sisteme adaptive-petre emil

5/12/2018 Sisteme Adaptive-Petre Emil - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sisteme-adaptive-petre-emil 1/108

1-1

Cap. 1

IntroducereMajoritatea tehnicilor curente pentru proiectarea sistemelor de conducere se

bazează pe o bună înţelegere a procesului ce trebuie condus, precum şi a condiţiilor de funcţionare a acestuia. În practică, există multe situaţii în care procesul cetrebuie condus este foarte complex, iar fenomenele fizice care se produc îndiversele subprocese ale acestuia nu sunt complet cunoscute. În aceste cazuri,tehnicile de proiectare a comenzilor trebuie augmentate cu o tehnică deidentificare, care să aibă drept scop o mai bună înţelegere a procesului de condus.Se ajunge astfel la o agregare a operaţiilor de conducere şi a celor identificare. Decele mai multe ori, cele două operaţii sunt tratate separat. Dacă însă, identificareasistemului este recursivă – adică modelul procesului este actualizat periodic pe

baza estimărilor anterioare şi a datelor noi culese din proces – operaţiile deidentificare şi control pot fi realizate concurent. Conducerea adaptivă va fi privită ca o agregare directă a unei metodologii (neadaptive) de control cu o anumită metodă de identificare recursivă a procesului.

1.1. Etapele proiectării unui sistem de conducere

În multe aplicaţii de conducere, proiectarea unui regulator (controller) care să poată influenţa sau modifica comportarea şi r ăspunsul unui proces incompletcunoscut sau necunoscut, pentru a satisface anumite cerinţe de performanţă, poatefi o problemă dificilă, dar şi interesană şi provocatoare.

Prin proces, în general, vom înţelege orice proces caracterizat printr-un anumit număr deintr ări, notate cu u, şi ieşiri, notate cu y,reprezentat schematic ca în Fig. 1.1. Intr ările usunt prelucrate pentru a produce anumite ieşiri

y, care reprezintă, de obicei, r ăspunsurile măsurate ale instalaţiei.

Scopul proiectării unui sistem de conducere constă în alegerea intr ării u astfelîncât ieşirea y(t ) să satisfacă anumite performanţe impuse. Deoarece, în practică,

procesul ce trebuie condus este foarte complex, în sensul că poate conţine diverse păr ţi mecanice, electrice, electronice, hidraulice etc., interconectate în diversestructuri funcţionale, face ca o alegere corespunzătoare a lui u să nu fie o problemă simplă. Etapele de proiectare parcurse de majoritatea proiectanţilor de sisteme deconducere, respectiv de determinare a comenzii u, sunt prezentate în Fig. 1.2 şiexplicare mai jos.

Etapa 1. Modelarea

În această etapă, inginerul proiectant trebuie să analizeze şi să înţeleagă funcţionarea procesului, care, pentru un semnal de intrare u(t ), produce un semnal

Proces P Intr ări Ieşiri

u y

Fig.1.1. Reprezentarea unui proces



1-2

de ieşire (r ăspuns) y(t ); este etapa în care rela ţ iile intrare-ie şire pot fi descrise prinanumite ecuaţii matematice. Aceste ecuaţii constituie modelul matematic al

procesului. Un model exact al procesului ar trebui să producă un r ăspuns identic cucel al procesului real, dacă intrarea în model şi condiţiile iniţiale sunt identice cucele aplicate procesului real. Complexitatea majorităţii proceselor fizice fac cadezoltarea unui astfel de model (exact) să fie nejustificată sau chiar imposibilă.Dar, chiar dacă modelul exact al procesului poate fi obţinut, dimensiunea acestuiaar putea fi foarte mare, ar putea fi puternic neliniar şi variabil în timp, ceea ce faceapropape imposibilă utilizarea sa pentru proiectarea unui sistem de conducere.Aceasta face ca sarcina modelării să fie chiar mai dificilă, dar şi mai interesantă,deoarece proiectantul trebuie să obţină în final un model matematic care să descriecu acurateţe comportarea intrare/ieşire (I/O - Input/Output) a procesului şi, în plus,să fie destul de simplu pentru a putea fi utilizat pentru proiectarea sistemului deconducere propus. Un model simplu conduce de regulă la un controller simplu,

care este uşor de înţeles şi implementat, şi mult mai sigur pentru scopuri practice.

Un model al procesului poate fi dezvoltat prin folosirea legilor fizicii sau prin procesarea datelor de intrare/ieşire (I/O) ale procesului, date obţinute prin

efectuarea unor experimente. Totuşi, un astfel de model poate fi destul decomplicat din punctul de vedere al proiectantului sistemului de conducere, fiind

Procesul P

u y

Pasul 1: Modelarea

Modelul procesului P m

u y

Incertitudine Δ

Intrare deModelul

procesului P m

uΣ

Controller C

referinţă

Intrare deProces

P

uController C

referinţă y

Pasul 2: Proiectareacontrollerului

Pasul 3: Implementarea

y

Fig.1.2. Etapele proiectării unui sistem de conducere



1-3

astfel necesar ă o simplificare ulterioar ă a acestuia. Pentru a obţine un modelsimplificat, câteva dintre abordările cele mai utilizate sunt:

(i) Liniarizarea în jurul punctelor de funcţionare;(ii) Tehnici de reducere a ordinului modelului.

În prima abordare (i), procesul este aproximat printr-un model liniar, care estevalid numai în jurul unui punct de funcţionare. Puncte de funcţionare diferite potconduce la modele liniare diferite, care pot fi folosite ca modele valide ale

procesului în jurul acelor puncte. Liniarizarea se obţine fie prin dezvoltarea în serieTaylor a modelului neliniar şi aproximarea liniar ă a acestuia, fie prin potrivireadatelor experimentale la un model liniar, fie prin alte metode.

În cea de-a doua abordare (ii), efectele nesemnificative şi fenomenele situateîn afara domeniului de frecvenţe de interes sunt neglijate conducând la un model al

procesului mai simplu şi de ordin mai scăzut. Pentru detalii privind tehnicile deaproximare şi reducere a ordinului modelelor folosind metoda perturbaţiilor singuare se poate consulta [1].

În general, modelarea implică o bună înţelegere a instalaţiei de automatizat, afuncţionarii acesteia şi a cerinţelor de performanţă impuse şi poate reclama oanumită experienţă a inginerului automatist.

Etapa a 2-a. Proiectarea algoritmului de conducere

Odată ce dispunem de un model al procesului se poate trece la etapa proiectării sistemului de conducere. Controllerul se proiectează pe baza acestuimodel astfel încât sistemul de conducere (în circuit închis) să satisfacă

performanţele impuse. Dacă modelul reprezintă o bună aproximare a procesului,atunci putem spera că performanţele controllerului, respectiv ale sistemului deconducere, proiectat pe baza modelului procesului, ar putea fi apropiate de

performanţele sistemului obţinute când acelaşi controller se aplică procesului real.Deoarece modelul reprezintă întotdeauna o aproximare a procesului real,

efectul oricărei discrepanţe între proces şi model asupra performanţelor controllerului nu va fi cunoscut decât după implementarea şi testarea controlleruluidirect pe instalaţia reală (etapa a 3-a). Din această cauză, se poate introduce o etapă intermediar ă în care performanţele controllerului proiectat pentru un anumit model

al procesului se pot analiza utilizând acelaşi model la care se include însă o clasă de incertitudini ale modelului procesului notate cu Δ în Fig. 1.2. Dacă Δ conţinemajoritatea fenomenelor nemodelate ale procesului, reprezentarea sa prin ecuaţiimatematice nu este posibilă. Dar, în multe aplicaţii, caracterizarea sa prin anumitelimite cunoscute poate fi posibilă. Prin considerarea existenţei unei clase generalede incertitudini Δ, care ar putea fi prezente în proces, proiectantul poate modificasau reproiecta controllerul astfel încât acesta să fie mai puţin senzitiv laincertitudini, adică să fie mai robust în raport cu incetitudinea Δ. Această analiză arobusteţii precum şi reproiectarea controllerului îmbunătăţesc potenţialul pentru oimplementare practică de succes (Etapa a 3-a).



1-4

Etapa a 3-a. Implementarea

În acestă etapă, un controller proiectat în etapa a 2-a, care satisface performanţele impuse pentru modelul procesului şi este robust în raport cu posibilele incertitudini de modelare Δ, este “gata” pentru a fi utilizat pentru

conducerea procesului real (incomplet cunoscut). Implementarea poate fi realizată utilizând un calculator numeric, chiar dacă în anumite aplicaţii pot fi folosite şiregulatoare analogice. Indiferent de tipul calculatorului utilizat, tipul interfeţei întrecalculator şi proces, software-ul corespunzător etc. trebuie să fie alese a priori.Viteza de calcul şi acurateţea pot constitui restricţii asupra complexităţiicontrollerului, care îl pot determina pe proiectant să se reîntoarcă la etapa a 2-a sauchiar la pasul (etapa) 1 pentru a obţine un controller mai simplu f ăr ă a afecta însă

performanţele impuse.Un alt aspect important al implementării este ajustarea final ă a parametrilor

numită adesea acordare a controllerului pentru îmbunătăţirea performanţelor decompensare a incertitudinilor de modelare, care nu au fost rejectate prin procesulde proiectare. Acordarea se face de regulă prin încercări şi depinde foarte mult deexperienţa şi intuiţia proiectantului.

În acest curs ne vom concentra atenţia pe etapa a 2-a. Ne vom ocupa de proiectarea algoritmilor de conducere pentru o clasă de modele descrise prinecuaţii diferenţiale linare de forma:

Du xC y

x x Bu Ax x

T +=

=+= 0)0(;&

(1.1.1)

În (1.1.1), n x ℜ∈ este starea modelului, r u ℜ∈ este intrarea procesului, iar l y ℜ∈ este ieşirea modelului procesului. Matricele nn A ×ℜ∈ , r n B ×ℜ∈ , l nC ×ℜ∈

şi r l D ×ℜ∈ pot fi constante sau variabile în timp. Aceast ă clasă de modele este

destul de general ă deoarece ea poate servi şi ca un aproximant al proceselor

neliniare în jurul punctelor de func ţ ionare. Este de aşteptat ca un controller proiectat pe baza modelului liniar (1.1.1) să fie mai simplu şi mai uşor de înţelesdecât un controller proiectat pe baza unui model mai complicat (exact), dar neliniar.

Mai mult, clasa modelelor descrise prin (1.1.1) poate fi generalizată, dacă se

consider ă că elementele matricelor A, B sau C sunt fie complet necunoscute, fie semodifică în timp sau cu schimbarea condiţiilor de funcţionare. Conducerea

proceselor descrise prin modelele (1.1.1) cu A, B, C şi D par ţial cunoscute saunecunoscute este inclusă în domeniul sistemelor adaptive şi constituie subiectul

pricipal al acestui curs.

1.2. Controlul adaptiv

Corespunzător dicţionarului Webster, a adapta înseamnă "a se schimba (pesine) astfel încât comportarea sa să fie în concordanţă cu noile circumstanţe sau cu

circumstanţele modificate". Cuvintele "sisteme adaptive" şi "control adaptiv" aufost utilizate înainte de anul 1950 [2, 3].



1-5

Unul din motivele iniţiale care au determinat cercetări active asupracontrolului adaptiv, înainte de 1950, l-a constituit proiectarea autopiloţilor pentruaparate de zbor de înaltă performanţă.

Aparatele de zbor funcţionează într-un domeniu larg de viteze şi altitudini, iar dinamicile lor sunt neliniare şi variabile în timp. Totuşi, pentru un punct defuncţionare dat, precizat prin viteza aparatului (numărul Mach) şi altitudinea sa,dinamica complexă a aparatului poate fi aproximată printr-un model liniar deforma (1.1.1). De exemplu, pentru un punct de funcţionare i, modelul liniar alaparatului are următoarea formă [4]:

u D xC y

x xu B x A x

iT i

ii

+=

=+= 0)0(;&

(1.2.1)

unde Ai, Bi, C i şi Di corespund punctului de funcţionare i. Cum, aparatul trece prin

diferite condiţii de zbor, punctele de funcţionare se schimbă conducând la diferitevalori pentru Ai, Bi, C i şi Di. Deoarece r ăspunsul y(t ) conţine informaţie desprestarea x, precum şi despre parametrii aparatului, se poate argumenta că, în

principiu, un controller cu reacţie (după stare sau ieşire) ar putea fi capabil să sesizeze schimbarea parametrilor procesului prin procesarea r ăspunsului y(t ) şi să folosească factori de amplificare corespunzători pentru a se adapta la variaţiileacestora. Acestă argumentaţie conduce la o structur ă de conducere cu reacţie pecare se bazează controlul adaptiv. Structura sistemului adaptiv constă dintr-o buclă de reacţie şi un controller cu factori de aplificare ajustabili, reprezentată în Fig. 1.3.Procedeul de schimbare a factorilor de amplificare, ca r ăspuns la schimbările din

dinamica instalaţiei şi a perturbaţiilor, face distincţia dintre o schemă şi o alta.

1.2.1. Controlul robust

Controlul robust presupune proiectarea unui controller cu amplificareconstantă, care să facă faţă schimbării parametrilor procesului, cu condiţia caaceste schimbări să r ămână în interiorul unor anumite limite. O schemă bloc a unui

astfel de controller este prezentată în Fig. 1.4, unde G( s) este funcţia de transfer a procesului, iar C ( s) este funcţia de transfer a controllerului.

Fig.1.3. Structura controllerului cu factori de amplificare variabili

Controller C

Proces P

Strategia pentruajustarea factorilor

de amplificare

Intrare de

referinţă

u

u(t )

y(t )

y



1-6

Fig.1.4. Controller cu factor de amplificare constant

Funcţia de transfer de la y* la y este:

)()(1

)()(* sG sC

sG sC

y

y

+= (1.2.2)

unde C ( s) trebuie aleasă astfel încât sistemul în circuit închis este să fie stabil, în

pofida schimbării parametrilor sau incertitudinilor în G( s), şi * y y ≈ în domeniul

frecvenţelor de interes. Această ultimă condiţie poate fi realizată dacă C ( s) se alegeastfel încât factorul de aplificare al buclei |C ( jω)G( jω)| este cât mai mare posibil,în spectrul de frecvenţă a lui y

*, cu condiţia ca acestă valoare a factorului deamplificare să nu afecteze cerinţele de stabilitate în circuit închis. Obiectivele deurmărire şi stabilitate pot fi realizate prin proiectarea lui C ( s) cu condiţia caschimbările din G( s) să se situeze între anumite limite. Mai multe detalii desprecontrolul robust vor fi prezentate într-un capitol viitor.

Un sistem de conducere robust nu este considerat un sistem adaptiv, chiar dacă acesta poate trata anumite clase de incertitudini parametrice şi dinamice.

1.2.2. Planificarea amplificării (Gain Scheduling)

Se consider ă modelul aparatului de zbor (1.2.1) unde, pentru fiecare punct defuncţionare i, i = 1, 2, ..., N , parametrii Ai, Bi, C i şi Di se consider ă a fi cunoscuţi.Pentru fiecare astfel de punct de funcţionare i, considerând modelul liniar corespunzător, din condiţiile de satisfacere a performanţelor impuse, se poate

proiecta un controller cu factorul de amplificare constant, iθ . Se obţine astfel un

controller, C (θ), care conţine un set de factori de amplificare },,,,,{ 21 N i θθθθ KK

corespunzători celor N puncte de funcţionare. În timpul funcţionării, atunci când

este detectat un punct de funcţionare i, amplificarea controllerului se poate schimbala valoarea corespunzătoare a lui iθ , valoare obţinută dintr-un set de factori deamplificare precalculaţi. Tranziţiile dintre diferitele puncte de funcţionare, careconduc la schimbări semnificative ale parametrilor, pot fi rezolvate prin interpolaresau prin creşterea numărului de puncte de funcţionare. Pentru implementareametodei Gain Scheduling sunt esenţiale două elemente: (i) un tabel predefinit încare se memorează valorile lui iθ şi (ii) măsur ătorile auxiliare din proces corelatecu schimbările corespunzătoare punctelor de funcţionare. Această abordare senumeşte planificare a amplifică rii ( gain scheduling ) şi este ilustrată în Fig. 1.5.

Planificatorul amplificării (gain scheduler) constă într-un tabel predefinit cufactori de amplificare, o logică corespunzătoare pentru detectarea punctului de

Proces G( s)C ( s)Σ _

u y y*

+



1-7

funcţionare şi alegerea din tabel a valorii corespunzătoare a lui iθ . În cazulaparatelor de zbor, măsur ătorile auxiliare sunt numărul Mach şi presiuneadinamică. Cu această abordare, variaţiile parametrilor procesului pot fi compensate

prin schimbarea amplificării controllerului în funcţie de măsur ătorile auxiliare.

Fig.1.5. Schema Gain scheduling

Avantajul planificării amplificării constă în aceea că amplificările controller-ului pot fi schimbate cu aceeaşi viteză cu care măsur ătorile auxiliare r ăspund lamodificările valorilor parametrilor. Totuşi, schimbări frevente şi rapide aleamplificărilor controllerului pot conduce la instabilitate [5]; de aceea, există olimită a cât de lent (obişnuit) sau cât de rapid pot fi schimbate amplificărilecontrollerului.

Unul din dezavantajele metodei gain scheduling constă în faptul că înmecanismul de ajustare, amplificările sunt precalculate off-line şi, de aceea, nu

furnizează informaţie (reacţie) pentru a compensa programele incorecte.Schimbările neprevăzute în dinamica procesului pot conduce la deteriorarea performanţelor sau chiar la avarie. Un alt posibil dezavantaj al gain schedulingconstă în costurile mari de proiectare şi implementare care cresc cu numărul de

puncte de funcţionare. În pofida limitărilor sale, gain scheduling este o metodă popular ă pentru

tratarea variaţiei parametrilor în controlul zborului [4, 6] şi a altor sisteme [7].

1.2.3. Controlul adaptiv direct şi indirect

Un controller adaptiv se obţine prin combinarea unui estimator on-line al parametrilor , care furnizează estimări ale parametrilor necunoscuţi la fiecaremoment de timp t , cu o lege de comand ă , calculată pentru cazul parametrilor cunoscuţi ai procesului. Modul în care estimatorul parametrilor, referit de multe orişi lege adaptivă , se combină cu legea de comandă, dă naştere la două abordăridiferite. În prima abordare, denumită control adaptiv indirect, mai întâi parametrii

procesului sunt estimaţi on-line şi apoi sunt folosiţi în calcularea parametrilor controllerului. Această abordare a fost de asemenea referită şi sub denumirea de control adaptiv explicit , deoarece proiectarea se bazează pe un model explicit al

procesului.

În cea de-a doua abordare, denumită control adaptiv direct , modelul procesului este parametrizat în funcţie de parametrii controllerului, care sunt

Controller C (θ)

Poces

auxiliare

GainScheduling

Măsur ători

Program sau

semnal dereferinţă

u y

θi



1-8

estimaţi direct, f ăr ă alte calcule intermediare, care să implice estimarea parametrilor procesului. Această abordare este de asemenea referită şi prin control adaptiv implicit , deoarece proiectarea se bazează pe estimarea unui model implicital procesului.

În controlul adaptiv indirect, modelul procesului P (θ*) este parametrizat înraport cu elementele vectorului parametrilor necunoscuţi θ*. De exemplu, pentru unmodel liniar invariant în timp (LTI-Linear Time Invariant) cu o singur ă intrare şi osingur ă ieşire (Single-Input Single-Output (SISO)), θ* poate reprezenta coeficienţiinecunoscuţi ai număr ătorului şi numitorului funcţiei de transfer a modelului. Prin

prelucrarea intr ării procesului u şi a ieşirii y, un estimator on-line al parametrilor generează, la fiecare moment t , o estimare θ(t ) a lui θ*. Parametrul estimat θ(t )

precizează un model estimat al procesului descris prin ))((ˆ t P θ . În procesul de proiectare a comenzii, ))((ˆ t P θ este considerat drept model "adevărat" şi este folosit pentru calcularea parametrilor controllerului sau a vectorului de amplificare θc(t )

prin rezolvarea, la fiecare moment t , a unei anumite ecuaţii algebrice θc(t ) = F (θ(t )). Forma legii de comandă C (θc) şi ecuaţia algebrică θc = F (θ) sunt aleseastfel încât să fie identice cu cea a legii de comandă )( *

cC θ şi respectiv a ecuaţiei)( ** θ=θ F c , care ar fi fost utilizate pentru satisfacerea cerinţelor de performanţă

corespunzătoare modelului P (θ*), în situaţia în care θ* ar fi fost consideratcunoscut. Este clar că, în această abordare, C (θc(t )) se proiectează astfel încât, lafiecare moment t , pentru modelul estimat ))((ˆ t P θ - care poate diferi de modelulnecunoscut P (θ*) - sistemul în circuit închis să satisfacă performanţele impuse. Deaceea, principala problemă în controlul adaptiv indirect constă în alegerea clasei de

legi de comandă C (θc) şi a clasei de estimatoare ale parametrilor, care să generezeθ(t ), precum şi a ecuaţiei algebrice θc(t ) = F (θ(t )), astfel încât C (θc(t )) să satisfacă cerinţele de performanţă pentru modelul P (θ*) cu θ* necunoscut. Această problemă va fi studiată în detaliu în Cap. 4, iar proprietăţile de robusteţe în controlul adaptivindirect vor fi considerate în Cap. 5. Schema bloc a unui sistem de control adaptivindirect este prezentată în Fig. 1.6.

Fig.1.6. Controlul adaptiv indirect

Controller

C (θc)

Proces

P (θ∗)

Estimareaon-line a

parametrului θ*

Calculeθc(t ) = F (θ(t ))

r - Intrarede referinţă

θ(t )

u y

r

θc



1-9

În control adaptiv direct , modelul procesului P (θ*) este parametrizat în funcţie

de vectorul parametrilor necunoscuţi *cθ ai controllerului, pentru care C ( *

cθ )

satisface cerinţele de performanţă pentru a obţine modelul P c(*cθ ) cu aceleaşi

caracteristici de intrare/ieşire ca şi P (θ*).În loc de a utiliza P (θ*), estimatorul on-line al parametrilor se proiectează pe

baza lui P c(*cθ ), sarcina sa fiind de a furniza direct, la fiecare moment de timp t ,

prin prelucrarea intr ării u şi ieşirii y, estimările θc(t ) ale lui *cθ . Pentru actualizarea

vectorului θc al parametrilor controllerului va fi folosită estimarea θc(t ), f ăr ă altecalcule intermediare. Alegerea clasei legilor de comandă C (θc) şi a estimatoarelor

parametrilor, care să genereze θc(t ) pentru care C (θc(t )) satisface cerinţele de performanţă pentru modelul P (θ*), constituie problema fundamentală în controluladaptiv direct. Proprietăţile modelului P (θ*) sunt esenţiale în obţinerea modelului

parametrizat P c( *cθ ) - convenabil în estimarea on-line. Drept urmare, controlul

adaptiv direct este restricţionat la o anumită clasă de modele ale procesului. Aşacum se va ar ăta în Cap. 5, o clasă de modele convenabilă pentru controlul adaptivdirect o constituie clasa modelelor SISO-LTI cu minim de fază, adică, cu zerourile

plasate în Re[ s] < 0. Schema bloc a unui sistem de control adaptiv direct este prezentată în Fig 1.7.

Fig.1.7. Controlul adaptiv direct

Principiul din spatele proiectării schemelor de control adaptiv direct şiindirect, prezentate în Fig. 1.6 şi 1.7 este, conceptual, simplu. Proiectarea lui C (θc)consider ă estimările θc(t ) (în cazul controlului adaptiv direct) sau estimările θ(t ) (încazul controlului adaptiv indirect) ca şi când acestea ar fi parametrii adevăraţi.Această abordare a proiectării se numeşte echivalen ţă cert ă (certainty equivalence) şi poate fi utilizată pentru a genera o clasă largă de scheme de control adaptiv princombinarea diferitelor estimatoare on-line ale parametrilor cu diferite legi decomandă.

Ideea din spatele echivalen ţ ei certe constă în aceea că estimările parametrilor θc(t ) şi θ(t ) converg către valorile lor adevărate *cθ , respectiv θ*, performanţa

Controller C (θc)

Estimareaon-line a

parametrului *cθ

r - Intrare

de referinţă

u y

r θc

Proces

)()( **cc P P θ→θ



1-10

controllerului adaptiv C (θc) tinde către aceea realizată de C ( *cθ ) în cazul

parametrilor cunoscuţi.Pentru majoritatea cititorilor, distincţia între controlul adaptiv direct şi indirect

poate fi confuză din următoarele motive: Structura controlului adaptiv direct

prezentată în Fig. 1.7 poate fi f ăcută identică cu cea a controlului adaptiv indirect prin includerea unui bloc pentru efectuarea calculelor cu o transformare identitateîntre parametrii actualizaţi şi parametrii controllerului ( )())(()( t t F t cc θ=θ=θ ). Îngeneral, pentru un anumit model, distincţia dintre abordarea directă şi cea indirectă devine clar ă numai dacă se intr ă în detalii de proiectare şi analiză. De exemplu,

pentru un proces cu minim de fază, se poate ar ăta că metoda de control adaptivdirect poate satisface cerinţe de performanţă, care implică stabilitatea şi urmărireaasimptotică. Nu este încă clar cum se proiectează scheme directe pentru procesef ăr ă minim de fază. Dificultatea apare din faptul că, în general, o parameterizare

convenabilă (în scopul estimării) a modelului procesului în funcţie de parametriideferiţi ai controllerului nu este posibilă pentru modele f ăr ă minim de fază.Pe de altă parte, controlul adaptiv indirect, este aplicabil atât proceselor cu

minim de fază, cât şi f ăr ă minim de fază. Cu toate acestea, nu se poate garanta că

legătura dintre θ(t ) şi θc(t ), definită prin ecuaţia algebrică ))(()( t F t c θ=θΔ

, există lafiecare moment t , determininând aşa-numita problemă a stabilizabiliz ă rii, care va fidiscutată în Cap. 5. Aşa cum vom ar ăta în Cap. 5, soluţii ale problemei destabilizabilitate vor fi posibile cu preţul unei complexităţi suplimentare.

O serie de eforturi pentru a relaxa ipoteza de minim de fază în controlul

adaptiv direct şi a rezolva problema de stabilizabilitate în controlul adaptiv indirectconduc la scheme de control adaptiv unde atât parametrii controllerului cât şi cei ai

procesului sunt estimaţi on-line, obţinând scheme combinate direct/indirect, carede regulă sunt mult mai complexe [8].

1.2.4. Controlul adaptiv cu model de referinţă

Controlul adaptiv cu model de referinţă (MRAC-Model Reference AdaptiveControl) derivă din problema urmăririi modelului sau problema controlului cumodel de referinţă (MRC-Model Reference Control). În MRC, o bună înţelegere a

procesului şi a cerinţelor de performanţă trebuie să-i permită proiectantului să formuleze (propună) un model numit model de referin ţă , care să descrie

proprietăţile I/O dorite ale sistemului în circuit închis. Obiectivul MRC constă în a găsi o lege de comandă cu reacţie care să schimbe

structura şi dinamica sistemului (în circuit închis) astfel încât proprietăţile sale I/Osă fie identice cu cele ale modelului de referinţă. Structura unui MRCcorespunzătoare unui proces SISO-LTI, este reprezentată în Fig. 1.8. Funcţia detransfer a modelului de referinţă W m( s) este aleasă astfel încât pentru un semnal dereferinţă r (t ), ieşirea ym(t ) a modelului de referinţă să reprezinte r ăspunsul dorit pecare ar trebui s

ă-l urm

ăreasc

ăieşirea

y(t ) a procesului. Controllerul, notat prin

C ( *cθ ), este proiectat astfel încât toate semnalele să fie mărginite şi funcţia de



1-11

transfer a sistemului în circuit închis de la r la y să fie egală cu W m( s). Această potrivire (ajustare) a funcţiei de transfer garantează că pentru orice referinţă r (t ),

eroarea de urmă rire m y ye −=Δ

1 , care reprezintă diferenţa dintre ieşirea procesuluişi traiectoria dorită ym, converge în timp la zero. Ajustarea funcţiei de transfer esteobţinută prin compensarea zerourilor funcţiei de transfer a procesului G( s) şiînlocuirea acestora cu cele ale lui W m( s) prin intermediul controllerului (cu reacţie)

C ( *cθ ). Compensarea zerourilor procesului impune ca procesul să fie cu minim de

faz ă , adică , trebuie să aibă zerourile stabile. Dacă un zerou al procesului esteinstabil, compensarea sa poate să conducă la semnale nemărginite.

Proiectarea lui C ( *cθ ) impune cunoaşterea coeficienţilor funcţiei de transfer a

procesului G( s). Dacă θ* este un vector care conţine toţi coeficienţii lui G( s) =

G( s,θ*), atunci vectorul parametru *cθ poate fi calculat prin rezolvarea unei ecuaţii

algebrice de forma:

)( ** θ=θ F c (1.2.3)

Este deci clar că, pentru atingerea obiectivului MRC, modelul procesului trebuie să fie cu minim de fază, iar vectorul parametrilor θ* trebuie să fie cunoscut cuexactitate.

Fig.1.8. Schema de control cu model de referinţă

Când θ* este necunoscut, schema MRC din Fig. 1.8 nu poate fi implementată

deoarece *cθ nu poate fi calculat utilizând (1.2.3) şi este deci necunoscut. O metodă

de a trata cazul parametrului necunoscut constă în folosirea echivalen ţ ei certe, carene permite înlocuirea în legea de comandă a parametrului *

cθ necunoscut cu

estimarea sa θc(t ), obţinută utilizând abordarea directă sau indirectă. Schemele decontrol rezultate sunt cunoscute ca MRAC şi pot fi clasificate în MRAC indirect,

prezentat în Fig. 1.9 şi MRAC direct, prezentat în Fig. 1.10.Alegeri diferite ale estimatoarelor on-line ale parametrilor conduc la o altă

clasificare a MRAC. Aceste clasificări, precum şi proprietăţile de stabilitate atât aleMRAC direct, cât şi indirect, vor fi studiate în detaliu în Cap. 5.

Pentru proiectarea schemelor MRAC directe şi indirecte pot fi utilizate şi alte

abordări similare abordării echivalenţei certe. Structura acestor scheme se obţine prin modificarea schemelor din Fig. 1.9 şi 1.10 şi vor fi studiate în Cap. 5.

r

Controller

C ( *cθ )

u yProcesG( s)

Model de referinţă W m( s)

ym

e1

+

_



1-12

Fig.1.9. MRAC indirect

Fig.1.10. MRAC direct

1.2.5. Controlul adaptiv cu plasarea polilor

Controlul adaptiv cu plasarea polilor (APPC - Adaptive Pole PlacementControl) este derivat din problema controlului cu plasarea polilor (PPC - PolePlacement Control) şi problema reglării utilizată în cazul proceselor LTI cu

parametrii cunoscuţi.În PPC, cerinţele de performanţă se transpun în alegerea unor locaţii dorite ale

polilor sistemului în circuit închis. Se dezvoltată apoi o lege de comandă cu reacţie,

care plasează polii sistemului în circuit închis în locaţiile dorite. O structur ă tipică aunui PPC, pentru un proces SISO-LTI, este prezentată în Fig. 1.11.

r – Intrarede referinţă

Controller

C ( *cθ )

u

y

ProcesG( s)


ym

e1

+

_

Estimareaon-line a

parametrului θ*

Calculeθc(t ) = F (θ(t ))

θ(t )

r

θc

r – Intrarede referinţă

Controller

C ( *cθ )

u

y

Proces

)()( **cc P P θ→θ


ym

e1

+

_

Estimareaon-line a

parametrului *cθ

r

θc



1-13

Fig.1.11. Controlul cu plasarea polilor

Structura controllerului C ( *cθ ) şi a vectorului parametru *

cθ sunt alese astfelîncât polii funcţiei de transfer a sistemului în circuit închis de la r la y să fie egali

cu cei doriţi. Vectorul *cθ se calculează utilizând o ecuaţie algebrică de forma

)( ** θ=θ F c (1.2.4)

unde θ* este un vector care conţine coeficienţii funcţiei de transfer ai procesului

G( s).Dacă θ*

este cunoscut, atunci *cθ este calculat din (1.2.4) şi folosit în legea de

comandă. Când θ* este necunoscut, *cθ este de asemenea necunoscut şi schema

PPC din Fig. 1.11 nu poate fi implementată. Ca şi în cazul MRC, putem trata cazul parametrului necunoscut prin intermediul metodei echivalenţei certe, care ne

permite înlocuirea vectorului necunoscut *cθ cu estimarea sa θc(t ). Schema astfel

obţinută este denumită controlul adaptiv cu plasarea polilor (APPC). Dacă θc(t )este actualizat direct printr-un estimator on-line al parametrilor, schema este

referită prin APPC direct . Dacă θc(t ) este calculat prin intermediul ecuaţieiθc(t ) = F (θ(t )) (1.2.5)

unde θ(t ) este estimarea lui θ* generată printr-un estimator on-line, schema estereferită ca APPC indirect . Structura unui APPC direct şi respectiv indirect esteaceeaşi cu cea prezentată în Fig. 1.6 şi respectiv 1.7 corespunzătoare cazuluigeneral.

Proiectarea schemelor APPC este foarte flexibilă în raport cu alegerea formeicontrollerului C (θc) şi a estimatorului on-line al parametrului.

De exemplu, legea de comandă poate fi bazată pe tehnica proiectării liniar-

pătratice, tehnici de proiectare în domeniul frecvenţă, sau orice altă metodă PPCutilizată în cazul în care parametrul se consider ă a fi cunoscut. Diverse combinaţiiale estimatoarelor on-line şi ale legilor de comandă conduc la o clasă largă descheme APPC care vor fi studiate în detaliu în Cap. 5.

În literatura dedicată controlului adaptiv, schemele APPC sunt adesea referiteca regulatoare cu autoacordare ( self-tuning regulators) şi sunt distincte faţă deMRAC. Distincţia dintre APPC şi MRAC este mai mult istorică decât conceptuală,deoarece, aşa cum se va ar ăta în Cap. 5, MRAC poate fi considerat ca o clasă specială a APPC. MRAC a fost iniţial dezvoltat pentru procese continue în timp

pentru urmărirea modelului, pe când APPC a fost iniţial dezvoltat pentru procesediscrete în timp în domeniu stochastic utilizând tehnici de minimizare.

r – IntrareController

C ( *cθ )

u yProcesG( s)

de referinţă



1-14

1.2.6. Proiectarea on-line a estimatoarelor parametrilor

Aşa cum s-a menţionat în subcapitolele anterioare, un controller adaptiv poatefi considerat ca o combinaţie a unui estimator on-line al parametrilor necunoscuţicu o lege de control proiectată pentru cazul în care parametrii se consider ă

cunoscuţi. Modul în care se face această combinare şi tipul estimatorului şi a legiide comandă utilizată dau naştere unei clase de controllere adaptive diferite, cudiferite proprietăţi. În literatura dedicată controlului adaptiv, estimatorul on-line al

parameterului (parametrilor) a fost de obicei denumit lege de adaptare, lege deactualizare sau mecanism de ajustare. În acest curs, acesta va fi denumit lege deadaptare. Proiectarea legii de adaptare este crucială pentru proprietăţile destabilitate ale controllerului adaptiv. Aşa cum vom vedea în acest curs, legea deadaptare introduce o neliniaritate multiplicativă care face ca sistemul în circuitînchis să fie neliniar şi de regulă variabil în timp. Din această cauză, analiza şiînţelegerea stabilităţii şi robusteţii schemelor de control adaptiv sunt mult maiinteresante (provocatoare).

