skript physikalische größen, einheiten und symbole 2011

5/10/2018 Skript Physikalische Größen, Einheiten und Symbole 2011 - slidepdf.com

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SKRIPT

PPHHYYSSIIK K AALLIISSCCHHEE GGR R ÖÖSSSSEENN,, EEIINNHHEEIITTEENN UUNNDD SSYYMMBBOOLLEE

ZENTRALGEWERBESCHULE BUCHEN (ODENWALD)

K O N T A K T : b_ s t a n g e @ g m x . d e

Version 2011



INHALTSVERZEICHNIS

PHYSIKALISCHE GRÖSSEN, EINHEITEN UND SYMBOLE

1. PHYSIKALISCHE GRÖSSEN

2. EINFÜHRUNG IN DAS MESSEN

3. VORMETRISCHE MASSSYSTEME

4. ENTWICKLUNG DES METRISCHEN SYSTEMS

5. CHRONOLOGIE AB

17896. ENTWICKLUNG EINES INTERNATIONALEN EINHEITENSYSTEMS

7. DAS SI-SYSTEM

AB1: SI-Basiseinheiten

AB2: Abgeleitete SI-Einheiten und Nicht-SI-Einheiten

AB3: Dimensionsanalyse

7.1. BASISEINHEITEN DER MECHANIK

7.1.1. Der Meter

7.1.2. Das Kilogramm

7.1.3. Die Sekunde

AB4: Vorsätze von Einheiten

AB5: Customary Units in the UK/US

AB6: Exercises

ANHANG: WICHTIGE MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

1. WISSENSCHAFTLICHE NOTATION

2. ABWEICHUNGEN UND UNGENAUIGKEITEN

3. ABHÄNGIGKEITEN VON PHYSIKALISCHEN GRÖSSEN

3.1. LINEARE REGRESSION

AB7: Lineare Regression

PPHHYYSSIIKKAALLIISSCCHHEE GGRRÖÖSSSSEENN,, EEIINNHHEEIITTEENN UUNNDD SSYYMMBBOOLLEE –– DDrr.. BBeerrnndd SSttaannggee--GGrrüünneebbeerrgg,, SSeepptteemmbbeerr 22001111

SSEEIITTEE 22

ZZEENNTTR R A A LLGGEEWWEER R BBEESSCCHHUULLEE

BBUUCCHHEENN ((OODDEENNWW A A LLDD))



PHYSIKALISCHE GRÖSSEN, EINHEITEN UND SYMBOLE

„Man muß messen, was meßbar ist,

und was nicht meßbar ist, meßbar machen.“

GALILEO GALILEI

1. PHYSIKALISCHE GRÖSSEN

chon die eingangs erarbeitete Definition der Naturwissenschaft Physik zeigt, daß ein

zentraler Punkt im physikalischen Arbeiten die Erfassung von Meßwerten und Be-

schreibung von physikalischen Größen ist. Was aber genau ist eine physikalische Größe?

Neben ungerichteten physikalischen Größen, wie z.B. Temperatur oder Masse, den sogenann-

ten Skalaren, gibt es gerichtete Größen, wie z.B. die Geschwindigkeit, für deren vollständige

Beschreibung neben dem Größenwert, dem Betrag, auch die Richtung entscheidend ist. Diese

Vektoren genannten Größen werden in der Kinematik eingeführt und dort näher erläutert.

Da physikalische Größen meßbar sind, kann man dementsprechend einen Größenwer t angeben.

Der Größenwert einer physikalischen Größe setzt sich immer aus dem Zahlenwert und

einer Einhe it zusammen, also:

Größenwert = Zahlenwert x Einheit

= x

Beispiel: Die Dichte von Quecksilber (Hg) beträgt 13500 Kilogramm pro Kubikmeter, es gilt also:

Der reine Zahlenwert (selten benutzt) bzw. die Einheit der Dichte werden folgender-

maßen angegeben:

bzw.

Einige Bemerkungen zur Formatierung 1: Formelzeichen müssen kursiv , Größenwerte (aus Zah-

lenwert und Einheit) dagegen geradestehend geschrieben werden, also z.B. .

1 Die Formatierung richtet sich nach den Vorschriften DIN 1301, 1302, 1304, 1313 und 1338. Weitere gesetzliche Grundla-gen für das Meßwesen sind die EG-Richtlinie 80/181/EWG, das Einheitengesetz (EinhG) sowie die Normen DIN 1319,ISO 31 (die mittelfristig durch die ISO 80000 abgelöst werden wird) und ISO 1000.

S

Definition einer physikalischen Größe


SSEEIITTEE 33





Abb.1: Nippur-Elle im archäologischen Museum Istanbul

2. EINFÜHRUNG IN DAS MESSEN

ie Ursprünge des Messens liegen im Dunkeln. Die ältesten Funde deuten darauf hin, daß

Menschen seit mindestens 8000 Jahren in der Lage sind, Messungen vornehmen und

Maßeinheiten festlegen zu können.

Messen übte auf die kulturgeschichtliche Entwicklung des Menschen zwei wichtige Einflüsse aus:

Die Fähigkeit, (ab)messen zu können, ermöglichte einerseits einen fortgeschrittenen Handel

über den reinen Tausch hinaus. Maßstäbe stellen aber auch die Grundlage für die Reproduzier-

barkeit von Messungen dar. Damit waren (und sind) naturwissenschaftliche Erkenntnisse unab-

dingbar mit der Entwicklung der Meßtechnik verbunden.

3. VORMETRISCHE MASSSYSTEME

essen bedeutet Ver gl ei chen mit einem Maß stab : Beim Messen wird eine unbekann-

te Maßzahl mit einer bekannten, einem Maßstab zugehörigen Maßzahl verglichen, da-

mit uns die unbekannte Maßzahl bekannt wird. Es ist naheliegend, daß die frühzeit-

lichen Menschen ihre Gliedmaßen bzw. Teile davon (Elle, Daumen, Fuß usw. als Längenmaßstab)

oder die Natur (z.B. Getreidekörner als Gewichtsmaßstab) als Vergleich zur Messung benutzt ha-

ben.

Der älteste dingliche Maßstab ist die

nach ihrem Fundort benannte Nip-

pur-Elle2, die auf etwa 2800 v.Chr.

datiert wird. Bei einer Gesamtlänge

von etwa 110 cm (und einer Masse

von 45,5 kg!) enthält das Relikt Ker-

ben, die Marken eines Maßsystems

(siehe auch Abb.2) sind, von denenwiederum die Nippur-Elle (mit einer Länge von etwa 51,8 cm) nach heutigem Kenntnisstand die

älteste Längeneinheit darstellt.

Geschichtlich betrachtet haben sich bis zur Einführung des Meters alle Längeneinheiten ausein-

ander entwickelt. Methoden der historischen Metrologie haben aber gezeigt, daß sich alle vor-

metrischen Längeneinheiten aus der Nippur-Elle ableiten lassen.

