dhQP s

nnE σσ

Često se umesto verovatnoće simbolske greške EP , posmatra verovatnoća bitske greške

bP (ili kako se skraćeno naziva BER – Bit Error Rate), u funkciji energije emitovane po

bitu informacije. Pošto se radi o binarnom digitalnom signalu, verovatnoća simbolske greške je jednaka verovatnoći bitske greške:

Eb PP =

Što se tiče energije emitovane po bitu, ona je u konkretnom slučaju:

sss

b EE

M

EE ===

)2(ld)(ld

Na kraju se dobija:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

2

N

EQP b

b – verovatnoća bitske greške pri prenosu polarnog binarnog signala u

osnovnom opsegu.


Na kraju treba navesti da je verovatnoća bitske greške jedan od najvažnijih parametara koji služi za upoređivanje tehnika digitalnog prenosa (signalizacionih šema), koje se međusobno razlikuju po alfabetima informacionih elemenata i oblicima elementarnih impulsa, tj. utrošenoj energiji za prenos bita informacije. Stoga se obično verovatnoća simbolske greške odgovarajućim transformacija (sličnim onima koje su izvedene u ovom zadatku) svodi na verovatnoću bitske greške u funkciji energije emitovane po bitu, što omogućava direktno poređenje signalizacionih šema.

7.2.2 Računar na svom izlazu generiše oktalne simbole brzinom od 10 kBd. Prenos se vrši elementarnim impulsom minimalnog spektra (pri čemu je 10 =h ) kroz idealni NF sistem

propusnog opsega 12 kHz. Prijemni i predajni NF filtri su idealni, propusnog opsega prilagođenog digitalnom signalu koji se prenosi u okviru posmatranog sistema. Spektralna gustina srednje snage Gausovog šuma u kanalu iznosi

80 1052 −⋅== Npn W/Hz.

a) Izraziti verovatnoću greške na prijemu u funkciji broja simbola alfabeta M, SGSS šuma, digitalnog protoka dv i srednje snage signala sP . Vrednost ekvivalentnog

impulsnog odziva sistema za prenos u trenutku odlučivanja je 10 =h .

b) Izraziti verovatnoću greške u funkciji 0NEs , gde je sE prosečna energija

emitovana po simbolu. Izvesti izraz za verovatnoću bitske greške u funkciji

0NEb , gde je bE prosečna energija emitovana po informacionom bitu (pp. da se

koristi Grejov kod).

c) Pri zadatom odnosu signal/šum odrediti optimalan broj simbola M tako da verovatnoća greške bude minimalna i da se postigne zadati digitalni protok.

d) Za izračunato M pod b) odrediti srednju snagu digitalnog signala sP , pod uslovom

da verovatnoća greške bude manja od 10 4− .

Slika 7.2.2.1 Minimalni spektar koji zadovoljava I NK pri brzini signaliziranja 1/T

Rešenje:

Elementarni impuls minimalnog spektra za digitalni signal sa periodom signaliziranja T je signal čiji je spektar u obliku idealnog NF filtra sa graničnom učestanošću B = 1/2T. To je signal oblika “sinx/x” koji zadovoljava I NK.

a) Nema ISI jer se prenos vrši elementarnim impulsom koji zadovoljava I NK, pa je verovatnoća greške jednaka donjoj granici:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=n

oE

dhQ

M

MP

σ1

2 .

Efektivna vrednost šuma se može izračunati na osnovu srednje snage, tj. varijanse. Nju ograničava prijemni NF filtar. Ako on propušta samo opseg frekvencija u kojem se nalazi korisni signal, srednja snaga šuma na izlazu prijemnog filtra biće:


BNBpdfpdfjfHp n

B

BnRnn 0

22 2|)(| ==== ∫∫−

∞

∞−

σ .

Srednja snaga digitalnog signala sa minimalnim spektrom je jednaka (vidi zadatak 3.2.4):

22

3

1d

MPs

−= ,

odnosno, važi:

1

32 −

=M

Pd s

Širina spektra B zavisi od digitalnog protoka:

.ld2

ld2ld

M

vBMB

T

Mv d

d =⇒==

Konačno, verovatnoća greške je:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

dn

s

n

sE

vpM

MPQ

MBpM

PQ

M

MP

)1(

ld3112

2)1(

312

22.

b) Važi:

TB

2

1= (I Nivistov kriterijum), i

TPE ss = .

Verovatnoća greške izražena preko energije emitovane po simbolu je:

.)1(

6112

)1(

612

)1(

312

2)1(

312

02

02

022

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

N

E

MQ

MNM

TPQ

M

M

BNM

PQ

M

M

BpM

PQ

M

MP

ss

s

n

sE

Verovatnoća bitske greške je približno (koristi se Grejov kod, vidi zadatak 6.2.3):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅

⋅−==

02 )1(

ld6

ld

12

ld N

E

M

MQ

MM

M

M

PP bE

b ,

jer je broj bita Mld , a prosečna energija emitovana po bitu je:

M

EE s

b ld= .

c) Odnos signal/šum je zadat, pa se izraz za verovatnoću greške može izraziti u funkciji broja simbola M, (Slika 7.2.2.2).

constKM

KQM

PE =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ,

1

1112

2, pri čemu smo fiksirali B na kHz 12≤B .


Slika 7.2.2.2 Verovatnoća greške u funkciji broja simbola

Optimalan u pogledu šuma je alfabet sa minimalnim brojem simbola, dakle M = 2. Ali sa M = 2 ne može se postići željeni digitalni protok .bit/s 30000=dv

U sistemu sa B = 12 kHz maksimalni dv sa M = 2 je:

2ld2max2 Bvd = = 24000 bit/s,

a sa M = 4 je:

30000480004ld2max4 >== Bvd bit/s.

Dakle, za zadate uslove optimalan alfabet je alfabet sa M = 4 simbola.

d) Označimo argument Q funkcije sa A:

.82,31066,0)1(2

)(

,1075,35,25

2

)1(

ld3

4

2322

2

≅⇒⋅=−

=

⋅⋅==⇒=−

=

−

−

APM

MAQ

AvpAPvp

P

vpM

MPA

E

dnSdn

S

dn

S

Potrebna snaga signala koja obezbeđuje verovatnoću greške od 10 4− je:

mW 7215,54 W1082,375,3 32 ≅⋅⋅≥ −SP .

7.2.3 Signal na predaji, u sistemu za prenos podataka u osnovnom opsegu ima oblik:

{ }∑∞

−∞=−∈−=

kkkT ddakTtats ,,)()( δ .

Brzina signaliziranja je T1 . Odlučivanje se vrši sa 2T sekundi zakašnjenja. Impulsni odziv sistema prikazan je na slici (Slika 7.2.3.1). U sistemu deluje beli Gausov šum.

Odnos signal/šum definisan je odnosom ( / )d nσ 2 i iznosi 20 dB.

Za simetrični binarni signal odrediti:

a) Sve vrednosti ISI.

b) Gornju granicu verovatnoće greške.

c) Prosečnu verovatnoću greške i uporediti njenu vrednost sa gornjom granicom verovatnoće greške.



Rešenje:

Signal na prijemu je:

u t a h t kT n tD kk

( ) ( ) ( )= − +=−∞

∞

∑ ,

a impulsni odziv sistema se lako određuje pomoću jednačine prave kroz dve tačke:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<≤−

<<

=

drugde.0

,325

2

5

6

,2

02

)( TtT

tT

Ttt

T

th

Odlučivanje se vrši sa T/2 sekundi zakašnjenja (jer je tada impulsni odziv maksimalan), na osnovu odmerka )2/( TnTuD + .

a) Zbog oblika h t( ) u ISI učestvuju samo 2 prethodno poslata simbola:

i a h a h a h T T a h T T= + = + + +− − − −1 1 2 2 1 22 2 2( ) ( ) ;

. 5

1 ,

5

321 == hh

a−1 a−2 i

-d -d -0,8d

-d d -0,4d

d -d 0,4d

d d 0,8d

Tabela 7.2.3.1 Sve vrednosti ISI

b) Gornja granica verovatnoće greške:

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−== max

0max

0max 1

2

11

2

1I

dhQI

dhQPP

nnErE σσ ,


1)2/(,1020log10 0

2

===⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Thh

dd

nn σσ ,

( ) .011,022

1max ≅≅ QPE

c) Sve četiri vrednosti ISI jednako su verovatne pa je:

( )

,011,0)2(2

1

,2

1

4

1

max1

21

4

1

≅≅=

+== ∑=

QPP

PPPP

Ee

eek

ekE

[ ] .2

1)6()2(

4

1

,105,0)6(2

1

5

2110

2

1

5

2110

2

1

max

92

EE

e

PQQP

QQQP

≅+=

⋅≅≅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= −

Stvarnoj verovatnoći greške najveći doprinos daje verovatnoća greške koja potiče od

maxi , pa se stvarna verovatnoća greške može grubo proceniti kao:

maxmax )( EE PiPP ⋅≅ .

Slika 7.2.3.2 Raspodela primljenih odmeraka )2

(T

mTsD +

7.2.4 Za tri brzine signaliziranja date su vrednosti odziva sistema u trenucima kT (Tabela 7.2.4.1). Za ostale celobrojne vrednosti k, )(kTh se može zanemariti. Spektar elementarnog impulsa h t( ) može se u aproksimirati kao )( fH :

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤≅

drugde.0

,2

1

)( TfT

fH


vs k = ±3 k = ±2 k = ±1 k = 0

600 Bd 0,01 0,02 0,03 1

1200 Bd 0,015 0,03 0,05 0,9

2400 Bd 0,06 0,15 0,2 0,81

Tabela 7.2.4.1 Vrednosti elementarnog impulsa u trenucima odlučivanja

Na raspolaganju je M-arni signal, gde M može biti 2, 4, 8 ili 16.

Koliki je maksimalni digitalni protok koji se u sistemu može ostvariti, ako je odnos signal/šum na izlazu sistema dB 20≤SNR , a zahteva se da gornja granica verovatnoće greške po simbolu bude manja od 10-4 ?

Rešenje:

Maksimalni digitalni protok pri kojem dijagram oka još uvek nije zatvoren ostvaruje se sa vs = 1200 Bd i M = 4 (vidi zadatak 6.2.10):

sbit 2400ldmax =⋅= Mvv sd .

Ako se u obzir uzme i šum i zadata verovatnoća greške dobija se uslov za ISI:

4maxmax 10

)1()0(1 −≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−≅n

E

IdhQ

M

MP

σ,

4max 101

)1()0( −

−≤⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −M

MIdhQ

nσ,

)(1

10)1()0( 41max MA

M

MQ

Idh

n

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅≥

− −−

σ, (A(2) = 3,54; A(4) = 3,65; ...).

Srednja snaga digitalnog signala sa spektrom elementarnog impulsa )( fH jeste:

1

3

3

12

22

−=⇒

−=M

Pdd

MP s

s , pa se uslov za maksimalnu ISI svodi na:

s

n

P

PM

h

MAI

3

1

)0(

)(1

2

max−≥− , tj. 20

2

max 103

1

)0(

)(1

SNRM

h

MAI

−⋅−−≤ .

Predhodnim izrazom definisano je smanjenje (zbog šuma) maksimalne dozvoljene ISI za datu verovatnoću greške. Pri datom odnosu SNR = 20 dB, ovaj uslov zadovoljava samo binarni signal (vidi zadatak 6.2.10) i to za brzine 600 i 1200 Bd. Prema tome, maksimalna brzina prenosa informacija je 1200 bit/s.

7.2.5 Slika 7.2.5.1 prikazuje raspodela verovatnoća normalizovane ISI. Prenosi se binarni polarni signal: a d dk ∈ −{ , }.

U odsustvu ISI verovatnoća greške u ovom sistemu iznosi PE = 10-5. Za isti odnos srednje snage signala i šuma odrediti:

a) Maksimalnu ISI i gornju granicu verovatnoće greške.

b) Varijansu ISI i odgovarajuću vrednost verovatnoće greške smatrajući u prvoj aproksimaciji da ISI ima Gausovu GRV.

c) Uporediti rezultate pod a) i b) sa stvarnom verovatnoćom greške.


Slika 7.2.5.1 Raspodela verovatnoća i.s.i

Rešenje:

a) Normalizovana ISI je dh

i

0

, (uz pretpostavku da je 10 =h ).

,7,07,07,0 0maxmax ddhiI =⋅=⇒=

pa je gornja granica verovatnoće greške:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=nn

iEidh

Qidh

QM

MP

σσ001

.

Odnos n

dh

σ0 određuje se na osnovu date donje granice verovatnoće greške:

Adhdh

QPPn

o

n

oEdisiE ==⇒=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== −

= 27,410 50 σσ

,

pa je tražena vrednost:

[ ],)1(2

1)1(1max

max0max IAQ

IdhQ

M

MPP

nEgE −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−≅=σ

.05015,0)278,1(2

1max ≅≅ QPE

Na osnovu izračunate gornje granice verovatnoće greške, znajući verovatnoću da ISI bude maksimalna, procenjujemo verovatnoću greške na:

.1027,605015,016

2)( 3

maxmax−⋅==⋅≅ EE PiPP

b) Varijansa ISI izračunava se kao:

,12,0)7,0(16

1)5,0(

16

1)3,0(

16

2)1,0(

16

42)(

8

1

222222 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++=⋅= ∑

=mmmI IPIσ

pa se u ovom slučaju, u izrazu za verovatnoću greške tretira na isti način kao Gausov šum:

;

,

222

220

22

inN

iI

dh

σσσ

σσ

+=

=


,1 2

1

22

0

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅

−

IN

EA

Qdh

QP σσ

.104242,8)388,2( 3−⋅≅≅ QPE c) Stvarna verovatnoća greške je prosečna pri svim vrednostima ISI:

,2

1

,)(

00

8

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

⋅= ∑=

n

m

n

mEm

mEmmE

idhQ

idhQP

PiPP

σσ

[ ] [ ]

[ ] [ ],)7,1()3,0(16

1)5,1()5,0(

16

1

)3,1()7,0(16

2)1,1()9,0(

16

4

)1()1(2

1)(2

4

1

00

AQAQAQAQ

AQAQAQAQ

Idh

QIdh

QiPPm

mn

mn

mE

++++

++++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅= ∑

= σσ

.1049,7 3−⋅=EP

Vidi se da je procena dobijena pod a) prilično dobra.

7.2.6 Slika 7.2.6.1. prikazuje uprošćena blok šema sistema za prenos binarnih signala u osnovnom opsegu učestanosti.

Slika 7.2.6.1 Sistem za prenos u osnovnom opsegu

Usled prisustva slučajnog Gausovog šuma postoji mogućnost greške u odlučivanju.

Prenos binarnih signala vrši se polarnim impulsima. Pri tome, signal na ulazu u prijemnik u trenutku odabiranja kT, ima vrednost +U ako je poslato binarno 1 i vrednost -U ako je poslato binarno 0. Trajanje signalizacionog intervala je T.

Odrediti optimalnu vrednost praga odlučivanja tako da verovatnoća greške bude minimalna ako je verovatnoća slanja binarne nule ravna [ ] pP −= 10 , a binarne jedinice

[ ] pP =1 .

Ukoliko je je verovatnoća slanja binarne nule ravna [ ] 75.00 =P , a binarne jedinice

[ ] 25.01 =P , pri čemu je poznat odnos U nσ = 4 , kolika je minimalna verovatnoća greške?

Rešenje:

Odlučivač uzima odbirke u trenucima kT:

)()()( kTnkTskTr += , odnosno kkk nsr +=


i poredi ih sa pragom pU . Kako je kn slučajna veličina, to je i odbirak kr slučajna

veličina sa istom (Gausovom) funkcijom gustine verovatnoća amplituda i sa srednjom vrednošću U± :

[ ] [ ] 2

2

2

)(

2

11// n

k Ur

nkkkk erpUrpnUr σ

σπ

−−

==⇒+= ,

kada se šalje binarno 1, odnosno:

[ ] [ ] 2

2

2

)(

2

10// n

k Ur

nkkkk erpUrpnUr σ

σπ

+−

==−⇒+−= ,

kada se šalje binarno 0.

Po prijemu signala, vrši se odlučivanje koji je simbol bio poslat, odnosno odlučivač bira između dve hipoteze:

⋅ 0H - primljeno je binarno 0,

⋅ 1H - primljeno je binarno 1.

Verovatnoća greške je po definiciji:

[ ] [ ] [ ] [ ]1/10/0 01 HPPHPPPE ⋅+⋅= ,

odnosno greška nastupa kada je emitovano binarno 0, a izabrana je hipoteza 0H , ili je

emitovano binarno 1, a izabrana je hipoteza 0H .

Minimizacija greške se vrši korišćenjem tzv. MAP (Maximum Aposteriori Probability) kriterijuma pri odlučivanju, koji se kaže da treba izabrati hipotezu koja ima veću aposteriornu verovatnoću:

⋅ ako je [ ] [ ]kk rPrP /1/0 < izaberi 1H ,

⋅ ako je [ ] [ ]kk rPrP /0/1 < izaberi 0H .

Važi:

[ ] [ ] [ ] [ ]][

00/

][

,0/0

k

k

k

kk rp

Prp

rp

rPrP == (7.2.6.1)

[ ] [ ] [ ]][

11//1

k

kk rp

PrprP = (7.2.6.2).

Za prag odlučivanja koji će minimizovati grešku biramo onu vrednost primljenog signala

PU za koju važi:

[ ] [ ]PP UPUP /1/0 = ,

odnosno, zamenom (7.2.6.1) i (7.2.6.2) dobija se:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]11/00/][

11/

][

00/PUpPUp

Up

PUp

Up

PUpPP

P

P

P

P =⇒= .

Dalje se dobija:

( ) 22

2)(22

2)(

2

1

2

11 n

UPU

n

n

UPU

n

epep σσ

σπσπ

−−+−

=−


22

22

222222

1 n

UPU

n

UUPUPUUUPUPU

eep

p σσ ==−−+−++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=p

pUU

n

P 1ln

22σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=p

p

UU n

P1

ln2

2σ

.

Verovatnoća greške je tada:

( ) [ ] [ ] ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅−=<⋅+>⋅−=

n

P

n

PPkPkE

UUQp

UUQpUrPpUrPpP

σσ11

.

Ukoliko je [ ] [ ] 5.010 == PP , (informacioni simboli su jednako verovatni) tada se MAP odlučivanje svodi na tzv. maximum likelihood decoding, a za optimalnu vrednost praga se dobija 0=PU (što se je u praksi obično i slučaj, jer se u skoro uvek koristi skremblovanje).

Kada je [ ] 75.00 =P , [ ] 25.01 =P , i U nσ = 4 , važi:

13,2925.0

75.0ln

2

2 U

UU n

P ≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

σ

,

51072,225.075.0 −⋅≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

n

P

n

PE

UUQ

UUQP

σσ Da je prag bio na nuli, bilo bi:

( ) [ ] [ ] 51017,3)4(001 −⋅≅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=<⋅+>⋅−= Q

UQrPprPpP

nkkE σ .

Slika prikazuje položaj praga za kada je slanje binarno 0 verovatnije od slanja binarno 1. Površina ispod krive [ ]Urp k / u intervalu [ ]∞,PU ponderisana sa [ ]0P jednaka je

površini krive [ ]Urp k −/ u intervalu [ ]PU,∞− ponderisana sa [ ]1P .

( )1/0P

kr

( )0/1P

[ ]Urp k /[ ]Urp k −/

Slika 7.2.6.2 Gustina raspodele verovatnoća amplituda signala na ulazu u odlučivač

7.2.7 Vrši se prenos duobinarno kodovanog binarnog polarnog signala. Simboli originalne poruke su statistički nezavisni i jednako verovatni. Sistem za prenos zadovoljava drugi Nikvistov kriterijum, a u kanalu se superponira Gausov šum srednje snage Pn u opsegu za prenos.


Izvesti izraze za verovatnoću greške, ako su pragovi odlučivanja postavljeni:

a) Na sredini razmaka između susednih simbola;

b) Tako da minimizuju verovatnoću greške i odrediti takve pragove.

Rešenje:

Ako je originalna poruka },{ ddbk −∈ , simboli duobinarne poruke su }2,0,2{ ddak −∈ , a

odgovarajuće verovatnoće [ ] [ ] [ ] 5.022220 ===−=== daPdaPaP kkk .

a)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

.2

3

||2

3||

2

1

4

12

2||02

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

>=>+>=

−<⋅=+>⋅=+>⋅−==

n

kkkE

dQ

dnPdnPdnP

dnPdaPdnPaPdnPdaPP

σ

b) Pored načina opisanog u prethodnom zadatku (7.2.6), optimalni prag odlučivanja se može odrediti kao ona vrednost koja zadovoljava:

popp

E UUdU

dP== za0

Neka su pragovi odlučivanja pU± (zbog simetrije).

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

.2

2

1

||2

1)2(

2

1

)2(2

|0)2(2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

>⋅+−>=

−−<⋅=+

>⋅=+−>⋅−==

n

p

n

p

pp

pk

pkpkE

UQ

UdQ

UnPUdnP

UdnPdaP

UnPaPUdnPdaPP

σσ

Pošto se radi o Gausovom šumu parametar nσ može se odrediti na osnovu

relacije: nn P=σ , a izraz za verovatnoću greške je:

.2

1

2

1

2

1 22

2

2

22

2

∫∫∞ −∞

−

−

+=pU

n

n

npUd

n

n

nE dndnP ee σσ

σπσπ

Izvod određenog integrala je jednak vrednosti podintegralne funkcije za gornju granicu:

02

1

2

1

2

1 22

2

22

2)2(

=−−

−−

n

poU

n

n

poUd

n

ee σσ

σπσπ,


.2ln

22ln

22

1

,2ln2

,22

)2(2ln

22

2

2

2

2

2

min

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

+⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

+=

=−

+

n

n

n

n

E

npo

n

po

n

po

dd

Qdd

QP

ddU

UUd

σ

σ

σ

σ

σσσ


8 OPTIMIZACIJA PRENOSA U OSNOVNOM OPSEGU

8.1 UVOD

Osnovni zadatak postupka optimizacije je minimiziranje verovatnoće greške u prenosu M-arnih digitalnih signala. Greška može da nastane pod uticajem intersimbolske interferencije i šuma. U zavisnosti od postavljenih uslova, razlikuju se optimizacije: predajnog filtra, prijemnog filtra i združena optimizacija predajnog i prijemnog filtra.

8.1.1 Optimizacija prijemnog filtra

Polazi od sledećih pretpostavki:

M-arni signal je ograničenog trajanja i sadrži 2N + 1 simbol,

poznate su funkcije prenosa predajnog filtra )( fHT i kanala )( fH C ,

u kanalu deluje aditivni Gausov šum konstantne spektralne gustine snage pn .

Cilj optimizacije je određivanje optimalne funkcije prenosa prijemnog filtra digitalnog sistema za prenos u osnovnom opsegu na slici 6.a.

Postupak optimizacije zahteva primenu varijacionog računa i rešavanje funkcionala:

∑−=

+=N

Nkkkn hV λσ 2 (8.1)

gde je:

∫∞

∞−

= dffHp Rnn22 )(σ (8.2)

varijansa, odnosno srednja snaga šuma na izlazu prijemnog filtra, a

∫∞

∞−= dffHfHfHh fkTj

RCTk e π2)()()( (8.3)

odbirak impulsnog odziva sistema u k-tom signalizacionom intervalu. λ k su Lagranžovi

koeficijenti.

Rezultat optimizacije je funkcija prenosa prijemnog filtra u obliku:

[ ] ∑−=

−−=

N

Nk

fkTj

n

kCTR e

pfHfHfH πλ 2*

2)()()( (8.4)

Prvi član optimalnog filtra predstavlja prilagođeni filtar koji redukuje uticaj šuma, a drugi je transverzalni filtar koji se projektuje tako da minimizuje uticaj ISI.

8.1.2 Ekvalizacija

Cilj je eliminacija, odnosno redukcija intersimbolske interferencije primenom transverzalnog filtra. Postupak ekvalizacije predstavlja izbor i podešavanje koeficijenata T-filtra na osnovu prethodno izabranog kriterijuma.

136 OPTIMIZACIJA PRENOSA U OSNOVNOM OPSEGU

Slika 8.a Transverzalni filtar

Signal na izlazu T-filtra i njegova spektralna gustina amplituda su:

[ ] )()(

)2()()()()(222

02

1

01

fSCCCCfS

NTtsCNTtsCTtsCtsCts

iNTfj

NfNTjfTj

NNo

iNiiNiNo

eee πππ −−−+−−

+−−

+++++=

−++−++−+=

LL

LL (8.5)

pa su njegova prenosna karakteristika i impulsni odziv:

∑

∑

−=

−=

−−

+−=

=

N

Nkk

N

Nk

fkTjk

fNTj

TkNtCte

CfT ee

])([)(

)( 22

δ

ππ

(8.6)

Ako je g t( ) impulsni odziv sistema za prenos zajedno sa T-filtrom, može se pisati:

{ } ∑−=

− +−=∗=⋅=N

Nkk TkNthCtethfTfHFtg ])([)()()()()( 1 (8.7)

Slika 8.b Sistem prenosa u osnovnom opsegu sa T-filtrom

Odmerak odziva T-filtra koji stoji uz simbol a0 o kojem se odlučuje je:

∑≠

−=−+=≡

N

kNk

kk hChCgNTg

0

000)(

,

(8.8)

pa se koeficijent T-filtra C0 određuje na osnovu relacije (8.8).

Izbor preostalih koeficijenata vrši se na osnovu jednog od kriterijuma:

1. minimizacija vršne ISI

∑≠−=

=N

kNk

kgi

0

max (8.9)

2. minimizacija varijanse ISI

.

0

222 ∑≠

−==

N

kNk

kai gσσ (8.10)


8.2 ZADACI

8.2.1 Posmatra se sistem za prenos digitalnog signala oblika ( ) ( )∑ −=k

k kTthats , gde su

informacioni simboli iz binarnog polarnog alfabeta { }1,1− , a elementarni impuls je oblika:

( )⎩⎨⎧ ≤≤

=drugde.0

,01 Ttth

Odrediti i skiciriti odziv prijemnika u toku i-tog signalizacionog intervala, ukoliko se na prijemu koristi:

a) prilagođeni filtar (Slika 8.2.1.1),

b) korelacioni prijemnik (korelator, Slika 8.2.1.2),

pri čemu je prenošeni simbol u i-tom signalizacionom intervalu 1=ia .

( )ts

( )Tr1

( )Tr0

( )Tr

( )( )tTh −−∗

( )tTh −∗

Slika 8.2.1.1 Prilagođeni filtar

( )ts

( )th

( )th−

( )Tr1

( )Tr0

( )Tr

∫T

0

∫T

0

Slika 8.2.1.2 Korelacioni prijemnik

Rešenje:

U prethodnim poglavljima prijemnik je predstavljan kao kombinacija idealnog NF filtra i odlučivača koji vrši odabiranje primljenog signala u trenucima koji su umnošci signalizacionog intervala (kT). U stvarnosti, kao prijemnik se koristi prilagođeni filtar, ili još češće njegova uprošćena varijanta – korelacioni prijemnik. U oba slučaja, prijemnik vrši preslikavanje primljene energije u toku jednog signalizacionog intervala u tačke (brojeve), koji odgovaraju simbolima korišćenog informacionog alfabeta. Način na koje se ovo preslikavanje vrši je dobijen maksimizacijom iskorišćenja primljene energije (vidi jednačinu 8.4).

Prilagođeni filtar se sastoji od onoliko grana koliko različitih talasnih oblika digitalni signal može imati (tj. koliko ima različitih informacionih elemenata). U svakoj od grana se u toku jednog signalizacionog intervala vrši konvolucija između primljenog signala i jednog od talasnih oblika koji je zakašnjen za signalizacioni interval T. U grani u kojoj se

138 OPTIMIZACIJA PRIJEMNIKA PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU

primljeni digitalni signal poklapa sa talasnim oblikom dobiće se maksimalna vrednost konvolucije, dok će u ostalim granama vrednost biti nula, i na taj način se donosi odluka o primljenom simbolu. (Naravno, usled uticaja šuma ovo će važiti samo približno).

Za razliku od prilagođenog filtra, u korelacionom prijemniku se u svakoj od grana vrši korelacija sa jednim od talasnih oblika. Naime, pokazuje se da je na kraju signalizacionog intervala rezultat gore opisane konvolucije i korelacije isti.

a) U toku i-tog signalizacionog intervala digitalni signal je:

( )( ) ( ) ( ).

,1

ththats

TitiT

i ==+<≤

Dalje važi:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) .2

,

,

0

01

0000

0001

ttrtrtr

tddhtThdstThtr

tddhtThdstThtr

Tt

ttt

tt

=−=

−=−=−−−=−−−=

==−−=−−=

<≤

∫∫∫

∫∫∫

τττττττ

ττττττττ

b) Za korelacioni prijemnik važi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .2

,

,

0

01

000

001

ttrtrtr

tdhhdshtr

tdhhdshtr

Tt

tt

tt

=−=

−=−=−=

===

<≤

∫∫

∫∫

ττττττ

ττττττ

Zbog oblika elementarnog impulsa, odzivi prilagođenog filtra i korelacionog prijemnika su isti. Međutim, u opštem slučaju ovo ne važi (vidi zadatak 8.2.2).

Slika 8.2.1.3 prikazuje izgled odziva prijemnika u obe varijante. Pozitivan izlaz na kraju signalizacionog intervala znači da je primljeno 1=ia . Da je bilo 1−=ia , tada bi izlaz

prijemnika bio negativan.

( )tr

t

T2

T

Slika 8.2.1.3

8.2.2 Odrediti i skicirati izgled odziva:

a) prilagođenog filtra,

b) korelatora,


optimizovanih za prijem digitalnog signala čija je vrednost u toku signalizacionog intervala data izrazom:

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

=1, binarno prenosi se kada

0, binarno prenosi se kada

2

1

th

thts

ukoliko se prenosi binarno 0. Talasni oblici ( )th1 i ( )th2 su dati na slici (Slika 8.2.2.1).

( )th1

t

1

T2T

1−

( )th2

t

1

T

Slika 8.2.2.1

Rešenje:

a) Prilagođeni filtar je prikazan na slici (Slika 8.2.2.2).

( )ts

( )Tr1

( )Tr2

( )Tr

( )tTh −∗ 2

( )tTh −∗ 1

Slika 8.2.2.2 Prilagođeni filtar

Važi:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

<≤−<≤

=−=

⎩⎨⎧

<≤−<≤−

=−−=−−=

⎩⎨⎧

<≤−<≤−

=−−=−−=

<≤

∫∫

∫∫

.22

,200

,2

,20

,223

,20

0

21

012

022

011

011

TtTTt

Tttrtrtr

TtTTt

TttdhtThdstThtr

TtTTt

TttdhtThdstThtr

Tt

tt

t

ττττττ

τττττττ

Signali ( )tr1 , ( )tr2 i ( )tr su prikazani na slici (Slika 8.2.2.4 a).

b) Korelator je prikazan na slici (Slika 8.2.2.3).


( )ts

( )th1

( )th2

( )Tr1

( )Tr2

( )Tr

∫T

0

∫T

0

Slika 8.2.2.3 Korelator

Važi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

<≤<≤

=−=

⎩⎨⎧

<≤−<≤−

===

===

<≤

∫∫

∫∫

.2

,202

,2

,20

,

0

01

012

022

011

011

TtTT

Ttttrtrtr

TtTTt

Tttdhhdshtr

tdhhdshtr

Tt

tt

t

ττττττ

τττττττ

Signali ( )tr1 , ( )tr2 i ( )tr su prikazani na slici (Slika 8.2.2.4 b).

( )tr1

tT

2T

2T−

T

( )tr2

tT

2T

2T−( )tr

tT2T

T

( )tr1

tT

T

( )tr2

tT

2T

2T−( )tr

tT2T

T

Slika 8.2.2.4 Signali u prijemniku a) prilagođeni filtar b) korelator

Vidi se da su odgovarajući signali kod prilagođenog filtra, odnosno korelatora, u opštem slučaju jednaki samo na kraju signalizacionog intervala T.


8.2.3 Slika 8.2.3.1 prikazuje korelator koji optimizovan za prijem:

a) binarnog unipolarnog signala:

⋅ informacioni simboli su iz alfabeta { }1,0 ,

b) bipolarnog signala:

⋅ informacioni simboli su iz alfabeta { }1,1− .

U oba slučaja, elementarni impuls je oblika:

( )⎩⎨⎧ ≤≤

=drugde.0

,01 Ttth

Tokom prenosa se u kanalu signalu superponira AWGN, konstantne sprektralne gustine snage koja je jednaka 20N . Odrediti očekivanu vrednost signala na izlazu korelatora,

kao i srednju snagu šuma na izlazu korelatora. Odrediti verovatnoću greške u oba slučaja.

( )ts

( )th

( )Tr∫T

0

( )ts

( )th

( )th−

( )Tr1

( )Tr0

( )Tr

∫T

0

∫T

0

Slika 8.2.3.1

Rešenje:

a) Na izlazu korelatora, na kraju signalizacionog intervala je signal:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TndtthtsdtthtndtthtsdtthtntsTrTTTT

10000

+=+=+= ∫∫∫∫ .

Očekivana vrednost je:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ,0

0000

001

0

∫

∫∫∫∫

∫∫∫

=

+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

T

TTTT

TTT

dtthts

dtthtnEdtthtsdtthtnEdtthtsE

dtthtndtthtsETndtthtsETrE

pošto je očekivana vrednost AWGN-a jednaka 0.


