skim penjumlahan bilangan pecahan pada siswa …...pemecah bilangan, skim kebalikan penjumlahan...
TRANSCRIPT
SKIM PENJUMLAHAN BILANGAN PECAHAN PADA SISWA KELAS V
SEKOLAH DASAR
JURNAL
Diajukan untuk memenuhi syarat guna mencapai Gelar Sarjana Pendidikan Program
Studi S1 Pendidikan Matematika
Disusun oleh:
Sevia Eri Ristiyawati
202013003
PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
2017
SKIM PENJUMLAHAN BILANGAN PECAHAN PADA
SISWA KELAS V SEKOLAH DASAR
Sevia Eri Ristiyawati1
Sutriyono 2
Pendidikan Matematika FKIP Universitas Kristen Satya Wacana
JL. Diponegoro 52 – 60 Salatiga , Jawa Tengah 50711 Indonesia
e-mail : [email protected] dan [email protected]
Abstrak
Skim adalah alat asimilasi dan dengan itu merupakan satu generalisasi. Oleh karena itu, skim berhubungan atau
terlibat dalam setiap aktivitas kecerdasan. Skim pikiran merupakan satu bentuk aktivitas pikiran yang digunakan
oleh siswa sebagai bahan mentah untuk proses refleksi dan pengabstrakan. Penelitian ini merupakan penelitian
deskriptif kualitatif yang bertujuan untuk mengetahui secara pasti skim penjumlahan bilangan pecahan yang
dimiliki oleh siswa kelas 5 sekolah dasar. Subjekdalam penelitian ini adalah tiga siswa kelas 5 Sekolah Dasar
yang berusia sekitar 10 – 11 tahun. Teknik analisis data menggunakan empat tahap yaitu data colektion, data
reduction, data display dan data conclution. Hasil penelitian ini menunjukan bahwa terdapat tujuh skim
penjumlahan bilangan pecahan yang dimiliki oleh siswa dalam mengerjakan soal penjumlahan bilangan pecahan
yaitu skim pemecah bilangan, skim pengabungan bilangan, skim penjumlahan pembilang, skim kebalikan
pemecah bilangan, skim kebalikan penjumlahan langsung, dan skim kebalikan penjumlahan pembilang dan
skim menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penelitian ini diharapkan dapat mengetahui secara pasti skim
penjumlahan bilangan pecahan yang dimiliki oleh siswa kelas 5 sekolah dasar.
Kata Kunci : skim, bilangan pecahan
PENDAHULUAN
Tingkat pendidikan Sekolah Dasar
merupakan landasan yang strategis untuk
mengembangkan pengetahuan dasar
matematika sebagai bekal belajar lebih
lanjut di jenjang pendidikan yang lebih
tinggi lagi. Hal tersebut sesuai dengan
tujuan pendidikan dasar yaitu meletakkan
dasar kecerdasan, pengetahuan,
kepribadian, akhlak mulia serta
ketrampilan untuk hidup lebih mandiri dan
mengikuti pendidikan lebih lanjut,
sehingga kemampuan berpikir dan daya
serap yang dimiliki oleh masing-masing
siswa berbeda dan beragam (Model KTSP
SD 2007:2).Bruner (Jerome Bruner, 1915)
berpendapat bahwa tanpa memandang
usia/kelompok usia, pembelajaran
matematika akan sukses diterima peserta
didik jika dimulai dari tahapan kongkrit
(enactive), kemudian tahapan semi
kongkrit (econic), dan terakhir tahapan
abstrak (symbolic). Apabila pembelajaran
yang diberikan kepada peserta didik
dilakukan melalui ketiga tahapan tersebut
secara urut, maka peserta didik akan
mampu mengembangkan pengetahuannya
jauh melampaui apa yang pernah mereka
terima.
Piaget, Inhelder, Sinclair dan Nik Azis
dalam Sutriyono (2012 : 16) menyatakan
bahwa skim adalah alat asimilasi dan
dengan itu merupakan satu generalisasi.
Oleh karena itu, skim berhubungan atau
terlibat dalam setiap aktivitas kecerdasan.
Setiap skim perlu menyesuaikan dirinya
dengan situasi tertentu supaya
penggunaanya mengimplikasikan satu
bentuk keseimbangan antara asimilasi dan
akomodasi. Secara lebih khusus, skim
pikiran merupakan satu bentuk aktivitas
pikiran yang digunakan oleh siswa sebagai
bahan mentah untuk proses refleksi dan
pengabstrakan (Piaget dan Inhelder dalam
Sutriyono, 2012). Melalui corak berfikir
siswa dalam pemberian makna pada aspek
tertentu akan dapat dirumuskan penafsiran
siswa dalam konteks khusus yang
melibatkan materi matematika tertentu.
Tingkah laku siswa dalam bentuk lisan
maupun tertulis merupakan dasar untuk
mengetahui dan dasar untuk mengenal
secara cepat skim yang dimiliki oleh
siswa. Piaget, Inhelder, Sinclair dan Nik
Azis dalam Sutriyono (2012 :18)
menghubungkan pembentukan sesuatu
skim dengan proses asimilasi dan
akomodasi. Asimilasi merujuk proses
menafsir pengalaman baru dan mengatasi
gangguan persekitaran dengan
menggunakan skim yang sudah tersedia,
sedangkan akomodasi merujuk pada proses
mengatasi gangguan persekitaran dengan
membentuk skim yang baru, membagi
suatu skim kepada beberapa skim yang
kecil, atau mengubah dan menyesuaikan
atau mengubah sesuai skim yang telah
wujud. Glasersfeld dan Azis dalam
Sutriyono (2012 : 17) menyatakan bahwa
skim memunyai tiga pristiwa dasar.
Bagian pertama berfungsi sebagai pencetus
atau penyebab. Dalam konteks skim,
bagian pertama ini bersepadan secara kasar
dengan konsep “rangsangan” yang
diajukan oleh behaviorisme, yaitu corak
motor deria. Bagian kedua, yang
menyusuli bagian pertama, ialah tindakan
(gerak balas) atau satu operasi (aktivitas
pengkonsepan). Bagian ketiga pula ialah
apa yang dinamakan keputusan atau
aktivitas lanjutan (yang bersepadan secara
kasar dengan konsep “peneguhan” yang
diajukan oleh behaviorisme).