2 Nippur war eine sumerische Stadt in Mesopotamien, die unweit von Bagdad im heutigen Irak lag.

D

M


SSEEIITTEE 44





Abb.3: Fußmaße im 19. Jahrhundert

Abb.2: Deutung der Einkerbungen in der Nippur-Elle3 [modifiziert]

4. ENTWICKLUNG DES METRISCHEN SYSTEMS

peziell in Deutschland waren Maße und Ge-

wichte aufgrund der zahlreichen Königreiche,Fürstentümer und anderer politischer Einhei-

ten im späten Mittelalter als Symbole regionaler

Machtstrukturen (z.B. Badischer Fuß, Württembergi-

scher Fuß usw.) weit verbreitet. So gab es um 1800

allein im Herzogtum Baden 112 verschiedene Ellen,

92 Flächenmaße, 65 Holzmaße, 163 Getreidemaße,

63 Schankmaße und 80 unterschiedliche Pfunde!

Nicht zuletzt der zunehmende Handel zwischen den

Ländern machte eine Reform des Meßwesens not-

wendig. Mit der Französischen Revolution 1789 wurde

nicht nur die Monarchie (vorübergehend) abgeschafft,

sondern als ihre Hinterlassenschaften auch die am

Körper des Königs orientierten Maßeinheiten wie pied

(Fuß), pouce (Zoll) oder toise (Klafter).

3 Digitus, lat. Längenmaß (etwa 18,5 mm); pygme, griech. Längenmaß (etwa 33,3 cm).

S


SSEEIITTEE 55





5. CHRONOLOGIE AB 1789

chon kurz nach der Französischen Revolution wurde die Schaffung eines einheitlichen

Maßsystems veranlaßt. Nachfolgend ist die weitere Entwicklung chronologisch wiederge-

geben.

TALLEYRAND4 beauftragt die Académie des sciences mit der Ausarbeitung eines

neuen, weltweit anwendbaren Maßsystems.

Vorschlag der Académie : Ein Meter als ein Zehnmillion-

stel des Abstandes zwischen Nordpol und Äquator. Das De-

zimalsystem wird eingeführt („Geburt des metrischen Sys-

tems“).

DELAMBRE und MÉCHAIN5 beginnen den durch Paris verlaufenden Meridian zwi-

schen Dunkerque (Dünkirchen) und Barcelona zu vermessen.

Präsentation des „Urmeters“ vor der Assemblée nationale :

„A tous les temps, à tous les peuples!“

Das Urmeter wird seitdem beim Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) auf exterrito-

rialem Gebiet in Sèvres bei Paris aufbewahrt.

Fehlende Akzeptanz beim Volk führt allerdings zur Wiedereinführung der alten Einheiten durch

NAPOLÉON. LOUIS XVIII. sieht sich sogar gezwungen, die metrische Messung bei Strafe zu verbieten.

Das metrische System setzt sich in Frankreich endgültigdurch.

Gesetzliche Einführung von Meter und Kilogramm im Deut-

schen Reich.

4 CHARLES-MAURICE DE TALLEYRAND-PÉRIGORD (1754 – 1838), u.a. französischer Außenminister von 1797 bis 1799.5 JEAN-BAPTISTE JOSEPH DELAMBRE (1749 – 1822) und PIERRE MÉCHAIN (1744 – 1804) waren französische Astronomen.

S1790

1791

1792

1799

1840

1872


SSEEIITTEE 66





Abb.4: Briefmarke zum 100. Jah-restag der Meterkonvention

6. ENTWICKLUNG EINES INTERNATIONALEN EINHEITENSYSTEMS

it der sukzessiven Einführung des metrischen Systems

in vielen Ländern war ein erster Schritt getan. 1875

wurde zudem mit der Convention du Mètre6 (Meter-

konvention) ein Vertrag geschlossen, der Maße und Gewichte

international vereinheitlichen sollte.

Darüber hinaus etablierte die Meterkonvention drei Organe, die

die Einheitlichkeit des Maß- und Einheitensystems sichern:

Das Internationale Büro für Maß und Gewicht (Bureau International des Poids et Mesures,

BIPM) in Sévres bei Paris,

das Internationale Komitee für Maß und Gewicht (Comité International des Poids et

Mesures, CIPM) aus 18 Personen der Unterzeichnerstaaten der Meterkonvention, das jährlich

am BIPM tagt und

die Generalkonferenz für Maß und Gewicht (Conférence Générale des Poids et Mesures,

CGPM) als beschlußfassendes Organ der Meterkonvention, das alle vier bis sechs Jahre im

BIPM tagt (24. CGPM 2011).

Der epochale Wandel von Wissenschaft und Technik in den letzten Jahrzehnten des 19. Jahrhun-

derts (u.a. die physikalische Beschreibung von Elektrizität und Magnetismus mit neuen Einheiten)

machte die Notwendigkeit eines allumfassenden Einheitensystems immer deutlicher.

Die 1. CGPM im Jahr 1889 führte das MKS-Ei nhei ten sys te m mit den drei Basiseinheiten Meter,

Kilogramm und Sekunde ein7. Auf der 10. Generalkonferenz im Jahr 1954 legten die Vertreter al-

ler 40 Staaten, die der Konvention beigetreten waren, zunächst die sechs Basiseinheiten fest,

das ab 1960 (11. CGPM) als Système International d’Unités (kurz: SI) bezeichnet wird. 1971

(14. CGPM) kam mit der Einheit Mol für die Stoffmenge die siebte und bislang letzte Basiseinheit

hinzu (siehe auch AB1).

6 Das Deutsche Reich gehörte neben 16 anderen Staaten zu den Erstunterzeichnern. Heute (August 2010) sind 54 StaatenVertragspartei der Meterkonvention.

7 Bis zu diesem Zeitpunkt (und mitunter auch heute noch) wurde das CGS-System mit den Basiseinheiten Zentimeter,Gramm und Sekunde verwendet.

M


SSEEIITTEE 77





Abb.6: Logo der PTB

7. DAS SI-SYSTEM

Das SI ist ein met ris ches, dez ima les und kohärentes 8 Einheitensystem, das auf sieben per

willkürliche Konvention durch die CGPM festgelegten Basisgrößen9 des Internationalen Größen-

systems (International System of Quantities, ISQ) beruht.

Darüber hinaus einigten sich die Experten zwischen 1948 und 1999 auf 22 „abgeleitete“ SI-

Einheiten mit eigener Bezeichnung (siehe AB2), die in den meisten Fällen mit den Namen derje-

nigen Wissenschaftler10 bezeichnet wurden, die sich auf dem betreffenden Gebiet in besonderer

Weise hervorgetan hatten.

Die Gesamtheit der heute gebräuchlichen Maßeinheiten läßt sich nach bestimmten Gesichtspunk-

ten systematisieren:

Abb.5: Systematik der Maßeinheiten

Für internationale Regelungen über das SI ist das bereits erwähnte

BIPM verantwortlich, die nationale Umsetzung liegt in Deutschland in

der Zuständigkeit der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt

(PTB) in Braunschweig.

8 Die abgeleiteten SI-Einheiten werden kohärent (cohaerere, lat. zusammenhängen) aus den Basiseinheiten abgeleitet,d.h. man benötigt keine Umrechnungsfaktoren, schlichtes Multiplizieren oder Dividieren genügt.