Srednja snaga komponente koja predstavlja filtrirani šum (šum nakon prolaska kroz korelator) je:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

.2

22

0

0

20

0

0

0 00 0

00

2

0

21

21

TN

dtthN

dtththN

dtdsshthsntnEdtdsshthsntnE

dsshsndtthtnEdtthtnETnE

TT

T TT T

TTT

n

=

==

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

∫∫

∫ ∫∫ ∫

∫∫∫σ

Vidi se da je srednja snaga šuma nakon prolaska kroz korelator postala konačna, i jednaka 20TN .

Ako se prenosi binarno 0, na ulazu u prijemnik u toku tog signalizacionog intervala nema signala, pa je očekivana vrednost izlaza ( ) 0=Tr . Ako se prenosi binarno 1,

očekivana vrednost na izlazu je ( ) TTr = . Stoga je polovina razmaka između ove dve

vrednosti 2

Td = .

Srednja snaga digitalnog signala je:

( )2

1

0

22

== ∫T

s thT

aP ,

odnosno, prosečna energija emitovana po bitu je 2TEb = .

Izraz za verovatnoću greške je:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=000 2

2

212

N

EQ

N

TQ

TN

T

Qdh

QM

MP b

n

oE σ

.

b) Na isti način kao pod a), pokazuje se da je:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ),2

22

10

0000

Tndtthts

dtthtndtthtsdtthtntsdtthtntsTr

T

TTTT

+=

+=−+−+=

∫

∫∫∫∫

( )[ ] ( ) ( )∫=T

dtthtsTrE0

2 ,

jer je očekivana vrednost šuma na izlazu prijemnika:

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 02200

1 ==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∫∫

TT

dtthtnEdtthtnETnE .

Srednja snaga šuma na izlazu korelatora je:


( )( )[ ] ( )[ ] TNTN

TnETnEn 002

12

12 2

2442

1====σ .

U zavisnosti od prenošenog simbola, očekivane vrednosti izlaza su T2 i T2− . Polovina razmaka između ove dve vrednosti je Td 2= .

Srednja snaga digitalnog signala je:

( ) 10

22

== ∫T

s thT

aP ,

a prosečna energija emitovana po bitu je TEb = .


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=000

22

2

212

N

EQ

N

TQ

TN

TQ

dhQ

M

MP b

n

oE σ

.

Vidi se da je argument Q-funkcije veći u slučaju bipolarnog signala, pa je verovatnoća greške manja. To je posledica veće emitovane energije po bitu u slučaju bipolarnog signala.

8.2.4 Na ulaz transverzalnog filtra (Slika 8.2.4.1) dolazi signal oblika:

∑ −=k

ki kTthats ),()(

gde je { }ak ∈ −1 1, , a impulsni odziv sistema h t( ) je skiciran na slici 7.2.2.

Slika 8.2.4.1 T-filtar

Slika 8.2.4.2 Impulsni odziv sistema za prenos

Ako su koeficijenti T-filtra: 961,00 =C , 202,01 =C , i 095,01 −=−C :

a) Odrediti vrednost odziva s to( ) na osnovu koje se procenjuje a0.


b) Odrediti maksimalnu ISI i varijansu ISI na ulazu i izlazu T filtra.

Rešenje:

a)

).2()()()( 101 TtsCTtsCtsCts iiio −+−+= − Oblik impulsnog odziva h t( ) ukazuje da se informacija o 0a dobija na osnovu

odmerka )0(is . Kako T-filtar ima 2 kola za kašnjenje, tražena vrednost je

;)()(

)()(

)()()(

)()0()()(

213112020110211

110011010011112

101

101

hCahChCahChChCa

hChChCahChCahCa

kTThaCkThaCkTThaC

TsCsCTsCTs

k k kkkk

iiio

−−−−

−−−−−−

−

−

++++++++++++=

−−+−+−=

−++=

∑ ∑ ∑

,)( ∑ −=

kkko gaTs

.0202,00557,00003,00002,10011,00095,0)( 321012 −−− +++++−= aaaaaaTso

b)

;06,01,02,01,0

,4,01,02,01,02222

max

=++=

=++=

hi

hI

σ

.106,30202,00557,00003,00011,00095,0

,0868,00202,00557,00003,00011,00095,0

3222222

max

−⋅=++++=

=++++=

gi

gI

σ

Ovaj jednostavni T-filtar je smanjio vršnu ISI blizu 5 puta, smanjivši je na zanemarivu vrednost, a varijansu je smanjio preko 16 puta.

8.2.5 Binarni signal na ulazu u prijemnik je:

,)()( ∑∞

−∞=−=

kki kTthats

gde su:

ak − simboli alfabeta { }A U U= − , ,

h t( ) − impulsni odziv sistema,

4,0)()( ==− ThTh , 1)0( =h , i 1,0 za 0)( ±≠= kkTh .

v Td = 1/ je digitalni protok.

U prijemniku se koristi ekvalizator prikazan na slici (Slika 8.2.4.1) tako da se odlučivanje o simbolu ak vrši u trenutku t k T= +( ) .1

Odrediti koeficijente ekvalizatora 1−C , 0,C , 1C ; vršnu ISI i srednju kvadratnu vrednost

ISI u slučajevima kada ekvalizator minimizira:

a) vršnu vrednost ISI,

b) srednju kvadratnu vrednost ISI.


Rešenje:

Signal na izlazu ekvalizatora je:

.)]2()()([

)2()()()(

101

101

∑∞

−∞=−

−

−−+−−+−=

−+−+=

kk

iiio

TkTthCTkTthCkTthCa

TtsCTtsCtsCts

U trenutku t T= odlučuje se o simbolu a0, a tada je:

{ }∑∞

−∞=− +−+−+−−=

kko TkhCkThCTkhCaTs ])1([)(])1([)( 101 ,

}1,0{0)( ±∈≠ kkTh ,

.)()]()0([

)]()0()([)]0()([)()(

21101

010111021

aThCaThChC

aThChCThCahCThCaThCTso

−+−+++−+++++=

−−

−−−

Jedan uslov je (vidi jednačinu (8.8)): C h T C h C h T− + + − = ⇒1 0 10 1( ) ( ) ( )

Ch

C h T C h T C C0 1 1 1 1

1

01 1 0 4 0 4= − − − = − −− −( )

[ ( ) ( )] , , .

ISI je:

.

4,0)16,084,04,0()84,016,04,0(4,02

02

2111111121

∑≠−=

−

−−−−−

=

+−+++−+=

kk

kk ga

aCaCCaCCaCi

Vršna ISI je:

Ii

UC C C C C C gk

kk

maxmax | , | | , , , | | , , , | | , | | |= = + − + + + − + =− − −

=−≠

∑0 4 0 4 0 16 0 84 0 4 0 84 0 16 0 41 1 1 1 1 12

0

2

,

a varijansa ISI je:

( ) ( )σ I kkk

g C C C C C C

C C C C C C

2 2

20

2

12

1 1

2

1 1

2

12

12

12

1 1 1 1

0 16 0 4 0 16 0 84 0 4 0 84 0 16 0 16

0 32 0 8912 0 8912 0 5376 0 544 0 544

= = + − + + + − +

= + + − + +

= −≠

− − −

− − −

∑ , , , , , , , ,

, , , , , , .

Pri projektovanju T-filtra bira se 2N + 1 koeficijent. Jedan je izabran na osnovu kriterijuma (8.8), a preostalih 2N koeficijenata određuju se na osnovu kriterijuma minimizacije:

a) vršne ISI –forsira se 2N nula u impulsnom odzivu g t( ) :

g T g C C

g g C C

( ) , , , ,

( ) , , , ,

2 0 4 0 16 0 84 0

0 0 4 0 84 0 16 01 1 1

1 1 1

= = − + == = + − =

+ −

− −

C C C− = = − ⇒ =1 1 00 588 1 47, , , .

Tada je:

11,0,47,0235,02|||| 22

22

222max =+==⋅=+= −− ggggI Iσ .

b) varijanse ISI:


d

dCC C

d

dCC C

I

I

σ

σ

2

11 1

2

11 1

1 7824 0 5376 0 544 0

0 5376 1 7824 0 544 0

= − + =

= − + + =

−

−−

, , , ,

, , , ,

3809,12476,0 011 =⇒−==− CCC .

Tada je:

.084,0

,53328,0)103,0175,0(2||2||

2

02

22

2

1

2

02

max

==

=+===

∑

∑∑

≠−=

=≠−=

kk

kI

kk

kk

k

g

ggI

σ.

Na ulazu T-filtra bilo je:

.32,04,04,0

,8,04,04,0||

22

0

22

0max

=+==

=+==

∑

∑

≠

≠

kkI

kk

h

hI

σ.

Smanjivanjem vršne ISI sa 0,8 na 0,47, odnosno 0,556, značajno je smanjena gornja granica verovatnoće greške.

8.2.6 Sistem za prenos u osnovnom opsegu učestanosti ima linearnu faznu karakteristiku oblika:

0)( ftf −=Φ , gde je Tt 30 = .

U cilju optimizacije prenosa, na izlazu sistema dodaje se transverzalni filtar koji se formira kaskadnim vezivanjem segmenata prikazanih na slici (Slika 8.2.6.1).

Zahteva se da kašnjenje signala kroz ceo sistem, uključujući i transverzalni filtar, bude manje od 12 ms. Sistemom se vrši prenos binarnih signala digitalnim protokom od 600 b/s.

a) Odrediti maksimalni broj segmenata T-filtra, prikazanih na slici (Slika 8.2.6.1) koje je moguće upotrebiti.

b) Za slučaj pod a) odrediti broj nula koje je moguće ostvariti u impulsnom odzivu.

c) Ako je impulsni odziv sistema do T-filtra h kk ≠ ⇔ ∈ − −0 2 1 0 1 2{ , , , , } koliko će vrednosti odziva T-filtra g kT( ) biti različito od nule.

Slika 8.2.6.1 Segment T-filtra


Rešenje:

a) Na osnovu digitalnog protoka binarnog signala određuje se digitalni takt:

ms 66,1600

1ld ===dv

MT .

Ukupno dozvoljeno kašnjenje je:

Tt 2,7ms 12 ≅=∆

pa je kašnjenje koje sme da unese T-filtar:

⎣ ⎦Tt t

TT T

∆ −⎢⎣⎢

⎥⎦⎥

= =0 4 2 4, .

Kašnjenje koje unosi T-filtar sa 2N kola za kašnjenje je NT. Dakle, mogu se upotrebiti 4 segmenta prikazana na slici (Slika 8.2.6.1).

b) T-filtar sa 8 kola za kašnjenje i 9 pojačavača može u procesu minimizacije vršne ISI da ostvari 8 nula.

c) Kako T-filtar predstavlja filtar sa konačnim impulsnim odzivom, odziv na konačnu pobudu h nT( ) (različita od 0 u M = 5 uzastopnih tačaka) daće odziv g nT( ) potencijalno različit od nule u 132 =+ MN tačaka. Ako je T-filtar isprojektovan da minimizuje vršnu ISI on će isforsirati 2N = 8 nula i jednu jedinicu, a preostalih M − =1 4 vrednosti različitih od nule predstavljaće zaostalu ISI nakon ekvalizacije.

8.2.7 Na slici (Slika 8.2.7.1) prikazan je impulsni odziv h t( ) sistema za prenos signala podataka u osnovnom opsegu učestanosti, sa brzinom signaliziranja 1/T.

a) Nacrtati transverzalni filtar koji će na svom izlazu dati signal ( )tg (Slika 7.7.2) ako

se na njegov ulaz dovede signal ( )th (Slika 8.2.7.1). Odrediti koeficijente tog filtra.

b) Odrediti maksimalnu vrednost ISI pre i posle ekvalizatora, pod uslovom da se radi o binarnom polarnom signalu ( , ( ) )a Pk = ± =1 1 1 2 .

c) Ako je varijansa Gausovog šuma na ulazu T-filtra mW 102 =niσ , a njegova SGSS.

konstanta pn , odrediti snagu šuma na izlazu T-filtra.

d) Izračunati verovatnoću greške po bitu pre i posle T-filtra.



Slika 8.2.7.2 Odziv T-filtra na h t( )

Rešenje:

a) Sa slika (Slika 8.2.7.1 i Slika 7.7.2). se vidi da je kašnjenje korisnog odmerka T i da su isforsirane 2 nule. Odgovarajući T-filtar je oblika:

Slika 8.2.7.3 T-filtar

g t C h t C h t T C h t T( ) ( ) ( ) ( )= + − + −−1 0 1 2 .

Koeficijenti T-filtra zadovoljavaju sledeće jednakosti:

0096,0)( −=−Tg , 0)0( =g , 1)( =Tg , 0)2( =Tg , 056,0)3( =Tg i 02,0)4( =Tg .

Najjednostavnije ih je izračunati iz relacija:

g T C h T C( ) ( ) , ,− = − = − ⇒ = −− −1 10 0096 0 096,

g T C h T C( ) ( ) , ,4 2 0 02 0 21 1= = ⇒ = ,

g T C h T C h T C( ) ( ) ( ) , ,3 2 0 056 0 960 1 0= + = ⇒ = .

b) Maksimalna i.s.i na ulazu i izlazu T-filtra su:

,4,01,02,01,0||)1(0

max =++=−= ∑≠k

kihdMi

0856,002,0056,00096,0||)1(0

max =++=−= ∑≠k

kogdMi .

Ovaj jednostavan T-filtar je smanjio maksimalnu ISI skoro 5 puta.

SGSS šuma na izlazu T-filtra sa prenosnom karakteristikom datom u izrazu (8.6) je 2|)(| fTpn , pa je snaga šuma na izlazu T-filtra:

∫∞

∞−

= dfjfTpP nN2|)(| ,

ali je lakše izračunati kao:


( ) Nnino PmWCCC ==++= − 7,9221

20

21

2 σσ .

c) Na ulazu T-filtra je:

2,1,1)0(0 ==== Mdhh ,

pa je verovatnoća greške:

9max0max 105,0)6(

2

1

1,0

4,01

2

11 −⋅≅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−≅ QQidh

QM

MP

ni

hE σ

.

Nakon ekvalizacije i značajnog smanjenja ISI verovatnoća greške je:

20max0max 105,0)28,9(

2

1

0985,0

0856,01

2

11 −⋅≅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−≅ QQidg

QM

MP

no

gE σ

.

Može se uočiti da T-filtar nije značajnije smanjio snagu šuma, već je redukovanjem ISI drastično smanjio verovatnoću greške.

8.2.8 Tabela 8.2.8.1 daje vrednosti standardnog odziva sistema u trenucima odabiranja kT za tri brzine signaliziranja. Ostale vrednosti h kT( ) mogu se zanemariti.

vs k = ±2 k = ±1 k = 0

600 Bd 0,025 0,035 1

1200 Bd 0,035 0,060 0,9

2400 Bd 0,150 0,250 0,79

Tabela 8.2.8.1 Vrednosti impulsnog odziva sistema za prenos | ( )|h kT

a) Ispitati mogućnost prenosa M-arnih signala u ovom sistemu (M = 2, 4, 8 i 16; kriterijum je otvor oka).

b) Ako se ispred odlučivača postavi ekvalizator sa slike (Slika 8.2.8.1) koji je podešen tako da minimizuje vršnu ISI pri brzini signaliziranja vs = 1200 Bd, ponoviti zadatak pod a).

c) Kolika je maksimalna brzina prenosa informacija bez, odnosno sa ekvalizatorom?

Slika 8.2.8.1 Ekvalizator

Rešenje:

a)

.|)(||)0(|

)1(

|)0(|

|)(|)1(

00max ∑∑

≠≠

−=−=kk

kThh

M

dh

kThdMI

Prenos je moguć ako je dijagram oka otvoren, tj. za Imax < 1.


vs M = 2 M = 4 M = 8 M = 16

600 Bd 0,12 0,36 0,84 1,8

1200 Bd 0,21 0,63 1,47 -

2400 Bd 1,01 3,03 - -

Tabela 8.2.8.2 Vrednosti maksimalne normalizovane ISI ispred ekvalizatora

b)

g t C h t C h t T C h t T( ) ( ) ( ) ( )= + − + −−1 0 1 2 , pa je:

g T C h T( ) ( )− = −−2 21

g T C h T C h T( ) ( ) ( )− = − + −−1 0 2

g C h C h T C h T( ) ( ) ( ) ( )0 0 21 0 1= + − + −−

g T C h T C h C h T( ) ( ) ( ) ( )= + + −−1 0 10

g T C h T C h T C h( ) ( ) ( ) ( )2 2 01 0 1= + +−

g T C h T C h T( ) ( ) ( )3 20 1= +

g T C h T( ) ( )4 21=

Za k < -2 i k > 4 je g kT( ) = 0.

Za vrednosti h kT( ) date u tabeli (Tabela 8.2.8.1) za brzinu Bd 1200=sv zadovoljene

su jednačine:

1)( =Tg i 0)2()0( == Tgg ,

jer dati ekvalizator minimizuje vršnu ISI pri toj brzini signaliziranja. Na osnovu toga je:

0719,01207,10719,0 101 −==−=− CCC ,

pa su vrednosti impulsnog odziva sistema nakon ekvalizacije:

vs k = -2 k = -1 k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4

600 Bd -0,0018 0,0255 -0,0345 1,115 -0,0345 0,0255 -0,0018

1200 Bd -0,0025 0,035 0 1 0 0,035 -0,0025

2400 Bd -0,01 0,15 0,213 0,849 0,213 0,15 -0,01

Tabela 8.2.8.3 Vrednosti impulsnog odziva sistema | ( )|g kT

Nakon ekvalizacije je:

∑∑≠≠

−=−=101 0

max |)(|||

)1(

||

|)(|)1(

kk

kTgg

M

dg

kTgdMI .

vs M = 2 M = 4 M = 8 M = 16

600 Bd 0,11 0,33 0,77 1,65

1200 Bd 0,075 0,225 0,525 1,125

2400 Bd 0,879 2,636 - -

Tabela 8.2.8.4 Vrednosti maksimalne normalizovane ISI iza T-filtra


c) Na osnovu tabele (Tabela 8.2.8.2 ) određuje se maksimalni digitalni protok koji je moguće ostvariti bez ekvalizacije. Ovaj digitalni protok postiže se upotrebom kvaternarnog alfabeta pri brzini signaliziranja od 1200 Bd i iznosi:

sb 24004ld1200 =⋅=dv .

Na osnovu tabele (Tabela 8.2.8.4) određuje se maksimalni digitalni protok nakon ekvalizacije. Sada je omogućen prenos oktalnih simbola brzinom 1200 Bd, pa je:

sb 24004ld1200 =⋅=dv .

8.2.9 Signal podataka sa vrednostima jednakoverovatnih simbola 3U, U, -U i -3U, prenosi se kroz kanal bez šuma sa slike (Slika 8.2.9.1) gde dolazi do pojave ISI:

0,8

-0,4

PREDAJNIK PRIJEMNIK

T

x t( ) y t( )

Slika 8.2.9.1 Sistem za prenos signala podataka

a) Koje sve vrednosti može da ima signal na ulazu u prijemnik?

b) Kolika je verovatnoća greške i za koje sve pragove odlučivanja to važi?

c) Ako se ispred prijemnika postavi ekvalizator sa jednim kolom za kašnjenje i dva pojačavača (pretpostaviti da je koeficijent prvog pojačavača 1), za koje vrednosti pojačanja se postiže tačan prenos?

Rešenje:

x t a t nTnn

( ) ( )= −=−∞

∞

∑ δ , y t x t x t T( ) , ( ) , ( )= − −0 8 0 4 , y a a( ) , ,0 0 8 0 40 1= − .

Slika 8.2.9.2 Uticaj kanala na prenos kvaternarnog signala podataka


Signal na ulazu u prijemnik ima vrednosti iz skupa { , ; , ; ; , ; , }± ± ± ± ±0 4 1 2 2 2 8 3 6U U U U U .

a)

a0 3U 3U 3U 3U U U U U −U −U −U −U −3U −3U −3U −3U

a1 −3U −U U 3U −3U −U U 3U −3U −U U 3U −3U −U U 3U

y U( ) /0 3,6 2,8 2 1,2 2 1,2 0,4 -0,4 0,4 -0,4 -1,2 -2 -1,2 -2 -2,8 -3,6

Tabela 8.2.9.1 Vrednosti odmerka signala na izlazu kanala

U izrazu za y( )0 član −0 4 1, a predstavlja ISI. Kada ne bi bilo ISI na ulazu u prijemnik bi bio signal 0 8 3 3 2 4 0 8 0 8 2 4, { ; ; ; } { , ; , ; , ; , }⋅ − − = − −U U U U U U U U , a pragovi odlučivanja bi bili 0 8 2 0 2 1 6 0 1 6, { ; ; } { , ; ; , }⋅ − = −U U U U .

b) Normalizovana ISI je Ia

U

a

U= =0 4

0 80 51 1,

,, , pa je verovatnoća greške na prijemu

P P U P U P U P U P U P U P U P UE e e e e= + + − − + − −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 ;

P U P a Ue ( ) ( , / ) /± = > =3 0 5 1 1 41 ,

P U P a Ue ( ) (| , | / ) /± = > =0 5 1 1 21 .

Pošto su simboli na ulazu jednako verovatni, verovatnoća greške će konačno biti

PE = 3

8.

Interesantno je zapaziti da se ista verovatnoća greške dobija za sve vrednosti pragova odlučivanja koje su naznačene na slici (Slika 8.2.9.2), što je posledica pretpostavke da se koristi kanal bez šuma.

c) Uz pretpostavku da je prvi koeficijent T-filtra na slici (Slika 8.2.9.3) jednak 1 može se pisati:

s t y t Cy t T( ) ( ) ( )= + − ,

s a a Ca Ca( ) , , , ,0 0 8 0 4 0 8 0 40 1 1 2= − + − ,

odakle se jasno vidi da je ISI:

i C a Ca= − −( , , ) ,0 8 0 4 0 41 2 ,

a njena normalizovana maksimalna vrednost u alfabetu sa M = 4 simbola je:

( ) ( )IM U C C

UC Cmax

( ) | , , | | , |

,, | , , | | , |=

− − += − +

1 0 8 0 4 0 4

0 83 75 0 8 0 4 0 4 .

Potrebno je tražiti rešenje nejednakosti Imax < 1 u tri posebna slučaja:

1)4,04,08,0(75,30) max <−+−=⇒≤ CCICi

Rešenje poslednje nejednakosti je C > 0,11, što je protivrečno sa 0<C .

Slika 8.2.9.3 Ekvalizator


1)4,04,08,0(75,35,00) max <++−=⇒<< CCICii

Rešenje nejednakosti je 0,33 < C < 0,5;

1)4,04,08,0(75,35,0) max <+−=⇒≥ CCICiii

Rešenje ove nejednakosti je 0,5 < C < 0,556.

Dakle, za vrednosti pojačanja C ∈ ( / ; / )1 3 5 9 T-filtar sa slike (Slika 8.2.9.3) eliminiše uticaj ISI nastale u kanalu sa slike (Slika 8.2.9.2) pri čemu se minimalna vrednost vršne ISI postiže za C = 0,5.

8.2.10 Na ulaz prijemnika sa slike (Slika 8.2.10.1) dolazi signal oblika )(tsi gde su simboli am

iz alfabeta { }−d d, , a elementarni impuls je h t( ) .

,)()( ∑∞

−∞=−=

mimi mTthats

⎩⎨⎧ <<−

=.drugde0

,01)(

Ttthi

Na ulaz prijemnika je i beli Gausov šum n t( ) , spektralne gustine snage p Nn = 0 2.

Odlučivač odlučuje o simbolu ak na osnovu odbirka sa izlaza integratora u trenutku t k Tk = +( ) .1 Pražnjenje integratora vrši se uvek neposredno posle uzimanja odbirka, u trenutku tk + ε, ( 0→ε i 0>ε ).

a) Nacrtati odsečak signala )(tsi i )(0 ts za sekvencu simbola dddaaa −=210 .

b) Odrediti izraz za verovatnoću greške na prijemu.

c) Za HzW 102 60

−⋅=N i sbit 10000=dv , odrediti d tako da verovatnoća greške

bude .10 4−=EP

Slika 8.2.10.1 Prijemnik digitalnih signala

Rešenje:

a)

Slika 8.2.10.2 Oblik elementarnog impulsa

Za napone na ulazu )(tsi i izlazu )(tso integratora važi


∫∞−

−=⇒−=t

iooi ds

RCts

dt

tdsC

R

ts ττ )(1

)()()(

.

U signalu na ulazu integratora prisutan je i šum.

Kondenzator se prazni na početku svakog signalizacionog intervala, a odluka se donosi na osnovu vrednosti odbirka na kraju digitskog intervala:

00

00

0 )(1

)()( nRC

Tadn

RCdh

RC

aTs

TT

io ++=−−= ∫∫ ττττ .

Slika 8.2.10.3 Signali s t s t i s ti( ), ( ) ( )0 za 0 < t < 3T

Zbog pražnjenja integratora posle svakog uzimanja odbirka, a pre početka integracije ulaznog signala, neće biti zaostalog napona na kondenzatoru. Kako je trajanje odziva h t( ) ograničeno na T, prethodni simbol neće uticati na sledeći – u ovom sistemu nema ISI

no je slučajna promenljiva nastala propuštanjem belog šuma kroz integrator u intervalu vremena t T∈ ( , ]0 ,

{ } { } .0)(1

)(1

000

0 ==−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧−= ∫∫ ndnE

RCdn

RCEnE

TT

ττττ

b) Pošto je { }a d0 ∈ ± , odbirak korisnog signala na izlazu integratora može imati

vrednosti ± Td

RC. Prag odlučivanja se zato postavlja na nulu.


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ >=

0

/0

nE

RCTdQ

RC

TdnPP

σ.

Integrator nije idealni NF filtar i propusni opseg nije konačan pa se varijansa slučajne promenljive n0 izračunava na sledeći način:

( ){ }∫ ∫∫ =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

T TT

n ddtntnERC

dttnRC

Enn0 0

2

2

0

2

020

2 )()(1

)(1

0ττσ .

Podintegralna funkcija predstavlja autokorelaciju belog šuma, tj:


{ } { } )(2

)()()()()( 0 τδτττττ −=−=−+= tN

tRtnnEntnE n .

Autokorelacija šuma je delta impuls jer je spektralna gustina snage const.2

0 =N

pa je

onda:

.2

,)(2)(2

)(2)(

1 002

0

02

0

0 0

02

20 RC

TN

RC

TNd

RC

Ndtdt

N

RCn

TT T

n ===−= ∫∫ ∫ στττδσ

Sada je verovatnoća greške data sa:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

2

22 000 dE

vN

dQ

NT

TdQ

RC

TNRC

Td

QP .

c) Polovina rastojanja između susednih simbola d lako se određuje iz:

dd

E vN

dvN

dQP

27,3

2)7,3()7,3(10 0

0

224 =⇒=⇒== − ,

V. 37,0=d

Ako su simboli na ulazu u prijemnik sa slike (Slika 8.2.10.1) razmaknuti za više od V 74,037,02 =⋅ verovatnoća greške biće manja od 10-4.

Na kraju treba spomenuti da je razmatrani prijemnik praktična realizacija korelatora.


V E Ž B A 4

PRENOS KROZ FREKVENCIJSKI OGRANIČENE KANALE


P1) Dijagram oka

P1.1 Prikazati dijagrame oka za za NRZ, AMI i Mančester prenosne formate.

P2) Intersimbolska interferencija

P2.1. NRZ pravougaoni impuls ima konačno trajanje u vremenu. Kako se to odražava na njegov frekvencijski opseg? Da li ovakav impuls omogućuje prenos bez ISI (odnosno da li zadovoljava I Nikvistov kriterijum)?

II ZADATAK VEŽBE

KARAKTERISTIKE (MODEL) KANALA

Da bismo mogli posmatrati uticaj komunikacionog kanala na prenošene signale potrebno je definisati njegove karakteristike, odnosno usvojiti odgovarajući model. U okviru predmeta Digitalne telekomunikacije razmatra se dejstvo šuma i konačnog propusnog opsega kanala, tako da se kanal modeluje filtrom propusnikom niskih učestanosti, na čijem izlazu se signalu dodaje aditivni (najčešće beli Gausov) šum (slika 4.1). šum

ulazna sekvenca izlazna sekvenca

KANAL

Slika 4.1. Model kanala

MATLAB funkcija (CST) koja simulira odziv kanala naziva se channel i poziva se sa sledećim argumentima: >> channel(input,gain,noise_power,bandwith)

1) Uticaj komunikacionog kanala na prenos signala (CST)

1.1. Kreiraj slučajnu binarnu sekvencu dužine 10 bita i generiši talasni oblik signala koristeći polarni NRZ linijski kod. Smatrati da je = 1 kb/s. bR >> b=binary(10); >> x=wave_gen(b,’polar_nrz’,1000);

158 VEŽBA 4

Odrediti potreban frekvencijski opseg za prenos signala x, ako se smatra da je širina njegovog spektra određena prvom spektralnom nulom:

TB = Hz

1.2. Smatrajući da je prenosna karakteristika kanala u osnovnom opsegu učestanosti jednaka jedinici, da je prisutan beli aditivan gausov šum (AWGN) snage 10 W i da je kanal propusnog opsega 4.9 kHz, propustiti signal x kroz dati kanal i prikazati talasne oblike ulaznog (x) i izlaznog signala (y).

2−

>> y=channel(x,1,0.01,4900); >> subplot(211), waveplot(x) >> subolot (212),waveplot(y)

1.3. Odrediti poslatu sekvencu na osnovu izlaza (y) iz kanala:

=b

1.4. Uporediti dobijenu procenu sa originalnom sekvencom.

2) Efekti konačnog propusnog opsega kanala na talasni oblik prenesenog signala.

2.1. Izobličenja posmatrana u prethodnom zadatku posledica su prisustva šuma i konačnog propusnog opsega kanala. Izobličenja nastala kao posledica konačnog propusnog opsega mogu se posmatrati izdvojeno ako se snaga šuma postavi na nulu..

>> clf >> b=binary(10); >> x=wave_gen(b, ’polar_nrz’,1000) >> subplot(211), waveplot(x) >> subplot(212), waveplot(channel(x,1,0,4900)

2.2. Istražiti efekte promene propusnog opsega na talasni oblik prenesenog signala.

>> subplot(212), waveplot(channel(x,1,0,bw))

gde bw∈⎨3000, 2000, 1000, 500⎬. Posmatraj kašnjenje talasnog oblika na izlazu kao posledicu filtriranja u kanalu. Nacrtaj talasni oblik ulaza i izlaza.


Grafik 4.1.

3) Dijagram oka

Efekti usled filtriranja u kanalu i šuma mogu najbolje biti uočeni posmatranjem talasnog oblika signala na izlazu u obliku “dijagrama oka”. Bitni parametri za dijagram oka prikazani su na slici 4.2.

Slika 4.2.

A - vremenski interval tokom koga je potrebno izvršiti odabiranje; B - margina šuma; C - varijacija preseka sa nulom (džiter); D - nagib: osetljivost na izbor trenutka odmeravanja; E - maksimalno izobličenje usled ISI-a i šuma u kanalu;

160 VEŽBA 4

t∗ - najpogodniji trenutak odabiranja. Ako je perioda binarnog signala Tb tada će digitalni signal pri odlučivanju biti odabran u trenucima t∗, t∗+ , t

bT∗+ 2 ,..., gde je perioda signaliziranja. bT bT

3.1. Generisanje dijagrama oka

>> b=[ 1 0 0 1 0 1 1 0]; >> x=wave_gen(b, ’polar_nrz’,1000); >> clf >> subplot(221),waveplot(x) >> subplot(223), eye_diag(x) Dijagram oka za talasni oblik signala x pokazuje šta treba očekivati za jedan neizobličen signal. Da bi se posmatralo generisanje dijagrama oka i da bi se uočilo izobličenje signala potrebno je signal x propustiti kroz kanal sa konačnim propusnim opsegom i nultom snagom šuma:

>> y=channel(x,1,0,4000); >> subplot(222),waveplot(y) >> subplot(224), eye_diag(y,-1) Ako je drugi argument u funkciji eye_diag negativan, prikaz dijagrama oka ide korak po korak, što doprinosi lakšem razumevanju načina generisanja dijagrama oka. Da bi se okončala pauza između pojedinih koraka potrebno je pritisnuti tipku <enter> na tastaturi.

3.2. Generiši dijagram oka za polarni NRZ signal i kanal sa propusnim opsegom bw, u kome deluje šum varijanse s2, za svaku kombinaciju s2 i bw iz tabele 4.1. Na osnovu dobijenih dijagrama oka odrediti vrednosti za t∗, A, B i uneti ih u tabelu 4.1.

>> clf >> b=binary(100); >> x=wave_gen(x, ’polar_nrz’,1000); >> eye_diag(channel(x,1,s2,bw))

Polarni NRZ kod

s2 [w] bw [Hz] t∗ B A 3000

0.01 2000 1000

0.02 0.08 4000 0.1

Tabela 4.1.


3.3. Ponoviti postupak iz zadatka 3.2. za Mančester kod i dobijene rezultate zabeležiti u tabelu 4.2

mančester kod

s2 [w] bw [Hz] t∗ B A 3000

0.01 2000 1000

0.02 0.08 4000 0.1

Tabela 4.2.