Pecahan merupakan bagian dari
materi matematika yang erat kaitannya
dengan masalah yang ada dalamkehidupan
sehari-hari. Bilangan pecahan adalah
bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
perbandingan dua bilangan pecahan a dan
b. Secara umum bentuk penulisannya 𝑎
𝑏
dengan syarat b 0. Dalam hal ini a
disebut pembilang dan b disebut penyebut
(Cholis Sa’dijah 1998/1999 : 146). Operasi
penjumlahan adalah salah satu operasi
hitung dalam bilangan pecahan. Operasi
penjumlahan bilangan merupakan operasi
prasayarat yang harus dilakukan oleh
siswa. Penjumlahan merupakan operasi
yang mutlak yang harus dikuasai oleh
siswa dalam belajar matematika. Terdapat
kesulitan-kesulitan yang dialami oleh
siswa dalam menyelesaikan operasi
penjumlahan bilangan pecahan,
diantaranya yaitu siswa tidak menguasai
rumus dan siswa kurang menguasai teknik-
teknik berhitung seperti penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian
(Arfiani, 2009:7). Kesulitan kedua yaitu
karena siswa kurang memahami konsep
utama dalam penyelesaian operasi hitung
bilangan pecahan yakni konsep pokok
tersebut yaitu menyamakan penyebut atau
mengganti penyebut dengan nama yang
sama, menjumlahkan pembilang, serta
apabila antara pembilang dan penyebut
dapat disederhanakan kedalam bentuk
pecahan dengan nama biasa yang lebih
sederhana (Darhim, 1993:333).
Berdasarkan hal tersebut, maka tulisan ini
bertujuan untuk mengetahui secara pasti
skim penjumlahan bilangan pecahan yang
dimiliki oleh siswa kelas 5 Sekolah Dasar.
METODE
Jenis penelitian yang digunakan dalam
penelitian ini adalah penelitian deskriptif
kualitatif yang bentuknya studi kasus.
Penelitian kualitatif adalah suatu peneliti
yang mampu menciptakan hubungan yang
akrab pada konteks sosial yang berada
pada situasi sosial yang akan diteliti, serta
memiliki kepekaan melihat setiap gejala
yang ada pada objek penelitian (situasi
sosial). Dalam penelitian ini melibatkan
subjek siswa kelas V dari beberapa sekolah
dasar yang berbeda-beda di Salatiga yang
terdiri dari 3 siswa dengan berbagai
kriteria. Kriteria tersebut adalah (1)
Kesanggupan subjek untuk terlibat dalam
penelitian; (2) Mendapatkan ijin dari pihak
orang tua subjek bahwa anaknya
diperbolehkan mengikuti kegiatan
penelitian; (3) Kesanggupan subjek dalam
menjawab pertnyaan yang diajukan oleh
peneliti; (4) Pertimbangan untuk membuat
sebanyak mungkin variasi jawaban subjek
sehingga didapatkan skim yang bervariasi.
Penelitian ini dilakukan pada rumah
masing-masing subjek di Salatiga.
Pengambilan data penelitian ini dilakukan
pada bulan Februari 2017.
Teknik pengumpulan data yang
dilakukan dalam penelitian ini adalah
dengan melalui 5 tahapan (Sutriyono, 2012
: 37-38) yaitu : (1) Pemindahan rekaman
video ke dalam bentuk tertulis. Transkip
ini memiliki tiga unsur utama, yaitu reaksi
dan catatan subjek, catatan pengkaji, dan
interaksi antar perngkaji dan subjek selama
wawancara. Transkip tersebut merupakan
data mentah untuk wawancara klinis.
Rekaman video pula merupakan data
mentah yang tidak tertulis; (2) Mengolah
dan menyusun dari data mentah
berdasarkan tema-tema tertentu untuk
menghasilkan protokol secara tertulis; (3)
Dari protokol tertulis, dan informasi-
informasi lain dibentuk kasus-kasus
tertentu; (4) Membangun pola tingkah laku
subjek yang dikenal secara pasti
berdasarkan tema dan analisis kasus yang
dibentuk sebelumnya; (5) Skim-skim
tingkah laku dirumuskan berdasarkan pada
pola tingkah laku yang telah dikenal pasti.
Skim tingkah laku terdiri dari tiga
peristiwa dasar, yaitu satu atau beberapa
situasi yang berfungsi sebagai pencetus
atau penyebab untuk sesuatu tindakan atau
operasi, tindakan atau operasi yang
dilakukan sesuadah peristiwa pertama, dan
akibat atau aktivitas lanjutan sesudah
peristiwa kedua.
HASIL DAN ANALISIS
Berdasarkan hasil pekerjaan dan
wawancara subjek dapat ditemukan
sebanyak enam skim yang digunakan
subjek ketika mengerjakan soal
penjumlahan bilangan pecahan dengan tiga
bentuk penjumlahan dan setiap bentuk
penjumlahan terdapat tiga tipe soal. Ketiga
bentuk penjumlahan soal tersebut adalah
(1)bentuk penjumlahan a + b = dengan
tiga tipe soal yaitu (i) penjumlahan
bilangan bulat dengan bilangan pecahan;
(ii) penjumlahan bilangan pecahan dengan
pecahan berpenyebut sama; (iii)
penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda, (2) bentuk penjumlahan
a + = c dengan tiga tipe soal yaitu (i)
penjumlahan bilangan bulat dengan
bilangan campuran; (ii) penjumlahan
bilangan pecahan dengan pecahan
berpenyebut sama; (iii) penjumlahan
bilangan pecahan berpenyebut beda, (3)
bentuk penjumlahan + b= c dengan tiga
tipe soal yaitu (i) penjumlahan bilangan
bulat dengan bilangan campuran; (ii)
penjumlahan bilangan pecahan dengan
pecahan berpenyebut sama; (iii)
penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda. Berdasarkan hasil
pekerjaan dan wawancara subjek dalam
menyelesaikan 3 bentuk penjumalahan
dengan tiga tipe soal dalam masing-masing
bentuk penjumlahan bilangan pecahan
diperoleh enam skim, yaitu : 1) Skim
Pemecah Bilangan; 2) Skim
Penggabungan Bilangan; 3) Skim
Penjumlahan Pembilang; 4) Skim
Kebalikan Penjumlahan Langsung; 5)
Skim Kebalikan Pemecah Bilangan; 6)
Skim Kebalikan Penjumlahan Pembilang.