9 Eine Basisgröße zeichnet sich dadurch aus, daß sie nicht durch andere Basisgrößen ausgedrückt werden kann, ebenso

wenig wie Basiseinheiten durch andere Basiseinheiten.10 In der Tat handelt es sich nur um männliche Vertreter. Die einzige Wissenschaftlerin, die je mit der Benennung einer

Einheit geehrt wurde, war MARIE CURIE (1867 – 1934). Allerdings wurde das Curie (, Einheit der Aktivität ) 1986 alsBestandteil des cgs-Einheitensystems zugunsten des Becquerel (, nach ANTOINE HENRI BECQUEREL, 1852 – 1908) aufge-geben.

Maßeinheiten


SSEEIITTEE 88





Das Internationale Einheitensystem ist heute das weltweit am weitesten verbreitete Einheiten-

system für physikalische Größen, nur wenige Staaten haben das SI-System offiziell nicht einge-

führt, darunter die USA (siehe Abb.7). In den USA und Großbritannien wird dagegen weiter mitinch, foot usw. gemessen (den sogenannten Imperial oder customary units, siehe AB5). Lediglich

im internationalen Handel oder z.B. in wissenschaftlichen Publikationen werden SI-Einheiten

ausschließlich oder parallel neben anglo-amerikanischen Maßen eingesetzt11.

Abb.7: Verbreitung und Zeitpunkt der Einführung des Internationalen Einheitensystems

11 Den aus kontinentaleuropäischer Sicht amüsanten Widerstand gegen das SI kann man auch im Internet verfolgen:http://www.metricmartyrs.co.uk (01.09.2010). Einen interessanten Überblick in deutscher Sprache gibt auchhttp://de.wikipedia.org/wiki/Metric_Martyrs (01.09.2010) oder http://www.nzzfolio.ch/www/d80bd71b-b264-4db4-afd0-277884b93470/showarticle/2453fa46-0c61-44ca-88b8-8f4d6857d998.aspx (01.09.2010).


SSEEIITTEE 99



http://www.metricmartyrs.co.uk/


http://de.wikipedia.org/wiki/Metric_Martyrs


http://www.nzzfolio.ch/www/d80bd71b-b264-4db4-afd0-277884b93470/showarticle/2453fa46-0c61-44ca-88b8-8f4d6857d998.aspx









Die Grundlage des Internationalen Einheitensystems bilden die sieben Basisgrößen mit ihren Ba-

siseinheiten:

SSII--BBAASSIISSEEIINNHHEEIITTEENN

GRÖSSE EINHEIT DIMENSION SYMBOL BEMERKUNG(EN)

Die Dimension einer physikalischen Größe () weist auf den „Typ“ dieser Größe hin, sie drückt

ihre qualitativen Eigenschaften aus. Jeder Basisgröße wird eine Dimension mit demselben Namen

zugeordnet, z.B. der Länge die Dimension L.

Dimensionen abgeleiteter Größen drücken den Bezug ihrer kohärenten Einheiten zu den Basiseinhei-

ten als Pot enzproduk t aus:

Lα Mβ Tγ Iδ Θε N J

Die Exponenten α, β, γ usw. nimmt ganzzahlige Werte (z.B. -2, 0 oder 3) an.

Beispiel: Die Geschwindigkeit ist definiert als zurückgelegter Weg pro Zeit , folglich gilt:

L T-1

Größen, die im Größensystem die Dimension Eins (1), nennt man dimensi onslose Grö ße n. Bei-

spiele sind Winkel oder relative Änderungen.

Übungen zur Dimensionsanalyse für Interessierte und Fortgeschrittene finden sich auf AB4.

SSII--BBAASSIISSEEIINNHHEEIITTEENN – – DDrr.. BBeerrnndd SSttaannggee--GGrrüünneebbeerrgg,, SSeepptteemmbbeerr 22001111

AABB 11





AABBGGEELLEEIITTEETTEE SSII--EEIINNHHEEIITTEENN


NNIICCHHTT--SSII--EEIINNHHEEIITTEENN1122 ((BBEEIISSPPIIEELLEE))


12 Nicht-Si-Einheiten sind solche Einheiten, die aus historischen Gründen oder Gründen der Anschaulichkeit in bestimmtenTeilgebieten der Physik auch weiterhin benutzt werden (dürfen).

AABBGGEELLEEIITTEETTEE SSII--EEIINNHHEEIITTEENN UUNNDD NNIICCHHTT--SSII--EEIINNHHEEIITTEENN – – DDrr.. BBeerrnndd SSttaannggee--GGrrüünneebbeerrgg,, SSeepptteemmbbeerr 22001111

AABB 22





Hintergrund: Für die Bearbeitung dieser Aufgaben ist das Verständnis von Kap.3 im mathema-

tischen Grundlagenteil wichtig. Ebenso sind Kenntnisse einiger wichtiger abgeleiteterEinheiten und ihrer Formulierung in Basiseinheiten von Vorteil.

1. Der Quotient aus dem Produkt von Druck und Volumen und der Temperatur ist proportional

zur Stoffmenge . Welche Dimension und welche Einheit hat die Proportionalitätskonstante (all-

gemeine Gaskonstante)? [ L2 M T-2 Θ-1 N-1;

]

2. Der Quotient aus dem Produkt zweier Massen und und dem Quadrat ihres Abstandes ist

proportional zur Anziehungskraft . Welche Dimension und welche Einheit hat die Proportionali-tätskonstante (Gravitationskonstante)? [ L-3 M T2;

]

3. Zeigen Sie, daß die Wurzel des Quotienten des Produktes von allgemeiner Gaskonstante

( Aufgabe 1) und Temperatur und der Molaren Masse die Dimension einer Geschwindigkeit

(mittlere Geschwindigkeit eines Gasteilchens) besitzt.

DDIIMMEENNSSIIOONNSSAANNAALLYYSSEE – – DDrr.. BBeerrnndd SSttaannggee--GGrrüünneebbeerrgg,, SSeepptteemmbbeerr 22001111

AABB 33





BERECHNUNGEN

DDIIMMEENNSSIIOONNSSAANNAALLYYSSEE – – DDrr.. BBeerrnndd SSttaannggee--GGrrüünneebbeerrgg,, SSeepptteemmbbeerr 22001111

AABB 33





7.1. BASISEINHEITEN DER MECHANIK

Im Rahmen dieses einführenden Skriptes soll nur auf die wichtigsten Basiseinheiten Meter, Ki-

logramm und Sekunde näher eingegangen werden. Weil sich aus diesen drei Einheiten alle

Einheiten der mechanischen Größen (z.B. Kraft F, Energie/Arbeit W oder Leistung P) ableiten

lassen, nennt man sie auch Basis ein he iten de r Mechanik .

Die Definitionen der weiteren Basiseinheiten werden an dieser Stelle lediglich kurz wiederge-

geben, eine Behandlung erfolgt an geeigneter Stelle.

André-Marie Ampère

(1775 – 1836)

Der französische Physiker

und Mathematiker er-kannte, daß die fließende

Elektrizität Ursache des

Magnetismus ist.

Kelvin (K)

Das Kelvin ist der 273,16te Teil der ther-

modynamischen Temperatur des Tripel-

punkts von Wasser.