Pitanje 4.1. Ako se porede dijagrami oka iz zadataka 3.2. i 3.3. za s2=0.01 W i bw=1000Hz, koji linijski kod ima povoljniji dijagram oka? Objasni razliku na osnovu relevantnih osobina linijskih kodova.

3.4. Za polarni i unipolarni RZ, kao i za unipolarni NRZ linijski kod, generiši dijagram oka na način prikazan u zadatku 3.2. Posmatraj kako linijski kod određuje oblik i simetriju dijagrama oka.

4) Intersimbolska interferencija (ISI)

4.1. Pokrenuti SIMULINIK TUTORIAL>PulseShape>Raised-Cosine. a. Za koje vrednosti faktora zaobljenja postižemo prenos bez ISI? Kako je ovo

moguće uočiti na elementarnom impulsnom odzivu? b. Da li prethodna konstatacija važi i ako se posmatra koren iz podignutog kosinusa

(Root-RC)? c. Kako faktor zaobljenja utiče na frekvencijski opseg, odnosno kako se to

manifestuje u vremenskom domenu?

4.2. Ako se kroz frekvencijski ograničene kanale bez šuma prenose binarni polarni signal, na signalnoj konstalaciji ilustrovati efekte intersimbolske interferencije. Odmerci impulsnih odziva posmatranih kanala jesu:

Kanal 1:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

±=±=−

=

=

inače021,0125,0

01

nnn

hn

Kanal 2:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

±=−±=

=

=

inače022,015,0

01

nnn

hn

4.3. Prenos binarnog digitalnog signala potrebno je ostvariti kroz telefonski (tf) kanal sa protokom }.4800,2400,1200,600{ b/s∈dv Slabljenje tf kanala na granici propusnog opsega iznosi Ac a grupno kašnjenje je tg. Za elementarni impuls je moguće odabrati

162 VEŽBA 4

jedan od 4 ponuđena talasna oblika: pravougaoni impuls, polukosinus, podignuti kosinus i sinc(x). Na osnovu simulacionog modela i tabele 4.3. za svaki talasni oblik potrebno je utvrditi maksimalnu vrednost ISI za različite brzine prenosa i različite parametre telefonskog kanala.

ISImax [%] Ac [dB]

vd [b/s] 3 6 25

tg = 0 ms 600 tg = 3 ms 1200 2400 4800

Tabela 4.3.

a. Koji elementarni impuls daje najmanju ISI pri prenosu kroz tf kanal? Zašto? b. Šta se dešava sa ISI kada se povećava digitalni protok? Zašto? c. Objasniti uticaj faznih izobličenja )0( ≠gt na ISI.

5) Ekvalizacija

5.1. Neka se za digitalni prenos kroz tf kanal koristi elementarni impuls sinc(x), kao u zadatku 4.3. Utvrditi koliko smanjenje ISI omogućuje primena transferzalnog filtra sa 3, odnosno 5 koeficijenata. Koliko kašnjenje unosi ekvalizator?

5.2. Ukoliko je elementani impuls izobličen usled uticaja kanala tako da se može izraziti relacijom

2)/2(11)(

Tttx

+=

gde je T trajanje signalizacionog intervala, odrediti koeficijente ekvalizatora sa 5 koeficijenata ako se koristi algoritam:

a. za forsiranje nula u impulsnom odzivu; b. za minimizaciju srednje kvadratne greške.

5.3. Implementirati adaptivni LMS ekvalizator koji koristi stohastički gradijentni algotiram.

5.4. Primer nelinearne ekvalizacije: DFE (Decision-Feedback Equalizer) algoritam.


V E Ž B A 5

UTICAJ ŠUMA NA PRENOS SIGNALA


P1) Prilagođeni filtar

P1.1. Prilagođeni iltar treba da omogući detekciju pravougaonih impulsa

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=

b

b

T/Tt

rect)t(r2

, gde je =1 ms. bT

2/bT− 2/bT

Slika 5.1.

a. Odredi impulsni odziv prilagođenog filtra. b. Odredi odziv prilagođenog filtra na pravougaoni impuls r(t). c. Ponovi tačke a i b za trougaoni impuls trajanja 10 ms.

P2) Verovatnoća greške pri optimalnoj detekciji

P2.1. Odrediti izraz za verovatnoću greške u slučaju detekcije binarnog antipodalnog signala pomoću prilagođenog filtra.

P2.2. Neka je Y(t)=X(t)+n(t), talasni oblik na izlazu iz kanala. X(t) je polarni NRZ signal sa jediničnom amplitudom i binarnim protokom =1kb/s. Šum n(t) je beli Gausov sa PSD funkcijom:

bR

W/Hz. 40 105.02/)( −⋅== NfSn

Ako signal Y(t) primamo prijemnikom sa prilagođenim filtrom:

a. Odredi RMS vrednost (koren iz srednje kvadratne vrednosti, u našem slučaju 2σ ) šuma n(t) i maksimalnu amplitudu signala na izlazu prilagođenog filtra.

b. Odrediti srednju energiju ( ) signala X(t) u bitskoj periodi . bE bT

c. Odrediti verovatnoću bitske greške )NE

(QP be

0

2= .

P2.3. Kada se za prenos koristi Mančester kod, kolika je verovatnoća greške? Obrazložiti.

164 VEŽBA 5

P2.4. Potrebno je uporediti unipolarni NRZ i Mančester signalizacione formate, u slučaju

kada je SGSŠ 2

)( 0fS =N :

a. Odrediti energiju po bitskom intervalu Eb u funkciji od amplitude signala i trajanja jednog bita Tb;

b. Ako se detekcija obavlja prilagođenim filtrom odrediti verovatnoću greške Pe u funkciji Eb i N0. Skicirati verovatnoću greške, Pe, za ].10;1,0[/ 0 ∈NEb

P2.5. Utvrditi verovatnoću greške bita za AMI tehniku, na osnovu sledećih koraka: a. Koja su tri osnovna talasna oblika? b. Za svaki od talasnih oblika, odrediti signale na izlazu prijemnog prilagođenog

filtara, čiji je odziv ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

sTtrectte )( .

c. Odrediti i nacrtati na istom dijagramu tri gustine verovatnoća za signale na ulazu odlučivača, ako se signal prenosi kroz AWGN kanal.

d. Ako su pragovi odlučivanja LE± izraziti verovatnoću greške (bez računanja dobijenih integrala).

P3) Suboptimalna detekcija

P3.1. Da li je za određene prenosne medijume moguće izostaviti prilagođeni filtar? Obrazložiti.

P3.2. Ako je Y(t) iz zadatka P2.2. propušten kroz RC-filtar sa prenosnom karakteristikom:

fRCj)f(H rc π21

1+

=

gde je RC=1/(2000π), odrediti: a. maksimalnu amplitudu signala i rms vrednost šuma na izlazu iz filtra; b. verovatnoću bitske greške ako je X(t) detektovan prijemnikom sa RC-filtrom.

P4) Združena optimizacija prijemnog filtra

P4.1. U kakvom su odnosu prilagođeni filtar i filtar koji sa cilj ima zadovoljenje I Nikvistovog kriterijuma?

P4.2. Za koje oblike elementarnog impulsa nemamo ISI u slučaju kada prijemnik koristi prilagođeni filtar.

II ZADATAK VEŽBE

1) Uticaj šuma u kanalu na talasni oblik i konstelaciju prenošenog signala.

1.1. Za propusni opseg kanala od 4.9 kHz, postepeno povećavati snagu šuma u kanalu i posmatrati šta se dešava sa signalom na izlazu,

>> subplot(212), waveplot(channel(x,1,sigma,4900))

gde sigma∈⎨0.1, 0.5, 1, 2, 5⎬. Na kom nivou snage šuma više nije moguće razlikovati izlaz iz kanala i šuma?


1.2. Efekat povećanja snage šuma moguće je posmatrati preko spektralne gustine snage šuma (PSD) izlaza iz kanala.

>> b=binary(1000) >> x=wave_gen(b, ’polar_nrz’,,1000); >> clf, subplot(121), psd(channel(x,1,0.01,4900)); >> axis(a), hold on; >> psd(channel(x,1,1,4900)); >> psd(channel(x,1,5,4900))

Pitanje 5.1. Za aditivan šum koji je nekorelisan sa signalom na ulazu komunikacionog kanala, odrediti vezu izraz koji opisuje PSD funkciju izlaznog signala u zavisnosti od PSD funkcije ulaznog signala i šuma u kanalu.

1.3. Ako komunikacioni sistem za prenos koristi binarne ortogonalne signale, prikazati dejstvo šuma na signalnu konstelaciju (Monte-Carlo simulacija, CCS).

2) Karakteristike prilagođenih filtara

2.1. Generiši pravougaoni impuls jedinične amplitude i trajanja 1 ms.

>> r=wave_gen(1,’polar_nrz’,1000);

a. Prikaži r i impulsni odziv prilagođenog filtra zasnovanog na r, odnosno impulsni odziv za polarni NRZ signal.

>> subplot(311), waveplot(r) >> subplot(312), match(’polar_nrz’)

b. Posmatraj izlaz prilagođenog filtra ako mu je na ulaz doveden signal r.

>> rm=match(‘polar_nrz’,r); >> subplot(313), waveplot(rm) Odredi vreme kada izlaz iz filtra dostiže svoj maksimum. Kako je to vreme povezano sa talasnim oblikom r ?

Pitanje 5.2. Da li je moguće odrediti maksimalnu vrednost amplitude na izlazu prilagođenog filtra direktno sa grafika iz zadatka 2.1?

2.2. Ponoviti korake iz zadatka 2.1. za trougaoni impuls jedinične amplitude i trajanja 10 ms. >> r=wave_gen(1,’triangle’,100); >> clf;subplot(311),waveplot(r) >> subplot(312),match(’triangle’) >> rm=match(’triangle’,r) >> subplot(313),waveplot(rm)

Pitanje 5.3. Ako se širina trougaonog impulsa iz zadatka 2.2. promeni na 1 ms, odrediti maksimalnu amplitudu na izlazu iz prilagođenog filtra.

166 VEŽBA 5

2.3. Ponoviti korake iz zadatka 2.1. za Mančester kod sa jediničnom amplitudom elementarnog impulsa i trajanjem od 10 ms. Predvideti impulsni odziv prilagođenog filtra kao i izlaz iz datog filtra. Proveriti pretpostavku korišćenjem MATLAB-a.

2.4. Generiši polarni NRZ talasni oblik binarne sekvence [1 0 0 1 0], binarnog protoka =1kb/s i jedinične amplitude impulsa. bR

>> x5=wave_gen([1 0 0 1 0],’polar_nrz’,1000); >> clf, subplot(211), waveplot(x5)

a. Prikazati talasni oblik signala x5 na grafiku 5.1. koristeći amplitudnu skalu sa

leve strane grafika.

Grafik 5.1.

b. Propusti signal x5 kroz prilagođeni filtar. Zabeleži rezultate na grafiku 4.1

koristeći amplitudsku skalu datu na desnoj strani grafika.

>> subplot(212), waveplot(match(’polar_nrz’,x5))

Pitanje 5.4. Skicirati talasni oblik na izlazu prilagođenog filtra ako je na ulazu unipolarni NRZ talasni oblik binarne sekvence [1 0 0 1 0].


3) Detekcija signala

3.1. Generiši 10-bitsku binarnu sekvencu, a talasni oblik predstavi koristeći polarni NRZ linijski kod.

>> b10=binary(10); >> x10=wave_gen(b10,’polar_nrz’,1000); >> clf, subplot(211), waveplot(x10)

a. Propusti x10 kroz kanal sa propusnim opsegom 4.9 kHz i aditivnim belim

Gausovim šumom snage 2 W. Prikazati talasni oblik na izlazu iz kanala y10:

>> y10=channel(x10,1,2,4900); >> subplot(212), waveplot(y10)

b. Dekoduj binarnu sekvencu na osnovu izlaza iz kanala (y10): =10b

c. Propusti signal y10 kroz prilagođeni filtar. Prikaži talasni oblik z10 na izlazu

iz filtra:

>> z10=match(‘polar_nrz’,y10); >> subplot(212), waveplot(z10)

d. Odabiraj izlaz iz prilagođenog filtra u trenucima , gde je k=1,...,10 pri tom

primenjujući sledeće pravilo odlučivanja: bkT

⎩⎨⎧

>≤

=;)kT(z,;)kT(z,

bb

bk 010 je ako 1

010 je ako 0

gde je kb procenjena vrednost binarne sekvence b10. Primeni dato pravilo na signal z10 i proceni signal: =10b Uporedi datu procenu sa originalnom sekvencom b10: b10=

Pitanje 5.5. Da li je lakše izvršiti detekciju poslate binarnu sekvencu na izlazu iz kanala (signal y10 iz zadatka 3.1.) ili na izlazu iz prilagođenog filtra (signal z10)? Ako se za odabiranje koriste trenutci odabiranja drugačiji nego u 3.1.d, verovatnoća bitske greške će se povećati. Zašto?

4) Prijemnik sa prilagođenim filtrom

4.1. Generiši slučajnu binarnu sekvencu b sačinjenu od 2000 bita koristeći polarni NRZ linijski kod:

>> b=binary(2000); >> x=wave_gen(b,’polar_nrz’);

a. Propusti signal x kroz kanal sa propusnim opsegom od 4.9 kHz i aditivnim

belim gausovim šumom snage 0.5 W. Neka je y signal na izlazu iz kanala:

=2

nσ

>> y=channel(x,1,0.5,4900);

168 VEŽBA 5

b. Propusti signal y kroz prilagođeni filtar. Prikaži dijagram oka signala z na izlazu iz prilagođenog filtra:

>> z=match(’polar_nrz’,y); >> clf, eye_diag(z);

c. Sa dijagrama oka odredi optimalan trenutak odabiranja kao i prag odlučivanja

detektora v_th. Trenutci odabiranja na izlazu iz prilagođenog filtra određeni su u odnosu na početak vremenske ose. Na primer, ako je period signalizacije

, a optimalan trenutak odlučivanja podešen na , tada će detektor vršiti odabiranje u trenucima , + , +2 , i tako dalje.

bT 0t

0t 0t bT 0t bTv_th= V.

0t = sec.

d. Ako su v_th i parametri detektora koji se nalazi na izlazu prilagođenog

filtra, izvršiti detekciju i dobijeni (empirijske) rezultat za verovatnoću bitske greške zabeležiti u tabelu 5.1.

0t

>> detect(z,v_th, ,b); 0t

2σ [W] Pe-empirijski Pe-teorijski 0.5 1

1.5 2

Tabela 5.1. e. Ponovi sve prethodne korake u zadatku, za snage šuma od 1, 1.5 i 2 W (bez

crtanja dijagrama oka signala z na izlazu iz prilagođenog filtra). Zabeleži utvrđenu verovatnoću greške, , u tabelu 5.1. ePNapomena: Početni trenutak odabiranja kao i vrednost praga ne zavise od snage šuma u kanalu. Zato je moguće za jedan nivo šuma odrediti optimalni trenutak početka odabiranja i prag odlučivanja i potom ih koristiti za detekciju signala na izlazu prilagođenog filtra pri različitim nivoima snage šuma u kanalu.

0t

f. Ako se ne koristi optimalan trenutak početka odabiranja, rezultujuća BER (Bit Error Rate) biće veća. Uticaj ovog parametra na proces detekcije može se posmatrati korišćenjem vremena početka odabiranja koje predstavlja 90% odnosno 50% od optimalne vrednosti koja je određena u delu zadatka pod c.

Pitanje 5.6. Izračunati teorijsku verovatnoću bitske greške za sve slučajeve iz tabele 5.1. Primeti da se PSD belog gausovog procesa može odrediti kao:

sistema opseg propusni22)(

20

×== nN

n fSσ

gde je propusni opseg za dati sistem 4,9 kHz.


5) Prijemnik sa NF filtrom

5.1. Propustiti pravougaoni impuls kroz RC filtar prvog reda sa propusnim opsegom od 1 kHz. Prikaži izlaz iz filtra i odredi amplitudski maksimum rA :

>> r=wave_gen(1,’unipolar_nrz’); r_lpf=rc(1000,r); >> subplot(211), waveplot(r) >> subplot(212), waveplot(r_lpf)

rA = V.

a. Generisati 2000 odmeraka belog Gausovog šuma sa nultom srednjom vrednosti i varijansom 0.5 W. Propusti generisanu sekvencu kroz RC filtar. Zabeleži rms vrednost signala šuma na izlazu iz filtra:

>> n=gauss(0,0.5,2000); >> meansq(rc(1000,n))

.2 Wn =σ

b. Odrediti odnos nr /A σ , gde je Ar amplitudski maksimum, a nσ je rms vrednost šuma na izlazu iz filtra.

5.2. Signal y iz zadatka 4.1.a. propusti kroz RC filtar i prikaži dijagram oka signala z_lpf na izlazu iz RC filtra.

>> y=channel(x,1,0.5,4900); >> z_lpf=rc(1000,y); >> clf, eye_diag(z_lpf);

a. Na osnovu dijagrama oka, odrediti optimalni trenutak početka odabiranja i

vrednost praga, i za određene otimalne vrednosti dekodovati binarnu sekvencu iz z_lpf.

>> detect(z_lpf,v_th, ,b); 0t

Pitanje 5.7. Uporediti BER dobijenu za prijemnik sa RC filtrom, sa BER izračunatom u zadatku 4.1.d, za prijemnik sa prilagođenim filtrom.

b. Ponoviti zadatak 5.2 za kanal sa šumom od 1, 1.5 i 2 W i zabeležiti rezultate u

tabelu 5.2.

170 VEŽBA 5

[W}

2nσ Pe

BW=1 kHz BW=0.5 kHz

0.5 1

1.5 2

Tabela 5.2.

5.3. Ponoviti zadatak za RC filtar prvog reda sa propusnim opsegom od 500 Hz i dobijene vrednosti BER zabeležiti u tabelu 5.2.

>> z_lpf=rc(500,y); >> eye_diag(z_lpf) >> detect(z_lpf,v_th, ,b); 0t

Pitanje 5.8. Objasniti zašto je BER za NF filtar sa propusnim opsegom od 500 Hz, manja od BER za NF filtar sa propusnim opsegom od 1000 Hz. Da li će se BER dalje smanjivati ako se koristi NF filtar od 100Hz?

6) Realizacija prilagođenog filtara

Kolo na slici 5.2. predstavlja praktičnu realizaciju prilagođenog filtra. Prekidač S1 na slici zatvara se periodično zbog pražnjenja kapacitativnosti C. Ako je RC konstanta velika, izlazni napon je srazmeran integralu ulaznog napona, pa ovo kolo obavlja operaciju integraljenja.

Slika 5.2. Praktična realizacija prilagođenog filtra.

6.1. Da bi ilustrovao operaciju integraljenja, propusti signal x5 generisan u odeljku 2.4. kroz filtar sa slike 5.2 i posmatraj ulazni i izlazni signal. >> y5=int_dump(x5); >> clf; waveplot(x5); hold on; waveplot(5*y5)

a. Ubeleži signal x5 i uvećani izlaz iz filtra 5*y5 na grafiku 5.2


Grafik 5.2.

Pitanje 5.9. Na grafiku 5.2. označiti periode punjenja i pražnjenja kondenzatora. Kada je prekidač S1 zatvoren? Da li je moguće odrediti optimalni trenutak početka odabiranja bez posmatranja dijagrama oka?

b. Ponoviti zadatak 5.2. ali umesto NF filtra koristi kolo sa slike 4.2. Uporedi

rezultujuću BER za kolo sa slike 5.2, sa vrednostima BER koje su dobijene korišćenjem prilagođenog i NF filtra.

7) Eksperimentalno određivanje verovatnoće greške bita na osnovu Monte-Carlo simulacije

7.1. Radi procene verovatnoće greške bita (BER) generisati 1000 binarnih simbola. Simboli se prenose u osnovnom opsegu brzinom Rb=1 kb/s, korišćenjem dva različita signalizaciona formata: unipolarnog NRZ i Mančester koda.

>> b = binary(1000); >> Rb = 1000; >> u = tx(b,'unipolar_nrz',Rb); >> m = tx(b,'manchester',Rb);

a. Generisati signal na izlazu kanala i proceniti prenošenu binarnu sekvencu upotrebom MATLAB funkcije rx. Komunikacioni kanal predstavlja filtar propusnik niskih učestanosti, sa širinom 19 kHz i pojačanjem u propusnom opsegu od 0 dB, u kojem deluje šum čija je snaga W.12 =nσ

>> ch _output = channel( A*ch_input, 1, 1, 19000 ); >> rx( ch_output, 'linecode', b );

b. Promenljiva A skalira elementarni impuls, utičući tako na predajnu snagu,

odnosno na energiju po bitu, Eb. Za vrednosti promenljive A koje su navedene u tabeli 5.3. odrediti odnos signal-šum i eksperimentalno (Monte-Carlo simulacija) utvrditi BER performanse.

172 VEŽBA 5

Tabela 5.3.

7.2. Na osnovu Monte-Carlo simulacije proceniti verovatnoću greške bita u zavisnosti od SNR za binarni sistem koji koristi prilagođene filtre ili korelatore.

7.3. Prikazati teoretske krive simulirane rezultate za verovatnoće greške (Monte-Carlo) ako se za prenos kroz AWGN kanal u osnovnom opsegu koriste signalizacioni formati:

a. Binarni antipodalni prenos; b. On-Off prenos; c. PAM; d. Ortogonoalni (u vremenu) talasni oblici; e. Biortogonalni prenos.

8) Združena optimizacija prijemnog filtra

8.1. Projektovati predajni, , i prijemni, , digitalni filtar tako da njihov proizvod bude jednak prenosnoj funkciji koja je poznata kao podignuti kosinus, i da istovremeno prijemni filtar bude prilagođen za predajni filtar.

)( fGT )( fGR

8.2. Projektovati predajni, , i prijemni, , digitalni filtar tako da njihov proizvod bude jednak spektru duobinarnog impulsa, i da istovremeno prijemni filtar bude prilagođen za predajni filtar.

)( fGT )( fGR


9 DIGITALNA AMPLITUDSKA MODULACIJA

9.1 UVOD

9.1.1 AM modulacija

Pripada linearnom tipu modulacije, koji vrši samo translaciju spektra digitalnog signala iz osnovnog u neki viši opseg učestanosti, pogodniji za prenos. Opšti oblik linearno modulisanog digitalnog signala je: s t u t f t u t f t( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )= +1 0 22 02π π (9.1) U zavisnosti od oblika modulišućih digitalnih signala u t , razlikuju se: u t1 2( ) ( )i

a) AM signal sa potisnutim ili nepotisnutim nosiocem:

0)(

)()(

2

1

=

−= ∑−=

tu

kTthatuN

Nkk (9.2)

)()( 11 tuutu nd += (9.3) gde je

( )u u t u td n= =1 1 0, ( ) (9.4) Ako je ud = 0, AM signal je sa potisnutim nosiocem (AM-2BO), a ako je ud ≠ 0, AM signal je sa nepotisnutim nosiocem (KAM).

b) AM signal sa jednim bočnim opsegom (AM-1BO, SSB):

∑

∑

−=

−=

−±=

−=

N

Nkk

N

Nkk

kTthatu

kTthatu

)(ˆ21)(

)(21)(

2

1

(9.5)

gde je Hilbertova transformacija signala h t ; $( )h t ( )s t u t f t u t f t( ) ( ) cos( ) $ ( ) sin( )= ±1 0 12 2 0π π (9.6)

c) AM signal sa nesimetričnim bočnim opsegom (AM-NBO, VSB):

∑

∑

−=

−=

−±=

−=

N

Nkk

N

Nkk

kTthatu

kTthatu

)(21)(

)(21)(

1

1

ββ

(9.7)

gde je h linearna transformacija signala htβ ( ) t( ) ,

)2sin()()2cos()()( 0101 tftutftuts ππβ

±= (9.8)


d) Kvadraturni AM signal (QAM):

∑

∑

−=

−=

−=

−=

N

Nkk

N

Nkk

kTthatu

kTthatu

)()(

)()(

22

11

(9.9)

gde su i simboli koji pripadaju nezavisnim sekvencama simbola. 1ka 2i ka

9.1.2 AM demodulacija

Rezultat idealne koherentne demodulacije je signal:

)(21)( 1 tutsd = (9.10)

kod svih oblika AM signala, osim kod QAM kod koga postoje dve nezavisne komponente demodulisnog signala:

)(21)(

)(21)(

22

11

tuts

tuts

d

d

=

= (9.11)

9.1.3 Ekvivalentni sistem prenosa u osnovnom opsegu učestanosti

Linearnost AM modulacije omogućava definisanje ekvivalentnog sistema prenosa funkcijom:

{ )()()()(41)( cLcLNTNReq ffHffHfHfHfH ++−= } (9.12)

gde su: ⋅ - predajni NF filtar i - prijemni NF filtar )( fH NT )( fH NR

)()()()( fHfHfHfH RCTL ⋅⋅= (9.13) ⋅ - predajni pojasni filtar, - kanal i - prijemni pojasni filtar. )( fHT )( fHC )( fHR


9.2 ZADACI

9.2.1 Slika 9.2.1.1 a) prikazuje sistem za prenos podataka pomoću ASK modulacije sa nosiocem na Hz 18000 =f . Na ulazu sistema je elementarni impuls minimalnog spektra:

⎜⎜⎝

⎛ ≤=

drugde.0

,21)(

TfTfH

Prenos se vrši binarnim signalima, digitalnim protokom b/s 2400=dv . Slika 9.2.1.1 b)

prikazuje funkciju slabljenja standardnog telefonskog kanala, a fazna karakteristika kanala jednaka je nuli. NF filtar na izlazu sistema je idealan sa graničnom učestanošću

Hz 1600=gf i jediničnom amplitudskom karakteristikom u propusnom opsegu.

a) Odrediti ekvivalentnu funkciju prenosa sistema.

b) Odrediti srednju snagu signala na izlazu sistema.

c) Odrediti a0 tako da odnos srednjih snaga signala na ulazu i izlazu sistema bude 20 dB.

d) Ukoliko se u tački 4 postavi korektor koji će eliminisati nesavršenost ekvivalentne amplitudske karakteristike sistema, odrediti maksimalni digitalni protok koji se može ostvariti bez ISI. Nacrtati karakteristiku slabljenja korektora.

Slika 9.2.1.1 a) Sistem za ASK prenos podataka b) Funkcija slabljenja tf kanala

Rešenje:

a) Karakteristike amplitudskog slabljenja i amplitudska karakteristika povezane su relacijama:

)(log20)( fAfa cc −= ili 20

)(

10)(fa

C

c

fA−

= ,

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<<<<⋅

≤≤=

=−

−

.drugde0

Hz, 34002800 i Hz 80020010

Hz, 280080010

)( 2

1

0

200

0

ffA

fA

fA

a

C

Ekvivalentna prenosna karakteristika je )(

)()(

0

4

fS

fSfH eq = .

),2cos()()( 001 tftsts π⋅=

[ ] [ ]00001 2

1

2

1)( ffSffSjfS ++−= ,


),()()( 12 fAfSfS C⋅= [ ] [ ][ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ },2)(

2

1)(2

2

1

)(

00000000

02023

ffSfSffAfSffSffA

ffSffSjfS

CC ++⋅+++−⋅−=

++−=

[ ] [ ]{ }⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤−++⋅=

⋅=

drugde.0

,||)(2

1

)()()(

000

34

gCC

NF

ffffAffAfS

fHfSfS

Na slici (Slika 9.2.1.2) za pretpostavljeni oblik spektra )(0 fS , prikazane su

spektralne gustine amplituda signala u naznačenim tačkama sistema.

2

1

20A

20A

0A

0A

Slika 9.2.1.2 Spektralne gustine amplituda signala u naznačenim tačkama sistema sa slike 9.2.1.1 a)

Ekvivalentna funkcija prenosa je:

[ ] [ ]{ }⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤++−=

drugde,0

,||2

1)( 00 gCC

eqffffAffAfH

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤<⋅

≤=

=−

−

drugde.0

Hz, 1600||Hz 100010

Hz, 1000||10

)( 2

1

0

200

0

fA

fA

fH

a

eq


Slika 9.2.1.3 a) Ekvivalentna prenosna karakteristika b) Spektar elementarnog impulsa

b) Na osnovu datih podataka: sb 2400=dv i 2=M sledi dvT 1= .

Zato je spektar signala )(0 ts do Hz 120022

1max === dv

Tf i prikazan je na slici

(Slika 9.2.1.3 b)

Snage digitalnih signala na ulazu i izlazu sistema su:

∫−

=−=T

T

ul ddffHT

dM

P21

21

2222

)(1

3

1,

∫−

⋅−=gf

gf

eqiz dffHfHT

dM

P22

2

)()(1

3

1,

∫∫ =⋅+⋅=1200

1000

20

2220

2

1000

0

220

2 204010

122TAddfTA

TddfTA

TdPiz .

c) Slabljenje 0a koje daje traženi odnos snage signala na ulazu i izlazu dobija se iz:

1002040

dB 20log1020

==⇒=A

v

P

P

P

P d

iz

ul

iz

ul ;

dB 3,19log20108,0 000 =−=⇒= AaA .

d) Maksimalni digitalni protok dobija se kada se potpuno iskoristi raspoloživi propusni opseg, a podrazumeva se da je prethodno izvršena korekcija karakteristike slabljenja kanala:

.s/b 320021

Hz 16002

1

minminmax max

===⇒=== gdg fT

vfT

f

Funkcija amplitudskog slabljenja korektora definisana je izrazom:

⎩⎨⎧

∞≤

=+drugde.

,||)()( g

keq

ffconstfafa

i prikazana je na slici (Slika 9.2.1.4).


Slika 9.2.1.4

9.2.2 Slika 9.2.2.1 prikazuje sistem za prenos M-arnog signala podataka ( )∑ −=k

k kTtTats δ)(

korišćenjem ASK. Moguće vrednosti za M = 2,4 i 8 (u pitanju je polarni alfabet). Srednja snaga signala u tački 1 u sva tri slučaja je ista i jednaka mW 069.0=sP . Predajni i

prijemni NF filtri imaju idealne amplitudske karakteristike jedinične amplitude. Prenosna karakteristika kanala je:

⎪⎩

⎪⎨

⎧ +<<−=

drugde.0

,2

1

2

11

)(00 T

ffT

ffH c

U kanalu se superponira Gausov šum jednostrane spektralne gustine srednje snage

Hz/ W102 90

−⋅=N .

a) Skicirati konstelacije modulisanih signala.

b) Uporediti verovatnoću greške i brzine signaliziranja u sva tri slučaja, ako je b/s 5000=dv .

c) Izraziti verovatnoću greške u funkciji 0NEs , gde je sE prosečna energije po

simbolu.

d) Izvesti izraz za verovatnoću bitske greške. Izraziti verovatnoću bitske greške u fukciji odnosa 0NEb , gde je bE prosečna energija koja se emituje po bitu

informacije.

e) Kolika je srednja snaga potrebna sP da verovatnoća greške po simbolu bude 510−=EP ?

Slika 9.2.2.1 Sistem za prenos ASK signala podataka

Rešenje:


a) Pošto ne postoji suštinska razlika između prenosa u osnovnom opsegu i ASK (u prvom slučaju su talasni oblici pravougaoni impulsi promenljive amplitude, a u drugom su kosinusoide promenljive amplitude), konstelacija M-arnog ASK signala izgleda isto kao i konstelacija M-arnog signala u osnovnom opsegu. Za prikaz konstelacije potrebno je odrediti amplitude talasnih oblika.

Digitalni signal na izlazu predajnog NF filtra je:

∑ −=k

k kTthats )()(1 ,

T

tT

t

th π

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=sin

)( .

Modulisani signal je:

)2cos()()( 0tfkTthatsk

km π∑ −= ,

a u toku trajanja k-tog signalizacionog intervala modulisani signal je:

)2cos()()( 0tfthats km π= .

Energija modulisanog signala u k-tom signalizacionom intervalu je:

Ta

dfTa

dttha

dttsE kT

T

kT

kT

mk 22)(

2)(

22

1

2

1

22

0

22

0

2 ==== ∫∫∫−

.

Snaga modulisanog signala u k-tom signalizacionom intervalu je:

2

2kk

ka

T

EP == ,

a srednja snaga je:

222

6

1

2d

MaPP k

ks−=== ,

odnosno važi:

1

62 −

=M

Pd s .

Simboli informacionog alfabeta se mogu u opštem slučaju izraziti kao:

1,...,3,1 ,1

62

−±±±=−

±=±= MmM

PmmdA s

m .

Vidi se da za fiksiranu vrednost snage, rastojanje između tačaka u konstalaciji opada sa porastom simbola.

Skica konstelacija za sva tri slučaja je data na slici (Slika 9.2.2.2).


sPd 2=

sPd5

2=

sPd21

2=

2=M

4=M

8=M

Slika 9.2.2.2

Iznad tačaka koje reprezentuju simbole je dato odgovarajuće mapiranje u informacione bite. Obično se koristi Grejov kod, pomoću kojeg se minimizuju bitske greške (vidi zadatak 6.2.3).

b) Beli Gausov šum koji prođe kroz pojasni filtar (kanal) je uskopojasni Gausov šum, pa je:

)2sin()()2cos()()2cos()()( 0002 tftntftntfkTthats sk

ck πππ −+−= ∑∞

−∞=,

gde su )(tnc i )(tns NF komponente u fazi i kvadraturi uskopojasnog šuma.

Posle sinhrone demodulacije (od tačke 2 do 4) dobija se signal:

∑∞

−∞=+−=

kck tnkTthats )()()(4 .