Berikut ini uraian skim penjumlahan
bilangan pecahan.
1. Skim Pemecah Bilangan
Skim pemecah bilangan ini
digunakan oleh 1 subjek dalam
menyelesaikan soal penjumlahan
bilangan pecahan yang bentuk
penjumlahan a + b = dengan tipe soal
pertama penjumlahan bilanga bulat
dengan bilangan pecahan, tipe kedua
adalah penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut sama, dan yang ketiga
adalah penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda. Skim pemecah
bilangan digunakan oleh sabjek PY
dalam menyelesaikan soal penjumlahan
bilangan pecahan yang berbentuk a + b =
dengan tipe soal penjumlahan bilanga
bulat dengan bilangan pecahan. Pencetus
skim pemecah bilangan adalah adanya
anggapan bahwa setiap bilangan harus
berupa bilangan pecahan. Tindakan
operasi skim ini pada bentuk
penjumlahan a + b = dengan tipe soal
penjumlahan bilanga bulat dengan
bilangan pecahan adalah menggunakan
cara mengubah setiap bentuk bilangan
yang bukan pecahan ke dalam bentuk
pecahan dan kemudian dijumlahakan
bilangan pecahan dengan bilangan
pecahan. Dalam tindakan ini, jika ada
penjumlahan bilangan bulat dengan
bilangan pecahan makan bilangan bulat
akan diubah atau dijadikan kebentuk
pecahan kemudian dijumlahakan
bilangan pecahan dengan bilangan
pecahan. Hasil yang diharapkan dari
skim ini adalah bilangan penjumlahan
bilangan bulat yang sudah dijadikan
pecahan dengan bilangan pecahan. Hasil
pekerjaan dan wawancara subjek dapat
dilihat pada gambar 1.
P : (memberikan soal penjumlahan tipe “a + b =
dengan tipe Bilangan bulat + pecahan dan bentuk umum
( p + 𝑞
𝑟 ) =
𝑝
1 +
𝑞
𝑟” ini dibaca?
S : Dua ditambah satu per dua
P : Hasilnya berapa?
S : Lima per dua
P : Caranya gimana dapet hasil lima per dua?
S : Dua dijadikan pecahan menjadi dua per satu, lalu
menyamakan penyebutnya dengan cara mencari KPK
dua dan satu, jadi KPK dua dan satu adalah dua,
sehingga penyebutnya adalah dua. Setelah itu dua dibagi
satu dikali dua sama dengan empat dan dua dibagi dua
dikali satu sama dengan satu, karena penyebutnya sudah
sama maka pembilang dengan pembilang tinggal
dijumlahkan jadi hasil lima per dua. (2 diubah dalam
bentuk pecahan menjadi 2
1 kemudian dijumlahkan
menjadi
2
1 +
1
2 =
4
2 +
1
2 =
5
2 )
Gambar 1. Skim pemecah bilangan
2. Skim Penggabungan Bilangan
Skim penggabungan bilangan ini
digunakan oleh 2 subjek dalam
menyelesaikan soal penjumlahan
bilangan pecahan yang bentuk
penjumlahan a + b = dengan tipe soal
pertama penjumlahan bilanga bulat
dengan bilangan pecahan, tipe kedua
adalah penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut sama, dan yang ketiga
adalah penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda. Skim penggabungan
bilangan digunakan oleh sabjek JL dan
MR dalam menyelesaikan soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + b = dengan tipe soal
penjumlahan bilanga bulat dengan
bilangan pecahan. Pencetus skim
penggabungan bilangan adalah terdapat
bagian dari bilangan yang perlu
digabungkan. Tindakan operasi skim ini
pada bentuk penjumlahan a + b =
dengan tipe soal penjumlahan bilanga
bulat dengan bilangan pecahan adalah
menggunakan cara menggabungkan
semua bilangan sebagai pembilang
dengan penyebut tetap. Dalam tindakan
ini, jika ada penjumlahan bilangan bulat
dengan bilangan pecahan makan
bilangan bulat dikalikan dengan penyebut
kemudian dijumlahkan pembilang
dengan hasil akhir dengan penyebut
tetap. Hasil yang diharapkan dari skim
ini adalah pembilang yang dihasilkan
dari pengalian dan penjumlahan dari
bilangan.Hasil pekerjaan dan wawancara
subjek dapat dilihat pada gambar 2.
P : (memberikan soal penjumlahan tipe “a + b =
dengan tipe Bilangan bulat + pecahan dan
bentuk umum ( p + 𝑞
𝑟 ) =
𝑝
1 +
𝑞
𝑟” ini dibaca?
S : Dua ditambah satu per dua
P : Hasilnya berapa?
S : Lima per dua
P : Caranya gimana bisa dapat lima per dua?
S : Dua dikali dua ditambah satu ( menghitung
dengan mengalikan bilangan bulat dengan
penyebut kemudian ditambah dengan
pembilang untuk mendapatkan pembilang yaitu
2 × 2 + 1 = 5, kemudian dengan penyebut
tetap.)
P : Sama dengan?