William Thomson,

1. Baron Kelvin(1824 – 1907)

Der britische Physiker führ-

te u.a. die absolute Tem-

peratur-Skala ein.

diesen Leitern pro Meter Leiterlänge die

Kraft 2

10-7

Newton hervorrufen wür- de.

Ampere (A)

Das Ampere ist die Stärke eines zeitlich

unveränderlichen Stromes, der – durch

zwei im Vakuum parallel im Abstand

1 Meter voneinander angeordneten, ge-

radlinigen, unendlich langen Leitern

von vernachlässigbar kleinem, kreisför-

migem Querschnitt fließend – zwischen


SSEEIITTEE 1144





nen, Elektronen sowie andere Teilchen

oder Gruppen solcher Teilchen genau

angegebener Zusammensetzung sein.

Candela (cd)

Die Candela ist die Lichtstärke in einer

bestimmten Richtung einer Strahlungs-

quelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 1012 Hertz aussendet

und deren Strahlstärke in dieser Rich-

tung 1/683 Watt pro Steradiant beträgt.

Mol (mol)

Das Mol ist die Stoffmenge eines Sy-

stems, das aus ebenso vielen Einzelteil-

chen besteht, wie Atome in 0,012 Kilo-

gramm des Kohlenstoffnuklids 12C ent-

halten sind. Bei Verwendung des Mols

müssen die Einzelteilchen spezifiziert

sein und können Atome, Moleküle, Io-


SSEEIITTEE 1155





Abb.8: Internationaler Meterprototyp

7.1.1. Der Meter

„Das Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum wäh-

rend der Dauer 1/299792458 Sekunde durchläuft.“

Die erste gültige Definition des Meters (griech. μέτρον,

métron, Maß) als Maßeinheit, die sich nicht von der Län-

ge menschlicher Gliedmaßen herleitete, ging auf einen

Beschluß der französischen Assemblée nationale von

1791 zurück: Ein Meter13 sollte der zehnmillionste Teil

des Erdquadranten auf dem Meridian durch Paris sein.Nach Abschluß der Messungen durch DELAMBRE und MÉ-

CHAIN wurde 1799 ein dinglicher Maßstab („Urmeter“, mètre des archives) aus Platin ge-

schaffen14, der 1889 durch einen Meterprototypen aus einer Platin-Iridium-Legierung (sie-

he Abb.8) ersetzt wurde. Kopien dieses Prototyps wurden an die Eichinstitute in vielen

Ländern vergeben15.

Dingliche Maßstäbe besitzen den großen Nachteil der fehlenden Reproduzierbarkeit: So

gibt es keine Möglichkeit, in einem physikalischen Labor die Übereinstimmung einer ver-

wendeten Längeneinheit mit dem Urmeter zu überprüfen. 1960 wurde daher bei der

11. CGPM der Urmeter durch eine Definition ersetzt, die auf der Wellenlänge einer 86Kr-

Strahlung beruht.

Nachdem die Definition der Sekunde (siehe dort) als atomares Zeitnormal gelang, und we-

gen der extrem großen Bedeutung der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum für die Physik, be-

schritt man auf der 17. CGPM 1983 einen neuen Weg. Man legte die Lichtgeschwindigkeit

im Vakuum auf

fest und führte die bis heute gültige Definition ein, die

statt auf einer aufzubewahrenden Maßverkörperung auf einer Zeitmessung beruht.

13 Der Namensvorschlag kam übrigens von JEAN-CHARLES DE BORDA (1733 – 1799), einem französischen Mathematiker.14 Genaue Messungen zeigen, daß das ursprüngliche Ziel („…zehnmillionster Teil…“) nur um etwa 0,02% verfehlt wurde. 15 Die drei deutschen Kopien befinden sich in Besitz der PTB in Braunschweig.


SSEEIITTEE 1166





Abb.9: Kilogrammprototyp

7.1.2. Das Kilogramm

„Das Kilogramm ist die Einheit der Masse; es

ist gleich der Masse des Internationalen Kilo-

grammprototyps.“

Das Kilogramm ist in mehrfacher Hinsicht eine Besonder-

heit: Es ist die einzige SI-Basiseinheit, die (noch) über ei-

nen konkreten Maßstab, das Urkilogramm (siehe Abb.9),

definiert ist und auch die einzige Einheit, deren Name mit

einem Einheitenpräfix oder –vorsatz (siehe AB4), nämlich

Kilo (griech. χίλιοι, chilioi, tausend).

Wie bei den Bestrebungen ein universelles Längenmaß zu

finden, spielt auch hier Frankreich zur Zeit der Franzö-

sischen Revolution eine entscheidende Rolle. Eine von

LOUIS XVI. (1754 – 1793) beauftragte Kommission empfahl

als Referenz die Masse von Wasser bei mit dem Na-

men 1 Grave (1 G). Im Alltag wurde jedoch weiterhin das Gramm (griech. γράμμα, gram-

ma, Buchstabe) als Tausendstel des Grave benutzt. Aus politischen Gründen wurde das

Grave wegen seiner Ähnlichkeit zum entsprechenden Adelstitel wieder abgeschafft und

durch das Kilogramm ersetzt. Das „erste“ Urkilogramm (kilogramme des archives) von 1799

aus reinem Platin entsprach der Masse von Wasser bei (der Temperatur maxima-

ler Dichte von Wasser)16.

Auf der 1. CGPM 1889 wurde eine minimale Korrektur vorgenommen und ein neuer Proto-

typ geschaffen (das „zweite“ Urkilogramm besteht aus 90% Platin und 10% Iridium), von

welchem Kopien an die Länder, die der Meterkonvention beigetreten waren, übergeben

wurden.

Bei Vergleichen der nationalen Prototypen mit dem Urkilogramm wurde festgestellt, daß

das Urkilogramm im Laufe der Jahre um etwa 50 Mikrogramm „leichter“ geworden ist 17.

Aus diesem Grund wird fieberhaft an einer Neudefinition des Kilogramms gearbeitet.

Von den beiden Methoden wird das Avogadro-Projekt auf den nächsten Seiten näher vor-

gestellt.

16

Nunmehr hat der Wasser-Standard (das Vienna Standard Mean Ocean Water , über welches auch das Kelvin definiertist) eine maximale Dichte von

bei und , d.h. die Abweichung zur ursprünglichen De-

finition beträgt 0,0025%.17 Korrekt muß es natürlich heißen: Die nationalen Kopien werden schwerer, denn schließlich ist der Prototyp in Paris

qua definitionem das Kilogramm.


SSEEIITTEE 1177





Das rätselhafte Schrumpfen des UrkilogrammsHolger DambeckDas in Paris gelagerte Urkilogramm nimmt ab. Die Ursache des Masseverlusts ist unklar -seit Jahren. Umso dringlicher ist die Suche nach einem Ersatz für den über 100 Jahre altenMetallzylinder.

0,00005 Gramm weniger Masse - das klingt nichtnach besonders viel. Doch für die Physiker am Pari-ser Bureau international des poids et mesures (BIPM)ist es eine kleine Katastrophe. In den neunziger Jah-ren hatten Wissenschaftler mit Erschrecken festge-stellt, dass das am BIPM gelagerte Urkilogramm imLaufe der Jahre offenbar leichter geworden war alsKopien. Möglicherweise, so eine Erklärung, hatteman das Urkilogramm schlicht zu häufig geputzt und

so ein paar Atome von der Oberfläche heruntergeholt.