Câteva dintre metodele de bază utilizate pentru proiectarea legilor adaptivesunt:

(i) Metoda de senzitivitate;(ii) Metoda de pozitivitate şi proiectare Lyapunov;(iii) Metoda gradientului şi metode ale celor mai mici pătrate bazate pe funcţia

cost a erorii de estimare.Aceste metode vor fi utilizate în Cap. 4 şi 5 pentru proiectarea unor clase de

legi de adaptare. Metoda senzitivităţii este una dintre cele mai vechi metode

utilizate în proiectarea legilor de adaptare şi va fi prezentată pe scurt în acest paragraf.

(i) Metoda de senzitivitate

Această metodă a devenit foarte popular ă în anii 1960 [9, 10] şi este încă folosită în multe aplicaţii industriale pentru conducerea proceselor cu incertitudini.

În controlul adaptiv, metoda senzitivităţii este utilizată pentru proiectarea legiiadaptive astfel încât parametrii estimaţi să fie ajustaţi într-o direcţie care să minimizeze o anumită funcţie cost (performanţă). Legea de adaptare este obţinută din derivata par ţială a funcţiei performanţă în raport cu parametrii estimaţi,multiplicată cu un semnal de eroare care caracterizează nepotrivirea (diferenţa)dintre comportarea actuală şi comportarea dorită. Această derivată este denumită

func ţ ie de senzitivitate şi, dacă ea poate fi generată on-line, atunci legea adaptivă este implementabilă. În practică însă, în majoritatea cazurilor de control adaptiv,funcţia de senzitivitate nu poate fi generată on-line, şi acesta constituie unul din

principalele dezavantaje ale metodei. Pentru implementarea metodei, se încercă folosirea funcţiilor de senzitivitate aproximative, care sunt implementabile, dar care conduc la scheme de control adaptiv ale căror proprietăţi de stabilitate sunt fieslabe, fie nu pot fi stabilite.

Ca exemplu, consider ăm proiectarea unei legi adaptive pentru actualizareavectorului parametru al controllerului θc din schema MRAC directă din Fig. 1.10.



1-15

Eroarea de urmărire e1 reprezintă diferenţa dintre ieşirea procesului y şi cea a

modelului de referinţă ym, adică, e1 = y - ym. Deoarece, în regim staţionar, θc =*cθ

are drept urmare e1 = 0, se poate considera că o valoare nenulă a lui e1 implică *cc θ≠θ . Deoarece y depinde de θc, adică y = y(θc), se obţine că e1 = e1(θc) şi deci, o

metodă de reducere a lui e1 la zero constă în a ajusta θc într-o direcţie care să minimizeze o anumită funcţie cost (performanţă) ce depinde de e1. O funcţie costsimplă ce depinde de e1 este funcţia pătratică:

2

)()(

21 c

c

e J

θ=θ . (1.2.6)

O metodă simplă pentru adjustarea lui θc care minimizează J (θc) este metoda celeimai rapide descre şteri sau metoda gradientului (vezi Anexa B) care furnizează legea de adaptare:

)()( 11 ccc ee J θ∇γ−=θ∇γ−=θ& (1.2.7)unde

T

cncc

c

eeee ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

θ∂∂

θ∂∂

θ∂∂

=θ∇Δ

1

2

1

1

11 ,,,)( K (1.2.8)

este gradientul lui e1 în raport cu T cnccc ],,,[ 21 θθθ=θ K .

Deoarece )()(1 cc ye θ∇=θ∇ , se obţine

)()( 1 ccc ye J θ∇γ−=θ∇γ−=θ& (1.2.9)

unde γ > 0 este o constantă arbitrar ă de proiectare denumită factor de amplificare alegii de adaptare (adaptive gain), iar ci y θ∂∂ / , ni ,,2,1 K= sunt funcţiile desenzitivitate ale lui y în raport cu elementele vectorului parametrilor controlleruluiθc. Funcţiile de senzitivitate ci y θ∂∂ / reprezintă senzitivitatea ieşirii procesului la

schimbările parametrilor θc ai controllerului.În (1.2.7) vectorul parametrilor θc este ajustat în direcţia celei mai rapide

descreşteri a lui 2/)()( 21 cc e J θ=θ . Dacă J (θc) este o funcţie convexă, atunci

aceasta are un minim global care satisface 0)( =θ∇c

y , adică, în punctul de minim,

0=θc& şi adaptarea se opreşte.

Implementarea lui (1.2.9) necesită generarea on-line a funcţiilor desenzitivitate y∇ care, de regulă, depind de parametrii necunoscuţi ai procesului şide aceea nu sunt disponibile. În aceste cazuri, în locul funcţiilor de senzitivitateactuale (reale) sunt folosite valorile lor aproximate. Pentru a calcula funcţiile desenzitivitate, o metodă de aproximare necesită şi utilizează a priori o anumită informaţie despre parametrii procesului.

O metod ă cunoscut ă pentru calculul func ţ iilor de senzitivitate aproximative

este a şa-numita regul ă MIT . Cu această regulă, parametrii necunoscuţi, dar necesari în generarea funcţiilor de senzitivitate, sunt înlocuiţi cu estimările lor on-



1-16

line. În general, prin utilizarea funcţiilor de senzitivitate aproximative, nu este posibilă demonstrarea stabilităţii globale în circuit închis şi convergenţa la zero aerorii de urmărire. Totuşi, în simulări, s-a observat că regula MIT, dar şi altetehnici de aproximare, lucrează bine când factorul de amplificare al legii de

adaptare γ şi amplitudinea semnalului de referinţă sunt mici. Pentru a confirmaaceste observaţii şi a demonstra stabilitatea locală a unei anumite clase de semnalede referinţă în [11] sunt utilizate tehnici de mediere. Cu toate acestea, global,schemele bazate pe regula MIT şi pe alte aproximări pot duce la instabilitate.Exemple de instabilitate sunt prezentate în [12, 13, 14].

Vom ilustra utilizarea regulii MIT pentru proiectarea unei scheme MRAC pentru procesul:

u ya ya y +−−= 21 &&& (1.2.10)

unde a1 şi a2 sunt parametrii necunoscuţi ai procesului, iar y& şi y sunt măsurabile.Modelul de referinţă ce urmează a fi urmărit de către sistemul în circuit închis

este descris prin

r y y y mmm +−−= &&& 2 (1.2.11)

Legea de comandă

r y yu +θ+θ= *2

*1 & (1.2.12)

unde

21*1 −=θ a ; 12

*2 −=θ a (1.2.13)

va realiza urmărirea perfectă a modelului. Ecuaţia (1.2.13) se numeşte ecuaţie deajustare (a parametrilor regulatorului). Deoarece a1 şi a2 sunt necunoscuţi, valorile

dorite ale parametrilor controllerului *1θ şi *

2θ nu pot fi calculate din (1.2.13). Deaceea, în locul lui (1.2.12) se utilizează legea de comandă:

r y yu +θ+θ= 21 & (1.2.14)

unde θ1 şi θ2 sunt ajustaţi utilizând regula MIT astfel:

111 θ∂

∂

γ−=θ

y

e&

, 212 θ∂

∂

γ−=θ

y

e&

(1.2.15)

unde e1 = y - ym. Pentru a implementa (1.2.15), trebuie generate on-line funcţiile desenzitivitate 1/ θ∂∂ y , 2/ θ∂∂ y .

Utilizând (1.2.10) şi (1.2.14) se obţine

12

11

12

11

1 θ∂∂

θ+θ∂∂

θ++θ∂∂

−θ∂∂

−=θ∂∂ y y

y y

a y

a y &

&&&&

(1.2.16)

2

2

2

1

2

2

2

1

2 θ∂

∂θ+

θ∂

∂θ++

θ∂

∂−

θ∂

∂−=

θ∂

∂ y y y

ya

ya

y &&&&(1.2.17)



1-17

Presupunând că viteza de adaptare este lentă, adică, 1θ& şi 2θ& sunt mici, iar

schimbările lui y&& şi y& în raport cu 1θ şi 2θ sunt de asemenea mici, puteminterschimba ordinea de diferenţiere şi se obţine:

y ya yt d

d a yt d

d &+θ∂∂−θ+θ∂∂−θ=θ∂∂ 122

111

12

2

)()( (1.2.18)

y y

a y

t d

d a

y

t d

d +

θ∂∂

−θ+θ∂∂

−θ=θ∂∂

222

211

22

2

)()( (1.2.19)

care poate fi rescrisă sub forma

ya pa p

y&

)()(

1

22112

1 −θ−−θ−=

θ∂∂

(1.2.20)

ya pa p

y)()( 1

22112

2 −θ−−θ−=θ∂∂ (1.2.21)

unde )()( ⋅=⋅Δ

t d

d p este operatorul diferenţial.

Deoarece a1 şi a2 sunt necunoscuţi, funcţiilor de senzitivitate de mai sus nu potfi utilizate. Folosind regula MIT, înlocuim în ecuaţia de ajustare (1.2.13) pe a1 şi a2 cu estimările lor 1a şi 2a , adică, facem legătura între estimările 1a şi 2a şi 1θ şi

2θ folosind

2ˆ 11 +θ=a , 1ˆ 22 +θ=a (1.2.22)

şi obţinem funcţiile de senzitivitate aproximative:

y p p

y&

12

12

1 ++≅

θ∂∂

, y p p

y

12

12

2 ++≅

θ∂∂

(1.2.23)

Ecuaţiile descrise prin (1.2.23) sunt cunoscute ca filtre sau modele de senzitivitate,şi pot fi uşor implementate pentru a genera funcţiile de senzitivitate aproximative

pentru legea de adaptare (1.2.15).Aşa cum s-a ar ătat în [12, 11], schema MRAC bazată pe regula MIT este local

stabilă cu condiţia ca amplificarea să fie mică, semnalul de referinţă să aibă oamplitudine mică şi un număr suficient de frecvenţe, iar condiţiile iniţiale 1θ (0) şi

2θ (0) sunt apropiate de *1θ , respectiv *

2θ .Pentru valori mari ale lui γ şi 1θ (0) şi 2θ (0) depărtate de *

1θ şi *2θ , regula MIT

poate duce la instabilitate şi semnal r ăspuns nemărginit.Lipsa stabilităţii schemelor de control adaptiv bazate pe regula MIT a stimulat

numeroşi cercetători să caute alte metode pentru proiectarea legilor adaptive.Aceste metode includ pozitivitatea şi tehnica Lyapunov precum şi metodele degradient

şi metodele bazate pe tehnica celor mai mici p

ătrate, care la rândul lor sunt



1-18

bazate pe minimizarea unor criterii ale erorii de estimare. Aceste metode ce vor fistudiate în detaliu în Cap. 4 şi 8, sunt prezentate succint în cele ce urmează.

(ii) Metoda de pozitivitate şi proiectare Lyapunov

Această metodă de dezvoltare a legilor adaptive este bazată pe metoda directă Lyapunov şi legătura sa cu funcţiile real-pozitive. În această abordare, problema

proiectării unei legi adaptive este formulată ca o problemă de stabilitate, undeecuaţia diferenţială a legii de adaptare este aleasă astfel încât să fie satisf ăcutecondiţiile de stabilitate certă bazate pe teoria Lyapunov.

Legea adaptivă astfel dezvoltată este foarte asemănatoare celei bazate pemetoda senzitivităţiii. Singura diferenţă constă în aceea că funcţiile de senzitivitatedin prima abordare sunt înlocuite cu alte funcţii care pot fi generate on-line. În

plus, schemele de conducere adaptivă bazate pe tehnici Lyapunov nu au nici unuldin neajunsurile (dezavantajele) schemelor bazate pe regula MIT.

Proiectarea legilor adaptive utilizând metoda Lyapunov directă a fost sugerată de Grayson [15], Parks [13] şi Shackcloth şi Butchart [14] înainte de anul 1960.Ulterior, metoda a fost dezvoltată şi generalizată la o clasă largă de procese decătre Phillipson [16], Monopoli [17], Narendra [18] ş.a.

O parte însemnată din Cap. 4 şi 6 vor fi dedicate dezvoltării legilor adaptivefolosind abordarea Lyapunov.

(iii) Metode de gradient şi metode ale celor mai mici pătrate bazate pe

funcţia cost a erorii de estimare

Principalul neajuns al metodelor de senzitivitate folosite în anii 1960 constă înaceea că minimizarea funcţiei cost conduce la funcţii de senzitivitate care nu suntimplementabile. O cale de a evita acest neajuns constă în alegerea unei funcţiicriteriu care să conducă la funcţii de senzitivitate care depind de semnale ce suntdisponibile (pot fi măsurate). O clasă de astfel de funcţii cost se bazează pe aşa-numita eroarea de estimare, care furnizează o măsur ă a diferenţei dintre parametriiestimaţi şi cei actuali. Legătura erorii de estimare cu parametrii estimaţi este aleasă astfel încât funcţia cost să fie convexă, iar gradientul său în raport cu parametriiestimaţi să fie implementabil.

Pentru a genera funcţii de senzitivitate corespunzătoare pot fi utilizate numeroase funcţii cost şi pot fi adoptate o serie de metode cum ar fi metodele degradient şi metode ale celor mai mici pătrate.

Ca exemplu, vom proiecta legea adaptivă pentru schema MRAC direct(1.2.14) pentru procesul (1.2.10).

Mai întâi rescriem ecuaţia procesului în funcţie de parametrii doriţi ai

controllerului daţi prin (1.2.13), adică, vom substitui *11 2 θ+=a , *

22 1 θ+=a în(1.2.10) rezultând

u y y y y y +θ−θ−−−= *2

*12 &&&& (1.2.24)

care poate fi rescrisă ca



1-19

f f f u y y y +θ+θ= *2

*1 & (1.2.25)

unde

y s s

y f &&

12

12 ++

−= , y s s

y f 12

12 ++

−= , u s s

u f 12

12 ++

= (1.2.26)

sunt semnale ce pot fi generate prin filtrare.

Dacă acum în ecuaţia (1.2.25) înlocuim *1θ şi *

2θ cu estimările lor 1θ şi 2θ ,vom obţine:

f f f u y y y +θ+θ= 21ˆ & (1.2.27)

unde y este „estimarea” lui y bazată pe estimările 1θ şi 2θ ale lui *1θ şi *

2θ . Deaceea, eroarea

f f f u y y y y y −θ−θ−=−=ε

Δ

211 ˆ&

(1.2.28)este o măsur ă a diferenţei dintre 1θ , 2θ şi *

1θ , *2θ pe care o vom numi eroare de

estimare. Acum, estimările 1θ şi 2θ pot fi ajustate într-o direcţie care să

minimizeze o anumită funcţie criteriu care implică ε1. Un astfel de criteriu este

( )221

21

21 2

1

2),( f f f u y y y J −θ−θ−=

ε=θθ & (1.2.29)

care urmează a fi minimizat în raport cu 1θ , 2θ . Este clar că ),( 21 θθ J este ofuncţie convexă de 1θ , 2θ şi ca urmare, minimul este dat de 0=∇ J .

Dacă acum utilizăm metoda gradientului pentru a minimiza ),( 21 θθ J , vomobţine următoarele legi de adaptare:

f y J

&&11

111 εγ=

θ∂∂

γ−=θ , f y J

122

22 εγ=θ∂∂

γ−=θ& (1.2.30)

unde 0, 21 >γγ sunt factori de amplificare, iar f f y y ,,1 &ε sunt toate semnale

implementabile.În locul lui (1.2.29), pentru ε1 se poate utiliza o funcţie cost diferită şi o

metodă de minimizare diferită obţinând o clasă largă de legi adaptive. În Cap. 4, 5,6 vom examina proprietăţile de stabilitate ale unei largi clase de scheme de controladaptiv bazate pe folosirea unui funcţii criteriu a erorii de estimare şi metode degradient şi ale celor mai mici pătrate din tehnicile de optimizare.

Bibliografie

1. Kokotovic, P.V., H.K. Khalil and J. O'Reilly, Singular Perturbation Methods inControl: Analysis and Design, Academic Press, New York, 1986.

2. Aseltine, J.A., A.R. Mancini and C.W. Sartune, A Survey of AdaptiveControl Systems, IRE Transactions on Automatic Control , Vol. 3, no. 6, pp. 102-108, 1958.

3. Caldwell, W.I., Control System with Automatic Response Adjustment . American patent,2,517,081. Filed 25, April 1947, 1950.



1-20

4. McRuer, D., I. Ashkenas and D. Graham, Aircraft Dynamics and Automatic Control ,Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1973.

5. Tsakalis, K.S. and P.A. Ioannou, Linear Time Varying Systems: Control and

Adaptation, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.6. Stein, G., Adaptive Flight Control - A Pragmatic View, in K.S. Narendra and R.V.

Monopoli (Eds.), Applications of Adaptive Control , Academic Press, New York, 1980.7. Andreiev, N., A Process Controller that Adapts to Signal and Process Conditions,

Control Engineering , Vol. 38, 1977.8. Kreisselmeier, G., An indirect adaptive controller with a self-excitation capability, IEEE

Transactions on Automatic Control , Vol. 34, no. 5, pp. 524-528, 1989.9. Cruz, Jr, J.B. System Sensitivity Analysis, Dowden, Hutchinson & Ross Inc.,

Stroudsburg, Pennsylvania, 1973.10. Kokotovic, P.V. Method of Sensitivity Points in the Investigation and Optimization of

Linear Control Systems, Automation and Remote Control , Vol. 25, pp. 1512-1518,1964.

11. Mareels, I.M.Y., B.D.O. Anderson, R.R. Bitmead, M. Bodson, and S.S.Sastry,Revisiting the MIT Rule for Adaptive Control, Proceedings of the 2nd IFAC Workshopon Adaptive Systems in Control and Signal Processing , Lund, Sweden, 1986.

12. James, D.J., Stability of a Model Reference Control System, AIAA Journal , Vol. 9, no.5, 1971.

13. Parks, P.C. Lyapunov Redesign of Model Reference Adaptive Control Systems, IEEE

Transactions on Automatic Control , Vol. 11, pp. 362-367, 1966.14. Shackcloth, B. and R.L. Butchart, Synthesis of Model Reference Adaptive Systems by

Lyapunov's Second Method, Proc. of the 2nd IFAC Symposium on the Theory of Self-

Adaptive Control Systems, Teddington, England, 1965.15. Grayson, L.P., Design via Lyapunov's Second Method, Proceedings of the 4th JACC ,

Minneapolis, Minnesota, 1963.16. Phillipson, P.H., Design Methods for Model Reference Adaptive Systems, Proc. Inst.

Mech. Engrs., Vol. 183, no. 35, pp. 695-700, 1969.17. Monopoli, R.V., Lyapunov's Method for Adaptive Control Design, IEEE Transactions

on Automatic Control , Vol. 12, no. 3, pp. 334-335, 1967.18. Narendra, K.S. and A.M. Annaswamy, Stable Adaptive Systems, Prentice Hall,

Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.



2 - 1

Cap. 2

Modele pentru sisteme dinamice2.1. Introducere

În acest capitol prezentăm o scurtă descriere a diferitelor modele şi parametrizări ale sistemelor liniare invariante în timp (LTI-Linear Time Invariant).Accentul se pune pe acele idei care sunt utile în studiul problemelor de identificarea parametrilor şi de control adaptiv ce vor fi prezentate în capitolele viitoare.

Pentru început, vom prezenta pe scurt câteva modele canonice de stare pentrusistemele LTI, precum şi caracteristicile lor. În continuare, pentru aceeaşi clasă de

sisteme, vom studia descrierile I/O utilizând funcţia de transfer şi operatoriidiferenţiali. Vom defini func ţ ia de transfer ca raportul a două polinoame şi vom

prezenta câteva proprietăţi de bază ale polinoamelor folosite în proiectareacontrolului şi modelarea sistemelor.

Aceste modele parametrice ce vor fi prezentate, precum proprietăţile lor suntesenţiale în problemele de identificare a parametrilor şi control adaptiv ce vor fi

prezentate în capitolele viitoare.Scopul acestui capitol nu este acela de a da o descriere completă a tuturor

aspectelor legate de modelarea şi reprezentarea sistemelor LTI, ci mai degrabă de a

prezenta un rezumat al acelor idei care vor fi utilizate în capitolele următoare.Pentru detalii privind modelarea şi proprietăţile sistemelor liniare, se recomandă următoarele căr ţi standard începând cu cele elementare [44, 57, 121, 180] şicontinuând cu cele avansate [30, 42, 95, 237, 238].

2.2. Modele în spaţiul stărilor

2.2.1. Descriere generală

O serie de sisteme sunt descrise prinr-un set de ecuaţii diferenţiale de forma:

)),(),(()(

)(),),(),(()(00

t t ut x g t y

xt xt t ut x f t x

=

==&

(2.2.1)

unde t este variabila timp, x(t ) este un vector n-dimensional cu elemente reale carereprezintă starea sistemului, u(t ) este un vector r -dimensional cu elemente realecare reprezintă intrarea sau comanda sistemului, y(t ) este un vector l -dimensionalcu elemente reale care reprezintă variabilele de ieşire şi care pot fi măsurate, f şi g sunt funcţii vectoriale de variabile vectoriale reale, n este dimensiunea stării x denumită şi ordin al sistemului, x(t 0) reprezintă valoarea lui x(t ) la momentul iniţialt = t 0 ≥ 0.

Când f şi g sunt funcţii liniare de x şi u, (2.2.1) ia forma:



2 - 2

ut D xt C y

xt xut B xt A x

T )()(

)(,)()( 00

+=

=+=&(2.2.2)

unde A(t ) nn×ℜ∈ , B(t ) r n×ℜ∈ , C (t ) l n×ℜ∈ şi D(t ) r l ×ℜ∈ sunt matrice cu elemente

variante în timp. Dacă în plus, f şi g nu depind de timpul t , se obţine

u D xC y

xt xu B x A x

T +=

=+= 00 )(,&(2.2.3)

unde A, B, C şi D sunt matrice având aceleaşi dimensiuni ca cele din (2.2.2) dar cuelemente constante.

Sistemul (2.2.2) va fi referit ca sistem liniar finit-dimensional variabil în timp(LTV-Linear Time-Varying), iar (2.2.3) ca sistem LTI finit dimensional. Soluţia

x(t ), y(t ) a sistemului (2.2.2) este dată de

)()()()()(

)()(),()(),()( 000

t ut Dt xt C t y

d u Bt t xt t t x

T

t

t

+=

ττττΦ+Φ= ∫ (2.2.4)

unde ),( 0t t Φ este matricea de tranziţie definită ca o matrice care satisface ecuaţialiniar ă matriceală omogenă:

I t t t t t At

t t =ΦΦ=

∂Φ∂

),(),,()(),(

0000

Pentru sistemul LTI (2.2.3), ),( 0t t Φ depinde numai de diferenţa t-t 0, adică,

)(00

0)(),( t t Aet t t t −=−Φ=Φ

iar soluţia x(t ), y(t ) a lui (2.2.3) este dată de

)()()(

)()()(0

0 )(0

)(

t u Dt xC t y

d u Bet xet x

T

t

t

t At t A

+=

ττ+= ∫ τ−−

(2.2.5)

unde e At poate fi calculată cu =t Ae L --1 }){( 1−− A sI , unde L

-1 reprezintă transformarea Laplace inversă, iar s este variabila Laplace.

Uzual, matricea D din (2.2.2), (2.2.3) este zero, deoarece în majoritateasistemelor fizice nu există o conexiune directă între intr ări şi ieşiri.În acest curs, ne vom concentra în principal asupra sistemelor SISO-LTI, cu D

= 0, dar vor exista şi câteva paragrafe, în care se vor analiza pe scurt şi sisteme deforma (2.2.2) şi (2.2.3).

2.2.2. Forme canonice în spaţiul stărilor

Consider ăm sistemul SISO-LTI:

xC y

xt xu B x A x

T

=

=+= 00 )(,&(2.2.6)

unde n x ℜ∈ .



2 - 3

Matricea de controlabilitate P c asociată sistemului (2.2.6) este definită prin:

],,[ 1 B A AB B P nc

−Δ

= K

O condiţie necesar ă şi suficientă pentru ca sistemul (2.2.6) să fie complet

controlabil este ca P c să fie nesingular ă. Dacă (2.2.6) este complet controlabil,transformarea liniar ă

x P x cc1−= (2.2.7)

transformă sistemul (2.2.6) în forma sa canonică controlabil ă

cT c

c

n

c

xC y

u x

a

a

a

a

x

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

− 0

0001

100

010001000

1

2

1

0

M

MOM

L

L

L

&(2.2.8)

unde ai sunt coeficienţii ecuaţiei caracteristice asociată lui A, adică:

01

1)det( a sa s A sI nn

n +++=− −− L , iar c

T T c P C C = .

Dacă în locul lui (2.2.7) utilizăm transformarea

x P M x cc11 −−= , (2.2.9)

unde

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

−

1000100

101

1

23

121

L

L

MMOMM

L

L

n

n

a

aa

aaa

M ,

obţinem următoarea formă canonică a controllerului

cT

c

nn

c

xC y

u x

aaaa

x

0

0121

0

0

0

1

0100

0010

0001

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡ −−−−

=

−−

M

L

MOMM

L

L

L

&(2.2.10)

unde M P C C cT T =0 . Prin rearanjarea elementelor vectorului de stare xc, (2.2.10)

poate fi rescrisă în următoarea formă care apare deseori în căr ţile de teoriasistemelor liniare



2 - 4

cT

c

nn

c

xC y

u x

aaaa

x

1

1210 1

0

0

0

1000

0

0100

0010

=

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−−

M

L

L

OMM

L

L

&(2.2.11)

unde C 1 este definită corespunzător.

Matricea de observabilitate P o asociată sistemului (2.2.6) se defineşte prin:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

Δ

1nT

T

T

o

AC

AC C

P M

(2.2.12)

O condiţie necesar ă şi suficientă pentru ca sistemul (2.2.6) să fie complet observabil este ca P o să fie nesingular ă. Urmând dualitatea argumentelor prezentatemai sus pentru forma canonică controlabil ă şi a controllerului, se ajunge la formaobservabil ă şi a observerului cu condiţia ca P o să fie nesingular ă [95]. Forma

canonică observabil ă a lui (2.2.6) obţinută prin transformarea xo = P o x este:

o

oo

nn

o

x y

u B x

aaaa

x

]0,,0,1[

10000

0100

0010

1210

K

L

LOMM

L

L

&

=

+

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−−

, (2.2.13)

iar forma canonică a observerului este

o

o

n

n

o

x y

u B x

a

a

a

a

x

]0,,0,1[

000

100 0

010

001

1

0

1

2

1

K

L

L

OMM

L

L

&

=

+

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

−

−

, (2.2.14)

unde Bo, B1 pot fi diferite.

Dacă pentru sistemul (2.2.6) de ordin n, rangul matricei de controlabilitateasociate P c este mai mic decât n, atunci se spune că (2.2.6) este necontrolabil .Similar, dacă rangul matricei de observabilitate P o este mai mic decât n, atunci

(2.2.6) este neobservabil .



2 - 5

Sistemul reprezentat prin (2.2.8), (2.2.10) sau (2.2.11) este complet controlabildar nu necesar şi observabil. Similar, sistemul reprezentat prin (2.2.13) sau (2.2.14)este complet observabil, dar nu necesar şi controlabil. Dacă sistemul (2.2.6) deordin n este fie neobservabil, fie necontrolabil atunci proprietăţile sale I/O dincondiţii iniţiale nule, adică x

0= 0, sunt caracterizate complet printr-un sistem

complet controlabil şi observabil de ordin mai mic decât n, descris prin:

coT co

cococococo

xC y

t xu B x A x

=

=+= 0)(, 0&(2.2.15)

unde r nco x ℜ∈ cu nr < n. Trebuie precizat că, nu mai sunt posibile reduceri

ulterioare ale ordinului sistemului (2.2.15) f ăr ă afectarea proprietăţilor I/O, oricarear fi tipul intr ării aplicate. Din acest motiv, (2.2.15) este referit ca reprezentareminimal ă în spa ţ iul st ă rilor (de stare) a sistemului; aceasta se distinge de

reprezentarea neminimal ă de stare care corespunde fie unui sistem necontrolabil,fie unui sistem neobservabil.Un model minimal de stare nu descrie păr ţile necontrolabile sau neobservabile

ale sistemului. În reprezentarea neminimală de stare, aceste păr ţi pot conduce laanumite stări nemărginite dacă sistemul evoluează din condiţii iniţiale nenuleasociate acestor păr ţi. Dacă în schimb păr ţile necontrolabile sau neobservabile suntasimptotic stabile [95], ele vor tinde exponenţial la zero şi, în multe aplicaţii,efectul lor poate fi ignorat. Un sistem ale cărui păr ţi necontrolabile sunt asimptoticstabile se numeşte stabilizabil , iar sistemul ale cărui păr ţi neobservabile suntasimptotic stabile se numeşte detectabil [95].

Exemplul 2.2.1. Consider ăm căruciorul cu două pendule inverse prezentat înFig. 2.1, unde M este masa căruciorului, m1 şi m2 sunt masele celor două greutăţi,iar l 1 şi l 2 sunt lungimile celor două pendule. Utilizând legile lui Newton şi

presupunând că deviaţiile unghiulare |||,| 21 θθ sunt mici, ecuaţiile de mişcare suntdate de:

22222

11111

2211

)(

)(

θ=θ+

θ=θ+

+θ−θ−=

g ml vm

g ml vm

u g m g mvM

&&&

&&&

&

Fig. 2.1. Cărucior cu două pendule inverse

m1 m2

l 1l 2

u

θ1

θ2



2 - 6

unde v este viteza căruciorului, u este o for ţă externă, iar g este acceleraţiagravitaţională. Pentru a simplifica calculele, presupunem că m1 = m2 = 1 kg , iar M =

10 m1. Dacă notăm x1 = θ1, x2 = 1θ& , x3 = 21 θ−θ , x4 = 21 θ−θ && variabilele de stare,obţinem următoarea reprezentare de stare a sistemului:

x& = Ax + Bu unde

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4

3

2

1

x

x

x

x

x ,⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

α−α−αα−α

α−α=

0)(1.00)(2.1100001.002.10010

21221

11 A ,⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

β−β

β=

21

1

0

0

B

şi α1 = g /l 1, α2 = g /l 2, β1 = -0.1/l 1, β2 = -0.1/l 2.

Matricea de controlabilitate a sistemului este dată de P c = [ B, AB, A2 B, A3 B].

Se poate ar ăta că

42

41

221

22 )()011.0(det

l l

l l g P c

−=

ceea ce înseamnă că sistemul este controlabil dacă şi numai dacă 21 l l ≠ .

Presupunem că θ1 este singura variabilă măsurabilă, adică, ieşirea măsurabilă a sistemului este y = C T x, cu C = [1, 0, 0, 0]T .

Matricea de observabilitate a sistemului bazată pe această ieşire este dată de:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=3

2

AC AC AC C

P

T

T

T

T

o

Efectuând calculele, vom obţine, 21

2 /01.0det l g P o ⋅= , evident nenul, ceea ce

înseamnă că sistemul este observabil pentru y = θ1.Când l 1 = l 2, sistemul este necontrolabil. În acest caz, α1 = α2, β1 = β2, iar

matricea A şi vectorul B devin:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

α

α−α=

000100001.002.1 0010

1

11 A ,⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡β=

0001 B

evidenţiind faptul că intrarea de comandă u nu poate influenţa variabilele de stare x3, x4. Se poate ar ăta că pentru x3(0), x4(0) ≠ 0, toate variabilele de stare vor creştela infinit pentru toate intr ările posibile u. Pentru l 1 = l 2, controlul celor două

pendule identice este posibil numai dacă unghiurile iniţiale şi vitezele unghiulare

sunt identice, adică, )0()0( 21 θ=θ şi )0()0( 21 θ=θ && , care face ca x3(0) = x4(0) = 0.



2 - 7

2.3. Modele intrare/ieşire

2.3.1. Funcţii de transfer

Funcţiile de transfer joacă un rol important în caracterizarea proprietăţile I/Oale sistemelor LTI şi sunt larg utilizate în teoria controlului clasic.

Vom defini mai întâi funcţia de transfer a unui sistem LTI pornind de laecuaţia diferenţială care descrie dinamica acestui sistem.

Consider ăm un sistem descris prin următoarea ecuaţie diferenţială de ordin n:

)()()()()()( 0)1(

1)(

0)1(

1)( t ubt ubt ubt yat yat y m

mm

mn

nn +++=+++ −

−−

− LL (2.3.1)

unde )()()( t yt d

d t y

i

ii

Δ

= , iar )()()( t ut d

d t u

i

ii

Δ

= ; u(t ) este variabila de intrare, iar y(t )

este variabila de ieşire; coeficienţii ai, b j, i = 0, 1, ... , n - 1; j = 0, 1, ... , m, sunt

constanţi, iar n şi m sunt constante întregi.Pentru a obţine funcţia de transfer a sistemului (2.3.1), aplicăm trasformataLaplace ambilor membri ai ecuaţiei (2.3.1) considerând condi ţ iile ini ţ iale nule. Seobţine:

( ) ( ) )()( 01

101

1 sU b sb sb sY a sa s mm

mm

nn

n +++=+++ −−

−− LL

unde s este variabila Laplace. Funcţia de transfer G( s) a lui (2.3.1) este definită prin:

0

1

1

01

1

)(

)()(

a sa s

b sb sb

sU

sY sG

n

n

n

mm

mm

+++

+++== −

−

−−

Δ

L

L. (2.3.2)

Funcţia obţinută prin aplicarea transformatei Laplace inverse lui G( s), adică g (t ) = L

-1[G( s)], este cunoscută sub denumirea de r ă spuns la impuls al sistemului(2.3.1). Atunci, y(t ) = g (t )∗u(t ), unde ∗ reprezintă produsul de convoluţie. Cându(t ) = )(t Δδ , unde )(t Δδ este func ţ ia delta definită prin:

εε−−

=δ→ε

Δ)()(

lim)(0

t t t

II,

unde I (t) este funcţia treaptă unitate, atunci y(t ) = )()( t t g Δδ∗ = g (t ). De aceea,

când intrarea într-un sistem LTI este o funcţie delta (denumită adesea impulsunitate) la t = 0, ieşirea sistemului este egală cu g (t ), r ăspunsul la impuls.Spunem că G( s) este proprie dacă G( ∞ ) este finită, adică n ≥ m, este strict

proprie dacă G( ∞ ) = 0 , adică n > m şi improprie, dacă n = m.Gradul relativ n* a lui G( s) se defineşte ca n* = n - m, adică, n* = gradul

numitorului – gradul număr ătorului lui G( s). Ecua ţ ia caracteristică a sistemului (2.3.1) este definită prin ecuaţia:

001

1 =+++ −− a sa s n

nn

L .