S : Lima per dua
Gambar 2. Skim penggabungan bilangan
3. Skim Penjumlahan Pembilang
Skim penjumlahan pembilang ini
digunakan oleh semua subjek dalam
menyelesaikan soal penjumlahan
bilangan pecahan yang bentuk
penjumlahan a + b = dengan tipe soal
pertama penjumlahan bilanga bulat
dengan bilangan pecahan, tipe kedua
adalah penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut sama, dan yang ketiga
adalah penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda. Skim penjumlahan
pembilang digunakan oleh sabjek JL, MR
dan PY dalam menyelesaikan soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + b = dengan tipe soal
penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut sama dan tipe soal
penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda . Pencetus skim
penjumlahan pembilang adalah terdapat
penyebut yang sama dan pembilang yang
perlu dijumlahkan. Tindakan operasi
skim ini pada bentuk penjumlahan a + b
= dengan tipe soal tipe soal
penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut sama dan tipe soal
penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda adalah menjumlahkan
pembilang dengan pembilang untuk
mendapatkan hasil pembilang dengan
penyebut yang sudah sama atau tetap.
Dalam tindakan ini, jika penyebut yang
sudah sama pembilang dengan pembilang
langsung dijumlahkan, sedangkan
bilangan pecahan dengan berpenyebut
beda maka terlebih dahulu menyamakan
penyebut sesudah menyamakan penyebut
dijumlahkan kedua pembilang. Hasil
yang diharapkan dari skim ini adalah
hasil penjumlahan pembilang dengan
pembilang. Hasil pekerjaan dan
wawancara subjek dapat dilihat pada
gambar 3.
P : Selanjutnya (memberikan soal penjumlahan tipe “a + b
= dengan tipe Pecahan + pecahan(dengan penyebut
sama) dengan bentuk umum (𝑝
𝑞+
𝑟
𝑞) =
𝑝+𝑟
𝑞” ini
dibaca ?
S : Bibi memecah semangka, lalu diberikan kepada Dita 2
3
bagian, diberikan kepada Nana 1
3 bagian. Berapakah
semangka yang diberikan bibi pada Dita dan Nana?
P : Hasilnya berapa ?
S : Hasilnya tiga per tiga
P : Caranya tiga per tiga dari mana ?
S : Dua per tiga ditambah satu per tiga, karena
penyebutnya
sudah sama jadi tinggal ditambahkan pembilangnya. Jadi
hasilnya tiga per tiga. ( penyebut sudah sama, pembilang
ditambah pembilang 2 + 1 = 3, dengan penyebut 3)
P : Selanjutnya (memberikan soal penjumlahan tipe “a +
b = dengan tipe Pecahan + pecahan(dengan
penyebut berbeda) dengan bentuk umum Pecahan +
pecahan (dengan penyebut berbeda) (𝑝
𝑞+
𝑟
𝑠)” ini
dibaca ? (mengerjakan soal )
S : Satu per Dua ditambah lima per enam jadi hasilnya
delapan per enam
P : Caranya kamu bisa dapat delapan per enam gimana)
S : Penyebutnya disamakan terlebih dahulu, caranya cari
kelipatan atau KPK dari dua dan enam adalah enam,
jadi penyebutnya adalah enam. Setelah itu enam
dibagi dengan dua dikalikan satu hasilnya tiga dan
enam dibagi enam dikalikan lima hasilnya lima.
Karena penyebutnya sudah sama jadi pembilang
dengan pembilang tinggal ditambahkan menjadi
delapan per enam. (mengerjakan dengan
menyamakan penyebut dengan mencari KPK atau
kelipatan dari 2 dan 6 = 6 , lalu 6 : 2 × 1 = 3 jadi 3
6
dan 6 : 6 × 5 = 5 jadi 5
6, jadi hasilnya
3
6+
5
6 =
8
6 )
Gambar 3. Skim penjumlahan pembilang
4. Skim Kebalikan Pemecah Bilangan
Skim kebalikan pemecah bilangan ini
digunakan oleh 2 subjek dalam
menyelesaikan soal penjumlahan
bilangan pecahan yang bentuk
penjumlahan a + = c dengan tipe soal
pertama penjumlahan bilangan bulat
dengan bilangan pecahan campuran, tipe
kedua adalah penjumlahan bilangan
pecahan berpenyebut sama, dan yang
ketiga adalah penjumlahan bilangan
pecahan berpenyebut beda. Skim
kebalikan pemecah bilangan digunakan
oleh sabjek JL dan MR dalam
menyelesaikan soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + = c dengan tipe soal
penjumlahan bilangan bulat dengan
bilangan pecahan campuran. Pencetus
skim kebalikan pemecah bilangan adalah
operasi penjumlahan dikebalikankan
menjadi pengurangan dan adanya
keyakinan bahwa setiap bilangan harus
berupa bilangan pecahan. Tindakan
operasi skim ini pada bentuk
penjumlahan a + = c dengan tipe soal
penjumlahan bilanga bulat dengan
bilangan pecahan campuran adalah
menyusun bentuk penjumlahan menjadi
bentuk pengurangan dan mengubah
bilangan yang bukan pecahan menjadi
bentuk pecahan kemudian dikurangkan
antara bilangan pecahan dengan bilangan
pecahan. Dalam tindakan ini, mengubah
bentuk pecahan campuran kedalam
bentuk pecahan biasa dan membalikkan
bentuk penjumlahan kebentuk
pengurangan kemudian bilangan bulat
atau yang bukan bilangan pecahan
diubah kedalam bentuk bilangan
pecahan, jika kedua bilangan sudah
berpenyebut sama makan bilangan
pecahan dikurangkan dengan bilangan
pecahan. Hasil yang diharapkan dari
skim ini adalah hasil pengurangan
bilangan bulat yang sudah dijadikan
pecahan dengan bilangan pecahan. Hasil
pekerjaan dan wawancara subjek dapat
dilihat pada gambar 4.