Das 1889 hergestellte und seitdem in Paris aufbe- wahrte Urkilogramm dient bis heute als Referenz fürdie Masse. Es ist 39 Millimeter hoch und besteht auseiner Platin-Iridium-Legierung. Nur alle vierzig Jahre

wird das Maß aller Kilos aus dem dreifach gesicher-ten Schrank hervorgeholt, um es mit Kopien des Ur-kilogramms abzugleichen. Davon existieren weltweit80 Stück.

Bis heute rätseln Wissenschaftler, warum der Kilo-gramm-Prototyp schrumpft. „Sonderbar, denn alleKopien sind aus dem gleichen Material wie dasUrkilo“, sagt Richard Davis vom BIPM der Nachrich-

tenagentur AP. Viele der Referenzzylinder seien eben-falls 1889 gegossen worden. Aber warum sind sieplötzlich schwerer als die Referenzmasse?

„Das liegt sicher nicht am Putzen“, sagt Peter Beckervon der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt(PTB) in Braunschweig im Gespräch mit SPIEGEL ONLINE. Und: „Messfehler sind ausgeschlossen.“ Inder Braunschweiger Behörde wird der deutsche Pro-totyp des Kilos gehütet. Becker hat immerhin eineHypothese: Es handle sich um eine Platin-Iridium-Legierung, „da könnte etwas entweichen, zum Bei-spiel Wasserstoff “. Sicher sei man sich aber nicht.

Suche nach Alternativen

Die Abmagerung des Urkilogramms hat Folgen: DasKilo ist allein durch den Vergleichsgegenstand festge-legt. Und das Urkilogramm, nimmt es nun ab oderzu, verkörpert per Definition weiterhin genau ein Ki-logramm. Dadurch entstehe ein zusätzlicher Un-sicherheitsfaktor etwa bei Kalibrierungen, sagt Mi-chael Bory vom PTB.

Schon seit Jahrzehnten bereitet der MetallzylinderPhysikern deshalb Kopfzerbrechen. Von den siebenBasiseinheiten des Système International d'Unités,kurz SI-System, ist das Kilogramm die einzige Größe,die nicht mit einer definierten Messung in einem La-bor bestimmt werden kann. Eine Sekunde beispiels-

weise ist über die Schwingungsdauer einer bestimm-ten Strahlung von Cäsium-133-Atomen definiert, ein

Meter als Strecke, die Licht in einer bestimmten Zeitzurücklegt. Einzig für das Kilogramm existiert nochkein derartiges „natürliches“ Verfahren.

Doch das soll sich bald ändern. Auf einer Konferenzim November wollen Experten in Paris über Alternati-ven zum Urkilogramm beraten. An einer Variante ar-beitet PTB-Forscher Becker selbst: Er will gemeinsammit Kollegen das Kilogramm über eine simple Zahldefinieren. Wie viele Siliciumatome braucht man,damit ein daraus hergestellter Kristall genau ein Ki-logramm schwer ist?

Atome zählen oder Kräfte vergleichen?

Schwierigkeiten bereitete den Forschern unter ande-rem die Tatsache, dass es drei verschiedeneSiliciumisotope gibt (Si-28, -29, -30), deren Atom-masse sich entsprechend unterscheidet. Inzwischenist das Problem aber gelöst: In Russland hat das PTBSilicium anreichern lassen, das danach zu 99,99 Pro-zent aus Silicium-28 bestand. „Das Silicium wurde inSankt Petersburg mit Zentrifugen hergestellt, mit de-nen einst auch Uran für Atomwaffen angereichert

wurde“, berichtet Becker. Anschließend wurde amBerliner Institut für Kristallzüchtung daraus ein so-genannter Einkristall hergestellt. Aus diesem hoch-reinen Kristall müssen nun Kugeln geschnitten wer-den, die möglichst genauso viel wiegen wie das Pari-ser Urkilogramm. „Bis Ende 2008 werden wir die Ku-geln bei uns haben“, sagte Becker.

Die Braunschweiger Forscher hatten zuvor auch aneinem anderen Verfahren gearbeitet - der Ionen-Zählung. Sich bewegende Ionen bilden einen Strom,der gemessen werden kann und Rückschlüsse auf die Zahl der Ionen erlaubt. Mit einem Kollektor wer-den die Ionen aufgefangen - und bilden eine definier-te Masse. Doch die Experimente wurden inzwischen

abgebrochen. „Die Ionenzählung haben wir einge-stellt“, sagt Becker. „Die Deadline 2010 war nicht zuschaf fen.“

Die wohl aussichtsreichste Alternative zur Zählungvon Silliciumatomen stellt deshalb die Watt-Waagedar. Bei ihr wird das Kilogramm aus einer anderenNaturkonstanten, dem Planckschen Wirkungsquan-tum, über einen präzisen Vergleich von mechanischerund elektrischer Leistung hergeleitet. Mit einer Waa-ge vergleichen Forscher die Gewichtskraft einer Mas-se im Gravitationsfeld der Erde mit der elektromagne-tischen Kraft, die elektrischer Strom in einer Spuleerzeugt.

Noch ist offen, welches Verfahren das Urkilogrammablöst.

Nach: vom 13.09.2007.


SSEEIITTEE 1188





Das neue Kilogramm hat perfekte RundungenHolger DambeckWas genau ist ein Kilogramm? Ein Liter Wasser? Vier Stück Butter? Braunschweiger Physi-ker wollen die Frage jetzt neu beantworten: Sie zählen Tausende Trilliarden Atome einerperfekten Siliciumkugel - auf acht Stellen genau.

Heute ist ein besonderer Tag in Braunschweig. Vorein paar Stunden erst sind zwei präzise geschliffene,hochreine Siliciumkugeln aus Australien in der Phy-sikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB) eingetrof-fen. Ihre Rundungen sind so perfekt wie bei keineranderen von Menschen je hergestellten Kugel. Beizehn Zentimetern Durchmesser beträgt die Abwei-chung von der idealen Kugel höchstens 30 Nanome-ter - das sind 30 Millionstel Millimeter. Umgerechnet

auf die Erdkugel entspricht dies zwei Metern Höhen-unterschied.

© PTB

Peter Becker steht im Labor neben dem Tisch, auf dem die Kugeln liegen. Sein Kollege Arnold Nicolaushebt eine der Schutzhauben mit äußerster Vorsichtnach oben - anecken sollte er besser nicht. Jede nochso kleine Beschädigung der Kristalle könnte das Vor-haben der Forscher zunichtemachen: eine neue Defi-nition des Kilogramms. Bislang ist das in Sèvres beiParis gelagerte Urkilogramm das Maß aller Dinge -ein Zylinder aus Platin und Iridium.