Într-o manier ă similar ă, funcţia de transfer a unui sistem LTI poate fi definită pornind şi de la descrierea sistemului prin ecuaţiile de stare (2.2.3). Aplicareatransformatei Laplace fiecărui membru din (2.2.3) conduce la:



2 - 8

)()()(

)()()0()(

sU D s X C sY

sU B s X A x s sX

T +=

+=−(2.3.3)

sau

( ))0()()()()( 11 x A I sC sU D B A I sC sY T T −− −++−=

Considerând condiţiile iniţiale nule, adică, x(0) = 0, se obţine:

Y ( s) = G( s)U ( s) (2.3.4)

unde D B A I sC sG T +−= −1)()( se numeşte func ţ ie de transfer matriceal ă , încazul sistemelor cu mai multe intr ări şi mai multe ieşiri, şi, func ţ ie de transfer încazul sistemelor SISO.

G( s) se poate de asemenea reprezenta prin:

D A I s

B A I sadjC sG

T

+−

−=

)det(

)}({)( (2.3.5)

unde adj(Q) reprezintă adjuncta matricei pătratice nnQ ×ℜ∈ . Elementul (i, j) notat

cu qij al adj(Q) se calculează ca n jiQq ij ji

ij ,,2,1,,)det()1( K=−= + , unde)1()1( −×−ℜ∈ nn

jiQ este o submatrice a lui Q obţinută prin eliminarea liniei j şi a

coloanei i a matricei Q.Din (2.3.5) este clar că polii lui G( s) sunt incluşi în valorile proprii ale lui A.

Spunem că A este stabil ă dacă toate valorile sale proprii sunt situate în Re[ s] < 0,

caz în care G( s) este o func ţ ie de transfer stabil ă . Rezultă că 0)det( =− A sI esteecuaţia caracteristică a sistemului cu funcţia de transfer dată de (2.3.5).Dacă în (2.3.3) şi (2.3.4) trecerea de la reprezentarea de stare la o descriere

printr-o funcţie de transfer s-a f ăcut într-o manier ă foarte simplă, calea inversă,adică trecerea de la o descriere printr-o funcţie de transfer proprie, la o reprezentarede stare, nu este aşa de simplă. Este totuşi adevărată afirmaţia că, pentru fiecarefuncţie de transfer proprie G( s) există matricele A, B, C şi D astfel încât

D B A I sC sGT +−= −1)()( . Ca exemplu, consider ăm un sistem cu funcţia de

transfer

)()()(

01

1

01

1

sU sY

a sa sb sb sb sG

nn

n

mm

mm =

++++++= −

−

−−

L

L

unde n > m. Atunci, sistemul poate fi reprezentat în forma controlabilă

xbbb y

u x

aaaa

x

mm

nn

],,,,,0,0[

0

001

0100

00100001

01

0121

KK

M

L

MOMM

L

L

L

&

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−−

=(2.3.6)

sau în forma observabilă



2 - 9

x y

ub x

a

a

a

a

x m

n

n

]0,,0,1[

0

0

000

1000010001

0

1

2

1

K

M

M

L

L

OMM

L

L

&

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

=−

−

(2.3.7)

Dar, pentru acelaşi sistem se pot genera încă multe alte reprezentări de starecare să-i descrie proprietăţile I/O.

Formele canonice (2.3.6) şi (2.3.7), au câteva proprietăţi importante care vor fiutilizate în capitolele următoare. De exemplu, dacă notăm cu ( Ac, Bc, C c) şi ( Ao, Bo,C o) matricele corespunzătoare din forma controlabilă (2.3.6) şi respectiv din formaobservabilă (2.3.7), se pot stabili relaţiile:

)(]1,,,[)]([ 1

1

s s s B A sI adj n

T n

cc −

Δ−

α==− K (2.3.8))(]1,,,[)( 1

1 s s s A I sadjC T n

no

T o −

Δ− α==− K (2.3.9)

ale căror păr ţi drepte sunt independente de coeficienţii lui G( s).O altă proprietate importantă constă în aceea că cei n+m+1 coeficienţi al lui

G( s) apar explicit în tripletele ( Ac, Bc, C c) şi respectiv ( Ao, Bo, C o), sau altfel spustripletul ( Ac, Bc, C c), respectiv ( Ao, Bo, C o), este caracterizat complet de cei

1++ mn parametri care sunt egali cu coeficienţii polinoamelor din G( s).Dacă în G( s) nu există simplificări poli-zerouri atunci atât (2.3.6) cât şi (2.3.7)

constituie reprezentări minimale de stare ale aceluiaşi sistem. Dacă în G( s) există simplificări poli-zerouri, atunci (2.3.6) este neobservabil, iar (2.3.7) estenecontrolabil. Dacă simplificările poli-zerouri ale lui G( s) se fac în Re[ s] < 0,adică, polii stabili se simplifică cu zerouri stabile, atunci (2.3.6) este detectabil , iar (2.3.7) este stabilizabil . Similar, un sistem descris printr-o reprezentare de stareeste neobservabil sau necontrolabil, dacă şi numai dacă funcţia de transfer asistemului conţine simplificări poli-zerouri. Dacă păr ţile neobservabile saunecontrolabile ale sistemului sunt asimptotic stabile, atunci simplificările poli-zerouri apar în Re[ s] < 0.

O altă abordare pentru reprezentarea ecuaţiei diferenţiale (2.3.1) constă înutilizarea operatorului diferen ţ ial

t d

d p

)()(

⋅=⋅Δ

, care are următoarele proprietăţi:

y x y x y x pii x x pi &&& +== )()(;)()(

unde x şi y sunt orice funcţii derivabile ce depind de timp şi t d t xd x /)(Δ

=& .Operatorul invers a lui p, notat cu p -1 sau cu 1/p este definit prin

0,)0()()(1

0≥∀+ττ= ∫

Δ

t xd x x p

t ,

unde x(t ) este o funcţie integrabilă. Operatorii p şi 1/p sunt legaţi de operatorulLaplace s prin următoarele ecuaţii:



2 - 10

L )()}({0)0(

s X s x p x

==

, respectiv L )()/1()})(/1{(0)0(

s X s x p x

==

unde L este transformata Laplace şi x(t ) este orice funcţie derivabilă în raport cutimpul. Utilizând definiţia operatorului diferenţial, relaţia (2.3.1) poate fi scrisă înforma compactă:

R( p)( y) = Z ( p)(u) (2.3.10)

unde 01

1)( a pa p p R nn

n +++= −− L , 0

11)( b pb pb p Z m

mm

m +++= −− L se numesc

operatori diferen ţ iali polinomiali [226].Ecuaţia (2.3.10) are aceeaşi formă ca

R( s)Y ( s) = Z ( s)U ( s) (2.3.11)

obţinută prin aplicarea transformatei Laplace ambilor membri ai ecuaţiei (2.3.1), încondiţii iniţiale nule. De aceea, pentru condiţii iniţiale nule, se poate trece de lareprezentarea (2.3.10) la (2.3.11) şi vice versa prin simpla înlocuire a lui s cu p sau

p cu s. De exemplu, sistemul

)()(0

20 sU a s

b s sY

++

=

poate fi scris sub forma, ( p2 + a0)( y) = ( p + b0)(u), cu y(0) = y& (0) = 0, u(0) = 0 sau, prin abuz de notaţie (deoarece niciodată nu vom definit operatorul ( p2 + a0)

-1), subforma:

)()(0

20 t ua p

b pt y

+

+=

Observa ţ ie. Datorită similarităţii formelor (2.3.11) şi (2.3.10), vom utiliza s pentru a nota atât operatorul diferenţial, cât şi variabila Laplace, şi vom exprimasistemul (2.3.1), în condiţii iniţiale nule, sub forma:

u s R

s Z y

)(

)(= (2.3.12)

unde y şi u reprezintă )( sY şi respectiv U ( s), când s este folosit ca operator Laplace, iar y şi u reprezintă y(t ) şi respectiv u(t ), când s este folosit ca operator diferenţial.

Relaţia G( s) = Z ( s)/ R( s) din (2.3.12) este deseori referită ca filtru cu intrareau(t ) şi ieşirea y(t ).

Exemplul 2.3.1. Consider ăm sistemul de ecuaţii care descrie mişcareacăruciorului cu două pendule din Exemplul 2.2.1, unde y = θ1 este singura ieşire

măsurată. Eliminarea variabilelor θ1, θ2 şi 2θ& prin substituire, conduce laurmătoare ecuaţie diferenţială de ordinul patru:

uu y y y 21)2(

121)2(

21)4( 2.1)(1.1 βα−β=αα+α+α−

unde αi, βi, i = 1, 2, sunt cele definite în Exemplul 2.2.1, care leagă intrarea u cu

ieşirea măsurată y. Aplicând transformata Laplace ambilor membri ai acesteiecuaţii, în condiţii iniţiale nule, se obţine:



2 - 11

)()()(]2.1)(1.1[ 212

1212

214 sU s sY s s βα−β=αα+α+α−

De aici, se deduce că funcţia de transfer a sistemului de la u la y va fi:

)(

2.1)(1.1)(

)(

21

2

21

421

21 sG

s s

s

sU

sY =

αα+α+α−

βα−β=

Pentru l 1 = l 2, avem α1 = α2, β1 = β2, şi

)2.1()(

)(

2.12.2

)()(

12

12

12

121

21

41

21

α−α−α−β

=α+α−

α−β=

s s

s

s s

s sG

are două simplificări poli-zerouri. Deoarece α1 > 0, una dintre cele două simplificări pol-zerou se face în Re[ s] > 0 ceea ce arată că orice reprezentare destare a sistemului cu o funcţie de transfer de ordinul patru nu este stabilizabilă.

2.3.2. Polinoame coprimeProprietăţile I/O ale majorităţii sistemelor studiate în acest curs sunt

reprezentate prin funcţii de transfer proprii exprimate ca raport a două polinoame în s cu coeficienţi reali, adică,

)()(

)( s R

s Z sG = , (2.3.13)

unde 01

1)( b sb sb s Z mm

mm +++= −

− L , 01

1)( a sa s s R nn

n +++= −− L şi n ≥ m.

Proprietăţile sistemului asociat cu G( s) depind foarte mult de proprietăţile lui

Z ( s) şi R( s). În aceast paragraf, vom reaminti câteva proprietăţi generale ale polinoamelor ce vor fi utilizate în capitolele următoare pentru analiza şi proiectareaalgoritmilor de comandă.

Definiţia 2.3.1. Se consider ă polinomul 01

1)( a sa sa s X nn

nn +++= −

− L . Se

spune că X ( s) este monic dacă an = 1 şi X ( s) este Hurwitz dacă toate rad ă cinile lui

X ( s) = 0 sunt plasate în Re[ s] < 0. Spunem că gradul lui X ( s) este n dacă

coeficientul an a lui sn satisface an ≠ 0.

Definiţia 2.3.2. Un sistem cu o func ţ ie de transfer dat ă de (2.3.13) este cu

minim de faz ă dacă Z ( s) este Hurwitz ; sistemul este stabil dacă R( s) este Hurwitz.

Aşa cum s-a menţionat în paragraful 2.3.1, o reprezentare a sistemului esteminimală dacă funcţia de transfer corespunzătoare nu conţine simplificări poli-zerouri, adică, dacă polinoamele de la număr ătorul şi numitorul funcţiei de transfer nu au alţi factori comuni decât o constantă. Definiţia următoare este des utilizată înteoria controlului pentru caracterizarea polinoamelor cu factori necomuni.

Definiţia 2.3.3. Se spune că două polinoame a( s) şi b( s) sunt coprime (sau

relativ prime ) dacă ele nu au al ţ i factori comuni decât o constant ă .

O caracterizare importantă a coprimarităţii a două polinoame este dată deurmătoarea Lemă.

Lema 2.3.1. (Identitatea Bezout). Două polinoame a( s) şi b( s) sunt coprimedacă şi numai dacă exist ă polinoamele c( s) şi d ( s) astfel încât:



2 - 12

c( s)a( s) + d ( s)b( s) = 1

Pentru demonstraţia Lemei 2.3.1, vezi [73, 237].Pentru o pereche de polinoame coprime a( s) şi b( s), identitatea Bezout poate

avea un număr infinit de soluţii c( s) şi d ( s) aşa cum reiese din exemplul următor.

Exemplul 2.3.2. Consider ăm polinoamele coprime 1)( += s sa , 2)( += s sb .Atunci, identitatea Bezout este satisf ăcută pentru

12)( 1 −+= −nn s s sc , 1)( 1 +−−= −nn s s sd şi orice 1≥n .

Coprimaritatea este o proprietate importantă şi intens exploatată în teoriacontrolului pentru proiectarea schemelor de conducere corespunzătoare sistemelor LTI. O teoremă importantă, foarte utilizată în proiectarea şi analiza controlului,este următoarea.

Teorema 2.3.1. Dacă a( s) şi b( s) sunt polinoame coprime cu gradele na şirespectiv nb, cu na > nb , atunci, pentru orice polinom arbitrar a*( s) cu gradul

na* ≥ na, ecua ţ ia polinomial ă

a( s)l ( s) + b( s) p( s) = a*( s) (2.3.14)

are o solu ţ ie unică polinoamele l ( s) şi p( s) ale că ror grade nl şi respectiv n p, satisfac condi ţ iile n p < na, nl ≤ max(na* - na, nb - 1).

Demonstra ţ ie. Din Lema 2.3.1, rezultă că există polinoamele c( s) şi d ( s) astfelîncât

a( s)c( s) + b( s)d ( s) = 1. (2.3.15)

Înmulţind ambii membri ai ecuaţiei (2.3.15) cu polinomul a*( s), obţinem:a

*( s)a( s)c( s) + a*( s)b( s)d ( s) = a

*( s). (2.3.16)

Împăr ţim a*( s)d ( s) prin a( s), adică,

)(

)()(

)(

)()(*

sa

s p sr

sa

sd sa+=

unde r ( s) este polinomul cât de grad na* + nd - na, na*, na şi nd fiind gradele luia*( s), a( s) şi respectiv d ( s), iar p( s) este restul cu gradul n p < na. Utilizând

a*( s)d ( s) = r ( s)a( s) + p( s),

membrul stâng al lui (2.3.16) se exprimă sub forma

a*( s)a( s)c( s) + r ( s)a( s)b( s) + p( s)b( s) = [a*( s)c( s) + r ( s)b( s)]a( s) + p( s)b( s),

care ne permite să rescriem (2.3.16) sub forma

l ( s)a( s) + p( s)b( s) = a*( s), (2.3.17)

unde l ( s) = a*( s)c( s) + r ( s)b( s). Din ecuaţia anterioar ă se deduce că gradul luil ( s)a( s) = gradul lui (a*( s) - p( s)b( s)) ≤ max{na*, n p + nb}. Deci, gradul lui l ( s),notat cu nl , satisface nl ≤ max{ na* - na, n p + nb – na}. Mai mult, putem stabili că

polinoamele l ( s) şi p( s) din (2.3.17) cu gradele nl şi n p satisfac următoareleinegalităţi: nl ≤ max{ na* - na, n p + nb – na} şi respectiv n p < na. Cum din n p < na sededuce că n p ≤ na - 1, gradul nl satisface de asemenea nl ≤ max{ na* - na, nb – 1}.



2 - 13

Vom demonstra unicitatea lui l ( s) şi p( s) procedând astfel: Presupunem că (l 1( s), p1( s)), (l 2( s), p2( s)) sunt două soluţii ale lui (2.3.17) adică,

a( s)l 1( s) + b( s) p1( s) = a*( s), respectiv a( s)l 2( s) + b( s) p2( s) = a*( s),

care satisfac următoarele condiţii de grad: n p < na, nl ≤ max{ na* - na, nb – 1}.

Scăzând a doua ecuaţie din prima, se obţinea( s)(l 1( s) - l 2( s)) + b( s)( p1( s) - p2( s)) = 0 (2.3.18)

care va determina

)()()()(

)()(

21

12

s p s p

sl sl

sa

sb

−−

= (2.3.19)

Deoarece n p < na, rezultă că în (2.3.19) polinoamele b( s), a( s) au factori comuni,ceea ce contrazice ipoteza că a( s) sunt b( s) coprime. Astfel, l 1( s) = l 2( s) şi p1( s) =

p2( s), ceea ce conduce la faptul că soluţia l ( s) şi p( s) a lui (2.3.17) este unică, şi

demonstraţia este completă.

Dacă nu se impun constrângeri asupra gradelor lui l ( s) şi p( s), ecuaţia (2.3.14)are o infinitate de soluţii. Ecuaţiile de forma (2.3.14) se numesc ecuaţii Diofanticeşi sunt utilizate în proiectarea algebrică a regulatoarelor pentru procese LTI.Exemplul următor ilustrează modul de utilizare a Teoremei 2.3.1 pentru proiectareaunui sistem de conducere stabil.

Exemplul 2.3.3. Consider ăm procesul descris prin:

u

s

s y 3

1−= (2.3.20)

Se doreşte o alegere a intr ării u(t ) astfel încât ecuaţia caracteristică a sistemului încircuit închis să fie descrisă prin a*( s) = ( s + 1)5, adică, u trebuie aleasă astfel încâtsistemul în circuit închis să fie descris prin:

( s + 1)5 y = 0. (2.3.21)

Consider ăm o comandă de forma

y sl

s pu

)(

)(−= (2.3.22)

unde l ( s) şi p( s) sunt polinoame cu coeficienţi reali ale căror grade şi coeficienţitrebuie să fie determinate. Înlocuind (2.3.22) în (2.3.20), se obţine următorul sistem

în circuit închis, y s p s y sl s )()1()(3 −−= , sau, 0)]()1()([ 3 =−+ y s p s sl s . Dacă l ( s) şi p( s) se aleg astfel încât să satisfacă ecuaţia Diofantică:

l ( s) s3 + p( s)( s - 1) = ( s + 1)5, (2.3.23)

atunci sistemul în circuit închis devine identic cu cel dorit, dat de (2.3.21).Întrucât (2.3.23) poate avea un număr infinit de soluţii pentru l ( s) şi p( s),

pentru a alege l ( s) şi p( s) cu gradul cel mai mic folosim Teorema 2.3.1. ConformTeoremei 2.3.1, ecuaţia (2.3.23) are o soluţie unică l ( s), p( s) cu gradul cel mult 2.Ca urmare, presupunem că l ( s), p( s) au forma: l ( s) = l 2 s2 + l 1 s + l 0 , respectiv p( s) =



2 - 14

p2 s2 + p1 s + p0, pe care le introducem în (2.3.23) şi obţinem următoarea ecuaţie

polinomială

l 2 s5+l 1 s

4+(l 0+ p2) s3+( p1- p2) s

2+( p0- p1) s- p0 = s5+5 s4+10 s3+10 s2+5 s+1.

Egalând coeficienţii aceloraşi puteri ale lui s din cei doi membrii ai ecuaţiei

anterioare, se obţin ecuaţiile algebrice:l 2 = 1, l 1 = 5, l 0 + p2 = 10, p1 - p2 = 10, p0 - p1 = 5, - p0 = 1,

care au soluţia unică l 2 = 1, l 1 = 5, l 0 = 26, p2 = -16, p1 = -6, p0 = -1. Deci,

l ( s) = s2 + 5 s + 26, p( s) = -16 s2 - 6 s – 1.

Rezultă ca mărimea de comandă din (2.3.22) este dată de:

y s s

s su

265

16162

2

++++

−= .

O altă caracterizare a coprimarităţii pe care o vom folosi în capitoleleurmătoare este dată de următoarea teoremă:

Teorema 2.3.2 (Teorema lui Sylvester). Două polinoame

01

1)( a sa sa sa nn

nn +++= −

− L , 01

1)( b sb sb sb nn

nn +++= −

− L

sunt coprime dacă şi numai dacă matricea Sylvester S e asociat ă lor este

nesingular ă , unde S e este o nn 22 × matrice definit ă prin:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

−−

−−

−−

Δ

00

1010

00

110110

11

11

11

11

00000000

...0...

....00...00

....0....0..............

0.....0........... ..

00000000000000

ba

bbaa

ba

bbbaaa

bbaa

babbaa

bbaa

ba

S nn

nn

nn

nnnn

nnnn

nn

e

LL

OMMOMM

OMOMM

MOMOMOMO

LL

LL

(2.3.24)

Demonstra ţ ie. Necesitatea. Consider ăm următoarea ecuaţie polinomială:

a( s)c( s) + b( s)d ( s) = 1 (2.3.25)

unde c( s) = cn-1 sn-1+cn-2 s

n-2 ++L c0, d ( s) = d n-1 sn-1+d n-2 s

n-2 ++L d 0, sunt polinoamearbitrare cu gradul n-1. Egalând coeficienţii puterilor egale ale lui s din cei doimembri ai lui (2.3.25), se obţine ecuaţia algebrică

ne e pS 2= , (2.3.26)

unde e2n = [0, 0, ... , 0, 1]T n2ℜ∈ şi p = [cn-1, cn-2, ... , c0, d n-1, d n-2, ... , d 0]T n2ℜ∈ .

Ecuaţiile (2.3.25) şi (2.3.26) sunt echivalente în sensul că orice soluţie a lui(2.3.26) satisface (2.3.25) şi vice versa. Întrucât S e este nesingular ă, ecuaţia



2 - 15

(2.3.26) are soluţie unică pentru p. Rezultă că (2.3.25) are de asemenea soluţieunică pentru c( s) şi d ( s) care, conform Lemei 2.3.1, conduce la concluzia că a( s), b( s) sunt coprime.

Suficien ţ a. Vom ar ăta că dacă a( s) şi b( s) sunt coprime, atunci pentru toate

polinoamele nenule p( s) şi q( s) cu gradele n p < n şi respectiv nq < n, avema( s) p( s) + b( s)q( s) ≠ 0 (2.3.27)

Dacă (2.3.27) nu este adevărată, există polinoamele nenule p1( s) şi q1( s) cu gradelenn p <

1 şi respectiv nnq <

1, astfel încât

a( s) p1( s) + b( s)q1( s) ≠ 0 (2.3.28)

Din ecuaţia (2.3.28) se vede că b( s) /a( s) poate fi exprimat ca

)(

)(

)(

)(

1

1

sq

s p

sa

sb−=

care, deoarece nn p <1

şi nnq <1

, conduc la ideea că a( s) şi b( s) au factori comuni,

prin aceasta contrazicând ipoteza că a( s), b( s) sunt coprime. Deci, afirmaţia esteadevărată şi (2.3.27) r ămâne adevărată.

Relaţia (2.3.27) poate fi rescrisă sub forma

0≠ xS e (2.3.29)

unde n x 2ℜ∈ conţine coeficienţii lui p( s) şi q( s). Deoarece (2.3.27) este adevărată pentru toate polinoamele nenule p( s) şi q( s) cu gradele n p < n şi respectiv nq < n,

atunci (2.3.29) r ămâne adevărată pentru toţi vectoriin

x

2

ℜ∈ cu 0≠ x , care face caS e să fie nesingular ă.

Determinantul lui S e este cunoscut sub denumirea de rezultant Sylvester şi poate fi folosit la examinarea coprimarităţii unei perechi de polinoame. Dacă polinoamele a( s) şi b( s) din Teorema 2.3.2 au grade diferite – să presupunem nb <na - atunci b( s) se poate exprima ca un polinom cu gradul na prin augmentarea luicu puteri adiţionale în s ai căror coeficienţi sunt consideraţi nuli.

Exemplul 2.3.4. Consider ăm polinoamele:

a( s) = s2 + 2 s + 1, b( s) = s - 1 = 0 s2 + s – 1.

Matricea Sylvester asociată este:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

1010

1121

0112

0001

eS

Cum det S e = 4 ≠ 0, rezultă că a( s) şi b( s) sunt polinoame coprime.

Proprietăţile matricei Sylvester sunt utile în rezolvarea în raport cu l ( s) şi p( s)

a unei clase de ecuaţii Diofantice de forma l ( s)a( s) + p( s)b( s) = a*

( s), unde a( s), b( s) şi a*( s) sunt polinoame precizate.



2 - 16

De exemplu, ecuaţia a( s)l ( s) + b( s) p( s) = a*( s) cu na = n, na* = 2n – 1 şi nb = m< n conduce la ecuaţia algebrică

f xS e = (2.3.30)

unde nn

e

S 22 ×ℜ∈ este matricea Sylvester asociată lui a( s) şi b( s), n x 2ℜ∈ este unvector care conţine coeficienţii polinoamelor l ( s) şi p( s) ale căror grade, conform

Teoremei 2.3.1 sunt cel mult n – 1, iar n f 2ℜ∈ conţine coeficienţii lui a

*( s). Deci,dându-se a*( s), a( s) şi b( s), se poate rezolva (2.3.30) în raport cu x, vectorul

coeficienţilor lui l ( s) şi p( s). Dacă a( s) şi b( s) sunt coprime, 1−eS există şi deci,

soluţia lui (2.3.30) este unică şi este dată de f S x e1−= . Dacă a( s) şi b( s) nu sunt

coprime, atunci S e nu este inversabilă, şi (2.3.30) are o soluţie dacă şi numai dacă dimensiunea vectorului f este egală cu rangul lui S e. Prin calcule algebrice, se poatear ăta că această condiţie este echivalentă cu faptul că a*( s) conţine factorii comuniai lui a( s) şi b( s).

Exemplul 2.3.5. Consider ăm aceeaşi problemă de proiectare a comenzii cacea din Exemplul 2.3.3, unde comanda u de forma u = -( p( s)/l ( s)) y este utilizată

pentru a for ţa sistemul u s

s y 3

1−= să satisfacă ecuaţia caracteristică ( s + 1)5

y = 0.

Trebuie să ar ătăm că polinoamele l ( s) şi p( s) satisfac ecuaţia Diofantică

l ( s)a( s) + p( s)b( s) = ( s + 1)5 (2.3.31)

unde a( s) = s3 iar b( s) = s - 1. Matricea Sylvester S e corespunzătoare lui a( s) şi b( s)

este

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

100000

110000

011000

001100

000010

000001

eS

Cum, det S e = -1, se deduce că a( s) şi b( s) sunt coprime.Ca şi în Exemplul 2.3.3, se doreşte rezolvarea lui (2.3.31) pentru coeficienţii

necunoscuţi l i, pi, i = 0, 1, 2 ai polinoamelor l ( s) = l 2 s2 +l 1 s+l 0 şi p( s) = p2 s

2 + p1 s+ p0.Prin egalarea coeficienţilor puterilor egale ale lui s din cei doi membri ai lui(2.3.31), se obţine ecuaţia algebrică

f xS e = (2.3.32)

unde f = [1, 5, 10, 10, 5, 1]T şi x = [l 2, l 1, l 0, p2, p1, p0]T . Deoarece S e este

nesingular ă, soluţia lui (2.3.32) este dată de T e f S x ]1,6,16,26,5,1[1 −−−== − ,

care este identică cu soluţia obţinută în Exemplul 2.3.3.



2 - 17

2.4. Modele parametrice ale procesului

Consider ăm procesul reprezentat prin următoarea formă minimală de stare:

xC y

x x Bu Ax x

T

=

=+= 0)0(,&(2.4.1)

unde n x ℜ∈ , 11, ℜ∈ℜ∈ yu , iar A, B şi C au dimensiuni corespunzătoare. Tripletul( A, B, C ) conţine n2+2n elemente numite parametri ai procesului. Dacă (2.4.1) esteîn una din formele canonice prezentate în paragraful 2.2.2, atunci n2 elemente din( A, B, C ) sunt fixate (cunoscute), fie 0 fie 1, ceea ce înseamnă că pentru a specifica

proprietăţile procesului sunt necesare cel mult 2n elemente. Aceste 2n elementesunt coeficienţii număr ătorului şi numitorului funcţiei de transfer Y ( s)/U ( s). Deexemplu, aplicând transformarea Laplace în (2.4.1), se obţine

Y ( s) = C

T

( sI - A)

-1

BU ( s) + C

T

( sI - A)

-1

x0,de unde se deduce că

0)(

)}({)(

)(

)()( x

s R

A sI adjC sU

s R

s Z sY

T −+= (2.4.2)

unde R( s) este un polinom de gradul n, iar Z ( s) de grad cel mult n - 1. Dacă în(2.4.2), x0 = 0, se obţine funcţia de transfer descrisă prin:

u s R

s Z y

)(

)(= , (2.4.3)

unde, f ăr ă pierderea generalităţii, se poate presupune că Z ( s) şi R( s) sunt de forma:

012

21

1

012

21

1

)(

)(

a sa sa sa s s R

b sb sb sb s Z

nn

nn

n

nn

nn

+++++=

++++=−

−−

−

−−

−−

L

L(2.4.4)

Dacă Z ( s) are gradul 1−< nm , atunci coeficienţii bi, 1,,2,1 +−−= mnni K suntegali cu zero. Ecuaţiile (2.4.3) şi (2.4.4) arată că pentru a preciza univoc

proprietăţile I/O ale procesului (2.4.1) sunt necesari cel mult 2n parametri. Dacă în(2.4.3), pentru a specifica aceleaşi proprietăţi I/O, sunt utilizaţi mai mult decât 2n

parametri, se spune că modelul este supraparametrizat . De exemplu, modelul

u s

s

s R

s Z y

)(

)(

)(

)(ΛΛ

= , (2.4.5)

unde Λ( s) este Hurwitz şi are gradul 0>r , are aceleaşi proprietăţi I/O ca şi procesul descris prin (2.4.3), şi, din această cauză, se spune că (2.4.5) estesupraparametrizat. În plus, orice reprezentare de stare a lui (2.4.5) de ordin

nr n >+ este neminimală.Pentru anumite probleme de estimare şi control, parametrizările sigure ale

procesului sunt mult mai convenabile decât alte tipuri de parametrizări. O

parametrizare a procesului utilă în problemele de estimare şi control este cea încare parametrii sunt consideraţi împreună (reuniţi într-un vector), dar separaţi de



2 - 18

semnalele măsurabile. Precizăm că în problemele de estimare a parametrilor, parametrii sunt consideraţi constante necunoscute care trebuie estimate dinmăsur ătorile semnalelor de I/O ale procesului.

În paragraful următor, pentru un acelaşi proces, se prezintă o serie de parametrizări, utile pentru proiectarea estimatoarelor parametrilor (ce vor fi prezentate în capitolele viitoare).

2.4.1. Modele liniar-parametrizate

Parametrizarea 1

Ecuaţia (2.4.3) poate fi exprimată ca o ecuaţie diferenţială de ordinul n descrisă prin:

ubububub ya ya ya ya y nn

nn

nn

nn

n01

)2(2

)1(101

)2(2

)1(1

)( ++++=+++++ −−

−−

−−

−− &L&L

(2.4.6)Dacă vom introduce toţi parametrii din (2.4.6) în vectorul parametrilor

T nnnn aaaabbbb ],,,,,,,,,[ 01210121

*KK −−−−=θ ,

iar semnalele de I/O precum şi derivatele lor, în vectorul semnalelor T T

nT n

T nnnn y su s y y y yuuuuY ])(,)([],,,,,,,,,[ 11)2()1()2()1(

−−−−−− α−α=−−−−= &K&K

unde T iii s s s s ]1,,,,[)( 1

K−

Δ

=α , atunci (2.4.6) şi implicit (2.4.3), se poate exprima înurmătoarea formă compactă (unde s trebuie interpretat ca operator diferenţial):

Y yT n *)(

θ= (2.4.7)Ecuaţia (2.4.7) este liniar ă în raport cu parametrul *θ , proprietate care, aşa

cum se va vedea în Cap. 4 şi 5, este esenţială pentru proiectarea estimatoarelor

pentru estimarea lui *θ din măsur ătorile lui y(n) şi Y .Deoarece, în majoritatea aplicaţiilor, singurele semnale disponibile pentru a fi

mă surate sunt intrarea u şi ieşirea y, iar folosirea derivatelor acestora nu esteindicată, folosirea semnalelor y(n) şi Y trebuie evitată.

O cale de a evita folosirea lui y(n) şi Y constă în a filtra fiecare membru din(2.4.7) cu un filtru stabil de ordin n, de forma 1/Λ( p) sau 1/Λ( s), obţinând:

φθ=T

z * , (2.4.8)unde

y s

s y

s z

nn

)()(

1 )(

Λ=

Λ=Δ

,T

T n

T n y

s

su

s

s⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Λα

−Λ

α=φ −−Δ

)(

)(,

)(

)( 11 ,

iar

012

21

1)( λ+λ++λ+λ+=Λ −−

−− s s s s s

nn

nn

nL

este un polinom Hurwitz arbitrar în s.



2 - 19

Este clar că semnalul scalar z şi vectorul semnalelor φ pot fi generate f ăr ă afolosi derivatele, prin simpla filtrare a intr ării u şi a ieşirii y cu filtrele stabile strict

proprii )(/ s si Λ , i = 0, 1, ..., n.

Dacă rescriem pe Λ( s) sub forma )()( 1 s s s nT n

−αλ+=Λ , undeT

nn ],,,[ 021 λλλ=λ −− K , z din (2.4.8) se poate scrie în forma:

y s

s y y

s

s s y

s

s z nT n

T n

)(

)(

)(

)()(

)(11

Λα

λ−=Λ

αλ−Λ=

Λ= −− ,

de unde

y s

s z y nT

)(

)(1

Λα

λ+= − .

Deoarece 2*21

*1

* φθ+φθ=φθ=T T T

z , unde

T nn bbbb ],,,,[ 0121

*1 K−−

Δ

=θ , T nn aaaa ],,,,[ 0121

*2 K−−

Δ

=θ ,

u s

sT n

)(

)(11 Λ

α=φ −Δ

, y s

sT n

)(

)(12 Λ

α−=φ −

Δ

rezultă că, 2*21

*122

*21

*1 )( φλ−θ+φθ=φλ−φθ+φθ= T T T T T T

y . Deci,

φθ= λ

T y * , (2.4.9)

unde T T T T ],[ *2

*1

* λ−θθ=θλ . Ecuaţiile (2.4.8) şi (2.4.9) sunt reprezentate prinschema bloc din Fig. 2.2.