Kako je zadovoljen I NK ⇒ ISI = 0.

)()(4 mTnamTs cm += .

Pošto se ASK sistem može jednostavnim transformacijama svesti na ekvivalentan sistem u osnovnom opsegu, za verovatnoću greške za ASK važi isti izraz kao i za prenos u osnovnom opsegu:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

1

612

1

312

22224

M

P

M

M

M

P

M

MP

n

s

n

sE QQ

σσ,

jer je:

ss PP 24

= , i 22

3

1d

MPs

−= .

M

vN

T

NdfNdfjfHN d

Tf

TfCn ld

|)(| 021

21

00

0

20

20

0

==== ∫∫+

−

∞

σ ;

[ ]1

ld6)(,)(

12

20 −

⋅=−=M

M

vN

PMMQ

M

MP

d

sE ϕϕ .

Vidi se da je verovatnoća greške najmanja za binarni alfabet (jer su tada tačke u konstelaciji “najrazmaknutije”), a verovatnoća greške raste sa porastom broja simbola


u alfabetu. Sa druge strane, brzina signaliziranja (a samim tim i potrebni propusni opseg) opada sa porastom broja simbola u alfabatu, za dati digitalni protok.

M 2 4 8

EP 410−

2104.1 −⋅ 0.14

sv 5000 Bd0 2500 Bd 1250 Bd

Tabela 9.2.2.1

c) Verovatnoća greške je:

.1

612

1

612

1

312

1

312

022

0

20

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

N

E

MM

M

MN

TP

M

M

MfN

P

M

M

M

P

M

MP

ss

g

s

n

sE

QQ

QQσ

d) Pošto se koristi Grejov kod, može se smatrati da važi:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅−=≈

02 1

6

ld

12

ld N

E

MMM

M

M

PP sE

b Q ,

jer je broj informacionih bita jednak Mld .

Prosečna energija po informacionom bitu je:

M

EE s

b ld= ,

pa se dobija:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅

⋅−==

02 1

ld6

ld

12

ld N

E

M

M

MM

M

M

PP bE

b Q .

e) Za M = 2:

[ ] 510)2(2

−== ϕQPE ,

Za M = 4:

[ ] 510)4(2

34

−== ϕQPE ,

Za M = 8:

[ ] 510)8(4

78

−== ϕQPE .

Interpolacijom iz tablica dobija se:

ϕ(2) = 4,27 , ϕ(4) = 4,36 , i ϕ(8) = 4,39 ;

[ ]22

0

)(1

ld3M

M

M

vN

P

d

s ϕ=−

⋅ ,

[ ]M

MvNMP d

s ld3

)1()( 20

2 −⋅=

ϕ,

mW 091,0)2( =sP , mW 238,0)4( =sP , i mW 675,0)8( =sP .


M 2 4 8

[ ]dB)2(

)(log10

s

s

P

MP

0 4,166 8,699

Tabela 9.2.2.2 Snage signala potrebne za traženu verovatnoću greške

Za istu verovatnoću greške binarni signal zahteva najmanju srednju snagu sP ,

odnosno, za istu srednju snagu binarni signal će imati najmanju verovatnoću greške.

9.2.3 Slika 9.2.3.1 prikazuje optimalni prijemnik binarnog ASK signala, realizovan pomoću korelatora. Informacioni simboli pripadaju alfabetu }1,1{ − , a elementarni impuls je oblika:

⎩⎨⎧ ≤≤

=drugde.0

,01)(

Ttth

Skicirati odziv prijemnika u k-tom informacionom intervalu, ukoliko se prenosi simbol -1.

( )ts

( ) ( )tfth 02cos π

( ) ( )tfth 02cos π−

( )Tr1

( )Tr0

( )Tr

∫T

0

∫T

0

Slika 9.2.3.1

Rešenje:

Principska struktura optimalnog prijemnika je uvek ista, jer se korelacija vrši sa talasnim oblicima koji odgovaraju prenošenim informacionim simbolima. U slučaju prenosa u osnovnom opsegu, talasni oblici su odgovarali elementarnim impulsima pomnoženim informacionim simbolima (vidi zadatak 8.2.1). Kada su u pitanju modulacije, talasni oblici odgovaraju elementarnim impulsima pomnoženim informacionim simbolima i nosiocem.

Važi:

( )

.4

)4sin(

2

)4cos(2

1

2

1)2(cos

)2cos()()2cos()()2cos()()()(

0

0

00

000

2

000

001

f

tft

dfddf

dfhfhdfhstr

ttt

tt

ππ

ττπτττπ

ττπττπτττπττ

−−=

−−=−=

−==

∫∫∫

∫∫

Drugi član sa desne strane se može zanemariti jer je obično 14 0 >>fπ , pa se dobija:

2)(1

ttr −= .


Na sličan način je:

2)(0

ttr = .

Na kraju se dobija:

ttrtrtr −=−= )()()( 01 .

Slika 9.2.3.2 prikazuje odziv prijemnika.

( )tr

t

T−

T

Slika 9.2.3.2

9.2.4 Prenos podataka vrši se elementarnim impulsom sa spektrom )( fH oblika "podignuti kosinus":

( )⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=drugde.0

,1

2cos2

Tf

TfT

fHπ

Primenjena je amplitudska modulacija, a sistem za prenos je prikazan na slici (Slika 9.2.4.1). Kanal se ponaša kao filtar idealan propusnik opsega učestanosti. Propusni opseg kanala je od 200 Hz do 3400 Hz. Svi filtri su idealni sa propusnim opsezima koji odgovaraju propusnom opsegu kanala, i imaju jediničnu amplitudu. Šum u tački C je AWGN.

Slika 9.2.4.1 Sistem za prenos podataka ASK modulacijom

Prenos se vrši sa 8 nivoa ASK signalom sa digitalnim protokom vd = 4800 b/s. Odnos signal/šum definisan je odnosom srednje snage modulisanog signala u tački A i srednje snage šuma u tački F.

a) Odrediti širinu spektra modulisanog signala, kao i učestanost nosioca pod uslovom da kanal bude optimalno iskorišćen za prenos.

b) U tački F odrediti spektar signala i izračunati vrednost standardnog odziva )0(g .

c) Odrediti potreban odnos signal/šum da verovatnoća greške bude 410−=EP .

Rešenje:

a) Signal u tački A je ASK modulisani signal:

∑ ⋅−=⋅=k

kA tfkTthatftutu )2cos()()2cos()()( 00 ππ .


Modulišući digitalni signal ima spektar do gf , a ASK modulisani signal ima spektar

u opsegu od gff −0 do gff +0 :

Hz. 32002

,Hz 16003ld

1

2 ==

==⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=

− gBOAM

dg

d

g

fB

vf

T

Mv

Tf

.

Učestanost nosioca je na sredini propusnog opsega telefonskog kanala Hz 18000 =f .

b)

)()()()( fHfHfGfH eqF ⋅== ,

[ ] [ ]{ }00)(2

1)( ffHffHfHfH LLNFeq ++−= ,

)()()()( fHfHfHfH RCTL ⋅⋅= .

Slika 9.2.4.2 Ekvivalentna prenosna karakteristika u NF opsegu

Pošto je propusni opseg telefonskog kanala B = 3200 Hz propustio ceo spektar modulišućeg signala, signal u tački F je:

∑ +−=k

ckF tnkTtgatu )()()( ,

∫∞

∞−

= dfefGtg ftj π2)()( ,

0

/1

/1

2 12

cos)()0( gdfTf

TdffGgT

T

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ∫∫

−

∞

∞−

π.

c) Nema ISI, pa je odmerak na osnovu kojeg se odlučuje dat sa:

u mT a g n mTF m c( ) ( ) ( )= +0 , pa je:

422

0 101

412

12 −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=n

s

nE

P

MQ

M

MdgQ

M

MP

σσ,


67,234)1(2

10

4

12

41

2

2=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−

−

M

MQ

MP

n

s

σ.

dB 704,23log102

≅n

sP

σ.

Pri tome treba uočiti da je sPM

d1

42 −

= , što je posledica oblika spektra

elementarnog impulsa )( fH .

9.2.5 Telefonskim kanalom prenosi se binarni polarni signal sa simbolima iz alfabeta A = {-d, d}, čiji je standardni signal minimalnog spektra oblika:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤=

drugde.0

,2

1)( T

fTfH

Telefonski kanal se ponaša kao filtar idealni propusnik opsega učestanosti sa graničnim učestanostima: fd = 200 Hz i fg = 3400 Hz. Za prenos se koristi AM-1BO modulacija i donji bočni opseg. Sistem za prenos prikazan je na slici (Slika 9.2.4.1).

Ako se toleriše izobličenje signala koje nastaje kada se u telefonskom kanalu zbog nedovoljnog propusnog opsega izgubi najviše 40% snage modulisanog signala, odrediti maksimalni digitalni protok kojim je moguć prenos ovakvim sistemom.

Rešenje:

AM-1BO modulisani signal je oblika:

)2sin()(ˆ)2cos()()( 00 tftutftutsA ππ += , a njegova srednja snaga je:

22

1)(2

1 ⋅⋅= tuPs ,

∑∞

−∞=−=

kk kTthatu )()( ,

( )∫−

==T

T

ddfjfHT

dtu

21

21

222

2 )( ,

21 dPs = ,

∫−

⋅=⋅(⋅==g

g

f

fgeqFs fTddfjfHjfH

TdtuP 2)()

1)( 2222

2 ,

gde je Hz 3200=gf , jer je korišćena AM-1BO modulacija.

Iz uslova:

12 6,0 ss PP ≥ ,

sledi:

.s

b 10666

6,0

21 =≤= gd

f

Tv

Prva niža standardna brzina iznosi 9600 b/s.


9.2.6 Slika 9.2.6.1 a) prikazujeje ASK modulator. Na njegov ulaz dolazi binarni unipolarni signal amplitude U = 1 V i trajanja impulsa T. Slika 9.2.6.1 b) i c) prikazuju nekoherentni prijemnik i koherentni (sinhroni) prijemnik, respektivno. Učestanost nosioca je Tf 20 = .

Prag odlučivanja u odlučivaču je U. Odrediti signale u tački F na ulazu u odlučivače, ako je informacioni sadržaj periodični niz ...U 0 U 0 ... Kolika je marža za šum?

Slika 9.2.6.1 a) ASK modulator b) Nekoherentni demodulator c) Koherentni demodulator

Rešenje:

Modulišući digitalni signal je periodična povorka pravougaonih impulsa. Periodični signal može da se razvije u Furijeov red:

TTeFTtutu Ttjn

nnmm 2,)()( 0

/20

0 =⋅=−= ∑∞

−∞=

π ,

sa koeficijentima:

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=−

≠=

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅== ∫∫

−

−

.121

,0,2

0

,02

2

2sin

22

2cos

2

12)(

1 2

0

2

2

/2

0

0

0

0

knn

U

kkn

nU

n

nU

dtT

tnU

Tdtetu

TF

k

TT

T

Tntjmn

π

π

πππ

Ako se periodični modulišući signal zapiše u obliku Furijeovog reda:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= ...3cos21,0cos64,0

2

1)( t

Tt

TUtum

ππ,

onda je ASK signal u tački A dat sa:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= ...)2cos(3cos42,0)2cos(cos28,1)2cos()( 000 tft

Ttft

TtfUtsA πππππ .

Na ulazu u detektor anvelope DA signal je:

)2cos(cos28,11)( 0tftT

UtsD ππ ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= ,


tako da se na izlazu DA dobija signal:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= t

TUtsF

πcos28,11)( .

Slika 9.2.6.2 Nekoherentno demodulisani ASK digitalni signal

Marža za šum je 0,72.

U slučaju koherentne (sinhrone) demodulacije, signal na izlazu prijemnog pojasnog filtra ponovo je:

)2cos(cos28,11)( 0tftT

UtsD ππ ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= ,

ali se koherentnom demodulacijom dobija:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= t

TUtsF

πcos28,11)( .

Marža za šum je povećana na 1,28, što predstavlja prednost koherentne ASK demodulacije u pogledu verovatnoće greške, ali je demodulator složeniji.

Slika 9.2.6.3 Koherentno demodulisani ASK digitalni signal


10 DIGITALNA FAZNA MODULACIJA

10.1 UVOD

10.1.1 ΦM MODULACIJA

Digitalni fazno modulisan signal može se predstaviti kao realni deo kompleksnog signala, odnosno u obliku:

{ }⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅−== ∑−=

N

Nk

tfjk ekTthtwts 02)(Re)(Re)( πξ (10.1)

gde je: kj

k e Φ=ξ (10.2)

Faze uzimaju vrednosti iz skupa: kΦ

MiiM

,...,2,1,)1(20 =Φ+−

π (10.3)

gde je Φ početna faza koja je najčešće jednaka nuli. 0

Ako je signal h(t) oblika: )()( tAuth = (10.4)

gde je u t jedinični pravougaoni impuls trajanja T sekundi, digitalni ΦM signal naziva se PSK signal, odnosno "fazno tastovanje" i oblika je:

( )

[ ]{ } )2sin()()2cos()()()(Re)( 002 0 tftQtftPetjQtPts tfj πππ −=+= (10.5)

gde su:

k

N

Nk

k

N

Nk

kTtuAtQ

kTtuAtP

Φ−=

Φ−=

∑

∑

−=

−=

sin)()(

cos)()( (10.6)

Fazor PSK signala je:

)()(

22arctg

)()()()()( tPtQj

etQtPtjQtPts ⋅+=+= (10.7)

a njegov oblik u k-tom signalizacionom intervalu je:

consttQtPA

Aes kjk

=+=

= Φ

)()( 22 (10.8)

10.1.2 DEMODULACIJA ΦM SIGNALA

Koristi se koherentna demodulacija, koja u pogledu sinhronizacije postavlja iste zahteve kao i AM demodulacija.


Verovatnoća greške pod uticajem Gausovog šuma u kanalu približno je data izrazom:

( )4,

sin2 ≥⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= M

MAQP

n

dE σ

π (10.9)

gde je: ⋅ - amplituda ΦM signala na izlazu pojasnog limitera prijemnika, a dA

⋅ - varijansa Gausovog šuma. 2nσ

Verovatnoća greške za binarni ΦM signal (BPSK) odgovara AM signalu sa potisnutim nosiocem, odnosno prenosu u osnovnom opsegu učestanosti.

10.1.3 DIFERENCIJALNA DIGITALNA ΦM MODULACIJA I DIFERENCIJALNA KOHERENTNA DEMODULACIJA

Zahteva diferencijalno kodovanje originalne sekvence simbola na predaji koje se ostvaruje logičkom funkcijom "sabiranja po modulu 2".

{ } { }kkkk

kf

k

bbbbcbccb

⊕⊕⊕⊕=⊕=⎯→⎯

− L2101

(10.10)

Demodulisani signal u k-tom signalizacionom intervalu, posle diferencijalne koherentne

demodulacije i pri uslovu TT

m0= , ( , ,...)m = 1 2 , dat je izrazom:

kddk Ats ∆Φ= cos)( (10.11)

gde je: ⋅ T T0 - odnos širine signalizacionog intervala i periode nosioca ΦM signala, ⋅ - konstantna amplituda demodulisanog signala, Ad

⋅ ∆Φ Φ Φk k k= − −1 - razlika faza u dva susedna signalizaciona intervala.


10.2 ZADACI

10.2.1 Slika 10.2.1.1 prikazuje sistem za prenos kvadraturnog PSK signala (QPSK). Signali u t1( ) i u t2 ( ) su binarni i prikazani su na slici (Slika 10.2.1.2).

a) Pokazati da se na izlazu kola za sabiranje dobija fazno modulisani signal:

[ ]s t A f t tA ( ) cos ( )= +2 0π Φ .

b) Prikazati fazorsku predstavu (konstelaciju) modulisanog signala.

c) Nacrtati vremenski oblik devijacije faze Φ( )t .

d) Odrediti signale u tačkama E i G u idealnom slučaju: 1)( =fHc i važi f T0 1 2>> ;

T je signalizacioni interval.

Slika 10.2.1.1 Sistem za prenos QPSK signala

Slika 10.2.1.2 Modulišući signali

Rešenje:

a) Modulisani signal se dobija superpozicijom 2PSK signala (u jedan sa nosiocem u fazi i drugi sa nosiocem u kvadraturi):

[ ] .)2sin()(sin)2cos()(cos)(2cos

)2sin()(2)2cos()(2)(

000

0201

tftAtftAttfA

tftutftutsA

πππππ

⋅Φ−⋅Φ=Φ+=+=

Važi:

)(cos)(2 1 tAtu Φ= , i

).(sin)(2 2 tAtu Φ−= Amplituda fazno modulisanog signala treba da je konstantna:

constUUtutuA ===+= 2222)()(2 222

21 ,

što je zadovoljeno.


Sledi:

, 2

)()(2)(cos 11

U

tu

A

tut ==Φ

.2

)()(2)(sin 22

U

tu

A

tut −=−=Φ

Faza kvadraturnog PSK signala je:

.)(

)(arctg)(

1

2

tu

tut −=Φ

Tabela 10.2.1.1 daje vrednosti faze u zavisnosti od vrednosti modulišućeg signala.

u t1( ) u t2 ( ) cos ( )Φ t sin ( )Φ t Φ( )t

U U 2 2 − 2 2 −π 4

U -U 2 2 2 2 π 4

-U U − 2 2 − 2 2 − 3 4π

-U -U − 2 2 2 2 3 4π

Tabela 10.2.1.1 Kombinacije vrednosti modulišućih signala i odgovarajuće vrednosti faze

b) Konstelacija QPSK signala je prikazana na slici (Slika 10.2.1.3).

U

U

U−

U−

A

Slika 10.2.1.3 Konstelacija QPSK signala

Treba primetiti, što se na osnovu izgleda konstelacije lako uočava, da su 4QAM i QPSK međusobno ekvivalentne. Može se reći da je QAM generalizovani oblik modulacije sa jednom nosećom frekvencijom, čiji su specijalni slučajevi ASK i PSK modulacije. Za frekvencijsku modulaciju (FSK) ovo ne važi, jer se u ovom slučaju koristi više nosećih frekvencija (vidi zadatak 11.2.1).

c) Slika 10.2.1.4 prikazuje vremenski oblik devijacije faze.


Slika 10.2.1.4 Devijacija faze

d) Na izlazu produktnog modulatora signali su:

s t u t f t u t u t f tD ( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) sin( ) ,= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅1 0 1 2 02 2 2 2π π

s t u t f t u t f t u tF ( ) ( ) sin( ) ( ) cos( ) ( ) .= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +1 0 2 0 22 2 2 2π π

Svrha NF filtra u sinhronom prijemniku je da propusti signal u osnovnom opsegu, a da potisne signal modulisan na 2 0f , pa su signali na izlazu prijemnika:

s t u tE ( ) ( ),= 1 s t u tG ( ) ( ).= 2

10.2.2 Posmatra se 8PSK modulacija.

a) Skicirati konstelaciju 8PSK signala. Ako se tokom prenosa faza modulisanog signala promeni za |εg| ≤ π koliko će bita biti pogrešno primljeno?

b) Izvesti izraz za verovatnoću bitske greške. Izraziti verovatnoću bitske greške u fukciji odnosa 0NEb , gde je bE prosečna energija koja se emituje po bitu

informacije.

Pretpostaviti da se koristi Grejov kod.

Rešenje:

a) Slika 10.2.2.1 prikazuje 8PSK konstelaciju.

Slika 10.2.2.1 8PSK konstalacija


Za 8πε ≤ ne dolazi do greške, za 838 πεπ ≤≤ greška je na 1 bitu, a za

πεπ ≤≤83 greška može biti i na sva 3 bita (granice regiona dekodovanja su na

polovini ugaonog rastojanja između simbola u konstelaciji).

b) Istim rezonovanjem kao u zadatku 9.2.2 pod d), dobija se da je verovatnoća bitske greške približno:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≈

n

Eb

MAQ

MM

PP

σπ )sin(

2ld

2

ld.

Prosečna snaga modulisanog signala je:

2

2APs = ,

a prosečna energija je:

2

2TATPE ss == ,

pa je:

T

EA s2

= .

Snaga šuma je (pretpostavka je da je na prijemu pojasni filtar, širine propusnog opsega TB 1= ):

T

Nn

02 =σ .

Dobija se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )sin(

22

ld

2)sin(

22

ld

2

00

MN

EQ

MM

TN

TEQ

MP ss

b ππ ,

Prosečna energija po bitu je:

M

EE s

b ld= ,

pa je konačno:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅= )sin(

ldM22

ld

2

0

MN

EQ

MP b

b π .

10.2.3 Posmatra se MPSK modulacija:

a) U kakvom odnosu stoje srednje snage PSK signala za M = 4 i M = 8 pod uslovom da su verovatnoće greške jednake, i da se koristi polarni alfabet?

a) Za istu verovatnoću greške uporediti PSK i ASK sistem sa istim brojem simbola.

Pretpostaviti da se koristi elementarni impuls koji ispunjava I Nikvistov kriterijum. Pored toga, pretpostaviti da se može usvojiti aproksimacija da je:

4za,11 ≥≈−

MM

M.


Rešenje:

a) Verovatnoća greške za PSK sa M ≥ 4 simbola data je izrazom:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

ME

MAQP

PSK σπ )sin(

2

Iz uslova 84 EE PP = dobija se A A4 84 8

sin sinπ π= . Pošto je odnos signal/šum za fazno

modulisani signal ( )S NA

M

M

n

=2

22σ, sledi:

( )( ) ,41,3)8(cos4

)8(sin

)4(sin 22

2

24

28

4

8 ==== πππ

A

A

NS

NS

odnosno:

dB 33,541,3log10 448 +=⋅+= SNRSNRSNR .

b) Snaga ASK modulisanog signala je:

SASK PP2

1= ,

gde je PS snaga signala u osnovnom opsegu.

1

6

32

12

222

−=⇒

⋅−=

M

Pdd

MP ASK

ASK ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

22 )1(

612

n

ASKE

M

PQ

M

MP

ASK σ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

2sin2

n

PSKE

P

MQP

PSK σπ

.

Porede se sistemi za M ≥ 4 jer su za M = 2 binarni PSK i binarni ASK sistem potpuno ekvivalentni i imaju iste performanse.

Za 4≥M je 1/)1( ≈− MM , pa se može pisati:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−≅

222

2sin2

)1(

62

n

PSKE

n

PSKE

P

MQP

M

PQP

FSKFSK σπ

σ,

sledi:

( ) ( )PSKASK NSM

NSM

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−π2

2sin2

1

6,

( )( )

( )PSKASK NSM

MNS

3

sin1 22 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

π

,

[ ]dB sin3

1log10 2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+=

M

MSNRSNR PSKASK

π.

Za M = 4:

[ ]dB45,2log10 444 +≅⋅+= PSKPSKASK SNRSNRSNR .


Za M = 8:

[ ]dB9,407,3log10 888 +≅⋅+= PSKPSKASK SNRSNRSNR .

Za M = 16:

[ ]dB52,3log10 161616 +≅⋅+= PSKPSKASK SNRSNRSNR .

Slika 10.2.3.1 Verovatnoća greške za ASK i PSK u funkciji SNR sa parametrom M

Udvostručenje broja simbola kod ASK zahteva povećanje snage signala za oko 6 dB za istu verovatnoću greške. Za M = 2 ASK je isto što i PSK, a za M > 2 ASK zahteva za oko 5 dB veću snagu od odgovarajućeg PSK.

10.2.4 Optimalni koherentni MPSK prijemnik je prikazan na slici (Slika 10.2.4.1). Odrediti signal na izlazu iz prijemnika.

)2cos( 0tfπ

∫T

0

)2sin( 0tfπ

∫T

0

( )XYarctan)(ts φ

Y

X

Slika 10.2.4.1

Rešenje:

U k-tom signalizacionom intervalu prenošeni signal je:

).2cos()( 0 ktfAts Φ−= π

Nakon množenja sa kosinusiodom i integraljenja, dobija se:


,cos2

4

)4cos(1

2

sin

4

)4sin(

2

cos

)4sin(2

sin)4cos(

2

cos

)2sin()2cos(sin

)2cos()2cos(cos)2cos()2cos(

0

0

0

0

00

00

0

000

000

000

k

kk

Tk

TTk

T

k

T

k

T

k

AT

f

TfA

f

TfT

A

dttfA

dttfdtA

dttftfA

dttftfAdttftfAX

Φ=

−Φ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Φ=

Φ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Φ=

Φ+

+Φ=Φ−=

∫∫∫

∫

∫∫

ππ

ππ

ππ

ππ

ππππ

uz pretpostavku da je 10 >>f .

Za granu sa sinusoidom se na sličan način dobija:

.sin2

4

)4sin(

2

sin

4

)4cos(1

2

cos

)4cos(2

sin)4sin(

2

cos

)2sin()2sin(sin

)2sin()2cos(cos)2sin()2cos(

0

0

0

0

00

000

000

000

000

k

kk

TTk

Tk

T

k

T

k

T

k

AT

f

TfT

A

f

TfA

dttfdtA

dttfA

dttftfA

dttftfAdttftfAY

Φ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Φ+

−Φ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Φ+

Φ=

Φ+

+Φ=Φ−=

∫∫∫

∫

∫∫

ππ

ππ

ππ

ππ

ππππ

.

Važi:

.cos

sinarctanarctan k

k

k

X

Y Φ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΦΦ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=φ

Problem koherentnog prijemnika je to što se na prijemu mora obezbediti estimacija faze nosioca. Za to se obično koristi PLL kolo koje usložnjava realizaciju prijemnika.

10.2.5 Na ulaz u prijemnik čija je blok šema prikazana na slici (Slika 10.2.5.1) dolazi fazno modulisani signal [ ].)(2cos)( 00 ttfUts φπ += Vremenski oblik trenutne devijacije faze

φ( )t prikazan je na slici (Slika 10.2.5.2).


T

~~

~~

A

B

C

f0

f0

1

2

s t( )

Slika 10.2.5.1 Blok šema prijemnika

Pri tome je πππ kTf 242 0 += , gde je k ceo broj i 1>>k .

Slika 10.2.5.2 Trenutna devijacija faze

Pronaći signale na izlazima iz prijemnika, u tačkama A i B, i prikazati njihove vremenske oblike.

Rešenje:

Signal u tački C je:

,)()()()( 2 fTjC efSfHfSfS π−⋅=⋅=

),()()()( )(22 TtsdfefSdfefSts TtfjftjCC −=== ∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

ππ

a signali u pojedinim tačkama prijemnika su:

[ ] [ ]

{ },)]()(2cos[)]()(24cos[2

)()(2cos)(2cos)(

000

20

00001

TttTfTttTftfU

TtTtfUttfUts

−Φ−Φ++−Φ+Φ+−=

−Φ+−⋅Φ+=

πππ

ππ

[ ]

[ ] ,2

2)(sin)(cos

24)(cos

2

)()(2cos2

)(

20

20

0

20

ttU

tU

TttTfU

tsA

∆Φ−∆Φ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∆Φ=

−Φ−Φ+=

π

π

[ ] [ ]

[ ] [ ]{ },)()(2sin)()(24sin2

)()(2sin)(2cos)(

000

20

00002

TttTfTttTftfU

TtTtfUttfUts

−Φ−Φ+−−Φ+Φ+−=

−Φ+−⋅Φ+=

πππ

ππ


[ ]

[ ] .2

2)(cos)(sin

2

)()(2sin2

)(

20

0

20

ttU

TttTfU

tsB

∆Φ+∆Φ−=

−Φ−Φ+−= π

Slika 10.2.5.3 Demodulisani signal

Ovo je primer tzv. diferencijalne koherentne detekcije, gde se na prijemu ne generiše lokalni nosilac u fazi sa nosiocem u predajniku (tj. koherentna detekcija), već se za demodulaciju koristi u nosilac primljen u prethodnom signalizacionom intervalu. Obično se ovakav način detekcije kombinuje sa diferencijalnim kodovanjem na predaji (vidi zadatak 10.2.6).

10.2.6 Za prenos poruke {ak}={101011000110} koristi se diferencijalna PSK. Neka je prvi simbol diferencijalno kodovane poruke {bk} jednak 1. Za demodulaciju se koristi prijemnik sa slike (Slika 10.2.6.1). Digitalni protok je 1200 b/s. Detektor na svom izlazu daje "1" kada je signal na njegovom ulazu negativan.

a) Odrediti diferencijalno kodovanu poruku {bk} i simbole PSK signala koji odgovaraju toj poruci. Simbolu "1" odgovara faza 0, a simbolu "0" faza π.

b) Odrediti minimalnu učestanost nosioca PSK signala, tako da prijemnik ispravno radi.

c) Odrediti dekodovanu poruku ako se u 5-tom signalizacionom intervalu promenila faza nosioca za π.

Slika 10.2.6.1 Sistem za prenos DPSK signala


Rešenje:

a) Originalna poruka je:

{ }ak = 101011000110 ,

a odgovarajuća diferencijalno kodovana poruka b a bk k k= ⊕ −1 je:

{ }bk = 1001101111011.

Poruci { }bk odgovaraju sledeći simboli PSK signala:

{ }Φk = 0 00 000 0 00ππ π π .

b) Idealni PSK signal u k-tom signalizacionom intervalu ima oblik:

)2cos()( 0 kk tfAts Φ+= π ,

pa je signal na ulazu u NF filtar oblika:

s t s t A f t A f t Tk k k k( ) ( ) cos( ) cos( ( ) )⋅ = + ⋅ − +− −1 0 0 12 2π πΦ Φ .

Nakon NF filtra, na ulaz detektora dolazi signal:

( ) constTfTfA

ts kD =∆Φ+= 00

2

2,2cos2

)( ππ ,

gde je:

∆Φ Φ Φk k k= − −1.

Uslov da prijemnik ispravno radi svodi se na uslov:

.00 T

nfnTf =⇒=

Minimalna učestanost nosioca je za n = 1 i iznosi:

Hz. 12001

min0 ==T

f

c) Tada je ispunjen uslov ispravnog rada prijemnika:

s tA

D k( ) cos ,=2

2∆Φ

$ | | | |,Φk = 0 00 0 0ππ πππ π ππ

∆Φk = π π π ππ0 0 0 00 0 0 ,

{ } { }.011010001010ˆ kk aa ≅=

Diferencijalnim kodovanjem simbol ak je utisnut u razliku faza PSK signala u dva uzastopna signalizaciona intervala, čime je izbegnuta osetljivost demodulacije na promenu faze nosioca.

10.2.7 Slika 10.2.7.1 prikazuje sistem koji koristi diferencijalnu binarnu faznu modulaciju:

Slika 10.2.7.1 Sistem za prenos DPSK signala


Na ulaz kola za sabiranje po modulu 2 u tački A dolazi povorka vrlo uskih impulsa:

a0 a1 a2 a3 a4 a5

-1 -1 1 1 -1 -1

)( fH je kolo za uobličavanje impulsa. U tački C, DFSK signal se može napisati u obliku:

s t h t kT f tC kk

( ) ( ) cos( ).= − +∑ 2 0π Φ

a) Odrediti vrednosti simbola bk u tački B iza sabirača (pretpostaviti da je b-1 = -1).

b) Na osnovu oblika signala u tački C odrediti vezu između faze Φk i simbola bk.

c) Ako sistem za prenos ima idealnu amplitudsku karakteristiku i faznu karakteristiku oblika:

ϕ ( ) ,f f t= − ∆ i ako se prenos vrši brzinom vd = 2400 b/s odrediti minimalnu vrednost učestanosti nosioca f0 tako da u trenutku odabiranja signala u tački F ne dođe do ISI pod uslovom da elementarni impuls h t( ) zadovoljava sledeći kriterijum:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

±≠±=

==

.1,00

,12

,0

)2( 0

0

k

kh

kh

Tkh

Rešenje:

a) Diferencijalno kodovana poruka je:

kkk abb ⊕= −1 .

Ako operacija sabiranja po modulu 2 daje “1” kad su simboli različiti i ako se pretpostavi 11 −=−b onda je:

b0 b1 b2 b3 b4 b5

-1 -1 1 -1 -1 -1

b) Na osnovu blok dijagrama na slici 8.7., signal u tački C je:

s t b h t kT f tc kk

( ) ( ) cos( ).= −∑ 2 0π

Po uslovu zadatka taj signal je oblika:

s t h t kT f t

h t kT f t h t kT f t

c kk

kk

kk

( ) ( ) cos( )

( )cos( ) cos ( ) sin( ) sin ,

= − + =

= − ⋅ − − ⋅

∑

∑ ∑

2

2 2

0

0 0

π

π π

Φ

Φ Φ

pa se poređenjem može zaključiti da je:

{ }.,0arccostj.,cos π==ΦΦ= kkkk bb

bk -1 -1 1 -1 -1 -1

Φκ π π 0 π π π

Tabela 10.2.7.1 Kodovanje i modulacija DPSK signala

c) Funkcija prenosa sistema je:

,)1()()()()( 2 =⋅=⋅⋅= ∆− AeAfHfHfHfH tfjRCTL

π


što znači da sistem unosi kašnjenje za ∆t, pa kasni i odlučivanje:

{ }

s t t s t

s t t s t t s t

s t NF s t s t

D C

E D C

F D E

( ) ( ),

( ) ( ) ( );

( ) ( ) ( ) ,

+ =+ = + − = −= ⋅

∆∆ ∆ τ τ

{ }

[ ] [ ]

s t t NF s t s t

NF h t kT f t h t kT f t

F C C

kk

kk

( ) ( ) ( )

( ) cos ( ) cos ( ) '

+ = ⋅ −

= − + ⋅ − − − +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

∑ ∑

∆

Φ Φ

τ

π τ π τ2 20 0

.