Weil die Kugeln gerade erst angekommen sind, habendie Physiker die strengen Laborvorschriften gelockert.„Normalerweise darf man den Raum nur mit Ge-sichtsschutz, Kittel und Haarbedeckung betreten“,sagt Becker. „Das ist wie bei einer OP.“ Doch weil diein Australien monatelang geschliffenen Kugeln nachdem Transport ohnehin erst noch aufwendig gesäu-bert werden müssen, darf man heute auch in Jeansund Sakko ins Labor. Staub aufwirbeln sollte mantrotzdem nicht, erklärt Nicolaus. Fusseln seien ansich nicht das Problem. „Wenn Sie die Fussel aber

wegblasen, können wir hinterher mit unseren Mess-

geräten eine Spur sehen.“ Also besser nicht pusten,husten oder niesen.

Ergebnis: 21,5 Quadrillionen Atome

Becker und seine Kollegen haben sich viel vorgenom-

men. In den nächsten Monaten wollen sie die Anzahlder Siliciumatome in beiden Kugeln zählen - auf achtStellen genau. Dazu müssen sie die runden Kristallegenau vermessen und Verunreinigungen durchFremdatome oder andere Siliciumisotope ermitteln -zu 99,99 Prozent bestehen die Kugeln aus Silicium-28. Auch eine dünne Oxidschicht auf der Oberflächemuss präzise vermessen und herausgerechnet wer-den - das Ergebnis wäre ansonsten viel zu ungenau.

Wenn alles gut geht, werden die Braunschweiger For-scher am Ende eine 25-stellige Zahl auf dem Zettelstehen haben, die mit 215 beginnt. 21,5 Quadrillio-nen Si-28-Atome sind ein Kilogramm. Die penibleAtomzählerei ist keine Liebhaberei - sie soll ein Prob-lem lösen, das Physiker weltweit umtreibt: Das Pari-ser Urkilogramm hat im Laufe der Jahre nämlichimmer mehr Masse verloren, es ist im Vergleich zuspäter hergestellten Kopien immer leichter geworden.„Im täglichen Leben spielt das keine Rolle“, sagt Be-cker. Doch eine definierte Größe, die sich im Laufeder Jahre auf unerklärliche Weise ändert - das gefälltMetrologen wie Becker gar nicht. So entstand die Ideedes Avogadro-Projekts, das so heißt, weil dabei auchdie Avogadro-Konstante bestimmt werden soll, alsodie Anzahl der Teilchen in der Stoffmenge ein Mol.

Simple Neudefinition des Kilogramms

Aber nicht nur wegen seines Schrumpfens ist dasUrkilogramm ein Sorgenkind der Physiker - sondernauch aufgrund prinzipieller Erwägungen. Von densieben Basiseinheiten des Système Internationald'Unités, kurz SI-System, ist das Kilogramm die ein-zige Größe, die nicht mit einer definierten Messung ineinem Labor bestimmt werden kann. „Falls das Urki-logramm unbrauchbar werden sollte, weiß niemandmehr, was genau ein Kilogramm ist“, sagt der Physik-

Nobelpreisträger Klaus von Klitzing. Eine Sekundehingegen ist als Vielfaches der Periodendauer einerbestimmten Strahlung definiert, ein Meter als Stre-cke, die Licht in einer bestimmten Zeit zurücklegt.Einzig für das Kilogramm existiert noch kein derarti-ges natürliches Verfahren.

Das Avogadro-Projekt soll eine Art Bauanleitung füreinen Kilogramm liefern, wobei der Kristall nichteinmal genau ein Kilogramm wiegen muss. Aus derZahl der Atome ergibt sich automatisch, welchen An-teil von einem Kilogramm ein Kristall darstellt. VonKlitzing hält das Avogadro-Projekt für „sehr attrak-tiv“. „Für den Laien wäre eine Festlegung der Masseüber die Masse einer festen Anzahl bestimmter Atom,

die ja überall im Universum identisch ist, einfachnachvollziehbar“, sagt er im Gespräch mit SPIEGEL ONLINE. Schon Maxwell habe diese Idee 1870 entwi-ckelt. Doch der Physiker gibt einem anderen Experi-ment größere Chancen, das Urkilogramm zu beerben:


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Fortsetzung

der sogenannten Wattwaage. Das Kilogramm wird

dabei über einen präzisen Vergleich von mechani-scher und elektrischer Leistung hergeleitet.

Wattwaagen werden in mehreren Ländern parallelaufgebaut, unter anderem am amerikanischen PTB-Pendant, dem National Institute of Standards and

Technology (NIST). Diese parallelen Experimente ge- währleisteten „eine bessere und unabhängigere Re-produzierbarkeit“, erklärt von Klitzing. Allerdings lie-fern die bereits in Betrieb genommenen Wattwaagenderzeit noch widersprüchliche Messergebnisse. „Dahat man womöglich noch nicht alles am Experimentrichtig verstanden“, stichelt der PTB-Forscher Nico-laus in Richtung seiner US-amerikanischen Kollegen.

Im Grunde sind jedoch beide Experimente zum Erfolgverdammt. „Wenn nicht beide Projekte zu gleichlau-tenden Ergebnissen mit der gleichen Genauigkeit

kommen, dann wird die alte Kilogramm-Definitionbeibehalten“, erklärt Nicolaus. Ende 2009 werdengenaue Daten beider Experimente vorliegen. Vermut-

lich 2010 könnte das Comité International des Poidset Mesures (CIPM), hinter dem mehr als ein Dutzendmetrologische Staatsinstituten wie das NIST oder diePTB stehen, eine Empfehlung für die Neudefinitiondes Kilogramms aussprechen. Auf der nächstenConférence Générale des Poids et Mesures (CGPM),die 2011 stattfindet, könnte diese Definition be-schlossen werden.

Beide Verfahren haben den Charme, das Kilogramman Naturkonstanten zu koppeln: Bei der Wattwaageist es das Planck'sche Wirkungsquantum, bei demBraunschweiger Projekt die Avogadro-Konstante. „Dieeine Konstante ist elektrisch, die andere mecha-

nisch“, sagt Nicolaus. „Insofern kämpfen geradeElektriker gegen Mechaniker.“

Nach: vom 11.04.2008.

NOTIZEN


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Abb.10: Sanduhr

7.1.3. Die Sekunde

„Die Sekunde ist das 9 192631770-fache der Periodendauer der dem

Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzu-

standes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung.“18

Die Kombination von Sexagesimal- und Duodezimalsystem

in der Zeitrechnung19 geht auf die Babylonier zurück. Inso-

fern war es mit Einführung des metrischen Systems sinnvoll

die Sekunde (lat. pars minuta sekunda, der zum zweiten

Mal verminderte Teil [einer Stunde]) als Basiseinheit derZeit zu wählen.

Ursprünglich war die Sekunde definiert als

des mitt-

leren Sonnentages. Eine exakte Definition des „mittleren

Sonnentags“ blieb den Astronomen überlassen. Die Be-

obachtungen ergaben jedoch, daß diese Definition wegen

Unregelmä-ßigkeiten der Erdrotation nicht zufriedenstel-

lend war. Um die Einheit der Zeit genauer zu definieren,nahm die 11. CGPM 1960 eine von der Internationalen Astro-

nomischen Union gegebene Definition an, die auf dem tropi-

schen Jahr20 1900 beruhte.