Fig.2.2. Parametrizarea 1 a procesului

O reprezentare de stare pentru generarea semnalelor din (2.4.8) şi (2.4.9) poatefi obţinută folosind identitatea )()]([ 1 sl sI adj nc −α=Λ− , unde Λc şi l sunt date

prin:

)(

)(1

s

sn

Λα −

)(

)(1

s

sn

Λα

− −

T *1θ

T *2θ

T λ

Σ

Σ1φ

2φ _

u

z

y+

+

++



2 - 20

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ λ−λ−λ−λ−

=Λ

−−

0

001

,

0100

00100001

0121

M

L

MOMM

L

L

L

l

nn

c

care implică

)(

)()(,)()det( 11

s

sl sI s sI n

cc Λα

=Λ−Λ=Λ− −− .

Atunci, din (2.4.8) şi Fig. 2.2 rezultă că:

φθ=φλ+=

φθ=

ℜ∈φ−φΛ=φ

ℜ∈φ+φΛ=φ

λT T

T

nc

nc

y z

y

ly

lu

*2

*

222

111

,

,

&

&

(2.4.10)

Deoarece )det()( c sI s Λ−=Λ şi )( sΛ este Hurwitz, rezultă că Λc este omatrice stabilă.

Modelul parametric (2.4.10) este o reprezentare de stare neminimală a procesului (2.4.3). Este neminimală deoarece pentru a reprezenta un sistem deordinul n sunt folosite 2n integratoare. Într-adevăr, funcţia de transfer Y ( s) /U ( s)calculată folosind (2.4.10) sau Fig. 2.2,

)()(

)()(

)()(

)()(

s R s Z

s s

s R s Z

sU sY =

ΛΛ=

implică n simplificări poli-zerouri stabile.Sistemul (2.4.10) are acelaşi r ăspuns I/O ca şi (2.4.3) şi (2.4.1) cu condiţia ca

toate condiţiile iniţiale să fie nule, adică, x0 = 0, 0)0()0( 21 =φ=φ .Într-un proces real, starea x din (2.4.1) poate reprezenta variabile fizice, iar

starea iniţială x0 poate fi nenulă. Efectul stării iniţiale x0 poate fi inserat în modelul(2.4.10) utilizând aceeaşi procedur ă prezentată aplicată ecuaţiei (2.4.2) şi nuecuaţiei (2.4.3). Se poate ar ăta că dacă se consider ă efectul condiţiei iniţiale x0, seva obţine următoarea reprezentare de stare:

0*

2

0*

222

111

0)0(,

0)0(,

η+φθ=φλ+=

η+φθ=

=φ−φΛ=φ

=φ+φΛ=φ

λ

T T

T

c

c

y z

y

ly

lu

&

&

(2.4.11)

unde 0η este ieşirea următorului sistem:

ω=η

ω=ωωΛ=ωT

c

C 00

0

)0(,&

(2.4.12)



2 - 21

unde nℜ∈ω , 000 x B=ω şi nC ℜ∈0 , nn B ×ℜ∈0 sunt matrice constante care

satisfac egalitatea: )}({)}({ 00 A sI adjC B sI adjC T c

T −=Λ− .

Întrucât Λc este o matrice stabilă, din (2.4.12) rezultă că ω şi 0η converg la

zero exponenţial. Atunci, efectul condiţiei iniţiale nenule x0 constă în apariţia înieşirea y şi respectiv z a termenului 0η cu descreştere exponenţială la zero.

Parametrizarea 2

Consider ăm modelul parametric (2.4.9), φθ= λ

T y * , şi identitatea

1)()( 1 =− sW sW mm , unde W m( s) = Z m( s) /Rm( s) este o funcţie de transfer cu gradul

relativ 1, iar Z m( s) şi Rm( s) sunt polinoame Hurwitz. Deoarece *λθ este un vector

constant, (2.4.9) se poate exprima sub forma:

φθ= −λ )()( 1* sW sW y m

T

m .Dacă în această relaţie notăm

T

m

T n

m

T n

m

y s sW

su

s sW

s

sW ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Λα

−Λ

α=φ=ψ −−

Δ

)()(

)(,

)()(

)(

)(

1 11 ,

unde φ este dat în (2.4.8), obţinem:

ψθ= λ

T

m sW y *)( . (2.4.13)

Întrucât toate elementele lui )()( )(1 s sW

sm

n

Λα − sunt funcţii de transfer cel mult

proprii, cu polii stabili, rezultă că starea T T T ],[ 21 ψψ=ψ , unde

u s sW

s

m

n

)()(

)(11 Λ

α=ψ − , y

s sW

s

m

n

)()(

)(12 Λ

α−=ψ −

poate fi generată f ăr ă derivarea lui y sau u. Dimensiunea lui ψ depinde de ordinul

n al lui Λ( s) şi de ordinul lui Z m( s). Cum Z m( s) poate fi arbitrar, dimensiunea luiψ poate fi de asemenea arbitrar ă.

Figura 2.3 prezintă schema bloc a parametrizării procesului descris prin(2.4.13) pe care o vom denumi Parametrizarea 2.

Fig.2.3. Parametrizarea 2 a procesului

)()(

)(1

s sW

s

m

n

Λα− −

T *1θ

T *2θ

T

λ

Σ1ψ

2ψ _

u y+

+)()(

)(1

s sW

s

m

n

Λα −

W m( s)



2 - 22

În [201], Parametrizarea 2 este denumită reprezentare cu model de referin ţă şi

este folosită în proiectarea estimatoarelor parametrilor pentru estimarea lui *λθ ,

când W m( s) este o funcţie de transfer strict real-pozitivă (vezi definiţia din Cap. 3).

Un caz special al lui (2.4.13) este prezentat în Fig. 2.4, unde 0

1

)( λ+= s sW m ,iar 0λ+ s este factor a lui Λ( s), adică

012

21

10 )()()( λ+λ++λ+λ+=Λλ+=Λ −−

−− s s s s s s s n

nn

nn

q L ,

unde 1)( 12

21 ++++=Λ −

−− sq sq s s n

nn

q L .

Parametrizarea 2 din Fig. 2.4 a fost sugerată pentru prima dată în [131], unde afost folosită pentru dezvoltarea observerelor adaptive stabile. O alternativă amodelului parametric al procesului din Fig. 2.4 poate fi obţinută prin intermediul

primei separ ări a elementelor improprii ale lui )(/)(1

s sqn

Λα−

, astfel:

Fig.2.4. Parametrizarea 2 a procesului cu )()()( 0 s s s qΛλ+=Λ şi )/(1)( 0λ+= s sW m

Pentru orice vector nT nn ccccc ℜ∈= −−

Δ

],,,,[ 0121 K , avem

)(

)(

)()(

)( 21

11

s

sc

s

sc

s

sc

q

nT

q

nn

q

nT

Λα

+Λ

=Λα −

−−− (2.4.14)

unde T n cccc ],,,[ 012 K−

Δ

= , T nn s s ]1,,,[ 2

2 K−

Δ

− =α . Cum )()( 21 sq s s n

T nq −

− α+=Λ ,

unde T

nqqq ]1,,,[

12K

−

Δ

= , avem )()(2

1 sq s sn

T

q

n

−

− α−Λ= , care, după

substituire

conduce la:

)(

)()(

)(

)( 211

1

s

sqccc

s

sc

q

nT

nn

q

nT

Λα−

+=Λα −−

−− (2.4.15)

Folosid (2.4.15) se obţin următoarele expresii:

y s s ya y

s s

u s

subu

s

s

q

nT

nn

q

nT T

q

nT

n

q

nT

)( )()()( )(

,)(

)(

)(

)(

2*2111*2

2*11

1*1

Λαθ−−λ=Λα⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ λ−θ−

Λα

θ+=Λ

αθ

−−−−

−−

−

(2.4.16)

)(

)(1

s

s

q

n

Λα

− −

T *1θ

T *2θ

T λ

Σ1ψ

2ψ _

u y+

+)(

)(1

s

s

q

n

Λα −

0

1

λ+ s



2 - 23

unde qbb n

T

1*1 −−=θ , qaa nn

T )( 11

*2 −− λ−−λ−=θ şi T

n aaaa ],,,[ 012 K−

Δ

= ,

T n bbbb ],,,[ 012 K−

Δ

= , T n ],,,[ 012 λλλ=λ −

Δ

K . Utilizând (2.4.16), Fig. 2.4 poate fireconfigurată ca în Fig. 2.5.

Fig.2.5 Echivalentul Parametrizării 2 din Fig.2.4

Din Fig. 2.5 se obţine următoarea reprezentare de stare neminimală a procesului:

1

1222

1111

11

*101

,

,

,

x y

yl

ul

x x x

nc

nc

T

=

ℜ∈ψ−ψΛ=ψ

ℜ∈ψ+ψΛ=ψ

ℜ∈ψθ+λ−=

−

−

&

&

&

(2.4.17)

undeT T

nn

T

n ab ],,,[ *211

*11

* θ−λθ=θ −−− , T T T yu ],,,[ 21 ψψ=ψ şi

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

=Λ−−

010

001032

L

MOM

L

L qqq nn

c ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0

01

Ml

Ca şi în cazul Parametrizării 1, dacă se doreşte o justificare a condiţiei iniţiale

0)0( 0 ≠= x x , se obţine:

01

222

111

1*

101

0)0(,

0)0(,

0)0(,

η+=

=ψ−ψΛ=ψ

=ψ+ψΛ=ψ

=ψθ+λ−=

x y

yl

ul

x x x

c

c

T

&

&

&

(2.4.18)

unde 0η este ieşirea sistemului:

ω=η

ℜ∈ωω=ωωΛ=ω

T

nc

C 00

0 ,)0(,&

)(

)(2

s

s

q

n

Λα

− −

T *1θ

T *2θ

11 −− −λ nn a

Σ1ψ

2ψ+

u y+

+)(

)(2

s

s

q

n

Λα −

0

1

λ+ s

+

bn-1



2 - 24

unde 0, C cΛ şi 0ω sunt cele definite în (2.4.12).

Exemplul 2.4.1 (Parameterizarea 1). Consider ăm ecuaţia diferenţială

y(4) + a2 y(2) + a0 y = b2u

(2) + b0u (2.4.19)

care descrie mişcarea căruciorului cu două pendule considerat în Exemplele 2.2.1,2.3.1, unde

)(1.1 212 α+α−=a , 210 2.1 αα=a , 12 β=b , 210 βα−=b .

Ecuaţia (2.4.19) are aceeaşi formă ca cea din (2.4.6) cu n = 4 şi coeficienţii a3 = a1 = b3 = b1 = 0. Conform (2.4.7), ecuaţia (2.4.19) se poate rescrie în forma compactă

0*0

)4( Y yT

θ= (2.4.20)

unde T aabb ],,[ 0202

*0 =θ , T

y yuuY ],,,[ )2()2(0 −−= . Întrucât y şi u sunt singurele

semnale care se măsoar ă, rezultă că y(4) şi Y 0 nu sunt măsurabile.

Dacă fiecare membru din (2.4.20) este trecut prin filtrul )(/1 sΛ , unde Λ( s) =4)2( + s = s

4 + 8 s3 + 24 s2 + 32 s + 16, se va obţine

0*0 φθ=

T z (2.4.21)

unde y s

s z 4

4

)2( += şi

T

y s

y s

su

su

s

s⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

+−

++=φ

44

2

44

2

0)2(

1,

)2(,

)2(

1,

)2(sunt

acum semnalele care pot fi generate prin filtrarea măsur ătorilor lui y şi u. Deoarece

în (2.4.19) elementele a3 = a1 = b3 = b1 = 0, dimensiunea lui *0θ , respectiv 0φ este 4

în loc de 8, aşa cum ar fi rezultat din (2.4.8).Similar, conform (2.4.9) se obţine:

φθ= λ

T y * , (2.4.22)

undeT aabb ]16,32,24,8,,0,,0[ 0202

* −−−−=θλ ,T

T T

y s

su

s

s⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+α

−+

α=φ

43

43

)2(

)(,

)2(

)(, T

s s s s ]1,,,[)( 233 =α .

În (2.4.22) se pot separa elementele lui *λθ , care nu depind de parametrii lui

(2.4.19) şi se obţine:

φ+φθ= λT T

h y 00*0

unde T aabb ]16,24,,[ 0202*0 −−=θ λ , T h ]0,32,0,8,0,0,0,0[0 −−= . Folosind

(2.4.10), se obţine o reprezentare de stare a lui (2.4.21) şi (2.4.22), dată de:



2 - 25

0*0

00*0

*

4222

4111

,

,

φθ=

φ+φθ=φθ=

ℜ∈φ−φΛ=φ

ℜ∈φ+φΛ=φ

λλ

T

T T T

c

c

z

h y

yl

ul

&

&

unde

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−−

=Λ

0100001000011632248

c ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0001

l , φ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=φ

10000000001000000000100000000010

0

şi T T T ],[ 21 φφ=φ . În loc de (2.4.22), se poate de asemenea scrie 20*0 φλ−φθ= T T

y ,

unde T ]16,32,24,8[=λ .

Exemplul 2.4.2 (Parametrizarea 2). Consider ăm acelaşi proces ca cel din

Exemplul 2.4.1, adică φθ= λ

T y * , unde

T aabb ]16,32,24,8,,0,,0[ 0202* −−−−=θλ ,

T T T

y s

su

s

s⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+α

−+

α=φ

43

43

)2(

)(,

)2(

)(.

Rescriem acum pe y sub forma:

ψθ

+

= λ

T

s

y *

2

1, unde

T T T

y

s

su

s

s⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

+

α−

+

α=ψΔ

33

33

)2(

)(,

)2(

)(.

Prin câteva calcule simple, se obţine:

)(

1000100018126

)2(

1

0001

1)2(

1

)2(

)(23

2

3

333 s

s s s s

s s

sα

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

+α

,

unde α2( s) = [ s2, s, 1]T . Atunci, ψ poate fi exprimat sub formaT

T T

T T y

s

s y

s

s yu

s

su

s

su ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

α−

+

αλ+−

+

α

+

αλ−=ψ

32

32

32

32

)2(

)(,

)2(

)(,

)2(

)(,

)2(

)(,

unde T ]8,12,6[=λ , iar ψθλ

T * poate fi exprimat ca

ψθ=ψθλ

T T ** (2.4.23)

unde

T aabb ]48,64,24,8,,0,[ 0202* ++=θ ,

T T T

y s

s yu

s

s⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+α

−+

α=ψ

32

32

)2(

)(,,

)2(

)(.

Atunci,



2 - 26

ψθ+

=T

s y *

2

1(2.4.24)

O realizare de stare a lui (2.4.24) este

1

3222

3111

1

1

*

11

,

,

,2

x y

yl

ul

x x x

c

c

T

=

ℜ∈ψ−ψΛ=ψ

ℜ∈ψ+ψΛ=ψ

ℜ∈ψθ+−=

&

&

&

unde T T T y ],,[ 21 ψψ=ψ ,⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−−=Λ

0100018126

c ,⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

001

l .

2.4.2. Modele parametrice biliniareConsider ăm parametrizarea unei clase speciale de sisteme exprimate prin

u s R

s Z k y

)(

)(

0

00= , (2.4.25)

unde k 0 este un scalar, R0( s) este monic de grad n, iar Z 0( s) este monic şi Hurwitzde grad m < n. În plus, Z 0( s) şi R0( s) satisfac ecuaţia Diofantică

k 0 Z 0( s) P ( s) + R0( s)Q( s) = Z 0( s) A( s) (2.4.26)unde

)()( 21 sq s sQ n

T n−

− α+= , )()( 1 s p s P nT

−α= , T iii s s s s ]1,,,,[)( 1

K−Δ=α ,nn

pq ℜ∈ℜ∈ − ,1 sunt vectorii coeficienţilor lui 1)( −− n s sQ , respectiv ai lui P ( s),

iar A( s) este un polinom Hurwitz monic de grad 12 −− mn . Ecuaţia Diofantică (2.4.26) care pune în relaţie pe Z 0( s), R0( s), k 0 cu P ( s), Q( s) şi A( s) apare în

proiectarea comenzilor, cum ar fi controlul cu model de referinţă, care va fidiscutat în capitolele ulterioare. Polinoamele P ( s) şi Q( s) sunt de regulă

polinoamele asociate controllerului care, pentru un A( s) dat, trebuie calculate prinrezolvarea ecuaţiei (2.4.26). Pentru aceasta, obiectivul nostru constă în a obţine o

parametrizare a lui (2.4.25), în funcţie de coeficienţii lui P ( s) şi Q( s), care să fieindependentă de coeficienţii lui Z 0( s) şi R0( s). Acest obiectiv se atinge folosind(2.4.26) pentru a elimina dependenţa lui (2.4.25) de Z 0( s) şi R0( s) după cumurmează:

Prin rescrierea lui (2.4.25) sub forma R0( s) y = k 0 Z 0( s)u şi înmulţind fiecaremembru cu Q( s), se obţine:

Q( s) R0( s) y = k 0 Z 0( s)Q( s)u (2.4.27)

Înlocuind în (2.4.27) pe Q( s) R0( s) = Z 0( s)( A( s) - k 0 P ( s)) obţinut din (2.4.26), seobţine:

Z 0( s)( A( s) - k 0 P ( s)) y = k 0 Z 0( s)Q( s)u (2.4.28)



2 - 27

Cum Z 0( s) este Hurwitz, vom filtra fiecare membru din (2.4.28) prin 1/ Z 0( s)obţinând

A( s) y = k 0 P ( s) y + k 0Q( s)u (2.4.29)

Rescriem (2.4.29) sub forma

])()([)( 1210 u su sq y s pk y s A n

nT

nT −

−− +α+α= (2.4.30)

Acum există mai multe variante.Se poate filtra fiecare membru din (2.4.30) cu filtrul stabil 1/ A( s) obţinând:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

α+

α=

−−− u

s A

su

s A

sq y

s A

s pk y

nnT nT

)()(

)(

)(

)( 121

0

care poate fi scris în forma compactă

)( 0*

0 z k yT

+φθ= (2.4.31)

unde

T T T pq ],[* =θ ,

T T n

T n y

s A

su

s A

s⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ αα=φ −−

)(

)(,

)(

)( 12 şi u s A

s z

n

)(

1

0

−

= .

Se poate de asemenea filtra fiecare membru din (2.4.30) utilizând un filtruarbitrar stabil 1/Λ( s) al cărui ordin λn satisface 112 −≥≥−− λ nnmn , obţinând

)()( 0*

0 z k sW yT

+φθ= (2.4.32)

unde acumT

T n

T n y

s

su

s

s⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Λα

Λα

=φ −−

)(

)(,

)(

)( 12 , u s

s z

n

)(

1

0 Λ=

−

şi)(

)()(

s A

s sW

Λ= este o funcţie de transfer

proprie.În (2.4.31) şi (2.4.32), φ şi z 0 pot fi generate prin filtrarea intr ării u şi a ieşirii

y a procesului. De aceea, dacă u şi y sunt măsurabile, atunci toate semnalele din

(2.4.31) şi (2.4.32) pot fi generate, singurele necunoscute posibile fiind k 0 şi*θ .

Dacă k 0 este cunoscut, el poate fi absorbit în semnalele φ şi z 0, conducând la

modele care sunt afine în*

θ , de forma:φθ=

T sW y *)( (2.4.33)

unde z k sW y y 0)(−= , iar φ=φ 0k . Dacă k 0 este totuşi necunoscut şi este parte a parametrilor de interes, atunci (2.4.31) şi (2.4.32) nu sunt afine în raport cu

parametrii k 0 şi*θ , dar k 0 şi

*θ apar într-o formă specială biliniar ă. Din acestmotiv, definim (2.4.31) şi (2.4.32) ca modele parametrice biliniare pentru a ledistinge de cele de forma (2.4.7)-(2.4.9) şi (2.4.33), care sunt referite ca modele-

parametrice liniare sau modele parametrice afine (sau modele afine în raport cu

parametrii). Aceste forme de modele (parametrizate liniar şi bilinear) sunt destul de



2 - 28

generale pentru a include şi parametrizările anumitor sisteme ale căror dinamici nusunt neapărat liniare, aşa cum se vede în exemplul următor.

Exemplul 2.4.3. Consider ăm sistemul neliniar scalar

uct x g bt x f a x 000 ),(),( ++=& (2.4.34)

unde a0, b0 şi c0 sunt scalari constanţi, ),( t x f şi ),( t x g sunt funcţii neliniarecunoscute care pot fi calculate la fiecare moment de timp t , iar u şi x sunt intrarea şistarea sistemului. Presupunem că f , g şi u sunt astfel încât pentru fiecare condiţieiniţială x(0) = x0, (2.4.34) are o singur ă soluţie definită pentru orice ),0[ ∞∈t .Dacă x şi u sunt măsurabile, prin filtrarea fiecărui membru al lui (2.4.34) cu unfiltru stabil strict propriu cu funcţia de transfer W f ( s), modelul (2.4.34) poate fiexprimat în forma modelului parametric (2.4.33):

φθ=T

f sW z *)( (2.4.35)

unde x s sW z f )(= , T cba ],,[ 000* =θ şi T ut x g t x f ]),,(),,([=φ . În loc de (2.4.35),

relaţia (2.4.34) se poate rescrie în forma

φθ++−=T

mm xa xa x *& cu am > 0, sau

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ φθ+

+=

T

m

m

xaa s

x *1

Atunci,

φθ+

=+

−=Δ T

mm

m

a s x

a s

a x z *1 (2.4.36)

care are aceeaşi formă cu (2.4.35) cu W f ( s) = 1/( s+am). Se poate continua şi rescrie(2.4.35) (respectiv (2.4.36)) sub forma

f

T z φθ= * , φ=φ )( sW f f (2.4.37)

care este de forma (2.4.8).

Exemplul prezentat demonstrează faptul că deşi parametrul *θ apare liniar în

(2.4.35) şi (2.4.37) nu înseamnă că are o dinamică liniar ă.

2.5. Probleme

2.1. Fie a( s) = ( s + α)3, b( s) = β , unde α, β sunt constante cu 0≠β .(a) Scrieţi matricea Sylvester asociată lui a( s) şi b( s).(b) Consider ăm că p0( s), l 0( s) este o soluţie a ecuaţiei polinomiale

a( s)l ( s) + b( s) p( s) = 1. (2.5.1)

Ar ătaţi că ( p1( s), l 1( s)) este o soluţie a lui (2.5.1) dacă şi numai dacă p1( s), l 1( s) potfi exprimate sub forma p1( s) = p0( s) + r ( s)a( s), l 1( s) = l 0( s) - r ( s)b( s) pentru orice

polinom r ( s).



2 - 29

(c) Găsiţi soluţia lui (2.5.1) pentru care p( s) are cel mai mic grad şi p( s) /l ( s) este ofuncţie raţională proprie.

2.2. Se consider ă procesul de ordinul trei y = G( s)u, unde

012

23 01

2

2)( a sa sa s

b sb sb sG +++

++=

(a) Scrieţi modelul parametric al procesului în forma (2.4.8) sau (2.4.13) când*θ = [b2, b1, b0, a2, a1, a0]

T .

(b) Dacă a0, a1 şi a2 sunt cunoscute, adică, a0 = 2, a1 = 1 şi a2 = 3, scrieţi un model

parametric al procesului în funcţie de *θ = [b2, b1, b0]T .

(c) Dacă b0, b1 şi b2 sunt cunoscute, adică, b0 = 1, b1 = b2 = 0, dezvoltaţi un model

parametric în funcţie de *θ = [a2, a1, a0]T .

2.3. Se consider ă sistemul cu amortizare de mai jos:unde k este constanta resortului, f este coeficientul de frecarevâscoasă sau de amortizare, m este masa sistemului, u este for ţade intrare, iar x este deplasarea masei M . Dacă se consider ă unresort "liniar", adică, for ţa ce acţionează asupra resortului este

propor ţională cu deplasarea, iar for ţa de frecare este propor ţională cu viteza x& , utilizând legea lui Newton, se obţineurmătoarea ecuaţie diferenţială:

x f xk u xM &&& −−=

care descrie dinamica sistemului.(a) Precizaţi o reprezentare de stare a sistemului.(b) Calculaţi funcţia de transfer dintre x şi u.

(c) Obţineţi un model parametric liniar de forma φθ=T

z * , unde *θ = [M , k , f ]T , iar

z , φ sunt semnale care pot fi generate din măsur ătorile lui u şi x, f ăr ă a utilizaelemente derivative.

2.4. Verificaţi dacă (2.4.11) şi (2.4.12) sunt reprezentări de stare neminimale

ale sistemului descris prin (2.4.1). Ar ătaţi că pentru aceeaşi intrare u(t ), ieşirea y(t )este identică pentru cele două sisteme. ( Indica ţ ie: Verificaţi că

)]([)]([ 00 A sI adjC B sI adjC T c

T −=Λ−

pentru anumiţi nC ℜ∈0 , nn

B ×ℜ∈0 folosind identitatea[adj( sI - A)] = sn-1 I + sn-2( A + an-1 I ) + sn-3( A2 + an-1 A + an-2 I )

+ ... + ( An-1 + an-1 An-2 + ... + a1 I )

şi alegând C 0 astfel încât (C 0, Λc) să fie o pereche observabilă.

2.5. Scrieţi o reprezentare de stare pentru următorul sistem:

(a) u s

sn

)()(1

Λα=φ − , Λ( s) este monic de ordin n.



2 - 30

(b) u s

sn

)(

)(

1

1

Λα

=φ − , Λ1( s) este monic de ordin n - 1.

(c) u s

sm

)(

)(

1Λα

=φ , 1−≤ nm , Λ1( s) este monic de ordin n - 1.

2.6. Ar ătaţi că ( ))(

)()()( 111

s

s sI C l sI n

T

oT oc Λ

α=Λ−=Λ− −−− , unde (Λc, l ) este

forma controller, iar (C o, Λo) este forma observer.

Bibliografie

[30] Chen, C.T., Introduction to Linear System Theory, Holt, Rinehart and Winston Inc., New York, 1970.

[42] Desoer, C.A. and M. Vidyasagar, Feedback Systems: Input-Output Properties,Academic Press Inc., New York, 1975.

[44] Dorf, R.C. Modern Control Systems, 6th Edition, Addison-Wesley PublishingCompany, Reading, Massachusetts, 1991.

[57] Franklin, G.F., J.D. Powell and A. Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic

Systems, 2nd Edition, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1991.[73] Goodwin, G.C. and K.C. Sin, Adaptive Filtering Prediction and Control , Prentice

Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1984.[95] Kailath, T., Linear Systems, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1980.[121] Kuo, B. C. Automatic Control Systems, 6th Edition, Prentice Hall, Englewood Cli®s,

New Jersey, 1991.

[131] Luders, G. and K.S. Narendra, "A New Canonical Form for an Adaptive Observer",IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 19, no. 2, pp. 117-119, 1974.[180] Ogata, K. Modern Control Engineering , 2nd Edition, Prentice Hall, Englewood

Cliffs, New Jersey, 1990.[201] Sastry, S. and M. Bodson, Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness,

Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.[226] Tsakalis K.S. and P.A. Ioannou, Linear Time Varying Systems: Control and

Adaptation, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.[237] Wolovich, W.A., Linear Multivariable systems, Springer-Verlag, New York, 1974.[238] Wonham, W.M., Linear Multivariable Control: A Geometric Approach, 3rd Edition,

Springer-Verlag, New York, 1985.



3 - 1

Cap. 3

Stabilitate3.1. Introducere

Conceptul de stabilitate este legat de investigarea şi caracterizarea comportăriisistemelor dinamice.

Stabilitatea joacă un rol important în teoria sistemelor şi ingineria controluluişi a fost intens investigată în secolele trecute. Câteva dintre conceptelefundamentale de stabilitate au fost introduse de matematicianul şi inginerul rusAlexandr Lyapunov (vezi [133]). Lucrarea lui Lyapunov a fost extinsă şi adusă în

atenţia unei largi comunităţi din ingineria controlului şi matematicii aplicate prinLaSalle şi Lefschetz [124, 125, 126], Krasovskii [107], Hahn [78], Massera [139],Malkin [134], Kalman şi Bertram [97] şi mulţi alţii.

În sistemele de conducere, suntem interesaţi de schimbarea proprietăţilor sistemelor dinamice în aşa fel încât acestea să aibă o comportare acceptabilă chiar dacă asupra lor acţionează perturbaţii externe. Scopul acestui capitol este acela de a

prezenta câteva definiţii şi rezultate de bază ale stabilităţii utilizate în proiectarea şianaliza sistemelor de conducere. Multe din rezultatele prezentate sunt generale şi

pot fi găsite în căr ţile standard de specialitate. Altele sunt mai specifice şi sunt

dezvoltate pentru sisteme adaptive. Demonstraţiile majorităţii rezultatelor generalesunt omise, dar sunt precizate referinţele corespunzătoare. Sunt prezentate deasemenea o serie de exemple edificatoare.

3.2. Preliminarii

3.2.1 Norme şi spaţii L p

Definiţia 3.2.1. Norma || x a unui vector x este o func ţ ie real ă cu

urmă toarele propriet ăţ i:(i) 0|| ≥ x cu || x = 0 dacă şi numai dacă x = 0

(ii) || xα = ||α || x pentru orice scalar α

(iii) ≤+ || y x || x + || y (inegalitatea triunghiului)

Norma || x unui vector x poate fi interpretată ca mărimea sau lungimea

vectorului x. Similar, || y x − poate fi interpretată ca distanţa dintre vectorii x şi y.

O nm× matrice A reprezintă a aplicaţie liniar ă de la spaţiul n-dimensionalnℜ în spaţiul m-dimensional mℜ . Vom defini norma indusă a lui A astfel:

Definiţia 3.2.2. Fie || ⋅ norma unui vector. Atunci, pentru fiecare matrice

nm A ×ℜ∈ , cantitatea |||| A definit ă prin



3 - 2

||sup||sup||

||sup||||

1||1||0 Ax Ax

x

Ax A

x x

x

xn

=≤ℜ∈

≠

Δ

===

se nume şte norma (matriceală) indusă a matricei A corespunz ă toare normei

vectorului || ⋅ . Norma (matriceală) indusă satisface proprietăţile (i) - (iii) din Definiţia 3.2.1.

Câteva dintre proprietăţile normei induse ce vor fi des utilizate în acest curssunt următoarele:

(i) n x x A Ax ℜ∈∀≤ |,|||||||

(ii) |||||||||||| B A B A +≤+

(iii) |||||||||||| B A B A ≤

unde A şi B sunt matrice arbitrare cu dimensiuni compatibile.

Tabelul 3.1 prezintă câteva dintre cele mai utilizate norme înn

ℜ .Tabelul 3.1. Norme uzuale

Norma pe nℜ Norma indusă pe nm×ℜ ||max|| ii x x =∞ (norma infinită)

∑= i i x x |||| 1

( ) 2/122 |||| ∑=

i i x x (norma Euclidiană)

∑=∞ j iji a A ||max|||| (suma liniilor)

∑=i ij j a A ||max|||| 1 (suma coloanelor)

[ ] 2/1

2 )(|||| A A A T mλ= , unde )(M mλ

este valoarea proprie maximă a lui M

Trebuie notat că funcţia ||max|||| ijij s a AΔ

= , unde nm A ×ℜ∈ şi aij este elementul

),( ji al lui A satisface proprietăţile (i) - (iii) din Definiţia 3.2.1. Totuşi aceasta nueste o normă matriceală indusă deoarece nu există o normă vectorială astfel încât

s|||| ⋅ să fie norma indusă corespunzătoare.

Exemplul 3.2.1. (i) Fie x = [1, 2, -10, 0]T . Folosind Tabelul 3.1, se obţine:

10|| =∞ x , 13|| 1= x , 105|| 2= x

(ii) Fie⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡−

=10001 50 A , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−= 20

51 B . Folosind Tabelul 3.1, se obţine:

15|||| 1= A , 18.11|||| 2= A , 10|||| =∞ A

7|||| 1= B , 465.5|||| 2= B , 6|||| =∞ B

35|||| 1= B A , 91.22|||| 2= B A , 20|||| =∞ B A care pot fi folosite pentru a verifica proprietatea (iii) a normei induse.

Pentru funcţii de timp, se defineşte norma L p

( ) p

p p d x x

/1

0|)(||||| ∫

∞Δττ=



3 - 3

pentru ),1[ ∞∈ p . Spunem că p L x∈ când p x |||| există (adică, când p x |||| este

finită). Norma ∞ L este definită prin

|)(|sup||||0

t x xt ≥

Δ

∞ =

şi se spune că ∞∈ L x când ∞|||| x există.

În definiţiile normelor L p şi ∞ L de mai sus, x(t ) poate fi o funcţie scalar ă sauvectorială. Dacă x este o funcţie scalar ă, atunci || ⋅ desemnează valoarea absolută.Dacă x este o funcţie vectorială în nℜ , atunci || ⋅ desemnează orice normă în nℜ .

Similar, pentru secvenţe de numere se defineşte norma l p prin

∞<≤⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = ∑

∞

=

Δ

p x x

p

i

pi p 1,||||||

/1

1

şi norma ∞l ca

||sup||||1

ii

x x≥

Δ

∞ =

unde ),,( 21 K x x x = şi ℜ∈i x . Spunem că pl x∈ (respectiv ∞∈ l x ) dacă p x ||||

(respectiv ∞|||| x ) există.

De multe ori ne confruntăm cu clase de funcţii de timp care nu apar ţin lui L p.Pentru a folosi astfel de funcţii se defineşte norma L pe:

( ) pt p

pt d x x /10

|)(||||| ∫ ττ=Δ

pentru ),1[ ∞∈ p şi spunem că pe L x∈ când pt x |||| există pentru orice t finit.

Similar, norma e L∞ este definită prin

|)(|sup||||0

τ=≤τ≤

Δ

∞ x xt

t

şi se spune că ∞∈ L x când ∞|||| x există.

Funcţia t 2 nu apar ţine lui L p, dar pe Lt ∈2 . Similar, orice funcţie de timp

continuă apar ţine lui L pe, dar ea poate să nu apar ţină lui L p.

Pentru fiecare ],1[ ∞∈ p , mulţimea funcţiilor care apar ţin lui L p (respectiv lui L pe) formează un spa ţ iu vectorial liniar numit spaţiul L p (respectiv, spaţiul L pe) [42]. Dacă se defineşte funcţia trunchiată f t prin

⎩⎨⎧

>τ

≤τ≤τ=τΔ

t

t f f t ,0

0),()(

pentru orice ),0[ ∞∈t , atunci, este clar că, pentru orice ),1[ ∞∈ p , pe L f ∈

determină ca pt L f ∈ pentru orice t finit. Spaţiul L pe se numeşte spa ţ iul L p extins şieste definit ca mulţimea tuturor funcţiilor f cu proprietatea că pt L f ∈ .



3 - 4

3.2.2. Proprietăţi ale funcţiilor

Prezentăm mai întâi câteva definiţii.