S : Caranya tujuh satu per tiga dijadikan pecahan biasa sama
dengan dua puluh dua per tiga dikurangi tujuh per satu sama
dengan dua puluh dua per tiga dikurangi dua puluh satu per
tiga sama dengan satu per tiga.( mengerjakan dengan
menjadikan pecahan campuran 71
3 menjadi pecahan biasa
22
3,
kemudian mengurangkan 22
3−
7
1 , lalu menyamakan
penyebut dengan cara 3 × 1= 3, kemudian dengan
mengalikan silang antara 22 × 1 = 22 per 3 dan perkalian
silang satunya 7 × 3 = 21 per 3, lalu 22
3−
21
3=
1
3 )
P : Bisa dapet tiga dari mana?
S : Tiga di kali satu sama dengan tiga.
P : Dapet dua puluh dua per tiga ?
S : Satu di kali dua puluh dua sama dengan dua puluh dua
per tiga .
P: Dapat dua puluh satu per tiga dari mana?
S : Itu tujuh dikali dengan tiga jadi dua puluh satu per tiga,
lalu dua puluh dua per tiga di kurangi dengan dua puluh satu
per tiga jadi satu per tiga.
Gambar 4. Skim kebalikan pemecah bilangan
5. Skim Kebalikan Penjumlahan
Langsung
Skim kebalikan penjumlahan
langsung ini digunakan oleh 1 subjek
dalam menyelesaikan soal penjumlahan
bilangan pecahan yang bentuk
penjumlahan a + = cdan + b= c
dengan tipe soal pertama penjumlahan
bilanga bulat dengan bilangan pecahan
campuran, tipe kedua adalah
penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut sama, dan yang ketiga
adalah penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda. Skim kebalikan
penjumlahan langsung digunakan oleh
sabjek PY dalam menyelesaikan soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + = c dan + b= c dengan
tipe soal penjumlahan bilanga bulat
dengan bilangan pecahan campuran.
Pencetus skim kebalikan penjumlahan
langsung adalah operasi penjumlahan
dikebalikanakan menjadi pengurangan
dan jenis bilangan yang berbeda dapat
dioperasikan secara langsung tanpa harus
disamakan terlebih dahulu. Tindakan
operasi skim ini pada bentuk
penjumlahan a + = c dan + b= c
dengan tipe soal penjumlahan bilanga
bulat dengan bilangan pecahan campuran
adalah dengan mengurangkan secara
langsung bilangan bulat dengan bilangan
pecahan atau sebaliknya mengurangkan
bilangan pecahan dengan bilangan bulat.
Dalam tindakan ini, mengubah bentuk
penjumlahan menjadi bentuk
pengurangan, bilangan pecahan
campuran langsung dikurangkan dengan
bilangan bulat dan bilangan pecahan
campurang dikurangka dengan bilangan
pecahan biasa. Hasil yang diharapkan
dari skim ini adalah bilangan yang sudah
dikurangkan secara langsung. Hasil
pekerjaan dan wawancara subjek dapat
dilihat pada gambar 5.
P : Lalu berapa hasilnya dari Tujuh ditambah titik-
titik sama dengan tujuh satu per tiga?
S : Hasilnya satu per tiga
P : Bagaimana caranya ?
S : Tujuh satu per tiga dikurangi tujuh ( mengubah
bentuk penjumlahan kedalam bentuk
pengurangan yaitu hasil dikurangi soal, 71
3−
7 =1
3 )
S : Titik-titik ditambah tiga per tujuh sama dengan lima
tiga per tujuh
P : Berapa hasilnya yang diperoleh ?
S : Lima ( mengerjakan secara aljabar operasi hitung
bilangan pecahan)
P : Mendapatkan lima dari mana ?
S :Jadi diubah kedalam bentuk pengurangan jadi lima
tiga per tujuh dikurangi tiga per tujuh, karena tiga
per tujuh dikurangkan maka habis dan tinggal 5 (
menuliskan 55
7−
3
7 =5 )
Gambar 5. Skim kebalikan penjumlahan langsung
6. Skim Kebalikan Penjumlahan
Pembilang
Skim kebalikan penjumlahan
pembilang ini digunakan oleh semua
subjek dalam menyelesaikan soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
bentuk penjumlahan a + = cdan + b=
cdengan tipe soal pertama penjumlahan
bilanga bulat dengan bilangan pecahan
campuran, tipe kedua adalah
penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut sama, dan yang
ketiga adalah penjumlahan bilangan
pecahan berpenyebut beda. Skim
kebalikan penjumlahan pembilang
digunakan oleh sabjek JL, MR dan PY
dalam menyelesaikan soal penjumlahan
bilangan pecahan yang berbentuk a + =
c dan + b= cdengan tipe soal
penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut sama dan tipe soal
penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda . Pencetus skim
kebalikan penjumlahan pembilang adalah
mengubah bentuk penjumlahan dengan
cara membalikkan menjadi
pengurangan serta dengan adanya
penyebut yang sudah sama dan
pembilang yang perlu dikurangkan,
mengubah bentuk penjumlahan dengan
cara membalikkan menjadi
pengurangan dan adanya keyakinan
bahwa setiap bilangan berupa bilangan
pecahan. Tindakan operasi skim ini pada
bentuk penjumlahan a + = cdan + b=
cdengan tipe soal tipe soalpenjumlahan
bilangan pecahan berpenyebut sama dan
tipe soal penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda adalah mengurangkan
pembilang dengan pembilang untuk
mendapatkan pembilannya dan
penyebutnya tetap, dan mengurangkan
bilangan bulat yang diubah kedalam
bentuk pecahan, kemudian kurangkan
pembilang dengan pembilang. Dalam
tindakan ini, mengubah bentuk
penjumlahan kedalam bentuk
pengurangan jika penyebut sudah sama
pembilang dengan pembilang langsung
dikurangkan, sedangkan bilangan
pecahan dengan berpenyebut beda maka
terlebih dahulu menyamakan penyebut
sesudah menyamakan penyebut
dijumlahkan kedua pembilang . Hasil
yang diharapkan dari skim ini adalah
hasil penguranganpembilang dengan
pembilang. Hasil pekerjaan dan
wawancara subjek dapat dilihat pada
gambar 6.
S : Empat per lima ditambah titik-titik sama dengan
tujuh per lima
P : Berapa hasilnya?