U trenutku odlučivanja nT + ∆t je:

( ) ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Φ+−−−⋅Φ+−

=∆+

∑∑k

kk

k

F

nTfTknhnTfTknhNF

tnTs

'00 )(2cos)(2cos)(

)(

τπτπ.

U prvoj sumi od nule je različit samo član za k = n, pa je

( ) [ ]s nT t h h n k T fF n kk

( ) ( ) cos '+ = − − + −∑∆ Φ Φ0 0

1

22τ π τ

.

Oblik impulsnog odziva h t( ) poznat je u trenucima t = kT/2 pa je potrebno analizirati

prethodni izraz za vrednosti τ = mT/2:

⋅ τ = 0 nema smisla jer se gubi informacija sadržana u razlici faza;

⋅ za τ = ±T/2 u sumi ostaju dva člana - postoji ISI

⋅ τ = ±T dobija se:

[ ]s nT th

fF n n( ) cos+ = + − −∆ Φ Φ02

0 122π τ

.

Ako se za učestanost nosioca odabere minimalna vrednost:

,Hz 2400ld

11

00 ====

M

v

TTf d

konačno se dobija željeni demodulisani DPSK signal:

[ ]s nT th

F n n( ) cos .+ = − −∆ Φ Φ02

12 Dekodovanje daje originalnu (ali invertovanu) sekvencu:

k∆Φ 0 0 π π 0 0

$ak 1 1 -1 -1 1 1

Tabela 10.2.7.2 Demodulacija i dekodovanje DPSK signala

10.2.8 Na slici (Slika 10.2.8.1) prikazan je diferencijalni fazni demodulator u kome je NF filtar zamenjen integratorom (optimalni prijemnik). Na ulaz prijemnika dolazi kvaternarni fazno modulisani signal:

s t h t kT f tMk

k( ) ( ) cos( )= − ⋅ +=−∞

∞

∑ 2 0π ϕ , ⎩⎨⎧

>≤≤<

=,,00

,01)(

Ttt

Ttth

u kome promeni faze ϕ ϕk k− −1 odgovara dibit a bk k :


ϕ ϕk k− −1 ak bk

0 0 0

π 2 0 1

π 1 0

3 2π 1 1

a) Odrediti f T0 tako da s sd d1 2 i zavise samo od razlike ϕ ϕk k− −1.

b) Za f T0 1= nacrtati modulisan signal koji odgovara poruci, i popuniti tabelu:

k 0 1 2 3 4

ak 0 0 1 0 1

bk 1 0 1 1 0

ϕk

ϕ ϕk k− −1

sd1

sd 2

Slika 10.2.8.1 Demodulator DPSK signala

Napomena: .0111 === −−− baϕ

Rešenje:

a) U intervalu integraljenja kT t k T< ≤ +( )1 signal na ulazu integratora je:

,))(2cos()()2sin()(2

))(2cos()()2sin()(2)(

100

001

−

∞

−∞=

∞

−∞=

+−−⋅+−⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= ∑∑

kk

mm

nn

TtfkTthtfkTth

TtfTmTthtfnTthts

φπφπ

φπφπ

pa je u trenutku t k T= +( )1 uzimanja odbirka demodulisanog signala za odlučivanje, taj odbirak jednak:

[ ] [ ]

).2sin(

)2sin()222sin(1

)1(

10

)1(

101001

−

+

−−

−+=

−++−+−⋅=+ ∫

kk

Tk

kT

kkkkd

Tf

dtTfTftfT

Tks

φφπ

φφπφφππ


Slično se dolazi do:

[ ]s k T f Td k k2 0 11 2( ) cos( )+ = + − −π φ φ .

Za +∈= ZnnTf ,0 , demodulisani signali zavisiće samo od razlike dve uzastopne

faze.

b)

k 0 1 2 3 4

ak 0 0 1 0 1

bk 1 0 1 1 0

ϕ ϕk k− −1 π/2 0 3π/2 π/2 π

s k Td1 1[( ) ]+ 1 0 -1 1 0

s k Td 2 1[( ) ]+ 0 1 0 0 -1

ϕk π/2 π/2 0 π/2 3π/2

Slika 10.2.8.2 Diferencijalno fazno modulisani signal


11 DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA

11.1 UVOD

11.1.1 FSK modulacija

FSK modulacija našla je veoma široku primenu zbog jednostavnosti generisanja modulisanog signala i jednostavne nekoherentne demodulacije koja ne zahteva rekonstrukciju nosioca. FM modulacija (FSK) nepovoljnija je od digitalne ΦM modulacije u pogledu širine spektra i zahtevanog odnosa signal/šum, pa se zato koristi za manje brzine prenosa, kod kojih propusni opseg kanala nije kritičan.

Moguć je i koherentni prenos FSK signala, koji daje bolje rezulate od nekoherentnog. Bolji kvalitet prenosa ostvaren je složenijim koherentnim prijemnikom.

Digitalni FM signal dat je izazom:

])(22cos[)(0

00 ∫ ++=t

d dxftfAts θττππ (11.1)

gde je:

⋅ A - konstantna amplituda,

⋅ f0 - učestanost nosioca,

⋅ fd - konstanta FM modulatora,

⋅ θ0 - početna faza FM signala za t = 0,

⋅ x t( ) - modulišući digitalni signal, dat izrazom:

x t b h t kTkk N

N

( ) ( )= −=−∑

(11.2)

U slučaju da je h t( ) pravougaoni impuls jedinične amplitude, trajanja T, FSK signal u k-tom signalizacionom intervalu je oblika:

)22cos()( 0 kkdk tbftfAts θππ ++= (11.3)

Ako je:

110 2)1(2 −− ++−= kkdk TbfTkf θππθ (11.4)

tada je FSK signal sa kontinualnom promenom faze, odnosno dobijen je "mekim tastovanjem". Ukoliko uslov (11.4) nije ispunjen, FSK signal je dobijen "tvrdim tastovanjem".

11.1.2 Demodulacija FSK signala

Koriste se koherentna i nekoherentna demodulacija, odnosno detekcija.

a) Detektor sa limiterom i diskriminatorom, slika 11.a.


Slika 11.a Detektor FM signala sa limiterom i diskriminatorom

Ako je signal na ulazu u pojasni limiter oblika:

0)(,)](2cos[)()( 0 ≥+= trttftrtsuL θπ (11.5)

tada je na izlazu pojasnog filtra koji sledi iza idealnog limitera signal oblika:

)](2cos[)( 0 ttfUts LiL θπ += (11.6)

gde je:

constA

UL ==π4

(11.7)

A je vrednost na koju se limituje. Na izlazu diferencijatora D signal je:

)](2sin[)(

2

18)( 00 ttf

dt

tdfAtsiD θπθ

π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= (11.8)

Ukoliko je ispunjen uslov ,)(

2

10 dt

tdf

θπ

≥ izraz dt

tdf

)(

2

10

θπ

+ predstavlja anvelopu

koja je proporcionalna trenutnoj devijaciji učestanosti, odnosno modulišućem digitalnom signalu:

constDkTthbDdt

dDts f

N

NkkffD =−== ∑

−=,)()(

θ (11.9)

pri čemu sD(t) predstavlja signal na izlazu iz diskriminatora D.

Ispravljač ISP i NF filtar čine detektor anvelope.

b) Diferencijalni FM detektor, slika 11.b.

Slika 11.b Diferencijalni FM detektor

Pod uslovom da je f0 1 4τ = , gde je τ vremensko kašnjenje diferencijalnog detektora, demodulisani signal ima oblik:

dt

dDts fD

θτ≅)( (11.10)

c) Detektor sa dva filtra i dva detektora anvelope, slika 11.c.

Slika 11.c Nekoherentni prijemnik FM signala


Koristi se kod binarnog FSK signala sa kontinualnom promenom faze, koji zadovoljava uslov:

Tf

n

f

n ==2

2

1

1 (11.11)

gde su n1 i n2 celi pozitivni brojevi, a f1 i f2 učestanosti FSK signala koje odgovaraju prenosu logičke "0" i "1". Pored prethodnog uslova, pojasni filtri prijemnika moraju da zadovolje i sledeći uslov:

Bff >− 21 (11.12)

gde je B širina propusnog opsega filtara, a f1 i f2 predstavljaju njihove centralne učestanosti.

d) Koherentni demodulator, slika 11.d.

Slika 11.d Koherentni FM detektor

Mora da zadovolji sve uslove kao i prethodni detektor.

11.1.3 Verovatnoća greške binarne FSK

Analiziran je slučaj prenosa binarnog FSK signala u prisustvu Gausovog šuma konstantne spektralne gustine srednje snage.

U slučaju detektora sa dva filtra i dva detektora anvelope, verovatnoća greške je:

2

222

2,

2

12

nE

AeP

σρ

ρ

==−

(11.13)

U poslednjem izrazu A predstavlja konstantnu amplitudu FSK signala na ulazu u prijemnik, a σn

2 varijansu uskopojasnog Gausovog šuma.

U slučaju koherentne demodulacije, verovatnoća greške data je izrazom:

)(ρQPE = (11.14)


11.2 ZADACI

11.2.1 Posmatra se sistem za prenos u kome se koristi MFSK.

a) Prikazati vremenski izgled modulisanog signala za 2=M ako se prenosi binarna sekvenca 010011110.

b) Skicirati konstelaciju modulisanog signala za slučajeve 2=M i 3=M .

c) Skicirati spektar talasnog oblika koji odgovara simbolu modulišućeg signala.

Rešenje:

a) Kod FSK se simboli alfabeta prenose pomoću talasnih oblika čije frekvencije odgovaraju simbolima. Drugim rečima, u toku k-tog signalizacionog intervala digitalni signal je:

TktkT )1( +≤≤

)2cos()( tfAts kπ= , gde je constA = i { }Mk ffff ,..., 21∈ .

U slučaju 2FSK, važi:

0 1f

1 2f

Slika 11.2.1.1 prikazuje vremenski izgled modulisanog signala.

Slika 11.2.1.1

b) Prikaz konstelacije kod FSK signala se suštinski razlikuje od prikaza konstelacija ASK, PSK, ili QAM signala. Kod ASK, PSK i QAM modulacije, prikaz konstelacije je u opštem slučaju u ravni (dve dimenzije), pri čemu je ravan definisana frekvencijom nosioca, a simboli se u njoj prikazuju pomoću amplitude i faze talasnih oblika kojima se prenose. FSK spada u ortogonalne modulacije, a simboli se prikazuju na osama koje odgovaraju pojedinim frekvencijama. Kod FSK modulacije postoji onoliko osa (dimenzija) u konstelaciji koliko ima nosećih frekvencija, a simboli se prikazuju rastojanjem od koordinatnog početka koje odgovara amplitudi talasnog oblika (koja je za sve simbole ista). Projekcija simbola na bilo koju drugu osu je 0, stoga je FSK ortogonalna modulacija.

Slika 11.2.1.2 prikazuje konstelacije za 2=M i 3=M .


A

A 1f

2fA

A 2f

3f

A1f

2=M3=M

Slika 11.2.1.2

c) Talasni oblik koji odgovara nekom simbolu je:

Tt ≤≤0

)2cos()( tfAth mm π= .

Njegova Furijeova transformacija je:

Tmffj

m

mTmffj

m

m

Tfmfj

m

mTfmfj

m

m

m

TfmfjTfmfjTfmfj

m

TfmfjTfmfjTfmfj

m

Tfmfj

m

Tfmfj

Ttfmfj

m

Ttfmfj

m

Tftjtmfj

Tftjtmfj

Tftj

mftj

m

eff

TffAe

ff

TffA

eff

TffAe

ff

TffA

ffj

eeAe

ffj

eeAe

ffj

eA

ffj

eA

effj

Ae

ffj

A

dteAeA

dteAeA

dtetfAdtetsfH

)()(

)()(

)()()(

)()()(

)(2)(2

0

)(2

0

)(2

0

22

0

22

0

22

)(2

))(sin(

)(2

))(sin(

)(2

))(sin(

)(2

))(sin(

)(4

)(

)(4

)(

)(4

)1(

)(4

)1(

)(4)(4

22

)2cos()()(

+−−−

+−−

+−++−

−−−−

+−−

+−−

−−−

−∞

∞−

−

++

+−−

=

++

+−−

=

+−+

+−

−=

+−+

−−=

+−+

−=

+=

==

∫∫

∫∫

ππ

ππ

πππ

πππ

ππ

ππ

ππππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

π

π

ππ

ππ

π

Slika 11.2.1.3 prikazuje Furijeovu transformaciju )( fH m .

2

TA ⋅

)( fHm

fmfmf−

Slika 11.2.1.3


11.2.2 Koliko je minimalno potrebno rastojanje između nosećih frekvencija kod FSK ako se koristi:

a) nekoherentna demodulacija (Slika 11.2.2.1),

b) koherentna demodulacija (Slika 11.2.2.2).

Minimalno rastojanje se određuje iz uslova da dva talasna oblika koji predstavljaju simbole budu međusobno ortogonalni u toku jednog signalizacionog intervala T.

Odrediti potrebni propusni opseg za MFSK u oba slučaja.

)(ts

)2cos( 1tfπ)(1 Tr

)(Tr

∫T

0

( ))(max1

TriMi≤≤

2)(

)2sin( 1tfπ

∫T

0

2)(

)2cos( 2tfπ

∫T

0

2)(

)2sin( 2tfπ

∫T

0

2)(

)2cos( tfMπ

∫T

0

2)(

)2sin( tfMπ

∫T

0

2)(

)(2 Tr

)(TrM

Slika 11.2.2.1 Nekoherentni prijemnik

)(ts

)2cos( 1tfπ

)(1 Tr

)(Tr

∫T

0

)2cos( 2tfπ

)(2 Tr∫T

0

)2cos( tfMπ

)(TrM∫T

0

( ))(max1

TriMi≤≤

Slika 11.2.2.2 Koherentni prijemnik


Rešenje:

a) Uslov ortogonalnosti je:

0)2cos()2cos(0

21 =+∫T

dttftf θππ ,

gde je sa θ označena fazna razlika.

Razvojem gornjeg izraza dobijamo:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ).

)(2

1)(2cos

)(2

1)(2cos

2

sin

)(2

)(2sin

)(2

)(2sin

2

cos

)(2sin)(2sin2

sin

)(2cos)(2cos2

cos

)2sin()2cos(sin


12

12

21

21

21

21

21

21

01221

02121

021

021

021

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−+

+−+

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+

++=

−++−

−−++=

−

−=+

∫

∫

∫

∫∫

ff

Tff

ff

Tff

ff

Tff

ff

Tff

dttfftff

dttfftff

dttftf

dttftfdttftf

T

T

T

TT

ππ

ππθ

ππ

ππθ

ππθ

ππθ

ππθ

ππθθππ

Ako pretpostavimo da je 121 >>+ ff , dobijamo:

( )

( ))(2

1)(2cos

2

sin

)(2

)(2sin

2

cos)2cos()2cos(

12

12

21

21

021

ff

Tff

ff

Tffdttftf

T

−−−+

+−−

=+∫

ππθ

ππθθππ

(11.2.2.1)

Gornji izraz može biti jednak 0, samo ako je istovremeno:

( ) 0)(2sin 21 =− Tffπ , i

( ) 1)(2cos 12 =− Tffπ .

Oba uslova su zadovoljena za:

.

,2)(2

21

21

T

kff

kTff

=−

=− ππ

Minimalno rastojanje između nosioca je za 1=k :

Tff

121 =− .

Slika 11.2.2.3 prikazuje minimalno rastojanje u između talasnih oblika u frekvencijskom domenu.


f

2f1f

T

1

Slika 11.2.2.3

b) Ako je u pitanju koherentna demodulacija, tada je 0=θ . Zamenom u (11.2.2.1) se dobija:

( )0

)(2

)(2sin

2

cos)2cos()2cos(

21

21

021 =

−−=+∫ ff

Tffdttftf

T

ππθθππ ,

što je zadovoljeno za:

,2

,)(2

21

21

T

kff

kTff

=−

=− ππ

pa je minimalno rastojanje između nosioca:

Tff

2

121 =− ,

odnosno, dva puta manje nego kod nekoherentne demodulacije (Slika 11.2.2.4).

f2f1f

T21

Slika 11.2.2.4

Na osnovu dobijenih rezultata, može se izračunati širina propusnog opsega koja je potrebna za prenos MFSK signala. Za MFSK je potrebno M nosećih frekvencija. U slučaju nekoherentne demodulacije, potrebna širina propusnog opsega je:

T

MB ≈ ,

dok je u slučaju koherentne demodulacije:

T

MB

2≈ .


11.2.3 Odrediti signal na izlazu nekoherentnog prijemnika iz prethodnog zadatka. Prenošeni simbol u k-tom signalizacionom intervalu je )2cos( θπ +tfA i , gde je θ ugao koji

modeluje nekoheretnost (faznu razliku između nosioca na predaji i na prijemu).

Rešenje:

U svim granama prijemnika u kojima se primljeni signal množi sa sinusoidama i kosinusoidama učestanosti koje su različite od if , nakon integraljanja će se dobiti 0 (vidi

prethodni zadatak).

U grani u kojoj se signal množi sa sinusoidom učestantosti if , nakon integraljenja se

dobija:

.4

)4sin(

2

sin

4

)4cos(1

2

cos

)4cos(2

sin)4sin(

2

cos

)2cos()2cos(sin

)2cos()2sin(cos)2sin()2cos(

000

0

00

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

+

+=+

∫∫∫

∫

∫∫

i

i

i

i

T

i

TT

i

T

ii

T

ii

T

ii

f

TfTA

f

TfA

dttfdtAdttfA

dttftfA

dttftfAdttftfA

ππθ

ππθ

πθπθ

ππθ

ππθπθπ

Ako pretpostavimo da je 1>>if , dobija se:

θπθπ sin2

)2sin()2cos(0

ATdttftfA

T

ii =+∫ .

Za granu u kojoj se primljeni signal množi sa kosinusoidom učestantosti if , nakon

integraljenja se dobija:

.cos2

)4sin(2

sin)4cos(

2

cos

)2sin()2cos(sin


000

0

00

θ

πθπθ

ππθ

ππθπθπ

AT

dttfAdttfdtA

dttftfA

dttftfAdttftfA

T

i

T

i

T

T

ii

T

ii

T

ii

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

−=+

∫∫∫

∫

∫∫

Nakon integraljenja, dobijene vrednosti se kvadriraju i sabiraju, pa je: 222

2cos

2sin

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ATATAT

ri θθ .

11.2.4

a) Izraziti verovatnoću greške za binarnu FSK u funkciji odnosa energije emitovane po bitu bE , i SGSS belog Gausovog šuma 0N (pretpostaviti da je širina propusnog

opsega za obe demodulacije ista i jednaka TB 21= ).


b) Izraziti verovatnoću bitske greške bP u funkciji verovatnoće (simbolske) greške EP i

broja informacionih bita po simbolu Mk ld= .

Rešenje:

a) Verovatnoća greške binarne FSK zavisi od odnosa signal šum ρ :

.

2

122 00

00

2 N

E

N

TP

TN

P

BN

PP ssss

n

s =====σ

ρ

Pošto je reč o binarnoj modulaciji, važi:

bs EE = ,

pa je:

.0N

Eb=ρ

Za koherentnu demodulaciju je:

,)(0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

N

EQQP b

E ρ

Za nekoherentnu demodulaciju je:

022

2

2

1

2

1 NbE

E eeP−−

==ρ

.

b) Za izvođenje verovatnoće bitske greške se ne može koristiti rezonovanje upotrebljeno za izvođenje ovog parametra kod ASK ili PSK. Naime, kod FSK su zamene poslatog talasnog oblika za neki od preostalih 1−M jednakoverovatne (ovo važi generalno za ortogonalne modulacije).

Postoji ukupno k2 informacionih sekvenci (odnosno, simbola). Posmatrajmo jednu

fiksiranu poziciju u okviru sekvence. Postoji tačno 12 −k sekvenci na kojima je na

posmatranoj poziciji 0, i 12 −k sekvenci na kojima je na posmatranoj poziciji 1. Takođe, broj sekvenci kod kojih je na posmatranoj poziciji vrednost bita različita od

one koja je poslata je 12 −k .

Ukoliko je došlo do greške prilikom odlučivanja, broj sekvenci u koje se poslata

sekvenca može preslikati je 12 −k .

Verovatnoća da je došlo do zamene prilikom odlučivanja u sekvencu u kojoj je

posmatrani bit pogrešan je stoga 122 1 −− kk .

Verovatnoća bitske greške je:

EEk

k

b PM

MPP

1

2

12

2 1

−=

−=

−.

Granična vrednost je:

EEM

bM

PPM

MP

2

1

1

2limlim =

−=

∞→∞→.


11.2.5 Ako je najvažniji parametar sistema za prenos verovatnoća greške, koja modulacija je bolji izbor:

⋅ binarna FSK sa koherentnom demodulacijom i odnosom signal/šum dB 12=SNR ,

⋅ binarna FSK sa nekoherentnom demodulacijom i odnosom signal/šum od dB 14=SNR ?

Rešenje:

Za binarnu FSK sa koherentnom demodulacijom verovatnoća greške je:

),(ρQPE =

gde je:

4101010 6.02010 ≈===SNRSNR

ρ ,

Dobija se:

.105)4( 5−⋅≈= QPE

Za binarnu FSK sa nekoherentnom demodulacijom verovatnoća greške je:

,2

1 2

2ρ−= ePE

pri čemu je 51010 7.020 ≈==SNR

ρ ,

Dobija se:

.109.15.0 65.12 −− ⋅≈= ePE

Jasno je da je binarna FSK sa nekoherentnom demodulacijom i dB 14=SNR bolji izbor sa stanovišta verovatnoće greške.

11.2.6 Prenos binarnog ASK i FSK signala vrši se telefonskim kanalom čija funkcija prenosa ima oblik filtra idealnog propusnika opsega učestanosti sa graničnim učestanostima

Hz 300=df i Hz 3400=gf . U kanalu deluje Gausov šum ravne jednostrane spektralne

gustine snage HzW 100,3 110

−⋅=N . Spektar elementarnog impulsa modulišućeg

digitalnog signala je oblika:

⎩⎨⎧ <

=drugde.0

,21)( 0 TfH

fH

gde je T širina signalizacionog intervala. Na prijemu ASK signala konstatovano je da je verovatnoća greške prenosa PEA = −10 5.

a) Odrediti maksimalnu vrednost odnosa Bvd=η (η - spektralna efikasnost) za

prenos ASK signala, gde je B propusni opseg kanala, B = fg - fd.

b) Ako su srednje snage ASK i FSK signala jednake, odrediti verovatnoću greške u prenosu FSK signala, ako se vrši nekoherentna demodulacija.

c) Koliki je maksimalni odnos Bvd=η za prenos FSK signala?

Modulišući signal podataka je binarni polarni signal sa simbolima ak = ±1.


Rešenje:

Propusni opseg kanala je Hz 3100Hz )3003400( =−=B , a njegova centralna učestanost je:

Hz 18502

=+= Bff dc .

Slika 11.2.6.1 Spektar AM-2BO signala.

Maksimalna učestanost u spektru modulišućeg signala je:

Hz 155022

1 === B

Tfm .

AM-2BO signal ima dva puta širi spektar od odgovarajućeg signala u osnovnom opsegu. Odavde sledi da je:

sb 310021

max=== md f

Tv .

a) Maksimalni spektralna efikasnost prilikom prenosa AM signala je:

.Hz

sbit 1max ==

B

vdη

b) Verovatnoća greške ASK signala je:

,⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nAn

oEA

UQ

dgQP

σσ gde je U vrednost odbirka demodulisanog AM signala na prijemu, a σ nA efektivna vrednost napona šuma na mestu odlučivanja. Iz uslova:

PEA = −10 5

nalazi se:

.1476,1822

2

== AU

nAσ Kako je:

∫+

−

==2

2

002 ,

Bcf

Bcf

nA BNdfNσ

sledi:

.0 BNAU =

Srednja snaga AM signala je:

.2

2cos)(1

3

12

220

21

210

2222

T

dHtfdffH

Td

MP

T

T

SA =⋅⋅−= ∫−

π


Vrednost odbirka signala na prijemu je:

∫−

===T

TT

HdffHhg

21

21

00 )()0( .

Dalje je:

.mV 46,12000 ==⋅=== SAP

T

HddgBNAU

Verovatnoća greške nekoherentno detektovanog FSK signala je:

,2

1 2

2

2 nF

FU

EF eP σ−

=

gde je FU vrednost amplitude FSK signala. Elementarni FSK signal je oblika:

.)2cos()()( i )2cos()()( 21 tfthtstfthts FF ππ == Srednje snage FSK signala i ASK signala su jednake, pa sledi:

SAF PUU 2== .

Sada je:

,2

1 2nF

SAP

EF ePσ

−

=

σ σnF nA2 2= , jer je ista širina kanala, pa je verovatnoća greške FSK signala:

42 1015.12

12

−−⋅==

A

EF eP .

c) Pošto se radi o nekoherentnoj demodulaciji, važi:

TT

MB

2== , pa je

.Hz

sbit

2

1max ==B

vdη

Potrebna širina propusnog opsega za binarni nekoherentni FSK je duplo veća nego za binarni ASK sistem.


12 SPEKTRALNO EFIKASNE MODULACIJE

12.1 UVOD

12.1.1 Trelis-kodovana modulacija (TCM – Trellis-Coded Modulation)

Kod klasičnih M-arnih modulacionih postupaka, kao što su PAM, MPSK i QAM, verovatnoća greške zavisi od minimalnog (Euklidskog) rastojanja između simbola, koje je određeno srednjom snagom signala, kao i brojem i pozicijom simbola. Pri konstantnoj srednjoj snazi i pri povećanju broja simbola dolazi do smanjenja ovog minimalnog rastojanja. To znači da pri konstantnoj srednjoj snazi i konstantnoj brzini signaliziranja, dolazi do povećanja verovatnoće greške kada poraste digitalni protok, odnosno kada poraste broj simbola. Trelis-kodovana modulacija se koristi za povećanje efikasnosti prenosa digitalnih signala uskopojasnim kanalima ograničenog frekvencijskog opsega. Cilj trelis-kodovane modulacije je da se poveća minimalno rastojanje između simbola bez povećanja srednje snage signala. Trelis-kodovana modulacija predstavlja kombinaciju kodovanja i nekog od digitalnih modulacionih postupaka. Kodovanje je moguće izvesti blok ili trelis kodovima. Trelis kodovanje je izabrano zbog efiksanosti Viterbijevog algoritma dekodovanja. Trelis-kodovanje se realizuje konvolucionim koderom, koji na osnovu ulazne sekvence od k informacionih (nekodovanih) bita i sopstvenog stanja (memorije) u kojoj se nalazi 1−K prethodni bit, proizvedi kodovanih bita (tzv. kodne reči). pkn += K predstavlja dužinu memorije kodera a je broj bita redudandanse (parnosti). Kodovanje povećava broj simbola sa na . Zadržavanjem iste srednje snage, očigledno se smanjuje minimalno rastojanje između simbola kodovanog niza. Međutim, pomoću konvolucionog kodovanja se uvodi međuzavisnost između simbola, odnosno u toku signalizacionog intervala se onemogućava pojava simbola koji su na međusobno malom rastojanju. Odlučujući doprinos verovatnoći greške u ovom slučaju je od strane minimalnog (Euklidskog) rastojanja dve putanje kroz trelis, koje se pogodnim mapiranjem kodnih reči konvolucionog kodera u simbole može načiniti znatno većim nego minimalno rastojanje između simbola u nekodovanom slučaju. Konačni rezultat je smanjenje zahtevanog odnosa SNR (3-6 dB) za istu vrednost verovatnoće greške, bez povećanja širine spektra modulisanog signala. Sa druge strane, trelis-kodovanje povećava složenost realizacije predajnika i prijemnika.

pk2 pk+2


12.2 ZADACI

12.2.1 Dva nezavisna M-arna digitalna signala potrebno je preneti pomoću QAM modulacije. Elementarni impulsi su pravougaoni impulsi jedinične amplitude, trajanja T i predstavljaju impulsni odziv predajnog filtra )( fH .

a) Skicirati konstelacije u slučajevima kada je M = 2,4 i 8.

b) Koji uslov moraju da zadovolje 0f i T, da bi komponenta u fazi i komponenta u

kvadraturi bile međusobno ortogonalne u toku jedne periode?

Slika 12.2.1.1 QAM modulator

Rešenje:

a) Digitalni signali na izlazu predajnih filtara su:

∑ −=n

n nTthatd )()(1 i ∑ −=n

n nTthbtd )()(2 ,

pri čemu je elementarni impuls dat sa:

⎩⎨⎧ <≤

=drugde.0

,01)(

Ttth

Modulisani signal je:

)2sin()()2cos()()( 00 tfnTthbtfnTthatsn

nn

n ππ ∑∑ −+−= .

Slika 12.2.1.2 prikazuje izgled konstelacije modulisanog signala za slučajeve M = 2,4 i 8. Konstelacije su dvodimenzionalne, po jedna dimenzije za komponentu u fazi i kvadraturi. Konstelacije sa ovakvim rasporedom tačaka se nazivaju pravougaone. Postoje i QAM konstelacije gde su tačke drugačije raspoređene, npr. po koncetričnim kružnicama ili šestougaonim rešetkama, što se dobija pogodnim izborom amplitudskih nivoa komponenata u fazi i kvadraturi.


2=M

4=M

8=M

2=M

8=M

4=M

Slika 12.2.1.2

b) Da bi u toku jednog perioda (signalizacionog intervala) komponenta u fazi i komponenta u kvadraturi bile međusobno ortogonalne, treba da važi:

0)()()1(

21 =∫+ Tk

kT

dttdtd .

Razvojem gornjeg izraza, dobija se:

( )

).2sin()24sin(

)4cos()44cos(2

)4cos(2

)4sin(2

)2cos()2sin()2cos()2sin()()(

000

000

)1(0

)1(

0

)1(

00

)1(

00

)1(

21

TfTfkTff

ba

kTfTfkTff

ba

tff

badttfba

dttftfbadttfbtfadttdtd

kk

kk

Tk

kTkk

Tk

kTkk

Tk

kT

kk

Tk

kT

kk

Tk

kT

ππππ

ππππ

ππ

π

ππππ

+=

−+−=

−==

==

++

+++

∫

∫∫∫


Da bi uslov ortogonalnosti bio zadovoljen za svako k, mora važiti:

,

,

,22

0

0

0

T

nf

nTf

nTf

=

== ππ

tj. u jednom signalizacionom intervalu mora biti obuhvaćen ceo broj perioda.

Ortogonalnost omogućava koherentnu demodulaciju bez interkanalne interferencije.

12.2.2 Posmatra se QAM modulacija sa M simbola.

a) Odrediti verovatnoću (simbolske) greške i verovatnoću bitske greške za QAM modulaciju sa pravougaonom konstelacijom.

b) Sa stanovištva ovih parametara, uporediti QAM i ASK modulaciju, za isti odnos db 30)log(10 0 =NEs i 16=M .

Rešenje:

a) Kada je konstelacija pravougaona, verovatnoća greške QAM se relativno lako određuje pomoću verovatnoće greške za ASK. Naime, u ovom slučaju se QAM može

predstaviti kao kombinacija dve ASK modulacije sa po MN = simbola (M je broj QAM simbola) i polovinom snage 2/QAMASK PP = ; jedna ASK odgovara

komponenti u fazi, druga ASK komponenti u kvadraturi (smatra se da je uslov ortogonalnosti ovih komponenata zadovoljen).

Da bi QAM simbol bio ispravno detektovan, oba ASK simbola moraju biti ispravno detektovani (Slika 12.2.2.1). Verovatnoća greške pojedine ASK je (vidi zadatak 9.2.2):

.1

312

1

612

002 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

N

E

MM

M

N

E

NN

NP

QAMASKE QQ

ASK

Verovatnoća ispravne detekcije QAM simbola je tada:

( ) ,1

31211

2

0

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−=−=

N

E

MM

MPP

QAMEQAMC Q

ASK

a verovatnoća greške je:

( ) .1

31211111

2

0

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−−=−−=−=

N

E

MM

MPPP

QAMECQAME Q

ASK

Lako se pokazuje da je gornja granica na verovatnoću greške za QAM:

.1

34

0⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−≤

N

E

MP

QAMQAME Q


Slika 12.2.2.1 Veza između QAM sa pravougaonom konstelacijom i ASK

Verovatnoća bitske greške se takođe dobija na jednostavan način. M simbola koduje Mld bita informacije. Pretopstavimo da se kodovanje bita u simboli vrši tako da se

susedni simboli razlikuju za 1 bit (Grejov kod), i da je najverovatnija greška zamena za susedni simbol. Dobijamo:

.ldM

PP

QAME

QAMb =

b) Pretpostavimo sada da posmatramo QAM i ASK sa istim brojem simbola i istom srednjom snagom (odnosno energijom):

sQAMASK EEE == .

Važi:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

02 1

612

N

E

MM

MP s

E QASK

, i

.1

31211

2

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−−=

N

E

MM

MP s

QAME Q

Za date brojne vrednosti se dobija:

( ) 61016.185.4875.1 −⋅=⋅= QASKEP , i

( )( ) .014.145.111 2 ≈⋅−−= QQAMEP

Vidi se da je verovatnoća greške za QAM modulaciju praktično zanemarljiva. Pošto je za obe vrste modulacije potreban isti propusni opseg, može se reći da je QAM bolji izbor.