Experimentelle Untersuchungen hatten jedoch bereits ergeben, daß ein auf einem Über-

gang zwischen zwei Energieniveaus eines Atoms oder Moleküls beruhendes atomares Zeit-

normal mit einer viel höheren Genauigkeit realisierbar und reproduzierbar war. Weil eine

sehr genaue Definition der Zeiteinheit des Internationalen Einheitensystems für die Anfor-

derungen in Wissenschaft und Technik unerläßlich wurde, ersetzte die 13. CGPM 1968 die

Definition der Sekunde wie oben angegeben.

18 Diese Definition bezieht sich auf ein Cäsiumatom im Ruhezustand, bei einer Temperatur von 0 K.19 Das Duodezimal- oder Zwölfersystem wird für die Tagesrechnung ( ), das Sexagesimal- oder Sechzigersy-

stem dagegen für Stunden und Minuten ( ).20 Unter einem tropische n Jahr versteht man die mittlere Dauer eines Erdumlaufs um die Sonne (etwa 365,25 Tage).


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Vorsätze für Maßeinheiten – sogenannte Ein he itenp räf ixe – dienen dazu, Vielfache oder Teile von

Maßeinheiten zu bilden, um die umständliche Verwendung von sehr großen oder sehr kleinen Zahlen

zu vermeiden.

Achtung: Bei Berechnungen müssen nicht nur die reinen Zahlenwerte, sondern natürlich auch die

Vorsätze (da sie ja Zehnerpotenzen repräsentieren) berücksichtigt werden!

1. Geben Sie sinnvollere (d.h. einfachere) Einheiten an!

a) b) c) μ d)

e) f) g) h)

2. Lösen Sie die folgenden Aufgaben und geben Sie das Ergebnis möglichst einfach an!

a) d) μ

b)

e)

c)

f)

3. Warum wird die Speicherkapazität einer nominell 500 GB fassenden Festplatte nur mit etwa

466 GB auf Ihrem Rechner angezeigt? Liegt hier etwa Betrug vor?

SYMBOL NAME POTENZ SYMBOL NAME POTENZ

1024 10-1

1021 10-2

1018 10-3

1015 10-6

1012 10-9

109 10-12

106 10-15

103 10-18

102 10-21

101 10-24

VVOORRSSÄÄTTZZEE VVOONN EEIINNHHEEIITTEENN – – DDrr.. BBeerrnndd SSttaannggee--GGrrüünneebbeerrgg,, SSeepptteemmbbeerr 22001111

AABB 44





BERECHNUNGEN

VVOORRSSÄÄTTZZEE VVOONN EEIINNHHEEIITTEENN – – DDrr.. BBeerrnndd SSttaannggee--GGrrüünneebbeerrgg,, SSeepptteemmbbeerr 22001111

AABB 44





Introduction: The United Kingdom currently uses a mix of metric and so-called Imperial units for dif-

ferent purposes. Although labelled with the metric equivalent first, products such as

milk are frequently sold in multiples of the pint, usually 1, 2, 4 and 6. The United Stateshave not even officially adopted metric units but have done so to some degree indi-

rectly through international trade and standardisation.

The European Commission has tired of waiting for the UK to give up imperial mea-

surements, and now says it can use some of them for as long it wants. The EU gives

up on “metric Britain”, so to speak. So, if you go to Anglo -American countries, it can be

very useful to be familiar with those customs.

Task: Investigate the missing information and fill out the blanks.

QUANTITY UNIT SYMBOL DEFINITION CONVERSION

LENGTH in. ('')

foot

3 ft.

1609.34 m

MASS 64.8 mg

ounce

7000 gr.

st.

TEMPERATURE °F

AREA acreVOLUME 0.5683 dm3

8 pt.

barrel

VELOCITY mph

PRESSURE psi

purpose – Zweck, Vorhaben, Absicht

custom – Gewohnheit, Sitte, Brauch

CCUUSSTTOOMMAARRYY UUNNIITTSS IINN TTHHEE UUKK//UUSS – – DDrr.. BBeerrnndd SSttaannggee--GGrrüünneebbeerrgg,, SSeepptteemmbbeerr 22001111

AABB 55





1. Convert your height and your weight to Imperial units (ft./in. respective st.). Describe the problems

you have.

METRIC UNITS IMPERIAL UNITS

HEIGHT

WEIGHT

2. In the early 80s song 'Down under' by the Australian band MEN AT WORK they sing about “Buying

bread from a man in Brussels/He was six foot four and full of muscles”. How tall (metric system)

was this muscle-man?

3. In another song from hip-swinging SHAKIRA you can find the line “She’s almost six feet tall, she

must think I’m a flea”. Regardless whether SHAKIRA is a flea or not, what was the rival’s height?

4. As you certainly know, the inner edges of the posts of a football goal

must be 7.32 metres apart, and the lower edge of the crossbar must

be 2.44 metres above the ground. As you know too, when a free kick

is taken, the opponents must remain 9.15 metres from the ball. Con-

vert given parameters to yards and feet.

5. Frog & Parrot on Division Street in Sheffield

has a Guinness Book of Records certificate

to say that it brews the strongest beer in the

world. It’s called Roger and Out and it tastes

like treacle. They'll only serve you it in 1/3rd

of a pint glasses, and you get a certificate af-

ter you've drunk three! How much is one

glass in millilitres?

opponent – Gegner

treacle – Sirup

EEXXEERRCCIISSEESS – – DDrr.. BBeerrnndd SSttaannggee--GGrrüünneebbeerrgg,, SSeepptteemmbbeerr 22001111

AABB 66





BERECHNUNGEN

CCUUSSTTOOMMAARRYY UUNNIITTSS IINN TTHHEE UUKK//UUSS – – DDrr.. BBeerrnndd SSttaannggee--GGrrüünneebbeerrgg,, SSeepptteemmbbeerr 22001111

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ANHANG: WICHTIGE MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

„Das Tor gehört zu 70% mir und zu 40% dem WILMOTS.“

INGO ANDERBRÜGGE

1. WISSENSCHAFTLICHE NOTATION (SCIENTIFIC NOTATION )

esonders große oder kleine Zahlen sind häufig unhandlich, z.B. beträgt die Zahl der

Teilchen in einem Mol eines Stoffes etwa 602 214 179 000 000 000 000 000 (≈ 602 Trilliar-

den), die Masse eines Elektrons hingegen ungefähr 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000

000 910 938 215 kg (≈ ein Quintillionstel Kilogramm)21.

In der wissenschaftlichen Notation (auch Exponentialschreibweise genannt) werden solche

Zahlen als Vielfaches einer Zehnerpotenz angegeben. Auf die oben genannten Beispiele ange-

wandt, bedeutet dies 6,022 141 79 • 1023 mol-1 bzw. 9,109 382 15 • 10-31 kg.

Eine Zahl wird also allgemein wie folgt dargestellt:

Aufgrund der Möglichkeit, das Komma prinzipiell beliebig verschieben zu können, spricht man

hier auch von Glei tkommazahle n.