Defniţia 3.2.3. (Continuitate). O funcţie ℜ→∞),0[: f este continuă pe

),0[ ∞ dacă pentru orice 00 >ε dat, există un ),( 00 t εδ astfel încât ),0[,0 ∞∈∀ t t pentru care ),(|| 000 t t t εδ<− avem 00 |)()(| ε<− t f t f .

Defniţia 3.2.4. (Continuitate uniformă). O funcţie ℜ→∞),0[: f este uniform

continuă pe ),0[ ∞ dacă pentru orice 00 >ε dat, există un )( 0εδ astfel încât

),0[,0 ∞∈∀ t t pentru care )(|| 00 εδ<− t t avem 00 |)()(| ε<− t f t f .

Defniţia 3.2.5. (Continuitate pe por ţiuni). O funcţie ℜ→∞),0[: f este

continuă pe por ţiuni pe ),0[ ∞ dacă f este continuă pe orice interval finit

),0[],[10

∞⊂t t cu excepţia unui număr finit de puncte.

Defniţia 3.2.6. (Continuitate absolută). O funcţie ℜ→],[: ba f este absolut

continuă pe ],[ ba dacă şi numai dacă pentru orice 00 >ε dat, există un 0>δ astfel încât

01

|)()(| ε<β−α∑=

i

n

ii f f

pentru orice mulţime finită de subintervale ),( ii βα ale lui ],[ ba cu

∑ =δ<β−αn

i ii1|| .

Defniţia 3.2.7. (Lipschitz). O funcţie ℜ→],[: ba f este Lipschitz pe ],[ ba

dacă ],[,|,||)()(| 212121 ba x x x xk x f x f ∈∀−≤− , unde 0≥k este o constantă denumită constantă Lipschitz.

Funcţia )/1sin()( t t f = este continuă pe ),0( ∞ , dar nu este uniform continuă (de verificat).

O funcţie definită printr-o undă pătratică cu o anumită frecvenţă nu estecontinuă pe ),0[ ∞ , dar este continuă pe por ţiuni.

Menţionăm că o funcţie uniform continuă este de asemenea continuă. Ofuncţie f cu ∞∈ L f & este uniform continuă pe ),0[ ∞ . De aceea, o cale uşoar ă de a

verifica continuitatea uniformă a lui f (t ) constă în a verifica mărginirea lui f & . Dacă f este Lipschitz pe ],[ ba , atunci f este absolut continuă.

Câteva dintre cele mai importante leme, frecvent utilizate în analiza schemelor adaptive, sunt următoarele:

Lema 3.2.3. Pentru funcţiile scalare sunt adevărate următoarele afirmaţii:(i) O funcţie f (t ) care este mărginită inferior şi este necrescătoare are o limită

când ∞→t .



3 - 5

(ii) Consider ăm funcţiile scalare nenegative f (t ) şi g (t ) definite pentru 0≥t .Dacă 0),()( ≥∀≤ t t g t f şi p L g ∈ , atunci p L f ∈ pentru toţi ],1[ ∞∈ p .

Demonstra ţ ia. S-a omis.

Lema 3.2.3 (i) nu conduce şi la∞

∈ L f . De exemplu, funcţia f (t ) = 1/t cu),0( ∞∈t este mărginită inferior, adică, 0)( ≥t f şi este necrescătoare, dar ea

devine nemărginită (superior) când 0→t . Dacă totuşi f (0) este finită atunci, din proprietatea de necreştere 0),0()( ≥∀≤ t f t f , rezultă că ∞∈ L f . În acest cursvom folosi un caz special al Lemei 3.2.3 care apare când 0≥ f şi 0≤ f & .

Lema 3.2.4. Fie ℜ→∞),0[:,V f . Atunci

0, 0 ≥≥∀+α−≤ t t f V V & determină ca

∫ ≥≥∀ττ+≤τ−α−−α− t

t

t t t

t t d f et V et V 0

0 0,)()()( 0)(

0)(

pentru orice constantă finită α .

Demonstra ţ ie. S-a omis.

Lema 3.2.5. Dacă ∞∈ L f f &, şi p L f ∈ pentru anumiţi ),1[ ∞∈ p , atunci

0)( →t f când ∞→t .

Rezultatul Lemei 3.2.5 este un caz special al unui rezultat mult mai general dat prin Lema lui Barbălat, prezentată mai jos.

Lema 3.2.6. (Lema lui Barbălat [192]). Dacă ∫ ττ∞→t

t d f 0

)(lim există şi este

finită, iar f (t ) este o funcţie uniform continuă, atunci 0)(lim =∞→ t f t .

Demonstra ţ ie. S-a omis.

Demonstraţia Lemei 3.2.5 rezultă direct din cea a Lemei 3.2.6 cu menţiunea că

funcţia )(t f p este uniform-continuă pentru orice ),1[ ∞∈ p deoarece ∞∈ L f f &, .

Condiţia ca f (t ) să fie uniform continuă este crucială pentru rezultatele Lemei3.2.6.

3.2.3. Matrice pozitiv definite

O matrice pătratică nn A ×ℜ∈ se numeşte simetrică dacă A = AT . O matrice

simetrică A se numeşte pozitiv semidefinit ă dacă pentru fiecare vector n x ℜ∈ ,

0≥ x A xT

şi pozitiv definit ă dacă 0> x A xT , n

x ℜ∈∀ cu 0|| ≠ x . Ea se numeştenegativ semidefinit ă (negativ definit ă ) dacă -A este pozitiv semidefinită (pozitivdefinită).

Definiţia unei matrice pozitiv definite poate fi generalizată şi la matricenesimetrice. În acest curs, când se consider ă proprietăţile de pozitivitate sau

negativitate definită sau semidefinită, vom considera întotdeauna că matricea estesimetrică.



3 - 6

Vom scrie 0≥ A dacă A este pozitiv semidefinită şi A > 0 dacă A este pozitivdefinită. Vom scrie B A ≥ şi A > B dacă 0≥− B A şi respectiv 0>− B A .

O matrice simetrică nn A ×ℜ∈ este pozitiv definită dacă şi numai dacă oricaredintre următoarele condiţii sunt valabile:

(i) ni Ai ,,2,1,0)( K=>λ unde )( Aiλ reprezintă a i-a valoare proprie a lui A,care este reală deoarece A = AT .

(ii) Există o matrice nesingular ă A1 astfel încât T A A A 11= .

(iii) Fiecare minor principal al lui A este pozitiv.

(iv) 2|| x x A xT α≥ pentru anumiţi 0>α şi n x ℜ∈∀ .

Decompoziţia T A A A 11= din (ii) este unică când A1 este de asemenea

simetrică. În acest caz, A1 este pozitiv definită, ea are aceeaşi vectori proprii ca şi

A, iar valorile proprii ale sale sunt egale cu r ădăcinile pătrate ale valorilor propriicorespondente ale matricei A. Vom specifica această decompoziţie unică a lui A

notând A1 ca 2/1 A , adică, 2/2/1 T A A A = unde 2/1 A este o matrice pozitiv definită

iar 2/T A reprezintă transpusa lui 2/1 A .

O matrice simetrică nn A ×ℜ∈ are n vectori proprii ortogonali şi poate fidescompusă ca

U U AT Λ= (3.2.5)

unde U este o matrice unitar ă (ortogonală) (adică, U T U = I ) formată cu vectorii

proprii ai lui A, iar Λ este o matrice diagonală compusă din valorile proprii ale lui A. Folosind (3.2.5), rezultă că dacă 0≥ A , atunci pentru orice vector n x ℜ∈ 2

max2

min ||)(||)( x A x A x x AT λ≤≤λ

Mai mult, dacă 0≥ A atunci

)(|||| max2 A A λ= ,

iar dacă A > 0, avem

)(

1||||

min2

1

A A

λ=−

unde )(max Aλ , )(min Aλ reprezintă valorile proprii maximă şi minimă ale lui A.Menţionăm că dacă A > 0 şi 0≥ B , atunci A + B > 0, dar în general nu este

adevărat că 0≥ B A .

3.3. Stabilitate intrare/ieşire

Sistemele întâlnite în acest curs pot fi descrise printr-o relaţie intrare-ieşire(I/O) care asociază fiecărei intr ări o ieşire corespondentă, sau printr-o reprezentareîn variabile de stare. În acest paragraf vom prezenta câteva rezultate de bază legate

de stabilitatea I/O. Aceste rezultate sunt bazate pe tehnici din analiza funcţională [42] şi multe dintre ele pot fi aplicate atât sistemelor continue cât şi sistemelor



3 - 7

discrete în timp. Rezultate similare sunt prezentate în paragraful 3.4 folosindabordarea prin variabile de stare şi teoria Lyapunov.

3.3.1. Stabilitatea L p

Consideram un sistem liniar invariant în timp (LTI) descris prin convoluţia a

două funcţii ℜ→ℜ+:, hu , definit prin:

τττ−=τττ−=∗= ∫ ∫ Δ

d ht ud ut hhut yt t

00)()()()()( (3.3.1)

unde u şi y sunt intrarea şi respectiv ieşirea sistemului. Fie H ( s) transformataLaplace a operatorului I/O, )(⋅h . H ( s) se numeşte funcţie de transfer, iar h(t )r ăspuns la impuls al sistemului (3.3.1). Sistemul (3.3.1) poate fi de asemeneareprezentat în forma

Y ( s) = H ( s)U ( s) (3.3.2)

unde Y ( s) şi U ( s) sunt transformatele Laplace ale lui y şi respectiv u.Se spune că sistemul reprezentat prin (3.3.1) sau (3.3.2) este L p stabil dacă

p p L y Lu ∈⇒∈ şi p p uc y |||||||| ≤ pentru anumite constante 0≥c şi orice p Lu∈ .

Când ∞= , stabilitatea L p, adică stabilitatea ∞ L , este de asemenea referită castabilitate intrare-mărginită ieşire-mărginită ( BIBO stability).

Pentru sistemul (3.3.1) sunt valabile următoarele rezultate.

Teorema 3.3.1. Dacă p Lu∈ şi 1 Lh∈ , atunci

p p uh y |||||||||||| 1≤ (3.3.3)unde ],1[ ∞∈ p .

Când p = 2, pentru p y |||| se obţine o margine mai precisă (abruptă) decât cea

din (3.3.3), dată prin următoarea lemă.

Lema 3.3.1. Dacă 2 Lu∈ şi 1 Lh∈ , atunci

22 |||||)(|sup|||| u j H y ω≤ω

(3.3.4)

Pentru demonstrarea Teoremei 3.3.1şi Lemei 3.3.1 vezi [42].

Consider ăm cazul în care h(t ) din (3.3.1) este r ăspunsul la impuls al unuisistem LTI a cărui funcţie de transfer H ( s) este o funcţie raţională în s. Suntvalabile următoarele teoreme şi corolarii.

Teorema 3.3.2. Fie H ( s) o funcţie raţională în s strict proprie. Atunci H ( s) esteanalitică în 0]Re[ ≥ s dacă şi numai dacă 1 Lh∈ .

Corolarul 3.3.1. Dacă 1 Lh∈ , atunci

(i) h descreşte exponenţial , adică, t et h 0

1|)(| α−α≤ pentru anumiţi 0, 01 >αα ;

(ii) 111 , L y L L y Lu ∈∈⇒∈ ∞ &I , y este continuă şi 0|)(|lim =∞→ t yt ;(iii) 222 , L y L L y Lu ∈∈⇒∈ ∞ &I , y este continuă şi 0|)(|lim =∞→ t yt ;



3 - 8

(iv) Pentru p p L y y Lu p ∈⇒∈∞∈ &,],,1[ şi y este continuă.

Pentru demonstrarea Teoremei 3.3.2 şi Corolarului 3.3.1, vezi [42].

Corolarul 3.3.2. Fie H ( s) proprie şi analitică în 0]Re[ ≥ s . Atunci ∞∈ L Lu I2

şi 0|)(|lim =∞→ t ut determină ca ∞∈ L L yI

2 şi 0|)(|lim =∞→ t yt . Demonstra ţ ie.

3.3.2. Norma L2δ şi stabilitatea I/O

Definiţiile şi rezultatele din paragrafele anterioare sunt foarte folositoare îndezvoltarea rezultatelor de stabilitate I/O (bazate pe o normă diferită) dar în

particular sunt utile şi în analiza schemelor adaptive.

În acest paragraf se consider ă norma L2 ponderat ă exponen ţ ial definită prin:

( )

2/1

0

)(

2

)()(|||| τττ=

∫

τ−δ−Δ

δ

d x xe xt T t

t

unde 0≥δ este o constantă. Spunem că δ∈ 2 L x dacă δ2|||| t x există. Când δ = 0 el

nu mai apare ca indice şi se va folosi notaţia e L x 2∈ .

Vom defini δ⋅ 2||)(|| norma δ2 L . Pentru orice timp finit t , norma δ2 L satisface proprietăţile normei date prin Definiţia 3.2.1, adică,

(i) 0|||| 2 ≥δt x

(ii) δα 2|||| t x = ||α δ2|||| t x pentru orice constant ă scalar ă α

(iii) ≤+ δ2||)(|| t y x δ2|||| t x + δ2|||| t y (inegalitatea triunghiului)

Rezultă că:(iv) |)(|sup|||||||| 22 t x x t t t α≤α δδ pentru orice ∞∈α L

Noţiunea de normă δ2 L a fost introdusă în principal pentru a simplifica analizastabilitaţii şi robusteţii sistemelor adaptive. Pentru a evita orice confuzie, precizămcă norma δ2 L definită aici este diferită de norma ponderată exponenţial folosită în

multe căr ţi de analiză funcţională, care este definită prin ( ) 2/1

0)()( τττ∫ τδ d x xe

t T .

Principala diferenţă este aceea că această normă ponderată exponenţial este o

funcţie nedescrescătoare de t , pe când norma δ2 L poate să nu fie.

Lema 3.3.3. Consider ăm sistemul liniar variabil în timp descris prin

ut D xt C y

x xut B xt A x

T )()(

)0(,)()( 0

+=

=+=&(3.3.15)

unde n x ℜ∈ , r y ℜ∈ , mu ℜ∈ , iar elementele matricelor A, B, C şi D sunt funcţii

de timp continue şi mărginite. Dacă matricea de tranziţie ),( τΦ t a lui (3.3.15)satisface

)(0

0||),(|| τ−α−λ≤τΦ t et (3.3.16)



3 - 9

pentru anumiţi 0, 00 >αλ şi e Lu 2∈ , atunci pentru orice ),0[ 1δ∈δ , unde

01 20 α<δ< este arbitrar, se obţine

(i) t t uc

t x ε+δ−α

λ≤ δ2

0

0 ||||2

|)(|

(ii) t t t uc

x ε+δ−αδ−δ

λ≤ δδ 2

101

02 ||||

)2)((||||

(iii) t t t uc y ε+≤ δδ 202 |||||||| unde

||)(||sup||)(||sup)2)(( 101

00 t Dt C

cc

t

T

t

+δ−αδ−δ

λ= , ||)(||sup t Bc

t

=

şi t ε este un termen ce descreşte exponenţial la zero deoarece 00 ≠ x .

Demonstra ţ ie. S-a omis.Definiţia 3.3.3. Perechea (C (t ), A(t )) din (3.3.15) este uniform complet

observabilă (UCO) dacă există constantele 0,, 21 >νββ astfel încât pentru toţi

00 ≥t

I t t N I 1002 ),( β≥ν+≥β

unde ττΦτττΦ=ν+ ∫ ν+Δ

d t C C t t t N T t

t

T ),()()(),(),( 00000

0

este aşa numitul grammian

de observabilitate [1, 201], iar ),( τΦ t este matricea de tranziţie asociată matricei A(t ).

3.4. Stabilitate Lyapunov

3.4.1. Definiţii ale stabilităţii

Se consider ă sistemele descrise prin ecuaţii diferenţiale ordinare de forma:

00 )(),,( xt x xt f x ==& (3.4.1)

unde n x ℜ∈ , ℜ→× )(: r B I f , ),[ 0 ∞= t I şi }|||{)( r x xr B n <ℜ∈= . Presupu-

nem că f este astfel încât pentru fiecare )(0 r B x ∈ şi fiecare +ℜ∈0t , (3.4.1) are osoluţie unică x(t ; t 0, x0).

Definiţia 3.4.1. Se spune că o stare xe este o stare de echilibru a sistemului(3.4.1) dacă

0),( ≡e xt f pentru toţi 0t t ≥ .

Definiţia 3.4.2. O stare de echilibru xe se numeşte stare de echilibru izolată

dacă există o constantă r > 0 astfel încât nee r x x xr x B ℜ⊂<−=

Δ

}|||{),( nu

conţine o altă stare de echilibru a sistemului (3.4.1) în afar ă de xe.



3 - 10

Definiţia 3.4.3. Se spune că starea de echilibru xe este stabilă (în sensLyapunov) dacă pentru orice t 0 şi 0>ε (arbitrar), există un ),( 0t εδ astfel încât

δ<− || 0 e x x determină ε<− |),;(| 00 e x xt t x pentru toţi 0t t ≥ .

Definiţia 3.4.4. Starea de echilibru xe este uniform stabilă (u.s.) dacă ea estestabilă şi dacă ),( 0t εδ din Definiţia 3.4.3 nu depinde de t 0.

Definiţia 3.4.5. Starea de echilibru xe este asimptotic stabilă (a.s.) dacă (i) eastabilă, şi (ii) există un )( 0t δ astfel încât )(|| 00 t x x e δ<− determină ca

0|),;(|lim 00 =−∞→ et x xt t x .

Definiţia 3.4.6. Mulţimea tuturor punctelor n x ℜ∈0 astfel încât

e x xt t x →),;( 00 când ∞→t pentru anumiţi 00 ≥t se numeşte regiune (domeniu)de atracţie a stării de echilibru xe. Dacă condiţia (ii) din Definiţia 3.4.5 este

satisf ăcută, se spune că starea de echilibru xe este atractivă.Definiţia 3.4.7. Starea de echilibru xe este uniform asimptotic stabilă (u.a.s.)

dacă (i) ea este uniform stabilă, şi (ii), pentru fiecare 0>ε şi orice +ℜ∈0t , există

un 00 >δ independent de t0 şi ε şi un 0)( >εT independent de t0 astfel încât

ε<− |),;(| 00 e x xt t x pentru toţi )(0 ε+≥ T t t când 00 || δ<− e x x .

Definiţia 3.4.8. Starea de echilibru xe este exponenţial stabilă (e.s.) dacă există un 0>α şi, pentru fiecare 0>ε , există un 0)( >εδ astfel încât

)(

00

0

|),;(|

t t

e e x xt t x

−α−

ε≤− pentru toţi 0t t ≥ când 00 || δ<− e x x .

Definiţia 3.4.9. Starea de echilibru xe este instabilă dacă ea nu este stabilă.

Când (3.4.1) are soluţie unică pentru fiecare n x ℜ∈0 şi +ℜ∈0t , pentru

caracterizarea globală a soluţiilor sunt necesare următoarele definiţii.

Definiţia 3.4.10. O soluţie ),;( 00 xt t x a sistemului (3.4.1) este mărginită dacă

există un 0>β astfel încât β<|),;(| 00 xt t x pentru toţi 0t t ≥ , unde β poate depinde

de fiecare soluţie.Definiţia 3.4.11. Soluţiile lui (3.4.1) sunt uniform mărginite (u.b.) dacă pentru

orice 0>α şi +ℜ∈0t , există un )(αβ=β independent de t 0 astfel încât dacă

α<|| 0 x , atunci β<|),;(| 00 xt t x pentru toţi 0t t ≥ .

Definiţia 3.4.12. Soluţiile lui (3.4.1) sunt uniform mărginite în final(uniformly ultimately bounded - u.u.b.) (cu marginea B) dacă există un B > 0 şi

dacă corespunzător oricărui 0>α şi +ℜ∈0t , există un 0)( >α=T T (independent

de t 0) astfel încât α<|| 0 x determină B xt t x <|),;(| 00 pentru toţi T t t +≥ 0 .



3 - 11

Definiţia 3.4.13. Punctul de echilibru xe al sistemului (3.4.1) este asimptoticstabil în mare (a.s. în mare) dacă el este stabil şi fiecare soluţie a lui (3.4.1) tinde la

xe când ∞→t (adică, domeniul de atracţie al lui xe este nℜ ).

Definiţia 3.4.14. Punctul de echilibru xe al sistemului (3.4.1) este uniform

asimptotic stabil în mare (u.a.s. în mare) dacă (i) el este uniform stabil, (ii) soluţiilelui (3.4.1) sunt uniform mărginite, şi (iii) pentru orice 0>α , orice 0>ε şi

+ℜ∈0t , există 0),( >αεT independent de t 0 astfel încât dacă α<− || 0 e x x atunci

ε<− |),;(| 00 e x xt t x pentru toţi ),(0 αε+≥ T t t .

Definiţia 3.4.15. Punctul de echilibru xe al sistemului (3.4.1) este exponenţialstabil în mare (e.s. în mare) dacă există 0>α şi pentru orice 0>β , există 0)( >βk astfel încât

)(

00

0)(|),;(| t t ek xt t x

−α−β≤ pentru toţi0

t t ≥

când β<− || 0 e x x .

Definiţia 3.4.16. Dacă ),;( 00 xt t x este o soluţie a lui ),( xt f x =& , atunci

traiectoria ),;( 00 xt t x se spune a fi stabilă (u.s., a.s., u.a.s., e.s., instabilă) dacă punctul de echilibru z e = 0 al ecuaţiei diferenţiale

)),;(,()),;(,( 0000 xt t xt f xt t x z t f z −+=&

este stabil (u.s., a.s., u.a.s., e.s., respectiv instabil).

3.4.2. Metoda Lyapunov directă

Proprietăţile de stabilitate ale stării de echilibru sau soluţiei sistemului (3.4.1) pot fi studiate folosind aşa-numita metodă directă a lui Lyapunov (cunoscută cametoda a doua a lui Lyapunov) [124, 125]. Obiectivul acestei metode constă în ar ăspunde întrebărilor legate de stabilitatea sistemului (3.4.1) folosind însă forma lui

),( xt f din (3.4.1) şi nu soluţiile explicite ale acestuia. Prezentăm mai întâiurmătoarele definiţii [143].

Definiţia 3.4.17. Se spune că o funcţie continuă +ℜ→ϕ ],0[: r (sau o funcţie

continuă +ℜ→∞ϕ ),0[: ) apar ţine clasei K , adică K ∈ϕ dacă (i) 0)0( =ϕ

(ii) ϕ este strict crescătoare pe [0, r ] (sau pe ),0[ ∞ ).

Definiţia 3.4.18. Se spune că o funcţie continuă +ℜ→∞ϕ ),0[: apar ţine

clasei KR, adică KR∈ϕ dacă

(i) 0)0( =ϕ

(ii) ϕ este strict crescătoare pe ),0[ ∞

(iii) ∞=ϕ∞→ )(lim r r .



3 - 12

Funcţia 2

2

1|)(|

x

x x

+=ϕ definită pe ),0[ ∞ apar ţine clasei K dar nu şi clasei KR.

Funcţia |||)(| x x =ϕ apar ţine clasei K şi clasei KR. Este clar că KR∈ϕ detremină

K ∈ϕ , dar nu şi invers.

Definiţia 3.4.19. Se spune că două funcţii K ∈ϕϕ 21, definite pe [0, r ] (sau pe),0[ ∞ ) sunt de acelaşi ordin de mărime, dacă există constantele pozitive k 1 şi k 2

astfel încât)()()( 11212111 r k r r k ϕ≤ϕ≤ϕ , ],0[1 r r ∈∀ (sau ),0[1 ∞∈∀r )

Funcţiile2

2

121

|)(| x

x x

+=ϕ şi

2

2

21

|)(| x

x x

+=ϕ sunt de acelaşi ordin de mărime (a

se verifica).

Definiţia 3.4.20. O funcţie ℜ→×ℜ+ )(:),( r B xt V cu +ℜ∈∀= t t V ,0)0,(este pozitiv definită, dacă există o funcţie continuă K ∈ϕ astfel încât

)(,|),(|),( r B xt x xt V ∈ℜ∈∀ϕ≥ + şi 0>r . ),( xt V este negativ definită dacă ),( xt V − este pozitiv definită.

Funcţia 2

2

1),(

x

x xt V

−= cu )1( B x∈ este pozitiv definită, pe când 2

1

1),( x

t xt V

+=

nu este. Funcţia 2

2

1),(

x

x xt V

+= este pozitiv definită pentru orice ℜ∈ x .

Definiţia 3.4.21. O funcţie ℜ→×ℜ+ )(:),( r B xt V cu +ℜ∈∀= t t V ,0)0,(este pozitiv (negativ) semidefinită dacă 0),( ≥ xt V ( 0),( ≤ xt V ) pentru orice

+ℜ∈t şi )(r B x∈ cu 0>r .

Definiţia 3.4.22. O funcţie ℜ→×ℜ+ )(:),( r B xt V cu +ℜ∈∀= t t V ,0)0,(

este descrescătoare dacă există K ∈ϕ astfel încât |)(||),(| x xt V ϕ≤ , 0≥∀t şi)(r B x∈∀ cu 0>r .

Funcţia 211),( x

t xt V

+= este descrescătoare deoarece 2211),( x x

t xt V ≤+= ,

+ℜ∈∀t , dar 2),( xt xt V = nu este.

Definiţia 3.4.23. O funcţie ℜ→ℜ×ℜ+ n xt V :),( cu +ℜ∈∀= t t V ,0)0,(

este radial nemărginită dacă există KR∈ϕ astfel încât |)(|),( x xt V ϕ≥ , pentru

toţi n x ℜ∈ şi +ℜ∈t .



3 - 13

Funcţia 2

2

1)(

x xV

+= satisface condiţiile (i) şi (ii) din Definiţia 3.4.23 (adică, se

alege2

2

||1

|||)(|

x

x x

+=ϕ ). Totuşi, deoarece 1)( ≤ xV , nu se poate găsi o funcţie

KR x ∈ϕ |)(| care satisface |)(|),( x xt V ϕ≥ pentru toţi n x ℜ∈ . Deci, V nu esteradial nemărginită.

Din Definiţia 3.4.23 se deduce că dacă V (t , x) este radial nemărginită, ea este

de asemenea pozitiv definită pentru toţi n x ℜ∈ dar reciproca nu este adevărată.

Presupunem (f ăr ă pierderea generalităţii) că xe = 0 este un punct de echilibrual sistemului (3.4.1) şi definim V & derivata în raport cu timpul a funcţiei V (t , x) de-alungul (în virtutea) soluţiei lui (3.4.1), adică,

),()( xt f V t V V T ∇+∂∂=& (3.4.3)

undeT

n x

V

x

V

x

V V ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

=∇ ,,,21

K este gradientul lui V în raport cu x. A doua

metodă a lui Lyapunov este rezumată prin următoarele teoreme.

Teorema 3.4.1. Presupunem că există o funcţie pozitiv definită

ℜ→×ℜ+ )(:),( r B xt V cu r > 0 cu derivate par ţiale de ordinul întâi în raport cu x

şi t continue şi +ℜ∈∀= t t V ,0)0,( . Atunci, următoarele afirmaţii sunt adevărate:(i) Dacă 0≤V & , atunci xe = 0 este stabil.(ii) Dacă V este descrescătoare şi 0≤V & , atunci xe = 0 este uniform stabil

(u.s.).(iii) Dacă V este descrescătoare şi 0<V & , atunci xe = 0 este uniform asimptotic

stabil (u.a.s.).(iv) Dacă V este descrescătoare şi există K ∈ϕϕϕ 321 ,, cu acelaşi ordin de

mărime astfel încât

|)(|),(|)(| 21 x xt V x ϕ≤≤ϕ , |)(|),( 3 x xt V ϕ−≤&

pentru toţi )(r B x∈ şi +ℜ∈t , atunci xe = 0 este exponenţial stabil (e.s.).

În această teoremă, starea x este restricţionată a fi în interiorul sferei B(r ) derază r > 0. De aceea, rezultatele (i)-(iv) din Teorema 3.4.1 sunt referite ca rezultatelocale. Afirmaţia (iii) este echivalentă cu aceea că există K ∈ϕϕϕ 321 ,, , unde

321 ,, ϕϕϕ nu trebuie să aibă acelaşi ordin de mărime, astfel încât

|)(|),(|)(| 21 x xt V x ϕ≤≤ϕ , |)(|),( 3 x xt V ϕ−≤& .

Teorema 3.4.2. Presupunem că (3.4.1) are soluţii unice pentru toţin

x ℜ∈0 .Presupunem că există o funcţie pozitiv definită, descrescătoare şi radial



3 - 14

nemărginită ++ ℜ→ℜ×ℜ n xt V :),( cu derivate par ţiale de ordinul întâi în raport

cu x şi t continue şi +ℜ∈∀= t t V ,0)0,( . Atunci, următoarele afirmaţii suntadevărate:

(i) Dacă 0<V & , atunci xe

= 0 este u.a.s. în mare.(ii) Dacă există KR∈ϕϕϕ 321 ,, cu acelaşi ordin de mărime astfel încât

|)(|),(|)(| 21 x xt V x ϕ≤≤ϕ , |)(|),( 3 x xt V ϕ−≤&

atunci xe = 0 este exponenţial stabil (e.s.) în mare.

Afirmaţia (i) din Teorema 3.4.2 este de asemenea echivalentă cu aceea că există K ∈ϕϕ 21, şi KR∈ϕ3 astfel încât

|)(|),(|)(| 21 x xt V x ϕ≤≤ϕ , |)(|),( 3 x xt V ϕ−≤& , n x ℜ∈∀ Pentru a demonstra Teoremele 3.4.1, 3.4.2, cititorul poate utiliza [32, 78, 79,

97, 124].Teorema 3.4.3. Presupunem că (3.4.1) are soluţii unice pentru toţi n x ℜ∈0 .

Dacă există o funcţie V (t , x), definită pe R x ≥|| (unde R poate fi oricât de mare) şi),0[ ∞∈t , cu derivate par ţiale de ordinul întâi în raport cu x şi t continue şi dacă

există KR∈ϕϕ 21, astfel încât

(i) |)(|),(|)(| 21 x xt V x ϕ≤≤ϕ

(ii) 0),( ≤ xt V & pentru toţi R x ≥|| şi ),0[ ∞∈t ,

atunci, soluţiile lui (3.4.1) sunt u.b. Dacă în plus există K ∈ϕ3

definită pe ),0[ ∞ şi

(iii) |)(|),( 3 x xt V ϕ−≤& , pentru toţi R x ≥|| şi ),0[ ∞∈t atunci, soluţiile lui (3.4.1) sunt u.u.b.

Examinăm afirmaţia (ii) din Teorema 3.4.1 unde V descrescătoare şi 0≤V & determină ca xe = 0 să fie u.s. Dacă în (ii) se renunţă la restricţia ca V să fiedescrescătoare, se obţine afirmaţia (i), adică din 0≤V & rerultă că xe = 0 este stabildar nu neapărat u.s. De aceea, cineva ar fi tentat să creadă că dacă în afirmaţia (iii)se renunţă la condiţia ca V să fie descrescătoare, se obţine că xe = 0 este a.s., adică,numai din 0<V & se obţine că xe = 0 este a.s. Această concluzie intuitivă nu esteadevărată, aşa cum s-a demonstrat printr-un contraexemplu în [206] unde, pentru aar ăta că 0<V & nu implică a.s., s-a folosit o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi şi ofuncţie V (t , x) pozitiv definită, nedescrescătoare.

Sistemul (3.4.1) se numeşte neautonom. Când funcţia f din (3.4.1) nu depindeexplicit de timpul t , sistemul se numeşte autonom. În acest caz, se scrie

)( x f x =& (3.4.4)

Teoremele 3.4.1-3.4.3 sunt valabile şi pentru sistemele (3.4.4) deoareceacestea sunt un caz special al sistemelor (3.4.1). Totuşi, în cazul lui (3.4.4), V (t , x)= V ( x), adică, ea nu depinde explicit de timpul t , şi toate referirile la cuvintele



3 - 15

"descrescător" şi "uniform" pot fi şterse. Aceasta, deoarece V ( x) este întotdeaunadescrescătoare şi stabilitatea (respectiv a.s.) echilibrului xe = 0 al lui (3.4.4)determină u.s. (respectiv u.a.s.).

Pentru a.s. a sistemului (3.4.4) se poate obţine un rezultat mai puternic decâtcel din Teorema 3.4.2, care se va prezenta mai jos.

Definiţia 3.4.24. O mulţime Ω din nℜ este invariantă în raport cu ecuaţia(3.4.4) dacă fiecare soluţie a lui (3.4.4) ce pleacă din Ω r ămâne în Ω pentru orice t .

Teorema 3.4.4. Presupunem că (3.4.4) are soluţii unice pentru toţi n x ℜ∈0 .Presupunem că există o funcţie pozitiv definită şi radial nemărginită

+ℜ→ℜn xV :)( cu derivate de ordinul întâi în raport cu x continue şi 0)0( =V .Dacă:

(i) 0≤V & , n x ℜ∈∀

(ii) Originea x = 0 este singura submulţime invariantă a mulţimii}0|{ =ℜ∈=Ω V x n &

atunci echilibrul lui (3.4.4), xe = 0, este a.s. în mare.

Teoremele 3.4.1-3.4.4 sunt denumite teoreme tip Lyapunov. Funcţia V (t , x)sau V ( x) care satisface oricare dintre teoremele tip Lyapunov se numeşte funcţieLyapunov.

Funcţiile Lyapunov pot fi de asemenea utilizate pentru a verifica proprietăţilede instabilitate ale stării de echilibru xe. Mai multe teoreme de instabilitate bazate

pe cea de-a doua metodă Lyapunov se găsesc în [232].Exemplele următoare demonstrează modul de utilizare a metodei directe

Lyapunov pentru a analiza stabilitatea sistemelor neliniare.

Exemplul 3.4.2. Consider ăm sistemul

)(

)(22

21212

22

21121

x xcx x x

x xcx x x

++−=

++=

&

&(3.4.5)

unde c este o constantă. Notăm că xe = 0 este singura stare de echilibru. Alegem2

2

2

1)( x x xV +=

ca un candidat pentru o funcţie Lyapunov. V ( x) este pozitiv definită, descrescătoareşi radial nemărginită. Derivata sa în timp de-a lungul soluţiei lui (3.4.5) este

222

21 )(2)( x xc xV +=& (3.4.6)

Dacă c = 0, atunci 0=V & şi deci, xe = 0 este u.s. Dacă c < 0, atunci22

221 )(||2)( x xc xV +−=& este negativ definită şi deci, xe = 0 este u.a.s. în mare.

Dacă c > 0, xe = 0 este instabil (deoarece în acest caz V este strict crescătoare0≥∀t ), şi deci soluţia lui (3.4.5) este nemărginită [232].