Grafik (Slika 12.2.2.2) prikazuje odnos verovatnoća greške ove dve modulacije za date parametre.


( )[dB] log10 0NEs

Slika 12.2.2.2

12.2.3 Uporediti ASK, PSK, QAM i nekoherentnu FSK modulaciju sa stanovišta spektralne efikasnosti.

Rešenje:

Za MASK, MPSK, MQAM je spektralna efikasnost:

,Hz

sbit ld

1

ld⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=== M

T

TM

B

vdη

odnosno, raste sa porastom broja simbola u alfabetu. Međutim, za datu srednju snagu, verovatnoća greške takođe raste sa porastom broja simbola.

Za MFSK modulaciju, spektralna efikasnost je:

,Hz

sbit

ld

T

ld⎥⎦⎤

⎢⎣⎡===

M

M

M

TM

B

vdη

što znači da opada sa porastom broja simbola. Prednost MFSK modulacije je što je u principu potrebna manja snaga za datu verovatnoću greške nego kod ostalih modulacija, a takođe je i realizicaja nekoherentnog prijemnika relativno jednostavna i jeftina.

Ukoliko je na raspolaganju ograničen propusni opseg, tada se obično koriste PSK ili QAM modulacije zbog svoje spektralne efikasnosti. Ako je na raspolaganju širok propusni opseg, dok je snaga predajnika limitirana, tada se obično koristi MFSK modulacija.

12.2.4 Slika 12.2.4.1 prikazuje standardni QPSK i OQPSK (Offset QPSK) modulator. Skicirati signale na izlazu modulatora, ukoliko su signali )(1 tu i )(2 tu kojima se vrši modulacija nosilaca u fazi i kvadratruri u oba slučaja isti i prikazani na slici (Slika 12.2.4.2).


( )42cos 0 ππ +tf

( )42sin 0 ππ +tf

( )42cos 0 ππ +tf

( )42sin 0 ππ +tf

Slika 12.2.4.1 a) QPSK modulator b) OQPSK modulator

)(1 tu

)(2 tu

Slika 12.2.4.2 Modulišući signali

Rešenje:

a) QPSK modulisan signal je (vidi zadatak 10.2.1):

.4)(

)(arctg2cos2)(

1

20 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= ππ

tu

tutftsq

Početna faza od 4π je izabrana tako da se dobiju vrednosti faze modulisanog signala date u tabeli (Tabela 12.2.4.1).

u t1( ) u t2 ( ) cos ( )Φ t sin ( )Φ t Φ( )t

1 1 2 2 − 2 2 0

1 -1 2 2 2 2 2π

-1 1 − 2 2 − 2 2 23π

-1 -1 − 2 2 2 2 π

Tabela 12.2.4.1

Prikaz konstelacije signala je dat na slici (Slika 12.2.4.3), a njegov vremenski izgled je dat na slici (Slika 12.2.4.4).


2

Slika 12.2.4.3

( )tsq11 =u12 =u

11 −=u12 −=u

11 =u12 −=u

11 −=u12 =u

0 T8

Slika 12.2.4.4

b) OQPSK modulisan signal je:

.4)(

)(arctg2cos2)(

1

20 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−= ππ

tu

Ttutftsq

Vrednosti faze, kao i izgled konstelacije su isti, jedina razlika je ta što je modulišući signal zakašnjen za polovinu signalizacionog intervala (ofset).

Vremenski izgled modulišućeg signala je dat na slici (Slika 12.2.4.5).

( )tsoq 11 =u12 =u

11 −=u12 −=u

11 =u12 −=u

11 −=u12 =u

T7T

Slika 12.2.4.5

Za razliku od QPSK, kod OQPSK ne može do doći skokovite promene faze od π , već je maksimalna promena faze 2π . To je posledica činjenice da postoji ofset između modulišućih signala od polovine signalizacionog intervala. Naime, pomoću ofseta je obezbeđeno da ne može doći do istovremene promene vrednosti oba modulišuća signala, već se njihove vrednosti naizmenično menjaju, što daje promenu faznog stava za maksimalno 2π (vidi tabelu).

12.2.5 MSK (Minimum Shift Keying) je varijanta binarne frekvencijske modulacije sa mekim tastovanjem (CPFSK – Continuous Phase Frequency Shift Keying), kod koje se modulisani signal u k-tom signalizacionom intervalu može izraziti na sledeći način:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += k

k tT

dfAts θπ

42cos)( 0 ,


gde je }1,1{−∈kd prenošeni informacioni simbol u k-tom signalizacionom intervalu, a

kθ faza koja se izračunava po sledećem rekurzivnom obrascu:

( ) )2mod(2 11 ππθθ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= −− kkkk dd

k,

pri čemu je početna faza 00 =θ .

a) Koliko je rastojanje između nosilaca?

b) Pokazati da je faza modulisanog signala kontinualna.

c) Skicirati modulisani signal ako je 1,1,1,1,1,1}{ −−−=kd .

d) Pokazati da je MSK ekvivalentna OQPSK sa elementarnim impulsom:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=drugde.0

,2

cos)(

TtTT

tA

thπ

i kašnjenjem u kvadraturnoj grani od T.

Skicirati komponentu u fazi i kvadraturi OQPSK signala.

Rešenje:

a) Rastojanje između nosilaca je:

TTf

Tff

2

1

4

1

4

100 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=∆ ,

odnosno, to je minimalno rastojanje između nosilaca kod frekvencijske modulacije (vidi zadatak 11.2.2). Zbog toga se ova modulacija naziva Minimum Shift Keying.

b) Na kraju k-tog signalizacionog intervala, faza je:

kk

kkd

kTf θππφ ++=2

2 0 ,

a na početku )1( +k -og signalizacionog intervala faza je jednaka:

11

01 22 +

++ ++= k

kk

kdkTf θππφ

Ukoliko je naredni informacioni simbol isti kao i prethodni, kk dd =+1 , tada je:

kkk θπθθ ==+ )2mod(1

pa je faza na početku )1( +k -og signalizacionog intervala jednaka:

kk

kkd

kTf θππφ ++=+ 22 01 .

Ukoliko je naredni informacioni simbol različit od prethodnog, kk dd −=+1 , tada je:

( ) ( ) )2mod()2mod(21 ππθππθθ kk

kkkk dk

ddk+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=+ ,

pa je faza na početku )1( +k -og signalizacionog intervala jednaka:

( ) )2mod(2

2 01 ππθππφ kkk

k dkkd

kTf ++−=+ .

Ako je k parno, nk 2= , tada je:

kkk dnnTf θππφ ++= 04 , i


kkk kdnnTf θππφ +−=+ 01 4 .

Važi:

( ) ( ) )4cos(1)4cos(4cos 000 kn

kkkk nTfdnnTfdnnTf θπθππθππ +−=+−=++ .

Za neparno k, 12 += nk , dobija se:

kk

kkk

kd

dnTnfdn

Tnf θπππθππφ ++++=++

++=2

)12(22

)12()12(2 00 , i

kk

kkkk

kd

dnTnfddn

Tnf θππππθππφ ++−+=+++

−+=+ 2)12(2

2

)12()12(2 001 .

Takođe važi:

( ).)12(2sin)()1(

2)12(2cos

2)12(2cos

0

00

kkn

kk

kkk

k

Tnfd

ddnTnf

ddnTnf

θπ

θπππθπππ

++−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

Pošto se vrednost modulišućeg signala ne menja skokovito prilikom smene signalizacionih intervala, radi se signalu sa kontinualnom fazom (odnosno, o mekom tastovanju).

c) Na osnovu definicionih izraza, dobija se:

k kd kf kθ

0 1 Tf 410 + 0

1 1− Tf 410 − π

2 1− Tf 410 + π

3 1 Tf 410 + 0

4 1 Tf 410 − 0

5 1− Tf 410 − π

Slika 12.2.5.1 prikazuje modulišući signal.

( )ts10 =d

T60

11 −=d 12 −=d 13 =d 14 =d 15 −=d

Slika 12.2.5.1

d) Da bi se dokazalo da su MSK i OQPSK sa elementarnim impulsom “polukosinus” ekvivalentne, polazi se od izraza za MSK:

.2

2sinsin2

2coscos

22cos

42cos)(

00

00

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

kkkk

kkkk

dT

ttfAd

T

ttfA

dT

ttfAt

T

dfAts

ππθππθ

θππθπ


Početna faza za MSK je 00 =θ . U svakom narednom signalizacionom intervalu, faza

se ili ne menja, ili se menja za ( ) )2mod(1 ππ −kdk . Pošto je 11 ±=−kd , kθ se može

promeniti samo za π , što znači da },0{ πθ ∈k , odnosno 0sin =kθ .

Dalje se dobija:

( ) ( ).2sin2

sincos2cos2

coscos

22coscos)(

00

0

tfdT

tAtfd

T

tA

dT

ttfAts

kkkk

kk

ππθππθ

ππθ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Važi:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

T

t

T

td

T

tk 2

cos2

cos2

cosπππ

, i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

T

tdd

T

tkk 2

sin2

sinππ

,

pa je:

( ) ( )

( ) ( ),2sin2

)(cos2cos

2cos

2sin2

sincos2cos2

coscos)(

00

00

tfT

Ttbtf

T

ta

tfT

tAdtf

T

tAts

kk

kkk

ππππ

ππθππθ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

gde je AAa kk ±== θcos , i AAdb kkk ±== θcos .

Zbog zavisnosti koja postoji između kd i kθ , ka i kb mogu da menjaju vrednost

samo u trenucima koji su umnošci intervala T2 , uz međusobni ofset od T (Tabela 12.2.5.1).

k kd kθ ka kb

0 1 0 A A

1 1− π A− A

2 1− π A− A

3 1 0 A A

4 1 0 A A

5 1− π A− A

Tabela 12.2.5.1

Slika 12.2.5.2 prikazuje komponente u fazi i kvadraturi. Na slici su jasno naznačene anvelope, koje su oblika )2cos( Ttπ .


10 =d

T60

11 −=d 12 −=d 13 =d 14 =d 15 −=d

T60

Aa =0 Aa −=1 Aa −=2 Aa =3 Aa =4 Aa −=5

Ab =0 Ab −=1 Ab −=2 Ab =3 Ab =4 Ab −=5

Slika 12.2.5.2

12.2.6 OFDM sistem (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) prenosi N digitalnih signala si(t), i = 1, 2,…, N, upotrebom N frekvencijskih nosilaca međusobno pomerenih u frekvencijskom domenu za učestanost ∆f. Kompleksna predstava signala si(t), i-tog frekvencijskog kanala u osnovnom opsegu je:

Ttexts ftjiii ≤≤= ∆ 0,)( 2π ;

gde su ix kompleksni simboli modulacionog alfabeta koji se koristi (npr. MQAM,

MPSK, itd.), a T je period odnosno trajanje jednog OFDM simbola. Vremenski oblik jednog OFDM simbola trajanja T dobija se kao suma svih N komponentnih signala:

T.textsts f itπjN

ii

N

ii ≤≤== ∆

==∑∑ 0,)()( 2

11

a) Odabrati minimalno frekvencijsko rastojanje ∆f susednih komponentnih signala )(tsi takvo da su bilo koja dva različita komponentna signala )(tsi i )(tsk , ki ≠ ,

ortogonalna u vremenskom domenu.

b) Odabrati skup N učestanosti if na kojima će biti formiran OFDM signal )(ts u

osnovnom opsegu tako da širina spektra OFDM signala bude minimalna.

c) Na ulaz OFDM predajnika dolazi niz informacionih simbola kx , ,...2,1=k

modulacionog alfabeta čije je trajanje simbolskog intervala NTTS = . Tokom

trajanja jednog OFDM simbolskog intervala T prihvata se N modulacionih simbola na ulazu i formira jedan OFDM simbol na izlazu OFDM predajnika. Pokazati da se vremenski odbirci OFDM signala )(ts u trenucima STkt ⋅= mogu

predstaviti kao inverzna diskretna Furijeova transformacija (IDFT) povorke ulaznih modulacionih simbola kx . Da li su odbirci )( Sk kTss = kao rezultat

IDFT( kx ) dovoljni za potpunu rekonstrukciju OFDM signala )(ts ?

d) Na osnovu prethodnog, nacrtati principsku blok-šemu OFDM predajnika. Komentarisati zašto je ovo rešenje značajno pogodnije za implementaciju u odnosu na klasične FDM (Frequency Division Multiplexing) sisteme.

Rešenje:

a) Signali si(t) i sk(t), i ≠ k, su ortogonalni u vremenskom domenu ako važi:

∫∫=

−∆

=

∆∆ =⋅>=<T

t

tkifπj-*ki

T

t

f ktπj-*k

f itπjiji dt. exx dt exext,sts

0

)(2

0

22)()(


Prethodni integral jednak je nuli za i ≠ k ako je ∆f = m/T, m є Z, što daje minimalno frekvencijsko rastojanje ∆f = 1/T. Uvrštavanjem prethodnog dobijamo:

.,)()(

0)()(

2 ki||xt,sts

ki,t,sts

iji

ji

=>=<

≠>=<

b) Minimalnu širinu spektra dobijamo ako komponentne signale rasporedimo simetrično oko nulte učestanosti u frekvencijskom domenu tj:

,..., N.ifN

ifi 1,2

1 =∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

Širina spektra OFDM signala je približno N/2 ∆f.

c)

( ) ( ) .0)(1

22)1(2)1(2

1

Tt,exeextsN

i

Tπ j i t

i t/Nπj

T

t/NiπjN

ii ≤≤== ∑∑

=

−−−

=

∑∑==

=≈N

i

Nπjik

i

N

i

SNTSπjikT

iS exexkTs1

2

1

2

)( , što je IDFT( ix ).

Pošto OFDM signal s(t) ima najvišu frekvencijsku komponentu približno jednaku

fN ∆2

, prema teoremi odabiranja potrebni su nam odbirci na svakih

STN

T

fN==

∆22

1, što upravo daje IDFT( ix ).

d) Slika 12.2.6.1 prikazuje principsku šemu OFDM predajnika.

ix )( SkTx

Slika 12.2.6.1

Za veliko N (reda veličine 1000), što je slučaj u OFDM prenosu, ovakva implementacija predajnika kao DSP procesora koji vrši IDFT transformaciju je neuporedivo jeftinija od npr. N produktnih modulatora kakvi su potrebni u FDM-u (što ne bi bilo fizički izvodivo u malim gabaritima).

12.2.7 Predajnik 4PSK signala je prikazan na slici (Slika 12.2.7.1). Izvor generiše bite koji se grupišu po dva i modulišu u 4PSK modulatoru. Signal na izlazu 4PSK modulatora u k-tom signalizacionom intervalu je:

.3,...,1,0,4

2),2cos()( 0 ==ΦΦ−= i

itfAts kk

ππ

Slika 12.2.7.1


Konstelacija se proširuje sa još 4 simbola pomoću trelis-kodovane modulacije (TCM – Trellis-Coded Modulation). U predajnik je dodat konvolucioni koder kodne brzine 32 , čija je blok šema data na slici (Slika 12.2.7.2).

a) Skicirati 4PSK konstelaciju i odrediti minimalno Euklidsko rastojanje između simbola.

b) Odrediti mapiranje kodnih reči na izlazu iz kodera tako da se maksimizuje minimalno Euklidsko rastojanje između putanja kroz trelis.

c) Na osnovu mapiranja određenog pod b), odrediti minimalno Euklidsko rastojanje između dve putanje u trelisu.

⊕

⊕1i

2i

1c2c

3c

Slika 12.2.7.2 8PSK modulator

Rešenje:

a) Slika 12.2.7.3 prikazuje 4PSK konstelaciju. Minimalno Euklidsko rastojanje između

simbola je 2A .

A

Slika 12.2.7.3 4PSK konstelacija

b) Trelis konvolucionog kodera je prikazan na slici (Slika 12.2.7.4).


Slika 12.2.7.4 Trelis konvolucionog kodera

Ako se pogledaju mogući izlazi iz svakog stanja i mogući ulazi u svako stanje, vidi se da su oni podeljeni u dve odvojene grupe:

prva grupa

druga grupa

000 010

100 110

011 001

111 101

Mapiranje kodnih reči u simbole se vrši na sledeći način:

⋅ paralelni prelazi, tj. grane koje počinju u istom stanju i završavaju u istom stanju se mapiraju u simbole koji su maksimalno udaljeni u konstelaciji,

⋅ preostale grane koje počinju iz istog stanja, ili se završavaju u istom stanju se mapiraju u simbole koji su na sledećem maksimalno mogućem rastojanju.

Pomoću ovih pravila se obezbeđuje da dve putanje kroz trelis koje počinju iz istog stanja i završavaju se u istom stanju budu maksimalno moguće udaljene, posmatrano kroz simbole u konstelaciji (Euklidsko rastojanje), tj. obezbeđuje se maksimizacija

freed .

Na osnovu ovih pravila, za 8PSK i dati konvolucioni koder dobija se mapiranje prikazano na slici (Slika 12.2.7.5).


Slika 12.2.7.5 8PSK konstelacija

c) Ako se posmatra trelis sa slike (Slika 12.2.7.4), kandidati za minimalno udaljene putanje su:

⋅ dve putanje koje imaju paralelne tranzicije

⋅ putanje koje divergiraju i iz istog stanja i prolaskom kroz minimalan broj stanja ponovo konvergiraju u isto stanje.

Što se tiče putanja sa paralelnim tranzicijama, njihovo minimalnoEukldisko rastojanje je 2A.

Što se tiče putanje koje divergiraju iz istog stanja i zatim konvergiraju u isto stanje, minimalan broj različitih stanja kroz koja prolaze je 2. Posmatrajmo npr. putanju koja prolazi kroz stanja ...-00-00-00-00-... i putanju koja prolazi kroz stanja ...-00-10-01-00-... Ukupno Euklidsko rastojanje u ovom slučaju je zbir sledećih rastojanja:

⋅ grane koje divergiraju iz stanje 00 su minimalno udaljene 2A ,

⋅ grane koje odgovaraju prelazu 10-01 su minimalno udaljene AA 77,0)8sin(2 =π ,

⋅ grane koje konvergiraju konvegiraju u stanje 00 su minimalno udaljene 2A ,

odnosno ukupno rastojanje je 3,6A.

Na osnovu ovoga sledi da su dve putanje kroz trelis su minimalno udaljene za Ad free 2= . Sa obzirom da je verovatnoća greške srazmerna freed , dodavanjem

konvolucionog kodera i proširenjem skupa simbola dobija se modulaciona tehnika koja za istu srednju snagu obezbeđuje manju verovatnoću greške. Loša strana TCM je to što se usložnjava realizacija predajnika i prijemnika. Takođe, treba obratiti pažnju na činjenicu da TCM povećava broj simbola u konstelaciji, pri čemu efektivni digitalni protok (protok informacionih bita) ostaje isti.

12.2.8 Uporediti 4ASK i trelis kodovanu 8ASK koja koristi:

a) konvolucioni koder čiji je trelis prikazan na slici Slika 12.2.8.1 a),

b) konvolucioni koder čiji je trelis prikazan na slici Slika 12.2.8.1 b).

U oba slučaja je srednja snaga signala ista.


Slika 12.2.8.1

Rešenje:

Srednja snaga ASK modulisanog signala je:

222

6

1

2d

MaPP k

ks−=== ,

gde je d polovina rastojanja između simbola:

1

62 −

=M

Pd s .

Konstelacija 4ASK modulacije je data na slici (Slika 12.2.8.2). Minimalno rastojanje

između simbola je ss PPd 26.15222 == .

sPd5

2=

4=M

Slika 12.2.8.2

a) Trelis ovog kodera je prikazan na slici (Slika 12.2.7.4). Mapiranje kodnih reči u simbole na način koji maksimizuje freed je prikazano na slici (Slika 12.2.8.3).


sPd212=

8=M

Slika 12.2.8.3

Treba odrediti minimalno rastojanje između dve putanje kroz trelis. Na osnovu zadatka 12.2.7, to je rastojanje putanja sa paralelnim prelazom, koje je jednako

ssfree PPdd 47.221288 === .

b) Sa slike trelisa (Slika 12.2.8.1 b) se vidi da ne postoje paralelni prelazi. Mapiranje kodnih reči u simbole kojima je maksimizovano freed prikazano je na slici (Slika

12.2.8.4).

sPd212=

8=M

Slika 12.2.8.4

Minimalno rastojanje između dve putanje kroz trelis je npr. rastojanje između putanje koja prolazi kroz stanja ...S3-S3-S3-S3... i putanje koja prolazi kroz stanja ...S3-S2-S5-

S3..., i iznosi sfree Pdd 09.310 == .


V E Ž B A 6

PRENOS ZASNOVAN NA MODULACIJI NOSIOCA


P1) Talasni oblici, kompleksna reprezentacija i spektralne karakteristike modulisanih signala

P1.1. Uzmimo binarnu sekvencu b=[ 1 0 0 1 0 ]. Neka je binarni protok kb/s 1=bR i neka je maksimum amplitude svih digitalno modulisanih talasa postavljen na 1 V.

a. Skicirati oblik ASK koji odgovara datoj binarnoj sekvenci b, koristeći frekvenciju odabiranja 5 kHz.

b. Skicirati oblik PSK koji odgovara datoj binarnoj sekvenci b, koristeći frekvenciju odabiranja 5 kHz.

c. Neka su frekvencije koje odgovaraju logičkoj ″1″ i ″0″, korišćene u FSK modulatoru, podešene na 3 i 6 kHz, respektivno. Skicirati rezultujući oblik FSK za datu binarnu sekvencu b.

P1.2. Skicirati funkciju spektralne gustine snage za svaki od modulisanih signala iz pitanja P1.1.

P1.3. Sekvenca prenosi se 4-PSK tehnikom. Pri mapiranju bita u simbole koristi se Grey-ov kod i nerotirana fazna konstalacija.

Elementarni impuls je pravougaoni trajanja T

LL ,0,0,0,1,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0)( =kq

s, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

sTtrectte )( . Nactrati realni i

imaginarni deo kompleksne reprezentacije modulisanog signala u osnovnom opsegu, sT(t), kao i prenošeni modulisani signal, s(t) u trasponovanom opsegu za učestanost

nosioca s

c Tf =

1 .

P1.4. Odrediti spektralnu gustinu srednje snage za M-PSK signale na osnovu izraza

)()(1)( 2 ffET

f xxTs

ss TTΦ=Φ ,

gde je spektralna gustina snage za informacioni sadržaj sa međusobno nezavisnim simbolima. Autokorelaciona funkcija elementarnog impulsa jeste podignuti kosinus sa faktorom zaobljenja

)( fxxΦ)(teT

2/1=α . Za dobijene vrednosti prikazati spektralnu gustinu snage modulisanog signala s(t).

P2) Koherentna i nekoherentna detekcija

P2.1. Ako je na ulaz koherentnog detektora prikazanog na slici 6.1. doveden ASK signal, skicirati oblik signala na izlazu svakog bloka.

238 VEŽBA 6

Slika 6.1.

P2.2. Ponoviti prethodni zadatak za dati nekoherentni detektor sa slike 6.2.

Slika 6.2.

P3) BER performanse modulacionih postupaka

P3.1. Na osnovu Simulink Tutorial modela za On-Off Keying (OOK) upoznati se sa upotrebljenim blokovima. Uporediti performanse prijemnika koji koriste prilagođeni filtar i običan NF filtar (Pretpostaviti da je snaga prenošenog signala jednaka snazi šuma u kanalu).

P3.2. Odrediti verovatnoću bitske greške PEb za koherentnu detekciju ASK i PSK modulacionih postupaka u funkciji od Eb i N0.

P3.3. Za koliko dB treba povećati 0N

Eb da bi se kod 32-PSK modulacije dobila ista

verovatnoće greške kao kod 16-PSK.

II ZADATAK VEŽBE

U delu vežbe koji koristi CST, binarni protok je kbs 1=bR , a maksimum amplitude modulisanog signala je 1 V. Perioda trajanja bita Tb=1/Rb sadrži 100 odmeraka.

GENERISANJE MODULISANOG SIGNALA

1) ASK (Amplitude-Shift Keying)

1.1. Generisati binarnu sekvencu dužine 5 bita: [ 1 0 0 1 0 ]:

>> b=[ 1 0 0 1 0 binary (45) ]

a. Da bi generisali ASK signal sa sa nosećom frekvencijom 8 kHz: 1. generišemo unipolarni NRZ signal xu, iz sekvence b;


2. množimo xu sa izlazom iz oscilatora koji osciluje na 8 kHz.

>> xu = wave_gen(b, 'unipolar_nrz' ); >> sa = mixer( xu, osc(8000) );

b. Prikazati prvih 500 odmeraka oblika signala xu i sa koji predstavljaju prvih 5 bita

date binarne sekvence b. Uporediti ova dva talasna oblika.

>> tt = [1:500]; >> subplot(211), waveplot(xu(tt)) >> subplot(212), waveplot(sa(tt))

c. Takođe prikazati respektivno spektralnu gustinu snage (PSD) u opsegu

frekvencija [0,20 kHz] za xu i sa, i zabeležiti ih na grafiku 6.1 i 6.2. Za prikaz PSD funkcije u traženom frekvencijskom opsegu mora se izdati komanda psd sa dva argumenta kao psd(x,freq_range) koja prikazuje PSD od x duž definisanog frekvencijskog intervala definisanog vektorom freq_range.

>> fr = [ 0, 20000 ]; >> subplot(211), psd(xu,fr) >> subplot(212), psd(sa,fr)

Grafik 6.1. Grafik 6.2.

1.2. Za amplitudsku modulaciju PAM signala koristi se nosilac učastanosti Tfc /40= . PAM signal ima elementarni impuls oblika koren iz podignutog kosinusa sa faktorom zaobljenja .5,0=α Odrediti i nacrtati spektar osnovnog i amplitudski modulisanog signala.

2) PSK (Phase-Shift Keying)

BPSK

2.1. Da bismo generisali PSK signal sp, sa nosećom frekvencijom 8 kHz: 1. generišemo polarni NRZ signal xp, iz sekvence b (zadatak 1.1); 2. množimo xp sa izlazom iz oscilatora koji osciluje na 8 kHz.

>> xp = wave_gen(b, 'polar_nrz' );

240 VEŽBA 6

>> sp = mixer( xp, osc(8000) );

a. Prikažite prvih 500 uzoraka oblika signala xp i sp:

>> subplot(211), waveplot(xp(tt)) >> subplot(212), waveplot(sp(tt))

Kakva je razlika faza imeđu sp i nosioca sin(2Βfct) u toku trajanja prvog i drugog bita?

b. Prikažite PSD funkcije xp i sp duž frekvencijskog intervala [0, 20 kHz]. Skicirati

osnovne karakteristike svake PSD funkcije. >> subplot(211), psd(xp,fr) >> subplot(212), psd(sp,fr)

Grafik 6.3 Grafik 6.4

2.2. Na osnovu Simulink Tutorial-a, za BPSK sa NRZ elementarnim impulsima i prilagođenim filtrom izvršiti analizu signala:

a. Da li je obvojnica (anvelopa) prenošenog signala konstantna? b. Objasniti zašto poslati u(t) i primljeni signal r(t) nisu jednaki (misli se na signale

na ulazu i izlazu iz kanala). c. Objasniti izgled signala nakon množača korelacionog prijemnika, x(t). d. Da li postoji ISI na predajnoj strani? Kako je to moguće uočiti na dijagramu oka

i konstalacionom dijagramu (scatter plot)? e. Objasniti izgled dijagrama oka. Da li na prijemu postoji ISI? f. Koji su optimalni trenuci odmeravanja? g. Zašto konstelacioni dijagram sadrži više od 2 tačke?

M-PSK

2.3. Prikazati talasne oblike koji se koriste pri prenosu 8-PSK signala sa konstelacionim

simbolima 7,,1,0,4 L== meAmj

m

π

, ako je učestanost nosioca ./3 Tfc =

2.4. Na osnovu Simulink Tutorial-a, za QPSK sa elementarnim impulsom koren iz podignutog kosinusa i prilagođenim filtrom :

a. Objasniti izgled trajektorije signala na predajnoj strani.


b. Detektovati isčezavanja amplitude i objasniti ih sa stanovišta konstelacije. c. Uporediti konstelacione dijagrame na predajnoj i prijemnoj strani u odsustvu šuma. d. Ako se pojavi greška u sinhronizaciji faza sinusnog (u kvadraturi) i kosinusnog (u

fazi) nosioca od po π/8 kakav uticaj će to imati na kontelacioni i dijagram oka, odnosno na trajektoriju signala? Ako nema šuma, koliko je maksimalno odstupanje faze nosioca koje i dalje ne prouzrokuje greške?

e. Šta se dešava sa konstelacionim dijagramom i trajektorijom ako fazni pomak između nosilaca u fazi i kvadraturi nije π/2?

f. Ako se u frekvencijama nosioca na prijemu pojavi odstupanje od po 1% u odnosu na nosilac na predaji, opisati uticaj na dijagram oka, konstalacioni dijagram i trajektoriju signala. Da li je moguća detekcija bez grešaka.

g. Ako se komponenta u kvadraturi zakasni za T/2 dobijamo Offset-QPSK. Kakve razlike je na predajnoj strani moguće uočiti na konstelacionom

dijagramu, dijagramima oka, i trajektorijama signala? Postoje li ovde značajna slabljenja obvojnice? Uporediti sa QPSK. Zbog čega

su slabljenja obvojnice nepoželjna? Da li trajektorija prijemnog signala ima dijagonalne prolaze kroz nulu? Dati

objašnjenje na osnovu realizacije prijemnika u Simulinku.

Pokazati da je za elementarni impuls ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

inače02

cos/4)( TtTTtTEth

π

i kašnjenje u kvadraturnoj grani od T, OQPSK jednaka Minimum Shift Keying (MSK - BFSK sa minimalnom mogućom separacijom između nosilaca

.21T

f =∆ ) Zašto konstalacioni dijagram ima 4 umesto dve tačke?

QAM

2.5. Na osnovu Simulik Tutorial-a simulirati prenos zasnovan na 16-QAM. Da li je 16-QAM više ili manje osetljiva na šum u odnosu na QPSK? Objasniti na osnovu konstelacionih i dijagrama oka.

3) FSK (Frequency-Shift Keying)

3.1. Da bismo generisali neprekidnu fazu FSK signala sf, sa frekvencijama logičke ″1″ i ″0″, 4 i 8 kHz, respektivno:

1. generišemo polarni NRZ signal iz sekvence b (zadatak 1.1); 2. dovodimo polarni oblik signala na ulaz naponski kontrolisanog oscilatora (Voltage

Controlled Oscillator - VCO).U ovom eksperimentu VCO ima centralnu frekvenciju podešenu na 6 kHz a frekvencijska osetljivost je -2 kHz/V.

>> sf = vco(xp);

a. Prikazati oblik xp i sf za period 0 < t < 5Tb.

>> subplot(211), waveplot(xp(tt)) >> subplot(212), waveplot(sf(tt))

b. Prikazati PSD funkciju FSK signala i zabeležiti je na grafiku 6.5.

>> clf >> psd(sf,fr)

242 VEŽBA 6

Grafik 6.5

OFDM

Pitanje 6.1.

Kako se može generisati FSK signal uz pomoć dva ASK signala? Koju modulacionu šemu bi ste preporučili za sistem gde je potrebno efikasno korišćenje propusnog opsega?

3.2. Napisati MATLAB kod koji omogućuje generisanje OFDM signala.

DETEKCIJA DIGITALNO MODULISANOG SIGNALA

4) Koherentna detekcija

Koherentni detektor ASK i PSK signala predstavljen je na slici 6.1.

4.1. Da bismo demodulisali ASK signal sa, prvo množimo sa sa lokalno generisanim nosiocem koji ima istu frekvenciju i istu fazu kao i nosilac korišćen prilikom generisanja. Prikaži oblik signala ya na izlazu posle množenja sa sa nosiocem za prvih pet perioda bita. Takođe, prikaži odgovarajuću PSD funkciju duž intervala fr i zabeleži je na grafik 6.6.

>> ya = mixer( sa, osc(8000) ); >> clf, subplot(211), waveplot(ya(tt)) >> subplot(212), psd(ya,fr)


Grafik 6.6

a. Priključi ya na ulaz prilagođenog filtra i zabeleži njegov izlaz u toku vremenskog

perioda 0 < t < 5Tb.

>> za = match('unipolar_nrz', ya); >> subplot(212), waveplot(za(tt))

Grafik 6.7

Pitanje 6.2.

Odrediti impulsni odziv prilagođenog filtra. Primetiti da je za sličan izlazu prilagođenog filtra za slučaj unipolarnog NRZ signala. Zašto?

244 VEŽBA 6

Glavni problem u implementaciji koherentnog detektora je sinhronizacija nosioca. Da bismo postigli optimalne performanse lokalni oscilator treba da ima istu fazu i istu frekvenciju kao dolazeći nosilac. Devijacija faze i frekvencije rezultuje degradacijom osobina (performansi) detekcije.

4.2. Da bissmo ispitali efekat greške faze demodulišemo sa koristeći lokalni oscilator čiji je izlaz dat kao sin(2Βfc+Ν). Ovde je sa Ν predstavljena greška faze merena u odnosu na nosilac signala. Zabeleži maksimum amplitude signala na izlazu iz filtra za svaku grešku faze datu u tabeli 6.1.