S : Tiga per lima
P : Caranya gimana bisa dapet tiga per lima?
S:(mengubah bentuk penjumlahan dalam
pengurangan), jadi hasil dikurangkan pada soalnya, (
7 – 4), jadi 7
5−
4
5=
3
5 karena penyebutnya sudah
sama maka pembilang dengan pembilang tinggal di
kurangkan.
S : Titik-titik ditambah empat per lima sama dengan
tiga belas per sepuluh
P : Berapa hasilnya ?
S : Satu per dua ( mengerjakan terlebih dahulu
secara aljabar operasi hitung bilangan pecahan)
P : Mendapat hasil satu per dua dari mana ?
S : Yang pertama samakan dulu penyebutnya jadi
lima puluh dari 5 dikalikan 10 menjadi lima
puluh. Kemudian (50 : 10) × 13 = 65 dengan
penyebut 50 jadi 65
50 dan satunya (50 : 5) × 4 = 40
dengan penyebut 50 jadi 40
50 sehingga
65
50−
40
50=
25∶25
50∶25 =
1
2
Gambar 6. Skim kebalikan penjumlahanpembilang
7. Skim Menyederhanakan Pembilang
dan Penyebut
Skim menyederhanakan pembilang
dan penyebut digunakan oleh 2 subjek
dalam menyelesaikan soal penjumlahan
bilangan pecahan yang bentuk
penjumlahan a + b= , a +=c,dan +
b= cdengan tipe soal pertama
penjumlahan bilanga bulat dengan
bilangan pecahan, tipe kedua adalah
penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda, dan yang ketiga
adalah penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda. Skim
menyederhanakan pembilang dan
penyebut digunakan oleh sabjek JL dan
MR dalam menyelesaikan soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + b= , a + = c dan +
b= cdengan tipe soal penjumlahan
bilangan pecahan dengan pecahan, dan
tipe soal penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda . Pencetus untuk
Menyederhanakan pembilang dan
penyebut ini adalah adanya
penyederhanaan bialangan yang sama
untuk pembilang dan
penyebut.Tindakan operasi skim ini
pada bentuk penjumlahan a + = c , a
+ = cdan + b= cdengan tipe soal tipe
soal penjumlahan bilangan pecahan
dengan bilangan pecahan dan tipe soal
penjumlahan bilangan pecahan
berpenyebut beda adalah membagi
penyebut dan pembilang dengan
bilangan yang sama.. Hasil yang
diharapkan dari skim ini adalah
bilangan yang sudah disederhanakan
pembilang dan penyebut. Hasil
pekerjaan dan wawancara subjek dapat
dilihat pada gambar 7.
S : Empat tambah dua per empat
P : Hasilnya berapa?
S : hasilnya delapan belas per empat bisa di
sederhanakan kembali dengan dibagi dua
sama dengan sembilan per dua
P : Nah terus kan tadi kamu bilang hasilnya
delapan belas per empat itu dari mana?
S : Dari empat dikali empat sama dengan enam
belas ditambah dua sama dengan delapan
belas per empat lalu dibagi dengan dua,
maka hasilnya sembilan per dua.(
menghitung dengan mengalikan bilangan
bulat dengan penyebut kemudian ditambah
dengan pembilang untuk mendapatkan
pembilang yaitu 4 × 4 + 2 = 18, kemudian
dengan penyebut tetap. Disederhanakan
kembali 18:2
4:2=
9
2 )
S : Titik-titik tambah tiga per tujuh sama
dengan lima tiga per tujuh sama dengan
tiga puluh delapan per tujuh.
P : Tiga puluh delapan per tujuh itu dari
mana?
S : Dari lima tiga per tujuh, lima di kalikan
tujuh ditambah tiga jadi tiga puluh
delapan per tujuh supaya bisa jadi
pecahan biasa.
P : Hasilnya yang diperoleh ?
S : Lima
P : Mendapatkan lima dari mana ?
S : Jadi tiga puluh delapan per tujuh dikurangi
tiga per tujuh sama dengan tiga puluh
lima per tujuh sama aja tiga puluh lima
dibagi tujuh sama dengan lima.
S : Titik-titik ditambah empat per lima sama
dengan tiga belas per sepuluh
P : Berapa hasilnya ?
S : Satu per dua ( mengerjakan terlebih dahulu
secara aljabar operasi hitung bilangan
pecahan)
P : Gimana caranya bisa dapet satu per dua?
S : Tiga belas per sepuluh dikurangi empat per
lima sama dengan enam puluh lima per lima
puluh dikurangi empat puluh per lima puluh,
sebelumnya di samakan dulu penyebutnya
dengan cara 5 dikalikan 10 menjadi lima
puluh.
P : Terus dapet enam puluh lima sama empat
puluh dari yang pembilang itu gimana?
S : Dengan cara sepuluh dikali empat sama
dengan empat puluh lalu tiga belas dikalikan
lima sama dengan enam puluh lima. (
mengerjakan dengan menggunakan perkalian
silang antara pembilang dan penyebut jadi 13
× 5 = 65 dan 10 × 4 = 40)
P : Lalu hasilnya ?
S : Enam puluh lima per lima puluh dikurangi
empat puluh per lima puluh hasilnya duapuluh
lima per lima puluh, masih bisa
disederhanakan lagi dengan di bagi dua puluh
lima maka hasilnya setengah. ( menuliskan
65
50−
40
50=
25∶25
50∶25 =
1
2)
Gambar 7. Skim menyederhanakan pembilang dan penyebut
PEMBAHASAN
Terdapat 7 skim penjumlahan
bilangan pecahan terhadap siswa kelas V
sekolah dasar. Skim mempunyai urutan
peristiwa dasar yaitu pencetus, tindakan,
operasi dan hasil yang diharapkan.