Wichtig für Berechnungen: Bei der wissenschaftlichen Notation handelt es sich nicht um einemathematische Aufgabe, bei der Eingabe eines Wertes wie 6,022 1023 in den Taschenrechner

ist also nicht die Multiplikationstaste zu drücken, sondern – je nach Ausführung – die EE- oder

EXP-Taste, z.B. also:

21 Beide Zahlen nennt man wegen der festgelegten Stelle des Kommas auch Fe st kom mazah len .

B

6 . 0 2 2EE

EXP

2 36.022

23

Eingabe Anzeige


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2. ABWEICHUNGEN UND UNGENAUIGKEITEN

lle Messungen sind von Natur aus mit Fehlern behaftet. Dabei ist hier nicht von syste-

matischen Fehlen die Rede, z.B. weil ein Meßgerät falsch justiert oder Meßwerte falsch

abgelesen werden, sondern von stat is ti schen Fehlern 22.

Der Meßfehler kann durch Angabe eines Fehlerbereiches charakterisiert werden. Längen auf

einem handelsüblichen Lineal von z.B. 30 cm Länge lassen sich mit einer Genauigkeit von 0,5

mm ablesen, d.h. der Fehlerbereich beträgt 1 mm, z.B.:

oder

Eine andere Möglichkeit ist die Angabe der sogenannten signifikanten Stellen einer Zahl

(auch gültige oder geltende Ziffern genannt). Dabei handelt es sich um die angegebenen Ziffern

ohne führende Nullen. Ob endende Nullen signifikant sind, muß von Fall zu Fall entschieden wer-

den.

ZAHL DER SIGNIFIKANTEN STELLEN

2 3 4

B E I S P I E L E

Nach dieser Definition wäre bei der eingangs erwähnten Länge die Angabe ausrei-

chend.

Da das Rechnen mit fehlerbehafteten Größen zu enormen Abweichungen führen kann – bei Er-

gebnissen aber nicht selten exzessiv Nachkommastellen angegeben werden, die eine falsche Ge-

nauigkeit vortäuschen – gilt daher für alle Berechnungen im Physik-Unterricht folgende Regel:

22 Ein wichtiges Kriterium zur Unterscheidung oder Bewertung von systematischen und statistischen Fehlern ist dieRichtung der Abweichungen: Systematische Fehler sind einseitig gerichtet und bei wiederholten Messungen unteridentischen Bedingungen immer gleich, statistische Fehler dagegen schwanken im Vorzeichen und Betrag um einenMittelwert.

A


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3. ABHÄNGIGKEITEN VON PHYSIKALISCHEN GRÖSSEN

wei physikalische Größen sind häufig direkt proportional zueinander, d.h. eine Verdopp-

lung eines Parameters führt zu einer Verdopplung der zweiten Größe.

So ist z.B. bei einer Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit der zurückgelegte Weg

der aufgewendeten Zeit proportional, kurz: . Der Quotient beider Größen ist eine Konstan-

te, nämlich die Geschwindigkeit :

In einer graphischen Darstellung ergibt sich eine Ursprungsgerade mit der Steigung:

Verläuft die Halbgerade nicht durch den Ursprung (z.B. weil zum Zeitpunkt bereits ein

Streckenabschnitt zurückgelegt worden ist), so erhält man eine spezielle Form der allge-

meinen Geradengleichung ( , mit als Ordinaten- oder y-Achsenabschnitt), hier

also:

Neben der direkten (linearen) Proportionalität gibt es andere Abhängigkeiten (quadratisch, ex-

ponentiell usw.), die an dieser Stelle nicht behandelt werden sollen.

Z


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3.1. LINEARE REGRESSION

Bei zwei physikalischen Größen und begegnet man häufig dem Phänomen der direkten Proportionalität ( ),

d.h. in gleichem Maße wie die Größe steigt, nimmt auch die Größe zu. Nun sind Meßwerte stets mehr oder we-

niger fehlerbehaftet, d.h. sie streuen um den „wahren“ Wert. Bei der graphischen (und auch rechnerischen) Aus-

wertung solcher Meßpaare und greift man in der Regel zum Verfahren der linearen Regression. Wissenschaft-

liche Taschenrechner sind in der Lage, nach Eingabe der Daten eine solche Regression vorzunehmen, nichtsdesto-

weniger ist es auch sinnvoll, in der Lage zu sein, diese Methode auch „zu Fuß“ durchführen zu können 23.

Beim Lösen von Übungsaufgaben und auch in der Praxis steht man oft vor dem Problem, die

„beste Gerade“ durch eine Reihe von Punkten zu ziehen. Man löst dieses Problem entweder

nach Augenmaß oder durch eine einfache Rechnung. Dabei bestimmt man die Konstanten

und einer Funktion so, daß die Übereinstimmung mit den experimentellenPunkten optimal wird. Dieses Verfahren heißt lineare Regression. Es läuft wie folgt ab:

1. seien die Koordinaten der Datenpunkte, wobei von bis (Zahl der Meßwerte)

läuft.

2. Berechnet werden folgende Mittelwerte:

3. Jetzt werden die Parameter (Steigung) und (Ordinaten- bzw. Y-Achsenabschnitt) wie

folgt gebildet:

4. Wie gut die Gerade den experimentellen Werten angepaßt ist, läßt sich am

Bestimmungskoeffizienten (dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten) ablesen:

Je näher bei 1 liegt, umso besser gibt die Gerade mit den berechneten Werten von

und den Funktionsverlauf wieder. Bei einer sehr großen Abweichung von 1 muß die Linea-

rität in Frage gestellt und die Regressionsgerade unter Auslassen möglicher Ausreißer neu

berechnet werden.

23 Die „Anleitung“ ist dem entsprechenden Absatz des Buches „Physikalische Chemie“ von P.W. Atkins entlehnt(1. Aufl., 1987, Weinheim: VCH, S. 18), ein hilfreiches Online-Tutorial findet sich unter http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj3/start.htm (30.08.2010).


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http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj3/start.htm







Aufgabe: In einem Lager werden bei verschiedenen Metallkugeln Durchmesser und Masse ermit-

telt. Tragen Sie die Masse in Abhängigkeit vom Volumen auf und ermitteln Sie die Stei-

gung (= Proportionalitätskonstante) graphisch und rechnerisch.

Hintergrund: Für homogene Körper gilt, daß ihre Masse proportional zum eingenommenen Volumen

ist. Der Quotient aus Masse und Volumen wird Dichte (rho) genannt ( 1306):

Die Dichte ist eine für das Material des Körpers charakteristische Größe, die Werte für

feste Reinstoffe reichen von (Lithium, Li) bis

(Osmium, Os).

Daten:

9,5 10,1 10,6 12,5 14,8 15,2 16,1 18,1 20,8 25,1

3,56 4,25 4,89 8,11 13,32 14,40 22,99 24,53 36,80 64,17

LLIINNEE A AR R EE R R EEGGR R EESSSSIIOONN – – DDrr.. BBeerrnndd SSttaannggee--GGrrüünneebbeerrgg,, SSeepptteemmbbeerr 22001111

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BERECHNUNGEN

LLIINNEE A AR R EE R R EEGGR R EESSSSIIOONN – – DDrr.. BBeerrnndd SSttaannggee--GGrrüünneebbeerrgg,, SSeepptteemmbbeerr 22001111

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skript physikalische größen, einheiten und symbole 2011

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