>> ya = mixer( sa, osc(8000, greška faze) ); >> za = match('unipolar_nrz', ya); >> subplot(212), waveplot(za(1:500))

a. Demoduliši sa sa 60º i 120º faznom freškom. Dekoduj izlaz iz prilagođenog filtra i izvršite procenu primljenih prvih pet bita sekvence b. Zabeleži svaku dekodovanu sekvencu i komentarišite njihovo razlikovanje.

Phase error = 60º; b̂1-5 =

Phase error = 120º; b̂1-5 =

GREŠKA FAZE MAKSIMUM AMPLITUDE [V] 0º

20º 60º 80º

120º

Tabela 6.1.

4.3.

Pitanje 6.3

BER (Bit Error Rate) koja se dobija pri detekciji signala u prisustvu šuma, funkcija je maksimuma amplitude signala na izlazu iz filtra prijemnika. Na osnovu rezultata prikupljenih u tabeli 6.1 odrediti koja greška faze daje najmanju vrednost BER?

Da bismo ispitali efekat devijacije frekvencije prilikom demodulisanja ASK signala, demoduli sa sa lokalnim oscilatorom podešenim na 7900 Hz. Prikaži i uporedi demodulisane signale ya i ya1.

>> ya1 = match('unipolar_nrz', mixer(sa, osc(7900))); >> subplot(211), waveplot (ya(tt)) >> subplot(212), waveplot (ya1(tt))

a. Da li se može izvršiti estimacija orginalne binarne sekvence iz ya1? Razmotriti i

drugi slučaj kada je frekvencija lokalnog oscilatora podešena na 7985 Hz. Demoduliši sa i generišite izlaz iz prilagođenog filtra.

>> ya2 = match('unipolar_nrz', mixer(sa, osc(7985))); >> subplot(211), waveplot (ya),subplot(212), waveplot (ya2)

Odredite frekvenciju sinusoide koja množi anvelopu na izlazu iz filtra:


frekvencija anvelope = Hz

5)Nekoherentna detekcija

Pitanje 6.4

Posmatrajmo ASK signal sa(t) sa frekvencijom nosioca fc. Ako se sa(t) demoduliše monožeći sa izlazom lokalnog oscilatora podešenog na fo, tako da je fo ≠ fc, anvelopa na izlazu iz filtra detektora modulisana je sinusoidom. Odredite frekvenciju ovako modulisanog signala kao funkciju od fc i fo.

Nekoherentna detekcija digitalno modulisanih signala ne zahteva sinhronizaciju lokalnog oscilatora sa komponentom nosioca signala. Bez obzira na prisustvo šuma, iz iskustva znamo da sistemi sa nekoherentnom detekcijom imaju veći BER nego sistemi sa koherentnom detekcijom. Razmatramo nekoherentni detektor za ASK signal prikazan na slici 6.2.

Funkcija filtra propusnika opsega (Band-Pass Filter BPF) je da redukuje šum i smetnje. Pretpostavimo da je propusni opseg BPF pogodno odabran tako da je distorzija signala neznatna; tj. ako je ulaz u BPF sa(t), onda je i signal na izlazu iz BPF takođe sa(t). Detektor anvelope se sastoji iz ispravljača iza kojeg sledi filtar propusnik niskih učestanosti (Low-Pass Filter LPF) sa propusnim opsegom fo, odabranim tako da je zadovoljeno sledeće pravilo:

propusni oseg signala << fo >> frekvencija nosioca.

5.1. Neka je propusni opseg filtra propusnika niskih učestanosti LPF koji koristimo u MATLAB-u kao funkciju envelope podešen na 4000 Hz. Primeniti na ASK signal sa funkciju envelope i prikazati njen izlaz zajedno sa prikazom ASK signala sa.

>> ya = envelope(sa,4000); >> clf, subplot(211), waveplot (sa(tt)) >> subplot(212), waveplot (ya(tt))

Dekodujte prvih 5 bita emitovane sekvence.

Pitanje 6.5

Može li se nekoherentna detekcija koristiti u slučaju PSK signala?

5.3. Utvrditi uticaj invertujućeg kanala na diferencijalno kodovan i nekodovan Mančester binarni signal. Invertujući kanal u osnovnom opsegu odgovara obrtanju faze nosioca na prijemu za 180.

5.4. Implementirati diferencijalni koder za 8-DPSK.

5.5. Implementirati FSK demodulator zasnovan na korelatorima.

6) Osobine sistema u prisustvu šuma

6.1. Generiši ASK signal pretstavljen sa 500 uzoraka binarne sekvence:

>> b =[ 1 0 0 1 0 binary (495) ];

246 VEŽBA 6

>> sa=mixer (wave_gen(b,'unipolar_nrz'),osc(8000));

a. Dovesti sa na kanal sa jedinstvenim pojačanjem, šumom kanala σ2=1 W i dovoljnim propusnim opsegom tako da nema distorzije signala. Prikaži ASK signal sa i izlaz iz kanala y, za vremenski period 0 < t < 5Tb.

>> y =channel(sa,1,1.5,49000); >> subplot(211), waveplot(sa(tt)) >> subplot(212), waveplot(y(tt))

b. Iskoristiti koherentni detektor za demodulaciju y. Prikazati na dijagramu oka izlaz iz prilagođenog filtra.

>> zm =match('unipolar_nrz', mixer(y,osc(8000))); >> clf, eye_diag(zm);

c. Iz dijagrama oka izvesti optimalni trenutak semplovanja i vrednost praga odlučivanja. Dovesti zm na kolo odluke, i zabeležiti rezultujuću verovatnoću greške bita.

>> detect(zm,vth,sampling_instant,b); Koherentna detekcija: Pe =

Pitanje 6.6.

Izračunaj teorijsku verovatnoću bitske greške za slučaj razmatran u prethodnom delu. Primeti da se PSD funkcija šuma kanala može odrediti kao

( )sistemaopsegpropusni

NfS n

n ×==

22

20 σ

Propusni opseg sistema u ovom eksperimentu je 50 kHz.

d. Koristite nekoherentnu detekciju za dekodovanje bit-sekvence y na izlazu iz kanala. >> ze = envelope(y,400); >> detect(ze,vth,sampling_instant,b);

e. Uporediti rezultujuću BER sa slučajem kod koherentne detekcije.

f. Za kanal sa istim karakteristikama odrediti BER za: • koherenetno detektovan PSK signal, • nekoherentno detektovan FSK signal.

6.2. Prikazati teorijske i vrednosti verovatnoće greške dobijene Monte-Carlo simulacijom za

• 4-PSK prenos • 4-DPSK • 16-QAM • B-FSK, square-low detektor (nekoherentna detekcija)

6.3. Pomoću bertool MATLAB funkcije, nacrtati teorijske BER krive za M-PSK, M=2, 4, 8, 16, i 32. Objasniti povećanje verovatnoće greške za veći broj simbola u alfabetu.

6.4. Kakav je uticaj aditivnog šuma na OFDM prenos.


13 PRENOS SIGNALA U PROŠIRENOM SPEKTRU (PPS)

13.1 UVOD Ideja prenosa u proširenom spektru je bila prisutna u laboratorijama za telekomunikacije pre više od 50 godina, a proistekla je iz namere da se u radio-prenosu obezbedi visok stepen otpornosti na šum, ometanje, elektronsko izviđanje i prisluškivanje. Komercijalna primena ove tehnike omogućena je razvojem mikroelektronike.

13.1.1 Princip PPS radio-sistema

Ako sa )( fSt označimo modulisani signal na izlazu klasičnog predajnika (modulatora), a

)(E ⋅PPS operaciju proširivanja spektra, tada je signal na izlazu bloka za proširenje spektra dat

izrazom:

[ ])()( fSEfS tPPSPPS = (13.1.)

Na prijemu se vrši skupljanje spektra signala )( fSPPS primenom identične operacije

)(E ⋅PPS , koja je sama sebi inverzna, jer važi [ ] 1)(E)(EE 2 =⋅=⋅ PPSPPSPPS .

[ ] [ ]{ } )()(EE)(E)( fSfSfSfS ttPPSPPSPPSPPSr === (13.2.)

U procesu proširenja spektra snaga signala ostaje nepromenjena, odnosno važi:

mrPPSPPSmt BfSBfSBfSP )()()( === (13.3)

Definiše se faktor proširenja spektra PPS signala, odnosno procesno pojačanje:

m

PPS

B

BG = , [ ]dB log10 G=γ (13.4.)

Procesno pojačanje predstavlja meru efikasnosti PPS radio-sistema.

13.1.2 Redukcija uticaja uskopojasne smetnje

Na ulaz prijemnika PPS sistema dolazi PPS signal širine spektra PPSB i uskopojasna smetnja

)( fJ širine spektra mB . Spektri oba signala imaju iste centralne učestanosti.

)()()( fJfSfR PPS += .

Primenom operacije skupljanja spektra sledi:

[ ] [ ] )()()()(E)(E fJfSfJfSfR etPPSPPSPPS +=+= .

)( fJe je smetnja čiji je spektar primenom operacije )(E ⋅PPS proširen na opseg PPSB . Snage

smetnje na ulazu i izlazu bloka za skupljanje spektra su jednake.

mPPSeui BfJBfJNN )()( === .

Isto važi i za signal:

PPSPPSmtui BfSBfSPP )()( === .


Klasični prijemnik na svom ulazu ima filtar propusnog opsega mB , koji ograniči spektar,

odnosno snagu smetnje )( fJe , mei BfJN )(= .

Odnos signal/šum na izlazu klasičnog prijemnika dat je izrazom:

uu

u

i

i

i N

PG

N

PG

N

P

N

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

(13.5.)

Tehnike proširenja spektra dele se na:

⋅ direktnu sekvencu (DS),

⋅ frekvencijsko skakanje (FH),

⋅ kombinacija DS i FH

13.1.3 Direktna sekvenca

Blok šeme predajnika i prijemnika u sistemu za prenos u proširenom spektru tehnikom direktne sekvence su prikazani na slici 13.a i 13.b, respektivno.

izvorinformacija

PPS-DSmodulator

klasičnimodulator

izlaznistepen

generatortakta

generatorpsudoslučajne

sekvence

nosilacstabilne

učestanosti

Slika 13.a DS-PPS predajnik

Slika 13.b DS-PPS predajnik

13.1.4 Frekvencijsko skakanje

Blok šema sistema za prenos u proširenom spektru tehnikom frekvencijskog skakanja je prikazana na slici 13.c.


Slika 13.c FH-PPS predajnik

250 PRENOS U PROŠIRENOM SPEKTRU

13.2 ZADACI

13.2.1 Predajnik DS/BPSK signala sa slike prenosi informacionu sekvencu }1,0,0,0,1,1,0,0,1{}{ =x brzinom 75 b/s. Sekvencu za proširivanje spektra }{g generiše

pomerački registar I = D3+D4 sa početnim stanjem 1111 i učestanošću takta 225 Hz.

)(ts

}{x

}{g

⊕

)cos( 0tω

Slika 13.2.1

a) Napisati krajnju emitovanu sekvencu }{}{ gx ⊕ .

b) Koliki je opseg emitovanog (proširenog) signala?

c) Koliko iznosi procesno pojačanje?

d) Ako je procenjeno kašnjenje veće od stvarnog za vreme jednog čipa (chip), odrediti dekodovanu sekvencu.

Bitske vrednosti se mapiraju u amplitudu modulisanog signala na sledeći način:

bit amplituda

0 1

1 1−

Rešenje:

a) Slika 13.2.2 prikazuje pomerački (šift) registar opisan datim polinomom.

}{g

Slika 13.2.2

Generisana PN sekvenca }{g je data na slici (Slika 13.2.3, vidi zadatak 3.2.2).


Slika 13.2.3

Protok PN sekvence na izlazu generatora je 3 puta brži nego protok informacione sekvence:

.3

,b/s 225

b/s, 75

dc

c

d

vv

v

v

===

.

To znači da se svaki bit informacione sekvence množi sa tri bita PN sekvence.

Novodobijeni niz }{}{ gx ⊕ je:

}{x 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

}{g 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

}{}{ gx ⊕ 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1

b) Sekvenca dobijena množenjem informacione i PN sekvence ima protok jednak protoku PN sekvence i zauzima opseg od:

.2c

cv

B =

Nakon BPSK modulacije, potreban propusni opseg je duplo širi i jednak:

Hz 2252 === ccBPSK vBB .

c) Procesno pojačanje izražava povećanje otpornosti na ometajuće signale, koje se ostvaruje proširivanjem spektra:

.BPSK

c

d

c

B

B

v

vG ==

Na osnovu prethodnog izraza vidimo da je procesno pojačanje jednako odnosu brzine čipa (vc) i digitalnog protoka (vd). Čip predstavlja jedan signalizacioni interval digitalne pseudo-slučajne sekvence koja se koristi za proširivanje spektra, tako da brzina čipa predstavlja broj čipova u jednoj sekundi. Procesno pojačanje je takođe moguće izraziti kao odnos širina frekvencijskih opsega koje zauzimaju sekvenca za proširivanje (Bc) i neproširena informaciona sekvenca (B).

Kako su nam u zadatku poznate i brzina čipa i digitalni protok, iz njihovog količnika nalazimo traženu vrednost procesnog pojačanja:


3==d

c

v

vG .

d) Prijemnik DS/BPSK signala je prikazan na slici. Prvo se vrši “skupljanje” spektra

množenjem sa lokalno generisanom PN sekvencom )ˆ( dTtg − koja je zakašnjena za

procenjeno kašnjenje. Nakon toga sledi konvencionalni BPSK prijemnik.

)( dTts −}ˆ{x

1)ˆ(2 −− dTtg

Slika 13.2.4

Ukoliko je procenjeno kašnjenje različito od stvarnog ( cdd TTT +=ˆ – fazni

nesinhronizam), doći će do grešaka na prijemu:

amplituda )( dTts − 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1

1)ˆ(2 −− dTtg 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1

( )1)ˆ(2

)(

−−⋅

−

d

d

Ttg

Tts 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1

dekodovana sekvenca }ˆ{x 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0

13.2.2 Sistem za prenos signala u proširenom spektru metodom direktne sekvence koristi se za prenos signala sa digitalnim protokom vd = 7500 b/s. Proširenje spektra ostvaruje se korišćenjem PN sekvence čiji je protok vc = 192⋅10-6 b/s.

a) Izračunati procesno pojačanje.

b) Ako je snaga signala sa proširenim spektrom na ulazu u prijemnik P0=4⋅10-14 W, a SGSS šuma u istoj tački pN = 1.6⋅10-20 W/Hz odrediti odnos signal-šum na ulazu u prijemnik.

Rešenje:

a) Procesno pojačanje je:

.106,25105,7

10192 33

6

⋅=⋅⋅==

d

c

v

vG

Vrednost procesnog pojačanja izražena u [dB] iznosi:

dB. 08,44log10 == Gg

b) Na ulasku u prijemnik vrši se pojasno filtriranje, kako bi se eliminisao doprinos šuma i ometača koji postoje na učestanostima koje se ne koriste za prenos korisnog signala. Kako je u prenosu korišćen prošireni spektar, potrebna širina pojasnog filtra biće znatno veća nego u slučaju uskopojasnih modulacija. Ukoliko pretpostavimo da je za


proširivanje spektra iskorišćena sekvenca sa pravougaonim elementarnim impulom, tada će širina njenog spektra između prvih nula u spektru (prva arkada), biti jednaka:

MHz. 3842 == CC vB

Pošto je širina spektra proširenog signala, kod metoda proširivanja sa direktnom sekvencom, jednaka širini spektra sekvence za proširivanje, nalazimo da je snaga šuma na ulazu u prijemnik

pW. 14,60 == CN BNP

Za datu snagu primljenog signala, odnos signal/šum nakon pojasnog filtra ima vrednost

dB, 86,211051,6log10log10 3 −=⋅== −

N

SN P

Pa

odnosno snaga šuma je na ulazu u prijemnik za više od 20 dB veća od snage signala.

13.2.3 Ukupno 24 terminala jednake snage dele frekvencijski opseg u CDMA sistemu. Svaki terminal signalizira brzinom 9.6 kb/s DS-SS modulisan signal. Izračunati minimalnu brzinu signalizacije (chip-rate – cv ) PN sekvence da bi se ostvarila BER = 10-3.

Pretpostaviti da se šum koji postoji u kanalu može zanemariti u odnosu na interferenciju od ostalih korisnika.

Rešenje:

U DS-CDMA sistemu postoji više korisnika kojima je dodeljen isti frekvencijski opseg. Svakom korisniku je dodeljena različita PN sekvenca, a deljenje istog opsega je moguće jer su PN sekvence međusobno ortogonalne, ili “skoro” ortogonalne (vidi zadatak 4.2.4).

U ovom zadatku je pretpostavljeno da PN sekvence nisu u potpunosti ortogonalne, tj. da postoji interferencija od ostalih korisnika u sistemu (njih 23), koja predstavlja smetnju.

Verovatnoća greške za BPSK, u sistemu gde pored Gausovog šuma postoji i smetnja je:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+=

jn

sE PP

PQP ,

gde je sP snaga signala, nP snaga šuma, a jP snaga ometajućeg signala (jamming).

Po uslovu zadatka je, uz pretpostavku da se snaga šuma može zanemariti:

310−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

j

sE P

PQP ,

pa je:

( )( ) 49.9)08.3(10 2231 === −−QP

P

j

s .

Snaga ometanja je:

,23

G

PP s

j =

gde je sa G obeleženo procesno pojačanje.

Traženo procesno pojačanje je:


3.21849.92349.923

=⋅=⇒== GP

GP

P

P

s

s

j

s .

Sa druge strane, procesno pojačanje je:

d

c

v

vG = ,

pa je brzina signalizacije:

kb/s 4.2095kb/s 6.93.218 =⋅== dc Gvv .

13.2.4 CDMA komunikacioni sistem koristi 11 terminala jednake snage koji emituju signale ka centralnom čvoru. Svaki terminal emituje informacije brzinom 1 kb/s koristeći direktnu sekvencu za proširivanje od 100 kb/s i BPSK modulaciju.

a) Odrediti odnos energije po bitu i SGSS smetnje, 0JEb , ako se šum prijemnika

može zanemariti u odnosu na smetnju koja potiče od ostali korisnika.

b) Ako svi korisnici udvostruče izlaznu snagu, kako se to odražava na odnos 0JEb ?

c) Kako modifikovati pseudoslučajnu sekvencu za proširenje sistema na 101 korisnika iste snage, a da se pri tome zadrži izračunati odnos 0JEb ?

Rešenje:

a) Snaga ometajućeg signala je:

sj PP 10= ,

gde je sP snaga terminala.

SGSS ometajućeg signala je:

c

s

c

j

B

P

B

PJ

100 == ,

dok je energija po bitu:

s

sss

sb v

PTPE

M

EE ====

)(ld.

Važi:

10kb/s 110

kb/s 100

1010100

=⋅

====s

c

s

c

cs

ssb

v

v

v

B

BP

vP

J

E.

b) Iz dela zadatka pod a) se vidi da u ovom slučaju 0JEb ne zavisi od snaga terminala,

pa se udvostručavanjem izlazne snage ovaj odnos ne može promeniti.

c) Kada u sistemu ima 101 korisnik, odnos 0JEb je:

s

cb

v

v

J

E

1000

= .

Da bi se zadržao isti odnos 0JEb , mora se povećati odnos sc vv (tj. procesno

pojačanje) za deset puta. Ako se zadržava ista brzina signaliziranja terminala, tada se brzina koda za proširenje mora povećati deset puta:

cc vv 10' = .


13.2.5 Posmatra se FH/8FSK sistem dat na slici (Slika 13.2.5), sa digitalnim protokom 1,2 kb/s. PN generator čini 20-bitski pomerački (šift) registar, koji gereriše sekvencu maksimalne dužine (prolazi kroz sva stanja izuzev stanja svih nula). Svako stanje registra diktira novu centralnu učestanost unutar opsega frekvencijskog skakanja, a rastojanje između između susednih centralnih učestanosti iznosi 200 Hz. Učestanost takta registra je 2 kHz.

a) Kolika je širina spektra nakon proširenja?

b) Odrediti brzinu skakanja?

c) Koliko skokova se napravi po simbolu?

d) Izračunati procesno pojačanje.

}{x }ˆ{x

1220max −=L 1220

max −=L

Slika 13.2.5

Rešenje:

a) Pošto je u pitanju MLSR registar, postoji 1220max −=L stanja registra, odnosno

1220 − centralnih učestanosti. Ukupan propusni opseg je:

MHz 210Hz 200)12( 20 ≈⋅−=FHB .

b) Brzina skakanja je:

kBd 2== cc fv .

c) Broj skokova po simbolu je:

s

cc v

vN = .

Važi:

kBd 4.03

kb/s 2.1

)(ld===

M

vv d

s ,

pa je:

5=cN .

d) Procesno pojačanje za FH sistem je:

FSK

FH

B

BG

8

= .

Širina spektra 8FSK modulisanog signala je:

Hz 1400Hz 200)1(8 =⋅−= MB FSK ,

pa je:

310150Hz 1400

MHz 210 ⋅==G .


13.2.6 Sistem za prenos signala metodom frekventnog skakanja odlikuje se sledećim parametrima vd =2400 b/s, broj promena frekvencije (skokova) po bitu poruke N = 16, faktor proširenja opsega K = 8, procesno pojačanje g > 45 dB.

a) Odrediti minimalan broj potrebnih učestanosti nosioca, m, ako je m stepen broja 2.

b) Izračunati opseg učestanosti koji zauzima sistem sa FH.

Rešenje:

a) Pošto se u toku prenosa jednog simbola (bita) frekvencija nosioca promeni N = 16 puta, u pitanju je brzo frekvencijsko skakanje. Zadržavanje na svakom od nosilaca biće N puta kraće, tako da možemo usvojiti da se frekvencijska modulacija obavlja sa fiktivnim digitalnim signalom čiji je signalizacioni interval N puta kraći od stvarnog. Spektar ovakvog signala biće N puta širi od originalnog, što je na slici (Slika 13.2.6) prikazano isprekidanom linijom. Postupak FSK modulacije unosi K-tostruko proširenje spektra, pri čemu je ovde sadržano i zahtevano rastojanje između korištenih nosilaca, odnosno zaštitni intervali.

Slika 13.2.6

Kako posmatrani sistem sa frekventnim skakanjem koristi m mosilaca, njegovo procesno pojačanje je moguće odrediti na osnovu izraza,

.mKNB

mKNB

B

BG FH ===

Za traženo procesno pojačanje neophodno minimalan broj nosilaca mora zadovoljiti uslov

,2471010

≈≥KN

m

g

a pošto je zahtevano da m bude stepen broja 2 usvajamo m = 256.

b) U toku jednog čipa emituje se samo jedan FSK simbol u okolini nosioca koji je definisan sekvencom skakanja, što predstavlja uskopojasni signal. Međutim, prenošeni signal u dužem vremenskom intervalu koji obuhvata veći broj skokova koristi spektar znatno veće širine,

MHz. 3,1572 === dFH vmKNmKNBB

13.2.7 Odnos signal/šum ( 0NEb ) na ulazu u nekoherentni BFSK prijemnik u sistemu sa FH

iznosi SNR = 30 dB. Sistem zauzima opseg učestanosti B = 2 GHz. U istom opsegu učestanosti radi šumni ometač čija je SGSS J0 = 100N0.


a) Izračunati EP na izlazu iz prijemnika u odsustvu ometača.

b) Izračunati EP u prisustvu ometača.

c) Ako ometač ometa samo deo opsega učestanosti B, koliki opseg treba ometati da bi se maksimizovala verovatnoća greške.

d) Odrediti maksimalnu vrednost EP za slučaj pod c).

Rešenje:

a) Verovatnoća greške za nekoherentnu BFSK demodulaciju je (vidi zadatak 11.2.4):

,2

1 02NbE

E eP−

=

gde je:

10001010 310

30

0

===N

Eb ,

pa je:

02

1 500 ≈= −ePE .

b) Ako se čitav opseg u kojem su prenosi signal ometa sa konstantnom SGS ometača, J0, prethodni izraz za verovatnoću greške modifikujemo dodajući ovu vrednost na SGSS šuma,

.1054,32

1 3)00(2 −+−

⋅== JNbE

E eP

c) Kada se ometa samo jedan deo opsega B moguće je definisati tzv. faktor ometanja koji predstavlja verovatnoću da tekući nosilac u sekvenci skakanja pripada ometanom opsegu širine BJ,

.B

BJ=ρ

Ukoliko pretpostavimo da se za ometanje koristi ometač iste snage BJPj 0= kao pod

b), njegova SGSS biće povećana jer se ista snaga koncentriše na suženom opsegu ometanih frekvencija,

.' 00 ρ

JJ =

U toku prenosa FH nosilac pripada ometanom opsegu sa verovatnoćom ρ, odnosno komunikacija je neometana sa verovatnoćom (1-ρ). Pošto svakom od ovih slučajeva odgovaraju drugačiji izrazi za verovatnoću greške, njenu konačnu vrednost možemo izraziti na sledeći način:

.222

)1( 02)'00(202 JbE

JNbE

NbE

E eeeP

ρρρρ −

+−−

≈+−=

U izvođenju aproksimativnog izraza usvojeno da će greška biti mnogo veća u prisustvu ometača i da je u tom slučaju zanemarljiv uticaj šuma.

Najnepovoljnije ometanje će prouzrokovati najveću verovatnoću greške. Traženi maksimum biće ostvaren za ρ koje zadovoljava relaciju:


,0=∂∂

ρJP

odnosno:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≥=

drugde.1

,22

0

0

0 J

E

E

J b

bρ

d) Na osnovu vrednosti za optimalan faktor ometanja nalazi se maksimalna verovarnoća greške:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤

>

=−

.22

1

,2

0

02

0

0

max

J

Ee

J

E

eE

J

PbJ

bE

b

bE

Vidi se da će u logaritamskoj razmeri PEmax opadati linearno, što je veoma nepovoljno jer to znači da je za smanjenje verovatnoće greške potrebno znatno povećanje predajne snage.

13.2.8 Sistem za prenos signala metodom direktne sekvence brzinom čipa vc = 125 Mb/s ima digitalni protok vd = 2500 b/s. U frekvencijskom opsegu koji zauzima signal deluje snažan uskopojasni Gausov ometač sa širinom spektra BJ = 50 kHz, i snagom je PJ = 1,5 10-6 W.

a) Koliko iznosi snaga ovog ometajućeg signala nakon sužavanja spektra signala u prijemniku?

b) Ako je snaga korisnog signala na ulazu u prijemnik P0 = 1,5 10-10 W, koliko iznosi bitska verovatnoća greške PE? Zanemariti širokopojasni Gausov šum.

c) Ako se umesto sistema sa DS koristi sistem sa frekvencijskim skakanjem FH-SS u istom frekvencijskom opsegu sa istom snagom korisnog signala na ulazu u prijemnik, poruke ponoviti a) i b) i uporediti dobijena rešenja.

Rešenje:

a) Pretpostavlja se da je SGSS ometača konstantna:

.0j

j

B

PJ =

Širina spektra ometajućeg signala je nakon suženja:

jc

djj B

v

v

G

BB ==' ,

a snaga ometajućeg signala nakon suženja spektra je:

W103102 115'0

' −− ⋅=⋅=== jjc

djj PP

v

vBJP .

b) Verovatnoća greške je:

( ) .1025.15103

105.1 211

10

''−

−

−⋅==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛≈⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+= QQ

P

PQ

PP

PQP

j

s

jn

sE


c) Kod FH sistema se koristi isti opseg u proširenom spektru kao i kod DS sistema:

MHz 2502 === ccFH vBB .

Faktor ometanja je:

.102 4−⋅==FH

J

B

Bρ

Verovatoća greške je:

.102

420

−−

=≈ jP

P

E ePρ

Odnosno za oko dva reda veličine manja nego kod DS sistema.


V E Ž B A 7

PRENOS U PROŠIRENOM SPEKTRU


P1) Osobine PN sekvenci za proširenje spektra

P1.1. Nacrtati spektralnu gustinu snage signala c(t) i označiti karakteristične vrednosti.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= ∑∞

−∞= TkTtkTytc

krect]5.0)([2)(

PN sekvenca y(kT) je generisana korišćenjem MLSR dužine 4 memorijska elementa. Trajanje čipa T iznosi 1 ms.

P1.2. Prikazati ACF (autokorelacionu funkciju) signala iz zadatka P1.1. i označiti karakteristične vrednosti. Kako se menja autokorelaciona funkcija, za sekvencu koja ima vrednosti 0 i 1 umesto -1 i 1.

P1.3. Kada je SSMA sistem zasnovan na DS principu, koje osobine moraju zadovoljiti PN funkcije da bi nivo šuma, u slučaju većeg broja korisnika, bio najmanji mogući?

P2) Procesno pojačanje i margina smetnji

P2.1. Digitalni signal čiji je spektar proširen upotrebom DS sekvence prenosi se kroz

AWGN tako da je na mestu prijema odnos snaga signala i šuma, 01.0=N

R

PP . Odrediti

minimalnu vrednost procesnog pojačanja da bi se ostvario odnos dB. 100

=J

bE

P2.2. Za ostvarivanje pouzdane veze koja koristi BPSK zahteva se dB. 100

=JEb Odrediti

neophodno procesno pojačanje da bi se ostvarila margina smetnji od 20 dB. Margina smetnji definiše koliko puta snaga ometača može biti veća od snage prenošenog signala, a da komunikacioni sistem i dalje bude u funkciji.

P3) Performanse sistema sa proširenim spektrom

P3.1. Pretpostaviti da je željeni nivo performansi u CDMA sistemu dB. 100

=JEb Odrediti

maksimalan broj istovremenih korisnika ako je širina spektra signala jednog korisnika 100 puta veća od njegovog digitalnog protoka, a kodno pojačanje 6 dB.

P3.2. Obrazložiti zašto je DS sistem osetljiviji od FH sistema na dejstvo jakih i bliskih predajnika.

262 VEŽBA 7

P3.3. Da li prostiranje signala proširenog spektra po više putanja onemogućuje njegovu detekciju? Kakva strukturu treba da poseduje prijemnik ovakvih signala?

II ZADATAK VEŽBE

1) Postupci za proširenje spektra

1.1. Ako je u DS sistemu poznat digitalni protok, na osnovu simulaciju odrediti širinu spektra koji zauzima prošireni signal, a zatim izračunati ostvareno procesno pojačanje. Da li su sistemi sa većim procesnim pojačanjem otporniji na dejstvo šuma?

1.2. Za FH sistem skicirati signale pre i nakon proširivanja, i nakon sakupljanja spektra.

2) Potiskivanje uskopojasnih smetnji

2.1. Demonstrirati sposobnosti potiskivanja simusoidalne smetnje od strane signala proširenog DS sekvencom.

2.2. Posmatrati i komentarisati spektar signala proširenog spektra ometanog sinusoidalnim signalom:

a. na ulazu u prijemnik (DS-CDMA). b. nakon vraćanja u osnovni frekvencijski oseg (binarni signal u osnovnom opsegu).

Da li se prisustvo smetnje i dalje uočava u spektru korisnog signala? c. Ako se umesto sinusiode konstantne učestanosti koristi chirp signal koji u toku 5 s

menja učestanost od 500 kHz do 900 kHz, da li je moguće rekonstruisati poslatu informaciju? Kako sada izgleda spektar primljenog signala pre i nakon sakupljanja (despreading)?

3) Robusnost prenosa u proširenom spektru

3.1. Ako se DS-CDMA signal propusti kroz NF filtar koji odstranjuje deo spektra koji odgovara neproširenom signalu, utvrditi da li je moguća rekonstrukcija signala na prijemu?

4) Interferencija u sistemima koji koriste prošireni spektar

4.1. Ustanoviti uticaj promene snage signala jednog korisnika DS-CDMA na kvalitet signala koji prima drugi korisnik.

5) Performanse prenosa u proširenom spektru

5.1. Ako korišćeni kanal nije frekvencijski ograničen utvrditi dejstvo AWGN na prenos signala u proširenom spektru.

5.2. Na osnovu Monte Carlo simulacije utvrditi performanse digitalnog komunikacionog sistema sa FH koji koristi BFSK i kojem se deo spektra ometa prema strategiji oprimalnog ometanja.

a. Ako postoje dva skoka po simbolu, kako će ostvareni frekvencijski diversiti uticati na verovatnoću greške bita?


14 SINHRONIZACIJA NOSIOCA I IZDVAJANJE DIGITALNOG TAKTA

14.1 UVOD Korektan prijem digitalnih signala zahteva poznavanje:

1. frekvencije i faze nosioca modulisanog signala u slučaju koherentne demodulacije,

2. digitalnog takta (početka i kraja signalizacionog intervala) modulišućeg digitalnog signala.

Ovi zahtevi se rešavaju uspostavljanjem sinhronizacije nosioca i izdvajanjem digitskog takta na mestu prijema, sistemom čija je principska blok šema prikazana na slici 14.a.

)(tsm )(tsd }{ na

Slika 14.a Blok šema sistema za sinhronizaciju nosioca i izdvajanje digitskog takta

14.1.1 Greška u fazi lokalnog nosioca

Sinhronizacija prijemnika (demodulatora), u zavisnosti od tipa modulisanog signala, ostvaruje se filtriranjem pilotskog nosioca (nosilaca) ili postupcima linearne i nelinearne obrade modulisanog signala (filtriranje, PLL, Kostasova petlja, itd.). Pri tome je najkritičnije uspostavljanje faznog sinhronizma. Greška u fazi lokalnog nosioca (θ) izaziva smetnje i izobličenja čija priroda zavisi od tipa modulisanog signala.