Terdapat 7 skim yaitu sebagai berikut :
1. Skim Pemecah Bilangan
Skim pemecah bilangan ini
digunakan oleh subjek dalam
menyelesaikan soal yang berkaitan
dengan penjumlahan bilangan bulat
dengan bilangan pecahan. Pencetus
untuk skim pemecah bilangan ini adalah
mempunyai anggapan bahwa setiap suatu
bilangan harus merupakan bilangan
pecahan, sehingga tindakan operasi
untuk skim pemecah bilangan yaitu
mengubah bentuk bilangan yang bukan
bentuk pecahan kedalam bentuk pecahan
yang selanjutnya dilakukan penjumlahan
antara dua buah bilangan pecahan. Hasil
untuk skim pemecah bilangan adalah
penjumlahan bilangan bulat yang sudah
dijadikan pecahan dengan bilangan
pecahan.
2. Skim Penggabungan Bilangan
Skim penggabungan bilangan ini
digunakan oleh subjek dalam
menyelesaikan soal berkaitan dengan
penjumlahan bilangan bulat dengan
bilangan pecahan. Pencetus untuk skim
pemecah bilangan ini adalah adanya
suatu bagian dari bilangan yang perlu
untuk digabungkan. Sehingga, tindakan
operasi untuk skim penggabungan
bilangan yaitu mengalikan bilangan bulat
dengan penyebut dan menjumlahkan
dengan pembilang untuk dijadikan
pembilang dan penyebut yang tetap.
Hasil skim adalah pembilang yang
dihasilkan dari pengalian dan
penjumlahan dari unsur-unsur bilangan.
3. Skim Penjumlahan Pembilang
Skim penjumlahan pembilang ini
digunakan oleh subjek dalam
menyelesaikan soal yang berkaitan
dengan penjumlahan bilangan pecahan
dengan penyebut sama dan penjumlahan
bilangan pecahan dengan penyebut beda.
Pencetus untuk skim penjumlahan
pembilang ini adalah adanya pembilang
yang dijumlahkan dengan penyebut yang
sudah sama . Sehingga, tindakan operasi
untuk skim penjumlahan bilangan yaitu
menjumlahkan pembilang dengan
pembilang untuk mendapatkan hasil
pembilang dengan penyebut yang sudah
sama atau tetap. Didalamnya terdapat
beragam cara untuk menyamakan
penyebut yaitu mengalikan penyebut
dengan penyebut dan mencari KPK atau
kelipatanny. Hasil skim adalah
penjumlahan pembilang dan pembilang
dengan penyebut yang tetap atau sama.
4. Skim Kebalikan Penjumlahan
Langsung
Skim Kebalikan Penjumlahan
Langsung ini digunakan oleh subjek
dalam menyelesaikan soal yang berkaitan
dengan penjumlahan bilangan bulat
dengan bilangan pecahan campuran.
Pencetus untuk skim kebalikan
penjumlahan langsung ini adalah adanya
operasi penjumlahan dikebalikankan
menjadi pengurangan dan jenis bilangan
yang beda dapat dijumlahkan secara
langsung tanpa disamakan terlebih
dahulu. Tindakan yang dihasilkan dengan
mengurangkan secara langsung bilangan
bulat dengan bilangan pecahan atau
sebaliknya mengurangkan bilangan
pecahan dengan bilangan bulat. Hasil
skim adalah bilangan yang sudah
dikurangkan secara langsung.
5. Skim Kebalikan Pemecah Bilangan
Skim kebalikan pemecah bilangan
ini adalah kebalikan dari skim pemecah
bilangan. kebalikan pemecah bilangan
digunakan oleh subjek dalam
menyelesaikan soal berkaitan dengan
penjumlahan bilangan bulat dengan
bilangan pecahan campuran. Pencetus
untuk skim kebalikan pemecah bilangan
ini adalah mempunyai keyakinan bahwa
setiap suatu bilangan harus merupakan
bilangan pecahan, sehingga tindakan
operasi untuk skim pemecah bilangan
yaitu mengubah bentuk penjumlahan
kedalam bentuk pengurangan dan
bilangan yang bukan bentuk pecahan
kedalam bentuk pecahan yang
selanjutnya dikurangkan antara bilangan
pecahan dengan bilangan pecahan. Hasil
untuk skim adalah pengurangan bilangan
bulat yang sudah dijadikan pecahan
dengan bilangan pecahan .
6. Skim Kebalikan Penjumlahan
Pembilang
Skim kebalikan penjumlahan
pembilang ini adalah kebalikan dari skim
penjumlahan pembilang. Skim
penjumlahan pembilang ini digunakan
oleh subjek dalam menyelesaikan soal
yang berkaitan dengan penjumlahan
bilangan pecahan dengan penyebut sama,
penjumlahan bilangan pecahan dengan
penyebut beda dan penjumlahan bilangan
bulat dengan bilangan pecahan campuran
. Pencetus untuk skim kebalikan
penjumlahan pembilang ini adalah
operasi pengjumlahan dikebalikankan
menjadi pengurangan dengan penyebut
yang sudah sama dan pembilang yang
perlu dijumlahkan. Sehingga, tindakan
operasi untuk skim kebalikan
penjumlahan bilangan yaitu
mengurangkan pembilang dengan
pembilang untuk mendapatkan hasil
pembilang dengan penyebut yang sudah
sama atau tetap. Didalamnya terdapat
beragam cara untuk menyamakan
penyebut yaitu mengalikan penyebut
dengan penyebut dan mencari KPK atau
kelipatannya. Hasil skim adalah
mengurangkan pembilang dan pembilang
dengan penyebut yang tetap atau sama.
7. Skim Menyederhanakan Pembilang
dan Penyebut
Skim Menyederhanakan pembilang
dan penyebut oleh subjek dalam
menyelesaikan soal yang berkaitan
dengan penjumlahan bilangan bulat
dengan bilangan pecahan perbenyebut
beda. Pencetus untuk Menyederhanakan
pembilang dan penyebut ini adalah
adanya penyederhanaan bialangan yang
sama untuk pembilang dan penyebut.
Tindakan yang dihasilkan dengan
membagi kedua pembilang dan penyebut
dengan bilangan yang sama. Hasil skim
adalah bilangan yang sudah
disederhanakan pembilang dan penyebut.