Exemplul 3.4.3. Consider ăm următorul sistem care descrie mişcarea unui pendul simplu



3 - 16

12

21

sin xk x

x x

−=

=

&

&(3.4.7)

unde k > 0 este o constantă, x1 este unghiul, iar x2 este viteza unghiular ă. Ca şicandidat pentru o funcţie Lyapunov consider ăm funcţia V ( x) reprezentând energia

totală a pendulului, dată ca suma dintre energia sa cinetică şi energia potenţială:

)cos1(21

sin21

)( 1220

22

1 xk xd k x xV

x−+=ηη+= ∫

V ( x) este pozitiv definită şi descrescătoare )(π∈∀ B x dar nu şi radial nemărginită.

De-a lungul soluţiei lui (3.4.7) avem 0=V & . De aceea, starea de echilibru xe = 0este u.s.

Exemplul 3.4.5. Consider ăm următoatele ecuaţii diferenţiale care apar foatedes în analiza sistemelor adaptive:

2 x

x x x

−=φφ+−=

&& (3.4.9)

Starea de echilibru este xe = 0, ce =φ , unde c este orice constantă, şi deci, starea deechilibru nu este izolată.

Definind c−φ=φ~

, sistemul (3.4.9) se transfor ă în:

2~

~)1(

x

x xc x

−=φ

φ+−−=&

&(3.4.10)

Suntem interesaţi de stabilitatea punctului de echilibru xe = 0, ce =φ al lui (3.4.9),sau, echivalent, de stabilitatea echilibrului xe = 0, 0

~=φe al lui (3.4.10). Alegem

funcţia pozitiv definită, descrescătoare, radial nemărginită:

2

~

2)

~,(

22 φ+=φ

x xV (3.4.11)

Atunci,2)1()

~,( xc xV −−=φ&

Dacă c > 1, atunci 0>V & pentru 0≠ x ; deci xe = 0, 0~

=φe este instabil. Dacă

totuşi, 1≤c , atunci xe = 0, 0~ =φe este u.s. Pentru c < 1 avem:

0)~

,( 20 ≤−=φ xc xV & (3.4.12)

unde c0 = 1 - c > 0. Din Teorema 3.4.3 se poate de asemenea concluziona că

soluţiile x(t ), )(~

t eφ sunt u.b. dar nimic mai mult. Putem totuşi exploata proprietăţile

lui V şi V & şi concluziona că x(t ) → 0, când ∞→t .

Deoarece ))(~

),(()( t t xV t V φ= este mărginită inferior şi necrescătoare în timp,

din (3.4.11) şi (3.4.12) se deduce că aceasta are o limită, adică, ∞∞→ =V t V t )(lim .Acum, din (3.4.12) avem:



3 - 17

∞<−

=τ=τ ∞∞

∞→ ∫ ∫ 0

0

2

0

2 )0(lim

c

V V d xd x

t

t

adică, 2 L x∈ . Deoarece soluţia x(t ), )(~

t eφ este u.b., din (3.4.10) rezultă că ∞∈ L x& ,

care împreună cu2

L x∈ determină ca (vezi Lema 3.2.5) x(t ) → 0, când ∞→t .

Exemplul 3.4.6. Consider ăm ecuaţiile diferenţiale

1212

22111 2

x x x

x x x x x

−−=

++−=

&

&

Consider ăm 2/2/)( 22

21 x x xV += . Avem 02)( 2

1 ≤−= x xV & şi echilibrul x1e = 0, x2e

= 0 este u.s. Mulţimea definită în Teorema 3.4.4 este dată prin

}0|,{ 121 ==Ω x x x .

Deoarece pe Ω, 21 x x =& , rezultă că orice soluţie care pleacă din Ω cu 02 ≠ x păraseşte Ω. Deci, x1 = 0, x2 = 0 este singura mulţime invariantă a lui Ω. De aceea,echilibrul x1e = 0, x2e = 0 este a.s. în mare.

Principalul dezavantaj al metodei directe Lyapunov constă în aceea că, îngeneral, nu există o procedur ă pentru găsirea unei funcţii Lyapunovcorespunzătoare care să satisfacă condiţiile din Teoremele 3.4.1-3.4.4 exceptândcazul în care (3.4.1) reprezintă un sistem LTI. Dacă totuşi starea de echilibru xe = 0a lui (3.4.1) este u.a.s. existenţa unei funcţii Lyapunov este asigurată aşa cum searată în [139].

3.4.3. Funcţii tip Lyapunov

În multe cazuri, în analiza unei largi clase de scheme de control adaptiv,alegerea unei funcţii Lyapunov corespunzătoare pentru a stabili stabilitateafolosind Teoremele 3.4.1-3.4.4 poate să nu fie evidentă sau posibilă. Totuşi,anumite funcţii care sunt asemănătoare unor funcţii Lyapunov, dar care nu posedă toate proprietăţile necesare pentru a aplica Teoremele 3.4.1-3.4.4, pot fi utilizate

pentru a analiza anumite proprietăţi de stabilitate şi mărginire ale sistemelor adaptive. Vom referi o astfel de funcţie, func ţ ie tip Lyapunov ( Lyapunov-like

function).

Exemplul următor ilustrează folosirea unei funcţii tip Lyapunov.

Exemplul 3.4.8. Consider ăm următorul sistem de trei ecuaţii diferenţiale:

303213

202312

1013211

)0(,

)0(,

)0(,

x x x x

x x x x x

x x x x x x

==

==

=−−=

&

&

&

(3.4.13)

care are în 3ℜ punctele de echilibru neizolate definite prin x1 = 0, x2 = constant , x3 = 0 sau x1 = 0, x2 = 0, x3 = constant . Se doreşte a se analiza proprietăţile de

stabilitate ale soluţiilor lui (3.4.13) folosind o funcţie Lyapunov corespunzătoare şiaplicând Teoremele 3.4.1-3.4.4. Dacă dorim să aplicăm Teoremele 3.4.1-3.4.4,



3 - 18

atunci ar trebui să începem prin a alege o funcţie V ( x1, x2, x3) pozitiv definită în3ℜ . Noi însă, vom considera o funcţie pătratică mai simplă

22),(

22

21

21 x x

x xV += ,

care este pozitiv semidefinită în 3ℜ şi care deci, nu satisface condiţia de pozitivitate definită în 3ℜ cerută de Teoremele 3.4.1-3.4.4. Derivata în timp a lui V

de-a lungul soluţiei ecuaţiilor diferenţiale (3.4.13) satisface

0)( 21 ≤−= x xV & , (3.4.14)

care precizează că V este o funcţie de timp necrescătoare. Rezultă că,

02121 ))0(),0(())(),(( V x xV t xt xV Δ

=≤

şi ∞∈ L x xV 21,, . Mai mult, V are o limită când ∞→t , adică,

∞∞→ =V t xt xV t ))(),((lim 21 şi (3.4.14) determină ca

0),()( 00

21 ≥∀−=ττ∫ t t V V d x

t

şi

∞<−=ττ ∞

∞

∫ V V d x 00

21 )(

adică, 21 L x ∈ . Cum 21 L x ∈ , din (3.3.13) se obţine că ∞∈ L x3 şi din ∞∈ L x x x 321 ,, ,

că ∞∈ L x1& . Folosind ∞∈ L x1& , 21 L x ∈ şi aplicând Lema 3.2.5 se obţine că x1(t ) → 0, când ∞→t . Prin utilizarea proprietăţilor din pozitivitatea semidefinită a funcţiei

),( 21 x xV , am stabilit că soluţia lui (3.4.13) este uniform mărginită şi x1(t ) → 0,când ∞→t pentru orice condiţie iniţială finită x1(0), x2(0), x3(0). Deoareceabordarea folosită este asemănătoare cu abordarea cu funcţie Lyapunov, suntemmotivaţi să numim pe ),( 21 x xV func ţ ie tip Lyapunov ( Lyapunov-like function). Înanaliza anterioar ă s-a presupus de asemenea că (3.4.13) are o soluţie unică. Pentrudiscuţii şi analiză referitoare la existenţa şi unicitatea soluţiilor lui (3.4.13) cititorul

poate apela la [191].

Vom folosi funcţii tip Lyapunov şi argumentaţii similare celor din exemplul prezentat pentru a analiza stabilitatea unei clase largi de scheme adaptiveconsiderare în acest curs.

3.4.4. Metoda Lyapunov indirectă

În anumite condiţii, din studiul comportării unui anumit sistem liniar obţinut prin liniarizarea sistemului neliniar (3.4.1) în jurul stării sale de echilibru se potobţine o serie de concluzii despre stabilitatea echilibrului său. Această metodă estecunoscută ca prima metod ă a lui Lyapunov sau ca metoda Lyapunov indirect ă şieste prezentată în [32, 232] sub următoarea formă:



3 - 19

Fie xe = 0 o stare de echilibru a lui (3.4.1) şi presupunem că f (t , x) estecontinuu diferenţiabilă în raport cu x pentru orice 0≥t . Atunci, în vecinătarea lui

xe = 0, f admite o dezvoltare în serie Taylor care poate fi scrisă sub forma:

),()(),( 1 xt f xt A xt f x +==& (3.4.15)

unde0

)(=

∇= x

f t A reprezintă matricea Jacobiană a lui f evaluată în x = 0, iar f 1(t , x)

conţine termenii r ămaşi din dezvoltarea în serie Taylor.

Teorema 3.4.5. Presupunem că A(t ) este uniform mărginită şi că:

0||

|),(|suplim 1

00||=

≥→ x

xt f

t x.

Fie z e = 0, echilibrul sistemului

)()()( t z t At z =& .

Pentru echilibrul xe = 0 al sistemului (3.4.15) sunt adevărate următoarele afirmaţii:(i) Dacă z e = 0 este u.a.s., atunci xe = 0 este u.a.s.;(ii) Dacă z e = 0 este instabil, atunci xe = 0 este instabil;(iii) Dacă z e = 0 este u.s. sau stabil, nu se pot obţine concluzii despre

stabilitatea lui xe = 0.Pentru o demonstraţie a Teoremei 3.4.5 vezi [232].

Exemplul 3.4.9. Consider ăm ecuaţia diferenţială de ordinul doi

xk x x xm −−μ−= &&& )1(2 2

unde μ,m şi k sunt constante pozitive, care este cunoscută sub numele deoscilatorul Van der Pol. Ea descrie mişcarea unui amortizor cu resort şi masă

(mass-spring-damper) cu coeficientul de amortizare )1(2 2 −μ x şi constantaresortului k , unde x este poziţia masei m. Definind stările x1 = x, x2 = x& , se obţinecuaţiile:

22112

21

)1(2

x xm

xm

k x

x x

−μ

−−=

=

&

&

care au un echilibru în x1e = 0, x2e = 0. Liniarizarea acestui sistem în jurul lui (0, 0)conduce la

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

μ−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2

1

2

1/2/

10 z

z mmk z

z &

&

Deoarece μ,m > 0, cel puţin una dintre valorile proprii ale matricei A este pozitivă şi deci echilibrul (0, 0) este instabil.

3.4.5. Stabilitatea sistemelor liniare

Ecuaţia (3.4.15) arată că anumite clase de sisteme neliniare pot fi aproximate prin sisteme liniare în vecinătatea unor puncte de echilibru, sau, cum se numeşte în



3 - 20

practică, puncte de funcţionare. Din acest motiv, suntem interesaţi în studiulstabilităţii sistemelor liniare de forma:

)()()( t xt At x =& , (3.4.16)

unde elementele lui A(t ) sunt continue pe por ţiuni pentru orice 00 ≥≥ t t . Sistemele

de forma (3.4.16) pot fi privite ca o clasă specială de sisteme neliniare (3.4.1) sauca o aproximare a sistemului liniarizat (3.4.15). Soluţia lui (3.4.16) este dată de[95]:

0000 ),(),;( xt t xt t x Φ=

pentru orice 0t t ≥ , unde ),( 0t t Φ este matricea de tranzi ţ ie a st ă rilor şi satisfaceecuaţia diferenţială matriceală:

I t t

t t t t t At t t

=Φ

≥∀Φ=Φ∂∂

),(

),,()(),(

00

000

Câteva proprietăţi utile ale lui ),( 0t t Φ sunt:

(i) 000 ),,(),(),( t t t t t t ≥τ≥∀τΦτΦ=Φ (proprietatea de semigrup)

(ii) ),(),( 01

0 t t t t Φ=Φ −

(iii) )(),(),( 0000

t At t t t t

Φ−=Φ∂∂

Condiţiile necesare şi suficiente de stabilitate a stării de echilibru xe = 0 a

sistemului (3.4.16) sunt date de următoarele teoreme.Teorema 3.4.6. Fie ||),(|| τΦ t norma indusă a matricei ),( τΦ t la fiecare

moment τ≥t . Starea de echilibru xe = 0 a sistemului (3.4.16) este:(i) stabilă, dacă şi numai dacă soluţiile lui (3.4.16) sunt mărginite sau echivalent

∞<τΦ=≥

Δ

||),(||sup)(0

0 t t ct t

;

(ii) u.s., dacă şi numai dacă

∞<

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ τΦ==

≥≥≥

Δ

||),(||supsup)(sup000 0

0

0

0 t t cct t t t

;

(iii) a.s., dacă şi numai dacă

0||),(||lim =τΦ∞→

t t

pentru orice +ℜ∈0t ;

(iv) u.a.s., dacă şi numai dacă există constantele pozitive α şi β astfel încât)( 0||),(|| t t

et −βα≤τΦ , 0t t ≥τ≥∀ ;

(v) e.s., dacă şi numai dacă ea este u.a.s.;(vi) a.s., u.a.s., e.s. în mare, dacă şi numai dacă ea este respectiv a.s., u.a.s., e.s.

Teorema 3.4.7 [1]. Presupunem că elementele lui A(t ) sunt u.b. pentru toţi+ℜ∈t . Starea de echilibru xe = 0 a sistemului liniar (3.4.16) este u.a.s., dacă şi



3 - 21

numai dacă, dându-se orice matrice Q(t ) pozitiv definită, care este continuă înraport cu t şi satisface

∞<≤≤< I ct Q I c 21 )(0

pentru orice 0t t ≥ , funcţia scalar ă definită prin

xd t Qt x xt V t

T T ττΦττΦ= ∫ ∞

),()(),(),( (3.4.17)

există (adică, integrala definită prin (3.4.17) este finită pentru valori finite ale lui x şi t ) şi este o funcţie Lyapunov a lui (3.4.16) cu:

xt Q x xt V T )(),( −=& .

Folosind proprietăţile lui ),( 0t t Φ se obţine că ττΦττΦ= ∫ ∞Δ

d t Qt t P t

T ),()(),()(

satisface ecuaţia

)()()()()()( t At P t P t At Qt P T −−−=& (3.4.18)adică, funcţia Lyapunov (3.4.17) poate fi rescrisă sub forma xt P x xt V T )(),( = ,unde P (t ) = P T (t ) satisface (3.4.18).

Teorema 3.4.8. O condiţie necesar ă şi suficientă pentru ca starea de echilibru xe = 0 a sistemului liniar (3.4.16) să fie u.a.s este ca să existe o matrice simetrică P (t ) şi anumite constante v > 0, astfel încât, 0≥∀t , să fie satisf ăcute relaţiile

Ot C t C t At P t P t At P

I t P I

T T

≤ν+++

γ≤≤γ

)()()()()()()(

)( 21

&

unde γ1 > 0, γ2 > 0 sunt constante şi C (t ) este astfel încât (C (t ), A(t )) este o perecheUCO (vezi Definiţia 3.3.3).

Când A(t ) = A este o matrice constantă, condiţiile pentru stabilitateaechilibrului xe = 0 al sistemului

x& = Ax (3.4.19)

sunt date de următoarea teoremă.

Teorema 3.4.9. Starea de echilibru xe = 0 a sistemului (3.4.19) este stabilă dacă şi numai dacă:

(i) Toate valorile proprii ale lui A au păr ţile reale nepozitive.(ii) Pentru fiecare valoare proprie iλ cu 0}Re{ =λi , iλ este un zerou simplu

al polinomului minimal al lui A (adică, al polinomului monic )(λψ de gradul cel

mai mic, astfel încât 0)( =ψ A ).

Teorema 3.4.10. O condiţie necesar ă şi suficientă pentru ca starea xe = 0 să fiea.s. în mare este ca oricare din următoarele condiţii să fie satisf ăcute:

(i) Toate valorile proprii ale matricei A au păr ţile reale negative.

(ii) Pentru fiecare matrice pozitiv definită Q, următoarea ecuaţie matriceală Lyapunov



3 - 22

Q A P P AT −=+ are o soluţie unică P care de asemenea este pozitiv definită.

(iii) Pentru orice matrice C cu (C , A) observabilă, ecuaţia

C C A P P AT T −=+

are o soluţie unică P care este pozitiv definită.

Este uşor de verificat că pentru sistemul LTI (3.4.19), dacă xe = 0 este stabil, eleste de asemenea u.s. Dacă xe = 0 este a.s., el este de asemenea u.a.s. şi e.s. în mare.

În cele ce urmează vom face un abuz de notaţie şi vom spune ca matricea Adin (3.4.19) este stabil ă când echilibrul xe = 0 este a.s., adică când toate valorile

proprii ale lui A au păr ţile reale negative şi marginal stabil ă când xe = 0 estestabilă, adică A satisface (i) şi (ii) din Teorema 3.4.9.

Consider ăm din nou sistemul liniar variabil în timp (3.4.16) şi presupunem că

pentru fiecare t fixat toate valorile proprii ale matricei A(t ) au păr ţile reale negative.În perspectiva Teoremei 3.4.10, cineva se poate întreba dacă această condiţie

pentru A(t ) poate să asigure aceeaşi formă de stabilitate pentru echilibrul xe = 0 allui (3.4.16). Din păcate, în general, r ăspunsul este negativ (vezi exemplul din[232]).

3.5. Funcţii real-pozitive şi stabilitate

3.5.1. Funcţii de transfer real-pozitive şi strict real-pozitive

Conceptele de func ţ ii de transfer real-pozitive (PR- Positive Real ) şi strict real- pozitive (SPR- Strictly Positive Real ) joacă un rol important în analiza stabilităţiiunei clase largi de sisteme neliniare, care include şi sistemele adaptive.

Definiţia funcţiilor de transfer PR şi SPR rezultă din teoria reţelelor electrice.Astfel o funcţie de transfer PR (SPR) raţională poate fi privită ca fiind impedanţa unei reţele pasive (disipative). În consecinţă, o reţea pasivă (disipativă) are oimpedanţă care este o funcţie raţională şi PR (SPR). O reţea pasivă este o reţea carenu produce energie, adică, o reţea alcătuită numai din rezistenţe, capacităţi şiinductanţe. O reţea disipativă disipează energie, ceea ce înseamnă că aceastaconţine numai rezistoare şi condensatoare şi bobine conectate în paralel curezistoarele.

În [177, 204], folosind teoria circuitelor, sunt prezentate următoarele definiţiiechivalente ale funcţiilor de transfer PR.

Definiţia 3.5.1. O funcţie raţională G( s) de variabilă complexă ω+σ= j s senumeşte PR dacă:

(i) G( s) este reală pentru s real.(ii) Re[G( s)] ≥ 0 pentru toţi Re[ s] > 0.

Lema 3.5.1. O funcţie de transfer raţională proprie G( s) este PR dacă şi numai

dacă:(i) G( s) este reală pentru s real.



3 - 23

(ii) G( s) este analitică în Re[ s] > 0 şi polii plasaţi pe axa ω j sunt simpli, iar reziduurile asociate acestora sunt reale şi pozitive.

(iii) Pentru toate valorile reale ω pentru care s = jω nu este un pol al lui G( s),Re[G( jω)] ≥ 0.

Pentru funcţii de transfer SPR avem următoarea definiţie.

Definiţia 3.5.2. [177] Presupunem că G( s) nu este identic nulă pentru toţi s.Atunci, G( s) este SPR dacă G( s - ε ) este PR pentru ε > 0.

Teorema următoare furnizează condiţiile necesare şi suficiente în domeniulfrecvenţă pentru ca o funcţie de transfer să fie SPR:

Teorema 3.5.1. [89] Presupunem că funcţia raţională G( s) de variabilă complexă ω+σ= j s este reală pentru s real şi nu este identic nulă pentru toţi s. Fie

*n gradul relativ al lui G( s) = Z ( s)/ R( s), cu 1|| * ≤n . Atunci, G( s) este SPR dacă şinumai dacă

(i) G( s) este analitică în Re[ s] ≥ 0;(ii) Re[G( jω)] > 0, ),( ∞−∞∈ω∀ ;(iii)

(a) Când 1* =n , 0)](Re[lim 2|| >ωω∞→ω jG ;

(b) Când 1* −=n , 0)(

lim || >ωω

∞→ω j

jG.

Menţionăm că dacă 0

*

=n , condiţiile (i) şi (ii) din Teorema 3.5.1 sunt necesare şisuficiente pentru ca G( s) să fie SPR. Totuşi aceasta nu este adevărat pentru 1* =n sau -1. De exemplu,

)])(/[()()( β+α+β+α+= s s s sG

cu 0, >βα satisface (i) şi (ii) din Teorema 3.5.1, dar nu este SPR deoarece aceastanu satisface (iiia). Totuşi, ea este PR.

Câteva proprietăţi utile ale funcţiilor SPR sunt date de următorul corolar.

Corolarul 3.5.1. (i) G( s) este PR (SPR) dacă şi numai dacă 1 /G( s) este PR

(SPR);(ii) Dacă G( s) este SPR, atunci 1|| * ≤n şi polii şi zerourile lui G( s) se află în

Re[ s] < 0;

(iii) Dacă 1|| * >n , atunci G( s) nu este PR .

O condiţie necesar ă pentru ca G( s) să fie PR este ca hodograful Nyquist al luiG( jω) să se afle în semiplanul complex drept, care determină ca saltul în fază alieşirii unui sistem cu funcţia de transfer G( s), ca r ăspuns al unei intr ări sinusoidale,să fie mai mic decât 900.

Relaţiile dintre funcţiile de transfer PR sau SPR şi stabilitatea Lyapunov asistemelor dinamice corespunzătoare au condus la dezvoltarea a numeroase criterii



3 - 24

de stabilitate pentru sisteme cu reacţie cu par ţi LTI şi neliniare. Aceste criteriiinclud celebrul criteriu al lui Popov şi variantele sale [192]. Legătura esenţială întrefuncţii sau matrice de transfer PR sau SPR şi existenţa unei funcţii Lyapunov

pentru stabilirea stabilităţii este dată prin următoarele leme.

Lema 3.5.2. (Lema Kalman-Yakubovich-Popov (KYP))[7, 192]Date fiind o matrice pătratică A cu toate valorile proprii în semiplanul stâng închisal planului complex, un vector B astfel încât perechea ( A, B) este controlabilă, unvector C şi un scalar 0≥d , funcţia de transfer definită prin

B A I sC d sGT 1)()( −−+=

este PR dacă şi numai dacă există o matrice P simetrică şi pozitiv definită şi unvector q astfel încât:

d qC PB

qq A P P A T T

2±=−

−=+.

Lema 3.5.3. (Lema Lefschetz-Kalman-Yakubovich (LKY)) [89, 126]. Date fiind omatrice stabilă A, un vector B astfel încât perechea ( A, B) este controlabilă, unvector C şi un scalar 0≥d , funcţia de transfer definită prin

B A I sC d sG T 1)()( −−+=

este SPR dacă şi numai dacă pentru orice matrice pozitiv definită L, există omatrice simetrică şi pozitiv definită P , un scalar ν > 0 şi un vector q astfel încât:

d qC PB Lqq A P P A

T T

2±=−ν−−=+ .

Lemele de mai sus sunt aplicabile sistemelor LTI care sunt controlabile.Cerinţa de controlabilitate este relaxată în [142, 172].

Lema 3.5.4. (Lema Meyer-Kalman-Yakubovich (MKY)). Date fiind o matricestabilă A, vectorii B, C şi un scalar 0≥d , sunt valabile următoarele:Dacă

B A I sC d sGT 1)()( −−+=

este SPR, atunci pentru orice matrice L = LT > 0, există un scalar ν > 0, un vector q şi o matrice P = P T > 0 astfel încât:

d qC PB

Lqq A P P AT T

2±=−

ν−−=+.

În multe aplicaţii ale conceptelor de SPR la sisteme adaptive, funcţia de transfer G( s) impune simplificări zerouri-poli stabile, care determină ca sistemul asociat cutripletul ( A, B, C ) să fie necontrolabil sau neobservabil. În aceste situaţii esteindicată utilizarea Lemei MKY.



3 - 25

Bibliografie[1] Anderson, B.D.O., "Exponential Stability of Linear Equations Arising in Adaptive

Identification," IEEE Transactions on Automatic Control , Vol. 22, no. 2, pp. 83-88,1977.

[32] Coppel, W.A., Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations, Heath and

Company, Boston, Massachusetts, 1965.[42] Desoer, C.A. and M. Vidyasagar, Feedback Systems: Input-Output Properties,

Academic Press Inc., New York, 1975.[78] Hahn, W. Theory and Application of Lyapunov's Direct Method . Prentice Hall,

Englewood Cliffs, New Jersey, 1963.[79] Hale, J. K., Ordinary Differential Equations, Wiley, New York, 1969.[89] Ioannou, P.A. and G. Tao, "Frequency Domain Conditions for Strictly Positive Real

Functions," IEEE Transactions on Automatic Control , Vol. 32, no. 1, pp. 53-54, 1987.[95] Kailath, T., Linear Systems, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1980.[97] Kalman, R. E., and J. E. Bertram, "Control Systems Analysis and Design via the

'Second Method' of Lyapunov," Journal of Basic Engineering , Vol. 82, pp. 371-392,1960.[107] Krasovskii, N.N. Stability of Motion: Application of Lyapunov's Second Method to

Differential Systems and Equations with Delay, Stanford University Press, Stanford,California, 1963.

[124] LaSalle, J.P., and S. Lefschetz, Stability by Lyapunov's Direct Method with

Application, Academic Press, New York, 1961.[125] LaSalle, J.P., "Some Extensions of Lyapunov's Second Method." IRE Transactions

on Circuit Theory, pp. 520-527, December 1960.[126] Lefschetz, S., Stability of Nonlinear Control Systems, Academic Press, New York,

1963[133] Lyapunov, A.M. "The General Problem of Motion Stability" (1892) In Russian.

Translated to English, Ann. Math. Study, no. 17, 1949, Princeton University Press,1947.

[134] Malkin, I.G., "Theory of Stability of Motion," Technical Report Tr. 3352, U.S.Atomic Energy Commission, English Ed., 1958.

[139] Massera, J.L., "Contributions to Stability Theory," Annals of Mathematics, Vol. 64, pp. 182-206, 1956.

[142] Meyer, K. R., "On the Existence of Lyapunov Functions for the Problem on Lur'e,"SIAM Journal of Control , Vol. 3, pp. 373-383, 1965.

[143] Michel, A. and R.K. Miller, Ordinary Differential Equations, Academic Press, New

York, 1982.[172] Narendra, K.S. and A.M. Annaswamy, Stable Adaptive Systems, Prentice Hall,Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.

[177] Narendra, K.S. and J.H. Taylor, Frequency Domain Criteria for Absolute Stability,Academic Press, New York, 1973.

[191] Polycarpou, M. and P.A. Ioannou, "On the Existence and Uniqueness of Solutions inAdaptive Control Systems," IEEE Transactions on Automatic Control , Vol. 38, 1993.

[192] Popov, V. M., Hyperstability of Control Systems, Springer-Verlag, New York, 1973.[201] Sastry, S. and M. Bodson, Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness,

Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.[204] Siljak, D.D. "New Algebraic Criteria for Positive Realness", J. Franklin Inst., Vol.

291, no. 2, pp. 109-120, 1971.



3 - 26

[232] Vidyasagar, M., Nonlinear Systems Analysis, 2nd Edition, Prentice Hall, EnglewoodCliffs, New Jersey, 1993.



5 - 1

Cap. 5

Conducerea adaptivă a sistemelor neliniare Tehnicile de conducere convenţională, ca de pildă algoritmii PID, sau

algoritmii de minimă varianţă, au fost şi sunt folosiţi în multe situaţii pentruconducerea proceselor neliniare [2], [5], [6], [7]. Aceste tehnici au mareledezavantaj de a se baza pe o aproximare liniar ă a modelului, neţinând cont de

puternicele neliniarităţi ale procesului, precum şi de variaţia în timp a parametrilor acestuia. De aceea, în problema proiectării algoritmilor de conducere, oîmbunătăţire a performanţelor sistemelor de conducere se poate obţine prinexploatarea structurii neliniare a modelului procesului. În acest sens, în acest

paragraf se vor prezenta o serie de algoritmi de conducere neliniar ă a proceselor neliniare utilizând o tehnică de proiectare numită conducere liniarizant ă exact ă

[5], [6], [8]. Deosebirea dintre tehnica liniarizării exacte şi tehnica conduceriiconvenţionale rezultă din modul de introducere a liniarizării în problema

proiectării.Astfel, într-o abordare standard, convenţională, se calculează mai întâi o

aproximare liniar ă a modelului în jurul unui punct de funcţionare şi apoi, pe baza performanţelor impuse, se proiectează un regulator liniar (de tip PID)corespunzător acestui model aproximativ. Evident că mărimea de comandă a

regulatorului se aplică procesului neliniar, astfel încât sistemul în circuit închisr ămâne, în ansamblu, neliniar . Sistemul în circuit închis va avea o comportarecorespunzătoare numai în punctul de funcţionare ales sau într-o vecinătate restrânsă a acestuia, nu şi pentru alte puncte de funcţionare sau în jurul unei traiectorii defuncţionare.

În abordarea conducerii liniarizante exacte, se obţine un regulator neliniar proiectat astfel încât sistemul în circuit închis să aibă o comportare liniar ă necondiţionat stabilă, oricare ar fi punctul de funcţionare sau traiectoria de stare a

procesului.Schemele bloc corespunzătoare celor două tehnici sunt prezentate în Fig. 5.1.Deşi în domeniul conducerii adaptive a sistemelor neliniare există relativ

puţine chestiuni teoretice generale, totuşi conducerea adaptivă a fost dezvoltată cusucces pentru câteva clase importante de sisteme neliniare, care satisfac, de obicei,următoarele condiţii: dinamica neliniar ă a instalaţiei poate fi parametrizată liniar,toate variabilele de stare sunt cunoscute, neliniarităţile sistemului pot fi compensatestabil prin mărimea de comandă, dacă parametrii acestuia sunt cunoscuţi. Ca şi încazul liniar, pentru sistemele neliniare, pot fi formulate scheme de conducere

adaptivă direct ă şi indirect ă . Diferenţa dintre ele constă în modul de proiectare alegii de adaptare a parametrilor. Într-o schemă directă, adaptarea parametrilor este

determinată chiar de eroarea de urmărire, pe când într-o schemă indirectă, de oeroare auxiliar ă de estimare sau de predicţie.



5 - 2

a) Metoda liniarizării procesului (conducere convenţională)

b) Metoda liniarizării exacte (comandă neliniar ă)

Fig. 5.1. Metode de conducere a sistemelor neliniare

Faţă de cazul liniar, o dificultate specifică în conducerea sistemelor neliniarereiese din faptul că liniarizarea acestora în raport cu starea necesită transformări decoordonate neliniare, parametrizate, realizate prin intermediul unor diffeomorfisme

corespunzătoare.În acest paragraf se prezintă câteva aspecte teoretice legate de liniarizarea

sistemelor neliniare prin legi de comandă cu reacţie după stare, atât pentru cazulsistemelor monovariabile, cât şi multivariabile. Pentru sistemele monovariabile şimultivariabile cu minim de fază se prezintă modul de obţinere a unei comenzi cuadaptarea parametrilor pentru a obţine o compensare asimptotică exactă.

5.1. Conducerea liniarizantă a unei clase de sisteme neliniare

În ultimii ani s-a acordat o atenţie deosebită utilizării reacţiei după stare pentruliniarizarea exactă a comportării intrare-ieşire a sistemelor de conducere neliniaredescrise prin ecuaţii de stare de forma:

)(,),(

)()(

11

1

xh y xh y

u x g x f x

p p

p

i

ii

==

+= ∑=

K

&(5.1)

unde n x ℜ∈ ; u, y pℜ∈ ; f , g i : nn ℜ→ℜ şi ℜ→ℜn jh : .

Teoria liniarizării exacte prin reacţie după stare a fost dezvoltată şisistematizată prin eforturile a numeroşi cercetători [5], [6], [7], [8] pentru procese

REGULATOR LINIAR

PROCES NELINIAR

MODEL LINIAR

Referinţă Comandă Ieşire

Sistem în circuit închis - NELINIAR

REGULATOR NELINIAR

PROCES NELINIAR

Referinţă Comandă Ieşire

Sistem în circuit închis - LINIAR

Variabile de stare



5 - 3

continue şi [9], [10] pentru procese discrete şi cu eşationare şi continuă şi în prezent. Există numeroase aplicaţii ale acestei teorii în diverse domenii:aeronautică, robotică, maşini şi acţionări electrice, mecatronică, chimie şi

biochimie, biotehnologie: [1], [2], [3], [7], [8], [11], [12], [13] etc. Mareledezavantaj al tehnicii liniarizării exacte constă în faptul că pentru a se obţine ocomportare liniar ă intrare-ieşire este necesar ă realizarea unei compensări exacte aneliniarităţilor procesului. În consecinţă, dacă modelul conţine erori de modelare atermenilor neliniari, compensarea nu mai poate fi exactă, iar comportareasistemului nu mai este liniar ă. De aceea, în acest paragraf, se sugerează oconducere adaptivă capabilă să realizeze o compensare robustă a termenilor neliniari în situaţia în care incertitudinea în aceşti termeni este parametrică, iar

procesele sunt cu minim de fază.Deoarece liniarizarea intrare-ieşire prin reacţie după stare are la bază

conceptele geometriei diferenţiale, în paragraful următor vor fi prezentate câteva

definiţii şi concepte de bază cu care operează aceasta.

5.1.1. Elemente de bază ale geometriei diferenţiale

• Derivate Lie. Definiţii şi notaţii

Fie ℜ→ℜn xh :)( o funcţie scalar ă. Gradientul (sau diferen ţ iala exact ă ) a

funcţiei h, notată cu h∇ sau dh sau x

h

∂∂

este vectorul linie, definit prin:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

=∂∂

==∇n x

h

x

h

x

h xdh xh ,,)()(

1

K

Fie f şi g două funcţii vectoriale (câmpuri de vectori), definite prin:nn x f ℜ→ℜ:)( şi nn x g ℜ→ℜ:)( . Gradien ţ ii lui f şi g notaţi cu df , respectiv

g d se definesc prin următoarele matrice jacobiene:

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

=

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂=

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x f xdf

n

n

nn

n

M

L

MOM

L 1

1

1

1

1

)( ,

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

=

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂=

x

g

x

g

x

g

x

g

x

g

x

g

x g xdg

n

n

nn

n

M

L

MOM

L 1

1

1

1

1

)(

unde f i şi g i, ),,1( ni K= sunt componentele funcţiilor f şi respectiv g .