Opšti oblik demodulisanog AM signala u slučaju postojanja faznog nesinhronizma je:

θθ sin)(2

1cos)(

2

1)( 21 tututsd += (14.1)

Ako se pretpostavi da impulsni odziv h t( ) zadovoljava I Nikvistov kriterijum za prenos bez interferentncije sledi:

1. Za AM sa potisnutim nosiocem:

θcos2

1)0( 00hasd = (14.2)

Fazni nesinhronizam ne izaziva izobličenje već samo smanjenje amplitude demodulisanog signala.

2. Za AM-1B0


{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−±±=

=−±=

∑

∑

≠−=

−=

N

kNk

k

N

Nkkd

kThahha

kThaahs

0

0

0

sin)(ˆsin)0(ˆcos)0(4

1

sin)(ˆ4

1cos)0(

4

1)0(

θθθ

θθ

(14.3)

Izobličenje u vidu interferencije je:

θθ sin)(ˆ)(

0

∑≠

−=−±=

N

kNk

k kThaD (14.4)

Njena maksimalna vrednost je:

θsin)(ˆ)1(

0

max ∑≠

−=−−=

N

kNk

kThdMD (14.5)

3. Za AM-NB0

Izobličenje je sličnog oblika kao i u slučaju AM-1BO signala:

θθ β sin)()(

0

∑≠

−=−±=

N

kNk

k kThaD (14.6)

a njegova maksimalna vrednost je:

θβ sin)()1(

0

max ∑≠−=

−−=N

kNk

kThdMD (14.7)

4. Za QAM

θθ sin)0(2

1cos)0(

2

1)0( )2(

0)1(

0 ahahsd += .

Izobličenje u obliku međukanalne interferencije je:

θθ sin)0()( )2(0ahD = (14.8)

čija je vršna vrednost:

θsin)1)(0(max dMhD −= (14.9)

Kod binarnog PSK signala postupak demodulacije i efekat faznog nesinhronizma identičan je kao kod binarnog AM signala sa potisnutim nosiocem. Postupak demodulacije 4 PSK i BPSK signala odgovara demodulaciji QAM signala.

14.2 Izdvajanje digitskog takta Izdvajanje digitskog takta zasniva se na periodičnosti statističke srednje vrednosti digitalnog signala, a ostvaruje se linearnim i nelinearnim postupcima obrade (PF, PLL, itd.). Posledica nesavršenosti ekstraktora digitskog takta, smetnji na liniji i nestabilnosti digitskog takta digitalnog signala jeste pojava fluktuacije položaja impulsa oko nominalnog položaja - džiter.

Diskretni signal džitera može se predstaviti relacijom:

θ θ δd nn

t t nT( ) ( )= −=

∞

∑1

(14.10)

gde je:


θ πτn

n

T=

2 (14.11)

fazni, a τ n vremenski džiter.


14.2 ZADACI

14.2.1 Na slici (Slika 14.2.1.1) prikazan je sistem za prenos podataka u osnovnom opsegu učestanosti. Simboli ka uzimaju vrednosti iz skupa (-U,U). Predajni i prijemni filtri su

idealni sa prenosnim karakteristikama:

⎩⎨⎧

≥<

=,21||0

,21||)(

Tf

TfTfHT

⎩⎨⎧

≥<

=,21||0

,21||1)(

Tf

TffH R

gde je T digitalni takt.

Slika 14.2.1.1 Sistem za prenos podataka u osnovnom opsegu

Odlučivanje o k-tom simbolu se vrši na osnovu odbirka signala )(tsR u trenutku

Tkt )( ε+= , gde je ε greška u sinhronizaciji, 5,0|| <ε .

Pod pretpostavkom da se šum u kanalu može zanemariti:

a) napisati analitički izraz za signal u tački R,

b) izračunati vršnu ISI koja nastaje zbog greške u sinhronizaciji, ako je 1,0=ε , smatrajući da je impulsni odziv sistema ograničen na K = 2L+1 = 7 digitalnih intervala,

c) kolika je maksimalna dozvoljena greška u sinhronizaciji ε, ako je prenosni sistem idealan, a L → ∞?

Rešenje:

Signal na izlazu predajnika je:

,)()( ∑∞

−∞=−=

kkT kTthats

gde je:

.)sin(

)(Tt

Ttth

ππ=

a) Pošto se šum zanemaruje:

.)()()( ∑ −=≡k

kTR kTthatsts

b) U trenutku odlučivanja o l-tom simbolu:

[ ] [ ]{ }

[ ]{ }[ ] .

)(

)(sin

)()(

∑

∑∞

−∞= −+−+=

−+=+

kk

kkR

kl

kla

klThaTls

επεπ

εε


Uvodi se smena klm −= , gde je m "rastojanje" od l-tog simbola, pa je:

[ ] [ ]

[ ].

)(

)(sin)sin(

)(

)(sin)(

0∑

∑

≠−

∞

−∞=−

+++=

++=+

mmll

mmlR

m

maa

m

maTls

επεπ

πεπε

επεπε

U prethodnom izrazu koristan član je za m = 0, a ostatak sume je ISI Interesuje nas vršna ISI:

[ ].

)(

)(sin

0

max ∑≠−= +

+=L

mLm m

mUi

επεπ

Kako za celobrojne vrednosti m važi:

( ) ,)sin()(sin επεπ =+m

za L = 3 i 5,0|| <ε vršna ISI je:

.36,02)sin(11)sin( 3

122

3

1max U

m

mU

mm

Ui

mm

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+= ∑∑

== επεπ

εεπεπ

c) Ako je sistem idealan (bez šuma, sa datom )( fH koja zadovoljava I NK), biće za

∞→L usled greške u sinhronizaciji:

.1

lim)sin(22)sin(

lim11

22max ∞→⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑∑

=∞→=∞→

L

mL

L

mL m

U

m

mUi επ

πεπεπ

Pošto vršna ISI divergira, ne sme se dozvoliti greška u sinhronizaciji.

14.2.2 Sistemom koji koristi kontrolisanu ISI duobinarno se prenose podaci grupisani u pakete od po 4 simbola. Paketi su dovoljno razmaknuti pa se prenos svakog od paketa može posmatrati nezavisno. Jedan od posmatranih paketa ima sledeću strukturu simbola

}1,1,1,1{}{ −−=ka . Usled greške u sinhronizaciji na prijemu kod trećeg simbola u paketu

odmeravanje je izvršeno ε = T/8 sekundi ranije. Ako je impulsni odziv sistema za duobinarni prenos dat u obliku:

Tf

tf

tftg c

c

c

2

1,

)4(1

)2cos(4)(

2=

−=

ππ

,

i pod pretpostavkom da na predaji nije izvršeno diferencijalno kodovanje poruke,

a) izračunati vrednost odmerka digitalnog signala u trenutku odlučivanja o trećem simbolu,

b) izračunati maksimalnu snagu šuma pod uslovom da poruka u ovom paketu bude ispravno primljena sa verovatnoćom greške po bitu manjom od 10-6.

Referentni simbol na prijemu je “1”, a u sistemu je prisutan aditivni Gausov šum.

Rešenje:

a) Tabela 14.2.2.1 daje vrednosti impulsnog odziva na osnovu kojih je jasno da sistem zadovoljava drugi Nikvistov kriterijum (a ne zadovoljava I NK).


t 0 ±T/2 ±3T/2 ±5T/2 ±7T/2 ±T ±2T ±3T/8 ±5T/8 ±11T/8 ±13T/8

g t( ) 4/π 1 0 0 0 4/3π -4/15π 1,114 0,866 0,074 -0,051

Tabela 14.2.2.1 Vrednosti impulsnog odziva u karakterističnim tačkama

b) Digitalni signal koji odgovara prenosu jednog paketa na prijemu je oblika:

s t a g t nTnn

( ) ( )= −=∑

0

3

.

Slika 14.2.2.1 Sekvenca impulsnih odziva za poruku { 1 1 -1 -1 }

O simbolima ka odlučuje se na osnovu odmeraka )(ts uzetih u trenucima 2TkT − :

2)2()2()25(

0)2()2()23(

2)2()2()2(

2)2()2(

32

21

10

0

−=−+==−+=

=−+=

=−+=−

TgaTgaTs

TgaTgaTs

TgaTgaTs

TgaaTs ref

.1ˆ2ˆ

,1ˆ0ˆ

,1ˆ2ˆ

,12ˆ

23

12

01

0

−=−−=⇒−=−=⇒

=−=⇒

=−=⇒

aa

aa

aa

aa ref

U prijemu trećeg simbola poruke, a2, zbog greške u sinhronizaciji ε = T/8 odmerak digitalnog signala )(ts na osnovu kojeg se odlučuje je:

.373,0051,0866,0114,1074,0

)813()85()83()811(

)823(

)82()82()823()823(

3

210

=+−+==−−−−+=

−−++−−+−+−=−

TgTgTgTg

TTga

TTgaTTgaTTgaTTs

U trenutku odlučivanja prisutan je i šum. Kvantizer u duobinarnom dekoderu će ispravno dekodovati simbol a2 ako je 1)823()823( <−+− TTnTTs , tj. ako je

trenutna vrednost šuma manja od 0,627 (i veća od 1,373 - što se može zanemariti).


75,4627,0

10627,0

)627,0( 6 >⇔<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=>= −

nnE QnPP

σσ,


0174,02 ≤nσ .

Dakle, ako je snaga šuma na prijemu manja od 17 mW, vrednost simbola a2 biće ispravno dekodovana sa verovatnoćom greške manjom od 10-6. Ostali simboli u


poruci imaju dobru sinhronizaciju i samo kontrolisanu ISI pa je verovatnoća greške kod njih daleko manja.

14.2.3 U optimalnom prijemniku binarnog ASK signala (Slika 14.2.3.1) postoji fazna greška θ u odnosu na nosilac na predaji. Izračunati vrednost fazne greške koja će izazvati

povećanje verovatnoće greške sa 4104 −⋅ (za slučaj kada je 0=θ ) na 3104 −⋅ . Prenos se vrši preko AWGN kanala.

)2cos( 0 θπ +tf

∫T

0

)2cos( 0 θπ +− tf

∫T

0

)(ts

)(1 tr

)(2 tr

)(tr

Slika 14.2.3.1 Optimalni prijemnik BPSK signala

Rešenje:

Modulisani signal u k-tom signalizacionom intervalu je:

⎩⎨⎧−

=0. binarno se prenosi)2cos(

1, binarno se prenosi)2cos()(

0

0

tf

tfts

ππ

Pretpostavimo prvo da se prenosi binarno 1. Signali u prijemniku su tada:

,cos2

4

)4sin(1

2

sin

4

)4sin(

2

cos

)4sin(2

sin)4cos(

2

cos

)2sin()2cos(sin)2cos()2cos(cos

)2cos()2cos()(

0

0

0

0

00

00

0

000

000

0001

θ

ππθ

ππθ

πθπθ

ππθππθ

θππ

T

f

Tf

f

TfT

dttfdttfdt

dttftfdttftf

dttftfTr

TTT

TT

T

=

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−=

+=

∫∫∫

∫∫

∫

uz pretpostavku da je 10 >>f .

Na isti način je:

,cos2

)2cos()2cos()(0

002 θθππ TdttftfTr

T

−=+−= ∫

pa je:

.cos)()()( 21 θTTrTrTr =−=

Ukoliko se prenosi binarno 0, tada je:

.cos)( θTTr −=


Polovina rastojanja između nivoa na prijemu je:

θθθcos

2

)cos(cosT

TTd =−−= ,

a kada nema faznog nesinhronizma ( 0=θ ), onda je:

Td = .


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nE

dQP

σ.

Kada nema faznog nesinhronizma, po uslovu zadatka je:

,104 4−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nnE

TQ

dQP

σσ

odakle se dobija:

( ) ,35.3104 41 ≈⋅= −−QT

nσ

Ugao θ za koji se dobija verovatnoća greške od 3104 −⋅ ćemo dobiti iz sledeće jednačine:

( ) ,79.035.3

65.2cos65.2104cos 31 ==⇒≈⋅= −− θ

σQ

T

n

odnosno, o37≈θ .

Vidi se da fazni nesinhronizam na prijemu dovodi do toga da se rastojanje između primljenih simbola smanjuje, što rezultuje povećanjem verovatnoće greške.

14.2.4 Posmatra se MPSK sistem sa optimalnim prijemnikom (Slika 14.2.4.1). Odrediti koliko je maksimalno dozvoljeno fazno odstupanje θ između nosioca na predajnoj i na prijemnoj strani (smatra se da je uticaj šuma u kanalu zanemarljiv).

)2cos( 0 θπ +tf

∫T

0

)2sin( 0 θπ +tf

∫T

0

( )XYarctan)(ts φ

Y

X

Slika 14.2.4.1

Rešenje:

Talasni oblici M-arnog PSK signala su:

.1,...,1,0,2

),2cos()( 0

−==Φ

Φ−=

MkM

k

tfAts

k

kk

ππ


Minimalno rastojanje između njihovih faza je:

M

π2=∆Φ .

Važi:

( ) ( )

( )

( ),cos2

4

)cos()4cos(

2cos

2

cos2

4cos2

)2cos()2cos(

0

0

000

000

k

kkk

T

k

T

k

T

k

AT

f

TfAAT

dtA

dttfA

dttftfAX

Φ+=

Φ−−Φ−++Φ+=

Φ++Φ−+=+Φ−= ∫∫∫

θ

πθθπθ

θθπθππ

),sin(2

)sin(24

)4cos()cos(

2

)sin(2

)4sin(2

)2sin()2cos(

0

0

000

000

k

kkk

T

k

T

k

T

k

AT

AT

f

TfA

dtA

dttfA

dttftfAY

Φ+=

Φ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−+−Φ−=

Φ++Φ−+=+Φ−= ∫∫∫

θ

θπ

θπθ

θθπθππ

.)cos(

)sin(arctanarctan k

k

k

X

Y Φ+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ+Φ+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= θ

θθφ

Prilikom odlučivanja dolazi do greške ukoliko je θ veći od polovine rastojanja između

susednih simbola (Slika 14.2.4.2), odnosno:

.2 π

θ M=∆Φ<

∆Φ

∆Φ

θ

Slika 14.2.4.2

14.2.5 Na slici (Slika 14.2.5.1) prikazana je blok šema QAM sistema za prenos dva signala podataka )(tsA i )(tsB . Oba signala imaju isti M-arni alfabet i isti digitalni takt T. Standardni signal na ulazu je )(tδ . Prenosna karakteristika predajnog NF filtra je:

( )⎩⎨⎧ ≤

=drugde.0

,21 TfTfH


Odrediti zavisnost margine šuma na prijemu na oba izlaza, od razlike faza nosioca i lokalnog nosioca.

)(tsA

)(tsB

)(1 tsd

)(2 tsd

Slika 14.2.5.1 Sistem za prenos QAM signala

Rešenje:

Signali na ulazu QAM sistema prenosa su:

∑∞

−∞=−=

nnA nTtats )()( )1( δ , i

.)()( )2(∑∞

−∞=−=

nnB nTtats δ

Impulsni odziv idealnog NF filtra prenosne karakteristike TfH =)( u Nikvistovom opsegu je:

( ){ } .)sin(

F)( 1

Tt

TtfHth

ππ== −

QAM signal je:

.)2sin()()2cos()()( 0)2(

0)1( ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=−+−=

nn

nnM tfnTthatfnTthats ππ

U tački 1 signal je:

∑ ∑

∑ ∑−−+−+

+−++−=

=+⋅=

n nnn

n nnn

M

nTthatfnTtha

nTthatfnTtha

tftsts

.sin)()22sin()(

cos)()22cos()(

)2cos(2)()(

)2(0

)2(

)1(0

)1(

01

θθπ

θθπθπ

Uloga NF filtra u sinhronom prijemniku je da potisne komponentu na 02 f . Tako je:

.sin)(cos)()( )2()1(1 ∑ ∑ −−−=

n nnnd nTthanTthats θθ

Slično se dobija:

.cos)(sin)()( )2()1(2 ∑ ∑ −+−=

n nnnd nTthanTthats θθ

U trenutku odlučivanja je:

∑ ∑ −−−=n n

nnd nThanThas θθ sin)(cos)()0( )2()1(1 .

Pošto je zadovoljen I NK:

⎩⎨⎧

≠=

=−,00

,01)(

n

nnTh


odbirak demodulisanog signala svodi se na:

.sincos)0( )2(0

)1(01 θθ aasd −=

Slično se dobija i:

.cossin)0( )2(0

)1(02 θθ aasd +=

Ako je alfabet dMdd )1(...,,3, −±±± onda je margina šuma:

[ ] ].)1(1[cossin)1(cosmax0 θθθθ tgMdMdDdgM N −−=−−=−=

Dijagram oka se zatvara kada je preslušavanje veće od korisnog signala, tj. kad je 0=NM .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−= −

1

1tg 1

Mθ

ili 2

πθ = , a u tom slučaju i amplituda korisnog signala jednaka je nuli.

M 2 4 8

θ 45° 18,43° 8,13°

Kada se koriste alfabeti sa više od dva simbola, oko se zatvara već pri znatno manjim greškama u sinhronizaciji.

14.2.6 Uporediti verovatnoću greške pojedinom kanalu na prijemu 16QAM signala, u slučaju kada je fazna sinhronizacija između nosioca na predajnoj i na prijemnoj strani idealna, i u

slučaju kada postoji fazni nesinhronizam od o7=θ . Može se smatrati da je intersimbolska interferencija zanemarljiva, a odnos koristan signal/šum na prijemu je 24 dB.

Rešenje:

Verovatnoća greške za po pojedinom kanalu je verovatnoća greške za 4ASK (zadatak 9.2.2):

4,1

312

22=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−= M

M

P

M

MP

n

sE Q

σ,

pa je u slučaju idealne sinhronizacije:

( )( ).101

088.75.1

102.05.1

12

4,2

−⋅≈

⋅=⋅⋅=

Q

QPE

Na sličan način kao i u zadatku 14.2.3, može se pokazati da je verovatnoća greške kada postoji fazni nesinhronizam:

( )( ).106

465.45.1

102.063.05.1

])1(1[cos1

312

6

4,2

22

−⋅≈

⋅=⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−=

Q

Q

tgMM

P

M

MP

n

sE Q θθ

σ


V E Ž B A 8

SINHRONIZACIJA TAKTA

NAČINI REALIZACIJE SINHRONIZACIJE TAKTA

1) Sinhronizacija zasnovana na korišćenju fazne petlje (PLL – Phase Locked Loop)

1.1. Ako se pretpostavi da je prenosna funkcija filtra koji koristi PLL s

ssG+

+=

101.01)( i

da je K=1, odrediti odziv PLL-a na nagli skok faze u vidu jedinične odskočne funkcije.

1.2. Na primeru Simulink realizacije PLL strukture, upoznati se osnovama njenog funkcionisanja, kao i parametrima koji utiču na performase sinhronizacionog podsistema.

2) Early-late gate sinhronizacija

2.1. Binarni PAM sistem koristi elementarni impuls sa spektrom oblika podignuti kosinus i faktorom zaobljenja 0,4. Ako je digitalni protok 4800 b/s napisati MATLAB program koji simulira sinhronizaciju takta zasnovanu na early-late gate metodu.

3) Primer implementacije

3.1. Proučiti realizaciju MATLAB/Simulink blokova za sinhronizaciju takta.

276 VEŽBA 8


PRILOG

Za izračunavanje verovatnoće greške često se koristi tzv. Q funkcija. Njen definicioni izraz je:

( )Q x e dyy

x

=−

+∞

∫12

2

2

π (P1)

Takođe se koriste i funkcija greške erf ( )x i njena komplementarna funkcija erfc ( )x . One su definisane kao:

( )erf x e yx

= −∫2 2

0πdy (P2)

erfc ( ) erf ( )x x= −1 . (P3) Relacija između ovih funkcija data je sa:

Q x x( ) erfc= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12 2 (P4)

Vrednosti Q-funkcije date su u tabeli. Osnovne osobine Q-funkcije su: Q Q Q( ) , ( ) , , ( )−∞ = = .∞ =1 0 0 5 0 (P5) Za izračunavanje vrednosti Q funkcije, često se koriste i aproksimativni izrazi kao što su:

22 22

21)(

2111 2

xx eex

xQxx

−−

⋅<<

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ππ (P6)

Za vrednosti argumenta x > 2 aproksimativni izrazi daju zadovoljavajuću tačnost.

( )Q x e dyy

x

=−

+∞

∫12

2

2

π

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.46410.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.42470.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.38590.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.34830.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.31210.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.27760.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.24510.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.21480.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.18670.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.16111.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.13791.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.11701.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.09851.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.08231.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.06811.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.05591.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.04551.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.03671.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.02941.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.02332.0 2.2750e-02 2.2216e-02 2.1692e-02 2.1178e-02 2.0675e-02 2.0182e-02 1.9699e-02 1.9226e-02 1.8763e-02 1.8309e-022.1 1.7864e-02 1.7429e-02 1.7003e-02 1.6586e-02 1.6177e-02 1.5778e-02 1.5386e-02 1.5003e-02 1.4629e-02 1.4262e-022.2 1.3903e-02 1.3553e-02 1.3209e-02 1.2874e-02 1.2545e-02 1.2224e-02 1.1911e-02 1.1604e-02 1.1304e-02 1.1011e-022.3 1.0724e-02 1.0444e-02 1.0170e-02 9.9031e-03 9.6419e-03 9.3867e-03 9.1375e-03 8.8940e-03 8.6563e-03 8.4242e-032.4 8.1975e-03 7.9763e-03 7.7603e-03 7.5494e-03 7.3436e-03 7.1428e-03 6.9469e-03 6.7557e-03 6.5691e-03 6.3872e-032.5 6.2097e-03 6.0366e-03 5.8677e-03 5.7031e-03 5.5426e-03 5.3861e-03 5.2336e-03 5.0849e-03 4.9400e-03 4.7988e-032.6 4.6612e-03 4.5271e-03 4.3965e-03 4.2692e-03 4.1453e-03 4.0246e-03 3.9070e-03 3.7926e-03 3.6811e-03 3.5726e-032.7 3.4670e-03 3.3642e-03 3.2641e-03 3.1667e-03 3.0720e-03 2.9798e-03 2.8901e-03 2.8028e-03 2.7179e-03 2.6354e-032.8 2.5551e-03 2.4771e-03 2.4012e-03 2.3274e-03 2.2557e-03 2.1860e-03 2.1182e-03 2.0524e-03 1.9884e-03 1.9262e-032.9 1.8658e-03 1.8071e-03 1.7502e-03 1.6948e-03 1.6411e-03 1.5889e-03 1.5382e-03 1.4890e-03 1.4412e-03 1.3949e-033.0 1.3499e-03 1.3062e-03 1.2639e-03 1.2228e-03 1.1829e-03 1.1442e-03 1.1067e-03 1.0703e-03 1.0350e-03 1.0008e-033.1 9.6760e-04 9.3544e-04 9.0426e-04 8.7403e-04 8.4474e-04 8.1635e-04 7.8885e-04 7.6219e-04 7.3638e-04 7.1136e-043.2 6.8714e-04 6.6367e-04 6.4095e-04 6.1895e-04 5.9765e-04 5.7703e-04 5.5706e-04 5.3774e-04 5.1904e-04 5.0094e-043.3 4.8342e-04 4.6648e-04 4.5009e-04 4.3423e-04 4.1889e-04 4.0406e-04 3.8971e-04 3.7584e-04 3.6243e-04 3.4946e-043.4 3.3693e-04 3.2481e-04 3.1311e-04 3.0179e-04 2.9086e-04 2.8029e-04 2.7009e-04 2.6023e-04 2.5071e-04 2.4151e-04

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.093.5 2.3263e-04 2.2405e-04 2.1577e-04 2.0778e-04 2.0006e-04 1.9262e-04 1.8543e-04 1.7849e-04 1.7180e-04 1.6534e-043.6 1.5911e-04 1.5310e-04 1.4730e-04 1.4171e-04 1.3632e-04 1.3112e-04 1.2611e-04 1.2128e-04 1.1662e-04 1.1213e-043.7 1.0780e-04 1.0363e-04 9.9611e-05 9.5740e-05 9.2010e-05 8.8417e-05 8.4957e-05 8.1624e-05 7.8414e-05 7.5324e-053.8 7.2348e-05 6.9483e-05 6.6726e-05 6.4072e-05 6.1517e-05 5.9059e-05 5.6694e-05 5.4418e-05 5.2228e-05 5.0122e-053.9 4.8096e-05 4.6148e-05 4.4274e-05 4.2473e-05 4.0741e-05 3.9076e-05 3.7475e-05 3.5936e-05 3.4458e-05 3.3037e-054.0 3.1671e-05 3.0359e-05 2.9099e-05 2.7888e-05 2.6726e-05 2.5609e-05 2.4536e-05 2.3507e-05 2.2518e-05 2.1569e-054.1 2.0658e-05 1.9783e-05 1.8944e-05 1.8138e-05 1.7365e-05 1.6624e-05 1.5912e-05 1.5230e-05 1.4575e-05 1.3948e-054.2 1.3346e-05 1.2769e-05 1.2215e-05 1.1685e-05 1.1176e-05 1.0689e-05 1.0221e-05 9.7736e-06 9.3447e-06 8.9337e-064.3 8.5399e-06 8.1627e-06 7.8015e-06 7.4555e-06 7.1241e-06 6.8069e-06 6.5031e-06 6.2123e-06 5.9340e-06 5.6675e-064.4 5.4125e-06 5.1685e-06 4.9350e-06 4.7117e-06 4.4979e-06 4.2935e-06 4.0980e-06 3.9110e-06 3.7322e-06 3.5612e-064.5 3.3977e-06 3.2414e-06 3.0920e-06 2.9492e-06 2.8127e-06 2.6823e-06 2.5577e-06 2.4386e-06 2.3249e-06 2.2162e-064.6 2.1125e-06 2.0133e-06 1.9187e-06 1.8283e-06 1.7420e-06 1.6597e-06 1.5810e-06 1.5060e-06 1.4344e-06 1.3660e-064.7 1.3008e-06 1.2386e-06 1.1792e-06 1.1226e-06 1.0686e-06 1.0171e-06 9.6796e-07 9.2113e-07 8.7648e-07 8.3391e-074.8 7.9333e-07 7.5465e-07 7.1779e-07 6.8267e-07 6.4920e-07 6.1731e-07 5.8693e-07 5.5799e-07 5.3043e-07 5.0418e-074.9 4.7918e-07 4.5538e-07 4.3272e-07 4.1115e-07 3.9061e-07 3.7107e-07 3.5247e-07 3.3476e-07 3.1792e-07 3.0190e-075.0 2.8665e-07 2.7215e-07 2.5836e-07 2.4524e-07 2.3277e-07 2.2091e-07 2.0963e-07 1.9891e-07 1.8872e-07 1.7903e-075.1 1.6983e-07 1.6108e-07 1.5277e-07 1.4487e-07 1.3737e-07 1.3024e-07 1.2347e-07 1.1705e-07 1.1094e-07 1.0515e-075.2 9.9644e-08 9.4420e-08 8.9462e-08 8.4755e-08 8.0288e-08 7.6050e-08 7.2028e-08 6.8212e-08 6.4592e-08 6.1158e-085.3 5.7901e-08 5.4813e-08 5.1884e-08 4.9106e-08 4.6473e-08 4.3977e-08 4.1611e-08 3.9368e-08 3.7243e-08 3.5229e-085.4 3.3320e-08 3.1512e-08 2.9800e-08 2.8177e-08 2.6640e-08 2.5185e-08 2.3807e-08 2.2502e-08 2.1266e-08 2.0097e-085.5 1.8990e-08 1.7942e-08 1.6950e-08 1.6012e-08 1.5124e-08 1.4283e-08 1.3489e-08 1.2737e-08 1.2026e-08 1.1353e-085.6 1.0718e-08 1.0116e-08 9.5479e-09 9.0105e-09 8.5025e-09 8.0224e-09 7.5686e-09 7.1399e-09 6.7347e-09 6.3520e-095.7 5.9904e-09 5.6488e-09 5.3262e-09 5.0215e-09 4.7338e-09 4.4622e-09 4.2057e-09 3.9636e-09 3.7350e-09 3.5193e-095.8 3.3157e-09 3.1236e-09 2.9424e-09 2.7714e-09 2.6100e-09 2.4579e-09 2.3143e-09 2.1790e-09 2.0513e-09 1.9310e-095.9 1.8175e-09 1.7105e-09 1.6097e-09 1.5147e-09 1.4251e-09 1.3407e-09 1.2612e-09 1.1863e-09 1.1157e-09 1.0492e-096.0 9.8659e-10 9.2762e-10 8.7209e-10 8.1980e-10 7.7057e-10 7.2423e-10 6.8061e-10 6.3955e-10 6.0091e-10 5.6455e-106.1 5.3034e-10 4.9816e-10 4.6788e-10 4.3940e-10 4.1261e-10 3.8741e-10 3.6372e-10 3.4145e-10 3.2051e-10 3.0082e-106.2 2.8232e-10 2.6492e-10 2.4858e-10 2.3322e-10 2.1879e-10 2.0523e-10 1.9249e-10 1.8052e-10 1.6929e-10 1.5873e-106.3 1.4882e-10 1.3952e-10 1.3078e-10 1.2258e-10 1.1488e-10 1.0766e-10 1.0088e-10 9.4514e-11 8.8544e-11 8.2943e-116.4 7.7688e-11 7.2760e-11 6.8137e-11 6.3802e-11 5.9737e-11 5.5925e-11 5.2351e-11 4.9001e-11 4.5861e-11 4.2918e-116.5 4.0160e-11 3.7575e-11 3.5154e-11 3.2885e-11 3.0759e-11 2.8769e-11 2.6904e-11 2.5158e-11 2.3522e-11 2.1991e-116.6 2.0558e-11 1.9216e-11 1.7960e-11 1.6784e-11 1.5684e-11 1.4655e-11 1.3691e-11 1.2790e-11 1.1947e-11 1.1159e-116.7 1.0421e-11 9.7312e-12 9.0862e-12 8.4832e-12 7.9193e-12 7.3923e-12 6.8996e-12 6.4391e-12 6.0088e-12 5.6067e-126.8 5.2310e-12 4.8799e-12 4.5520e-12 4.2457e-12 3.9597e-12 3.6925e-12 3.4430e-12 3.2101e-12 2.9926e-12 2.7896e-126.9 2.6001e-12 2.4233e-12 2.2582e-12 2.1042e-12 1.9605e-12 1.8264e-12 1.7014e-12 1.5847e-12 1.4759e-12 1.3744e-127.0 1.2798e-12 1.1916e-12 1.1093e-12 1.0327e-12 9.6120e-13 8.9459e-13 8.3251e-13 7.7467e-13 7.2077e-13 6.7056e-13

Vrednosti Q funkcije


LITERATURA

1. Sklar B., “Digital Communications; Fundamentals and Applications”, Prentice-Hall

International, London, 1988.

2. Milošević V., Delić V., “Zbirka zadataka iz Digitalnih telekomunikacija”, 1995.

3. Proakis J.G., “Digital Communications”, McGraw-Hill, New York, 1995.

4. Proakis J. G. at al: “Contemporaty Communication Systems using Matlab”, Thomson

Brooks/Cole, Canada, 2004.

5. McClellan J. at al, “Computer-Based Exercises for Signal Processing Using MATLAB 5”,

Matlab Curriculum Series, 1998.

6. Tretter S. A., “Communications System Design Using DSP Alghoriths”, Kluwer Academic/

Plenum Publishers, New York, 2003.

7. Lab Course “Communications Technology”, Information Technology, University of Ulm.

8. Dukić M. at al, “Osnovi telekomunikacija”, Praktikum za laboratorijske vežbe, ETF, Beograd.

9. Zeytinoglu O.M., Ma N. W., “Communication Sytems II ELE 045 Laboratory Manual”,

Department of Electrical ond Computer Engineering, Ryerson Polytechnic University

10. Benedetto S., Biglieri E., and Castellani V., “Digital Transmission Theory”, Prentice-Hall

International, New Jersey, 1987..

11. Jovanović-Doleček G., “Slučajne varijable i procesi u telekomunikacijama”,Svjetlost,

Sarajevo, 1987.

12. Kostić I. M., “Digitalni telekomunikacioni sistemi”, Naučna knjiga, Beograd, 1994.

13. Lukatela G., Drajić D., Petrović G. i Petrović R., “Digitalne telekomunikacije”, Građevinska

knjiga, Beograd, 1984.

14. Lukatela G., “Statistička teorija telekomunikacija i teorija informacija”, Građevinska knjiga,

Beograd, 1980.

15. Roden M. S., “Analog and digital communication systems”, Prentice-Hall International,

Singapore, 1991.

282 LITERATURA

16. Stojanović J. S., “Osnovi telekomunikacija”, Građevinska knjiga, Beograd, 1977.

17. Stojanović Z., Beća H., Dukić M. i Petrović Z., “Osnovi Telekomunikacija; Zbornik rešenih

problema”, Građevinska knjiga, Beograd, 1982.

18. CCITT, “Red Book, Volume VIII”, Geneva, 1984.

skripta

Documents

reeni zadaci veba

digitalni kanal

obradu signala

kodni kanal je diskretni

prenos u osnovnom opsegu

u taku

u zavisnosti

tipa prenoenih signala