Skim penjumlahan bilangan pecahan
yang dimiliki oleh subjek satu dengan
subjek yang lainnya berbeda.
Penggunaan skim dalam berbagai bentuk
soal dan tipe soal yang dilakukan oleh
setiap subjek dapat dilihat pada tabel 1.
Tabel 1
Skim yang digunakan subjek sesuai bentuk dan tipe soal
Bentuk
Penjumlahan
Tipe Soal Subjek Menggunakan Skim Nomor Skim Setiap
Bentuk Soal JL MR PY
a + b = Bilangan bulat + pecahan 2 2,7 1 1,2,7
Pecahan + pecahan
(dengan penyebut sama)
3 3 3 3
Pecahan + pecahan
(dengan penyebut berbeda)
3 3 3 3
a + = c Bilangan bulat + pecahan
campuran
4 4 5 4,5
Pecahan + pecahan
(dengan penyebut sama)
6 6 6 6
Pecahan + pecahan
(dengan penyebut berbeda)
6,7 6,7 6 6,7
+ b = c Bilangan bulat + pecahan
campuran
3 3 5 3,5
Pecahan + pecahan
(dengan penyebut sama
6 6 6 6
Pecahan + pecahan
(dengan penyebut berbeda)
6,7 6,7 6 6,7
Skim Setiap Subjek 2,3,4,6,7 2,3,4,6,7 1,3,5,6
Keterangan :
1. Skim Pemecah Bilangan
2. Skim Penggabungan Bilangan
3. Skim Penjumlahan Pembilang
4. Skim Kebalikan Pemecah Bilangan
5. Skim Kebalikan Penjumlahan
Langsung
6. Skim Kebalikan Penjumlahan
Pembilang
7. Skim Menyederhanakan Pembilang
dan Penyebut
PENUTUP
Hasil penelitian, pembahasan, dan
temuan dalam penelitian mengenai skim
penjumlahan bilangan pecahan ini
menunjukan bahwa terdapat berbagai
macam model dan proses berfikir siswa
yang digunakan dalam menyelesaikan soal
penjumlahan bilangan pecahan. Hal
tersebut menunjukan bahwa siswa satu
dengan yang lain memiliki model dan
proses berfikir yang berbeda dan juga
memiliki model dan proses yang dominan
dalam menyelesaikan soal yang sama yang
disebut skim penjumlahan bilangan
pecahan.
Berdasarkan hasil penelitian dan
pembahasan yang sudah dilakukan, dapat
disimpulkan bahwa terdapat tujuh skim
penjumlahan bilangan pecahan yang
dimiliki oleh 3 subjek. Ketujuh skim
tersebut antara lain skim pemecah
bilangan, skim pengabungan bilangan,
skim penjumlahan pembilang, skim
kebalikan pemecah bilangan, skim
kebalikan penjumlahan langsung, skim
kebalikan penjumlahan pembilang dan
skimmenyederhanakan pembilang dan
penyebut.
SARAN
1. Saran Teoritis
Penelitian ini merupakan penelitian
yang mendeskripsikan tentang skim
siswa dalam menyelesaikan soal
penjumlahan bilangan pecahan. Kajian
skim siswa menjadi sangat penting
karena dengan mengetahui skim siswa
juga dapat dijadikan refleksi guru atau
pengajar dalam proses pembelajaran.
Oleh karena itu hendaknya perlu
dilakukan penelitian lain untuk
mengetahui skim siswa pada topik-topik
yang lainnya.
2. Saran Praktis
a. Bagi Guru
Penelitian ini diharapkan berguna
bagi guru sebagai dasar untuk
mengetahui skim yang dimiliki siswa,
sehingga guru saat pembelajaran
belangsung tidak hanya memberikan
contoh soal dan penyelesaian, tetapi guru
diharapkan dapat melakukan tanya jawab
kepada siswa pada saat menyelesaikan
contoh soal seperti halnya guru
menanyakan langkah-langkah dalam
menyelesaikan setiap soal, langkah apa
saja yang dapat diambil dan menanyakan
kepada siswa apakah ada langkah
alternatif lain yang bisa digunakan dalam
menyelesaikan soal. Dengan adanya
tanya makan akan membantu siswa
mengontruksi pengetahuan yang dimiliki
siswa sehingga skim yang dimiliki siswa
juga semakin berkembang. Guru
diharpkan tidak memaksa siswa untuk
mengerjakan soal hanya dengan satu cara
saja tetapi memberi kesempatan siswa
untuk mengerjakan dengan cara siswa
masing-masing. Sehingga pemikiran
siswa juga akan terus berkembang
dengan pengalaman yang siswa miliki.
b. Bagi Siswa
Siswa yang menjadi objek penelitian
dapat meningkatkan skim matematika
yang sudah dimiliki, sehingga siswa
dapat menggembangkan kreativitasnya
untuk mencari langkah-langkah
pengerjaan soal yang bervariasi dan
dapat menentukan langkah-langkah yang
paling efektif dalam mengerjakan soal.
DAFTAR PUSTAKA
Arfiani, Silvia, 2009. Skim Pengurangan
Bilangan Cacah. Salatiga: FKIP
Matematika UKSW.
Moleong, Lexy J,1998.Metodologi
Penelitian Kualitatif. Bandung: PT
Remaja Rosdakarya.
Riska Kumalasari, Agustina, 2012. Skim
Penambahan Bilangan Pecahan. Salatiga:
FKIP Matetatika UKSW.
Sugiyono,2007. Metode Penelitian
Pendidikan. Bandung: Alfabeta.
Sugiyono,2013. Memahami penelitian
kualitatif. Bandung: Alfabeta
Sutriyono,2007. Konstruktivisme dalam
Pendidikan Matematika. Salatiga: Pidato
Pengukuran Guru Besar UKSW.
Sutriyono,2012. Skim Pengurangan
Bilangan Bulat. Salatiga: Program
Pascasarjana Magister Manajemen
Pendidikan