Derivata lui h de-a lungul vectorului n-dimensional f sau derivata Lie [5] a luih de-a lungul lui f este func ţ ia scalar ă netedă:

∑= ∂

∂=⟩⟨=

n

i

i

i

f f

x

h f hd h L

1

, (5.2)

Derivata de ordin k a lui h de-a lungul lui f se poate explicita prin:



5 - 4

( ) ⟩⟨== −− f h Ld h L Lh L k f

k f f

k f ,11 , k = 1, 2, ... (5.3)

Derivata funcţiei n-dimensionale f de-a lungul vectorului n-dimensional g sauderivata Lie a funcţiei f de-a lungul lui g este vectorul obţinut prin înmulţirea lui

x

f

∂∂

şi g ( x). Aceasta se notează prin g ( f ) sau f L g , este definită prin:

)()( x g x

f x f L g ∂

∂= (5.4)

şi este un vector ale cărui elemente sunt:

∑= ∂

∂n

i

i

i

j x g

x

f

1

)( , n j ,,1 K= . (5.5)

Dacă funcţia f este derivată de k ori de-a lungul aceleiaşi funcţii g , se foloseşte

notaţia f Lk g . Funcţia )( x f Lk

g satisface relaţia recursivă:

( ))()(

1

x g x

f L x f L

k g k

g ∂

∂=

−

cu )()(0 x f x f L g = . (5.6)

Cu ajutorul câmpurilor de vectori f şi g se poate defini produsul Lie [5] al lui f şi g , definit prin:

g ad x g x

f x f

x

g x g f f =

∂∂

−∂∂

= )()()(],[

care este un nou câmp de vectori, n-dimensional. Pentru a pune în evidenţă repetarea produsului Lie a câmpului g cu un acelaşi câmp f , se foloseşte relaţiarecursivă:

( ) )](,[)()( 11 x g ad f x g ad ad x g ad k f

k f f

k f

−− == , 1≥∀ k

cu )()(0 x g x g ad f = .

• Varietăţi şi distribuţii

Definiţia 5.1 [5]. O submulţime nM ℜ⊂ este o varietate r -dimensională )( nr < a lui nℜ dacă pentru fiecare M x ∈ există o mulţime deschisă U , cu

U x ∈ şi funcţiile netede )(,),(1 xh xh nr K+ astfel încât })(,),({ 1 xhd xhd nr K+ esteo mulţime liniar-independentă de vectori linie pentru orice U x ∈ şi

}1,0)(:{ nir xhM xM U i ≤≤+=∈=∩ . Precizăm că funcţiile )(,),(1 xh xh nr K+ din această definiţie nu sunt unice.

Definiţia 5.2 [5]. Spaţiul vectorial determinat de d funcţii vectoriale netedenn

d

W f f ℜ→ℜ⊂:,,1

K se notează prin:

D( x) = span })(,),({ 1 x f x f d K



5 - 5

şi se numeşte distribu ţ ie. Dimensiunea distribuţiei D( x) într-un punct n x ℜ∈ estedată de dimensiunea spaţiului vectorial D( x). O distribuţie D, definită pe o mulţime

nU ℜ⊂ este nesingular ă dacă există un întreg d , astfel încât,

dim(D( x)) = d , U x ∈∀ ,

adică funcţiile )(,),(1 x f x f d K sunt liniar independente, oricare ar fi U x ∈ .

Definiţia 5.3 [5]. O distribuţie D este involutivă dacă produsul Lie ],[ 21 ξξ al

oricărei perechi de vectori 1ξ şi 2ξ apar ţinând lui D este un vector ce apar ţine luiD.

• Diffeomorfisme În analiza şi sinteza sistemelor neliniare, de multe ori, se folosesc transformă ri

neliniare de coordonate. O schimbare de variabile poate fi descrisă printr-o relaţiede forma:

)( x z Φ= (5.7)

unde )( xΦ reprezintă o nℜ - funcţie de n variabile, adică

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φ

φ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φ

φ=Φ

nnn

n

n z

z

x x

x x

x

x

x M

K

M

K

M

1

1

111

),,(

),,(

)(

)(

)(

cu următoarele proprietăţi:(i) )( xΦ este inversabilă, adică există funcţia )(1 z −Φ astfel încât

x z =ΦΦ− ))((1 , n x ℜ∈∀

(ii) )( xΦ şi )(1 z −Φ sunt aplicaţii netede, adică au derivate par ţiale continue

de orice ordin.O transformare de acest tip se numeşte diffeomorfism global .

Deoarece proprietăţile (i) şi (ii) sunt dificil de îndeplinit pentru orice x dinnℜ , în multe cazuri ne rezumăm la astfel de transformări, dar definite numai în

vecinătatea unor puncte x0 date. O transformare de acest tip se numeştediffeomorfism local .

Teorema 5.1 (Funcţii inverse) [8]. Fie U o submulţime deschisă a lui nℜ şinT

n U ℜ→φφ=Φ :],,[ 1 K o aplicaţie liniar ă. Dacă matricea jacobiană:

⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂φ∂

∂φ∂

∂φ∂

∂φ∂

=Φ

n

nn

n

x x

x x

xd

d

L

MOM

L

1

1

1

1



5 - 6

este nesingular ă în anumite puncte U x ∈0 , atunci există o vecinătate U V ⊂ a lui

x0 astfel încât )(: V V Φ→Φ este un diffeomorfism. Teorema 5.1 poate fi reformulată astfel:

Teorema 5.2 [8]. Dacă rang nd d n =φφ },,{ 1K

în anumite puncte U x ∈0 ,unde U este o submulţime deschisă a lui nℜ , atunci există o vecinătate U V ⊂ alui x0, astfel încât )(: V V Φ→Φ este un diffeomorfism.

• Transformări de coordonate Consider ăm un sistem neliniar cu o intrare u şi o ieşire y, descris prin ecuaţiile

de stare:

)()(

)()()(

xht y

u x g x f t x

=

+=&(5.8)

unde n x ℜ∈ este vectorul de stare, f şi g sunt funcţii neliniare de stare, netede, n-dimensionale, iar h este o funcţie scalar ă, netedă, depinzând de asemenea de stareasistemului.

Definiţia 5.4 [5]. Se spune că sistemul (5.8) are gradul relativ δ într-un punct x0 dacă:

(i) 0)()()( 2 ==== −δ xh L L xh L L xh L f g f g g L , pentru orice x dintr-o vecinătate

a lui 0 x ;

(ii) 0)( 01 ≠−δ xh L L f g .

Exemplul 5.1. Să calculăm gradul relativ al sistemului liniar: ub x A x +=& ,

xc y T = . În acest caz: f ( x) = Ax, g ( x) = b, xc xh T =)( . Obţinem: x Ac xh L k T k f =)(

şi b Ac xh L L k T k f g =)( . Atunci, întregul δ se obţine din condiţiile:

1,0 −δ<∀= k b Ac k T şi 01 ≠−δ b AcT . Se ştie că întregul δ care satisface acestecondiţii este egal cu diferenţa dintre gradele polinoamelor de la numitorul şi

număr ătorul funcţiei de transfer b A I sc s H n

T 1

)()(−

−= a acestui sistem, unde s este variabila complexă.

Exemplul 5.2. Consider ăm că la momentul t 0, sistemul (5.8) se află în starea

x(t 0) = x0. Dorim să calculăm valoarea ieşirii y(t ) şi derivatele acesteia )()( t y k ,

,,2,1 K=k la momentul t = t 0. Obţinem:

)())(()( 000 xht xht y == ,

( ) )())(())(()())(())(()()1( t ut xh Lt xh Lt ut x g t x f x

h

t d

xd

x

ht y g f +=+

∂∂

=∂∂

= .

Dacă gradul relativ 1>δ pentru orice x în jurul lui x0 avem 0))(( 0 =t xh L g şi deci:



5 - 7

))(()( 00)1( t xh Lt y f = .

Atunci,

( ) )())(())(()()()()()(

)( 2)2( t ut xh L Lt xh Lt u x g x f x

h L

t d

xd

x

h Lt y f g f

f f +=+∂

∂=

∂

∂=

pentru orice t în jurul lui t 0 şi orice x(t ) în jurul lui x0. Dacă 2>δ , atunci0)( 0 = xh L L f g şi:

))(()( 02

0)2( t xh Lt y f = .

Continuând în acest fel, obţinem:

))(()( 00)( t xh Lt y k

f k = , pentru orice δ<k ;

)()()()( 00

1

00

)(

t u xh L L xh Lt y f g f

−δδδ

+= .Deci, pentru un sistem neliniar, gradul relativ δ este egal cu numă rul

derivă rilor mă rimii de ie şire y în raport cu timpul pentru ob ţ inerea unei rela ţ ii

explicite intrare-ie şire.

Funcţiile )(,),(),( 1 xh L xh L xh f f −δ

K au o importanţă deosebită. Se poate ar ăta

că acestea pot fi folosite în scopul definirii unei transformări locale de coordonateîn jurul punctului x0. Acest fapt se bazează pe următoarea proprietate:

Lema 5.1 [5], [7]. Consider ăm că sistemul (5.8) are gradul relativ δ în x0.

Atunci, vectorii linie)(,),(),( 0

100 xhdL xhdL xdh f f

−δK

sunt liniar independenţi.

Propoziţia 5.1 [5]. Consider ăm că sistemul (5.8) are gradul relativ n≤δ în x0. Notăm:

)()(

)()(

)()(

1

2

1

xh L x

xh L x

xh x

f

f

−δδ =φ

=φ

=φ

.....................

(5.9)

Dacă δ este strict mai mic decât n, este întotdeauna posibil să găsim δ−n funcţii

nφφφ +δ+δ ,,, 21 K astfel încât aplicaţia:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φ

φ=Φ

)(

)(

)(1

x

x

x

n

M (5.10)

să aibă o matrice jacobiană nesingular ă în x0 şi de aceea poate fi calificată drept otransformare de coordonate într-o vecinătate a lui x0. Valoarea în x0 a acestor



5 - 8

funcţii adiţionale poate fi aleasă arbitrar. Mai mult, este întotdeauna posibil să alegem )(,),(),( 21 x x x nφφφ +δ+δ K încât:

0)( =φ x L i g pentru orice ni ≤≤+δ 1 şi orice x în vecinătatea lui x0. (5.11)

Descrierea sistemului în noile coordonate )( x z ii φ= , ni ≤≤1 , se deducefoarte uşor, astfel:

• Pentru 11 ,, −δ z z K avem:

)())(())(( 221

1 t z t xt xh Lt d

xd

x

h

t d

xd

x z f =φ==

∂∂

=∂φ∂

=&

.......................................................................................( )

)())(())((1

21

1 t z t xt xh Lt d

xd

x

h L

t d

xd

x z f

f

δδ

−δ−δ

−δ

−δ =φ==∂

∂

=∂

φ∂

=&

• Pentru δ z obţinem:

)())(())(( 1 t ut xh L Lt xh L z f g f −δδ

δ +=&

În membrul drept al acestei ecuaţii trebuie să înlocuim pe x(t ) cu expresia sa ca

funcţie de z (t ), adică ))(()( 1 t z t x −Φ= . Dacă notăm:

))(()( 1 z h L z a f −δ Φ= şi ))(()( 11 z h L L z b f g

−−δ Φ= , (5.12)

ecuaţia de mai sus poate fi rescrisă sub forma:)())(())(( t ut z bt z a z +=δ& (5.13)

Precizăm că, prin definiţie )( 00 x z Φ= şi 0)( 0 ≠ z b . Astfel, coeficientul b( z ) estenenul pentru orice z dintr-o vecinătate a lui z 0.

În ceea ce priveşte celelalte noi coordonate, dacă pentru ecuaţiilecorespunzătoare nu se specifică nimic altceva, nu ne aşteptăm să aibă o structur ă specială. Totuşi, dacă )(,),(),( 21 x x x nφφφ +δ+δ K se aleg astfel încât 0)( =φ x L i g ,

atunci:

( ) ))(()())(())(()())(())(( t x Lt ut x Lt x Lt ut x g t x f x

z i f i g i f i

i φ=φ+φ=+∂φ∂

=&

Notând:

))(()( 1 z L z q j f j−Φφ= , n j ≤≤+δ 1 (5.14)

ultimele δ−n ecuaţii se rescriu sub forma:

))(( t z q z j j =& (5.15)

Rezumând, ecuaţiile de stare ale sistemului (5.8) în noile coordonate z vor fi:

1+= ii z z & , 1,,1 −δ= Ki



5 - 9

)()()( t u z b z a z +=δ& (5.16)

)( z q z j j =& , n j ≤≤+δ 1

iar mărimea de ieşire se exprimă prin:

y = z 1.Ecuaţiile de stare astfel obţinute se spune că sunt în forma normal ă .

Observaţia 5.1. Nu întotdeauna este simplu să construim δ−n funcţii

nφφφ +δ+δ ,,, 21 K astfel încât 0)( =φ x L i g , deoarece aceasta implică rezolvarea unui

sistem de δ−n ecuaţii diferenţiale cu derivate par ţiale. Atunci, este mult maisimplu a alege funcţiile )(,),(1 x x nφφ +δ K , astfel încât acestea să satisfacă

proprietatea ca matricea jacobiană a lui )( xΦ să fie nesingular ă în x0. Această condiţie este suficientă pentru a defini o transformare de coordonate. Folosind o

transformare construită în acest fel, se găseşte aceeaşi structur ă pentru primele δ ecuaţii, adică:

1+= ii z z & , 1,,1 −δ= Ki

)()()( t u z b z a z +=δ& ,

dar nu este posibilă obţinerea unei structuri speciale pentru ultimele δ−n ecuaţii.Acestea vor avea, de obicei, o structur ă de forma:

u z p z q z )()( 111 +δ+δ+δ +=& .....................................

u z p z q z nnn )()( +=& în care apare explicit şi intrarea u. Forma ecuaţiilor nu este cea normală.

Teorema lui Frobenius [7]. Dându-se o mulţime de câmpuri de vectori liniar

independenţi },,1,:|{ δ=ℜ→ℜ KiY Y nn

ii , există δ−n funcţii scalare

ℜ→ℜn jq : , δ−= n j ,,1K cu

δ−=⎟⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

δ−n

x x

q

x x

q

rang n )(

)(

0

01

M

astfel încât

0=∂∂

ii Y

x

q, δ= ,,1Ki

dacă şi numai dacă },,1,:|{ δ=ℜ→ℜ KiY Y nnii este involutivă.



5 - 10

5.1.2. Liniarizarea intrare-ieşire a sistemelor monovariabile

Vom ar ăta că prin alegerea unei legi de comandă neliniar ă cu reacţie după stare, comportarea intrare-ieşire a unei clase largi de sisteme neliniare poate fif ăcută liniar ă.

Consider ăm clasa sistemelor neliniare cu o intrare u şi o ieşire y, descrise prinecuaţii de stare de forma:

)()(

)()()(

xht y

u x g x f t x

=

+=&(5.17)

cu n x ℜ∈ , iar f , g şi h funcţii neliniare netede (adică funcţii infinit derivabile).Derivând y în raport cu timpul, obţinem:

u xh L xh L y g f )()( +=& (5.18)

unde ℜ→ℜn

f xh L :)( şi ℜ→ℜn

g xh L :)( reprezintă derivatele Lie [6] ale lui h în raport cu f , respectiv g . Dacă 0)( ≠ xh L g , n

x ℜ∈∀ , ceea ce înseamnă că

sistemul (5.17) are gradul relativ [6] 1=δ , legea de comandă cu reacţie după stare:

( )v xh L xh L

u f

g

+−= )()(

1(5.19)

unde v este o nouă intrare de comandă, conduce la sistemul liniar (de la v la y):

v y =& .

În cazul în care 0)( ≡ xh L g , n x ℜ∈∀ , ceea ce înseamnă că 1>δ , derivând

(5.18) în raport cu timpul, obţinem:

u xh L L xh L y f g f ))(()(2)2( += (5.20)

unde ))(()(2 xh L L xh L f f f = şi ))(()( xh L L xh L L f g f g = . Dacă 0)( ≠ xh L L f g ,n

x ℜ∈∀ , ceea ce înseamnă că 2=δ , legea de comandă:

( )v xh L xh L Lu f f g +−= )()(

1 2

(5.21)

liniarizează intrare-ieşire sistemul (5.20) şi conduce la:

v y =)2( .

În cazul general, în care gradul relativ al sistemului (5.17) este 0>δ , ceea ce

înseamnă că 0)( ≡ xh L L i f g , 2,,1 −δ= Ki şi 0)(1 ≠−δ xh L L f g , legea de comandă:

( )v xh L xh L L

u f

f g

+−= δ−δ

)()(

11

(5.22)

conduce la următoarea dinamică în circuit închis:



5 - 11

v y =δ)( .

Dacă n=δ , atunci sistemul obţinut prin schimbarea de coordonate (5.7):

)( x z Φ= , (5.23)

unde nn x ℜ→ℜΦ :)( este un diffeomorfism, în noile coordonate z i, cu

)()( 1 xh L x z i f ii−=φ= , ni ≤≤1 (5.24)

are forma (5.16):

1+= ii z z & , 1,,1 −= ni K

)()()( t u z b z a z n +=& , 0)( ≠ z b (5.25)

y = z 1

cu a( z ) şi b( z ) daţi de (5.12) cu n=δ . Pentru sistemul (5.25), legea de comandă:

( )v z a z b

u +−= )()(

1(5.26)

face ca sistemul în circuit închis, descris prin:

1+= ii z z & , 1,,1 −= ni K

v z n =& (5.27)

y = z 1

să fie liniar şi controlabil.

În vechile coordonate x, comanda u din (5.26) are forma:

( )v xh L xh L L

u n f n

f g

+−= − )()(

11 (5.28)

Dacă n<δ , conform Lemei 5.1 şi Propoziţiei 5.1, putem găsi δ−n funcţii)(,),(1 x x nφφ +δ K astfel încât sistemul (5.17) să fie adus în forma normal ă (5.16)

[5], [7]:

1

1

111

1

1)),((

)())(())((

1,,1,

z y

n j z L z

t u z h L L z h L z

i z z

j f j

f g f

ii

=

≤≤+δΦφ=

Φ+Φ=

−δ==

−

−−δ−δδ

+

&

&

K&

(5.29)

O lege de comandă de forma:

( )v z h L z h L L

u f

f g

+Φ−Φ

= −δ−−δ ))((

))((

1 111

(5.30)

ne conduce la următorul sistem în circuit închis:



5 - 12

1

1

1

1)),((

1,,1,

z y

n j z L z

v z

i z z

j f j

ii

=

≤≤+δΦφ=

=

−δ==

−

δ

+

&

&

K&

(5.31)

5.1.3. Liniarizarea intrare-ieşire a sistemelor multivariabile

Reacţie statică după stare

Consider ăm clasa sistemelor neliniare pătrate (numărul de intr ări este egal cunumărul de ieşiri) de forma:

)(,),(

)()(

11

1

xh y xh y

u x g x f x

p p

p

i

ii

==

+= ∑=

K

&(5.32)

unde n x ℜ∈ , pu ℜ∈ , p y ℜ∈ , iar f , g i ),,1( pi K= sunt funcţii vectorialeneliniare netede şi h j ),,1( p j K= sunt funcţii scalare neliniare netede. Derivândieşirea y j în raport cu timpul, obţinem:

∑=

+= p

i

i j g j f j uh Lh L yi

1

)(& , p j ,,1K= (5.33)

Dacă în toate cele p relaţii din (5.33), n j g x xh L

iℜ∈∀≡ ,0))(( , atunci nici una din

cele p intr ări nu apare în aceste relaţii. Definim jδ cel mai mic întreg pozitiv, astfel

încât cel puţin una dintre cele p intr ări u1, ... , u p apare în)( j

j yδ

, adică,

( )∑=

−δδδ += p

i

i j f g j f j uh L Lh L y j

i

j j

1

1)((5.34)

cu 01 ≠−δ

j f g h L L j

ipentru cel puţin un p j ,,1K= şi pentru anumiţi n x ℜ∈ .

Definim )( p p × -matricea A( x) prin:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

−δ−δ

−δ−δ

)()(

)()(

)(11

11

11

1

11

1

xh L L xh L L

xh L L xh L L

x A

p f g p f g

f g f g

p

p

p

p

L

MOM

L

(5.35)

Atunci (5.35) se poate rescrie sub forma:

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

δ

δ

δ

δ

p p f

f

p u

u

x A

xh L

xh L

y

y

p p

MMM

11

)(

)(1

)(

)(

)(11

(5.36)



5 - 13

Dacă p p x A ×ℜ∈)( este nesingular ă (ceea ce înseamnă că A-1( x) există pentru orice

x din nℜ şi are norma mărginită), atunci legea de comandă cu reacţie după stare:

v x A

xh L

xh L

x Au

p f

f

p

)()(

)(

)( 1

1

1

1

−δ

δ

− +⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−= M (5.37)

unde pv ℜ∈ sunt noile mărimi de comandă, determină următorul sistem liniar încircuit închis:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

δ

δ

p p v

v

y

y

p

MM

1

)(

)(1

1

(5.38)

Precizăm că sistemul (5.38) este, în plus, decuplat, în sensul că fiecare mărimede ieşire va fi modificată numai de o singur ă mărime de comandă. Evident că decuplarea este asigurată prin intermediul comenzii (5.37). O consecinţă a acestei

proprietăţi constă în faptul că un mare număr de rezultate corespunzătoaresistemelor monovariabile poate fi extins la cazul sistemelor multivariabile. Legeade comandă (5.37) este referită ca lege de comand ă liniarizant ă cu reac ţ ie statică

după stare [5], [7], [147].

Reacţie dinamică după stare Dacă A( x) din (5.35) este singular ă şi primul termen din membrul drept în

(5.36) nu are rangul lui A( x), liniarizarea poate fi totuşi obţinută prin utilizareareacţiei dinamice după stare. Pentru claritate, metoda va fi exemplificată pe cazulsistemelor cu două intr ări şi două ieşiri )2( = p . Întrucât rangul matricei A( x) este

1, există o matrice 22)( ×ℜ∈ xT nesingular ă astfel încât A( x) poate fi adusă la oformă cu o singur ă coloană:

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡=

0

0)()(

21

11

a

a xT x A . (5.39)

Definind noile intr ări u xT w )(1−= , (5.36) devine:

121

11

2

1)(

1

)(1

0

02

1

2

1

wa

a

h L

h L

y

y

f

f

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡δ

δ

δ

δ

. (5.40)

Similar, (5.32) se poate rescrie sub forma:

2211 )()()( w x g w x g x f x ++=& (5.41)

unde )()]()([)]()([ 2121 xT x g x g x g x g = . Derivând (5.40) şi folosind (5.41) seobţine:



5 - 14

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

+++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡δ+δ

δ+δ

+δ

+δ

2121121122

1

2111111111

1

)1(1

)1(1

1

2

1

2

1

1

1

1

2

1

wa Lwa Lwh L Lh L

wa Lwa Lwh L Lh L

y

y

g f f g f

g f f g f

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+

+ δ

δ

2

1

121221

111111

2

2

2

2

1

2

w

w

wa Lh L La

wa Lh L La

g f g

g f g &

.

sau

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+δ

+δ

2

111)1(

1

)1(1 ),(),(

2

1

w

ww x Bw xC

y

y &. (5.42)

În (5.42) se observă apariţia termenului 1w& care este echivalent cuintroducerea unui integrator înaintea lui w1 adică cu adăugarea unei noi dinamici la

regulator. Dacă ,0),( 1 ≠w x B atunci legea de comandă:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

2

11

111

1

2

1 ),(),(),(v

vw x Bw xC w x B

w

w&, (5.43)

conduce la următorul sistem liniar:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+δ

+δ

2

1)1(

1

)1(1

2

1

v

v

y

y. (5.44)

Legea de comandă (5.43) este o lege de comandă liniarizantă decuplantă cureacţie dinamică după stare. Dacă ),( 1w x B este singular ă, procedura prezentată se

repetă utiliznd însă ),( 1w x B în locul lui A( x). Procedura se termină într-un număr finit de paşi dacă sistemul este invesabil la dreapta.

5.2. Sisteme cu minim de fază Când sistemului (5.17) i se aplică comanda (5.19) se obţine un sistem liniar

intrare-ieşire de ordinul 1, de forma y(1) = v. În consecinţă, prin această reacţie după stare, 1−n din cele n variabile de stare ale sistemului original sunt f ăcuteneobservabile. Pentru claritate, consider ăm cazul unui sistem liniar: ub x A x +=& ,

xc yT = , pentru care x A x f =)( , g ( x) = b şi xc xh

T =)( . Atunci, condiţia

0)( ≠ xh L g este echivalentă cu 0≠bcT , iar legea de comandă (5.19) devine:

)(1

v x Acbc

u T

T +−= (5.45)

şi conduce la următorul sistem în circuit închis:



5 - 15

xc y

vbc

b x A

bc

bc I x

T

T T

T

=

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=&

(5.46)

Datorită faptului că legea de comandă (5.45) conduce la o funcţie de transfer de la v la y, de forma s s H

yv /1)( = , rezultă că 1−n valori proprii ale matricei

sistemului în circuit închis Abcbc I T T )/( − sunt plasate în zerourile sistemuluiiniţial, iar ultima, în origine. Astfel, legile de comandă liniarizante pot fi gândite cafiind o replică neliniar ă a acestui plasament al polilor. Dinamica stărilor f ăcuteneobservabile reprezintă într-adevăr aşa-numita dinamică a zerourilor sistemului.Pentru a obţine stabilitate internă (şi deci stări mărginite) este necesar ca sistemulîn circuit închis să realizeze o compensare poli-zerouri stabilă, adică sistemul să fiecu minim de fază. Aceasta motivează înţelegerea şi definirea sistemelor neliniarecu minim de faz ă .

Cazul sistemelor monovariabile

Consider ăm că sistemul (5.17) are gradul relativ n<δ (Sistemul (5.17) aregradul relativ δ dacă ieşirea sa y trebuie derivată de δ pentru a obţine o relaţieexplicită intrare-ieşire). Atunci, conform Propoziţiei 5.1, există o schimbare decoordonare )( x z Φ= încât, în noile coordonate, sistemul să fie adus în formanormală:

11

212

2112111

1,11

1,),(

),(),(

1,,1,

z y

n j z z z

u z z g z z f z

i z z

j j

ii

=

≤≤+δψ=

+=

−δ==

δ

+

&

&

K&

, (5.47)

unde ),( 211 z z f şi ),( 211 z z g reprezintă )( xh L f δ , respectiv )(1 xh L L f g

−δ în noile

coordonate, iar ),( 21 z z jψ reprezintă )( x L j f φ , n j ,,1K+δ= cuδ

δ ℜ∈= T z z z ],,[ 1111 K şi δ−+δ ℜ∈= nT

n z z z ],,[ ,21,22 K . Se observă că intrarea u

nu influenţează direct stările z 2 j.Dacă 0= x este un punct de echilibru al sistemului necontrolat, adică 0)0( = f şi 0)0( =h , atunci dinamicile

),0( 22 z z j j ψ=& , n j ≤≤+δ 1 , (5.48)

sunt referite ca dinamicile zerourilor . Precizăm, de asemenea, că submulţimea:

{ }0)(,,0)(,0)(| 100 ===∈= −δ xh L xh L xhU x L f f K (5.49)

poate fi f ăcută invariantă definind



5 - 16

( )v z z f z z g

u +−= ),(),(

1211

211

. (5.50)

Dinamicile (5.48) sunt definite pe subspaţiul L0 din (5.49).

Definiţia 5.5 [14]. Sistemul neliniar (5.17) este un sistem cu minim de fază global (local) dacă dinamicile zerourilor sunt global (local) asimptotic stabile.

Utilitatea definiţiei dinamicii zerourilor sistemelor cu minim de fază apare încontextul operaţiei de urmărire. Astfel, dacă obiectivul conducerii este ca ieşirea

y(t ) să urmărească o traiectorie de referinţă prespecificată ym(t ), atunci comanda

( ) )(1)1()1()( y y y y yv mmm −λ++−λ+= −δ−δ

δδ

L (5.51)

conduce la următoarea ecuaţie a erorii de urmărire m y ye −= :

01)1()(

=λ++λ+−δ

δδ

eee L , δ=ℜ∈λ ,,1, Kii (5.52)Precizăm că legea de comandă (5.51) nu se implementează prin derivarea

repetată a ieşirii, ci printr-o lege cu reacţie după stare, deoarece:

h L yh L yh L y f f f 1)1(2)2( ,,, −δ−δ === K& . (5.53)

Dacă ym(t ) este ieşirea următorului model de referinţă liniar şi invariant în timpal cărui grad relativ δ≥δm , unde δ este gradul relativ al procesului, iar r estesemnalul de referinţă:

mT mm

mmmm

xc yr b x A x

= +=&

(5.54)

atunci, legea (5.50) cu v dat de (5.51) devine:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−λ++−= ∑

−δ

=+

δδ−δ

1

0

)()(1

)(1

1

i

iimim f

f g

y y yh Lh L L

u

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−λ+++−= ∑

−δ

=+

−δδδ−δ

1

01

11

1

i

i f m

im

T mimm

T mmm

T m f

f g

h L x Acr b Ac x Ach Lh L L

(5.55)

şi conduce la aceeaşi ecuaţie a erorii de urmărire dată de (5.52). Dacă δλλ ,,1 K se

aleg astfel încât 011 =λ++λ+ −δ

δδ

L s s să fie polinom hurwitzian, atunci e(t )

tinde la zero când ∞→t . Mai mult, dacă )1()1( ,,, −δmmm y y y K , sunt mărginite, atunci

şi y = z 1 este mărginit. Propoziţia următoare garantează mărginirea erorii deurmărire:

Propoziţia 5.2 [14]. Dacă dinamicile zerourilor sistemului neliniar (5.17)definite de (5.48) sunt global exponenţial stabile şi ),( 21 z z jψ din (5.47) au

derivate par ţiale continue şi mărginite în raport cu z 1 şi z 2, iar )1()1( ,,, −δmmm y y y K ,



5 - 17

sunt mărginite, atunci legea de comandă (5.50) cu v dat de (5.51) conduce la o

eroare de urmărire mărginită, adică n x ℜ∈ este mărginit şi y(t ) converge la ym(t ).

Cazul sistemelor multivariabile

Definiţia dinamicii zerourilor pentru sisteme neliniare multivariabile pătratede forma (5.32) este mult mai subtilă (vezi [4]). Există trei căi diferite de definire aacestora depinzând de definiţia zerourilor unui sistem liniar invariant în timp aleasă

pentru a fi generalizată:a) dinamicile mulţimii invariante controlate maxime din nucleul ieşirii;

b) dinamicile ieşirilor cu constrângeri (de exemplu, ieşiri constrânse a fi 0);c) dinamicile sistemului invers.

Trebuie notat că cele trei definiţii coincid în situaţia în care sistemul neliniar poate fi decuplat prin reacţie statică, caz în care definiţia este analoagă cu

dezvoltarea din cazul monovariabil. Mai exact, dacă A( x) definită în (5.35) estenesingular ă, se procedează astfel. Definim m p =δ++δ L1 şi m z ℜ∈1 prin

],,,,,,,,,,,,[ 11

1221

1111

21 p

p f p f p f f f f

T h Lh Lhh Lh Lhh Lh Lh z −δ−δ−δ= KKKK

Definim mn z −ℜ∈2 prin

)(,),( ,2121 x z x z mnmn −− ψ=ψ= K

cu T T T z z z ],[ 21= reprezentând un diffeomorfism al stării x. În aceste coordonate,ecuaţiile (5.32) capătă forma:

1,11,12111

21212

212112,11,1

221221212,11,1

121121111211

,,,

),(),(

),(),(,,

),(),(,,

),(),(,,

1

211

1

+δ−+δ

+δ−+δ−

δ+δ+δ

δ

===

Φ+Ψ=

+==

+==

+==

p

p p

m p

p p pmmm

z y z y z y

u z z z z z

u z z g z z f z z z

u z z g z z f z z z

u z z g z z f z z z

KK

&

&K&

&K&

&K&

(5.56)

În (5.56), ),( 211 z z f reprezintă )(11 xh L f

δ , iar ),( 211 z z g este prima linie a

matricei A( x) în coordonatele ),( 21 z z . Dinamicile zerourilor sunt definite după cum urmează. Fie u o comandă liniarizantă, de exemplu:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

−

),(

),(

),(

),(

),(

21

211

1

21

211

21

z z f

z z f

z z g

z z g

z z u

p p

MM (5.57)

Atunci, dacă nℜ∈0 este un punct de echilibru a sistemului necontrolat, adică 0)0( = f şi 0)0()0(1 === phh L , dinamica zerourilor este definită prin:

),0(),0(),0( 2222 z u z z z Φ+Ψ=& . (5.58)



5 - 18

În [4] se arată că dinamica lui z 2 din (5.58) este independentă de alegerea legiiliniarizante. În situaţia în care sistemul (5.32) nu este decuplabil prin reacţie statică,definiţia dinamicii zerourilor este considerabil mai complicată.

Ca şi în cazul monovariabil, în contextul operaţiei de urmărire, se consider ă unmodel de referinţă de forma:

mmm

mmmm

xC y

r B x A x

=

+=&(5.59)

unde pnm

m B×ℜ∈ , mn p

mC ×ℜ∈ . Ieşirile modelului (5.59), ym1 cu gradul relativ 1δ ,

ym2 cu gradul relativ 2δ etc. trebuie să fie urmărite de ieşirile corespunzătoare ale

procesului. Aceasta se obţine, dacă eroarea de urmărire m y ye −= satisface relaţia

0)(ˆ =e sM , unde

⎪⎭⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧

λ++λ+λ++λ+= −δ

δδ−δ

δδ

11

111

1

1,,1)(ˆ1

1

1

p p p

p

p s s s sdiag sM

LK

L.

5.3. Conducerea adaptivă a sistemelor neliniare cu minim

de fază

La implementarea practică a legilor de comandă liniarizante exacte,

principalul dezavantaj este acela că acestea se bazează pe compensarea exactă atermenilor neliniari ai procesului. Dar, pentru orice incertitudine în cunoaştereafuncţiilor neliniare )(⋅ f şi )(⋅ g , compensarea nu mai este exactă, iar ecuaţiaintrare-ieşire nu mai este liniar ă. De aceea, în continuare, vom prezenta modul deutilizare a unei comenzi cu adaptarea parametrilor pentru a obţine o compensareasimptotică exactă, cu precizarea că funcţia )(⋅h este cunoscută cu exactitate.

Sisteme monovariabile cu gradul relativ 1=δ . Consider ăm un sistemneliniar monovariabil de forma (5.17) cu 0|)(| > xh L g , în care se presupune că

funcţiile f ( x) şi g ( x) sunt de forma:

∑=

θ=1

11 )()(

n

i

ii x f x f , ∑=

θ=2

12 )()(

n

j

j j x g x g (5.60)

unde i1θ , 1,,1 ni K= şi j2θ , 2,,1 n j K= sunt parametri necunoscuţi, iar f i( x), g j( x)

sunt funcţii cunoscute. La momentul t , estimările funcţiilor f şi g vor fi:

∑=

θ=1

11 )(ˆ)(ˆ

n

i

ii x f x f , ∑=

θ=2

12 )(ˆ)(ˆ

n

j

j j x g x g (5.61)

unde i1θ şi j2θ sunt estimările parametrilor i1θ , respectiv j2θ . Atunci, legea de

comandă liniarizantă (5.19) se va înlocui cu



5 - 19

( )v xh L xh L

u e f

e g

+−= ))(())((

1(5.62)

unde e f h L )( , e g h L )( reprezintă „estimă rile” lui h L f , respectiv h L g

corespunzătoare expresiilor (5.61), adică:

∑=

θ=1

11 )(ˆ))((

n

i

f ie f xh L xh Li

, ∑=

θ=2

12 )(ˆ))((

n

j

g je g xh L xh L j

. (5.63)

Definind 21],[ 21nnT T T +ℜ∈θθ=θ vectorul parametrilor nominali (reali),

21)(ˆ nnt

+ℜ∈θ vectorul estimărilor parametrilor şi θ−θ=θ ˆ~eroarea de estimare a

parametrilor, înlocuind (5.62) în (5.18), după câteva calcule obţinem:

2211

~~wwv y T T θ+θ+=& (5.64)

cu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=h L

h L

w

n f

f

1

1

1 M ,e g

e f

g

g

h L

vh L

h L

h L

w

n

)(

)(

2

1

2

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−= M , 11

nw ℜ∈ , 2

2n

w ℜ∈ . (5.65)

Pentru ca y(t ) să urmărească referinţa ym(t ), comanda v definită prin:

)( y y yv mm −λ+= & , 0>λ , (5.66)

conduce la următoarea relaţie între eroarea de urmărire e = ym - y şi eroarea de

estimare a parametrilor T T T ]~,~[~ 21 θθ=θ :

wee T θ=λ+~

& , (5.67)

unde 21 nnw

+ℜ∈ este definit prin concatenarea lui w1 şi w2.

Teorema 5.3. Consider ăm un sistem neliniar de forma (5.17) cu dinamicazerourilor exponenţial stabilă, pentru care se presupune că funcţiile )(⋅ f şi )(⋅ g sunt date de (5.60). Definim legea de comandă

( ))())(())(( 1 y y y xh L xh L

u mme f

e g −λ++−= & . (5.68)

Dacă e g h L )( definită în (5.63) este mărginită, adică 0|))((| >e g xh L şi ym este

mărginit, atunci legea de adaptare a parametrilor de tip gradient

we−=θ&~

, (5.69)

conduce la mărginirea lui y(t ) şi la convergenţa asimptotică a acestuia la ym(t ). În plus variabilele de stare ale sistemului (5.17) sunt mărginite.

Demonstra ţ ie. Funcţia Liapunov definită prin:



5 - 20

θθ+=θ~~

2

1

2

1)

~,( 2 T eeV

este descrescătoare de-a lungul traiectoriilor sistemului (5.67), (5.69), deoarece

0)~

,( 2 ≤λ−=θ eeV & , pentru 0>λ . Rezultă că e şi θ~

sunt mărginite şi 2 Le∈ .Pentru a stabili că e este uniform continuă (pentru a utiliza lema lui Barbălat) sauechivalent că )(t e& este mărginită, trebuie ca w, care este o funcţie continuă de x

(deoarece 0|))((| >e g xh L ), să fie mărginită. Dacă se consider ă că eroarea e este

mărginită, cum ym este mărginit, rezultă că ieşirea y este mărginită. Din mărginirealui y şi Propoziţia 5.2 referitoare la ipoteza stabilităţii exponenţiale a dinamiciizerourilor sistemelor cu minim de fază, rezultă că starea x(t ) este mărginită. Înconcluzie, w este mărginită şi eroarea de urmărire e este uniform continuă.Conform lemei lui Barbălat, rezultă că 0)(lim =

∞→t e

t . Deci y(t ) tinde asimptotic la

ym(t ).

Comentarii:

1. Teorema precedentă garantează convergenţa la zero a erorii e când ∞→t ,f ăr ă să precizeze nimic de convergenţa parametrilor. Se poate ar ăta că atât e cât şiθ converg exponenţial la zero dacă w este de tip excitaţie persistentă, adică dacă există constantele 0,, 21 >βαα astfel încât:

I dt ww I

t

t

T 12

0

0

α≥≥α ∫ β+

. (5.70)

Din nefericire, condiţia (5.70) este de regulă imposibil de verificat explicit,deoarece w este o funcţie neliniar ă complicată ce depinde de starea x.

2. O metodă des folosită în conducerea proceselor cu incertitudini parametriceconstă în înlocuirea comenzii (5.68) cu o comandă de tip „sliding mode”:

( ))(sgn))(())((

1 y yk y xh L

xh Lu mme f

e g

−++−= & (5.71)

Ecuaţia erorii (5.67) se înlocuieşte prin

)(sgn t d ek e =+& (5.72)

unde d (t ) este un termen de nepotivire (depinzând de diferenţa dintre L g h şi ( L g h)e,h L f şi e f h L )( , ... ). Aceasta poate fi mărginită utilizând marginile lui f i, g j şi wi

definite mai sus. Se observă că dacă |)(|sup t d k t

> este posibil ca eroarea să tindă

la zero în timp finit. Aceasta metodă este avantajoasă când eroarea w(t ) este mică.Dacă w(t ) este mare, amplificarea k trebuie să fie mare, conducând la apariţiafenomenului de chatter-ing, comenzi mari şi alte comportări nedorite.

Sisteme monovariabile cu gradul relativ 1>δ . Consider ăm extensiarezultatelor de mai sus la cazul sistemelor cu o singur ă intrare şi o singur ă ieşire cu



5 - 21

gradul relativ 1>δ , adică 0)()()( 2 ==== −δ xh L L xh L L xh L f g f g g L şi

0)( 01 ≠−δ xh L L f g . Legea de comandă liniarizantă neadaptivă este de forma:

( )v xh L

xh L L

u f

f g

+−= δ

−δ

)(

)(

1

1

(5.73)

Dacă f şi g nu sunt complet cunoscute, dar au forma (5.60), atunci h L f δ şi

h L L f g 1−δ din (5.73) trebuie inlocuiţi cu estimările lor definite prin:

h Lh L f e f δδ = ˆ)( , h L Lh L L

f g e f g 1

ˆˆ1 )( −δ−δ = (5.74)

Precizăm că pentru 2≥δ , (5.74) nu sunt liniare în parametrii necunoscuţi iθ .De exemplu,

ji

n

i

n

j

f f e f h L Lh L ji 11

1 1

2 1 1 )()( θθ= ∑∑= =

, ji

n

i

n

j

f g e f g h L Lh L L ji 12

1 1

2 1 )()( θθ= ∑∑= =

(5.75)

Dezvoltările din paragraful anterior pot fi repetate dacă fiecare produs al parametrilor ji 11 θθ şi ji 12 θθ în (5.75) se consider ă ca un nou parametru. Fie

k ℜ∈θ vectorul parametrilor ji 21 , θθ , ji 21 θθ , ji 11 θθ , ... . În scopul urmăririi, noua

intrare ce trebuie implementată este

( ) )(1)1()1()( y y y y yv mmm −λ++−λ+= −δ−δ

δδ

L (5.76)

unde K&&& ,, y y sunt obţinute prin reacţie după stare sub forma

K&& ),(),( 2 xh L y xh L y f f == . În absenţa unei informaţii exacte despre

K),(),( 2 xh L xh L f f , expresia legii de urmărire se va implementa sub forma:

( ) )()( 11)1()( y yh L y yv me f mme −λ++−λ+= −δ−δ

δδ

L (5.77)

Atunci, legea adaptivă va fi:

( )ee f e f g vh Lh L Lu +−=

δ

−δ )()(

11 (5.78)

Aceasta determină următoarea ecuaţie a erorii

( ) e f f ee f

e f g

f g

f h Lh Lvvh Lh L L

h L Lh Leee )()(

)( 1

1

1)1()( δδδ

−δ

−δδ−δ

δδ −=−+−+=λ++λ+ L

[ ]( )211

11 ~~

)(

)()( wwvv

h L L

vh Lh L Lh L L

T T e

e f g

ee f

e f g f g θ+θ=−++−

−+ −δ

δ−δ−δ , δ=ℜ∈λ ,,1, Kii

(5.79)



5 - 22

unde θ−θ=θ )(ˆ~t reprezintă eroarea de estimare a parametrilor. Cei doi termeni

din membrul drept apar respectiv datorită nepotrivirii dintre legea liniarizantă ideală şi cea actuală şi nepotrivirii dintre legea de urmărire ideală v si ca actuală ve.Pentru claritate, se consider ă cazul 2=δ şi 121 == nn . Atunci,

T ],,,[ 211121 θθθθθθ=θ şi se obţine

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−−=

e f g

ee f

f g f T

h L L

vh Lh L Lh Lw

)(

)(00

22

1 111, [ ]000

112 h Lw f

T λ−= (5.80)

unde w1 şi w2 pot fi concatenaţi şi reprezintă regresorul w. Trebuie precizat că, înacest caz, 2θ nu poate fi identificat explicit deoarece termenii corespondenţi din

regresor sunt nuli. Precizăm de asemenea că atât w cât şi )(t θ sunt funcţii cedepind de x.

Pornind de la ecuaţia erorii (5.79), pentru obţinerea unei legi de adaptare, se poate utiliza o eroare de forma:

eee 1)1(

1 β++β= −δδ L (5.81)

cu funcţia de transfer strict real pozitivă:

11

11

λ++λ+

β++β−δ

δδ

−δδ

L

L

s s

s(5.82)

Dacă e1

ar fi un semnal măsurabil, teorema de bază a urmăririi s-ar puteadeduce cu uşurinţa. Dificultatea construirii semnalului (5.81) constă în faptul că

)1(,,, −δeee K&&& nu sunt măsurabile, deoarece:

)1()1()1(2 ,,, −δ−δ−δ −=−=−= m f m f m f yh Le yh Le yh Le K&&&&&& ,

în care h Li f nu sunt explicit cunoscute. În acastă situaţie se poate utiliza

următoarea abordare.

Totuşi, clasa roboţilor manipulatori al căror model are o formă specială (vezi

(5.93)) constituie o excepţie. Pentru aceste sisteme, δββ ,,1K

pot fi aleşi astfelîncât funcţia de transfer (5.82) să fie strict real pozitivă.

Controlul adaptiv folosind o eroare augmentată

Definind polinomul

11)( λ++λ+= −δ

δδ

L s s s L , (5.83)

ecuaţia (5.79) se poate rescrie sub forma

)~

()(1 w s LeT θ= − . (5.84)

Definim eroarea augmentată



5 - 23

)]()()([ 111 w s Lw s Lee T T θ−θ+= −− , (5.85)

care se poate rescrie sub forma

)]~

()()(~

[ 111 w s Lw s Lee

T T θ−θ+= −− . (5.86)

Precizăm că e1 din (5.85) poate fi obţinută din semnalele disponibile, spreeosebire de (5.86) care este utilă numai în etapa de analiză. Cu (5.84), (5.86) capătă următoarea formă liniar ă:

ξθ=θ= − T T w s Le

~))((

~ 11 (5.87)

unde s-a notat ))((1 w s L−=ξ . Pentru erori descrise prin ecuaţii liniare de forma(5.87) una dintre legile de adaptare a parametrilor utilzează un algoritm de tipgradient normalizat de forma:

ξξ+ ξ−=θ=θ T e1~ 1&& (5.88)

Propoziţia 5.3 [13]. Se consider ă ecuaţia erorii

ξθ= T e

~1 (5.89)

cu legea de adaptare

ξξ+

ξ−=θ

T

e

1

~ 1&(5.90)

Atunci, ∞∈θ L~

, ∞∩∈θ L L2~&

şi )||||1(|)(~

| t T t ξ+γ≤ξθ , t ∀ , pentru anumiţi∞∩∈γ L L2 .

Demonstraţia se poate efectua asemănător demonstraţiei Teoremei 2.4.2 din[13].

Teorema 5.4. Teorema urmă ririi pentru sisteme monovariabile cu gradul relativ mai mare ca 1. Se consider ă că sistemului neliniar (5.17) cu minim de fază exponenţial stabil şi a cărui incertitudine parametrică este dată de (5.60) i se aplică

legea de comandă (5.77), (5.78). Dacă )1(,,, −δmmm y y y K& sunt măginite, e f g h L L )( 1−δ

este mărginită şi diferită de zero, f , g , h, h Lk f , h L L k

f g sunt funcţii Lipschitz

continue şi ),( θ xw are derivatele în raport cu x şi θ mărginite, atunci, legea deadaptare a parametrilor

ξξ+

ξ−=θ

T

e

1

~ 1&(5.91)

cu ))((1 w s L−=ξ , conduce la o urmărire mărginită, adică m y y → când ∞→t şi x

este mărginit.Pentru demonstraţie se poate consulta [13].



5 - 24

Controlul adaptiv al sistemelor multivariabile cu reacţie statică după

stare

Din paragrafele anterioare se deduce că pentru sistemele pătratice cu minim defază, comandă liniarizantă decuplantă cu reacţie statică după stare, poate fi

tranformată într-o comandă adaptivă prin înlocuirea comenzii (5.37) prin

( ) ( ) v x A

xh L

xh L

x Au e

e p f

f

e p

)(

)(

)(

)( 11

1

1

−

δ

δ

− +⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−= M (5.92)

Reamintim că dacă A( x) este inversabilă, atunci comanda liniarizată este de

asemenea şi comandă decuplantă. Atunci, dacă A( x) şi i f h L iδ depind liniar de

parametrii necunoscuţi, schemele prezentate în paragrafele anterioare, în special

cele pentru care 121 =δ==δ=δ pL pot fi adaptate cu usurinţă. Deoarece prezentarea ar fi laborioasă, în cele ce urmează ne vom rezuma la o prezentaresuccintă a acestei tehnici utilizând modelul matematic corespunzător claseimanipulatoarelor robotice.

Dacă nq ℜ∈ reprezintă unghiurile la îmbinarea articulaţiilor, dinamica unui braţ robotic poate fi descrisă printr-o ecuaţie de forma:

uqqC qqM =+ ),()( &&& (5.93)

unde nnqM

×ℜ∈)( este matricea de iner ţie pozitiv definită, ),( qqC & reprezintă vectorul termenilor datoraţi for ţelor Coriolis, for ţelor gravitaţionale şi for ţelor de

frecare, iar nu ℜ∈ reprezintă intr ările de comandă (cupluri) în articulaţiilemotoare. În aplicaţii, M (q) şi ),( qqC & nu sunt cunoscute cu exactitate, dar acesteadepind liniar de anumiţi parametri necunoscuţi, Atunci,

∑=

θ=1

12 )()(

n

i

ii qM qM , ∑=

θ=2

11 ),(),(

n

j

j j qqC qqC && (5.94)

Definind vectorul de stare x prin ],[ T T T qq x &= şi ieşirea q y = , se vede că

sistemul este decuplabil cu 21 =δ==δ nL şi

)()( 1 qM x A−= , (5.95)

),()(11

1

qqC qM

h L

h L

n f

f

n

&M−

δ

δ

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

(5.96)

legea de comandă decuplantă fiind dată de

vqM qqC u )(),( += & (5.97)



5 - 25

Precizăm că elementele matricei M din (5.94) depind de parametriinecunoscuţi 1θ şi 2θ în forme ce pot fi foarte complicate, în timp ce ecua ţia (5.97)depinde liniar de M şi C . În scopul urmăririi, v se alege sub forma

)()(12

qqqqqv mmm −λ+−λ+= &&&& (5.98)

şi legea de comandă (5.97), (5.98) reprezintă schema de calcul a cuplului. Pentru aface această comandă adaptivă, legea (5.98) se înlocuieşte cu

vqM qqC u ee )(),( += & (5.99)

Fie qqe m −= . Atunci,

∑∑=

−

=

− θ+θ=λ+λ+21

12

1

11

112

~)()(

~),()(

n

i

iie

n

j

j je qqM qM qqC qM eee &&&&&& (5.100)

Aceasta poate fi rescrisă ca

θ=λ+λ+~

12 W eee &&& , (5.101)

unde )( 21 nnnW

+×ℜ∈ este o funcţie de q, q& şi q&& , iar θ~

este vectorul erorii parametrilor. Legea de actualizare a parametrilor este

1

~eW

T −=θ& (5.102)

unde eee 11 β+= & se alege astfel încât )/()( 122

1 λ+λ+β+ s s s este stric real

pozitivă. Se poate ar ăta că aceasta conduce la o urmărire mărginită. Precizăm casistemul este cu minim de fază - de fapt nu există o dinamică a zerorilor. Unneajuns îl reprezintă faptul că W depinde de q&& , dar această dependenţă poate fievitată prin modificarea corespunzătoare a schemei de comandă.

Lema 5.2 (Barbălat) [15]. Dacă )(t ϕ este o funcţie reală de t definită şi

uniform continuă pentru +ℜ∈≥ 00 , t t t , adică ℜ→ℜϕ +: şi dacă ∫ ττϕ∞→

t

t t

d

0

)(lim

există şi este finită, atunci 0)(lim =ϕ∞→ t t .

5.4. Principiul comenzii liniarizante exacte

Consider ăm un sistem neliniar monovariabil de forma (5.17)

)()(

)()()(

xht y

u x g x f t x

=

+=&(5.103)

în care se presupune că funcţiile )(⋅ f şi )(⋅ g sunt de forma:



5 - 26

∑=

θ=θ1

111 )(),(

n

i

ii x f x f , ∑=

θ=θ2

122 )(),(

n

j

j j x g x g (5.104)

unde i1θ , 1,,1 ni K= şi j2θ , 2,,1 n j K= sunt parametri necunoscuţi, iar f i( x), g j( x)

sunt funcţii cunoscute.Conducerea procesului (5.103) are drept obiectiv ca ieşirea y(t ) să urmărească

un semnal de referinţă )(* t y în condiţiile acţiunii unor perturbaţii externe şi încondiţiile în care anumiţi parametri şi/sau cinetici ale procesului sunt completnecunoscuţi/necunoscute sau insuficient cunoscuţi/cunoscute. În cazul particular al

unei referinţe constante, )(* t y este constant şi se numeşte valoare impusă , iar conducerea se numeşte reglare.

Principiul conducerii liniarizante exacte constă în a găsi o lege de comandă

),,( * θ y xu neliniar ă, unde ),( 21 θθ=θ , astfel încât eroarea de urmărire )( * y y − , să

verifice o ecuaţie diferenţială liniar ă, stabilă, prespecificată, numită model de

referin ţă , sau, altfel spus, să stabilizeze sistemul şi să realizeze o comportareliniar ă intrare-ieşire a sistemului în circuit închis. Proiectarea comenzii liniarizanteexacte poate fi privită ca o procedur ă care se desf ăşoar ă în trei paşi, astfel [2]:

• Pasul 1. Obţinerea unui model intrare-ie şire. Acesta se realizează prinderivarea succesivă a ecuaţiilor modelului (5.103). Modelul intrare-ieşire va aveaforma unei ecuaţii diferenţiale neliniare de ordinul δ :

ut f t f t y ⋅θ+θ=δ ),(),()( 21)( (5.105)

cu h L f f δ=1 şi h L L f f g

12

−δ= , 0)(2 ≠t f , unde δ este gradul relativ al modelului

(5.103), ℜ→ℜδ n f xh L :)( şi ℜ→ℜ−δ n

f g xh L L :)(1 reprezintă derivatele Lie ale lui

h în raport cu f şi respectiv g de ordinele precizate. Precizăm că:(i) - depinzând de aplicaţie, respectiv de forma modelului dinamic, funcţiile f 1

şi f 2 pot fi funcţii foarte complexe ce depind de starea x, şi parametrii θ , precum şide derivatele lor succesive;

(ii) - având în vedere structura specifică a modelului dinamic general (5.103),rezultă că modelul intrare-ieşire (5.105) este liniar în raport cu mărimea decomandă u.

• Pasul 2. Alegerea unui model de referin ţă liniar-stabil pentru eroarea de

urmă rire )( * y y − . Un astfel de model este dat de următoarea ecuaţie diferenţială liniar ă cu coeficienţi constanţi:

( )∑δ

=+ =−λ

0

*1 0)()(

j j

j

j t yt yt d

d (5.106)

unde ℜ∈λ j , cu 11 =λ +δ . Acest model descrie modul de descreştere a erorii de

urmărire a procesului. De exemplu, în Fig. 5.2 este prezentată evoluţia erorii de



5 - 27

urmărire )( * y y − în situaţia în care aceasta verifică următoarele ecuaţii diferenţialeliniare:

1. 0)()( ** =−+− y y y y

t d

d

2. 0)(2)(3)( ***2

2

=−+−+− y y y yt d

d y y

t d

d

3. 0)(6)(11)(6)( ***2

2*

3

3

=−+−+−+− y y y yt d

d y y

t d

d y y

t d

d

Fig. 5.2. Evoluţia erorii de urmărire

În general, coeficienţii ),,1(, δ=λ Kii sunt arbritrari, cu excepţia celor caretrebuie aleşi, astfel încât ecuaţia diferenţială (5.106) să fie stabilă.

Se observă că modelul de referinţă (5.106) este independent de punctul defuncţionare al procesului.

• Pasul 3. Calculul comenzii liniarizante. În final, proiectarea algoritmului de

conducere constă în calculul mărimii de comandă u, astfel încât modelul intrare-ieşire (5.105) să aibă o comportare identică cu cea a modelului de referinţă (5.106).Acest lucru se obţine prin eliminarea lui )()( t y

δ între ecuaţiile (5.105) şi (5.106).Rezultă astfel următoarea lege de comandă liniarizantă exactă:

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +−λ+θ−

θ=θ ∑

−δ

=δ

δ

+

1

0

*11

2

)()()(),(

),(

1),(

*

j j

j

jt d

t yd t yt y

t d

d t f

t f t u (5.107)

În cazul unor incertitudini parametrice, se pot utiliza scheme de conducere

adaptivă directe sau indirecte. În comanda (5.107) parametrii necunoscuţi θ careapar în funcţiile f 1 şi f 2 se înlocuiesc cu valorile lor estimate θ furnizate de

Timp

E r o a r e a d e u r m a r i r e ( y

* - y )



5 - 28

V i t e z a s p e c i f i c ă d

e c r e ş t e r e

[ h - 1 ]

estimatoare ale parametrilor (bazate pe observer de stare sau liniar recursive [12],[16]).

Exemplul 5.3. Vom prezenta modul de obţinere a comenzilor liniarizante încazul unor bioprocese foarte simple pentru care se presupune că modelul este

complet cunoscut. Consider ăm procesul de creştere microbiană simplă al căruimodel dinamic este descris de următoarele ecuaţii:

X D X S X X −μ= ),(& (5.108a)

inS DS D X S X k S +−μ−= ),(1& (5.108b)

unde X şi S reprezintă biomasa (microorganismele vii), respectiv substratul,considerate măsurabile, iar ),( S X μ reprezintă viteza specifică de creşteremicrobiană, considerată cunoscută. Presupunem că viteza specifică de creşteremicrobiană este descrisă prin modelul Haldane:

I M K t S t S K

t S S

/)()(

)()(

20++

μ=μ (5.109)

unde ) I M K K /1*0 +μ=μ , 0>M K este constanta Monod, iar 0> I K este o

constantă de inhibare. În Fig. 5.3 este reprezentată o lege Haldane pentru μ 0 = 6.3

h-1, K M = 8 g /l , K I = 0.3 g /l .

Concentraţia substratului S [g /l]

Fig. 5.3. Viteza specifică de creştere tip Haldane

Se vede că bioprocesul (5.108) este puternic neliniar, datorită neliniarităţiicineticii μ.

• Cazul 1. Bioprocesul (5.108) poate reprezinta un proces de depoluare foartesimplu pentru care dorim să reglăm concentraţia S = y a substratului (poluantului)

la o valoare impusă, constantă ** yS = . Pentru aceasta, dacă alegem drept mărime

de comandă u = F 2 = DS in, observăm că ecuaţia (5.108b) este un model intrare-ieşire cu gradul relativ 1=δ .



5 - 29

Atunci, pentru eroarea de urmărire )( * S S − , vom alege un model de referinţă de ordinul 1, descris prin ecuaţia diferenţială:

0,0)()( 1*

1* >λ=−λ+− S S S S

t d

d (5.110)

Comanda liniarizantă exactă se obţine prin eliminarea lui dt dS / între

ecuaţiile (5.108b) şi (5.110). Având în vedere că == ** S y constant, rezultă:

)(),( *112 S S S D X S X k F u −λ++μ== (5.111)

Dacă drept mărime de comandă se alege viteza de diluţie D, atunci u = D şicomanda liniarizantă va fi dată de:

( ))(),(1 *

11 S S X S X k S S

Duin

−λ+μ−

== (5.112)

• Cazul 2. Pentru bioprocesul (2.71) presupunem că dorim să reglămconcentraţia biomasei X = y la o valoare dorită == ** y X constant, considerânddrept mărime de comandă tot fluxul de alimentare cu substrat, deci u = F 2 = DS in.Consider ăm, de asemenea, că viteza de diluţie D este constantă. Observăm că ecuaţia (5.108a) a modelului procesului nu constituie un model intrare-ieşirecorespunzător pentru obţinerea comenzii liniarizante, deoarece nu exprimă explicitlegătura dintre debitul de alimentare F 2 şi biomasa X . Pentru obţinerea unei legăturidirecte între F 2 şi X vom deriva ecuaţia (5.108a). Rezultă:

( ) t d

X d DS X X t d

S d

S t d

X d

X t d

X d

−μ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂μ∂

+∂μ∂

= ),(2

2

Înlocuind în această relaţie pe dt dX / şi dt dS / prin expresiile lor dinmodelul (5.108), obţinem:

( ) 212

2

)( F X S

DS X k X S

DX X D X X t d

X d ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂μ∂

++μ∂

μ∂−−μ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ μ+−

∂μ∂

= (5.113)

care, pentru 0≠∂

μ∂ X

S , reprezintă un model intrare-ieşire corespunzător având

gradul relativ 2=δ .Atunci, pentru eroarea de urmărire vom alege un model de referinţă de ordinul

2, descris printr-o ecuaţie liniar ă de forma:

0,,0)()()( 21*

1*

2*

2

2

>λλ=−λ+−λ+− X X X X t d

d X X

t d

d (5.114a)

sau, echivalent, când * X se presupune constant:

0,,0)( 21*

12 >λλ=−λ+λ−= X X X X &&& (5.114b)

Legea de comandă liniarizantă se obţine prin eliminarea lui X && , între modelulintrare-ieşire (5.113) şi ecuaţia (5.114 b), rezultând:



5 - 30

( ))()( 2*

1

1

2 DX X X X X S

F u −μλ−−λ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂μ∂

==−

( ) X DS X k

S X

S DX X D X

X X

S +μ

∂

μ∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∂

μ∂+−μ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ μ+−

∂

μ∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∂

μ∂−

−−

1

11

)( (5.115)

5.5. Conducere unui bioproces de creştere microbiană

5.5.1. Comanda liniarizantă exactă

Pentru bioprocesul (5.108) se doreşte reglarea concentraţiei S = y a

substratului la o valoare impusă, constantă ** yS = , utilizând drept mărime decomandă viteza de diluţie D, deci u = D. În această situaţie, se observă că (5.108b)

este un model intrare-ieşire cu gradul relativ 1=δ . În cazul ideal, în care modelul procesului este complet cunoscut (variabilele X , S şi S in sunt măsurabile, iar k 1 şi μ sunt cunoscute), comanda liniarizantă exactă

( ))(),(1 *

11 S S X S X k S S

Duin

−λ+μ−

== , (5.116)

asigur ă pentru sistemul în circuit închis o comportare intrare-ieşire descrisă prinurmătoarea ecuaţie diferenţială stabilă de ordinul I:

0,0)()( 1*

1* >λ=−λ+− S S S S

t d

d .

Se observă că oricare ar fi 01 >λ , eroarea sistemului S S −* tindeexponenţial la zero.

5.5.2. Strategii de conducere adaptivă a unui bioproces de creştere

microbiană

• Cazul 1. Consider ăm că în modelul (5.108) variabila X este nemăsurabilă,variabilele S şi S in sunt măsurabile on-line, iar k 1 şi μ sunt cunoscute. În acestecondiţii, o primă variantă adaptivă a comanzii (5.112) este dată de:

( ))(ˆ),(1 *11 S S X S X k

S S Du

in

−λ+μ−

== (5.117)

unde X ˆ reprezintă estimarea on-line a variabilei nemăsurabile X furnizată de unobserver asimptotic de stare [12], care, în acest caz, se deduce după cum urmează.Se defineşte variabila auxiliar ă

S X k z += 1 (5.118)a carei dinamică, dedusă din modelul (5.108) este dată de

inS D z D z +−=& . (5.119)

Se observă că dinamica lui z este descrisă printr-o ecuaţie diferenţială liniar ă,nedepinzând de neliniaritatea μ.



5 - 31

Din (5.118) şi (5.119) se deduce următorul observer asimptotic pentruestimarea on-line a variabilei X :

1/)ˆ(ˆ

ˆˆ

k S z X

S D z D z in

−=

+−=&(5.120)

Dacă coeficientul k 1 este necunoscut, din (5.118) se obţine că

S z X k −= ˆˆ1 , (5.121)

iar comanda adaptivă ((5.112)) capătă forma:

( ))(),()ˆ(1 *

1 S S S X S z S S

Duin

−λ+μ−−

== (5.122)

• Cazul 2. Consider ăm acum că în modelul (5.108) variabile X , S şi S in suntmăsurabile on-line, coeficientul k 1 este cunoscut, iar μ este complet necunoscută. În

aceste condiţii, o a doua variantă adaptivă a comanzii (5.112) este dată de:( ))(ˆ

1 *11 S S X k

S S Du

in

−λ+μ−

== (5.123)

unde μ reprezintă estimarea on-line a parametrului necunoscut μ furnizat de unestimator al parametrilor. În acest caz, pentru estimarea parametrului necunoscut μ vom folosi un estimator al parametrilor bazat pe observer de stare [16] care pentru

procesul analizat se particularizeză sub forma:

)ˆ()ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆ

)ˆ(ˆˆ

121

21

1

S S X k X X X

S S S DS D X k S

X X X D X X

in

−γ−−γ=μ−ω++−μ−=

−ω+−μ=

&

&

&

(5.124)

unde 121 ,, γωω şi 2γ sunt parametrii pozitivi de proiectare pentru a controlastabilitatea şi convergenţa estimatorului.

• Cazul 3. Consider ăm acum că în modelul (5.108) singurele variabilemăsurabile on-line sunt S şi S in, variabila X este nemăsurabilă, coeficientul k 1 estenecunoscut, iar μ este complet necunoscută. În aceste condiţii, o a treia variantă adaptivă a comanzii (5.112) este dată de:

( ))(ˆ)ˆ(1 *1 S S S z

S S Du

in

−λ+μ−−

== (5.125)

unde X k S z ˆˆ 1=− este furnitat de următorul observer asimptotic pentru estimareaon-line a variabilei X :

S z X k

S D z D z in

−=

+−=

ˆˆ

ˆˆ

1

&

, (5.126)

iar μ reprezintă estimarea on-line a parametrului necunoscut μ furnizat de un

estimator al parametrilor bazat pe observer de stare [12] care pentru cazul analizatse particularizeză sub forma:



5 - 32

)ˆ()ˆ(ˆ

)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ

S S S z

S S S DS DS z S in

−−γ−=μ

−ω++−μ−−=&

&

(5.127)

unde ω şi γ sunt parametrii pozitivi de proiectare pentru a controla stabilitatea şi

convergenţa estimatorului.

BIBLIOGRAFIE

1. ASTOLFI A., KARAGIANNIS D., ORTEGA R.. Nonlinear and Adaptive Control with Applications, Springer-Verlag London Limited, 2008.

2. BASTIN G., DOCHAIN D., On-line Estimation and Adaptive Control of Bioreactors,Elsevier, Amsterdam, 1990.

3. IOANNOU P.A., SUN J., Robust Adaptive Control , Prentice-Hall, Upper Saddle

River, 1996.4. ISIDORI A., MOOG C.H., On the nonlinear equivalent of the notion of transmissionzeros, Modeling and Adaptive Control , C. Byrnes and A. Kurszanscki (Eds.), Lecture Notes in Information and Control, Springer-Verlag, 1987.

5. ISIDORI A., Nonlinear Control Systems, Springer-Verlag, Berlin, 2nd edition, 1989.6. ISIDORI A., Nonlinear Control Systems, Springer-Verlag, Berlin, 3rd edition, 1995.7. LIN C.F., Advanced Control Systems Design, PTR Prentice Hall, Englewood Cliffs,

New Jersey, 1994.8. MARINO R., TOMEI P., Nonlinear Control Design, Prentice Hall Inter., London,

1995.9. MONACO S., NORMAND-CYROT D., Nonlinear systems in discrete time,

Algebraic and Geometric Methods in Nonlinear Control Theory, M. Fliess and M.Hazewinkel (Eds.), Riedel, Dordrecht, 1986.

10. MONACO S., NORMAND-CYROT D., STORNELLI S., On the linearizind feedback in nonlinear sampled data control schemes, Proc. of the 25th IEEE Conf. of Decision

and Control , Athens, Greece, pp. 2056-2060, 1986.11. NARENDRA K.S., ANNASWAMY A.M., Stable Adaptive Systems, Prentice-Hall,

Englewood Cliffs, 1989.12. PETRE E., Sisteme automate neliniare - Aplica ţ ii în biotehnologie, Ediţia a 2-a,

Editura Universitaria, Craiova, 2008.13. SASTRY S., BODSON M., Adaptive Control: Stability, Convergence and

Robustness, Prentice-Hall, London, 1989.14. SASTRY S., ISIDORI A., Adaptive control of linearizable systems. IEEE Trans.

Automatic Control, vol. 34, no. 11, pp. 1123–1131, 1989.15. HALANAY A., R ĂSVAN V. Applications of Liapunov Methods in Stability, Kluwer

Academic, 1993.16. PETRE E., SELIŞTEANU D. Modelarea şi identificarea bioproceselor de depoluare,

Ed. Universitaria, Craiova, 2005.

sisteme adaptive-petre emil

Documents